Teoria dos Grafos - Instituto de Informática - UFRGSprestes/Slides/GrafosA9.pdf · na verdade corresponde ao caminho abc. Matriz Latina L3. Teoria dos Grafos Grafos– Enumeração

Teoria dos Grafos

Edson Prestes

Teoria dos GrafosGrafos– Enumeração de Passeios/Caminhos

O processo associado à enumeração de caminhos de um grafo/dígrafo é semelhante ao processo de contagem com a diferença de que usaremos uma matriz de adjacência modificada, chamada matriz latina.

Matriz de Adjacência

Matriz Latina

Note que a Matriz Latina contém todos os passeios de comprimento 1


Vimos que a quantidade de caminhos de comprimento 2 era obtida através de M2=M.M, onde M é a matriz de adjacência de G. Aqui calcularemos L2 através de L.L', onde L é a matriz latina e L' é uma matriz latina modificada construida da seguinte maneira. Matriz Latina L

Matriz L’

Remoção 1o. elemento de cada entrada


Cada elemento (i,j) de L2 é igual a

onde n=V(G) e a operação é uma operação binária não comutativa que obedece as seguintes regras:

L(i,j) L'(j,m)=pp'.

Se L(i,j) ou L'(j,m) forem iguais ao conjunto vazio,então L(i,j) L'(j,m)=

Se L(i,j)=p e L'(j,m)=p' são dois subcaminhos, então


Se quisermos enumerar todos os caminhos de comprimento 3 em um grafo G basta calcularmos

Generalizando, os caminhos de comprimento n são determinados por


Enumere os caminhos de comprimento 2 e 3 do dígrafo abaixo

Matriz de Latina L Matriz L’

Matriz Latina L2

Se o preenchimento de L' fosse igual ao de L, teriamos algumas distorções. Por exemplo, se L(i,j)=ab e L'(j,m)=bc, teriamos L(i,j) L’(j,m)=abbc, o que na verdade corresponde ao caminho abc.

Matriz Latina L3


Para determinar todos os passeios/caminhos que não passam por um vértice v, basta gerar as matrizes latinas L e L', sem considerar a linha e a coluna associada ao vértice v. Quais são os caminhos de comprimento 3 que não possuem o vértice d?



Matriz de Latina L Matriz de Latina L’

Matriz de Latina L2 Matriz de Latina L3


Para determinar todos os passeios/caminhos que não passam por um determinado arco/aresta (x,y), basta gerar as matrizes latinas L e L‘ deixando vazia a entrada (x,y). Por exemplo, se quisermos calcular os caminhos de comprimento 3 que não passam pelo arco (b,c) devemos usar as seguintes matrizes


Matriz de Latina Original

Teoria dos GrafosÁrvores

Uma folha é um vértice de grau 1.

Uma floresta é um grafo que não contém ciclos.

Uma árvore é uma floresta conexa.

Todo componente de uma floresta é uma árvore.

Uma árvore é um grafo conexo aciclico, ou seja, um grafo conexo sem ciclos.


Teorema: Para um grafo G=(V,A) de n-vértices (n>0), as seguintes afirmações são

verdadeiras (e caracterizam uma árvore com n vértices).

a) G é conexo e não possui ciclos

b) G é conexo e tem n-1 arestas

c) G tem n-1 arestas e nenhum ciclo

d) Para dois vértices u,v tem exatamente um caminho entre u e v.

Trazer a prova na próxima aula


Cada aresta de uma árvore é uma aresta de corte.

A adição de uma aresta em uma árvore forma exatamente um ciclo.

Cada grafo conexo que é árvore contém exatamente uma spanning tree.

Uma spanning tree de um Grafo é um subgrafo que é árvore e que contém todos os nós de G.

Uma spanning forest é obtida quando o grafo não é conexo. Ela consiste em uma floresta de spanning tree.

Spanning Tree de GGrafo G


O diâmetro de uma árvore é calculado de forma similar ao de um grafo que não é árvore. Ele corresponde a maior distância entre qualquer par de vértices, ou seja,

A excentricidade de um vértice u é a maior distância entre u e qualquer vértice de G, ou seja,

O raio de um Grafo G é denotado por


O centro de um grafo G é o subgrafo induzido pelos vértices de excentricidade mínima. O centro de uma árvore é um vértice ou uma aresta.

Encontre a excentricidade de cada vértice, o raio e o centro do grafo abaixo.

Raio(G) =


Sabemos que com um ou dois vértices apenas uma árvore pode ser formada.

Entretanto com três vértices podemos formar três árvores.

Com quatro vértices temos quatro estrelas e doze caminhos (eliminando os automorfismos) totalizando 16 árvores.

Se tivermos cinco vértices temos 125 árvores.

Cayley demonstrou que para um conjunto de n vértices distintos existem

nn-2 árvores associadas.

Cada uma das árvores pode ser codificada por uma lista de comprimento n-2, chamada Código Prüfer.

Esta lista permite-nos determinar de forma unívoca a árvore em questão.

Teoria dos GrafosÁrvores – Código Prüfer

Este algoritmo recebe como entrada uma árvore T com um conjunto S de n vértices.

A cada passo, o algoritmo remove a folha bi com menor rótulo e armazena o seu vizinho, ai.

Isto é feito até restar apenas uma única aresta.

Ao final do processo, teremos uma (n-2)-upla com os nós não folhas de T.

A partir desta tupla e do conjunto S é possível recuperar a árvore T.

Calcule o código Prüfer da árvore abaixo


O código Prüfer da árvore acima é (7,4,4,1,7,1)

A cada passo, o algoritmo remove a folha bi com menor rótulo e armazena o seu vizinho, ai


Inicialmente são criadas uma seqüência e um conjunto de vértices: a seqüência S que representa o código Prüfer e o conjunto V dos vértices que não aparecem no código Prüfer.

Em seguida contruimos uma floresta com todos os vértices da árvore em questão. A cada passo, pegamos o primeiro elemento, a1, de S e o menor elemento m de V e criamos a aresta (a1,m).

Removemos tanto a1 quanto m de seus locais de origem. Se após este processo a1 não aparecer mais em S, então o incluimos em V. O processo é repetido até que S seja o conjunto vazio. Quando S for o conjunto vazio unimos os dois vértices que sobraram em V.

Recupere a árvore associada ao código Prüfer (7,4,4,1,7,1)

A recuperação da árvore a partir do código prüfer é como segue.



Dado um conjunto de inteiros positivos d1,d2,... ,dn totalizando 2n-2 (2n-2, deve-se ao fato de que uma árvore com n vértices possui exatamente n-1 arestas.Logo, a soma dos graus de cada vértice é igual a 2(n-1)) então existem

árvores com um conjunto de n vértices tal que o grau do vértice i é di

Prova: Observe que cada vértice não folha x é registrado exatamente dx-1 vezes no código prüfer, pois ele tem dx vértices vizinhos e após a remoção de seus dx-1 vizinhos "folha", ele será folha de seu último vizinho. Logo ele aparecerá dx-1 vezes.

O código prüfer possui n-2 elementos e pode ter (n-2)! permutações, entretanto devido a repetição de alguns vértices, teremos várias permutações iguais. Para cada vértice x que aparece no código, teremos (dx-1)! permutações iguais. Logo a retirada destes elementos iguais é dada por

(n! 2)!!ni=1(di ! 1)!

(n! 2)!!ni=1(di ! 1)!


Considere o seguinte conjunto de vértices S={1,2,3,4,5,6,7} e os graus em ordem de cada elemento de S {3,1,2,1,3,1,1}.

Quantas árvores podemos gerar a partir deste conjunto ?

Considerando que temos como vértices não folha os vértices {1,3,5} teremos

Árvores. Alguns exemplos podem ser vistos abaixo

Teoria dos GrafosÁrvores – Spanning Tree

Teorema: O número de árvores enraizadas com vértices não distintos é definido pela seguinte função geradora

Onde Tr é o número de árvores enraizadas com r vértices

Teorema: O número de árvores não enraizadas com vértices não distintos é definido por

Trabalho : calcular a quantidade de árvores enraizadas e não enraizadas com vértices não distintos usando 2,3,4,5 e 6 vértices


Teorema: Dado um grafo G simples com um conjunto de vértices V={v1, v2 ,...,vn} faça ai,j ser o número de arestas entre os vértices vi e vj. Construa uma matriz Q quadrada de ordem n de forma que a entrada Q(i,j) seja igual a

-ai,j se e igual a d(vi) se i=j. Se Q* é a matriz obtida removendo a linha s e coluna t de Q, então o número de spanning trees de G é igual a

(-1)s+t | Q* |

Determine o número de spanning trees do grafo abaixo


Grau dos vérticesQuantidade de arestas

Removendo linha e coluna c


Liste as 8 spanning trees do grafo.

Teoria dos GrafosÁrvores – Algoritmo de Kruskal

O algoritmo de Kruskal permite determinar a spanning tree de custo mínimo. Este custo corresponde à soma dos pesos (distância, tempo, qualidade, ...) associados a cada aresta do grafo.

O algoritmo recebe como entrada um grafo G conexo com pesos e monta um grafo desconexo G’, o qual corresponde a uma floresta de árvores composta unicamente pelos vértices de G.

Em seguida, ele ordena as arestas de G em ordem crescente e seleciona a cada instante a de menor peso. A aresta selecionada é marcada, para não ser analisada mais tarde, e verificada se pode ser adicionada ao grafo G' de forma a não gerar ciclos.

O processo termina quando G' estiver conexo.


Determine a spanning tree de custo mínimo no grafo abaixo usando o algoritmo de Kruskal



Teoria dos GrafosÁrvores – Algoritmo de Dijkstra

O algoritmo de Dijkstra é usado para determinar a menor rota entre duas posições em um grafo. Ele assume que o caminho entre dois vértices, u e v, é composto sempre dos menores caminhos entre dois vértices quaisquer componentes do caminho.

O algoritmo considera um grafo G (ou dígrafo) com arestas de pesos positivos e um vértice inicial u. O peso da aresta formada pelos vértices u e v é w(u,v). Se u e v não são adjacentes então w(u,v)=

Ele considera que existe um conjunto S de vértices tal que o menor caminho a partir de u até cada vértice de S é conhecido.

Teoria dos GrafosÁrvores – Algoritmo de Dijkstra

Inicialmente, S={u}, t(u)=0, t(z)=w(u,z) para z u.

A cada iteração seleciona-se um vértice e adiciona-o a S.

Em seguida, as arestas a partir de v, (v,z), são exploradas e para cada z S, a nova distância aproximada t(z) é atualizada com

min{t(z), t(v)+w(v,z)}.

O processo continua até S=V(G) ou até t(z)= para todo z S.

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