CAMPO ESCALARUma grandeza escalar que toma determinados valores em cada ponto do espaco, chama-se funo escalar do ponto ou campo escalar Um campo pode ser definido por meio de uma funo escalar do argumento vectorial r. CAMPO CENTRAL E CAMPO AXIALSe a funo toma valores iguais em todos os pontos que se encontram a igual distancia de um centro , o campo chama-se central ou esfrico; este campo depende apenas da distancia ; por exemplo: (distancia de um polo). Em geral

Se a funo toma valores iguais em todos os pontos que esto situados a iguais distancias de uma recta (eixo do campo), o campo chama-se axial ou cilndrico.

EXPRESSAO DO CAMPO EM COORDENADASDeterminando o ponto por suas coordenadas (cartesianas ; cilndricas ou esfricas ), obtemos a expresso do campo escalar em forma de funo de trs (3) variveis:

E para um plano, em forma de funo de duas variveis (em coordenadas cartesianas ou polares):

(as funes so supostamente uniformes e contnuas em todas as partes, excepto os pontos, linhas e superfcies isoladas de descontinuidade). A expresso do caampo central em coordenadas :

A de um campo axial, :

Para o estudo dos campos centrais so convenientes as coordenadas esfricas; para os axiais, as cilndricas.

SUPERFICIES E LINHAS DE NIVEL Os pontos nos quais a funo toma um mesmo valor

Formam no espao uma superfcie de nvel, cuja a equao em coordenadas :

Para diferentes Obtm-se diferentes superfcies; por cada ponto do campo passa apenas uma destas superfcies (com excepo dos pontos nos quais a funo no est definida univocamente).As superfcies de nvel de um campo central so esferas concntricas; as superfcies de nvel de um campo axial so cilindros com eixo comum.Para um campo plano a equao representa as linhas de nvel:

Nos desenhos as linhas de nvel so traadas convencionalmente para os valores de que se diferenciam entre si numa quantidade constante, e sobre cada uma delas escreve-se o valor numrico correspondente de .

CAMPO VECTORIALFUNCAO VECTORIAL DE UM PONTOUma grandeza vectorial que toma um determinado valor em cada ponto do espao, chama-se funo vectorial do ponto ponto ou campo vectorial.

Ex: Campo de velocidades de um liquido em movimento

Um Campo pode ser definido como por meio de uma funo vectorial de argumento vectorial r:

TIPOS DE CAMPOS VECTORIAIS1. CAMPO VECTORIAL CENTRALTodos os vectores V esto situados em rectas que passam por um determinado ponto (centro). Colocando o polo no centro, tal campo se determina pela frmula

o comprimento do vector V, seu versor.

2. CAMPO VECTORIAL ESFRICO

um caso particular importante do campo central, no qual o comprimento do vector V depende apenas da distncia ; Exemplo:

(para um campo plano chama-se plano circular)

3. CAMPO VECTORIAL CILNDRICOTodos os vectores de V: a) Esto situadas em rectas que passam por uma recta determinada (eixo) e so perpendiculares a ela;b) Para os pontos que se encontram a igual distancia do eixo, todos os vectores so iguais em valor absoluto e esto todos orientados do eixo ou para o eixo. Colocando o plo no eixo do campo, definido pelo versor c, este campo determinado pela frmula:

Onde r o vector que a projeco de r sobre um plano perpendicular ao eixo nas intercepes deste campo com planos perpendiculares ao eixo, obtm-se campos circulares iguais.

EXPRESSO DO CAMPO VECTORIAL EM COORDENADASO campo vectorial (1) pode ser determinado por meio de trs campos escalares , Que so coeficientes da decomposio de V em relao a trs vectores no-coplanares

Se so tomados como base os versores de coordenadas i, j, k e os coeficientes esto expressos em coordenadas cartesianas ento temos:

GRADIENTEChama-se gradiente ao vector:

Gradiente do campo (representa-se por grad um vector, definido em cada ponto do campo, cuja direco a da normal superfcie de nvel (para o lado de crescimento de ) e cujo comprimento igual a .A derivada igual projeco do grad sobre a direco

Coordenadas do gradiente: no sistema cartesiano:grad k.No sistema de coordenadas cilndricas:grad .

No sistema de coordenadas esfricas:grad

DEFINICAO: chama-se integral curvilnea (linear) de uma funo vectorial V (r),tomada sobre o caminho AB denota-se por Ao escalar o obtido do seguinte modo:

Divide-se a curva AB (figura acima) por pontos intermedirios

Em pequenos segmentos, aproximadamente representados pelos vectores 1) No interior (ou na fronteira) de cada arco elementar toma-se um ponto arbitrrio de raio-vector

2) Multiplicam-se escolarmente os valores da funo V (),Nestes pontos escolhidos, por .

3) Somam-se todos 0s produtos obtidos.

4) Calcula-se o limite da soma obtida Quando o comprimento de cada vector elementar Tende a zero (e, consequentemente ).

Se este limite existe e no depende da escolha dos pontos e este chama-se integral curvilnea.

Se a funo V (r) contnua e o arco AB contnuo e possui tangente que gira continuamente, a integral curvilnea

0 Clculo de uma integral curvilnea, dada em coordenadas cartesianas, se reduz ao clculo de uma integral curvilnea do segundo tipo da forma geral.

Chama-se circulao de um campo vectorial a integral curvilnea deste campo, tomada sobre um contorno fechado (denota-se por Onde uma curva fechada)

CAMPO CONSERVATIVO (ou potencial) o campo vectorial no qual a integral curvilnea no depende do caminho que une A e B e depende apenas da posio dos mesmos pontos A e B. A circulao num campo conservatrio sempre igual a zero. Um campo conservatrio sempre irrotacional:

rot V=0

Unidades das derivadas parciais das coordenadas do campo. Em coordenadas cartesianas so;

(1)

Para um campo plano conserva-se apenas a igualdade acima.

POTENCIAL DE UM CAMPO CONSERVATIVO.se um campo conservativo fixar-se o ponto inicial A ( e fazer variar o final B(r), a integral:

uma funo escalar de r:

Chama-se funo potencial ou potencial do campo V (r).O potencial de um campo esta determinado,exceto para uma constante aditiva arbitrria que depende do limite inferior a diferena dos potenciais :

A relao entre o gradiente a integral curvilnea e o potencial se V (r)=grad (r),ento (r) o potencial do campo V(r) e vice-versa.

O calculo do potencial de um campo conservativo V=Dado em coordenadas cartesianas, :equivalente ao problema do clculo da funo se conhecida sua diferencial total:. devem satisfazer a condio (1);determina-se do sistema de equaes:

Na prtica o potencial se calcula integrando sobre uma poligonal formada por segmentos paralelos aos eixos de coordenadas.

DIVERGENCIA DE UM CAMPO VECTORIAL

Definicao:Chama-se divergncia de um campo V (denota-se por div V ou V) ao escalar, definido em cada ponto do campo e que a derivada de volume deste campo:

div,V