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Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 23
CAPÍTULO 2 – Escoamento Unidimensional e Quase-unidimensional
Velocidade do som e número de Mach – suponha que
uma onda de pequena amplitude se propaga em um
meio fluido em repouso na condição indicada como 1
na ilustração abaixo. Ao se movimentar (da direita para
a esquerda na figura), o pequeno sinal de pressão
modifica levemente as propriedades do meio 2. Para
efeito de análise considere que o observador se
movimenta junto com a onda, de forma que ele “vê” o
fluido no estado 1 caminhando em direção a ele com
velocidade c. Considerando que o escoamento é
unidimensional e em regime permanente.
A lei unidimensional da conservação de massa pode ser escrita como:
dccdc ou
d
dcc
onde, o produto de infinitésimos dc. d foi desprezado (2ª ordem).
Analogamente, utilizando a equação da quantidade de movimento
22 dccddPPcP
Distribuindo-se o quadrado perfeito,
])(2[])(2[ 22222 dccdccddccdccdPPcP
Expandindo-se a equação,
cdcddccdccdPPcP 22 222
Após desprezar o produto de diferenciais e substituindo
cddc , tem-se:
c
P
T
c +dc
P+dP
+d
T+dT
1 2
onda de pequena
amplitude
0 0
0
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 24
d
dPc 2
No processo de propagação deste pequeno sinal sonoro (acústico), o meio sofre
perturbações infinitesimais, de forma que se pode considerar um processo reversível, isto
é, isoentrópico. Assim, deve-se acrescentar o índice “s” à derivada para indicar a condição
de reversibilidade, de forma que
s
Pc
2 (2.1)
De forma alternativa, a expressão de velocidade do som pode ser obtida para um processo
isoentrópico como:
dss
Pd
PdPsPP
s
,
define-se como 2c
lembrando (pág.) da definição de compressibilidade isentrópica s
sP
1, tem-se
s
c
1 (2.2)
Assim, um fluido incompressível 0s tem uma velocidade do som infinita.
s
s Pv
vPc
22
; v
1
Derivada fundamental da dinâmica dos gases
Tomando-se a derivada de 2c com relação a P , com s = const.
0
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 25
1
22
2
2
3
42
ssP
v
v
cv
P
c (2.3)
Define-se a “derivada fundamental da dinâmica dos gases" (ver Thompson, pág. 252).
sP
v
v
c
2
2
3
4
2 (2.4a)
Através de manipulação de propriedades, também pode-se mostrar que
sv
P
c
v
2
2
2
3
2 (2.4b)
Ao longo de uma linha de corrente, a eq. (14f) pode ser escrita como: (sem efeitos
gravitacionais)
0uduvdP (2.5)
também, 2
2dc
c
PdP
s
Por outro lado, das eqs. (2.3) e (2.4), tem-se: 2112 dcvdP
, o que subst. na eq.
(2.5), resulta em
01
cdcudu
(2.6)
Por definição, o número de Mach é c
uM , de forma que em termos diferenciais tem-se
c
dc
u
du
M
dM (2.7)
ou, introduzindo a derivada fundamental e utilizando (2.6), tem-se:
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 26
2)1(1 M
MdM
u
du
(2.8)
Se M 1 aumenta monotonicamente com a velocidade.
Para um gás perfeito, é fácil mostrar que:
2
1
(2.9)
uma vez que a razão entre calores específicos é sempre maior ou igual à unidade, ou seja,
11 . Num gás perfeito, a derivada fundamental é também sempre maior (ou
igual) à unidade. Entretanto, é possível que assuma valores menores que a unidade e até
negativos para gases reais. Nesse caso, alguns fenômenos poucos usuais podem ocorrer,
tais como a não formação de ondas de choque e a possível formação de ondas de choques
de expansão. Isto será discutido mais adiante (veja também o artigo do autor nos Anexos
intitulado: Comportamento Termodinâmico de Substâncias de Complexidade Molecular
Elevada – apresentado ao III CIDIM - 1997)
Voltando para a expressão de (eq. 2.4), nota-se que é diretamente proporcional à
curvatura de uma linha isoentrópica no diagrama P-v, cujo sinal (2º derivada) indica-se a
concavidade se a linha isoentrópica é positiva, negativa ou se é um ponto de inflexão. Tal
comportamento ocorre próximo à região crítica.
Fonte: Thompson (1988)
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 27
Velocidade do som em Gás Perfeito – combinando a eq. (1.6b) com a definição dada pela
eq. (2.1), obtém-se:
RTc
PPconstconst
Pc
s
12
(2.10)
É importante lembrar que R é a constante particular do gás em estudo. Esta simples relação
indica que a velocidade do som em um gás perfeito é função apenas da temperatura e da
natureza do Gás ),( M .
A tabela 1 indica valores selecionados da velocidade do som à temperatura ambiente
(Thomson).
Tabela 1 – Velocidade do som
Substância c (m/s)
H2 1,405 1320
He 1,667 1020
Ar 1,400 347
U238
F6 1,200 92,4
Elétrons
(nuvem )
1,667 87400
ESCOAMENTO UNIDIMENSIONAL E QUASE-UNIDIMENSIONAL
EM REGIME PERMANENTE
Em muitas situações o escoamento pode ser tratado como tendo apenas uma dimensão em
que as propriedades variam significativamente. Tal é o caso de escoamento em um dutos
retos e através de ondas de choque normais. Esta é a modelagem unidimensional. Verifica-
se também que pode ocorrer situações (como escoamento em bocais com comprimento
dominante face ao diâmetro) em que, embora o duto não tenha uma área variável, o
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 28
escoamento pode ser aproximado como sendo unidimensional. Este é o chamado
escoamento quase-unidimensional.
Equação da conservação de massa unidimensional
Seja o volume de controle fixo, 0
b . Da equação (1.8) para regime permanente, tem-se:
222111 AA (2.11)
Equação da conservação da energia unidimensional
Da equação (1.10), considerando a definição de entalpia específica, sem geração interna de
calor, isto é, 0q e volume de controle fixo, 0
b , permitindo apenas uma troca de
calor (por unidade de massa) 0q , tem-se:
2
1
2
2122
1uuhhq (2.12a)
se o escoamento for adiabático, isto é, 0q , tem-se:
consthuhuhh oo 2
2
22
2
1112
1
2
1 (2.12b)
já considerando a definição da entalpia específica de estagnação. Dessa forma, vê-se que a
entalpia específica de estagnação permanece inalterada no escoamento unidimensional,
desde que não ocorra trocas de calor e também sem geração interna.
21 oo hh (2.12c)
A entalpia de estagnação também é considerada a
entalpia de reservatório, em que o volume é muito
grande de tal forma que a velocidade u é nula.
Considerando novamente (2.12b) e assumindo um gás
perfeita com dTCdh p , ainda pode-se obter a seguinte
expressão:
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 29
00 ududTCududh p , que integrando para Cp const. obtém-se:
0
2 .2
1TCconstuTC pp (2.12d)
Note que a equação da energia estabelece que a entalpia de estagnação permanece
constante, com isso também mostra-se que:
0201 TT (2.12e)
Isto é a temperatura de estagnação também é constante. Nesse desenvolvimento, admitiu-
se que a entalpia de referência é nula para uma dada condição de temperatura).
(veja comentários nas páginas 44 e 45 de Liepmann e Roshko)
Da segunda lei:
00102 ss processo isentrópico
processo irreversível
usando as relações de G. P (página 6), tem-se
01101
02
02
01
0102
T
TnC
P
PnRss p (2.12f)
Uma vez que 0201 TT no caso do escoamento adiabático, tem-se
102
01 P
P (2.12g)
ou
01
02
0102 1P
PnRss (2.12h)
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 30
Também, os processos de definição das condições de estagnação são isoentrópicos, isto
significa que ss 0 . Portanto,
01
02
12 1P
PnRss (2.12i)
Assim, uma medida da variação da pressão total de um escoamento pode indicar a
“isoentropicidade” do escoamento.
Equação de Bernoulli. Esta equação já esta definida em (1.14f), basta torná-la
unidimensional, isto é, uV
.2
2
constgzudP
(2.13a)
Se os efeitos gravitacionais forem desprezíveis (o que é, em geral, verdade para gases),
tem-se:
.2
2
constudP
(2.13b)
se o fluido for incompressível,
.2
2
constu
P (2.13c)
Note que estas equações foram obtidas a partir da equação da energia. Podem também ser
obtidas através da equação da quantidade de movimento.
Equação da conservação da quantidade de movimento unidimensional
– Da equação (1.9d) com as hipóteses de regime permanente e sem efeitos gravitacionais,
tem-se:
2
222
2
111 uPuP (2.14)
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 31
Isto considerando que a área é constante.
Se for considerada a variação da área
(tubos não retos) tem-se:
2
1
22111
2
112
2
22
A
A
PdAAPAPAuAu (2.15)
Escoamento compressível x incompressível – Para baixos valores do número de Mach o
escoamento pode ser considerado incompressível. (ver mais detalhes em Thompson pág.
254)
Da equação da energia (2.12b), com a definição de cuM / , tem-se:
2
2
2
0 M
c
hh
, Agora obtém-se a expansão em série de Taylor de 0hh e 2
0
2 cc em
torno de 0PP
...........2
2
1 2
02
2
00
PP
P
hPP
P
hhh
ss
(2.15a)
e
..........2
1 2
02
22
0
22
0
2
PP
P
cPP
P
ccc
ss
(2.15b)
Lembrando que
2
2
2
2
c
v
P
v
P
h
P
hv
sss
(definições termodinâmicas)
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 32
e 122
v
P
c
s
(ver página 25)
Após considerável trabalho, Thompson mostra que
...........34
24
1
4
11
2
1 422
00 MMuPP (2.15c)
Esta é uma versão modificada da equação de Bernoulli. Note que para 3,0M efeitos de
compressibilidade são desprezíveis e a forma incompressível da equação de Bernoulli, isto
é, (2.13c) é restaurada Pu
P 2
2
00
Fonte: Thompson (1988)
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 33
Relação área – velocidade
Uma expressão muito importante envolvendo o número de Mach, velocidade e área da
seção transversal é apresentada a seguir. Para mostrar tal expressão, primeiro a equação da
continuidade (2.11) é diferenciada, obtendo
0u
du
A
dAd
(2.16a)
Agora da equação diferencial de Bernoulli, tem-se 0 ududP
. Usando o conceito de
escoamento isentrópico, isto fornece .2 dcdP Substituindo acima e com a definição do
número de Mach, tem-se .2
u
duM
d
Finalmente, esse último resultado é substituído
na eq. (2.16a), para obter a expressão desejada
A
dA
Mu
du
1
12
(2.16)
Note, também, que da equação da quantidade de movimento uma variação em velocidade
du é acompanhada em uma variação em pressão dP de sinal oposto, ou seja, de (2.13a)
0 ududP (2.17)
Uma vez que e u são grandezas positivas, então dudP , isto é, a variação de pressão
ocorre em oposição à variação de velocidade. Assim, pode-se construir a seguinte tabela
que indica a variação de propriedades em canais convergente e divergente.
dA Geometria 1M (subsônico)
1M (supersônico)
0dA canal divergente
0
0
dP
du
difusor subsônico
0
0
dP
du
0dA canal convergente
0
0
dP
du
0
0
dP
du
difusor supersônico
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 34
Escoamento Transônico. Utilizando a eq. (2.8) em que aparece a derivada fundamental e
substituindo-a em (2.16), tem-se:
A
dA
M
M
M
dM
1
112
2
(2.18a)
Note que na condição transônica em que 1M só é possível se houver uma variação em
área tal que 0dA (isto é, área mínima ou máxima no duto). Analisando a expressão
acima, percebe-se que esse limite conduz a uma indeterminação do tipo 0/0. Assim, para
se obter a condição transônica, a regra do cálculo de L’Hospital é empregada, como
indicado na nota de abaixo. A expressão final da condição transônica é:
AdA
dM 22
2
(2.18b)
Uma vez que 2dM é sempre uma grandeza positiva, verifica-se que a segunda derivada
da área deve ter o mesmo sinal da derivada fundamental para que haja solução física. As
duas possibilidades > 0 e < 0 estão ilustradas no esquema abaixo e analisadas a seguir.
nota: obtenção da condição transônica em um bocal pelo cálculo do limite de M 1 da eq. (2.18a)
,
211
12
1
lim
0
lim
1
lim
M
M
M
A
dA
dA
M
dM
M mas agora empregando a regra de L’Hospital das derivadas do numerador
e do denominador dessa expressão, tem-se
2211
1212
211
2
1
lim
2
22
0
lim
1
lim
M
dMMM
M
MdM
M
A
dA
A
Ad
dA
M
dM
M
Agora simplificando os valores nulos, substituindo o limite (M=1) e rearranjando a expressão, obtém-se a
forma desejada que é
AdA
dM 2
2
2
0
0
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 35
A maioria dos gases ordinários apresenta > 0. Particularmente, 2
1
para gases
perfeitos (eq. 2.9). Nestas condições, as seguintes observações podem ser traçadas com o
apoio da ilustração da figura acima:
(1) Para atingir velocidade supersônica (M>1) em um gás “normal” deve-se utilizar um
bocal convergente-divergente. A velocidade sônica é atingida na “garganta” do bocal.
(2) Para desacelerar um gás “normal” de supersônico para subsônico deve-se utilizar
também um bocal convergente-divergente.
(3) No caso de um gás não-convencional ( < 0) o bocal apresenta uma seção de área
máxima e não mínima para que os efeitos de aceleração e desaceleração mencinados
nos itens (1) e (2) acima sejam alcançados.
O bocal convergente-divergente também é conhecido por “Laval” (veja notas históricas ao
final do capítulo).
Mais relações de estagnação – Partindo da eq. (2.12d) e utilizando as relações isentrópicas
das págs. 1.6 e 1.7, pode-se facilmente mostrar que condições de estagnação ou de
reservatório (índice “o”) podem ser obtidas.
opp TCuTC 2
2
1 (2.12d)
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 36
utilizando RTc e rearranjando tem-se:
222
2
1ucco
(2.19a)
ou ainda, dividindo por 2c e usando a
uM , tem-se:
2
2
2
2
11 M
T
T
c
c oo
(2.19b)
Utilizando as relações isentrópicas de gás perfeito já desenvolvidas, tem-se:
12
2
11
M
P
Po (2.19c)
11
2
2
11
Mo (2.19d)
Note que a razão entre a condição de estagnação e a propriedade local (isto é
c
c
P
P
T
T 0000 ;;;
) é função apenas do número de Mach e da natureza do gás via a razão de
calores específicos, .
Para o ar 4,1 estas relações são normalmente tabeladas e consistem nas chamadas
tabelas isentrópicas. Uma cópia dessas tabelas encontra-se na seção de anexos.
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 37
Estado de referência sônico (*)
É útil em muitas situações referenciar as propriedades de um gás a alta velocidade à
condição sônica, isto é, M = 1. Isso pode facilmente ser obtido, substituindo o valor
unitário do número de Mach nas expressões acima e, para evitar dificuldades e confusões
de notação, as propriedades no estado sônico passam a ser assinaladas com um asterisco.
Então, Das equações (2.19b) a (2.19d), obtém-se: 1M
1
2
0 T
*T (2.20a)
1
0 1
2*
P
P (2.20b)
11
0 1
2*
(2.20c)
2*
22
12
1
21c
uc
(2.20d)
Note que *c é constante
Alguns valores destas grandezas estão apresentados na tabela abaixo para valores distintos
de :
Expressão Cv
Cp
79 )(
57 ar
35
0
*T
T 0,8750 0,8333 0,7500
0
*P
P 0,5483 0,5283 0,4871
0
*
0,6267 0,6339 0,6495
O número de Mach normalizado, M* - pode-se também definir o número de Mach
normalizado como a razão entre a velocidade local, u, e a velocidade do som na garganta,
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 38
c* Note que M* não é o número de Mach na garganta, o qual é constante e vale 1 em
condições de regime de operação como o bocal de Laval.
*** 0
0 c
c
c
cM
c
uM (2.21a)
das expressões (2.19b), tem-se:
21
2
1
1
1
2
*
M
MM
(2.21b)
Umas das grandes vantagens de se utilizar M* ao invés de M é que M* permanece finito
quando M cresce muito e tende ao infinito, como indicado na tabela abaixo
M 0 1
M* 0 1 1
1
Máxima velocidade que se pode atingir em um local é dado pelo limite da eq. (2.19a)
fazendo com que 0c . Assim
0.1
2cumáx
(2.22)
para o ar 4,1 024,2 cumáx
Isto corresponde a M e 1
1*
M
Relação número de Mach – área
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 39
Da equação da conservação de massa (eq. 2.11) para as
seções indicadas na figura ao lado, pode-se escrever:
AuuA ***
ou u
u
A
A **
*
; mas como ** cu
u
c
A
A **
*
0
0
; (2.23a)
substituindo as eqs. (2.19a) (2.20c) e (2.21b), na expressão acima tem-se:
1
1
2
2
2
2
11
1
21
*
M
MA
A (2.23b)
Esta expressão oculta informações que a primeira vista pode passar desapercebidas. Note
que, num dado bocal isoentrópico o número de Mach local é função exclusiva da razão
entre a área da seção de interesse e a área da garganta do bocal, para um dado gás de
conhecido. Na verdade, para uma dada razão de áreas, essa expressão possui duas soluções
para o número de Mach: uma subsônica e outra supersônica. De forma, que se costuma
analisar a referida equação de forma inversa, ou seja, como Mach em função da razão de
áreas, isto é, *A
AfM para constante. Evidentemente M = 1 é atingido quando
A=A*.
Geralmente a expressão acima é vista de forma gráfica, como aquele ilustrado na próxima
figura. Como se depreende do gráfico, nenhuma solução isoentrópica é possível para uma
seção de área transversal menor que a da garganta, De forma que, necessariamente,
*AA . A função (A/A*) como função do número de Mach, encontra-se tabelada e pode
ser vista na seção de anexos nas tabelas isentrópicas para o ar.
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 40
Relações para ondas de choque normais– Um problema associado com o escoamento
supersônico é que qualquer perturbação do escoamento à jusante não pode propagar à
montante como ilustrado na figura abaixo extraída do livro de Anderson.
No caso do escoamento subsônico )1( M , o escoamento é “avisado” do obstáculo à
frente e se auto ajusta para esta condição.
No caso supersônico )1( M as ondas
acústicas não conseguem “avisar” o
escoamento em tempo para que ele possa
se ajustar à presença do obstáculo. Assim,
a natureza cria uma onda de
descontinuidade (choque), de e o
escoamento se torna subsônico (na sua
parte frontal) e as linhas de corrente
podem se ajustar obstáculo.
Para algumas geometrias de escoamento (como a região do escoamento que é frontal ao
obstáculo da figura anterior, escoamento em bocais quase-unidimensional e tubos de seção
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 41
uniforme) é possível modelar o fenômeno de ondas de choque do ponto de vista
unidimensional. Nesse caso, a onda de choque é normal à direção ao escoamento. Assim,
as eqs. (2,11), (2,12a) e (2,14) se aplicam, as quais são rescritas novamente abaixo:
2211 uu (2.24)
2
222
2
111 uPuP (2.25)
22
2
22
2
11
uh
uh (2.26)
Estas equações são absolutamente válidas não somente para ondas de choque, como
também para qualquer tipo de descontinuidade unidimensional. Para um gás perfeito, elas
podem ser manipuladas para se obter expressões mais simples. Para um gás genérico elas
devem ser solucionadas numericamente em conjunto com uma equação de estado válida
para o gás em questão. Voltando para a situação de gás perfeito, primeiro divide-se a eq.
(2.25) pela eq. (2.24) juntamente com o fato de que
P
RTc
1
2
1
2
2
2
11
1
22
221
u
c
u
c
u
P
u
Puu
Rearranjando tem-se:
2
2
2
2
2
2
1
2
1 *12
1
1212c
cucu
com a ajuda da eq. (2.20d)
Rearranjando novamente, tem-se:
2
21 *cuu (2.27a)
Esta é a chamada relação de Prandtl-Meyer.
Utilizando a definição *
*c
uM , tem-se:
*
1
*
21
MM (2.27b)
Note que, como se depreende desse simples resultado, o escoamento através de uma
descontinuidade deve mudar de regime. Ou seja, se o escoamento à montante da onda é
supersônico, isto é, 1*
1 M , então necessariamente, o escoamento se torna subsônico ao
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 42
atravessar a onda de choque, ou seja, 1*
2 M . Embora o oposto também seja
matematicamente possível, existe um impedimento físico estabelecido pela 2ª Lei (ao
menos para fluidos normais), já que um decréscimo de entropia específica seria necessário
(ver eq. 2.12h).
Rearranjando a eq. (2.20d) com as definições de M e M*, tem-se:
21
12
22*
M
MM
(2.28)
Substituindo apropriadamente em (2.27b), obtém-se:
2
12
11
2
1
2
12
2
M
M
M (2.29)
Através de manipulações pode-se mostrar que:
11
21 2
1
1
2
MP
P
(2.30)
e
11
1
121 2
12
1
2
1
2
1
2
M
M
M
T
T
(2.31)
2
1
2
1
2
1
1
2
12
1
M
M
u
u
(2.32)
Casos limites do número de Mach para o ar 4,1
1) 1M
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 43
378,02
1lim2
1
M
M
1
2
1
lim
P
P
M
61
1lim
1
2
1
M
1
2
1
lim
T
T
M
2) 11 M
todos os casos 112 MM 12 ; 12 PP ; 12 TT
o salto em entropia específica é:
1
2
1
212 lnln
P
PR
T
TCss p , subst. as eqs. apropriadas para as razões indicadas,
isto é, as eqs. (2.30) e (2.31), vem
1
1
21ln1
1
1
121ln 2
1
2
12
1
2
1
212 MRMM
MCsss p
(2.33)
Analisando esta expressão, tem-se:
Se 011 sM (não há choque!)
Se 011 sM (choque de compressão – choque normalmente conhecido)
Se 011 sM (não é possível ocorrer choque de expansão) (ao menos para
fluidos normais que apresentam >0). Isto confirma o mencionado na página anterior.
A figura da página seguinte ilustra o comportamento das propriedades como função do
número de Mach. Na seção de anexos, estão as tabelas de choque normal baseadas nas
equações de salto, as quais indicam as variações das propriedades do ar quando ocorre uma
onda choque normal.
A razão entre pressões de estagnação é:
Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 44
1
2
1
2
11
1
2
1
01
02
21
11
1
21
M
MM
P
P (2.34)
Fonte: Anderson (1990)
Exemplo proposto
Num escoamento supersônico a pressão estática é de 0,5 bar.
Um tubo de Pitot é inserido e indica uma pressão de 2 bar.
Calcule o número de Mach, a temperatura e a pressão.
Sabendo que o escoamento é isoentrópico.
Resposta:
O tubo de Pitot vai medir a pressão total atrás da onda de choque que é formada junto à
extremidade do tubo de tomada de pressão. Portanto barP 202 e barP 5,01
4 ,45,0
2
01
02
1
01
01
02
01
02 P
P
P
P
P
Pmas
P
P
tabelas isentrópicas f(M1)
tabelas choque normal f(M1)
solução iterativa. continuar o problema
!