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UNIVERSIDADE TCNICA DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR TCNICO

Modelizao e caracterizao de descargas

radiofrequncia em hidrognio produzidas num

reactor de acoplamento capacitivo

Lus Silvino Alves Marques

(Mestre)

Dissertao para obteno do grau de Doutor em Fsica

Orientador:Doutor Lus Paulo da Mota Capito Lemos Alves

Co-orientador:Doutor Grard Gousset

Jri

Presidente: Reitor da Universidade Tcnica de Lisboa

Vogais: Doutor Carlos Renato de Almeida Matos Ferreira

Doutor Lus Paulo da Mota Capito Lemos Alves

Doutor Mikhail Vasilevskiy

Doutor Grard Gousset

Doutor Jacques Jolly

Doutor Thierry Belmonte

Maio 2005

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memria do Dr. Gerard Gousset

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RESUME

Le travail prsent traite de la modlisation et de la caractrisation de dcharges

radiofrquence (RF) dans lhydrogne. Le racteur utilis possde une symtrie cylindrique

et ses deux lectrodes, parallles, permettent un couplage capacitif au plasma. Dans un

premier temps, un modle bi-dimensionnel labor (qui dcrit la dynamique des lectrons et

des ions H+, H2+, H3

+ et H- dans le racteur) y est coupl de faon auto-cohrente un

modle collisionnel-radiatif homogne (qui inclut une description complte de la cintique

vibrationnelle et atomique de lhydrogne). Ltude de la dcharge y est mene sur une

gamme tendue de frquences dexcitation, de pressions du gaz et de tensions RF appliques.

Un bon accord est observ entre les prvisions du modle et les mesures exprimentales dupotentiel plasma et de la puissance lectrique couple au plasma. En ce qui concerne les

valeurs de densit lectronique et de tension dauto-polarisation, laccord nest que

qualitatif - les valeurs calcules par le modle tant sous-estimes par rapport aux rsultats

exprimentaux. Cet cart ne peut cependant pas sexpliquer compltement par le choix du

schma cintique mais plus vraisemblablement par celui de la description homogne adopte

pour le transport des neutres. Dans un deuxime temps, afin de clarifier cet aspect, un modle

hydrodynamique, exploitant les quations de Navier Stokes, y est dvelopp pour le gaz etcoupl un module de transport ractif de masse multi-composants. Ce modle innovateur

devant pouvoir tre utilis comme outil prdictif dans une optique doptimisation des

racteurs plasma pour le traitement des matriaux.

Mots-clef : Modlisation des plasmas, modle fluide, dcharge radiofrquence, modle

collisionel-radiatif, cintique vibrationnelle, hydrogne.

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RESUMO

Este trabalho apresenta a modelizao e caracterizao de uma descarga radiofrequncia emhidrognio, produzida num reactor cilndrico de eltrodos paralelos de acoplamento

capacitivo. O estudo da descarga foi feito para uma gama alargada de valores de frequncias

de excitao (13.56-80.0 MHz), presses do gs (0.2 - 6 Torr) e tenses RF aplicadas (50-

800 V), com recurso a um sofisticado modelo fluido bidimensional (que descreve a dinmica

dos electres, e dos ies H+, H2+, H3

+e H-no reactor), acoplado de forma auto-consistente a

um modelo colisional-radiativo homogneo (que inclui uma verso muito completa da

cintica vibracional e atmica do hidrognio). Verifica-se que existe um bom acordo entre as

previses do modelo e as medidas experimentais do potencial do plasma e da potncia

elctrica acoplada ao plasma. Contudo, o acordo apenas qualitativo no que se refere

densidade electrnica e tenso de autopolarizao, com o modelo a produzir valores

subestimados em relao aos experimentais. Este desacordo qualitativo depende apenas

ligeiramente do esquema cintico adoptado, mas pode talvez resultar da descrio

homognea aqui usada para o transporte de espcies neutras. Para clarificar este ponto,

desenvolveu-se um modelo hidrodinmico bidimensional para o gs neutro baseado no

sistema de equaes de Navier-Stokes que se completou com um mdulo de transporte

reactivo de massa a multicomponentes. Este modelo inovador dever integrar uma poderosa

ferramenta predictiva, que constituir uma importante mais valia na optimizao de reactores

a plasma para o processamento de materiais.

Palavras chave: Modelizao de plasmas, modelo fluido, descargas radiofrequncia, modelo

colisional-radiativo, cintica vibracional, hidrognio.

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ABSTRACT

This work presents the modelling and the characterization of capacitively-coupled radio-frequency discharges in hydrogen, produced within a cylindrical parallel-plate reactor. The

discharge characterization covered a wide range of excitation frequencies (13.56-80.0 MHz),

gas pressures (0.2 - 6 Torr) and applied RF voltages (50-800 V), and used a state of art two-

dimensional fluid model (to describe the dynamics of electrons, positive ions H+, H2+, H3

+

and negative ion H-in the reactor), self-consistently coupled to a homogeneous collisional-

radiative model for hydrogen (including a very complete kinetic scheme involving

vibrationally excited molecular species and electronically excited atomic species). There is a

good agreement between calculated results and experimental measurements for the coupled

electrical power and the plasma potential. However, model predictions for the electron

density and the self-bias voltage show only a qualitative agreement with experiment, with

calculated values understimated with respect to measurements. This qualitative disagreement

is only slightly dependent of the kinetic scheme adopted, and probably is a direct

consequence of the homogenous model describing the transport of neutral species. To clarify

this, a two-dimensional hydrodynamic gas model is developed, based on the Navier-Stokes

equation system plus a multi-component reactive mass transport module. This innovative

model is the key part of a powerful predictive tool, to be used in the optimisation of plasma

reactors for material processing.

Keywords:Plasma modelling, fluid model, radio-frequency discharges, collisional-radiative

model, vibrational kinetics, hydrogen.

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Agradecimentos

Ao Dr. Lus Lemos Alves pelo modo como perspectivou e supervisionou este trabalho,

pelas dicas e encorajamento em momentos decisivos, pela leitura minuciosa destemanuscrito, pela amizade dispensada durante estes trs anos.

Ao Dr. Grard Gousset pelo incentivo nos momentos de crise, pelas proveitosas

discusses cientficas que ajudaram a concretizar parte significativa deste trabalho, e pela

total disponibilidade em partilhar a sua vasta experincia em modelizao.

Ao Dr. Jacques Jolly pelo interesse demonstrado por este trabalho e pela

disponibilizao das vrias medidas experimentais usadas na validao do modelo,

possibilitando a estreita ligao entre modelizao e experincia.

Ao Dr. Aurel Salabas pela ajuda inicial na compreenso do modelo e amizade durante a

estadia em Lisboa.

Ao Claudiu Costin pela amizade e companheirismo, e numerosas discusses centificas

durante as estadias em Orsay.

Ao pessoal do Laboratoire de Physique des Gaz et Plasmas, em especial Dr. Jean

Bretagne e Mme. Marie Claude Richard, pelo acolhimento dispensado durante as estadias

em Frana.

A todos os colegas do Grupo de Electrnica dos Gases, e em especial ao Dr.Vasco

Guerra e ao Eng Marques Dias, pelas sugestes e ambiente de trabalho proporcionados.Aos colegas Mrio Almeida e Jorge Mendes do Departamento de Fsica da

Universidade do Minho por se terem disponibilizado a assegurar parte do meu servio

lectivo, durante o perodo de escrita da tese.

Ao meu irmo Francisco e minha cunhada Ana por me receberem em sua casa

durante as minhas estadias em Lisboa e pelo apoio dado durante estes trs anos.

Aos meus sogros pela total disponibilidade e apoio dados a mim e minha esposa e

filha durante este perodo.

minha esposa Sandra pelo seu apoio e encorajamento, por fazer de pai e me e ter

aguentado o barco durante os ltimos trs anos.Agradece-se o apoio financeiro da Fundao para a Cincia e Tecnologia (FCT) e do

FSE no mbito do III QCA, atravs da bolsa BD/ 5012/ 2001.

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NDICE

Rsum

Resumo

Abstract

Agradecimentos

ndice

1. Introduo

1.1.Aplicaes das descargas....

1.2.Modelizao de descargas...

1.3.

Apresentao da tese...

2. Modelizao de descargas radiofrequncia

2.1.Apresentao do reactor..

2.2.Descrio do modelo de descarga...

2.2.1.Equao de Boltzmann electrnica....

2.2.1.1.Desenvolvimento da FDE em gradientes de densidade...

2.2.1.2. Desenvolvimentoda FDE em harmnicas esfricas. Aproximao

clssica a dois termos da equao de Boltzmann....2.2.1.3. Equao de Boltzmann homognea e estacionria...

2.2.2.Momentos da equao de Boltzmann. Equaes de transporte de partculas

carregadas

2.2.2.1.Equaes de transporte dos ies....

2.2.2.2. Equaes de transporte dos electres

2.2.2.3. Implementao do modelo de descarga.

2.2.2.3.1.

Equaes do modelo.....2.2.2.3.2.Implementao numrica......

2.3.Modelocintico e parmetros de transporte das partculas carregadas..2.3.1.Modelocintico do gs......2.3.2.Parmetros de transporte inicos....

2.3.3.Parmetros de transporte electrnicos....

2.3.3.1. Hidrognio.

2.3.3.2. rgon.2.3.3.3.Aproximao de campo local modificada......

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3. Caracterizao de descargas radiofrequncia

3.1.Fenomenologia de descargas capacitivas RF..

3.1.1.Parmetros elctricos e correntes de descarga

3.1.2. Manuteno da descarga. Mecanismos de aquecimento e perfis de

ionizao

3.2.Caracterizao sistemtica de descargas RF em hidrognio

3.2.1.Efeito da tenso RF aplicada e da frequncia de excitao....

3.2.2.Efeito da presso de gs..

3.3.Sensibilidade dos resultados a alguns parmetros internos do modelo...

3.3.1.Parmetros numricos internos.......

3.3.2.Mobilidade do io H3+e coeficiente da reaco de converso do io

H2+......3.4.Estimativa da contribuio de termos suplementares na equao do

fluxo electrnico...

4. Modelo cintico para descargas RF em hidrognio

4.1.Cintica vibracional e atmica do hidrognio......

4.2.Modelo colisional radiativo quasi-homogneo

4.3.Influncia da cintica do hidrognio no funcionamento da descarga......

4.3.1.

Efeito da tenso RF aplicada e da frequncia de excitao........4.3.2.Efeito da presso do gs.

5. Modelo hidrodinmico para descargas RF em hidrognio

5.1.Equaes hidrodinmicas.

5.2.Transporte reactivo de massa, quantidade de movimento e energia a

multicomponentes.......

5.3.Implementao do modelo...

5.3.1.

Transporte do gs5.3.2.Transporte das espcies neutras..

5.3.3.Discretizao das equaes de Navier-Stokes. Mtodo dos

volumes finitos..

5.3.4.Soluo do sistema de equaes hidrodinmicas....

5.4.Resultados e discusso.....

Concluses

Lista de publicaesBibliografia

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Captulo 1

Introduo

Em geral, quando se fala dos estados fsicos da matria, refere-se apenas a existncia

dos trs estados que nos so mais familiares: slido, lquido e gs, por serem predominantes

no ambiente que nos rodeia. Esta sequncia de estados caracteriza-se pela crescente separao

mdia entre as molculas, e portanto pela intensidade decrescente das foras de ligao entre

elas, podendo-se efectuar a transio entre estados mediante o fornecimento de energia,

atravs da quebra dessas ligaes intermoleculares. Existe no entanto um quarto estado damatria, identificado por Sir William Crookes em 1878, ao qual Irving Langmuir em 1928

deu a designao de plasma, quando estudava descargas elctricas em misturas gasosas

contendo vapor de mercrio [Langmuir, Rogoff]. Apesar da sua predominncia no universo

(estima-se que cerca de 99% da matria do nosso universo visvel esteja no estado de plasma,

como constituinte das estrelas e do espao interestelar), a formao de plasmas naturais na

terra s ocorre em circunstncias especiais, de que os relmpagos e as auroras boreais so

bons exemplos. no entanto possvel promover a criao artificial de um plasma, fornecendo

energia (trmica, elctrica, ou de radiao) a um gs para quebrar as ligaes internas das suas

espcies neutras (tomos e/ou molculas), ionizando-as e libertando electres. Quando o nvel

de ionizao significativo, e conduz a uma alterao das propriedades elctricas do gs, diz-

se que a mistura de partculas carregadas (electres e ies) e de partculas neutras forma um

plasma, o qual electricamente quasi-neutro e reage colectivamente s foras

electromagnticas externas que se lhe apliquem.

1.1 Aplicaes das descargas

Qualquer avano tecnolgico em ltima anlise o resultado duma manipulao da

matria, estando a evoluo da humanidade intimamente associada a um domnio sobre os

materiais, desde a Idade da Pedra Biotecnologia. O ltimo sculo caracterizou-se por

avanos significativos na manipulao da matria escala microscpica, de entre os quais se

destaca aqui a capacidade de criar e de manter artificialmente o estado de plasma. Como

resultado da interaco entre partculas carregadas e partculas neutras, os plasmas oferecem

uma grande liberdade na criao de composies qumicas, que seriam impossveis de obter

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de outro modo, na gerao de radiao e na produo de partculas energticas, caractersticas

estas que esto na base da sua explorao num nmero cada vez maior de reas de actividade

e de aplicaes comerciais e industriais.

Processamento industrial [Coburn]A tecnologia dos plasmas oferece uma vasta gama de solues econmicas, seguras e

amigas do ambiente para vrias etapas de processamento industrial:

oLimpeza de superfcies, no tratamento de artefactos arqueolgicos [Veprek], ou

na remoo de contaminantes das superfcies.

oModificao de superfcies, atravs da oxidao [Friedel], nitretao [Jindal],

texturizao ou implantao inica [Conrad], a fim de modificar as propriedades

superficiais dos materiais (dureza, resistncia ao desgaste e corroso, adeso,propriedades dielctricas e magnticas, resistividade, propriedades hidrofbicas)

sem alterar as suas propriedades volumtricas.

oGravura de superfcies, na indstria electrnica [Manos].

oDeposio, de filmes finos metlicos, diamante, slicio amorfo (a-Si:H) e

microcristalino (-Si:H) [Vossen], polmeros (Teflon, PTFE) [Yasuda], etc.

oSntese qumica,principalmentede ozono que usado como agente oxidante na

indstria farmacutica, e descorante na indstria txtil [Eliasson].oSoldadura e corte de superfcies [Fauchais].

Ambiente [Eliasson]

oPurificao do ar, usando ozono como agente desodorizante.

oTratamento de gua, usando ozono para remover odores, cores, sabores e

radiao UV para esterilizao.

oTratamento de resduos industriais perigosos, como dioxinas, solventes, etc.

oReduo das emisses emveculos automveis.

oMonitorizao ambiental de poluio,por anlise espectroqumica [Blades].

Fontes de partculas e radiao

oFontes departculas, como ies [Hamilton], ou espcies atmicas.

oLasers de gs [Garscadden],He-Ne, CO2, excmeros, etc.

oLampdas de UV.

Propulso espacial [Wilbur], em satlites e futuramente em naves interplanetrias.

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Televises, atravs de micro-descargas em misturas Xe-Ne ou He-H2nos crans de

plasmas [Punset].

Energia

o

Produo de energia, a partir da fuso termonuclear controlada [Aymar].oComutadoreselctricos de corrente [Greenwood].

Biotecnologia e medicina [Laroussi, Montie]

oEsterilizao, deinstrumentos mdicos em medicina e de alimentos na indstria

alimentar.

oDescontaminao biolgica,atravs dadestruio de agentes biolgicos como

o Antrax.

Iluminao [Dakin]

As lmpadas so sem dvida a aplicao prtica predominante da Engenharia dos

Plasmas, sendo a luz por elas gerada uma das obras humanas que pode ser vista do

espao.

oLmpadas de non,usadas em painis publicitrios.

oLmpadas de sdio, que produzem luz visvel prxima do mximo de

sensibilidade do olho humano (589 nm), sendo por isso as lmpadas conhecidasde maior eficincia. So usadas sobretudo na iluminao pblica.

oLmpadas fluorescentes, que usam uma mistura gasosa de rgon e de vapor de

mercrio, a uma presso de 0.4% da presso atmosfrica. O plasma produz

radiao UV (253.7 nm) que convertida em luz visvel atravs dum

revestimento de fsforo nas paredes da lmpada.

oLmpadas de arco, que usam em geral uma mistura gasosa a alta presso, sendo

a luz visvel que emitem directamente produzida pelo plasma.

A excitao e manuteno de um plasma requer a ionizao parcial ou total das espcies

neutras (tomos e/ou molculas) de um gs. A ionizao do gs pode ser conseguida usando

radiao ionizante, campos electromagnticos fortes, ou por coliso de partculas energticas

com as espcies neutras do gs. Estas partculas energticas podem ser obtidas por via trmica,

ou produzidas pela radiao csmica e aceleradas por campos elctricos externos. Esses

campos aceleram os (poucos) electres livres existentes no gs, fornecendo-lhes uma energia

suficiente para que provoquem a ionizao das molculas e/ou tomos do gs. Os novoselectres produzidos so mais uma vez acelerados, e deste processo de multiplicao de

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electres resulta eventualmente uma avalanche electrnica e a ignio elctrica do gs. Se o

campo elctrico fr aplicado durante um perodo suficientemente longo, pode ocorrer a

multiplicao das avalanches iniciando-se uma descarga elctrica no gs. Esta descarga

mantm-se enquanto o campo estiver aplicado, independente da sua natureza: constante no

tempo, pulsado, peridico, ou produzido por ondas electromagnticas, distinguindo-se osdiferentes tipos de descargas consoante o modo de acoplamento de energia ao plasma.

Descargas DC ou RF [Chapman]

Neste tipo de descargas aplica-se directamente uma diferena de potencial [contnua

(DC) ou radiofrequncia (RF)] a dois elctrodos condutores, entre os quais se encontra

o gs, podendo estes estar em contacto directo com o plasma (DC ou RF) ou isolados

deste atravs dum dielctrico (RF). Em sistemas de radiofrequncia os dois elctrodos

funcionam como um condensador, pelo que estas fontes so normalmente designadas

por descargas RF de acoplamento capacitivo ou descargas tipo E, devido ao papel

desempenhado pelo campo elctrico externo.

Descargas inductivas (ICP) [Hopwood]

A descarga criada fazendo passar uma corrente de radiofrequncia por um solenide

com um pequeno nmero de espiras, o qual envolve o tubo de material dielctrico que

contm o gs a ionizar. A corrente de radiofrequncia d origem a um campo

magntico oscilante no interior do solenide, o qual induz um campo elctrico no

interior do contentor de gs, designando-se estas fontes por descargas RF inductivas

ou descargas tipo H. O acoplamento no no entanto puramente inductivo, pois

devido diferena de potencial existente entre o solenide e o plasma parte da

potncia RF acoplada de forma capacitiva ao plasma.

Descargas excitadas por ondas electromagnticas

Nestas descargas usada a propagao de ondas electromagnticas num plasma ou na

sua superfcie, as quais so posteriormente absorvidas pelo plasma resultando no

aquecimento dos electres e na manuteno da descarga. Existem vrias descargas que

adoptam este princpio, as quais diferem entre si no tipo de ondas electromagnticas

usadas (microondas ou ondas de radiofrequncia), e na presena ou no de um campo

magntico externo. Os tipos mais comuns so as descargas ECR (Electron Cyclotron

Resonance) [Asmussen], as descargas Helicon [Boswell], e as descargas de Onda de

Superfcie (SW) [Ferreira].

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De entre os vrios tipos de fontes a plasma apresentadas, as descargas radiofrequncia

de acoplamento capacitivo a baixas presses so hoje em dia amplamente utilizadas nas mais

variadas reas tecnolgicas e industriais, e em especial no processamento de materiais, dada a

sua versatilidade, baixa complexidade e custo de implementao, e facilidade de expanso

para processamento de grandes reas a baixas temperaturas. As descargas RF so utilizadasnas vrias etapas de processamento de superfcies, com especial destaque na deposio de

filmes finos assistida por plasma. A deposio pode ser feita por processos fsicos,

recorrendo-se evaporao ou pulverizao [Vossen] do material a depositar e respectiva

condensao no substrato posteriori, ou basear-se em processos qumicos, usando-se neste

caso o plasma para criar uma atmosfera rica em espcies quimicamente activas, por

dissociao das espcies existentes na mistura gasosa precursora, que posteriormente se

depositam na superfcie do substrato dando origem ao filme fino. Esta ltima tcnica conhecida por PECVD (Plasma Enhanced Chemical Vapor Deposition) [Reif] e tem sido

usada para depositar vrios tipos de materiais, em particular o silcio amorfo, micro ou nano

cristalino hidrogenado (a-Si:H/c-Si:H/nc-Si:H), a partir de misturas gasosas base de

hidrognio.

O silcio amorfo hidrogenado um material semicondutor com uma fotocondutividade e

uma mobilidade dos portadores de carga muito superior do silcio amorfo, devido

passivao pelo hidrognio atmico das ligaes pendentes (dangling bonds), que sofrequentes no silcio amorfo e responsveis pela sua fraca condutividade. Apesar de possuir

propriedades elctricas inferiores s do silcio cristalino, tem a vantagem de possuir um

elevado coeficiente de absoro ptica no espectro visvel, alm de poder ser uniformemente

depositado de forma bastante mais econmica em grandes superfcies, sobre uma grande

variedade de substratos tais como vidro, metais, polmeros e cermicas. Estas vantagens

estimularam a sua aplicao num grande nmero de aplicaes, tais como no fabrico de

transstores de filme fino usados nos painis de cristais lquidos a cores, de crans de matriz

activa de computadores portteis, de crans de televiso a plasma, em sensores de imagem e

de radiao (aproveitando o seu elevado coeficiente de absoro ptica), e no fabrico de

clulas solares fotovoltaicas, para o qual se prev uma expanso num futuro muito prximo.

1.2 Modelizao de descargas

O uso generalizado do processamento baseado em plasmas nas mais variadas reas e as

exigncias de competitividade enfrentadas hoje em dia pelas empresas, tm motivado a

optimizao dos equipamentos a plasma existentes, bem como o desenvolvimento de novos

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processos e aplicaes. No passado, o desenvolvimento e optimizao destes equipamentos

era feito numa base experimental por tentativa e erro, construindo e testando diferentes

dispositivos e procurando as suas condies ptimas de funcionamento, o que constitui uma

estratgia demorada e dispendiosa. A modelizao de descargas hoje correntemente usada

no projecto de processos assistidos por plasma, de forma coordenada com testesexperimentais, a fim de reduzir o nmero de iteraes de hardware necessrias e

consequentemente o tempo e os custos de desenvolvimento. Para tal so necessrias

ferramentas de simulao cada vez mais sofisticadas, capazes de descrever correctamente a

diversidade dos fenmenos fsicos e qumicos envolvidos no funcionamento dos

equipamentos reais de processamento assistido por plasma. Tais ferramentas devem ter em

conta os seguintes fenmenos:

Transporte de massa, quantidade de movimento e energia das vrias espcies

carregadas do plasma, nos campos electromagnticos resultantes do sistema externo de

alimentao e da distribuio interna de cargas e correntes;

Descrio detalhada das cinticas em fase gasosa e de superfcie das vrias espcies;

Transporte de massa, energia e radiao no reactor;

Evoluo topogrfica da superfcie nalgumas aplicaes.

Estes fenmenos esto fortemente acoplados entre si, pelo que a sua anlise requer uma

descrio auto-consistente. Alm disso, caracterizam-se pela disparidade de escalas espaciais

e temporais, sendo necessrio adoptar uma descrio multidimensional na maior parte das

aplicaes reais, dada a complexidade da geometria do reactor e a necessidade de

processamento de grandes reas. O desenvolvimento de ferramentas, que incluam todos estes

fenmenos, e que forneam um conjunto de informaes relevantes sobre o funcionamento do

reactor em tempo til, uma tarefa de enorme complexidade e ainda no totalmente

conseguida, apesar da disponibilidade actual de potentes recursos computacionais. por isso

frequente adoptarem-se modelos simplificados e que envolvem geralmente um grande nmero

de aproximaes (a nvel dimensional, na descrio dos processos cinticos, etc), com vista

obteno rpida de informaes especificas sobre o plasma de descarga.

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Actualmente, existem trs classes de modelos usados no desenvolvimento de ferramentas

de simulao para descrever de forma auto-consistente a dinmica das vrias espcies de

partculas presentes num plasma: modelos estatsticos, modelos fluido (ou hidrodinmicos), e

modelos hbridos.

Os modelos estatsticos adoptam uma descrio do transporte das partculas baseada emequaes do movimento bsicas, acoplada com o clculo de campos electromagnticos no

caso das partculas carregadas. Dentro dos modelos estatsticos, incluem-se os mtodos

baseados em partculas, como o DSMC (Direct Simulation Monte Carlo) [Bird] para as

espcies neutras e o PIC-MCC (Particle-In-Cell with Monte Carlo Collisions) [Birdsall] para

as espcies carregadas. Nestes mtodos, segue-se o movimento de um conjunto representativo

de partculas de cada espcie do plasma, que avanam no espao das configuraes e das

velocidades sob a influncia das foras aplicadas (sendo as suas trajectrias obtidas porintegrao das equaes do movimento) e das colises em que participam (cuja ocorrncia e

natureza determinada a partir de probabilidades de coliso, calculadas atravs das seces

eficazes respectivas). Nos modelos PIC calculam-se tambm os campos elctrico e magntico

mdios, atravs das equaes de Maxwell e das densidades de carga e de corrente obtidas a

partir de uma interpolao adequada da distribuio de partculas, na grelha computacional.

Os mtodos baseados em partculas permitem obter a variao espacial e temporal das

funes de distribuio das velocidades das vrias espcies, fornecendo assim uma descrioextremamente precisa do transporte das partculas. So no entanto mtodos bastante exigentes

em termos computacionais, em especial para problemas multidimensionais, sendo em geral

utilizados para baixas presses e adoptando cinticas relativamente simples. Uma vez que no

assumem quaisquer hipteses no que diz respeito ao transporte de partculas ou s suas

funes de distribuio, estes modelos so aplicveis numa gama alargada de condies de

descarga. Na classe dos modelos estatsticos incluem-se tambm os mtodos baseados na

soluo directa da equao de Boltzmann (sobretudo electrnica), tais como o esquema

convectivo [Sommerer] e o modelo de aproximao no-local [Tsendin], os quais tm a

vantagem de no introduzirem rudo no clculo das funes de distribuio das partculas.

Nos modelos fluido ou hidrodinmicos [Gogolides 92, Salabas] cada populao do

plasma identificada com um fluido, que se assume bem descrito por um conjunto de

grandezas macroscpicas densidade, velocidade mdia, energia mdia, etc, definidas

atravs de mdias sobre a respectiva funo de distribuio (momentos da funo de

distribuio). Desta forma, as equaes de Boltzmann para as vrias espcies podem ser

substitudas por uma srie infinita de equaes de conservao acopladas entre si, deduzidas a

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partir dos momentos da equao cintica [Delcroix, Shkarofsky]. A implementao deste tipo

de modelos envolve assim duas hipteses principais:

Em primeiro lugar necessrio truncar a srie infinita de equaes hidrodinmicas,

definindo o nmero de momentos a usar para cada espcie de modo a obter umadescrio razovel do comportamento do plasma. Hoje em dia um facto aceite que os

modelos fluido devem incluir trs momentos para descrever o transporte dos electres

(equaes de conservao da massa, da quantidade de movimento e da energia mdia)

e dois momentos para os ies (equaes da conservao da massa, e da quantidade de

movimento),

O conjunto de equaes hidrodinmicas definido na hiptese anterior no forma umsistema fechado, pois as equaes de conservao so escritas em termos de integrais

da funo de distribuio (desconhecida), que se podem interpretar fisicamente como

parmetros de transporte das partculas e/ou como coeficientes de reaco. Assim,

para calcular estes integrais, necessrio assumir uma funo de distribuio, o que

pode ser particularmente delicado para os electres, que normalmente no se

encontram em equilbrio termodinmico, para os quais a soluo mais simples de

adoptar uma funo de distribuio Maxwelliana no constitui uma boa aproximao.Para resolver o problema do fecho do sistema de equaes para os electres, adopta-se

em geral uma de duas aproximaes: a aproximao de campo local (ACL) ou a

aproximao de energia mdia local (AEL).

A ACLassume que os parmetros de transporte electrnicos (PTE) e os coeficientes de

reaco (CRE), calculados numa dada posio rr

e instante t, so nica e exclusivamente

funo do campo elctrico reduzido local, E( rr

,t)/N, ondeE a intensidade do campo e Na

densidade de gs (assumida uniforme). A ACL corresponde a supr que a funo de

distribuio de energia dos electres (FDEE) em ( rr

,t) a mesma que existiria num campo

elctrico reduzido uniforme igual a E( rr

,t)/N. Este equilbrio implica que a energia ganha

pelos electres do campo elctrico aplicado dissipada localmente em colises com o gs

neutro. Esta aproximao foi introduzida nos primeiros modelos de descargas [Boeuf,

Gogolides, Graves, Graves 87, Richards, Passchier] como uma tentativa para usar PTE

experimentais obtidos em descargas DC de Towsend, juntamente com CRE calculados para

diferentes valores de campo elctrico reduzido, e assim fechar o sistema de equaes

electrnicas. Esta ideia foi mais tarde alargada ao uso de PTE e CRE obtidos por integrao

8

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de seces eficazes de coliso sobre FDEEs calculadas a partir da equao de Boltzmann

electrnica (EBE), homognea e estacionria. No entanto, esta aproximao falha em geral na

regio das bainhas, onde os electres no esto em equilbrio com o campo, levando a um

aumento dos PTE e CRE junto s fronteiras da descarga.

A AELconsidera os PTE e os CRE em ( rr

,t) como uma funo exclusiva do valor localda energia mdia electrnica, cujo perfil no espao e no tempo obtido resolvendo a

respectiva equao de balano. Em termos prticos, a EBE homognea e estacionria, em

geral escrita na sua aproximao a dois termos, resolvida para diferentes valores de campo,

no gs ou na mistura gasosa em estudo. Em seguida, os resultados obtidos so usados para

construir uma tabela com os vrios PTE e CRE em funo da energia mdia electrnica. Esta

tabela usada para obter os valores dos PTE e CRE em cada ( rr

,t), a partir do valor local da

energia mdia electrnica, obtido por resoluo do modelo fluido. Apesar de inexacta, estaaproximao permite eliminar as variaes no fsicas dos PTE nas bainhas, introduzidas

quando se adopta a ACL.

Nestes modelos fluido, as equaes hidrodinmicas so resolvidas de forma acoplada

com as equaes de Maxwell, obtendo-se uma descrio auto-consistente da descarga. A

grande vantagem destes modelos o facto de serem pouco exigentes em termos

computacionais, quando comparados com um modelo estatstico equivalente, sendo por isso

os modelos mais utilizados na anlise de processos assistidos por plasma. Dado o conjunto dehipteses assumidas, a validade e a preciso dos resultados obtidos deve sempre ser

confrontada com medidas experimentais e/ou com resultados de modelos estatsticos

equivalentes.

Os modelos hbridos tentam associar uma descrio detalhada do plasma (como a

fornecida pelos modelos estatsticos), a uma reduo da exigncia computacional. Estes

modelos combinam em geral um modelo fluido auto-consistente com um mtodo de Monte

Carlo (MC), onde se usa o perfil fluido do campo elctrico para calcular os PTE e os CRE

[Sommerer 92]. Desta forma possvel reduzir o nmero de partculas no MC, desde que se

garanta a obteno de PTE e CRE estatisticamente aceitveis. Por sua vez, o MC fornece ao

modelo fluido um conjunto de PTE e CRE que so calculados preservando o carcter de no

equilbrio da cintica dos electres. Outros modelos deste gnero combinam a aproximao

no-local para os electres com um modelo fluido para os ies [Kortshagen], ou distinguem

entre dois grupos de electres [Fiala]: um primeiro grupo que engloba a maioria dos electres

do volume (e que tratado adoptando um modelo fluido), e um segundo grupo formado pela

pequena fraco de electres aquecida pelo campo das bainhas (e que descrito usando um

mtodo de Monte Carlo).

9

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1.3 Apresentao da tese

Neste trabalho, realiza-se a modelizao de uma descarga radiofrequncia em

hidrognio puro produzida num reactor cilndrico de elctrodos paralelos de acoplamento

capacitivo. O estudo que aqui se apresenta cobre uma gama alargada de condies de

operao da descarga em frequncia, presso de gs e tenso aplicada, sendo os resultados do

modelo para a densidade electrnica, tenso de auto-polarizao, potencial do plasma, e

potncia elctrica acoplada ao plasma, validados por comparao com dados experimentais

obtidos no reactor. O estudo da fenomenologia tpica de descargas radiofrequncia em

hidrognio puro revela-se de grande interesse, pois estas descargas desempenham um papel

fundamental na produo escala industrial de filmes finos de silcio hidrogenado, cuja

procura crescente se tem acentuado com a sua utilizao num nmero cada vez maior de

aplicaes.

O captulo 2 apresenta o modelo terico auto-consistente usado na descrio da descarga,

sendo igualmente discutidas as vrias hipteses assumidas na sua formulao. Trata-se de um

modelo hidrodinmico, cuja originalidade est na obteno das equaes macroscpicas de

transporte dos electres e ies a partir dos momentos das respectivas equaes de Boltzmann,

escritas numa forma consistente com a utilizada no clculo dos parmetros de transporte. O

modelo testado para dois gases, rgon e hidrognio, sendo apresentada a sua cintica, bem

como os parmetros de transporte e os coeficientes de reaco electrnicos usados nasequaes macroscpicas. Em seguida, apresentado um mtodo inovador utilizado no clculo

dos PTE e CRE no hidrognio, o qual envolve a resoluo da equao de Boltzmann

electrnica, com incluso da produo de electres secundrios, numa malha de energia a

passo varivel. Por fim so apresentadas as dificuldades encontradas ao implementar-se o

modelo no rgon, bem como algumas solues ensaiadas para as ultrapassar.

No captulo 3 feita a caracterizao da descarga RF de acoplamento capacitivo em

hidrognio puro, em funo da tenso RF aplicada, da frequncia de excitao e da presso dogs, usando o modelo apresentado no captulo anterior. Inicialmente dado nfase

fenomenologia base deste tipo de descargas, comparando-se em seguida os resultados do

modelo, obtidos adoptando uma verso simplificada da cintica do hidrognio, com medidas

experimentais de vrios parmetros da descarga, em funo da tenso aplicada, da frequncia

de excitao e da presso do gs. Conclui-se este captulo com um estudo da sensibilidade dos

resultados do modelo variao de diversos parmetros numricos e internos da descarga,

sendo ainda apresentada uma estimativa da contribuio de termos suplementares que foram

desprezados na forma aqui adoptada para as equaes de transporte dos electres.

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No captulo 4 desenvolve-se um modelo colisional-radiativo homogneo e estacionrio

para o hidrognio, que inclui as espcies moleculares excitadas vibracionalmente e as espcies

atmicas excitadas electronicamente, o qual acoplado de forma auto-consistente ao modelo

de transporte das partculas carregadas e equao de Boltzmann electrnica, homognea e

estacionria (escrita na aproximao clssica a dois termos), com o objectivo fundamental declarificar o papel desempenhado pela cintica do hidrognio no funcionamento da descarga. A

concluir o captulo, comparam-se as previses deste modelo hbrido (que inclui uma verso

completa da cintica do hidrognio), com medidas experimentais e com os resultados do

modelo quando se adopta a cintica simplificada do hidrognio, para vrias presses,

frequncias de excitao e tenses RF aplicadas.

No captulo 5 desenvolve-se um modelo hidrodinmico bidimensional para o gs,

baseado no sistema de equaes de Navier-Stokes que se completa com um mdulo detransporte reactivo de massa a multicomponentes. Este modelo inovador, no quadro da

modelizao de plasmas de descarga, constitui o primeiro passo na construo de uma

poderosa ferramenta predictiva que dever acoplar, de forma auto-consistente, a descrio

bidimensional do transporte e da cintica de espcies neutras e carregadas no reactor.

Esta ferramenta, cuja produo final est fora do mbito desta tese, poder vir a

constituir uma importante mais-valia em termos da optimizao de reactores a plasma para o

processamento de materiais.

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Captulo 2

Modelizao de descargas radiofrequncia

As descargas em gases a baixa presso so a forma mais usual de criao dos plasmas

usados no processamento de materiais. Essas descargas so produzidas mediante a aplicao

de campos elctricos (contnuos ou de radiofrequncia) e/ou magnticos ao gs ou mistura

de gases, a fim de provocar a sua fragmentao com a consequente criao de espcies

electricamente carregadas (via ionizao, attachment, etc) e/ou de espcies qumicas activas

(via recombinao, detachment, dissociao, etc), que iro posteriormente interagir entre si

em volume ou com as paredes expostas ao plasma. Uma das vantagens das descargas de

radiofrequncia (RF) a sua grande versatilidade, pois podem ser utilizadas no processamento

de materiais dielctricos ou condutores, ao contrrio das descargas DC que s podem ser

usadas com condutores. As descargas RF so por isso muito populares em ambiente

industrial, como por exemplo na indstria dos semicondutores na qual foram introduzidas nos

anos 70, sendo hoje em dia indispensveis nos processos de gravura e deposio assistida por

plasma (Plasma Enhanced Chemical Vapor Deposition, PECVD).

Inicialmente, a utilizao deste tipo de tecnologia apoiava-se numa larga base de

conhecimentos empricos, sendo a sua optimizao feita por meio de processos de tentativa e

erro. Dada a complexidade e importncia crescente dos sistemas de processamento por

plasma, a sua optimizao e o desenvolvimento de novos processos requer hoje um

conhecimento cientfico aprofundado dos mecanismos fsicos e qumicos envolvidos nestes

sistemas. Tal pode ser feito de forma eficiente recorrendo a modelos matemticos que

descrevam as principais interaces fsico-qumicas presentes nos plasmas de descarga. Os

modelos de descargas em gases comearam a ser desenvolvidos no incio do sculo XX

(tendo os primeiros modelos numricos surgido em 1940), e descreviam de forma elementar

a fenomenologia base dos plasmas de descarga [Townsend, Morton, Ward]. No entanto,

devido complexidade dos sistemas em estudo, s recentemente que muitos aspectos do

comportamento das descargas comearam a ser bem compreendidos, atravs no s do

desenvolvimento de inmeros modelos numricos sofisticados (cujo tratamento agora

possvel mediante recurso a meios informticos cada vez mais aperfeioados), mas tambm

estimulado pelo uso crescente de sistemas de processamento a plasma na indstria.

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Neste captulo comearemos por apresentar o reactor de plasma que motivou esta tese,

no qual foram realizadas as medidas experimentais dos vrios parmetros de descarga

apresentados neste trabalho.

Em seguida ser descrito o modelo numrico usado neste estudo, sendo discutidas as

vrias hipteses que esto na base da sua formulao e apresentada, de uma forma breve, a

sua implementao numrica.

Por fim ser abordado o problema do clculo dos parmetros de transporte electrnicos

no hidrognio e as dificuldades encontradas com a utilizao do modelo no rgon, bem como

algumas solues ensaiadas para as ultrapassar.

2.1

Apresentao do reactorA montagem experimental do reactor em que se baseia este trabalho est representada

na figura 2.1, encontrando-se actualmente instalada no Laboratoire de Physique et

Technologie des Plasmas (LPTP), Palaiseau, France. A cmara de descarga est inspirada nos

planos da Clula de Referncia da Gaseous Electronics Conference (GEC), a qual usada

como configurao standard em muitos estudos, quer experimentais, quer de modelizao. A

clula GEC adoptada um reactor de elctrodos paralelos, com geometria cilndrica, cujo

dimetro de 12.4 cm e a distncia entre elctrodos de 3 cm, sendo o elctrodo superior em

alumnio e as restantes superfcies da cmara em ao inoxidvel. A clula GEC foi modificada

de modo a satisfazer os requisitos necessrios realizao de depsitos de filmes finos de

qualidade. Em particular, incluram-se elementos de aquecimento para controlar a temperatura

do substrato, e introduziram-se um contra elctrodo e uma grelha metlica lateral massa,

destinados a confinar o plasma regio entre os elctrodos e a conhecer com preciso a

densidade de potncia efectivamente acoplada ao plasma. A injeco dos gases no reactor

feita pelo elctrodo superior atravs duma estrutura tipo chuveiro (showerhead), de modo a

garantir uma boa uniformidade do plasma criado. A par de todas estas modificaes foram

adicionadas vrias janelas cmara, para permitir a instalao de diversos meios de

diagnstico do plasma.

A potncia radiofrequncia aplicada ao elctrodo superior, estando as restantes

paredes da cmara massa. O acoplamento elctrico entre o gerador RF e o reactor de tipo

capacitivo, sendo a adaptao de impedncia feita por intermdio de um adaptador em L,

formado por um condensador de capacidade varivel (C1), em paralelo com umaassociao srie duma bobine com um segundo condensador varivel (C2). Como resultado

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Gs

PLASMA

Elctrodo RFContra-Elctrodo

Espectrmetro de massa

124 mm

30 mm100 m

Portasubstratos

aquecido

Grelha deconfinamento

C1 C2

BombaTurbo

BombaTurboEspectrometria

de massaHIDEN EQP 300

BombaPrimria

BombaTurbo

Adaptador

DiagnsticosLIF, CARS

MedioVrfe Vdc

Gases

GeradorRF

Figura 2.1 Esquema do reactor em estudo

14

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do acoplamento capacitivo, e do facto da rea total massa ser superior do elctrodo RF, a

descarga produzida electricamente assimtrica, o que conduz ao desenvolvimento de uma

tenso de auto-polarizao no elctrodo RF devido acumulao no circuito externo de carga

elctrica proveniente da descarga.

2.2 Descrio do modelo de descarga

A descrio microscpica dum plasma de descarga pode ser feita recorrendo Mecnica

Estatstica [Nicholson, Balescu, Hwang], sendo cada partcula do plasma considerada como

pontual e possuindo uma posio rr

e uma velocidade wr

bem definidas. Para definir o estado

do sistema suposto conhecer com preciso o movimento individual de todas as suas

partculas em cada instante de tempo, o que alis corresponde ao mximo de informao que

se consegue obter do sistema. Em geral, no necessrio uma descrio to detalhada, sendo

suficiente conhecer a funo de distribuio ),,( twrf rr

das partculas do sistema, definida tal

que wdrdtwrfdN rrrr 33),,( = representa o nmero de partculas que, no instante t, se

encontram no interior do volume elementar wdrd rr 33 ,localizado em torno da posio ),( wr

rr

do espao de fases, e verificando portanto as seguintes condies de normalizao

)(),,(33

tNwdrdtwrf = rrrr

(2.1a)

),(),,( 3 trnwdtwrf rrrr

= . (2.1b)

Nestas equaes,N(t) onmero total de partculas que, no instante de tempo t, se encontra

em todo o espao de fases considerado e ),( trn r

a densidade de partculas, na posio rr

do

espao das configuraes e, no instante t.

Num plasma coexistem vrias espcies de partculas (electres, ies, neutros), pelo que

o conhecimento da funo de distribuio de cada populao determinante para a descrio

precisa das propriedades do sistema. Em princpio, o comportamento de cada uma das

espcies j de partculas num plasma pode ser descrito atravs da correspondente equao

cintica de Boltzmann. A equao de Boltzmann (EB) uma equao de continuidade no

espao de fases ),( wr rr

, que descreve a evoluo no espao e no tempo da funo de

distribuio , devido existncia de gradientes espaciais, aco das foras

electromagnticas aplicadas e ao efeito dos processos colisionais em que as partculas daespciejparticipam

),,( twrfjrr

15

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col

jj

j

jj

t

f

w

f

m

X

r

fw

t

f

=

+

+

r

r

rr j

. (2.2)

Nesta equao, ),,( twrfjrr

a funo de distribuio das partculas da espciej; mj a massa

dessas partculas; ( )BwEqX jrrrr

+=j representa as foras exteriores que actuam sobre as

partculas da espcie j, sendo qj a sua carga eEr

eBr

os campos elctrico e magntico locais.

Por simplicidade, vamos assumir doravante que os campos externos so unicamente do tipo

elctrico, i.e que .EqX jrr

=j

Frequentemente, as funes de distribuio das vrias espcies desviam-se da

distribuio de equilbrio Maxwelliana, e nestas circunstncias o sistema diz-se fora de

equilbrio. No caso de um plasma, os electres so mais leves que as outras espcies e

recebem por isso a maior parte da energia do campo. Por outro lado tm maior dificuldade em

perder a energia adquirida por colises com as outras espcies: as colises elsticas electro-

neutro, apesar de frequentes, so pouco eficientes na transferncia de energia (devido s

diferenas de massa entre os electres e os neutros), e embora o inverso se passe com as

colises inelsticas electro-neutro e electro-io, elas so pouco frequentes nos plasmas

fracamente ionizados. Por isso, os electres tm em geral uma energia mdia mais elevada,

comparativamente com a das outras espcies, e a sua funo de distribuio na maior parte

das vezes tpica duma situao de no-equilbrio. Nestas condies, para obter a funo de

distribuio dos electres (FDE) necessrio resolver a EB correspondente. Por outro lado, a

eficincia da transferncia de energia nas colises io-neutro, combinada com o facto dos ies

terem uma energia mdia muito menor que a dos electres, permite assumir que a funo de

distribuio dos ies uma Maxwelliana temperatura do gs.

A soluo completa da EB electrnica requer uma representao do plasma num espao

a sete dimenses, o que constitui uma tarefa de enorme complexidade e s possvel

por via numrica. O problema torna-se ainda mais complexo se tentarmos uma soluo auto-

consistente, que envolve o acoplamento da EB com a equao de Poisson para o clculo do

campo de carga de espao, associado separao de carga que decorre do transporte das

partculas carregadas. Tal nvel de detalhe desnecessrio na maior parte das aplicaes,

podendo o problema ser consideravelmente simplificado se resolvido num espao , ao

adoptar-se a aproximao hidrodinmica para descrever o plasma. Esta aproximao

representa cada populao de partculas do plasma como um fluido, caracterizado em termos

de grandezas macroscpicas acessveis experimentalmente, tais como: densidade, velocidade

),,( twr rr

),( trr

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mdia e energia mdia. Estas grandezas so definidas como mdias sobre a funo de

distribuio (os chamados momentos da funo de distribuio), sendo a sua evoluo no

espao e no tempo descrita respectivamente pelas equaes de conservao da massa,

quantidade de movimento e energia, deduzidas a partir do clculo dos momentos da equao

de Boltzmann.

Neste trabalho adoptamos a aproximao de momentos da EB para descrever o plasma,

devido no s simplificao do problema de transporte, mas tambm a uma maior

proximidade em relao informao disponvel experimentalmente, com vista a uma

validao do modelo. No entanto, esta aproximao levanta um problema que necessrio

resolver. As equaes de conservao das partculas do plasma so escritas em termos de

grandezas macroscpicas, as quais s se podem calcular depois de obtidas as funes de

distribuio dessas partculas, resolvendo a EB correspondente ou impondo uma funo de

distribuio conhecida. Para quebrar este ciclo seguiu-se a seguinte abordagem:

Deduo das equaes de conservao macroscpicas, calculando os momentos da EB.

Determinao de funes de distribuio, resolvendo a EB homognea e estacionria no

caso dos electres, ou impondo uma distribuio Maxwelliana no caso dos ies.

Fecho do sistema de equaes de conservao para cada espcie, usando a informaosobre as funes de distribuio obtidas.

2.2.1 Equao de Boltzmann electrnica.

Os electres so por excelncia a populao do plasma que se encontra fora de

equilbrio, o que levanta o problema do clculo da sua funo de distribuio, . Tal

pode ser feito resolvendo a equao de Boltzmann para os electres (EBE), o que constitui

por si s uma tarefa muito complexa e exigente em termos computacionais. Em geral, a

modificao da FDE devido aco dos processos de difuso ou do campo elctrico externo

traduz-se apenas num pequeno desvio em relao ao seu estado de equilbrio, o que sugere a

utilizao de um mtodo perturbativo para resolver a EBE. A tcnica consiste em expandir a

FDE numa srie de funes (truncada a um nmero mximo de termos), que uma vez inserida

na EBE conduz a um sistema de equaes cuja resoluo permite determinar os coeficientes

da srie. No caso dos electres, os desenvolvimentos em srie mais usuais so a expanso em

harmnicas esfricas no espao das velocidades e a expanso em gradientes de densidade.

),,( twrferr

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2.2.1.1Desenvolvimento da FDE em gradientes de densidade

Neste tipo de expanso assume-se que, depois de um intervalo de tempo

suficientemente longo, o gs de electres se encontra num regime de transporte estacionrio

(regime hidrodinmico), em que a evoluo da densidade obedece seguinte equao com

coeficientes constantes

0),()(0

=

=

trnt

e

j

j

rr(j) , (2.3)

sendo as constantes coeficientes de transporte tensoriais de ordemj. Quando truncada

segunda ordem, obtemos uma equao de difuso

(j)

),(),(),(

),(

trntrntrnWt

trn

eee

e rrrrrrr

r

=+

:D , (2.4)

em que podemos identificar (1)=Wr

como a velocidade de deriva, como o tensor

de difuso e como a frequncia efectiva de ionizao.

(2)D =

(0)=

No regime hidrodinmico, a dependncia espacial e temporal da FDE um funcional da

densidade electrnica , ou seja [Kumar, Lin, Pitchford]),( trner

),,()()(

...),(:)(),()(),()(),,(

0

)(

)2()1()0(

trnw

trnwtrnwFtrnwFtwrf

e

j

j

j

e

eeeeeee

rrr

rrrrrrrrrrrr

=

++=

=

F

F

(2.5)

onde as funes so tensores de ordem j, sujeitas s seguintes condies de

normalizao obtidas usando as equaes (2.1)

)()(

wj

e

rF

.j,w)dw(F

w(w)dF

r,t)dw,r(fN)w(F

(j)

e

)(

e

e

)(

e

00

10

10

==

=

rr

r

rrrr

(2.6)

Substituindo (2.3) e (2.5) na equao de Boltzmann (2.2), e agrupando os termos com a

mesma dependncia em , obtemos a seguinte hierarquia de equaes cinticasj)(

r

,0

0

)()1()(

)0()0(

=

=

=

kwJ

w

FFJw

j

jk

e

k

e

k

e

ee

FFFk

(j)

(0)

rr

r

rr

(2.7a)

(2.7b)

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onde r

representa o termo de aceleraoem

Eer

(eo mdulo da carga do electro) e J o termo

de coliso

col

j

t

f

da equao de Boltzmann electrnica. Resolvendo estas equaes

sucessivamente [comeando por (2.7a)] obtemos os coeficientes da expanso (2.5). Em geral,

para resolver estas equaes feita a expanso das )()(

wk

e

rF usando funes de Burnett [Lin,

Kumar], funes de Bessel modificadas [Wannier], ou harmnicas esfricas juntamente com

B-splines [Pitchford].

As expresses para os coeficientes de transporte obtm-se integrando as equaes

(2.7a-b) em

(j)

wr

, e usando as condies de normalizao (2.6). Separando a contribuio

conservativa (J

C

) e reactiva (J

R

) no termo de coliso,J=J

C

+ J

R

, obtemos

.0,)(

)(

)()1(

)0(

+=

=

kwdJwdw

wdFJ

k

e

Rk

e

e

R

FF(k)

(0)

rrr

r

(2.8)

Nota-se que os coeficientes de transporte tm em conta a criao/perda de partculas.

Assim, para se calcular o coeficiente de transporte de ordem k necessrio resolver as

equaes (2.7b) at ordem k, para obter )()( wker

F . Como os coeficientes de transporte

disponveis experimentalmente so no mximo de segunda ordem, para o seu clculo basta

fazer a expanso da FDE em gradientes de densidade at ordem 2, se se incluir a

ionizao/attachment, ou at ordem 1 se os efeitos da ionizao/attachment forem

negligenciveis.

Este tipo de expanso pode ser visto como a aplicao, a um gs de electres-neutros,

do mtodo de Chapman-Enskog (CE) usado na descrio do transporte de um gs neutro

[Chapman, Breznotits]. Este mtodo permite obter uma classe de solues da equao de

Boltzmann que depende da posio rr

e do tempo t por intermdio de grandezas

hidrodinmicas (densidade, velocidade mdia, energia do gs) e dos seus gradientes espaciais

sucessivos, dizendo-se neste caso que o gs est num regime hidrodinmico. Na aplicao do

mtodo CE a um gs de electres-neutros, admite-se que a FDE depende apenas de um dos

invariantes colisionais: a densidade. O regime hidrodinmico s vlido se os gradientes

temporais e espaciais forem pequenos.

19

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2.2.1.2Desenvolvimento da FDE em harmnicas esfricas. Aproximao clssica a dois

termos da equao de Boltzmann

O desenvolvimento em harmnicas esfricas consiste numa expanso local (na posio

r

r

e no instante t) da FDE numa srie de funes esfricas dependentes da orientao, noespao da velocidades, do vector velocidade em relao direco da anisotropia total do

sistema.

Figura 2.2 Sistema referencial no espao das velocidades

Usando uma representao em coordenadas esfricas para o espao das velocidades

(figura 2.2) temos

Em geral faz-se coincidir a direco da anisotropia total (que corresponde ao eixo de

expanso ) com a direco do vector velocidadeaanisotropier

zwr

(zwe

r), e uma vez que existe

simetria cilndrica em torno de , a FDE independente da coordenada azimutal do

espao das velocidades. Deste modo podemos desenvolver a funo de distribuio

aanisotropier

),,,( twrfe r

em termos de ,usando polinmios de Legendre [Lorentz, Allis, Delcroix]

zwer

ywer

zwer

wr

wr

= (w,,)

),,,,(),,( twrftwrf ee = rrr

....cos),,(),,(

)(cos),,(),,,,(

10

0

++=

=

=

twrftwrf

Ptwrftwrf

ee

l

l

l

ee

rr

rr

(2.9)

Assumindo que as seguintes condies se verificam

O livre percurso mdio electro-neutro, e, muito menor que a dimenso tpica, L,

do plasma;

A energia absorvida do campo por um electro, entre duas colises, muito menor

que a energia mdia de agitao trmica da populao electrnica,

20

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29/190

ento as anisotropias devidas aos gradientes espaciais e ao campo so pequenas e a expanso

(2.9) converge rapidamente, pelo que suficiente usar apenas os dois primeiros termos desta

srie para representar a FDE

. ),,(),,(

cos),,(),,(),,(

10

10

twrfw

wtwrf

w

wtwrftwrftwrf

ee

eee

rrr

r

rrrr

+

+

(2.10)

A expresso (2.10) corresponde ao desenvolvimento a dois termos ou desenvolvimento de

pequenas anisotropias da FDE, onde ),,(0 twrfe

rpode ser interpretada como a parte isotrpica

da FDE, enquanto aanisotropiee etwrftwrf rrrr

),,(),,( 11 representa o chamado vector 1 anisotropia.

Introduzindo a FDE (2.10) na equao de Boltzmann (2.2), e igualando os termos

semelhantes na dependncia angular [Allis, Ginsburg, Cherrington], obtemos a chamada

aproximao clssica a dois termos para a equao de Boltzmann, e que consiste numa

equao escalar para a parte isotrpica da FDE, ,0

ef

),,(),,(),(3

1),,(

3

),,( 012

10

twrCtwrftrEwm

e

wwtwrf

w

t

twrfe

e

ere rr

rrrrrrr

=

+

2

e num e

(2.11)

1fr

a equao vectorial para a primeira anisotropia, ,

),,(),,(

),(),,(),,( 1

00

1

twrCw

twrftrE

m

etwrfw

t

twrf e

e

ere r

rr

rrrrrr

=

+

, (2.12)

correspondendo C eC0 1

raos dois primeiros termos da expanso em polinmios de Legendre

do operador de coliso da EBE

)(cos),,(),,,( =

l

le Ptwrtwrt

f rrC

0 =lcol. (2.13)

o-se por

isso desprezar o seu efeito no operador de coliso da equao de Boltzmann, ou seja,

Num plasma fracamente ionizado, as colises electro-electro (e-e) e electro-io (e-i)

so em geral muito menos frequentes do que as colises electro-neutro (e-n), podend

21

7/25/2019 tese-IST

30/190

ne

e

ne

e

ie

e

ee

e

col

e

t

f

t

f

t

f

t

f

t

f

+

+

=

.

As colises e-n correspondem a colises binrias, locais e instantneas, dos electres

com os tomos do gs, o qual se considera em equilbrio com as paredes que o rodeiam,

condies, os diferentes processos de coliso electro-neutro podem ser descritos por um

conjunto de operadores, funo da energia electrnica

apresentando uma distribuio de velocidade ra Tg. Nestass Maxwelliana temperatu

2

2mw

= , expressa em eV. Assim,

depois de renorm

u

alizar a FDE em energia de acordo com

10),,(4),,( ,lduuturfdwwtwrf ee = 2 ll rr

, (2.14)

os da expanso em srie do operador colisional da EBE podem representar-se

at

os term

ravs de uma soma de vrios processos

[ ]),,(),,(),,(),,(4

),,( turIturSturJturRm

e

mtwrC lllleel

rrrrr+++

10,l= , (2.15)

onde ,

elstico de excitao, superelstico de desexcitao e de ionizao, respectivamente.

os so definidos como:

2e

llll ,,, ISJR so os coeficientes da expanso dos operadores de coliso elstico,

in

No caso da componente isotrpica,0

C , os vrios term

Operador colisional elstico [Cowling, Allis, Delcroix]

+ ueumumM ee

+

turfTk

turfuueNm

turR egB

ece ),,(),,()(

22),,(

002

rrr

, (2.16a)

por colises elsticas com e isotrpica da FDE

ribuio Maxwelliana

ondeM a massa de cada tomo (ou molcula) do gs; kB a constante de Boltzmann; Tg a

temperatura do gs em Kelvin; )(uc a seco eficaz de coliso elstica e-n para a

transferncia da quantidade de movimento e N a densidade do gs neutro. Os dois termos

deste operador contabilizam, respectivamente, as perdas e os ganhos de energia dos electres

tender, atravs dessas uma dist temperatura T

os neutros, e traduz o facto da component

colises, para g, num

22

7/25/2019 tese-IST

31/190

tempo caracterstico )(1 uvmM e + , onde

2m c

e

ecc meuuNuv /2)()( = a frequncia de

coliso elstica e-npara a transferncia da quantidade de movimento.

Operadores colisionais inelstico de excitao/superelstico de desexcitao [Delcroix,

Ginsburg, Holstein]

[ ] +++ eqppqepqqppqp turfuutVurfVuVuN

N

m

e

u

NturJ ),,()(),,()()(

2),,( 00

rrr

>p pqe

(2.16b)

[ ]

pqp

epq turfuvturJ,

11 ),,()(),,( rrrr

;

7/25/2019 tese-IST

34/190

Com o operador de coliso escrito em funo da energia,

equao de Boltzmann para os electres (2.11) (2.13) num espao

conveniente reescrever a

,,( urr

, utilizando a

renormalizao em energia (2.14) e as expresses (2.16a-f) e (2.17) apresentadas para os

)t

operadores colisionais

),,(),,(),

),,(),(3

21),,(

3

2),,( 110

turIturSt

turftrEu

m

e

uuturf

u

m

e

t

turfe

e

er

e

e

rrrr

rrrrrrr

,(),,( urJturR

r

++

+

+=

),,()(),(

),(2

),,(2),,( 1

00

1

turfuvu

turftrE

m

euturf

m

eu

t

turfe

eff

ce

e

er

e

e rr,

rrrrr

rr

=

+

,

(2.18a)

(2.18b)

com a condio de normalizao

).,(),,(0

trnduuturf ee0 rr =

(2.18c)

Da anlise de (2.18b) podem

de densidade destruda pelas colises electrnicas com uma frequncia veff

c ,

a frequncia de relaxao da parte isotrpica (frequncia de relaxao da energia)

aproximadamente igual a

os ver que anisotropia criada pelo campo e pelos gradientes

)(u . Por sua vez

++

p

I

p

pqp

pq

pqp

pq uvuvuv

M

)()()(,,

. Assim,

excepto em situaes em que as colises inelsticas so dominantes, temos )()( uvuv eeff

c >> ,

ento dum equilbrio

isotr

onstante no

tempo (regime DC), podemos simplificar a EBE eliminando todas as dependncias temporais

ecundrios e tratar a

a de equaes

+ ce

e uvm

uv )(2

)(

concluindo-se assim que as colises so mais eficazes no estabelecim

pico do que um equilbrio termodinmico.

2.2.1.3Equao de Boltzmann electrnica homognea e estacionria

O sistema de equaes (2.18a-b) pode ser simplificado em alguns casos especiais.

Supondo que a nica anisotropia a criada pelo campo e que este uniforme e c

e espaciais, o que implica tambm ignorar a presena de electres s

ionizao como um processo inelstico de excitao. Nestas condies, o sistem

(2.18a-b) reduz-se equao de Boltzmann electrnica homognea e estacionria

26

7/25/2019 tese-IST

35/190

[

],)()())()()()()(

()()(

)(3

2

uFuuVu

uFuuVuFVuVu

VuFVuVu

duedumMduudu

d

N

E

eppI

I

q

p

q

p pq

q

epq

q

ppqp

ec

+

+

+++=

+

>

nde

()()(

)()()

)()()(

2)(1 2

FVuVu

uFuu

udFTkuFuu

dmudFu

epIppI

pqepqepqppq

eppq

egB

ecee

eff

++

+

+

7/25/2019 tese-IST

40/190

enquanto que o termo =

tt

n

col

1)(

d conta das transferncias de energia nos

wdf

mw r32

2

processos colisionais.

No caso dos electres, o fluxo total de energia Qr

pode-se escrever numa forma

semelhante do fluxo de partculas (2.31). Comearemos por assumir que a energia trmica

uito superior energia dirigida vth m , tendo-se para a energia cintica mdia th ~ .

Supondo que a presso cintica populao de electres obedece

a uma distribuio de equilbrio com temperatura Te, tal que

escalar e isotrpica, e que a

=3

2

e

Tk eB , o tensor presso

cintica escreve-se .II~P32 = enp Finalmente, o vector fluxo de energia trmica pode-se

aproximar pela lei de Fourier =

rr

eTKq 32

, onde eTK o coeficiente electrnico de

condutividade trmica dado por eeT DnK e )2/5(= [Golant]. O fluxo total de energia escreve-

e assim [utilizando tambm a equao (2.31)]s

eeee nDEnD

nqnPqQ

=

+++++rrr

ee

eethee

n

rrrrrrr

35

35

35

2()(

vvv

ou

)( = ee nDEn

3 v

rrr, (2.34)

onde e D so respectivamente os coeficientes de mobilidade e de difuso para o

ansporte de energia mdia dos electres, definidos comotr

e5

e3

eDD3

5 . (2.35)

As equaes de transporte (2.27), (2.30) e (2.33) esto escritas em funo das grandezas

macroscpicas (2.26a-c), do tensor de presso cintica P e do fluxo total de energia Qr

, no

formando um conjunto completo e fechado de equaes capaz de descrever o comportamento

macroscpico dum plasma, de forma auto-consistente. Com efeito, cada uma destas equaes

encontra-se sempre acoplada equao de momento de ordem superior, pelo que a soluo

para este problema requer a introduo de condies de fecho adequadas para cada espcie de

partculas, por exemplo definidas atravs da imposio de hipteses simplificativas nas

expresses de algumas das grandezas macroscpicas a calcular.

32

7/25/2019 tese-IST

41/190

2.2.2.1Equaes de transporte dos ies

Os ies, devido sua inrcia, no respondem imediatamente s oscilaes rpidas do

xplica porque motivo a energia mdia dos ies bastante inferior dos electres. Como por

bastante eficiente, podemos

este modo, para descrever o

transporte dos ies suficien omentos da equao de

Boltzmann para cada uma das espcies inicas i, o que corresponde s seguintes equaes.

campo (sendo pouco acelerados por este) o que, combinado com o facto da transferncia de

energia entre electres e ies ser bastante ineficiente, por causa da diferena de massas,

e

outro lado a transferncia de energia entre ies e neutros

assumir que a funo de distribuio inica (FDI) uma Maxwelliana temperatura do gs,

i.e, que a energia mdia dos ies igual do gs neutro. D

te considerar apenas os dois primeiros m

Equao de continuidade (cf 2.27)

i

i St

n rr=+

i ,

(2.36)

onde iinvrr

i o fluxo inico e ii vnS i representa a taxa lquida de criao de ies devido

, c i

Eq

Assumindo que os ies na temperatura do

gs, o seu tensor de presso cintica escreve-se como [Hwang]

aos diversos processos cinticos no plasma om v a respectiva frequncia lquida de criao.

uao de transporte da quantidade de movimento (cf 2.30)

seguem uma funo de distribuio Maxwellia

Ipwnm == ))(( vv w iiiir vvr

P ,

comp =n k T . Substituindo este resultado na equao (2.30) obtemos a equao de transportei i B g

da quantidade de movimento para os ies

)()( iciiiiiiiii vvnmpEent

nm +=

+

vvv

v vrrvrv nii v

(2.37)

( para ies positivos/negativos), ondeni

cv

frequncia mdia total de co para a

transferncia da quantidade de movimento.

O fluxo inico pode ser escrito na aproximao de deriva e difuso(cf2.31)

liso i-n

ii

eff

iiii nN

N

N

EnNn =

rDr

r (r ))( vi ,

(2.38)

33

7/25/2019 tese-IST

42/190

onde se introduziu o campo elctrico efectivo effiEr

par a i, sendo Nia a espcie inic e NDi

os respectivos coeficientes reduzidos de mobilidade e de difuso. O significado fsico do

campo eff

i

Er

pode ser entendido derivando (2.38) em ordem ao tempo, assum

coeficientes de difuso, mobilidade e que o gradiente relativo a densidad variam

lentam ite escrever

indo que os

d e inica

ente, o que perm

t

NEN

t

eff

ii

i

)/()(

rrv

.(2.39)

A partir da equao (2.39), conclui-se que effiEr

define o campo elctrico com o qual a

espcie inica iest em equilbrio (recorde-se que s ies, devido sua in podemreagir instantaneamente s variaes do campo elctrico externo).

o rcia, no

A equao que descreve a evoluo no espao e no tempo de effiEr

obtm-se, assumindo

pequenos gradientes relativos de temperatura inica ( iiii nnTT

7/25/2019 tese-IST

43/190

plasma que se encontra fora de equilbrio, sendo necessrio calcular a sua funo de

distribuio resolvendo a correspondente equao de Boltzmann, ou uma aproximao desta

m a

es esp de

densidade ) so pequenas, podemos usar o desenvolvimento a dois termos da FDE (cf 2.10)

espao das velocidades. Nesse caso, atendendo s relaes de ortogonalidade dos

polin

ais adequada ao tratamento numrico. Assumindo que as anisotropias que afectam

populao electrnica (devido aco do campo elctrico e dos gradient aciais

no

mios de Legendre, os valores mdios (2.25) de grandezas istropas (por ex.

etcmw ,, 2211= ) no espao das velocidades so efectuados apenas sobre a parte isotrpica da

FDE

),(

),,(,

),(

),,(),(

),( trn

duuturfm

eur

trn

dwwtwrfwr

tr

e

ee

r

rr

r

rr

r

0

20

2

4

=

,

(2.41)

enquanto que os valores mdios de grandezas proporcionais a wr

(por ex. wwr rr),(= ), no

espao das velocidades, seefectuam sobre a primeira anisotropia da FDE

),(

3),,(

),(

3),(

1

trn

duturfm

trntr

e

e

rr

= .(2.42)

Dado que os electres tm uma energia mdia muito superior das restantes espcies

dade de movimento e da energia [cf. (2.27),

(2.30)

mos aqui a aproximao clssica a dois termos da EBE [cf. 2.18 (a)-(b)],

a sua parte isotrpica contm o respeitante ao balano de partculas e

potncia electrnicas, en ra a primeira anisotropia permite conhecer o

ergias

2,

24),,(),( 31

ueur

m

edwwtwrfwr

ee

rrrrrr

r

do pla descrever correctamente o sporte necessrio recorrer s equaes

de conservao do nmero de partculas, da quanti

sma, para seu tran

e (2.33)] do gs de electres, correspondentes aos trs primeiros momentos da EBE.

Uma vez que adopta

toda a informa

quanto que a equao pa

modo como se processa o transporte dos electres no plasma.

A equao de continuidade electrnica obtm-se integrando directamente a equao

para a parte isotrpica [2.18 (a)] no espao das en

ee

e St

n=+

rr

,(2.43)

nde nvo eerr

o fluxo electrnico e vnSe iee = a taxa lquida de criao de electres

devido aos vrios processos cinticos no plasma.

35

7/25/2019 tese-IST

44/190

Para obter o fluxo electrnico vamos assumir a condio de transporte electrnico em

regime estacionrio

11

)( eeff

ce fuvt

f rr

7/25/2019 tese-IST

45/190

os coeficientes de transp e (2.46) - (2.48), so dados por

[Alves]

orte e de reaco, nas equaes (2.43)

Energia mdia electrnica

=

0

2

3

),,( duuturF r

;(2.51)

Coeficiente de reaco electro-neutro

= 0 )(),,( uduuturFmN je

2evj r

(2.52)

onde )(uj a seco eficaz de coliso e-n correspondente ao processo reaccional;

Mobilidade electrnica

= 0 )(3 duuumN effe ),,(21 turFue

ce

r

;

(2.53a)

Coeficiente de difuso electrnico

=

0),,(

)(

2

3

1duturF

u

u

m

e

ND

eff

ce

e

r

;

(2.53b)

Mobilidade electrnica para o trans rgiaporte de ene

=

2

2

3

),,(

),,(

3

duuturF

du

turFu

mN er

0 )(21 uue eff

c

r

;

(2.54a)

0

Coeficiente de difuso electrnico para o transporte de energia

=

0

0

2

2

3

),,(

),,()(2

3

1

duuturF

duturFu

u

m

e

ND

eff

c

er

r

,

(2.54b)

Coeficiente de dissipao de energia em colises e-n

+=

N

S

N

SNnS inelelase

+=

0

2 ),,(),,()(22

duu

turF

e

TkturFuu

m

e

M

m

N

S gBelas

e

eelas

rr

,

=j

j

jinel

N

vV

N

S

(2.55)

onde Vj a energia de excitao do estado neutroj.

37

7/25/2019 tese-IST

46/190

Os parmetros de transporte electrn

reaco (CRE) (2.5

icos (PTE) (2.53)-(2.54) e os coeficientes de

2) e (2.55) desempenham um papel fundamental nas equaes de

transporte electrnic ica o esf ente os seus perfis

espaciais e temporais. De facto, ariem significa te

no espao e no tempo, dada a elevada mobilidade dos electres. O clculo dos seus perfis

pode

.

Uma

as, o que justif oro em calcular correctam

de esperar que estes parmetros v tivamen

ser feito atravs de um cdigo Monte-Carlo multidimensional e dependente do tempo

[Sommerer 92], acoplado ao modelo fluido, muito embora esta aproximao hbrida seja

bastante exigente em termos numricos. A fim de evitar a utilizao desta abordagem, os

coeficientes de transporte foram aqui definidos em termos de uma FDEE, separando-se a

contribuio da densidade electrnica, mas mantendo a sua dependncia no espao e no

tempo. O problema resume-se ento determinao da FDEE para calcular os PTE e CRE

hiptese possvel utilizar uma FDEE Maxwelliana de equilbrio temperatura Te, tal

que 3

2=

e

Tk eB , obtendo-se no caso especial duma frequncia constante de coliso para a

transferncia da quantidade de movimento ( eff

c

eff

c vv = ) as seguintes expresses para os PTE

[cf. (2.32) e (3.35)]

eff

ce

evm

e

3

5

3

5 == e eff

ce

eBe

vm

TkDD

3

5

3

5 == . (2.56)

Muitos modelos de descargas [Richards, Bouef, Graves] adoptam verses de equilbrio

para os parmetros de transporte e respectivos fluxos electrnicos [(2.31)-(2.32), (2.34)-

(2.35), (2.56)], as quais parecem favorecer a estabilidade e a convergncia numrica desses

modelos. As consequncias desta aproximao so a eliminao do de difuso trmica

a perda da descrio dum transporte de no equilbrio, contida nas expresses (2.52)-(2.55).

O presente modelo foi desenvolvido [Salabas, Salabas 03] para corrigir osconstrangimentos associados verso de equilbrio das equaes de transporte electrnicas.

Assim, estas equaes foram aqui obtidas calculando os m da EBE (escrita

FDEE dependente do espao e do tempo. Esta pode ser deduzida resolvendo a EBE

homognea e estacionria, na sua aproximao a dois termos (2.21)-(2.22) para vrios valores

de campo elctrico. No entanto, a FDEE assim obtida no fornece de forma explcita uma

informao de natureza espacio-temporal, pelo que para obviar este problema tm sido usadas

duas condies de fecho para a cintica electrnica: a aproximao de campo elctrico local

termo

(associado aos gradientes de temperatura) das equaes do fluxo de partculas e de energia, e

aproximao a dois termos), e os PTE e os vrios CRE foram definidos como integrais sobre a

omentos na sua

38

7/25/2019 tese-IST

47/190

(ACL) e a aproximao de energia mdia local(AEL). A ACLassume que os PTE e CRE,

calculados numa dada posio rr

e tempo t, so uma funo exclusiva do campo elctrico

reduzido local NtrE ),(rr

, assumindo-se assim que a FDEE em ),( trr

seria a mesma que

existiria num campo elctrico reduzido e uniforme igual a NtrE ),(rr

.Nesta situao de

equilbrio com o campo elctrico aplicado a energia ganha pelos electres do campo

dissipada localmente por colises com o gs, o que corresponde a ignorar na equao de

energia electrnica (2.47) os po

t

ne)( e de transporte ( )rr

termos de derivada no tem .

Esta ap

coliso so

roximao seguramente vlida a altas presses, situao em que as frequncias de

suficientemente elevadas para justificar um equilbrio local com o campo

elctrico reduzido, e em regies de descarga caracterizadas por campos uniformes e variando

lentamente no tempo. Nas bainhas de descargas RF, por exemplo, o campo elctrico no

uniforme e varia rapidamente no tempo, o que significa que os PTE e os CRE podem no

estar em equilbrio com esse campo. De facto a ACL conduz a resultados no fsicos nas

bainhas de descarga levando a um aumento dos PTE e do coeficiente de ionizao nestas

regies, pelo que muitos autores impem um conjunto de PTE constantes nas bainhas como

soluo prtica para o problema.

Na AEL [Nienhuis, Salabas] assume-se que a dependncia espacial e temporal da

FDEE, bem como dos PTE e CRE, introduzida atravs do valor local da energia mdia

electrnica, cujo perfil no espao e no tempo obtido resolvendo a equao de energia

electrnica (2.47), ou seja

)),(,(),,( truFturF rr= .

Nesta aproximao, os perfis espacio-temporais dos PTE e CRE podem ser calculados

da seguinte forma. Em primeiro lugar, a EBE homognea e estacionria [na sua aproximao

ou mistura gasosa em estudo. Em seguida, os resultados obtidos so usados para construir

uma tabela com os vrios PTE e CRE em funo da energia mdia electrnica. Finalmente,

obtm-se o perfil espacial e temporal da energia mdia electrnica a partir das equaes de

transporte, o qual depois usado para obter

a dois termos (2.21)-(2.22)] resolvida para diferentes valores de campo elctrico para o gs

os perfis dos PTE e CRE por interpolao dos

result

ra valores muito elevados de energia, violando a aproximao a dois termos.

Esta limitao pode ser atenuada adoptando uma EBE dependente do tempo, que permite o

ados da tabela anterior. Apesar de inexacta, esta aproximao permite eliminar as

variaes no fsicas verificadas com a ACL para os PTE nas bainhas, desde que a EBE no

seja resolvida pa

39

7/25/2019 tese-IST

48/190

crescimento da densidade electrnica lquida devido ao processo de ionizao [Yoshida] (ver

sec

e

o 2.3.2). Neste caso, a energia de ionizao disponvel distribui-se entre os electres

difundido e secundrio, com a consequente reduo de intensidade na cauda da funo de

distribuio e na anisotropia electrnica. Uma alternativa a este procedimento consiste em

usar a EBE homognea e estacionria para campos elctricos que garantam a condio de

pequenas anisotropias [(E/N) 10-15

Vcm2 ou 10 20eV], adoptando-se para energias

mdias superiores uma Maxwelliana temperatura T, tal que 2

=Tk eB . O valor de para a

3e

dia

a dos PTE obtid BE cruza os correspondentes PTE

calcu a Maxwelliana [Salabas 03].

ara completar a descrio do transporte dos electres falta apenas definir os vrios

processos cintico o e perda el o 2.3), iro calcular

os PTE e CRE.

2.2.2. Implementao do modelo de descarga

zona do reactor (figura 2.1) q modelizar resume-se ao volume entre os

elctrodos e a grelha de confinamento latera Dada a simetria do reactor, o domnio de

simulao pode ser restringido a metade do volume e a uma descrio a duas dimenses, o

que corresponde ao r relha lateral (r=R) eos elctrodos superior e inferior (z=0 e z=d respectivamente), conforme ilustrado na figura

2.3. O circuito externo aqui representado pelo condensador de bloqueio CB, que impe o

t

nio de simulao

transio depende do gs ou mistura gasosa, escolhendo-se em geral o valor de energia m

para o qual a maiori os atravs da E

lados com

P

s de cria ectrnicos (sec os quais permit

3

A ue interessa

l.

ectngulo delimitado pelo eixo da descarga (r=0), a g

acoplamen o capacitivo.

Eixo da

r = 0 r= 6.2 cm

descarga

Grelha deconfinamento

z= 3.0 cm

Plasma

CB

Elctrodo RFGerador

RF

Substrato

z= 0

Plasma

~

Figura 2.3 Representao do dom

40

7/25/2019 tese-IST

49/190

2.2.2.3.1 E

A din na descarga RF descrita pelas respectivas

equaes de transporte, acopladas com a equao de Poisson e com a equao de balano da

energia m rtculas escrevem-se em funo de parmetros de

transporte reduzidos densidade total de gs

),(/),(),( zrTkzrpzrN gB= coordenadas cilndricas (r,,z),

assumindo-se a existncia de simetria azimutal devido a configurao do reactor.

O trans

da quantidad

primeiros mo sua aproximao a dois termos), sendo escritas como

qua elo

mica das partculas carregadas

es do mod

dia electrnica. Os fluxos de pa

, calculados em relao

. As equaes escrevem-se em

porte lectr descrito usando as equaes de continuidade, transferncia

e de movimento e balano da ene trnica, obtidas atravs dos trs

mentos da EBE (na

dos e es

rgia mdia elec

Equao de continuidade [cf. (2.43)]

e

eee Szr

r

rt

nzr =

+

+

)(1,

(2.57)

onde ),,( tzrqe

a componente q=r,zdo fluxo electrnico e ),,( tzrSe a taxa

Fluxo electrnico [cf. (2.46)]

lquida o de electres.de cria

[ ]q

nNN

nN eeeeeq =))( q , (2.58)

nde N e ND so os coeficientes reduzidos de mobilidade e difuso

electrnicos, amente, e ),,)(/( tzrNE a componente q=r,zdo campo

elctrico reduzido.

NDE (1

o e e

respectiv q

Equao de balano da energia mdia local [cf. (2.47) e (2.48)]

SEzrrt

e

)(1)(

zrrne =

+

+

vr,

(2.59)

onde ),,( tzrS dia electrnica, por un e

volume, dissipada em colises elsticas e inelsticas com o gs neutro, eq

, a

omponente q=r,zdo fluxo de energia dada por

representa a taxa de energia m idade d

c

[ ]q

nN e

= )( q ,nND

NN

Ee

)(1q

(2.60)

41

7/25/2019 tese-IST

50/190

onde N e D de mobilidade e de difuso

electrnicos para o tran

Para o

respectiva equao de Boltzmann, correspondendo s equaes de continuidade e de

transferncia

quao de continuidade [cf. (2.36)]

N so os coeficientes reduzidos

sporte de energia.

trans do s consideram-se apenas os dois primeiros momentos da

da quantidade de mo s como

porte s ie

vimento, escrita

E

ii S

zr

r

rt

n=

+

+

zr ii

)(1,

(2.61)

onde ),,( tzr componente q=r,z do fluxo da espcie inica i e ),,( tzrS qi

i

a taxa lquida de criao da espcie inica i.

Fluxo inico [cf. (2.38) e (2.40)]

qNNiiiq (2.62)

onde obilidade e difuso da

q=r,z do campo elctrico

efectivo reduzido associado espcie inica i, dado por

nNDEnN ii

=

)()(

eff

iq,

Ni e NDi so os coeficientes reduzidos de m

espcie inica i, e ),,)(/( tzrNEeff

iq a componente

qqzr i

i

iiii

iqni

c

i

N

v

zrNNNv vvvv

mm

+

1. (2.63)

qq

i

effeff EE

t

NE )/( =

O tratamento auto-consistente do transporte de partculas carregadas feito acoplando o

conjunto anterior de equaes de transporte com a equao de Poisson. Esta equao permite

obter o potencial elctrico, V(r,z,t), no interior da descarga, em funo da diferena de

potencial externa aplicada entre os elctrodos e da distribuio espacial de partculas

carregadas no reactor

=+ en np p nnnezVrVrr 02 , (2.64)r

2

1

42

7/25/2019 tese-IST

51/190

onde np a densidade de ies positivos, a densidade de ies negativos e

permitividade do vcuo. O cam nte nas equaes de transporte (2.57 )

obtm-se usando a relao )trV(r,z,t)E =

nn 0 a

po elctrico prese ) - (2.63

,,z(rr

.

Para que o problema fique matematicamente bem definido necessrio com o

sistem

imulao cor