Tema 1. Sucessão numérica. Limite de sucessão

1. Sucessões numéricas

• Definição de sucessão, exemplos: xn =1n, xn =

3n + 12n

• Definição de sucessão crescente (estritamente crescente), exemplo: xn =n + 1n + 2

• Definição de sucessão decrescente (estritamente decrescente), exemplo: xn =1

n + 1+ 3

• Definição de sucessão majorada, minorada e limitada, exemplos: xn = (−1)n , xn =1n

• Definição de supremmum e infimmum duma sucessão

2. Limite de sucessão

2 Tema 1. Sucessão numérica. Limite de sucessão

• Definição de vizinhança. Lema sobre vizinhanças

• Definição de limite duma sucessão na linguagem “ε–N ”, exemplo: lim2n

n + 1

• Teorema (unicidade de limite duma sucessão)

• Definição de sucessão intercalada

• Teorema (sucessões intercaladas)

• Teorema (limitação duma sucessão convergente)

• Definição de subsucessão, exemplo: (−1)n , n = 2k , n = 2k + 1

• Definição de limite parcial

• Definição de limite inferior e superior

3. Sucessões monótonas

• Teorema (sucessão crescente e limitada superiormente)

• Teorema (sucessão decrescente e limitada inferiormente) (Fim da primeira aula teórica)

• Sucessão xn =(

1 +1n

)n

. O número e

4. Infinitésimos

• Definição de infinitésimo

• Teorema (soma de dois infinitésimos)

• Teorema (produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada)

• Teorema (representação do termo geral duma sucessão convergente)

• Definição de sucessão de Cauchy1

• Teorema (condição necessária de convergência)

5. Propriedades aritméticas com limites

• Lema (produto de uma sucessão convergente por uma constante)

• Lema (soma de duas sucessões convergentes)

• Lema (produto de duas sucessões convergentes)

• Lema* (quociente de duas sucessões convergentes)

6. Indeterminações

• Tipos de indeterminação, exemplos: lim(n−√n2 + 1) , limn + 1n + 4

1Augustin Louis Cauchy (1789–1857) — matemático francês

M.J. Alves, 2007 3

• Definição xn = O(yn)

• Definição xn = o(yn)

• Definição xn ∼ yn (Fim da segunda aula teórica)

Observação: os teoremas e/ou lemas marcados com asterisco * significa que os estudantes deverãopesquisar as demonstrações.

AULAS PRÁTICAS

Para as aulas práticas (6 horas) resolver-se-ão os seguintes exercícios da Ficha 1.

Primeira semana prática: [2a, 4, 10, 11/12, 13, 14, 15]

Segunda semana prática: [16, 18, 19, 20/23, 24, 25, 27]

literatura recomendada

[1] M. J. Alves, Elementos de Análise Matemática. Parte I, UEM, Maputo, 2000. (acessível nahomepage do docente)

[2] K. Sydsaeter, P. Hammond (com a colaboração de M. Alves), Matemática Essencial para AnáliseEconómica. Parte I, Moçambique Editora, 2005.

Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto quanto você...

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