TEORIA DOS CO NJUNTOS

Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Embora

qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a

elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições

de quase todos os elementos matemáticos.

O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870. Após a

descoberta de paradoxos na teoria ingênua dos conjuntos, numerosos sistemas de axiomas foram propostos no início

do século XX, dos quais os axiomas de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, são os mais conhecidos.

Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo de matemática nos Estados Unidos. Fatos

elementares sobre conjuntos e associação de conjuntos são frequentemente ensinados na escola primária, junto com

diagramas de Venn, diagramas de Euler, e as operações elementares, tais como união e interseção de conjunto.

Conceitos ligeiramente mais avançados, tais como cardinalidade são uma parte padrão do currículo de matemática de

graduação.

A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor da matemática, particularmente na forma

de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dos

conjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisa ativa. Pesquisas

contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleção de temas, variando da estrutura do número real

ao estudo da consistência de grandes cardinais

HISTÓRIA

Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações entre muitos pesquisadores. Teoria dos

conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo em 1874 por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedade

característica de todos os números algébricos reais".

Desde o século V a.C., começando com o matemático grego Zenão de Eleia no ocidente e matemáticos indianos no

oriente, os matemáticos têm se debatido com o conceito de infinito. Especialmente notável é o trabalho de Bernard

Bolzano na primeira metade do século XIX. A compreensão moderna do conceito de infinito em matemática

começou em 1867–71, com os trabalhos de Cantor em teoria dos números, teoria das funções e séries

trigonométricas. Um encontro em 1872 entre Cantor e Richard Dedekind influenciou o pensamento de Cantor e

culminou no artigo de Cantor 1874.

O trabalho de Cantor inicialmente dividiu os matemáticos de sua época. Enquanto Karl Weierstrass e Dedekind

apoiavam Cantor, Leopold Kronecker, hoje visto como um dos fundadores do construtivismo matemático, era contra.

A teoria dos conjuntos cantoriana, afinal, tornou-se amplamente difundida, devido à utilidade dos conceitos

cantorianos, tais como correspondência um-para-um entre conjuntos, sua prova de que há mais números reais que

inteiros, e a "infinidade de infinitos" ("paraíso de Cantor") que a operação conjunto das partes dá origem.

A onda de entusiasmo seguinte na teoria dos conjuntos chegou por volta de 1900, quando foi descoberto que a teoria

dos conjuntos Cantoriana dava origem a várias contradições, chamadas antinomias ou paradoxos. Bertrand Russell e

Ernst Zermelo encontraram o paradoxo mais simples e mais conhecido paradoxo, hoje chamado paradoxo de Russell

que envolve "o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos". Isto leva a uma contradição,

uma vez que ele deve ser e não ser um membro de si mesmo. Em 1899 Cantor se questionou: "qual é o número

cardinal do conjunto de todos os conjuntos?" e obteve um paradoxo relacionado.

A força da teoria dos conjuntos foi tal que o debate sobre os paradoxos não a levou ao abandono. O trabalho de

Zermelo em 1908 e Abraham Fraenkel em 1922 resultou na teoria axiomática dos conjuntos canônica ZFC, que

imagina-se ser livre de paradoxos. O trabalho de analistas, como Henri Lebesgue, demonstrou a grande utilidade

matemática da teoria dos conjuntos.

CONCEITOS BÁSICOS

Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto A. Se o é um

membro (ou elemento) de A, nós escrevemos o ∈ A. Uma vez que conjuntos são objetos, a relação de pertinência

também pode relacionar conjuntos.

Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação subconjunto, também chamada 'está contido'. Se todos

os elementos do conjunto A também são elementos do conjunto B, então A é um subconjunto de B, denotado por A ⊆

B. Por exemplo, {1,2} é um subconjunto de {1,2,3} , mas {1,4} não é. A partir desta definição, é óbvio que um

conjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que se deseja evitar isso, o termo subconjunto próprio é

definido para excluir esta possibilidade.

Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, teoria dos conjuntos caracteriza operações

binárias sobre conjuntos. O (A):

União dos conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de A, ou

B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}.

Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de

ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3}.

Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U \ A é o conjunto de todos os membros de U que não são

membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} \ {2,3,4} é {1}, enquanto a diferença de conjuntos {2,3,4} \

{1,2,3} é {4}. Quando A é um subconjunto de U, a diferença de conjuntos U \ A é também chamada de

complemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do contexto, a notação Ac é algumas

vezes usada no lugar de U \ A, particularmente se U é um conjunto universo como no estudo de diagramas de

Venn.

Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que são membros de exatamente

um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por exemplo, para os conjuntos

{1,2,3} e {2,3,4}, o conjunto diferença simétrica é {1,4}. É o conjunto diferença da união e da interseção,, (A

∪ B) \ (A ∩ B).

Produto cartesiano de A e B, denotada por A × B, é o conjunto cujos membros são todos os possíveis pares

ordenados (a,b) onde a é um membro de A e b é um membro de B.

Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os possíveis subconjuntos de

A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1}, {2}, {1,2} }.

Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto vazio (o único conjunto que não contém elementos),

o conjunto de números naturais, e o conjunto de números reais.

O DIAGRAMA DE VEEN

Designa-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente propriedades,

axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria.

Os respetivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os

conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 ∈

{3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12}) e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3,

4}). Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaço interno da outra simbolizam conjuntos que possuem

continência; ao passo que o ponto interno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto.

Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a sua interseção, ao passo que a

totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto indistintamente representa sua união.

John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos anteriores de

Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática.[8][9]

Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta

usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outros

matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso

outros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh.

Os diagramas adotam o nome do seu criador John Venn, matemático e filósofo britânico do século XIX. Foi

estudante e mais tarde professor no Caius College da Universidade de Cambridge, onde viria a desenvolver toda sua

obra teórica.[12]

Venn introduziu os diagramas em um trabalho de lógica formal publicado em Julho de 1880 na Philosophical

Magazine and Journal of Science, intitulado Da representação mecânica e diagramática de proposições e

raciocínios.

Embora a primeira forma de representação geométrica de silogismos seja frequentemente atribuída a Leibniz, e tenha

sido retomada já durante o século XIX pelos matemáticos George Boole e Augustus De Morgan, o método de Venn

superava os sistemas anteriores em termos de clareza e simplicidade, ao ponto de ser aceite como método padrão ao

fim de algum tempo. Venn foi o primeiro a formalizar o seu uso e a dotá-lo de um mecanismo de generalização.

O próprio Venn não se referia aos diagramas como sendo da sua autoria, mas sim como círculos eulerianos, fazendo

referência aos diagramas criados por Leonhard Euler no século XVIII. No parágrafo introdutório do seu artigo, Venn

afirma:

Esquemas de representação diagramática tem sido tão familiarmente introduzidos nos tratados de lógica

durante o último século que se pode supor que muito leitores, mesmo aqueles que não fizeram qualquer

estudo profissional de lógica, possam ter familiaridade com a noção geral de tais objetos. Dentre tais

esquemas, apenas um - aquele comummente chamado 'círculos eulerianos', encontrou aceitação geral...

(tradução livre)[13]

Mais tarde, Venn desenvolveu o método no livro Lógica simbólica, publicado em 1881 com o objetivo de interpretar

e corrigir os trabalhos de Boole no campo da lógica formal. Em 1889, publicou uma nova expansão de seu trabalho,

com o livro Princípios da lógica empírica. A primeira referência escrita conhecida do termo Diagrama de Venn surge

apenas em 1918, no livro de Clarence Irving Lewis, A Survey of Symbolic Logic.

No século XX, os diagramas de conjuntos passaram por novos desenvolvimentos. D. W. Henderson demonstrou em

1963 que a existência de um diagrama de Venn para N conjuntos com N eixos de simetria implica que N deve ser um

número primo. Também demonstrou que tais diagramas simétricos existem quando N é 5 ou 7. Em 2002, Peter

Hamburger encontrou diagramas simétricos para N = 11 e, em 2003, Griggs, Killian e Savage mostraram que

diagramas simétricos existem para todos os outros primos.

A partir da década de 1960, os diagramas de Venn foram introduzidos no ensino escolar de matemática, na

aprendizagem da teoria dos conjuntos e de funções, como parte do movimento da Matemática Moderna. Desde então,

seu uso foi amplamente difundido, em áreas tão distintas como a compreensão de textos