teoria dos números 1

8/13/2019 teoria dos números 1

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Universidade Federal de Ouro PretoDepartamento de Matematica

Apostila baseada na referencia [1]

Teoria dos Numeros:

• Funcoes e Teoria de Conjuntos

• Relacoes de Equivalencia

• Princıpio de Inducao Matematica

• Algoritmo da Divisao de Euclides

• Divisibilidade

• Sistema de Numeracao

• Teorema Fundamental da Aritmetica

• Equacoes Diofantinas

• Congruencias

Prof : Dr. Felipe Rogerio Pimentel

Data : Abril/2005



SUMARIO

1 Funcoes 1

1.1 Introducao historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Exemplos da Fısica e Quımica. Formulas matematicas. Definicao for-mal de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Mais exemplos de Funcoes . Comentarios sobre a definicao . Igual-dade de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Grafico de uma funcao - Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.3 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Funcao Sobrejetora, Injetora e Bijetora. Composicao de Funcoes eFuncao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.1 Funcao Sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.2 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.3 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.4 Funcao Injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.5 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.6 Funcao Bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.7 Composicao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.8 Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.9 Imagem Direta e Uniao de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . 331.5.10 Imagem inversa e Intersecao de conjuntos . . . . . . . . . . . . 421.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

i



ii

2 Relacoes de Equivalencia 592.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 Princıpio da Inducao 673.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.1.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.4 Exemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2 1a Forma do Princıpio de Inducao Matematica . . . . . . . . . . . . . 713.2.1 Exemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.2 Exemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.3 Exemplo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3 2a Forma do Princıpio de Inducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3.1 Demonstracao do teorema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Numeros Inteiros 814.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 Operacoes em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.1 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.4 Sistemas de Numeracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5 Maximo Divisor Comum - MDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.6 Teorema Fundamental da Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.7 O Crivo de Eratostenes (276-194 a.C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.8 Mınimo Multiplo Comum - MMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.10 Equacoes Diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.11 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.12 Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5 Congruencia 108

5.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118



CAPITULO 1

Funcoes

1.1 Introducao historicaO termo funcao e devido ao matematico alemao G. W. Leibniz (1646-1716), um

dos inventores do calculo diferencial, que no entanto o usava num sentido muitodiferente do que usamos hoje para distinguir elementos geometricos de uma curva,nos seus estudos sobre diferenciais.

A evolucao do conceito ate o que hoje entendemos como sendo uma funcao foipenosa e durou mais de dois seculos. Hoje, este conceito e, sem duvida, um dos maisimportantes da matematica, pela sua capacidade de unificar assuntos tao distantesquanto, por exemplo a algebra e o calculo. O termo funcao esta presente desde oinıcio da formacao matematica dos nossos dias, bem como em todos os cursos decalculo, necessarios a formacao de um grande numero de profissionais. No que sesegue vamos abordar o estudo das funcoes em seus multiplos aspectos: historico,didatico (como ensinar funcoes ?), formal (ou seja, a formalizacao moderna do con-ceito) e aplicado (as aplicacoes do conceito as ciencias).

Como ja dissemos, Leibniz, apesar de ter criado a palavra funcao , nao a usou nosentido que a conhecemos hoje. Foi talvez o inventor dos logaritmos, John Napier(1550-1630), o primeiro a ter uma ideia mais ou menos clara do que hoje conhecemoscomo funcao , contudo ele nunca usou esse termo.

Euler (1707-1783), foi quem primeiro definiu o termo funcao da seguinte maneira:Uma func˜ ao de uma quantidade vari´ avel e uma express˜ ao analıtica composta

desta quantidade vari´ avel e de n´ umerros ou quantidades constantes de uma maneira arbrit´ aria.1

1L. Euler, Introduction in Analysin Infinitorum, Vol. I, Opera Omnia, Leipzig, 1913, pag. 185).

1



2 1

Por expressao analıtica Euler entendia as operacoes algebricas como as entende-mos hoje: exponenciacao , multiplicacao , soma, etc.

Mais tarde, em outra obra, Euler da uma outra definicao do termo que cor-responde mais a nocao intuitiva do que e uma funcao :

Se algumas quantidades dependem de outras quantidades de tal maneira que quando as ´ ultimas sofrem mudancas as primeiras tambem sofrem, ent˜ ao as pri-

meiras s˜ ao chamadas func˜ oes das ´ ultimas.2

Somente no fim do seculo XIX e que o conceito de funcao aparece nos livrostextos como:

Uma func˜ ao e uma lei que associa um n´ umero para cada n´ umero de um certodomınio.3

A seguir vamos discutir alguns fenomenos fısicos para em seguida vermos comoo conceito de funcao pode ser utilizado para descrever tais fenomenos.

1.2 Exemplos da Fısica e Quımica. Formulas

matematicas. Definicao formal de Funcao .

Comecaremos o estudo de funcoes com um exemplo da mecanica, a lei da quedados corpos, descoberta por Galileu (1564-1642) que afirma o seguinte: os espacos percorridos por um corpo que cai s˜ ao proporcionais aos quadrados dos tempos gastos em percorre-los. Isto significa que se um corpo cai, abandonado de uma posicao derepouso 0, percorrendo os espacos s1, s2, s3, etc., nos tempos t1, t2, t3, etc, respecti-vamente, entao temos:

s1t21

= s2t22

= s3t23

= · · ·

Quando o espaco s e medido em metros e o tempo t em segundos, o valor comumdestas razoes e a metade da aceleracao da gravidade g (g 9, 8m/s2). Logo, e maisfacil exprimir a lei de Galileu do seguinte modo:

s = 1

2gt2,

onde s representa, em metros, o espaco percorrido pelo corpo desde o instante t = 0em que e abandonado na posicao de repouso 0 ate o instante generico t em que seobserva o fenomeno. Dizemos entao que s e funcao de t. E comum tambem dizerque t e uma variavel independente e s uma variavel dependente.

2L. Euler, Institutiones Calculi Differentialis, Op. Cit., Vol. 10, pag. 4.3H. Freudenthal, Mathematics as an educational task, Dosdrecht, 1973, pag. 388.



3 1

Figura 1.1: Trajetoria de um corpo que cai abandonado de um repouso

Outro exemplo de funcao e sugerido pela lei de Boyle e mariotte, que diz que, seum gas e encerrado num recipiente e mantido a temperatura fixa, entao o produtodo volume pela pressao e constante, i.e.,

pv = c = constante.

Trata-se de uma lei apenas aproximada, por isso mesmo chamada lei dos gasesperfeitos. Imaginando o gas encerrado num cilindro com um pistao , o volumediminuira e a pressao aumentara de modo a manter constante o produto pv. Podemosexprimir a lei dos gases perfeitos escrevendo

p = cv

ou v = c p

.

No primeiro caso estamos expressando a pressao como funcao do volume, e no se-gundo o volume como funcao da pressao .

Podemos tambem dar exemplos de varias formulas matematicas ja conhecidasdo ensino medio como: a area A de um cırculo de raio r, dada por A = πr2, e umnumero que depende do valor de r, portanto funcao de r, e o comprimento C de umcırculo de raio r dado por C = 2πr. a formula acima exprimi C como funcao de r.

Os exemplos dados acima sao exemplos de funcoes numericas, i.e., funcoes ondeas duas variaveis dependente e independente so assumem valores numericos reais.

Depois daremos exemplos de outros tipos de funcoes como as funcoes complexas,funcoes definidas no plano com valores no plano, etc.

Na lei de Galileu, s = gt2/2, a variavel independente t que representa o tempoe sempre um numero real positivo ou zero. Se um corpo em queda livre esta a



4 1

uma altura h do solo, temos que o valor maximo da variavel dependente s e h, logot ≤

2h/g. Temos entao que o fenomeno tem inıcio no instante t = 0 e termina no

instante t =

2h/g, quando s atinge o valor s = h. Logo para cada t no intervalo

[0,

2h/g] =

x ∈ R : 0 ≤ x ≤

2h/g

,

onde R designa o conjunto dos numeros reais, temos um unico valor para s nointervalo [0, h]. Dizemos entao que a lei de Galileu determina uma funcao do intervalo[0,

2h/g] no intervalo [0, h]. O primeiro intervalo e chamado domınio da funcao e

o segundo o contradomınio da funcao .Passemos entao a definicao formal de Funcao :

Definicao 1 Uma func˜ ao f de A em B, que ser´ a denotada por f : A −→ B, consta de tres partes:

(I) Um conjunto A, chamado domınio da func˜ ao , conjunto onde a func˜ ao e definida.

(II) Um conjunto B, chamado contradomınio da func˜ ao , conjunto onde a func˜ ao toma valores.

(III) Uma regra que permite associar a cada elemento x do domınio A um ´ unicoelemento y, do contradomınio B , chamado imagem do elemento x pela func˜ ao f , ou o valor que a func˜ ao f assume em x.

E costume escrever y = f (x) para indicar que y e o valor da funcao f em x e seA e B sao respectivamente o domınio e o contradomınio da funcao f , escreve-se

f : A −→ B.x → f (x) = y

A notacao x → f (x) e usada para indicar que f faz corresponder a x o valor f (x).Muitas vezes diremos ”a funcao f ”ou ”a funcao y = f (x)”em vez de ”a funcao f :

A −→ B que associa a cada x ∈ A o valor y = f (x) ∈ B.”Neste caso ficamsubentendidos o conjunto A, domınio de f , e o conjunto B , contradomınio de f.

1.3 Mais exemplos de Funcoes . Comentarios sobre

a definicao . Igualdade de Funcoes .

Seja f : A −→ B uma funcao . A natureza da regra que nos ensina como obtero valor f (x) ∈ B para um dado x ∈ A e inteiramente arbitraria a nao ser pelas duascondicoes abaixo:



5 1

(1a) Nao pode haver excecoes : afim de que f tenha o conjunto A comodomınio, a regra deve fornecer f (x) para todo x ∈ A.

(2a) Nao pode haver ambiguidades: a cada x ∈ A a regra deve fazercorresponder um unico f (x) ∈ B.

Abaixo usamos os chamados diagramas de Venn para dar uma visualizacao doque dissemos acima.

Figura 1.2: Somente o diagrama do meio representa uma funcao de A em B. Oprimeiro nao representa uma funcao de A em B pois a (1a) condicao nao e satisfeitae o terceiro diagrama porque a (2a) nao e satisfeita.

1.3.1 Exemplos:

1. Sejam A = 0, 3, −3 e B = 0, 27, −27, 9 e f : A −→ B tal que f (0) =0, f (3) = 27, f (−3) = −27. Temos uma funcao de A em B ja que todas as condicoes dadefinicao de funcao estao satisfeitas. Aqui, o diagrama de Venn e uma boa maneirade visualizar a funcao (veja Fig. 1.3).

2. Considere a funcao f : R −→ R dada por f (x) = 2x. Aqui o diagrama deVenn nao se mostra util; uma boa maneira de se visualizar f e considerar o diagramada Fig. 1.4. Ele nos da uma ideia da acao de f, que e uma dilatacao .

3. Sejam A = [0, ∞) = x ∈ R : x ≥ 0 e B = R. Nos ja sabemos que dadoqualquer numero real a

≥ 0, existe um numero real b tal que b2 = a. Tentemos

definir uma funcao f de A em B pela regra: dado x ∈ A, seja f (x) o numero realy tal que y2 = x. Entao terıamos f (0) = 0 ja que 02 = 0. Para x = 4 terıamosque f (x) seria o numero real y tal que y2 = 4. Mas aqui temos um problema pois22 = (−2)2 = 4. Que valor escolhermos para f (4)? 2 ou -2? Vemos portanto que



6 1

Figura 1.3:

a regra dada nao determina uma funcao de A em B pois a (2a) condicao nao esatisfeita.

Figura 1.4:

4. Podemos resolver o problema surgido no exemplo anterior restringindo ocontradomınio da funcao . Considere entao agora A = [0, ∞) e B = [0, ∞) e seja

f : A −→ B tal que b2 = a. Como dado qualquer numero real a ≥ 0, existe umnumero real b tal que b2 = a, temos que a (1a) condicao esta satisfeita. Alem disso,dado um numero real a > 0, existem exatamente dois numeros reais cujos quadradossao iguais a a. Mas somente um deles e positivo, i.e., somente um deles esta em B .



7 1

Elimina-se assim a ambiguidade que tınhamos no exemplo anterior. Temos entao porexemplo4, f (4) = 2.

Observac˜ ao : Se a e um numero real maior do que ou igual a zero, define-se araiz quadrada de a, denotada por

√ a, como o unico numero real nao negativo b tal

que b2 = a. Assim, apesar de termos 22 = (−2)2 = 4, temos que√

4 = 2. A funcao f do exemplo 4 pode ser expressa como f (x) =

√ x.

5. Seja Q o conjunto dos numeros racionais. Tentemos definir uma funcao g :Q −→ Q considerando a seguinte regra: a cada x ∈ Q faremos corresponder onumero g(x) ∈ Q tal que x g(x) = 1. esta regra nao defini uma funcao de Q em Qpois a (1a) condicao nao e satisfeita ja que dado 0 ∈ Q, nao existe nenhum racionaly ∈ Q tal que 0y = 1 pois 0y = 0 qualquer que seja y. Entretanto se escolhermoso conjunto A = x ∈ Q : x = 0 , a regra acima define uma funcao de A em Q quepode ser expressa por

f : A −→ Q.x → 1/x

5. Considere um quadrado A no plano com centro O. Se girarmos este quadrado

· O

de um angulo de 90o no sentido antihorario, em torno do seu centro, o quadradomantem-se invariante, ou seja, todo ponto do quadrado e levado num ponto dele

mesmo. Obtem-se assim uma funcao f : A −→ A,x → f (x)

onde f (x) e o ponto de A

obtido de x por uma rotacao de 90o no sentido antihorario, em torno de O. Observeque f e realmente uma funcao de A em A pois todo ponto de A e levado num pontode A por esta rotacao e num unico. Numerando os vertices de A podemos representara acao de f do modo como indicado na Fig. 1.5. De modo analogo podemos definiras funcoes g : A −→ A e h : A −→ A correspondentes as rotacoes de 180o e 270o emtorno de O, no sentido antihorario (veja Fig. 1.6).

6. Em alguns livros de Calculo voce pode encontrar exercıcios do tipo encontreo domınio das funcoes :

y = 1x − 1

e y = 1x2 + 5x + 6

.

4Note que alternativamente poderıamos ter escolhido B = (−∞, 0], e, nesse caso, f (4) seriaigual a -2.



8 1

Figura 1.5:

Como vimos, para caracterizar uma funcao nao basta dar lei que a cada x faz corres-ponder um y. E preciso deixar claro o domınio e o contradomınio da funcao . Mas

muitas vezes esta claro em qual contexto estamos trabalhando, em qual conjunto.Assim, em Calculo Diferencial, trabalhamos com o conjunto dos numeros reais.Entao quando se escreve: seja a funcao y = 1/(x−1) ou a funcao y = 1/(x2 +5x+6)

Figura 1.6:

subentende-se que esta-se falando de funcoes cujo contradomınio e R e cujo domınio

e o maior subconjunto de R no qual a expressao que define a funcao faz sentido.



9 1

Entao acima terıamos as funcoes

f : x ∈ R : x = 1 −→ R,

x → 1

x − 1

g : x ∈ R : x = −2, −3 −→ R.

x → 1

x2 + 5x + 6

Num curso de variaveis complexas, onde o conjunto com o qual trabalhamose o conjunto dos numeros complexos, C, se escrevemos: ”considere a funcao w =1/(z 2 + 1)”, estamos na verdade considerando a funcao

f : z ∈ C : z = ±i −→ C.

z → 1

z 2 + 1

7. Voltemos a funcao determinada pela lei da queda dos corpos. Temos

s : [0,

2h/g] −→ [0, h].t → 1

2gt2

Em vez de termos considerado s com contradomınio [0, h] poderıamos ter conside-rado s com contradomınio R ou [0, ∞). O que aconteceria e que estarıamos tomandoum contradomınio maior do que o necessario, o que a definicao de funcao nao proıbe.Mas a rigor terıamos uma funcao diferente ja que uma funcao e determinada peloseu domınio, contradomınio e pela regra que associa a cada elemento do domınioum elemento do contradomınio. Vimos tambem que foi o problema fısico que deter-minou o domınio de s. Entretanto para qualquer numero real t, a expressao 1

2gt2 fazsentido e determina um unico numero real. Poderıamos entao considerar a funcao :

S : R −→ [0, ∞).

t → 1

2gt

2

Falamos acima de funcoes diferentes; gostarıamos agora de precisar quando duasfuncoes sao iguais ou equivalentemente quando sao diferentes.

Definicao 2 Dizemos que duas func˜ oes f : A −→ B e g : A −→ B s˜ ao iguais se A = A, B = B e f (x) = g(x) ∀x ∈ A = A.

1.3.2 Exemplos:

1. Como ja tinhamos falado informalmente, as funcoes ,

s : [0, 2h/g] −→ [0, h],t → 1

2gt2s1 : [0, 2h/g] −→ R,

t → 12gt2

S 1 : R −→ R.t → 1

2gt2

sao todas distintas.



10 1

Observacao : Diz-se que S 1 e uma extens˜ ao de s1 ou que s1 e uma restric˜ ao deS 1. Isto porque o domınio de s1 e um subconjunto do domınio de S 1 e para todo tno domınio de s1 se tem s1(t) = S 1(t).

2. Sejam A = [0, ∞);

f : A −→ R,a → √

ag : A −→ R.

a → 13

a + 23

Entao f e g sao funcoes distintas ja que f (0) = 0 e g(0) = 2/3. Entretanto serestringirmos f e g ao conjunto C = 1, 4, obteremos duas funcoes iguais

f 1 : C −→ R,a → √

ag1 : C −→ R.

a → 13a + 2

3

pois f 1(1) = 1 = g1(1) e f 1(4) = 2 = g1(4), ou seja, f 1(x) = g1(x), ∀x ∈ C.

3. Sejam

f : R −→ R,x → x − 3

g : R −→ R.

x → x2 − 5x + 6

x − 2 , se x = 2

2 → −1

Entao f e g sao iguais pois se x = 2, g(x) = x2 − 5x + 6

x − 2 =

(x − 2)(x − 3)

x − 2 = x − 3 = f (x)

e g(−2) = −1 = f (2), o que significa portanto que f (x) = g(x) ∀x ∈ R.

1.4 Grafico de uma funcao - Exemplos

Voce ja deve estar familiarizado com as coordenadas cartesianas no plano. Elasfazem corresponder a cada ponto do plano um par ordenado de numeros reais.Assim, na figura 1.7, ao ponto A corresponde o par ordenado (1/2, 1) e ao ponto Bo par ordenado (−3, 2). Observe que um ponto A do plano correspondente ao par(x, y) e igual a um ponto A, correspondente ao par (x, y) ⇐⇒ x = x e y = y.Observe tambem que em geral o ponto A correspondente a (x, y) e diferente doponto A correspondente a (y, x). Na verdade eles sao iguais se e somente se x = y.

Com a introducao das coordenadas cartesianas no plano, este podera ser identi-

ficado com o conjunto dos pares ordenados de numeros reais, denotado por R2.Dada uma funcao real de variavel real (i.e., uma funcao cujo domınio e um

subconjunto de R e cujo contradomınio e R), voce ja sabe o que e o grafico de f.Vejamos alguns exemplos.



11 1

Figura 1.7:

1.4.1 Exemplos:

1. seja f : R

−→ R, f (x) = 2x. Voce ja sabe que o grafico de f e uma reta

Figura 1.8:

passando pela origem (Fig. 1.8). Consideremos agora g : R −→ R, g(x) = x/2e h : R −→ R, h(x) = 3x. temos que os graficos de g e h sao tambem retas pelaorigem. facamos numa mesma figura (Fig. 1.9) os graficos de f, g e h : Temos quese k ≥ 0 e um numero real qualquer e F : R −→ R, F (x) = kx, entao o grafico deF e uma reta passando pela origem e sua inclinacao e tanto maior quanto maior for

k. Se k < 0, temos retas do tipo dado na figura 1.10.

Voltemos a funcao f : R −→ R.

x → 2x Como podemos descrever o grafico de f em

termos de coordenadas cartesianas? Isto e, a que suconjunto de R2 corresponde o



12 1

Figura 1.9:

Figura 1.10:



13 1

subconjunto do plano que e o grafico de f ? O grafico de f corresponde ao seguintesubconjunto de R2 : (x, y) ∈ R2 : y = 2x que tambem pode ser escrito como(x, 2x) : x ∈ R.

2. Sejam

s : [0, 2h/g] −→ [0, h],t → 1

2gt2

S 1 : R −→ R.t → 1

2gt2

Voce ja sabe que o grafico de S 1 e a parabola dada na figura a seguir. O grafico des e a parte da parabola correspondente ao intervalo [0,

2h/g].

Figura 1.11:

Os graficos de S 1 e s podem ser descritos em termos de corrdenadas cartesianascomo: (x, y) ∈ R2 : y =

1

2gx2 e (x, y) ∈ R2 : x ∈ [0,

2h/g] e y =

1

2gx2, ou

alternativamente (x, 1

2gx2) : x ∈ R e (x,

1

2gx2) : x ∈ [0,

2h/g].

O grafico de uma funcao real de variavel real e uma maneira de visualizar estafuncao que em geral e muito util. Olhando por exemplo o grafico de s (Fig. 1.12)vemos imediatamente que um corpo em queda livre cai muito mais vagarosamenteno princıpio da queda do que no final:

3. A regra de sinais memorizada para se resolver uma inequacao de segundograu fica clara se lembrarmos que o grafico de uma funcao

f : R −→ R,x → ax2 + bx + c

onde a, b, c sao numeros reais, e o do tipo exibido na Fig. 1.13



14 1

Figura 1.12:

Figura 1.13: Em (a) temos a > 0 e em (b), a < 0.



15 1

4. Seja v : (0, ∞) −→ R, p → c/p, a funcao dada pela lei de Boyle Mariotte.Voce viu no curso de geometria analıtica que o grafico de v e uma hiperbole do

tipo da figura 1.14. Vemos no grafico que se a pressao e baixa, pequenas variacoes depressao causam grandes variacoes de volume enquanto para pressoes altas, grandesvariacoes de pressao causam pequenas variacoes de volume; ou seja, fica mais difıcilde diminuir o volume quando cresce a pressao .

Figura 1.14:

5. Sejam A = 0, 3, −3 e B = 0, −27, 27, 9 e f : A −→ B tal que f (0) =0, f (3) = f (−3) = 27. O grafico de f e: Mas neste caso o grafico de f nao e

Figura 1.15:

importante, nao acrescenta nada.



16 1

6. Seja f : [0, ∞) −→ R, x → √ x. Voce viu no seu curso de calculo que o grafico

de f e

Figura 1.16:

Vimos entao que se A e B sao subconjuntos de R, o grafico de uma funcao f :A −→ B pode ser visto como o subconjunto de R2 dado por

G(f ) := (x, y) ∈ R2 : x ∈ A e y = f (x) = (x, f (x) ∈ R2 : x ∈ A.

Agora, dado um subconjunto G do plano, como podemos decidir se ele e o graficode uma funcao real de variavel real? Consideremos primeiro o seguinte exemplo:vimos que a regra que associa a cada numero real a ≥ 0 um numero real b talque b2 = a nao define uma funcao de [0, ∞) em R. Isto porque dado um numeroreal a > 0, existem dois numeros reais cujo quadrado e a. Tentemos entretanto, demodo analogo ao que fazemos para tracar o grafico de uma funcao , considerar o

subconjunto do plano constituıdo dos pares (x, y) com x ∈ [0, ∞) e y

2

= x. Teremoscomo grafico o da figura 1.17. O fato de que dado x > 0, existem dois numeros reaisy1 e y2 tais que y2

1 = y22 = x se traduz, no ”grafico”, no fato de que a reta vertical

passando por (x, 0) encontra o ”grafico”em dois pontos: (x, y1) e (x, y2). Resolvemoseste problema restringindo o contradomınioa [0, ∞). Isto corresponde a eliminar aparte de baixo do desenho acima acabando com o problema de a reta vertical por(x, 0) encontrar o ”grafico”em dois pontos. Por outro lado, considere o grafico (vejaFig. 1.16) da funcao f : [0, ∞) −→ R tal que f (x) =

√ x

Fica claro, vendo-se o desenho, que se este for o gr afico de uma funcao f realde variavel real, o domınio desta funcao nao contem nenhum numero real negativo,pois a nenhum numero negativo corresponde uma imagem f (x). Este fato pode ser

visto no grafico atraves do fato de que uma reta vertical passando por (x, 0), ondex < 0, nao corta o grafico.

Esperamos que atraves destes dois exemplos fique claro que a resposta a perguntaformulada e a seguinte



17 1

Figura 1.17:

Definicao 3 Um subconjunto G do plano e o gr´ afico de uma func˜ ao f : A −→ Breal de vari´ avel real se, e somente se, as duas seguintes condic˜ oes , correspondentes

as condic˜ oes dadas no inıcio da sec˜ ao 1.3, est˜ ao satisfeitas:(1a) Se x ∈ A, a reta vertical por (x, 0) deve interceptar G,

(2a) Se x ∈ A, a reta vertical por (x, 0) n˜ ao pode interceptar G em mais de um ponto.

1.4.2 Exemplos

Figura 1.18:



18 1

Considere os seguintes subconjuntos do plano (Fig. 1.18). Em (a) e (d) nao temoso grafico de uma funcao pois a (2a) condicao nao esta satisfeita. Em (c) temos ografico de uma funcao de R em R. Em (b) temos o grafico de uma funcao de A emR, desde que A = x ∈ R : −5 ≤ x ≤ 0 ou x = 3.

Vamos agora generalizar a nocao de grafico de uma funcao qualquer. O produtocartesiano dos conjuntos U e V, denotado por U

×V, e o conjunto dos pares ordenados

(u, v) com u ∈ U e v ∈ V. Assim

U × V := (u, v) : u ∈ U e v ∈ V .

Se U = V denotaremos U × U por U 2.

Definicao 4 Sejam A e B subconjuntos de U e V respectivamente e f : A −→ Buma func˜ ao dada. O gr´ afico de f e o subconjunto de U × V constituıdo dos pares ordenados (a, b) tais que b = f (a) para todo a ∈ A. Ent˜ ao denotando o gr´ afico de f por G(f ) temos:

G(f ) =

(a, b)

∈U

×V : a

∈A e b = f (a)

=

(a, f (a))

∈U

×V : a

∈A

.

1.4.3 Exemplos:

1. Considere a funcaof : R2 −→ R.(x, y) → x2 + y2

O grafico de f e um subconjunto de

Figura 1.19:

R2 ×R = ((x, y), z ) : (x, y) ∈ R2 e z ∈ R,



19 1

o que pode ser identificado com R3, o conjunto das triplas ordenadas de numerosreais. Com a introducao das coordenadas cartesianas no espaco, podemos identificareste com R3. Assim, podemos considerar o grafico de f como um subconjunto doespaco. Voce viu no seu curso de calculo que o grafico de f e o paraboloide da figura1.19.

2. Seja

f : R2 −→ R2.(x, y) → (x + y, x − y)

Aqui, o grafico de f e um subconjunto de R2 × R2, que pode ser identificado comR4. Neste caso, o grafico de f nao pode ser desenhado e nao nos ajuda muito navisualizacao da funcao . Veremos mais na frente uma maneira melhor de visualizarf. De qualquer jeito, o grafico de f e o conjunto ((x, y), (z, w)) ∈ R2 × R2 : z =x + y e w = x − y.

Observacoes :

(1) Quando um subconjunto de R3 e o grafico de uma funcao f : A ⊂R

2

−→ R?(2) Duas funcoes f, g : A −→ B sao iguais se, e somente se, seus graficossao iguais.

1.5 Funcao Sobrejetora, Injetora e Bijetora.

Composicao de Funcoes e Funcao Inversa

Consideremos novamente a funcao dada pela lei da queda dos corpos

s : [0, 2h/g] −→

[0, h],t → 1

2gt2

onde s(t) e a distancia percorrida pelo corpo desde o instante t = 0 em que eabandonado na posicao de repouso 0, ate o instante generico t. A pergunta: qual a distˆ ancia percorrida pelo corpo transcorridos t0 segundos ap´ os a sua queda? efacilmente respondida, bastando substituir t por t0 na expressao de s(t), que nos da1

2gt20. Mas consideremoos a seguinte pergunta: se o corpo percorreu uma distˆ ancia s0

desde a posic˜ ao de repouso 0, quanto tempo se passou do momento de sua queda? .Para responde-la e preciso achar t em func˜ ao de s. Neste caso e facil ver que

t = 2s

g e a resposta a 2a

pergunta e entao dada por 2s0

g . Obtemos assim umafuncao

t : [0, h] −→ [0,

2h/g],

s → 2s/g



20 1

que nos permite responder a 2a pergunta tao facilmente quanto a 1a.Qual a caracterıstica desta funcao ? Ela ”desfaz”o que a funcao s ”faz”. Uma

”aplicada”depois da outra ”anula o efeito da primeira”. Ou seja, se dado um tempot0, calcula-se a distancia s0 que o corpo esta (da posicao de repouso 0) neste instante(i.e., s0 = s(t0)) e entao t(s0) = t0, que e o tempo que o corpo gasta para percorrer adistancia s0. Reciprocamente, se dada uma distancia s0 calcula-se o tempo t0 gasto

pelo corpo para percorrer esta distancia (i.e., t(s0) = t0) entao s(t0) = s0, que e adistancia percorrida pelo corpo ate o instante t0.

Nao fomos muito cuidadosos ao dizer que tinhamos uma funcao t : [0, h] −→[0,

2h/g]. Deverıamos ter verificado que t e realmente uma funcao . Mas este e

realmente o caso pois a cada valor s do intervalo [0, h] corresponde pela t, exatamenteum valor t do intervalo [0,

2h/g].

Suponha que em vez da funcao s tivessemos considerado a funcao

s1 : [0,

2h/g] −→ R.t → 1

2gt2

Aqui terıamos dificuldades para determinar uma funcao t1 : R −→ [0,

2h/g] comas caracterısticas da funcao t acima. O problema provem do fato que nem todo valorde R e imagem de um numero em [0,

2h/g]. Como o valor maximo de s1(t) quando

t ∈ [0,

2h/g] e h, nao e possıvel encontrar o tempo gasto, t0, em [0,

2h/g], parapercorrer, por exemplo, a distancia s0 = 2h.

Se tivessemos considerado a funcao

S : R −→ [0, ∞)t → 1

2gt2

terıamos um outro tipo de problema para determinar uma funcao T : [0, ∞) −→ Rcom as caracterısticas desejadas. Este segundo problema provem do fato de quecertos valores do intervalo [0, ∞) sao imagens de dois valores de R. Por exemplo,como definir T (2g)? Como S (2) = 2g deverıamos ter T (2g) = 2. Por outro ladoS (−2) = 2g e deverıamos ter portanto T (2g) = −2. Mas entao T nao seria umafuncao .

Gostarıamos agora de precisar o que foi dito anteriormente: dada uma funcao f :A −→ B , vamos entao definir a inversa de f, que sera a funcao que ”desfaz”o quea funcao ”faz”. Vimos que ao tentar achar uma tal funcao poderıamos encontrardificuldades tais como as apresentadas pelas funcoes s1 e S. Entao nos restringiremosas funcoes que nao apresentem tais dificuldades e que vao ser chamadas, respecti-

vamente, de funcoes sobrejetoras e injetoras. Para se definir a funcao inversa vamostambem ter de dar um sentido preciso a frase: ”aplicar uma funcao apos a outra”.



21 1

1.5.1 Funcao Sobrejetora

A dificuldade apresentada pela funcao s1 e que ela nao ”preenche”todo o contra-domınio R e assim quando tentamos achar uma inversa t1 para s1 vimos que a regraque define t1 teria que ter excessoes , o que a definicao de funcao nao permite. As-sim, para se definir a inversa, e desejavel que a funcao considerada ”preencha”todo o

seu contradomınio. Uma funcao que possui esta propriedade e chamada sobrejetora ou sobrejetiva ou simplesmente sobre . Formalmente temos a seguinte

Definicao 5 Dada uma func˜ ao f : A −→ B dizemos que f e sobrejetora se para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que f (x) = y.

1.5.2 Exemplos:

1. A funcao f : R −→ R definida por f (x) = 2x + 3 e sobrejetora, pois dado

y ∈ R podemos escrever y = 2(y − 3

2 ) + 3, isto e y = f (x) para x =

y − 3

2 ∈ R.

2. A funcao f : R −→ R definida por f (x) = x

2

nao e sobrejetora pois, porexemplo, -2 nao e imagem de nehum x ∈ R ja que x2 e nao negativo para todox ∈ R.

Assim, uma funcao f : A −→ B deixa de ser sobrejetora quando ela nao ”pre-enche”todo B, i.e., quando o conjunto dos pontos de B que sao imagens de algumelemento de A, nao e o conjunto B todo mas um subconjunto pr´ oprio de B .

O conjunto dos pontos de B que sao imagem de algum elemento de A tem umnome especial, e chamado a imagem de f e e denotado por f (A) ou Im(f ). Assim

f (A) := f (a) : a ∈ A = b ∈ B : b = f (a) para algum a ∈ A.

Entao a funcao f : A −→ B e sobrejetora se, e somente, f (A) = B. Para mostrar quef e sobrejetora devemos entao mostrar que os dois conjuntos f (A) e B sao iguais.E quando dois conjuntos X e Y sao iguais? Eles sao iguais se possuem os mesmoselementos, i.e., se todo elemento de X e elemento de Y e vice versa, ou seja X ⊂ Y eY ⊂ X. Como no caso de uma funcao f : A −→ B qualquer temos sempre f (A) ⊂ B(veja a definicao do conjunto f (A) para se convencer disso), entao

para que f seja sobrejetora basta verificar que B ⊂ f (A).

A funcao f deixara de ser sobrejetora se B ⊂ f (A). Dados dois conjuntos X eY como fazemos para mostrar que X ⊂ Y ? Basta mostrar que nem todo elementode X e elemento de Y, i.e., basta exibir um elemento x de X tal que x

∈Y. Assim,

B ⊂ f (A) se existir b ∈ A tal que b = f (a) para todo a ∈ A.

O diagrama abaixo representa uma funcao f : A −→ B que nao e sobrejetora.



22 1

Figura 1.20:

1.5.3 Exemplos:1. Como ja foi visto a funcao f : R −→ R definida por f (x) = 2x + 3 e

sobrejetora. Para provar que f (R) = R temos que mostrar que todo elemnto y deR esta em f (R), ou seja, e imagem de algum elemento x de R. Ja vimos que basta

tomar x como sendo x = y − 3

2 pois f (

y − 3

2 ) = y.

2. Ja vimos tambem que a funcao f : R −→ R definida por f (x) = x2 nao esobrejetora, pois −2 ∈ R mas −2 ∈ f (R). Na verdade temos que f (R) = [0, ∞) R.

Para tornar f sobrejetora, bastaria restringirmos o contradomınio de f , i.e.,considerarmos a funcao f 1 : R −→ [0, ∞) dada por f 1(x) = x2. A funcao f 1 e

Figura 1.21:

sobrejetora pois f 1(R) = [0, ∞) ja que qualquer elemento y de [0, ∞) e imagem,



23 1

por f 1, de dois elementos x1, x2 de R a saber x1 = √

y ou x2 = −√ y. Ou seja, a

sobrejetividade de f 1 e garantida pelo fato de todo numero real nao negativo teruma raiz quadrada.

Observacoes :

(1) Sejam A e B subconjuntos de R e f : A

−→ B uma funcao . A

funcao f : A −→ B e sobrejetora ⇐⇒ qualquer reta horizontal Y = b,onde b ∈ B, intercepta o seu grafico. (Observe os graficos acima).

(2) Se f : A −→ B e uma funcao qualquer entao a restricao f 1 : A −→f (A) e sempre sobrejetora.

Figura 1.22:

(3) Observe que para mostrarmos que uma funcao f nao e sobrejetorabasta exibirmos um elemento do contradomınio que nao seja imagem de

nenhum elemento do domınio. No entanto para mostrarmos que umafuncao e sobre, devemos mostrar que todos elementos do contradomıniosao imagem de algum elemento do domınio. A verificacao de que umafuncao e sobre implica em demonstrar a existencia de objetos satisfa-zendo certas condicoes . Assim o fato de a funcao f 1 : R −→ [0, ∞) dadapor f 1(x) = x2 ser sobrejetora se traduz no fato de todo numero realnao negativo possuir uma raiz quadrada.

Exemplo: Seja p um polinomio nao constante de coeficientes complexos. A cadanumero complexo z associaremos o valor p(z ) do polinomio p em z. Isto define umafuncao p : C

−→ C onde C e o conjunto dos numeros complexos. A afirmacao de

que f e sobrejetora e equivalente ao chamado

Teorema Fundamental da Algebra, segundo o qual todo poliˆ omiocomlexo n˜ ao constante possui pelo menos uma raiz complexa



24 1

Para demonstrarmos esta afirmacao , suponhamos primeiro que p : C −→ C esobrejetora. Assim, dado 0 ∈ C deve existir algum z 0 ∈ C tal que p(z 0) = 0. Onumero z 0 e portanto uma raiz de p.

Reciprocamente, admitindo que todo polinomio nao constante possui uma raizcomplexa, podemos provar que p : C −→ C e sobrejetora. De fato, dado c ∈ C afuncao z

→ p(z )

−c define um polinomio nao constante, a saber q (z ) = p(z )

−c.

Logo, existe z 0 ∈ C tal que q (z 0) = p(z 0) − c = 0, ou seja p(z 0) = c e portanto p esobrejetora.

1.5.4 Funcao Injetora

A dificuldade apresentada pela funcao S : R −→ [0, ∞), definida por S (t) = 1

2gt2

e que existem valores no intervalo [0, ∞) que sao imagem de mais de um elementode R e assim, quando tentamos definir uma inversa T para S a regra que define T apresentaria ambiguidades (ja que S (2) = S (−2) = 2g, entao T (2g) = 2 ou − 2?)o que a definicao de funcao nao permite.

Assim, para definir a inversa de uma funcao f, e necessario que as imagens,pela funcao f, de elementos distintos do domınio sejam distintas. Uma funcao quepossui esta propriedade e chamada uma funcao injetora ou injetiva . Temos entao aseguinte:

Definicao 6 Dada uma func˜ ao f : A −→ B, dizemos que f e injetora se x = yem A implicar f (x) = f (y) em B. Em outras palavras, f e injetora se dados x e yem A ent˜ ao f (x) = f (y) implicar x = y.

Uma funcao f : A −→ B deixa de ser injetiva quando elementos distintos de Atem imagens iguais em B .

O diagrama de venn abaixo representa uma funcao f : A −→ B que nao einjetora.



25 1

1.5.5 Exemplos:

1. A funcao ”soma de dois numeros inteiros”g : Z×Z −→ Z, g(m+ n) = m +n,nao e injetora pois (2, 3) = (3, 2) e g(2, 3) = g(3, 2) = 5. Na verdade, como u + v =v + u quaisquer que sejam os numeros inteiros u e v temos que g(u, v) = g(v, u) paraquaisquer u e v em Z e no entanto (u, v) = (v, u) sempre que u = v. Alem disso,

sabemos tambem que 2+3 = (2−1)+(3+1) = (2−2)+(3+2) = (2−3)+(3+3) = . . .o que implica g(2, 3) = g(1, 4) = g(0, 5) = g(−1, 6) = . . . .

Note que g e sobrejetora pois dado m ∈ Z temos, p.ex., que g(0, m) = g(m, 0) =m. O fato de g ser sobrejetora se traduz na afirmativa de que todo numero inteiropode ser expresso como a soma de dois outros numeros inteiros (em uma infinidadede maneiras distintas).

2. A funcao f : R −→ R definida por f (x) = 2x+3 e injetiva pois se f (x) = f (y)entao 2x + 3 = 2y + 3, o que implica 2x = 2y e, entao , x = y.

3. A funcao f : R

−→ R definida por f (x) = x2 nao e injetora pois 4

=

−4

e f (4) = f (−4) = 16. Na verdade, se a e um numero real qualquer, nao nulo,entao a = −a e f (a) = f (−a) (i.e., a2 = (−a)2). Para tornar f injetora, bastariarestringirmos o domınio de f , i.e., considerarmos , p.ex., a funcao F : [0, ∞) −→ R

dada por F (x) = x2. Para mostrarmos que F e injetora precisamos provar que seF (a) = F (b), onde a, b ∈ [0, ∞), entao a = b. Com efeito, sejam a, b ∈ [0, ∞) taisque F (a) = F (b), i.e., a2 = b2. Mas, a2 = b2 =⇒ a2 − b2 = 0 =⇒ (a − b)(a + b) =0 =⇒ a − b = 0 ou a + b = 0 =⇒ (i)a = b, ou (ii)a = −b. Como a, b ≥ 0 temosa = −b ⇐⇒ a = 0 e b = 0 entao (ii) e a unica possibilidade que pode ocorrer, i.e.,a = b. Alternativamente poderıamos tornar f injetora restringido o domınio de f aoconjunto (−∞, 0], e a funcao assim obtida,

Figura 1.23:



26 1

F : (−∞, 0] −→ R

x → x2

e injetora. Os graficos destas funcoes estao dados na figura 1.23.Observacao : Sejam A, B ⊂ R e f : A −→ B. A funcao f e injetora se, e so-

mente se, qualquer reta horizontal interceptar seu grafico em no maximo um ponto.

Figura 1.24: Em (a) f e injetora e em (b) g nao e injetora.

4. A funcao h : R2 −→ R2 definida por h(x, y) = (x + 3, y + 4) e injetiva. Comefeito, se h(x, y) = h(x, y) entao (x + 3, y + 4) = (x + 3, y + 4) =⇒ x + 3 =x + 3 e y + 4 = y + 4 =⇒ x = x e y = y =⇒ (x, y) = (x, y) como querıamosmostrar.

1.5.6 Funcao Bijetora

Para encontrarmos uma inversa para a funcao f e necessario que esta seja injetorae sobrejetora simultaneamente. Daremos um nome especial para este tipo de funcao .

Definicao 7 Dada uma uma func˜ ao f : A −→ B, dizemos que f e bijetora se f e injetora e sobrejetora.

Exemplos:1. A funcao f : R −→ R, f (x) = 2x+3, e bijetora como ja vimos anteriormente.

2. A funcao f : R −→ R, f (x) = x2, nao e bijetora (pois nao e injetora e nemsobre). Entretanto se restringirmos convenientemente o domınio e o contradomıniode f e possıvel obter uma funcao bijetora, dada por

f : [0, ∞) −→ [0, ∞).x → x2



27 1

Verifique isso.

Observacao 1. Toda funcao injetiva e bijetiva sobre o seu conjunto imagem.Em outras palavras, se f : A −→ B e injetiva entao f : A −→ f (A), tal quef (x) = f (x) ∀x ∈ A, e bijetiva.

Observacao 2. Combinando as observacoes feitas anteriormente para funcoes injetoras e sobrejetoras obtemos o seguinte resultado: Sejam A, B ⊂ R e f : A −→ B.A funcao f e bijetora se, e somente se, qualquer reta horizontal Y = b, onde b ∈ B,interceptar seu grafico em exatamente um ponto.

3. O grafico da funcao g : R −→ R, g(t) = t3 e dado a seguir. Pela ob-

Figura 1.25:

servacao anterior, temos que g e bijetora.

∗ ∗ ∗

Consideremos novamente a funcao

s : [0,

2h/g] −→ [0, h],t → 1

2gt2

dada pela lei da queda dos corpos e tentemos responder a seguinte pergunta:

Se o corpo percorrer uma distˆ ancia s0, desde a posic˜ ao de repouso 0,quanto tempo ter´ a se passado desde o momento de sua queda?



28 1

Vimos que podıamos obter uma funcao

t : [0, h] −→ [0,

2h/g],

s → 2s/g

que nos permitia responder facilmente a esta pergunta, e que t era a ”inversa”da

funcao s. Dissemos informalmente que ”t aplicada apos s desfazia o que a funcao sfazia”. Vimos tambem que funcoes nao injetivas como S e nao sobrejetivas comos1, apresentavam problemas ao se tentar achar suas inversas.

Antes de precisar o sentido da frase aplicar uma func˜ ao ap´ os a outra e de dar adefinicao de funcao inversa, vejamos outro exemplo. Seja

f : [0, ∞) −→ [0, ∞).x → x2

Temos que f e uma funcao bijetiva. Assim, a cada y ∈ [0, ∞) existe um (poisf e sobre) e somente um (pois f e injetiva) x

∈[0,

∞), tal que f (x) = y. Podemos

entao definir uma funcao g : [0, ∞) −→ [0, ∞) que associa a cada y ∈ [0, ∞) o unicox ∈ [0, ∞) tal que f (x) = y. Sabemos que dado y ∈ [0, ∞) o unico x de [0, ∞) talque x2 = y e denominado raiz quadrada de y e denotado por

√ y. Temos entao que

a funcao g e dada porg : [0, ∞) −→ [0, ∞).

y → √ y

Tomando x0 ∈ [0, ∞) e calculando f (x0), obtemos x20 ∈ [0, ∞). Logo podemos

calcular g(x20) e temos

g(x20) =

x20 = |x0| = x0

ja que x0 ∈ [0, ∞). Em outros termos, g(f (x0)) = x0.

Figura 1.26:



29 1

Analogamente, tomando y0 ∈ [0, ∞) e calculando g(y0) temos g(y0) = √

y0 ∈[0, ∞). Podemos entao calcular f (g(y0)) e obtemos

f (g(y0)) = f (y0) = (√

y0)2 = y0.

Veremos que esta propriedade de g a caracteriza como inversa de f.

1.5.7 Composicao de Funcoes

Definicao 8 Sejam f : A −→ B e g : B −→ C func˜ oes . Define-se a func˜ ao composta h = g f : A −→ C por

h(x) = (g f )(x) = g(f (x)).

Em outros termos aplica-se primeiro f e depois g.

Figura 1.27:

Exemplos:

1. Sejam

s : [0,

2h/g] −→ [0, h],t → 1

2gt2

t : [0, h] −→ [0,

2h/g].

s →

2s

g

Entao s t : [0, h] −→ [0, h] e tal que

(s t)(s0) = s

2s0

g

= s0



30 1

e t s : [0,

2h/g] −→ [0,

2h/g] e tal que

(t s)(t0) = t

1

2gt20

= t0.

Observacao : Dado um conjunto A qualquer podemos definir uma funcao f :

A −→ A por f (x) = x. A funcao f e chamada a funcao identidade no conjunto A edenotada por idA, ou simplesmente id se estiver claro qual e o domınio da funcao .Note que a funcao idA e uma bijecao para qualquer conjunto A. No exemplo acimatemos s t = id[0,h] e t s = id

[0,√

2h/g].

2. Sejam

f : [0, ∞) −→ [0, ∞),x → x2

g : [0, ∞) −→ [0, ∞).y → √

y

Entao

f g : [0, ∞) −→ [0, ∞),y → y

g f : [0, ∞) −→ [0, ∞),x → x

ou seja,f g = id[0,∞) e g f = id[0,∞).

3. Sejam f, g : R −→ R dadas por f (x) = 2x + 3 e g(x) = x2. Podemos definiras compostas f g, g f : R −→ R e teremos:

(f g)(x) = f (g(x)) = f (x2) = 2x2 + 3

e(g f )(x) = g(f (x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9.

Vemos assim que mesmo quando ambas as compostas f g e g f estao definidas,se tem em geral f g = g f.

OBSERVAC AO

Na verdade para que se possa definir a composta de duas fun coes f : A −→ B eg : C −→ D nao e necessario que tenhamos B = C ; basta que se tenha f (A) ⊆ C pois neste caso f (x) ∈ C, ∀ x ∈ A e podemos entao calcular g(f (x)) ∀x ∈ A.

4. Sejam f : R −→ R e g : [2, ∞) −→ R dadas por f (x) = x2 + 2 e g(x) =√ x − 2. Como x2 ≥ 0, ∀ x ∈ R, temos que x2 + 2 ≥ 2 ∀ x ∈ R. Portanto f (x) ∈



31 1

Figura 1.28: Diagrama representando a composicao de duas funcoes

[2, ∞) ∀ x ∈ R e entao f (R) ⊂ [2, ∞). Logo podemos considerar a composta g f :R −→ R e ela e dada por

(g f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 2) =

(x2 + 2) − 2 = √ x2

Exercıcios:I. E verdade que no exemplo 4 acima (g f )(x) = x ∀ x ∈ R?II. Verifique que no exemplo 4 acima, f (R) = [2, ∞).

5. Sejamf : R −→ R,

x → 2x + 3g : [0, ∞) −→ R.

x → √ x

Neste caso nao podemos definir a composta g

f pois como vimos f (R) = R

⊂[0,

∞).

Entretanto podemos restringir o domınio da funcao f de modo a ser possıvel definira funcao composta g f. Para isto devemos encontrar A ⊆ R tal que para todox ∈ A tenhamos f (x) ∈ [0, ∞). Como f (x) = 2x + 3 e 2x + 3 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −3/2,se considerarmos a restricao de f,

f 1 = f |[−3/2,∞): [−3/2, ∞) −→ R,x → 2x + 3

podemos fazer a composicao

g f 1 : [−3/2, ∞) −→ R,

x → √ 2x + 3



32 1

Figura 1.29:

1.5.8 Funcao Inversa

Agora estamos em condicoes de definir formalmente a funcao inversa.

Definicao 9 Dada uma func˜ ao f : A −→ B , dizemos que f e inversıvel se existe uma func˜ ao g : B −→ A, tal que

g f = idA e f g = idB.

A func˜ ao g e chamada inversa de f e e denotada por f −1.

Exemplos:

1. Dadas

s : [0, 2h/g] −→ [0, h],t → 12

gt2

t : [0, h]

−→ [0, 2h/g],

s → 2sg

vimos que s t = id[0,h] e t s = id[0,

√ 2h/g]

, logo s e t sao inversıveis e uma e a

inversa da outra.

2. Se

f : [0, ∞) −→ [0, ∞),x → x2

g : [0, ∞) −→ [0, ∞),y → √

y

entao f

g = id[0,∞) e g

f = id[0,∞) e portanto f e g sao inversıveis e uma e

inversa da outra.Vimos nos casos dos exemplos particulares estudados que uma funcao nao bijetiva

apresentava problemas ao se tentar achar a sua inversa. O teoreema abaixo nosmostra que realmente so as funcoes bijetivas sao inversıveis.



33 1

Teorema 1 Seja f : A −→ B uma func˜ ao . Ent˜ ao f e inversıvel se, e somente se,f e bijetiva.

Demonstrac˜ ao : 1a parte.

Hipotese: f : A

−→B e inversıvel; Tese: f e bijetora.

Por Hipotese temos que f e inversıvel e portanto existe g : B −→ A tal que

g f : A −→ A,x → x

f g : B −→ B.y → y

Mostremos primeiro que f e injetiva. Sejam entao x1, x2 ∈ A e suponhamos f (x1) =f (x2). Queremos mostrar que se tem necessariamente x1 = x2. Mas

x1 = (g f )(x1) = g(f (x1)) = g(f (x2)) = (g f )(x2) = x2.

Assim obtemos x1 = x2 e concluımos que f e injetiva. Agora mostremos que f e sobrejetiva. Queremos mostrar entao que dado y ∈ B, existe x ∈ A tal quef (x) = y. Mas y = (f g)(y) = f (g(y)) e assim, basta tomarmos x = g(y).

2a parte.

Hipotese: f : A −→ B e bijetora; Tese: f e inversıvel.

Mostremos que existe g : B −→ A tal que f g = idB e g f = idA. Dadoy ∈ B, existe (porque f e sobrejetora) um unico (porque f e injetora) x ∈ A talque f (x) = y. Assim, a regra que associa a cada y

∈ B o unico x

∈ A tal que

f (x) = y, define realmente uma funcao g : B −→ A dada por

g(x) = y ⇐⇒ f (x) = y.

Temos entao(g f )(x) = g(f (x)) = g(y) = x

e(f g)(y) = f (g(y)) = f (x) = y.

Portanto f e inversıvel e g = f −1.

1.5.9 Imagem Direta e Uniao de Conjuntos

Em geral, como ja vimos, muitas informacoes a respeito de uma funcao podemser obtidas analisando-se o seu grafico. No caso de uma funcao f : R −→ R ja vimos



34 1

que podemos saber se ela e injetiva ou sobrejetiva (e portanto se ela possui inversa)atraves do exame de seu grafico.

Para uma funcao g : R2 −→ R2 nao podemos assim proceder, simplesmenteporque nao e possıvel esbocar o grafico de tal funcao . Ainda assim, contudo,informacoes importantes a respeito da funcao podem ser obtidas ao se estudar comoela atua sobre subconjuntos particulares do seu domınio. Para isto damos a seguinte

Definicao 10 Dados uma func˜ ao f : A −→ B e um subconjunto Ω de A, a imagem de Ω pela func˜ ao f e o conjunto f (Ω) formado pelos valores f (x) que f assume nos pontos x de Ω. Isto e

f (Ω) := f (x) : x ∈ Ω = y ∈ B : y = f (x) para algum x ∈ ΩEvidentemente, f (Ω) e um subconjunto de f (A) e, consequentemente, tambem umsubconjunto de B. Quando Ω = A, f (Ω) e o conjunto imagem de f definido ante-riormente.

Figura 1.30: f (Ω) ⊂ f (A) ⊂ B

Exemplos:

1. Sejam f : R −→ R e g : N −→ N funcoes dadas por f (x) = 2x + 3 eg(n) = n2. Entao

f ([−2, 2]) = 2x + 3 : x ∈ [−2, 2] = [−1, 7]

pois: −2 ≤ x ≤ 2 ⇐⇒ −4 ≤ 2x ≤ 4 ⇐⇒ −4 + 3 ≤ 2x + 3 ≤ 4 + 3 ⇐⇒ −1 ≤2x + 3 ≤ 7. Para a funcao g nos temos g(1, 2, 3) = 1, 4, 9.



35 1

Figura 1.31:

2. Seja π : R2 −→ R2 a projecao sobre o eixo dos xs, i.e., π(x, y) = (x, 0).

(2.a) Se Ω e a reta vertical dada pela equacao x = a entao π(Ω) =(a, 0). (Prove isso!)

(2.b) Se Ω e a reta horizontal dada pela equacao y = b entao π(Ω) =eixo dos x’s.

(2.c) Se Ω = (x, y) ∈ R2 : y = ax + b, mostre que π(Ω) tambem e oeixo dos x’s.

(2.d) Seja Ω a hiperbole dada por Ω = (x, y) ∈ R2

: xy = 1. Clara-mente π(Ω) esta contido no eixo dos x’s. Entretanto estes dois conjuntosnao sao iguais pois a origem O = (0, 0) nao e imagem de nenhum ele-mento de Ω (Todos os pontos de Ω tem a 1a coordenada diferente dezero). Na verdade temos π(Ω) = eixo dos x’s menos a origem. Mostre-mos primeiro que π(Ω) esta contido no eixo dos x’s menos a origem: comefeito, se Q ∈ π(Ω) entao existe P = (x, y) ∈ Ω tal que Q = π(P ).Como P = (x, y) ∈ Ω entao xy = 1 =⇒ x = 0. Logo Q = π(P ) = (x, 0)com x = 0, donde se conclui que Q = O. Com isto mostramos queπ(Ω) ⊂ eixo dos x’s menos a origem.

Reciprocamente, se Q = (x, y) e um ponto do eixo dos x’s, diferente daorigem, entao y = 0 e x = 0, i.e., Q = (x, 0), x = 0. Logo Q = (x, 0) =π(x, 1/x). Com isto mostramos que eixo dos x’s menos a origem ⊂ π(Ω).



36 1

Figura 1.32:

3. Consideremosf : R2 −→ R2.(x, y) → (2x, 2y)

Se P = (x0, y0) entao f (P ) = (2x0, 2y0); ou usando a notacao vetorial temos que sev = (x0, y0) entao f (v) = 2v5.

Figura 1.33:

5

aqui identificamos cada ponto X = (x, y) do plano xOy com o vetor v

cuja origem coincidacom a origem do sistema cartesiano O = (0, 0) e cuja extremidade coincida com o proprio ponto

X = (x, y) de modo que v = OX = (x, y).





38 1

x = x0 onde x0 e um numero real qualquer. Como acima o desenho nos levara aconcluir que a imagem desta reta sera a reta vertical x = 2x0. Vamos mostrar isto.Sejam

Ω = (x, y) ∈ R2 : x = x0 e Λ = (x, y) ∈ R2 : x = 2x0Queremos mostrar que f (Ω) = Λ. Para isto mostremos que f (Ω) ⊂ Λ e Λ ⊂ f (Ω).

Consideremos P ∈ Ω. Entao P = (x0, y) e (x

, y

) = f (P ) = f (x0, y) = (2x0, 2y),i.e., as coordenadas de f (P ), x e y sao dadas por

x = 2x0 e y = 2y.

Como x = 2x0, temos que f (P ) ∈ Λ, donde f (Ω) ⊂ Λ. Considereemos agora Q ∈ Λ;entao Q = (2x0, y). Queremos encontrar um ponto R ∈ Ω tal que f (R) = Q. Ora, seR ∈ Ω entao R = (x0, y) donde f (R) = f (x0, y) = (2x0, 2y). Para que f (R) = Qdevemos ter (2x0, 2y) = (2x0, y) e portanto y = y/2. Logo o ponto R = (x0, y/2) etal que f (R) = Q o que mostra que Λ ⊂ f (Ω).

(3.b) Consideremos agora uma reta generica nao vertical dada por y = ax + b,

i.e., o conjunto Ω = (x, y) ∈ R2

: y = ax + b, a = 0 ou b = 0. Como antes vejamosse o desenho nos sugere o que sera f (Ω). Vemos que Ω devera ser um a reta paralela

Figura 1.36:

a Ω pasando pelo ponto (0, 2b). Realmente vamos mostrar que f (Ω) = Ω, ondeΩ = (x, y) ∈ R2 : y = ax + 2b. Se P = (x0, ax0 + b) e um ponto qualquer de Ωentao f (P ) = (2x0, 2(ax0+b)), i.e., f (P ) = (x

0, y0) onde x

0 = 2x0, y0 = 2ax0+2b =

a(2x0) + 2b = ax0 + 2b. Ja que a 2a coordenada de f (P ), y0 pode ser escrita comoy0 = ax

0+2b temos que f (P ) pertence a reta Ω. Assim, f (Ω) ⊂ Ω. Mostremos agoraque Ω ⊂ f (Ω). Vamos entao tomar um ponto qualquer Q de Ω e tentar encontrarum ponto R de Ω tal que Q = f (R). Se Q ∈ Ω entao Q = (x

0, ax0 + 2b) e como R



39 1

deve pertencer a Ω entao R = (x,ax+b) e gostarıamos de encontrar x tal que f (R) =(2x, 2(ax + b)) = (x

0, ax0 + 2b) = Q. Mas isto nos leva ao sistema formado pelas

equacoes 2x = x0 e 2ax+2b = ax

0 +2b as quais sao equivalentes a solucao x = x0/2,

desde que a = 0. Note que se a = 0 entao teremos as equacoes 2x = x0 e 2b = 2b

as quais sao novamente equivalentes a x = x0/2. Portanto, em qualquer caso, se

tomarmos R = (x0/2, a(x

0/2) + b) entao R

∈Ω e f (R) = Q, donde Ω

⊂f (Ω).

(3.c) Seja Ω o cırculo de centro na origem e raio 1, i.e.,

Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1.

Considerando como f atua, vemos que f (Ω) deve ser o cırculo de centro na origeme raio 2:

Figura 1.37:

Mostremos que f (Ω) = Ω, onde Ω e o cırculo de centro na origem e raio 2, i.e.,

Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4.

Para mostrar que f (Ω) ⊂ Ω, tomemos um ponto qualquer P ∈ Ω, entao P = (x0, y0)onde x2

0 + y20 = 1. Logo f (P ) = (2x0, 2y0) = (x

0, y0) onde x

0 = 2x0, y0 = 2y0. Como

x20 + y2

0 = 1, ex0 = 2x0 =⇒ x0 = x

0/2y0 = 2y0 =⇒ y0 = y

0/2,

entao

( x

0

2 )2 + ( y

0

2 )2 = 1 =⇒ x2

0 + y20 = 4,

i.e., f (P ) = (x0, y

0) ∈ Ω. Mostraremos agora que Ω ⊂ f (Ω). Seja Q ∈ Ω, i.e.,Q = (x

0, y0) onde x2

0 + y20 = 4. Para mostrarmos que Q ∈ f (Ω), temos que exibir



40 1

um ponto R = (a, b) de Ω tal que f (R) = Q, i.e., temos que encontrar a e b tais que a2 + b2 = 1 (condicao para que R = (a, b) pertenca a Ω),(2a, 2b) = (x

0, y0) (condicao para que f (R) = Q),

sabendo-se que x 20 + y2

0 = 4. A segunda igualdade e equivalente a

a = x

0

2 e b =

y0

2 .

Assim,

f (x0

2 ,

y 0

2 ) = (x

0, y0),

e, desde que

x20 + y2

0 = 4 =⇒ (x0

2 )2 + (

y0

2 )2 = 1,

segue entao que o ponto R = (x0/2, y

0/2) pertence a Ω e satisfaz f (R) = Q, dondeΩ

⊂ f (Ω). Esta funcao e chamada uma dilatac˜ ao pois se imaginamos o cırculo Ω

de borracha o que ela faz e dilata-lo mantendo-o circular.

Exercıcio Considere a funcao

f : R2 −→ R2

(x, y) → (ax, ay)

para algum numero real positivo a. Faca um estudo completo, como no Exemplo 3.acima, para cada um dos casos: (i) 0 < a < 1, (ii) a = 1 e (iii) a > 1. De nome paraf em cada um destes tres casos.

4. Consideremos o triangulo de vertices A = (1, 0), B = (−1, 0) e C = (0, 1). De

Figura 1.38:

acordo com o que ja vimos, parece natural supor que sua imagem, pela funcao f do



41 1

Exemplo 3, sera o triangulo de vertices D = (2, 0), E = (−2, 0) e F = (0, 2). De fato,a imagem das retas que unem os pontos A e B, C e D, C e A serao respectivamenteas retas que unem D e E , E e F, F e D. Vamos tentar justificar este procedimentointuitivo.

Definicao 11 A uni˜ ao de dois conjuntos X e Y , denotada por X

∪Y, e o conjunto

X ∪ Y = a : a ∈ X ou a ∈ Y .

Figura 1.39: X ∪ Y = area hachurada no diagrama de Venn

Convem observar que a palavra ou empregada na propriedade que define X ∪ Y nao tem o sentido de exclusao usado na linguagem comum pois pode acontecer queum elemento z de X ∪ Y pertenca simultaneamente a X e a Y.

E imediatamente verificavel que quaisquer que sejam os conjuntos X e Y, semprese tem X ⊂ X ∪ Y e Y ⊂ X ∪ Y. Note tambem que se X ⊂ Y entao X ∪ Y = Y.

Temos a seguinte propriedade: se f : A

−→ B e uma funcao e se X e Y

sao subconjuntos de A, com X ⊂ Y, entao f (X ) ⊂ f (Y ) (Prove isso! E imediato!).

Figura 1.40: X ⊂ Y =⇒ f (X ) ⊂ f (Y )



42 1

Proposicao 1 Se f : A −→ B e uma func˜ ao e se X e Y s˜ ao subconjuntos de A,ent˜ ao

f (X ∪ Y ) = f (X ) ∪ f (Y ).

Demonstrac˜ ao : Devemos mostrar que f (X ∪ Y ) ⊂ f (X ) ∪ f (Y ) e que f (X ) ∪f (Y )

⊂f (X

∪Y ). Seja b

∈ f (X

∪Y ). Entao b = f (a) onde a

∈ X

∪Y. Se a

∈ X,

entao b ∈ f (X ) ⊂ f (X ) ∪ f (Y ). Se a ∈ U, entao b ∈ f (Y ) ⊂ f (X ) ∪ f (Y ).Logo, em qualquer dos dois casos temos que b ∈ f (X ) ∪ f (Y ), o que mostra quef (X ∪ Y ) ⊂ f (X ) ∪ f (Y ).

Seja agora, b ∈ f (X ) ∪ f (Y ). Entao temos duas possibilidades: b ∈ f (X ) oub ∈ f (Y ). Mas

b ∈ f (X ) =⇒ b = f (a1), para algum a1 ∈ X ⊂ X ∪Y =⇒ b = f (a1) ∈ f (X ∪Y ).

Tambem

b

∈ f (Y ) =

⇒ b = f (a2), para algum a2

∈ Y

⊂X

∪Y =

⇒ b = f (a2)

∈ f (X

∪Y ).

Entao em qualquer dos dois casos, mostramos que b ∈ f (X ∪ Y ), donde se concluique f (X ) ∪ f (Y ) ⊂ f (X ∪ Y ). Agora fica claro para o leitor que a proposicao acima

justifica nosso procedimento no Exemplo 4.

1.5.10 Imagem inversa e Intersecao de conjuntos

Para introduzir o conceito de imagem inversa de um conjunto por uma funcaovamos comecar com alguns subconjuntos do plano vistos na Geometria Analıtica.

Considere a reta ax + by = c , a e b nao nulos simultaneamente. Esta reta edada pelo conjunto:

X = (x, y) ∈ R2 : ax + by = c.

Podemos ver o conjunto X da seguinte maneira: considere a funcao f : R2 −→ R

dada por f (x, y) = ax + by. A reta dada pelo conjunto X e exatamente o conjuntodos pontos do R2 cuja imagem por f e o numero c ∈ R, ou seja

X = (x, y) ∈ R2 : f (x, y) = c.

De maneira analoga a circunferencia C : x2 + y2 = 9 pode ser vista como oconjunto dos pontos do R2 cuja imagem pela funcao:

g : R2 −→ R

(x, y) → x2 + y2

e o numero 9 ∈ R.



43 1

O disco D de circunferencia C e o conjunto dos pontos do plano que satisfazema desigualdade x2 + y2 ≤ 9. Assim D e o conjunto dos pontos de R2 cuja imagempor g esta em [0, 9] ⊂ R, D = (x, y) ∈ R2 : g(x, y) ∈ [0, 9].

Os subconjuntos do plano considerados acima sao exemplos de imagem inversade um conjunto por uma funcao. no primeiro caso temos a imagem inversa de

c

pela funcao f e no segundo e terceiro casos as imagens inversas de

9

e [0, 9]

respectivamente pela funcao g .Formalizamos esta ideia na seguinte definicao:

Definicao 12 Dada uma func˜ ao f : A −→ B, definimos a imagem inversa de um conjunto Y ⊂ B, denotada por f −1(Y ), por

f −1(Y ) = x ∈ A : f (x) ∈ Y .

Observe que f −1(Y ) e um subconjunto de A.

Exemplos:

1. Nos tres exemplos dados anteriormente temos:

X = f −1(c); C = g−1(9) e D = g−1([0, 9]).

2. O domınio da funcao e muito importante para determinarmos a imagem inversade um conjunto por uma funcao. Vimos que dada

f : R2 −→ R,(x, y)

→ ax + by

f −1(c) e uma reta.Considere agora a funcao dada pela mesma lei mas definida em R3:

F : R3 −→ R,(x,y,z ) → ax + by

X = f −1(c) = (x,y,z ) ∈ R3 : ax + by = c.Aqui a imagem inversa de c por F sera portanto o plano ax + by = c (ou

ax + by + 0z = c). Na figura 1.41 exibimos f −1(c) para os casos em que f edefinida em R2 e R3.

3. Seja f : R → R dada por f (x) = x2 (veja fig. 1.42). Entao f −1([0, 9]) = x ∈R : 0 ≤ f (x) ≤ 9 = x ∈ R : 0 ≤ x2 ≤ 9 = x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 3 = [3, 3].

Encontre f −1((−∞, 9]) e f −1([−5, −1])



44 1

Figura 1.41:

Figura 1.42:



45 1

4. Seja f : R → R tal que f (x) = 2x + 3. Entaof −1([−2, 2]) = x ∈ R : f (x) ∈ [−2, 2] = x ∈ R : −2 ≤ f (x) ≤ 2 = x ∈ R :

−2 ≤ 2x+3 ≤ 2 = x ∈ R : −5 ≤ 2x ≤ −1 = x ∈ R : −52 ≤ x ≤ −1

2 = [−5

2 , −12 ]

Figura 1.43:

5. Consideremos h : R2

→ R2 dada por h(x, y) = (2x, 2y) e sejam os seguintes

subconjuntos do plano: Y 1 = (x, y) ∈ R2 : x > y, Y 2 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 <1 e Y 3 = (x, y) ∈ R2 : x > y e x2 + y2 < 1. Procuremos h−1(Y 1), h−1(Y 2) eh−1(Y 3).

Temos queh−1(Y 1) = (x, y) ∈ R2 : h(x, y) ∈ Y 1 = (x, y) ∈ R2 : (2x, 2y) ∈ Y 1 =

(x, y) ∈ R2 : 2x > 2y = (x, y) ∈ R2 : x > y = Y 1.A imagem inversa de Y 2 por h e o conjunto h−1(Y 2) = (x, y) ∈ R2 : h(x, y) ∈

Y 2 = (x, y) ∈ R2 : (2x, 2y) ∈ Y 2 = (x, y) ∈ R2 : (2x)2 + (2y)2 < 1 = (x, y) ∈R2 : 4x2 + 4y2 < 1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1

4.

Temos que Y 3 e constituıdo dos pontos de R2 que estao ao mesmo tempo em Y 1

e Y 2: Assim, espera-se que h−1

(Y 3) seja constituıdo dos pontos de R2

que estejamao mesmo tempo em h−1(Y 1) e h−1(y2), ou seja, que se tenha:

h−1(Y 3) = (x, y) ∈ R2 : x > y e x2 + y2 < 1

4.



46 1

Figura 1.44: Imagem inversa do semi-plano Y 1 = (x, y) ∈ R2 : x > y pelafuncao h(x, y) = (2x, 2y).

Figura 1.45: Imagem inversa do disco aberto Y 2 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 pelafuncao h(x, y) = (2x, 2y).



47 1

Figura 1.46: Y 3 = Y 1 ∩ Y 2

Vamos agora justificar este procedimento.

Definicao 13 A intersec˜ ao de dois conjuntos X e Y , denotada por X ∩ Y , e oconjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a X e a Y , isto e:

X ∩ Y = a : a ∈ X ; a ∈ Y .

Leremos X ∩ Y como ”X intersec˜ ao Y”ou simplesmente ”X inter Y”.

A parte hachurada no diagrama abaixo representa X ∩

Y :

Figura 1.47:



48 1

Note que para quaisquer conjuntos X e Y tem-se:

X ∩ Y ⊂ X e X ∩ Y ⊂ Y.

Note tambem que se X ⊂ Y entao X ∩ Y = X :

Figura 1.48:

No diagrama: temos X ∩Y = ∅, isto e, X e Y nao tem elementos comuns. Neste

Figura 1.49:

caso diremos que X e Y sao disjuntos .

Exemplo:

No exemplo anterior temos Y 3 = Y 1 ∩ Y 2. concluımos daı que deverıamos terh−1(Y 3) = h−1(Y 1)

∩h−1(Y 2). Mostraremos, abaixo que esta conclusao e valida.

Proposicao 2 (Propriedades da imagem inversa:) Sejam f : A → B uma func˜ ao e Z e W subconjuntos de B. Ent˜ ao:





50 1

(c) 1a Parte:

Hipotese: f −1(f (X )) = X ∀ X ⊂ A.

Tese: f e injetora.

Dem: Suponha, por absurdo, que f (x) = f (y) com x = y. Considere o seguintesubconjunto X de A : X = x. Seja z = f (x) = f (y). Entao f (X ) = z e f −1(f (X )) = f −1(z ) contem pelo menos dois pontos, a saber, x e y. Assimf −1(f (X )) = X , o que contraria a hipotese.

2a Parte:

Hipotese: f e injetora.

Tese: f −1(f (X )) = X, ∀ X ⊂ A.

Dem: Ja demonstramos em (a), que independente de ser f injetora, tem-seX ⊂ f −1(f (X )), ∀ X ⊂ A. Portanto, resta mostrar que f −1(f (X )) ⊂ X . Sejaentao x ∈ f −1(f (X )). Temos portanto que f (x) ∈ f (X ). Isto implica que existey ∈ X tal que f (x) = f (y). Como f e injetora devemos ter x = y e portantox = y ∈ X .

1.6 Exercıcios

1. Considere as relacoes abaixo e diga se elas definem ou nao uma funcao . Caso

nao definam, diga se e possıvel modificar o conjunto de partida e/ou o de chegadade tal maneira a que tenhamos uma funcao :

(a) Seja A o conjunto de todas as retas do plano. Definimos f : A −→ R

de tal modo que se r e uma reta de A entao f (r) e o coeficiente angularda reta r.

(b) Seja T o conjunto dos triangulos do plano e R+ o conjunto dosnumeros reais positivos. Definimos F : R+ −→ T pela seguinte regra: acada x > 0, F (x) e o triangulo cuja area e x.

(c) Seja f : [

−5, 5]

−→R dada por: a cada x

∈[

−5, 5], f (x) e o numero

y ∈ R tal que x2 + y2 = 5.

(d) f : R −→ R, x → x1/3.

(e) f : R −→ R e tal que f (x) = y satisfaz y2 = x2(x + 1).



51 1

2. Descreva os seguintes subconjuntos do produto cartesiano R × R e diga seeles definem uma funcao f : R −→ R :

(a) A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2

4 = 1

(b) B =

(x, y)

∈R2 : y = x3

(c) C = (x, y) ∈ R2 : y2 = x(d) D = (y, x) ∈ R2 : y2 = x

3. Diga se as seguintes funcoes sao iguais e caso nao sejam se e possıvel restringirseus domınios para que elas se tornem iguais:

(a) f, g : R −→ R definidas por

f (x) =

x2 − 5x + 6

x − 2 se x = 2,

f (2) = −1

e g(x) = x − 3.

(b) f , g : R −→ R tal que f (x) = 3, ∀ x ∈ R, e g(x) = x2, ∀ x ∈ R.

4. Determine todas as funcoes de E = 0, 1 em F = a, b onde a = b.

5. De uma regra que permita decidir quando um subconjunto do R3 e o graficode uma funcao f : A ⊂ R2 −→ R.

6. Demonstre que duas funcoes f , g : A −→ B sao iguais se, e somente se, seusgraficos sao iguais.

7. Seja f θ : R2 −→ R2 a funcao rotacao definida do seguinte modo: f θ(x, y) e oponto do R2 obtido de (x, y) por uma rotacao de um angulo θ, no sentido antihorario.Obtenha uma expressao analıtica para f θ(x, y) em termos de x, y e θ. Obtenha asexpressoes para f 90o(x, y), f 180o(x, y), f 270o(x, y) e f 360o(x, y). Seja A o quadrado delado 2 e vertice na origem (0, 0). Obtenha f θ(a, b) quando (a, b) forem os vertices doquadrado A, para θ = 90o, 180o, 270o e 360o.

8. Considere a funcao do item (1)(a) obtida apos as modificacoes , se necessarias,dos conjuntos de partida e/ou chegada. Tal funcao e sobrejetiva? E injetiva? Jus-tifique.



52 1

9. Suponha que o conjunto A do item (1)(a) seja o conjunto de todas as retas doplano, paralelas a uma dada reta nao vertical, r0. O que se pode dizer da funcao f ?Ela e sobrejetiva? E injetiva? Determine uma formula para f. Que tipo de funcao ea f ?

10. Verifique se as funcoes abaixo sao sobrejetivas ou injetivas, ou ambas ascoisas, justificando sua resposta em cada caso:

(a) J : Z −→ Z

x → 3x + 1

(b) h : N −→ N

x → numero de fatores primos distintos de x

(c) f : Q −→ Q

x → 3x + 1

(d) f : R −→ R

x → senx

(e) h : [0, π/2] −→ R

x → senx

(f) g : [0, π/2] −→ [0, 1]

x → cosx

(g) k : R −→ Rx → 5x2 + 6x + 2

(h) g : N −→ N tal que g(n) =

n

2 se n e par

n + 1

2 se n e ımpar

11. Se A e um conjunto finito, toda injecao de A em A e toda sobrejecao de Aem A sao bijecoes . Mostre atraves de exemplos que este fato nao e verdadeiro se Ae infinito.

12. Mostre que se gf e injetiva, entao f e injetiva. De um exemplo mostrandoque se pode ter g f injetiva sem ter g injetiva.



53 1

13. Uma funcao g : B −→ A chama-se inversa a direita de uma funcao f :A −→ B quando f g = idB, ou seja, quando f (g(y)) = y, ∀ y ∈ B. Mostre quea funcao f : A −→ B possui inversa a direita se, e somente se, f e sobrejetiva.

14. Defina inversa a esquerda de uma funcao e de uma condicao necessaria esuficiente para que uma funcao possua inversa a esquerda. Demonstre.

15. Determine as funcoes compostas f g e gf sabendo-se que f, g : R −→ R

sao tais que

(a) f (x) =

x2 se x < 02x se x ≥ 0

, g(x) =

1 − x se x < 11 + x se x ≥ 1

(b) f (x) =

x2 + 1 se x < 02x + 1 se x

≥0

, g(x) =

3x se x < 17x + 1 se 1 ≤ x ≤ 5

2 + x se x > 5

(c) f (x) =

x + 1 se x ≤ 0

1 − 2x se x > 0 , g(x) = f (x)

16. Sejam f, g : R −→ R tais que f (x) = 2x + 7 e (f g)(x) = 4x2 − 2x + 3.Determinar a lei da funcao g.

17. Sejam f : A −→ B e f : B −→ C funcoes invertıveis. Demonstre queneste caso g f e invertıvel e (g f )−1 = f −1 g−1. Faca um diagrama ilustrativoda situacao .

18. Seja f : A −→ B invertıvel. Entao f −1 : B −→ A e invertıvel e(f −1)−1 = f.

19. Considere a funcao f : R2 −→ R2 dada por

f (x, y) = (excosy, exseny).

(a) Encontre a imagem da reta x = 1 por f . Faca um esboco.

(b) Encontre a imagem da reta y = 0 por f . Faca um esboco.

(c) Encontre a imagem da reta y = π2

por f . Faca um esboco.

(d) Encontre a imagem da reta x = x0, x0 ∈ R, por f . Faca umesboco.



54 1

(e) Encontre a imagem da reta y = y0, y0 ∈ R, por f . Faca um esboco.

(f) Encontre a imagem por f do retangulo R do plano de verticesA = (0, y0), B = (5, y0), C = (5, y1) e D = (0, y1); com 0 < y0 < y1.Faca um esboco.

20. Considere a funcao f : R2

−→R2 dada por

f (x, y) = (coshy senx, senhy cosx),

onde

coshy = ey + e−y

2 , e senhy =

ey − e−y

2

sao respectivamente o cosseno hiperbolico e o seno hiperbolico de y.

(a) Mostre que a imagem da reta y = c por f e uma elipse. Faca umesboco da situacao .

(b) Mostre que a imagem da reta x = c por f e uma hiperbole. Faca

um esboco da situacao (OBS: lembre-se que cosh2c − senh2c = 1).

21. Considere a funcao

f : R −→ [−1, 1]x → senx

(a) f e inversıvel? Por que?

(b) Sugira um meio de definir a inversa de f restringindo o domınio. Dequantas maneiras isto pode ser feito?

(c) Sugira um meio de definir a inversa de f ampliando o conceito defuncao . Faca um esboco da situacao . Este procedimento e muitas vezesutilizado nos livros textos do ensino medio, de maneira pouco precisa.Observe que aqui f −1 nao e funcao .

22. Esboce o conjuntos f −1(Y ), onde

(a) f : R −→ R

x → 5x2 + 6x + 2 Y = [−4, 2].

(b) f : R2 −→ R

(x, y)

→ x2 + y2 Y = [1, 4].

(c) f : R3 −→ R

(x,y,z ) → x2 + y2 Y = 1 e Y = [1, 4].



55 1

(d) f : R3 −→ R

(x,y,z ) → y − x2 Y = 0.

(e) f : R3 −→ R

(x,y,z ) → x2 + y2 + z 2 Y = 1 e Y = [1, 4].

(f) f : R2 −→ R2

(x, y) → (excosy, exseny) Y = (u, v) ∈ R2 : u = v.

(g) f : R −→ R

x → cosx Y = 0 e Y = 2.

23. Seja f : A −→ B uma funcao .

(a) Pode-se ter f −1(X ) = ∅ para algum X ⊂ B nao vazio? Se istoacontece, o que se pode dizer de f ?

(b) Pode-se ter f −1(

y

) com mais de um elemento, para algum y

∈ B?

Se isto acontece, o que se pode dizer de f ?

(c) Pode-se ter f −1(X ) = f −1(Y ) para dois subconjuntos distintos,X e Y , de B?

(d) Pode-se ter f (X ) = f (Y ) para dois subconjuntos distintos, X e Y ,de A?

24. Se f : A −→ B e uma funcao , X, Y ⊂ A e Z, W ⊂ B, mostre que:

(a) f (X ∪ Y ) = f (X ) ∪ f (Y ).

(b) f (X

∩Y )

⊂ f (X )

∩f (Y ). Mostre com um exemplo que em geral

nao vale a igualdade.(c) f −1(Z ∩ W ) = f −1(Z ) ∩ f −1(W ).

(d) f −1(Z ∪ W ) = f −1(Z ) ∪ f −1(W ).

(e) Z ⊂ W =⇒ f −1(Z ) ⊂ f −1(W ).

(f) f −1(B) = A.

25. Se f : A −→ B e g : C −→ D, de uma condicao necessaria e suficientepara se definir a composta g f.

26. Diga se afirmativas abaixo sao falsas ou verdadeiras justificando sua resposta(i.e., prove ou de um contra exemplo).



56 1

(a) Se f : A −→ B e uma funcao , entao f (f −1(Y )) ⊂ Y, para todoY ⊂ B.

(b) Se f : A −→ B e uma funcao , entao f (f −1(Y )) ⊃ Y, para todoY ⊂ B.

(c) Se f : A

−→B e uma funcao , temos que f (f −1(Y )) = Y, para todo

Y ⊂ B ⇐⇒ f e sobrejetora.(d) Se f : A −→ B e uma funcao e f −1(Y ) = X, entao f (X ) = Y.

(e) Se f : A −→ B e uma funcao e f (X ) = Y, entao f −1(Y ) = X.

(f) Se f : A −→ B e uma funcao qualquer, entao f −1(f (X )) ⊂ X, paratodo X ⊂ A.

27. Se f : A −→ B e uma funcao inversıvel encontre

(a) f −1(y) para qualquer y ∈ B.

(b) f −1(B).

Qual a relacao entre a imagem inversa de Y ⊂ B por f e a imagem direta de Y por f −1 (funcao inversa de f )?

Definicao 14 A diferenca entre os conjuntos A e B, e o conjunto A − B for-mado pelos elementos de A que n˜ ao pertencem a B. Isto e,

A − B = x : x ∈ A e x ∈ B

Figura 1.50: Representacao de A − B.



57 1

28. Verifique se as afirmativas abaixo sao falsas ou verdadeiras justificando suaresposta (i.e., prove ou de um contra exemplo).

(a) A − B = B − A, (b) A ∩ B = ∅ =⇒ A − B = A,

(c) A − B = A − (A ∩ B).

29. Mostre que para quuaisquer conjuntos A, B e C, valem:(a) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ),

(b) A − (B ∪ C ) = (A − B) ∩ (A − C ),

(c) A − (B ∩ C ) = (A − B) ∪ (A − C ),

(d) A ∩ (B − C ) = (A ∩ B) − (A ∩ C ),

(e) (A ∪ B) − C = (A − C ) ∪ (B − C ).

30. Dada uma funcao f : A −→ B, mostre que

(a) f (X

−Y )

⊃f (X )

−f (Y ), para quaisquer subconjuntos X e Y de

A.

(b) Se f e injetiva, entao f (X − Y ) = f (X ) − f (Y ), para quaisquersubconjuntos X e Y de A.

(c) f −1(Z − W ) = f −1(Z ) − f −1(W ), para quaisquer subconjuntos Z eW de B.

Definicao 15 Quando B ⊂ A, a diferenca A − B chama-se complementar de Bem relac˜ ao a A e escreve-se A − B = CAB.

Figura 1.51: Representacao de A − B = CAB.

Frequentemente, tem-se um conjunto U (conjunto universo) que contem todos os conjuntos que ocorrem num certo contexto. Neste caso, a diferenca U −X = CU X e denotada simplesmente por CX e e chamada de complementar de X.



58 1

Figura 1.52: Representacao de U − X = CU X = CX .

Assim, se nos restringirmos a considerar elementos pertencentes a um conjuntobasico U, entao

x ∈ CX ⇐⇒ x ∈ X.

31. Verifique as propriedades abaixo:

(a) C(CA)) = A,

(b) A ⊂ B ⇐⇒ CB ⊂ CA,

(c) A = ∅ ⇐⇒ CA = U,

(d) C(A ∪ B) = CA ∩ CB,

(e) C(A ∩ B) = CA ∪ CB,

(f) Se f : A −→ B, e Y ⊂ B entao f −1(CY ) = C(f −1(Y )).



CAPITULO 2

Relacoes de Equivalencia

Considere a fracao 1/2, que e conhecida do aluno, desde o estudo fundamental.

Naquela epoca, certamente ocorreu a voce ou a algum colega seu a pergunta:- A frac˜ ao

2

4 e igual a frac˜ ao

1

2?

A resposta a esta pergunta e sim e nao , pois do ponto de vista do aluno que estatomando conhecimento com as fracoes nao pode haver diferenca entre a metade deuma barra de chocolate e duas quartas partes da mesma barra.

No entanto, mesmo no inıcio de nossa formacao matematica, percebemos que

existe uma dificuldade aı, pois 2

4 e

1

2 parecem ser ”numeros”diferentes. A este nıvel

a questao e resolvida dizendo que se dividirmos ou multiplicarmos o numerador e odenominador de uma fracao pelo mesmo inteiro obteremos uma fracao equivalente

a primeira. Assim,

1

2 ,

2

4 ,

3

6 , etc, seriam todas fracoes equivalentes.Mais tarde, expressamos o fato acima dizendo que duas frac˜ oes s˜ ao equivalentes

se o produto dos meios e igual ao produto dos extremos . Ou seja, dadas a

b e

c

ddiremos que

a

b =

c

d se, e somente se, ad = cb.

Sejamos mais precisos. Dado o conjunto Z dos numeros inteiros podemos cons-truir o conjunto Q dos numeres racionais da seguinte maneira: consideramos oproduto cartesiano Z x (Z - 0) isto e, o conjunto dos pares ordenados de numerosinteiros, onde a 2a coordenada e sempre diferente de zero. Assim estamos olhando

para a fracao 1/2 como o par (1,2), o inteiro 2 = 2

1 como o par (2,1), etc.Nos identificaremos dois pares (a,b) e (c,d) do produto cartesiano acima se e

somente se ad = bc (observe que a multiplicacao executada na igualdade acima esta

59



60 2 RELAC OES DE EQU

sendo feita em Z).O resultado lıquido do que fizemos e que fracoes equivalentes ficam por meio

desta construcao identificados a um subconjunto de produto cartesiano

Z× (Z− 0).

Podemos, por exemplo, pensar no conjunto de fracoes equivalentes

. . . ,−3

−6,−2

−4,−1

−2, 1

2, 2

4, 3

6, 4

8, . . ..

A estas fracoes correspondem respectivamente os pares ordenados

. . . , (−3, −6), (−2, −4), (−1, −2), (1, 2), (2, 4), (3, 6),....

Na construcao que acabamos de fazer, estes pares estao todos identificados, comouma coisa so, chamada Classe de Equivalencia. Assim, podemos dizer que o conjuntoZ x (Z -

0

), onde dois pares (a,b) e (c,d) estao identificados (isto e, sao considerados

o mesmo elemento) sempre que ad = bc, e o conjunto Q dos numeros racionais.Observe que o que fizemos foi dividir Z x (Z - 0) em partes disjuntas onde

cada uma destas partes e o conjunto de todas as fracoes equivalentes a uma certafracao . Representando o conjunto Z x (Z - 0) como pontos do plano cartesiano,podemos ilustrar este fato da seguinte maneira: as classes de equivalencia de Z x(Z - 0) (e, portanto, as do conjunto Q.) sao formadas por ”retas”que passam pelaorigem, neste plano. Se considerarmos a reta y = x, por exemplo, observe que elapassa por todos os pontos da forma (m, m), com m ∈ Z e m = 0, representando

portanto a fracao 1

1 = 1. Na verdade nao sao todos os pontos da reta y = x que

constituem a classe de (1,1), mas apenas os de coordenadas inteiras (m, m). Esse,alias, e o motivo pelo qual escrevemos, acima, a palavra retas entre aspas.

Da mesma forma, a reta y = 2

1 x vai hospedar os pares correspondentes as

fracoes equivalentes a 1/2, a y = 2

3 x vai hospedar os equivalentes a 3/2, etc.

Em geral as retas y = b

ax, com a e b inteiros, a = 0, vao hospedar os pares

correspondentes as fracoes equivalentes a fracao a

b. Assim as classes de equivalencia

sao as ”retas” passando pela origem com inclinacao racional. Como tomamos ocuidado de considerar apenas os pontos do conjunto Z x (Z - 0), o ponto (0,0)nao lhe pertence, ou seja, a intersecao das ”retas” que estamos considerando e vazia.Em outras palavras, isto quer dizer que as classes de equivalencia sao disjuntas.Tampouco a reta y = 0 pertence ao conjunto de retas, expressando o fato de que

fracoes do tipo a

0 nao estao sendo admitidas. Ja a reta x = 0 pertence ao nosso




conjunto, representado as fracoes da forma 0

a, a = 0, cuja classe de equivalencia e

a fracao zero de Q.A propriedade mais importante da construcao que acabamos de ver e que ela

estabelece uma relacao no conjunto Z x (Z - 0) que o subdivide em partes disjuntas(as ”retas”) chamadas classes de equivalencia de tal maneira que cada elemento de

Z x (Z - 0) pertence a uma destas partes e a uma unica. Tambem observa-se quea uniao destas classes e o proprio conjunto Z x (Z - 0).

Esta propriedade e de extrema importancia em matematica e por isso fazemosas seguintes definicoes :

Definicao 16 Uma particao de um conjunto A e uma colec˜ ao de subconjuntos n˜ ao vazios de A (chamadas partes) de tal maneira que a intersec˜ ao de duas partes quaisquer e vazia e a uni˜ ao de todas as partes e o pr´ oprio A.

Definicao 17 Uma relac˜ ao em um conjunto A e chamada uma Relacao de Equi-valencia se ela determina uma partic˜ ao de A. Neste caso as partes s˜ ao chamadas

Classes de Equivalencia.

O sentido dado a palavra relacao aqui e o da linguagem comum: uma relacao emA e qualquer lei ou associacao entre os elementos de A.

2.1 Exemplos:

1. Na Fısica e na matematica tomamos conhecimento de vetores . Nem semprefica clara a relacao existente entre os vetores como geralmente compreendidos emFısica e os vetores como geralmente compreendidos em matematica.

Usualmente na matematica um vetor no espaco R3 e um terno de numeros reais(a,b,c). Aqui se pensa no vetor como o segmento orientado cuja origem e (0, 0, 0) ecuja extremidade e (a,b,c).

Na maior parte das aplicacoes do conceito de vetor a Fısica o vetor e pensadocomo uma grandeza que possui modulo, direcao e sentido e dois vetores sao iguais sepossuem mesmo modulo, mesma direcao , e mesmo sentido. Tais vetores sao tambemconhecidos como segmentos orientados.

A relacao entre os dois conceitos e a seguinte: considere o espaco R3 e seja V oconjunto de todos os segmentos orientados 1 neste espaco. Considere a particao deV em classes de equivalencia onde cada parte e o conjunto de todos os elementos

de V que possuem mesmo modulo, mesma direcao e mesmo sentido (e, portanto,nao necessariamente mesma origem e mesma extremidade).

1veja BOULOS, P.; CAMARGOS, I. - Geometria Analıtica - um tratamento vetorial




Cada uma destas classes de equivalencia sera chamada de vetor. Assim, umvetor (a,b,c) podera ser representado por qualquer segmento orientado do espacocujo modulo e

(a2 + b2 + c2) e cuja direcao e sentido sao os do vetor (a,b,c).

Usualmente escolhemos para representante o segmento cuja origem e (0, 0, 0) e cujaextremidade e o ponto (a,b,c), obtendo assim a matematizacao do conceito.

2. Seja Z o conjunto dos inteiros. Dado n ∈ Z dizemos que n e par se ne divisıvel por 2 e ımpar se n nao e divisıvel por 2. A relacao segundo a qualdois inteiros estao relacionados se ambos sao pares ou se ambos sao ımpares e umaparticao de Z em duas classes de equivalencia: A classe dos numeros pares e a classedos numeros ımpares. Costumamos denotar o conjunto Z munido dessa relacao deequivalencia por Z2 e as duas classes por 0 (a dos numeros pares) e 1 (a dos numerosımpares). Assim Z2 = 0, 1.

De maneira semelhante, podemos considerar o conjunto Z3. Para isto tomamosZ e consideramos um numero n ∈ Z. Quando dividido por 3, n pode deixar resto0, 1, ou 2. Assim podemos estabelecer em Z uma relacao de equivalencia em que

dois inteiros estao relacionados se ambos deixam mesmo resto quando divididos por3. Esta relacao e de equivalencia e determina uma particao de Z em tres classes deequivalencia: a dos inteiros divisıveis por tres, a dos inteiros cuja divisao por tresdeixa resto 1 e a dos inteiros cuja divisao por tres deixa resto 2. Escrevemos:

Z3 = 0, 1, 2.

Aqui, o leitor observara que

0 = . . . , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, . . .1 = . . . , −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, . . .2 =

. . . ,

−7,

−4,

−1, 2, 5, 8, 11, . . .

Como ja esperavamos, as classes acima sao duas a duas disjuntas e a uniao de todaselas e o poprio Z.

De uma maneira geral dado um inteiro positivo m ∈ Z obtemos o conjunto Zm

dos inteiros modulo m da seguinte maneira: Dado n ∈ Z qualquer, dividimos n porm e obtemos:

n = mp + r, onde 0 ≤ r ≤ m − 1.

Assim podemos imaginar que a divisao por m determina uma particao de Zem m classes de equivalencia, cada classe sendo caracterizada pelo resto que seuselementos deixam ao serem divididos por m. Uma classe de equivalencia sera o

conjunto dos multiplos de m, que sao todos os inteiros que deixam resto zero aoserem divididos por m. Uma outra classe de equivalencia sera constituıda pelosinteiros que deixam resto 1 na divisao por m, i.e., por inteiros da forma s = m.q + 1,onde q ∈ Z e qualquer; e assim por adiante. Podemos representar cada classe pelo




resto que a caracteriza: 0 e a classe dos multiplos de m, 1 e a classe dos sucessoresdos multiplos de m, etc. Usamos a barra para distinguir a classe de equivalenciar do numero inteiro r. Podemos entao escrever:

Zm = 0, 1, 2,...,m − 1.

Note que as classes sao disjuntas duas a duas e que

Z = 0 ∪ 1 ∪ ... ∪ m − 1.

Voltaremos a este exemplo outras vezes devido a sua grande importancia.Uma relacao de equivalencia em um conjunto A possui tres propriedades: refle-

xiva, simetrica e transitiva. Isto significa o seguinte:

1. Propriedade Reflexiva:

Todo elemento x ∈ A esta relacionado com ele mesmo

2. Propriedade Simetrica:Se dado x ∈ A, x esta relacionado com y ∈ A, entao y esta relacionadocom x.

3. Propriedade Transitiva:

Dados x,y,z ∈ A, se x esta relacionado com y, e y esta relacionadocom z, entao x esta relacionado com z.

3. Podemos dar uma relacao em um conjunto A dando um subconjunto X doproduto cartesiano A ×A. Se o par (x, y) ∈ X diremos que x esta relacionado comy, caso contrario, x nao esta relacionado com y.

Considere as seguintes relacoes no conjunto 1, 2, 3 :

A1 = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3),

A2 = (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1).

A relacao A1 e reflexiva e transitiva mas nao e simetrica, pois, 1 esta relacionadocom 2, mas 2 nao esta relacionado com 1. Ja a relacao A2 e simetrica, mas nao ereflexiva (pois (3, 3) ∈ A2) nem transitiva (Porque?).

Exercıcio Construa uma relacao no conjunto 1, 2, 3 que nao seja reflexiva,nem simetrica, nem transitiva.

Estas tres propriedades sao importantes pois elas caracterizam uma relacao deequivalencia. E o que afirma a seguinte proposicao :




Proposicao 4 Seja dada uma relac˜ ao em um conjunto A que o divide em um certon´ umero de componentes (mas que n˜ ao constituem necessariamente uma partic˜ ao ).Esta relac˜ ao e de equivalencia se e somente se ela e reflexiva, simetrica e transitiva.

Demonstrac˜ ao : Temos duas implicacoes a demonstrar. Em primeiro lugar va-mos provar o seguinte:

Hipotese: E dada uma relacao em um conjunto A e ela e reflexiva, simetrica etransitiva.

Tese: A relacao dada e de equivalencia.

Para provarmos que a relacao e de equivalencia vamos mostrar que ela determinauma particao de A. Para isto e preciso ver que as componentes determinadas pelarelacao sao nao vazias e disjuntas e tais que a uniao delas e o proprio A.

Considere as componentes de A determinadas pela relacao dada. Nenhuma delase vazia por construcao . Alem disto, como para todo x

∈ A, x

∼ x (le-se x esta

relacionado com x) pela propriedade reflexiva, resulta que todo x esta em algumacomponente. Isto mostra que a uniao dos componentes e o proprio A.

Resta mostrar que se A1 e A2 sao duas componentes distintas entao A1∩A2 = ∅.Suponha entao que ∃ z ∈ A1 ∩ A2. Vamos mostrar que neste caso A1 ⊂ A2, emcontradicao com a suposicao de que A1 e A2 sao distintas. Seja w ∈ A1. Comoz ∈ A1 temos que w ∼ z . Seja w ∈ A2. Como z ∈ A2, temos que w ∼ z . Pelapropriedade simetrica temos que z ∼ w e, portanto, pela propriedade transitivaresulta que w ∼ w e portanto w ∈ A2, ou seja, A1 ⊂ A2. Analogamente temos queA2 ⊂ A1, terminando a 1a parte.

A 2a implicacao e a seguinte:

Hipotese: A relacao dada e de equivalencia.

Tese: A relacao e reflexiva, simetrica e transitiva.

Se a relacao e de equivalencia ela determina uma particao ou seja, o conjuntoA possui uma colecao de subconjuntos tais que a intersecao de dois deles e semprevazia e a uniao dos subconjuntos e igual a A.

Como dado x ∈ A, x esta em alguma componente, temos x ∼ x e portanto arelacao e reflexiva.

Alem disto se dados x, y

∈ A temos x

∼ y, eles estao na mesma classe de

equivalencia e portanto y ∼ x e vale a propriedade simetrica.Finalmente, suponhamos x ∼ y e y ∼ z . Entao x e y pertencem a uma mesma

componente A1, e y e z pertencem a uma mesma componente A2. Mas y ∈ A1∩A2,e portanto A1 = A2, donde x ∼ z , terminando a demonstracao da proposicao .




2.2 Exercıcios

1. Duas retas distintas L1 e L2 no plano sao paralelas se L1 ∩ L2 = ∅.Convenciona-se que toda reta e paralela a ela. Mostre que ”ser paralela” defineuma relacao de equivalencia no conjunto das retas do plano.

2. Defina soma e multiplicacao em Z6. Mostre que estas operacoes estao bem definidas , isto e: se

m = m1 e n = n1

entaom + n = m1 + n1 e m.n = m1.n1.

3. Seja E o Conjunto das retas de um plano α, seja P um ponto dadode α e seja x0 uma reta dada contida em α. Se x, y ∈ E, leia xRy, como x est´ a relacionado com y . Verificar se as relacoes abaixo definidas sobre E sao : (i)

reflexivas; (ii) simetricas; (iii) transitivas.

(a) xRy ⇐⇒ x nao e paralela a y.

(b) xRy ⇐⇒ x e y passam por P .

(c) xRy ⇐⇒ x e perpendicular ou paralela a y.

(d) xRy ⇐⇒ x e y se cortam num ponto de x0.

4. Se x e y sao dois numeros reais quaisquer, dizemos que

xRy se e somente se x − y ∈Q.

(a) Mostre que R e uma relacao de equivalencia .

(b) Descreva a classe de equivalencia de x = 1

2.

5. Sejam E = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 e R a seguinte relacao em E :

xRy ⇐⇒ x + |x| = y + |y|

(a) Mostre que R e uma relacao de equivalencia.

(b) Ache −3 e 0.

(c) Verifique que −3 = −2.(d) Quantas classes de equivalencia distintas exitem? (De explicitamenteestas classes).




6. Seja R uma relacao de equivalencia sobre um conjunto E = ∅. Sejam a, bdois elementos de E. Notacao : Se aRb diremos que a e equivalente a b moduloR, ou que a e equivalente a b segundo R e usaremos a notacao a ≡ b(modR).Considere as seguintes afirmativas:

(i) a

≡b(modR);

(ii) a ∈ b;

(iii) b ∈ a;

(iv) a = b;

Mostre que:

(i) =⇒ (ii) =⇒ (iii) =⇒ (iv) =⇒ (i)

Lembre-se que:

a = x ∈ E : xRa = x ∈ E : x ≡ a(modR)7. Neste Exerıcio daremos a ideia da construcao do conjunto Z dos numeros in-

teiros a partir do conjunto N dos numeros naturais (N = 0, 1, 2, 3, . . .). Considereo produto cartesiano A = N× N. Defina em A a seguinte relacao :

(n1, n2) ∼ (m1, m2) ⇐⇒ n1 + m2 = m1 + n2.

(secretamente estamos dizendo que que (n1, n2) ∼ (m1, m2) ⇐⇒ n1 − m2 =m1 − n2, mas nao podemos dizer isto em N).

(a) Porque nao podemos escrever n1 − n2 em N?

(b) Mostre que a relacao definida acima e de equivalencia.(c) Convenca-se de que o que voce construiu e realmente Z respondendo:Seja Z igual ao conjunto das classes de equivalencia.

(i) Quem e o ”0” ∈ Z?

(ii) Quem e o −1 ∈ Z?

(iii) Quem e 5 ∈ Z?

(d) Defina uma adicao e uma subtracao no conjunto das classes de equi-valencia de A que correspondam ao que se espera da adicao e da sub-tracao em Z.

(e) Mostre que as definicoes acima nao dependem das representantes dasclasses de equivalencia escolhidos.



CAPITULO 3

Princıpio da Inducao

3.1 IntroducaoComecemos por uma serie de exemplos de afirmacoes:

1. Todo brasileiro alfabetizado fala portugues;

2. As diagonais de todo paralelogramo sao bissectadas por seu ponto de in-tersecao;

3. Todo numero terminado em zero e divisıvel por 5;

4. Paulo fala portugues;

5. As diagonais do paralelogramo ABCD sao bissectadas por seu ponto de in-tersecao;

6. 140 e divisıvel por 5.

Analisando estas afirmacoes podemos dividı-las em dois grupos: gerais (isto e,valem para todos os elementos de um determinado conjunto) e particulares. As tresprimeiras sao gerais e as tres ultimas particulares. A passagem de uma afirmacaogeral para uma particular e chamada deducao. Consideremos um exemplo:

Todo brasileiro alfabetizado fala portugues. (I)Paulo e um brasileiro alfabetizado. (II)

Paulo fala portugues. (III)

67



68 3 PRINCIPIO DA

A afirmacao particular (III) e obtida da afirmacao geral (I) com o auxılio daafirmacao (II.

A tentativa de generalizacao de uma afirmacao particular, isto e, a passagem deuma afirmacao particular para uma afirmacao geral e chamada inducao . Ilustrare-mos com o seguinte exemplo: Seja a afirmacao particular:

140 e divisıvel por 5 (1)

Podemos fazer, com base nesta afirmacao particular, uma serie de afirmacoes gerais.Por exemplo:

Todo numero com 3 dıgitos e divisıvel por 5 (2)Todo numero terminado em zero e divisıvel por 5 (3)Todo numero terminado em 40 e divisıvel por 5 (4)

Todo numero cuja soma de seus dıgitos e 5 e divisıvel por 5 (5)

As afirmacoes (2), (3), (4) e (5) sao tentativas de generalizacao do caso particular(1). As afirmacoes (3) e (4) sao verdadeiras. As afirmacoes (2) e (5) sao falsas.

Temos entao a seguinte pergunta: Como poderıamos usar inducao em ma-tematica de forma a obter somente conclusoes verdadeiras? Pretendemos, nestetexto, responder a esta questao.

Consideremos inicialmente dois exemplos de inducao inadmissıveis em matematica.

3.1.1 Exemplo 1

Seja

S n = 1

1.2 +

1

2.3 +

1

3.4 + . . . +

1

n.(n + 1)

E facil verificar que

S 1 = 1

1.2 =

1

2

S 2 = 1

1.2 +

1

2.3 =

2

3

S 3 = 11.2

+ 12.3

+ 13.4

= 34

S 4 = 1

1.2 +

1

2.3 +

1

3.4 +

1

4.5 =

4

5



69 3 PRINCIPIO DA

Com base nestes resultados obtidos, afirmamos que para todo numero natural n,

S n = n

(n + 1).

3.1.2 Exemplo 2

Considere o trinomio x2 + x + 41 que foi estudado por Euler. Fazendo x = 0neste trinomio, obtemos o numero primo 41. Se fizermos x = 1, obtemos 43, outroprimo. Continuando este processo, substituindo x por 2, 3, . . . , 10, obteremos respec-tivamente, os primos 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Com base nestes resultados,afirmamos que a substituicao de x por todo inteiro nao negativo no trinomio, darasempre um numero primo.

Por que este tipo de raciocınio e inadimissıvel em matematica? A falha esta nofato de termos expressado uma afirmacao geral com respeito a n (no 2o exemplo,com respeito a x) somente com base no fato de que a afirmacao era verdadeira paracertos valores de n (ou x). O processo de inducao e muito usado em matematica, masdevemos saber usa-lo adequadamente. Assim, enquanto a afirmacao geral do exemplo1 e verdadeira, a afirmacao geral do exemplo 2 e falsa. De fato, se estudarmos otrinomio x2 + x + 41 mais cuidadosamente, veremos que sua soma e igual a umprimo quando substituımos x = 0, 1, 2, . . . , 39, mas para x = 40 obtemos o numerocomposto 412. De fato

x2 + x + 41 = 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 40.41 + 41 = 41(40 + 1) = 412.

Apresentamos agora alguns exemplos de afirmacoes as quais sao verdadeiras emcertos casos especiais, mas que sao falsas em geral.

3.1.3 Exemplo 3

Considere os numeros da forma 22n +1. Para n = 0, 1, 2, 3, 4 os numeros 220 +1 =3, 22

1

+ 1 = 5, 222

+ 1 = 17, 223 + 1 = 257, 224

+ 1 = 65537 sao primos. Fermat ,matematico frances, conjeturou que todos os numeros desta forma eram primos.Entretanto, Euler descobriu que

225 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417,

um numero composto.

3.1.4 Exemplo 4

Considere n planos passando por um mesmo ponto, tais que, quaisquer 3 delesnao contenham uma reta em comum. Em quantas regioes eles dividem o espaco?

Consideremos casos particulares deste exemplo.



70 3 PRINCIPIO DA

• Um plano divide o espaco em duas partes;

• Dois planos passando por um ponto dividem o espaco em 4 partes;

• Tres palnos passando por um ponto , mas nao contendo uma reta em comum,dividem o espaco em 8 partes.

A primeira vista, acreditamos que quando o numero de planos aumenta de umaunidade, o numero de partes nas quais o espaco e dividido e dobrado, e assim 4planos dividirao o espaco em 16 partes, 5 planos em 32 partes, e em geral n planosdividirao o espaco em 2n partes. Mas na verdade isso nao e assim: a saber, 4 planosdividem o espaco em 14 partes (veja figura abaixo), 5 planos em 22 partes. Pode-seprovar que n planos dividem o espaco em n(n − 1) + 2 partes.

Figura 3.1:

Os exemplos considerados nos permitem chegar a uma simples e importanteconclusao:

Uma afirmac˜ ao pode ser v´ alida em uma serie de casos particulares e falsa em geral .

Surge entao a seguinte questao:



71 3 PRINCIPIO DA

Suponhamos uma afirmac˜ ao a qual e v alida em muitos casos particulares e para a qual seja impossıvel considerar todos os casos particulares, comopor exemplo, uma afirmativa a respeito de todos os inteiros. Como se pode determinar se esta afirmativa e v´ alida em geral?

3.2 1a Forma do Princıpio de Inducao Matematica

Algumas vezes, podemos responder a questao levantada na secao anterior apli-cando um metodo particular de raciocınio, chamado metodo de inducao matematica(inducao completa).

A base deste metodo e o princıpio da inducao matematica, que consiste do se-guinte:

Seja P (n) uma afirmativa que faz sentido para todo natural n ≥ 1. Su-

ponha que:(1) ela e v alida para n = 1, ou seja, P (1) e verdadeira;

(2) Sempre que a afirmac˜ ao for v´ alida para um n´ umero natural ar-bitr´ ario n = k ela tambem seja v´ alida para o seu sucessor n = k + 1(ou seja P (k) verdadeira implica P (k + 1) verdadeira).

Ent˜ ao P (n) e verdadeira para todo natural n ≥ 1.

O princıpio da inducao matematica, pode tambem ser entendido atraves do se-guinte modelo:

Figura 3.2:



72 3 PRINCIPIO DA

Suponhamos que temos uma fila infinita de cartas de baralho em pe (matemati-camente isto e possıvel!), distribuıdas da maneira como mostra a figura 3.2.

Como teremos certeza que golpeando a primeira carta, todas cairao? A respostae clara:

(1o) se a 1a carta cai ao ser golpeada, e

(2o) se as cartas do baralho estao espacadas de tal modo que se uma delas cai, elaatinge e faz cair a seguinte,

podemos afirmar, entao , que todas as cartas cairao . E isto o que o princıpio dainducao afirma.

Figura 3.3:

Uma prova baseada no princıpio da inducao matematica e chamada uma prova pelo metodo da induc˜ ao matem´ atica. Tal prova deve necessariamente consistir deduas partes, ou seja, da prova de dois fatos independentes:

Fato 1: a afirmacao e valida para n = 1;

Fato 2: a afirmacao e valida para n = k + 1 se ela e valida para n = k, onde ke um numero natural arbitrario.

Se ambos estes fatos sao provados, entao com base no princıpio da inducaomatematica, a afirmacao e valida para todo numero natural n.



73 3 PRINCIPIO DA

Observac˜ oes:

1 A hipotese do fato 2, ou seja, ”a afirmacao e valida para n = k”, e o que sechama hipotese de inducao;

2 Note que o fato de comecar de n = 1 nao e importante. No exemplo das

cartas se tivessemos escolhido a 4a

carta para ser golpeada inicialmente, entaopoderıamos afirmar que todas as cartas seguintes cairiam. Assim, podemosreescrever o princıpio da inducao matematica da seguinte forma:

1a Forma do Princıpio da Inducao Matematica:

Seja P (n) uma afirmativa que faz sentido para todo natural n ≥ n0.Suponhamos que:

(1’) a afirmativa e v´ alida para n = n0, ou seja, P (n0) e verdadeira;

(2’) sempre que a afirmativa for v´ alida para um n´ umero natural ar-

bitr´ ario n = k ≥ n0 ela tambem seja v´ alida para o seu sucessor n = k + 1 (ou seja P (k) verdadeira implica P (k + 1) verdadeira).

Ent˜ ao P (n) e verdadeira para todo natural n ≥ n0.

3.2.1 Exemplo 5

Calcular a soma

S n = 1

1.2 +

1

2.3 +

1

3.4 + · · · +

1

n(n + 1)

Sabemos que

S 1 = 1

2, S 2 =

2

3, S 3 =

3

4, S 4 =

4

5.

Agora nao repetiremos o engano cometido no exemplo 1. Seremos cuidadosos e dire-mos que examinando as somas S 1, S 2, S 3, S 4 admitimos propor a hipotese (conjetura)

de que S n = n

n + 1 ∀ natural n. Contudo Sabemos que esta hipotese e verdadeira

para n = 1, 2, 3, 4. Podemos usar o metodo de inducao matematica para verificarnossa hipotese.

Fato 1: Para n = 1 a hipotese e verdadeira pois S 1 = 1

2

.

Fato 2: Supomos que a hipotese seja verdadeira para n = k, isto e, que

S k = 1

1.2 +

1

2.3 + . . . +

1

k(k + 1) =

k

k + 1.



74 3 PRINCIPIO DA

Provaremos que a hipotese e verdadeira para n = k + 1, isto e,

S k+1 = k + 1

k + 2.

De fato,

S k+1 = 11.2

+ 12.3

+ . . . + 1k(k + 1)

=S k (Hipotese de Inducao)

+ 1(k + 1)(k + 2)

= k

k + 1 +

1

(k + 1)(k + 2) =

k2 + 2k + 1

(k + 1)(k + 2) =

k + 1

k + 2

Ambos os fatos estao provados. Podemos entao , agora, com base no princıpio

da inducao matematica, afirmar que S n = n

n + 1 ∀ natural n.

Observac˜ ao 3:

E necessario enfatizar que a prova pelo metodo da inducao matematica requerprovas de ambos os fatos 1 e 2.

Ja vimos, pelo exemplo 2, como uma atitude negligente para com o fato 2 podenos levar a resultados falsos.

Mostraremos agora que nao podemos omitir o Fato 1 tambem.

3.2.2 Exemplo 6

Teorema 2 Todo n´ umero natural e igual ao pr´ oximo n´ umero natural.

Demonstrac˜ ao : Faremos a prova pelo metodo de inducao matematica. Supo-nhamos que

k = k + 1. (3.1)

Provaremos quek + 1 = k + 2. (3.2)

De fato, somando 1 de cada lado da equacao (3.1), obtemos a equacao (3.2).Entao se nossa afirmacao e verdadeira para n = k, entao ela e valida para

n = k + 1. O teorema esta provado e temos o

Corolario 1 Todos os n´ umeros naturais s˜ ao iguais.

Mas, onde esta o nosso erro? O erro consiste em que o Fato 1, necessario para a

aplicacao do princıpio da inducao matematica, nao tinha sido provado. E ele nao everdadeiro! Pois certamente 1 = 2.

Os fatos 1 e 2 tem eles proprios significados especıficos. O fato 1 cria, assimdigamos, a base para levar a inducao . O fato 2 nos da o direito de passagem de



75 3 PRINCIPIO DA

um dado caso especial para o proximo (de n para n + 1), ou seja, o direito de umaextensao ilimitada desta base. (Veja o exemplo das cartas de baralho).

Se o fato 1 nao foi provado mas o fato 2 sim, (exemplo 6) ent ao a base paracontinuar a inducao nao foi portanto criada, e assim, nao faz sentido aplicar o fato2, ja que nao existe nada realmente para extender.

Se o fato 2 nao foi provado, mas o fato 1 sim (exemplos 1 e 2) ent ao teremos

a base para comear a inducao mas nao teremos argumentos que nos possibilitemextende-la.

3.2.3 Exemplo 7

Retornemos ao exemplo 1 para clarear um aspecto significativo do metodo dainducao matematica.

Examinando a soma

S n = 1

1.2 +

1

2.3 + . . . +

1

n(n + 1)

para alguns valores de n, obtivemos

S 1 = 1

2, S 2 =

2

3, S 3 =

3

4, . . . ,

e estes resultados paticulares sugeriram a hipotese de que para todo n, S n = n

n + 1.

Entretanto, poderıamos ter proposto a hipotese

S n = n + 1

3n + 1. (3.3)

A formula (3.3) e verdadeira para n = 1, ja que S 1 = 1/2. Suponhamos que (3.3) everdadeira para n = k, isto e,

S k = k + 1

3k + 1.

Tentaremos provar que a formula (3.3) tambem e verdadeira para n = k + 1, istoe, que

S k+1 = k + 2

3k + 4. (3.4)



76 3 PRINCIPIO DA

Temos

S k+1 = S k + 1

(k + 1)(k + 2)

=

Hipotese de Inducao

k + 1

3k + 1 +

1

(k + 1)(k + 2)

= k3 + 4k2 + 8k + 2

(k + 1)(k + 2)(3k + 1),

isto e, o resultado obtido e diferente de (3.4).Isto sugere que a validade da formula (3.3) para n = k + 1 nao segue de sua

validade para n = k. Entao nao podemos afirmar que a formula (3.3) e verdadeira(e realmente nao e).

Em outras palavras, se fizermos uma afirmativa incorreta nao conseguiremosdemonstra-la pelo metodo da inducao .

3.3 2a Forma do Princıpio de Inducao

Daremos, a seguir, um exemplo onde nao e possıvel usar a forma de inducao dadana secao anterior.

Para tal, daremos a seguinte

Definicao 18 Um Inteiro n˜ ao nulo p e um n umero primo se p ≤ ±1 e os ´ unicos divisores de p s˜ ao ±1 e ± p.

Teorema 3 Um n´ umero natural n

≥ 2 ou e primo ou pode ser escrito como um

produto de n´ umeros primos.

Tentativa de Demonstrac˜ ao : Seja P (n) a afirmativa:

n e um n umero primo ou um produto de n´ umeros primos.

Fato 1: P (2) e verdadeira pois 2 e um numero primo.Fato 2: Suponhamos que a afirmativa e verdadeira para n = k e tentaremos mostrarque P (k + 1) e verdadeira.

Se k + 1 e um numero primo entao P (k + 1) e verdadeira.Se k + 1 nao e um numero primo entao k + 1 pode ser escrito como

k + 1 = a × b

onde a = ±1 e b = ±1.



77 3 PRINCIPIO DA

Alem disso como k + 1 > 0, podemos tomar a > 0 e b > 0. Logo a = 1 eb = 1, e entao

2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k.

Mas nao podemos garantir que a = k e b = k. Por exemplo; se k = 8 entao

k + 1 = 9 nao e primoe a unica maneira de escrever o numero 9 como produto de dois inteiros positivosdiferentes de 1 e

9 = 3 × 3

Mas k = 8, logo nao podemos usar a hipotese de inducao (P (8) e verdadeira) paraconcluir que P (9) e verdadeira.

Entretanto, se soubessemos que P (8) e verdadeira assim como P (n) para todon ≤ 8, entao como 3 < 8 terıamos, pela hipotese de inducao , que P (3) seriaverdadeira.

Para resolver casos como este precisamos da ”Segunda Forma do Princıpio da

Inducao ”.

2a Forma do Princıpio da Inducao Matematica:

Seja P (n) uma afirmativa que faz sentido para todo inteiro n ≥ n0.Suponhamos que:

(1) P (n0) e verdadeira;

(2) se P (m) e verdadeira ∀ m com n0 ≤ m ≤ k, entao P (k + 1) everdadeira.

Ent˜ ao P (n) e verdadeira para todo natural n ≥ n0.

Note a diferenca entre a condicao (2) da primeira Forma do Princıpio da Inducao ea condicao (2) da segunda forma.

3.3.1 Demonstracao do teorema 3

Agora ja temos a ferramenta certa para demonstrarmos o teorema 3: considere-mos novamente a afirmativa

P (n) : n e um n umero primo ou um produto de n´ umeros primos.

Fato 1: P (2) e verdadeira pois 2 e um numero primo.Fato 2: Suponhamos a afirmativa verdadeira para todo numero m com 2 ≤

m ≤ k e provemos que P (k + 1) e verdadeira.



78 3 PRINCIPIO DA

Caso 1: Se k + 1 e um numero primo entao P (k + 1) e verdadeira.Caso 2: Se k + 1 nao e um numero primo, entao k + 1 pode ser escrito como

k + 1 = a × b

onde a

=

±1 e b

=

±1. Alem disso como k + 1 > 0 podemos tomar a > 0 e b > 0,

donde a = 1 e b = 1 =⇒ a ≥ 2 e b ≥ 2. Entao temos que

2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k.

Portanto, pela hipotese de inducao a e b podem ser escritos como produtos de primosou sao primos. Logo

k + 1 = a × b

e tambem um produto de numeros primos, a saber, o produto dos numeros primosde a multiplicado pelos numeros primos de b.

Observac˜ oes :

4 O teorema acima e parte do ”Teroema Fundamental da Aritimetica”que serademonstrado posteriormente.

5 As duas formas do princıpio da inducao sao equivalentes.

Afim de aprendermos como aplicar o metodo da inducao matematica devemosanalizar um numero sufuciente de problemas.

3.4 Exercıcios1. Mostre por inducao que a soma dos n primeiros numeros naturais e dada por

S n = n(n + 1)

2 .

2. Mostre que se x e um numero real diferente de 1, entao

n−1 j=0

x j = 1 + x + x2 + . . . + xn−1 = xn − 1

x − 1 .

3. Prove por inducao que

12 + 22 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 .



79 3 PRINCIPIO DA

4. Prove que13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2

(Sugest˜ ao : Use exercıcio 1).5. Prove que

1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)

3 .

6. Sejam n, k inteiros nao negativos com k ≤ n. O sımbolo

nk

e definido por

nk

=

n!

k!(n − k)!.

(a) Mostre usando a definicao que

n

k − 1 + n

k = n + 1

k , para k ≥ 1.

(b) Mostre usando inducao que

(a + b)n = an +

n1

an−1 b + . . . +

ni

an−i bi + . . . + bn.

7. Prove por inducao a formula da soma de uma P.A.:

a + (a + d) + (a + 2d) + . . . + (a + (n − 1)d) = n(2a + (n − 1)d)

2 .

8. Mostrar por inducao que

(a) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2.

(b) n! > 2n, para todo n ≥ 4.

(c) n2 > 2n + 1, ∀ n ≥ 3.

(d) 1

1 · 2 +

1

2 · 3 +

1

3 · 4 + . . . +

1

n(n + 1) =

n

n + 1.

9. Resolva o Paradoxo de Tarski:

Teorema 4 Todos os n´ umeros naturais s˜ ao iguais.

Demonstrac˜ ao : Por inducao sobre o numero de elementos de umsubconjunto qualquer de N.



80 3 PRINCIPIO DA

Dado um subconjunto qualquer de N com um unico elemento, evi-dentemente todos os elementos deste subconjunto sao iguais. Com istodemonstramos o Fato 1.

Para demonstrar o Fato 2, supomos que dado um subconjunto de Ncom k elementos todos eles sao iguais e vamos tentar provar que o mesmo

e verdade para um subconjunto de N com k + 1 elementos.Seja A um subconjunto com k + 1 elementos. Retirando de A o

ultimo elemento sobram k elementos e, por hipotese de inducao , temosque os k elementos restantes sao iguais. Por outro lado, retirando doconjunto A o primeiro elemento, tambem sobram k elementos e todoseles sao iguais, tambem pela hipotese de inducao . Mas entao , o primeiroe o ultimo sao iguais entre si e todos os k + 1 elementos sao iguais,concluindo a demonstracao .

Corolario 2 Todos os bebes possuem olhos verdes.



CAPITULO 4

Numeros Inteiros

4.1 IntroducaoOs sitemas de numeros com os quais ficamos familiarizados no nosso curso se-

cundario, desenvolveram-se muito lentamente, comecando nos tempos pre-historicose atingindo seu estado atual so recentemente.

Os numeros naturais1, 2, 3, 4, . . .

sao certamente pre-historicos na sua origem e sao certamente os unicos numeros queos homens conheceram por um longo perıodo de tempo.

As fracoes como 3/5, 7/2, 1012/357, foram provavelmente inventadas para selidar com problemas de medida referentes a dividao de terras, por exemplo, empartes iguais.

No seu estudo de grandezas geometricas, os gregos descobriram que alguns com-primentos nao podiam ser representados por fracoes . Consideracoes desta naturezaconduziram a invencao dos numeros irracionais, como por exemplo

√ 2.

Quando tornou-se conveniente, para varios fins, ser capaz de subtrair um numerogrande de um menor, os numeros negativos foram inventados.

Neste capıtulo estudaremos os numeros inteiros. Eles sao o objeto de estudo dachamada Teoria dos N´ umeros.

N´ umeros, assunto que fascinou a maioria dos grandes matematicos e que temate hoje problemas nao resolvidos, problemas estes que tem em geral um enunciado

muito simples.Foi notıcia de jornal a descoberta por um matematico alemao , Faltings, desco-

berta esta que teve consequencias sobre a famosa Conjetura de Fermat (1601-1665).A conjetura, formulada em 1630, afirmava que para o natural n > 2 nao existem

81



82 4 NUMERO

inteiros positivos x, y,z, tais que xn + yn = z n. Fermat escreveu essa afirmacao namargem de um livro, dizendo que a solucao que ele encontrara era longa e nao cabiano papel que ele dispunha. O matematico alemao citado acima, Faltings, provouque para cada n existe no maximo um numero finito de naturais x, y,z satisfazendoa igualdade acima.

Agora finalmente Fermat descansa em paz [2]. Somente apos 345 anos, a con-

jetura de Fermat foi finalmente demonstrada. Em 1995, a comunidade matematicaaceitou a prova dada por Andrew Wiles. Wiles apresentou o seu trabalho pela pri-meira vez em 1993, mas havia um problema numa das etapas da demonstracao queele finalmente conseguiu resolver em colaboracao com Richard Taylor.

Resolvido o problema e frustrados assim os sonhos dos milhares de amadores eprofissionais que sonhavam com a gloria de resolve-lo, restam duas indagacoes quesao no mınimo curiosas.

A primeira e como uma conjetura, cujo enunciado e simples e acessıvel ate paraestudantes do ensino medio, levou tanto tempo e exigiu teorias tao sofisticadas paraser finalmente decidida. Como nao sabemos a resposta, resta-nos o consolo de que

talvez em fatos como esse e que residam a beleza e o encanto da Matematica.A outra duvida e saber se Fermat tinha realmente uma demonstracao . Comaltıssima probabilidade a resposta e nao . Afinal a demonstracao de Wiles utilizateorias que Fermat certamente nao conhecia e ocupou mais de 200 paginas que ne-nhuma margem de livro, por maior que fosse, seria capaz de conter. O mais prov avele que Fermat tenha cometido um erro semelhante aos que cometeram milhares depessoas que tentaram depois dele. Mas, ainda que apenas por curiosidade historica(para saber no que foi que ele errou), nao podemos deixar de concordar com FernandoQuadros [3] que foi realmente uma pena que Fermat nao dispusesse de uma margemmais larga.

4.2 Operacoes em Z

Comecaremos recordando rapidamente as propriedades das operacoes da adicao emultiplicacao em Z.

1. AdicaoPara cada par de inteiros a e b, a soma de a e b e bem definida e e tambem um

numero inteiro, denotado por a + b. A operacao de adicao em Z satisfaz as seguintesleis:

• Comutatividade da adic˜ ao : a + b = b + a, ∀ a, b ∈ Z,

• Associatividade da adic˜ ao : (a + b) + c = a + (b + c), ∀ a,b,c ∈ Z,

• Elemento neutro: existe 0 ∈ Z : a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ Z,



83 4 NUMERO

• Elemento inverso: para todo inteiro a, existe um inteiro que denotare-mos por (−a) tal que a + (−a) = (−a) + a = 0.

2. MultiplicacaoPara cada par de inteiros a e b, o produto de a e b e bem definido e e tambem

um numero inteiro, indicado por ab ou a

×b. A operacao de multiplicacao em Z

satisfaz as seguintes leis:

• Comutatividade da multiplicac˜ ao : ab = ba, ∀ a, b ∈ Z,

• Associatividade da multiplicac˜ ao : (ab)c = a(bc), ∀ a,b,c ∈ Z,

• Elemento neutro: existe 1 ∈ Z : a1 = 1a = a, ∀a ∈ Z.

Relacionando a adicao e a multiplicacao em Z temos a Distributividade da mul-tiplicac˜ ao em relac˜ ao a adic˜ ao

a(b + c) = ab + ac, para quaisquer a, b, c ∈ Z.

As operacoes de adicao e multiplicacao em Z obedecem as Leis do cancelamento:

se a + x = a + y, entao x = y ∀a,x,y ∈ Z,se ax = ay e a = 0, entao x = y ∀x, y ∈ Z.

(4.1)

Podemos definir a subtracao em Z a partir da adicao em Z.

3. SubtracaoDados dois inteiros a e b existe um unico inteiro x tal que a + x = b. Diz-se que

x e o resultado de subtrair a de b. temos que x = b + (−a) que e denotado por b − a.A Divisao nao esta definida em todo Z pois podemos dividir um inteiro por

outro e obter um numero nao inteiro (p.ex., 2, 4 ∈ Z mas 2/4 = 1/2 = Z). Dizemosentao que a divisao nao e uma operacao sobre Z. Em geral temos a seguinte

Definicao 19 Chama-se operacao sobre um conjunto E a toda func˜ ao de

E × E −→ E.

Exemplo 1.: Temos que a adicao , a multiplicacao e a subtracao sao operacoes so-bre Z. Entretanto a divisao nao e uma operacao sobre Z.

Sejam

: E

×E

−→E,

(a, b) → a b : E

×E

−→E

(a, b) → a b

operacoes sobre E .



84 4 NUMERO

(a) ” ” e Comutativa se a b = b a, ∀ a, b ∈ E.

(b) ” ” e Associativa se a (b c) = (a b) c, ∀ a,b,c ∈ E.

(c) ”” possui Elemento Neutro (ou Elemento Identidade ), denotado pore ∈ E, se a e = e a = a, ∀ a ∈ E.

(d) Se ”

” tem elemento neutro e, dizemos que os elementos de E sao simetriz´ aveis em relacao a ” ” se para todo a ∈ E existe a ∈ E talque

a a = a a = e.

O elemento a e chamado o simetrico (ou o inverso) de a.

(e) A operacao ” ” e dita Distributiva em relacao a ” ” pela direita se

(a b) c = (a c) (b c) ∀ a,b,c ∈ E,

e pela esquerda, se

c (a b) = (c a) (c b) ∀ a,b,c ∈ E.

Exemplo 2. Assim a adicao sobre Z e uma operacao que satisfaz (a), (b), (c) e(d). Ja a multiplicacao sobre Z nao possui a propriedade (d), mas satisfaz (a), (b),(c) e e distributiva a direita e a esquerda em relacao a adicao .

4.2.1 Exercıcios

Verifique se as seguintes leis definem uma operacao sobre o conjunto consideradoe em caso afirmativo quais das propriedades sao validas:

(1) Sejam A = Ø e E o conjunto de todas as funcoes de A em A. Acomposicao de funcoes define uma operacao sobre E .

(2) Seja E o conjunto de todas as funcoes de R −→ R. A adicao defuncoes

(f + g)(x) = f (x) + g(x)

define uma operacao sobre E .

(3) A subtracao em N.

(4) A subtracao em Z.

(5) A divisao em Q.

(6) A divisao em Q∗ = Q− 0.

(7) A intersecao de conjuntos definida nas partes de um conjunto A.



85 4 NUMERO

(8) A uniao de conjuntos definida nas partes de um conjunto A. Casovoce tenha afirmado que em (7) e (8) temos operacoes sobre o conjuntoconsiderado, verifique se a operacao de (7) e distributiva a esquerda e/oua direita em relacao a operacao de (8).

(9) A multiplicacao de funcoes definida no conjunto de todas as funcoes de

R em R.(10) A multiplicacao de matrizes reais quadradas.

(11) A soma de matrizes reais n × m.

4.3 Divisores

Ja vimos que a divisao nao e uma operacao em Z ja que podemos dividir uminteiro por outro e obter um numero nao inteiro. Entretanto, existem numerosinteiros a e b tais que b/a e um numero inteiro. Isto significa que existe c ∈ Z tal

que b = c a. Temos entao a seguinteDefinicao 20 Dizemos que um inteiro a divide o inteiro b, e denotamos a|b, se e somente se existe um inteiro c tal que b = c a. Se a|b dizemos tambem que b e divisıvel por a, que a e divisor ou fator de b, ou que b e m ultiplo de a.

A notacao a | b significa que a nao divide b.

4.3.1 Exercıcio

Mostre que se a= 0 entao o inteiro c acima e unico.

PropriedadesSejam a,b,c,α,β inteiros quaisquer. Entao

(i) Se a|b e a|(b + c) entao a|c.

(ii) Se a|b e a | c entao a | (b + c).

(iii) Se c|a e c|b entao c|(αa + βb).

Demonstrac˜ ao de (i): Por hipotese, existem inteiros x e y tais que

ax = b e ay = b + c.

Portantoc = ay − b = ay − ax = a(y − x),

o que implica que a|c.



86 4 NUMERO

4.3.2 Exercıcios

(1) Demonstre as propriedades (ii) e (iii) acima.

(2) Prove, por inducao , que 8 divide 32n − 1 para todo natural n ≥ 1.

(3) Prove, por inducao , que para quaisquer inteiros x e y temos que x−y

divide x

n

− y

n

para todo natural n ≥ 1. (Sugest˜ ao : Prove que P (1) everdadeira e mostre que P (n) verdadeira =⇒ P (n+1) verdadeira. Paramostrar que P (n + 1) e verdadeira escreva xn+1 − yn+1 = xnx − yny euse a hipotese de inducao para o substituir o valor de xn em xnx − ynypor uma expressao equivalente.)

(4) Mostre que para quaisquer inteiros a, b e c tem-se

(a) a|a.

(b) Se a|b e b|c entao a|c.

(c) Se a|b e a|c entao a|(b ± c).

(d) Se a|b entao (ac)

|(bc).

Note que (a) e (b) mostram que a relacao de divisibilidade ereflexiva e transitiva. Ela e simetrica?

(5) Mostre que as seguintes condicoes sobre os numeros inteiros a e bsao equivalentes

(i) a|b (ii) (−a)|b (iii) a|(−b) (iv) (−a)|(−b).

(Sugestao : Basta mostrar que (i)=⇒ (ii) =⇒ (iii) =⇒ (iv) =⇒ (i).)

(6) Se ab|ac e a = 0 entao b|c.

(7) 1|a.

(8) Se a = 0 entao a|0.

(9) Se a|b e b = 0 entao |a| ≤ |b|.

− − − − − −Ainda no ensino fundamental todos nos aprendemos a fazer a divisao de dois

numeros inteiros obtendo um quociente e um resto (ja que nem sempre a divisao eexata). Por exemplo, divindo 3857 por 285 obtemos quociente 13 e resto 152, ouainda, 3857 = 13×285 + 152.

Provavelmente nunca nos ocorreu a pergunta: sempre se consegue achar estesnumeros que chamamos de quociente e resto? A resposta e sim e e o que provaremosa seguir.



87 4 NUMERO

Teorema 5 [Teorema da Divisao de Euclides (± 300 a.C.)]Dados os inteiros a > 0 e b ≥ 0, existe um ´ unico par de inteiros q ≥ 0 e

0 ≤ r < a tais que b = qa + r.

Consequentemente r = 0 ⇐⇒ a|b.

Demonstrac˜ ao : Dividiremos a demonstracao deste teorema em duas partes: aexistencia, i.e., mostraremos que dados inteiros a > 0 e b ≥ 0 existem q e r taisque q ≥ 0, 0 ≤ r < a, com b = qa + r, e a unicidade, i.e., mostraremos que q e rsao unicos, ou ainda, se b = aq + r e b = aq + r, com q, q ≥ 0 e 0 ≤ r, r < aentao q = q e r = r.

Existencia : Usaremos a 2a forma do princıpio de inducao em b. Se b = 0 entao q =0 e r = 0 sao tais que b = 0a + 0. Seja b > 0 e suponhamos que para todo numerointeiro c com 0 ≤ c < b, se consiga encontrar numeros inteiros q 0 ≥ 0 e 0 ≤ r0 < atais que c = q 0a + b. Nos queremos mostrar que podemos escrever b = qa + r comq

≥0 e 0

≤r < a.

Se b < a entao podemos tomar q = 0 e r = b :

b = 0a + b; b < a.

Se b ≥ a entao c = b − a ≥ 0; alem disso como a > 0 entao b − a < b, logo0 ≤ c < b para c = b − a. Pela nossa hipotese de inducao , existem q 0 ≥ 0 e0 ≤ r0 < a tais que

c = q 0 a + r0.

Mas entaob = c + a = q 0a + r0 + a = (q 0 + 1)a + r0

onde q 0 + 1 ≥ 0 e 0 ≤ r0 < a. Podemos entao tomar q = q 0 + 1 e r = r0.Unicidade : Suponhamos que b = aq + r = aq + r com q, q ≥ 0 e 0 ≤ r, r < a.

Queremos mostrar que q = q e r = r. Suponhamos r ≥ r (poderıamos tambemter escolhido r ≤ r). Notemos que aq + r = aq + r =⇒ a(q − q ) = r − r. Comor − r ≥ 0 e a > 0 entao q − q ≥ 0. Tambem r − r ≤ r (ja que r ≥ 0) e r < a(hipotese), logo r − r < a e portanto a(q − q ) = r − r < a donde q − q < 1. Deq − q ≥ 0 e q − q < 1 obtemos q − q = 0, i.e., q = q . Como b = aq + r = aq + r,segue r = r e a demonstracao esta completa.

Observacao : Apesar de termos demonstrado o teorema da divisao de Euclides

somente para naturais a e b com a = 0, ele pode ser generalizado para inteiros daseguinte maneira



88 4 NUMERO

Dados os inteiros a e b com a = 0, existem e s˜ ao ´ unicos os inteiros q e r com 0 < r < |a| tais que

b = aq + r.

Os n´ umeros q e r s˜ ao respectivamente denominados quociente e resto da

divis˜ ao euclidiana de b por a.

Este teorema nos permite estabelecer o processo de representacao de um numeronatural no sistema de base a ≥ 2, que daremos a seguir.

4.4 Sistemas de Numeracao

Ha muito tempo atras o homem aprendeu que era facil contar um numero grandede objetos agrupando-os. Ainda usamos esta ideia quando dizemos uma duzia deovos para representar um grupo de 12 ovos e uma grosa para representar um grupo

de 12 duzias. Como temos 10 dedos e natural contar usando grupos de 10.Assim, o sistema numerico que nos usamos e decimal, logo tem 10 algarismos.

Alem disso e posicional, no sentido de que um numero se representa por umasequencia ordenada e finita de algarismos; o valor de um algarismo depende desua posicao . Assim 123 significa (1 × 100) + (2 × 10) + 3.

Uma vantagem do nosso sistema e que ele tem um sımbolo para o algarismozero. Usamos o zero para preencher lugares que deveriam estar vazios. A origemdo zero e incerta mas os hindus usaram um sımbolo para ele cerca de 600 d.C. oupossivelmente antes.

Nosso sistema e conhecido como hindu-arabico e foi desenvolvido na sua formafinal cerca de 500 d.C. pelos astronomos e calculistas hindus. A aritmetica hindufoi divulgada e adotada no mundo islamico por volta de 825 d.C.

O sistema posicional mais antigo conhecido na historia e o sistema sexagesimalda Babilonia (cerca de 1800 a.C.). Vestıgios da influencia babilonica sao aparentesna divisao da hora em 60 minutos, do minuto em 60 segundos e na divisao dacircunferencia em 360 graus.

Os mayas da America Central usavam (por volta de 300 a.C.) um sistema posi-cional vigesimal e eles tinham um sımbolo para o zero.

Alem da convencao e da filosofia nao existe nenhuma razao particular para seusar base 10. Os computadores, por exemplo, adotam sistemas de base 2, 4 e 16.

Como escreverıamos, p.ex., um numero na base 7? Daremos a seguir alguns

exemplos.



89 4 NUMERO

Base 10 Base 7

3

3

9

12

17

23

52 7 grupos de 7

103

Assim, se estamos agrupando de 7 em 7, 103 quer dizer 1 × 72 + 0 × 7 + 3 e 23quer dizer 2 × 7 + 3.

O resultado seguinte garante a possibilidade de representacao de um numeronatural em relacao a qualquer base a ≥ 2, ou seja, garante que dado K ∈ N,podemos escrever K de maneira unica como

K = rnan + rn−1an−1 +

· · ·+ r1a + r0, com 0

≤ri < a.

Aqui a esta cumprindo o papel de 7 nos exemplos acima ou de 10 no nosso sistemadecimal. Uma vez achados estes r

is escrevemos

K = (rnrn−1 . . . r1r0)a

e dizemos que K esta representado na base a.

Teorema 6 Fixe um natural a ≥ 2. Podemos representar qualquer inteiro b ≥ 0 na base a; i.e., b pode ser escrito de maneira ´ unica como

b = rnan

+ rn−1an−1

+ · · · + r1a + r0

com 0 ≤ ri < a para todo 0 ≤ i ≤ n.



90 4 NUMERO

Demonstrac˜ ao : Demonstraremos por inducao (2a forma) em b.O resultado e trivialmente verdadeiro para b = 0. Suponhamos que todo natural

c, tal que 0 < c < b, pode ser escrito de maneira unica como acima.Sabemos, pelo lema da divisao de Euclides, que existem q ≥ 0 e 0 ≤ r0 < a tais

que b = aq + r0 e q e r0 sao unicos. Entao q < b. De fato como a ≥ 2 (logo a > 0) eb > 0 entao

q ≥ b =⇒ aq + r0 ≥ ab + r0 =⇒ b ≥ ab + r0 =⇒ r0 ≤ (1 − a)b ≤ −b < 0,

o que e absurdo. Assim, sendo q < b, segue da nossa hipotese de inducao quepodemos escrever

q = rnan−1 + · · · + r2a + r1

com 0 ≤ ri < a unicos. Entao

b = a(rnan−1 + · · · + r2a + r1) + r0 = rnan + · · · + r2a2 + r1a + r0

com 0 ≤ ri < a ∀i = 0, 1, . . . , n . A unicidade dos r is segue da unicidade de r0 e q e

da unicidade dos ris para i ≥ 1, C.Q.D.

Observacao 1: Se b < 0, achamos a representacao de −b > 0 na base a, (rnrn−1 . . . r0)a,e escrevemos b = −(rnrn−1 . . . r0)a.

Observacao 2: Note que a prova do teorema mostra como obter a representa cao deb na base a; primeiro dividimos b por a, e depois os quocientes sucessivos, por a :

b = aq 0 + r0q = aq 1 + r1q 1 = aq 2 + r2

...

ate o ultimo quociente ser zero. Os dıgitos ris sao , entao , os restos das divisoes ,logo b = (rnrn−1 . . . r0)a.

Exemplo 3. Escrever 366 na base 2:

366 = 2 × 183 + 0183 = 2 × 91 + 191 = 2 × 45 + 145 = 2 × 22 + 122 = 2

×11 + 0

11 = 2 × 5 + 15 = 2 × 2 + 12 = 2 × 1 + 01 = 0 × 2 + 1,

366 = (101101110)2



91 4 NUMERO

O teorema acima nos permite provar, de maneira facil, alguns Criterios de Di-visibilidade.

Ha muito tempo sabemos quando um inteiro e divisıvel por 2 ou por 5, por exem-plo. Ate mesmo o criterio de divisibilidade por 3 e bastante conhecido, se bem quemuitos o vejam como algo mirabolante. Tentaremos agora justificar alguns dessescriterios.

Teorema 7 (Divisibilidade por 2) : Sejam rnrn−1 . . . r0 a express˜ ao de um n´ umerob na base 10. Ent˜ ao b e divisıvel por 2 ⇐⇒ r0 e divisıvel por 2. Em outras pala-vras um n´ umero escrito na base 10 e divisıvel por 2 se, e somente se, seu ´ ultimoalgarismo (o das unidades) e divisıvel por 2.

Demonstrac˜ ao : Temos que

b = rnrn−1 . . . r1r0 = rn10n + rn−110n−1 + · · · + r110 + r010(rn10n−1 + rn−110n−2 + · · · + r1) + r0 = 10r + r0

onde r = rn10

n−1

+ rn−110

n−2

+ · · · + r1. Assim, se 2|b, como r0 = b − 10r temos que2|r0. Reciprocramente, se 2|r0, como b = 10r + r0 temos que 2|b C.Q.D.

Teorema 8 (Divisibilidade por 3) : Sejam rnrn−1 . . . r0 a express˜ ao de um de-cimal de um n´ umero b. Ent˜ ao 3|b ⇐⇒ 3|(rn + rn−1 + · · · + r1 + r0). Em outras palavras um n´ umero escrito na base 10 e divisıvel por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos e divisıvel por 3.

Demonstrac˜ ao : Temos que

b = rn10n + rn−110n−1 + · · · + r110 + r0= rn(9 + 1)n + rn−1(9 + 1)n−1 + · · · + r1(9 + 1) + r0.

Agora,

(9 + 1)k =k

j=0

k j

9k− j = 1 + 9

k−1 j=0

k j

9k− j−1

e podemos escrever

(9 + 1)k = 1 + 9ak, onde ak =

k−1 j=0

k j

9k− j−1.

Assim

b = rn(1 + 9an) + rn−1(1 + 9an−1) + · · · + r1(1 + 9) + r0= 9(anrn + an−1rn−1 + · · · + a2r2 + r1) + (rn + rn−1 + · · · + r2 + r1 + r0).

Temos entao que

3|b ⇐⇒ 3|(rn + rn−1 + · · · + r2 + r1 + r0)

C.Q.D.



92 4 NUMERO

4.4.1 Exercıcios

1. O teorema da divisao de Euclides foi demonstrado para numeros naturais ae b com a = 0. Demonstre a seguinte generalizacao para inteiros:

Dados os inteiros a e b com a = 0, existem e sao unicos os inteiros q e r,

com 0 ≤ r < |a|, tais que b = aq + r.Sugest˜ ao :

(1a) Se a > 0 e b < 0 (logo −b > 0), entao conclua que b = −qa − r =−qa − a + a − r = a(−q − 1) + (a − r). Mostre que r := a − r satisfazas condicoes . Preencha os detalhes acima;

(2a) depois considere a < 0 e b ≥ 0; e

(3a) considere a < 0 e b < 0. Conclua que b = qa − r, onde 0 ≤ r < −a,implica que b = a(q + 1) + (−a − r) e mostre que r := −a − r satisfazas condicoes .

2. Sejam a,b,m ∈ Z, com m = 0. Mostre que se m|(b − a) entao a e btem o mesmo resto quando divididos por m. (Sugest˜ ao : Sejam r1 e r2 os restos dasdivisoes de a por m e b por m respect. Prove que m|(|r2−r1|) e que |r2−r1| < |m|).

3. Seja a ∈ Z. Mostre que a2 tem resto 0, 1 ou 4 quando dividido por 8. (Su-gest˜ ao : a = 8q + r; 0 ≤ r < 8. Calcule a2 para todos os valores possıveis de r emostre que, em cada caso, o resto da divisao de a2 por 8 so pode ser 0, 1 ou 4).

4. Sejam a, b numeros naturais com b ≥ 1 e a ≥ 2 e seja b = rkak + rk−1ak−1 +

· · ·+r1a+r0 o desenvolvimento de b na base a, com rk = 0. Mostre que ak ≤ b < ak+1

(Sugest˜ ao : inducao em k).

5. Como voce escreve o numero 983457832411 na base 1000? Como voce con-verte o numero (110011111001)2 para a base 8? Escreva o numero (103 − 1)/3 nabase 1000. Qual e maior: (98 47 82)327 ou (98 478 2)511?

6. Expresse o numero 274 nas bases 2, 5, 7 e 9.

7. Calcule (2351)

7 + (1001110)

2 −(7706)

8 + (11122)

4.

8. Estude a adicao , subtracao , multiplicacao e divisao numa base a. Note quecomo nao estudamos a taboada numa base a qualquer, temos que recorrer a taboada



93 4 NUMERO

na base 10 para efetuar estas operacoes .

9. Mostre que todo numero ımpar se escreve como a diferenca de dois quadrados.

10. Prove que o cubo de qualquer inteiro e igual a diferenca dos quadrados de

dois inteiros. (Sugest˜ ao : 13 = 12−02, 23 = 32−12, 33 = 62 −32, 43 = 102−62, . . . .Que sequencia e esta?)

11∗. Mostre que 24|(n(n2 − 1)(3n + 2)) ∀n ∈ N com n ≥ 1. (Sugest˜ ao : vejaexercıcio 16(a) da secao 4.12).

12. Para cada par de inteiros a e b dado abaixo, encontrar o quociente e o restoda divisao de Euclides de a por b.

(i) a = 59; b = 6

(ii) a = −71; b = 5

(iii) a = −48; b = −7

(iv) a = 67; b = −13

13. Dizer qual e o maior inteiro que pode ser somado ao dividendo sem alteraro quociente quando se divide 431 por 37.

14. Mostre os criterios de divisibilidade por 4, 5, 6, 8, 9 e 10.

15∗. Dado o numero a, representado na base 10 por a = rkrk−1 · · · r1r0, mostreque a e divisıvel por 7, 11 ou 13 se, e somente se, r2r1r0 − r5r4r3 + r8r7r6 − · · · edivisıvel respectivamente por 7, 11 ou 13. Por exemplo, 891345783 nao e divisıvelpor nenhum dos 3 ja que 783 - 345 + 891 = 1329 nao e divisıvel por nenhum dos 3.(Sugest˜ ao : Usar a representacao do numero na base 1000.)



94 4 NUMERO

4.5 Maximo Divisor Comum - MDC

Definicao 21 Dados dois inteiros, n˜ ao simultaneamente nulos, a e b, o inteiro ce o m aximo divisor comum de a e b, e escrevemos c = (a, b) ou c = mdc(a, b), se

(i) c > 0(ii) c|a e c|b(iii) todo divisor comum de a e b e tambem divisor de c, i.e., se d|a e d|b ent˜ ao d|c.

Proposicao 5 Dados dois inteiros, n˜ ao simultaneamente nulos, a e b, existe e e ´ unico o mdc(a, b). Alem disso, existem inteiros x e y tais que mdc(a, b) = ax + by.

Demonstrac˜ ao : Suponhamos b = 0. Pelo Teorema da divisao de Euclides ge-neralizado para os numeros inteiros, temos que

a = bq + r0, com 0 ≤ r0 < |b|.

Se r0 = 0 entao mdc(a, b) = |b| (Prove!).

Se r0 > 0 entao b = q 1r0 + r1, com 0 ≤ r1 < r0.

Se r1 = 0 entao mdc(a, b) = r0 (Prove!).

Se r1 > 0 entao r0 = q 2r1 + r2, com 0 ≤ r2 < r1.

Continuando esse processo obtemos:

a = qb + r0, 0

≤r0 <

|b

|,

b = q 1r0 + r1, 0 ≤ r1 < r0,r0 = q 2r1 + r2, 0 ≤ r2 < r1,r1 = q 3r2 + r3, 0 ≤ r3 < r2,

...rn−2 = q nrn−1 + rn, 0 ≤ rn < rn−1,rn−1 = q n+1rn.

Se rn e o ultimo resto nao nulo no algoritmo acima, o numero de passos no algoritmoe (n + 2). Note que necessariamente se chega a um resto nulo pois

|b| > r0 > r1 > r2 > · · · ≥ 0

.Para terminar a demonstracao desta proposicao basta provar o seguinte resultado



95 4 NUMERO

Seja n ∈ N, n ≥ 2. Considere a seguinte afirmativa P (n) : Se a e b = 0s˜ ao dois inteiros tais que ao se aplicar o algoritmo acima a eles, obtem-se resto zero depois de n passos ent˜ ao mdc(a, b) = r e r = ax + by para certos inteiros x e y, onde r e o ultimo resto n˜ ao nulo.

Provaremos este resultado por inducao em n. Como vimos acima P (2) e verdadeira:

Se a = qb + r0 com 0 ≤ r0 < |b| e b = q 1r0 entao mdc(a, b) = r0. Alem dissor0 = a − qb = 1.a − q.b.

Suponhamos agora que P (n) seja verdadeira e mostremos que P (n + 1) tambeme verdadeira. Sejam entao a, b = 0 dois inteiros tais que o algoritmo acima quandoaplicado a eles da resto zero depois de n + 1 passos e seja r o ultimo resto nao nulo.

Temos que a = bq + r0 e b e r0 sao tais que quando aplicamos o algoritmo acimaa eles, obtemos resto zero depois de n passos. Alem disso, o ultimo resto nao nuloe r. Como estamos supondo P (n) verdadeira temos que

r = mdc(b, r0) e r = xb + yr0.

Mas mdc(b, r0) = mdc(a, b) (prove!) e portanto mdc(a, b) = r. Alem disso,

r = xb + yr0 = xb + y(a − bq ) = ya + (x − b)q,

o que mostra que P (n + 1) e verdadeira C.Q.D.

Observacoes :

(1) P (1) nao tem sentido pois nao terıamos resto nao nulo; terıamosa = qb. Mas neste caso mdc(a, b) = |b| e |b| = 0.a ± b.

(2) A demonstracao acima e construtiva, i.e., ela nos da uma maneira de

achar o mdc(a, b).

(3) Quando mdc(a, b) = 1, dizemos que a e b s˜ ao primos entre si , ouque eles sao relativamente primos .

Exemplo 4. Calcule o mdc(37, 23) e ache inteiros x, y tais que

mdc(37, 23) = 37x + 23y.

Soluc˜ ao :37 = 1.23 + 1423 = 1.14 + 9

14 = 1.9 + 59 = 1.5 + 45 = 1.4 + 14 = 4.1 + 0



96 4 NUMERO

logo mdc(37, 23) = 1. Alem disso

1 = 5 − 1.4= 5 − 1.(9 − 1.5)= 2.5 − 1.9= 2.(14 − 1.9) − 1.9

= 2.14 − 3.9= 2.14 − 3.(23 − 1.14)= 5.14 − 3.23= 5.(37 − 23) − 3.23= 5.37 − 8.23.

Teorema 9 Sejam a e b inteiros n˜ ao nulos. Ent˜ ao

(i) c|ab e (c, b) = 1 =⇒ c|a,

(ii) (a, c) = (b, c) = 1 =⇒ (ab,c) = 1,

(iii) a

(a, b) ,

b

(a, b) = 1,

(iv) a|c e b|c =⇒ ab

(a, b)|c,

(v) a|c, b|c e (a, b) = 1 =⇒ ab|c,

Demonstrac˜ ao : Demonstraremos (i), (iii) e (iv). O resto deixaremos comoexercıcio.

(i) Como (c, b) = 1, existem inteiros x e y tais que cx + by = 1. Entao a =acx + aby. Como, por hipotese, c|ab entao c|aby. Ainda c|acx; logo c|a.

(iii) Seja d = (a, b). Entao d|a e d

|b, portanto existem inteiros a1 e b1 tais que

a = da1 e b = db1.

Tambem existem inteiros x e y tais que d = xa + yb, logo d = xda1 + ydb1 o queimplica 1 = xa1 + yb1. Note que

a1 = a

(a, b) e b1 =

b

(a, b).

Seja c = (a1, b1); queremos mostrar que c = 1. Como c = (a1, b1) entao c|xa1 e c|yb1o que implica que c|(xa1 + yb1). Como xa1 + yb1 = 1 entao c = 1.

(iv) Sejam (a, b) = d e a = a1d e b = b1d. Como a

|c e b

|c, existem inteiros x

e y tais que c = xa e c = yb; portanto xa = yb =⇒ xa1d = yb1d =⇒ a1x = b1y.Portanto b1|a1x. Como por (iii), (a1, b1) = 1, temos, por (i), que b1|x. Entao x = x1b1

e c = xa = x1b1a1d =⇒ (b1a1d)|c. Mas b1a1d = ab

(a, b).



97 4 NUMERO

4.5.1 Exercıcios

1. Encontrar, usando o algoritmo de Euclides, o m.d.c. dos seguintes pares denumeros a e b. Encontre inteiros x e y tais que ax + by = mdc(a, b).

(a) a = 542 e b = 234.

(b) a = 9652 e b = 252.(c) a = 4276 e b = 1234.

2. Mostre que, dados os inteiros nao nulos a e b, entao os inteiros x e y tais quexa + yb = mdc(a, b) nao sao unicos. Mostre que mdc(x, y) = 1. (Sugest˜ ao : Sejad = (a, b) e suponha xa + yb = d = x1a + y1b. Da equacao (x−x1)a + (y −y1)b = 0,obtenha x1 e y1 satisfazendo x1 = x e y1 = y. Note por exemplo que se x−x1 = be y−y1 = −a entao (x−x1)a+(y−y1)b = ab−ab = 0. Para mostrar que (x, y) = 1,seja c = (x, y). Agora, como d|a e d|b, entao a = a1d e b = b1d. Entao xa+yb = dimplica xa1 + yb1 = 1 (porque?). Agora mostre que c|a1x e c|b1y e conclua o re-sultado.

3. Encontrar inteiros x e y tais que

(a) 93x + 81y = 3.

(b) 43x + 128y = 1.

4. Divida 100 em duas parcelas tais que a primeira seja divisıvel por 7 e a se-gunda por 11.

Definicao 22 Um n´ umero inteiro positivo p > 1 e chamado primo se ele possui somente dois divisores positivos: p e 1. Se p > 1 n˜ ao e primo, dizemos que p e composto. Dizemos que um inteiro negativo p < −1 e primo se − p o for.

5. Mostre que se p e primo e p|ab entao p|a ou p|b.

6. Mostre que se a = pα11 pα22 · · · pαnn e b = pβ 11 pβ 22 · · · pβ nn com os pis primosdistintos e α

is ≥ 0, β is ≥ 0, entao

mdc(a, b) = pγ 11 pγ 22 · · · pγ nn

onde γ i = minαi, β i.



98 4 NUMERO

7. Sejam a e b inteiros nao nulos e m > 0 um natural. Mostre que

(ma, mb) = m(a, b).

(Sugest˜ ao : Sejam d = (a, b) e d = (ma, mb). Mostre que d|md e md|d. Paramostrar que md

|d, mostre que md

|ma e md

|mb e conclua. Para mostrar que

d|md, multiplique a equacao ax + by = d por m e mostre que d|(max + mby).Conclua).

8. Sejam a e b inteiros nao nulos tais que (a, b) = 1. Entao para todo inteirom > 0, (am, bm) = 1. (Sugest˜ ao : use a e b na forma decomposta em fatores denumeros primos)

9. Verifique se a operacao

N× N −→ N,(a, b) → mdc(a, b)

e associativa, comutativa e se tem elemento neutro.

10. Sejam a e b inteiros nao nulos. Mostre que (a+b, a−b) ≥ (a, b). (Sugest˜ ao :Sejam d = (a + b, a − b) e d = (a, b). Prove que d divide a + b e a − b, portantod|d. Conclua que d ≥ d.

11. Mostrar que se a e b sao inteiros com (a, b) = 1, entao (a + b, a− b) = 1 ou 2.(Sugest˜ ao : Seja d = (a + b, a − b). Logo a + b = k1d e a − b = k2d. Use exercıcio(7) para concluir que d(k1 + k2, k1 − k2) = 2. Conclua que d = 1 ou d = 2.)

12. Mostrar que se b|c entao (a + c, b) = (a, b). (Sugest˜ ao : Sejam d = (a + c, b)e d = (a, b). Mostre que d|a e d|b, portanto, d|d (Porque?). Para mostrar qued |d, mostre que d |c e conclua.)

13. Mostrar que (a,bc) = 1 se, e somente se, (a, b) = (a, c) = 1. (Sugest˜ ao :Note que a volta ja foi demonstrada no Teorema 9 (ii). Para provar a ida, sejamd1 = (a, b) e d2 = (a, c). Note que (a,bc) = 1 =⇒ ax + bcy = 1. Mostre queambos, d1 e d2, dividem ax + bcy).

14. Mostrar que se (a, c) = 1 entao (a,bc) = (a, b). (Sugest˜ ao : Sejam d = (a,bc)e d = (a, b). Mostre que d |a e d |bc; logo d |d. Depois mostre que d|a e d|b;logo d|d ).





100 4 NUMERO

Vamos provar que s = r e que cada pi e igual a algum q j. Como p1 divide o pro-duto q 1q 2 · · · q r ele divide pelo menos um dos fatores q j. Sem perda de generalidadespodemos supor que p1|q 1. Como sao ambos primos, isto implica p1 = q 1. Logo

n

p1= p2 · · · ps = q 2 · · · q r.

Como 1 < n/p1 < n, a hipotese de inducao nos diz que as duas fatoracoes sao identicas,i.e., s = r e, a menos da ordem, as fatoracoes p1 p2 · · · ps e q 1q 2 · · · q s sao iguaisC.Q.D.

Vemos que os numeros primos sao aqueles a partir dos quais os outros numerosnaturais sao construıdos. Por esta razao , os matematicos sao fascinados por eles.O resultado mais antigo sobre os numeros primos foi demonstrado por Euclides.

Teorema 11 Existem infinitos n´ umeros primos.

Demonstrac˜ ao : Suponhamos, por absurdo, que exista somente um numero

finito de numeros primos e sejam eles p1, p2, · · · , pN . Considere o numero

m = p1 p2 · · · pN + 1.

Como m e maior que qualquer um dos pis, m nao pode ser primo ja que todos osprimos sao p1, p2, · · · , pN .

Se m nao e primo, ele admite um divisor primo que teria de ser um dos p is. Mas

nenhum pi pode dividir m pois entao pi teria de dividir 1 tambem, ja que

1 = m − p1 p2 · · · pN C.Q.D.

Um exemplo de um problema sobre primos ainda nao resolvido e a seguinteconjetura

Existe um n´ umero infinito de primos gemeos (i.e., primos que ocorrem aos pares tais como 3 e 5, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31, etc.)

4.7 O Crivo de Eratostenes (276-194 a.C.)

O Teorema Fundamental da Aritmetica nos garante a existencia de uma fato-

rizacao para qualquer n > 1, porem o problema concreto de acha-la pode ser bastantetrabalhoso. A maneira direta de proceder e de verificar bracalmente ou pelo uso deum computador, a divisibilidade de n por inteiros m menores do que n. Realmente,e suficiente verificar a divisibilidade de n pelos primos menores ou iguais a

√ n.



101 4 NUMERO

Teorema 12 Se n n˜ ao e primo, ent˜ ao n possui, necessariamente, um fator primomenor do que ou igual a

√ n.

Demonstrac˜ ao : Sendo n composto entao n = n1.n2 onde 1 < n1 < n, 1 <n2 < n. Sem perda de generalidades vamos supor n1 ≤ n2. Logo n1 tem que sermenor ou igual a

√ n pois do contrario, terıamos n = n1

·n2 >

√ n

·

√ n = n o que

e absurdo. Logo, como pelo Teorema 10, n1 possui algum fator primo p, este desveser menor ou igual a

√ n. Como p, sendo um fator primo de n1 e tambem um fator

de n, a demonstracao esta completa.Assim, se desejarmos obter a lista de todos os primos menores que 60 devemos

excluir dentre os numeros 2 e 60 aqueles que sao multiplos de 2, 3, 5 e 7 poisestes sao os primos menores ou iguais a

√ 60. Este processo e chamado de crivo de

Erat´ ostenes.

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21

22 23

24

25

26

27

28 29

30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Logo, os primos entre 2 e 60 sao todos aqueles que nao foram eliminados peloprocesso descrito, isto e,

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.

4.8 Mınimo Multiplo Comum - MMC

Definicao 24 Dados dois inteiros, n˜ ao nulos, a e b, o inteiro c e o mınimo m ultiplocomum de a e b, e escrevemos c = [a, b] ou c = mmc(a, b), se

(i) c > 0,

(ii) a|c e b|c,

(iii) se d ∈ Z e tal que a|d e b|d ent˜ ao c|d.

Observacao : Se c = mmc(a, b) entao c e unico. Isto porque se c1 = [a, b]e c2 = [a, b], pela condicao (iii) c1|c2 e c2|c1. Mas como c1 > 0 e c2 > 0,entao c1 = c2.

Na proposicao seguinte mostraremos que o mmc(a, b) existe sempre.

Proposicao 7 mmc(a, b) = |ab|

mdc(a, b)



102 4 NUMERO

Demonstrac˜ ao : Seja d = (a, b). Entao existem inteiros a1 e b1 tais que a =a1d, b = b1d e entao

|ab|d

= |a1||b1|d = ±a|b1| = ±|a1|be temos que

a | |ab

|d e b | |ab

|d .

Seja c = [a, b]. Entao a|c e b|c. Como tambem a| |ab|d e b| |ab|d , entao pela parte (iii)

da definicao de mmc, c| |ab|d . Por outro lado, como a|c e b|c, entao pelo Teorema 9

(iv), abd|c e entao |ab|

d |c. Como |ab|

d > 0 temos que |ab|

d = c C.Q.D.

4.9 Exercıcios

1. Defina o m.d.c. e o m.m.c. de n inteiros nao nulos. Mostre que

(i) (a1, a2, . . . , an−1, an) = ((a1, a2, . . . , an−1), an)

(ii) [a1, a2, . . . , an−1, an] = [[a1, a2, . . . , an−1], an]

(iii) Existem inteiros x1, x2, . . . , xn tais que

(a1, a2, . . . , an−1, an) = x1a1 + x2a2 + . . . + xnan.

2. Mostre que se a = pα11 pα22 · · · pαnn e b = pβ 11 pβ 22 · · · pβ nn com os pis primosdistintos e α

is ≥ 0, β is ≥ 0, entao

mmc(a, b) = pγ 11 pγ 22

· · · pγ nn

onde γ i = maxαi, β i.

3. Sejam a e b inteiros nao nulos e m > 0 um natural. Mostre que

[ma, mb] = m[a, b].

4. Verifique se a operacao

N× N −→ N,(a, b)

→mmc(a, b)

e associativa, comutativa e se tem elemento neutro.



103 4 NUMERO

4.10 Equacoes Diofantinas

Comprei laranjas e macas gastando R$10,00. Sabendo que 1 kg de maca custaR$3,00 e 1 Kg de laranja, R$2,00, quantos quilos de macas e laranjas eu comprei?

Para responder esta pergunta temos que achar as solucoes inteiras positivas da

equacaox · 3 + y · 2 = 10.

Sera que esta equacao tem solucoes inteiras?

Definicao 25 Uma equac˜ ao diofantina linear (em duas vari´ aveis) e uma express ao da forma

ax + by = n

na qual a, b e n s˜ ao inteiros, a e b n˜ ao simultaneamente nulos. Uma soluc˜ ao desta equac˜ ao e um par de inteiros x0, y0 que a satisfaz.

OBS: O nome diofantina foi dado em homenagem ao matematico grego DiofantoAbaixo damos um criterio que nos permite decidir quando uma equacao diofan-

tina tem solucao .

Proposicao 8 Uma equac˜ ao diofantina ax + by = n possui soluc˜ ao se, e somente se, mdc(a, b) | n.

Demonstrac˜ ao : (=⇒) Seja (x0, y0) uma solucao de ax + by = n e seja d =mdc(a, b). Entao d|a e d|b e portanto d|(ax0 + bx0), ou seja, d|n.

(⇐=) Seja d = mdc(a, b) e suponha que d|n, i.e., existe inteiro k tal quen = kd. Mas sabemos que existem inteiros x0, y0 tais que ax0 + bx0 = d e portantoakx0 + bky0 = kd = n e entao (kx0, ky0) e solucao de ax + by = n, C.Q.D.

Proposicao 9 Considere a equac˜ ao ax + by = n onde d = mdc(a, b) divide n.Seja (x0, y0) uma soluc˜ ao desta equac˜ ao . Ent˜ ao a soluc˜ ao geral desta equac˜ ao e dada por

x = x0 + kb1y = y0 − ka1

(4.2)

onde k ∈ Z, a1 = a/d e b1 = b/d.

Demonstrac˜ ao : Mostraremos que

(i) ∀k ∈ Z, (x0 + kb, y0 − ka) e tambem solucao da equacao , e

(ii) Se (x

, y

) e solucao da equacao entao existe k ∈ Z tal quex = x0 + kb1, y = y0 − ka1,

ou seja, qualquer solucao da equacao e da forma (4.2).



104 4 NUMERO

A demonstracao de (i) e mais facil:

ax + by = a(x0 + kb1) + b(y0 − ka1)= ax0 + by0 + akb1 − bka1

= n + a1dkb1 − b1dka1

= n.

Vejamos agora a demonstracao de (ii): temos que

ax0 + by0 = n = ax + by

e portantoa(x0 − x) = b(y − y0)

oua1d(x0 − x) = b1d(y − y0)

ou ainda

a1(x0 − x

) = b1(y

− y0). (4.3)Como b1 | b1(y − y0), temos que b1 | a1(x0 − x). Como (a1, b1) = 1 (ver item (iii)do teorema (9)), temos que b1 | (x0 − x) (ver item (i) do teorema (9)). Assim,

x0 − x = k0b1

para algum k0 ∈ Z, ou seja,x = x0 − k0b1.

Fazendo k = −k0 resultax = x0 + kb1.

Mas entao , substituindo x0 − x por −kb1 na igualdade (4.3) obtemos −a1kb1 =b1(y − y0), ou −a1k = y − y0, ou ainda

y = y0 − ka1

C.Q.D.

Exemplo 5. Ache a solucao geral de 69x +111y = 9000. Ache tambem inteirosx > 0 e y > 0 satisfazendo esta equacao .

Soluc˜ ao : Dividindo a equacao por 3 obtemos a equacao equivalente

23x + 37y = 3000.

Como mdc(23, 37) = 1, existem inteiros x e y tais que 23x + 37y = 1. Vimosno exemplo 4 que tais inteiros sao -8 e 5. Assim, x1 = −8 e y1 = 5 e solucao de



105 4 NUMERO

23x+37y = 1. Como 3000(23x1+37y1) = 3000, portanto x0 = 3000·x1 = −24000 ey0 = 3000·y1 = 15000 e uma solucao particular de 23x+37y = 3000. A solucao gerale dada por

x = −24000 + 37ky = 15000 − 23k

k ∈ Z.

Uma solucao x

, y

com x

> 0 e y

> 0 e tal que−24000 + 37k > 0 e 15000 − 23k > 0,

ou seja,k > 648 e k ≤ 651.

Entao fazendo k = 649, obtemos

x = −24000 + 37 · 649 = 13 e y = 15000 − 23 · 649 = 73.

4.11 Exercıcios1. Determinar o menor inteiro positivo que tem para restos 16 e 27 quando

dividido respectivamente por 39 e 56.

2. Determinar duas fracoes positivas que tenham 13 e 17 para denominadores ecuja soma seja igual a 305/221.

3. Achar a solucao geral e uma solucao x0 > 0 e y0 > 0 da equacao

12740x + 7260y = 60.

4.12 Exercıcios Complementares

1. Se m e n sao dois inteiros ımpares entao m2 − n2 e divisıvel por 8. (Su-gest˜ ao : Substitua m = 2a + 1 e n = 2b + 1 em m2 − n2 e estude todos as 4combinacoes possıveis de a e b serem par ou ımpar.)

2. Para todo inteiro k, 4k + 3 e 5k + 4 sao primos entre si.

3. Sejam a e b inteiros tais que o produto deles e o quadrado de um inteiro.Mostre que se a e b sao primos entre si, entao a e b sao tambem quadrados deinteiros.



106 4 NUMERO

4. Mostre que 3 inteiros consecutivos nao podem ser todos primos com excecao de3, 5 e 7.

5. Sejam a e b dois inteiros com b > 0. Mostre que entre os numeros

a, a + 1, a + 2, . . . , a + b − 1

um e apenas um e divisıvel por b. (Em outras palavras, um conjunto de b inteirosconsecutivos contem exatamente um multiplo de b ).

6. Sejam a e n numeros naturais com n > 1 e a > 1. Mostre que se an − 1e primo, entao a = 2 e n e primo. (Sugest˜ ao : Decomponha an − 1 = (a −1)(an−1 + an−2 + . . . + a + 1). Para mostrar que a = 2, use o fato de an − 1 serprimo, logo um de seus fatores na decomposicao acima e igual a 1. Agora suponhaque n nao e primo, i.e., n = rs, com r,s > 1. Conclua o resultado a partir da

decomposicao 2rs − 1 = (2r − 1)(2r(s−1) + 2r(s−2) + . . . + 2r + 1)).

Observacao : Os numeros M p = 2 p − 1, onde p e primo, sao conhe-cidos por Numeros de Mersenne (1588-1648). Na sequencia dos M ps, oprimeiro numero composto tem ındice p = 11 e o maior numero primoconhecido tem ındice p = 19937.

7. Sejam a > 1 e n numeros naturais. Se an + 1 e primo entao a e par e n euma potencia de 2, i.e., n = 2m para algum inteiro positivo m.

Observacao : Os numeros F k = 22k−1 sao conhecidos por Numeros de Fermat

(1601-1665). Fermat conjeturou que F k e sempre primo. Sabe-se ho jeque F k e primo para 1 ≤ k ≤ 4 e compostos para 5 ≤ k ≤ 16 e paravarios outros ks maiores do que 16.

8. Mostre que quaisquer dois numeros de Fermat distintos F n e F m sao relati-vamente primos. (Sugest˜ ao : Teorema 1.18 de [5])

9. Existem infinitos numeros primos da forma 4n−1. (Sugest˜ ao : Teorema 1.19de [5])

10. Se a e b sao ımpares, entao a

2

+ b

2

nao pode ser um quadrado perfeito.(Sugest˜ ao : substitua a = 2t + 1 e b = 2s + 1 em a2 + b2 e mostre que a2 + b2 eda forma 4k + 2 = 2(2k + 1). Conclua que a2 + b2 e par, nao divisıvel por 4, logonao pode ser um quadrado perfeito, pois se 2|c2, entao 2|c, o que implica que 4|c2.)



107 4 NUMERO

11. Todo primo que deixa resto 1 quando dividido por 3 deixa resto 1 quandodividido por 6. (Sugest˜ ao : Use o algoritmo de Euclides nas divisoes de p por 3e por 6. Compare as duas expressoes resultantes e examine cada caso obtido pelospossıveis restos da divisao de p por 6)

12. Se p > 1 divide ( p − 1)! + 1 entao p e primo.

13. Se mdc(n, 6) = 1 entao 12|(n2 − 1).

14. Sabendo que o resto da divisao de um inteiro b por 7 e 5, calcular o restoda divisao por 7 dos seguintes numeros:

(a) −b, (b)2b, (c)3b + 7, (d)10b + 1, (e) b2 + b + 1.

15. Mostre que n3 + n e 3n(n + 1) sao pares, qualquer que seja o inteiro n.

16. Mostre por inducao que:

(a) 24|n(n2 − 1)(3n + 2). (Sugest˜ ao : Use o exercıcio 15.)

(b) 9|(10n+1 − 9n − 10), ∀ n ≥ 1.

(c) para todo n ∈ N, 32n+1 + 2n+2 e multiplo de 7 e que 32n+2 + 26n+1

e multiplo de 11.

(d) n5 − n e divisıvel por 30 para todo inteiro n.

(e) o produto de 3 inteiros consecutivos e divisıvel por 6.

17. Mostrar que se n e m sao inteiros ımpares, entao 8|(n4 + m4 − 2).



CAPITULO 5

Congruencia

Em varias situacoes os numeros inteiros nos interessam somente em relacao ao

resto que eles deixam ao serem divididos por um determinado inteiro m. Isto ocorrequando consideramos coisas que sao periodicas, que se repetem regularmente, comonos exemplos abaixo.

Exemplo 1. Sao 17 horas. Se vou fazer uma viagem, que dura com paradas epernoites, 73 horas, a que horas chegarei a meu destino?

Aqui temos uma situacao em que ha uma repeticao de 24 em 24. Assim para re-solvermos o problema somamos 17 a 73, obtendo 90 e verificamos que 90 = 24 ·3+18.Temos entao que a resposta e 18 horas. Vamos fazer tal identificacao definindo umarelacao de equivalencia sobre Z, relacao esta que colocando numa mesma classe

os inteiros que deixam o mesmo resto quando divididos por um inteiro fixado m(m = 24 no 1o exemplo, m = 12 no 2o e m = 4 no 3o).

Exemplo 2. Comprei um carro e vou paga-lo em 107 prestacoes mensais. Seestamos em marco, em qual mes terminarei de pagar o carro?

Aqui a repeticao se da de 12 em 12. Considerando a numeracao usual dos meses,temos que marco corresponde a 3. Somando 3 a 107, obtemos 110. A que mescorresponde 110? 110 corresponde a fevereiro ja que 110 = 9.12 + 2.

Exemplo 3. Seja i =√

−1. O que e i1023?

Aqui temos uma repeticao de 4 em 4. Para calcularmos i1023, basta dividir 1023por 4. Fazendo isto, obtemos resto 3. Portanto

i1023 = i255·4+3 = (i4)255 · i3 = i3 = −i.

108



109 5 CON

Entao, quando lidamos com problemas como estes, gostarıamos de nao distinguirentre numeros inteiros que deixam o mesmo resto quando divididos pelo inteiroconsiderado. Assim, no exemplo 1, gostarıamos de identificar os inteiros que deixamo mesmo resto quando divididos por 24, ou, o que e a mesma coisa, inteiros cujadiferenca e divisivel por 24. Assim, se agora sao 5 horas, daqui a 24 horas seraonovamente 5 horas. Gostarıamos entao de identificar 5 e 29. Note que 5 e 29 deixam

resto 5 quando divididos por 24 e que sua diferen ca, 29 − 5, e um multiplo de 24.Terıamos neste caso 24 tipos de inteiros: os que deixam resto 0, 1, 2, 3,..., 22, 23quando divididos por 24.

No exemplo 2 gostarıamos de identificar dois inteiros cuja diferenca e divisıvelpor 12, ou, o que e a mesma coisa, dois inteiros que deixam o mesmo resto quandodivididos por 12. Isto porque, se estamos em margo, mes 3 , daqui a 12 meses,estaremos novamente em marco. Gostarıamos de identificar 3 com 3+12=15. Noteque 15 e 3 deixam resto 3 quando divididos por 12 e que sua diferen ca, 15 − 3, edivisıvel por 12. Assim, neste caso, temos 12 tipos de inteiros: os que deixam resto0, 1, 2, ...., 11 quando divididos por 12.

No exemplo 3 gostarıamos de identificar dois imteiros que deixam o mesmo restoquando divididos por 4. Isto porque i3 = i7 = i11 = . . . . Aqui temos 4 tipos deinteiros: os que deixam resto 0,1,2 e 3 quando divididos por 4.

Definicao 26 Seja m = 0 um inteiro fixo. Dizemos que dois inteiros a e b s˜ aocongruentes modulo m, e escrevemos a ≡ b (mod m), se m | (b − a).

Exemplo 1. Seja m = 24. Temos entao 73 ≡ 1(mod24) pois 24 | (73 − 1).Tambem 90 ≡ 18(mod24) pois 24 | (90 − 18).

Exemplo 2. Seja m = 12. Entao 107 ≡ 11 (mod 12) pois 12 | (107 − 11).

Tambem 110 ≡ 2(mod12) pois 12 | (110 − 2).

Exemplo 3. Seja m = 4. Entao 1023 ≡ 3(mod4) pois 4 | (1023 − 3).

Proposicao 10 A congruencia modulo m e uma relac˜ ao de equivalencia.

Demonstrac˜ ao : devemos mostrar que a relacao congruencia modulo m e simetrica,reflexiva e transitiva:

(i) Ela e reflexiva: a ≡ a (mod m) pois a − a = 0 e m | 0.(ii) Ela e simetrica: Se a

≡ b (mod m) entao m

|(b

−a). Mas se m

|(b

−a),

temos que m | (a − b) tambem e portanto b ≡ a (mod m).(iii) Ela e transitiva: Se a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m) entao m | (b − a)

e m | (c − b). Portanto m | [(c − b) + (b − a)], ou seja, m | (c − a) e portantoa ≡ c (mod m), e a demonstracao esta completa.



110 5 CON

Observacao: Note que podemos considerar sempre m > 0 e e o que faremosdaqui para frente. Isto porque

a ≡ b (mod m) ⇐⇒ a ≡ b (mod(−m)).

Proposicao 11 a ≡ b (mod m) ⇐⇒ a e b deixam o mesmo resto quando divididos

por m.

Demonstrac˜ ao : Exercıcio.

Temos entao que a congruencia modulo m e uma relacao de equivalencia sobre Z,e portanto divide Z em classes de equivalencia. Pela ultima proposicao, dois inteirosestao na mesma classe se, e somente se, deixam o mesmo resto quando divididos porm. Assim, esta e a relacao de equivalencia que querıamos, e que identifica os inteirosque deixam o mesmo resto quando divididos por um certo inteiro m.

Assim temos a classe dos inteiros que deixam resto 0, dos que deixam resto 1,

dos que deixam resto 2, . . . , dos que deixam resto m − 1. O conjunto de todas asclasses de equivalencia modulo m sera denotada por Zm.

Exemplo 1. m = 24;

Z24 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23.

Note que 0 tem outro nome. Podemos escolher qualquer elemento de 0 pararepresentar a classe 0. Assim 0 = 24 = 48; do mesmo modo 1 = 49 = 25.Poderıamos ter escrito tambem

Z24 = 24, 49, 26, 3, 26, 5, 6, 7, . . ..Observe que se estamos considerando horas do dia, os melhores nomes para os ele-mentos de Z24 sao 0, 1, 2, . . . , 23, pois sao os numeros de 0 a 23 que designam ashoras do dia.

Exemplo 2. m = 12;

Z12 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Note que;

0 = 12 = 24, 3 = 15, etc.Poderıamos ter escrito tambem

Z12 = 12, 13, 14, 3, 4, 17, 18, 7, 8, 9, 10, 11.



111 5 CON

Se estamos considerando meses do ano, os meIhores nomes para os elementosde Z12 sao 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, pois estes sao os numeros que designam osmeses.

Exemplo 3. m = 4;

Z12 = 0, 1, 2, 3 = 4, 9, 26, 3.

Se estamos interessados em potencias de i, os melhores ”nomes” para os ele-mentos de Z4 sao 0, 1, 2 e 3, pois sabemos o que e i0, i1, i2, e i3.

Definicao 27 Um sistema completo de residuos m´ odulo m, abreviadamente SC Rm,e um conjunto de m inteiros, cada um deles representando cada classe de equi-valencia modulo m.

Exemplo 1.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23e um SC R24, assim como

24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47.

Exemplo 2. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e um SC R12 assim como

0, 13, 2, 15, 4, 17, 6, 19, 8, 21, 10, 23.

Exemplo 3. 0, 1, 2, 3 e 4, 9, 14, 7 sao exemplos de SC R4.

Voltemos agora aos nossos dois exemplos iniciais.No 1o exemplo estavamos interessados nos inteiros somente no que se refere

ao resto que eles deixam quando divididos por 24. Seria interessante entao quepudessemos trabalhar com os inteiros, neste caso, esquecendo deles como inteiros evendo-os somente como a classe de equivalencia modulo 24 a que pertencem pois aclasse de equivalencia ja nos da toda a informacao que precisamos, a saber, o restoda divisao por 24 do inteiro considerado. Neste exemplo calculamos a seguinte soma:17+73=90. Estavamos interessados em saber a que classe (mod 24) 90 pertencia.Como 90 = 18, chegamos, pois, a resposta 18 horas. Agora temos que 73 = 1e 17 + 1 = 18. Entao neste caso chegarıamos a mesma resposta se em vez de 73

considerassemos 1, outro representante da classe de 73 modulo 24. Note que isto erazoavel ja que um dia inteiro de viagem nao influi nada na hora que voce chega,isto e, a hora em que voce chega e a mesma se voce viaja 1 hora, ou 25 horas (istoe 1 dia e 1 hora), ou 73 horas (isto e, 3 dias e 1 hora). Este exemplo nos leva a



112 5 CON

perguntar se, pelo menos no que se refere a adicao, estamos interessados somentenas classes a que os inteiros pertencem, nao podemos trabalhar diretamente comelas.

Facamos mais um teste, considerando o 2o exemplo. Aqui consideramos o con-gruencia modulo 12. Tınhamos somado 3 a 105 obtendo 108. Estavamos interessadosna classe de 108 modulo 12. Mas 108 = 12 e a resposta foi dezembro. Mas terıamos

obtido a mesma resposta se a 3 somassemos 9, outro representante da classe do 105modulo 12.

Os exemplos acima nos levam a crer que podemos introduzir uma operacao deadicao em Zm . A adicao que gostarıamos de introduzir, baseados nos exemplosacima, seria:

a + b = a + b,

mas aqui surge o seguinte problema. Definir uma operacao em Zm e definir umafuncao de Zm × Zm −→ Zm. Esta funcao deve levar um par de elementos de Zm

num unico e bem definido elemento de Zm; nao pode haver nehuma ambiguidade.Mas pela regra acima parece haver certa ambiguidade. Isto porque um elemento

de Zm tem varios nomes. Assim, em Z24, como vimos acima, 73 = 1 e portanto17+ 73 e 17+ 1 devem ser o mesmo elemento de Zm. Mas aplicando a regra acimapara somar 17 + 73 obterıamos 90, e aplicando a regra acima para somar 17 + 1obtemos 18. Mas como vimos 90 = 18 e aqui nao surge problema nenhum.

Vejamos mais um exemplo: no 2o exemplo tınhamos visto que em Z12, 105 =9. Portanto aplicando a regra acima para somar 3 a 9 devemos obter o mesmoresultado que obtemos para somar estes mesmos dois elementos de Z12, com nomesdiferentes, a saber 3 e 105. E como vimos, realmente obtemos o mesmo resultado:3 + 9 = 12 e 3 + 105 = 108 = 12.

Para podermos definir a adicao em Zm segundo a regra acima, devemos mostrar

que o que acontece nos exemplos acima acontece em geral, isto e, que ao somarmosduas classes aplicando a regra acima, o resultado nao depende do nome que damosas classes, isto e, devemos mostrar o:

Teorema 13 Sejam a, a, b e b elementos de Zm. Ent˜ ao se a = a, isto e, se a ≡ a (mod m) e b = b, isto e, b ≡ b (mod m), temos que a + b = a + b, ou seja, a + b ≡ a + b (mod m).

Demonstrac˜ ao : Como a ≡ a (mod m) e b ≡ b (mod m), temos que m | (a−a)e m | (b−b). Portanto m | [(a−a)+(b−b)]. Mas (a−a)+(b−b) = (a+b)−(a+b);logo a + b = a + b (mod m) C.Q.D.

Podemos agora definir a operacao de edicao em Zm.

Definicao 28 Definimos a operac˜ ao de adic˜ ao em Zm por a + b = a + b.



113 5 CON

Observacao: O sımbolo + que aparece no 1o membro da igualdade a + b =a + b tem significado diferente do sımbolo + que aparece no 2o.

Abaixo construımos as tabelas da adicao para Z2,Z3,Z4,Z5.

Z2:+ 0 10 0 11 1 0

Observe que os elementos de 0 sao os numeros pares e os de 1 sao os Impares.O fato de 0 + 0 = 0 corresponde a par + par = par, 0 + 1 = 1 corresponde a par+ impar = impar e 1 + 1 = 0 corresponde a impar + impar = par. Tambem, pelanossa regra, 1 + 1 = 2, mas 2 = 0.

Z3 :

+ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

, Z4 :

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

, Z5 :

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

Quais as propriedades que a adicao em Zm tem? Pelas tabelas acima, parece quea adicao e comutativa pois as tabelas sao simetricas em relacao a diagonal principal.Na verdade a adicao em Zm e comutativa e isto e consequencia imediata do fato daadicao em Z o ser:

a + b = a + b = b + a = b + a.Note que a primeira igualdade se justifica pela definicao da adicao em Zm, a segundase justifica pela comutatividade da adicao em Z e a terceira pelo mesmo motivo daprimeira.

Analogamente a adicao em Zm e associativa:

a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c.

Vemos tambem que em Z2, Z3, Z4 e em Z5 a classe 0 e o elemento neutro daadicao. Mas isto e mais geral, isto e, a adicao em Zm tem elemento neutro, que e0, e o fato de 0 ser neutro e consequencia imediata de 0 ser o neutro da adicao em

Z : a + 0 = a + 0 = a = 0 + a = 0 + a.Antes de prosseguirmos vamos fazer uma mudanca de notacao que ja devıamos

ter feito ha mais tempo. No caso de a relacao de equivalencia ser a congruenciamodulo m, a classe de equivalencia do inteiro a sera denotada por [a]m e nao por



114 5 CON

a. No caso de nao se ter duvida a respeito do inteiro m ao qual estamos nosreferindo usamos somente [a].

Os elementos de Zm tem simetrico em relacao a adiao? Vemos nas tabelas acimaque a resposta e sim para m = 2, 3, 4 ou 5. Mas isto e verdade em geral? Em Z5,vemos que o simetrico de [3] e [2], e [2] = [−3]. Ainda em Z5, o simetrico de [1]e [4], e [4] = [

−1].

Em geral temos: os elementos de Zm tem simetrico em relacao a adicao. Osimetrico do elemento [a] de Zm sera denotado por −[a] e temos que

−[a] = [−a] pois [a] + [−a] = [a + (−a)] = [0]

Queremos agora definir a multiplicacao em Zm de maneira analoga a adicao,isto e, queremos ter [a].[b] = [ab]. Para isto devemos demonstrar o

Teorema 14 Sejam [a], [a], [b], [b] elementos de Zm. Se [a] = [a] e [b] = [b],ent˜ ao [ab] = [ab].

Demonstrac˜ ao :

[a] = [a] ⇒ m | (a − a)[b] = [b] ⇒ m | (b − b)

⇒ m | (a − a)b e m|(b − b)a

⇒ m | [(a−a)b + (b−b)a] ⇒ m | (ab−ab + ba−ba) ⇒ m | (ab−ab) ⇒ [ab] =[ab] C.Q.D.

Facamos as tabelas da multiplicacao em Z2, Z3, Z4 e Z5.

Z2 :x [0] [1]

[0] [0] [0][1] [0] [1]

, Z3 :

x [0] [1] [2][0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2][2] [0] [2] [1]

, Z4 :

x [0] [1] [2] [3]

[0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3][2] [0] [2] [0] [2][3] [0] [3] [2] [1]

Z5 :

x [0] [1] [2] [3] [4][0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4][2] [0] [2] [4] [1] [3][3] [0] [3] [1] [4] [2][4] [0] [4] [3] [2] [1]

A multiplicacao em Zm e comutativa, associativa e tem elemento neutro que eo [1]. E inverso? Os elementos de Zm tem inverso em relacao a multipliccao? Em



115 5 CON

Z2, [1] tem inverso. Em Z3, [1] e [2] tem inverso. Em Z4, [1] e [3] tem inverso.Em Z5 so o [0] nao tem.

Suponhamos que [a] ∈ Zm tenha inverso. Entao existe [x] ∈ Zm tal que[a][x] = [1] ⇒ [ax] = [1] ⇒ m | (ax − 1) ⇒ ax − 1 = km ⇒ ax − km = 1 ⇒(a, m) = 1 (porque?)

Portanto para que um elemento [a] de Zm tenha inverso em relacao a multi-

plicacao e necessario que (a, m) = 1. Mas aqui surge um problema. Suponha que[a] = [a]. Sera que se pode ter (a, m) = 1 e (a, m) = 1? Vamos mostrar que nao.

Suponha (a, m) = 1 e seja d = (a, m). Queremos mostrar que d = 1. Como[a] = [a] temos que a − a = km, ou seja, a = a − km. Mas d | a e d | m ⇒ d | a.Mas entao d | a e d | m e como (a, m) = 1 temos d = 1.

Agora podemos enunciar o seguinte

Teorema 15 Seja [a] ∈ Zm. Entao [a] tem inverso em relac˜ ao a multiplic˜ ao⇔ (a, m) = 1.

Demonstrac˜ ao : Uma parte (⇒

) do teorema ja foi mostrado acima. Falta mos-trar a volta (⇐). Como hipotese temos (a, m) = 1. Devemos mostrar que [a] teminverso em relacao a multiplicacao. Com efeito, (a, m) = 1 ⇒ existem inteiros xe y tais que xa + ym = 1. Portanto [xa + ym] = [1] ou [xa] + [ym] = [1]. Mas[ym] = [0] e portanto [xa] + [0] = [1], ou seja, [x][a] = 1 e [a] tem inverso C.Q.D.

Observacao : Denotaremos o inverso de [a] em relacao a multitilicacao por [a]−1.Observamos que o teorema acima nos da um algorıtmo para se achar [a]−1.

Introduzimos entao uma adicao e multiplicacao em Zm que nos permite tra-

balhar com as classes de equivalencia como a gente trabalha com numeros. Mascuidado! Nem todas as regras que sao validas para os numeros sao validas em Zm.Vejamos a lei do cancelamento. Sabemos que se a, b e x sao numeros inteiros,racionais, reais ou complexos e x = 0 entao ax = bx implica a = b.

Sejam [a], [b] e [x] = [0] elementos de Zm. Sera que [a][x] = [b][x] implica[a] = [b]? Vejamos: [a][x] = [b][x], significa que m | (ax− bx), ou seja, m | (a − b)x.Mas isto nao implica que m | (a − b). Portanto nao temos necessariamente [a] = [b].Mas se (x, m) = 1 entao de m | (a − b)x podemos concluir que m | (a − b), ou seja,que [a] = [b]. Note que se (x, m) = 1, [x] e inversıvel em Zm e poderıamos obter[a] = [b] da igualdade [a][x] = [b][x] multiplicando ambos os membros desta ultimapor [x]−1.

Vejamos agora algumas outras propriedades das congruencias modulo m.



116 5 CON

Teorema 16 (i) a ≡ b (mod m) e d | m =⇒ a ≡ b (mod d)

(ii) a ≡ b (mod r) e a ≡ b (mod s) =⇒ a ≡ b (mod mmc(r, s)).

(iii) ra ≡ rb (mod m) =⇒ a ≡ b mod( m

mdc(r, m)).

(iv) ra ≡ rb (mod rm) =⇒ a ≡ b (mod m).

Demonstrac˜ ao : Exercıcio.

Definicao 29 Chamamos Sistema Reduzido de Resıduos modulo m, (SRR)m, a um conjunto formado de todos os elementos de um (SC R)m gue s˜ ao primos com m. Isto e, um (SRR)m e um conjunto formado com um representante de cada classe de Zm que e inversıvel.

Exemplos. 1, 2, 3, 4 e um (SRR)5 assim como 6, 7, 8, 9. 1, 3, 7, 9 e um(SRR)10 assim como 1, 13, 27, 39.

Definicao 30 A func˜ ao φ de Euler de um inteiro m e o n umero de inteiros positivos menores do que m que s˜ ao primos com m.

Exemplos. φ(6) = 2, pois apenas 1 e 5 sao primos com 6 e menores do que 6.Tambem φ(10) = 4, φ(5) = 4 e φ(8) = 4.

Observacao: o numero de elementos de um (SRR)m e φ(m).

Um teorema importante e famoso em teoria dos numeros e devido a Fermat(1640). Entre outras aplicacoes, ele nos da uma maneira diferente de achar o inversomultiplicativo de um elemento nao nulo de Z

p, onde p e primo. Nos ja tınhamos

visto como achar o inverso de [a] p resolvendo-se a equacao ax + py = 1 usando oalgorıtmo de Euclides.

Teorema 17 (Teorema de Fermat) Se p e primo e a e um inteiro n ao divisıvel por p, ent˜ ao a p−1 ≡ 1(mod p).

Corolario 3 Em Z p, [a]−1 = [a p−2].

Demonstrac˜ ao : De fato, [a] [a p−2] = [a · p p−2] = [a p−1] = [1].

Exemplo. O inverso de [2]11 e [29] = [512] = [6].

Uma generalizacao do teorema de Fermat foi publicada por Leonard Euler em1747. Apresentaremos esta versao da qual o teorema de Fermat podera ser concluıdofacilmente.



117 5 CON

Teorema 18 (Teorema de Euler) Se (a, m) = 1 ent˜ ao aφ(m) ≡ 1(mod m).

Exercıcio Porque o teorema de Fermat e consequencia do teorema de Euler?

Antes de demonstrarmos o teorema de Euler daremos uma aplicacao dele.

Exemplo. Ache o resto da divisao de 1159 por 20.Como mdc(11, 20) = 1 e φ(20) = 8, pelo teorema de Euler 118 ≡ 1(mod20).

Entao [118] = [1] ⇒ [118]7 = [1] ⇒ [1156] = [1] ⇒ [1156][113] = [113] ⇒ [1159] =[113]. Mas 112 = 121 e 121 ≡ 1 (mod 20). Entao [112] = [1] ⇒ [113] = [11].Portanto [1159] = [11] ⇒ 1159 deixa resto 11 quando dividido por 20.

Demonstrac˜ ao do Teorema de Euler: Seja φ(m) = N e M 1, M 2, · · · , M N um(SRR)m com M 1, M 2, · · · , M N ⊂ 0, 1, 2, · · · , m − 1. Entao

aM 1, aM 2, · · · , , aM N e um outro (SRR)m.

Para justificar esta afirmativa temos que mostrar que

(aM i, m) = 1 ∀ i = 1, · · · , N, e que (aM i, aM j) = 1, se i = j.

Como M 1, M 2, · · · , M N e um (SRR)m, temos que (M i, m) = 1. Como porhipotese (a, m) = l, temos tambem (aM i, m) = 1 (porque?). Suponhamos queaM i ≡ aM j (mod m); logo m | a(M i − M j). Como (a, m) = 1, entao m | (M i −M j). Mas 0 < |M i − M j| < m. Obtemos assim uma contradicao, o que implicaaM i ≡ aM j (mod m). Mas se aM 1, aM 2, · · · , aM N e um (SRR)m temos que[M 1], [M 2], . . . , [M N ] = [aM 1], [aM 2], . . . [aM N ] pois ambos sao o conjunto das

classes inversıveis de Zm. Portanto

[aM 1] [aM 2] . . . [aM N ] = [M 1] [M 2] . . . [M N ],

ou seja,[aN ] [M 1 · . . . · M N ] = [M 1 · . . . · M N ][1].

Como (M i, m) = 1 ∀ i, temos tambem que (M 1 · M 2 · . . . · M N , m) = 1. Portanto[M 1 ·M 2 ·. . .·M N ] e inversıvel e, aplicando a lei do cancelamento, obtemos [aN ] = [1]ou aN ≡ 1(mod m) C.Q.D.

Teorema 19 (Teorema de Wilson) p e primo

⇔ ( p

−1)!

≡(

−1)(mod p).

Demonstrac˜ ao : Suponhamos que p e primo e vamos mostrar que ( p − 1)! ≡(−1)(mod p). Seja R = 1, 2,...,p − 1. Como p e primo, R e um (SRR).Portanto todos os elementos de [1], [2], · · · , [ p − 1] sao inversıveis. Mas quais



118 5 CON

destes elementos sao seu proprio inverso? Isto e, para quais as temos [a] [a] = [1]?Se [a][a] = [1], temos que p | (a2 − 1), ou seja, p | (a − 1)(a + 1) o que implica

p |(a − 1) ou p |(a + 1). Mas como 1 ≤ a ≤ p − 1, temos que a = 1 ou a = p − 1.Assim, os unicos elementos de [1], [2], · · · , [ p − 1] que sao seu proprio inverso sao[1] e [ p − 1]. Assim [2] [3] . . . [ p − 2] = [1] (pois [2] multiplicado por seu inversoque esta em

[3] . . . [ p

−2]

da [1], etc). Multiplicahdo os dois lados por p

−1

obtemos

[2] [3] . . . [ p − 2] [ p − 1] = [ p − 1] ou [( p − 1)!] = [ p − 1].

Mas [ p − 1] = [−1] e portanto obtemos ( p − 1)! ≡ −1(mod p).Vamos agora supor que ( p − 1)! ≡ (−1) (mod p) e provar que p e primo. Com

efeito, temos entao que p | [( p−1)!+1]. Suponhamos que p nao seja primo, i.e., que p = rs, 1 < r, s < p. Nestas condicoes r | ( p − 1)! (pois r < p =⇒ r = p − j paraalgum 1 ≤ j ≤ p−2) e r | ( p−1)!+1 (pois r e um divisor de p, e p e um divisor de( p−1)!+1 por hipotese). Logo r deve dividir a diferenca ( p−1)!+1− ( p−1)! = 1,o que e absurdo, ja que r > 1. Logo p deve ser primo C.Q.D.

5.1 Exercıcios

1. Considere Zm com as operacoes

[a] + [b] = [a + b] ,[a] · [b] = [a · b]

Mostre que

(a) a operacao de multiplicacao em Zm e comutativa, associativa e possuielemento neutro;

(b) a multiplicacao e distributiva em relacao a adicao ;

(c) os elementos abaixo sao unicos:

(c.1) o elemento neutro da adicao , [0],

(c.2) o elemento neutro da multiplicacao , [1],

(c.3) o simetrico aditivo de [a] ∈ Zm.

Definicao 31 Um anel e um conjunto R com duas operac˜ oes ” + ” e ”

·” de-

nominadas ”adic˜ ao ”e ”multiplicac˜ ao ”, respectivamente, tais que:

(i) + e comutativa, i.e., a + b = b + a ∀ a, b ∈ R,

(ii) + e associativa, i.e., (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a,b,c ∈ R,



119 5 CON

(iii) + possui elemento neutro, que e ususalmente denotado por 0, i.e.,

a + 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ R,

(iv) todo elemento de R possui um simetrico aditivo, i.e., dado a ∈ R,existe um elemento em R, que e denotado por

−a, tal que

a + (−a) = (−a) + a = 0,

(v) · e associativa, i.e., (a.b).c = a.(b.c) ∀ a,b,c ∈ R,

(vi) · e distributiva em relac˜ ao a adic˜ ao , i.e.,

a.(b + c) = a.b + a.c e (b + c).a = b.a + c.a,

para todos a, b, c ∈ R.

Dizemos que (R, +, ·) e um anel comutativo se alem das propriedades (i) a (vi)acima, temos que

· e comutativa, i.e.,

a · b = b · a ∀ a, b ∈ R.

Dizemos que (R, +, ·) e um anel com uniddade se alem das propriedades (i) a (vi) acima, temos que · posui elemento neutro, que e usualmente denotado por 1,i.e., existe 1 ∈ R tal que

a · 1 = 1 · a = a ∀ a ∈ R.

2. Verifique se os conjuntos abaixo com as operacoes usuais de soma e multi-

plicacao sao aneis comutativos com unidade:

(a) N, (b) Z, (c) Q, (d) R, (e) Zm,

(f) A = funcoes de R em R,

(g) Mn×n = matrizes reais n × n.

3. Seja (R, +, ·) um anel. Mostre que

(a) o elemento neutro da adicao e o simetrico aditivo de um elementoa ∈ R sao unicos;

(b) se R e um anel com unidade 1, entao 1 e unico;

(c) −(−a) = a;

(d) a + x = a + y =⇒ x = y;

(e) a.0 = 0.a = a.



120 5 CON

Definicao 32 Dizemos que um elemento a = 0 de um anel R e um divisor dezero, se existe b ∈ R, com b = 0, tal que a b = 0.

4. Considere o conjunto Zm.

(a) Encontre um valor de m e elementos [a], [b] ∈ Zm com [a] = [0], [b] =[0], tais que [a] [b] = [0].(b) Mostre que se [a] ∈ Zm tem inverso multiplicativo entao [a] nao eum divisor de zero.

(c) Mostre que

Zm nao possui divisores de zero ⇐⇒ m e primo.

(d) Quais dos aneis do exercıcio 2 possuem divisores de zero?

Definicao 33 Um anel (K, +, ·) e dito um corpo se alem das propriedades de (i)a (vi) da definic˜ ao 31 tambem s ao satisfeitas

(vii) · e comutativa,

(viii) · posui elemento neutro, que denotaremos usualmente por 1;

(ix) todo elemento n˜ ao nulo de K possui inverso multiplicativo, i.e., se a ∈ K, a = 0, ent˜ ao ∃ b ∈ K tal que

ab = ba = 1.

b e denotado por a−1.

Observacao : Temos entao que K e um corpo se, e somente se, K e um anel

comutativo com unidade e tal que todo elemento nao nulo possui inverso multipli-cativo.

5. Verifique quais dos conjuntos do exercıcio 2 sao corpos. De um exemplo deum anel comutativo com unidade que nao e um corpo.

6. Mostre queZm e um corpo ⇐⇒ m e primo.

7. Mostre que se K e um corpo entao

(a) K nao possui divisores de zero,(b) vale a lei do cancelamento em K, i.e.,

ax = bx e x = 0 =⇒ a = b.



121 5 CON

8. Se p e primo e α ∈ Z p e tal que α2 = α entao α = [0] ou α = [1]. Achetodos os αs tais que α2 = α em Z34.

9. Seja R um anel com unidade e sem divisores de zero. Mostre que se x ∈ Re tal que x2 = x entao x = 0 ou x = 1.

10. Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m) entao [ax + cy]m = [bx + dy]m paraquaisquer inteiros x e y.

11. a ≡ b (mod m) =⇒ an ≡ bn (mod m) para todo inteiro positivo n.

12. Seja f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 um polinomio com coeficientesinteiros. Mostre que se a ≡ b (mod m), entao f (a) ≡ f (b)(mod m).

13. Use o exercıcio 12 para mostrar que 7 divide 726

+ 725

+ 2.

14. Mostre que se n e um inteiro entao n, n + 1, n + 2, . . . , n + m − 1 e um(SC R)m.

15. Sejam [a], [b] ∈ Zm inversıveis. Mostre que

(a) [a]−1 = [b]−1 ⇐⇒ [a] = [b],

(b) ([a] [b])−1 = [a]−1[b]−1.

16. Verifique se poderıamos definir uma operacao

∗ em Zm por:

[a] ∗ [b] = [ab(b + 1)].

17. Demonstre os criterios de divisibilidade por 11 e 9 usando a notacao decongruencias.

18. Ache o menor representante positivo para as seguintes classes:

[317]7, [81119]13, [13216]9, [31071]12.

19. Ache [3]−125 .

20. De o algarismo da unidade de 319.

21. Determine o resto da divisao de 2150 por 7.



REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] DAN ARVRITZER., CRISTINA FERREIRA.- Apostila do curso de algebrapara o curso de licenciatura em matematica da UFMG, (2o. sem. de 1984) ¿

[2] Revista do Professor de Matem´ atica , 29, Publ. SBM, (30. quad. 1995), pp. 27.

[3] Revista do Professor de Matem´ atica , 15, Publ. SBM, (1989), pp. 14.

[4] BOULOS, P.; CAMARGOS, I. - Geometria Analıtica - um tratamento vetorial ,2a ed., McGraw Hill, (1986).

[5] SANTOS, J.P.L. - Introduc˜ ao a Teoria dos N´ umeros , Colecao Matematica Uni-versitaria - Publ. IMPA, Rio de Janeiro, (2003).

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