Teoria das Comunicações - ene.unb.br · mensage m analógico Conversor A/D Sinal PCM t 3,5 2,5 1,5 0,5 ... Efeito da sobrecarga b 8 l L ... Palavra-código binária c(k) Decodificador

Teoria das ComunicaçõesProfs. Lúcio M. Silva / André Noll Barreto

Teoria das Comunicações

4.1

PCM (Pulse Code Modulation)


PCM (Pulse Code Modulation)• É na verdade um esquema para digitalização de sinais analógicos

• Inventado 1937

• Usado em• CDs (arquivo .wav)• Telefonia fixa digital

• Por que digitalizar??• Maior resistência a ruído• Possibilidade de repetidores regenerativos• Maior flexibilidade de hardware digital (software)

• Processamento digital de sinais• Comutação

• Taxas de erro podem ser reduzidas a qualquer valor arbitrário• Em troca de banda e/ou potência

• Possibilidade de encriptação• Maior eficiência espectral• Multiplexação mais eficiente e flexível• Flexibilidade de mídia• Armazenamento (quase) sem perda• CUSTO mais baixo $$$$$


Filtropassa-baixa

Amostrador Quantizador Codificador

Conversor A/D

Sinal PCM

t

Digitalização de sinais usando o esquema PCM

1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0

t

Sinal-mensagem analógico


Filtropassa-baixa

Amostrador Quantizador Codificador

Sinal-mensagem analógico

Conversor A/D

Sinal PCM

t

Sinal analógico filtrado

Filtragem anti-aliasing

M(f)MLP(f)

Filtragem é necessária, pois todo sinal realizável tem banda infinita


Sinal PAM

Filtropassa-baixa

Amostrador(S&H)

Quantizador CodificadorSinal-

mensagem analógico

Conversor A/D

Sinal PCM

tTs

Amostragem

PAM: pulse-amplitude modulationmodulação de amplitude de pulso


Sinal PAM

quantizado

Filtropassa-baixa

Amostrador Quantizador CodificadorSinal-

mensagem

analógico

Conversor A/D

Sinal PCM

t

3,5

2,5

1,5

0,5

-0,5

-1,5

-2,5

-3,5

Níveis de quantização (permitidos)

Quantização


Filtropassa-baixa

Amostrador Quantizador CodificadorSinal-

mensagem

analógico

Conversor A/D

Sinal PCM

t

100

101

111

110

010

011

001

000

1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0

Palavras-código

Codificação

3,5

2,5

1,5

0,5

-0,5

-1,5

-2,5

-3,5


t

100

101

111

110

010

011

001

000

1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0

Palavras-código

Sinal PCM

Sinal analógico

reconstruído

DecodificadorFiltro de

reconstrução(passa-baixa)

Receptor PCM – decodificador


Sinal PCM

Sinal analógico

reconstruído

DecodificadorFiltro de

reconstrução(passa-baixa)

t

Receptor PCM –filtro de reconstrução


2 3 44 3 2

23

2

25

27

27

25

23

2

x

y

Quantização

Entrada contínua

Saída discreta


Quantização uniforme

QuantizadorQ[· ]

)( skTxAmostraanalógica

Amostraquantizada

Número de níveis de quantização: L

Tamanho do passo (ou degrau) do quantizador:

1ix ix 1ix 2ixiy

iR

0x1x 1Lx Lx

x

vpmX min pmX max

L

m

L

XXv

p2minmax

Lixx

y iii ,,2,1,

21

Níveis de

quantização:

11 iiii yyxxv

Precisamos de bits/amostra

Na prática, na maioria das vezes, L = 2n, nN*

)()(ˆ)( sss kTxQkTxkTx

Ln 2log


Característica de transferência de um quantizadoruniforme

2 3 44 3 2

23

2

25

27

27

25

23

2

x

y

Característica de um quantizador uniforme do tipo midrise.

3

4

3

2

23

x

y

Característica de um quantizador uniforme do tipo midtread.

2

25

27

2

3

2

5

2

7

2

9


Desempenho: razão sinal-ruído de quantização

)(:)(ˆ

)(:)(ˆ

)(:)(

:)(

txtx

kTxkTx

txkkTx

tx

ss

s

desquantizadaamostrasasusandodoreconstruímensagem-sinal

de quantizada versão

deamostraésima-

originalmensagem-sinal

)()(ˆ)( txtxtq

Erro e ruídode

quantização )()()(ˆ tqtxtx

Potência média de

Potência média de

2

2

( )( )

( ) ( )q

x tx tRSR

q t q t

Razão sinal-ruído de quantização:)(

2tq

deCálculo

)()()(ˆ sss kTqkTxkTx )()(ˆ)( sss kTxkTxkTq

Erro de quantização

Ruído de quantização


Potência média do ruído de quantização

k

sss kTtfkTxtx )(sinc)()(

k

sss kTtfkTxtx )(sinc)(ˆ)(ˆ

Usando o interpolador ideal podemos escrever:

ksss

kssss

kTtfkTq

kTtfkTxkTxtxtxtq

)(sinc)(

)(sinc)()(ˆ)()(ˆ)(,

2

2

2

2

2

22

)(sinc)(1lim

)(1lim)(,

T

Tk

sssT

T

TT

dtkTtfkTqT

dttqT

tq

)(

)()(ˆ

s

ss

kTq

kTxkTx


Potência média do ruído de quantização

)(

)(1

1lim)(1lim

)(sinc)(1lim)(

2

2

22

2

2

2

2

s

N

Nks

Nk

ss

T

T

Tk

sssT

kTq

kTqN

kTqfT

dtkTtfkTqT

tq

demédioquadráticovalor

dqqpq q )(

2

)(2

skTqE

02

2 q

1

)(qpq

min max

Assumindo que

(i.e., para ) e

que a distribuição probabilística de é

uniforme nesse intervalo, ou seja:

2 2

( )

q

X x t X t

q

12

2

23L

X2max L

X

XX

max

maxmin

2

,Se

Explorando a ortogonalidade das funções sinc


Razão sinal-ruído de quantização (uniforme)

2max

Potência média de

Potência média de

2 2

22

2

2

( ) ( )( )

( ) 12( )

( )3

q

x t x tx tRSR

q t q t

x tL

X

Essa estimativa para RSRq assume que não há sobrecarga do quantizador, isto é, assume que Xmin x(t) Xmax para todo t.

2

max

2

2

max

2

2

)(log1077,402,6

)(3log10

X

txn

X

txLRSR

dBq

nL 2

Portanto, para cada bit adicional na palavra-código, a RSRq aumenta de 6 dB (isto é, é

quadruplicada ).

min max

max

Se ,

2

X X

X

L


2 3 44 3 2

23

2

25

27

27

25

23

2

x

x̂

2 3 44 3 22

2

x

q

0

minX maxX

Região de sobrecarga

Sobrecarga

Sobrecarga


Razão sinal-ruído de quantização

2

max

2 )(log1077,402,6

X

txnRSR

dBq

60 50 40 30 20 10 00

10

20

30

40

50

60

RSR

q(d

B)

Efeito da sobrecarga

2568 Lb

2

maxXtx )(log10 2


Razão sinal-ruído de quantização

Portanto, se Px diminuir (ou aumentar) K dB, a RSRq

também diminuirá (ou aumentará) de K dB, se b e Xmax não forem alterados.

2maxXtxbRSR

dBdBq log10)(77,402,6 2

xP

Contudo, a equação acima só é válida quando |x(t)| Xmax , caso contrário, haverá sobrecarga do quantizador e, nessa condição, um aumento em Px também causará diminuição da RSRq, uma vez que

a sobrecarga aumentará.


Exemplo: quantização de sinais de voz

2

max

2 )(log1077,402,6

X

txnRSR

dBq

2 2 2 2 2( ) ( ) x x xx t E x t

maxRegra prática: 24 4 ( )xX x t

27,702,6 bRSRdB

q

8para,dB41 nRSRdBq

60 50 40 30 20 10 0

2max (dB)2( )x t X

0

10

20

30

40

50

60

RSR

q(d

B)

2568 Ln

dB2max 12log10 2 Xx

Sinais de voz: fdp laplaciana

max maxdas amostras0,35% [ , ]X X

2 | |

1( )2

x

x

x

p x e

fdp laplaciana:


Quantização não Uniforme - Motivação

A potência média do sinal de voz na entrada de um codificador PCM da rede telefônica pode variar de 40 dB (10.000).


Redução da RSR com a redução de x

60 50 40 30 20 10 0

2max (dB)2( )x t X

0

10

20

30

40

50

60

RSR

q(d

B)

2568 Lb

dB2max 12log10 2 Xx

maxSe 2( ) ,4x

Xx t

dB41qdB

RSR

max

Contudo, se

2 4( ) ,

10.000x

Xx t

2max dB210log 52x X

dB0,9qdB

RSR

2

max

2 )(log1077,402,6

X

txnRSR

dBq


Erro de quantização relativo

. . .1,11,0 1,2 10,110,0 10,2

x

1,0

10,0

x

x

ˆ 1,1

ˆ 10,1

x

x

0,1 (10%)

0,1 (1%)

q

q

2q

qmax independe da magnitude de x

IDEAL: 100% %q

x qmax relativo (ou percentual)

independe da magnitude de x

QUANTIZADOR NÃO-UNIFORME


Quantização não-uniforme baseada em compansão

CompressorC[ · ]

)( skTy)( skTx Quantizadoruniforme

Q[ · ]

)(ˆ skTyCodificador

)(kc

Palavra-código binária

Decodificador)(ˆ skTy)(kc Expansor

C-1[ · ]

)(ˆ skTx

compressão + expansão = compansão


Quantização não-uniforme baseada em compansão

Não-uniforme

maxXxx

Uniforme

Compressor

C[ · ]

)( skTy)( skTx Quantizadoruniforme

Q[ · ]

)(ˆ skTy

y


Características de compressão

maxXx

maxXx

Lei-A Lei-


10),sgn(ln1ln)1ln(

)(

maxmax

max

X

xx

X

xXxC

1)min(

)max(

255:JapãoeE.U.A.nosusadoValor

Sistema PCM Lei-

x

xx

Xn

μσ

X

μσ

X

nRSR

max

max

2

max

-lei

para(dB))1ln(log2077,402,6

(dB)21log10

)1ln(log2077,402,6


11),sgn(ln1ln1

10),sgn(ln1

)(

maxmax

max

max

X

x

Ax

X

xA

A

X

AX

xxx

AA

xC

A

)min(

)max(

6,87A:T-ITUpeloopadronizadValor

Sistema PCM Lei-A

x

A

XAAnRSR

max

-lei para(dB)lnlog2077,402,6


Razão sinal-ruído de um sistema baseado em

compansão

60 50 40 30 20 10 0

2maxXtx )(log10 2

0

10

20

30

40

50

60

RSR

q(d

B)

Efeito da sobrecarga

255

0

2568 Ln

cG

41

38


Rb = fs n

Taxa de amostragem (amostras por segundo)

Taxa de bits (bps) PCM

Número de bits por amostra

Bm 3.300 Hz

fs 8 kHz

n 12 bits

L 4.096 níveis

Rb 96 kbps

Ex.: Sinal de voz com banda telefônica,

Quantizadoruniforme

Taxa de bits do PCM

4quando

dB,65

27,702,6

maxXσ

nRSR

x

dBq


Log-PCM: Lei-A ou Lei-

Bm 3.300 Hz

fs 8 kHz

n 8 bits

L 256 níveis

Rb 64 kb/s

Sinal de voz com banda telefônica

(dB)

(dB)A-lei

2,38

ln1log2077,402,6

AbRSR

(dB)

(dB)-lei

1,38

)1ln(log2077,402,6

bRSR

87,6A

552


Largura de banda de transmissão requerida pelo PCM

Por um canal não-ruidoso com uma largura de banda de transmissão de BT Hz é possível transmitir, sem erro, no máximo 2BT elementos de

informação (ou símbolos) independentes por segundo

Hz2teo-min

sT

RB

Largura de banda de transmissão mínima teórica requerida para transmitir Rs símbolos por seg.

Hzlog2

Hz2

2

teo-min

M

R

I

RB

b

M

bT

M

R

I

RR b

M

bS

2log

Para codificação binária Rs=Rb


Preditor

][ˆ kd ][ˆ kx

][~ kx

Decodificador

Codificação PCM diferencial – DPCM

Q[· ]

-][kx ][kd ][ˆ kd

][kx+

Codificador

Preditor

]1[ kx

]1[ kx][kx

sT

]2[ kx

tskT

][ˆ][~][ˆ kdkxkx

][][][ˆ kekxkx

e[k] : erro de reconstrução ?][ ke


Preditor

][ˆ kd ][ˆ kx

][~ kx

Decodificador

Codificação PCM diferencial – DPCM

Q[· ]

-][kx ][kd ][ˆ kd

][kx+

Codificador

Preditor

][][][][][ˆ kqkdkkxkx

][][][][ˆ kkqkxkx Esse componente

do erro de reconstrução pode

assumir valores muito grandes

][][][~ kkxkx

][][][ˆ kqkdkd

][][][ kxkdkx

][][][~][ˆ kqkdkxkx

][ˆ][~][ˆ kdkxkx

][][][ˆ kekxkx ][][][ kkqke

p

ii

p

ii

ikxakx

ikxakx

1

1

][][

][ˆ][~


Filtro transversal usado como preditorlinear

][

]2[]1[][ 21

pkxa

kxakxakx

p

?]1[ kx

]2[ kx

][kx][ pkx

sT

Entrada

AtrasoTs

ap

][kx

][kx

Saída

AtrasoTs

AtrasoTs

AtrasoTs

ap-1a2a1

p

ii ikxa

1

][


Efeito da predição na faixa dinâmica das amostras

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 104

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 104

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sinal original, x[k]

Erro de predição, d[k] = x[k] – x[k–1]


Q[· ]

-][kx ][kd ][ˆ kd

+

Preditor

][ˆ kd ][ˆ kx

][~ kx

Codificador Decodificador

Sistema DPCM prático

][kxPreditor

][ˆ][~][ˆ kdkxkx

][][][~][ˆ kqkdkxkx

][][][ˆ kqkxkx

Preditor

][~ kx

][ˆ kx

][][

][ˆ

kdkq

kx

deoquantizaçãdeerro

deãoreconstruçdeerro


Sistema DPCM: transmissor e receptor

c(k )

x(kTs )

Preditor

Quanti_zador

Codificador

CodificadorPCM

Sinal analógico,

x(t ) d(kTs ) d(kTs )^

x(kTs )^

x(kTs )~

+-

Sinal digital PCM

Erro de predição

Valor estimado para a k-

ésima amostra

k-ésima amostra

codificada

Sinal DPCM

Preditor

Decodificador

Sinal DPCM x(kTs )

^

x(kTs )~

d(kTs )^

ConversorD/A

x(t )^

Sinal analógico

reconstruído

Transmissor

Receptor


Ganho de predição

2

12

Quantizador uniforme:

qP

,,

,,

PCMPCM

DPCMDPCM

xq

q

xq

q

PRSR

P

PRSR

P

,

,

DPCM

PCM

q xp

q d

RSR PG

RSR P

12

2

12

22

,

LXPq

maxPCMPCM

12

2

12

22

,

LDPq

maxDPCMDPCM

d

x

q

q

q

qp

P

P

D

X

P

P

RSR

RSRG

2

2

,

,

,

,

max

max

DPCM

PCM

PCM

DPCM

q

xq P

P

tq

txRSR

)(

)(

2

2


Ganho de Predição2

2

( )

( )

Potência deGanho de predição

Potência dex x

pd d

Px tG

d t P

No caso de sinais de voz, esse ganho é de 4 a 11 dB. Isso permiteque o número de bits por amostra em um sistema DPCM seja 1 a 2bits menor que aquele requerido pelo PCM para propiciar a mesmaRSR. Para uma taxa de amostragem de 8 kHz, isso significa umaeconomia de 8 a 16 kbps.

Um ganho maior do que o mencionado pode ser obtido se o preditor e oquantizador do esquema DPCM forem adaptativos. Nesse caso, oesquema é denominado ADPCM (adaptive differential pulse-codemodulation). Um ADPCM que despende 32 kbps pode propiciarpraticamente a mesma qualidade de um PCM lei-A que despende 64kbps.


Padrões ITU-T para telefonia fixa

Padrão EsquemaTaxa de

amostragemBits por amostra

Taxa de bits

Qualidade (MOS&)

Ano de conclusão

G.711Log-PCM

8 kHz 8 bits64

kbps4,3 1972

G.721$ ADPCM 8 kHz 4 bits

32 kbps

4,1 1984

$ Atualmente o padrão G.721 faz parte do padrão G.726& MOS: mean opinion score (escore médio de opnião) — é uma medida

subjetiva da qualidade de um sinal de voz, com uma escala de cinco pontos:

5 (excelente), 4 (boa), 3 (satisfatória ou razoável), 2 (ruim) e 1 (muito ruim)


Sistema DM (delta modulation)

d̂

d

One-bit quantizer

(a) Transmissor

(b) Receptor

[ ]x k

ˆ[ 1]x k

[ ]d kˆ[ ]d k

ˆ[ ]x k

ˆ[ ]d k ˆ[ ]x k


Transmissor DM

[ ]x k

ˆ[ ] [ 1]x k x k

[ ]d k ˆ[ ]d k

ˆ[ ]x k

d̂

d

Quantizador de um bit


Ilustração da modulação delta (delta modulation – DM)

( )x t

ˆ ( )x t


Ilustração dos dois tipos de erro de quantização na

modulação delta

( )x t

ˆ ( )x t

Documents

Teoria das Comunicações - ene.unb.br · mensage m analógico Conversor A/D Sinal PCM t 3,5 2,5 1,5 0,5 ... Efeito da sobrecarga b 8 l L ... Palavra-código binária c(k) Decodificador