Teorema :

mesmo em

Seja V um espao vetorial nitamente gerado. O nmero de elementos sempre obase desse espao.

toda

Sejam os conjuntos B1 = u1 , . . . , un e B2 = v1 , . . . , vm . Considerando que tanto B1quantoB2 sejam bases de V, i.e., V = [u1 , . . . , un ] V = [v1 , . . . , vm ] com n, m N. Mostrarei que,sendo n > m, o conjunto B1 formado por vetores L.D. e portanto, no pode ser a base, provandoassim o teorema.Como

Prova :

V = [v1 , . . . , vm ]

, temos que

a11 a21, com Det am1j [1, n]

a12a22

uj = a1j v1 + + amj vm

a1na2n .. R. amn

Onde podemos armar que :x1 u1 + + xn un = 0

x1 (a11 v1 + . . . am1 vm ) + + xn (a1n v1 + + amn vm ) = 0

x1 a11 + + x1 am1 vm + + xn a1n v1 + + xn a1n v1 + + xn an1 v1 + + xn anm vm = 0

v1 (x1 a11 + . . . xn a1n ) + v2 (x1 a21 + + xn a2n ) + + vm (x1 am1 + + xn amn ) = 0

v1 v1 (

nX

(xk a1k )) + + vm (

k=1

v1 , . . . , vm so l.i. ; ento :

nX

nX

(xk amk )) = 0

k=1

(xk a1k ) = . . .

k=1

nX

(xk amk ) = 0

k=1

Da o sistema :

1

x1 a11 + + xn a1n = 0x1 a21 + + xn a2n = 0 + + + = 0. + + + = 0 + + + = 0x1 am1 + + xn amn = 0

Sendo n incgnitas e m equaes. Temos ento um sistema homognio. Como n > m, a soluo no trivial e portanto assume diversos valoresparaxj . Logo, u1 , , un no pode ser uma base.

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