Teoria dos Grafos - daroncho.com · Fluxograma de resolução Aula 02 - Teoria dos Grafos 7 Inicio Determine uma solução viável Solução Ótima Fim Sim Não. Teoria dos Grafos

Teoria dos GrafosMÉTODOS QUANTITATIVOS DE GESTÃO

MQG

Aula 2

Modelagem LinearPROGRAMAÇÃO LINEAR

2

Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |

CaracterísticasNa modelagem matemática é possível maximizar ou minimizar os recursos (variáveis de decisão)

Otimizar: 𝑧 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2,..............., 𝑥𝑛)

Sujeito a: 𝑔1(𝑥1, 𝑥2,...................,𝑥𝑛) ≤ 𝑏1

𝑔2(𝑥1, 𝑥2, ...................,𝑥𝑛) = 𝑏2

𝑔𝑚(𝑥1, 𝑥2, ...................,𝑥𝑛) ≥ 𝑏𝑚

Aula 02 - Teoria dos Grafos 3


Características


De modo que:

𝑥𝑗 Quantidade de variáveis utilizadas; (j= 1,2,.....n)

𝑏𝑗 Quantidade disponível de recursos; (j= 1,2,.....n)

𝑓(𝑥) Função objetivo

𝑔𝑗(𝑥)

𝑛

Funções utilizadas nas restrições do problema

Número de variáveis de decisão𝑚 Número de variáveis do modelo


ConceitoEstá em sua forma padrão se tivermos uma maximização da função

objetivo e se todas as restrições forem do tipo menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão de não negatividade.

Maximizar:

Sujeito a:


𝑧 =

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗 𝑥𝑗

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 (𝑖 = 1,2, ……𝑚)

𝑥1, 𝑥2,.............,𝑥𝑛 ≥ 0


Terminologia✓Solução: ✓ Qualquer especificação de valores para as variáveis de decisão,

independente de se tratar de uma escolha desejável ou permissível.

✓Solução Viável: ✓ Uma solução em que todas as restrições são satisfeitas.

✓Solução Ótima: ✓ Uma solução viável que tem o valor mais favorável da função

objetivo, isto é maximizar ou minimizar a função objetivo em toda a região viável, podendo ser única ou não.



Fluxograma de resolução


Inicio

Determine uma solução viável

Solução Ótima

FimSim

Não

Teoria dos GrafosO QUE É ISSO

8


ConceitooGrafo é um conjunto de pontos e linhas

oOs pontos são chamados de vértices (ou nós) e as linhas são chamadas de arestas (ou arcos)


Arestas

Arcos

Vértices

Nós


AplicaçãoÉ bastante abrangente o uso de grafos na logística em áreas de estudo como por exemplo:

•Análise de planejamento de projetos

•Roteirização

•Redes de distribuição

•Rede transporte



Exemplo◦Ex. No problema do caminho mais curto◦Vértices são as cidades◦Arestas são as ligações entre as cidades que podem ser direcionadas ou não direcionadas


RodoviaRodovia

Rio de Janeiro

São Paulo São Paulo

Rio de Janeiro


Exemplo



Exemplo



CaminhoUm caminho é uma sequência de vértices e arestas, onde para cada i, os extremos da aresta ai são ni-ni+1


1

5

2

43

a5

a2

a1

a4

a3

a6

Alguns Caminhos possíveis

vértices 2-4=

2, a1, 1, a2, 2, a4, 3, a6, 4

Ou

2, a4, 3, a6, 4

Ou.........


LaçoÉ uma aresta com extremos n-n para algum nó n


1

5

2

43

a5

a2

a1

a4

a3

a6

a3

(2-2)


Agora é com vocêsTrace um grafo com as seguintes características:

• Vértices {1,2,3,4,5,6},

• Arestas {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8,}

• Funções g(a1)= 1-2; g(a2)= 2-3; g(a3)= 3-4; g(a4)= 3-1;

g(a5)= 3-5; g(a6)= 5-5; g(a7)= 3-6; g(a8)= 4-6


Algoritmo de DijkstraMÉTODO DO CAMINHO MÍNIMO

17


Caminho mínimoObter Caminhos, interligando Vértices de um Grafo, cujo comprimento seja Mínimo

Implementações:◦ Algoritmo de Dijkstra

Aplicação:◦ Redes de Computadores (Percurso entre Roteadores)◦ Tráfego Urbano◦ Sistemas Rodoviários, Ferroviários e Aéreos◦ Importante para diversos problemas de logística



ExemploQual o menor caminho entre as cidades A e F, respeitando as restrições do grafo abaixo


A

BC

D E

F


ExemploQual o menor caminho entre as cidades A e S, respeitando as restrições do grafo abaixo


A

B

D

F

C

E

G

S

36

2

2

5

87

42

5

4

2

4

10


Caminho mais curto entre S e A


A

B

D

F

C

E

G

S

36

2

2

5

87

42

5

4

2

4

10

•Começamos no vértice S •Vértice de início

•Apontamos para os vértices adjacente a ele•No caso os vértices G e E

A

B

F

C

G




A

B

D

F

C

E

G

S

36

2

2

5

87

42

5

4

2

4

10

•O menor peso esta no vértice G (5)

•Vamos então analisar os pesos a partir do vértice G•Excluindo-se o vértice S (já feito)

•O vértice G recebe a etiqueta de permanente (*)

A

B

F

C

G(5)




A

B

D

F

C

E

G

S

36

2

2

5

87

42

5

4

2

4

10

A

B

F

C

G(5)

Passo Peso Antecessor

G* 5 S

E 8 S

C

F

D

B

A




A

B

D

F

C

E

G

S

36

2

2

5

87

42

5

4

2

4

10

A

B

F

C

G(5)


G* 5 S

E 8 7 S G

C 11 G

F 7 G

D

B

A

(7)

Ficamos com duas possibilidades1. Seguir o vértice E2. Seguir o vértice FEscolhemos o vértice F (*)




A

B

D

F

C

E

G

S

36

2

2

5

87

42

5

4

2

4

10

A

B

F

C

G(5)


G* 5 S

E 8 7 11 S G F

C 11 10 G F

F* 7 G

D 9 F

B 11 F

A 12 F

(7)




A

B

D

F

C

E

G

S

36

2

2

5

87

42

5

4

2

4

10

A

B

F

C

G(5)


G* 5 S

E 8 7 11 16 S G F D

C 11 10 G F

F* 7 G

D* 9 F

B 11 F

A 12 13 F D

(7)

(9)




A

B

D

F

C

E

G

S

36

2

2

5

87

42

5

4

2

4

10

A

B

F

C

G(5)


G* 5 S

E 8 7 11 16 S G F D

C 11 10 G F

F* 7 G

D 9 F

B 11 F

A* 12 13 F D

(7)(12)


Exercício – 1 Encontre o menor caminho entre A e F


4 km

2 km

1 km

8 km

10 km

5km

2km2 km

6 km

A

B

C

D

E

F




10

5

2

9

2

1

22

6

A

B

C

D

E

F3 6


Exercício – 3 Encontre o menor caminho entre B e G


1 BA

D E

G

F

C2

3 4

4 6 4 5 6

3 6

5




B

A

C E

D

F

2

4

3

1 32

4

2

2

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