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Universidade Federal da Bahia
Instituto de Matematica
Programa de Pos-Graduacao em Matematica
Dissertacao de Mestrado
Tensores de Codazzi em subvariedades
Eliane da Silva dos Santos
Salvador-Bahia
Fevereiro 2009
Tensores de Codazzi em subvariedades
Eliane da Silva dos Santos
Dissertacao apresentada ao colegiado da Pos-
Graduacao em Matematica da Universidade
Federal da Bahia como requisito parcial para
obtencao do tıtulo de Mestre em Matematica.
Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.
Salvador-Bahia
Fevereiro 2009
Santos, Eliane da Silva dos.
Tensores de Codazzi em subvariedades / Eliane da Silva dos Santos. –
Salvador, 2009.
39 f. : il.
Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.
Dissertacao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de
Matematica, Programa de Pos-graduacao em Matematica, 2009.
Referencias bibliograficas.
1. Geometria diferencial. 2. Geometria Riemanniana. 3. Imersoes
(Matematica). I. Vergasta, Enaldo Silva. II. Universidade Federal da
Bahia, Instituto de Matematica. III. Tıtulo.
CDD - 516
- 515
Tensores de Codazzi em subvariedades
Eliane da Silva dos Santos
Dissertacao apresentada ao colegiado da Pos-
Graduacao em Matematica da Universidade Fede-
ral da Bahia como requisito parcial para obtencao
do tıtulo de Mestre em Matematica.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta (Orientador).
UFBA
Profa. Dra. Rosa Maria dos Santos Barreiro Chaves.
USP
Prof. Dr. Jose Nelson Bastos Barbosa.
UFBA
Aos meus pais, as minhas
irmas e a memoria do meu
querido avo.
Agradecimentos
A Deus pelo dom da vida, por iluminar o meu caminho e por me dar forca e coragem
para enfrentar todas as dificuldades, pois “Tudo posso naquele que me fortalece”.
Aos meus pais e as minhas irmas, pelo incentivo, pelo apoio e amor incondicional.
Ao professor Enaldo, admiravel profissional e ser humano, pela orientacao, pelo
incentivo e por todo apoio desde o inıcio da minha graduacao.
Ao professor Jose Nelson por participar da banca examinadora deste trabalho e por
estar sempre disposto a ajudar e a professora Rosa por aceitar o convite de participar da
banca examinadora deste trabalho e por todo incentivo e apoio para que eu continue a
estudar a Matematica, cursando o doutorado.
A todos os professores do Departamento de Matematica da UFBA, em especial,
Jose Fernandes, Joseph, Antonio, Marco Antonio, Bahiano, Evandro, Rita, Lina, Silvinha,
Graca Luzia, Cristiana, Jodalia e Gloria por todo carinho e atencao.
As minhas eternas amigas super-poderosas Fabiana, Manu e Vanessa e a Isis pela
amizade, carinho e apoio em todos os momentos.
A minha avo, pelas oracoes, a tia Lina pelo carinho e por me apoiar em tudo.
Aos funcionarios do Instituto de Matematica, em especial, Dona Zeze e Tania pelo
carinho e por sempre estarem dispostas a ajudar e Alan e Jomario pela atencao e amizade.
A Fabiana Laranjeiras, Renivaldo, Felipe, Hivanna, Teles, Luide, Mariana e Elias
pela generosidade e amizade.
Ao colega Joao Paulo pela generosidade e paciencia em me ensinar a utilizar o Latex.
A CAPES pelo apoio financeiro.
E a todos que de alguma maneira contribuiram para o meu desenvolvimento.
“Deus nao escolhe os capacitados, capacita os escolhidos.
Fazer ou nao fazer algo, so depende de nossa vontade e
perseveranca.”
Albert Einstein
Resumo
Neste trabalho, estudamos alguns resultados e aplicacoes relacionados com tensores
de Codazzi em subvariedades e as transformacoes de Ribaucour e de Combescure, com
base em trabalhos de Dajczer-Tojeiro e Hasanis-Vlachos. Sejam M uma variedade Rie-
manniana e f uma imersao isometrica de M como hipersuperfıcie do espaco Euclidiano.
Dada outra metrica Riemanniana em M , obtida a partir de um tensor de Codazzi que
comuta com a segunda forma fundamental de f , e apresentada uma condicao necessaria e
suficiente para que M , com a nova metrica, possa ser imersa isometricamente no mesmo
espaco Euclidiano. Com este objetivo, prova-se que qualquer tensor de Codazzi Q que
comuta com a segunda forma fundamental de f da origem a uma transformacao de Com-
bescure F de f . Alem disso, Q e F podem ser determinados atraves de uma funcao
diferenciavel em M e um campo normal em M satisfazendo determinadas condicoes.
Tambem e estabelecida uma correspondencia entre tais tensores e transformacoes de Ri-
baucour da imersao. Na verdade, mostra-se que estes ultimos resultados sao validos para
codimensao maior que um no espaco Euclidiano com metrica pseudo-Riemanniana.
Palavras-chave: Tensores de Codazzi; Transformacoes de Combescure; Transformacoes
de Ribaucour.
Abstract
In this work, we study some results and applications related with Codazzi ten-
sors, Ribaucour and Combescure transforms of submanifolds, based at works by Dajczer-
Tojeiro and Hasanis-Vlachos. Let M be a Riemannian manifold and f an isometric
immersion of M as a hypersurface in a Euclidean space. Given another Riemannian me-
tric on M obtained from a Codazzi tensor that commute with the second fundamental
form of f , we present a necessary and sufficient condition for that M , with the new me-
tric, admits an isometric immersion into the same Euclidean space. With this aim, it is
showed that any Codazzi tensor Q that commutes with the second fundamental form of
f gives rise to a Combescure transform F of f . Moreover, Q and F can be determined
by a smooth function on M and a normal vector field on M satisfying certain conditions.
Also it is obtained a correspondence between such tensor and Ribaucour transforms for
submanifolds. In the truth, it is showed that the last results are true for larger codimen-
sion that one in a Euclidean space with pseudo-Riemannian metric.
Keywords: Codazzi tensors; Combescure transformations; Ribaucour transformations.
Sumario
Introducao 1
1 Preliminares 5
1.1 Conceitos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Imersoes Isometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Alguns resultados classicos para hipersuperfıcies . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Tensores em variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Tensores de Codazzi 12
3 Hipersuperfıcies e tensores de Codazzi 19
4 Tensores de Codazzi e transformacoes de Ribaucour de subvariedades 28
Referencias 38
Introducao
Dada uma variedade Riemanniana (Mn, 〈, 〉), nem sempre existe uma imersao isome-
trica f : Mn → Rn+1. Por exemplo, de acordo com o Teorema de Hilbert, nao e possıvel
imergir Hn isometricamente em Rn+1. No entanto, de acordo com um resultado devido a
Nash [N], para k suficientemente grande, mais precisamente k = n2(n+1)(3n+11), existe
um mergulho isometrico f : Mn → Rk.
Em [V], Vilms obteve uma condicao necessaria e suficiente para a existencia de
uma imersao isometrica local de (Mn, 〈, 〉) em Rn+1. Condicoes necessarias e suficientes
para uma variedade Riemanniana ser imersa minimamente como uma hipersuperfıcie num
espaco de curvatura constante foram obtidas por do Carmo e Dajczer em [dCD].
Consideremos o seguinte problema: Sejam (Mn, 〈, 〉) uma variedade Riemanniana
e f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 uma imersao isometrica. Dada outra metrica Riemanniana 〈, 〉em Mn queremos encontrar condicoes para que (Mn, 〈, 〉) admita uma imersao isometrica
f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1. Se tal f existir, como podemos descreve-la em termos de f?
Para metricas obtidas a partir de tensores de Codazzi, uma solucao para esse pro-
blema foi dada por Hasanis e Vlachos em [HV]. Para resolver o problema, eles utilizaram
alguns resultados de Dajczer e Tojeiro [DT1], relacionados com transformacoes de Com-
bescure de uma imersao isometrica f : Mn → Rn+ps no espaco Euclidiano munido com
uma metrica pseudo-Riemanniana de assinatura s, e com tensores de Codazzi que comu-
tam com a segunda forma fundamental dessa imersao. Esses resultados tambem foram
utilizados para estabelecer uma correspondencia entre tais tensores e transformacoes de
Ribaucour de uma imersao isometrica.
Para superfıcies em R3 as transformacoes de Ribaucour foram extensivamente es-
tudadas, entre outros, por Bianchi [B1] e Eisenhart [E]. O caso de hipersuperfıcies ho-
lonomicas, ou seja, hipersuperfıcies que admitem uma parametrizacao global por linhas
de curvatura, foi tambem considerado em [B2]. Este caso foi estendido em [DT2] para
subvariedades holonomicas de formas espaciais pseudo-Riemannianas com dimensao e co-
dimensao arbitrarias.
As transformacoes de Ribaucour possuem varias aplicacoes. Por exemplo, elas po-
dem ser utilizadas como um metodo para obtencao de superfıcies de Weingarten lineares
1
2
contidas em R3 (ver [Te]), podem ser aplicadas no estudo de subvariedades Lagrangia-
nas com curvatura seccional constante c de formas espaciais complexas com curvatura
holomorfa 4c (ver [DT3] e [To]) e tambem sao utilizadas no estudo de redutibilidade de
subvariedades de Dupin [DFT].
Neste trabalho, apresentamos a correspondencia entre as transformacoes de Ribau-
cour de uma imersao isometrica e tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma
fundamental da imersao.
Esta dissertacao e baseada nos artigos Commuting Codazzi tensors and the Ribau-
cour transformation for submanifolds de Dajczer e Tojeiro, [DT1] e Hypersurfaces and
Codazzi tensors de Hasanis e Vlachos, [HV]. Ela esta dividida em 4 capıtulos e apresenta
alguns resultados e aplicacoes relacionados com tensores de Codazzi em subvariedades e
as transformacoes de Ribaucour e de Combescure.
No Capıtulo 1, citamos algumas definicoes, notacoes e resultados basicos que serao
utilizados nos capıtulos subsequentes.
No Capıtulo 2, trabalhamos com imersoes isometricas no espaco ambiente Rn+ps e
apresentamos alguns resultados relacionados com tensores de Codazzi, entre os quais des-
tacamos os dois a seguir. A Proposicao 2.2, enunciada abaixo, mostra que qualquer tensor
de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de uma imersao isometrica
f : Mn → Rn+ps da origem a uma transformacao de Combescure de f .
Proposicao 2.2. Se f : Mn → Rn+ps e uma imersao isometrica e F e uma
transformacao de Combescure de f determinada por um tensor Q, entao Q e um tensor
de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f . Reciprocamente, se
Mn e simplesmente conexa, entao qualquer tensor Q que comuta com a segunda forma
fundamental de f da origem a uma transformacao de Combescure de f .
Outro resultado de destaque, a Proposicao 2.4, enunciada abaixo, mostra que po-
demos determinar o tensor de Codazzi e a correspondente transformacao de Combescure
de f atraves de uma funcao diferenciavel ϕ ∈ C∞(M) e um campo normal β ∈ T⊥f M
satisfazendo determinadas condicoes.
Proposicao 2.4. Seja f : Mn → Rn+ps uma imersao isometrica de uma variedade
Riemanniana simplesmente conexa. Entao qualquer tensor Q de Codazzi que comuta com
a segunda forma fundamental de f e a correspondente transformacao de Combescure Fde f podem ser dados como
Q = Qϕ,β = Hessϕ− Afβ e F = Cϕ,β(f) = df(grad ϕ) + β, (1)
onde ϕ ∈ C∞(M) e β ∈ T⊥f M satisfazem
αf (grad ϕ, X) +∇⊥Xβ = 0, (2)
3
para qualquer vetor tangente X. Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2), sejam Q
e F definidos por (1). Entao Q e um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma
fundamental de f e F e a transformacao de Combescure de f .
No Capıtulo 3, trabalhamos com hipersuperfıcies imersas no espaco Euclidiano, com
a metrica Riemanniana usual canonica. Esse capıtulo e dedicado ao resultado, enunciado
a seguir, devido a Hasanis e Vlachos [HV], que responde o problema, citado anteriormente,
restrito a metricas obtidas a partir de tensores de Codazzi.
Teorema. Sejam f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 uma imersao isometrica de uma variedade
Riemanniana simplesmente conexa (Mn, 〈, 〉) com operador de Weingarten A e Q um
tensor de Codazzi invertıvel. Seja 〈, 〉 uma nova metrica em Mn dada por 〈X, Y 〉 =
〈Q2X, Y 〉, para quaisquer campos tangentes X, Y . Suponha que o posto de A e maior ou
igual a 3. Entao:
i) Existe uma imersao isometrica f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 se, e somente se Q comuta
com A. Alem disso, se tal f existir, f e rıgida e o seu operador de Weingarten e dado
por A = ±Q−1 ◦ A.
ii) Se Q comuta com A, entao existem funcoes diferenciaveis g, h : Mn → R tais
que A(grad g) = −gradh e QX = ∇Xgrad g − hAX onde X e um campo tangente
arbitrario e ∇ e a conexao Riemanniana de (Mn, 〈, 〉). Alem disso, qualquer imersao
isometrica f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 e dada por f := τ ◦ F , onde τ e um movimento rıgido e
F = df(grad g) + hN .
Ainda no Capıtulo 3, apresentamos dois exemplos de aplicacoes desse resultado.
No Capıtulo 4, apresentamos o teorema, enunciado a seguir, que estabelece uma cor-
respondencia entre transformacoes de Ribaucour de uma imersao isometrica f : Mn → Rn+ps
e tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma fundamental dessa imersao.
Teorema. Seja f : Mn → Rn+ps uma imersao isometrica de uma variedade Rie-
manniana simplesmente conexa e seja f : Mn → Rn+ps uma transformacao de Ribaucour
de f com isometria P, tensor D e campo diferenciavel δ. Entao, existem uma funcao
ϕ ∈ C∞(M) e um campo normal β ∈ T⊥f M satisfazendo (2) tais que
f = f − 2νϕF , (3)
onde F e a transformacao de Combescure de f e ν−1 = 〈F ,F〉 := ϑ. Alem disso,
P = I − 2νFF∗, D = I − 2νϕQϕ,β e δ = −ϕ−1F . (4)
Reciprocamente, dados ϕ ∈ C∞(M) e β ∈ T⊥f M satisfazendo (2) tais que ϕϑ 6= 0 em
cada ponto q ∈ Mn, sejam P , D e δ dados por (4) em um subconjunto aberto U ⊂ Mn
onde D e invertıvel. Entao, f : U → Rn+ps dada por (3) e a transformacao de Ribaucour
de f |U com isometria P, tensor D e um campo diferenciavel δ.
4
Aplicando esse resultado, obtemos as transformacoes de Ribaucour determinadas
pelos tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma fundamental de f e sao
determinados por combinacoes lineares do tensor identidade e do operador de Weingarten
de f na direcao de campos normais paralelos.
Capıtulo 1
Preliminares
Neste capıtulo, dividido em quatro secoes, apresentamos definicoes, notacoes e re-
sultados que serao utilizados no decorrer deste trabalho. Na Secao 1, introduzimos as
definicoes de operador gradiente, hessiano, fibrado vetorial e conceitos basicos de Geome-
tria Riemanniana. Na Secao 2, apresentamos a definicao da segunda forma fundamental
de uma imersao isometrica e as equacoes de Gauss, Codazzi e Ricci. Na Secao 3, citamos
resultados classicos relacionados com hipersuperfıcies tais como o Teorema de Beez-Killing
e o Teorema Fundamental das Hipersuperfıcies. Terminamos este capıtulo com a Secao
4, onde introduzimos o conceito de tensores em variedades Riemannianas.
1.1 Conceitos basicos
Sejam Mn uma variedade Riemanniana n dimensional, X (M) o conjunto dos campos
de vetores de classe C∞ em M e D(M) o anel das funcoes reais de classe C∞ definidas em
M . Uma conexao Riemanniana ∇ de M e uma aplicacao ∇ : X (M)× X (M) → X (M)
que se indica por (X, Y ) → ∇XY e satisfaz as seguintes condicoes:
i)∇fX+gY Z = f∇XZ + g∇Y Z
ii)∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ
iii)∇X(fY ) = f∇XY + X(f)Y
iv)X〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+〈Y,∇XZ〉 (compatibilidade com a metrica Riemanniana)
v) ∇XY −∇Y X = [X, Y ] (simetria),
onde X, Y, Z ∈ X (M) e f, g ∈ D(M).
O operador curvatura R de M e uma correspondencia que associa a cada par X, Y ∈X (M) uma aplicacao R(X, Y ) : X (M) → X (M) dada por
R(X, Y )Z = ∇X∇Y Z −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z,
onde Z ∈ X (M).
5
6
Verifica-se que R e bilinear em X (M)×X (M), isto e,
R(fX1 + gX2, Y1) = fR(X1, Y1) + gR(X2, Y1)
e
R(X1, fY1 + gY2) = fR(X1, Y1) + gR(X1, Y2),
f, g ∈ D(M) e X1, X2, Y1, Y2 ∈ X (M) e para todo par X, Y ∈ X (M) o operador curvatura
R(X, Y ) : X (M) → X (M) e linear, isto e,
R(X, Y )(fZ + gW ) = fR(X, Y )Z + gR(X, Y )W,
f ∈ D(M), Z,W ∈ X (M).
Sejam f ∈ D(M) e p ∈ M ; definimos o gradiente de f como o campo vetorial grad f
em M definido por
〈gradf(p), v〉 = dfp(v), ∀v ∈ TpM,
ou ainda,
〈gradf, X〉 = df(X) = X(f), ∀X ∈ X (M).
Decorre imediatamente da definicao que
i) grad(f + g) = grad f + grad g, ∀f, g ∈ D(M)
ii) grad(f · g) = fgrad g + g grad f, ∀f, g ∈ D(M)
iii) grad(f ◦ g) = g′(f) · grad f, ∀f ∈ D(M) e g : R → R de classe Ck, k ≥ 1.
Sejam f ∈ D(M) e ∇ a conexao Riemanniana de M . Definimos o hessiano de f
como a aplicacao bilinear simetrica
Hess f : TM × TM → R
dada por
(Hess f)(X, Y ) = 〈∇Xgrad f, Y 〉 ∀X, Y ∈ TM.
Sejam E e M variedades diferenciaveis, um fibrado vetorial de posto k e uma
aplicacao diferenciavel π : E → M tal que, para cada ponto p ∈ M ,
i) π−1(p) e um espaco vetorial real de dimensao k
ii) existe uma vizinhanca aberta U de p em M e um difeomorfismo ϕ : π−1(U) → U × Rk
tal que sua restricao a π−1(q) e um isomorfismo em {q} × Rk para todo q ∈ U .
Um exemplo bastante conhecido de fibrado vetorial e o fibrado tangente π : TM → M
de uma variedade M , onde TM = {(p, v); p ∈ M, v ∈ TpM} e π(p, v) = p.
E comum, por abuso de linguagem, utilizarmos a notacao TM , quando estamos nos
referindo ao fibrado tangente de uma variedade M , e nao a aplicacao π : TM → M.
7
Dado um aberto U ⊂ M , uma secao local de um fibrado vetorial e uma aplicacao
diferenciavel ξ : U → E tal que π ◦ ξ = IdU , ou seja, se U = M , ξ : M → E e uma secao
global ou simplesmente, uma secao do fibrado.
No caso particular em que E = TM , uma secao do fibrado tangente e um campo
diferenciavel na variedade M . Neste caso, utilizamos tambem a notacao X ∈ TM para
um campo tangente X : M → TM .
Sejam W um espaco vetorial de dimensao n e 〈, 〉 : W ×W → R um produto interno
nao degenerado. A assinatura de 〈, 〉 e a dimensao maxima de um subespaco de W onde
〈, 〉 e definido negativo. Dessa forma, o espaco vetorial Rn+m com o produto interno nao
degenerado 〈, 〉 : Rn+m × Rn+m → R definido por
〈(x1, ..., xn+m), (y1, ..., yn+m)〉 = −s∑
i=1
xiyi +n+m∑
j=s+1
xjyj
tem assinatura s e o denotaremos por Rn+ms .
Uma metrica pseudo-Riemanniana em uma variedade diferenciavel M e a escolha,
para cada ponto p ∈ M de uma forma bilinear simetrica nao degenerada 〈, 〉 em TpM (nao
necessariamente definida positiva), que varia diferenciavelmente com p.
1.2 Imersoes Isometricas
Seja f : Mn → Mn+m
uma imersao de uma variedade diferenciavel M de dimensao
n em uma variedade Riemanniana M de dimensao n + m (se m = 1, f(M) e denominada
hipersuperfıcie de M). A metrica Riemanniana de M induz, de maneira natural, uma
metrica Riemanniana em M , dada por 〈v1, v2〉 = 〈dfp(v1), dfp(v2)〉, com v1, v2 ∈ TpM.
Nesta situacao, f passa a ser uma imersao isometrica de M em M .
Considerando uma imersao isometrica f : Mn → Mn+m
temos que para todo ponto
p ∈ M existe uma vizinhanca U ⊂ M de p tal que a restricao de f a U e um mergulho em
f(U). Portanto podemos identificar U com f(U) e assim considerar o espaco tangente de
M em p como um subespaco do espaco tangente de M em p. Podemos entao decompor
Tf(p)M em Tf(p)M = dfp(TpM)⊕ (TpM)⊥ onde (TpM)⊥ e o complemento ortogonal de
dfp(TpM) em Tf(p)M , ou equivalentemente, TpM = TpM ⊕ TpM⊥, onde identificamos
TpM com Tf(p)M e TpM com dfp(TpM). Desse modo, cada vetor v ∈ TpM pode ser
escrito como
v = v> + v⊥,
onde v> ∈ TpM e v⊥ ∈ TpM⊥. Em termos de fibrado, podemos tambem dizer que o
fibrado induzido pela imersao f ,
f ∗(TM) = {(p, v); p ∈ M, v ∈ TpM}
8
se decompoe na soma de Whitney ortogonal
f ∗(TM) = TM ⊕ TM⊥,
onde TM⊥ = {(p, v); p ∈ M, v ∈ TpM⊥} e o fibrado ortogonal da imersao f . Desse
modo, cada secao de f ∗(TM) se decompoe em uma soma de um campo tangente e um
campo normal em M .
Assim, se Z e uma secao do fibrado induzido f ∗(TM) podemos escrever Z =
df(ZT ) + β, onde df(ZT ) e β sao, respectivamente, as componentes tangente e normal
de Z, ZT e um campo tangente em Mn e β e um campo normal em Mn.
Se ∇ e a conexao Riemanniana de M , entao a conexao Riemanniana ∇ de M
e dada por ∇XY = (∇df(X)df(Y ))> = df(∇XY ) onde X e Y sao campos locais de
vetores tangentes em M , df(X), df(Y ) extensoes locais a M e (∇df(X)df(Y ))> denota
a componente tangente de ∇df(X)df(Y ). Por simplicidade, escreveremos ∇Xdf(Y ) em vez
de ∇df(X)df(Y ).
Dado um ponto p ∈ M , a segunda forma fundamental de f em p e a aplicacao
bilinear e simetrica
αp : TpM × TpM → (TpM)⊥
dada por
αp(x, y) = α(X, Y )(p) = (∇Xdf(Y ))(p)− (df(∇XY ))(p),
onde X, Y sao campos locais em M e tangentes em M com X(p) = x e Y (p) = y.
A igualdade
∇Xdf(Y ) = df(∇XY ) + α(X, Y )
e chamada formula de Gauss.
Dado η ∈ (TpM)⊥, podemos associar a aplicacao bilinear αp a aplicacao linear auto-
adjunta Aη : TpM → TpM dada por 〈Aη(x), y〉 = 〈α(x, y), η〉, ∀x, y ∈ TpM.
Sejam p ∈ M, x, y ∈ TpM, η ∈ (TpM)⊥, N a extensao local de η e X, Y extensoes
locais de x, y, respectivamente, tangentes a M . Entao 〈N, Y 〉 = 0 e portanto
〈Aη(x), y〉 = 〈αp(x, y), η〉 = 〈∇Xdf(Y )− df(∇XY ), N〉(p)
= 〈∇Xdf(Y ), N〉(p) = −〈Y,∇XN〉(p)
= −〈∇XN, y〉,
∀y ∈ TpM.
Assim, Aη(x) = −(∇XN)>, ou seja, df(AX) = −(∇XN)>, onde (∇XN)> e a
componente tangente de ∇XN .
Denotamos a componente normal de ∇XN por ∇⊥XN , o que da origem a conexao
normal ∇⊥ : TM × TM⊥ → TM⊥ da imersao f . Verifica-se facilmente que ∇⊥ possui
9
as propriedades usuais de uma conexao. A partir da definicao de ∇⊥, obtemos a formula
de Weingarten
∇XN = −df(ANX) +∇⊥XN.
Chamaremos a aplicacao linear auto-adjunta A associada a aplicacao bilinear αp de
operador de Weingarten.
Observe que, se M = Rn+1 e N e um campo de vetores normais unitarios temos que
∇XN = (∇XN)>. Neste caso, a formula de Weingarten reduz-se a ∇XN = −df(AX).
Alem disso, temos que α(X, Y ) = 〈AX, Y 〉N e portanto podemos escrever a formula de
Gauss como
∇Xdf(Y ) = df(∇XY ) + 〈AX, Y 〉N.
Quando M = Rn+1 podemos dar uma interpretacao geometrica interessante de Aη.
Sejam Sn = {x ∈ Rn+1; ‖x‖ = 1} a esfera unitaria de Rn+1 e N : Mn → Sn a aplicacao
normal de Gauss. Dado p ∈ M , como TpM e TN(p)Sn sao paralelos, podemos identifica-los
e vemos que
dNp(x) = (N ◦ c)′(0) = ∇XN = (∇XN)> = −Aη(x),
onde c : (−ε, ε) → M e uma curva diferenciavel com c(0) = p e c′(0) = x. Segue-se que
Aη = −dN.
Sejam R e R os tensores de curvatura de M e M , respectivamente. Estes tensores
de curvatura estao relacionados com a segunda forma fundamental atraves da equacao de
Gauss,
〈R(X, Y )Z,W 〉 = 〈R(X, Y )Z,W 〉+ 〈α(X, W ), α(Y, Z)〉 − 〈α(X, Z), α(Y, W )〉.
A curvatura R de M tambem esta relacionada com a derivada covariante de α
atraves da equacao de Codazzi,
R(X, Y )Z = (∇Xα)(Y, Z)− (∇Y α)(X, Z).
Observe que se M = Rn+1, entao R(X, Y )Z = 0, para todo X, Y, Z ∈ X (Rn+1).
Alem disso, considerando o campo N de vetores unitarios normais a M temos que
α(X,Y ) = 〈AX, Y 〉N e portanto as equacoes de Gauss e Codazzi sao reduzidas, res-
pectivamente, a
R(X, Y )Z = 〈AY,Z〉AX − 〈AX, Z〉AY
e
(∇Y A)X = (∇XA)Y,
para quaisquer campos de vetores tangentes X,Y, Z.
Denotaremos por R⊥ o operador curvatura normal da imersao definido por
R⊥(X, Y )ξ = ∇⊥X∇⊥
Y ξ −∇⊥Y∇⊥
Xξ −∇⊥[X,Y ]ξ,
10
para todo X, Y ∈ TM e ξ ∈ TM⊥.
Segue das formulas de Gauss e Weingarten que a componente normal de R(X, Y )ξ
satisfaz a equacao de Ricci dada por
(R(X, Y )ξ)⊥ = R⊥(X, Y )ξ + α(AξX, Y )− α(X, AξY ).
Um calculo simples mostra que tambem podemos escrever a equacao de Ricci como
〈R(X, Y )ξ, η〉 = 〈R⊥(X, Y )ξ, η〉 − 〈[Aξ, Aη]X, Y 〉,
para todo X, Y ∈ TM , ξ, η ∈ TM⊥ e [Aξ, Aη] = Aξ ◦ Aη − Aη ◦ Aξ.
1.3 Alguns resultados classicos para hipersuperfıcies
Dizemos que uma imersao isometrica f : Mn → Rn+m e rıgida se, dada outra
imersao isometrica g : Mn → Rn+m, existe uma isometria τ : Rn+m → Rn+m, tal que
g = τ ◦ f.
Um resultado classico relacionado com rigidez isometrica e o Teorema de Beez-
Killing, enunciado abaixo, que sera utilizado no capıtulo 3.
Teorema 1.1. (Beez-Killing) Seja f : Mn → Rn+1 uma imersao isometrica com operador
de Weingarten A. Se o posto de A e maior ou igual a 3 em cada ponto p ∈ M , entao f
e rıgida.
Como vimos na secao anterior, dada uma imersao isometrica f : Mn → Rn+1, temos
que seu operador de Weingarten A satisfaz as equacoes de Gauss e Codazzi.
Reciprocamente, o Teorema Fundamental das Hipersuperfıcies afirma que se existe
um tensor auto-adjunto A : TpM → TpM em uma variedade Riemanniana simplesmente
conexa (Mn, 〈, 〉), p ∈ M , que satisfaz as equacoes de Gauss e Codazzi, entao existe uma
imersao isometrica f : Mn → Rn+1 com operador de Weingarten A.
Portanto, dada uma variedade Riemanniana simplesmente conexa Mn, o Teorema
Fundamental das Hipersuperfıcies fornece uma maneira de produzir uma imersao isometrica
local em Rn+1, mas, em geral, e muito difıcil resolver o problema de encontrar um ten-
sor auto-adjunto A que satisfaca a equacao de Gauss e o problema diferencial dado pela
equacao de Codazzi.
Um resultado de Allendoerfer [A] estabelece que qualquer solucao da equacao de
Gauss com o posto maior ou igual a 4 em cada ponto p ∈ M , tambem sera solucao da
equacao de Codazzi. Entao, pelo Teorema de Beez-Killing, a imersao isometrica obtida
desta maneira e rıgida.
11
1.4 Tensores em variedades Riemannianas
A ideia de tensor e uma generalizacao natural da ideia de campos de vetores e,
analogamente aos campos de vetores, os tensores podem ser derivados covariantemente.
Observe que X (M) tem uma estrutura linear quando tomamos como ”escalares”os
elementos de D(M).
Um tensor T de ordem r em uma variedade Riemanniana M e uma aplicacao mul-
tilinear T : X (M)× ...×X (M)︸ ︷︷ ︸r fatores
→ X (M).
Isto significa que, dados Y1, ..., Yr ∈ X (M), T (Y1, ..., Yr) e uma aplicacao dife-
renciavel em M e que T e linear em cada argumento, isto e,
T (Y1, ..., fX + gY, ..., Yr) = f T (Y1, ..., X, ..., Yr) + g T (Y1, ..., Y, ..., Yr),
para todo X, Y ∈ X (M), f, g ∈ D(M).
Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇T de T e um tensor de
ordem (r + 1) dado por
(∇T )(Y1, ..., Yr, Z) = (∇ZT )(Y1, ..., Yr)
= ∇Z(T (Y1, ..., Yr))− T (∇ZY, ..., Yr)− ...− T (Y1, ..., Yr−1,∇ZYr).
Um tensor T e um objeto pontual em um sentido que passamos a explicar. Fixe
um ponto p ∈ M e seja U uma vizinhanca de p em M onde e possıvel definir campos
E1, ..., En ∈ X (Mn), de modo que em cada q ∈ U , os vetores {Ei(q)}, i ∈ {1, ..., n}formam uma base de TqM ; diremos, neste caso, que {Ei} e um referencial movel em U .
Sejam Y1 =∑i1
yi1Ei1 , ..., Yr =∑ir
yirEir com i1, ..., ir ∈ {1, ..., n} as restricoes a
U dos campos Y1, ..., Yr, expressas no referencial movel {Ei}.Por linearidade, temos
T (Y1, ..., Yr) =∑
i1,...,ir
yi1 ...yir T (Ei1 , ..., Eir).
As aplicacoes T (Ei1 , ..., Eir) = Ti1,...,ir em U sao chamadas as componentes de T no refe-
rencial {Ei}.Da expressao acima, decorre que o valor de T (Y1, ..., Yr) em um ponto p ∈ M depende
apenas dos valores em p das componentes de T e dos valores de Y1, ..., Yr em p. E neste
sentido que dizemos que T e pontual.
Capıtulo 2
Tensores de Codazzi
Neste capıtulo, apresentamos alguns resultados relacionados com tensores de Co-
dazzi, que serao utilizados nos capıtulos posteriores.
Um tensor de Codazzi Q e um tensor auto-adjunto do tipo 1 em uma variedade
Riemanniana Mn que satisfaz a equacao diferencial (∇XQ)Y = (∇Y Q)X, para todo
X,Y ∈ TM .
Denotaremos por S(M) e C(M), respectivamente, os espacos vetoriais formados
pelos tensores em uma variedade Riemanniana Mn e pelos tensores de Codazzi em Mn.
Seja f : Mn → Rn+ps uma imersao isometrica, onde Rn+p
s e o espaco Euclidiano
de dimensao n + p com uma metrica pseudo-Rimanniana de assinatura s. Dizemos que
um tensor Q ∈ S(M) pertence ao subespaco S(f) de tensores que comutam com a se-
gunda forma fundamental αf de f , se αf (X, QY ) = αf (QX, Y ), para quaisquer campos
tangentes X e Y .
Chamaremos de C(f) o subespaco vetorial de S(M) dado por C(f) = C(M)∩ S(f).
Observe que o operador de Weingarten de uma imersao isometrica no espaco Eucli-
diano na direcao de campos de vetores normais paralelos e um tensor de Codazzi. Em
particular, o operador de Weingarten A de uma imersao isometrica f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1
e um tensor de Codazzi.
Seja (Mn, 〈, 〉) uma variedade Riemanniana com metrica 〈, 〉, com conexao Rie-
manniana ∇ e tensor curvatura R. Considere uma nova metrica 〈, 〉 em Mn dada por
〈X, Y 〉 = 〈Q2X, Y 〉, onde Q e um tensor de Codazzi invertıvel. Sejam R o tensor cur-
vatura e ∇ a conexao Riemanniana de (Mn, 〈, 〉). A proposicao seguinte estabelece uma
relacao entre ∇ e ∇ e uma relacao entre R e R.
Proposicao 2.1. Com a notacao acima, temos que as conexoes ∇ e ∇ estao relacionadas
por
∇Y X = Q−1(∇Y (QX))
12
13
e os tensores curvatura R e R estao relacionados por
R(X, Y )Z = Q−1(R(X, Y )QZ).
Prova. Sabemos que a metrica 〈, 〉 esta relacionada com a conexao Riemanniana
∇ atraves da expressao
2˜〈∇Y X, Z〉 = X 〈Y, Z〉+ Y 〈X, Z〉 − Z 〈X, Y 〉 − ˜〈[X, Z], Y 〉 − ˜〈[Y, Z], X〉 − ˜〈[X, Y ], Z〉.
Como Q e um tensor de Codazzi, temos
0 = (∇XQ)Y − (∇Y Q)X = ∇X(QY )−∇Y (QX)−Q[X, Y ],
para quaisquer campos tangentes X, Y . Entao,
2〈Q2∇Y X, Z〉 = X〈QY, QZ〉+ Y 〈QX, QZ〉 − Z〈QX, QY 〉
−〈Q[X, Z], QY 〉 − 〈Q[Y, Z], QX〉 − 〈Q[X, Y ], QZ〉
= 〈∇X(QY ), QZ〉+ 〈QY,∇X(QZ)〉+ 〈∇Y (QX), QZ〉
+〈QX,∇Y (QZ)〉 − 〈∇Z(QX), QY 〉 − 〈QX,∇Z(QY )〉
−〈Q[X,Z], QY 〉 − 〈Q[Y, Z], QX〉 − 〈Q[X, Y ], QZ〉
= 〈∇Y (QZ)−∇Z(QY )−Q[Y, Z]︸ ︷︷ ︸= 0
, QX〉
+〈∇X(QZ)−∇Z(QX)−Q[X, Z]︸ ︷︷ ︸=0
, QY 〉
+〈∇X(QY ) +∇Y (QX)−Q[X, Y ], QZ〉
= 〈2∇Y (QX), QZ〉
= 2〈Q∇Y (QX), Z〉,
para qualquer campo tangente Z. Portanto
Q2∇Y X = Q∇Y (QX),
isto e,
∇Y X = Q−1(∇Y (QX)).
Consequentemente, temos que
R(X, Y )Z = ∇X∇Y Z − ∇Y ∇XZ − ∇[X,Y ]Z
= ∇X(Q−1(∇Y (QZ))− ∇Y (Q−1(∇X(QZ))−Q−1(∇[X,Y ](QZ))
= Q−1(∇X∇Y (QZ))−Q−1(∇Y∇X(QZ))−Q−1(∇[X,Y ](QZ))
= Q−1(∇X∇Y (QZ)−∇Y∇X(QZ)−∇[X,Y ](QZ))
= Q−1(R(X, Y )QZ),
para quaisquer campos tangentes X, Y, Z.
14
2
A seguir, definimos a transformacao de Combescure de uma imersao isometrica e apre-
sentamos alguns resultados relacionados com ela.
Dizemos que uma aplicacao F : Mn → Rn+ps e uma transformacao de Combescure
determinada por Q ∈ S(M) de uma imersao isometrica f : Mn → Rn+ps se dF = df ◦Q.
A proposicao seguinte mostra que, neste caso, Q e um tensor de Codazzi que comuta com
a segunda forma fundamental de f .
Proposicao 2.2. Se f : Mn → Rn+ps e uma imersao isometrica e F e uma transformacao
de Combescure de f determinada por Q ∈ S(M), entao Q ∈ C(f). Reciprocamente, se
Mn e simplesmente conexa, entao qualquer Q ∈ C(f) da origem a uma transformacao de
Combescure de f .
Prova. Considere a 1-forma w = df ◦ Q em Mn com valores em Rn+ps . Seja ∇ a
conexao pseudo-Riemanniana de Rn+ps .
Utilizando a formula de Gauss, temos que
dw(X, Y ) = X(w(Y ))− Y (w(X))− w([X, Y ])
= X(df(QY ))− Y (df(QX))− df(Q[X, Y ])
= ∇Xdf(QY )−∇Y df(QX)− df(Q[X, Y ])
= df(∇X(QY )) + αf (X, QY )− df(∇Y (QX))− αf (Y,QX)− df(Q[X,Y ])
= df(∇X(QY )−∇Y (QX)−Q[X, Y ]) + αf (X, QY )− αf (Y,QX).
Supondo que F : Mn → Rn+ps e uma transformacao de Combescure de f determi-
nada por Q ∈ S(M), temos que dF = df ◦ Q. Portanto w = dF , isto e, w e exata, logo
w e fechada. Assim,
αf (X, QY ) = αf (Y, QX)
e
0 = ∇X(QY )−∇Y (QX)−Q[X,Y ] = (∇XQ)Y − (∇Y Q)X,
ou seja, Q ∈ C(f).
Reciprocamente, supondo que Mn e simplesmente conexa e Q ∈ C(f), temos que
dw = 0, isto e, w e fechada. Como Mn e simplesmente conexa, temos que w e exata.
Dessa forma, existe uma funcao F : Mn → Rn+ps tal que dF = w = df ◦Q, ou seja, existe
uma transformacao de Combescure de f determinada por Q.
2
Classicamente, duas superfıcies em R3 estao relacionadas por uma transformacao
de Combescure se existe um difeomorfismo entre elas, preservando as linhas de curvatura,
15
tal que os vetores normais nos pontos correspondentes sao paralelos [B1]. Observe que
se F : Mn → Rn+ps e uma transformacao de Combescure de uma imersao isometrica
f : Mn → Rn+ps determinada por um tensor invertıvel Q ∈ S(M), entao F e uma imersao
com a mesma aplicacao de Gauss na variedade Grassmaniana dos n-planos tipo-espaco
nao-orientados em Rn+ps . Alem disso, no caso de superfıcies, a exigencia de que o tensor
Q seja invertıvel implica que as linhas de curvatura sao preservadas, como mostra a
proposicao seguinte. Denotaremos por Afδ : TM → TM o operador de Weingarten de f
na direcao δ ∈ T⊥f M .
Proposicao 2.3. Seja f : Mn → Rn+ps uma imersao isometrica e seja F : Mn → Rn+p
s a
transformacao de Combescure de f determinada pelo tensor invertıvel Q ∈ S(M). Entao,
as segundas formas fundamentais de f e F estao relacionadas por
αF(X, Y ) = αf (QX, Y ),
ou equivalentemente, AFξ = Af
ξ ◦ Q−1 para todo ξ ∈ T⊥f M . Em particular, existe um
referencial ortonormal de direcoes principais para AFξ e Af
ξ .
Prova. Sejam ∇ a conexao usual em Rn+ps e ∇ a conexao de Levi-Civita da metrica
induzida por F , dada por,
〈X, Y 〉 = 〈dF(X), dF(Y )〉 = 〈df ◦Q(X), df ◦Q(Y )〉 = 〈QX, QY 〉 = 〈Q2X, Y 〉,
para quaisquer campos tangentes X e Y .
Pela Proposicao 2.2, temos que Q ∈ C(f), e portanto,
df(∇X(QY )) + αf (QX, Y ) = ∇Xdf(QY ) = ∇XdF(Y ) = dF(∇XY ) + αF(X,Y ).
Utilizando a Proposicao 2.1, observe que
dF(∇XY ) = df(Q∇XY ) = df(Q ◦Q−1(∇X(QY )) = df(∇X(QY )).
Logo αF(X, Y ) = αf (QX, Y ) para quaisquer campos tangentes X e Y . Por sua vez,
〈Q2 ◦ AFξ (X), Y 〉 = ˜〈AF
ξ X, Y 〉 = 〈αF(X,Y ), ξ〉
= 〈αf (QX, Y ), ξ〉 = 〈Afξ (QX), Y 〉
= 〈Q ◦ Afξ (X), Y 〉,
para todo ξ ∈ T⊥f M . Consequentemente, AF
ξ = Afξ ◦Q−1.
2
16
De acordo com [F] e [S], qualquer tensor de Codazzi em um subconjunto aberto e
simplesmente conexo U ⊂ Rn+p pode ser dado como Q = Hess ϕ, para alguma funcao
ϕ ∈ D(U). A proposicao seguinte estende esse resultado, mostrando que qualquer tensor
de Codazzi Q ∈ C(f), onde f : Mn → Rn+ps e uma imersao isometrica de uma variedade
Riemanniana simplesmente conexa pode ser dado como Q = Hess ϕ − Afβ, para alguma
funcao ϕ ∈ D(f) e algum β ∈ T⊥f M .
Proposicao 2.4. Seja f : Mn → Rn+ps uma imersao isometrica de uma variedade Ri-
emanniana simplesmente conexa. Entao qualquer tensor Q ∈ C(f) e a correspondente
transformacao de Combescure F de f podem ser dados como
Q = Qϕ,β = Hessϕ− Afβ e F = Cϕ,β(f) = df(grad ϕ) + β, (2.1)
onde ϕ ∈ D(M) e β ∈ T⊥f M satisfazem
αf (grad ϕ, X) +∇⊥Xβ = 0, (2.2)
para qualquer vetor tangente X.
Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2.2), sejam Q e F definidos por (2.1).
Entao Q ∈ C(f) e F e a transformacao de Combescure de f .
Prova. Podemos identificar Tf(q)Rn+ps com Rn+p
s , para todo q ∈ Mn, e portanto
podemos considerar F como uma secao do fibrado induzido f ∗TRn+ps . Decompondo F
em suas componentes tangente e normal podemos escrever F = df(z) + β, onde z ∈ TM
e β ∈ T⊥f M . Entao, utilizando as formulas de Gauss e Weingarten, temos
dF(X) = ∇XF = ∇X(df(z) + β) = df(∇XZ) + αf (X, Z) +∇⊥Xβ − Af
βX.
Uma vez que dF = df ◦Q, obtemos
df(QX −∇XZ) + AfβX = αf (X, Z) +∇⊥
Xβ,
o que implica em
〈QX −∇XZ, Y 〉 = −〈AfβX, Y 〉,
ou seja,
〈∇XZ, Y 〉 = 〈QX, Y 〉+ 〈αf (X, Y ), β〉.
Como Q e auto-adjunto e αf e simetrica, temos que 〈∇XZ, Y 〉 = 〈∇Y Z,X〉. Dessa forma,
existe ϕ ∈ D(M) tal que z = grad ϕ, e por sua vez,
df(QX) = dF(X) = df(Hess ϕ− Afβ)X + αf (grad ϕ, X) +∇⊥
Xβ.
Daı, Q = Qϕ,β = Hess ϕ− Afβ e αf (grad ϕ, X) +∇⊥
Xβ = 0, para todo X ∈ TM.
17
Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2.2), sejam Q e F definidos por (2.1).
Observe que
dF(X) = ∇XF = ∇X(df(grad ϕ) + β)
= df(∇Xgrad ϕ) + αf (grad ϕ, X) +∇⊥Xβ︸ ︷︷ ︸
=0
−AfβX
= df(∇Xgrad ϕ− AfβX)
= df(QX) = (df ◦Q)(X).
Logo, F e uma transformacao de Combescure de f determinada por Q e, pela Proposicao
2.2, temos que Q ∈ C(f).
2
Denotaremos por D(f) o espaco vetorial de todos os pares (ϕ, β) satisfazendo (2.2).
Entao, pela Proposicao 2.4, existe uma aplicacao linear
D(f) → C(f) (2.3)
(ϕ, β) 7→ Qϕ,β
que associa cada (ϕ, β) ∈ D(f) ao tensor Qϕ,β = Hess ϕ− Afβ.
A seguir, apresentamos exemplos basicos de tensores de Codazzi obtidos atraves de
uma funcao ϕ ∈ D(M) e um campo β ∈ T⊥f M dados.
Exemplo 2.5. a) Dados P0 e v ∈ Rn+ps com 〈v, v〉 = ε = ±1, seja ϕ0 = 〈f − P0, v〉 e seja
β0 = v⊥ o campo normal obtido pela projecao de v em T⊥f M em cada ponto q ∈ Mn.
Observe que
〈grad ϕ0, X〉 = X ◦ ϕ0 = 〈df(X), v〉,
o que implica em
〈df(grad ϕ0)− v, df(X)〉 = 0,
ou seja,
〈df(grad ϕ0 − v>), df(X)〉 = 0,
para todo X ∈ TM . Assim, grad ϕ0 = v>. Dessa forma,
αf (grad ϕ0, X) +∇⊥Xv⊥ = 0,
isto e, (ϕ0, β0) ∈ D(f). Alem disso,
Cϕ0,β0(f) = v> + v⊥ = v e Qϕ0,β0 = 0.
18
b) Dados P0 ∈ Rn+ps e b 6= 0, defina ϕ1 = 1
2(〈f−P0, f−P0〉−b) e seja β1 = (f−P0)
⊥
o campo normal obtido pela projecao do vetor posicao f − P0 em T⊥f M em cada ponto
q ∈ Mn. Entao
〈grad ϕ1, X〉 = X ◦ ϕ1 = 〈df(X), f − P0〉,
consequentemente,
〈df(grad ϕ1)− (f − P0), df(X)〉 = 0,
ou equivalentemente,
〈df(grad ϕ1 − (f − P0)>), df(X)〉 = 0,
para todo X ∈ TM . Portanto grad ϕ1 = (f − P0)>. Assim,
αf (grad ϕ1, X) +∇⊥X(f − P0)
⊥ = 0,
isto e, (ϕ1, β1) ∈ D(f). Alem disso,
Cϕ1,β1(f) = (f − P0)> + (f − P0)
⊥ = (f − P0) e Qϕ1,β1 = I.
c) Suponha que f possui uma secao normal paralela nao nula ξ. Sejam ϕ2 = c ∈ Re β2 = −ξ. Entao (ϕ2, β2) ∈ D(f), Cϕ2,β2(f) = −ξ e Qϕ2,β2 = Af
ξ .
O subespaco de D(f) gerado por um dos pares (ϕi, βi) com i ∈ {0, 1, 2} do Exemplo
2.5 sera denotado por D0(f). Assim, a imagem C0(f) ⊂ C(f) de D0(f) pela aplicacao
definida em (2.3) e gerada pelo endomorfismo identidade e pelo operador de Weingarten
na direcao de campos de vetores normais paralelos.
Capıtulo 3
Hipersuperfıcies e tensores de
Codazzi
Neste capıtulo apresentaremos a demonstracao e alguns exemplos de aplicacoes do
teorema enunciado abaixo, que soluciona o problema proposto, restrito a metricas deter-
minadas a partir de tensores de Codazzi invertıveis, citado na introducao deste trabalho.
Teorema 3.1. Sejam f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 uma imersao isometrica de uma variedade
Riemanniana simplesmente conexa (Mn, 〈, 〉) com operador de Weingarten A e Q um
tensor de Codazzi invertıvel. Consideremos em Mn uma nova metrica 〈, 〉, dada por
〈X, Y 〉 = 〈Q2X, Y 〉, para quaisquer campos tangentes X, Y . Suponha que o posto de A e
maior ou igual a 3. Entao:
i) Existe uma imersao isometrica f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 se, e somente se Q comuta
com A. Alem disso, se tal f existir, f e rıgida com operador de Weingarten A = ±Q−1◦A.
ii) Se Q comuta com A, entao existem funcoes diferenciaveis g, h : Mn → R tais
que A(grad g) = −gradh e QX = ∇Xgrad g − hAX onde X e um campo tangente
arbitrario e ∇ e a conexao Riemanniana de (Mn, 〈, 〉). Alem disso, qualquer imersao
isometrica f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 e dada por f = τ ◦ F , onde τ e um movimento rıgido e
F = df(grad g) + hN .
A prova de cada um dos itens (i) e (ii) deste teorema e baseada, respectivamente,
nas Proposicoes 3.2 e 3.4 a seguir.
Proposicao 3.2. Sejam f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 uma imersao isometrica de uma varie-
dade Riemanniana simplesmente conexa (Mn, 〈, 〉) com operador de Weingarten A e Q
um tensor de Codazzi invertıvel. Considere em Mn uma nova metrica 〈, 〉, definida por
〈X, Y 〉 = 〈Q2X, Y 〉, para quaisquer campos tangentes X, Y . Suponha que o posto de A
e maior ou igual a 3. Entao a variedade Riemanniana (Mn, 〈, 〉) admite uma imersao
19
20
isometrica em Rn+1 se, e somente se, Q comuta com A. Se f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 e uma
tal imersao entao f e rıgida, com operador de Weingarten A = ±Q−1 ◦ A.
Prova. Suponha que existe uma imersao isometrica f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 com
operador A.
Pela Proposicao 2.1, temos que R(X,Y )Z = Q−1(R(X, Y )QZ) e portanto a equacao
de Gauss
R(X,Y )Z = ˜〈AY, Z〉AX − ˜〈AX, Z〉AY = 〈Q2 ◦ A(Y ), Z〉AX − 〈Q2 ◦ A(X), Z〉AY
e equivalente a
Q−1(R(X, Y )QZ) = 〈Q2 ◦ A(Y ), Z〉AX − 〈Q2 ◦ A(X), Z〉AY
o que implica em
Q−1(〈AY,QZ〉AX − 〈AX, QZ〉AY ) = 〈Q2 ◦ A(Y ), Z〉AX − 〈Q2 ◦ A(X), Z〉AY.
Compondo os membros da igualdade acima com Q, obtemos
〈AY,QZ〉AX − 〈AX, QZ〉AY = 〈Q2 ◦ A(Y ), Z〉Q ◦ AX − 〈Q2 ◦ A(X), Z〉Q ◦ AY.
Portanto
〈AY,QZ〉AX − 〈AX, QZ〉AY = 〈Q ◦ A(Y ), QZ〉Q ◦ AX − 〈Q ◦ A(X), QZ〉Q ◦ AY,
ou equivalentemente,
Q ◦ A(X) ∧Q ◦ A(Y ) = AX ∧ AY, (3.1)
onde ∧ representa o produto exterior.
Afirmacao 3.3. ker A = ker A.
De fato, seja e1, ..., er uma base ortonormal de (ker A)⊥ com respeito a 〈, 〉 tal que
Aei = kiei, i ∈ {1, ..., r} onde r = dim(ker A)⊥ ≥ 3 e (ker A)⊥ e o complemento ortogo-
nal de ker A. Por (3.1), temos que AX ∧Aei = 0 para qualquer X ∈ ker A e i ∈ {1, ..., r}.Dessa forma, X ∈ ker A e portanto ker A ⊂ ker A.
Por outro lado, seja X ∈ ker A. Entao, por (3.1), Q ◦ A(X) ∧ Q ◦ A(ei) = 0 para
qualquer i ∈ {1, ..., r}. Uma vez que Q ◦ A(ei) 6= 0, ∀ei, obtemos Q ◦ A(X) = ρiQ ◦ A(ei)
para algum ρi, i ∈ {1, ..., r}, ou equivalentemente, A(X−ρiei) = 0. Portanto X−ρiei ∈ker A e consequentemente X − ρiei ∈ ker A o que implica em AX = ρiAei i ∈ {1, ..., r}.
21
Como X ∈ ker A temos que ter ρi = 0 para todo i ∈ {1, ..., r}. Logo, Q ◦ A(X) = 0 e
X ∈ ker A, o que prova a Afirmacao 3.3.
Seja X ∈ (ker A)⊥ e suponha que Q ◦ A(X) e AX sao linearmente independentes.
Como dim(ker A)⊥ ≥ 3, existe Y ∈ (ker A)⊥ tal que Q ◦ A(X), AX e AY sao linearmente
independentes. Entao, por (3.1) obtemos
Q ◦ A(X) ∧Q ◦ A(X) ∧Q ◦ A(Y ) = Q ◦ A(X) ∧ AX ∧ AY 6= 0
o que e uma contradicao ja que Q ◦ A(X) ∧Q ◦ A(X) = 0.
Logo, Q ◦ A(X) e AX sao linearmente dependentes para qualquer X ∈ (ker A)⊥ e
consequentemente Q ◦ A(X) = a(X)AX.
Escolhendo uma base arbitraria X1, ..., Xr de (ker A)⊥, temos que Q ◦ A(Xi) =
a(Xi)AXi, para todo i ∈ {1, ..., r}. Como Xi + Xj ∈ (ker A)⊥, entao Q ◦ A(Xi + Xj) =
a(Xi + Xj)A(Xi + Xj), para todo i e j ∈ {1, ..., r} e consequentemente
0 = Q ◦ A(Xi + Xj)−Q ◦ A(Xi)−Q ◦ A(Xj)
= a(Xi + Xj)A(Xi + Xj)− a(Xi)AXi − a(Xj)AXj
= (a(Xi + Xj)− a(Xi))AXi + (a(Xi + Xj)− a(Xj))AXj.
Assim,
a(Xi + Xj) = a(Xi) = a(Xj), ∀i, j ∈ {1, ..., r}.
Alem disso, para qualquer numero real λ, usando a linearidade de Q ◦ A, segue-se que
Q ◦ A(λX) = λQ ◦ A(X) = λa(X)AX
e, por outro lado,
Q ◦ A(λX) = a(λX)A(λX) = λa(λX)AX
o que implica em a(λX) = a(X). Portanto, existe uma constante a tal que Q ◦ A(X) =
aA(X) para qualquer X. Por (3.1), tem-se a = ±1 e consequentemente A = ±Q−1 ◦ A.
Como o operador A e auto-adjunto com respeito a 〈, 〉, temos que ˜〈AX, Y 〉 =˜〈X, AY 〉, o que implica em 〈Q2 ◦ A(X), Y 〉 = 〈X,Q2 ◦ A(Y )〉, ou seja, Q2 ◦ A e auto-
adjunto com respeito a metrica 〈, 〉. Portanto, ±Q ◦ A = Q2 ◦ A e auto-adjunto com
respeito a metrica 〈, 〉. Logo, Q comuta com A.
Reciprocamente, suponha que Q ◦ A = A ◦Q. Como Q e A sao auto-adjuntos com
respeito a 〈, 〉, temos que Q ◦A e auto-adjunto com respeito a 〈, 〉. Defina A = ±Q−1 ◦A.
Entao Q2 ◦ A = ±Q ◦ A e consequentemente
˜〈AX, Y 〉 = 〈Q2 ◦ A(X), Y 〉 = 〈X, Q2 ◦ A(Y )〉 = ˜〈X, AY 〉,
ou seja, A e auto-adjunto com respeito a metrica 〈, 〉.
22
Alem disso,
R(X, Y )Z = Q−1(R(X, Y )QZ)
= Q−1(〈AY,QZ〉AX − 〈AX, QZ〉AY )
= 〈Q ◦ A(Y ), Z〉Q−1 ◦ A(X)− 〈Q ◦ A(X), Z〉Q−1 ◦ A(Y )
= 〈Q2 ◦ A(Y ), Z〉AX − 〈Q2 ◦ A(X), Z〉AY
= ˜〈AY, Z〉AX − ˜〈AX, Z〉AY,
isto e, A satisfaz a equacao de Gauss.
Como ∇XY = Q−1(∇X(QY )), temos,
(∇XA)Y = Q−1(∇X(Q ◦ A))Y = Q−1(∇XA)Y
= Q−1(∇Y A)X = Q−1(∇Y (Q ◦ A))X
= (∇Y A)X,
ou seja, A satisfaz a equacao de Codazzi. Entao, pelo Teorema Fundamental das Hipersu-
perfıcies, existe uma imersao isometrica f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 com operador A = ±Q−1 ◦ A.
Como postoA ≥ 3 temos que postoA ≥ 3 e pelo Teorema de Beez-Killing, f e rıgida.
2
O resultado seguinte e uma consequencia imediata da Proposicao 2.2 e da Proposicao
2.4.
Proposicao 3.4. Seja f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 uma imersao isometrica de uma variedade
Riemanniana simplesmente conexa (Mn, 〈, 〉) com operador de Weingarten A. Suponha
que Q e um tensor de Codazzi invertıvel que comuta com A. Entao existem
i) uma imersao F : Mn → Rn+1 tal que dF = df ◦Q
ii) funcoes diferenciaveis g, h : Mn → R tais que
A(grad g) = −gradh e QX = ∇Xgrad g − hAX,
onde X e um campo tangente arbitrario e F e dada por F = df(grad g) + hN .
Alem disso, F e uma imersao isometrica da variedade Riemanniana (Mn, 〈, 〉) em
Rn+1, onde a metrica 〈, 〉 em Mn e dada por 〈X, Y 〉 = 〈Q2X, Y 〉 para quaisquer campos
tangentes X, Y .
Prova. i) Como Mn e simplesmente conexa e Q e um tensor de Codazzi que
comuta com A, pela Proposicao 2.2, temos que Q da origem a uma transformacao de
Combescure de f . Dessa forma, existe uma imersao F : Mn → Rn+1 tal que dF = df ◦Q.
23
ii) Pela Proposicao 2.4, existem uma funcao g ∈ D(M) e um campo β ∈ T⊥f M
satisfazendo αf (grad g,X)+∇⊥Xβ = 0, tais que Q = Hess g−Af
β. Como a codimensao da
imersao e 1, podemos escrever β = hN , onde h ∈ D(M) e N e o campo normal unitario.
Entao,
0 = 〈αf (grad g,X) +∇⊥XhN,N〉 = 〈αf (grad g,X) + X(h)N, N〉
= 〈A(grad g), X〉+ X(h) = 〈A(grad g) + grad h,X〉,
para todo X ∈ TM , o que implica em A(grad g) = −grad h.
Alem disso, QX = ∇Xgrad g − hAX, para todo campo tangente X.
A metrica 〈, 〉 induzida em Mn e dada por
〈X, Y 〉 = 〈dF (X), dF (Y )〉 = 〈df(QX), df(QY )〉 = 〈Q2X, Y 〉,
para quaisquer campos tangentes X, Y.
2
Uma vez provadas as Proposicoes 3.2 e 3.4, podemos agora provar, sem muita difi-
culdade, o Teorema 3.1.
Prova do Teorema 3.1. Sejam f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 uma imersao isometrica de
uma variedade Riemanniana simplesmente conexa (Mn, 〈, 〉) com operador de Weingarten
A e Q um tensor de Codazzi invertıvel. Considere a metrica Riemanniana 〈, 〉 em Mn
dada por 〈X, Y 〉 = 〈Q2X,Y 〉, para quaisquer campos de vetores tangentes X,Y .
i) De acordo com a Proposicao 3.2, a variedade Riemanniana (Mn, 〈, 〉) admite uma
imersao isometrica em Rn+1 se, e somente se Q comuta com A. Alem disso, uma tal
imersao f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 e rıgida com operador de Weingarten A = ±Q−1 ◦ A.
ii) Se Q comuta com A, entao, pela Proposicao 3.4, existem uma imersao isometrica
F : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 e funcoes diferenciaveis g, h : Mn → R tais que A(gradg) = −gradh,
QX = ∇Xgradg − hAX, para qualquer campo tangente X e F = df(gradg) + hN . Como
o posto de A e maior ou igual a 3, pelo Teorema de Beez-Killing qualquer imersao
isometrica f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 e dada por f = τ ◦ F, onde τ e um movimento rıgido.
2
Note que, como dF = df ◦Q temos df(TpM) = dF (TpM) para qualquer ponto p em
Mn e portanto as imersoes f e F possuem a mesma aplicacao de Gauss. Consequente-
mente, f e f dadas no Teorema 3.1 possuem aplicacoes de Gauss congruentes.
Os dois exemplos seguintes sao aplicacoes do Teorema 3.1.
24
Exemplo 3.5. Seja f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 uma imersao isometrica de uma variedade
Riemanniana simplesmente conexa (Mn, 〈, 〉) com operador de Weingarten A. Considere
o tensor Q := Id − tA, onde t ∈ R e escolhido tal que Q e invertıvel. Pela maneira que
foi definido, Q e um tensor de Codazzi que comuta com A. Pelo Teorema 3.1, existe
uma imersao isometrica de (Mn, 〈, 〉) em Rn+1 onde a metrica 〈, 〉 e dada por 〈X, Y 〉 =
〈Q2X, Y 〉, para quaisquer campos tangentes X, Y .
Considerando f como uma secao do fibrado induzido f ∗(TRn+1) e decompondo-a em
componentes tangente e normal, temos f = df(xT ) + sN, onde xT e um campo tangente
e s = 〈f, N〉 e a funcao suporte de f . Diferenciando f com respeito a um campo de
vetores tangentes X e usando as formulas de Gauss e Weingarten, obtemos
df(X) = ∇Xf = ∇X(df(xT ) + sN)
= ∇Xdf(xT ) +∇XsN
= df(∇XxT ) + 〈AX, xT 〉N + s∇XN + X(s)N
= df(∇XxT ) + 〈AX, xT 〉N − sdf(AX) + X(s)N
= df(∇XxT − sAX) + (〈AX, xT 〉+ X(s))N.
Consequentemente,
df(X −∇XxT + sAX) = (〈AX, xT 〉+ X(s))N,
o que implica em
X −∇XxT + sAX = 0 e 〈AX, xT 〉 = −X(s),
isto e,
X = ∇XxT − sAX e AxT = −grads.
Seja g := 12‖ f ‖2.
Dado p ∈ Mn, sejam X(p) ∈ TpM e α : (−ε, ε) → M uma curva diferenciavel tal
que α(0) = p e α′(0) = X(p). Entao,
〈gradg(p), X(p)〉 = dgp(X) = (g ◦ α)′(0)
=1
2〈f ◦ α(t), f ◦ α(t)〉′ |t=0
= 〈dfp(X), f(p)〉,
ou seja,
〈gradg,X〉 = 〈df(X), f〉
= 〈df(X), df(xT ) + sN〉,
= 〈df(X), df(xT )〉,
25
para qualquer campo tangente X.
Portanto
〈gradg, xT 〉 = 〈df(xT ), df(xT )〉 = 〈xT , xT 〉 =‖ xT ‖2 .
Por outro lado,
〈gradg, xT 〉 = 〈df(gradg), df(xT )〉 = 〈gradg, gradg〉 =‖ gradg ‖2 .
Logo,
‖ xT ‖=‖ gradg ‖
e
〈gradg, xT 〉2 =‖ xT ‖2‖ gradg ‖2,
o que implica em gradg = xT . Consequentemente as funcoes g e s satisfazem
A(gradg) = −grads
e
QX = X − tAX = ∇Xgradg − sAX − tAX = ∇Xgradg − (s + t)AX.
Assim, as funcoes g e h := s+t podem ser usadas para a construcao da imersao isometrica
F : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1. Logo,
F = df(gradg) + hN = f + tN,
isto e, F e uma hipersuperfıcie paralela a f .
Exemplo 3.6. Seja f : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1 uma imersao isometrica de uma variedade
Riemanniana simplesmente conexa (Mn, 〈, 〉) com operador de Weingarten A. Considere
o tensor de Codazzi Q = −A. Seja a um vetor constante em Rn+1. Considerando a como
uma secao do fibrado induzido f ∗(TRn+1) e decompondo-a em componentes tangente e
normal temos
a = df(aT ) + 〈N, a〉N.
Diferenciando a com respeito a um campo tangente X e usando as formulas de
Gauss e Weingarten, obtemos
0 = da(X) = ∇Xa = ∇X(df(aT ) + 〈N, a〉N)
= ∇Xdf(aT ) +∇X〈N, a〉N
= df(∇XaT ) + 〈AX, aT 〉N + 〈N, a〉∇XN + X〈N, a〉N
= df(∇XaT ) + 〈AX, aT 〉N − 〈N, a〉df(AX) + X〈N, a〉N
= df(∇XaT − 〈N, a〉AX) + (〈AX, aT 〉+ X〈N, a〉)N,
26
o que implica em
∇XaT = 〈N, a〉AX e 〈X, AaT 〉 = −X〈N, a〉
ou seja,
∇XaT = 〈N, a〉AX e AaT = −grad〈N, a〉.
Seja g := 〈f, a〉. Dado p ∈ Mn, sejam X(p) ∈ TpM e α : (−ε, ε) → M uma curva
diferenciavel tal que α(0) = p e α′(0) = X(p). Entao,
〈gradg(p), X(p)〉 = dgp(X) = (g ◦ α)′(0)
= 〈(f ◦ α)′(0), a〉
= 〈dfp(X), a〉,
ou seja,
〈gradg,X〉 = 〈df(X), a〉
= 〈df(X), df(aT ) + 〈N, a〉N〉,
= 〈df(X), df(aT )〉
para qualquer campo tangente X. Portanto,
〈gradg, aT 〉 = 〈df(aT ), df(aT )〉 = 〈aT , aT 〉 =‖ aT ‖2 .
Por outro lado,
〈gradg, aT 〉 = 〈df(gradg), df(aT )〉 = 〈gradg, gradg〉 =‖ gradg ‖2 .
Assim,
‖ aT ‖=‖ gradg ‖
e
〈gradg, aT 〉2 =‖ aT ‖2‖ gradg ‖2,
o que implica em gradg = aT . Consequentemente as funcoes g e 〈N, a〉 satisfazem
A(grad g) = −grad〈N, a〉
e
QX = −AX = ∇XaT − 〈N, a〉AX − AX = ∇XaT − (〈N, a〉+ 1)AX.
Dessa forma, as funcoes g e h := 〈N, a〉+ 1 satisfazem
A(grad g) = −gradh e QX = ∇Xgradg − hAX
27
e portanto podem ser usadas para a construcao da imersao isometrica F : (Mn, 〈, 〉) → Rn+1,
onde 〈X, Y 〉 = 〈A2X,Y 〉 para quaisquer campos tangentes X, Y . Logo,
F = df(gradg) + hN = df(aT ) + (〈N, a〉+ 1)N = a + N,
isto e, F e uma translacao da aplicacao de Gauss de f .
A observacao seguinte apresenta uma discussao sobre a unicidade das funcoes g e h
para um dado tensor de Codazzi que comuta com o operador A.
Observacao 3.7. Suponha que existem dois pares de funcoes (g, h) e (g1, h1) tais que
A(gradg) = −gradh e A(gradg1) = −gradh1
e
QX = ∇Xgradg − hAX e QX = ∇Xgradg1 − h1AX,
para qualquer campo tangente X. Entao, de acordo com a Proposicao 3.4, as imersoes
F = df(grad g) + hN e F1 = df(gradg1) + h1N
induzem a mesma metrica em Mn e satisfazem dF = df ◦Q = dF1.
Dessa forma, F1 = F + a, para algum vetor constante a. Considerando a como uma
secao do fibrado induzido f ∗(TRn+1) e escrevendo a = df(aT ) + 〈N, a〉N , pelo Exemplo
3.6, temos que aT = grad〈f, a〉.Entao, F1 = F + a e equivalente a
df(gradg1) + h1N = df(gradg) + hN + df(aT ) + 〈N, a〉N
= df(gradg + grad〈f, a〉) + (〈N, a〉+ h)N
= df(grad(g + 〈f, a〉)) + (〈N, a〉+ h)N.
Consequentemente
g1 = g + 〈f, a〉+ c e h1 = h + 〈N, a〉,
onde c e uma constante real.
Portanto as funcoes g e h sao unicamente determinadas a menos das funcoes 〈N, a〉e 〈f, a〉.
Capıtulo 4
Tensores de Codazzi e
transformacoes de Ribaucour de
subvariedades
Neste capıtulo apresentaremos a definicao de transformacao de Ribaucour e o teo-
rema que mostra a correspondencia entre transformacoes de Ribaucour de uma imersao
isometrica em Rn+ps e os tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma funda-
mental dessa imersao.
Classicamente, duas superfıcies no espaco Euclidiano estao relacionadas por uma
transformacao de Ribaucour quando existe um difeomorfismo entre elas preservando as
linhas de curvatura tal que as retas normais em pontos correspondentes intersectam um
ponto que esta equidistante a ambos os pontos, conforme a seguinte figura.
Figura 4.1.
A seguinte definicao de transformacao de Ribaucour e dada para subvariedades
arbitrarias de Rn+ps .
28
29
Definicao 4.1. Dada uma imersao isometrica f : Mn → Rn+ps , dizemos que uma imersao
f : Mn → Rn+ps e uma transformacao de Ribaucour de f quando ‖f − f‖ 6= 0 em todo
ponto de Mn e existem uma isometria entre fibrados vetoriais P : f ∗TRn+ps → f ∗TRn+p
s ,
um tensor D ∈ S(M) e um campo de vetores diferenciavel δ ∈ f ∗TRn+ps com ‖δ‖ 6= 0 em
todos os pontos de Mn, tais que
(a) P(Z)− Z = 〈δ, Z〉(f − f) para todo Z ∈ f ∗TRn+ps ,
(b) df = P ◦ df ◦D.
Geometricamente, a condicao (a) significa que para qualquer Z ∈ Tf(x)Rn+ps com
〈δ, Z〉 6= 0 as retas em Rn+ps passando por f(x) e f(x) tangentes a Z e P(Z) respectiva-
mente, se intersectam em um ponto que esta a uma distancia comum d = ‖Z‖/〈δ, Z〉 de
f(x) e f(x).
Figura 4.2.
Quando 〈δ, Z〉 = 0, as retas sao paralelas.
Figura 4.3.
A condicao (b) implica que a isometria P preserva as direcoes tangentes e portanto
preserva as direcoes normais.
No que se segue, o termo (P , D, δ) representa a isometria P , o tensor D e o campo
δ de uma transformacao de Ribaucour.
O resultado seguinte estende a parametrizacao classica de transformacoes de Ribau-
cour de uma superfıcie dada ([B1] ou [E]). Dado um campo vetorial Z ao longo de uma
imersao isometrica f : Mn → Rn+ps , denotaremos por Z∗ a correspondente 1-forma em
f ∗TRn+ps , que e, Z∗(Yq) = 〈Zq, Yq〉 para Y ∈ f ∗TRn+p
s e q ∈ Mn.
Teorema 4.2. Seja f : Mn → Rn+ps uma imersao isometrica de uma variedade Rieman-
niana simplesmente conexa e seja f : Mn → Rn+ps uma transformacao de Ribaucour de f
determinada por (P , D, δ). Entao, existe (ϕ, β) ∈ D(f) tal que
f = f − 2νϕF , (4.1)
30
onde F = Cϕ,β e ν−1 = 〈F ,F〉 := ϑ. Alem disso,
P = I − 2νFF∗, D = I − 2νϕQϕ,β e δ = −ϕ−1F . (4.2)
Reciprocamente, dado (ϕ, β) ∈ D(f) tal que ϕϑ 6= 0 em todo q ∈ Mn, sejam P , D e δ dados
por (4.2) em um subconjunto aberto U ⊂ Mn onde D e invertıvel. Entao, f : U → Rn+ps
dada por (4.1) e a transformacao de Ribaucour de f |U com (P , D, δ).
Prova. Defina µ ∈ C∞(M) e ζ ∈ f ∗TRn+ps com 〈ζ, ζ〉 = ε = ±1 por
f − f = µζ. (4.3)
Entao, P(Z) = Z + µ〈δ, Z〉ζ para todo Z ∈ f ∗TRn+ps . Assim,
µ2〈δ, Z〉2ε = 〈µ〈δ, Z〉ζ, µ〈δ, Z〉ζ〉 = 〈P(Z)− Z,P(Z)− Z〉
= 2〈Z,Z〉 − 2〈P(Z), Z〉 = 2〈Z,P(Z)− µ〈δ, Z〉ζ〉 − 2〈P(Z), Z〉
= −2µ〈δ, Z〉〈Z, ζ〉.
Observe que, se 〈δ, Z〉 = 0 para algum Z ∈ f ∗TRn+ps , temos que P(Z) = Z, e portanto
〈ζ, Z〉 = 〈δ + ζ, Z〉 = 〈P(δ)− µ〈δ, δ〉ζ + ζ, Z〉 = 〈P(δ),P(Z)〉 − µ〈δ, δ〉〈ζ, Z〉+ 〈ζ, Z〉
= 〈δ, Z〉 − µ〈δ, δ〉〈ζ, Z〉+ 〈ζ, Z〉 = −µ〈δ, δ〉〈ζ, Z〉+ 〈ζ, Z〉,
o que implica em µ〈δ, δ〉〈ζ, Z〉 = 0 e, consequentemente, 〈ζ, Z〉 = 0.
Logo
µ〈δ, Z〉 = −2ε〈ζ, Z〉 e P(Z) = Z − 2ε〈ζ, Z〉ζ, (4.4)
Defina Z0 ∈ TM por df(Z0) = µ−1(df(grad µ)− 2εζ>). Entao,
〈∇XZ0, Y 〉 = X〈df(z0), df(Y )〉 − 〈df(z0), df(∇XY )〉
= X〈µ−1(df(grad µ)− 2εζ>), df(Y )〉 − 〈µ−1(df(grad µ)− 2εζ>),∇Xdf(Y )〉
+〈µ−1(df(grad µ)− 2εζ>), αf (X, Y )〉
= X〈df(µ−1grad µ), df(Y )〉 − 〈df(µ−1grad µ),∇Xdf(Y )〉 − 2εX〈µ−1ζ, df(Y )〉
+2ε〈µ−1ζ,∇Xdf(Y )〉 − 2εµ−1〈αf (X, Y ), ζ〉
= 〈∇Xdf(µ−1grad µ), df(Y )〉 − 2ε〈∇Xµ−1ζ, df(Y )〉 − 2εµ−1〈αf (X, Y ), ζ〉
= 〈df(∇X(µ−1grad µ)), df(Y )〉 − 2εµ−1〈αf (X, Y ), ζ〉 − 2εµ−1〈∇Xζ, df(Y )〉
−2εX(µ−1)〈ζ, df(Y )〉
= 〈df(∇X(grad log µ)), df(Y )〉 − 2εµ−1〈αf (X, Y ), ζ〉+ 2εµ−2(X(µ)〈ζ, df(Y )〉
−µ〈∇Xζ, df(Y )〉),
31
ou seja,
〈∇XZ0, Y 〉 = Hess log µ(X, Y )− 2εµ−1〈αf (X, Y ), ζ〉
+2εµ−2(X(µ)〈ζ, df(Y )〉 − µ〈∇Xζ, df(Y )〉). (4.5)
Por um lado,
〈df(X)−∇Xµζ,P(df(Y ))〉 = 〈df(X),P(df(Y ))〉 = 〈P(df(DX)),P(df(Y ))〉 = 〈DX, Y 〉.(4.6)
Por outro lado, usando (4.4) temos
〈df(X)−∇Xµζ,P(df(Y ))〉 = 〈df(X), df(Y )− 2ε〈ζ, df(Y )〉ζ〉
−〈∇Xµζ, df(Y )− 2ε〈ζ, df(Y )〉ζ〉
= 〈X, Y 〉 − 2ε〈ζ, df(Y )〉〈df(X), ζ〉 − µ〈∇Xζ, df(Y )〉
−X(µ)〈ζ, df(Y )〉+ 2X(µ)〈ζ, df(Y )〉,
isto e,
〈df(X)−∇Xµζ,P(df(Y ))〉 = 〈X, Y 〉 − 2ε〈ζ, df(Y )〉〈df(X), ζ〉
+X(µ)〈ζ, df(Y )〉 − µ〈∇Xζ, df(Y )〉. (4.7)
Segue de (4.6) e (4.7) que
X(µ)〈ζ, df(Y )〉 − µ〈∇Xζ, df(Y )〉 = 〈DX, Y 〉 − 〈X, Y 〉+ 2ε〈ζ, df(Y )〉〈df(X), ζ〉.
Portanto, de (4.5) e D ∈ S(M), temos
〈∇XZ0, Y 〉 = Hess log µ(X, Y )− 2εµ−1〈αf (X, Y ), ζ〉
+2εµ−2(X(µ)〈ζ, df(Y )〉 − µ〈∇Xζ, df(Y )〉)
= Hess log µ(Y, X)− 2εµ−1〈αf (Y, X), ζ〉
+2εµ−2(〈DX, Y 〉 − 〈X, Y 〉+ 2ε〈ζ, df(Y )〉〈df(X), ζ〉)
= Hess log µ(Y, X)− 2εµ−1〈αf (Y, X), ζ〉
+2εµ−2(〈DY,X〉 − 〈Y,X〉+ 2ε〈ζ, df(Y )〉〈df(X), ζ〉)
= Hess log µ(Y, X)− 2εµ−1〈αf (Y, X), ζ〉
+2εµ−2(Y (µ)〈ζ, df(X)〉 − µ〈∇Y ζ, df(X)〉)
= 〈∇Y Z0, X〉.
Entao, existe ρ ∈ C∞(M) tal que Z0 = grad (log ρ). Observe que
〈df(X)−∇Xµζ,Pξ〉 = 〈df(X),Pξ〉 = 0 para todo ξ ∈ T⊥f M.
32
Por sua vez, usando (4.4), obtemos
0 = 〈df(X)−∇Xµζ, ξ − 2ε〈ζ, ξ〉ζ〉
= −2ε〈ζ, ξ〉〈df(X), ζ〉 − µ〈∇Xζ, ξ〉+ X(µ)〈ζ, ξ〉.
Consequentemente,
µ〈∇Xζ, ξ〉 = 〈ζ, ξ〉(X(µ)− 2ε〈df(X), ζ〉).
Alem disso,
µ〈Z0, X〉 = µ〈df(Z0), df(X)〉 = 〈df(grad µ)− 2εζ>, df(X)〉
= 〈grad µ, X〉 − 2ε〈ζ, df(X)〉,
ou seja,
µ〈Z0, X〉 = X(µ)− 2ε〈ζ, df(X)〉, (4.8)
o que implica em
〈Z0, X〉〈ζ, ξ〉 = 〈∇Xζ, ξ〉.
Seja F = ρ−1ζ, entao
〈dF(X), ξ〉 = 〈∇Xρ−1ζ, ξ〉
= ρ−1〈Z0, X〉〈ζ, ξ〉+ X(ρ−1)〈ζ, ξ〉
= 〈ζ, ξ〉(ρ−1〈grad (log ρ), X〉+ 〈grad ρ−1, X〉)
= 〈ζ, ξ〉〈ρ−1ρ−1grad ρ + grad ρ−1, X〉
= 〈ζ, ξ〉〈−ρ−1ρ grad ρ−1 + grad ρ−1, X〉
= 0.
Seja ϕ = ε2µρ−1. Assim, utilizando (4.8), segue que
〈F , df(X)〉 = ρ−1〈ζ, df(X)〉 = ρ−1 1
2ε(X(µ)− µ〈Z0, X〉)
= ρ−1 1
2ε(〈grad µ− µ grad (log ρ), X〉)
= ρ−1 1
2ε(〈grad µ− µρ−1 grad ρ, X〉)
=1
2ε(〈ρ−1grad µ + µ grad ρ−1, X〉)
=1
2ε〈grad (ρ−1µ), X〉
=1
2εX(
2
εϕ)
= X(ϕ).
Portanto, podemos escrever F = df(grad ϕ) + β com β ∈ T⊥f M, e dessa forma, F e uma
transformacao de Combescure de f .
33
Seja ν−1 = 〈F ,F〉 := ϑ, ou equivalentemente, ν = ρ2ε. Por sua vez,
f − f = −µζ = −2εϕρζ = −2ϕνρ−1ζ.
Assim,
f = f − 2ϕνF .
Alem disso, utilizando (4.4), temos
P(Z) = Z − 2ε〈ζ, Z〉ζ = Z − 2ερ2ρ−2〈ζ, Z〉ζ = Z − 2ν〈ρ−1ζ, Z〉ρ−1ζ = Z − 2ν〈F , Z〉F ,
isto e,
P = I − 2νFF∗.
Por outro lado, segue-se entao de (4.4) e da definicao de ϕ que
〈δ, Z〉 = −2εµ−1ρρ−1〈ζ, Z〉 = −ϕ−1〈F , Z〉,
para todo Z ∈ f ∗TRn+ps , o que implica em δ = −ϕ−1F .
Observe que
X(ν) = 〈grad ρ2ε, X〉 = 2ε〈ρ grad ρ, X〉
= 2ε〈ρ2ρ−1grad ρ, X〉 = −2ε〈ρ2ρ grad ρ−1, X〉
= −2ερ3X(ρ−1) = −2(ρ2 〈ζ,∇Xζ〉︸ ︷︷ ︸=0
+ρ4〈ρ−1ζ, X(ρ−1)ζ〉)
= −2(ρ4〈ρ−1ζ, ρ−1∇Xζ + X(ρ−1)ζ〉) = −2ν2〈F ,∇Xρ−1ζ〉
= −2ν2〈F , dF(X)〉.
Entao, diferenciando (4.1) temos
df(X) = df(X)− 2∇XνϕF = df(X)− 2νϕdF(X)− 2X(νϕ)F
= df(X − 2νϕQϕ,β(X))− 2νX(ϕ)F − 2ϕX(ν)F
= df(X − 2νϕQϕ,β(X))− 2νF〈F , df(X)〉+ 4Fϕν2〈F , dF(X)〉
= df(X − 2νϕQϕ,β(X))− 2νF〈F , df(X − 2νϕQϕ,β(X))〉.
Por outro lado,
df(X) = P(df(DX)) = df(DX)− 2νF〈F , df(DX)〉.
Portanto, D(X) = X − 2νϕQϕ,β(X), ou seja,
D = I − 2νϕQϕ,β.
34
Reciprocamente, dado (ϕ, β) ∈ D(f) tal que ϕϑ 6= 0 em todo q ∈ Mn, sejam
P , D e δ dados por (4.2) em um subconjunto aberto U ⊂ Mn onde D e invertıvel. Seja
f : U → Rn+ps dada por f = f − 2νϕF , onde ν−1 = 〈F ,F〉 := ϑ e F = Cϕ,β(f).
Observe que ‖f − f‖2 = 4‖νϕF‖2 = 4‖ν‖2‖ϕ‖‖ϕϑ‖ 6= 0, em todo q ∈ Mn. Alem
disso,
〈δ, Z〉(f − f) = 〈−ϕ−1F , Z〉2νϕF = −〈F , Z〉2νF = −2νFF∗(Z) = P(Z)− Z.
De (4.2) segue que F = −ϕδ e portanto ν = ϕ−2〈δ, δ〉−1. Entao,
ϕX(ν)F + 2ν2ϕ〈F , dF(X)〉F = −ϕ2X(ϕ−2〈δ, δ〉−1)δ
−2ϕ−2〈δ, δ〉−2〈−ϕδ,−ϕ∇Xδ −X(ϕ)δ〉δ
= −X(〈δ, δ〉−1)δ − ϕ2〈δ, δ〉−1X(ϕ−2)δ
−2〈δ, δ〉−2〈δ,∇Xδ〉δ − 2ϕ−1〈δ, δ〉−1X(ϕ)δ
= −X(〈δ, δ〉−1)δ − 〈δ, δ〉−2X(〈δ, δ〉)δ
−2〈δ, δ〉−1ϕ−1X(ϕ)δ − 2〈δ, δ〉−1ϕX(ϕ−1)δ
= −X(〈δ, δ〉−1)δ + 〈δ, δ〉−1〈δ, δ〉X(〈δ, δ〉−1)δ︸ ︷︷ ︸=0
−2〈δ, δ〉−1(ϕ−1X(ϕ) + ϕX(ϕ−1)︸ ︷︷ ︸= 0
)δ
= 0,
para todo X ∈ TM.
Dado X ∈ TM , seja Y = D−1X. Temos que
df(D−1X) = df(Y ) = df(Y )− 2∇Y νϕF
= df(Y − 2νϕQϕ,β(Y ))− 2νY (ϕ)F − 2ϕY (ν)F
= df(DY )− 2ν〈grad ϕ, D(Y ) + 2νϕQϕ,β(Y )〉F − 2ϕY (ν)F
= df(X)− 2νX(ϕ)F − 4ν2ϕ〈df(grad ϕ), df(Qϕ,β(Y ))〉F − 2ϕY (ν)F
= df(X)− 2ν〈F , df(X)〉F − 2(2ν2ϕ〈F , dF(Y )〉F + ϕY (ν)F︸ ︷︷ ︸=0
)
= P(df(X)),
ou equivalentemente, df = P ◦ df ◦D. Portanto, f : U → Rn+ps e uma transformacao de
Ribaucour de f |U .
2
Pelo Teorema 4.2, qualquer transformacao de Ribaucour de f e determinada por um
par (ϕ, β) ∈ D(f) tal que ϕϑ 6= 0. Alem disso, dois pares (ϕ, β) e (ϕ′, β′) dao origem a
35
mesma transformacao de Ribaucour se e somente se (ϕ, β) = λ(ϕ′, β′) para algum λ 6= 0.
De fato, suponha que (ϕ, β) e (ϕ′, β′) dao origem a mesma transformacao de Ribaucour.
Sejam F ′ = Cϕ′,β′(f) e ν ′−1 = 〈F ′,F ′〉. Entao −ϕ−1F = δ = −ϕ′−1F ′ o que implica em
F = ϕϕ′−1F ′.
Por um lado, como I − 2νϕQϕ,β = D = I − 2ν ′ϕ′Qϕ′,β′ e utilizando que ν =
ϕ−2〈δ, δ〉−1 e ν ′ = ϕ′−2〈δ, δ〉−1, obtemos Qϕ,β = ϕϕ′−1Qϕ′,β′ . Assim,
dF = df ◦Qϕ,β = ϕϕ′−1df ◦Qϕ′,β′ = ϕϕ′−1dF ′.
Por outro lado, F = ϕϕ′−1F ′ implica em
dF(X) = X(ϕϕ′−1)F ′ + ϕϕ′−1dF ′,
para todo campo tangente X. Consequentemente X(ϕϕ′−1) = 0, para todo campo tan-
gente X. Uma vez que Mn e simplesmente conexa temos que ϕϕ′−1 = λ, onde λ e uma
constante real. Logo F = λF ′ e F = λdf(grad ϕ′) + β = λdf(grad ϕ′) + λβ′. Portanto
β = λβ′ e (ϕ, β) = λ(ϕ′, β′).
Reciprocamente, suponha que (ϕ, β) = λ(ϕ′, β′) para algum λ 6= 0. Consequente-
mente ν = ϕ−2〈δ, δ〉−1 = λ−2ϕ′−2〈δ, δ〉−1 = λ−2ν ′ e F = λF ′. Seja f ′ a transformacao de
Ribaucour de f determinada por (ϕ′, β′). Entao,
f = f − 2νϕF = f − 2λ−2ν ′λϕ′λF ′ = f − 2ν ′ϕ′F ′ = f ′.
Denotaremos por D(f) o conjunto das classes de equivalencia dos elementos (ϕ′, β′)
de D(f) estabelecida pela relacao dada por (ϕ, β) = λ(ϕ′, β′). A transformacao de Ri-
baucour de f determinada por w ∈ D(f) sera denotada por Rw(f).
No exemplo abaixo obteremos as transformacoes de Ribaucour originadas pelos ele-
mentos de D0(f), onde D0(f) e o subespaco de D(f) gerado por um dos tipos dos pares
(ϕi, βi) com i ∈ {0, 1, 2} do Exemplo 2.5.
Exemplo 4.3. a) Dados P0 e v ∈ Rn+ps com 〈v, v〉 = ε = ±1, seja w = (ϕ0, β0) =
(〈f − P0, v〉, v⊥). Temos, pelo Teorema 4.2, que
Rw(f) = f − 2νϕ0F = f − 2ε〈f − P0, v〉v.
Portanto, Rw(f) = Rv ◦ f , onde Rv(X) = X − 2ε〈X − P0, v〉v e a reflexao com respeito
ao hiperplano Hv de Rn+ps sobre P0 ortogonal a v.
b) Dados P0 ∈ Rn+ps e b 6= 0, seja w = (ϕ1, β1) = (1
2(〈f −P0, f −P0〉− b), (f −P0)
⊥).
Entao,
Rw(f) = f − 2νϕ1F = P0 + b〈f − P0, f − P0〉−1(f − P0).
Logo Rw(f) = I ◦ f , onde I(X) = P0 + b〈X − P0, X − P0〉−1(X − P0) e uma inversao
com respeito a Sb(P0) = {X ∈ Rn+ps ; 〈X − P0, X − P0〉 = b}. P0 e chamado polo de I.
36
c) Suponha que f possui uma secao normal paralela nao nula ξ. Seja w = (ϕ2, β2) =
(c,−ξ), com c ∈ R. Entao
Rw(f) = f − 2νϕ2F = f + 2c〈ξ, ξ〉−1ξ
e paralela a f na direcao de ξ.
Denotaremos por Mn a variedade Mn com a metrica induzida pela f e dessa forma a
imersao f : Mn → Rn+ps e isometrica. Denotaremos por Aξ o operador de Weingarten na
direcao normal ξ ∈ TfM⊥ da imersao isometrica f : Mn → Rn+p
s e por AP(ξ) o operador
de Weingarten na direcao normal P(ξ) ∈ TfM⊥ da transformacao de Ribaucour f de f .
Utilizando o Teorema 4.2, e estabelecida, pelo corolario enunciado a seguir, uma relacao
entre Aξ e AP(ξ) para todo ξ ∈ TfM⊥.
Corolario 4.4. Os operadores de Weingarten de f e f estao relacionados por
AP(ξ) = D−1(Aξ + 2ν〈β, ξ〉Q) (4.9)
e a restricao da isometria P ao fibrado normal e paralela na conexao normal, ou seja,
∇⊥XP(ξ) = P∇⊥
Xξ,
para todo X ∈ TM e ξ ∈ TfM⊥.
Prova. Temos, por (4.2) que
−dfAP(ξ)X + ∇⊥XP(ξ) = ∇XP(ξ) = ∇X(ξ − 2ν〈F , ξ〉F).
Observe que
X(ν) = −2ν2〈F , dF(X)〉 = −2ν2〈grad ϕ, QX〉. (4.10)
Utilizando (2.2) e (4.10) obtemos
∇X(ξ − 2ν〈F , ξ〉F) = −dfAξX +∇⊥Xξ − 2〈β, ξ〉X(ν)F − 2ν(〈∇⊥
Xβ, ξ〉+ 〈β,∇⊥Xξ〉)F
−2ν〈β, ξ〉df(QX)
= −df(Aξ + 2ν〈β, ξ〉Q)X +∇⊥Xξ − 2ν〈∇⊥
Xξ,F〉F
+4ν2〈β, ξ〉〈df(grad) ϕ, df(QX)〉F − 2ν〈∇⊥Xβ, ξ〉F
= P(∇⊥Xξ)− df(Aξ + 2ν〈β, ξ〉Q)X
+4ν2〈β, ξ〉〈F , df(QX)〉F + 2ν〈αf (grad ϕ, X), ξ〉F
37
= P(∇⊥Xξ)− df(Aξ + 2ν〈β, ξ〉Q)X
+4ν2〈β, ξ〉〈F , df(QX)〉F + 2ν〈df(AξX), df(grad ϕ)〉F
= P(∇⊥Xξ)− df(Aξ + 2ν〈β, ξ〉Q)X
−2ν(〈−df(AξX)− 2ν〈β, ξ〉df(QX),F〉)F
= P(∇⊥Xξ)− df(Aξ + 2ν〈β, ξ〉Q)X
−2ν〈−df(Aξ + 2ν〈β, ξ〉Q)X,F〉)F
= P(∇⊥Xξ)− P(df(Aξ + 2ν〈β, ξ〉Q)X).
Logo
−dfAP(ξ)X + ∇⊥XP(ξ) = P(∇⊥
Xξ)− P(df(Aξ + 2ν〈β, ξ〉Q)X).
Portanto
AP(ξ) = D−1(Aξ + 2ν〈β, ξ〉Q)
e
∇⊥XP(ξ) = P∇⊥
Xξ.
2
Sabemos que Aξ e Q sao auto-adjuntos e Q comuta com Aξ para todo ξ ∈ TfM⊥.
Assim, para cada ξ ∈ TfM⊥ existe uma base ortonormal {v1, ..., vn} de TqM formada
por autovetores comuns a Q e Aξ. Como D = I − 2νϕQ, essa base tambem e formada
por autovetores de D e portanto de D−1. Dessa forma, por (4.9), temos que cada vi com
i ∈ {1, ..., n} e autovetor de AP(ξ). Ou seja, em cada ponto q ∈ M , para cada direcao
normal ξ existe uma base ortonormal de TqM de direcoes principais de f e f com respeito
a ξ e P(ξ), respectivamente.
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