7/25/2019 tese-IST
1/190
UNIVERSIDADE TCNICA DE LISBOA
INSTITUTO SUPERIOR TCNICO
Modelizao e caracterizao de descargas
radiofrequncia em hidrognio produzidas num
reactor de acoplamento capacitivo
Lus Silvino Alves Marques
(Mestre)
Dissertao para obteno do grau de Doutor em Fsica
Orientador:Doutor Lus Paulo da Mota Capito Lemos Alves
Co-orientador:Doutor Grard Gousset
Jri
Presidente: Reitor da Universidade Tcnica de Lisboa
Vogais: Doutor Carlos Renato de Almeida Matos Ferreira
Doutor Lus Paulo da Mota Capito Lemos Alves
Doutor Mikhail Vasilevskiy
Doutor Grard Gousset
Doutor Jacques Jolly
Doutor Thierry Belmonte
Maio 2005
7/25/2019 tese-IST
2/190
memria do Dr. Gerard Gousset
7/25/2019 tese-IST
3/190
RESUME
Le travail prsent traite de la modlisation et de la caractrisation de dcharges
radiofrquence (RF) dans lhydrogne. Le racteur utilis possde une symtrie cylindrique
et ses deux lectrodes, parallles, permettent un couplage capacitif au plasma. Dans un
premier temps, un modle bi-dimensionnel labor (qui dcrit la dynamique des lectrons et
des ions H+, H2+, H3
+ et H- dans le racteur) y est coupl de faon auto-cohrente un
modle collisionnel-radiatif homogne (qui inclut une description complte de la cintique
vibrationnelle et atomique de lhydrogne). Ltude de la dcharge y est mene sur une
gamme tendue de frquences dexcitation, de pressions du gaz et de tensions RF appliques.
Un bon accord est observ entre les prvisions du modle et les mesures exprimentales dupotentiel plasma et de la puissance lectrique couple au plasma. En ce qui concerne les
valeurs de densit lectronique et de tension dauto-polarisation, laccord nest que
qualitatif - les valeurs calcules par le modle tant sous-estimes par rapport aux rsultats
exprimentaux. Cet cart ne peut cependant pas sexpliquer compltement par le choix du
schma cintique mais plus vraisemblablement par celui de la description homogne adopte
pour le transport des neutres. Dans un deuxime temps, afin de clarifier cet aspect, un modle
hydrodynamique, exploitant les quations de Navier Stokes, y est dvelopp pour le gaz etcoupl un module de transport ractif de masse multi-composants. Ce modle innovateur
devant pouvoir tre utilis comme outil prdictif dans une optique doptimisation des
racteurs plasma pour le traitement des matriaux.
Mots-clef : Modlisation des plasmas, modle fluide, dcharge radiofrquence, modle
collisionel-radiatif, cintique vibrationnelle, hydrogne.
iii
7/25/2019 tese-IST
4/190
RESUMO
Este trabalho apresenta a modelizao e caracterizao de uma descarga radiofrequncia emhidrognio, produzida num reactor cilndrico de eltrodos paralelos de acoplamento
capacitivo. O estudo da descarga foi feito para uma gama alargada de valores de frequncias
de excitao (13.56-80.0 MHz), presses do gs (0.2 - 6 Torr) e tenses RF aplicadas (50-
800 V), com recurso a um sofisticado modelo fluido bidimensional (que descreve a dinmica
dos electres, e dos ies H+, H2+, H3
+e H-no reactor), acoplado de forma auto-consistente a
um modelo colisional-radiativo homogneo (que inclui uma verso muito completa da
cintica vibracional e atmica do hidrognio). Verifica-se que existe um bom acordo entre as
previses do modelo e as medidas experimentais do potencial do plasma e da potncia
elctrica acoplada ao plasma. Contudo, o acordo apenas qualitativo no que se refere
densidade electrnica e tenso de autopolarizao, com o modelo a produzir valores
subestimados em relao aos experimentais. Este desacordo qualitativo depende apenas
ligeiramente do esquema cintico adoptado, mas pode talvez resultar da descrio
homognea aqui usada para o transporte de espcies neutras. Para clarificar este ponto,
desenvolveu-se um modelo hidrodinmico bidimensional para o gs neutro baseado no
sistema de equaes de Navier-Stokes que se completou com um mdulo de transporte
reactivo de massa a multicomponentes. Este modelo inovador dever integrar uma poderosa
ferramenta predictiva, que constituir uma importante mais valia na optimizao de reactores
a plasma para o processamento de materiais.
Palavras chave: Modelizao de plasmas, modelo fluido, descargas radiofrequncia, modelo
colisional-radiativo, cintica vibracional, hidrognio.
iv
7/25/2019 tese-IST
5/190
ABSTRACT
This work presents the modelling and the characterization of capacitively-coupled radio-frequency discharges in hydrogen, produced within a cylindrical parallel-plate reactor. The
discharge characterization covered a wide range of excitation frequencies (13.56-80.0 MHz),
gas pressures (0.2 - 6 Torr) and applied RF voltages (50-800 V), and used a state of art two-
dimensional fluid model (to describe the dynamics of electrons, positive ions H+, H2+, H3
+
and negative ion H-in the reactor), self-consistently coupled to a homogeneous collisional-
radiative model for hydrogen (including a very complete kinetic scheme involving
vibrationally excited molecular species and electronically excited atomic species). There is a
good agreement between calculated results and experimental measurements for the coupled
electrical power and the plasma potential. However, model predictions for the electron
density and the self-bias voltage show only a qualitative agreement with experiment, with
calculated values understimated with respect to measurements. This qualitative disagreement
is only slightly dependent of the kinetic scheme adopted, and probably is a direct
consequence of the homogenous model describing the transport of neutral species. To clarify
this, a two-dimensional hydrodynamic gas model is developed, based on the Navier-Stokes
equation system plus a multi-component reactive mass transport module. This innovative
model is the key part of a powerful predictive tool, to be used in the optimisation of plasma
reactors for material processing.
Keywords:Plasma modelling, fluid model, radio-frequency discharges, collisional-radiative
model, vibrational kinetics, hydrogen.
v
7/25/2019 tese-IST
6/190
Agradecimentos
Ao Dr. Lus Lemos Alves pelo modo como perspectivou e supervisionou este trabalho,
pelas dicas e encorajamento em momentos decisivos, pela leitura minuciosa destemanuscrito, pela amizade dispensada durante estes trs anos.
Ao Dr. Grard Gousset pelo incentivo nos momentos de crise, pelas proveitosas
discusses cientficas que ajudaram a concretizar parte significativa deste trabalho, e pela
total disponibilidade em partilhar a sua vasta experincia em modelizao.
Ao Dr. Jacques Jolly pelo interesse demonstrado por este trabalho e pela
disponibilizao das vrias medidas experimentais usadas na validao do modelo,
possibilitando a estreita ligao entre modelizao e experincia.
Ao Dr. Aurel Salabas pela ajuda inicial na compreenso do modelo e amizade durante a
estadia em Lisboa.
Ao Claudiu Costin pela amizade e companheirismo, e numerosas discusses centificas
durante as estadias em Orsay.
Ao pessoal do Laboratoire de Physique des Gaz et Plasmas, em especial Dr. Jean
Bretagne e Mme. Marie Claude Richard, pelo acolhimento dispensado durante as estadias
em Frana.
A todos os colegas do Grupo de Electrnica dos Gases, e em especial ao Dr.Vasco
Guerra e ao Eng Marques Dias, pelas sugestes e ambiente de trabalho proporcionados.Aos colegas Mrio Almeida e Jorge Mendes do Departamento de Fsica da
Universidade do Minho por se terem disponibilizado a assegurar parte do meu servio
lectivo, durante o perodo de escrita da tese.
Ao meu irmo Francisco e minha cunhada Ana por me receberem em sua casa
durante as minhas estadias em Lisboa e pelo apoio dado durante estes trs anos.
Aos meus sogros pela total disponibilidade e apoio dados a mim e minha esposa e
filha durante este perodo.
minha esposa Sandra pelo seu apoio e encorajamento, por fazer de pai e me e ter
aguentado o barco durante os ltimos trs anos.Agradece-se o apoio financeiro da Fundao para a Cincia e Tecnologia (FCT) e do
FSE no mbito do III QCA, atravs da bolsa BD/ 5012/ 2001.
vi
7/25/2019 tese-IST
7/190
NDICE
Rsum
Resumo
Abstract
Agradecimentos
ndice
1. Introduo
1.1.Aplicaes das descargas....
1.2.Modelizao de descargas...
1.3.
Apresentao da tese...
2. Modelizao de descargas radiofrequncia
2.1.Apresentao do reactor..
2.2.Descrio do modelo de descarga...
2.2.1.Equao de Boltzmann electrnica....
2.2.1.1.Desenvolvimento da FDE em gradientes de densidade...
2.2.1.2. Desenvolvimentoda FDE em harmnicas esfricas. Aproximao
clssica a dois termos da equao de Boltzmann....2.2.1.3. Equao de Boltzmann homognea e estacionria...
2.2.2.Momentos da equao de Boltzmann. Equaes de transporte de partculas
carregadas
2.2.2.1.Equaes de transporte dos ies....
2.2.2.2. Equaes de transporte dos electres
2.2.2.3. Implementao do modelo de descarga.
2.2.2.3.1.
Equaes do modelo.....2.2.2.3.2.Implementao numrica......
2.3.Modelocintico e parmetros de transporte das partculas carregadas..2.3.1.Modelocintico do gs......2.3.2.Parmetros de transporte inicos....
2.3.3.Parmetros de transporte electrnicos....
2.3.3.1. Hidrognio.
2.3.3.2. rgon.2.3.3.3.Aproximao de campo local modificada......
iii
iv
v
vi
vii
1
1
5
10
12
13
15
17
18
2026
29
32
34
40
4044
48
48
51
53
53
6163
vii
7/25/2019 tese-IST
8/190
3. Caracterizao de descargas radiofrequncia
3.1.Fenomenologia de descargas capacitivas RF..
3.1.1.Parmetros elctricos e correntes de descarga
3.1.2. Manuteno da descarga. Mecanismos de aquecimento e perfis de
ionizao
3.2.Caracterizao sistemtica de descargas RF em hidrognio
3.2.1.Efeito da tenso RF aplicada e da frequncia de excitao....
3.2.2.Efeito da presso de gs..
3.3.Sensibilidade dos resultados a alguns parmetros internos do modelo...
3.3.1.Parmetros numricos internos.......
3.3.2.Mobilidade do io H3+e coeficiente da reaco de converso do io
H2+......3.4.Estimativa da contribuio de termos suplementares na equao do
fluxo electrnico...
4. Modelo cintico para descargas RF em hidrognio
4.1.Cintica vibracional e atmica do hidrognio......
4.2.Modelo colisional radiativo quasi-homogneo
4.3.Influncia da cintica do hidrognio no funcionamento da descarga......
4.3.1.
Efeito da tenso RF aplicada e da frequncia de excitao........4.3.2.Efeito da presso do gs.
5. Modelo hidrodinmico para descargas RF em hidrognio
5.1.Equaes hidrodinmicas.
5.2.Transporte reactivo de massa, quantidade de movimento e energia a
multicomponentes.......
5.3.Implementao do modelo...
5.3.1.
Transporte do gs5.3.2.Transporte das espcies neutras..
5.3.3.Discretizao das equaes de Navier-Stokes. Mtodo dos
volumes finitos..
5.3.4.Soluo do sistema de equaes hidrodinmicas....
5.4.Resultados e discusso.....
Concluses
Lista de publicaesBibliografia
73
74
80
85
93
93
104
113
114
115
117
119
120
124
128
128136
145
146
151
154
155156
158
162
166
168
174175
viii
7/25/2019 tese-IST
9/190
Captulo 1
Introduo
Em geral, quando se fala dos estados fsicos da matria, refere-se apenas a existncia
dos trs estados que nos so mais familiares: slido, lquido e gs, por serem predominantes
no ambiente que nos rodeia. Esta sequncia de estados caracteriza-se pela crescente separao
mdia entre as molculas, e portanto pela intensidade decrescente das foras de ligao entre
elas, podendo-se efectuar a transio entre estados mediante o fornecimento de energia,
atravs da quebra dessas ligaes intermoleculares. Existe no entanto um quarto estado damatria, identificado por Sir William Crookes em 1878, ao qual Irving Langmuir em 1928
deu a designao de plasma, quando estudava descargas elctricas em misturas gasosas
contendo vapor de mercrio [Langmuir, Rogoff]. Apesar da sua predominncia no universo
(estima-se que cerca de 99% da matria do nosso universo visvel esteja no estado de plasma,
como constituinte das estrelas e do espao interestelar), a formao de plasmas naturais na
terra s ocorre em circunstncias especiais, de que os relmpagos e as auroras boreais so
bons exemplos. no entanto possvel promover a criao artificial de um plasma, fornecendo
energia (trmica, elctrica, ou de radiao) a um gs para quebrar as ligaes internas das suas
espcies neutras (tomos e/ou molculas), ionizando-as e libertando electres. Quando o nvel
de ionizao significativo, e conduz a uma alterao das propriedades elctricas do gs, diz-
se que a mistura de partculas carregadas (electres e ies) e de partculas neutras forma um
plasma, o qual electricamente quasi-neutro e reage colectivamente s foras
electromagnticas externas que se lhe apliquem.
1.1 Aplicaes das descargas
Qualquer avano tecnolgico em ltima anlise o resultado duma manipulao da
matria, estando a evoluo da humanidade intimamente associada a um domnio sobre os
materiais, desde a Idade da Pedra Biotecnologia. O ltimo sculo caracterizou-se por
avanos significativos na manipulao da matria escala microscpica, de entre os quais se
destaca aqui a capacidade de criar e de manter artificialmente o estado de plasma. Como
resultado da interaco entre partculas carregadas e partculas neutras, os plasmas oferecem
uma grande liberdade na criao de composies qumicas, que seriam impossveis de obter
1
7/25/2019 tese-IST
10/190
de outro modo, na gerao de radiao e na produo de partculas energticas, caractersticas
estas que esto na base da sua explorao num nmero cada vez maior de reas de actividade
e de aplicaes comerciais e industriais.
Processamento industrial [Coburn]A tecnologia dos plasmas oferece uma vasta gama de solues econmicas, seguras e
amigas do ambiente para vrias etapas de processamento industrial:
oLimpeza de superfcies, no tratamento de artefactos arqueolgicos [Veprek], ou
na remoo de contaminantes das superfcies.
oModificao de superfcies, atravs da oxidao [Friedel], nitretao [Jindal],
texturizao ou implantao inica [Conrad], a fim de modificar as propriedades
superficiais dos materiais (dureza, resistncia ao desgaste e corroso, adeso,propriedades dielctricas e magnticas, resistividade, propriedades hidrofbicas)
sem alterar as suas propriedades volumtricas.
oGravura de superfcies, na indstria electrnica [Manos].
oDeposio, de filmes finos metlicos, diamante, slicio amorfo (a-Si:H) e
microcristalino (-Si:H) [Vossen], polmeros (Teflon, PTFE) [Yasuda], etc.
oSntese qumica,principalmentede ozono que usado como agente oxidante na
indstria farmacutica, e descorante na indstria txtil [Eliasson].oSoldadura e corte de superfcies [Fauchais].
Ambiente [Eliasson]
oPurificao do ar, usando ozono como agente desodorizante.
oTratamento de gua, usando ozono para remover odores, cores, sabores e
radiao UV para esterilizao.
oTratamento de resduos industriais perigosos, como dioxinas, solventes, etc.
oReduo das emisses emveculos automveis.
oMonitorizao ambiental de poluio,por anlise espectroqumica [Blades].
Fontes de partculas e radiao
oFontes departculas, como ies [Hamilton], ou espcies atmicas.
oLasers de gs [Garscadden],He-Ne, CO2, excmeros, etc.
oLampdas de UV.
Propulso espacial [Wilbur], em satlites e futuramente em naves interplanetrias.
2
7/25/2019 tese-IST
11/190
Televises, atravs de micro-descargas em misturas Xe-Ne ou He-H2nos crans de
plasmas [Punset].
Energia
o
Produo de energia, a partir da fuso termonuclear controlada [Aymar].oComutadoreselctricos de corrente [Greenwood].
Biotecnologia e medicina [Laroussi, Montie]
oEsterilizao, deinstrumentos mdicos em medicina e de alimentos na indstria
alimentar.
oDescontaminao biolgica,atravs dadestruio de agentes biolgicos como
o Antrax.
Iluminao [Dakin]
As lmpadas so sem dvida a aplicao prtica predominante da Engenharia dos
Plasmas, sendo a luz por elas gerada uma das obras humanas que pode ser vista do
espao.
oLmpadas de non,usadas em painis publicitrios.
oLmpadas de sdio, que produzem luz visvel prxima do mximo de
sensibilidade do olho humano (589 nm), sendo por isso as lmpadas conhecidasde maior eficincia. So usadas sobretudo na iluminao pblica.
oLmpadas fluorescentes, que usam uma mistura gasosa de rgon e de vapor de
mercrio, a uma presso de 0.4% da presso atmosfrica. O plasma produz
radiao UV (253.7 nm) que convertida em luz visvel atravs dum
revestimento de fsforo nas paredes da lmpada.
oLmpadas de arco, que usam em geral uma mistura gasosa a alta presso, sendo
a luz visvel que emitem directamente produzida pelo plasma.
A excitao e manuteno de um plasma requer a ionizao parcial ou total das espcies
neutras (tomos e/ou molculas) de um gs. A ionizao do gs pode ser conseguida usando
radiao ionizante, campos electromagnticos fortes, ou por coliso de partculas energticas
com as espcies neutras do gs. Estas partculas energticas podem ser obtidas por via trmica,
ou produzidas pela radiao csmica e aceleradas por campos elctricos externos. Esses
campos aceleram os (poucos) electres livres existentes no gs, fornecendo-lhes uma energia
suficiente para que provoquem a ionizao das molculas e/ou tomos do gs. Os novoselectres produzidos so mais uma vez acelerados, e deste processo de multiplicao de
3
7/25/2019 tese-IST
12/190
electres resulta eventualmente uma avalanche electrnica e a ignio elctrica do gs. Se o
campo elctrico fr aplicado durante um perodo suficientemente longo, pode ocorrer a
multiplicao das avalanches iniciando-se uma descarga elctrica no gs. Esta descarga
mantm-se enquanto o campo estiver aplicado, independente da sua natureza: constante no
tempo, pulsado, peridico, ou produzido por ondas electromagnticas, distinguindo-se osdiferentes tipos de descargas consoante o modo de acoplamento de energia ao plasma.
Descargas DC ou RF [Chapman]
Neste tipo de descargas aplica-se directamente uma diferena de potencial [contnua
(DC) ou radiofrequncia (RF)] a dois elctrodos condutores, entre os quais se encontra
o gs, podendo estes estar em contacto directo com o plasma (DC ou RF) ou isolados
deste atravs dum dielctrico (RF). Em sistemas de radiofrequncia os dois elctrodos
funcionam como um condensador, pelo que estas fontes so normalmente designadas
por descargas RF de acoplamento capacitivo ou descargas tipo E, devido ao papel
desempenhado pelo campo elctrico externo.
Descargas inductivas (ICP) [Hopwood]
A descarga criada fazendo passar uma corrente de radiofrequncia por um solenide
com um pequeno nmero de espiras, o qual envolve o tubo de material dielctrico que
contm o gs a ionizar. A corrente de radiofrequncia d origem a um campo
magntico oscilante no interior do solenide, o qual induz um campo elctrico no
interior do contentor de gs, designando-se estas fontes por descargas RF inductivas
ou descargas tipo H. O acoplamento no no entanto puramente inductivo, pois
devido diferena de potencial existente entre o solenide e o plasma parte da
potncia RF acoplada de forma capacitiva ao plasma.
Descargas excitadas por ondas electromagnticas
Nestas descargas usada a propagao de ondas electromagnticas num plasma ou na
sua superfcie, as quais so posteriormente absorvidas pelo plasma resultando no
aquecimento dos electres e na manuteno da descarga. Existem vrias descargas que
adoptam este princpio, as quais diferem entre si no tipo de ondas electromagnticas
usadas (microondas ou ondas de radiofrequncia), e na presena ou no de um campo
magntico externo. Os tipos mais comuns so as descargas ECR (Electron Cyclotron
Resonance) [Asmussen], as descargas Helicon [Boswell], e as descargas de Onda de
Superfcie (SW) [Ferreira].
4
7/25/2019 tese-IST
13/190
De entre os vrios tipos de fontes a plasma apresentadas, as descargas radiofrequncia
de acoplamento capacitivo a baixas presses so hoje em dia amplamente utilizadas nas mais
variadas reas tecnolgicas e industriais, e em especial no processamento de materiais, dada a
sua versatilidade, baixa complexidade e custo de implementao, e facilidade de expanso
para processamento de grandes reas a baixas temperaturas. As descargas RF so utilizadasnas vrias etapas de processamento de superfcies, com especial destaque na deposio de
filmes finos assistida por plasma. A deposio pode ser feita por processos fsicos,
recorrendo-se evaporao ou pulverizao [Vossen] do material a depositar e respectiva
condensao no substrato posteriori, ou basear-se em processos qumicos, usando-se neste
caso o plasma para criar uma atmosfera rica em espcies quimicamente activas, por
dissociao das espcies existentes na mistura gasosa precursora, que posteriormente se
depositam na superfcie do substrato dando origem ao filme fino. Esta ltima tcnica conhecida por PECVD (Plasma Enhanced Chemical Vapor Deposition) [Reif] e tem sido
usada para depositar vrios tipos de materiais, em particular o silcio amorfo, micro ou nano
cristalino hidrogenado (a-Si:H/c-Si:H/nc-Si:H), a partir de misturas gasosas base de
hidrognio.
O silcio amorfo hidrogenado um material semicondutor com uma fotocondutividade e
uma mobilidade dos portadores de carga muito superior do silcio amorfo, devido
passivao pelo hidrognio atmico das ligaes pendentes (dangling bonds), que sofrequentes no silcio amorfo e responsveis pela sua fraca condutividade. Apesar de possuir
propriedades elctricas inferiores s do silcio cristalino, tem a vantagem de possuir um
elevado coeficiente de absoro ptica no espectro visvel, alm de poder ser uniformemente
depositado de forma bastante mais econmica em grandes superfcies, sobre uma grande
variedade de substratos tais como vidro, metais, polmeros e cermicas. Estas vantagens
estimularam a sua aplicao num grande nmero de aplicaes, tais como no fabrico de
transstores de filme fino usados nos painis de cristais lquidos a cores, de crans de matriz
activa de computadores portteis, de crans de televiso a plasma, em sensores de imagem e
de radiao (aproveitando o seu elevado coeficiente de absoro ptica), e no fabrico de
clulas solares fotovoltaicas, para o qual se prev uma expanso num futuro muito prximo.
1.2 Modelizao de descargas
O uso generalizado do processamento baseado em plasmas nas mais variadas reas e as
exigncias de competitividade enfrentadas hoje em dia pelas empresas, tm motivado a
optimizao dos equipamentos a plasma existentes, bem como o desenvolvimento de novos
5
7/25/2019 tese-IST
14/190
processos e aplicaes. No passado, o desenvolvimento e optimizao destes equipamentos
era feito numa base experimental por tentativa e erro, construindo e testando diferentes
dispositivos e procurando as suas condies ptimas de funcionamento, o que constitui uma
estratgia demorada e dispendiosa. A modelizao de descargas hoje correntemente usada
no projecto de processos assistidos por plasma, de forma coordenada com testesexperimentais, a fim de reduzir o nmero de iteraes de hardware necessrias e
consequentemente o tempo e os custos de desenvolvimento. Para tal so necessrias
ferramentas de simulao cada vez mais sofisticadas, capazes de descrever correctamente a
diversidade dos fenmenos fsicos e qumicos envolvidos no funcionamento dos
equipamentos reais de processamento assistido por plasma. Tais ferramentas devem ter em
conta os seguintes fenmenos:
Transporte de massa, quantidade de movimento e energia das vrias espcies
carregadas do plasma, nos campos electromagnticos resultantes do sistema externo de
alimentao e da distribuio interna de cargas e correntes;
Descrio detalhada das cinticas em fase gasosa e de superfcie das vrias espcies;
Transporte de massa, energia e radiao no reactor;
Evoluo topogrfica da superfcie nalgumas aplicaes.
Estes fenmenos esto fortemente acoplados entre si, pelo que a sua anlise requer uma
descrio auto-consistente. Alm disso, caracterizam-se pela disparidade de escalas espaciais
e temporais, sendo necessrio adoptar uma descrio multidimensional na maior parte das
aplicaes reais, dada a complexidade da geometria do reactor e a necessidade de
processamento de grandes reas. O desenvolvimento de ferramentas, que incluam todos estes
fenmenos, e que forneam um conjunto de informaes relevantes sobre o funcionamento do
reactor em tempo til, uma tarefa de enorme complexidade e ainda no totalmente
conseguida, apesar da disponibilidade actual de potentes recursos computacionais. por isso
frequente adoptarem-se modelos simplificados e que envolvem geralmente um grande nmero
de aproximaes (a nvel dimensional, na descrio dos processos cinticos, etc), com vista
obteno rpida de informaes especificas sobre o plasma de descarga.
6
7/25/2019 tese-IST
15/190
Actualmente, existem trs classes de modelos usados no desenvolvimento de ferramentas
de simulao para descrever de forma auto-consistente a dinmica das vrias espcies de
partculas presentes num plasma: modelos estatsticos, modelos fluido (ou hidrodinmicos), e
modelos hbridos.
Os modelos estatsticos adoptam uma descrio do transporte das partculas baseada emequaes do movimento bsicas, acoplada com o clculo de campos electromagnticos no
caso das partculas carregadas. Dentro dos modelos estatsticos, incluem-se os mtodos
baseados em partculas, como o DSMC (Direct Simulation Monte Carlo) [Bird] para as
espcies neutras e o PIC-MCC (Particle-In-Cell with Monte Carlo Collisions) [Birdsall] para
as espcies carregadas. Nestes mtodos, segue-se o movimento de um conjunto representativo
de partculas de cada espcie do plasma, que avanam no espao das configuraes e das
velocidades sob a influncia das foras aplicadas (sendo as suas trajectrias obtidas porintegrao das equaes do movimento) e das colises em que participam (cuja ocorrncia e
natureza determinada a partir de probabilidades de coliso, calculadas atravs das seces
eficazes respectivas). Nos modelos PIC calculam-se tambm os campos elctrico e magntico
mdios, atravs das equaes de Maxwell e das densidades de carga e de corrente obtidas a
partir de uma interpolao adequada da distribuio de partculas, na grelha computacional.
Os mtodos baseados em partculas permitem obter a variao espacial e temporal das
funes de distribuio das velocidades das vrias espcies, fornecendo assim uma descrioextremamente precisa do transporte das partculas. So no entanto mtodos bastante exigentes
em termos computacionais, em especial para problemas multidimensionais, sendo em geral
utilizados para baixas presses e adoptando cinticas relativamente simples. Uma vez que no
assumem quaisquer hipteses no que diz respeito ao transporte de partculas ou s suas
funes de distribuio, estes modelos so aplicveis numa gama alargada de condies de
descarga. Na classe dos modelos estatsticos incluem-se tambm os mtodos baseados na
soluo directa da equao de Boltzmann (sobretudo electrnica), tais como o esquema
convectivo [Sommerer] e o modelo de aproximao no-local [Tsendin], os quais tm a
vantagem de no introduzirem rudo no clculo das funes de distribuio das partculas.
Nos modelos fluido ou hidrodinmicos [Gogolides 92, Salabas] cada populao do
plasma identificada com um fluido, que se assume bem descrito por um conjunto de
grandezas macroscpicas densidade, velocidade mdia, energia mdia, etc, definidas
atravs de mdias sobre a respectiva funo de distribuio (momentos da funo de
distribuio). Desta forma, as equaes de Boltzmann para as vrias espcies podem ser
substitudas por uma srie infinita de equaes de conservao acopladas entre si, deduzidas a
7
7/25/2019 tese-IST
16/190
partir dos momentos da equao cintica [Delcroix, Shkarofsky]. A implementao deste tipo
de modelos envolve assim duas hipteses principais:
Em primeiro lugar necessrio truncar a srie infinita de equaes hidrodinmicas,
definindo o nmero de momentos a usar para cada espcie de modo a obter umadescrio razovel do comportamento do plasma. Hoje em dia um facto aceite que os
modelos fluido devem incluir trs momentos para descrever o transporte dos electres
(equaes de conservao da massa, da quantidade de movimento e da energia mdia)
e dois momentos para os ies (equaes da conservao da massa, e da quantidade de
movimento),
O conjunto de equaes hidrodinmicas definido na hiptese anterior no forma umsistema fechado, pois as equaes de conservao so escritas em termos de integrais
da funo de distribuio (desconhecida), que se podem interpretar fisicamente como
parmetros de transporte das partculas e/ou como coeficientes de reaco. Assim,
para calcular estes integrais, necessrio assumir uma funo de distribuio, o que
pode ser particularmente delicado para os electres, que normalmente no se
encontram em equilbrio termodinmico, para os quais a soluo mais simples de
adoptar uma funo de distribuio Maxwelliana no constitui uma boa aproximao.Para resolver o problema do fecho do sistema de equaes para os electres, adopta-se
em geral uma de duas aproximaes: a aproximao de campo local (ACL) ou a
aproximao de energia mdia local (AEL).
A ACLassume que os parmetros de transporte electrnicos (PTE) e os coeficientes de
reaco (CRE), calculados numa dada posio rr
e instante t, so nica e exclusivamente
funo do campo elctrico reduzido local, E( rr
,t)/N, ondeE a intensidade do campo e Na
densidade de gs (assumida uniforme). A ACL corresponde a supr que a funo de
distribuio de energia dos electres (FDEE) em ( rr
,t) a mesma que existiria num campo
elctrico reduzido uniforme igual a E( rr
,t)/N. Este equilbrio implica que a energia ganha
pelos electres do campo elctrico aplicado dissipada localmente em colises com o gs
neutro. Esta aproximao foi introduzida nos primeiros modelos de descargas [Boeuf,
Gogolides, Graves, Graves 87, Richards, Passchier] como uma tentativa para usar PTE
experimentais obtidos em descargas DC de Towsend, juntamente com CRE calculados para
diferentes valores de campo elctrico reduzido, e assim fechar o sistema de equaes
electrnicas. Esta ideia foi mais tarde alargada ao uso de PTE e CRE obtidos por integrao
8
7/25/2019 tese-IST
17/190
de seces eficazes de coliso sobre FDEEs calculadas a partir da equao de Boltzmann
electrnica (EBE), homognea e estacionria. No entanto, esta aproximao falha em geral na
regio das bainhas, onde os electres no esto em equilbrio com o campo, levando a um
aumento dos PTE e CRE junto s fronteiras da descarga.
A AELconsidera os PTE e os CRE em ( rr
,t) como uma funo exclusiva do valor localda energia mdia electrnica, cujo perfil no espao e no tempo obtido resolvendo a
respectiva equao de balano. Em termos prticos, a EBE homognea e estacionria, em
geral escrita na sua aproximao a dois termos, resolvida para diferentes valores de campo,
no gs ou na mistura gasosa em estudo. Em seguida, os resultados obtidos so usados para
construir uma tabela com os vrios PTE e CRE em funo da energia mdia electrnica. Esta
tabela usada para obter os valores dos PTE e CRE em cada ( rr
,t), a partir do valor local da
energia mdia electrnica, obtido por resoluo do modelo fluido. Apesar de inexacta, estaaproximao permite eliminar as variaes no fsicas dos PTE nas bainhas, introduzidas
quando se adopta a ACL.
Nestes modelos fluido, as equaes hidrodinmicas so resolvidas de forma acoplada
com as equaes de Maxwell, obtendo-se uma descrio auto-consistente da descarga. A
grande vantagem destes modelos o facto de serem pouco exigentes em termos
computacionais, quando comparados com um modelo estatstico equivalente, sendo por isso
os modelos mais utilizados na anlise de processos assistidos por plasma. Dado o conjunto dehipteses assumidas, a validade e a preciso dos resultados obtidos deve sempre ser
confrontada com medidas experimentais e/ou com resultados de modelos estatsticos
equivalentes.
Os modelos hbridos tentam associar uma descrio detalhada do plasma (como a
fornecida pelos modelos estatsticos), a uma reduo da exigncia computacional. Estes
modelos combinam em geral um modelo fluido auto-consistente com um mtodo de Monte
Carlo (MC), onde se usa o perfil fluido do campo elctrico para calcular os PTE e os CRE
[Sommerer 92]. Desta forma possvel reduzir o nmero de partculas no MC, desde que se
garanta a obteno de PTE e CRE estatisticamente aceitveis. Por sua vez, o MC fornece ao
modelo fluido um conjunto de PTE e CRE que so calculados preservando o carcter de no
equilbrio da cintica dos electres. Outros modelos deste gnero combinam a aproximao
no-local para os electres com um modelo fluido para os ies [Kortshagen], ou distinguem
entre dois grupos de electres [Fiala]: um primeiro grupo que engloba a maioria dos electres
do volume (e que tratado adoptando um modelo fluido), e um segundo grupo formado pela
pequena fraco de electres aquecida pelo campo das bainhas (e que descrito usando um
mtodo de Monte Carlo).
9
7/25/2019 tese-IST
18/190
1.3 Apresentao da tese
Neste trabalho, realiza-se a modelizao de uma descarga radiofrequncia em
hidrognio puro produzida num reactor cilndrico de elctrodos paralelos de acoplamento
capacitivo. O estudo que aqui se apresenta cobre uma gama alargada de condies de
operao da descarga em frequncia, presso de gs e tenso aplicada, sendo os resultados do
modelo para a densidade electrnica, tenso de auto-polarizao, potencial do plasma, e
potncia elctrica acoplada ao plasma, validados por comparao com dados experimentais
obtidos no reactor. O estudo da fenomenologia tpica de descargas radiofrequncia em
hidrognio puro revela-se de grande interesse, pois estas descargas desempenham um papel
fundamental na produo escala industrial de filmes finos de silcio hidrogenado, cuja
procura crescente se tem acentuado com a sua utilizao num nmero cada vez maior de
aplicaes.
O captulo 2 apresenta o modelo terico auto-consistente usado na descrio da descarga,
sendo igualmente discutidas as vrias hipteses assumidas na sua formulao. Trata-se de um
modelo hidrodinmico, cuja originalidade est na obteno das equaes macroscpicas de
transporte dos electres e ies a partir dos momentos das respectivas equaes de Boltzmann,
escritas numa forma consistente com a utilizada no clculo dos parmetros de transporte. O
modelo testado para dois gases, rgon e hidrognio, sendo apresentada a sua cintica, bem
como os parmetros de transporte e os coeficientes de reaco electrnicos usados nasequaes macroscpicas. Em seguida, apresentado um mtodo inovador utilizado no clculo
dos PTE e CRE no hidrognio, o qual envolve a resoluo da equao de Boltzmann
electrnica, com incluso da produo de electres secundrios, numa malha de energia a
passo varivel. Por fim so apresentadas as dificuldades encontradas ao implementar-se o
modelo no rgon, bem como algumas solues ensaiadas para as ultrapassar.
No captulo 3 feita a caracterizao da descarga RF de acoplamento capacitivo em
hidrognio puro, em funo da tenso RF aplicada, da frequncia de excitao e da presso dogs, usando o modelo apresentado no captulo anterior. Inicialmente dado nfase
fenomenologia base deste tipo de descargas, comparando-se em seguida os resultados do
modelo, obtidos adoptando uma verso simplificada da cintica do hidrognio, com medidas
experimentais de vrios parmetros da descarga, em funo da tenso aplicada, da frequncia
de excitao e da presso do gs. Conclui-se este captulo com um estudo da sensibilidade dos
resultados do modelo variao de diversos parmetros numricos e internos da descarga,
sendo ainda apresentada uma estimativa da contribuio de termos suplementares que foram
desprezados na forma aqui adoptada para as equaes de transporte dos electres.
10
7/25/2019 tese-IST
19/190
No captulo 4 desenvolve-se um modelo colisional-radiativo homogneo e estacionrio
para o hidrognio, que inclui as espcies moleculares excitadas vibracionalmente e as espcies
atmicas excitadas electronicamente, o qual acoplado de forma auto-consistente ao modelo
de transporte das partculas carregadas e equao de Boltzmann electrnica, homognea e
estacionria (escrita na aproximao clssica a dois termos), com o objectivo fundamental declarificar o papel desempenhado pela cintica do hidrognio no funcionamento da descarga. A
concluir o captulo, comparam-se as previses deste modelo hbrido (que inclui uma verso
completa da cintica do hidrognio), com medidas experimentais e com os resultados do
modelo quando se adopta a cintica simplificada do hidrognio, para vrias presses,
frequncias de excitao e tenses RF aplicadas.
No captulo 5 desenvolve-se um modelo hidrodinmico bidimensional para o gs,
baseado no sistema de equaes de Navier-Stokes que se completa com um mdulo detransporte reactivo de massa a multicomponentes. Este modelo inovador, no quadro da
modelizao de plasmas de descarga, constitui o primeiro passo na construo de uma
poderosa ferramenta predictiva que dever acoplar, de forma auto-consistente, a descrio
bidimensional do transporte e da cintica de espcies neutras e carregadas no reactor.
Esta ferramenta, cuja produo final est fora do mbito desta tese, poder vir a
constituir uma importante mais-valia em termos da optimizao de reactores a plasma para o
processamento de materiais.
11
7/25/2019 tese-IST
20/190
Captulo 2
Modelizao de descargas radiofrequncia
As descargas em gases a baixa presso so a forma mais usual de criao dos plasmas
usados no processamento de materiais. Essas descargas so produzidas mediante a aplicao
de campos elctricos (contnuos ou de radiofrequncia) e/ou magnticos ao gs ou mistura
de gases, a fim de provocar a sua fragmentao com a consequente criao de espcies
electricamente carregadas (via ionizao, attachment, etc) e/ou de espcies qumicas activas
(via recombinao, detachment, dissociao, etc), que iro posteriormente interagir entre si
em volume ou com as paredes expostas ao plasma. Uma das vantagens das descargas de
radiofrequncia (RF) a sua grande versatilidade, pois podem ser utilizadas no processamento
de materiais dielctricos ou condutores, ao contrrio das descargas DC que s podem ser
usadas com condutores. As descargas RF so por isso muito populares em ambiente
industrial, como por exemplo na indstria dos semicondutores na qual foram introduzidas nos
anos 70, sendo hoje em dia indispensveis nos processos de gravura e deposio assistida por
plasma (Plasma Enhanced Chemical Vapor Deposition, PECVD).
Inicialmente, a utilizao deste tipo de tecnologia apoiava-se numa larga base de
conhecimentos empricos, sendo a sua optimizao feita por meio de processos de tentativa e
erro. Dada a complexidade e importncia crescente dos sistemas de processamento por
plasma, a sua optimizao e o desenvolvimento de novos processos requer hoje um
conhecimento cientfico aprofundado dos mecanismos fsicos e qumicos envolvidos nestes
sistemas. Tal pode ser feito de forma eficiente recorrendo a modelos matemticos que
descrevam as principais interaces fsico-qumicas presentes nos plasmas de descarga. Os
modelos de descargas em gases comearam a ser desenvolvidos no incio do sculo XX
(tendo os primeiros modelos numricos surgido em 1940), e descreviam de forma elementar
a fenomenologia base dos plasmas de descarga [Townsend, Morton, Ward]. No entanto,
devido complexidade dos sistemas em estudo, s recentemente que muitos aspectos do
comportamento das descargas comearam a ser bem compreendidos, atravs no s do
desenvolvimento de inmeros modelos numricos sofisticados (cujo tratamento agora
possvel mediante recurso a meios informticos cada vez mais aperfeioados), mas tambm
estimulado pelo uso crescente de sistemas de processamento a plasma na indstria.
12
7/25/2019 tese-IST
21/190
Neste captulo comearemos por apresentar o reactor de plasma que motivou esta tese,
no qual foram realizadas as medidas experimentais dos vrios parmetros de descarga
apresentados neste trabalho.
Em seguida ser descrito o modelo numrico usado neste estudo, sendo discutidas as
vrias hipteses que esto na base da sua formulao e apresentada, de uma forma breve, a
sua implementao numrica.
Por fim ser abordado o problema do clculo dos parmetros de transporte electrnicos
no hidrognio e as dificuldades encontradas com a utilizao do modelo no rgon, bem como
algumas solues ensaiadas para as ultrapassar.
2.1
Apresentao do reactorA montagem experimental do reactor em que se baseia este trabalho est representada
na figura 2.1, encontrando-se actualmente instalada no Laboratoire de Physique et
Technologie des Plasmas (LPTP), Palaiseau, France. A cmara de descarga est inspirada nos
planos da Clula de Referncia da Gaseous Electronics Conference (GEC), a qual usada
como configurao standard em muitos estudos, quer experimentais, quer de modelizao. A
clula GEC adoptada um reactor de elctrodos paralelos, com geometria cilndrica, cujo
dimetro de 12.4 cm e a distncia entre elctrodos de 3 cm, sendo o elctrodo superior em
alumnio e as restantes superfcies da cmara em ao inoxidvel. A clula GEC foi modificada
de modo a satisfazer os requisitos necessrios realizao de depsitos de filmes finos de
qualidade. Em particular, incluram-se elementos de aquecimento para controlar a temperatura
do substrato, e introduziram-se um contra elctrodo e uma grelha metlica lateral massa,
destinados a confinar o plasma regio entre os elctrodos e a conhecer com preciso a
densidade de potncia efectivamente acoplada ao plasma. A injeco dos gases no reactor
feita pelo elctrodo superior atravs duma estrutura tipo chuveiro (showerhead), de modo a
garantir uma boa uniformidade do plasma criado. A par de todas estas modificaes foram
adicionadas vrias janelas cmara, para permitir a instalao de diversos meios de
diagnstico do plasma.
A potncia radiofrequncia aplicada ao elctrodo superior, estando as restantes
paredes da cmara massa. O acoplamento elctrico entre o gerador RF e o reactor de tipo
capacitivo, sendo a adaptao de impedncia feita por intermdio de um adaptador em L,
formado por um condensador de capacidade varivel (C1), em paralelo com umaassociao srie duma bobine com um segundo condensador varivel (C2). Como resultado
13
7/25/2019 tese-IST
22/190
Gs
PLASMA
Elctrodo RFContra-Elctrodo
Espectrmetro de massa
124 mm
30 mm100 m
Portasubstratos
aquecido
Grelha deconfinamento
C1 C2
BombaTurbo
BombaTurboEspectrometria
de massaHIDEN EQP 300
BombaPrimria
BombaTurbo
Adaptador
DiagnsticosLIF, CARS
MedioVrfe Vdc
Gases
GeradorRF
Figura 2.1 Esquema do reactor em estudo
14
7/25/2019 tese-IST
23/190
do acoplamento capacitivo, e do facto da rea total massa ser superior do elctrodo RF, a
descarga produzida electricamente assimtrica, o que conduz ao desenvolvimento de uma
tenso de auto-polarizao no elctrodo RF devido acumulao no circuito externo de carga
elctrica proveniente da descarga.
2.2 Descrio do modelo de descarga
A descrio microscpica dum plasma de descarga pode ser feita recorrendo Mecnica
Estatstica [Nicholson, Balescu, Hwang], sendo cada partcula do plasma considerada como
pontual e possuindo uma posio rr
e uma velocidade wr
bem definidas. Para definir o estado
do sistema suposto conhecer com preciso o movimento individual de todas as suas
partculas em cada instante de tempo, o que alis corresponde ao mximo de informao que
se consegue obter do sistema. Em geral, no necessrio uma descrio to detalhada, sendo
suficiente conhecer a funo de distribuio ),,( twrf rr
das partculas do sistema, definida tal
que wdrdtwrfdN rrrr 33),,( = representa o nmero de partculas que, no instante t, se
encontram no interior do volume elementar wdrd rr 33 ,localizado em torno da posio ),( wr
rr
do espao de fases, e verificando portanto as seguintes condies de normalizao
)(),,(33
tNwdrdtwrf = rrrr
(2.1a)
),(),,( 3 trnwdtwrf rrrr
= . (2.1b)
Nestas equaes,N(t) onmero total de partculas que, no instante de tempo t, se encontra
em todo o espao de fases considerado e ),( trn r
a densidade de partculas, na posio rr
do
espao das configuraes e, no instante t.
Num plasma coexistem vrias espcies de partculas (electres, ies, neutros), pelo que
o conhecimento da funo de distribuio de cada populao determinante para a descrio
precisa das propriedades do sistema. Em princpio, o comportamento de cada uma das
espcies j de partculas num plasma pode ser descrito atravs da correspondente equao
cintica de Boltzmann. A equao de Boltzmann (EB) uma equao de continuidade no
espao de fases ),( wr rr
, que descreve a evoluo no espao e no tempo da funo de
distribuio , devido existncia de gradientes espaciais, aco das foras
electromagnticas aplicadas e ao efeito dos processos colisionais em que as partculas daespciejparticipam
),,( twrfjrr
15
7/25/2019 tese-IST
24/190
col
jj
j
jj
t
f
w
f
m
X
r
fw
t
f
=
+
+
r
r
rr j
. (2.2)
Nesta equao, ),,( twrfjrr
a funo de distribuio das partculas da espciej; mj a massa
dessas partculas; ( )BwEqX jrrrr
+=j representa as foras exteriores que actuam sobre as
partculas da espcie j, sendo qj a sua carga eEr
eBr
os campos elctrico e magntico locais.
Por simplicidade, vamos assumir doravante que os campos externos so unicamente do tipo
elctrico, i.e que .EqX jrr
=j
Frequentemente, as funes de distribuio das vrias espcies desviam-se da
distribuio de equilbrio Maxwelliana, e nestas circunstncias o sistema diz-se fora de
equilbrio. No caso de um plasma, os electres so mais leves que as outras espcies e
recebem por isso a maior parte da energia do campo. Por outro lado tm maior dificuldade em
perder a energia adquirida por colises com as outras espcies: as colises elsticas electro-
neutro, apesar de frequentes, so pouco eficientes na transferncia de energia (devido s
diferenas de massa entre os electres e os neutros), e embora o inverso se passe com as
colises inelsticas electro-neutro e electro-io, elas so pouco frequentes nos plasmas
fracamente ionizados. Por isso, os electres tm em geral uma energia mdia mais elevada,
comparativamente com a das outras espcies, e a sua funo de distribuio na maior parte
das vezes tpica duma situao de no-equilbrio. Nestas condies, para obter a funo de
distribuio dos electres (FDE) necessrio resolver a EB correspondente. Por outro lado, a
eficincia da transferncia de energia nas colises io-neutro, combinada com o facto dos ies
terem uma energia mdia muito menor que a dos electres, permite assumir que a funo de
distribuio dos ies uma Maxwelliana temperatura do gs.
A soluo completa da EB electrnica requer uma representao do plasma num espao
a sete dimenses, o que constitui uma tarefa de enorme complexidade e s possvel
por via numrica. O problema torna-se ainda mais complexo se tentarmos uma soluo auto-
consistente, que envolve o acoplamento da EB com a equao de Poisson para o clculo do
campo de carga de espao, associado separao de carga que decorre do transporte das
partculas carregadas. Tal nvel de detalhe desnecessrio na maior parte das aplicaes,
podendo o problema ser consideravelmente simplificado se resolvido num espao , ao
adoptar-se a aproximao hidrodinmica para descrever o plasma. Esta aproximao
representa cada populao de partculas do plasma como um fluido, caracterizado em termos
de grandezas macroscpicas acessveis experimentalmente, tais como: densidade, velocidade
),,( twr rr
),( trr
16
7/25/2019 tese-IST
25/190
mdia e energia mdia. Estas grandezas so definidas como mdias sobre a funo de
distribuio (os chamados momentos da funo de distribuio), sendo a sua evoluo no
espao e no tempo descrita respectivamente pelas equaes de conservao da massa,
quantidade de movimento e energia, deduzidas a partir do clculo dos momentos da equao
de Boltzmann.
Neste trabalho adoptamos a aproximao de momentos da EB para descrever o plasma,
devido no s simplificao do problema de transporte, mas tambm a uma maior
proximidade em relao informao disponvel experimentalmente, com vista a uma
validao do modelo. No entanto, esta aproximao levanta um problema que necessrio
resolver. As equaes de conservao das partculas do plasma so escritas em termos de
grandezas macroscpicas, as quais s se podem calcular depois de obtidas as funes de
distribuio dessas partculas, resolvendo a EB correspondente ou impondo uma funo de
distribuio conhecida. Para quebrar este ciclo seguiu-se a seguinte abordagem:
Deduo das equaes de conservao macroscpicas, calculando os momentos da EB.
Determinao de funes de distribuio, resolvendo a EB homognea e estacionria no
caso dos electres, ou impondo uma distribuio Maxwelliana no caso dos ies.
Fecho do sistema de equaes de conservao para cada espcie, usando a informaosobre as funes de distribuio obtidas.
2.2.1 Equao de Boltzmann electrnica.
Os electres so por excelncia a populao do plasma que se encontra fora de
equilbrio, o que levanta o problema do clculo da sua funo de distribuio, . Tal
pode ser feito resolvendo a equao de Boltzmann para os electres (EBE), o que constitui
por si s uma tarefa muito complexa e exigente em termos computacionais. Em geral, a
modificao da FDE devido aco dos processos de difuso ou do campo elctrico externo
traduz-se apenas num pequeno desvio em relao ao seu estado de equilbrio, o que sugere a
utilizao de um mtodo perturbativo para resolver a EBE. A tcnica consiste em expandir a
FDE numa srie de funes (truncada a um nmero mximo de termos), que uma vez inserida
na EBE conduz a um sistema de equaes cuja resoluo permite determinar os coeficientes
da srie. No caso dos electres, os desenvolvimentos em srie mais usuais so a expanso em
harmnicas esfricas no espao das velocidades e a expanso em gradientes de densidade.
),,( twrferr
17
7/25/2019 tese-IST
26/190
2.2.1.1Desenvolvimento da FDE em gradientes de densidade
Neste tipo de expanso assume-se que, depois de um intervalo de tempo
suficientemente longo, o gs de electres se encontra num regime de transporte estacionrio
(regime hidrodinmico), em que a evoluo da densidade obedece seguinte equao com
coeficientes constantes
0),()(0
=
=
trnt
e
j
j
rr(j) , (2.3)
sendo as constantes coeficientes de transporte tensoriais de ordemj. Quando truncada
segunda ordem, obtemos uma equao de difuso
(j)
),(),(),(
),(
trntrntrnWt
trn
eee
e rrrrrrr
r
=+
:D , (2.4)
em que podemos identificar (1)=Wr
como a velocidade de deriva, como o tensor
de difuso e como a frequncia efectiva de ionizao.
(2)D =
(0)=
No regime hidrodinmico, a dependncia espacial e temporal da FDE um funcional da
densidade electrnica , ou seja [Kumar, Lin, Pitchford]),( trner
),,()()(
...),(:)(),()(),()(),,(
0
)(
)2()1()0(
trnw
trnwtrnwFtrnwFtwrf
e
j
j
j
e
eeeeeee
rrr
rrrrrrrrrrrr
=
++=
=
F
F
(2.5)
onde as funes so tensores de ordem j, sujeitas s seguintes condies de
normalizao obtidas usando as equaes (2.1)
)()(
wj
e
rF
.j,w)dw(F
w(w)dF
r,t)dw,r(fN)w(F
(j)
e
)(
e
e
)(
e
00
10
10
==
=
rr
r
rrrr
(2.6)
Substituindo (2.3) e (2.5) na equao de Boltzmann (2.2), e agrupando os termos com a
mesma dependncia em , obtemos a seguinte hierarquia de equaes cinticasj)(
r
,0
0
)()1()(
)0()0(
=
=
=
kwJ
w
FFJw
j
jk
e
k
e
k
e
ee
FFFk
(j)
(0)
rr
r
rr
(2.7a)
(2.7b)
18
7/25/2019 tese-IST
27/190
onde r
representa o termo de aceleraoem
Eer
(eo mdulo da carga do electro) e J o termo
de coliso
col
j
t
f
da equao de Boltzmann electrnica. Resolvendo estas equaes
sucessivamente [comeando por (2.7a)] obtemos os coeficientes da expanso (2.5). Em geral,
para resolver estas equaes feita a expanso das )()(
wk
e
rF usando funes de Burnett [Lin,
Kumar], funes de Bessel modificadas [Wannier], ou harmnicas esfricas juntamente com
B-splines [Pitchford].
As expresses para os coeficientes de transporte obtm-se integrando as equaes
(2.7a-b) em
(j)
wr
, e usando as condies de normalizao (2.6). Separando a contribuio
conservativa (J
C
) e reactiva (J
R
) no termo de coliso,J=J
C
+ J
R
, obtemos
.0,)(
)(
)()1(
)0(
+=
=
kwdJwdw
wdFJ
k
e
Rk
e
e
R
FF(k)
(0)
rrr
r
(2.8)
Nota-se que os coeficientes de transporte tm em conta a criao/perda de partculas.
Assim, para se calcular o coeficiente de transporte de ordem k necessrio resolver as
equaes (2.7b) at ordem k, para obter )()( wker
F . Como os coeficientes de transporte
disponveis experimentalmente so no mximo de segunda ordem, para o seu clculo basta
fazer a expanso da FDE em gradientes de densidade at ordem 2, se se incluir a
ionizao/attachment, ou at ordem 1 se os efeitos da ionizao/attachment forem
negligenciveis.
Este tipo de expanso pode ser visto como a aplicao, a um gs de electres-neutros,
do mtodo de Chapman-Enskog (CE) usado na descrio do transporte de um gs neutro
[Chapman, Breznotits]. Este mtodo permite obter uma classe de solues da equao de
Boltzmann que depende da posio rr
e do tempo t por intermdio de grandezas
hidrodinmicas (densidade, velocidade mdia, energia do gs) e dos seus gradientes espaciais
sucessivos, dizendo-se neste caso que o gs est num regime hidrodinmico. Na aplicao do
mtodo CE a um gs de electres-neutros, admite-se que a FDE depende apenas de um dos
invariantes colisionais: a densidade. O regime hidrodinmico s vlido se os gradientes
temporais e espaciais forem pequenos.
19
7/25/2019 tese-IST
28/190
2.2.1.2Desenvolvimento da FDE em harmnicas esfricas. Aproximao clssica a dois
termos da equao de Boltzmann
O desenvolvimento em harmnicas esfricas consiste numa expanso local (na posio
r
r
e no instante t) da FDE numa srie de funes esfricas dependentes da orientao, noespao da velocidades, do vector velocidade em relao direco da anisotropia total do
sistema.
Figura 2.2 Sistema referencial no espao das velocidades
Usando uma representao em coordenadas esfricas para o espao das velocidades
(figura 2.2) temos
Em geral faz-se coincidir a direco da anisotropia total (que corresponde ao eixo de
expanso ) com a direco do vector velocidadeaanisotropier
zwr
(zwe
r), e uma vez que existe
simetria cilndrica em torno de , a FDE independente da coordenada azimutal do
espao das velocidades. Deste modo podemos desenvolver a funo de distribuio
aanisotropier
),,,( twrfe r
em termos de ,usando polinmios de Legendre [Lorentz, Allis, Delcroix]
zwer
ywer
zwer
wr
wr
= (w,,)
),,,,(),,( twrftwrf ee = rrr
....cos),,(),,(
)(cos),,(),,,,(
10
0
++=
=
=
twrftwrf
Ptwrftwrf
ee
l
l
l
ee
rr
rr
(2.9)
Assumindo que as seguintes condies se verificam
O livre percurso mdio electro-neutro, e, muito menor que a dimenso tpica, L,
do plasma;
A energia absorvida do campo por um electro, entre duas colises, muito menor
que a energia mdia de agitao trmica da populao electrnica,
20
7/25/2019 tese-IST
29/190
ento as anisotropias devidas aos gradientes espaciais e ao campo so pequenas e a expanso
(2.9) converge rapidamente, pelo que suficiente usar apenas os dois primeiros termos desta
srie para representar a FDE
. ),,(),,(
cos),,(),,(),,(
10
10
twrfw
wtwrf
w
wtwrftwrftwrf
ee
eee
rrr
r
rrrr
+
+
(2.10)
A expresso (2.10) corresponde ao desenvolvimento a dois termos ou desenvolvimento de
pequenas anisotropias da FDE, onde ),,(0 twrfe
rpode ser interpretada como a parte isotrpica
da FDE, enquanto aanisotropiee etwrftwrf rrrr
),,(),,( 11 representa o chamado vector 1 anisotropia.
Introduzindo a FDE (2.10) na equao de Boltzmann (2.2), e igualando os termos
semelhantes na dependncia angular [Allis, Ginsburg, Cherrington], obtemos a chamada
aproximao clssica a dois termos para a equao de Boltzmann, e que consiste numa
equao escalar para a parte isotrpica da FDE, ,0
ef
),,(),,(),(3
1),,(
3
),,( 012
10
twrCtwrftrEwm
e
wwtwrf
w
t
twrfe
e
ere rr
rrrrrrr
=
+
2
e num e
(2.11)
1fr
a equao vectorial para a primeira anisotropia, ,
),,(),,(
),(),,(),,( 1
00
1
twrCw
twrftrE
m
etwrfw
t
twrf e
e
ere r
rr
rrrrrr
=
+
, (2.12)
correspondendo C eC0 1
raos dois primeiros termos da expanso em polinmios de Legendre
do operador de coliso da EBE
)(cos),,(),,,( =
l
le Ptwrtwrt
f rrC
0 =lcol. (2.13)
o-se por
isso desprezar o seu efeito no operador de coliso da equao de Boltzmann, ou seja,
Num plasma fracamente ionizado, as colises electro-electro (e-e) e electro-io (e-i)
so em geral muito menos frequentes do que as colises electro-neutro (e-n), podend
21
7/25/2019 tese-IST
30/190
ne
e
ne
e
ie
e
ee
e
col
e
t
f
t
f
t
f
t
f
t
f
+
+
=
.
As colises e-n correspondem a colises binrias, locais e instantneas, dos electres
com os tomos do gs, o qual se considera em equilbrio com as paredes que o rodeiam,
condies, os diferentes processos de coliso electro-neutro podem ser descritos por um
conjunto de operadores, funo da energia electrnica
apresentando uma distribuio de velocidade ra Tg. Nestass Maxwelliana temperatu
2
2mw
= , expressa em eV. Assim,
depois de renorm
u
alizar a FDE em energia de acordo com
10),,(4),,( ,lduuturfdwwtwrf ee = 2 ll rr
, (2.14)
os da expanso em srie do operador colisional da EBE podem representar-se
at
os term
ravs de uma soma de vrios processos
[ ]),,(),,(),,(),,(4
),,( turIturSturJturRm
e
mtwrC lllleel
rrrrr+++
10,l= , (2.15)
onde ,
elstico de excitao, superelstico de desexcitao e de ionizao, respectivamente.
os so definidos como:
2e
llll ,,, ISJR so os coeficientes da expanso dos operadores de coliso elstico,
in
No caso da componente isotrpica,0
C , os vrios term
Operador colisional elstico [Cowling, Allis, Delcroix]
+ ueumumM ee
+
turfTk
turfuueNm
turR egB
ece ),,(),,()(
22),,(
002
rrr
, (2.16a)
por colises elsticas com e isotrpica da FDE
ribuio Maxwelliana
ondeM a massa de cada tomo (ou molcula) do gs; kB a constante de Boltzmann; Tg a
temperatura do gs em Kelvin; )(uc a seco eficaz de coliso elstica e-n para a
transferncia da quantidade de movimento e N a densidade do gs neutro. Os dois termos
deste operador contabilizam, respectivamente, as perdas e os ganhos de energia dos electres
tender, atravs dessas uma dist temperatura T
os neutros, e traduz o facto da component
colises, para g, num
22
7/25/2019 tese-IST
31/190
tempo caracterstico )(1 uvmM e + , onde
2m c
e
ecc meuuNuv /2)()( = a frequncia de
coliso elstica e-npara a transferncia da quantidade de movimento.
Operadores colisionais inelstico de excitao/superelstico de desexcitao [Delcroix,
Ginsburg, Holstein]
[ ] +++ eqppqepqqppqp turfuutVurfVuVuN
N
m
e
u
NturJ ),,()(),,()()(
2),,( 00
rrr
>p pqe
(2.16b)
[ ]
pqp
epq turfuvturJ,
11 ),,()(),,( rrrr
;
7/25/2019 tese-IST
34/190
Com o operador de coliso escrito em funo da energia,
equao de Boltzmann para os electres (2.11) (2.13) num espao
conveniente reescrever a
,,( urr
, utilizando a
renormalizao em energia (2.14) e as expresses (2.16a-f) e (2.17) apresentadas para os
)t
operadores colisionais
),,(),,(),
),,(),(3
21),,(
3
2),,( 110
turIturSt
turftrEu
m
e
uuturf
u
m
e
t
turfe
e
er
e
e
rrrr
rrrrrrr
,(),,( urJturR
r
++
+
+=
),,()(),(
),(2
),,(2),,( 1
00
1
turfuvu
turftrE
m
euturf
m
eu
t
turfe
eff
ce
e
er
e
e rr,
rrrrr
rr
=
+
,
(2.18a)
(2.18b)
com a condio de normalizao
).,(),,(0
trnduuturf ee0 rr =
(2.18c)
Da anlise de (2.18b) podem
de densidade destruda pelas colises electrnicas com uma frequncia veff
c ,
a frequncia de relaxao da parte isotrpica (frequncia de relaxao da energia)
aproximadamente igual a
os ver que anisotropia criada pelo campo e pelos gradientes
)(u . Por sua vez
++
p
I
p
pqp
pq
pqp
pq uvuvuv
M
)()()(,,
. Assim,
excepto em situaes em que as colises inelsticas so dominantes, temos )()( uvuv eeff
c >> ,
ento dum equilbrio
isotr
onstante no
tempo (regime DC), podemos simplificar a EBE eliminando todas as dependncias temporais
ecundrios e tratar a
a de equaes
+ ce
e uvm
uv )(2
)(
concluindo-se assim que as colises so mais eficazes no estabelecim
pico do que um equilbrio termodinmico.
2.2.1.3Equao de Boltzmann electrnica homognea e estacionria
O sistema de equaes (2.18a-b) pode ser simplificado em alguns casos especiais.
Supondo que a nica anisotropia a criada pelo campo e que este uniforme e c
e espaciais, o que implica tambm ignorar a presena de electres s
ionizao como um processo inelstico de excitao. Nestas condies, o sistem
(2.18a-b) reduz-se equao de Boltzmann electrnica homognea e estacionria
26
7/25/2019 tese-IST
35/190
[
],)()())()()()()(
()()(
)(3
2
uFuuVu
uFuuVuFVuVu
VuFVuVu
duedumMduudu
d
N
E
eppI
I
q
p
q
p pq
q
epq
q
ppqp
ec
+
+
+++=
+
>
nde
()()(
)()()
)()()(
2)(1 2
FVuVu
uFuu
udFTkuFuu
dmudFu
epIppI
pqepqepqppq
eppq
egB
ecee
eff
++
+
+
7/25/2019 tese-IST
40/190
enquanto que o termo =
tt
n
col
1)(
d conta das transferncias de energia nos
wdf
mw r32
2
processos colisionais.
No caso dos electres, o fluxo total de energia Qr
pode-se escrever numa forma
semelhante do fluxo de partculas (2.31). Comearemos por assumir que a energia trmica
uito superior energia dirigida vth m , tendo-se para a energia cintica mdia th ~ .
Supondo que a presso cintica populao de electres obedece
a uma distribuio de equilbrio com temperatura Te, tal que
escalar e isotrpica, e que a
=3
2
e
Tk eB , o tensor presso
cintica escreve-se .II~P32 = enp Finalmente, o vector fluxo de energia trmica pode-se
aproximar pela lei de Fourier =
rr
eTKq 32
, onde eTK o coeficiente electrnico de
condutividade trmica dado por eeT DnK e )2/5(= [Golant]. O fluxo total de energia escreve-
e assim [utilizando tambm a equao (2.31)]s
eeee nDEnD
nqnPqQ
=
+++++rrr
ee
eethee
n
rrrrrrr
35
35
35
2()(
vvv
ou
)( = ee nDEn
3 v
rrr, (2.34)
onde e D so respectivamente os coeficientes de mobilidade e de difuso para o
ansporte de energia mdia dos electres, definidos comotr
e5
e3
eDD3
5 . (2.35)
As equaes de transporte (2.27), (2.30) e (2.33) esto escritas em funo das grandezas
macroscpicas (2.26a-c), do tensor de presso cintica P e do fluxo total de energia Qr
, no
formando um conjunto completo e fechado de equaes capaz de descrever o comportamento
macroscpico dum plasma, de forma auto-consistente. Com efeito, cada uma destas equaes
encontra-se sempre acoplada equao de momento de ordem superior, pelo que a soluo
para este problema requer a introduo de condies de fecho adequadas para cada espcie de
partculas, por exemplo definidas atravs da imposio de hipteses simplificativas nas
expresses de algumas das grandezas macroscpicas a calcular.
32
7/25/2019 tese-IST
41/190
2.2.2.1Equaes de transporte dos ies
Os ies, devido sua inrcia, no respondem imediatamente s oscilaes rpidas do
xplica porque motivo a energia mdia dos ies bastante inferior dos electres. Como por
bastante eficiente, podemos
este modo, para descrever o
transporte dos ies suficien omentos da equao de
Boltzmann para cada uma das espcies inicas i, o que corresponde s seguintes equaes.
campo (sendo pouco acelerados por este) o que, combinado com o facto da transferncia de
energia entre electres e ies ser bastante ineficiente, por causa da diferena de massas,
e
outro lado a transferncia de energia entre ies e neutros
assumir que a funo de distribuio inica (FDI) uma Maxwelliana temperatura do gs,
i.e, que a energia mdia dos ies igual do gs neutro. D
te considerar apenas os dois primeiros m
Equao de continuidade (cf 2.27)
i
i St
n rr=+
i ,
(2.36)
onde iinvrr
i o fluxo inico e ii vnS i representa a taxa lquida de criao de ies devido
, c i
Eq
Assumindo que os ies na temperatura do
gs, o seu tensor de presso cintica escreve-se como [Hwang]
aos diversos processos cinticos no plasma om v a respectiva frequncia lquida de criao.
uao de transporte da quantidade de movimento (cf 2.30)
seguem uma funo de distribuio Maxwellia
Ipwnm == ))(( vv w iiiir vvr
P ,
comp =n k T . Substituindo este resultado na equao (2.30) obtemos a equao de transportei i B g
da quantidade de movimento para os ies
)()( iciiiiiiiii vvnmpEent
nm +=
+
vvv
v vrrvrv nii v
(2.37)
( para ies positivos/negativos), ondeni
cv
frequncia mdia total de co para a
transferncia da quantidade de movimento.
O fluxo inico pode ser escrito na aproximao de deriva e difuso(cf2.31)
liso i-n
ii
eff
iiii nN
N
N
EnNn =
rDr
r (r ))( vi ,
(2.38)
33
7/25/2019 tese-IST
42/190
onde se introduziu o campo elctrico efectivo effiEr
par a i, sendo Nia a espcie inic e NDi
os respectivos coeficientes reduzidos de mobilidade e de difuso. O significado fsico do
campo eff
i
Er
pode ser entendido derivando (2.38) em ordem ao tempo, assum
coeficientes de difuso, mobilidade e que o gradiente relativo a densidad variam
lentam ite escrever
indo que os
d e inica
ente, o que perm
t
NEN
t
eff
ii
i
)/()(
rrv
.(2.39)
A partir da equao (2.39), conclui-se que effiEr
define o campo elctrico com o qual a
espcie inica iest em equilbrio (recorde-se que s ies, devido sua in podemreagir instantaneamente s variaes do campo elctrico externo).
o rcia, no
A equao que descreve a evoluo no espao e no tempo de effiEr
obtm-se, assumindo
pequenos gradientes relativos de temperatura inica ( iiii nnTT
7/25/2019 tese-IST
43/190
plasma que se encontra fora de equilbrio, sendo necessrio calcular a sua funo de
distribuio resolvendo a correspondente equao de Boltzmann, ou uma aproximao desta
m a
es esp de
densidade ) so pequenas, podemos usar o desenvolvimento a dois termos da FDE (cf 2.10)
espao das velocidades. Nesse caso, atendendo s relaes de ortogonalidade dos
polin
ais adequada ao tratamento numrico. Assumindo que as anisotropias que afectam
populao electrnica (devido aco do campo elctrico e dos gradient aciais
no
mios de Legendre, os valores mdios (2.25) de grandezas istropas (por ex.
etcmw ,, 2211= ) no espao das velocidades so efectuados apenas sobre a parte isotrpica da
FDE
),(
),,(,
),(
),,(),(
),( trn
duuturfm
eur
trn
dwwtwrfwr
tr
e
ee
r
rr
r
rr
r
0
20
2
4
=
,
(2.41)
enquanto que os valores mdios de grandezas proporcionais a wr
(por ex. wwr rr),(= ), no
espao das velocidades, seefectuam sobre a primeira anisotropia da FDE
),(
3),,(
),(
3),(
1
trn
duturfm
trntr
e
e
rr
= .(2.42)
Dado que os electres tm uma energia mdia muito superior das restantes espcies
dade de movimento e da energia [cf. (2.27),
(2.30)
mos aqui a aproximao clssica a dois termos da EBE [cf. 2.18 (a)-(b)],
a sua parte isotrpica contm o respeitante ao balano de partculas e
potncia electrnicas, en ra a primeira anisotropia permite conhecer o
ergias
2,
24),,(),( 31
ueur
m
edwwtwrfwr
ee
rrrrrr
r
do pla descrever correctamente o sporte necessrio recorrer s equaes
de conservao do nmero de partculas, da quanti
sma, para seu tran
e (2.33)] do gs de electres, correspondentes aos trs primeiros momentos da EBE.
Uma vez que adopta
toda a informa
quanto que a equao pa
modo como se processa o transporte dos electres no plasma.
A equao de continuidade electrnica obtm-se integrando directamente a equao
para a parte isotrpica [2.18 (a)] no espao das en
ee
e St
n=+
rr
,(2.43)
nde nvo eerr
o fluxo electrnico e vnSe iee = a taxa lquida de criao de electres
devido aos vrios processos cinticos no plasma.
35
7/25/2019 tese-IST
44/190
Para obter o fluxo electrnico vamos assumir a condio de transporte electrnico em
regime estacionrio
11
)( eeff
ce fuvt
f rr
7/25/2019 tese-IST
45/190
os coeficientes de transp e (2.46) - (2.48), so dados por
[Alves]
orte e de reaco, nas equaes (2.43)
Energia mdia electrnica
=
0
2
3
),,( duuturF r
;(2.51)
Coeficiente de reaco electro-neutro
= 0 )(),,( uduuturFmN je
2evj r
(2.52)
onde )(uj a seco eficaz de coliso e-n correspondente ao processo reaccional;
Mobilidade electrnica
= 0 )(3 duuumN effe ),,(21 turFue
ce
r
;
(2.53a)
Coeficiente de difuso electrnico
=
0),,(
)(
2
3
1duturF
u
u
m
e
ND
eff
ce
e
r
;
(2.53b)
Mobilidade electrnica para o trans rgiaporte de ene
=
2
2
3
),,(
),,(
3
duuturF
du
turFu
mN er
0 )(21 uue eff
c
r
;
(2.54a)
0
Coeficiente de difuso electrnico para o transporte de energia
=
0
0
2
2
3
),,(
),,()(2
3
1
duuturF
duturFu
u
m
e
ND
eff
c
er
r
,
(2.54b)
Coeficiente de dissipao de energia em colises e-n
+=
N
S
N
SNnS inelelase
+=
0
2 ),,(),,()(22
duu
turF
e
TkturFuu
m
e
M
m
N
S gBelas
e
eelas
rr
,
=j
j
jinel
N
vV
N
S
(2.55)
onde Vj a energia de excitao do estado neutroj.
37
7/25/2019 tese-IST
46/190
Os parmetros de transporte electrn
reaco (CRE) (2.5
icos (PTE) (2.53)-(2.54) e os coeficientes de
2) e (2.55) desempenham um papel fundamental nas equaes de
transporte electrnic ica o esf ente os seus perfis
espaciais e temporais. De facto, ariem significa te
no espao e no tempo, dada a elevada mobilidade dos electres. O clculo dos seus perfis
pode
.
Uma
as, o que justif oro em calcular correctam
de esperar que estes parmetros v tivamen
ser feito atravs de um cdigo Monte-Carlo multidimensional e dependente do tempo
[Sommerer 92], acoplado ao modelo fluido, muito embora esta aproximao hbrida seja
bastante exigente em termos numricos. A fim de evitar a utilizao desta abordagem, os
coeficientes de transporte foram aqui definidos em termos de uma FDEE, separando-se a
contribuio da densidade electrnica, mas mantendo a sua dependncia no espao e no
tempo. O problema resume-se ento determinao da FDEE para calcular os PTE e CRE
hiptese possvel utilizar uma FDEE Maxwelliana de equilbrio temperatura Te, tal
que 3
2=
e
Tk eB , obtendo-se no caso especial duma frequncia constante de coliso para a
transferncia da quantidade de movimento ( eff
c
eff
c vv = ) as seguintes expresses para os PTE
[cf. (2.32) e (3.35)]
eff
ce
evm
e
3
5
3
5 == e eff
ce
eBe
vm
TkDD
3
5
3
5 == . (2.56)
Muitos modelos de descargas [Richards, Bouef, Graves] adoptam verses de equilbrio
para os parmetros de transporte e respectivos fluxos electrnicos [(2.31)-(2.32), (2.34)-
(2.35), (2.56)], as quais parecem favorecer a estabilidade e a convergncia numrica desses
modelos. As consequncias desta aproximao so a eliminao do de difuso trmica
a perda da descrio dum transporte de no equilbrio, contida nas expresses (2.52)-(2.55).
O presente modelo foi desenvolvido [Salabas, Salabas 03] para corrigir osconstrangimentos associados verso de equilbrio das equaes de transporte electrnicas.
Assim, estas equaes foram aqui obtidas calculando os m da EBE (escrita
FDEE dependente do espao e do tempo. Esta pode ser deduzida resolvendo a EBE
homognea e estacionria, na sua aproximao a dois termos (2.21)-(2.22) para vrios valores
de campo elctrico. No entanto, a FDEE assim obtida no fornece de forma explcita uma
informao de natureza espacio-temporal, pelo que para obviar este problema tm sido usadas
duas condies de fecho para a cintica electrnica: a aproximao de campo elctrico local
termo
(associado aos gradientes de temperatura) das equaes do fluxo de partculas e de energia, e
aproximao a dois termos), e os PTE e os vrios CRE foram definidos como integrais sobre a
omentos na sua
38
7/25/2019 tese-IST
47/190
(ACL) e a aproximao de energia mdia local(AEL). A ACLassume que os PTE e CRE,
calculados numa dada posio rr
e tempo t, so uma funo exclusiva do campo elctrico
reduzido local NtrE ),(rr
, assumindo-se assim que a FDEE em ),( trr
seria a mesma que
existiria num campo elctrico reduzido e uniforme igual a NtrE ),(rr
.Nesta situao de
equilbrio com o campo elctrico aplicado a energia ganha pelos electres do campo
dissipada localmente por colises com o gs, o que corresponde a ignorar na equao de
energia electrnica (2.47) os po
t
ne)( e de transporte ( )rr
termos de derivada no tem .
Esta ap
coliso so
roximao seguramente vlida a altas presses, situao em que as frequncias de
suficientemente elevadas para justificar um equilbrio local com o campo
elctrico reduzido, e em regies de descarga caracterizadas por campos uniformes e variando
lentamente no tempo. Nas bainhas de descargas RF, por exemplo, o campo elctrico no
uniforme e varia rapidamente no tempo, o que significa que os PTE e os CRE podem no
estar em equilbrio com esse campo. De facto a ACL conduz a resultados no fsicos nas
bainhas de descarga levando a um aumento dos PTE e do coeficiente de ionizao nestas
regies, pelo que muitos autores impem um conjunto de PTE constantes nas bainhas como
soluo prtica para o problema.
Na AEL [Nienhuis, Salabas] assume-se que a dependncia espacial e temporal da
FDEE, bem como dos PTE e CRE, introduzida atravs do valor local da energia mdia
electrnica, cujo perfil no espao e no tempo obtido resolvendo a equao de energia
electrnica (2.47), ou seja
)),(,(),,( truFturF rr= .
Nesta aproximao, os perfis espacio-temporais dos PTE e CRE podem ser calculados
da seguinte forma. Em primeiro lugar, a EBE homognea e estacionria [na sua aproximao
ou mistura gasosa em estudo. Em seguida, os resultados obtidos so usados para construir
uma tabela com os vrios PTE e CRE em funo da energia mdia electrnica. Finalmente,
obtm-se o perfil espacial e temporal da energia mdia electrnica a partir das equaes de
transporte, o qual depois usado para obter
a dois termos (2.21)-(2.22)] resolvida para diferentes valores de campo elctrico para o gs
os perfis dos PTE e CRE por interpolao dos
result
ra valores muito elevados de energia, violando a aproximao a dois termos.
Esta limitao pode ser atenuada adoptando uma EBE dependente do tempo, que permite o
ados da tabela anterior. Apesar de inexacta, esta aproximao permite eliminar as
variaes no fsicas verificadas com a ACL para os PTE nas bainhas, desde que a EBE no
seja resolvida pa
39
7/25/2019 tese-IST
48/190
crescimento da densidade electrnica lquida devido ao processo de ionizao [Yoshida] (ver
sec
e
o 2.3.2). Neste caso, a energia de ionizao disponvel distribui-se entre os electres
difundido e secundrio, com a consequente reduo de intensidade na cauda da funo de
distribuio e na anisotropia electrnica. Uma alternativa a este procedimento consiste em
usar a EBE homognea e estacionria para campos elctricos que garantam a condio de
pequenas anisotropias [(E/N) 10-15
Vcm2 ou 10 20eV], adoptando-se para energias
mdias superiores uma Maxwelliana temperatura T, tal que 2
=Tk eB . O valor de para a
3e
dia
a dos PTE obtid BE cruza os correspondentes PTE
calcu a Maxwelliana [Salabas 03].
ara completar a descrio do transporte dos electres falta apenas definir os vrios
processos cintico o e perda el o 2.3), iro calcular
os PTE e CRE.
2.2.2. Implementao do modelo de descarga
zona do reactor (figura 2.1) q modelizar resume-se ao volume entre os
elctrodos e a grelha de confinamento latera Dada a simetria do reactor, o domnio de
simulao pode ser restringido a metade do volume e a uma descrio a duas dimenses, o
que corresponde ao r relha lateral (r=R) eos elctrodos superior e inferior (z=0 e z=d respectivamente), conforme ilustrado na figura
2.3. O circuito externo aqui representado pelo condensador de bloqueio CB, que impe o
t
nio de simulao
transio depende do gs ou mistura gasosa, escolhendo-se em geral o valor de energia m
para o qual a maiori os atravs da E
lados com
P
s de cria ectrnicos (sec os quais permit
3
A ue interessa
l.
ectngulo delimitado pelo eixo da descarga (r=0), a g
acoplamen o capacitivo.
Eixo da
r = 0 r= 6.2 cm
descarga
Grelha deconfinamento
z= 3.0 cm
Plasma
CB
Elctrodo RFGerador
RF
Substrato
z= 0
Plasma
~
Figura 2.3 Representao do dom
40
7/25/2019 tese-IST
49/190
2.2.2.3.1 E
A din na descarga RF descrita pelas respectivas
equaes de transporte, acopladas com a equao de Poisson e com a equao de balano da
energia m rtculas escrevem-se em funo de parmetros de
transporte reduzidos densidade total de gs
),(/),(),( zrTkzrpzrN gB= coordenadas cilndricas (r,,z),
assumindo-se a existncia de simetria azimutal devido a configurao do reactor.
O trans
da quantidad
primeiros mo sua aproximao a dois termos), sendo escritas como
qua elo
mica das partculas carregadas
es do mod
dia electrnica. Os fluxos de pa
, calculados em relao
. As equaes escrevem-se em
porte lectr descrito usando as equaes de continuidade, transferncia
e de movimento e balano da ene trnica, obtidas atravs dos trs
mentos da EBE (na
dos e es
rgia mdia elec
Equao de continuidade [cf. (2.43)]
e
eee Szr
r
rt
nzr =
+
+
)(1,
(2.57)
onde ),,( tzrqe
a componente q=r,zdo fluxo electrnico e ),,( tzrSe a taxa
Fluxo electrnico [cf. (2.46)]
lquida o de electres.de cria
[ ]q
nNN
nN eeeeeq =))( q , (2.58)
nde N e ND so os coeficientes reduzidos de mobilidade e difuso
electrnicos, amente, e ),,)(/( tzrNE a componente q=r,zdo campo
elctrico reduzido.
NDE (1
o e e
respectiv q
Equao de balano da energia mdia local [cf. (2.47) e (2.48)]
SEzrrt
e
)(1)(
zrrne =
+
+
vr,
(2.59)
onde ),,( tzrS dia electrnica, por un e
volume, dissipada em colises elsticas e inelsticas com o gs neutro, eq
, a
omponente q=r,zdo fluxo de energia dada por
representa a taxa de energia m idade d
c
[ ]q
nN e
= )( q ,nND
NN
Ee
)(1q
(2.60)
41
7/25/2019 tese-IST
50/190
onde N e D de mobilidade e de difuso
electrnicos para o tran
Para o
respectiva equao de Boltzmann, correspondendo s equaes de continuidade e de
transferncia
quao de continuidade [cf. (2.36)]
N so os coeficientes reduzidos
sporte de energia.
trans do s consideram-se apenas os dois primeiros momentos da
da quantidade de mo s como
porte s ie
vimento, escrita
E
ii S
zr
r
rt
n=
+
+
zr ii
)(1,
(2.61)
onde ),,( tzr componente q=r,z do fluxo da espcie inica i e ),,( tzrS qi
i
a taxa lquida de criao da espcie inica i.
Fluxo inico [cf. (2.38) e (2.40)]
qNNiiiq (2.62)
onde obilidade e difuso da
q=r,z do campo elctrico
efectivo reduzido associado espcie inica i, dado por
nNDEnN ii
=
)()(
eff
iq,
Ni e NDi so os coeficientes reduzidos de m
espcie inica i, e ),,)(/( tzrNEeff
iq a componente
qqzr i
i
iiii
iqni
c
i
N
v
zrNNNv vvvv
mm
+
1. (2.63)
i
effeff EE
t
NE )/( =
O tratamento auto-consistente do transporte de partculas carregadas feito acoplando o
conjunto anterior de equaes de transporte com a equao de Poisson. Esta equao permite
obter o potencial elctrico, V(r,z,t), no interior da descarga, em funo da diferena de
potencial externa aplicada entre os elctrodos e da distribuio espacial de partculas
carregadas no reactor
=+ en np p nnnezVrVrr 02 , (2.64)r
2
1
42
7/25/2019 tese-IST
51/190
onde np a densidade de ies positivos, a densidade de ies negativos e
permitividade do vcuo. O cam nte nas equaes de transporte (2.57 )
obtm-se usando a relao )trV(r,z,t)E =
nn 0 a
po elctrico prese ) - (2.63
,,z(rr
.
Para que o problema fique matematicamente bem definido necessrio com o
sistem
imulao cor