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MANUEL MONTEIRO RIBEIRO
TEORIA DA SIMETRIA
«Trabalho científico apresentado no ISE para a obtenção do grau de Licenciatura em
ensino da Matemática»
2
Orientadora: Professora Doutora NATALIA V. K. DIAS FURTADO
Trabalho Científico
O júri
_______________________________
_______________________
_______________________
3
ISE Praia,........de.....................de 2008
AGRADECIMENTOS
Cordialmente, os meus profundos e sinceros agradecimentos, a minha imensa gratidão e
reconhecimento:
À Professora Doutora NATÁLIA V. K. DIAS FURTADO que, de forma sábia, se
disponibilizou em me orientar no trabalho, para que este se concretizasse;
Aos professores e colegas do ISE, pelo apoio prestado ao longo do curso;
Finalmente, o meu reconhecimento e gratidão aos meus familiares mais próximos,
pelo apoio e carinho dados em momentos difíceis na elaboração deste trabalho.
4
“A Beleza está estreitamente relacionada com a simetria.”
H. Weyl
“Tu, no teu lago, te contemplas a ti mesmo.”
J. M. Legaré
“Os desenhos do matemático, como os do pintor ou o poeta, têm de ser belos: as ideias,
como as cores ou as palavras devem relacionar-se de maneira harmoniosa.”
G. H. Hardy
5
Dedicatória
Dedico este trabalho à minha família pelo seu apoio incondicional
e em especial ao meu filho Mauro.
6
ÍNDICE
I – INTRODUÇÃO…………………………………………………………………………..7
1.1 OBJECTIVO DO TRABALHO……………………………………………………………...7
1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO……………………………………………………………..8
II – TEORIA DA SIMETRIA ……………...………………………………………………10
2.1 SOBRE O CONCEITO DE GEOMETRIA……………………………………………………10
2.2 TRANSFORMAÇÕES ORTOGONAIS................................................................................... 12
2.3 ISOMETRIAS OU MOVIMENTOS RÍGIDOS .......................................................................... 17
2.4 GRUPO DE SIMETRIA DE UMA FIGURA PLANA ................................................................. 21
2.5 GRUPOS PONTUAIS DE SIMETRIA OU DE LEONARDO ....................................................... 25
Teorema de Leonardo ............................................................................................. 26
2.6 GRUPOS DE SIMETRIA DOS FRISOS .................................................................................. 28
2.7 CLASSIFICAÇÃO PARA OS GRUPOS DE FRISOS ................................................................. 36
Algoritmo de “Rose e Stafford” de classificação de frisos .................................... 36
Fluxograma para classificação de frisos de Wasburn e Crowe .............................. 37
Chave para a classificação dos grupos de frisos ..................................................... 39
2.8 GRUPO DE SIMETRIA DO PLANO ..................................................................................... 40
Algoritmo de identificação dos 17 grupos de simetria do plano ............................ 47
2.9 TEORIA DE MOSAICOS .................................................................................................... 48
III – CONCLUSÃO…………………………………………………………………………53
IV – BIBLIOGRAFIA ……………………………………………………………………...56
V – ANEXOS......…………………………………………………………………………….58
A.1 GRUPO DE LEONARDO E DESENHO ................................................................................. 58
A.2 OS FRISOS E A ARQUITECTURA ....................................................................................... 59
A.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS............................................................................................... 61
7
I – INTRODUÇÃO
A teoria da simetria constitui hoje um belo exemplo de teoria inter-disciplinar, na qual
problemas de diversos campos científicos, artísticos e técnicos são abordados com a
metodologia comum da simetria.
A nível linguístico, como assinala H. Weyl, hoje em dia existem dois significados
distintos da palavra simetria: por uma parte a aceitação «simetria» equivalente a
«concordância, equilíbrio, boa proporção» utilizada principalmente em Arquitectura e por
outra a conotação geométrica da palavra. A este último significado se destina o presente
trabalho. Neste sentido se entenderá que a teoria da simetria é uma parte da geometria que
operando sobre o espaço euclidiano engloba como transformações todas as isometrias, sendo
seu interesse específico o estudo dos grupos de isometrias que deixam invariantes as figuras.
Em tal teoria se enquadram os grupos de simetria pontuais, os grupos de frisos, os
grupos de simetria do plano, a teoria de mosaicos,... etc. conceitos que se desenvolvem com
especial detalhe ao longo deste trabalho.
1.1. OBJECTIVO DO TRABALHO
No âmbito da elaboração do presente trabalho para o fim do curso de Complemento de
Licenciatura – Monografia – retratamos e desenvolvemos o tema “Teoria da Simetria” pois,
à Geometria deve ser atribuído um papel de relevo por se considerar o ramo singular da
Matemática para a consecução do desenvolvimento da capacidade de interpretar e intervir no
mundo que nos rodeia, de estruturar o raciocínio lógico, de analisar e sintetizar, de comunicar
pela imagem, mas também por contribuir para uma formação indispensável a muitas
8
profissões e, em súmula, a Geometria é geradora de problemas de grande riqueza e
facilitadora da compreensão do Universo e é um campo tremendamente dinâmico e em
constante evolução.
Notemos que a presente monografia é ampliação e aprofundamento da matéria estudada
nas disciplinas “Álgebra Linear e Geometria Analítica”, “Álgebra Superior” e
“Geometria II” do Curso de Bacharelato e de Complemento de Licenciatura em Ensino da
Matemática. Por isso, a parte, ligada com as estruturas algébricas, as transformações
ortogonais e com isometrias, que foram detalhadamente consideradas, nas disciplinas
indicadas, não entram de maneira aprofundada no corpo do trabalho, mas fazem-se algumas
observações e lembranças. Pressupõe-se que o leitor ou utilizador desse material tem os pré-
requisitos necessários para acompanhar o texto.
O objectivo da monografia será a de:
1 – recolher e sistematizar material, através do qual os professores e alunos podem
aprofundar os seus conhecimentos adquiridos;
2 – mostrar a beleza da simetria e suas diversas aplicações na vida real.
1.2. ESTRUTURA DO TRABALHO
Dada a complexidade do tema e a interligação entre a simetria, os frisos e a arquitectura
assim como a teoria de mosaicos, estruturamos o trabalho da seguinte forma:
I – Introdução.
II – Teoria da simetria.
2.1 – Sobre o conceito de geometria.
2.2 – Transformações ortogonais.
2.3 – Isometria ou movimentos rígidos.
2.4 – Grupos de simetria de uma figura plana.
2.5 – Grupos pontuais de simetria ou de Leonardo.
2.6 – Grupos de simetria dos frisos.
2.7 – Classificação para os grupos de frisos.
2.8 – Grupo de simetria do plano.
2.9 – Teoria de Mosaicos.
9
III – Conclusão.
IV – Bibliografia.
V – Anexos.
Através desta monografia pode-se compartilhar nossa fascinação pelo tema da simetria e
pode encontrar por si mesmo um amplo campo de criação própria.
10
II – TEORIA DA SIMETRIA
2.1.- SOBRE O CONCEITO DE GEOMETRIA
A geometria sempre parte da observação da realidade. Diferentes realidades motivam
diferentes modelações geométricas e diferentes linguagens matemáticas, provocando enfoques
metodologicamente diferentes da geometria, que é um campo dinâmico e evolutivo, sempre
interligado com o mundo real. Por isso, na pergunta “O que é a geometria” são dadas
diferentes respostas ao longo da história.
Em 1872 o matemático alemão Félix Klein publicou seu famoso trabalho Vergleichende
Betrachtungen Uber neuere geometrische Forschungen, conhecido posteriormente como o
Programa de Erlanger, onde se justifica a definição moderna e unificadora da Geometria.
Para Klein, numa geometria existem duas bases fundamentais: um espaço E e um grupo
EG de transformações desse espaço. O espaço E pode ser um conjunto finito de elementos,
a recta r, o espaço R3, …, qualquer conjunto não vazio. O grupo de transformações EG
(contínuo) com identidade, contido no grupo de todas as possíveis bijecções de E em E. A
partir desse par EG,E se pode classificar as figuras, os subconjuntos não vazios de E, de
acordo com as transformações de ,EG seguindo o seguinte critério: as figuras F e 'F de E
são equivalentes, e escreve-se ,'F~F se e só se uma transformação T de EG transforma F
em ,'F i. é, '.FFT Notemos as seguintes propriedades dessa relação:
a) F~F (propriedade reflexiva de ~ ou reflexividade);
b) se ,'F~F então F~'F (propriedade simétrica de ~ ou simetria);
c) se 'F~F e ,''F~'F então ''F~F (propriedade transitiva de ~
ou transitividade).
11
Ser ~ uma relação de equivalência, facilita classificação das figuras do espaço: em cada
“classe” de figuras aparecem umas figuras dadas e todas as figuras obtidas a partir dessas
mediante as transformações consideradas, naturalmente, sobre um mesmo espaço podem se
considerar diferentes grupos de transformações, dando lugar com isso a generalização de
diferentes geometrias: existem tantas geometrias quantos possíveis subgrupos do grupo de
bijecções do espaço em si mesmo.
Qual é a distinção essencial entre uma geometria e outra?1
Conforme o Klein “o que caracteriza cada geometria são as propriedades das figuras que
são preservadas/ou, como também se diz, permanecem invariantes” para certo grupo de
transformações, quer dizer, permanecem verdadeiros após a figura ser transformada por uma
qualquer transformação do grupo.
Quanto mais “rica” é uma geometria, mais pequeno é o grupo de transformações
característico dessa geometria, e vice-versa. Grupos de transformações já vinham sendo
considerados em geometria, mas a novidade do programa de Klein foi transformá-los no
principal objecto de estudo, permitindo não só classificar as geometrias como traduzir
problemas geométricos (nomeadamente, em geometria projectiva) em linguagem algébrica e
resolvê-los por métodos algébricos da teoria dos invariantes, Klein também mostrou, que
existe uma relação entre o grupo das rotações do dodecaedro (um dos 5 sólidos platónicos,
poliedro regular com 12 faces pentagonais) e as raízes da equação algébrica geral do quinto
grau, a qual explica a razão pela qual dita equação pode ser resolvida por meio de funções
elípticas (mas não por radicais, como mostrou Abel).
As classificações das geometrias segundo Klein procedem da mais geral, a projectiva,
com maior grupo de transformações, para a mais especial ou particular, a euclidiana, que tem
o mais pequeno grupo de transformações. Pelo meio ficam, em generalidade decrescente, a
geometria afim, a hiperbólica, a elíptica e a parabólica.
As transformações que caracterizam a geometria euclidiana são as isometrias ou
movimentos rígidos, i. é, as colineações que preservam as distâncias para quaisquer pontos
P e Q , .Q,PdQ,Pd 2
1 C. Alsira – E. Trillas, Lecciones de Álgebra Y Geometria, Editorial Gustavo Gili, S. A., Barcelona, 1984 (pp.
12 - 14) 2 A. J. Franco de Oliveira, Transformações Geométricas, Universidade Aberta, 1997 (pp. 75 - 76)
12
***Desde a óptica de Klein, se tem o seguinte esquema que corresponde às diferentes
geometrias:
Geometrias clássicas em R3
Geometria Transformações Invariantes
Uniforme Semelhanças Ângulos, paralelismo, razões
Euclidiana Isometrias Distâncias, ângulos,
paralelismo, razões
Afim Afinidades Paralelismo, razões
Projectiva Projectividades Razões
Assim, na geometria euclidiana, as transformações consideradas são as isometrias ou
movimentos rígidos (automorfismos), as translações, as rotações, as reflexões (inflexões
axiais) e reflexões deslizantes.
Intuitivamente, podemos dizer que uma isometria preserva ou conserva a “forma” e a
“grandeza” das figuras: se é uma isometria e 'FF então as figuras F e 'F têm a
mesma “forma” e “grandeza”.
Para qualquer figura F R2
e isometria , também dizemos que é uma simetria de F
sse .FF É fácil mostrar que o conjunto
IsoFSim ( R2): FF
é um subgrupo de Iso(R2), chamado o grupo simétrico ou grupo de simetria de F, e também
designado, por vezes, .FS
Na geometria equiforme consideram-se as semelhanças, i. é, as composições de
homotetias com isometrias.
2.2 TRANSFORMAÇÕES ORTOGONAIS
No espaço euclidiano (Rn, ·) interessa muito especialmente estudar todas as possíveis
transformações que conservam o produto escalar. Para ele se estabelece a seguinte definição:
13
Definição 2.2.1. – Um endomorfismo T: Rn R
n se diz ortogonal se conserva os
produtos escalares, isto é, se ,yxyTxT para todo par y,x
de R
n.
Podemos recopiar no seguinte teorema as propriedades básicas de ditas transformações.
Teorema 2.2.1. – Seja T uma aplicação linear e ortogonal de Rn. Então:
i) T conserva as normas, as distâncias e os ângulos.
ii) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais.
iii) Se T admite um valor próprio , necessariamente é .1 ou .1
Demonstração:
Por conservar T os produtos escalares resulta xxxxTxTxT
, isto é, T
respeita as normas e, sendo linear verifica yxyxTyTxT
, as distâncias se
conservam. Relativamente aos ângulos cabe notar que
;cosyx
yx
yTxT
yTxTcos yxyTxT
de onde se segue i). Por conservar T as normas e os ângulos (e em particular a ortogonalidade)
resulta ii). Por último para iii), se ,vvT
para certo , necessariamente
vvTvv
e portanto 1 e .1
Do ponto de vista destes resultados podemos caracterizar matricialmente ditas
transformações:
Teorema 2.2.2. – As matrizes das transformações ortogonais se denominam
ortogonais e se caracterizam pelo facto de que sua matriz inversa coincide com sua transposta.
Em particular, seu determinante vale +1 ou -1.
Demonstração: - Seja T a matriz da transformação ortogonal T. Então
,yTTxyTxTyTxTyxtt
para todo ,y,x
onde nt
ITT e portanto .TT t 1 Reciprocamente, se 1
TT t
resulta yxyTTxyTxTtt
e T é ortogonal. Como, além disso, se 1 TT t é
Tdet/TdetTdetTdett
11
será 12Tdet e .Tdet 1 Portanto, os
endomorfismos ortogonais são bijectivos.
Quando 1Tdet se diz que se conserva a orientação da figura e quando 1Adet se
diz que se muda de orientação.
14
O conjunto GO ( Rn) = :TT R
n Rn linear e ortogonal é um grupo
relativamente à composição que se chama ortogonal de Rn e, pelo teorema anterior, se
identifica com o grupo das matrizes nn ortogonais.
Vamos dar agora explicitamente as classificações de todas as transformações ortogonais
de R2 e R
3, i. é, os componentes de GO ( R
2) e GO ( R
3).
a) Transformações ortogonais em R2.
Seja T: R2 R
2 linear e ortogonal. Se sua matriz é
dc
baT ao ter que se verificar
1 TT
t resulta
ac
bd
Tdetdb
ca 1, ou equivalente
Tdet
da e
Tdet
bc
.
Distinguiremos os dois possíveis casos de 1Tdet . Se 1Tdet será ;bc,da
de donde
ab
baT e .ba 122 Existirá então um ângulo tal que cosa e senb e,
portanto T se poderá escrever como
.cossen
sencosT
Ditas transformações é um giro ou rotação de centro na origem 00, e ângulo (fig.
2.2.1.). Se º180 se fala também de simetria central.
Fig. 2.2.1.
No outro caso, se 1Tdet será ;bc,da e
ab
baT com ,ba 122 portanto
existirá também com cosa e senb e
cossen
sencosT
Dita matriz representa uma simetria axial com eixo, a recta ,xtgy 2 recta que passa
por 00, e forma um ângulo 2
relativamente ao eixo x (fig. 2.2.2.).
15
Fig. 2.2.2.
No que se segue anotaremos por o
G o giro de centro o
e ângulo e por 2S a
simetria axial relativamente à recta .xtgy 2 Como elementos fixos, os giros só têm a
origem e as simetrias axiais, os eixos de simetria. Em particular, se ov
1 é um vector
unitário num eixo de simetria e se elege um 2v
unitário e ortogonal a ,v1
resultará que
relativamente a esta base ortonormal privilegiada 21 v,v
a matriz da simetria axial é
10
01.
b) Transformações ortogonais em R3.
Seja T: R3 R
3 linear e ortogonal. Vamos classificar T de acordo com a dimensão
do subespaço de seus vectores fixos
Ker xIT
3 R3 xxT
.
Por ser Ker 3IT R3, existirão quatro possíveis valores para sua dimensão:
b1) Se dim Ker ,IT 33 todos os pontos de R3 são fixos e é ,IT 3 a identidade.
b2) Se dim Ker ,IT 23 existe um plano de vectores fixos. Sejam 21 v,v
uma
base ortonormal de . Em particular 11 vvT
e 22 vvT
. Escolhendo (fig. 2.2.3) 3v
unitário e ortogonal a obteremos uma base ortonormal de R3: 321 v,v,v
. Como 11 vvT
,
22 vvT
e 3vT
é outra base ortonormal, necessariamente é 33 vvT
, mas então 1 .
Se fosse 1 seria 33 vvT
e 3v
estaria em , o qual é absurdo por construção.
Portanto é ,1 com o que 33 vvT
e em dita base ortonormal especial a matriz de
T é
100
010
001
T ,
tratando-se de uma simetria especular relativamente ao plano . Como a priori ,Tdet 1
resulta que dita simetria especular muda a orientação.
16
Fig. 2.2.3.
b3) Se dim Ker ,IT 13 existe uma recta r de vectores fixos. Seja 1v
um vector
unitário em r 11 vvT
e sejam 32 v,v
uma base ortonormal do plano perpendicular a r que
passa pela origem 132 vv,v
(fig. 2.2.4.).
Fig. 2.2.4.
Por ser 321 v,v,v
uma base ortonormal de R3, será 11 vvT
, 32 vT,vT
uma base
ortonormal e, portanto, 132 vvT,vT
Então a restrição de T a actua como uma
aplicação linear :T que é ortogonal e não possui nenhum vector fixo em , salvo a
origem. Logo dita restrição é necessariamente um giro em de centro o
e certo ângulo .
Por isso é
,cos,sen,vT,sen,cos,vT 00 32
e a matriz de T será (na base especial 321 v,v,v
):
,
cossen
sencosT
0
0
001
tratando-se de uma rotação em torno do eixo 1vr
que conserva a orientação .Tdet 1
b4) Se dim Ker ,IT 03 somente a origem fica fixo por T. Por isso T não pode
ter um valor próprio +1; mas ao ser a equação característica 03 ITdet do terceiro grau,
admitirá uma solução real que necessariamente deverá ser -1. Seja 1v
unitário e tal que
.vvT 11
No plano 1v
escolha-se uma base ortonormal .v,v 32
Então, por ser (fig.
2.2.5.) 321 v,v,v
uma base ortonormal de R3, e 11 vvT
, resulta como antes
132 vvT,vT
e a restrição de T ao plano 21 v,v
será ,:T linear e
ortogonal sem nenhum ponto fixo salvo a origem, tratando-se pois T de um giro:
17
.cos,senvT,sen,cosvT 32
Nesta especial base 321 v,v,v
a matriz de T é
e se trata de uma simetria rotacional ou rotação imprópria que muda a orientação .Tdet 1
Fig. 2.2.4.
Com o anterior esgotamos todas as possibilidades de análises e portanto a classificação
está completa, isto é:
Teoremas de classificação 2.2.3. – As únicas transformações ortogonais em R2 são os
giros em torno da origem e as simetrias axiais com eixos que passam pela origem. As únicas
transformações ortogonais em R3 são as rotações em torno de um eixo pela origem, a simetria
especular relativamente a um plano que contem a origem e a simetria rotacional.
2.3.- ISOMETRIAS OU MOVIMENTOS RÍGIDOS
Um movimento rígido ou isometria é uma aplicação F: Rn R
n que conserva as
distâncias, isto é, ,yxyFxF
para todo par de pontos y,x
de Rn.
Exemplos de isometrias são:
a) As transformações ortogonais, como endomorfismos T de Rn que conservam o
produto escalar yxyTxT são isometrias ao verificar-se:
;yxyxyxyxTyxTyxTyTxT
b) As translações aT : Rn R
n tais que ,axxTa até mesmo não sendo
lineares se ,a 0
conservam as distancias, pois:
yxayaxyTxT aa .
cossen
sencosT
0
0
001
18
Notando que se F e G são isometrias sua composição GF também o é:
,yxyGxGyGFxGFyGFxGF
resulta um terceiro exemplo:
c) As composições de translações e transformações ortogonais são isometrias.
Podemos agora estabelecer o teorema fundamental de representação das isometrias,
segundo o qual toda isometria é do tipo c) descrito anteriormente.
Teorema 2.3.1. – Toda isometria F é uma transformação ortogonal, ou bem uma
translação composta com uma transformação ortogonal.
Demonstração – Seja F: Rn R
n isometria. Vamos distinguir dois casos:
Caso 1. – Seja 00
F . Neste caso para todo z
Rn se cumpre:
.zzzzFzFzFzFzF
222200
Como 22yxyFxF
resulta ,yxyyxxyFxFyFyFxFxF 22
e utilizando a propriedade primeiramente verificada ,xxxFxF yyyFyF
se
segue yxyFxF
. Assim pois, F conserva os produtos escalares. Falta verificar que F é
linear para poder concluir que, neste caso de ,F 00
F é uma transformação ortogonal. Para
isto notemos que se ne,...,e
1 é base ortonormal de Rn, ao conservar F os produtos escalares,
necessariamente neF,...,eF
1 é uma base ortonormal de Rn. Consideremos agora y,x
R
n
e R. para cada n...,,,i 21 se satisfaz:
,yexeyxe
yFeFxFeFyxFeF
yFxFyxFeF
iii
iii
i
0
portanto, ao ser o vector yFxFyxF
ortogonal a todos os elementos
neF,...,eF
1 da base ortonormal, necessariamente dito vector é nulo; i. é,
,yFxFyxF 0
e F é linear, como se queria demonstrar.
Caso 2. – Seja 00
F . Considera-se então a aplicação F~
: Rn Rn
, dada por
0
FxFxF~
. Evidentemente 0000
FFF~
e sendo F isometria F~
também o é,
pois
19
yxyFxFFyFFxFyF~
xF~
00 .
Portanto, F~
é uma isometria que deixa fixo a origem e pelo caso 1, F~
é uma transformação
ortogonal. Como ,FxF~
xF 0
poderá escrever-se F~
TFF
0
e resulta que F é a
composição da transformação ortogonal F com a translação do vector 0
F . (Teorema está
demonstrado).
Como as isometrias são bijectivas e são afinidades, é fácil ver que o conjunto de todas
isometrias
GM ( Rn) TT : R
n R
n isometria
forma um grupo relativamente à composição que é um subgrupo do grupo afim GA ( Rn) e
que contem por sua vez como subgrupo o grupo ortogonal GO ( Rn):
GO ( Rn) GM ( R
n) GA ( R
n).
Grupo ortogonal Grupo métrico Grupo afim
(conserva o produto escalar, (conserva distâncias, (conserva paralelismo)
i. é, ângulos, rotações) translações, rotações)
Ao grupo métrico GM ( Rn) se lhe denomina também geometria métrica.
A nível de descrição matricial da isometria ,F~
TFF
0
sendo ijaA~
F~
uma
matriz ortogonal e na,...,aF 10
o vector translação, pode escrever-se a transformação F na
seguinte forma:
11001
2
1
1
1112
2
1
nnnnn
n
n x
x
x
aaa
aaa
'x
'x
'x
donde implicitamente se assume o convénio de identificar os vectores de Rn: nx,...,x,x 21
com os de Rn+1
: 121 ,x,...,x,x n de última coordenada 1. O seguinte esquema resume as
isometrias de R2 e R
3 (fig. 2.3.1.).
20
ISOMETRIAS
TRANSLAÇÃO
100
10
01
b
a
+1
R2
TRANSLAÇÃO E
GIRO
100
bcossen
asencos
+1
TRANSLAÇÃO E
SIMETRIA AXIAL
100
10
01
b
a
-1
TRANSLAÇÃO
1000
100
010
001
c
b
a
+1
TRANSLAÇÃO E
SIMETRIA ESPECULAR
1000
100
010
001
c
b
a
-1
R3 TRANSLAÇÃO E
ROTAÇÃO AXIAL
1000
0
0
001
ccossen
bsencos
a
+1
TRANSLAÇÃO E
SIMETRIA ROTACIONAL
1000
0
0
001
ccossen
bsencos
a
-1
Fig. 2.3.1.
A tabela anterior permite que se sinta a importância que tem a posição relativa da
translação da isometria com os elementos fixos da transformação ortogonal associada. No
caso particular de que exista paralelismo foram introduzidos denominações especiais. Tal é o
caso do movimento helicoidal (rotação axial com translação paralela ao eixo) ou simetria com
deslizamento (simetria axial do plano com translação paralela ao eixo).
21
2.4. GRUPO DE SIMETRIA DE UMA FIGURA PLANA
No que se segue se entenderá por figura plana F qualquer subconjunto de R2. Estudar
«estaticamente» F consiste em analisar as propriedades métricas ou euclidianas de F (seus
ângulos, suas convexidades, e concavidades,... etc.). Mas por ser o grupo euclidiano ou
métrico GM (R2
) simples (toda isometria é uma translação composta com uma rotação ou
uma simetria axial), também cabe analisar F «dinamicamente», isto é, estudar sob que
movimentos rígidos permanecem F invariante. Para isso, dada a figura plana F, considere-se
,FS o conjunto de todas as isometrias que transformam a figura em si mesma, isto é,
GMTSF (R2
) .FFT
Ao considerar a composição de isometrias (que são bijectivas) se verifica trivialmente:
a) Se T, 'T FS então ,F
' STT
b) Se F
' ST então ,S'T F1
c) ,SI F2
propriedades que asseguram uma estrutura de grupo a .SF Por isso a FS se lhe denomina o
grupo de simetria da figura F. Tal grupo é, evidentemente, um subgrupo do grupo GM (R2
).
Vamos determinar FS para algumas figuras simples:
P
_________________r
B C
A D
B C
r1
1r
A D
r2
B
A C
B C
A D
Fig. 2.4.1.
1f : Por 1f se tratar de um ponto P, 1fS contem todas as rotações de centro O e todas as
simetrias axiais com O no eixo e as combinações de ditos movimentos. Se trata
O
22
evidentemente de um grupo com infinitos elementos que, no entanto, não existe nenhuma
translação.
:f2 A recta r ficará invariante por todas as translações de vector paralelo a r, por todas as
simetrias com eixo ortogonal a r e por todas as rotações de 180º (simetrias centrais) com
centro num ponto de r. Os ditos movimentos gerarão 2f
S .
:f3 O trapézio irregular 3f só é invariante pela identidade e, portanto, resulta um grupo
de simetria trivial .IS f 23
4f : O rectângulo [ABCD], com ,BCAB_________
tem dois eixos de simetria 1r e 2r e é
invariante pelo giro de 180º ao redor do ponto P (intersecção de 1r com 2r ). Assim pois,
).S,S,G,I(S rrº
Pf 214
1802 Por tratar-se de um grupo com um número finito de elementos
cabe escrever a «tabela» do grupo:
O 2I
1rS
2rS º
PG180
2I 2I 1r
S 2r
S ºPG180
1rS
1rS 2I º
PG180 2rS
2rS
2rS º
PG180 2I 1r
S
ºPG180 º
PG180 2rS
1rS 2I
:f5 O triângulo equilátero [ABC] de centro de gravidade 0, é invariante para os três giros:
º2400
º1200
G,G e 2º360
0IG e pelas simetrias de eixos 0A, 0B e 0C. Eis, pois, a tabela de
dito grupo :S .f5
23
O
2I o
oG120 o
oG240 1rS
2rS
3rS
2I
2I
o
oG120 o
oG240 1r
S 2r
S 3r
S
o
oG120
o
oG120
o
oG240 2I 2r
S
3r
S
1rS
o
oG240
o
oG240
2I
o
oG120 3rS
1rS
2rS
1rS
1r
S
3r
S
2rS
2I
o
oG240 o
oG120
2rS
2r
S
1r
S 3r
S
o
oG120 2I
o
oG240
3rS
3rS
2rS
1r
S o
oG240 o
oG120 2I
6f : O mosaico rectangular infinito gerado pelo ladrilho rectangular [ABCD] é invariante pelas
translações múltiplas dos vectores
AD e
AB (e suas combinações), assim como para as
simetrias axiais próprias de 4f e as de eixos paralelos que passam pelos centros dos ladrilhos.
Por se tratar de um grupo infinito não tem cabimento fazer a tabela, mas sim dar estes
movimentos geradores do grupo de simetria.
Recapitulemos depois das análises dos exemplos anteriores algumas observações que
podem ser úteis com vista a determinar grupos FS de simetrias de figuras F:
1) FS contem como mínimo a identidade .I2 Assim pois, qualquer figura por irregular
que seja «tem» grupo de simetria. Por isso cabe dizer que a figura é mais regular quantos mais
elementos tenham .SF
2) Figuras muito distintas podem ter o mesmo grupo de simetria. Isto é, FS não
caracteriza univocamente à figura F. Por exemplo, as seguintes figuras têm como grupo de
simetria 1f
S antes descrito.
Fig. 2.4.2.
3) Nas figuras cabe distinguir os pontos fixos dos elementos duplos. Os pontos fixos o
são pelos movimentos (centros de rotações, eixos de simetria, ….). Os elementos duplos são
24
aqueles subconjuntos que se transformam «globalmente» em si mesmos (mesmo que não
tenham pontos fixos). Por exemplo, numa simetria axial o eixo é de pontos fixos, mas as
rectas ortogonais ao eixo são elementos duplos com um só ponto fixo. Note-se que as
translações não têm pontos fixos e, no entanto, admitem rectas duplas (as paralelas ao vector
translação).
4) Os grupos de simetria FS podem ser finitos ou infinitos. No caso finito pode fazer-se
a tabela completa do grupo e no caso infinito cabe enumerar os elementos geradores de FS ,
isto é, as isometrias que combinadas entre elas dão todos os possíveis elementos de FS .
Note-se que a finitude ou não de FS não está na relação a priori com a acotação ou infinitude
geométrica da figura F. Assim, um ponto ou círculo têm grupo de simetria infinito e, pelo
contrário, a seguinte figura F infinita tem grupo FS finito (fig. 2.4.3.).
Fig. 2.4.3.
5) As figuras podem «classificar-se» a partir dos grupos de simetria. Basta definir a
relação de equivalência: “ F~F’, duas figuras são simetricamente equivalentes, se e só se
existe uma isometria GMf (R2) tal que fSfS FF' 1 ”, ou equivalentemente,
“ fTf'T 1 para cada .S'T,ST 'FF ”
6) A quantidade de elementos do grupo de simetria FS de uma figura F coincide com o
número de maneiras diferentes em que a figura F recortada num plano de cartão pode
reintegrar-se no cartão.
Por exemplo:
(1) (2) (3)
Fig. 2.4.4
No caso (1) só existe uma possibilidade, no (2) existem 6 possibilidades (girando o
cartão de lado se é preciso) e no caso (3) há infinitas maneiras. Este princípio manual tão
elementar tem importância radical no problema do acoplamento, multiuso e coordenação de
desenhos.
25
Nos sub-capítulos seguintes se estudarão com detalhe três tipos especiais de grupos de
simetria: os pontuais ou de Leonardo, os dos frisos infinitos e os chamados do plano.
2.5. GRUPOS PONTUAIS DE SIMETRIA OU DE LEONARDO
Um tipo especial de grupo de simetria é o chamado grupo pontual ou de Leonardo, em
honra de Leonardo da Vinci, quem utilizou tais grupos em alguns de seus desenhos
arquitectónicos de capelas.
DEFINIÇÃO 2.5.1. – Um grupo de simetria FS de uma figura plana F, se chama
pontual ou de Leonardo se FS é um grupo finito e existe um ponto O de F, fixo por todos os
elementos de FS . Ao dito ponto fixo se lhe denomina centro de simetria de F.
Vamos encontrar todos os possíveis grupos de Leonardo. Com efeito, se FS é um tal
grupo finito com um ponto O fixo [ao ser GMSF (R2)], FS não pode conter nenhuma
translação ao ser O fixo, portanto, FS só poderá ter giros ou rotações com centro O e
simetrias axiais com O no eixo. Vamos analisar dois casos:
a) Se FS contem um giro ou rotação oG de centro O e ângulo , necessariamente
deverá conter ,...GG...G,...,GGG,G kooooooo 2 todas os giros ou rotações de centro O
e ângulo .k Mas sendo FS um grupo finito, a única possibilidade para conter a anterior
sucessão é que a dita sucessão só contenha um número finito de elementos distintos, o qual é
equivalente a que, para certo n, resulte ,IGG ono 2
2 isto é, .n
2 Assim pois, se FS
contem um giro(ou rotação), este será de ângulo n
2 e FS também conterá as suas
repetições .IGG,G,...,G,G on
n
on
)n(
on
on
o 22
221
22
2
Indicamos por nC o grupo cíclico
gerado por ,G n/2 isto é,
n....,,,kGC n/kon 212
b) Se FS contem uma simetria axial rS relativamente a uma recta r, tal que ,rO
26
então uma primeira possibilidade é que o grupo seja .ISS,S rrr 2 Se FS contem além
disso outra simetria 'rS , com 'rr ,'rO deverá conter ,GSSSS or'r'rr sendo o
dobro do ângulo formado por r e r’. Mas pela a), necessariamente será ,n
2 para certo
n>1. Neste caso FS deverá conter os ,rO elementos do grupo cíclico nC mais todas as n
simetrias axiais obtidas ao girar a recta r segundo os ângulos .n....,,,k,n
k 212
Chamaremos
nD ao grupo diedral com n giros e n simetrias axiais, isto é, para n>1:
.n,...,,iS,GDir
in
on 21
2
Para 1n temos .I,SD r 21 Note-se que é ,IC 21 mas ,IDn 2 para todo n.
Toda esta argumentação prévia tem permitido encontrar todos os possíveis grupos
pontuais, isto é, acabamos de demonstrar o teorema de Leonardo.
TEOREMA DE LEONARDO 2.5.1. – Os únicos grupos de simetria de Leonardo
são os grupos cíclicos nC ou os grupos diedrais ,Dn para ....,,n 21
Na figura 2.5.1. se recopiam os ditos grupos (com a notação n/ºo
n
º GG 360360 e
n
ºk
n
º)k(
n
ºG......GG 360360360
). Ressaltemos que se bem que todos os grupos são finitos, existem
infinitos deles.
Fig. 2..5.1.
Na tabela anterior foram dados figuras geradas a partir de um módulo, por iteração dos
grupos nC e .Dn Vamos evidenciar agora que, os grupos de Leonardo para ,3n se
correspondem univocamente com os grupos de simetria dos polígonos. Todo polígono de n-
lados ou n-polígono está determinado por n vértices distintos nV,...,V,V 21 e os n lados ou
segmentos 113221 VV,VV,...,VV,VV nnn (os lados só têm em comum os vértices). Cada três
27
vértices consecutivos determina um ângulo. O n-polígono se diz convexo se dados os pontos,
situados nos lados, o segmento que os une está contido no interior do polígono ou na sua
fronteira. Quando o n-polígono é convexo e todos seus lados e ângulos são iguais, se diz que é
um polígono regular. Por exemplo, das figuras seguintes com 12 lados (fig. 2.5.2.) só a
primeira é um 12-polígono regular; a segunda (cruz grega) é um 12-polígono não regular e a
terceira não é um polígono. Clarificado este conceito de polígono, podemos prosseguir o
estudo dos grupos nC e .Dn
1) 2) 3)
Fig.2.5.2.
TEOREMA 2.5.2. – Para todo 3n o grupo diedral nD é exactamente o grupo de
simetria do n-polígono regular.
Demonstração. - Evidentemente 3D é grupo de simetria de um triângulo equilátero.
Dado um polígono nP regular e com n lados (inscrito numa circunferência) este ficará
invariante por nD , ao conter nD os giros de centro, o centro da simetria e ângulo 2/n, e as
simetrias axiais relativamente às rectas determinadas pelos pares de vértices diametralmente
opostos e pelos pontos médios dos lados paralelos. Assim pois, .Fn nSD Mas se uma
isometria T está em ,FnS ao conservar T as distâncias e ângulos necessariamente enviará 1V
a outro vértice ;Vi0 então 2V irá parar a ,VV ii 1010 portanto T (que deixa fixo o centro) será
ou um giro ou uma simetria de nD , com o que nDT e .DS nPn Em conclusão,
nP DSn (fig. 2.5.3.).
Fig.2.5.3.
28
Ao mesmo que sucede com os grupos 1D e 2D também os grupos cíclicos 1C e 2C são
especiais (fig. 2.5.4.).
Fig.2.5.4.
Para construir polígonos (não regulares) que correspondam a ,Cn com ,3n
consideremos uma circunferência C de centro O e um ponto 1W de C.. Seja 1M um ponto
médio do raio _____
1OP e tracemos o círculo 1C centrado em O e de raio _____
1OM . Ao dividir C em
n partes obtemos os pontos .W...,,W,W n21 Marque-se sobre 1C os pontos médios
nM...,,M,M 21 dos raios .OW,...,OW,OW_____
n
__________
21 Seja nQ o polígono orientado obtido ao unir o
caminho de pontos 11332211 M,W,M,W,...,W,M,W,M,W,M nnn (fig. 2.5.5.).
Fig.2.5.5.
TEOREMA 2.5.3. – Para todo 3n o grupo cíclico nC é exactamente o grupo de
simetria do n – polígono orientado .Qn
Demonstração. - Obviamente em .SCnQn Como
nQST deixa fixo O, T será um
giro de centro O ou bem uma simetria ao axial com eixo por O. Por ser T isometria, T enviará
1X a outro vértice .Wi0 Se T fosse simetria axial enviaria 2W a 1010 ii WW e então existiria
um giro G tal que TG fixaria O e 2W , pelo qual o segmento 3WM iria parar a 12MW que
não está em .Qn . Assim, T é giro, está em nC e é .CS nQn
2.6. GRUPOS DE SIMETRIA DOS FRISOS
Os frisos, elementos substanciais da ornamentação clássica, têm como denominador
comum a repetição de um determinado módulo, figura ou motivo ao longo de uma banda
29
rectangular, dando-se sempre uma periodicidade sistemática na repetição do módulo, o que
constitui, precisamente, a base do ritmo que o friso comunica.
Por isso no desenho de frisos existem de entrada dois graus de liberdade: a eleição do
motivo gerador e a eleição de aquelas transformações que aplicadas ao motivo inicial
permitam «encher» a banda rectangular que contem o friso. Enquanto que o desenhador pode
eleger arbitrariamente o motivo inicial, resulta que as possíveis transformações para gerar os
frisos se limitam a uma gama muito limitada: os sete grupos de frisos que estudaremos com
detalhe seguidamente. Esta limitação generativa, longe de moderar as possibilidades criativas
vem mostrar a essência geométrica que se esconde por de trás de uns desenhos tão diversos
como sugestivos. Contemplemos antes de entrar na descrição matemática do tema os
seguintes sete esquemas (fig. 2.6.1.).
1F 11F
21F 3
1F
2F 1
2F
22F
Fig. 2.6.1.
Pode-se analisar visualmente quais são os movimentos que em cada caso foram
aplicados ao motivo inicial. Note-se que a efeitos de classificação serão indistinguíveis
aqueles frisos que contenham o mesmo «tipo» de transformações.
Vamos introduzir agora a definição formal de friso:
DEFINIÇÃO 2.6.1.- Seja r uma recta com vector director .a
Um grupo de simetria F de um
friso é qualquer grupo de isometrias do plano que deixa fixa r e contenha, como únicas
translações o grupo gerado pela translação ;Ta isto é:
a) GMTTF (R2
) e ,r)r(T
30
b) ,nTF an e se FTb é anb
com .n
Evidentemente, todo grupo de friso conterá infinitos elementos, pois como mínimo
estará formado pelo grupo de translações gerado por .Ta
LEMA 2.6.1. – As únicas isometrias que podem formar parte de um grupo de friso com
recta fixa r são: as translações ,T an com n e a
vector director de r; a simetria axial rS
relativamente a r; as simetrias axiais 'rS com eixo r’ ortogonal a r; os giros n
AA GG de
centro um ponto A de r e ângulo 180º, e as combinações de todos os movimento anteriores.
Pode-se reconstruir facilmente a demonstração deste lema vendo que qualquer outro tipo
de isometria no descrito no enunciado violaria a invariância de r. No que segue utilizaremos
sistematicamente as notações introduzidas neste lema: ,anT rS , 'rS , AG e indicaremos
)(ATA ann e por nM o ponto médio de nA e .1nA
LEMA 2.6.2. – Com as notações precedentes se verifica:
a) Se rCBA ,, então ,DABCCBA GGGGGGG para certo .rD
b) .raar STTS
c) Se rA é .GGT MAa 1
d) ,. 'rra SST se r´´ ortogonal a r no ponto médio entre ´rrP e ).(PTa
e) Se rA e T é isometria, é .)(
1
ATA GTGT
Agora estamos em condições de começar a descrição sistemática dos sete grupos de
frisos.
1) Grupo de friso 1F só com translações. Neste caso, pela própria definição de grupo e
friso, 1F constará só das translações geradas por ;aT isto é,
.1 nTF an
Note-se que o grupo 1F estará contido em todos os demais grupos de frisos. Um friso
típico com grupo 1F é: (fig. 2.6.2.).
A0 M0 A1 M1 A2 M2 A3 M3 A5
Fig.2.6.2.
31
2) Grupo de friso 2F que contem 1F e só tem isometrias que conservam a orientação.
Se é 12 FF e 2F só tem isometrias que conservam a orientação, necessariamente 2F deve
conter só giros ,AG com rA e não terá nenhuma simetria axial. Assim, se 21 FF e
22,FFGA deverá conter também os elementos da forma ., nGT Aan Em particular, 2F
conterá os elementos )A(amTamam GGT 22 [ c) do lema 2.6.2], isto é, todos os giros de
centro ),(ATA amm com .m . Também 2F deverá conter MmAam GGT
)12( giros de
centro mM , ponto médio entre )(AT am e ).()1( AT am
Vejamos agora que 2F não pode conter
nenhum outro tipo de giro.
Com efeito, se 2FGB seria 22
FTGGAB
AB e portanto deveria se ,an
AB TGG
para certo n de Z, pois tais são as únicas translações permissíveis em ;2F em tal caso ocorreria
,)()()( .nan
ABB AATAGGAG e portanto B seria o ponto médio entre A e ,nA isto é, B
seria um ponto .mM Assim temos demonstrado que 2F , por conter só isometrias que
conservam a orientação, só pode conter 1F , os giros nAG e os giros ,
nMG isto é:
,,,2 nGGTFnn MA
an
e 2F se gera combinando somente
aT com ,AG para certo .rA Um friso característico de
2F é (fig. 2.6.3.).
Fig. 2.6.3.
Como acabamos de ver 1F e 2F são os únicos grupos que só contêm isometrias que
conservam a orientação. Os restantes grupos de frisos resultarão de admitir simetrias axiais,
isto é, de ampliar 1F e 2F com ditas simetrias.
3) Grupo de friso 1
1F obtido ao ampliar 1F com tS e suas combinações. Se 111 FF
e 1
1
1
1 ,FFSt também conterá tanan
t STTS [ b) lema 2.6.2], sendo ,
ant TS com
,0, nn 1
1F não terá nem giros nem nenhuma outra simetria axial diferente de tS .
32
Um friso típico com grupo 1
1F é (fig. 2.6.4.).
Fig. 2.6.4.
4) Grupo de friso 1
2F obtido ao ampliar 2F com tS e suas combinações. Assim 1
2F
conterá além de
aT e AG (geradores de 2F ) tS e todas as combinações do tipo:
(*) ,)2,1(,,;1
2 iknTGSFan
i
A
k
t
devendo-se recordar que tS comuta com
aT e AG (lema 2.6.2). Em particular de (*) resulta
que 1
2F contem a simetria com deslizamento tan
ST que transforma A em ).(ATAan
n
Também 1
2F conterá os elementos nrtAan
SSGT 2
e nrrAan
SSGT ')12(
, donde (fig.
2.7.1) nr ' indica a perpendicular a r em nA e nr ' a perpendicular a r em nM ponto médio de
nA e .1nA
Um friso característico com grupo 1
2F é (fig. 2.6.5.).
Fig. 2.6.5.
5) Grupo de friso 2
1F obtido ampliando 1F só com uma simetria )´(' rrSr
e suas combinações. Se 2
1F se gera com 1F e )´(' rrSr necessariamente todo elemento de
2
1F será da forma ''' rar STS , onde '','' rrr passa pelo ponto médio entre 'rrP e
)(PTa [pela d) do lema 2.6.2].
Por isso 2
1F não conterá rS , mas sim todas as simetrias com eixos perpendiculares a r
nos pontos nArrA ´, e .nM Um friso característico com grupo 2
1F (fig. 2.6.6.) é:
Fig. 2.6.6.
33
6) Grupo de friso 2
2F obtido ampliando 2F com mmr MArrrrS ,',´(' se m
e suas combinações.
2
2F contem 2F (terá ,AG para certo A de r) e contem ´rS com r’ ortogonal a r. Se ´rr
fosse nn MA resultaria 1
2
2
2 FF o qual é absurdo. Seja pois ,´ Prr com mAP e
mMP para todo ..m Como 'ra
ST estará em 2
2F e pelo lema 2.6.2. d) dita
transformação é a simetria axial ,''rS com r’’ perpendicular a r no ponto médio de P e )(PTa
(fig. 2.7.1.), podemos supor sem perda de generalidade que P é precisamente o ponto médio
de A e M [pois ao ser ,2
2')( FrArAS SGSGr
necessariamente )(' ASr deve ser um dos
centros permissíveis de giro, isto é, MASr )(' ]. Além disso, 2
2F não pode conter a simetria
ArS ' ( Ar ' perpendicular a r em A), pois em caso contrário 2
2F conteria também a translação
Arr SS '' que envia A a M, o qual é absurdo ).aAM(___
Analogamente se vê que tão pouco
2
2F pode conter .rS
Em definitiva, 2
2F estará gerado por '',, rAa SGT com ''r ortogonal a r em P ponto
médio de A e M. Agora bem, por ser Ar GSL ' uma simetria com deslizamento que leva A
a M será
aTLL e ,'´ Ar GLS
e por ele Ar GSL ' e AG geram 2
2F . Um friso típico com grupo 2
2F é (fig. 2.6.7.).
Fig. 2.6.7.
7) Grupo de friso 3
1F obtido ampliando 1F com uma simetria com deslizamento e
suas combinações. Seja 3
1FI uma simetria com deslizamento. Como necessariamente
3
1FII é uma translação, deve ser de 1F e será ,TII am para certo m. Distinguiremos
os casos nm 2 ou .12 nm
Se fosse nm 2 seria ,TII an 2 e ao permutar I com aT resultaria
,I)IT()IT( anan 2
34
e 31
FIT an seria .rS Então teríamos ,FTS aKr3
1 para todo ,K com o qual em
3
1F haveria os giros aKr TS e 1
2
3
1 FF ou não haveria nenhum giro e seria .1
1
3
1 FF Assim,
para que 3
1F dê lugar a um grupo de friso diferente dos anteriores será necessariamente
.12 nm Em tal caso, de a)n(TII 12 se deduz
,T)IT()IT( aanan
e tomando LIT an resultaria aTLL e portanto L mudaria a orientação. Como além
disso L leva A a M, L será simetria com deslocamento. Sendo então
am)m( TL 2 e ,LTL am
)m( 12
resulta que todas as simetrias com deslizamento em 3
1F são da forma .m,LT am Assim
3
1F se gera com aT e a simetria com deslizamento (ao redor de r) L tal que .aTLL Um
friso característico com grupo 3
1F é (fig. 2.6.8.).
Fig. 2.6.8.
Nota: Se existisse um grupo de friso F tal que 31
FF ocorreria que F poderia ter, por
exemplo, ).'(' rrSr Se FSr ' então F teria o giro LSr ' e então seria ;FGA ao ter F,
AG e L, seria .2
2FF Desta forma se comprova que não existe nenhum grupo de friso
diferente dos descritos que contenha 3
1F .
Esta enumeração e discussão cuidadosa dos sete grupos de friso constituem na realidade
o esboço básico da demonstração do seguinte teorema:
TEOREMA 2.7.1. – Fixada uma recta r de vector director a
sejam:
a) :Ta Translação de vector a
.
b) :rS Simetria axial de eixo r.
c) :AG Rotação de 180º ao redor de .rA
d) :S 'r Simetria axial de eixo 'r ortogonal a r.
e) L : Simetria com deslizamento.
Então existem somente 7 grupos de frisos cujos geradores são indicados abaixo (veja-se
figura 2.6.9.).
35
.G,LF,S,G,TF,G,TF
T,LF,S,TF,S,TF,TF
ArAaAa
a'raraa
22
122
31
21
111
A descrição detalhada dos sete grupos de friso que se acaba de oferecer permite por sua
vez resolver o problema de enquadrar qualquer friso dado de acordo com a classificação
estudada. Com vista a facilitar a dita classificação, é conveniente seguir um algoritmo claro
que vá delimitando passo a passo todas aquelas isometrias subjacentes ao friso. O algoritmo
de Rose e Stafford cumpre o dito objectivo. (*)
Uma generalização interessante dos frisos é o caso dos frisos ou bandas com diversas
cores.
Fig. 2.6.9.
Na tabela anterior (fig., 2.6.9.) aparecem as 31 classes de bandas bicolores. A figura
gerada é em geral um triângulo com uma cara branca e uma negra e nos casos 9, 14, 17, 19,
24, 26 e 31 um triângulo com as duas caras de igual cor. Cabe notar que em ditas bandas
aparecem rotações axiais especiais de 180º em redor da direcção do friso.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
36
Os tipos de frisos possuem as seguintes características:
Tipo Meia -volta Reflexão horizontal Reflexão vertical Reflexão deslizante
1F Não Não Não Não
31F Não Não Não Sim
21F Não Não Sim Não
2F Sim Não Não Não
22F Sim Não Sim Sim
11F Não Sim Não Não
12F Sim Sim Sim Não
2.7. CLASSIFICAÇÃO PARA OS GRUPOS DE FRISOS
Durante a consulta de livros e artigos sobre os frisos deparamo-nos com algumas
notações diferentes para classificar os grupos de frisos, cada uma usando um processo
diferente.
(*) ALGORITMO DE “ROSE E STAFFORD” DE CLASSIFICAÇÃO DE FRISOS
11F
Não
Existe translação mínima? Não é um friso
Existe simetria
horizontal?
Existe simetria horizontal?
Existe um giro?
Sim
Existe simetria
vertical?
Existe simetria
com deslizamento?
Não
Sim
Sim
Não
Sim
Sim
Não
Não
Não Sim
Não
Sim
Existe simetria
com deslizamento?
1F
21F
31F
12F 2
2F 2F
11F
37
Uma das outras notações provém da notação3 standard cristalográfica para os frisos e é
constituída por 4 símbolos. O primeiro símbolo “ p ” é igual para os sete grupos de frisos e
representa a repetição na direcção horizontal (translação) característica deste tipo de frisos.
Os restantes símbolos podem ser:
m: aparece em segundo lugar se existir reflexão vertical senão fica um “ 1 “ neste
lugar;
aparece em terceiro lugar se existir reflexão segundo uma linha horizontal e neste
caso, também, existirá reflexão deslizante. No caso desta simetria se verificar mas não existir
reflexão horizontal ou nenhuma das duas, o símbolo é um “ a “;
2: surge, sempre em quarto lugar se o friso manifestar simetria de rotação de grau 2
senão, o quarto símbolo será “ 1 “.
A classificação dos grupos de frisos, segundo esta notação é feita segundo o seguinte
fluxograma:
12
F 22
F 21
F 11
F 31
F 2F 1F
Fluxograma para classificação de frisos [de Wasburn e Crowe]
3 - in “www.prof2000.pt”
Existe uma reflexão (simetria) de eixo vertical?
sim não
Existe uma reflexão de eixo
horizontal?
Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma
reflexão deslizante?
sim não
Existe uma meia-
volta?
sim não
pma2 pmm2 pm11
sim não
p1m1
Existe uma reflexão
de eixo horizontal?
Existe uma meia-
volta?
sim não sim não
p1a1 p112 p111
38
Outra notação4 usada é uma versão simplificada de símbolos internacionais de
duas dimensões, como tal é constituída por dois símbolos. O primeiro representa o elemento
de simetria perpendicular à direcção da translação e o 2º símbolo representa o elemento de
simetria paralelo ou perpendicular à direcção da translação (exclusiva para a rotação de grau
2).
Nesta notação utilizam-se as letras m e g e os números 1 e 2 com os seguintes
significados:
m: se for o 1º símbolo, o friso tem simetria vertical;
se for o 2º símbolo, o friso tem simetria horizontal;
g: aparece sempre como 2º símbolo se o friso apresentar simetria de reflexão
deslizante;
1: se for o 1º símbolo, o friso não tem simetria vertical;
se for o 2º símbolo, o friso não tem nenhuma simetria, além da indicada pelo 1º
símbolo;
2: aparece sempre como 2º símbolo se o friso tem simetria de rotação de grau 2
(180º).
Seguindo esta notação, a classificação dos grupos de frisos procede-se do seguinte modo:
Existe uma reflexão de eixo vertical?
Sim Não
Existe uma Existe uma Não existe Existe uma Existe uma Existe uma Só existe
reflexão de reflexão reflexão de reflexão de reflexão meia –volta simetria de eixo
horizontal deslizante eixo horizontal eixo horizontal deslizante translação
nem reflexão deslizante
12
F 22
F 21
F 11
F 31
F 2F 1F
Fluxograma (adaptado da APM)
4 - in “www.prof2000.pt”
m 1
1g 1m 11 m1 12 mm mg
39
Se utilizarmos o programa Kali5 depararemos com uma notação que não coincide com
nenhuma destas, trata-se da notação “Orbifold” de John Conway. Contudo, podemos
estabelecer ligações entre a notação de Wasburn e Crowe e a notação “Orbifold” de John
Conway:
Wasburn e
Crowe
Orbifold
pmm2 *2200
pma2 2*00
pm11 *0000
p1m1 00*
p1a1 000
p112 2200
p111 0000
Chave para a classificação dos grupos de frisos
Como só há sete grupos de simetria possíveis, dado um friso qualquer, podemos
determinar facilmente a que tipo pertence.
Conforme as respostas, assim o grupo, tendo em conta a “chave” seguinte, onde “S”,
“N”, “meia-v”, “refl”, “refl-c” e “refl-d” abrevia “Sim”, “Não”, “meia-volta”, “reflexão”,
“reflexão na central” e “reflexão deslizante”, respectivamente.
1
31
21
11
2
22
12
:
:?:
:
?:
:
?:
:
:?:
:
?:
?
FN
FSdreflN
FS
reflN
FS
creflN
FN
FSreflN
FS
creflS
vmeia
5 - in “www.prof2000.pt”
40
2.8. GRUPO DE SIMETRIA DO PLANO
Neste capítulo estudaremos certos grupos de isometrias que actuam sobre todo o plano
R2 e que por isso se chamam grupos de simetria do plano. E. S. Fedorov, estudando
cristalografia, demonstrou a existência de unicamente 17 grupos de simetria do plano. Na
realidade, como cita o próprio Fedorov, já em 1869 C. Jordan havia descrito 16 de tais grupos
e em 1874, L. Sohncke reconheceu que faltava, esquecendo porém em sua consideração 3 dos
que Jordan já havia falado anteriormente. Em 1924, G. Pólya e P. Nigghi redescobriram os
17 grupos de Fedorov. Desde então, tais grupos têm sido estudados exaustivamente e
aplicados não só a cristalografia (os 17 grupos são hoje simbolizados de acordo com as
Tabelas Internacionais de Cristalografia e Raios X), senão também a diversos aspectos de
desenho: mosaicos, pintura, escultura, e, como não, Arquitectura.
Para começar o estudo dos 17 grupos apresentemos inicialmente uma primeira descrição
visual dos mesmos (fig. 2.8.1.).
Fig. 2.8.1.
Em todos os casos se observa que, a partir de uma figura irregular, aplicando diversos
tipos de isometrias se gera um paralelogramo que por repetição é susceptível de cobrir o
plano, de forma que a distribuição plana final é por sua vez invariante pelas mesmas
isometrias que geraram a figura inicial. Vamos concretizar dita ideia com a seguinte
definição:
41
DEFINIÇÃO 2.8.1. – Um grupo G de isometrias do plano [subgrupo do grupo métrico
GM (R2
)] se diz grupo de simetria do plano se existe uma figura F (compacta e conexa de
R2) tal que se cumprem as três condições seguintes:
a) R2 ).F(gGg
b) )F(h)F(g
então g(F)=h(F), onde indica interior.
c) Existem dois vectores independentes b,a
tais que G)m,nTT(bman .
«A figura f compacta e conexa» quer dizer que se trata de uma figura limitada por uma
curva fechada (F pode ser qualquer curva, polígono, …, etc.). A propriedade a) impõe que
todo o plano R2 esteja coberto (sem buracos) para todos os deslocamentos g(F) da figura F
segundo as isometrias g de G. A propriedade b) de «regularidade» impõe que F e suas
imagens g(F) se vão «associando» correctamente. A propriedade c) exige a existência de duas
translações independentes em G, isto é, existirá uma malha de paralelogramos subjacente.
Limitando pois o estudo aos grupos de simetria do plano que satisfazem as condições
precedentes de associação e periodicidade, estamos excluindo de facto toda uma série de
«mosaicos não periódicos».
Existem outros exemplos onde uma figura susceptível de encher R2 por repetição até
mesmo quando no grupo de isometrias que deixa invariante o mosaico resultante não pode
existir nenhuma translação não trivial.
Vamos aprofundar a estrutura real dos grupos de simetria do plano.
LEMA 2.8.1. – Se G é um grupo de simetria do plano e x
R2 então Ggxg )(
é um
conjunto discreto de R2, isto é, formado por pontos isolados.
LEMA 2.8.2. – Existem dois vectores independentes veu
tais que qualquer translação
do grupo se simetria G do plano, é da forma ,T vmun
com ., mn
Demonstração. - Pela propriedade c) da definição 2.8.1 se G é um grupo de simetria do
plano, e )(G indica o conjunto de translações de G, já sabemos que pelo menos existe um
par ba
, de vectores independentes com
)G()m,nT(bmbm
.
Seja u
R2 um vector não nulo tal que )(GTu e sua norma u
é mínima, isto é,
42
,0 xu
para todo x
R2 tal que ).G(Tx
Dito vector existe, pois em caso contrário se poderiam encontrar vectores nx
tais que
),(0lim GTTexnxn
n
para todo n; e se este for o caso, escolhendo 0P R2 resultaria que
o conjunto de pontos INn)P(Tnx 0 não seria discreto ao aproximarem-se todos de ,P0 o
qual contradiz o lema 2.8.1. anterior. Analogamente se escolhe outro vector v
independente
de u
e tal que v
seja mínima: ,0 xv
para todo x
R2com ).(GTx Vejamos que,
necessariamente,
.)}m,nT{)G( vmum
Consideremos o paralelogramo (fig. 2.8.5.):
),,vuP(P 100
com p
arbitrário. Então R2
)P(T)G(TT
enche todo o plano pois como mínimo
).G()}m,nT{ vmum
Ao considerar então
,)}G(T)P(T{ 0
se existisse alguma translação T em )(G tal que )P(T 0 não coincidisse com nenhum dos
vértices da malha ,vmunP
0 então existiria um 2Rq com .Pqevquq
O
lema fica demonstrado.
Clarificadas as translações possíveis no grupo de simetria do plano G, passamos a
ocuparmo-nos dos possíveis giros em G, distintos da identidade.
LEMA 2.8.3. – (Restrição cristalográfica). Os únicos giros que podem formar parte de
um grupo de simetria G do plano, são os de ordem 2, 3, 4 ou 6, isto é, os giros de ângulo 180º,
120º, 90º e 60º.
Demonstração (W. Barlow, 1901). – Seja G um grupo de simetria do plano com algum
giro .GGP
0 O ângulo de giro será da forma ,
n
2 com INn , pois se fosse
distinto de n
2 para todo INn , resultaria impossível que G satisfizesse a condição b) da
definição 2.8.1. Assim pois GGG n/PP
2
00 para certo n. Como GGT n/
Pvmun 2
0 é um
43
giro de ângulo n/2 ao redor de ,vmunA
podemos encontrar um ponto PQ da forma
vmunAQ
que seja ele o que dista menos de .P Seja 'P o ponto resultante de girar
P relativamente a Q um ângulo n/2 e seja 'Q a imagem de Q pelo giro de centro 'P e
ângulo n
2.
Então:
.'Q'P'PQQP
Se 'QP então aparece um triângulo equilátero e ,n 6
22 isto é, .6n Se 'QP no
trapézio de vértices 'Pe'Q,Q,P ocorreria necessariamente ,QP'QP pois Q teria
mínima distância em relação a .P Por isso deve ser ,n 2
2 isto é, .4n Assim
.43,2 oun Definitivamente as ordens possíveis são .6,4,3,2n
Como consequência dos lemas precedentes agora podemos enunciar:
TEOREMA 2.8.1. – Existem somente 5 tipos de grupos de isometria do plano (fig.
2.8.2.) que contêm isometrias que conservam a orientação e ditos grupos são gerados pelas
seguintes isometrias:
.G,T,TS
;G,T,TS;G,T,TS
;G,T,TS;T,TS
/Pvu
/Pvu
/Pvu
/Pvuvu
626
424
323
2221
0
00
0
1S 2S 3S 4S 6S
Fig. 2.8.2.
Para 6,4,3,2i também se escreve ii Sp (e o índice i faz referência aos tipos de
giros de ângulos i/2 presentes em ).Si O ponto p
é arbitrário, mas todos os centros de
giro de ,,,,i,Si 6432 estarão situados nos vértices da malha fundamental
m,ncom,vmunP
0 (fig. 2.8.6.).
44
Exemplos típicos de distribuições do plano com grupos de simetria iS se dão na figura
2.8.1. e 2.8.2.
A forma mais simples de gerar esquemas com grupo de simetria iS )64,3,2,1( oui
é aplicar o seguinte teorema:
TEOREMA 2.8.2. – Dado 64,3,2,1 oui seja F R2 uma figura cotada com
F0
e grupos de Leonardo iC (grupo cíclico de ordem i). Sejam veu
dois vectores de R2
independentes. Então a figura infinita F R2 definida por
,)F)(TT(F vmunm,n
pode ter grupo de simetria .Si
Este resultado extremamente evidente (basta contemplar os 5 esquemas anteriores) é de
capital importância desde o ponto de vista geométrico-generativo: fixada a malha básica, a
simétrica cíclica iC da figura colocada num vértice e transladada aos demais vértices de
acordo com o ritmo da gelosia pode induzir na configuração final a simetria global de tipo .Si
Ao considerar a possibilidade de que o grupo de simetria do plano, além de isometrias
conservadoras da orientação, contém também simetrias axiais, aparecem 12 novos tipos de
grupos.
Seguidamente vamos descrever os ditos 12 grupos agrupados sob a norma de estudar
que simetrias axiais podem ser somado cada um dos 5 grupos .SeS,S,S,S 64321
a) Caso de ampliação de 1S com simetrias e deslizamentos.
Existem três possibilidades como se ilustra nos três esquemas seguintes (fig.2.8.3.).
Fig.2.8.3.
Tanto 11S como 2
2S admitem somente eixos de simetria paralelos entre si.
11S tem eixos de deslizamento paralelos aos eixos de simetria, mas 2
1S não os tem. 11S é
generalizável com uma simetria axial e uma simetria com eixo paralelo e com deslocamento.
11S precisa de duas simetrias axiais e uma translação. O grupo 3
1S se caracteriza por não
45
admitir eixos de simetria, mas sim eixos de deslizamento, todos paralelos entre si. 31
S é
generalizável com duas simetrias com deslizamento de eixos paralelos.
b) Ampliação de 2S com simetrias e deslizamentos.
Este caso é extremamente rico pois dá lugar a quatro possibilidades (fig. 2.8.4.).
Fig.2.8.4.
Nos dois primeiros casos 22
12 SeS existem eixos de simetria ortogonais que
determinam um rectângulo (não cruzado por nenhum outro eixo). O troço de esquema dentro
de dito rectângulo, tem simetria 2C no caso 12S e simetria 1C no caso .S 2
2 12S é
generalizável por duas simetrias ortogonais e um semigiro e 22S o é por quatro reflexões sobre
os lados de um rectângulo.
No caso 32
S existem somente eixos de simetria paralelos e eixos de deslizamento
perpendiculares aos de simetria (uma simetria e 2 semigiros podem gerar 32
S ).
Por último, em 42S não existem eixos de simetria, mas sim eixos de deslizamento todos
paralelos entre si ( 42S se gera com duas simetrias com deslizamento com eixos paralelos).
c) Ampliação de 3S
Existem duas alternativas (fig. 2.8.5.).
Fig.2.8.5.
Em ambos os casos podemos encontrar três eixos de simetria que delimitam um
triângulo equilátero (não cruzado por nenhum outro eixo). O troço de esquema que fica dentro
46
de dito triângulo tem simetria 1C no caso 13S e simetria 33 DouC no caso .S 2
3 A nível de
geradores mínimos pode considerar-se 13S gerado por uma simetria e um giro de 120º e 2
3S
por três simetrias relativamente aos eixos que formam um triângulo equilátero.
d) Ampliação de 4S
Duas possibilidades (fig. 2.8.6.).
Fig.2.8.6.
Em ambos os casos pode localizar-se um rectângulo R delimitado por quatro eixos de
simetria ortogonais entre si, não sendo cruzado o dito rectângulo por nenhum outro eixo.
No caso 14S o troço de esquema interior a R tem simetria 21 DouD e no caso 2
4S dita
porção tem simetria cíclica .4C
14S pode gerar-se com simetrias sobre os três eixos que formam um triângulo de ângulos
45º, 45º e 90º. 24S é gerado por uma simetria e um giro de 90º.
e) Ampliação de 6S
Existe uma única possibilidade (fig. 2.8.7.).
Fig.2.8.7.
Por cada vértice da malha passam 6 eixos de simetria e existe invariância global por
giros de centro nos vértices da malha e ângulo 60º. 16S está também gerado por três simetrias
nos lados de um triângulo de ângulos 30º, 60º e 90º.
47
Enunciemos finalmente o teorema sínteses deste capítulo.
TEOREMA 2.8.3. – Somente existem 17 tipos de grupos de simetria do plano, 5 dos
quais somente contêm isometrias que conservam a orientação e nos 12 restantes, também,
aparecem simetrias axiais e simetrias com deslizamento.
ALGORITMO DE IDENTIFICAÇÃO DOS 17 GRUPOS DE SIMETRIA DO PLANO
Duas translações
independentes?
Não é um grupo de
simetria do plano
Não
Eixos de simetria?
São perpendiculares?
Eixos de deslizamento?
Centro de giro de
ordem 6?
Sim
Eixos de simetria não
paralelos?
Centro de giro de
ordem 3?
Eixos de deslizamento
paralelos a eixos de
simetria?
Buscar grupo de simetria da região acotada por três
eixos de simetria (não paralelos dois a dois) e tal
que nenhum outro eixo de simetria cruza dita região
(triângulo equilátero)
Buscar grupo de
simetria do rectângulo
determinado por pares
adjacentes de eixos de
simetria
perpendiculares
Buscar máxima ordem de
um centro de giro para o
padrão
Eixos de deslizamento
perpendiculares a
eixos de simetria?
Não
Sim
Sim Não
Sim
Sim
Não
Sim
Não
NãoSim
Não
Sim
Não32S 3
1S
16S
1S 2S 3S4S 6S
13S 2
3S
42S
11S
21S
22S 1
2S 14S 2
4S
1C 2C
3C
4C1D 2D
3D1C
1 2 3 4 6
Anteriormente facilitamos o algoritmo de Rose e Stafford que permite classificar passo a
passo os 17 grupos de simetria do plano.
48
O mesmo que de 7 grupos de frisos do plano se passava a 31 classes de bandas
bicolores, de 17 grupos de simetria do plano se passa a 80 tipos de simetria plana, ao
introduzir critérios de bi--coloração ou seja configurações geradas por figuras com caras de
distinta ou igual cor submetidas às transformações planas e às rotações axiais especiais de
180º (fig. 2.8.8.).
Fig.2.8.8.
2.9. TEORIA DE MOSAICOS
Um tipo especial de recobrimento do plano é o de mosaico. Os diferentes tipos de
mosaicos surgem de adicionar, ao princípio geral de repetição de um módulo em duas
direcções, condições restritivas de acoplamento e regularidade. Vejamos neste capítulo os
mosaicos principais, deixando de lado os mosaicos não periódicos.
A) Mosaicos regulares
Resultam de acoplar entre si uma série infinita de polígonos regulares idênticos.
TEOREMA 2.9.1. – Os únicos mosaicos regulares são os quadrangulares, triangulares e
hexagonais (fig. 2.9.1.).
Fig. 2.9.1.
49
B) Mosaicos semirregulares
São os gerados ao combinar dois tipos de polígonos regulares de dimensões apropriadas
para o acoplamento. Existem 8 tipos de tais mosaicos como ilustra a figura 2.9.2.
Fig. 2.9.2.
C) Mosaicos de Escher
O artista holandês M. C. Escher, a partir de observar o uso dos 17 grupos de Simetria
nos desenhos da Alhambra de Granada, elaborou uma série de mosaicos onde a figura
geradora era submetida a uma série de transformações.
Apresentamos aqui uma série de esquemas devidos a P. Butzbach sobre os elementos
geradores considerados por Escher (fig. 2.9.3.).
Fig. 2.9.3.
50
(1) Mosaicos de P1. – Resultam de escolher um paralelogramo ou um hexágono com
lados opostos paralelos e aplicar o critério de que toda parte recortada num lado
(concavidade) se translada paralelamente ao lado oposto paralelo (convexidade).
(2) Mosaicos de P2. - Correspondem à existência de giros nos lados de triângulos
ou quadriláteros: ao recortar um troço num lado (concavidade) adicionando-o no mesmo lado,
mediante um giro de 180º com centro no ponto médio do lado em questão, pode conservar-se
a propriedade de embaldoseamento.
(3) Mosaicos de P3.- Neles existem recortes de um troço da figura num lado
(concavidade) e com centro num vértice se gira e se adiciona dito troço em outro lado. Os
giros são de 60º ou 120º e os vértices centros de giro não podem ser consecutivos.
(4) Mosaicos de P4. - Existem vértices centros de giro de 90º. Ditos vértices podem
pertencer a um triângulo, um quadrilátero ou um pentágono.
(5) Mosaicos de Pg.- São aqueles nos que existe simetria com deslocamento.
No seguinte quadro sintetizamos uma série de desenhos devidos a Escher e realizados
com os critérios anteriores (fig. 2.9.4.).
Fig. 2.9.4.
A atitude de Escher perante o problema dos mosaicos é, no entanto, muito diferente da
atitude da Matemática ou da Cristalografia do tempo. Para a Cristalografia o problema era
sobretudo de classificação de padrões. A Matemática coloca questões ainda mais gerais como,
por exemplo, a de saber que transformações geométricas podem ser realizadas sobre um
objecto de modo a deixar as suas propriedades invariantes. O interesse de Escher não era
classificar as pavimentações mas antes descobrir e aprender as leis que a governam. O seu
sistema, apesar de atribuir às isometrias um papel fundamental e de proceder com grande
rigor geométrico, é, tanto nas questões que coloca como nas definições que formula,
claramente distanciado dos sistemas “standard” em Matemática. O matemático parte da
análise de uma determinada estrutura (o objecto do seu estudo); Escher começava sempre por
uma folha de papel em branco (o espaço da sua criação). O ponto de vista estritamente
51
científico é de natureza global (qual a estrutura, quais as simetrias da pavimentação, etc.); o
de Escher é eminentemente local: como é que um motivo simples pode ser rodeado por cópias
dele próprio, combinar-se ou evoluir para outro, ilimitadamente?
O ponto de vista local de Escher é ilustrado por 6Engel ao descrever a litolografia
Libertação (1955).
Neste contexto, o sistema de Escher aborda três aspectos fundamentais que eram então
ignorados pela Matemática e pela Cristalografia.
1. A criação de pavimentações com dois mosaicos distintos mas com origem numa
mesma figura geométrica.
2. A metamorfose, isto é, a possibilidade de ligar diferentes pavimentações por um
processo dinâmico que altera o mosaico mas não modifica as simetrias em jogo. Escher
reconhece que a metamorfose é possível para certos casos, mas impossível para outros,
identificando cinco grupos de simetria para os quais tal é possível.
3. O uso de cores contratantes para colorir a pavimentação de forma sistemática, de
modo a sublinhar a individualidade e a equivalência de mosaicos adjacentes.
O seu sistema de simetria policromática adiciona aos 17 grupos originais, 46 com duas
cores, 6 com três, 6 com quatro e 3 com seis cores. Note-se que o interesse pela coloração de
pavimentações e sua classificação, que constitui um aspecto fundamental na teoria de Escher,
apenas surge na Cristalografia no final dos anos 50. De facto só em 1951, Shubnikor e Belor
estenderam a teoria dos grupos de simetria combinando a repetição de formas com a repetição
de cores.
(D) Mosaicos de cor
Classicamente, a análise geométrica de mosaicos somente tem considerado peças (de
um ou vários tipos) idênticas entre si. Mas se se considera que peças iguais podem ter cores
diferentes, então ao classificar a simetria do embaldoseado de acordo com a cor pode resultar
uma classificação mais rica. Por exemplo, o mosaico de quadrados pode dar lugar, por
coloração dos quadrados, a mosaicos com grupo de simetria diferente relativamente à cor ou à
mudança dos centros de giro.
6 - Litografia Libertação (1955): “De baixo para cima acontece a metamorfose da matéria inorgânica
em pássaros. Quando estes estão totalmente desenvolvidos emergem na superfície e são libertos. Podemos
também adoptar a interpretação oposta: os pássaros que voam livremente encontram lugares na superfície onde
se encaixam com exactidão. E, assim, a pavimentação cresce continuamente. O mesmo processo corresponde ao
crescimento dos cristais. Claramente, os pássaros ignoram tudo sobre o grupo de simetria, mas sabem reconhecer
o lugar vago onde se encaixam.” Engel, 1986.
52
Os mosaicos com cor podem enriquecer-se considerando também a possibilidade de
várias peças.
Assim pois, onde exista coloração deve realizar-se a classificação de acordo com as
cores e não com as peças construtivas básicas.
(E) Mosaicos de retícula da china
Daniel Sheets Dye passou um largo período de sua vida na China tratando de classificar
de forma sistemáticos os retículos chineses de janelas desde o ano 1000 a. C. até 1900 d. C. O
resultado de seu árduo trabalho foi o magnífico tratado “Chinese lattice designs” que contem,
classificados geometricamente, mais de 1200 exemplos. Estes retículos para janelas consistem
numa série de barras de madeira entrelaçadas que formam um retículo plano. Este retículo era
pintado de negro ou vermelho e uma vez colocado na casa por via da janela aderindo, desde o
interior, papel branco de qualidade ou papel floreado. A não existência de vidro e a mudança
contínua do papel permitia celebrar acontecimentos ou ritos anuais. Dito papel mantinha a
intimidade do interior e projectava ao exterior a tonalidade própria de sua coloração. (fig.
2.9.5.)
Fig. 2.9.5.
(F) Mosaico da Alhambra de Granada
Vejamos as ilustrações sobre o mosaico da Alhambra de Granada, donde podem
apreciar-se os 17 grupos de simetria e os 7 grupos de frisos (fig. 2.9.6.).
Fig. 2.9.6.
53
III – CONCLUSÃO
A presente monografia é o fruto de uma pesquisa bibliográfica, na Internet e de um
aturado trabalho sobre resoluções de problemas.
O material recolhido e elaborado pode servir como suporte auxiliar para o professor no
processo de leccionação. Quanto ao leccionar, significa estar ao serviço dos alunos.
Pela afirmação antiga: “Quem não vive para servir, não serve para viver.” Nisso a
nossa vocação.
Gostaríamos, também, de salientar as ligações inter-disciplinares da simetria com os
outros ramos da vida real.
Além das concepções e aplicações da simetria que já foram abordados cabe citar o
importante papel que desempenha a teoria da simetria em outros campos:
1. Simetria em Química
Mediante o estudo de simetrias planas e espaciais tem sido possível elaborar
modelos de estruturas moleculares e chegar à caracterização de determinados agregados
químicos através, não da análise de reacção, senão através da determinação das simetrias
atómicas (mediante métodos experimentais como o bombardeamento por partículas
elementares ou análises com Raios X). A análise de moléculas dextrógiras e levógiras tem
sido de especial importância no estudo bioquímico da matéria orgânica. O estudo da estrutura
de crescimentos moleculares em espiral tem permitido obter um conhecimento extenso das
moléculas de DNA.
54
2. Simetria em Ciências Naturais
A origem do estudo dos grupos de simetria foi precisamente o problema da
Cristalografia de caracterizar as formas de crescimento de cristais e classificar com este
conceito geométrico os grupos de minerais. Se conhece mais de três mil minerais, mas
existem apenas 32 classes. Em Geologia se tem feito estudos sobre as distribuições de
vulcões, glaciares, continentes e aparição de terramotos, partindo das possíveis simetrias no
globo terrestre a partir do princípio de que a dualidade «causa-efeito» poderia quiçá explicar-
se através de certa simetria de situação relativa. Neste sentido existem teorias sobre a
distribuição simétrica dos vulcões no globo. Os planos de simetria do globo também têm
importância geológica.
Outras aplicações notáveis da simetria foram dados na classificação de rochas, flores,
raízes... etc., que se faz em Botânica baseando-se nas regularidades simétricas de tais
elementos. Inclusive modelos de fósseis se têm elaborado a partir de supor uma simetria
original do fóssil.
As ideias sobre evolução das formas vivas têm sido notavelmente influenciadas pela
opinião de que os processos de simetrização das formas afectam directamente à maior
adaptabilidade ao meio, e por isso repercutem na evolução (extinção ou cambio da forma) das
espécies.
3. Simetria em Literatura e Cinema
Neste campo se tem feito experiências pontuais de uso de simetria no sentido de jogar
com a colocação das palavras (poesia visual moderna ou poesia clássica com rimas
simetricamente repartidas); jogar com a simetria entendida como contraposição de conceitos,
situações ou atitudes (consciência-inconsciência, bondade-maldade, vida-morte, princípio-
fim,...). Este último jogo tem influenciado tanto a Literatura como o cinema, dando-se neste
último não só as contraposições «simetrizantes» dos guiões senão, além disso, o jogo
geométrico visual das imagens (primeiros planos, planos médios, perfis, ambientes de grande
geometrização e simetria ligados ao clima de ficção,... etc.).
4. Simetria em Música e Dança
Recursos de simetria, tanto no seu aspecto auditivo como formal (colocação simétrica de
notas no pentagrama), têm sido pontualmente utilizados. Nas danças se tem feito,
especialmente no seu desenvolvimento coreográfico, usos de simetrias nas colocações dos
dançarinos.
55
5. Simetria em representações simbólicas
Nas técnicas de publicidade, sinalizações, emblemas,...etc. aparecem claramente
recursos de simetrização. Na maioria dos casos se pretende transmitir através da simetria
visual umas indicações de proibição ou acesso permitido, de movimento ou calma,... etc.
Por último, façamos uma resenha a presença das concepções de simetria num sentido
amplo linguístico, lógico, visual.... O conceito de simetria no sentido de «imagem especular»,
«reflexão» tem sido associado à lógica e em especial às negações lógicas. As antinomias sim-
não, verdadeiro-falso, positivo-negativo, acção-reacção, esquerda-direita, bem-mal,...etc.,
admitem uma descrição dualizada: o operador negação é idempotente (o «”+” “-“»,
«simétrico/oposto ”a” “-a”», «não de não é sim», «menos por menos é mais»,... etc.) de
forma análoga como o é o operador simetria especular (« a imagem da imagem é o original»).
Este vínculo de simetria-negação (que só possui em comum a analogia de que aplicado o
princípio duas vezes se recupera o estado inicial) tem tornado possível que se realizem
discursos teóricos em que as contraposições lógicas adquirem rasgos caleidoscópios ( ).
Assim, quando em Física se falou de «acção e reacção», ou do «Princípio de simetria» de
Pierre Curie, ou da matéria-antimatéria,... etc. se está utilizando a simetria no sentido de
contraposição. Como em Literatura como em poesia.
Existe uma outra acepção de simetria, entendida dita palavra no sentido figurativo: se
bem que em todo rigor a perfeitíssima simetria geométrica escassamente aparece na realidade,
se enquadram sob a epígrafe de simétricos objectos de simetria aproximada ou aparente.
Assim, as afirmações «a figura humana é simétrica» ou as «colunas gregas são simétricas»
cabe entende-las mais como a fixação de um ideal do que como o resultado de um
experimento rigoroso.
Em qualquer caso, a simetria como beleza, como geometria, como contraposição ou
como aproximação se multiplica em aplicações e novas conceptualizações.
56
IV – BIBLIOGRAFIA
LIVROS:
Alsina, Claudi & Trillas, Enric (1995), Lecciones de Algebra y Geometria –
Curso para estudiantes de Arquitectura, Editorial Gustavo Gili, S. A.,
Barcelona.
De Oliveira, A. J. Franco, (1997), Transformações Geométricas –
Universidade Aberta, Lisboa.
Farmer, David W. (1999), Grupos e Simetria, Gradiva – O prazer da
matemática, 1ª edição.
Grunbaum, Branko & G. C. Shephard (1987), Tilings and Patterns, Freeman,
1ª edição.
Veloso, Eduardo (1988), Geometria – Temas Actuais, Instituto de Inovação
Educacional, 1ª edição.
INTERNET:
Border Pattern Gallery, John Wolfe,
http://www.math.okstate.edu/~wolfe/borde.html
De vuelta a simetría, http://www.cienciateca.com/simetria.html
©Pedro Gómez-Romero, 2002
Fluxograma para a classificação de frisos,
http://www.apm.pt/apm/aer/fluxog.html
Frieze patterns, Alexander Bogomolny, http://www.cut-the-
knot.com/triangle/Frieze.html
Frisos, http://www.apm.pt/apm/aer/frisos.html
57
Introduction to isometries,
http://www.scienceu.com/library/articles/isometries/index.html
Kali, http://www.geom.umn.edu/java/kali/program.html
Kali: Symmetry group, http://www.scienceu.com/geometry/ handson/kali/
kali.html
Mathematics and Symmetry,
http://forum.swarthmore.edu/mam/95/essay.html
Mathematics and Symmetry, http://www.ucs.mun.ca/~mathed/
Geometry/Transformations/transformations.html
Symmetry and ornament, Slavik V. Jabla,
http://rattler.cameron.edu/EMIS/monographs/jablan/
Tillings and Tesselations, Kali: Symmetry group,
http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/index.html
58
V – ANEXOS
A.1 – GRUPO DE LEONARDO E DESENHO
Ao introduzir os grupos de Leonardo foi citado de passagem o interesse que ditos grupos
tiveram no Renascimento para o desenho de plantas de capelas. Concretamente, Leonardo
realizou um estudo sistemático de tais grupos de simetria com vista a estabelecer os métodos
óptimos de juntar estátuas e capelas adjacentes a um núcleo central (ou capela principal), sem
romper a simetria central de dito núcleo. Leonardo usou essencialmente os grupos diedrais em
seus desenhos arquitectónicos, usando apenas alguns grupos clássicos em certas invenções de
engenharia. Leone Battista Alberti, nos seus dez livros sobre arquitectura, afirma que «... os
polígonos usados pelos antigos eram de seis, oito, ou algumas vezes de dez lados», fazendo
clara referência aos desenhos diedrais das plantas dos templos clássicos. Essencialmente o uso
mais constante de grupos diedrais tem sido no que poderíamos chamar arquitectura religiosa,
pois a simetria poligonal apresentada pelas plantas enlaça com o carácter nitidamente
simbólico que pretende argumentar o edifício. Naturalmente, existem usos de grupos de
Leonardo a nível arquitectónico civil. Desenhos de Soane, Ledoux, Wright,... etc., oferecem
dele belos exemplos.
Em tempos recentes o uso de grupos de Leonardo no desenho de plantas se tem visto
enriquecido com uma nova ideia: a existência de um ponto central de simetria na planta
(ponto que dará lugar a um eixo de simetria no edifício) permite localizar no centro todos
aqueles serviços e instalações de interesse geral (escadas, ascensores, conduções eléctricas, de
água, de gás ou de ar condicionado, pátios de luzes,... etc.). Esta centralização geométrica
aporta um notável valor económico e , o que é mais importante, um encobrimento natural de
tais instalações. No entanto o desenho de carácter centralizado acarreta problemas difíceis de
59
resolver, como o da iluminação solar dos edifícios. Ora bem, em edifícios singulares ditos
problemas são irrelevantes.
Desde o ponto de vista da Arquitectura generativa, tanto os grupos cíclicos como os
hiedrais são de máximo interesse. Por exemplo, uma distribuição poligonal com edifícios nos
vértices ou arestas permite gerar no centro um espaço comum susceptível de conter uma praça
ou zona ajardinada ou ainda algum edifício de interesse comunitário (escola, serviços
administrativos,... etc.). A seguinte colecção de fotografias e desenhos dá exemplos actuais
destes critérios.
À margem do projecto arquitectónico ou do desenho urbanístico cabe citar outros usos
dos grupos de Leonardo no desenho de rosetas, elementos de mobiliário, elementos
construtivos suplementares,... etc. (fig. 1.1.).
Fig. 1.1.
A.2 – OS FRISOS E A ARQUITECTURA
A própria denominação «grupos de frisos» tem sua origem nos frisos arquitectónicos.
Como exemplo remoto poderia considerar-se que as filas uniformes de monumentos
megalíticos constituem um friso espacial sobre a paisagem. Não obstante, é no Egipto onde
aparecem, com toda a sua intencionalidade e técnica, os frisos ornamentais. Em muitas
câmaras das pirâmides existem frisos geométricos, quer seja como simples decoração ou
como bandas que delimitam a final da parede e o princípio do tecto. Os motivos que geram
ditos frisos costumam ser representações estilizadas de flores, animais ou esquemas
geométricos de figuras planas (fig. 2.1).
60
Fig. 2.1
No templo grego é onde o friso adquire notoriedade construtiva: o friso como banda que
limita o acabamento das paredes ou colunas, sobre a arquitrave, marcando o elemento sobre o
que repousa o tecto ou cornija. Com ele o friso começa a desempenhar o duplo papel de
elemento arquitectónico construído e espaço susceptível de ornamentação. Além disso, pela
sua peculiaridade local, o friso constitui um elemento chave da fachada, o que dá lugar a que
sua decoração adquira uma carga simbólica notável.
Claro que, na ornamentação do friso existiam as distintas opções de pintura, escultura,
cerâmica, … ou simplesmente o friso rectangular, limpo, afirmando simplicidade e
delimitação. Assim, os frisos dóricos possuem esculturas (isoladas ou formando um
conjunto); os frisos estão esculpidos; os frisos paleocristianos são de obra vista (cerâmica,
ladrilho, … etc.). Em sua Gramática da Ornamentação, Owen Jones inclui múltiplos exemplos
de frisos egípcios e gregos. Claro que, no templo romano se segue privilegiando também o
uso do friso e ao longo de toda história da Arquitectura aparece dito elemento, sendo
especialmente notável o desenho de frisos árabes, como por exemplo, os existentes na
Alhambra de Granada.
Um tema interessante de estudo arquitectónico (mas sim decorativo) tem sido a análise
de tipos de frisos em decorações de instrumentos musicais (Paul Pfister: Decoration in
relation with music), em tipografia e orlas (Elliot Offner; Renaissance typographic ornament;
origins, use and experiments) e em elaborações têxteis.
Actualmente, embora continua a ser usado a concepção clássica do friso arquitectónico
(não somente em exteriores, senão também em interiores: frisos de gesso), se tem posto
repetidamente em crise o provérbio de Jones: «As construções devem ser decoradas. A
decoração nunca deve ser construída a propósito». Para arquitectos do Movimento Moderno
racionalista, como Le Corbusier e Frank Lloyd Wright, a ornamentação, além de um rito,
seria o resultado de uma síntese, uma articulação de elementos ou a existência de um molde
gerador estrutural.
61
Mas precisamente com as tendências modernas das correntes generativas em
Arquitectura surge uma nova concepção do friso: o friso das edificações conectadas. Com ele,
o clássico motivo geométrico que se repete ao longo de uma banda se vê substituído pela
planta (do edifício ou apartamento) capaz de gerar, por translação horizontal, uma série de
edifícios ou apartamentos em fileira. A partir de uma planta tipo, e de adaptar um determinado
módulo de translação, surgem duas possibilidades: que as plantas se enlacem sem espaços
intermédios (caso típico das vivendas em fileira) ou que as plantas se repitam com um
determinado espaçamento (caso típico das vivendas inglesas). Os seguintes exemplos aclaram
estas ideias.
É assim como o novo módulo da arquitectura generativa vê, através do uso de ritmos ou
deslocamentos, uma maneira válida de aumentar a capacidade repetitiva do mesmo.
Nada a dizer tem, a nível conceptual, que esta ideia dos frisos construídos levou
directamente ao problema da chamada coordenação modular.
A.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1.- Indicar os grupos de simetria das seguintes figuras planas:
A B
F C
E D
a) b) c)
Fig.2.4.5
a) Resolução
0
O hexágono regular [ABCDEF] de centro (que coincide com o centro da
circunferência inscrita e o centro da circunferência circunscrita a volta dele) 0, é invariante
para os seis giros (rotações): ,, º1200
º600
GG ,, º2400
º1800
GG º3000
G e 2
º360
0 IG e pelas simetrias de
62
eixos AD, BE e CF e ainda os eixos de simetria que intersectam simultaneamente os lados
[AB] e [ED], [BC] e [FE] e os lados [CD] e [AF] isto é, tem 6 eixos de simetria as quais
coincidem com ºG
1800
. Esses movimentos gerarão .fS5
b) Resolução
0
A figura com o formato da letra K de centro de gravidade 0, que é o ponto de
intersecção do traço vertical com os dois traços oblíquos, só é invariante pela identidade e,
portanto, resulta um grupo de simetria trivial .IS f 23
c) Resolução
1r
P 2r
A seta tem dois eixos de simetria 1r e 2r e é invariante pela rotação de 180º ao redor do
ponto P (intersecção de 1r com 2r ). Assim pois, trata-se do grupo ).,,,(214
º180
2 ffPf SSGIS
2.- Indicar o grupo de simetria da figura plana representada pela curva y=cos x
Resolução
2
2
32
Fig.2.4.6.
A curva y=cos x, como é sabido do ensino secundário, é simétrica em relação ao eixo
dos yy, o seu período é º.3602 A curva ficará invariante por todas as translações de
vectores paralelos ao eixo dos xx, por todas as simetrias com eixo ortogonal ao eixo dos xx
por um período de º.3602 Os ditos movimentos gerarão xcosfS .
3.- Escrever «números» que possuam grupos de simetria não triviais, ao considerar-se o
«número» como a figura do plano representada por seu grafismo.
2 v,v
63
Resolução
Os números solicitados são: 3; 8; 0.
1r 1r
r 2r 2r
ºorf GS,IS 180
23 ;
218
1802 r
ºorf S,GS,IS ; .SS ff 80
4. - Achar os grupos pontuais de simetria das seguintes figuras:
a) b) c)
Resolução
a) 1r
2r
3r
4r
8r
i
Oa D4,3,2,1iS;GGi
42
Perfazendo 4 simetrias e 4 giros ou rotações.
b) 1r
2r
2,1iS;GGi
22
r
i
Ob Perfazendo 2 simetrias e 2 giros ou rotações.
c) 1r
2rc I;SG1
5. – Identificar os grupos pontuais de simetria das seguintes figuras:
64
a) b)
Resolução
a) 8D
b) 12C
6. - Determinar os grupos de friso de cada um dos seguintes modelos:
a) AAAAA
AAAAA
b) BBBBB
c) CCCCC
d) DDDD
DDDD
e) EEEEE
EEEEE
f) FFFFF
g) GGGG
GGGG
h) HHHHH
HHHHH
i) IIIII
j) JJJJJ
Resolução: - a)
É um friso do tipo 2
1F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de
simetrias não tem ponto de simetria, tem um eixo de simetria mas a recta central não é eixo de
simetria.
b)
65
É um friso do tipo 11F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de
simetrias não tem ponto de simetria e a sua recta central é eixo de simetria.
c)
É um friso do tipo 11F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de
simetrias não tem ponto de simetria e a sua recta central é eixo de simetria.
d)
É um friso do tipo 3
1F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de
simetrias não tem ponto de simetria nem eixo de simetria, mas é invariante para uma reflexão
deslizante
e)
.
É um friso do tipo 11F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de
simetrias não tem ponto de simetria e a sua recta central é eixo de simetria.
f)
É um friso do tipo 1F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de simetrias
não tem centro de simetria, nem eixo de simetria e não é invariante para nenhuma reflexão
deslizante não trivial.
g)
É um friso do tipo 3
1F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de
simetrias não tem ponto de simetria nem eixo de simetria, mas é invariante para uma reflexão
deslizante.
66
h)
É um friso do tipo 12F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de
simetrias tem um ponto de simetria e a recta central é um eixo de simetria.
i)
É um friso do tipo 12F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de
simetrias tem um ponto de simetria e a recta central é um eixo de simetria.
j)
É um friso do tipo 1F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de simetrias
não tem centro de simetria, nem eixo de simetria e não é invariante para nenhuma reflexão
deslizante não trivial.
7. – Identificar os grupos de friso de cada uma das figuras:
a) b)
Resolução
a)
É um friso do tipo 2
1F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de
simetrias não tem ponto de simetria, tem um eixo de simetria mas a recta central não é eixo de
simetria.
b)
67
É um friso do tipo 12F , pois um padrão tendo este tipo de friso como grupo de simetrias
tem um ponto de simetria e a recta central é um eixo de simetria.
8. – Identificar os grupos de simetria do plano a que corresponde cada uma das figuras:
a)
Resolução
a)
Pode localizar-se um rectângulo R delimitado por quatro eixos de simetria ortogonais
entre si, não sendo cruzado o dito rectângulo por nenhum outro eixo e o troço de esquema
interior a R tem simetria .DouD 21 Por isso é um grupo do tipo .S14
1
4W Pode gerar-se com simetrias sobre os três eixos que formam um triângulo isósceles
de ângulos 45º, 45º e 90º.
b)
Por cada vértice da malha passam 6 eixos de simetria e existe invariância global por
giros de centro nos vértices da malha e ângulo de 60º. Por isso é um grupo do tipo .S16
16S está também gerado por três simetrias nos lados de um triângulo de ângulos 30º, 60º
e 90º.
Eixos de
simetria?
