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ANÁLISE DA SENSIBILIDADE DINÂMICA DE
EDIFÍCIOS COM ESTRUTURAS ESBELTAS.
Túlio do Valle Moreira
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS
EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
Prof. Ronaldo Carvalho Battista, Ph. D.
Profa. Eliane Maria Lopes Carvalho, D. Sc.
Prof. Eduardo de Miranda Batista, D. Sc.
Profa. Michèle Schubert Pfeil, D. Sc.
Prof. Pedro Afonso de Oliveira Almeida, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
DEZEMBRO DE 2002
ii
MOREIRA, TÚLIO DO VALLE
Análise da Sensibilidade Dinâmica de
Edifícios com Estruturas Esbeltas [Rio de Janeiro] 2002
XIV, 241 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D. Sc. ,
Engenharia Civil, 2002)
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE
1. Sensibilidade Estrutural Dinâmica
2. Propagação de Ondas
3. Painéis de Alvenaria
4. Modelagem Estrutural
I - COPPE/UFRJ II - Título (Série)
iii
À minha filha, Carolina.
iv
AGRADECIMENTOS
À Deus, em primeiro lugar, por conceder-me o privilégio de compartilhar o
mesmo espaço físico ocupado por pessoas amigas e corretas (colegas, professores,
funcionários, etc), e o orgulho de estar em meio a um seleto grupo que participa com
aquilo que há de melhor em pesquisa. Apesar das dificuldades pude, com esse trabalho,
fazer parte deste universo.
Aos meus pais, Arnaldo e Therezinha, que têm participação fundamental na
formação do meu caráter e que continuam cumprindo um papel importante de incentivo,
não deixando que jamais desanimasse de meus próprios sonhos. Obrigado por serem
brilhantes nesta e muitas outras tarefas que lhes foram atribuidas. E aos meus irmãos
Arnaldo e Emerson para que tenham fé e determinação em seus sonhos também.
À minha esposa, pelo apoio incondicional me dando sempre traquilidade para
que eu pudesse insistir no meu ideal e que em muitos momentos pudemos compartilhar
alegrias e preocupações.
Ao meu orientador, Prof. Ronaldo Battista, que além de contribuir para o êxito
deste trabalho soube também ajudar-me a crescer espiritualmente, pela sua própria
conduta de honestidade e responsabilidade.
À Profa. Eliane Carvalho que desde o mestrado tem colaborado, em gesto de
gratuidade, inúmeras vezes, se mostrando sempre disposta a ajudar-me.
A todos os meus colegas, pela convivência sadia, honesta e descontraída, que no
decurso desta caminhada contribuíram para tornar mais ameno o penoso dia a dia da
pesquisa. Citando alguns como Adriano, Márcio, Silvestre, Marco (baiano), Norma,
Patrícia, Beth, Natália, Rosângela, Assis, Zé Mário, Eduardo e demais companheiros de
Labest e B-103.
A todas as pessoas que de alguma forma, com orações e pensamentos positivos,
também contribuiram para o êxito deste trabalho.
v
Resumo da Tese apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D. Sc.)
ANÁLISE DA SENSIBILIDADE DINÂMICA DE
EDIFÍCIOS COM ESTRUTURAS ESBELTAS
Túlio do Valle Moreira
Dezembro/2002
Orientador: Ronaldo Carvalho Battista
Programa: Engenharia Civil
Apresenta-se neste trabalho um estudo da sensibilidade estrutural de edifícios
residenciais urbanos em concreto armado a várias fontes de perturbações de
características estáticas e, principalmente, dinâmicas. Tal estudo é feito sob critérios de
conforto humano e de danos que podem ocorrer em edifícios com certas concepções
estruturais quando sob efeito de vibrações excessivas e recalques diferenciais. Algumas
estruturas típicas residenciais têm seus comportamentos investigados quando sob ações
dinâmicas tais como as produzidas pelo tráfego de veículos pesados, explosões
subterrâneas, impactos produzidos pela cravação de estacas em terrenos vizinhos e
também pela ação de vento. São desenvolvidos modelos simplificados 2D para obtenção
de respostas dinâmicas da estrutura sob tais ações, incluindo o modelo de propagação de
ondas no solo produzidas por cargas dinâmicas aplicadas no terreno em pontos distantes
das fundações do edifício.
Modelos tridimensionais são usados para determinar as propriedades modais da
estrutura, necessárias para desenvolvimento dos modelos simplificados de análise modal
nos domínios do tempo e da freqüência. Aspectos práticos relacionados à modelagem
numérica-computacional de concepções estruturais típicas são tratados no presente
trabalho. Considerada-se a influência dos painéis de vedação externas e divisórias
internas (paredes) no enrijecimento da estrutura, demonstrando-se que essas têm
participação efetiva principalmente em estruturas esbeltas e pouco travejadas. Nesse
contexto propõe-se um modelo simplificado para simular o mecanismo promovido pela
parede confinada em quadros viga-coluna.
As respostas às ações dinâmicas são validadas por meio de correlação com
medições experimentais realizadas em estruturas existentes de edifícios residenciais
urbanos.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D. Sc.)
SENSITIVITY DYNAMIC ANALYSIS OF
BUILDINGS WITH SLENDER STRUCTURES
Túlio do Valle Moreira
December/2002
Advisor: Prof. Ronaldo Carvalho Battista
Department: Civil Engineering
The present work presents a study of the sensitivity of reinforced concrete
structures of urban residential buildings to various sources of perturbations either of
static or, particularly, dynamic characteristics. This study is carried out under the
criteria of human comfort and damages that may occur in buildings of a kind of
structural conception, when under the effect of excessive vibrations or differential
settlements. Some typical residential building’s structures have their behaviour
investigated when under the action of dynamic loadings induced by the traffic of heavy
vehicles, underground blastings, pile driving in neighbouring lots and also by winds.
Two-dimensional simplified models both for the structure and the wave
propagation in soil stractum are developed to obtain the dynamic response of the
structures under the mentioned loadings. Three-dimensional models of the structures are
used to determine their modal properties which are needed to formulate the simplified
modal analysis in both time and frequency domains.
Practical aspects related to the numerical-computational modeling of typical
structural conceptions are discussed in this work. Moreover it is considered the
influence of the masonry panels on the overall stiffness of the reinforced concrete
structure, particularly on the most slender and less braced structures. Within this context
it is proposed herein a simplified modeling to take into account the stiffning mechanism
produced by the wall panels confined in frameworks formed by columns and beams.
The proposed theoretical-numerical models are validated through correlations
between the obtained dynamic responses and their experimental counterparts obtained
from measurement campaigns carried out on existing structures of urban residential
buildings.
vii
ÍNDICE
I – INTRODUÇÃO, 1
I.1 – Motivação para o trabalho de pesquisa, 1
I.2 – Histórico, 3
I.3 – Escopo, 6
II – AÇÕES DINÂMICAS SOBRE EDIFÍCIOS URBANOS, 10
II – Panorama Geral, 10
II.1 – Vibrações Induzidas por Tráfego de Veículos, 17
II.2 – Compactação por Vibração, 23
II.3 – Cravação de Estacas, 24
II.3.1 – Registros Históricos, 24
a) Cravação por Vibração, 25
b) Cravação por Percussão, 26
II.3.2 – Detalhes do Modelo a Percurssão Empregado, 28
II.4 – Explosões Superficiais ou Subterrâneas, 30
II.4.1 – Registros Históricos, 30
II.4.2 – Detalhes do Modelo Empregado, 33
II.5 – Vibrações Induzidas por Máquinas, 35
II.6 – Vibrações Induzidas por Vento, 37
II.6.1 – Aspectos Gerais Envolvidos, 38
II.6.2 – Modelagem Estatística, 39
II.6.3 – Detalhes do Modelo Empregado, 43
II.7 – Vibrações Induzidas por Atividade Humana, 46
III – MODELO MATEMÁTICO PARA PROPAGAÇÃO DE ONDA NO TERRENO, 48
III.1 – Introdução, 48
III.2 – Equação Unidimensional da Onda, 49
III.2.1 – Onda Longitudinal (Onda Compressional), 50
viii
III.2.2 – Onda Torcional, 52
III.3 – Equação Tridimensional da Onda, 55
III.3.1 – Ondas-P e Ondas-S, 55
III.3.2 – Soluções das Equações de Ondas-P e Ondas-S, 58
III.4 – Ondas Rayleigh em um Semi-espaço Elástico, 60
III.5 – Modelo de Propagação de Ondas Rayleigh, 63
III.5.1 – Equações de Ondas em Coordenadas Cilíndricas, 63
III.5.2 – Função de Transferência para Onda Rayleigh, 67
III.6 - Comentários Adicionais, 70
III.6.1 – O Movimento das Partículas no Meio, 70
III.6.2 – Características da Propagação, 71
IV – MODELAGEM ESTRUTURAL DE UM EDIFÍCIO DE MÚLTIPLOS
ANDARES, 73
IV.1 – Introdução, 73
IV.2 – Análise Comparativa das Modelagens 3D, 79
IV.3 – Análise Comparativa das Respostas dos Modelos Estruturais, 87
IV.3.1 – Respostas Dinâmicas dos Modelos Induzidas por Impactos devidos a
Cravação de Estacas, 87
IV.3.2 – Respostas Dinâmicas dos Modelos Induzidas pela Ação do Vento, 89
IV.4 – Avaliação Final, 91
V – MODELO SIMPLIFICADO PARA REPRESENTAR AS PAREDES DE
ALVENARIA, 93
V.1 – Introdução, 93
V.2 – Registros Históricos, 94
V.3 – Influência dos Painéis de Alvenaria – Modelo Matemático, 97
V.4 – Modelos com Diagonais – Modelo Matemático, 108
V.5 – Módulo de Rigidez Cisalhante G dos painéis de Alvenaria, 110
V.5.1 – Modelo Simplificado dos Painéis de Alvenaria, 110
V.5.2 – Rigidez Axial EA de Elementos Diagonais, 111
ix
a) Modelo Elástico Linear, 111
b) Variação de G com a Geometria dos Painéis, 113
c) Determinação das Propriedades da Diagonal Equivalente, 116
V.6 – Modelo Completo x Modelo Simplificado, 117
V.6.1 – Modelo Bidimensional, 117
V.6.2 – Modelo Tridimensional, 119
VI – ANÁLISE DE SENSIBILIDADE – MODELO 1, 122
VI.1 – Introdução, 122
VI.2 – Descrição Sumária da Estrutura e Fundações, 124
VI.3 – Modelos Computacionais da Estrutura, 127
VI.3.1 - Modelo Tridimensional da Estrutura em Concreto Armado, Fundações e
Alvenarias, 127
VI.3.2 - Modelos Simplificados para Respostas Dinâmicas, 131
VI.4 - Análise de Sensibilidade da Estrutura e Alvenarias a Recalques Diferenciais
das Fundações, 132
VI.4.1 – Sensibilidade das Alvenarias a Recalques das Fundações, 132
VI.4.2 – Sensibilidade da Estrutura de Concreto Armado a Recalques das
Fundações, 135
VI.5 - Análise de Sensibilidade Estrutural a Vibrações Induzidas por Equipamentos
de Construção, 135
VI.5.1 – Característica de Cravação da Estaca, 135
VI.5.2 - Características Elásticas do Solo, 136
VI.5.3 - Respostas Dinâmicas da Edificação à Cravação de Estacas, 138
VI.6 - Análise de Sensibilidade Estrutural a Vibrações Induzidas por Tráfego de
Veículos, 145
VI.6.1 - Características da Superfície do Pavimento e do Solo Natural, 145
VI.6.2 - Respostas Dinâmicas da Edificação ao Tráfego de Veículos, 146
VI.7 - Análise de Sensibilidade Estrutural a Vibrações Induzidas por
Vento, 151
x
VI.7.1 - Características Locais do Vento Atuante, 151
VI.7.2 - Respostas Típicas, 152
VI.8 - Análise de Sensibilidade Estrutural a Vibrações Induzidas por Explosão, 153
VI.8.1 - Escavação para Construção de Tunel e Estação Subterrânea, 153
VI.8.2 – Resultados das Medições Experimentais de Vibração, 154
VI.8.3 - Respostas Aceleração x tempo, 156
VI.9 – Comentários Adicionais, 159
VII – ANÁLISE DE SENSIBILIDADE – MODELO 2, 161
VII.1 – Introdução, 161
VII.2 – Descrição Sumária da Estrutura e Fundações, 164
VII.3 – Modelos Computacionais da Estrutura, 167
VII.3.1 – Modelo Tridimensional da Estrutura em Concreto Armado, Fundações e
Alvenarias, 168
VII.3.2 – Modelos Simplificados para Respostas Dinâmicas, 172
VII.4 – Análise de Sensibilidade da Estrutura e Alvenarias a Recalques Diferenciais
das Fundações, 173
VII.4.1 – Sensibilidade das Alvenarias a Recalques das Fundações, 173
VII.4.2 – Sensibilidade da Estrutura de Concreto Armado a Recalques das
Fundações, 176
VII.5 - Análise de Sensibilidade Estrutural a Vibrações Induzidas por
Equipamentos de Construção, 176
VII.5.1 – Característica de Cravação da Estaca, 176
VII.5.2 – Características Elásticas do Solo, 176
VII.5.3 – Respostas Dinâmicas da Edificação à Cravação de Estacas, 178
VII.6 – Análise de Sensibilidade Estrutural a Vibrações Induzidas por Tráfego de
Veículos, 186
VII.6.1 – Características da Superfície do Pavimento e do Solo Natural, 186
VII.6.2 – Respostas Dinâmicas da Edificação ao Tráfego de Veículos, 187
VII.7 – Análise de Sensibilidade Estrutural a Vibrações Induzidas por
Vento, 193
xi
VII.7.1 – Características Locais do Vento Atuante, 193
VII.7.2 – Respostas Típicas, 193
VII.8 – Análise de Sensibilidade Estrutural a Vibrações Induzidas por Explosão,
195
VII.10 – Comentários Adicionais, 196
VIII – ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE OS MODELOS, 197
VIII.1 – Introdução, 197
VIII.2 – Recalques Diferenciais das Fundações, 200
VIII.2.1 – Sensibilidade das Alvenarias , 200
VIII.2.2 – Sensibilidade da Estrutura de Concreto Armado, 200
VIII.3 - Cravação de Estacas, 201
VIII.3.1 – Movimento Transversal, 201
VIII.3.2 – Movimento Vertical , 205
VIII.4 – Tráfego de Veículo, 207
VIII.4.1 – Movimento Transversal, 207
VIII.4.2 – Movimento Vertical, 210
VIII.5 – Explosão, 212
VIII.6 – Vento, 213
IX – CONCLUSÕES E SUGESTÕES, 214
IX.1 – Conclusões, 214
IX.2 – Sugestões, 215
ANEXO A, 217
ANEXO B, 234
ANEXO C, 236
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 240
Simbologia Capítulo II:
Ar Coeficiente de rugosidade (m3/ciclo), função da qualidade do pavimento e de
ω0.
F(ω) Densidade espectral da força de impulsão no solo.
He(ω) FRF da estrutura.
Hfy (ω) FRF das forças aplicadas na rodovia.
Hxy (ω) FRF do modelo veículo-solo.
M0( ) θ& Força momento.
SFF(ω) Densidade espectral da força de vento.
Sf(ω) Densidade espectral da força dinâmica do veículo sobre o pavimento.
Sx (ω) Densidade espectral de resposta.
Sy (k) Densidade espectral da rugosidade do pavimento em função do no de onda.
Sy (ω) Densidade espectral da rugosidade do pavimento em função da freq. angular.
Z&& (ω) Aceleração média ponderada.
cD Coeficiente de arrasto do vento.
cL Coeficiente de sustentação do vento.
cM Coeficiente de torção, ou de momento do vento.
cP Coeficiente de pressão de um fluido.
f Freqüência de vibração (Hz).
k Número de onda em um regime espacial.
v Velocidade de eixo ou do veículo.
w Ondulabilidade da pista – valor tabelado.
λ Comprimento de onda (mm) das irregularidades do pavimento.
ω Freqüência angular (rad/s).
ω0 Freqüência angular inicial em qq ponto entre ω = 0 → ∞ do espectro Sy(ω),
igual a 1m-1.
xii
Capítulo III:
A Seção transversal de um elemento de barra.
Ap Amplitude da onda compressional.
C1, C2,
C3 e C4 Constantes.
Cx, Cy e
Cz Amplitudes das componentes da onda rotacional.
D Amplitude da onda de Rayleigh.
E Módulo de elasticidade longitudinal.
G Módulo de elasticidade transversal.
Huf (ω) FRF do solo para propagação de onda na direção x.
Hwf (ω) FRF do solo para propagação de onda na direção z.
IP Momento de inércia polar.
T Torque.
U Amplitude de vibração na barra.
c Velocidade de propagação de uma onda.
cS Velocidade de propagação da onda rotacional.
cP Velocidade de propagação da onda compressional.
cR Velocidade de propagação da onda de Rayleigh.
e Quantidade escalar para deformação volumétrica.
g Aceleração da gravidade.
i Define parcela imaginária.
k Número de onda em um regime espacial.
t Variável tempo.
u Deslocamento longitudinal do elemento de barra infinitesimal.
u, v e w Deslocamentos nas direções x, y e z, respectivamento.
lx, ly e lz Cossenos diretores.
mx,my e
mz Cossenos diretores
up,vp e
wp Componentes de deslocamento para ondas P
xiii
us,vs e
ws Componentes de deslocamento para ondas s
r Distância da excitação até o ponto de observação.
s Direção qualquer de propagação definida pelos cossenos diretores.
ΦΨ Funções potenciais para dilatação e rotação, respectivamente.
Ω Quantidade vetorial rotacional.
γ Peso específico.
ϕψ
λ Constante de Lamé.
θ Ângulo de torção da barra longitudinal.
ρ Massa específica.
σx Tensão de tração uniforme em uma seção do elemento de barra.
τ Tensão cisalhante.
∇ Operador laplaciano.
xiv
Capítulo I
Introdução
I.1 – MOTIVAÇÃO PARA O TRABALHO DE PESQUISA
Em geral, muito se discute mas pouco se esclarece sobre as verdadeiras causas
dos colapsos, parcial ou total, de estruturas, principalmente as de edifícios residenciais
ou comerciais de múltiplos andares, com distintas concepções estruturais e, muitas
vezes, caracterizados por reduzido grau de redundância ou hiperestaticidade interna.
Pressupostamente construídas com toda segurança para durar longos anos, estas
edificações, que constituem patrimônios individuais, familiares e coletivos, têm
sofrido, prematuramente, as conseqüências de variadas falhas construtivas e
projetivas, especialmente as oriundas de uma concepção estrutural deficiente. Este
quadro tem tido lamentável crescimento nas últimas duas décadas, e tem despertado a
atenção e apreensão do meio técnico da engenharia civil e principalmente dos
proprietários e usuários destas edificações. A crescente consciência da existência
dessas falhas por parte da sociedade civil, tem recentemente impulsionado os
construtores numa busca por maior qualidade técnica e conseqüente aumento de
segurança e de conforto, obrigando-os juntamente com os projetistas a reavaliar seus
projetos segundo os critérios de segurança e de utilização da estrutura prescritos nas
normas de projetos vigentes. Entretanto, não é rara a ocorrência de problemas de
estabilidade, vibrações excessivas, recalques, etc, nestas edificações, demonstrando
que esses critérios de projeto não são em geral atendidos, por questões ainda
associadas às deficiências originais de concepção estrutural.
É voltado a essas questões que o estudo desenvolvido no presente trabalho
procura de maneira racional contribuir para reverter este quadro preocupante de
deficiências crescentes.
1
As discussões sobre casos de colapso estrutural se prendem muitas vezes a
questões relativas a utilização de materiais de má qualidade ou inadequados à
construção, esquecendo por vezes, as questões relativas às falhas de projeto e as
concepções estruturais perigosas, com travejamento reduzido e esbeltez e leveza
excessivas.
Um estudo prévio de sensibilidade estrutural, se incluído como uma das fases
de projeto, aumentaria a confiabilidade da concepção estrutural perante as condições
variáveis relativas aos materiais (degradação, resistência) das fundações, além das
prováveis ações ambientais as quais estaria submetida ao longo de sua vida útil. A
investigação da capacidade da estrutura de redistribuir esforços, na eventualidade de
recalque de apoios, a avaliação da sensibilidade humana a vibrações causadas por
fontes externas e internas à edificação, são problemas que podem ser contornados
ainda durante a fase de projeto, reavaliando-o e tomando medidas corretivas que, pelo
menos, atenuem estes problemas.
Uma boa modelagem computacional da estrutura do edifício é essencial para
que se possa assegurar credibilidade aos resultados numéricos e conseqüentemente às
análises e a busca de soluções. São inúmeras as situações práticas de análise e
soluções incorretas decorrentes de problemas de modelagem da estrutura, seus
componentes e fundações. Para contornar alguns destes problemas, foram
desenvolvidos modelos simplificados de análise. Um deles, para representar os
painéis de alvenaria, buscando esclarecer algumas dúvidas sobre o grau de influência
imposto por elas ao comportamento estrutural global. Outros modelos analíticos
foram elaborados ou adaptados para levar em conta a propagação de ondas no solo,
ajudando a investigar a sensibilidade global da edificação quando sujeita a vibrações
transmitidas através das fundações. Tais ferramentas permitem uma verificação mais
ampla, muito embora simples, capaz de auxiliar no dia a dia da prática da engenharia
de estruturas.
Adotado como uma fase projetiva importante, a análise de sensibilidade
permite, entre outras coisas, identificar falhas na concepção estrutural que
potencialmente poderiam levar a danos e transtornos futuros. Permite também
identificar a necessidade de se aumentar o travejamento ou a rigidez de certos
2
componentes estruturais ou, ainda, a adoção de sistemas especiais de atenuação de
vibrações aumentando a segurança estrutural e o conforto dos ocupantes de uma
edificação.
Em resumo este trabalho tem uma proposta prática e racional, mas com base
técnica-científica utilizada no desenvolvimento de ferramentas simplificadas de
modelagem e análise estrutural.
I.2 – Histórico
Nota-se, ao longo das últimas décadas, uma crescente preocupação de
pesquisadores que dedicam boa parte de seus estudos a encontrarem ferramentas
numéricas (meios) que os auxiliem na identificação e compreensão de
comportamentos estruturais com respeito a solicitações estáticas e dinâmicas. As
análises visam tanto o ponto de vista de danos estruturais quanto de desconforto
humano. Grande parte dos problemas tem origem neste último caso. Forte impulso
nas pesquisas nesta área de ação teve curso nas décadas de 60 e 70 com o surgimento
dos edifícios altos construídos com materiais leves.
Em seu trabalho Chang (1967), demonstra que a preocupação inicial, com
respeito à análise de sensibilidade de edifícios altos, estava relacionada mais
especificamente a ação do vento. Chang (1967) faz uso de normas de projeto e
recomendações técnicas (The boeing Co.,1961) para avaliar os níveis de perturbações
a que estariam submetidos os ocupantes de tais edifícios. As normas de projetos
usualmente definem faixas de valores, baseados em níveis de deslocamento,
velocidade e acelerações impostas à estrutura, que delimitam as diferentes reações
humanas relacionadas à sensibilidade ao tempo de exposição às vibrações impostas.
Inúmeros trabalhos se sucederam, nesta mesma época, como os de Chang
(1973) e Hansen (1973) ambos nessa linha de edifícios altos, apresentando novos
estudos e abordagens. Chang (1973) cita estudos como o de Rathbun (1940),
problemas de deflexão sob ação de vento no Empire State Building, ou como o de
Field (1971) no World Trade Center, que relatam problemas de conforto dos
3
ocupantes sob vibrações induzidas pelo vento. Outros, que embora com o mesmo
intuito (sensibilidade humana e conforto), foram surgindo motivados por outras áreas
de aplicação, tais como automobilísticas, aeronáuticas, naval, etc, com vibrações de
diferentes intensidades, largura de faixa de freqüências e origens, para em fim darem
subsídios ao surgimento das recomendações internacionais propostas pela ISO 2631-1
(1985), que por sua vez evoluiu para ISO 2631-2 (1989).
Goldberg (1985) investiga as formas modais de vibrações de diversas
estruturas de edifícios sujeitos a excitações de base provocadas por explosões no solo.
Além dos prováveis distúrbios nos ocupantes, Goldberg (1985) estuda também os
problemas relativos a danos estruturais e cita as propostas da ISO DP-4866 (1975) e
DP-4866 (1983), as quais avaliam categorias de danos na avaliação de vibrações em
edifícios.
Em um estudo mais recente de um comitê técnico do CEB (Boletim 209,
1991) algumas categorias dos possíveis danos provocados por vibrações de grande
intensidade impostas às edificações por atividades construtivas vizinhas são
relacionados aos diferentes níveis (ou faixas) de vibrações medidas em unidades de
velocidade (picos) ou acelerações.
No que diz respeito aos critérios de avaliação, estes acima citados, dentre
outros, são muito bem aceitos no meio técnico especializado e, portanto, são
utilizados no presente trabalho. Já no que diz respeito à forma de avaliação
propriamente dita dos níveis de vibrações impostas às edificações, estes evoluem a
cada dia. Há uma crescente preocupação dos usuários destas edificações e isto vêm
valorizando e incentivando novos projetos de melhor qualidade. E a sensibilidade das
edificações existentes tem sido cada vez mais questionada tendo em vista uma maior
conscientização dos proprietários e usuários que requerem, respectivamente,
construções mais seguras e duradouras e uma melhor qualidade de vida.
A tarefa de uma investigação mais realista possível, dos níveis de vibrações a
que uma estrutura está sujeita, deve levar em conta inúmeros fatores. O primeiro deles
é a fonte de excitação, que deve ser bem caracterizada em função da energia que ela
produz. Em segundo lugar é se esta energia utiliza-se de algum meio, por exemplo
4
solo, para chegar até a estrutura. Neste caso o fator propagação de onda (transmissão
de energia elástica) deve também ser bem estudado. E finalmente representar bem a
estrutura num modelo computacional, respeitando toda a sua concepção e incluindo,
por exemplo, a participação dos painéis de alvenaria na rigidez de edificações com
componentes esbeltos. A cada um destes fatores se associa uma literatura própria
(apresentada nos próximos capítulos) e que, em parte, foi inserida no presente
trabalho para compor uma ampla investigação que engloba as contribuições de
inúmeros trabalhos.
5
I.3 – Escopo
Nos capítulos II a V que se seguem discorre-se a respeito dos modelos
matemáticos e da metodologia empregada na análise de sensibilidade estrutural a ser
apresentada neste trabalho. O objetivo principal é estabelecer parâmetros para
avaliação da sensibilidade de algumas concepções estruturais atuais quando sujeitas a
excitações diversas típicas de regiões urbanas. Sempre que possível, faz-se um elo de
ligação entre as inúmeras formas modais de vibração e os prováveis efeitos
produzidos nas estruturas, fazendo uso de modelos teórico-numérico-computacionais.
Finalmente, com base nas amplitudes das respostas dinâmicas da estrutura, são feitas
avaliações dos possíveis danos na estrutura e/ ou componentes construtivos e
arquitetônicos, segundo critérios e recomendações apresentadas no Anexo A.
A determinação experimental, com precisão, da fonte de excitação a qual está
submetida uma determinada estrutura não é tarefa trivial. Isto porque é grande a
probabilidade de ocorrência de diversas fontes atuando simultaneamente e as quais a
estrutura é sensível. Entretanto em algumas situações excepcionais pode-se
identificar, por simples observação ou com instrumentações mais elaboradas, que uma
determinada fonte ocorre com maior evidência. A própria sensibilidade humana é
capaz de notar mudanças de comportamento após o surgimento de uma nova
ocorrência. Isso facilita as análises e as interpretações, pois permite que se faça um
tratamento direcionado e objetivo para um caso específico de solicitação, como por
exemplo, explosão, cravação de estaca, aumento acentuado dos níveis de tráfego
viário, ou ferroviário, etc. Quando não for possível apontar uma fonte única causadora
de perturbações excessivas, o caminho é fazer-se um estudo de sensibilidade, sempre
tomando como base algumas ações consideradas prováveis para aquela região.
O capítulo II é importante, então, pois reúnem algumas informações extraídas
da literatura, consideradas relevantes para a pesquisa em questão. Enfoca, com breves
históricos, algumas metodologias teóricas clássicas ou recentes que visam representar
de forma aproximada todo contexto envolvido em cada ação. Demonstra-se, com isto,
a preocupação e o empenho da pesquisa em tais assuntos. Sempre que possível são
utilizados na análise de sensibilidade, modelos analítico-computacionais simplificados
6
para simularem as respostas modais do edifício nos domínios do tempo ou da
freqüência.
O Capítulo III abre um parêntese para incluir os casos em que as ações
dinâmicas são impostas à estrutura através das suas fundações, e a estas transmitidas
através de ondas elásticas propagadas no solo. Apresentam-se algumas definições
importantes relativas aos modos de propagação das ondas elásticas em meio contínuo
qualquer, bem como algumas características de propagação e atenuação destas ondas
especificamente no solo. Como se pretende estudar estruturas civis com problemas de
sensibilidade estrutural a vibrações induzidas, próximas à superfície do solo, as ondas
de maior interesse são as ondas de superfície. É indispensável então uma breve
descrição do modelo analítico clássico de propagação de ondas de Rayleigh,
apresentado por Lamb (1904), o primeiro a estudar profundamente estes modos de
propagação de ondas na superfície. Tal modelo será empregado, neste trabalho, como
parte integrante do modelo computacional simplificado, representando a FRF (Função
de Transferência) do solo para casos em que a ação se dá afastada do edifício.
Os modelos computacionais simplificados para representar ações dinâmicas
originadas pelo tráfego de veículos pesados, bate-estacas e explosões, são
desenvolvidos com expressões analíticas que levam em conta as características
específicas de propagação e atenuação conforme a distância da fonte ao edifício
analisado e também as características físicas das camadas de solo.
Os capítulos II e III contribuem, assim, para elaboração de modelos elásticos
analítico-computacionais simplificados, apoiados na técnica de análise modal,
necessários para empreender uma avaliação da sensibilidade dinâmica estrutural de
edifícios submetidos a diferentes fontes de excitação típicas de regiões urbanas. O
domínio inteiro de tais modelos abrange um sistema dinâmico composto pela fonte de
vibração, pela estrutura afetada e, eventualmente, pela interação solo-estrutura,
quando a excitação tiver origem em algum ponto do terreno perto da superfície e
próximo à estrutura. Supõe-se, por simplicidade mas sem perda de generalidade, que a
propagação no maciço de terreno em torno do edifício representa um problema axi-
simétrico, com raio definido pela distância entre a fonte de excitação e o edifício.
Resultados numéricos deste modelo via análise modal no domínio do tempo em
7
termos de aceleração, velocidade e deslocamento, são apresentados e discutidos à luz
dos critérios dos estados limites. No capítulo IV alguns aspectos relacionados à
modelagem tridimensional de um edifício urbano, com estrutura típica aporticada, são
apresentados e discutidos.
Alguns resultados experimentais são também disponibilizados para calibrar
um modelo refinado tridimensional discretizado em elementos finitos de uma
estrutura de concreto armado, o qual é usado posteriormente para obtenção das
propriedades modais, necessárias para elaborar o modelo simplificado.
Para auxiliar na modelagem tridimensional refinada, o mais fiel possível à
estrutura real, o capítulo V traz um estudo mais detalhado sobre os modelos analíticos
para analisar o comportamento, principalmente em serviço, dos painéis de parede em
alvenaria de tijolos cerâmicos. Destaca a importância da participação da parede na
rigidez de pórticos planos e principalmente na rigidez global de edifícios modernos e
aqueles com concepções estruturais pouco travejadas e com reduzida redundância.
Historicamente, inúmeros estudos têm sido realizados para avaliar o
comportamento em serviço e na ruptura de painéis de alvenaria. Diversos modelos
simplificados foram desenvolvidos ao longo das últimas décadas para representar os
painéis de parede. Uma representação simplificada, com uso de diagonais
equivalentes, reproduzindo a rigidez cisalhante da parede, é proposta para a
modelagem numérica tridimensional de edifícios. São efetuadas comparações entre as
repostas dinâmicas obtidas com o presente modelo e com outros modelos numéricos
de diversos autores e também com modelo experimental para demonstrar a eficiência
da modelagem simplificada na tentativa de se diminuir o esforço computacional
exigido por um modelo 3D refinado. Outro aspecto relacionado à modelagem da
parede, tal como a interação painel-pórtico, também é tratado.
Os três modelos principais utilizados com exemplos de aplicação - Modelo 1
descrito no Capítulo VI, e Modelo 2 descrito no Capítulo VII e Modelo 3 (Capítulo
IV) são estruturas reais analisadas inicialmente em cada um destes capítulos,
isoladamente, isto é, preservando todas as condições reais de suas estruturas de
concreto armado, suas fundações e solo, além das localizações urbanas em que se
8
encontram. Mais adiante, no Capítulo VIII, sem interferir nas características reais da
concepção estrutural propriamente dita de cada modelo, e também nas condições de
solo e fundações, tomam-se algumas respostas típicas para as mesmas ações
dinâmicas, com o intuito de se fazer uma análise comparativa direta entre as respostas
de cada uma das edificações. Isto favorece uma análise crítica com respeito às
características individuais de cada uma das três concepções estruturais, que embora
aparentem muita semelhança, apresentam algumas diferenças intrínsecas
demonstradas pelas respostas dinâmicas obtidas.
Finalmente, no Capítulo IX, apresentam-se algumas conclusões extraídas do
presente trabalho e, também, sugestões para continuidade desta linha de pesquisa.
O Anexo A resume as normas, padrões e critérios que comumente são tomados
como suporte para avaliações e pareceres técnicos, no que diz respeito a danos
estruturais prováveis e também a sensibilidade humana às vibrações.
O Anexo B apresenta as características gerais das edificações dos modelos sob
análise, contendo propriedades dos materiais de seus componentes.
O Anexo C apresenta as alguns detalhes sobre a modelagem estrutural
adotadas no presente trabalho.
9
Capítulo II
Ações Dinâmicas sobre Edifícios
Urbanos
II. Panorama Geral
São cada vez mais freqüentes os problemas de vibrações ou oscilações
excessivas, fissuração em elementos estruturais e outros danos em elementos
arquitetônicos, além do desconforto humano, causados por ações dinâmicas (Fig.II.1),
nas edificações residenciais e comerciais especialmente nos edifícios altos e esbeltos.
Em alguns casos, graças ao aprimoramento das técnicas computacionais e
experimentais e, equipamentos e sensores, tem-se buscado desenvolver trabalhos de
pesquisa que resultem em modelos matemático-numéricos e técnicas experimentais,
com ensaios tanto no laboratório (com modelos reduzidos) quanto no campo (i.e., em
edificações existentes), para propor soluções que eliminem os problemas ou pelo
menos os atenuem. Na fase de projeto estes modelos numérico-computacionais,
validados através de correlações experimentais anteriores, podem ser utilizados para
prever eventuais problemas de vibrações ao longo da esperada vida em serviço do
edifício.
Entretanto, na grande maioria das vezes, a análise de sensibilidade da estrutura
a ações dinâmicas, não é realizada durante as fases de projeto e o problema dinâmico-
estrutural somente se torna evidente já na fase de utilização da edificação. Em outros
casos o problema se evidencia por alguma alteração nas ações dinâmicas externas
idealizadas no projeto ou por uma eventual mudança na destinação e uso desta
edificação. Os efeitos das ações dinâmicas sobre as edificações são ainda mais
pronunciados em decorrência das próprias características estruturais, como por
10
exemplo, edificações muito esbeltas, com estruturas pouco redundantes e pouco
travejadas.
Máquinas
Explosãona rocha
Atividadehumana
Superfíciedo terreno
Corte imaginário paravisualizaçãoRocha
Irregularidadesno pavimento
Tráfego deveículos
Bate-estaca
depressãoacentuada
Vento
Fundaçãodo prédio
Superfíciedo terreno
Máquinas
Explosãona rocha
Atividadehumana
Superfíciedo terreno
Corte imaginário paravisualizaçãoRocha
Irregularidadesno pavimento
Tráfego deveículos
Bate-estaca
depressãoacentuada
Vento
Fundaçãodo prédio
Superfíciedo terreno
Fig.II.1 – Situações típicas de vibrações a que ficam submetidas as edificações
urbanas.
Uma condição básica para ocorrência de problemas de vibrações estruturais se
deve à superposição das faixas de freqüência da excitação com as freqüências naturais
da estrutura.
As edificações urbanas, em geral, estão submetidas a fontes de excitação
dinâmica de diversas origens e intensidades. Incluem-se tanto aquelas que atuam
diretamente sobre a estrutura como aquelas transmitidas às fundações por ondas
propagadas através do solo.
Dentre essas fontes de excitação podem ser citadas ações ambientais, tais
como, sismos e ventos, ou ainda as ações originadas por explosões para desmonte de
11
rocha superficiais ou subterrâneas para construção de túneis, ou ainda originadas por
máquinas ou equipamentos de construção em sítios vizinhos, tais como bate-estacas
que causam fortes impactos, tráfego de veículos pesados em vias vicinais, ou mesmo
ações dinâmicas produzidas por atividades humanas de ocupação. Os efeitos
produzidos por estas ações devem ser analisados, portanto, sob critérios de segurança
e de conforto dos usuários. Projetos arquitetônicos mais esbeltos, arrojados e com
estruturas pouco travejadas, tornam as edificações mais flexíveis, com baixas
freqüências fundamentais de vibração (0-10 Hz) e, portanto, na maioria dos casos
susceptíveis a excitações devidas a várias fontes também de baixa freqüência,
comumente encontradas nas regiões urbanas. Outras fontes de excitação, com maior
densidade espectral em freqüências mais altas, são responsáveis pelas vibrações
observadas em componentes não estruturais.
Os modelos analíticos dessas fontes de energia devem reproduzir suas
principais características dinâmicas com uma formulação matemática simplificada,
porém, sem prejuízo dos resultados das análises estruturais dinâmicas. O ideal,
sempre que possível, é fazer observações experimentais para identificar a ação, que
em geral poderá ser representada por formas analíticas de excitação como aquelas
mostradas na Fig.II.2.
12
Força
Força
Força
Força
Tempo
Tempo
Tempo
Tempo
Freqüência
Freqüência
Freqüência
Freqüência
- Harmônicas:
- Periódicas:
- Transientes:
• Aleatórias:
• Determinísticas:
T = 1/f
f
T = 1/f
f 2f 3fT
Força
Força
Força
Força
Tempo
Tempo
Tempo
Tempo
Freqüência
Freqüência
Freqüência
Freqüência
- Harmônicas:
- Periódicas:
- Transientes:
• Aleatórias:
• Determinísticas:
T = 1/f
f
T = 1/f
f 2f 3fT
Fig.II.2– Formas de excitação no tempo e na freqüência.
A observação e medições experimentais podem ser utilizadas tanto para
identificar as características dinâmicas da estrutura afetada, quanto para identificar
qualitativa e quantitativamente as resultantes das ações dinâmicas. Modelos
matemáticos e computacionais podem ser, então, elaborados e calibrados a partir
destes resultados experimentais para se iniciar uma análise dinâmica do problema. Faz
parte deste trabalho a utilização de alguns modelos analítico-matemáticos
simplificados, descritos mais adiante, como forma de auxiliar nas análises e previsões
do grau de sensibilidade da estrutura a determinadas ações dinâmicas. A Fig.II.3
exemplifica simbolicamente o procedimento adotado nos modelos simplificados,
usando análise espectral, idealizados com objetivo específico de obter respostas
dinâmicas de edificações sujeitas a excitações diversas (exemplo simbólico da Fig.II.3
- excitação de base provocada por fontes afastadas das fundações).
13
=x
x=
(?)
ω ( rad / s)
| H(ω) | 2 (m 2 s -4 / kN 2)
F (kN)
t (s)
t (s)
(m/s2)
SF (ω) (kN 2
s)
(m 2 / s 3)
S (ω) ( m 2 / s 3 )x&&
S (ω) ( m 2 / s 3 )x&&
X&&
Impacto (freq) FRF - Solo Aceleração(freq)
Aceleração(freq) FRF - Estrutura
Resposta(freq)
Resposta no Tempo(Transf. Inversa
da Resp. em Freq)
Impacto (tempo)
=x
x=
(?)
ω ( rad / s)
| H(ω) | 2 (m 2 s -4 / kN 2)
F (kN)
t (s)
t (s)
(m/s2)
SF (ω) (kN 2
s)
(m 2 / s 3)
S (ω) ( m 2 / s 3 )x&&
S (ω) ( m 2 / s 3 )x&&
X&&
=x =x
x=
x=
(?)
ω ( rad / s)
| H(ω) | 2 (m 2 s -4 / kN 2)
F (kN)
t (s)
t (s)
(m/s2)
t (s)
(m/s2)
SF (ω) (kN 2
s)
(m 2 / s 3)
S (ω) ( m 2 / s 3 )x&&S (ω) ( m 2 / s 3 )x&&
S (ω) ( m 2 / s 3 )x&&S (ω) ( m 2 / s 3 )x&&
X&&
Impacto (freq) FRF - Solo Aceleração(freq)
Aceleração(freq) FRF - Estrutura
Resposta(freq)
Resposta no Tempo(Transf. Inversa
da Resp. em Freq)
Impacto (tempo)
Fig.II.3 – Produtos de Funções Espectrais.
Para o estudo de sensibilidade estrutural, que aqui se propõe, busca-se,
portanto, representar da maneira mais aproximada possível as características e o
comportamento dinâmico da edificação urbana afetada. Para isto, utiliza-se
inicialmente uma modelagem mais complexa, tridimensional, da estrutura do edifício
e seus componentes (estruturais e não-estruturais).
Em virtude da complexidade do modelo tridimensional, no que diz respeito à
aplicação das cargas e a obtenção das respostas dinâmicas, o estudo de sensibilidade
estrutural às ações, simuladas pelas funções típicas Fig.II.2, é auxiliado por modelos
simplificados unifilares, extraídos do modelo 3D, que exigem menor esforço
computacional. Com a utilização de técnicas de análise modal pode-se reduzir a
estrutura tridimensional a modelos unifilares representativos, com os quais as análises
estruturais dinâmicas podem ser completadas por programas menos sofisticados,
desenvolvidos tanto no domínio do tempo quanto no domínio da freqüência,
simplificando a aplicação das diferentes cargas dinâmicas e a obtenção das respostas.
Com esses novos modelos matemático-numéricos simplificados, utilizados para
14
representar as estruturas, suas fundações e a interação com o solo, critérios de estado
limite de utilização e de conforto humano podem ser observados.
O estudo de sensibilidade tem por objetivo principal apontar falhas nas
concepções estruturais modernas, onde estruturas esbeltas consideradas atraentes sob
o ponto de vista econômico, podem representar riscos ou gerar futuros problemas (de
estabilidade estrutural, de vibrações excessivas ou de desconforto humano) se não
forem adequadamente analisadas sob o ponto de vista dinâmico.
Para auxiliar no estudo de sensibilidade, são apresentados a seguir alguns
modelos matemáticos simplificados para descrição de ações que se encontram,
comumente, em regiões urbanas. Cada uma dessas ações possui diversas abordagens e
modelos teóricos tal como encontrados na literatura técnica. Para fins práticos, é
necessário se definir, para cada ação, o modelo teórico mais adequado e também
vantajoso sob o ponto de vista computacional, possibilitando que seu algoritmo seja
facilmente implementado em computadores pessoais. O programa computacional
permite a solução do problema dinâmico através de análise modal do sistema
estrutural, tanto no domínio do tempo com a integração numérica das equações de
movimento quanto no domínio da freqüência, obtendo-se, por superposição modal, as
histórias no tempo e os espectros de respostas em termos das acelerações e
deslocamentos.
Algumas ações sobre uma estrutura se fazem através das suas fundações e têm
origem em fontes de excitação distantes, que se propagam no maciço de terreno
atingindo as fundações rasas ou profundas. O modelo analítico, da ação cuja origem
se dá afastada da edificação analisada, deverá incluir funções de transferência
representativas do comportamento dinâmico do solo à transmissão de tal energia
oscilatória, desde a fonte até as fundações do edifício.
Com respeito ao solo, é necessário ressaltar que apesar da diversidade de
parâmetros relacionados às suas características, tais como, granulometria, estrutura do
solo em camadas, densidade, resistência individual dos grãos, etc, seu comportamento
à propagação, pode ser em grande parte representado por modelos simplificados. O
solo, em geral, assume comportamento elástico devido à natureza súbita da ação que
15
no caso corresponde à transmissão de energia entre as partículas desse solo. A coesão
entre partículas tem participação fundamental nesse processo, o que torna a argila
mole o exemplo de solo mais susceptível à propagação de ondas elásticas.
Os canteiros de obra constituem ambientes geradores de variadas fontes de
vibração e se instalam costumeiramente entre edifícios existentes. Merecem, por isso,
uma investigação especial. Compactação por vibração, escavação por equipamentos
pesados, estaqueamento, veículos pesados, explosões, etc, são alguns exemplos de
atividades construtivas que causam níveis consideráveis de vibração nas regiões
próximas. E uma das principais formas de indução ocorre por propagação de ondas
elásticas através do solo chegando até os edifícios através das fundações. Novamente
o interesse da investigação é saber o que acontece com a estrutura a uma certa
distância da fonte excitadora, descobrindo como a energia de movimento é
transmitida em cada caso e como as estruturas são afetadas. A transmissão de energia
de movimento através de um meio contínuo consiste no estudo que trata das
propagações de ondas cisalhantes, de compressão e de superfície (por exemplo, ondas
Rayleigh). E a investigação sobre como a estruturas são afetadas compreende o estudo
de sensibilidade estrutural.
As vibrações por atividades construtivas afetam principalmente paredes, lajes,
coberturas, elementos secundários desses edifícios existentes, que apresentem sua
freqüência principal na faixa entre 10-30 Hz. Provocam também efeitos em pessoas,
como distúrbio e irritabilidade devido à transmissão das vibrações pelo solo.
Mais adiante, em um capítulo específico (Capítulo III) , será dada ênfase aos
modelos de propagação da energia gerada numa fonte afasta, que se transmite por
ondas elásticas através do solo.
A equação para modelagem numérica de movimento de uma estrutura excitada
por aceleração de base e discretizada por elementos finitos pode ser escrita como:
(t)P y M y K y C y M ef0 ==++ &&&&& (II.1)
M, C e K são matrizes de massa de amortecimento e rigidez, respectivamente;
16
, e y são vetores de aceleração, velocidade e deslocamento dos pontos nodais,
respectivamente;
y&& y&
0y&& é o vetor de aceleração de base induzido por explosão;
y M (t)P 0ef &&= é a força efetiva aplicada na base da estrutura.
O método da superposição modal da análise dinâmica, aplica uma
transformação de coordenadas e o sistema de N equações de movimento acopladas (N
é o número de graus de liberdade do modelo) fica representado por M (<<N) equações
desacopladas, onde M é o número de modos de vibração que compõem a resposta
dinâmica. As equações modais de movimentos desacopladas são dadas por:
M1,......, i ; (t)P y ω y ω ξ 2 y ii2ii
2iii ==++ &&& (II.2)
onde:
(t) P y m (t)P efTi0i
Tii φ=φ= && é a i-ésima força modal;
onde os parâmetros do i-ésimo modo extraídos do modelo 3D são:
M m iTii φφ= ; massa modal;
m ω ξ 2 C c iiiiTii =φφ= ; amortecimento modal sendo ξi a razão de
amortecimento tomado como proporcional à massa;
m ω k i2ii = ; rigidez modal sendo ωi a freqüência circular.
II.1. Vibrações Induzidas por Tráfego de Veículos
Segue-se uma descrição resumida de um modelo analítico de vibração do solo,
induzida por tráfego de um veículo, proposto por Chiostrini (1995) e que será tomado
como base para o modelo matemático-numérico a ser utilizado, posteriormente, no
estudo de sensibilidade estrutural.
A excitação produzida pelas irregularidades ao longo do pavimento, percorrido
com certa velocidade pelo veículo, é gerada a partir do espectro de potência de
irregularidades da via. Desenvolve-se um modelo computacional em linguagem
Fortran para aplicações práticas, utilizando expressões provenientes destas deduções
17
analíticas, da teoria de propagação de onda em solo e de análise modal. O intuito é se
estimar os efeitos dinâmicos, nas edificações urbanas vizinhas.
Esta seção restringe-se, tão somente, a descrever a fonte de energia vibratória
correspondente ao modelo do veículo e sua interação com a superfície do solo, ou
seja, a força que o veículo aplica sobre o solo.
Para compor o modelo numérico, apresenta-se nos próximos parágrafos desta
seção, o desenvolvimento analítico dos seguintes elementos básicos:
• Perfil de irregularidades na superfície de rodagem que se opõe à passagem do
veículo;
• Características mecânicas e velocidade do veículo; leva-se em conta um
veículo padrão representado por um modelo dinâmico de eixo simples com 2
graus de liberdade.
a) Irregularidades do Pavimento
Chiostrini (1995) apresenta a classificação das ondulações da superfície do
pavimento de acordo com o comprimento de onda (λ) como especificado em
Pottinger (1986):
1. λ > 50 m ondulações topográficas;
2. 10 cm < λ < 50 m rugosidade do leito do pavimento;
3. 0,5 mm < λ < 10 cm macro textura;
4. λ < 0,5 mm micro textura.
O comprimento de onda se insere como um padrão de medida para
periodicidade do perfil de irregularidades ao longo da superfície na trilha de rodagem.
A freqüência temporal de vibração (f), dada em Hz, é obtida considerando o pneu do
veículo atravessando o pavimento com uma certa velocidade e se relaciona com o
comprimento de onda pela expressão:
18
λν
=f (II.3)
sendo ν a velocidade de eixo, λ comprimento de onda da ondulação.
linha de eixo da rua (mm)
Am
plitu
de d
e on
dula
ção
do p
avim
ento
(mm
)
linha de eixo da rua (mm)
Am
plitu
de d
e on
dula
ção
do p
avim
ento
(mm
)
Fig.II.4 – Perfil de rugosidade do pavimento. Chiostrini (1995).
Nota: as Figs.II.4, 5, 7 e 8, que se seguem, são ilustrações que exemplificam o
desenvolvimento do modelo e estão reproduzidas conforme Chiostrini (1995).
A rugosidade da superfície de rodagem fornece um perfil de ondulações à
passagem dos veículos, é responsável pela sua oscilação. Esse perfil de perturbação é
obtido diretamente por medições realizadas em campo.
Conforme se pode observar na Fig.II.4, o perfil de pavimento, composto por
lajotas de pedras, representativo também do calçamento de Ouro Preto, em Minas
Gerais (Battista, 1996), é uma variável aleatória.Usualmente o perfil do pavimento
(superfície de contato do pneu) é tratado como um processo estacionário e ergódico.
Deve-se, portanto, descrevê-la estatisticamente, em termos da variância das elevações
em relação à média ou em termos de outras quantidades estatísticas mais complexas
como as Funções de Densidade Espectral de Potência (FDEP). Observa-se na Fig.II.4,
sobre o eixo dos x o eixo longitudinal da estrada e sobre o eixo y a ordenada do perfil
de irregularidades com medidas em milímetros. Procedendo-se a transformada de
Fourier sobre os dados das irregularidades do perfil da Fig.II.4, obtém-se a densidade
espectral do movimento vertical , que é função do número de onda k em um
regime espacial representativo da rugosidade da superfície da estrada. O número de
onda k pode ser definido como:
)(kS y
19
λπ
=νω
=2k (II.4)
onde ω é a freqüência circular;
b) Densidade Espectral de Potência do Perfil
Tomando-se o espectro de potência das irregularidades do pavimento, em
função do número de onda , e dividindo-se pela velocidade do veículo ν,
obtém-se o espectro de potência em função da freqüência circular ω (conduzindo a
análise para um regime temporal), visto na Fig.II.5, ou seja:
)(kS y
(k)S ν1 )(S yy =ω (II.5)
Frequência angular ω (rad/s)
S y(ω
) (m
m2 s
)
Fig.II.5 – Espectro do perfil de rugosidade. Chiostrini (1995).
A densidade espectral da rugosidade do pavimento pode ser definida como: w
ry AS−
ωω
=ω0
)(
(II.6)
Onde os seguintes valores se referem às condições existentes no local (Wang,
1992):
20
Ar = (256,0 a 512,0) x 10-6 m3/ciclo, segundo recomendação da ISO (ISO/TC108)
para pavimentos com irregularidades média e muito ruim, respectivamente.
w = 2 ; ondulabilidade da pista.
ω0 = freqüência inicial em qualquer ponto entre ω = 0 → ∞ do espectro Sy(ω), igual a
1m-1.
c) Modelo do Veículo
x2
x1Mov. doVeículo
Corpo doVeículo
Suspensão
Roda e eixo
Pneu
Perfil da Superfície
c1 k1
k2c1
m1 = massa do veículo
m2 = massa do conjunto(eixo, rodas e
k1 = rigidez da suspensão
k2 = rigidez dos pneusc2 = amortecimento dos pneus
c1 = amortecimento da suspensãoDesl. daRoda
m1
m2
pneus)
y
x2
x1Mov. doVeículo
Corpo doVeículo
Suspensão
Roda e eixo
Pneu
Perfil da Superfície
c1 k1
k2c1
m1 = massa do veículo
m2 = massa do conjunto(eixo, rodas e
k1 = rigidez da suspensão
k2 = rigidez dos pneusc2 = amortecimento dos pneus
c1 = amortecimento da suspensãoDesl. daRoda
m1
m2
pneus)
y
Fig.II.6 – Modelo do veículo.
Considere o veículo representado por um único eixo, porém, com 2 graus de
liberdade, Fig.II.6, sendo m1 a massa do veículo (chassis, carroceria, motor, carga,
etc) e m2 a massa do conjunto eixos, rodas e pneus (sendo m1 + m2 a massa total).
Basicamente são dois os parâmetros que caracterizam o conjunto da suspensão:
rigidez e o amortecimento. Assim observa-se que, no esquema da suspensão, as
massas m1 e m2 estão interligadas por sistema de mola elástica e amortecimento linear
viscoso. Complementa-se com um esquema semelhante para reproduzir o pneu, que
pode ser visto na Fig.II.6, entre a massa m2 e o solo.
Considerando as equações diferenciais de movimento do sistema acima, tem-se:
222222211211
11211211xm- )y - x(c y)-(xk )x - x(c - )x - (xk-
xm- )x - x(c )x - (xk&&&&&&
&&&&
=++=+
(II.7)
onde y(t) é o desnível da superfície, e xi(t) são deslocamentos do veículo. De
uma maneira geral, para um perfil harmônico de dados do pavimento y(t) = Y(ω) e i ω t
21
resulta uma saída harmônica do tipo xi(t) = Xi(ω)e i ω t, sendo que a função de resposta
em freqüência (FRF) desse modelo assumirá a forma:
)(Y)(X
)(H ixy ω
ω=ω
A função de resposta em freqüência Hfy(ω) das forças aplicadas na rodovia
, assumirá: )(xm)(f iii tt &&=
)(Y)(F)(H yf ω
ωω =
Especificamente, para forças aplicadas sobre a superfície da rodovia por um
veículo modelado com 2 graus de liberdade sem amortecimento, Chiostrini (1995)
apresenta uma FRF (Fig.II.7)como sendo simplesmente o produto da massa total do
veículo pelo termo de aceleração, que é dado pela aceleração média ponderada : )(Z ω&&
++
+=ωω
=ωω
=ω)m (mXm Xm )m (m
)Y()(Zm
)Y()F( )(H
21
221121fy
&&&&&& (II.8)
Este resultado é também válido quando o modelo do veículo inclui
amortecimento (Hunt (33)).
Frequência angular ω (rad/s)
|Hfy
(ω)|2 (N
2 /s4 )
Fig.II.7 – FRF dos movimentos y(t) para as forças aplicadas no pavimento.Chiostrini
(1995).
d) Espectro da Força Dinâmica do Veículo sobre o Pavimento
22
Finalmente a densidade espectral das forças no solo Sf(ω) (Fig.II.8) é obtida
por:
)(S)(H )(S y2
fyf ωω=ω (II.9)
Frequência angular ω (rad/s)
S f(ω
) (N
2 mm
2 /s2 )
Fig.II.8 – Densidade espectral para forças dinâmica no solo. Chiostrini (1995).
Além dos veículos de transportes urbanos, outros veículos e máquinas pesados
(terraplenagem, retro-escavadeira, tratores de esteira, etc) utilizados em canteiros de
construção também impõem vibrações ao solo. Outras atividades construtivas podem
também induzir vibrações em edifícios vizinhos; e serão apresentados nos itens a
seguir.
II.2. Compactação por Vibração
Os trabalhos de compactação nas construções podem ser desempenhados por
rolos vibratórios de compactação. Os modelos normalmente usados com peso estático
abaixo de 20 a 30 kN não necessitam de precauções especiais, entretanto, impõem-se
alguns limites de segurança em função do tipo de solo ou tipo de estrutura próxima.
Fortíssimas vibrações no solo podem ser encontradas em solo aluvião e argilosos com
nível d’água próximo à superfície (Bachmann, 1995).
O fenômeno de ressonância pode aumentar o risco de danos em edificações
com materiais sob grandes tensões, caso freqüente de paredes de edificações
históricas, onde qualquer variação pequena de tensão pode causar danos.
23
II.3. Cravação de Estacas
II.3.1. Registros Históricos
Tem sido cada vez mais freqüente o surgimento de problemas de vibrações
que seriam induzidas pela propagação de ondas, próximas à superfície do terreno,
causadas por equipamentos de percussão ou vibratório, utilizados em construções,
para cravação de estacas. Por isso, ultimamente, alguns autores têm se dedicado à
investigação de problemas ocasionados por tais fontes de vibração. A seguir,
apresenta-se um breve histórico do desenvolvimento de alguns trabalhos recentes,
nesta área de estudo, destacando-se suas partes mais relevantes.
Em seu trabalho, nota-se que Athanasopoulos e Pelekis (2000), já demonstram
preocupação com os efeitos da cravação de estacas, com relação tanto à segurança das
estruturas quanto ao conforto dos ocupantes. Destacam que tais origens de vibrações e
seus efeitos sobre estruturas constituem-se objetos de grande interesse para dinâmica
de solos e tem recebido considerável atenção durante as últimas décadas. Ressaltam
que a intensidade destas vibrações pode causar fissuras nas paredes e lajes de edifícios
vizinhos. Podem induzir deformações permanentes (adensamento) em solos de areia,
os quais podem ser seguidos por recalques de fundações. Mais provável ainda que a
ocorrência de danos estruturais são o desconforto de ocupantes de edifícios afetados,
as interrupções de atividades comerciais e os danos em equipamentos de precisão. Os
autores apresentam comparações a códigos, padrões e diretrizes referentes aos efeitos
causados a estruturas e em pessoas.
Pode-se observar ainda que grandes esforços têm sido empreendidos com o
intuito de descrever desde as características dos equipamentos de cravação (seu
mecanismo) até os efeitos produzidos nas edificações e pessoas, passando por
interação solo-estaca, propagação e atenuação das ondas no solo. De uma maneira
geral, existem na literatura diversos modelos simplificados que indicam a propagação
e atenuação das vibrações no solo para diversas formas de vibração.
Em resumo, as estacas podem ser cravadas por equipamentos leves ou pesados
e a propagação de onda, proveniente da ação dinâmica, que pode afetar a vizinhança,
24
depende do peso do equipamento de cravação, da velocidade de impacto, da duração
do impacto, da forma da estaca, do solo circundante, da seção transversal da estaca, da
direção obliqua ou excêntrica da pancada. Toda essa literatura de suporte demonstra e
confirma a crescente preocupação dos engenheiros e pesquisadores em relação aos
inúmeros casos que envolvem danos causados especificamente pela ação de bate-
estacas.
a) Cravação por Vibração
Kim e Lee (1999), por exemplo, estudaram as características de propagação e
atenuação de vibrações no solo para diversas fontes excitadoras, dentre elas a
cravação de estacas com o uso de martelo vibratório. Deixam claro que ambas
características dependem da fonte e das propriedades geotécnicas do solo, sugerindo
expressões para atenuação das amplitudes de vibração. Apresentam sinais de
medições que foram monitoradas com emprego de geofones verticais e geofones 3D
durante algumas cravações de estacas, em perfis de solos específicos. Apresentam
também características de atenuação típicas para movimento de partícula, conforme a
distância da fonte de vibração. As amplitudes são investigadas para vários tipos de
vibração do solo, no tempo e na freqüência. Comprovam que, especificamente, para o
caso de cravação de estacas, a energia de vibração proveniente do pé da estaca
compõe-se por ondas elásticas de interior e, com maior intensidade, por ondas de
superfície, cujo movimento da partícula descreve uma elipse retrógrada mostrada nas
Figs.II.9 e II.10 (as chamadas ondas de Rayleigh).
25
Onda - S
MARTELO VIBRATÓRIO
MOVIMENTO DA PARTÍCULA
(Compressão na Estaca)Onda - R
Onda - P
Radial
MOVIMENTO DA PARTÍCULA(Cisalhamento no Solo)
Onda - S
Onda Refletida
Transferência da
Estaca para Solo
por Cisalhamento
Frente de onda
Cisalhante
Onda - S
MARTELO VIBRATÓRIO
MOVIMENTO DA PARTÍCULA
(Compressão na Estaca)Onda - R
Onda - P
Radial
MOVIMENTO DA PARTÍCULA(Cisalhamento no Solo)
Onda - S
Onda Refletida
Transferência da
Estaca para Solo
por Cisalhamento
Frente de onda
Cisalhante
Fig.II.9 - Esquema de cravação de estacas. Kim e Lee (1999).
Fig.II.10 – Movimento da partícula de Onda Rayleigh, Elipse Retrógrada.
Kim e Lee (1999).
b) Cravação por Percussão
Com o propósito de definir, através de um modelo analítico, as características
da cravação de estaca, tais como tipo de fonte e da onda induzida, destaca-se o
trabalho de Deeks e Randolph (1993). Neste trabalho descrevem-se alguns testes com
modelos de cravação de estacas, por impacto de martelo, buscando quantificar a força
que emana da cabeça da estaca. Esse estudo é importante principalmente quando se
pretende definir um tamanho apropriado e um tipo de martelo adequado para
cravação, de uma dada estaca, sem que gere compressão excessiva ou tração sobre
ela.
26
Fig.II.11. – Modelos Analíticos de Martelos. Deeks e Randolph (1993).
Modelos simples já seriam capazes de determinar com precisão o sinal da
força no tempo para a ação de impacto (Fig.II.11.a). Entretanto, Deeks e Randolph
(1993) desenvolvem novas soluções analíticas para o modelo do martelo.
Representando outros tipos de modelos mais complexos (Figs.II.11 b,c,d), mas de
maneira tal que o efeito da força do martelo sobre a cabeça da estaca tenha sempre a
forma, no tempo, vista na Fig.II.12.
Fig.II.12 – Sinal no tempo para ação de impacto do martelo. Deeks e Randolph
(1993).
Posteriormente, Liyanapathirana (1998) juntamente com Deeks e Randolph
realizam um trabalho, com desenvolvimento numérico em elementos finitos, já
voltado para o mecanismo da interação solo-estaca, comparado-o com um modelo
simplificado unidimensional de estaca e solo chegando a bons resultados nesta
comparação.
27
II.3.2. Detalhes do Modelo a Percussão Empregado
Analisando toda essa teoria que aborda questões relativas a cravação de estaca,
alguns detalhes específicos não serão aqui considerados. Isto se deve ao fato de que
tais pormenores aumentam a complexidade do modelo e no presente estudo de
sensibilidade não há a necessidade de grande precisão nos resultados. Logo, o modelo
que se reproduz neste trabalho leva em conta o seguinte: uma função triangular, como
uma representação comumente utilizada na prática para a ação de impacto do martelo
de bate-estaca; não considera os efeitos da interação solo-estaca; o modelo considera
apenas a propagação de ondas Rayleigh, já que os casos de análise ocorrem próximo à
superfície, onde tais ondas são predominantes em relação às ondas de interior. A
função triangular (Fig. II. 13) é uma representação simplificada da força, mas as
respostas com ela obtidas são muito semelhantes às respostas no tempo dos modelos
mais complexos para impactos de cravação de estacas vistos em Deeks e Randolph
(1993) Fig.II.12. As expressões de propagação e atenuação adotadas, no modelo deste
trabalho, serão descritas no capítulo sobre propagação de ondas no solo, mais adiante.
As vibrações são rapidamente amortecidas em solos não coesivos, como areia,
mas propagam-se a grandes distâncias do local da obra em solos coesivos, como a
argila.
A ação dinâmica provocada pelo martelo de bate-estacas, adotada nos modelos
aqui desenvolvidos, impõe a cada segundo uma força de impacto (i.e. uma impulsão
com curtíssima duração, de aproximadamente 0,02 segundo) da ordem de 2000 kN
sobre uma estaca de concreto armado ou de aço. A estaca tem comprimento variando
de acordo com a resistência que se deseja alcançar, e pode atravessar diferentes tipos
de solos, próximo das fundações de uma edificação vizinha. As Figs.II.13 e 14
mostram, respectivamente nos domínios do tempo e da freqüência, o modelo da força
de impacto causada por um equipamento bate-estacas.
28
0,02 0,021,0
tempo (s)
2000 kN
F(t)
0,02 0,021,0
tempo (s)
2000 kN
F(t)
Fig.II.13 – Força de Impacto Causada pelo Bate-Estacas X Tempo.
0.00E+00
1.00E-01
2.00E-01
3.00E-01
4.00E-01
5.00E-01
6.00E-01
7.00E-01
0.00E+00 5.00E+02 1.00E+03 1.50E+03 2.00E+03 2.50E+03
Frequência Angular (rad/s)
F (
)
Fig.II.14 – Espectro em Freqüência correspondente a Força de Impacto no Solo com
intensidade de 2000 kN produzida por um Bate-Estacas.
29
II.4. Explosões Superficiais ou Subterrâneas
II.4.1. Registros Históricos
Para atender a requisitos de projeto, em algumas circunstâncias, é necessária a
utilização de explosões subterrâneas. Perfuração de túneis ou desmonte de rochas são
alguns exemplos de atividades construtivas que impõem o uso de explosivos. Na
maioria das vezes as explosões ocorrem próximo a estruturas existentes obrigando a
se estabelecer níveis de vibrações permissíveis, ditadas por limites de sensibilidade de
tais estruturas e seus ocupantes.
Respostas humanas a vibrações causadas por explosão são um problema para
gerentes de construções. É muito comum, que pessoas residentes na vizinhança das
operações de explosão se sintam tão irritadas que resolvem tomar medidas drásticas a
fim de interromper o projeto, especialmente quando este se prolonga por longo tempo.
Por isso, em muitos projetos localizados em áreas urbanas os limites de vibração
devem ser tomados mais em função das respostas humanas do que da probabilidade
de danos ou prejuízos estruturais. A resposta humana, entretanto, depende de
inúmeros fatores naturais e características populacionais, às vezes sem conexão direta
com a intensidade de vibração ou freqüência.
Em geral, há inúmeras formas de respostas das variadas estruturas de edifícios
devido às vibrações do solo causadas por explosão. Logo, além de cada edifício
responder com uma amplificação específica, há que se levar em conta a variação
estatística da velocidade de vibração do solo para uma dada carga de explosivos, a fim
de reduzir a probabilidade de danos ao edifício e perturbações aos seus ocupantes.
Os problemas de vibração são agravados pela geometria da área de explosão,
pelo desempenho dos explosivos, pela velocidade de detonação, pelo acoplamento
entre explosivos e a rocha e pela distribuição espacial das cargas de explosivos, além
das características físicas da rocha quanto a sua capacidade de propagar energia
proveniente da explosão.
30
De uma maneira geral as vibrações causadas por explosões, têm sido
investigadas por análise do movimento da partícula. Portanto, para identificar as
características de propagação e atenuação é essencial medir o movimento 3D da
partícula. E necessária a monitoração das vibrações tanto na superfície quanto no
interior do solo, visto que as fontes de vibrações como explosão e até mesmo
cravações de estacas (seção anterior) são locadas a uma certa profundidade no solo.
Os distúrbios causados pela carga de explosão serão transmitidos pelas três
principais ondas sísmicas. Duas delas propagam-se confinadas no solo: são as ondas
de compressão e cisalhamento. A terceira, com maior intensidade de propagação na
superfície, é a onda Rayleigh. Através da monitoração de pontos a grandes distâncias
da origem da explosão, Goldberg (1985) pode notar que as ondas de compressão e
cisalhamento possuem, na superfície do semi-espaço (solo), amplitudes menores do
que as ondas Rayleigh. Em presença de inúmeros obstáculos há refração e reflexão
das ondas propagadas, e o movimento das partículas de solo é na verdade 3D. Logo
para monitorar a vibração na superfície deve-se tomar as três direções coordenadas
para determinar o movimento real. Há equipamentos adequados para realizar estas
medidas, como os sismógrafos ou geofones 3D.
Monta-se um sistema de medições de vibrações 3D usando 3 geofones
cobrindo as direções vertical, longitudinal e transversal no interior do solo. Kim e Lee
(1999), utilizando este sistema de medições, realizaram algumas explosões como teste
antes da construção de um túnel para trem de alta velocidade, para que fossem feitas
medições das vibrações induzidas. Os testes foram realizados num terreno com 12m
de profundidade sobre rocha, com perfil geotécnico composto por camadas de aterro e
solo resistente (Fig.II.15a). As explosões foram executadas no interior da rocha a
cerca de 28 ~ 44 m de profundidade usando entre 1 a 3 kg para carga detonada
(Fig.II.15b). As vibrações medidas tanto na superfície quanto no interior do solo
indicam que a velocidade da partícula varia significantemente com a carga dinamitada
e, a uma distância horizontal de aproximadamente 32 m da fonte, estes valores
situam-se numa faixa entre 1,5 a 2,5 cm/s (Fig.II.15c). Os resultados obtidos, nestas
medições, revelaram que, nas direções longitudinal e vertical, as ondas P são
dominantes, enquanto que a energia das ondas S é maior na direção transversal.
Concluiu-se também que a maior intensidade da energia de vibração induzida por
31
explosão se encontra numa faixa de freqüência até cerca de 50 Hz e que o espectro de
energia na direção longitudinal tem maior intensidade que os outros (Fig.II.15d).
Ponto de explosãoGeofone Vertical 4,5 HzGeofone 3D
Aterro
Soloresistente
RochasãPr
ofun
dida
de (m
)
Tempo (s) Freqüência (Hz)0,0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 1 10 1000100
Transversal
Longitudinal
Vertical
Transversal
Longitudinal
Vertical
Vel
.par
tícul
a (c
m/s
)
PSD
(cm
/s)2
Rocha
Ponto de explosãoGeofone Vertical 4,5 HzGeofone 3D
Aterro
Soloresistente
RochasãPr
ofun
dida
de (m
)
Tempo (s) Freqüência (Hz)0,0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 1 10 1000100
Transversal
Longitudinal
Vertical
Transversal
Longitudinal
Vertical
Vel
.par
tícul
a (c
m/s
)
PSD
(cm
/s)2
Rocha
Fig.II.15 – Registro de vibrações induzidos por explosões (Kim e Lee, 1999).
Como revela Goldberg (1985), para grandes distâncias as ondas Rayleigh
predominam sobre as ondas de interior, visto que estas últimas decaem mais
rapidamente do que as primeiras. Considera-se que a modelagem geométrica para
uma explosão no interior de uma rocha, por exemplo, leva em conta uma fonte
pontual gerando ondas de interior. Ao atingir a superfície as inúmeras reflexões
produzem as ondas Rayleigh.
As explosões podem causar, pela vibração induzida, recalque diferencial bem
como vibrações transmitidas às estruturas e principalmente a painéis paredes como
lajes e paredes de alvenaria e também a componentes da arquitetura secundária, como
azulejos, vidros das janelas e outros.
32
A Tab.II.1 apresenta resultados de registro das respostas em termos de
velocidade de partícula em dois pontos das paredes de um edifício excitado por uma
explosão.
Tab.II.1– Exemplo de amplificações em edifício devido a explosão – Goldberg
(1985).
Velocidade Máxima da Partícula (mm / s) Carga
(kg)
Distância
(m) Solo Parede 3o. andar Parede 10o. andar
230 1396 0,35 0,7 1,38
Amplificação 2 4
II.4.2. Detalhes do Modelo Empregado
Apresenta-se nesta seção alguns detalhes do modelo empregado por Carvalho
e Battista (2002), e também utilizado no presente trabalho, para obtenção de respostas
induzidas por explosões e a correlação destes com as respostas medidas
experimentalmente numa estrutura real de um edifício residencial.
Alguns autores definem expressões analíticas para representar a propagação e
atenuação da energia de vibrações em função do movimento da partícula. Rigas e
Sebos (1999) apresentam a propagação de ondas compressional e cisalhante
produzidas por explosão simuladas por um modelo analítico cuja velocidade e
aceleração de base são dadas pelas seguintes expressões, adotadas por Carvalho e
Battista (2002):
dt-t
00 e y (t) y =& (II.10)
dt-t
0d
0 e y t1 - (t) y =&& (II.11)
para n
31
n-0
w
R s 2,52 48,2 y−
= (II.12)
33
onde 0y = velocidade pico da partícula (m/s); s = fator de acoplamento solo –
explosivo, ou seja, a fração da energia diretamente transferida para o solo; w = carga
equivalente de trinitrotolueno (TNT) (kg); R = distância da explosão; n = coeficiente
de atenuação que leva em conta a influência do solo, td = R/c = tempo de chegada; c =
velocidade de propagação da onda no solo.
34
II.5. Vibrações Induzidas por Máquinas
Máquinas e motores instalados no interior e próximos às edificações geram
energia de vibração capaz de afetar diferentes partes da estrutura como fundações ou
membros estruturais. Tais ações são conduzidas até a estrutura através de propagação
de ondas, quando estas derivam de máquinas instaladas diretamente no solo em meio
às edificações, ou são geradas na própria estrutura através de componentes estruturais
projetados para suportar estas máquinas. Geradores, bombas, elevadores, aparelhos de
ar condicionado, etc, são alguns dos exemplos de fontes de vibrações mais
comumente conhecidos. As diferentes formas de vibração dependem de fatores tais
como: condições de operação, estado de manutenção, detalhes de sua configuração
mecânica, etc. Estas condições implicam no tipo de movimento que a máquina
desenvolve, e poderá ser rotativo, oscilatório ou de impacto natural. A força dinâmica
produzida pela máquina pode ser periódica ou não-periódica. Em alguns casos em que
a função do tempo não puder ser descrita por uma aproximação matemática
determinística deverá ser eficientemente descrita por aproximação estatística.
Ação Dinâmica
Peças rotativas, por exemplo, causam forças dinâmicas indesejáveis, se não
estiverem suficientemente equilibradas ou se existirem campos eletrodinâmicos
presentes. Tal desequilíbrio é devido ao fato de que o centro de massa da peça rotativa
não coincide com o eixo de rotação. Como exemplos de máquinas
predominantemente rotativas pode-se citar aparelhos de ar condicionado, ventiladores,
máquinas de lavar, bombas centrífugas, geradores de energia elétrica, etc.
Já as peças oscilatórias se identificam por apresentarem movimentos causados,
predominantemente, por translações e rotações de pequeno ângulo, ou por
combinação de ambos, conferindo-lhe movimento pendular. São exemplos, motores a
diesel (geradores de energia de emergência), compactador vibratório, etc.
E finalmente máquinas com peça de impacto causam grande força dinâmica
intermitente. São exemplos de máquinas desse tipo, bate-estaca (estaqueamento -
seção II.3).
35
Funções de tempo, como as da Fig.II.2 neste capítulo, são adotadas para
representar as forças de excitação ou usadas como critério de regulagem (calibragem e
avaliação) da vibração. Tais funções de tempo são baseadas no pressuposto de
conhecimentos anteriores com máquinas semelhantes. Conseqüentemente os mais
variados tipos de forças induzidas por máquinas recaem em funções de tempo
periódica, transiente ou aleatória.
Como medida preventiva é necessário fazer com que a freqüência fundamental
da estrutura ou membro estrutural e a freqüência operacional da máquina não
alcancem valores coincidentes ou próximos um do outro. Caso não seja possível
manter tais freqüências afastadas, a solução será adotar algum sistema de
amortecimento e controle de vibrações da estrutura afetada.
36
II.6. Vibrações Induzidas por Vento
Esta seção, como as demais deste capítulo, destina-se a apresentar também um
modelo simplificado, de acordo com a linha de interesse estabelecida para esta tese,
que visa uma proposta de uso prático, sem desconsiderar o conhecimento científico. A
intenção aqui não é trazer toda teoria básica sobre a ação do vento, mas apenas
despertar interesse para os pontos de maior relevância em torno do assunto,
principalmente nos aspectos que se referem à modelagem estatística. Maiores detalhes
podem ser amplamente discutidos e pesquisados nas inúmeras publicações na
literatura especializada (Blessmann, 1998, Simiu E. & Scanlan R.,1996 ).
Para aplicação no projeto de novas concepções de edifícios, a análise dinâmica
sob ação do fluxo de vento, incluindo o efeito da turbulência, torna-se necessária para
controlar as respostas em termos de deslocamento, velocidade ou aceleração das
edificações. Deve-se incluir testes, através de modelos numéricos, com aplicação de
perfis de velocidade média do vento (vide perfil de vento na Fig.II.16) e/ou rajadas
leves e fortes com excitações em freqüências abaixo de 1 Hz.
e
Excentricidade daresultante de vento
Posição originaldo eixo
Posição finaldo eixo
Estrutura submetida amomento torsional
e
Excentricidade daresultante de vento
Posição originaldo eixo
Posição finaldo eixo
Estrutura submetida amomento torsional
Fig.II.16 –Exemplo de perfil de velocidade do vento com excentricidade na aplicação
da resultante.
37
II.6.1. Aspectos Gerais Envolvidos
A consideração de cargas de vento, no projeto de edifícios altos, é uma medida
imperiosa, tanto para uma verificação de estabilidade estrutural quanto para analisar
os níveis de vibração impostos à estrutura. Em alguns casos, se necessário, pode ser
exigido o uso de modelos reduzidos submetidos a túneis de vento, para uma melhor
observação.
A ação do vento numa estrutura envolve uma série de fatores com variáveis
temporais e muitas vezes específicos para cada caso isoladamente. Isso torna a
descrição rigorosa do problema uma tarefa complicada.
Alguns fatores são evidentes peculiaridades como as condições de vento que
variam de região para região em função das correntes térmicas, implicando
diretamente no intervalo de recorrência. A forma geométrica da seção transversal da
estrutura tem reflexos sobre o tipo de movimento global que a mesma estabelece.
Outro fator diz respeito às incertezas quanto a face perpendicular à direção de ação do
vento. Há também a influência local da rugosidade superficial circunvizinha,
constituídos por todos os obstáculos naturais ou criados pelo homem: florestas,
árvores isoladas ou em forma de quebra-vento, montanhas, morros, ilhas, ondas,
plantações, edificações, etc.
Há ainda a formação de turbilhões gerados por essa rugosidade superficial com
dimensões variadas. Os turbilhões originam as rajadas de vento que ocorrem em uma
seqüência aleatória de freqüências e intensidades. Sem falar que há uma superposição
de inúmeros turbilhões.
Somando-se a tudo isso o fato de que a vida útil de um edifício é muito longa,
pode-se concluir que somente um tratamento via teoria da probabilidade é capaz de
estabelecer valores médios e máximos na descrição do fenômeno. A aparente
divergência dos registros de um processo aleatório pode apresentar alguma
regularidade no sentido estatístico se o número de amostras for suficientemente
grande, o que permitiria uma análise mais realista do problema a ser enfrentado.
38
II.6.2. Modelagem Estatística
O processo de análise da resposta da estrutura sob ação dinâmica do vento
inicia-se com a caracterização do vento no que diz respeito aos gradientes de
velocidades e pressões. A modelagem estatística do vento define a seguinte expressão
para velocidade total:
( ) ( ) ( )tz,VzV tz,V tot += (II.13)
onde V tot – velocidade total do vento;
V – velocidade média do vento;
V – flutuação de velocidade;
z, t , respectivamente, altura acima do terreno e tempo.
Nota-se na descrição da expressão (II.13) que os valores variam com o tempo
e/ou com a altura acima do terreno, com o que se conclui que a mesma pode ter uma
interpretação vetorial ao se substituir a variável z por pontos discretizados ao longo da
altura da edificação:
tot V = V + V (II.14)
onde
totV - vetor de velocidade total ao longo da altura (em termos de z);
V - vetor de velocidades médias ao longo da altura;
V - vetor de flutuações que também depende da altura.
A velocidade média V da expressão (II.13), como visto, varia com a altura e
sua determinação envolve fatores relativos à rugosidade superficial da região
circundante bem como da recorrência pretendida. Já V representa as flutuações
aleatórias da velocidade em torno da média.
Buscando entender as fases de obtenção da força e momento atuantes na
estrutura induzida pelo fluxo de vento, levando-se em conta seu caráter aleatório,
inicia-se a seguir uma breve dedução.
39
Denomina-se pressão dinâmica q de um fluido a seguinte quantidade (Simiu
E. & Scanlan R.,1996 ):
2V2
q ρ= (II.15)
onde
ρ - é a massa específica do ar (1,2 kg/m3 sob temperatura normal).
V é a velocidade do fluído.
Imaginando-se um corpo imerso em um fluxo de velocidade V, este deverá
desenvolver pressões dinâmicas locais sobre esse corpo de tal maneira que satisfaça a
equação de Bernoulli (válida para fluidos incompressíveis):
constpVρ21 2 =+ (II.16)
sendo
2Vρ21 - a pressão dinâmica;
p – a pressão estática; onde AN lim p
0A ∆∆
=→∆
, ∆N a força exercida normalmente a uma
superfície plana de área ∆A.
Na eq.II.16 a constante se mantém válida ao longo das linhas de corrente onde
V representa a velocidade sobre a linha de corrente na camada imediatamente anterior
à superfície de contorno do corpo.
Para descobrir as componentes de forças e momento resultantes da ação do
fluxo sobre o corpo imerso, basta integrar a expressão II.16 ao longo da superfície,
que se opõe ao fluxo, do corpo imerso. Orientando-se por um sistema de eixos
perpendiculares sobre o plano das correntes, a ação do fluxo produz componentes com
resultantes de forças na direção do fluxo e perpendicular a ele, podendo haver uma
terceira componente relativa ao momento. Os valores dessas resultantes são
obviamente afetados pela forma prismática do corpo, bem como pelo número de
Reynolds.
40
Antes, porém, de se concluir o entendimento sobre as forças e momento
resultantes, cabe neste instante abrir-se um parêntese para a definição de alguns
coeficientes aerodinâmicos.
É usual referir-se a toda pressão medida em uma superfície estrutural através
de uma pressão dinâmica padrão calculado com a velocidade V do fluxo em um
ponto a barlavento e distante da estrutura (por exemplo, acima dela e fora da camada
de contorno onde a corrente não é perturbada pela presença da edificação). Toma-se
experimentalmente um valor adimensional de referência chamado coeficiente de
pressão CP, definido como:
20
pVρ2
1pp
C−
= (II.17)
onde V é um valor da velocidade do vento e (p-p0) representa a diferença de pressão
local e pressão contra corrente afastada.
Tal forma não dimensional permite transferir resultados de modelos
experimentais, estendendo-os a um universo mais amplo, e os valores de referência
assim obtidos são catalogados. Isto permite correlacionar as propriedades
aerodinâmicas a outros modelos levando-se em conta apenas sua forma geométrica.
Assim, considerando as direções: ao longo do fluxo de vento e perpendicular a
ele, tomam-se as forças (por unidade de comprimento) devidas às pressões do vento
relacionadas adimensionalmente pelos coeficientes CD e CL da seguinte forma:
BVρ21
FC
2D
D = coef. de arrasto (II.18)
BVρ21
FC
2L
L = coef. de sustentação (II.19)
onde B é uma dimensão característica; FD e FL são respectivamente as forças na
mesma direção e na direção perpendicular ao vento. Para momento (FM) induzido pelo
vento, o coeficiente correspondente é:
41
22M
MBVρ2
1F
C = coef. de torção (II.20)
onde
FM – o momento torsional dado por FM = F∑=
N
i 1i xi.
xi é a excentricidade da aplicação da força Fi na estrutura.
A ação de vento causa torção (momento) na estrutura quando o ponto de
aplicação da força resultante produzida pela distribuição de pressão no entorno da
seção transversal do edifício rígido não coincide com o centróide daquela seção
transversal (vide Fig.II.16).
Estes coeficientes quando não dependem do movimento da estrutura são
chamados coeficientes aerodinâmicos, e quando dependem são chamados coeficientes
aeroelásticos.
Pode-se entender que conforme a direção de incidência do fluxo, sobre a
estrutura, resultarão forças decompostas na direção do fluxo FD, perpendicular ao
fluxo FL, cujos valores podem ser obtidos explicitando tais quantidades das
expressões II.18 e II.19, e podendo atuar também um momento torsional FM
(eq.II.20).
Quando se deseja avaliar determinados movimentos da estrutura, pode-se, de
maneira simplificada, tomar tais forças independentes. Assim as equações dinâmicas
associadas a movimentos de translação (y) e rotação (θ), induzidos pela ação do
vento, podem ser descritas como:
L2
21
D2
21
y
C B V ρ
C B V ρ
y kym2ym =+ωξ+ &&& (II.21)
ou
M22
θθθθθ CBVρ21θkθωξI2θI =++&& (II.22)
Onde : m e Ιθ são componentes de massa e inércia, respectivamente;
42
ξ é o amortecimento.
Quando se pretende obter respostas de edifícios altos sujeitos a flutuações de
vento adota-se um modelo estatístico para representar a variação da força imposta.
A força de vento em um ponto da estrutura é obtida a partir da velocidade total
do vento neste ponto e dada pela relação:
2zzpz VAρC
21F = (II.23)
onde Fz – força variável com a altura do edifício;
Cp – coeficiente de pressão média;
ρ - densidade do ar;
A z – Área tributaria na altura z;
Vz – Velocidade total na altura z.
Levando-se em conta a parcela de turbulência somada à velocidade média, a
força Fz pode ser descrita por um espectro de potência que indica a distribuição em
freqüência da energia cinética contida nesta força. A adoção, portanto, funções
espectrais para representar a flutuação do vento turbulento.
A Fig.II.17 mostra um exemplo da densidade espectral da força de vento.
Frequência (Hz)
S (f)
Fig.II.17 – Exemplo para densidade espectral para força de vento.
II.6.3. Detalhes do Modelo Empregado
Quando ocorrem flutuações no fluxo devido à turbulência, obviamente,
momentos e forças irão variar aleatoriamente com o tempo, implicando na adoção de
43
distribuições espectrais para estas quantidades, bem como valores médios para os
coeficientes de forças. Trabalhos de inúmeros autores mostram distribuições
espectrais adotadas para provisões de cargas de vento em projetos de edifícios. Estas
distribuições empregam a teoria de vibrações aleatórias para simplesmente determinar
o valor médio quadrático da resposta da estrutura. São distribuições espectrais
resultantes de estudos e deduções analíticas como aquelas por Harris e Davenport
(1961), comumente adotadas para predição de respostas de estruturas sujeitas à ação
de vento turbulento. Para o emprego destes modelos estatísticos é necessário
considerar certas hipóteses básicas tais como a de vibrações de pequenas amplitudes e
principalmente que o fluxo é sempre um processo aleatório, estacionário e ergódigo.
Além de se adotar a teoria de vibração aleatória é necessário avaliar bem as condições
locais que influenciariam diretamente as características médias das distribuições de
pressões. Dentre tais condições pode se mencionar a freqüência de mudança da
velocidade média do vento, a altura de medição, a forma prismática da estrutura e as
condições de rugosidade da região situada no entorno.
Balendra (1995) em seu trabalho sobre análise de torres com sistema de
controle considera a torre modelada como um sistema simples com um grau de
liberdade generalizado reduzindo a equação de movimento a uma função de
transferência para representar a estrutura. Balendra (1995) adotando o espectro de
Harris, escreveu a densidade espectral ou distribuição espectral da força do vento na
direção do fluxo é dada por:
( ) 652
2
z
1000FF
X2
XVV
ωF kπ4
S+
= (II.24)
10
x
V2l X
πω
= ; 2Z0000 V C A F ρ=
onde k0 = 0,03 é o coeficiente de arrasto na superfície do solo, lx é o comprimento de
onda tomado igual a 1200, ρ0 é a densidade do ar, C0 é o coeficiente de arrasto, A0 a
área frontal da estrutura e V10 e Vz são as velocidades de vento a 10m e à altura z,
respectivamente.
44
Analogamente, se o movimento que interessa é a torção da estrutura pode-se
considerar a expressão II.24 substituindo F0 por M0 (e a notação SFF por SMM ) que é
definido como se segue:
( ) ( ) α
= M
220 Cb2V ρ
21 θM & (II.25)
ou
( ) ( )
−
=
VbCb2V ρ
21 θM M
220
θ&& (II.26)
onde: ( ) θM0& é o momento;
θ é o ângulo de torção da estrutura;
b é uma dimensão característica;
CM coeficiente de momento.
Finalmente, se a estrutura é representada por uma FRF – He(ω) para um grau
de liberdade generalizado, a resposta em freqüência é descrita como:
( ) MM2
ex S ω H S = (II.27)
Sx o espectro de resposta;
He (w) a função de transferência da estrutura;
SMM a função densidade espectral de Momento;
45
II.7. Vibrações Induzidas por Ação Humana
Dentre as ações dinâmicas sobre edifícios residenciais e comerciais urbanos,
talvez a mais comum seja aquela induzida por pessoas em atividades normais sobre as
lajes de pisos nos edifícios residenciais ou comerciais. Tornam-se ainda mais
relevantes quando as ações são de pulo, corrida ou dança. Sobremaneira, neste três
últimos, alguns fatores podem intensificar tais ações, como por exemplo, configuração
das repartições, mobílias, cargas concentradas, forma geométrica das áreas das lajes,
etc. Essas ações são mais intensas ainda na medida em que deixam de ser causadas
por uma pessoa apenas e passam a ter origem em grupos de pessoas que praticam
movimentos sincronizados e com ações localizadas. É sabido que todos estes fatores
são capazes de afetar não somente a forma modal e a freqüência natural das lajes, mas
como também o seu amortecimento. Como se pode notar a observação e os cálculos
racionais para as amplitudes de vibração induzidas por estas forças dinâmicas são, por
vezes, tarefas complicadas.
Ação Dinâmica
A ação dinâmica, ao caminhar, é atribuída a cada passo que uma pessoa
realiza. Testes indicam uma média, para cálculos, de cerca de 2 passos por segundo,
mas uma faixa entre 1.6 a 2.4 Hz pode ser considerada.
Do ponto de vista estrutural, há estruturas que são vulneráveis a estas ações
dinâmicas especialmente aquelas em que freqüência natural esteja entre 4 e 6 Hz,
como é o caso das lajes em edifícios que têm grandes vãos. Experiências têm
mostrado que estruturas com laje de concreto e vigas de aço, cuja primeira freqüência
natural é menor ou igual a 7 ou 8 Hz, são susceptíveis ao desconforto causado por
vibrações induzidas pela ação do caminhar. Estas vibrações são ainda mais intensas
do que nos pavimentos construídos com vigas e laje ambos de concreto e que tenham
a primeira freqüência natural também menor ou igual a 7 ou 8 Hz.
Já os efeitos sobre a pessoa são aqueles de incômodo, apreensão quanto à
segurança estrutural do edifício, perda de concentração mental, e ocasionalmente,
sensações de indisposição semelhante ao enjôo. Porém, os valores toleráveis ainda
46
dependem do tipo de ocupação do edifício, tendo em vista a atividade exercida e o
tempo de exposição.
Modelos para Descrição do Carregamento Humano
Para o carregamento dinâmico que envolva pulos, a função do tempo pode ser
representada por uma seqüência de forças de impacto simulada por um certo intervalo
de duração (contato dos pés com a laje) seguido por um intervalo em que a força é
nula, relativo ao tempo em que os pés deixam de ter contato com o piso. A função de
carregamento para este tipo de atividade pode ser descrita através de uma série de
Fourier de “n” harmônicos Magluta (1993):
( ) ( )∑=
φ−πα+=n
1iiTistst tfi2sen GGtF (II.28)
onde G st – Densidade de carga (Força por unidade de área);
f T – Freqüência de excitação da força (freqüência fundamental da atividade
humana);
φ i – Fase relativa da força de excitação;
α i – Coeficientes da série.
A Tab.II.2 apresenta as faixas de freqüências fundamentais de várias
atividades, associadas ao primeiro harmônico da força, bem como os três primeiros
coeficientes desta série, sendo os demais desprezados.
Tab.II.2 – Coeficientes para a série da eq.(II.28).
Atividades Freqüência (Hz) α1 α2 α3
Andar 1,6 - 2,4 0,4 0,1 0,1
Correr 2,0 – 3,5 1,6 0,7 0,2
Pular 1,8 – 3,4 1,8 1,3 0,7
Dançar 1,5 - 3,0 0,5 0,15 0,1
47
Capítulo III
Modelo Matemático para Propagação de Ondas no Terreno
III.1. INTRODUÇÃO
As equações que regem a propagação de ondas em meios contínuos são em geral
complexas. Apresentam refinadas expressões matemáticas, principalmente, quando a
transmissão de energia se dá em meios tridimensionais. A compreensão do fenômeno,
facilmente observável no dia a dia, parece muito natural, já que uma fonte que gera uma
energia intensa causa oscilações em uma região próxima ao seu ponto de aplicação.
Porém, a descrição exata de tal fenômeno terá que refletir uma série de implicações, pois
dependerá das propriedades físicas do meio uni, bi ou tridimensional, da fonte estar
situada no seu interior ou na superfície, distante ou próxima do ponto de observação, da
sua intensidade, da forma e direção de propagação da onda, enfim, um sem número de
fatores, encontrados na literatura, que são necessários para uma boa tradução matemática.
Por outro lado, no decorrer desse trabalho pretende-se destacar e comprovar a
importância de certas simplificações, algumas já consagradas pela prática. Tais
simplificações compreendem tanto as de caráter puramente matemático quanto as de
caráter técnico-prático, que visam facilitar a busca pelas respostas.
O texto a seguir aborda, portanto, o assunto de propagação de onda. Inicia-se por
um estudo preliminar que introduz conceitos de propagação em sistema unidimensional,
bem como suas atribuições físicas e matemáticas.
48
É importante se compreender inicialmente a teoria de propagação sob uma visão
unidimensional, pois além de fornecer ferramentas fundamentais de análise, permite fácil
desenvolvimento das expressões e interpretação física direta.
Sabe-se que à luz da análise espectral é possível notar uma proximidade muito
forte entre propagação de onda e vibração. Logo, muitas das teorias desenvolvidas para
vibrações e análise modal são também aplicáveis para análise espectral de onda. O que
torna indispensável considerar a teoria de vibração como parte integrante da teoria
elementar de propagação de onda.
III.2. EQUAÇÃO UNIDIMENSIONAL DA ONDA
Como já dito anteriormente, qualquer estudo de propagação de onda, em qualquer
meio elástico, terá como suporte a teoria de vibração, pois uma onda nada mais é do que
um sinal, harmônico por exemplo, que possui uma certa propagação, caracterizada por
uma certa velocidade de fase, viajando em uma dada direção no meio.
Seja uma barra considerada um meio contínuo, isotrópico, homogêneo de material
perfeitamente elástico. Em seguida considere que uma ação, cuja origem inicialmente não
é de interesse, esteja situada neste meio em ponto bem distante do ponto de observação.
Considere que tal ação seja capaz de provocar uma perturbação em algum ponto do meio
e que a partir dele haja uma transmissão de energia de movimento (não há transferência
de massa) sucessivamente entre elementos adjacentes. São as ondas de tensão e
deformação que são irradiadas da região carregada com velocidade finita de propagação.
Como já se sabe essa irradiação não se dá instantaneamente, é necessário um tempo até
que pontos ainda não perturbados sejam alcançados pela onda em uma dada direção.
Portanto, conclui-se que o estudo de propagação de ondas necessita que se conheça
parâmetros de tempo, direção e velocidade de propagação.
49
III.2.1. Onda Longitudinal (Onda Compressional)
Tomando como ponto de partida a teoria de vibração, Richart (1970) considera
uma barra em vibração livre (Fig.III.1), com seção transversal A, Módulo de Young E e
peso unitário γ.
u + ux
dx∂∂
u
x + dxx
σ ∂ σ∂x
x+x
dxσ x
Fig.III.1 - Elemento infinitesimal de barra com deformação longitudinal.
Supondo que cada seção permaneça plana durante o movimento e que a tensão é
uniforme sobre a seção, obtém-se a seguinte equação de equilíbrio (diagrama de corpo
livre):
F=Ax)x
+(+A xxx ∆
∂∂
−σσσ (III.1)
Ao se considerar um movimento na direção x, eixo da barra, e o deslocamento do
elemento designado por “u”, sua equação de movimento deduzida conforme a segunda lei
de Newton fica:
2
2x
xx tu
gAx=Ax
x+A+A
∂∂
∆∆∂∂
−γσσσ
que, após simplificações, se reduz a:
2
2x
tu
gx ∂∂
=∂
∂ γσ (III.2)
Por outro lado, a derivada parcial, em relação a x, a partir da relação tensão-
deformação fica:
50
2
2x
xuE
x ∂
∂=
∂∂ σ (III.3)
Observa-se que os segundos membros das eq. (III.2) e (III.3) devem se igualar (usando a
massa específica ρ γ= g):
2
2
2
2
tu
xuE
∂
∂=
∂
∂ ρ (III.4)
Denominando-se ρ=Ep2c , sendo cp a velocidade de fase da onda compressional, vem
que:
2
22p2
2
xu
tu
∂∂
=∂∂ c (III.5)
é a equação da onda longitudinal. Verifica-se que se trata de uma equação diferencial
parcial que admite as soluções nas formas e/ou que representam
formas de onda viajando com a mesma velocidade c
t)-f(x pc t)+h(x pc
p nos sentidos positivo de x e
negativo de x, respectivamente. As funções f e h são arbitrárias e dependem da forma da
onda. E a solução da equação pode ser a combinação linear das funções acima:
t)+h(x + t)-f(x=u pp cc (III.6)
Inicialmente uma pequena zona entre as seções x e x + ∆x, Fig.III.1, pode “sentir”
as tensões causadas pelo deslocamento “u”, mas com o passar do tempo uma grande zona
experimenta estas tensões. O resultado será uma onda de tração viajando na direção
negativa de x e uma onda de compressão viajando na direção positiva de x.
Outra conclusão básica, que se deve conhecer desde já, é a diferença entre
velocidade de propagação da onda ou velocidade de fase cp, e velocidade das partículas &u
na zona tencionada ou comprimida (Fig.III.2).
51
cp t
σx
x
Zona comprimida
cp t
σx
x
Zona comprimida
Fig.III.2 – Zona comprimida em barra com onda longitudinal.
A velocidade de fase cp depende das propriedades do material:
ρE=cp (III.7)
Já a velocidade u das partículas na zona comprimida (Fig.III.2), vide dedução em
Timoshenko (1970), depende da intensidade da tensão:
&
ρ
σ=
σ
p
xpx
cEc
=u& (III.8)
III.2.2. Onda Torcional
No mesmo trabalho, Richart (1970) determina uma expressão para onda torcional
conforme transcrição a seguir. A expressão que define o torque, em uma seção
transversal circular de uma barra produzindo um ângulo de rotação θ, é:
xIGT p ∂
∂=
θ (III.9)
onde G = Módulo de elasticidade transversal
Ip = Momento de inércia polar da seção transversal
x∂
∂θ = ângulo de torção por unidade de comprimento da barra
52
L
T
∆ xx
T
∆ x
(a)
(b)
TTx
x+∂∂
∆∆θ
θ
Fig.III.3 - Elemento infinitesimal de barra com deformação distorcional.
Observando a Fig.III.3, aplica-se a segunda lei de Newton em um elemento de
comprimento ∆x e com um torque devido a sua inércia rotacional, vem:
2
2p
txI)x
xTT(T
∂
θ∂∆ρ=∆
∂∂
++− (III.10)
que após simplificações e substituindo-se o valor de T (eq. III.9) em eq.III.10, chega-se
em:
2
22S2
2
xc
t ∂∂
=∂
θ∂ θ (III.11)
ρ=
GcS (III.12)
sendo, cS a velocidade de propagação da onda rotacional.
Obs.: a) Mais adiante, ao se considerar um espaço tridimensional, estas duas formas
deduzidas de propagação de onda, em meios elásticos, serão denominadas ondas P (de
compressão), e ondas S (de cisalhamento), respectivamente ondas longitudinal e
torcional.
b) Considere uma barra de comprimento finito:
53
L
x Fig.III.4 - Barra elástica de comprimento finito
Antes de se estudar meios infinitos ou semi-infinitos, sobre os quais será
imperioso o uso de funções exponenciais para descrever os deslocamentos das ondas
nesse tipo de meio, inicia-se por considerar um meio com comprimento finito (Fig.III.4).
Por simplicidade de desenvolvimento, adota-se expressões, para respostas das equações
de onda, na forma de série trigonométricas. Seja portanto, a seguinte expressão, no
domínio do tempo, que descreve a forma geral de deslocamento de uma barra vibrando
sob a frequência natural ωn:
)tsenCtcosC(Uu n2n1 ωω += (III.13)
Sendo: U a amplitude de vibração na barra;
C1 e C2 constantes.
Substituindo-a diretamente, por exemplo, na equação da onda (III.5), produz-se a
seguinte equação diferencial ordinária:
0Ucxd
Ud2p
2n
2
2
=ω
+ (III.14)
Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear a coeficientes constantes que
descreve a variação da amplitude de deslocamento U ao longo de x, e cuja solução é :
xc
senCxc
cosCUp
n4
p
n3
ω+
ω= (III.15)
Que substituindo em (III.13), produz:
)tsenCtcosC(xc
senCxc
cosCu n2n1p
n4
p
n3 ω+ω
ω+
ω= (III.16)
54
Nessa expressão (III.16) faz-se p
n
ck
ω= , onde k é chamado de número de onda.
Sabe-se que o parâmetro que representa a vibração é a frequência ωn . Já em propagação
de ondas espera-se que um novo parâmetro, além desse que exprime vibração, possa
refletir a energia de vibração viajando ao longo do meio, atribuída pela velocidade de
fase . Assim, procurando reunir estes dois parâmetros em apenas uma variável, surge o
número de onda (k), que dá ao mesmo tempo características de vibração e propagação.
Nota-se que pela expressão (III.17), a seguir, a variação da amplitude de deslocamento U
na direção de x é determinado por k. Isto porque, assim como a freqüência atua como
fator de escala para o tempo, o número de onda k atua como fator de escala para a
posição. Posteriormente, se notará que o número de onda terá papel ainda mais destacado
em uma abordagem tridimensional.
cv
x senCx cosCU 43 kk += (III.17)
III.3. EQUAÇÃO TRIDIMENSIONAL DA ONDA
III.3.1. – Ondas-P e Ondas-S
τ∂τ∂xz
xzz z+ ∆
σ∂τ∂x
xx
x+ ∆
τ∂τ∂xy
xy
yy+ ∆
∆y
∆z
∆x
y
x
z
1
23
4
5
6
5
3
1
τ∂τ∂xz
xzz z+ ∆
σ∂τ∂x
xx
x+ ∆
τ∂τ∂xy
xy
yy+ ∆
∆y
∆z
∆x
y
x
z
1
23
4
5
6
5
3
1 Fig.III.5 – Elemento infinitesimal tridimensional.
55
A abordagem anterior sobre ondas, em um meio unidimensional, não só se
constitui numa teoria própria com vasta aplicação em materiais que apresentem uma de
suas dimensões muito maior que as demais (barra, treliça, haste, tubo...), mas como
também serve para estimular a compreensão de certos conceitos que, a primeira vista, na
análise tridimensional se torna uma tarefa complicada. No entanto, seja considerar um
meio tridimensional elástico infinito, homogêneo e isotrópico, sobre o qual é válida a
teoria da elasticidade. A equação de movimento de um elemento infinitesimal (Fig.III.5),
sujeito a uma excitação harmônica, pode facilmente ser obtida considerando parcelas de
forças de inércia adicionadas às equações de equilíbrio em cada direção. Supondo
ausência de peso, tem-se:
0tuuG
xe)G( 2
22 =
∂
∂−∇+
∂∂
+ ρλ (III.18a)
0tvvG
ye)G( 2
22 =
∂
∂−∇+
∂∂
+ ρλ (III.18b)
0twwG
ze)G( 2
22 =
∂
∂−∇+
∂∂
+ ρλ (III.18c)
onde G = módulo de elasticidade transversal;
λ = constante de Lamé.
Nesta equação a quantidade escalar “e” (III.19) representa a deformação
volumétrica e o símbolo ∇2 (III.20) representa o operador laplaciano:
zw
yv
xue
∂∂
+∂∂
+∂∂
= (III.19)
2
2
2
2
2
22
zyx ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ (III.20)
Ainda sobre as expressões (III.18a,b,c) nota-se que, embora não estejam em uma
forma totalmente explicita, o primeiro e o segundo termos de cada uma das eqs. acima
representam componentes volumétricas e distorcionais, respectivamente.
56
Considerando-se as igualdades: ( − ) , ( ) , ( ) e
identificado o primeiro termo como volumétrico e o segundo rotacional (III.18), é
possível, conforme Wolf (1985), se obter expressões independentes para regerem ondas
volumétricas ou rotacionais semelhantes àquelas obtidas para sistemas unidimensionais.
uu2 &&=ω vv2 &&=ω− ww2 &&=ω−
A expressão seguinte rege ondas volumétricas:
ec
e 2p
22 ω
−=∇ (III.21)
também chamada equação escalar de onda, onde
ρλ G2c 2
p+
= (III.22)
e cp é a velocidade da onda volumétrica.
Já a expressão abaixo rege ondas distorcionais:
c
2s
22 Ω
ω−=Ω∇ (III.23)
também chamada de equação vetorial da onda onde
ρGc 2
s = (III.24)
e cs é a velocidade da onda rotacional.
Sabendo-se que “e” representa uma quantidade volumétrica e Ω uma
quantidade vetorial rotacional, ambas formas de onda podem coexistir, em alguns meios,
independentemente uma da outra. Cada uma propaga com velocidade específica,
respectivamente cp e cs. Em virtude dessa análise, por simplicidade, se justifica o estudo
de tais formas de onda em separado, conforme se segue.
57
III.3.2. - Soluções das Equações de Ondas-P e Ondas-S
Considerando um meio tridimensional infinito é conveniente se utilizar funções
exponenciais para as funções teste como solução das equações da onda.
Para as chamadas ondas-P, ou ondas primárias, ou ondas dilatacionais, ou ainda,
ondas volumétricas, a solução para a equação (III.21) tem a forma:
)]zlylxl(c
[
pp
zyxpeA
ce
−−−−=
ωω
ii (III.25)
A interpretação da expressão acima demonstra que a parcela exponencial
complexa reproduz uma onda com movimento harmônico onde a partícula se desloca
paralelamente a uma dada direção s (definida pelos cossenos diretores lx, ly e lz) com
velocidade de fase cp. Ainda sobre a parcela exponencial pode se dizer que a mesma não
significa necessariamente decaimento, o que só ocorrerá se os cossenos diretores forem
complexos.
Sendo a direção s é definida por:
zlylxls zyx ++= (III.26)
as correspondentes componentes de amplitude de deslocamentos serão:
)]zlylxl(c
[
pxpzyx
peAlu−−−
=
ωi
(III.27a)
)]zlylxl(c
[
pypzyx
peAlv−−−
=
ωi
(III.27b)
)]zlylxl(c
[
pzpzyx
peAlw−−−
=
ωi
(III.27c)
Para ondas P o vetor deslocamento resultante da onda coincide com a direção de
propagação.
58
Já para as chamadas ondas-S, ou ondas secundárias, ou ainda, ondas rotacionais, a
solução exponencial para a equação (III.23) tem a forma:
)]zmymxm(c
[
s
zyxSeC
2c
−−−−=Ω
ωω
ii (III.28)
A interpretação da expressão acima demonstra que a parcela exponencial
complexa reproduz uma onda com movimento harmônico onde a partícula se desloca na
direção perpendicular a uma dada direção t (sendo t a direção de propagação definida
pelos cossenos diretores mx, my e mz) com velocidade de fase cs.
Sendo a direção t é definida por:
zmymxmt zyx ++= (III.29)
As correspondentes componentes de amplitude de deslocamentos são:
)]zmymxm(c
[
zyyzt
zyxse)CmC(mu
−−−ω
−=i
(III.30a)
)]zmymxm(c
[
xzzxt
zyxse)CmC(mv
−−−ω
−=i
(III.30b)
)]zmymxm(c
[
yxxyt
zyxse)CmC(mw
−−−ω
−=i
(III.30c)
Para ondas-s o vetor deslocamento resultante da onda se coloca sobre um plano
perpendicular à direção de propagação.
Em geral o vetor deslocamento de ondas-S pode ser decomposto em uma
componente horizontal com amplitude ASH e em uma componente vertical com amplitude
ASV ,esta última situando-se em um plano que contenha o eixo global z e a direção de
propagação t. Na seção seguinte, esta observação terá importância.
59
III.4. ONDAS RAYLEIGH EM UM SEMI-ESPAÇO ELÁSTICO
A definição para onda tridimensional estabelecida na seção anterior apresenta
duas formas de ondas, ondas dilatacionais e rotacionais, que se propagam em meio
elástico infinito. São deduzidas a partir das equações de movimento (III.18) para um
meio elástico homogêneo e isotrópico. Porém, considerando-se um semi-espaço, é
possível encontrar uma terceira forma de onda cujo movimento é confinado em uma
região próxima do seu contorno ou superfície (Fig.III.6). Conhecida por onda de
Rayleigh, por ter sido primeiro estudada por Lord Rayleigh (1885), sua principal
característica é que seu movimento decai rapidamente com a profundidade.
Fig.III.6 – Fonte Doyle (1997).
A justificativa matemática para o surgimento das ondas planas que apresentam o
comportamento acima tem origem nas mesmas equações (III.18), porém sendo estas
estabelecidas sob apropriadas condições de contorno como se segue: superfície livre do
semi-espaço representada pelo plano x-y e origem do eixo-z posicionada no extremo livre
e direção positiva apontada para baixo.
Ao contrário da dedução realizada na seção anterior, desta vez não se estabelecerá
o desacoplamento dos movimentos compressional e dilatacional antes da imposição das
condições de contorno, conforme Ewing (1957), pois, primeiro a forma particular de
60
onda depende das condições de contorno e, segundo, o deslocamento final da partícula
para onda de Rayleigh, encerra uma influência direta de deformações associadas a
dilatação (Φ) e a rotação (Ψ), na superfície livre.
Portanto, sejam os deslocamentos u e w, respectivamente na direção x e z
(Fig.III.6), em termos das funções potenciais Φ, para dilatação, e Ψ, para rotação:
zx
u∂
Ψ∂+
∂Φ∂
= e xz
w∂
Ψ∂−
∂Φ∂
= (III.31)
É necessário que Φ e Ψ satisfaçam as equações de movimento (III.18) além, é
claro, das condições de contorno em z = 0, isto é, tensões σz = 0 e τxz = 0. E por razões já
justificadas, é necessário que haja também uma variação na amplitude da onda em função
da profundidade e as funções Φ e Ψ terão a seguinte forma:
)xct(ike)z(f −=Φ e )xct(ike)z(g −=Ψ (III.32)
Notar que as expressões (III.32) acima e as (III.27 e III.30), têm a mesma função
para o termo em x e para o termo em z. Espera-se apenas que (III.32) represente também
o comportamento requerido para onda Rayleigh, ou seja, amplitude decrescente com a
profundidade.
Assim se pode entender porque as formas das expressões de Φ e Ψ serão:
−+−−
=Φx)ik(ctz1
cc
1
2P
2R
eA (III.33a)
−+−−
=Ψx)ik(ctz1
cc
2
2S
2R
eA (III.33b)
Sendo A1 e A2 constantes arbitrárias. E cR, cP e cS, respectivamente as velocidades
de propagação de ondas Rayleigh, compressional e cisalhante.
Sejam as condições de contorno σz = 0 e τxz = 0:
61
0zxzx
2G 2
2
2
22z =
∂
Ψ∂−
∂
Ψ∂+
∂∂Φ∂
=σ (III.34a)
0zxz
G22
2
22
zx =
∂∂Ψ∂
+∂
Φ∂+Φ∇λ=τ (III.34b)
E substituindo-se (III.33) em (III.34) pode se chegar, por artifícios matemáticos, à
equação de Rayleigh:
03
323
568 2
2
4
4
6
6
=−+−S
R
S
R
S
R
cc
cc
cc (III.35)
Uma equação cúbica, cuja relação é 22SR cc , que produz três raizes, 22
SR cc =
4, 2 + 32 e 2 - 32 . Somente a última delas é capaz de satisfazer as condições que
assegurem que as expressões (III.33) representem ondas planas de superfície. Para a
relação 22SR cc consistente, obtém-se:
β= 9194,0cR (III.36)
Logo pela condição (III.36) pode-se estabelecer os seguintes deslocamentos, a
partir de (III.31) e (III.33):
( ) ( )xctksen0,5773ee D u 0,3933kz0,8475kz −−= −− (III.37a)
( ) ( )xctkcose1,4679e8475,0 Dw 0,3933kz0,8475kz −+−= −− (III.37b)
Sendo: D é a amplitude para onda Rayleigh.
As equações (III.37) governam o movimento de uma partícula descrevendo uma
elipse retrógrada. Na superfície, prevalece cerca de 2 / 3 da transmissão de energia
elástica entre as partículas é atribuída à onda Rayleigh. Visto que Ewing (1957) prova
que esta decai à razão de 1/ r , enquanto que as outras duas formas de onda
(compressional e rotacional) decaem mais rapidamente, à razão de 1 / r2 na superfície do
semi-espaço (r é a distância desde a origem da excitação). Logo, para grandes distâncias
da fonte de perturbação, ondas compressional e rotacional, que serão vistas próximas à
superfície, terão amplitudes muito menores que as ondas Rayleigh. A onda Rayleigh é,
62
portanto, de grande interesse para obras de engenharia na superfície ou próxima dela,
como, por exemplo, fundações.
III.5. MODELO DE PROPAGAÇÃO DE ONDAS RAYLEIGH
Para o caso específico de propagação de ondas Rayleigh na superfície do solo,
cujos efeitos em pontos distantes da fonte se pretendem determinar, será adotado um
modelo simplificado, apresentado a seguir, como função de transferência do solo. A
análise de onda Rayleigh será desenvolvida em coordenadas cilíndricas, alternativamente,
ao estudo de onda, das seções anteriores, que foram baseados em coordenadas
cartesianas.
III.5.1. Equações de Ondas em Coordenadas Cilíndricas
O desenvolvimento a seguir é parte do trabalho realizado por Lamb (1904) e serve
para a compreensão da origem da função de resposta em frequência que será de grande
utilidade para o estudo de propagação de ondas Rayleigh.
Seja um sistema em coordenadas cilíndricas (Fig.III.7), onde se definem r um
comprimento radial, z uma profundidade e χ um parâmetro angular. O semi-espaço é
definido pela superfície correspondente a z = 0. Considerando ainda, a origem “O” a
fonte pontual e A o ponto de observação.
z
x
χ
x
z
A
r
Fig.III.7 –Sistema em coordenadas cilíndricas.
63
Considerando um desenvolvimento para o caso particular onde a fonte pontual
esteja localizada na superfície de um semi-espaço, assumindo simetria em relação ao
eixo-z tem-se as seguintes relações:
22 z x r += qrx u = q
rz w = (III.38)
Considere as variáveis u e w os deslocamentos, respectivamente, perpendicular e
paralelo ao eixo-z, representados em termos dos potenciais de translação, ϕ, e rotação, ψ:
rzr u
2
∂∂ψ∂
+∂
ϕ∂= e
rr1
rz w 2
2
∂ψ∂
−∂
ψ∂−
∂ϕ∂
= (III.39)
O parâmetro χ não aparece nas expressões acima por causa da simetria. ϕ e ψ
satisfazem as equações:
( ) 0k22 =ϕ+∇ α e ( ) 0k22 =ψ+∇ β (III.40)
onde kα e kβ são números de onda assim definidos:
Pck ω=α ; cP é a velocidade de propagação para onda de compressão.
Sck ω=β ; cS é a velocidade de propagação para onda cisalhante.
para uma simetria axial:
2
2
2
2
zrr1
r ∂
∂+
∂∂
+∂
∂=∇
Admite-se a solução particular das funções potenciais com as seguintes formas:
( rkJeA 0zν−=ϕ ) e ( )rkJeB 0
z'ν−=ψ (III.41)
onde 222 kk α−=ν
222 kk' β−=ν
k = ω/cR ; k é um número de onda definido para onda Rayleigh.
Jn (kr) é uma função de Bessel de ordem n.
64
A e B são coeficientes constantes.
Substituindo (III.41) em (III.39), vem:
( ) ( )krJeB'keAk u 1z'z ν−ν− ν−−= (III.42a)
( ) ( )krJeBkeA w 0z'2z ν−ν− +ν−= (III.42b)
e sendo as tensões no plano z = 0
( )[ ( )krJBkk2kAk2Grw
zuG]τ[ 1
220rz β−−ν=
∂∂
+∂∂
= ] (III.43a)
( )[ ( )krJB'k2Akk2GzwG]σ[ 0
2220z ν−−=
∂∂
+∆λ= β ]
)
(III.43b)
Onde ∆ é a deformação expancional;
λ é a Constante de Lamé;
G é o módulo de elasticidade transversal.
Para obter a solução para uma fonte pontual considere uma força por unidade de
área atuando normalmente na superfície livre. As condições de contorno
apropriadas para esse caso são:
(krJ Z 0
0]τ[ 0zrz == e ( )rkJZ]σ[ 00zz == (III.44)
Que levadas as expressões (III.43) obtém-se o seguinte sistema:
( )( ) 0Bkk22
GZB'k2Akk2
22
222
=−+ν−
=ν−
β
β
A
- (III.45)
cuja solução é:
GZ
F(k)kk2
A22β−
= (III.46a)
GZ
F(k)ki2B ν
= (III.46b)
65
onde é a função de Rayleigh; ( ) 'k4kk2F(k) 2222 νν−= β-
Para considerar o caso de carga concentrada na superfície se faz π−= 2kdkL Z
em (III.44)e (III.46) e os deslocamentos (III.42) em qualquer ponto da superfície z = 0,
integrado com respeito a k de - a +∞ ∞ , podem ser escritos:
( )dk(kr)J
F(k)'2kk2k
G2L u 1
222
o ∫∞+
∞−
β νν−−
π= (III.47a)
dk(kr)JF(k)
kkG2
L w 0
2
o ∫+∞
∞−
β ν
π−= (III.47b)
Após desenvolvimento das funções de Bessel nas equações (III.47), a fim de obter
uma forma cuja avaliação das integrais definidas seja facilitada, apresenta-se as
expressões equivalentes a seguir:
( )dke
F(k)'2kk2k
duu cosh G2
L uucoshrki222
02o
−∞+
∞−
β∞
∫∫νν−−
π−= (III.48a)
dkeF(k)
kkdu
G2iL w
ucosh r ki2
02o
−∞+
∞−
β∞
∫∫ν
π−= (III.48b)
Através de métodos de resolução das integrais das equações (III.48), cujo
desenvolvimento não é de interesse do presente trabalho, produz-se a solução (III.49) que
representa o movimento das partículas em um ponto distante da fonte, devido à
propagação de ondas Rayleigh no primeiro termo, e compressional e cisalhante nos
demais termos:
( )
( )[ ]
( )
( )( )[ ]
( )L++
+π
−=
∫
∫
∞ −ω
β
∞ −ω
α
π
−−ω
β
α
duu
duu
urkt
urktrti
0
coshi
0
coshi4
k
21
23
21
23
cosh
e
rk
N
cosh
e
rk
Mekr2
1G
ikLHu0
(III.49a)
66
( )
( )[ ]
( )
( )( )[ ]
( )L++
+π
=
∫
∫
∞ −ω
β
∞ −ω
α
π
−−ω
β
α
duu
duu
urkt
urktrti
0
coshi1
0
coshi14
k
23
23
23
23
cosh
e
rk
N
cosh
e
rk
Me
kr21
GkLKw
0
(III.49b)
Onde k = ω/cR ;
H e K são constantes que representam o meio pelo qual a onda se propaga.
Salientando somente a parcela do movimento que se refere apenas à propagação
de ondas Rayleigh (1o. em ambas equações), tem-se na superfície livre os deslocamentos:
( ) ( ) ti210 ekrH
2GikHLu ω= (III.50a)
( ) ( ) ti200 ekrH
2GikKLw ω−= (III.50b)
Onde considera-se a transformação vista adiante em (III.54).
Sabendo-se que a partir da definição da função de Hankel tem-se a seguinte relação:
( ) ∫∞
−π
=0
u coshr ki(2)0 duei2krH (III.51a)
( ) ( )( ) ']krH[krH 20
(2)1 −= (III.51b)
III.5.2. Função de Transferência para Onda Rayleigh
A descrição resumida anterior tem por finalidade ilustrar a origem da função de
resposta em frequência para uma porção de solo sujeita a propagação de ondas Rayleigh
horizontal (u) e vertical (w) apresentadas em Hunt (1991) e reproduzidas respectivamente
abaixo:
67
ω
ω≅ω
R
(2)1
Ruf c
rH cG 2
- )r,(H H (III.52a)
ω
ω≅ω
R
(2)0
Rwf c
rH cG 2K- )r,(H para
Rcrω >> 1. (III.52b)
Onde r – é a distância entre a fonte de excitação e o ponto de observação;
ω – é a frequência de excitação;
cR – é a velocidade de propagação da onda Rayleigh;
H e K são as constantes que dependem do coeficiente de Poisson do solo;
G – é o módulo de elasticidade transversal do solo;
Hn(2) – é a função de Hankel definida em (III.51).
Muitos experimentos indicam que o amortecimento em solo é do tipo histerético,
mas em outros trabalhos experimentais, realizados por Hunt, foram observados um
comportamento com amortecimento viscoelástico D(ω).
A versão amortecida para expressões da função de resposta em frequência acima,
onde o solo é suposto com pequeno amortecimento para baixas amplitudes de vibração, é
a seguinte:
ω
ρω
≅ω
ω
R
(2)1
c2r-D
3R
uf crHe
c 2- )r,(H R
2
H (III.53a)
ω
ρ
ω≅ω
ω
R
(2)0
c2rD-
3R
wf cr He
c 2 )r,(H R
2
K (III.53b)
Onde ρ é a massa específica do solo.
O desenvolvimento da função de Hankel a partir de uma combinação das funções
de Bessel na forma complexa abaixo, não apresentou convergência satisfatória no seu
algoritmo computacional, dificultando a obtenção das curvas:
68
( )( ) ( ) ( )xYixJxH nn2
n −=
sendo Jn (x) – função de Bessel de primeira espécie.
Yn (x) – função de Bessel de segunda espécie.
Uma simplificação matemática facilita a obtenção das curvas das funções de
resposta em frequência horizontal e vertical substituindo as funções de Hankel pelo
primeiro termo de uma expansão assintótica, como se segue:
( ) ( ) ( )42pzi2p e
z2zH
π−π−−
π≅ ∞→π<<π− z,2arg2 (III.54)
E a representação gráfica a partir das expressões (III.53) pode ser vista na Fig.III.8,
segundo os parâmetros do solo dados a seguir:
ρ = 2000 kg/m3 G = 100 MPa
cR = 214 m/s D(ω) = 0,00035
cP = 1500 m/s K = 0,103
cS = 224 m/s H = 0,0575
0.00E+002.00E-084.00E-086.00E-088.00E-081.00E-071.20E-071.40E-071.60E-07
0 20 40 60
Frequência ( Hz )
Am
plitu
de
FRF - horizontalFRF - vertical
Fig.III.8 – Funções de resposta em frequência para solo típico, horizontal e vertical.
69
III.6. COMENTÁRIOS FINAIS
III.6.1. O Movimento das Partículas no Meio
A Fig.III.9 ilustra os modelos simplificados de movimento das partículas
característicos das três principais formas de propagação de ondas: (a) para onda Rayleigh;
(b) para onda cisalhante, vertical e horizontal; (c) para onda compressional. Diversas
propriedades de cada uma delas podem ser encontradas em Barkan (1962).
|q0|
|w0|
z
x
. Ondas - POndas - SV
Direção dePropagação
SH
Movimento das partículas(a)
(b)
(c)
Superfície do semi espaço
Fig.III.9 – Esquema para o movimento das partículas próximo à superfície.
A seguir são enumeradas algumas delas:
(a) Reportando-se à seção III.4, ficou demonstrado que as equações (III.37) regem o
movimento de partícula descrevendo uma elipse retrógrada, como uma função do
tempo na superfície livre do semi espaço. Da mesma forma, na seção III.5.1, as
equações III.50 também devem estabelecer o mesmo tipo de movimento, já que se
referem à primeira parcela do deslocamento global (eq. III.49), aquela atribuída à
onda Rayleigh (demais parcelas da equação (III.49) representam as ondas cisalhante e
compressional). O movimento da partícula assegura que o deslocamento vertical é
cerca de 1,5 vezes o deslocamento horizontal na superfície. Portanto, os efeitos sobre
as edificações são mais pronunciados na direção vertical quando estiverem sujeitos à
onda Rayleigh.
70
(b) Nas ondas-S, que envolvem deformação distorcional, o movimento da partícula se
coloca em um plano perpendicular à direção de propagação. Este movimento pode ser
decomposto em onda horizontal (onda-SH) e onda vertical (onda-SV), com
velocidades de propagação independentes entre si. Na superfície, uma incidência de
onda-SH reflete com onda-SH com mesma amplitude. Já uma onda-SV é refletida
nesta forma se a onda incidente for SV ou mesmo ondas-P (a seguir), para qualquer
ângulo de incidência. Obs.: Num meio contínuo, a velocidade de fase das ondas de
interior, inclinadas em relação à superfície, é comumente projetada na direção de
propagação horizontal (Fig.III.9).
(c) Para ondas-P, que envolve somente deformação volumétrica, o movimento da
partícula coincide com a direção ao longo da qual a onda propaga. Na superfície, uma
incidência de ondas-P reflete como ondas-P e SV com velocidades de fase comuns.
III.6.2. Características da Propagação
Estudos realizados por diversos autores e aqui apresentados na seção III.3
mostram que ondas compressional e cisalhante podem propagar no interior dos sólidos
isotrópicos e homogêneos. Por outro lado, as seções III.4 e III.5 demonstram que ondas
de superfície podem propagar ao longo da superfície livre bem como no interior do
corpo. Neste capítulo pode ser visto também que ondas de interior (onda-P e S) podem
propagar próximo à superfície livre, embora com energia de irradiação menor que aquela
se fosse propagada para o interior do semi espaço. Sob uma condição de impacto vertical,
as equações III.49 regem uma dispersão em forma de um sistema de ondas com simetria
anelar, cujo deslocamento final é composto pelas três formas de propagação de onda:
rotacional, compressional e Rayleigh. Entretanto, será interessante conhecer que tipo de
onda predominará em específicas condições de ocorrência.
Há algumas características individuais que podem influenciar nas análises. Sabe-
se, por exemplo, que a onda Rayleigh tem velocidade de propagação menor que a
71
velocidade da onda cisalhante e que, a grandes distâncias, decai à razão de 1/ r (sendo r
a distância da fonte) enquanto que as ondas cisalhante e compressional decaem à razão de
1/r2, logo a onda Rayleigh predomina nestas condições.
A pequenas distâncias, onde as equações III.49 não se aplicam, pode-se concluir
inicialmente que o tipo de movimento predominante dependerá da forma de aplicação da
força e do meio em que ela atua. Isso ficará claro com a explicação a seguir.
A onda de Rayleigh é, sobretudo, uma combinação de ondas compressional e
rotacional, portanto pode ser produzida por fontes com ambos os tipos. Porém, mesmo
sob estas condições a onda Rayleigh não ocorrerá para uma fonte muito próxima da
superfície e com distâncias horizontais curtas. Fica estabelecido, desde já, que há uma
distância mínima para o surgimento de pulsos de Rayleigh e que para uma fonte situada
no interior do semi espaço próximo à superfície é de: (vide Fig.III.10)
2R
2S
R
cc
hc EP−
⟨ (III.54)
onde cS = velocidade de propagação para onda cisalhante;
cR = velocidade de propagação para onda Rayleigh;
h = profundidade da fonte;
O = origem da fonte.
cR t
cS t
E P
h
θ
Superfície livre
O
cR t
cS t
E P
h
θ
Superfície livre
O Fig.III.10 –Distância mínima para pulso de ondas Rayleigh.
Para distâncias inferiores a EP a forma da fonte é que irá definir entre os outros tipos de
propagação compressional, cisalhante ou ambos.
72
Capítulo IV
Modelagem Estrutural de um Edifício
de Múltiplos Andares
IV.1. INTRODUÇÃO
Neste capítulo alguns aspectos relevantes da modelagem tridimensional de um
edifício residencial urbano são apresentados e discutidos. Utiliza-se para tanto a
estrutura típica de um edifício cujo croquis da elevação e a planta do pavimento tipo são
ilustradas, respectivamente, nas Fig.IV.1 e Fig.IV.2.
A estrutura em concreto armado do edifício é uma estrutura aporticada
convencional, sendo constituída de uma torre com 10 pavimentos tipo (Fig.IV.2) e 01
pavimento de uso comum – PUC. As Figs.IV.1 a IV.6, apresentadas mais adiante,
ilustram a estrutura principal. No Anexo B pode ser encontrada uma ficha técnica
contendo os materiais de seus componentes e as características gerais da edificação.
A estrutura do edifício tem fundações profundas constituídas de blocos de
concreto armado sobre estacas pré-moldadas de concreto armado com profundidade
média de 25 m e diâmetros de 350 mm, 400 mm e 520mm, atravessando uma espessa
camada superficial de argila mole, indicando que as estacas foram cravadas para
alcançar as negas na camada de solo resistente. Os blocos são ligados por cintas de
seção transversal 0,15 x 0,50 m conferindo pouca rigidez à estrutura nas duas direções
ortogonais, pois não há laje estrutural no nível das cintas.
Foram desenvolvidos para esta estrutura vários modelos tridimensionais,
conforme descritos na seção IV.2, com distintos graus de refinamentos e discretizações,
73
sendo posteriormente avaliados através de análise comparativa dos espectros de
freqüências de vibração livre.
Dois destes modelos foram submetidos a ações estáticas e dinâmicas comuns em
região urbana e suas respostas no tempo, em termos de deslocamentos, permitiram
elaborar conclusões sobre os aspectos mais relevantes destas modelagens estruturais 3D.
Outras análises tais como a da influência das alvenarias nas respostas dinâmicas serão
apreciadas no capítulo VIII, por meio de análises comparativas com as respectivas
respostas dos dois outros modelos analisados nos capítulos VI e VII.
(1o Pav.)
(3o Pav.)
(2o Pav.)
(4o Pav.)
(5o Pav.)
(6o Pav.)
(7o Pav.)
(8o Pav.)
(9o Pav.)
(cobertura)
c. de máquinas+ reservatórios
argila orgância moleEstacas em C.A.
camada resistente de solo
+28,2 m
+25,4 m
+22,6 m
+19,8 m
+17,0 m
+14,2 m
+11,4 m
+8,6 m
+5,8 m
+3,0 m
+0,0 m
~ 25 m
(Térreo)
Z
Y(1o Pav.)
(3o Pav.)
(2o Pav.)
(4o Pav.)
(5o Pav.)
(6o Pav.)
(7o Pav.)
(8o Pav.)
(9o Pav.)
(cobertura)
c. de máquinas+ reservatórios
argila orgância moleEstacas em C.A.
camada resistente de solo
+28,2 m
+25,4 m
+22,6 m
+19,8 m
+17,0 m
+14,2 m
+11,4 m
+8,6 m
+5,8 m
+3,0 m
+0,0 m
~ 25 m
(Térreo)
Z
Y
Fig. IV.1 – Croquis da Elevação.
74
Fig. IV.2 – Planta de Forma do Pavimento Tipo (medidas em cm)
75
O modelo estrutural completo adotado para análise estática e de vibrações da
estrutura do edifício, cujo pavimento tipo pode ser visto na Fig.IV.2, é mostrado nas
Figs.IV.3 a IV.6. As vigas, pilares e estacas foram simulados por elementos de pórtico e
as lajes por elementos planos de casca. As contribuições como travejamentos dadas pela
caixa de elevador, as escadas e painéis de alvenarias (conforme Anexo C devem ser
considerados apenas os painéis de alvenaria confinados em quadros viga-coluna, sem
abertura ou com uma apenas – por exemplo: vão de porta) para o acréscimo da rigidez
global da estrutura aporticada tridimensional foram simuladas através de elementos
diagonais de pórtico com rigidez cisalhante da parede equivalente (Moreira, 1996). O
modelo ficou, então, constituído de 8000 elementos de pórticos e 9600 elementos de
casca, resultando num sistema com 79000 equações. Todos os componentes de concreto
armado da estrutura foram considerados íntegros para cálculo das propriedades
geométricas e elásticas das seções transversais. As condições de contorno impostas às
fundações profundas pelo solo foram consideradas de acordo com os módulos de
reações laterais das camadas de solo existentes.
As análises estruturais de vibrações livres e das respostas às cargas dinâmicas
foram feitas com o modelo tri-dimensional da estrutura discretizada em elementos
finitos, utilizando o SAP-2000 (Wilson, 1996) e outros programas de propriedade do
Laboratório de Estruturas da COPPE/UFRJ.
76
z
yx
z
yx
Fig. IV.3 – Modelo Tri-dimensional da Estrutura do Edifício e suas fundações,
discretizada em elementos finitos.
Eixo de torção1o. modo
Ponto A - onde são tomadosos deslocamentos transversais
~ 20,00 m
Torção
z
yx
Eixo de torção1o. modo
Ponto A - onde são tomadosos deslocamentos transversais
~ 20,00 m
Torção
z
yx
Fig. IV.4 – Vista em perspectiva do Modelo do Pavimento Tipo, discretizado em
elementos finitos de casca plana.
77
z
x
z
x
Fig. IV.5 – Vista Longitudinal do Modelo Tri-dimensional da Fig.IV.3.
y
z
y
z
Fig. IV.6 – Vista Transversal do Modelo Tri-dimensional da Fig.IV.3.
78
IV.2. ANÁLISE COMPARATIVA DAS MODELAGENS 3D
A seguir são avaliadas algumas modelagens usuais sob critério comparativo dos
espectros de freqüências naturais. São todos modelos tridimensionais com modelagens
um tanto distintas entre si, que buscam avaliar o melhor desempenho dentre tais
modelos.
As modelagens são:
• Tipo A (Fig.IV.7): - Estrutura de Pórtico 3D (seções das vigas conforme projeto
original);
- Não leva em conta a discretização das lajes em elementos
finitos de cascas, considerando apenas compatibilidade de
deslocamento por andar;
- Não inclui a rigidez dos painéis de paredes confinados.
Escadas modeladas por elementos diagonais
Vigas modeladas conforme projeto original
s
Fig.IV.7 – Representação Tridimensional do Mode • Tipo B: - Idem Tipo A (seções das vigas levando
das lajes, considerando-as como vigas T
• Tipo C (Fig.IV.8): - Idem Tipo B + Paredes de alvenaria
79
Cinta
Fundações modeladas conforme detalhes vistos na Fig.IV.11
lo Tipo A.
em conta a contribuição
e L)
confinadas entre vigas e
colunas representadas por modelo simplificado de diagonal
equivalente.
Vigas modeladas conforme projeto original
Diagonais simulando os Painéis de Alvenaria de Tijolos Cerâmicos
Fig.IV.8 – Representação Tridimensional do Modelo Tipo C.
• Tipo D (Fig.IV.9): - Idem Tipo A (considerando discretização de lajes em
elementos de casca, eliminando a compatibilidade de desl.
por andar).
•
Lajes discretizadasem elementos de cascas
Fig.IV.9 – Representação Tridimensional do Modelo Tipo D.
Tipo E (Fig.IV.10): - Idem Tipo D + Paredes de alvenaria confinadas entre vigas e
80
colunas representadas por modelo simplificado de diagonal
equivalente.
Z
X
Fig.IV.10 – Vista Longitudinal do Modelo Tridimensional Tipo E.
• Tipo F: - Idem Tipo E, sem as fundações profundas.
81
Tabelas com as características modais dos Modelos
a) Tipo A
Tabela IV.1 – Freqüências Naturais Teóricas – Modelo Tipo A.
Modo Freqüências Formas Modais Teórica
Teórica (Hz) 1 0,47 1o T 2 0,48 1o FT 3 0,54 1o FL 4 1,55 2o T 5 1,70 2o FT 6 1,83 2o FL 7 2,95 3o T 8 3,77 3o FT 9 4,55 4o T 10 4,97 3o FL
Notação: FT – Modo de Flexão Transversal da Estrutura Aporticada; FL – Modo de
Flexão Longitudinal da Estrutura Aporticada; T – Modo de Torção da Estrutura
Aporticada; A – Modo Axial da Estrutura Aporticada.
b) Tipo B
Tabela IV. 2 – Freqüências Naturais Teóricas – Modelo Tipo B.
Modo Freqüências Formas Modais Teórica
Teórica (Hz) 1 0,52 1o T 2 0,54 1o FT 3 0,59 1o FL 4 1,74 2o T 5 1,89 2o FT 6 2,05 2o FL 7 3,34 3o T 8 4,17 3o FT 9 5,07 4o T 10 5,22 3o FL
82
c) Tipo C
Tabela IV. 3 – Freqüências Naturais Teóricas – Modelo Tipo C.
Modo Freqüências Formas Modais Teórica
Teórica (Hz) 1 0,62 1o T 2 0,67 1o FL 3 0,68 1o FT 4 2,48 2o T 5 2,79 2o FL 6 2,86 2o FT
d) Tipo D
Tabela IV. 4 – Freqüências Naturais Teóricas – Modelo Tipo D.
Modo Freqüências Formas Modais Teórica
Teórica (Hz) 1 0,48 1o T 2 0,50 1o FT 3 0,56 1o FL 4 1,57 2o T 5 1,75 2o FT 6 1,89 2o FL 7 3,00 3o T 8 3,84 3o FT 9 4,55 4o T 10 4,75 3o FL
83
e) Tipo E
Tabela IV. 5 – Freqüências Naturais Teóricas – Modelo Tipo E.
Modo Freqüências Formas Modais Teórica
Teórica (Hz) 1 0,60 1o T 2 0,66 1o FL 3 0,67 1o FT 4 2,33 2o T 5 2,70 2o FL 6 2,75 2o FT 7 4,83 3o T 8 7,14 1o A 9 7,18 2o A 10 7,42 3o FT
f) Tipo F
Tabela IV. 6 – Freqüências Naturais Teóricas – Modelo Tipo F.
Modo Freqüências Formas Modais Teórica
Teórica (Hz) 1 0,90 1o T 2 1,38 1o FT 3 1,65 1o FL 4 3,11 2o T 5 4,44 2o FT 6 4,76 2o FL 7 8 4,83 3o T 9 5,31 3o FL 10 5,50 4o T
Observando os resultados obtidos para freqüências naturais de vibração livre
apresentados nas Tabelas IV.1 a IV.6 para os diversos modelos estruturais pode-se tirar
algumas conclusões que serão a seguir comentadas.
Inicialmente destaca-se o modelo Tipo A como o mais simples em termos de
modelagem, pois se trata de um modelo composto apenas de elementos de pórtico (para
representar vigas, colunas e estacas). Neste modelo, as lajes não são representadas, mas
são simuladas como sendo um diafragma (membrana) rígido em seu próprio plano,
84
impondo uma condição de compatibilidade de deslocamentos horizontais no nível de
cada pavimento. A rigidez das paredes também não é representada, porém suas massas
juntamente com as massas de lajes são concentradas nos nós viga-coluna no nível de
cada pavimento. Por outro lado o modelo mais refinado é o Tipo E, no qual se
consideram além das lajes discretizadas em elementos de cascas as paredes de
alvenarias confinadas entre vigas e colunas representadas por diagonais equivalentes
(modelo simplificado a ser descrito no Capítulo V). Os demais modelos estruturais
apresentam condições de modelagem intermediárias a estes 2 modelos A e E, conforme
descrito no início desta seção.
As análises de desempenho das várias modelagens serão feitas através da
comparação entre os resultados de freqüências (Tabela IV.5) e modos de vibração
obtidos para o modelo mais refinado (Tipo E) que, em geral, como será visto mais
adiante nos Capítulo VI e VII, se compara bem com os resultados experimentais.
Em termos de freqüências o modelo Tipo A (Tabela IV.1), embora tenha a
vantagem de ser o modelo mais simples, mostra-se claramente pouco adequado para
uma modelagem com a qual se busca maior precisão nos resultados. Os valores das
freqüências são inferiores em cerca de 25% ou mais, em relação àquelas
correspondentes aos modos no modelo Tipo E (Tabela IV.5). Excetuando-se esta
ressalva, por maior precisão nas freqüências, a seqüência inicial nas formas modais se
mostra quase idêntica à do modelo Tipo E.
Nota-se que há uma deficiência na rigidez global, constatado pelos baixos
valores de freqüências, e considera-se que esta deficiência pode residir no fato de as
vigas não contarem com a contribuição das lajes, sem portanto uma pequena parcela de
rigidez. Logo, numa tentativa de melhorar o modelo Tipo A, adota-se no modelo Tipo B
o conceito de vigas T e L além de se manterem os deslocamentos uniformes ao nível de
cada pavimento. Assim nota-se pela Tabela IV.2 um aumento nas freqüências (pelo
acréscimo de rigidez) nos modos correspondentes, porém ainda inferiores cerca de 15%
ou mais, em relação aos respectivos modos do modelo Tipo E. Numa nova tentativa de
aumentar a rigidez global do pórtico 3D, inclui-se no modelo Tipo C as paredes
confinadas entre vigas e colunas. Desta vez, nota-se, num comparativo entre as
freqüências e formas modais entre as Tabelas IV.3 e IV.5 que há uma boa aproximação
85
de resultados a até pelo menos o 6o modo. Acima do 6o modo o problema notado com
relação às freqüências é que, como o modelo Tipo C se constitui apenas de elementos de
pórticos, há grande ocorrência de modos locais de vigas, na realidade inexistentes
devido à presença das lajes. Excetuando-se esta ressalva, o modelo Tipo C, com rigidez
de vigas T e L e rigidez das paredes confinadas, é o modelo (dentre os que não contam
com lajes discretizadas em elementos de cascas) com resultados mais satisfatórios.
O modelo Tipo D serve apenas para mostrar que, mesmo com as lajes
discretizadas em elementos de casca, a não consideração dos painéis de paredes
confinadas, representados simplificadamente por elementos de diagonal, pode conduzir
a resultados sub dimensionados em termos de freqüências (comparação observada entre
os valores de freqüências nas Tabelas IV.4 e IV.5).
Já o modelo Tipo F aproveita o Tipo E engastando-se os pilares no nível dos
blocos das estacas. Pela comparação entre as Tabelas IV.5 e IV.6 nota-se a necessidade
de se considerar no modelo estrutural as fundações e a resistência lateral oferecida pelo
solo. A modelagem das fundações faz-se representando o conjunto de estacas em cada
bloco por elementos de pórticos em estaca única equivalente (rotulados ou engastados
no pé da estaca) e do solo representado pela rigidez de mola (Anexo C) nos nós dos
elementos de pórticos (vide Fig.IV.11).
Extratos do solo de
fundação
Elementos elásticos de
interação
Y
Z
X
Extratos do solo de
fundação
Elementos elásticos de
interação
Y
Z
X Fig.IV.11 – Detalhes da Modelagem das Fundações.
86
IV.3. ANÁLISE COMPARATIVA DAS RESPOSTAS DOS MODELOS
ESTRUTURAIS
Apresentam-se a seguir respostas de dois desses modelos 3D investigados – o
mais simplificado Tipo A e o mais refinado Tipo E – sob ações dinâmicas oriundas de
fontes externas de excitação tais como: impactos gerados por equipamento de cravação
de estacas a percussão e fluxo de vento.
IV.3.1. Respostas Dinâmicas dos Modelos Induzidas por Impactos devidos a Cravação
de Estacas
As Figs.IV.12 e IV.13 mostram as respostas no tempo dos deslocamentos
transversais no topo do edifício obtidos, respectivamente com os modelos Tipo A e E,
para vibrações induzidas, através da propagação de ondas no solo, por equipamento de
cravação de estacas a percussão posicionado a 50m de distância do edifício. Ambas as
respostas em deslocamentos levam em conta o acoplamento de dois modos de vibração,
um de torção e outro de flexão transversal com freqüências muito próximas. Estas
respostas no tempo referem-se aos deslocamentos transversais (direção y) tomados na
aresta do edifício mais afastada em relação ao centro de torção (ver ponto A Fig.IV.4).
-1.50E+01
-1.00E+01
-5.00E+00
0.00E+00
5.00E+00
1.00E+01
1.50E+01
2.00E+01
0 5 10 15 20 25 30 35
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
Fig.IV.12 – Deslocamento transversal x tempo no topo do Edifício (ponto A Fig.IV.4)
induzido por cravação de estacas. Modelo Tipo A.
87
Observa-se que o amortecimento estrutural foi tomado como sendo proporcional
à massa e que para a taxa de amortecimento do 1o modo de vibração foi adotado o valor
2%.
As respostas transientes mostram um pico próximo a 1,5 cm, para o modelo Tipo
A (Fig.IV.12), e um pico próximo a 0,9 cm, para o modelo Tipo E (Fig.IV.13). Atribui-
se a esta diferença, duas importantes contribuições de rigidez presentes no modelo Tipo
E: uma é a parcela de rigidez agregada às vigas devido às lajes, discretizadas em
elementos de cascas, e outra pela inclusão da rigidez das paredes confinadas entre
colunas e vigas, representadas no modelo E pelas diagonais equivalentes. Nota-se ainda
na Fig.IV.12, que por terem freqüências muito próximas, 0,47 Hz para o 1o.modo (1o.
modo de torção) e 0,48 Hz para o 2o.modo (1o. modo de flexão transversal), a
amplitude de respostas destes modos no modelo Tipo A se somam quase sem
defasagem. Já a Fig.IV. 13 demonstra que a maior defasagem na associação das
respostas entre os modos de torção (0,60 Hz) e o de flexão transversal (0,67Hz)
contribui para que na soma algébrica haja menores amplitudes.
-9.00E+00
-6.00E+00
-3.00E+00
0.00E+00
3.00E+00
6.00E+00
9.00E+00
0 5 10 15 20 25 30 35
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
Fig.IV.13 - Deslocamento transversal x tempo no topo do Edifício (ponto A, Fig.IV.4)
induzido por cravação de estacas. Modelo Tipo E.
88
IV.3.2. Respostas Dinâmicas dos Modelos Induzidas pela Ação do Vento
As Figs.IV.14 e IV.15 apresentam as respostas no tempo dos deslocamentos
transversais no topo do edifício, respectivamente para os modelos Tipo A e E, para
vibrações induzidas pela ação de vento com velocidade de projeto de 24,15 m/s
(considerando a edificação situada numa região do Brasil cujo mapa de isopletas da
NBR 6123, 1990 indica velocidade básica em torno de 35 m/s). Tais respostas foram
obtidas no domínio da freqüência considerando a adaptação do trabalho de Balendra
(1995) apresentada na sub-seção II.6.3. Assim como na sub-seção IV.3.1., as respostas
em deslocamentos levam em conta o acoplamento de dois modos de vibração, um de
torção e outro de flexão transversal com freqüências muito próximas. Estas respostas no
tempo referem-se aos deslocamentos transversais (direção y) tomados na aresta do
edifício mais afastada em relação ao centro de torção (ver ponto A, Fig.IV.4).
-1.00E+00-8.00E-01-6.00E-01-4.00E-01-2.00E-010.00E+002.00E-014.00E-016.00E-018.00E-01
1.00E+00
0 50 100 150 200 250
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
Fig.IV.14 - Deslocamento transversal x tempo no Topo do Edifício (ponto A, Fig.IV. 4)
induzido pelo vento. Modelo Tipo A.
89
-5.00E-01-4.00E-01-3.00E-01-2.00E-01-1.00E-010.00E+001.00E-012.00E-013.00E-014.00E-015.00E-01
0 50 100 150 200 250
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
Fig.IV.15 - Deslocamento transversal x tempo no Topo do Edifício (ponto A, Fig.IV. 4)
induzido pelo vento. Modelo Tipo E.
Nota-se nas respostas apresentadas nas Fig.IV.14 e IV.15 que, embora as
amplitudes de deslocamento tenham valores absolutos pouco significativos, há uma
sensível diferença entre as amplitudes das respostas obtidas com os modelos A e E,
demonstrando a importância de se modelar tanto as lajes, que contribuem para o
aumento da rigidez a flexão das vigas, quanto as paredes confinadas entre colunas e
vigas, modeladas por meio de diagonais equivalentes.
90
IV.4. AVALIAÇÃO FINAL
Do estudo desenvolvido nas sub-seções precedentes, algumas questões
referentes às hipóteses e aproximações usualmente adotadas para modelagem de
elementos estruturais (vigas, lajes e fundações) ou não estruturais (paredes de alvenaria)
de edifícios esbeltos, puderam ser avaliadas. Tem esta seção como objetivo avaliar a
importância efetiva destes elementos na composição da rigidez global do modelo.
O modelo mais refinado Tipo E é o que melhor traduz as características físicas e
geométricas do edifício modelado, visto que os resultados de tal modelagem melhor se
correlacionam com os resultados experimentais; e isto se confirmará nos Capítulos VI e
VII onde são incluídas medições experimentais realizados em edifícios residenciais
urbanos. Em recente trabalho sobre modelos de edifícios em alvenaria estrutural,
Gonchorovski e La Rovere (2000) também afirma que um modelo tridimensional,
semelhante ao Tipo E, que conte com lajes e paredes estruturais modeladas por
elementos finitos de casca seria o modelo ideal e mais realista. Portanto, considerando
como válida esta hipótese, algumas análises e conclusões puderam ser extraídas sempre
comparando os demais modelos em relação ao modelo Tipo E. Em seu modelo de 4
pavimentos, Gonchorovski e La Rovere (2000) faz apenas uma ressalva quanto à
ocorrência, neste caso, de um excessivo número de graus de liberdade, exigindo maior
esforço computacional.
Uma das diferenças entre o modelo mais refinado estudado por Gonchorovski e
La Rovere (2000) e o modelo Tipo E, do presente trabalho, é que o primeiro se refere a
edifícios em alvenaria estrutural e o segundo se refere a edifícios em estrutura
aporticada de concreto armado. Para o primeiro representar as lajes restringidas por
deslocamentos diafragmas é tido como satisfatório para modelos de edifício de
alvenaria estrutural, já o mesmo procedimento para o segundo, modelos de edifícios
aporticados, somente será aceitável se as vigas forem modeladas como vigas T e L,
conforme modelo Tipo C que inclui ainda a representação, por modelo simplificado de
diagonal equivalente, dos painéis de alvenaria confinadas entre vigas e colunas.
91
No modelo estudado por Gonchorovski e La Rovere (2000) interessa que as
paredes estejam discretizadas em elemento finitos de casca ou em estado plano, pois se
procura analisar a distribuição de tensões nestes painéis quando submetidos às cargas,
principalmente as laterais. Daí a consideração das lajes por restrições de deslocamentos
tipo diafragma se tornar interessante, pois diminui o número de graus de liberdade. No
presente estudo os painéis de paredes não necessitam estarem discretizados em
elementos de casca já que o interesse é avaliar o comportamento global da estrutura,
mostrando-se vantajoso o modelo diagonal simplificado. Assim, modelar as lajes como
elementos de cascas, neste caso, não seria tão penoso quanto se pode imaginar, pois se
evitaria calcular todas as vigas T e L (modelo Tipo C), conforme o engastamento entre
as respectivas lajes, além do que atualmente já se pode contar com um mercado de
“softwares” que oferece inúmeras opções, vantagens e facilidades computacionais.
Logo o modelo tridimensional completo para estruturas de edifícios (Tipo E) torna-se
muito atrativo.
Ressalta-se o efeito importante das paredes de alvenaria na alteração das
freqüências, modos de vibração e amplitude de respostas (comparar resultados vistos
nas Tabelas IV.1 e IV.5, Figs.IV.12 e IV.13). O estudo destes efeitos e da modelagem
simplificada das paredes são apresentados e discutidos no próximo capítulo.
Conclui-se também, comparando-se os resultados de freqüência para os modelos
Tipo E e F (mostrados respectivamente nas Tabelas IV.5 e IV.6), sobre a necessidade da
modelagem das fundações de maneira satisfatória, tal como representar o conjunto de
estacas em cada bloco por elementos de pórticos em estaca única equivalente (rotulados
ou engastados no pé da estaca) e também do solo, cuja reação lateral oferecida às
estacas é representada pela rigidez das molas conectadas nos nós dos elementos de
pórticos que discretizam as estacas (vide Fig.IV.11).
92
Capítulo V
Modelo Simplificado para Representar as
Paredes de Alvenaria
V.1. INTRODUÇÃO
Alvenarias, de diversos materiais, constituem uma prática construtiva muito comum
no mundo inteiro, que, inclusive em muitos casos, não exige técnica apurada para seu
emprego. É uma alternativa econômica e eficiente em estruturas aporticadas quando se
busca solução para preenchimento e vedação, isolando ou separando ambientes.
Consideradas componentes não estruturais sua influência no comportamento estrutural sob
determinadas condições de solicitação, tem sido objeto de estudo em um crescente número
de trabalhos que buscam um melhor entendimento da contribuição dos painéis de alvenarias
– confinados entre vigas e pilares de uma estrutura aporticada – para o enrijecimento global
do edifício.
O comportamento de pórticos de concreto armado com painéis de vedação em
alvenaria de tijolos cerâmicos até o colapso da estrutura tem sido analisado em diversos
trabalhos, alguns dos quais (e.g., Tomazevic (1997)) trazem alguns aspectos relevantes
sobre paredes de alvenaria aproveitados no desenvolvimento deste trabalho. Tais aspectos
tratam do comportamento da estrutura sob ação de cargas de serviço, incluindo.
O estudo do comportamento e da resistência de painéis de alvenaria em pórticos,
desenvolvido nesses trabalhos (e.g., Gambarotta (1997)) tem, em geral, por finalidade
93
maior, a investigação dos danos nas estruturas de concreto e/ou nas próprias paredes sob
solicitação sísmica; e utilizam modelos não-lineares de propagação de fissuras que
correspondem à fase inelástica do comportamento global destes modelos. Entretanto, muito
se esclarece nesses trabalhos sobre a fase precedente, a fase elástica, onde concentra-se o
interesse principal do presente trabalho, que se restringe à investigação das respostas da
estrutura de um edifício sob vibrações induzidas por várias fontes de excitação comumente
encontradas nas regiões urbanas.
Em toda a literatura encontram-se trabalhos que, como forma simplificada de
representar o painel de alvenaria, desenvolvem micro-modelos (Fig.V.1a- homogeneização
com elementos planos para modelos contínuos) ou macro-modelos (Fig.V.1b - diagonais
equivalentes), tendo em vista que a parede constitui-se de uma composição heterogênea,
complexa de se representar, formada por lajotas em meio a argamassa de assentamento.
θθ’
h’
α c h
’(1−α
c)h’
(b)
(a)
θθ’
h’
α c h
’(1−α
c)h’
θθ’
h’
α c h
’(1−α
c)h’
(b)
(a) Fig.V.1 – Exemplos de modelos de parede. (a) homogeinização (Gambarotta, 1997) e
(b) diagonais equivalentes (Madan, 1997).
V.2. REGISTROS HISTÓRICOS
Diferentemente de materiais como aço e concreto, a parede de alvenaria constitui-se
de material não homogêneo, tornando complexa a análise do seu comportamento quando
submetida aos esforços, principalmente, no seu próprio plano. Visando facilitar a
compreensão desse comportamento, pesquisadores buscam determinar, através de técnicas
de homogeneização, modelos numéricos com propriedades ortotrópicas equivalentes. Tais
94
técnicas se resumem em desenvolver procedimentos que buscam determinar o módulo de
elasticidade equivalente da alvenaria e utilizá-los em modelos contínuos de elementos
planos.
Seible (1990) desenvolve um modelo analítico de material ortotrópico para a parede
de alvenaria estrutural submetida a um estado bi-axial de tensões, compatibilizando seu
comportamento aos efeitos de uma estrutura sob confinamento. Ainda, em seu trabalho,
desenvolve um estudo paramétrico em que pesquisa a sensibilidade dos resultados
numéricos para tensões ao refinamento da malha de elementos finitos. Seible (1990)
demonstra, através de gráficos força-deslocamento, que a malha mais refinada torna, como
esperado, o modelo menos rígido. Destaca que elementos finitos de ordem mais baixa são
preferíveis a elementos de ordem superior devido a maior estabilidade da solução numérica.
Lee (1994) e (1997) faz um estudo comparativo de algumas dessas técnicas de
homogeneização comparando-as com outro modelo mais elaborado, com análise em
elementos finitos com malha muito refinada, onde cada bloco da alvenaria e as argamassas
de assentamento são individualmente discretizados. Para representar o comportamento
global do painel, Lee (1997) propõe ainda um modelo de propagação de fissura e
desenvolve dois testes: um com controle de tensão outro com controle de deformação.
Gambarotta (1997) analisa a resposta de paredes de alvenaria submetidas a estado
de tensões cisalhante semelhante àqueles induzidos por eventos sísmicos. Para tanto utiliza
modelos constitutivos que levam em conta o comportamento mecânico de cada
componente, lajota e argamassa, e de suas interfaces, conduzindo a um modelo contínuo
representativo da parede.
Ambos autores, i.e., Lee (1994) e Gambarotta (1997), utilizam seus modelos
constitutivos incorporados a códigos de elementos finitos bi e tri- dimensional,
respectivamente.
95
Diversos autores têm se preocupado em compreender também o comportamento
mecânico da interface entre o painel de alvenaria e o pórtico (Fig.V.2), e estabelecem
propostas e discussões em torno de modelos para elementos de ligação. Kwan (1982) e
Singh (1998) usam modelos analíticos, incorporados a elementos finitos, que levam em
conta coeficientes de interação entre pórtico e painel, tanto para forças normais quanto
cisalhantes, simulando, respectivamente, separação e deslizamento na interface,.
Painel Interface Eixo do PórticoPainel Interface Eixo do Pórtico Fig.V.2 – Modelos de interface para representar a ligação pórtico-painel.
Muito embora se consiga bons resultados numéricos para interpretar o
comportamento de painéis de alvenaria aporticada submetida a estado plano de tensões, os
micro-modelos desenvolvidos, por estes e alguns outros autores, consomem muito tempo
de análise, principalmente para grandes estruturas (Gonchorovski e La Rovere, 2000).
Alternativamente, macro-modelos têm permitido um tratamento completo de um painel de
alvenaria substituindo-o por uma estrutura unitária equivalente. Neste contexto Holmes
(1961) propõe substituir o painel por uma estronca diagonal equivalente com extremidade
rotulada do mesmo material do painel e largura 1/3 do comprimento desta diagonal.
Stafford Smith e Carter (1969) propõem uma relação teórica para determinar a largura da
diagonal, tal qual um parâmetro de rigidez do painel aporticado, λh (onde h é a altura da
coluna entre os eixos das vigas). Mainstone (1971) introduz uma formulação empírica em
termos de λh para a mesma relação.
Recentemente, Saneinejad e Hobbs (1995) desenvolveram um método baseado em
diagonais equivalentes, para análise e projeto de pórticos em aço ou concreto armado com
96
vedação de painéis de alvenaria ou concreto submetidos a um estado plano de tensões. O
método leva em conta um comportamento elasto-plástico do material composto do painel
aporticado. Saneinejad (1995) apresenta alguns resultados que levam em conta variações na
relação largura/altura do painel, ou ainda variações na resistência e rigidez de vigas e
colunas. O autor registra que pode se estender a análise de um painel isolado para painéis
múltiplos. Cita a necessidade de se reformular códigos internacionais considerando os
painéis de parede como fator de contribuição diferencial no conjunto de dados necessários
para cálculos sísmicos. Inclui ainda em seu trabalho um estudo preliminar desse modelo
simplificado de diagonal equivalente, submetido a uma combinação de cargas de serviço.
Examina também uma combinação destas cargas com carregamento lateral de vento.
Em todos estes estudos, notadamente aqueles que fazem comparações também com
modelos experimentais, concluem que os painéis de vedação, quando em fase elástica,
atuam essencialmente como uma diagonal equivalente comprimida. E os efeitos de
enrijecimento de pórticos, produzidos por estes painéis de vedação em alvenaria de tijolos
cerâmicos, só devem ser considerados para pequenas deformações sob cargas de serviço,
por se tratar de material muito frágil.
V.3. INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DOS PAINÉIS DE ALVENARIA – MODELO
MATEMÁTICO
Empenhando-se em conhecer as influências, produzidas por algumas das
características físicas e geométricas dos componentes de um pórtico singular com vedação
em material de alvenaria de tijolos cerâmicos, no comportamento global, iniciou-se, neste
trabalho, um estudo paramétrico apresentado a seguir.
Toma-se, inicialmente, três modelos de pórticos com vãos respectivamente 2, 3 e 7
metros (Fig.V.3), mas que são equivalentes entre si, tanto em termos de massa quanto em
termos de rigidez à flexão lateral no plano do quadro. Primeiramente, para garantir a
equivalência de massa basta que se acrescente massas concentradas nos nós, dos modelos
com 2 e 3 metros de vão, correspondente à diferença da perda de massa na viga devido ao
97
encurtamento do respectivo vão, em relação ao modelo com 7 metros de vão. Em seguida,
para manter a equivalência de rigidez nos três modelos (já que há um acréscimo natural de
rigidez à flexão no plano do quadro, devido aos respectivos encurtamentos de vão para 3 e
2 metros), optou-se por fazer uma redução compensadora na inércia das vigas, nos modelos
com vãos menores. Posteriormente, para confirmar a equivalência de rigidez, foi aplicada
uma carga horizontal unitária, no topo de cada modelo, e observaram-se valores muito
próximos para o deslocamento lateral dos três pórticos (vide Tab.V.1).
Vazio
FF
VazioVazio
7 m 3 m 2 m
F
1m3
m
Pórtico CPórtico BPórtico A
MM M
MM M
Obs.: M - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos das vigas em relação ao Pórtico A
M
M
Vazio
FF
VazioVazio
7 m 3 m 2 m
F
1m3
m
Pórtico CPórtico BPórtico A
MM M
MM M
Obs.: M - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos das vigas em relação ao Pórtico A
M
M
Fig.V.3 – Pórticos Vazios.
Tab. V.1 – Deslocamento horizontal no topo dos pórticos sujeita a força unitária F = 1 kN.
Modelo Pórtico A Pórtico B Pórtico C
Deslocamento (m) 2,638 x 10-4
(0,264 mm)
2.588 x 10-4
(0,259 mm)
2.583 x 10-4
(0,258 mm)
Assegurada a equivalência entre os três pórticos (considerando o mesmo
deslocamento nos três pórticos – Tab.V.1 ), ao se introduzir em cada modelo numérico um
painel composto de elementos finitos planos, com propriedades da alvenaria de tijolos
cerâmicos, qualquer acréscimo na rigidez do conjunto pórtico-painel deverá ser atribuída
exclusivamente à presença da parede de alvenaria. A Fig.V.4 ilustra os três pórticos-painéis
que da mesma forma mantêm entre si a equivalência de massa e rigidez e também de massa
entre os painéis de alvenaria. A Fig.V.4 aponta um detalhe que pode ser visto na Fig.V.5
sobre a ligação pórtico-painel . Na Tab.V.2 nota-se que surge uma leve diferença nos
deslocamentos laterais entre os modelos já com painéis. Isso indica que a relação
98
geométrica base/altura do painel influi diretamente na rigidez do conjunto, despertando-se a
necessidade de se estabelecer uma relação direta entre estes parâmetros geométricos e o
comportamento do painel. Esta relação será estabelecida na seção V.4 a seguir.
FF
7 m 3 m 2 m
F
1m3
m
Parede CParede BParede A
M+mM+m M+m
M+mM+m M+m
Obs.: M - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos das vigas em relação ao Pórtico A
M+m
M+m
Elementos de conexão entre todos os nós de ligação Pórtico/Painelm - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos dos painéis em relação à Parede A
ligaçãoPórtico/painel
painelpainel painel
Detalhe A
FF
7 m 3 m 2 m
F
1m3
m
Parede CParede BParede A
M+mM+m M+m
M+mM+m M+m
Obs.: M - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos das vigas em relação ao Pórtico A
M+m
M+m
Elementos de conexão entre todos os nós de ligação Pórtico/Painelm - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos dos painéis em relação à Parede A
ligaçãoPórtico/painel
painelpainel painel
Detalhe A
Fig.V.4 – Modelos compostos de pórtico e painel interligados com elementos de mola.
Tab.V.2 – Deslocamentos horizontal no topo dos modelos Pórtico-Painéis.
Modelo Port/painel A Port/painel B Port/painel C
Deslocamento (m) 2,792 x 10-5
(0,028 mm)
1,681 x 10-5
(0,017 mm)
2,285 x 10-5
(0,023 mm)
Os modelos numéricos se compõem de: elementos de barra para o pórtico,
elementos quadriláteros planos de membrana para o painel e, também, elementos especiais
de ligação (mostrados na Fig.V.5) entre os nós do pórtico e os nós do painel com
propriedades elásticas de rigidezes normal e cisalhante (e com rigidez à flexão nula).
99
Molas com coeficientes de rigideznormal e cisalhante
Elemento dePórtico
Elemento Plano de Membrana
Detalhe A
Molas com coeficientes de rigideznormal e cisalhante
Elemento dePórtico
Elemento Plano de Membrana
Detalhe A
Fig.V.5 – Elementos de Ligação entre elementos de pórtico e painel. (Detalhe A, Fig.V.4)
A tarefa de considerar a separação do pórtico com o painel, descrita por
Thiruvengadam(1985) como uma modelagem muito complexa, dadas as inúmeras
abordagens necessárias para a completa descrição do fenômeno, não será aqui utilizada.
Eventualmente, sob cargas de serviços, é possível que não haja separação entre pórtico e
painel e, portanto, o modelo descrito acima, que não inclue tal separação, será utilizado
para interpretar o aumento excessivo de tensão nos cantos do painel, como sendo regiões
afetadas pela referida separação. Como o modelo de elementos finitos empregado não
permite análise de estado de fissuração, pois trata-se apenas de um modelo para análise
linear elástica, entende-se então que tal falha (início de separação) ocorrerá se as tensões
principais excederem às tensões de resistência do material da parede.
A análise sistemática das características dinâmicas básicas de qualquer modelo
numérico, tais como freqüência natural e formas modais de vibração livre, contribuem de
forma clara e decisiva para o estudo paramétrico. Além disso, dependendo da necessidade,
pode-se construir e ensaiar em laboratórios, modelos experimentais cujos sinais dinâmicos
das respostas são medidos por sensores, permitindo confrontar e calibrar tanto
estaticamente quanto dinâmicamente (em termos de freqüências, modos e amortecimentos
modais) os modelos matemáticos-computacionais, melhorando assim a precisão e
confiabilidade de seus resultados numéricos.
100
Após uma investigação dinâmica dos modelos anteriormente descritos, constatou-se
acréscimo na freqüência fundamental de vibração associada ao 1o. modo de flexão lateral
nos modelos com parede, em relação àqueles sem parede, conforme mostra a Tab.V.3. Esta
análise de vibrações revela também uma considerável influência dos painéis de alvenaria no
comportamento e na rigidez no próprio plano dos modelos pórtico-painel.
Tab.V.3 – Freqüências Fundamentais de vibração por flexão lateral nos modelos pórticos
vazios e com painel.
Freqüência (Hz)
Modelo Pórtico A Pórtico B Pórtico C
Sem painel 8,91 8,95 8,95
Com painel 23,59 22,52 19,34
A primeira linha de dados da Tab.V.3 mostra que a freqüência do 1o. modo em
torno de 8,95 Hz, para os três pórticos, confirma a requerida equivalência (citada no início
desta seção) entre rigidezes e massas dos três pórticos sem painel, embora com vãos
distintos. Na segunda linha de dados da mesma Tab.V.3, destaca-se um sensível decréscimo
nas freqüências dos modelos A a C, indicando uma dependência das relações geométricas
dos painéis.
Avançando no estudo paramétrico, os três modelos A, B e C tornam-se a partir de
agora, respectivamente, A1, B1 e C1 (cujos dados estão realçados na Tab.V.4). Assim,
foram criados mais 4 novos modelos a partir de cada um desses: chamados A2, A3, A4 e
A5, além de B2, B3, B4 e B5, e ainda C2, C3, C4 e C5. Esses novos modelos foram
estabelecidos com variações nas inércias das vigas do seu respectivo modelo de origem
(A1, B1 e C1), conforme esclarece a Tab.V.4. Posteriormente, cada pórtico também foi
preenchido com elementos finitos planos, cujo refinamento da malha foi previamente
definido por uma análise de convergência, representativos das paredes de alvenaria de
tijolos cerâmicos. O objetivo é verificar a sensibilidade das respostas, não só dos modelos
101
pórticos mas sobretudo nos modelos pórtico-painel, observando a influência da parede em
decorrência da variação na inércia das vigas.
Tab.V.4 – Momentos de Inércias das Vigas objetivando manter a correlação entre os
modelos A, B e C.
Grupo A Grupo B Grupo C
Pórtico Inércia Viga (m4) Pórtico Inércia Viga (m4) Pórtico Inércia Viga (m4)
A2 3,375 B2 1,44 C2 0,963
A3 0,03357 B3 1,44 x 10-2 C3 9,58 x 10-3
A1 3,38 x 10-4 B1 1,44 x 10-4 C1 9,63 x 10-5
A4 3,43 x 10-6 B4 1,47 x 10-6 C4 9,83 x 10-7
A5 5,12 x 10-8 B5 2,20 x 10-8 C5 1,47 x 10-8
Observando as colunas da Tabela V.4, vê-se que os valores das inércias decrescem
de cima para baixo, o que quer dizer que: os pórticos do grupo 2 são os que possuem vigas
com maior inércia e os pórticos do grupo 5 são os que possuem vigas com menor inércia.
Por outro lado, observando-se as linhas horizontais, nota-se que os valores das inércias
decrescem da esquerda para a direita, o que quer dizer que: como os pórticos dos grupos B
e C possuem vãos menores que o seu correspondente no grupo A, é necessário que se
diminua a inércia das vigas daqueles, proporcionalmente aos coeficientes de rigidez a
flexão, para que se tornem equivalentes aos respectivos pórticos do grupo A.
102
Tab.V.5 – Correspondência das freqüências fundamentais dos modelos estudados.
Grupo A Grupo B Grupo C
Freqüência (Hz) Freqüência (Hz) Freqüência (Hz) Pórtico
s/painel c/painel Pórtico
s/painel c/painelPórtico
s/painel c/painel
A2 17,70 31,06 B2 17,51 28,25 C2 17,27 23,36
A3 17,18 30,12 B3 17,03 27,70 C3 16,78 23,04
A1 8,91 23,59 B1 8,95 22,52 C1 8,95 19,34
A4 5,66 21,65 B4 6,21 20,70 C4 6,21 17,79
A5 6,16 21,55 B5 6,17 20,66 C5 6,17 17,73
As diferenças entre freqüências fundamentais (vide colunas da Tab.V.5) dos
pórticos com painel e o seu correspondente sem painel, indicam que o aumento na rigidez à
flexão lateral se deve atribuir, exclusivamente, à presença da parede. Pode-se notar ainda
que, independente do grupo ser A, B ou C, esta diferença aumenta para menores inércias
das vigas, tal como mostram as colunas desta tabela correspondentes a cada grupo, de cima
para baixo. Portanto, pode-se concluir que a participação da parede na rigidez global do
conjunto é maior nos modelos que apresentam vigas de menor inércia.
Deve-se ressaltar aqui, porém, que apesar de comprovado e quantificado os efeitos
de enrijecimento de pórticos com painéis de vedação em alvenaria de tijolos cerâmicos, tais
efeitos só devem ser considerados para pequenas deformações sob cargas de serviço. Isto
por ser muito frágil o material que constitui estas alvenarias.
Em trabalho recente Chaker (1999) realiza um estudo semelhante, onde também
destaca um sensível acréscimo nas características de rigidez e vibração, em cuja análise
leva em conta a influência dos painéis de alvenaria de preenchimento e vedação internos e
externos, em análise dinâmica experimental. Chaker (1999) usa dois modelos experimentais
de edifícios de três pavimentos constituídos de pórticos típicos de concreto armado, sendo
103
apenas um deles composto com painéis de alvenaria de tijolos cerâmicos. Por meio das
medições experimentais em vibração livre comprova que a edificação aporticada com
painéis de vedação em alvenaria de tijolos cerâmicos apresenta acentuada diminuição no
período fundamental em relação ao modelo aporticado sem painéis de alvenaria. Esses
modelos físicos testados em laboratório, demonstraram que a rigidez lateral pode aumentar
em 7 vezes na edificação com paredes em relação àquela com pórticos vazios.
Retornando-se à análise paramétrica, toma-se agora apenas um dos modelos pórtico-
painel descritos anteriormente, por exemplo o modelo B1, que possui relação base/altura
igual a unidade. Com este modelo foi realizada uma pequena simulação para demonstrar os
efeitos produzidos pelo descolamento da parede com o pórtico e suas prováveis
consequências. Ao invés de atribuir um carregamento horizontal no topo do modelo
pórtico-painel, toma-se como solicitação apenas um recalque de 10 mm na base da coluna
esquerda, conforme ilustrado na Fig.V.6. Haverá como conseqüência uma deformação
cisalhante no modelo. Para intensificar tais efeitos, impediu-se o deslocamento no canto
superior oposto ao recalque na base. Assim a deformação por flexão do elemento de pórtico
contribui para o fenômeno de separação nos cantos sujeitos a fortes tensões. A visualização
de tal fenômeno não pode ser feita, com o programa em elementos finitos, utilizando
análise linear elástica.
3 m
painel
recalquede apoio
A B
3 m
3 m
painel
recalquede apoio
A B
3 m
Fig.V.6 – Modelo de Pórtico-Painel com recalque.
104
Fig.V.7 – Detalhes de abertura simulada na Ligação Pórtico-Painel após recalque de apoio.
Entretanto, como na interface pórtico-painel são utilizados elementos fictícios de
ligação com coeficientes axial e cisalhante e inércia a rotação nula, o efeito simulado da
separação pode ser obtido liberando-se a rigidez axial sucessivamente a partir dos cantos de
maiores trações. Seus efeitos podem ser conferidos nas Figs V.7 e V.8, que ilustram
respectivamente, a configuração deformada e as distribuições sucessivas de tensões no
painel.
A medida que se observa os estágios 1, 2, 3 e 4 da Fig.V.8 (representando uma
seqüência dos efeitos de descolamento na interfase pórtico-painel a partir de extremos
opostos), nota-se que as maiores tensões tendem para o centro do painel. Isto pode justificar
a formação de fissuras que comumente se observa nas paredes de estruturas aporticadas
submetidas a um recalque diferencial: surgimento de trincas inclinadas no centro do painel
e não nos cantos do mesmo; formadas pela tração indireta perpendicular a biela diagonal
comprimida, numa alusão aos modelos tradicionais de biela-tirante da teoria de ruptura de
painéis ou almas de vigas de concreto por esforço cortante.
105
1) 2)
3) 4)
Fig.V.8 – Distribuição de tensões de modelos simulando a evolução da abertura Pórtico-
Painel. Unidade: kN/m (baseado em Fmax/m)
Outro fato que se deseja investigar está relacionado aos efeitos produzidos nos
painéis quando se leva em conta variações na inércia das vigas. Os quadros 1, 2, 3 e 4 da
Fig.V.9 representam quatro modelos pórtico-painéis, com valores decrescentes da inércia
das vigas, respectivamente, sujeitos a uma solicitação de recalque na base da coluna
esquerda. Nota-se nos quadros 1 e 2 uma melhor distribuição de tensões em relação aos
quadros 3 e 4 onde há maiores concentrações de tensões nos cantos. De certa forma, isto
106
confirma as conclusões tiradas dos resultados apresentados na Tab.V.5, onde a participação
da parede é maior nos modelos que têm vigas de menor inércia.
Fig.V.9 – Efeitos sobre os paineis da diminuição da inércias das vigas. Unidade: kN/m
(baseado em Fmax/m)
1) 2)
3) 4)
107
V.4. MODELOS COM DIAGONAIS – MODELO MATEMÁTICO
Pela relevante função que as paredes têm desempenhado na construção civil, ainda
desconhecida por muitos, é fácil perceber que a elaboração deste capítulo justifica-se, uma
vez que a função das alvenarias em estruturas de edifícios vai muito além de simples
vedação ou mesmo divisão de ambientes. Talvez fosse, então, a hora de se dar mais atenção
a este fato. Quem sabe até mesmo não mais ignorá-las nos cálculos, na medida em que as
recomendações se tornem claras para que sejam consideradas como elementos estruturais,
principalmente em regime de solicitações de serviço. No entanto, é preciso que tais
procedimentos contemplem modelos simplificados para representar as características
estáticas ou dinâmicas das alvenarias. Isto porque a modelagem por elementos finitos de
casca torna a análise uma tarefa árdua, principalmente para grandes estruturas. Por isso esta
seção apresenta um método simplificado de análise, para estruturas bi ou tri-dimensionais,
que inclui as características físicas das paredes.
Se o painel, representado pelo quadro da Fig.V.10, é considerado em cisalhamento
perfeito, pode-se deduzir um modelo analítico em que a rigidez imposta por diagonais
produza efeito de travejamento equivalente àquele que seria imposto pelo painel de
alvenaria. Segue, portanto, a referida dedução:
L ∆L
c
α−θ
α
α
b
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
b
a
.
L ∆L
c
α−θ
α
α
b
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
b
a
.
L ∆L
c
α−θ
α
α
b
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
b
a
.
L ∆L
c
α−θ
α
α
h
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
h
a
.
L ∆L
c
α−θ
α
α
b
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
b
a
.
L ∆L
c
α−θ
α
α
b
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
b
a
.
L ∆L
c
α−θ
α
α
b
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
b
a
.
L ∆L
c
α−θ
α
α
h
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
h
a
.
L ∆L
c
α−θ
α
α
b
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
b
a
.
L ∆L
c
α−θ
α
α
b
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
b
a
.
L ∆L
c
α−θ
α
α
b
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
b
a
.
L ∆L
c
α−θ
α
α
h
a
θ
∆
∆
h
V
L +∆L
Fh
h
a
.
Fig.V.10 - Painel elementar com uma diagonal. Quadro indeformado (tracejado) e quadro
deformado (traço cheio).
108
Onde: a – largura do painel;
h – altura do painel;
L – comprimento da diagonal equivalente;
α - ângulo que a diagonal forma com a horizontal;
θ - ângulo entre a diagonal deformada e sua posição original;
Fh – força horizontal aplicada no topo do painel;
∆L – deslocamento longitudinal da diagonal;
∆h ∆V – respectivamente, deslocamentos horizontal e vertical.
Inicialmente, considerando pequenas deformações, e fazendo ∆V = 0, assim tem-se:
( )∆ ∆L h cos -= ⋅ α θ (V.1)
e para c, tem-se:
( ) ( )c = sen - sen sen cosh h∆ ∆⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅α θ α θ θ αcos (V.2)
Na hipótese das pequenas deformações sencos
θ θθ
≅≅ 1
ficando: ( )c sen - coh s≅ ⋅∆ α θ α
para c = Lθ , resulta
( )θ α θ αL = sen -h∆ ⋅ cos
para um deslocamento unitário na horizontal, ∆h = 1 tem-se que:
( )sen = L + cosα θ α
e logo:
( )θα
α=
senL + cos
(V.3)
Considerando a força horizontal Fh , temos a seguinte relação carga - deslocamento: F kh h h= ⋅ ∆
e na direção da diagonal FL:
F kL L L= ⋅ ∆ (V.4)
109
para:
kEALL = (V.5)
projetando FL na horizontal, tem-se:
( )FF
cos -Lh=
α θ (V.6)
substituindo (V.1),(V.5) e (V.6) em (V.4), tem-se:
( )( )F
cos -E A
Lcos -h
hα θα θ= ∆
tendo θ a expressão (V.7),vem:
FE A
Lcos -
senL + cosh
2h=
⋅α
αα
∆ (V.7)
e sendo:
( )kE A
Lcos -
senL + cosh
2=
α
αα
(V.8)
V.5. MÓDULO DE RIGIDEZ CISALHANTE “G” DOS PAINÉIS DE ALVENARIA
V.5.1. Modelo Simplificado dos Painéis de Alvenaria
Apresenta-se, nesta seção, em continuidade à seção anterior, um estudo que objetiva
representar a função de rigidez estrutural atribuída aos painéis de alvenaria substituindo-a
pela rigidez EA de elementos de barra diagonal. A finalidade é, principalmente, simplificar
a elaboração dos modelos tridimensionais de edifícios, já que a inclusão dos painéis de
parede tem se mostrado [(e.g., Battista(1999) e (2001)) –trabalhos de consultoria
COPPETEC e artigos] requisito indispensável para o enrijecimento global da edificação, e
a sua modelagem por elementos finitos de casca aponta para uma malha muito refinada e
conseqüentemente, muito trabalhosa e onerosa, tanto do ponto de vista da modelagem como
do ponto de vista computacional.
110
V.5.2. Rigidez axial EA de elementos diagonais
a – Modelo Elástico Linear
Antes de seguir com a análise numérica em busca da determinação da rigidez
cisalhante G, com características específicas de material de alvenaria, faz-se aqui uma
breve referência ao que trata a teoria da elasticidade sobre o assunto. Tal teoria aborda
casos semelhantes à presente investigação e aproveitando-se desse estudo pode-se mostrar
que a deformação cisalhante(Fig.V.11) neste caso é interpretada da seguinte forma:
γ
δ
h
F
a Fig.V.11 – Elemento Plano sujeito a cisalhamento.
GeaF
G=
τ=γ (V.9)
onde: γ – deformação cisalhante;
τ – tensão cisalhante;
G – módulo de elasticidade transversal;
a – largura do painel;
e – espessura do painel.
A teoria estabelece que a expressão (V.9) apenas seja empregada quando se
considera o painel submetido a cisalhamento puro.
111
A deflexão lateral δ pode então ser definida como sendo:
hγδ = (V.10)
Timoshenko (1961) apresenta um estudo sobre tensões cisalhante em painéis, onde
demonstra a seguinte curva da variação da deformação cisalhante (Fig.V.12) com a
variação da largura “a” do painel:
Fig.V.12- Forma típica de curva para distorção de painel.
A tensão cisalhante aplicada à expressão (V.10) conduz à curva de deflexão lateral
(Fig.V.13) com a seguinte forma:
γ
ah
δ
ah
Fig.V.13- Forma típica de curva para consequente deflexão lateral.
Considerando a forma da curva mostrada na Fig.V.12 e que a rigidez cisalhante “G”
é uma função inversa da deformação cisalhante γ, conforme equação (V.9), é de se esperar
que a curva de “G” (Fig.V.14) tenha a seguinte forma:
112
ah
G
Fig.V.14 - Forma típica de curva para correspondente rigidez cisalhante de painel.
Retornando-se ao estudo numérico e utilizando-se das expressões (V.9) e (V.10) de
Timoshenko pode-se deduzir uma expressão para o cálculo da rigidez cisalhante “G” e
obter-se uma curva (item b- a seguir) para os painéis de alvenaria investigados, via MEF,
em função da variação da largura do painel e da deflexão lateral.
δeaFh G =
onde; h – altura do painel.
b – Variação de G com a Geometria dos Painéis
Considerando que possa ser adotado, para a expressão (V.8), o módulo de
elasticidade E dos elementos de barra diagonais, simulando o efeito dos painéis de
alvenaria, valores característicos do concreto ou do aço, a obtenção da rigidez axial EA de
cada barra se resumirá, portanto, em se determinar a área da seção transversal. O método
descrito a seguir se baseia primeiramente na obtenção da rigidez cisalhante G para um
painel de alvenaria com suas características geométricas. Deve-se levar em conta as
propriedades específicas dos materiais envolvidos, e como forma de descrever o método
será tomado o seguinte exemplo:
Seja o modelo do painel de alvenaria constituído por lajotas cerâmicas com 10
furos, cuja resistência à compressão fpk = 10 MPa. Considere 2 modelos distintos: um
painel sem furo (porta), e outro painel com furo (porta), sujeitos às condições de vinculação
e carga conforme esboço mostrado na Fig.V.15. O módulo de elasticidade longitudinal do
113
painel de alvenaria é dado pela fórmula empírica V.11 (Hendry et all, 1997), obtido a partir
da resistência a compressão da lajota cerâmica.
fpk . 700 Ep = (V.11)
h
aa
F F
h
aa
F F
Fig.V.15 – Modelos matemático-numéricos de painéis de alvenaria com e sem furo,
sujeitos a cisalhamento.
Onde: h = 3,0 m;
e = 0,15 m;
F = ∑ fi = 10 kN;
a = variável
Tab.V.6 - Variação do comprimento “a” e do no. de elementos de casca em cada modelo
Modelos A B C D E F G H I J
a(m) 1,5 2,0 3,0 4,5 6,0 7,0 9,0 10,5 12,0 15,0
No.elem. 4608 6144 2304 13824 4608 5376 6912 8064 9216 11520
Para construir as curvas de G dos painéis com e sem porta, tomou-se 10 modelos em
elementos finitos de casca variando-se o comprimento do vão “a”, conforme medidas
anotadas na Tab.V.6. Os demais parâmetros são mantidos constantes. O refinamento da
malha é definido segundo um número de elementos de tal forma que conduza a adequada
convergência de deslocamentos. Foram observadas as seguintes curvas para deslocamentos
tomados no topo dos painéis após esses modelos serem analisados via MEF (Fig.V.16).
114
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
0.0035
0.004
0 1 2 3 4 5 6
a/h
(m) painel s/porta
painel c/porta
Fig.V.16 – Deslocamentos no topo dos painéis.
Assim para painéis de alvenaria com porta e sem porta foram encontradas as
seguintes curvas de G (Fig.V.17):
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0 1 2 3 4 5 6a/h
G(x
106 ) painel s/porta
painel c/porta
Fig.V.17 – Curvas de Módulos de Elasticidade Transversal “G”.
Tais curvas são comprovadas pelo estudo analítico desenvolvido por Timoshenko e
representados respectivamente nas Figs.V.13 e V.14.
115
c - Determinação das Propriedades da Diagonal Equivalente
Finalmente para determinação da área da seção transversal da diagonal equivalente
utilizou-se a expressão (V.8) para obter:
( )
α+
α−α
=
cosLsencos
LEk
A2conc
diag onde: heaGk diag = (V.12)
a
h
F/2 F/2
Fig.V.18 – Modelo representando elementos diagonais equivalentes.
Buscando confirmar a metodologia acima descrita, os resultados de deslocamentos
para os painéis de alvenaria, utilizando malha de elementos finitos de casca para detalhar o
painel, foram comparados aos resultados de deslocamentos de estruturas compostas de
diagonais equivalentes Fig.V.18. O resultado da comparação pode ser visto nas curvas do
gráfico (Fig.V.19) a seguir para painéis com porta e sem porta. Nota-se que a simulação por
diagonais segundo o método é bastante boa.
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
0.0035
0.004
0 1 2 3 4 5 6
a/h
m
diag s/portpnel s/portdiag c/portpnel c/port
Fig.V.19 – Correlação entre os modelos com painel e diagonal equivalente.
116
V.6. MODELO COMPLETO X MODELO SIMPLIFICADO
V.6.1. – Modelo Bidimensional
Para verificar o método da diagonal equivalente, as respostas dos modelos pórtico-
painéis da seção V.3, que utiliza elementos finitos planos de casca para representar
numericamente o painel (Fig.V.20), foram comparadas às respostas dos modelos dos
mesmos pórticos, porém utilizando diagonal equivalente (Fig.V.21) no modelo numérico.
FF
7 m 3 m 2 m
F
1m3
m
Parede CParede BParede A
M+mM+m M+m
M+mM+m M+m
Obs.: M - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos das vigas em relação ao Pórtico A
M+m
M+m
Elementos de conexão entre todos os nós de ligação Pórtico/Painelm - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos dos painéis em relação à Parede A
ligaçãoPórtico/painel
painelpainel painel
FF
7 m 3 m 2 m
F
1m3
m
Parede CParede BParede A
M+mM+m M+m
M+mM+m M+m
Obs.: M - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos das vigas em relação ao Pórtico A
M+m
M+m
Elementos de conexão entre todos os nós de ligação Pórtico/Painelm - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos dos painéis em relação à Parede A
ligaçãoPórtico/painel
painelpainel painel
Fig.V.20 – Modelos matemático-numéricos de pórtico-painéis.
FF
7 m 3 m 2 m
F
1m3
m
Pórtico CPórtico BPórtico A
M+mTM+mT M+mT
M+mTM+mT M+mT
Obs.: M - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos das vigas em relação ao Pórtico A
M+mT
M+mT
mT
mTmT
mT
mT - massas concentradas correspondente à Parede A
FF
7 m 3 m 2 m
F
1m3
m
Pórtico CPórtico BPórtico A
M+mTM+mT M+mT
M+mTM+mT M+mT
Obs.: M - massas concentradas correspondentes às diferenças nos comprimentos das vigas em relação ao Pórtico A
M+mT
M+mT
mT
mTmT
mT
mT - massas concentradas correspondente à Parede A Fig.V.21 – Modelos matemático-numéricos de pórticos com diagonais equivalentes.
117
A boa comparação entre resultados obtidos com os modelos pode ser constatada a
seguir através da Tab.V.7, que apresenta a comparação para freqüência, e Tab.V.8, para
deslocamento.
Tab.V.7 - Correspondência das freqüências fundamentais dos modelos estudados.
Grupo A Grupo B Grupo C
Freqüência (Hz) Freqüência (Hz) Freqüência (Hz) Pórtico
c/painel c/diag. Pórtico
c/painel c/diag. Pórtico
c/painel c/diag.
A2 31,06 35,97 B2 28,25 29,32 C2 23,36 21,74
A3 30,12 34,97 B3 27,70 28,73 C3 23,04 21,46
A1 23,59 23,98 B1 22,52 21,93 C1 19,34 17,67
A4 21,65 22,83 B4 20,70 20,70 C4 17,79 17,04
A5 21,55 22,67 B5 20,66 20,75 C5 17,73 17,04
Tab.V.8 - Correspondência dos deslocamentos horizontais dos modelos estudados.
Grupo A Grupo B Grupo C
Deslocamento(m) Deslocamento(m) Deslocamento(m) Pórtico
c/painel c/diag. Pórtico
c/painel c/diag. Pórtico
c/painel c/diag.
A2 6,1 x10-6 3,4 x10-6 B2 1,1 x10-5 8,6 x10-6 C2 1,6 x10-5 1,8 x10-5
A3 1,6 x10-5 3,5 x10-6 B3 1,1 x10-5 8,9 x10-6 C3 1,7 x10-5 1,9 x10-5
A1 2,8 x10-5 9,4 x10-6 B1 1,7 x10-5 1,3 x10-5 C1 2,3 x10-5 2,5 x10-5
A4 3,1 x10-5 1,1 x10-5 B4 1,9 x10-5 1,3 x10-5 C4 2,7 x10-5 2,6 x10-5
A5 3,1 x10-5 1,1 x10-5 B5 2,0 x10-5 1,3 x10-5 C5 2,7 x10-5 2,6 x10-5
118
Nota-se na Tab.V.8 que em termos de deslocamento a diagonal equivalente deixar
de representar bem o modelo de painel cujo comprimento de vão é maior que sua altura
(caso do Grupo A).
V.6.2. – Modelo Tridimensional
O modelo tridimensional escolhido foi extraído do artigo de Chaker(1997), que
além de apresentar resultados obtidos de um modelo experimental, faz também uma
comparação com resultados apresentados por outros autores, que utilizam métodos
baseados na diagonal equivalente para representação das paredes de alvenaria. O modelo
experimental segue características de construções típicas para prédios de apartamentos, cuja
arquitetura pode ser vista na Fig.V.22. A modelagem numérica-computacional conta com
elementos de pórtico tridimensional, para vigas e colunas, e elementos finitos planos de
casca, para as paredes de alvenaria de tijolos cerâmicos; a argamassa de ligação dos tijolos
não é considerada.
370 420 370420250
30 30 30303030
40
306
40
306
40
306
40
100
370
370 30
30
30
370 420 370420250
30 30 30303030
40
306
40
306
40
306
40
100
370
370 30
30
30
Fig.V.22 – Pórtico tridimensional experimentado por Chaker (1997).
119
Para obter as característica de rigidez EA da diagonal deve-se seguir os passos
indicados na seção V.5.2c construindo inicialmente o gráfico da rigidez cisalhante G , que
leva em conta a geometria do quadro, com as propriedades do painel de alvenaria do
modelo experimental. O gráfico da rigidez cisalhante G correspondente ao painel de
alvenaria de tijolos cerâmicos, utilizados na construção do modelo experimental
apresentado por Chaker (1997), encontra-se desenhado na Fig.V.23.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 1 2 3 4 5 6
a/h
G (x
106 ) painel s/porta
painel c/porta
Fig.V.23 – Curva “G” para o painel de alvenaria usada no modelo experimental de Chaker
(1997).
A comparação entre as respostas do modelo experimental apresentado por Chaker
(1997) e as do modelo teórico, com parede e sem parede (esqueleto estrutural), proposto
neste trabalho, é resumida na Tab.V.9. Nota-se, nesta tabela, que tanto o modelo numérico-
computacional do esqueleto estrutural quanto o modelo numérico-computacional do
edifício aporticado com painel (elemento finito plano) apresentam boa correlação com os
resultados experimentais (formas e freqüências modais).
120
Tab.V.9 - Correlação de freqüências modais entre modelos de pórticos tridimensionais.
Edifício aporticado (esqueleto estrutural) Edifício aporticado com painéis
Freqüência (Hz) Freqüência (Hz)
Chaker experimental
Presente trabalho
Forma modal Chaker experimental
Presente trabalho
Forma modal
2,50 2,53 Flexão Transversal 5,75 6,36 Flexão Transversal
2,62 2,62 Flexão Long. 6,875 6,93 Flexão Long.
2,875 2,90 Torção 9,125 7,67 Torção
Já a Tab.V.10 traz um resumo comparativo mais geral, que engloba também
resultados para o modelo com diagonal equivalente, para representar os painéis de parede,
obtidos por outros autores. Nota-se que o modelo matemático-numérico com diagonais
equivalentes apresentado neste trabalho é o que mais se aproxima dos resultados
experimentais (formas e freqüências modais).
Tab.V.10 - Correspondência de freqüências modais entre modelos de pórticos
tridimensionais
Modelo com diagonal equivalente Modo
Tahar Thiruvengadam Ciongradi Presente trabalho
Modelo c/ elemento
plano
Resultado ExperimentalChaker (1997)
1o. Long. 3,723 3,489 3,738 5,83 6,93 6,875
1o.Transv 4,731 4,097 4,781 5,68 6,36 5,750
1o.Torção 5,923 5,082 5,995 6,30 7,67 9,125
121
Capítulo VI
Análise de Sensibilidade
Modelo 1
VI.1. INTRODUÇÃO
Apresentam-se neste capítulo os resultados mais relevantes da análise de
sensibilidade estrutural de um edifício residencial (Modelo 1) a várias ações externas.
Para isso utiliza-se um modelo tridimensional completo, calibrado em termos de
freqüências e modos de vibração com resultados obtidos de medições experimentais.
Com este modelo faz-se um estudo para investigar as propriedades modais de vibração
da estrutura e para avaliar a sensibilidade dos painéis de alvenarias e componentes
estruturais a danos oriundos de prováveis recalques diferenciais em alguns pilares de
fundação. Com as propriedades modais, obtidas do modelo 3D, alguns modelos
analítico-computacionais simplificados, elaborados segundo os métodos descritos no
Capítulo II, são utilizados para simular respostas no tempo em termos de aceleração,
velocidade e deslocamento. Estes modelos simplificados fornecem estimativas das
amplitudes de respostas das estruturas a tais ações dinâmicas. Respostas estas que
devem ser analisadas por critérios associados aos estados limites último e de utilização,
incluindo desde os critérios relativos a danos excessivos nos componentes não-
estruturais do edifício, até aqueles associados ao conforto dos ocupantes da edificação.
O exemplo prático aqui explorado foi alvo de um trabalho de consultoria técnica
(Battista, 1997) motivado pelos danos sofridos pela edificação decorrentes de recalques
das fundações devidos ao rebaixamento do lençol d’água e às vibrações induzidas pelas
122
explosões para desmonte de rocha e escavações para construção de uma estação
subterrânea e túnel num trecho de uma linha de metrô localizado num terreno vizinho à
edificação. O rebaixamento do lençol d’água e os efeitos das vibrações no solo, sob as
sapatas de fundação, induzidas pelas explosões, podem ter provocado o adensamento
das camadas de solo arenoso-siltoso ou residual sob as quais o prédio foi assentado.
Outro dano, igualmente importante, que se pode destacar, deveu-se à energia de
vibração, que transmitida à estrutura por propagação de ondas nas camadas do solo,
tornou-se perceptível aos seus ocupantes em níveis elevados de desconforto.
Em novo Relatório Técnico (Battista, 2001), o mesmo edifício é investigado
com uma visão preventiva focada num futuro próximo; simulam-se os efeitos deletérios
que a provável construção de um prédio num terreno vizinho poderia causar ao edifício.
Foram considerados os efeitos de recalques nas fundações devidos ao rebaixamento do
lençol d’água para construção, por exemplo, de garagens subterrâneas e os efeitos
devido à cravação de estacas por impacto de martelo. Tais simulações tiveram como
objetivos principais a elaboração de um parecer técnico sobre a integridade e segurança
atual da estrutura do edifício e a elaboração de recomendações técnicas para tomada das
necessárias providências num futuro breve.
123
VI.2. DESCRIÇÃO SUMÁRIA DA ESTRUTURA E FUNDAÇÕES A estrutura em concreto armado do edifício é uma estrutura aporticada
convencional, sendo constituída de 02 blocos principais separados por uma junta
transversal de dilatação térmica. Cada um desses blocos tem uma meia-torre com 10
pavimentos tipo (vide planta na Fig.VI.1), 01 pavimento de uso comum - PUC e mais
02 pavimentos inferiores de garagem; estes três últimos com área projetada maior do
que a da torre. Além desses 02 blocos principais há, a partir do nível do PUC para
baixo, um terceiro bloco separado por uma outra junta de dilatação térmica paralela a
primeira e passando junto a um dos bordos de uma piscina. Este bloco, também com
estrutura de concreto armado, contém, além da piscina, uma área de lazer com
jardineiras e, uma extensão das garagens, área das lojas e as rampas de acesso do prédio,
para pedestres e para automóveis em níveis inferiores. A Fig. VI.2 mostra alguns
detalhes da elevação destes três blocos e as Figs. VI.3 a VI.5 ilustram a estrutura de um
desses blocos principais.
No Anexo B pode ser encontrada uma ficha técnica contendo os materiais de
seus componentes e as características gerais da edificação.
# Fundações do Edifício
O bloco do fundo tem fundações diretas rasas em blocos de concreto armado
sobre rocha. O bloco da frente tem fundações diretas pouco profundas em sapatas de
concreto armado dentro das camadas de terreno existente. As fundações do terceiro
bloco são também rasas, em sapatas de concreto armado dentro das camadas
superficiais de terreno existente.
A profundidade mínima da cota de assentamento dessas fundações em solo
residual, foi estimada em torno de 1,50 m abaixo da superfície final do terreno (i.e após
escavações e terraplenagens do terreno cuja parte do fundo atingia a cota + 19,0
metros).
124
Fig.VI.1 – Planta de Forma do Pavimento Tipo (bloco frontal).
125
Rocha
Solo Residual
Rua
Bloco do FundoBloco Frontal
Junta de Dilatação Térmica (JDT)
JDT
RochaX
Z
10 Andares Residenciais
G2
G1
PUC
110,0 m
+ 9,0 m
+ 49,0 m
Rocha
Solo Residual
Rua
Bloco do FundoBloco Frontal
Junta de Dilatação Térmica (JDT)
JDT
RochaX
Z
10 Andares Residenciais
G2
G1
PUC
110,0 m
+ 9,0 m
+ 49,0 m
Fig.VI.2 – Croquis da Elevação (Carvalho&Basttista, 2002).
# Terreno de Fundação do Edifício
Com os perfis de todos os furos de sondagem notou-se as seguintes
características dos extratos de terreno sob as áreas projetadas dos 02 blocos principais
do edifício separados por juntas de dilatação térmica:
a) Área do Bloco do Fundo
− Extratos variados de terreno (iniciando, desde a superfície, por fina camada de aterro
arenoso, seguido de camadas de areias argilosas compactas com pedregulhos) com
profundidades entre 2,0 e 5,0 metros, assentes sobre solo residual ou rocha pouco
alterada a sã (Gnaise).
b) Área do Bloco da Frente
− Extratos variados de terreno - os mesmos já descritos em (a) - com profundidades
maiores variando entre 6,0 e 15,0 metros acima da camada de solo residual ou rocha
pouco alterada a sã (Gnaise).
126
VI.3. MODELOS COMPUTACIONAIS DA ESTRUTURA
Duas diferentes ferramentas computacionais foram utilizadas para simular o
comportamento da edificação submetida a diversas ações: (i) um modelo tridimensional
em elementos finitos para realizar análises de vibração livre e obter as freqüências e
formas modais de vibração, e também para realizar análises de tensões nos componentes
da estrutura sujeita a recalques diferenciais; (ii) alguns modelos 2D em elementos
finitos usados para obter respostas no tempo da estrutura excitada por diferentes fontes
de vibração.
VI.3.1. Modelo Tri-dimensional da Estrutura em Concreto Armado, Fundações e
Alvenaria
O modelo estrutural completo adotado para análise estática e de vibrações livres
da estrutura do edifício, cujo pavimento tipo pode ser visto na Fig.VI.1 (representativo
apenas do bloco frontal do edifício), é mostrado nas Figs. VI.3 a VI.5. As vigas e pilares
foram simulados por elementos de pórtico e as lajes por elementos planos de casca. A
contribuição dada pela caixa de elevadores, escadas e painéis de alvenarias para a
rigidez local e global da estrutura aporticada tridimensional foi simulada através de
elementos diagonais de pórtico, equivalentes a contribuição de rigidez cisalhante das
paredes de alvenaria (Moreira, 1996). O modelo ficou, então, constituído de 4829
elementos de pórticos e 4224 elementos de casca, resultando num sistema com 31707
equações. Todos os componentes de concreto armado da estrutura foram considerados
íntegros para cálculo das propriedades geométricas e elásticas das seções transversais.
As fundações rasas foram modeladas levando-se em conta a rigidez vertical e lateral
imposta pelo solo existente; e quando sobre rocha modeladas como sendo
completamente rígidas (i.e. engastadas na rocha).
Resultados experimentais (Tomazevic, 1997) e teóricos (Moreira, 1996) foram
usados para calcular as rigidezes equivalentes das paredes de alvenaria e inserí-las no
modelo estrutural. Na análise foram consideradas, portanto, duas situações de
modelagem:
1. estrutura sem travejamento
127
2. estrutura com travejamento conferido pelos painéis de alvenaria (com rigidez
estimada com base nos dados experimentais) confinados e bem apertados contra as
lajes e pilares e sem aberturas significativas.
A segunda dessas duas modelagens melhor aproxima a situação real, mas os
resultados obtidos com ambos os modelos serviram para estimar valores extremos das
amplitudes de vibração. Para analisar a sensibilidade da estrutura a recalques
diferenciais das fundações, foi feito, no modelo tri-dimensional, um refinamento via
discretização com elementos de casca dos painéis de alvenaria vizinhos ao pilar
recalcado. Nesta oportunidade foram investigados: a intensidade de tensões impostas às
alvenarias nos níveis inferiores do prédio, bem como o acréscimo nos esforços, sofridos
por pilares e vigas, na região do recalque.
As análises de vibrações livres, feitas com o modelo tri-dimensional da estrutura,
foram realizadas com um programa de computador que utiliza o método dos elementos
finitos, de propriedade do Laboratório de Estruturas da COPPE/UFRJ.
Z
X
Fig. VI. 3 Modelo Teórico-Numérico Tri-dimension
128
Y
al
3o Pav.
2o Pav.
1o Pav.
P1
P3 P4 P6 P7
P2
Y
Z
Fig. VI.4 Modelo Teórico-Numérico Tri-dimensional. Vista Longitudinal
Z
P1 P20 P35 P54
1o Pav
2o Pav
3o Pav
4o Pav
Diagonais simulando os Painéis de Alvenaria de Tijolos Cerâmicos
X
Fig. VI.5 Modelo Teórico-Numérico Tri-dimensional. Vista Transversal
129
Maiores detalhes sobre a calibração do modelo tri-dimensional e a correlação
entre os resultados teóricos e experimentais para freqüências naturais dos blocos frontal
e do fundo do edifício, podem ser apreciados em Carvalho e Battista (2002). Observa-se
na Tabela VI.1 a boa correlação entre os valores de freqüências experimentais obtidas
das campanhas de medições e os seus correspondentes valores teóricos obtidos do
modelo computacional da estrutura. A Fig.VI.6 mostra o primeiro modo de vibração
(torção com freqüência de 1,46 Hz).
Tabela VI.1 - Correlação entre Freqüências de Vibração Experimentais e Teóricas – Computacionais
Freqüências Modo Experimental (± 0,4 Hz) Teórica (Hz)
Formas Modais Teóricas (*)
1 - 1,46 T 4 4,80 4,87 1o FT 5 11,20 11,45 A 6 12,80 12,35 A + FT 8 16,40 15,70 FT + T + A 9 16,80 16,67 FL
(*) T = torção axial; FT = flexo-torção; FL = flexão lateral; A = axial
Ponto A onde são tomados os deslocamentos transversais
Eixo de torção– 1o. modo
~ 27,43 m
FachadaFrontal
Plano daJDT
Torção
Eixo de torção– 1o. modo
~ 27,43 m
FachadaFrontal
Plano daJDT
Torção
Fig.VI.6 – 1o. Modo de Vibração (TorçãoAxial) com Detalhe da Maior Distância ao
Eixo de Rotação.
130
VI.3.2. Modelos Simplificados para Respostas Dinâmicas
Para o cálculo das amplitudes de resposta da estrutura – em termos de
acelerações e deslocamentos – às ações dinâmicas produzidas por equipamentos de
cravação de estacas a percussão, tráfego de veículos, ação do vento e explosão
subterrânea, foram elaborados modelos simplificados da estrutura do bloco frontal do
edifício assente sobre fundações diretas (sapatas em C.A.) relativamente rasas. Para a
maioria dos edifícios altos em geral é suficiente uma modelagem estrutural com apenas
um grau de liberdade generalizado; representando o modo fundamental de resposta às
cargas laterais. A utilização destes modelos simplificados para representar respostas
dinâmicas de edifícios com a geometria e proporções do presente modelo 01, não
encontra impedimento técnico, podendo-se comprovar a boa correlação, entre respostas
teóricas e experimentais para algumas ações.
Foram consideradas a propagação e atenuação, até as fundações do edifício, das
ondas vibratórias no terreno para os problemas de vibrações induzidas por bate-estacas,
tráfego de veículos e explosão subterrânea.
As propriedades modais da estrutura tri-dimensional foram obtidas com o
modelo descrito no item VI.3.1 anterior e, juntamente com os autovetores, ou modos de
vibração, utilizados para construir as aproximações unifilares dos modelos
simplificados; estes modelos descrevem isoladamente os graus de liberdade
generalizados de flexão lateral e longitudinal, torção axial e de deformação vertical (ou
de flexão das lajes) da estrutura do bloco frontal com uma torre de 10 andares.
Os resultados obtidos com esses modelos simplificados são apresentados e
analisados nas seções VI.5,6,7 e 8, para forças dinâmicas que simulam a cravação de
uma estaca por impacto do martelo, tráfego de veículo pesado, ação do vento e explosão
subterrânea, respectivamente.
131
VI.4. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DA ESTRUTURA E ALVENARIAS A
RECALQUES DIFERENCIAIS DAS FUNDAÇÕES
Apresentam-se a seguir os resultados mais relevantes obtidos da análise de
sensibilidade da estrutura e das paredes de alvenaria (do bloco frontal sobre fundações
diretas em sapatas) para recalques diferenciais de algumas sapatas de fundação que
podem ser produzidos pelos efeitos combinados do rebaixamento do lençol d’água e da
cravação de estacas para construção de um edifício com garagem subterrânea num
terreno vizinho. A escolha das sapatas de fundação para simulação dos recalques foi
feita com base tanto nos resultados do cálculo das pressões de contato no solo exercido
por cada uma das sapatas, quanto na localização da fundação com relação ao terreno
vizinho. Foram selecionadas duas sapatas de fundação: as dos pilares P1 e P38 (vide
localização na Fig.VI.1).
VI.4.1. Sensibilidade das Alvenarias a Recalques das Fundações
As Tabelas VI.2 e VI.3 apresentam, respectivamente, as tensões máximas de
tração e de compressão nos painéis de alvenaria de tijolos cerâmicos vazados, induzidas
por recalques diferenciais unitário e máximo nas fundações diretas dos pilares P1 e P38.
As localizações dessas paredes de alvenaria estão indicadas na primeira coluna destas
Tabelas.
As modelagens 3D das paredes nos 3 primeiros andares de apartamentos, em
elementos finitos de casca, são ilustradas como exemplos nas Figs. VI.7 e VI.8; esta
última ilustrando também a distribuição de tensões principais máximas nos painéis das
paredes situadas entre os pilares P1 e P20 (vide primeira linha das Tabelas VI.2 e VI.3).
O que se conclui a partir dos resultados apresentados nas Tabelas VI.2 e VI.3 é que a
ocorrência de recalques diferenciais, mesmo que relativamente pequenos (∆v ≅ 1,0 mm)
na fundação do pilar P1, pode causar trincas por tensões de tração nas paredes de
alvenaria no primeiro andar de apartamentos. Conforme Battista (2001), constata-se que
a fundação deste pilar P1 é muito menos susceptível a recalque do que a do pilar P38
que apresenta a maior taxa de compressão no terreno. Entretanto, conforme condições
132
mostradas nas Tabelas VI.2 e VI.3, se o pilar P38 sofresse recalque diferencial, as
tensões de tração e compressão nestas mesmas paredes não causariam trincas.
1o Pav.
3o Pav.
2o Pav.
4o Pav.
P1 P20 P35 P54
Z
X
Fig. VI.7 Modelo com Painéis de Alvenaria de Tijolos Cerâmicos Furados (c/ furos na direção horizontal) para Cálculo das Tensões devidas a um recalque diferencial de δ = 1,0 mm na fundação do Pilar P1.
Fmax= 141 kN/m
P1 P20
2o Pav.
3o Pav.
1o Pav.
Fig. VI.8 Gráfico da Distribuição de Tensões Principais Máximas nos Painéis de
Alvenaria de Tijolos Cerâmicos em 03 Andares Consecutivos devido ao recalque diferencial no pilar P1.
133
Tabela VI.2 Tensões Máximas de Tração nas Paredes de Alvenaria de Tijolos
Cerâmicos Vazados induzidas por Recalques nas Fundações dos Pilares
P1 e P38.
Valores de Tensões (MPa) no 1o. Pavimento Residencial Recalques no Pilar P1
Recalques no Pilar P38
Posição das Paredes representadas por
elementos de casca ∆v = 1,0 mm* ∆v = 6,0 mm** ∆v = 1,0 mm* ∆v = 1,21 mm**
Parede: P1 – P20 1,41 8,46 - - Parede: sobre laje
(paralela a P1 – P20) 0,56 3,36 - -
Parede: P38 – P57 - - 0,13 0,15 Parede: P37 – corr (sobre viga V64b) - - 0,16 0,19
Parede: corredor (sobre viga V31c) - - 0,03 0,036
Parede: P39 (sobre viga V35) - - 0,32 0,39
Notas: Tensão Admissível de Tração para os painéis de alvenaria: 0,75 MPa.
Tabela VI.3 - Tensões Máximas de Compressão nas Paredes de Alvenaria de Tijolos
Cerâmicos Vazados induzidas por Recalques nas Fundações dos Pilares
P1 e P38.
Valores de Tensões (MPa) no 1o. Pavimento Residencial
Recalques no Pilar P1
Recalques no Pilar P38
Posição das Paredes representadas por
elementos de casca ∆v = 1,0 mm* ∆v = 6,0 mm** ∆v = 1,0 mm* ∆v = 1,21 mm**
Parede: P1 – P20 0,13 0,78 - -
Parede: sobre laje (paralela a P1 – P20) 0,04 0,24 - -
Parede: P38 – P57 - - 0,05 0,06
Parede: P37 – corr (sobre viga V64b) - - 0,02 0,024
Parede: corredor (sobre viga V31c) - - 0,05 0,06
Parede: P39 (sobre viga V35) - - 0,01 0,012
Notas: Tensão Admissível de compressão para os painéis de alvenaria: 1,5 MPa. * - recalque unitário. ** - recalque máximo; capacidade resistente nula da sapata.
134
VI.4.2. Sensibilidade da Estrutura de Concreto Armado a Recalques das Fundações
A sensibilidade da estrutura de concreto armado a recalques diferenciais nas
fundações dos pilares P1 e P38 foi examinada através do cálculo e superposição dos
esforços de flexão nos nós entre vigas e pilares dos pórticos associados contendo um
desses dois pilares.
O detalhamento desta análise pode ser encontrado em Battista (2001), onde se
concluiu que a superposição dos esforços promovidos pelas cargas permanentes e
acidentais aos esforços causados por um recalque máximo não produzirá danos
estruturais severos, já que haverá uma adequada distribuição de esforços para os
componentes estruturais (vizinhos ao pilar com recalque) e para as paredes de alvenaria
intertravadas entre vigas e pilares.
VI.5. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ESTRUTURAL A VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR EQUIPAMENTOS DE CONSTRUÇÃO
Considerando as características obtidas “in loco” para análise de sensibilidade
do edifício Modelo 1, tais como condições do solo e distância de terrenos vizinhos,
apresenta-se a seguir uma avaliação das amplitudes das vibrações que seriam induzidas
pela propagação de ondas no terreno causadas por equipamentos de percussão utilizados
em construções como, por exemplo, pelo martelo para cravação de estacas em terrenos
vizinhos.
VI.5.1. Características de Cravação da Estaca
Considera-se que o martelo dos bate-estacas cause a cada segundo uma força de
impacto (i.e. uma impulsão com curtíssima duração, de aproximadamente 0,02 segundo)
da ordem de 2000 kN sobre uma estaca de concreto armado com diâmetro de 40 cm e
comprimento de cerca de 30 metros, sendo cravada em camada de solo argiloso rijo, a
distâncias de 15 a 100 metros das fundações dos pilares do bloco frontal do edifício.
135
As Figs. VI.9 e VI.10 mostram, respectivamente nos domínios do tempo e da
freqüência, a força de impacto causada por um equipamento bate-estacas.
0,02 0,021,0
tempo (s)
2000 kN
F(t)
0,02 0,021,0
tempo (s)
2000 kN
F(t)
Fig.VI.9– Força de Impacto X Tempo Causada pelo Bate-Estacas.
0.00E+00
1.00E-01
2.00E-01
3.00E-01
4.00E-01
5.00E-01
6.00E-01
7.00E-01
0.00E+00 5.00E+02 1.00E+03 1.50E+03 2.00E+03 2.50E+03
Frequência Angular (rad/s)
F (
)
Fig.VI.10 – Espectro em Freqüência correspondente a Força de Impacto no Solo com
intensidade de 2000 kN produzida por um Bate-Estacas.
VI.5.2. Características Elásticas do Solo
A Fig. VI.11. ilustra as funções de transferência (FRF- Funções de Resposta em
Freqüência), a partir da eq. III.53, do solo para acelerações vertical e horizontal, na
superfície do terreno, devidas à propagação de ondas de Rayleigh induzidas por um
impacto vertical dado a uma distância de 15 metros, num semi-espaço constituído por
uma camada espessa de argila rija, com as seguintes propriedades:
− espessura média da camada de argila: 20,0 m
− massa específica do solo ρ= 2,0 ton /m3
136
− módulo elástico aparente Es = 40 MPa
− coeficiente de Poisson, ν = 0,3
− módulo elástico transversal do solo, G = 16 MPa
− amortecimento, d < 0,001
− velocidade de propagação das ondas de superfície, cR = 85 m/s (Anexo C)
0.00E+00
1.00E-02
2.00E-02
3.00E-02
4.00E-02
5.00E-02
6.00E-02
7.00E-02
8.00E-02
0 20 40 60 80 100 120
Freqüência (Hz)
F(f) Horizontal
Vertical
Fig.VI.11 – Funções de Transferência do Solo (Argila Rija) para Acelerações
Horizontais e Verticais.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 50 100 150
Freqüência (Hz)
Ampl
itude
F(f)
15 m50 m100 m
Fig.VI.12 – Espectros de Aceleração tomados no solo (argila rija) junto à fundação.
137
A Fig. VI.12 mostra os espectros de respostas em termos de aceleração
horizontal na superfície do terreno no local do edifício, causadas pelos bate-estacas com
as características descritas na seção VI.5.1 operando a distâncias de 15, 50 e 100 metros.
Primeiramente, nota-se na Fig.VI.12 que, de acordo com expectativa natural, quanto
maior a distância menor a intensidade da ação, conseqüência do amortecimento material
do solo ao longo da distância. Segundo, que quanto mais próxima do prédio estiver a
ação, uma faixa mais ampla de freqüências ou modos de vibração desta edificação
estará sujeita aos efeitos do impacto. Inversamente quanto maior a distância entre a ação
e o prédio, um menor número de formas modais de vibração será excitado. Deve-se
considerar, entretanto, que as maiores intensidades de energia, oriundas da cravação de
estacas, ocorrem para baixas freqüências, como mostram as Figs.VI. 9 e VI.10. Assim,
pode-se argumentar que os modos fundamentais de vibração da estrutura é que serão
mais excitados e, por isso, as respostas dinâmicas podem ser aproximadamente
representadas tomando-se apenas os primeiros modos.
VI.5.3. Respostas Dinâmicas da Edificação à Cravação de Estacas
As Figs. VI.13 e VI.14 mostram, respectivamente, nos domínios da freqüência e
do tempo, as respostas dinâmicas em termos da aceleração na direção transversal no
topo do edifício, para a excitação causada por um bate-estaca operando próximo (15
metros) à linha limítrofe do terreno vizinho, bem como operando a distâncias maiores
como 50 e 100 m.
Todas as respostas correspondem à combinação dos modos de torção, freqüência
de 1,48 Hz, e de flexão transversal, freqüência de 4,89 Hz. Nota-se nos espectros de
freqüências apresentados na Fig.VI. 13 que as amplitudes de aceleração para o modo de
flexão transversal (f = 4,89 Hz) são, em geral, maiores que aquelas para o modo de
torção (f = 1,48). Em termos de deslocamentos a Fig.VI.15 mostra a predominância
esperada nas amplitudes do modo fundamental de torção (f = 1,48) sobre o modo de
flexão transversal (f = 4,89 Hz). Nota-se ainda, nestes gráficos, que a energia de
vibração, proveniente de impactos para cravação de estacas, é transmitida em maior
quantidade àquelas fundações com menores distâncias da fonte de excitação.
138
Em resumo, das análises obtidas para aceleração (Figs. VI.13 e VI.14) e
deslocamento (Figs.VI.15 e VI.16), conclui-se que o modo de flexão transversal,
embora apresente maiores amplitudes de aceleração para distâncias menores, em termos
de deslocamento horizontal no topo do edifício suas amplitudes são menores do que as
relativas ao modo de torção, para quaisquer distâncias da fonte de excitação.
Tais análises podem ser determinantes para decisões a serem tomadas com
respeito à necessidade de reforço estrutural ou utilização de atenuadores passivos
(Sistemas Dinâmicos de Atenuadores Sincronizados) ou ativos como saída para
contornar problemas de vibrações excessivas.
1.48
4.89
0.00E+00
5.00E-02
1.00E-01
1.50E-01
2.00E-01
2.50E-01
0 2 4 6 8 10
Freqüência (Hz)
Am
plitu
de F
(f)
15 m
50 m
100 m
Fig.VI.13 – Espectro de resposta para aceleração horizontal no topo do edifício.
-3.00E+00
-2.00E+00
-1.00E+00
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
0 1 2 3 4
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
15 m50 m100 m
Fig.VI.14 – Resposta no tempo para aceleração horizontal no topo do edifício.
139
1.48
4.89
0.00E+002.00E-044.00E-046.00E-048.00E-041.00E-031.20E-031.40E-031.60E-031.80E-03
0 2 4 6 8
Freqüência (Hz)
Ampl
itude
F(f
)15 m50 m100 m
Fig.VI.15 - Espectro de resposta para deslocamento horizontal no topo do edifício.
-8.00E+00
-6.00E+00
-4.00E+00
-2.00E+00
0.00E+00
2.00E+00
4.00E+00
6.00E+00
8.00E+00
0 1 2 3 4 5
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
15 m50 m100 m
Fig.VI.16 – Resposta no tempo para deslocamento horizontal no topo do edifício.
140
A Tabela VI.4 apresenta as amplitudes máximas de deslocamentos e acelerações
horizontais (direção transversal) no nível da cobertura (em dois pontos: no eixo de
torção, próximo à junta de dilatação e numa fachada frontal da torre de apartamentos, na
posição indicada pelo ponto A na Fig.VI.6), obtidas para a estrutura sob condições de
travejamento conferido pelas paredes de alvenaria (vide item VI.3.1) e sendo excitada
pela propagação de ondas no solo até suas fundações, produzidas pela ação de um bate-
estacas situado a distâncias de 15, 50 e 100 metros. As respostas no tempo tomadas na
fachada frontal no topo da torre, cujos valores pico estão descritos na coluna C da
Tabela VI. 4, podem ser vistas nas Figs.VI.14 e VI.16, respectivamente, em termos de
aceleração e deslocamento.
Deve-se notar também que a estrutura apresenta deslocamentos pequenos porque
a freqüência natural associada aos primeiros modos de vibração da estrutura tem valores
baixos (em torno de 1,4 Hz o modo fundamental), sendo, portanto, pouco excitada pelas
acelerações horizontais induzidas nas fundações (Fig. VI.12) cujos picos de densidade
espectral ocorrem para freqüências em torno de 10-15 Hz (p/100 metros), 15-20 (p/50
metros) e 30-40 Hz (p/15 metros).
As Figs. VI.17(a,b) e VI.18(a,b) mostram, respectivamente, nos domínios da
freqüência e do tempo, as respostas dinâmicas em termos de aceleração e deslocamento
verticais no topo do edifício, para a excitação produzida por um bate-estacas operando a
15, 50 e 100 m de distância da edificação.
141
Tab.VI.4 – Amplitudes máximas de deslocamento (m) e aceleração (m/s2) para os 1os. modos na direção transversal, tomadas no topo do
edifício, produzidas pela propagação de ondas no solo induzidas por cravação de estacas a uma distância d (m).
Torção = A Flexão Transversal = B Combinação = C
Deslocamentos (mm)
Acelerações (m/s2) no topo do edifício
Deslocamentos (mm)
Acelerações (m/s2) no topo
do edifício
Deslocamentos (mm)
Acelerações (m/s2) no topo
do edifício Local
Deslocamento Horizontal
Aceleração Horizontal
Deslocamento Horizontal
Aceleração Horizontal
Deslocamento Horizontal
Aceleração Horizontal
d = 15 2,02 x 10-1 1,73 x 10-2 3,14 2,57 2,92 2,61d = 50 3,20 x 10-2 2,70 x 10-3 4,80 x 10-1 4,32 x 10-1 4,71 x 10-1 4,30 x 10-1
Próximo à junta de dilatação d = 100 1,74 x 10-2 1,50 x 10-3 6,92 x 10-2 6,00 x 10-2 7,59 x 10-2 5,22 x 10-2
d = 15 5,04 4,31 x 10-1 3,14 2,57 6,06 2,77d = 50 7,85 x 10-1 6,72 x 10-2 4,80 x 10-1 4,32 x 10-1 9,50 x 10-1 4,63 x 10-1
Fachada frontal da
Torre d = 100 4,38 x 10-1 5,13 x 10-2 6,92 x 10-2 2,57 x 10-2 4,21 x 10-1 7,31 x 10-2 Nota: A + B = C – soma dos sinais das colunas A e B para deslocamento e aceleração.
142
-0.20
0.20.40.60.8
11.21.41.6
0 100 200 300 400 500
Freqüência (rad/s)
F() 15 m
50 m100 m
Fig.VI.17(a) - Espectro de Resposta para Aceleração Vertical tomado no Topo do
Edifício a 15, 50 e 100 metros do bate-estacas.
-1.50E+01
-1.00E+01
-5.00E+00
0.00E+00
5.00E+00
1.00E+01
1.50E+01
0 0.5 1 1.5 2
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
15 m50 m100 m
Fig.VI.17(b) - Respostas no Tempo para Aceleração Vertical tomadas no Topo do
Edifício.
143
-0.00005
0
0.00005
0.00010.00015
0.0002
0.00025
0.0003
0.00035
0 100 200 300
Freqüência (rad/s)
F() 15 m
50 m100 m
Fig.VI.18(a) – Espectro de Resposta para Deslocamento Vertical tomado no Topo do
Edifício a 15, 50 e 100 metros do bate-estacas.
-3.00E+00
-2.00E+00
-1.00E+00
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
0 0.5 1 1.5 2
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
15 m50 m100 m
Fig.VI.18(b) – Respostas no Tempo para Deslocamento Vertical tomadas no Topo do
Edifício.
144
VI.6. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ESTRUTURAL A VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR TRÁFEGO DE VEÍCULOS
Investigam-se agora as vibrações no topo do Modelo 1 induzidas por tráfego de
veículos nas vizinhanças do edifício. É importante observar que, em geral, dentro do
perimetro urbano, tais fontes de vibrações induzem amplitudes de resposta
relativamente pequenas, mas que, entretanto pelo efeito contínuo de um tráfego intenso,
podem provocar danos em elementos arquitetônicos e agravar ainda mais os problemas
de desconforto dos usuários. Isto vale tanto para as estruturas de estilo moderno, que já
apresentam danos ou algum tipo de deterioração anterior, quanto para edificações
históricas. É bom lembrar que a edificação do Modelo 1 (com estilo moderno) já
apresentava formação de trincas e deteriorações em componentes estruturais (Battista,
1997). O efeito deletério continuado do tráfego de veículos pode causar ainda a redução
da resistência dos painéis de alvenaria devido à deterioração da argamassa de
assentamento e seu desligamento das lajotas.
Veículos pesados, tais como, ônibus e caminhões, trafegando em vias a cerca de
15, 50 e 100 m da edificação, podem induzir vibrações na estrutura através de
propagação de ondas nos extratos do solo até atingir as fundações do referido edifício.
A intensidade dessas vibrações depende da qualidade das superfícies do pavimento de
rolamento.
VI.6.1. Características da Superfície do Pavimento e do Solo Natural
O modelo matemático utilizado é aquele descrito na seção IV.4
(Chiostrini,1995). Leva em conta a função de transferência relativa ao terreno,
representando-o simplificadamente como extrato único e sem levar em conta a
contribuição de outras estruturas na área submetida ao comportamento dinâmico. Para
um veículo trafegando numa via frontal a uma das fachadas do edifício, essas
simplificações são plenamente válidas.
145
O modelo analítico-computacional simplificado considera as irregularidades
num pavimento asfáltico definidas pela densidade espectral da rugosidade do pavimento
dada por (ISO/TC108): w
ry AS−
ωω
=ω0
)( (VI.1)
Onde os seguintes valores representam as condições existentes no local (Wang, 1992):
Ar = (256,0 a 512,0) x 10-6 m3/ciclo, segundo recomendação da (ISO/TC108) para
pavimentos com irregularidades média e muito ruim, respectivamente.
ω = 2 π v/λ = freqüência angular
λ = 1,0 e 10,0 (Chiostrini,1995) = comprimentos de ondas das irregularidades do
pavimento.
V = velocidade do veículo. Para a obtenção do espectro foi considerada uma faixa de
velocidades do veículo de 10 km/h a 80 km/h.
VI.6.2. Respostas Dinâmicas da Edificação ao Tráfego de Veículos
As Figs. VI.19 e VI.20 mostram, respectivamente, no domínio do tempo,
respostas típicas da estrutura em termos das acelerações e deslocamentos horizontais no
topo do edifício induzidas por tráfego de veículo em vias situadas a cerca de 15, 50 ou
100 metros.
A Tabela VI.5 apresenta, para a estrutura travejada pelas paredes de alvenaria,
um resumo das respostas obtidas para amplitudes pico de aceleração e deslocamento
horizontais, no nível do último pavimento (no centro do edifício), induzidos por
veículos trafegando a distâncias de 15, 50 e 100 metros. Todas as respostas foram
obtidas no domínio da freqüência, via técnica da superposição modal dos primeiros
modos de vibração (modos de torção, f = 1,48 Hz e flexão transversal, f = 4,89 Hz).
Nota-se, como já esperado, que as amplitudes de respostas, em termos de deslocamentos
e aceleração, devido ao tráfego de veículos (Tabela VI.5) são relativamente menores
que aquelas atribuídas à ação de bate-estacas (coluna C, Tabela VI.4).
146
Tabela VI.5 –Amplitudes máximas de deslocamentos e acelerações no último
pavimento induzidas por tráfego de veículos* a uma distância d (m).
• massas dos veículos: 10 a 20 toneladas (ônibus urbanos e caminhões de 3 eixos)
Local Desl. Horiz. no último
pav. (mm)
Acel. Horiz. no último
pavimento (m/s2)
d = 15 2,16 x 10-3 3,43 x 10-3
d = 50 1,60 x 10-3 2,15 x 10-3
Centro do
Edifício
d = 100 3,34 x 10-4 9,78 x 10-3
147
-4.00E-03
-3.00E-03
-2.00E-03
-1.00E-03
0.00E+00
1.00E-03
2.00E-03
3.00E-03
4.00E-03
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
-2.50E-03-2.00E-03-1.50E-03-1.00E-03-5.00E-040.00E+005.00E-041.00E-031.50E-032.00E-032.50E-03
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
(a) (b)
-1.50E-03
-1.00E-03
-5.00E-04
0.00E+00
5.00E-04
1.00E-03
1.50E-03
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
(c)
Respostas Tomadas no Topo na Fachada Frontal:
(a) de aceleração transversal a 15m da ação; (b) de aceleração transversal a 50m da ação; (c) de aceleração transversal a 100m da
ação; (d) correlação entre as três respostas.
-4.00E-03
-3.00E-03
-2.00E-03
-1.00E-03
0.00E+00
1.00E-03
2.00E-03
3.00E-03
4.00E-03
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
15 m50 m100 m
(d)
Fig.VI.19 - Resposta no tempo para aceleração horizontal no topo do edifício.
148
-2.50E-03-2.00E-03-1.50E-03-1.00E-03-5.00E-040.00E+005.00E-041.00E-031.50E-032.00E-032.50E-03
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
-2.00E-03
-1.50E-03
-1.00E-03
-5.00E-04
0.00E+00
5.00E-04
1.00E-03
1.50E-03
2.00E-03
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
(a) (b)
-4.00E-04
-3.00E-04
-2.00E-04
-1.00E-04
0.00E+00
1.00E-04
2.00E-04
3.00E-04
4.00E-04
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
(c)
Respostas Tomadas no Topo na Fachada
Frontal:
(a) de deslocamento transversal a 15m da
ação;
(b) de deslocamento transversal a 50m da
ação;
(c) de deslocamento transversal a 100m da
ação;
(d) correlação entre as três respostas.
-2.50E-03-2.00E-03-1.50E-03-1.00E-03-5.00E-040.00E+005.00E-041.00E-031.50E-032.00E-032.50E-03
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
15 m50 m100 m
(d)
Fig.VI.20 - Resposta no tempo para deslocamento horizontal no topo do edifício.
149
As Figs.VI.21 e VI.22 apresentam, respectivamente, as respostas em termos de
aceleração e deslocamento na direção vertical tomados no topo do edifício, devidas ao
tráfego de veículos em vias a 15, 50 e 100 m de distância de uma fachada do edifício.
Nota-se que as respostas alcançam valores significativos principalmente em termos de
aceleração. Essas acelerações atingem valores próximos do limiar da percepção humana
e se aproximam da fronteira do desconforto, para exposições prolongadas
correspondentes a cerca de 5 minutos de tráfego intenso de veículos pesados.
-8.00E-02
-6.00E-02
-4.00E-02
-2.00E-02
0.00E+00
2.00E-02
4.00E-02
6.00E-02
8.00E-02
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
15 m50 m100 m
Fig.VI.21 - Respostas no Tempo para Acelerações Verticais tomadas no Topo do
Edifício.
-1.00E-02-8.00E-03-6.00E-03-4.00E-03-2.00E-030.00E+002.00E-034.00E-036.00E-038.00E-031.00E-02
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
15 m50 m100 m
Fig.VI.22 - Respostas no Tempo para Desloc. Verticais tomadas no Topo do Edifício.
150
VI.7. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ESTRUTURAL A VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR VENTO
Apresenta-se a seguir uma avaliação das amplitudes de vibrações que seriam
induzidas pela ação do vento atuando na direção transversal de uma das torres do
edifício Modelo 1. O modelo matemático empregado é aquele descrito na seção II.6.3.
Leva em conta um fluxo de vento cuja velocidade desenvolvida corresponde à soma da
velocidade média (V) e de pequenas flutuações (v) em torno do valor médio. É
recomendado por normas de projeto (NBR 6123, 1990) que estruturas que apresentem
freqüência fundamental baixa (inferiores a 1 Hz) quando expostas à ação do vento
devem ser cuidadosamente analisadas. Esta recomendação se justifica, pois a densidade
espectral das velocidades de vento é mais intensa a baixas freqüências decaindo
rapidamente para valores mais altos de freqüência (em torno de 1,0 Hz).
Embora o Modelo 1 apresente freqüência fundamental superior a 1 Hz, ainda
assim a análise dinâmica foi conduzida neste trabalho, pois além de comprovar o fato
acima, onde se espera que as amplitudes de respostas sejam pequenas, pretende-se
também realizar algumas comparações com outros modelos, que possuem freqüências
fundamentais abaixo de 1 Hz.
VI.7.1. Características Locais do Vento Atuante
Em estruturas isoladas, com plantas assimétricas, a distribuição de pressões pode
criar um significante momento torsional, se a distância do centro elástico do edifício e
seu centro aerodinâmico ou ponto de aplicação da resultante das forças de vento é
grande. No presente modelo o primeiro modo corresponde ao modo de torção. Isto leva
a definir o modelo matemático a ser empregado como aquele descrito na seção II.6.3.
Considerando a edificação situada numa região do Brasil cujo mapa de isopletas
indica a velocidade básica em torno de 35 m/s segundo NBR 6123 (1990), encontra-se
para este caso uma velocidade de projeto de V10 = 24,15 m/s. Segundo outros valores
encontrados na norma brasileira de vento NBR 6123 (1990) com relação às isopletas e
Nakamura (1975), tem-se os seguintes dados:
151
- ρ = 1,2 x 10-3 kN s2/m4 – densidade do ar;
- V10 = 24,15 m/s – velocidade de projeto;
- p = 0,23 – expoente p dependente da Categoria de rugosidade do terreno.
- CM = 0,1 – coeficiente para momento em modo específico de torção.
- α = 10o – ângulo de ataque do vento sobre uma fachada lateral da estrutura,
correspondente a 0,175 rad.
VI.7.2. Respostas Típicas
As respostas correspondem à combinação dos modos de torção (freq.= 1,48 Hz)
e flexão transversal (freq.= 4,89 Hz). As Fig.VI.23 e 24 mostram, respectivamente, as
respostas típicas da estrutura em termos de aceleração e deslocamento horizontais
transversais, tomadas no topo do edifício junto à fachada frontal. Notam-se amplitudes
de resposta em termos de aceleração com valores da ordem de 10-4 m/s2 (10–5 g),
tomadas no ponto em que se espera maiores amplitudes. Por este fato dificilmente serão
perceptíveis pelos seus ocupantes, visto que ficam muito aquém do limiar de percepção
humana (Harris and Crede, 1976) da ordem de 10-2 g para baixas freqüências.
-1.50E-03
-1.00E-03
-5.00E-04
0.00E+00
5.00E-04
1.00E-03
1.50E-03
0 20 40 60 80 100
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
Fig.VI.23 – Resposta no Tempo para Aceleração Horiz. na Fachada Frontal da Torre.
-2.00E-02
-1.50E-02
-1.00E-02
-5.00E-03
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
2.00E-02
0 20 40 60 80 10
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
0
Fig.VI.24 – Resposta no Tempo para Deslocamento Horiz. na Fachada Frontal da Torre.
152
VI.8. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ESTRUTURAL A VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR EXPLOSÃO
As informações contidas nesta seção fazem parte dos estudos de Carvalho e
Battista (2002) e serão aqui reapresentados. Os três primeiros modos de vibrações das
estruturas aporticadas das torres gêmeas do presente modelo têm freqüências naturais
abaixo daquelas de uma faixa dominante de freqüências com intensa energia de
vibração no espectro de aceleração (Fig.VI.25). Por essa razão os modos fundamentais
não são todos facilmente excitados por vibrações induzidas por explosão, propagadas
através dos extratos do solo até as fundações.
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0 20 40 60 80 1
Freqüência (Hz)
Den
sida
de E
spec
tral (
m2 /s
3 )
00
4,8
Hz
16,8
Hz
19,2
Hz
34,4
Hz
44,0
Hz
52,8
Hz
57,6
Hz
64,0
Hz
70,4
Hz
77,6
Hz
12,8
Hz
23,2
Hz
28,4
Hz
37,6
Hz
48,0
Hz 50
,4 H
z
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0 20 40 60 80 1
Freqüência (Hz)
Den
sida
de E
spec
tral (
m2 /s
3 )
00
4,8
Hz
16,8
Hz
19,2
Hz
34,4
Hz
44,0
Hz
52,8
Hz
57,6
Hz
64,0
Hz
70,4
Hz
77,6
Hz
12,8
Hz
23,2
Hz
28,4
Hz
37,6
Hz
48,0
Hz 50
,4 H
z
Acelerômetro AC4 – Direção Transversal – Bloco do fundo
Fig.VI.25 – Densidade Espectral das Acelerações medidas no local
Carvalho & Battista (2002).
VI.8.1. Escavação para Construção de Túnel e Estação Subterrânea
As escavações para construção de túnel e estação subterrânea num terreno
vizinho ao edifício, atingiram profundidade abaixo do nível de 11,5 m. As escavações
foram feitas parcialmente em rocha na parte mais funda (junto à base de uma colina no
fundo do edifício); e parcialmente em solo residual na parte menos profunda. Ao longo
de 110 m na linha de bordo (Fig.VI.2) entre os planos de escavação e do edifício, os
níveis da superfície do terreno têm cotas variando de +3,9 m até 22,0 m no fundo do
153
plano da edificação. Para a escavação em solo residual foram construídas paredes de
contenção com a cravação de perfis metálicos H em camadas de solo firme. As vigas de
perfil metálico foram estabilizadas por meio de tirantes ancorados no solo do terreno
vizinho.
VI.8.2. Resultados das Medições Experimentais de Vibração
A Tabela VI.6 resume os valores pico para acelerações medidas por 6 sensores,
tal como ilustram as Figs VI.26 (Carvalho & Battista, 2002), onde se observa que:
− as maiores amplitudes de acelerações (m/s2) ocorreram, como esperado, na direção
transversal no topo do edifício ( veja acelerômetros AC2 e AC4);
− as amplitudes de aceleração transversal medidas com AC4 (vide espectro Fig.VI.25)
no topo do bloco do fundo (com fundações ancoradas em rocha) são ligeiramente
maiores que as amplitudes obtidas com AC2 instalado no topo do bloco frontal (
com fundações rasas no solo residuais). Este resultado era também esperado devido
ao maior amortecimento atribuído ao solo residual em relação àquele dado pelo leito
de rocha existente;
− as amplitudes de aceleração vertical x tempo obtidas com AC3, instalado no topo do
bloco frontal, são ligeiramente menores que as amplitudes das acelerações
transversais obtidas com AC2, instalado no mesmo lugar;
− as amplitudes de acelerações x tempo obtidas com AC5 e AC6, instalados no plano
da base do bloco estrutural são cerca de 2,5 a 4,0 vezes menores que aqueles
medidos no topo do edifício.
O espectro de freqüência foi obtido aplicando-se a Transformada Rápida de
Fourier (FFT) sobre os valores de resposta aceleração x tempo medidos. Fig. VI.25
mostra o espectro de sinais medido a partir do acelerômetro AC4. Pode ser observado
neste espectro a ampla faixa de freqüências associadas aos modos naturais da estrutura
excitados por vibrações induzidas por explosão.Todos estes sinais gravados e valores
medidos tiveram importância fundamental na calibração de modelo numérico
matemático no domínio da freqüência e obtenção de respostas no tempo.
154
a) Esquema da InstrumentaçãoSeção Transversal Vertical-SS(parallela ao plano YZ)
do bloco frontalDireção dos Acelerômetros
AC1 - LongitudinalAC2, AC4 - Transversal
Junta de Dilatação Térmica (veja Fig. VI.2)
C62A
C59
Bloco do Fundo
AC6
AC 5.
Bloco Frontal
Lado Direito do Edifício(lado da excavação)
Bloco do Fundo
Bloco Frontal
AC1
AC4
AC3AC2
AC3, AC5, AC6 - Vertical
b) Instrimentação do Nível de CoberturaPlano de Cobertura-Detalhe c) Instrumentação do Nível de Garagem G1
Plano de vista G1
Pare
de d
e bo
rdo
Bordo c/ paredes de alvenaria02 Micro-acelerômetros
Equipamentos p/ aquisições desinais
Cabos protegidos
G2
G1
PUC
Cobertura
04 Micro-acelerômetros
Tirantesp/ ancoragens
Túnel
Excavações do Metrô
Paredes de contenção com vigas soldadas
Cabos protegidos
2o-1
1oan
dar t
ípic
o
SS
+9,0 m
+49,0 m
Rocha
+8,55 m +60,0 m
+18,0 m
+8,80 m
a) Esquema da InstrumentaçãoSeção Transversal Vertical-SS(parallela ao plano YZ)
do bloco frontalDireção dos Acelerômetros
AC1 - LongitudinalAC2, AC4 - Transversal
Junta de Dilatação Térmica (veja Fig. VI.2)
a) Esquema da InstrumentaçãoSeção Transversal Vertical-SS(parallela ao plano YZ)
do bloco frontalDireção dos Acelerômetros
AC1 - LongitudinalAC2, AC4 - Transversal
Junta de Dilatação Térmica (veja Fig. VI.2)
C62A
C59
Bloco do Fundo
AC6
AC 5.
Bloco Frontal
Lado Direito do Edifício(lado da excavação)
Bloco do Fundo
Bloco Frontal
AC1
AC4
AC3AC2
AC3, AC5, AC6 - Vertical
b) Instrimentação do Nível de CoberturaPlano de Cobertura-Detalhe c) Instrumentação do Nível de Garagem G1
Plano de vista G1
Pare
de d
e bo
rdo
Bordo c/ paredes de alvenaria02 Micro-acelerômetros
Equipamentos p/ aquisições desinais
Cabos protegidos
G2
G1
PUC
Cobertura
04 Micro-acelerômetros
Tirantesp/ ancoragens
Túnel
Excavações do Metrô
Paredes de contenção com vigas soldadas
Cabos protegidos
2o-1
1oan
dar t
ípic
o
SS
+9,0 m
+49,0 m
Rocha
+8,55 m +60,0 m
+18,0 m
Rocha
+8,55 m +60,0 m
+18,0 m
+8,80 m
Fig.VI.26 – Plano de Instrumentação (Carvalho&Battista, 2002).
155
VI.8.3. Respostas Aceleração x tempo
A Fig.VI.27(a) mostra a resposta de aceleração transversal (direção y) numérico-
teórica x tempo no topo do edifício (cobertura do bloco do fundo) e a Fig. VI. 27(b)
mostra a correspondente resposta experimental obtida com o acelerômetro AC4
(acelerômetro posicionado no topo na direção transversal) para a maior de quatro
explosões registradas. As respostas teóricas foram obtidas usando a contribuição de
quatro modos de vibração com intensidade alta de energia de vibração no espectro do
acelerômetro AC4: 210 modo (f=34,13 Hz), 280 modo (f=42,34 Hz), 340 modo (f =
53,86 Hz), 370 modo (f = 58,48 Hz); veja Fig.VI.25. Os parâmetros modais (freqüências
e massas) foram obtidos a partir do modelo numérico 3D com análise de vibrações
livres, enquanto que as respostas no tempo sob explosão foram obtidas a partir de
análise de superposição modal de modelo unifilar 2D equivalente tomado a partir do
modelo 3D.
As respostas no tempo mostradas na Fig. VI.27(a) e Figs.VI.28(a) e (b) foram
obtidas usando o método da superposição modal (equação (II.9)) juntamente com as
equações (II.11 e II.12), onde os parâmetros relacionados ao solo são s = 0.22; n = 2.50
e c = 100 m/s.
Os valores pico e RMS para aceleração horizontal no topo do edifício, obtidos
com as respostas numérica (Fig.VI. 27 (a)) e experimental (Fig.VI. 27 (b)), são
apresentadas na Tabela VI.7.
O que pode ser realmente notado nas Figs. VI. 27(a) e (b) e Tabela VI.7 é a
favorável correlação entre respostas aceleração x tempo numérico e experimental, tanto
qualitativamente em termos do padrão dos sinais temporais quanto, quantitativamente,
em termos de valores pico e RMS.
As Fig.VI.28(a) e 28(b) mostram, respectivamente, resposta teórico-numérica
aceleração x tempo e velocidade x tempo na direção transversal (direção y) no topo do
edifício, para explosão (w = 9,36 kg; R = 40,00m) típica daquelas que ocorreram no
início dos trabalhos de escavação para construção da estação subterrânea. Pode-se notar
156
que as acelerações pico da Fig.VI.28(a) são 10 vezes maiores que as da Fig.VI. 27 (a),
mostrando claramente a maior intensidade das primeiras explosões.
Tabela VI.6 – Valores Pico Experimental de Aceleração
Acelerômetro Valores Pico p/Aceleração (m/s2) AC1 0,17 AC2 0,34 AC3 0,25 AC4 0,40 AC5 0,07 AC6 0,11
Notas: Carga do Explosivo: 1.44 kg (Data da Explosão: 30/06/97)
Distância da fonte de vibração ≅ 50 m
Tabela VI.7 – Resultados Experimental e Teórico para Aceleração Horizontal no Topo
do Edifício
Aceleração (m/s2)
Valor Pico Valor RMS
Experimental 0,40 0,0756
Teórico 0,39 0,0777
157
-0,6-0,4-0,2
00,20,40,6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Tempo (sec)
Ace
lera
ção
(m/s
2 )
-0,6-0,4-0,2
00,20,40,6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Tempo (sec)
Ace
lera
ção
(m/s
2 )
(a) – Aceleração transversal (direção y) numérico-teórica x tempo no topo do edifício.
-0,4-0,3-0,2-0,1
00,10,20,30,40,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Tempo (sec)
Ace
lera
ção
(m/s
2 )
-0,4-0,3-0,2-0,1
00,10,20,30,40,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Tempo (sec)
Ace
lera
ção
(m/s
2 )
(b) – Resposta experimental obtida com o acelerômetro AC4.
Fig.VI.27 – Carvalho & Battista (2002).
-5-4-3-2-1012345
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Tempo (sec)
Ace
lera
ção
(m/s
2 )
-5-4-3-2-1012345
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Tempo (sec)
Ace
lera
ção
(m/s
2 )
(a) Aceleração (direção y) numérico-teórica x tempo no topo do edifício para carga de
explosão igual a 9,36 kg.
-25-20-15-10
-505
101520
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Tempo (sec)
Vel
ocid
ade
(mm
/sec
)
3-25-20-15-10
-505
101520
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Tempo (sec)
Vel
ocid
ade
(mm
/sec
)
3
(b) Aceleração (direção y) numérico-teórica x tempo no topo do edifício para carga de
explosão igual a 9,36 kg. Fig. VI.28 – Carvalho & Battista (2002).
158
VI.9. COMENTÁRIOS ADICIONAIS
Das análises criteriosas de todos os resultados obtidos das simulações e
modelagens computacionais realizadas, pode-se fazer os seguintes comentários
particulares da estrutura do Modelo 1:
a) Construções vizinhas a um edifício urbano podem causar pequenos recalques
nas fundações (principalmente se fundações diretas em sapatas), pequenos danos
em alguns painéis de alvenaria (paredes de tijolos cerâmicos) e, eventualmente,
em alguns elementos estruturais (notadamente ligação entre vigas e pilares). A
possibilidade de ocorrência de danos é mais forte se for realizado rebaixamento
de lençol d’água para escavações; por exemplo, para executar fundações diretas
sobre extrato de terreno resistente, garagem subterrânea, poços de elevadores,
etc.
b) A cravação de estacas de fundações por meio de equipamentos de percussão (por
exemplo, bate-estacas) em construções vizinhas, pode provocar recalques e
causar danos a componentes estruturais e arquitetônicos do edifício, além de
sérios transtornos aos seus ocupantes. Estes transtornos têm origem nos efeitos
acústicos e de vibrações induzidas por esse processo convencional de cravação
de estacas.
c) Tráfego de Veículos:
O tráfego normal de veículos nas proximidades da edificação não traz problemas
de desconforto humano. A vibração mais expressiva está associada à aceleração
vertical, que atinge valores pico considerados apenas como perceptíveis.
d) Vento:
Para ação de vento com uma velocidade de projeto (V0 = 24,15 m/s) não há
chance que ocorra problemas de desconforto para os ocupantes desta edificação.
159
e) Explosão Subterrânea:
Cargas elevadas de explosivos podem causar sérios transtornos aos ocupantes da
edificação; e a resultante velocidade pico de cerca de 15 mm/s, a baixas
freqüências, indica provável ocorrência de danos principalmente nos
componentes arquitetônicos e decorativos.
f) A integridade e segurança das estruturas e fundações do edifício dependem,
então, do eficaz controle das causas e atenuação dos efeitos associados às
atividades de uma nova construção num terreno vizinho.
160
Capítulo VII
Análise de Sensibilidade
Modelo 2
VII.1. INTRODUÇÃO
Nesse capítulo são apresentados os resultados mais relevantes da análise de
sensibilidade estrutural de um outro edifício residencial (Modelo 2), submetido a
vibrações induzidas por diversas ações externas. Os critérios usados nesta análise
versam sobre danos causados a estrutura de concreto armado, aos componentes não
estruturais do edifício, bem como o conforto de seus ocupantes. São apresentados os
resultados teóricos obtidos de modelos 2D e 3D (como no capítulo anterior) que
simulam, o mais fielmente possível, uma estrutura real, conforme descrita na seção
VII.2, a qual foi objeto de campanhas de medições experimentais. A seqüência de
análises é a mesma estabelecida no capítulo anterior para o Modelo 1; parte dos
resultados dessas análises são extraídas do relatório técnico de consultoria realizado por
Battista et al (1999).
Com base nas estimativas das amplitudes das respostas dinâmicas, obtidas via
modelagem computacional da estrutura e simulações das ações dinâmicas, são feitas
avaliações, tanto dos estados limites de segurança e de utilização da estrutura, quanto do
conforto de seus usuários.
161
Fig.VII.1 – Planta de Forma do Pavimento Tipo (medidas em cm).
162
Fig.VII.2 – Planta de Forma dos Blocos de Fundação e Vigas de Equilíbrio (medidas em cm).
163
VII.2. DESCRIÇÃO SUMÁRIA DA ESTRUTURA E FUNDAÇÕES
A estrutura de concreto armado do edifício tem, a partir do nível dos blocos de
fundações, 11 tetos estruturais (vide Fig. VII.4):
− o teto da garagem no subsolo (pavimento térreo que se estende além da área
projetada em planta do edifício de apartamentos residenciais)
Obs: Não há estrutura de piso (lajes e vigas de concreto armado) ou cintamento
para travejamento horizontal dos blocos de fundações mais internos (vide
Fig.VII.2).
− teto do térreo (piso do PUC – pavimento de uso comum)
− teto do PUC (piso do 1o pavimento arquitetônico do edifício de apartamentos)
− 7 tetos tipo: (tetos do 2o ao 8o pavimentos arquitetônicos dos apartamentos – vide
Fig.VII.1)
− 8o teto (cobertura) e acima a casa de máquinas e reservatórios d’água.
A Fig. VII.1 mostra uma cópia da planta de formas do teto tipo (2o ao 8o
pavimento) cujas dimensões externas são 16,0m x 44,0m, i.e. a área projetada em planta
da torre do edifício. A estrutura do teto do PUC (1o pavimento) tem dimensões e
componentes similares aos do teto tipo, com maiores seções transversais das vigas. O
teto do 8o pavimento é semelhante ao teto do térreo, destacando-se a adição de vigas
para apoio das caixas d‘água. Em todos os tetos a espessura das lajes é de 12 cm. Os
pilares indicados na planta da Fig.VII.1 se elevam até o 8o teto (cobertura).
# Fundações do Edifício
As fundações são constituídas de blocos de concreto armado sobre estacas
metálicas: perfis de aço para trilhos ferroviários com várias seções transversais (TR57,
TR50 e TR45). A Fig. VII.2 mostra uma cópia da planta de formas dos blocos de
fundação e vigas de equilíbrio (nível do piso do subsolo). Destaca-se nesta figura a
projeção dos pavimentos elevados. No contorno, entre o nível dos blocos de fundação e
o teto do subsolo, há um muro de CA com 2,0 m de altura (para contenção de terreno)
ligado aos pilares de periferia deste nível conforme ilustrado em detalhe na Fig.VII.2.
164
Observa-se que não há laje estrutural no piso do subsolo. O teto do subsolo é composto
de painéis de lajes contínuas apoiadas em vigas, sendo estas vigas apoiadas nos pilares
mostrados na planta da Fig.VII.2. Ainda nesta figura observa-se, na região contida pela
projeção dos pavimentos elevados, a inexistência de cintas nas direções longitudinal e
transversal ligando os pilares; existindo apenas poucas cintas ligando os pilares mais
centrais (P11-P12-P9, P24-P25-P20-P30, P13-P26). Os pilares localizados nos limites
do terreno, os quais se elevam somente até o piso do PUC, estão ligados entre si, no
nível do subsolo, através de paredes de contenção em uma direção; e nos demais níveis
através de vigas. O mesmo se repete no teto tipo (ver a Fig. VII.1): não existência de
pórticos contínuos para travejamento dos pilares nas direções longitudinal e transversal.
Este arranjo confere à estrutura do edifício uma flexibilidade indesejável nas duas
direções ortogonais.
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
2
Argila orgânica com fragmentos deConchas, mole e muito mole, cinzaesverdiado
Idem, muito mais
Areia ( fina e média ) pouco argilosa,Compacta e medianamente compacta
Idem, fofa
Argila arenosa: fina, rija, cinza
10 20 30
10 3020No. de golpes
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
2
Argila orgânica com fragmentos deConchas, mole e muito mole, cinzaesverdiado
Idem, muito mais
Areia ( fina e média ) pouco argilosa,Compacta e medianamente compacta
Idem, fofa
Argila arenosa: fina, rija, cinza
10 20 30
10 3020No. de golpes
Fig.VII.3 – Perfil de Sondagem Típico do Solo de Fundação do Modelo 2.
# Terreno de Fundação do Edifício
Os perfis de sondagem, representados pela Fig.VII.3, mostram uma espessa
camada superficial de argila mole e muito mole, indicando que as estacas metálicas
165
foram cravadas, para alcançar as negas adequadas, até profundidades em torno de 25,0 a
30,0 metros, onde se encontra a camada de solo resistente.
Z
Y
Fig.VII.4 – Vista em Elevação do Modelo 2.
166
VII.3. MODELOS COMPUTACIONAIS DA ESTRUTURA
Assim como no capítulo VI, as análises se desenvolvem utilizando-se duas
ferramentas computacionais para simular o comportamento da edificação quando
submetida a diversas ações: um modelo tridimensional e alguns modelos unifilares 2D
equivalentes.
No modelo numérico refinado tridimensional da estrutura e suas fundações em
estacas, descrito mais adiante no item VII.3.1, foram adotadas as seguintes hipóteses e
simplificações:
− considera-se que as estacas metálicas foram cravadas, para alcançar as negas
adequadas, até profundidades em torno de 25,0 a 30,0 metros, onde se encontra a
camada de solo resistente.
− As estacas foram modeladas com seus comprimentos efetivos de engastamento
dentro do terreno e admitidas rotuladas nos blocos de fundação, em função do
detalhamento usual da ligação entre esses componentes. Esta simplificação foi
adotada após verificação numérica de sua validade física.
− A reação lateral do solo foi considerada através das rigidezes equivalentes,
calculadas a partir dos perfis de sondagem (Fig.VII.3) e dos correspondentes
coeficientes volumétricos de reação lateral das camadas do terreno das fundações.
− A espessa camada de argila mole foi considerada saturada, de acordo com o nível do
lençol freático indicado nas sondagens.
− Modelagem analítica simplificada para levar em conta o efeito das paredes de
alvenaria sobre a rigidez lateral da estrutura, vibrando com pequenas amplitudes de
deslocamento. O verdadeiro efeito só pode ser avaliado por meio de ensaios
experimentais dinâmicos do edifício sobre vibrações forçadas. Pode-se, entretanto,
dizer que promove, em geral, um acréscimo de rigidez por meio de travejamento. A
efetividade desse travejamento depende, no entanto, de diversos fatores, tais como:
tipo dos blocos ou tijolos cerâmicos utilizados, execução e aperto dessas alvenarias
contra as lajes e pilares, dimensões das aberturas (portas e janelas) existentes, etc.
Resultados experimentais existentes (Moreira, 1996 e Tomazevic, 1997) foram
usados para calcular as rigidezes equivalentes das paredes de alvenaria e inseri-las
167
no modelo estrutural. Na análise foram consideradas, portanto, duas situações de
modelagem:
1. estrutura sem travejamento
2. estrutura com travejamento conferido pelos painéis de alvenaria (com rigidez
estimada com base nos dados experimentais) confinados e bem apertados contra as
lajes e pilares e sem aberturas significativas.
Nota-se que as alvenarias existentes no pavimento PUC são restritas a uma certa
área central; e as poucas existentes nos pavimentos de garagem são insuficientes para
travejamento e, portanto, estas últimas foram desprezadas. Pode-se adiantar aqui que foi
pequena a influência das alvenarias na rigidez global do edifício aos movimentos
laterais e, portanto, os valores intermediários das amplitudes de vibração obtidas com as
duas modelagens são muito próximos.
VII.3.1. Modelo Tridimensional da Estrutura em Concreto Armado, Fundações e
Alvenaria
O modelo estrutural completo adotado para análise de vibrações do edifício é
mostrado nas Figs. VII.5 a VII.7. As vigas, pilares, estacas e travejamentos conferidos
pelas alvenarias foram simulados por elementos de pórtico e as lajes por elementos de
casca. A reação lateral do terreno foi considerada através do comprimento equivalente
das estacas e de elementos de mola nos blocos de fundações e nas paredes de contenção.
O modelo ficou, então, constituído de 6.500 elementos de pórticos e 9.750 elementos de
casca, resultando num sistema com 68.200 equações.
Para análise de vibrações verticais das lajes foi utilizado um modelo, mostrado
na Fig. VII.8, considerando apenas um teto tipo. As rigidezes rotacionais dos pilares
foram consideradas através da discretização dos pilares, até a metade da altura do pé
direito estrutural, abaixo e acima do teto tipo; simulando as seções de momento nulo
nos pilares para cargas de gravidade das lajes e vigas do pavimento.
168
As análises estruturais de vibrações livres, feitas com o modelo tri-dimensional,
foram realizadas através de programa de computador que utiliza o método dos
elementos finitos, de propriedade do Laboratório de Estruturas da COPPE/UFRJ.
Y X
Z
Fig.VII.5 – Modelo Teórico-Numérico Tri-dimensional.
Z
X
Fig.VII.6 – Modelo Teórico-Numérico Tri-dimensional. Vista Longitudinal.
169
Conexões nos Pilares P1A e P31A
Fig.VII.7 - Modelo Teórico-Numérico Tri-dimensional. Vista Transversal.
Fig
Y
Z
Ponto A - onde são tomados os deslocamentos transversais Eixo de torção
1o. modo
Torção
.VII.8 – Vista em Perspectiva do Teto Tipo
Y Z
X
170
Maiores detalhes sobre a instrumentação experimental, calibração do modelo tri-
dimensional e correlação entre os resultados teórico e experimental para freqüências
naturais dos blocos frontal e do fundo, do presente edifício, podem ser apreciados no
Relatório Técnico (Battista, 2000). A Tabela VII.1 mostra a correlação entre os valores
obtidos das campanhas de medições experimentais e os seus correspondentes valores
teóricos obtidos do modelo computacional 3D da estrutura.
Pode-se observar, com os resultados mostrados na Tabela VII.1, que há uma boa
correlação entre valores experimentais e teóricos para freqüências associadas aos quatro
primeiros modos de vibração. Enfatiza-se aqui que para alcançar esta boa correlação a
modelagem ajustada precisou apenas considerar todas as condições de restrição ao
movimento observadas nas vistorias técnicas realizadas, além do efeito de enrijecimento
conferido pelas paredes de alvenaria de tijolos cerâmicos leves, executadas sobre lajes
flexíveis de concreto armado.
Tabela VII.1 - Correlação entre Freqüências de Vibração Experimentais e Teóricas – Computacionais (com modelo Estrutural Ajustado)
Freqüências (Hz) Experimentais
(±0,10Hz) Teóricas (Hz)
Descrição do Modo de Vibração
1 0,60 0,76 Torção Axial (c/
centro de torção próx. Fachada traseira)
2 1,07 1,03 Flexão Lateral +
Torção (c/centro próx. Fachada dianteira)
3 1,60 1,34 Flexão Longitudinal
4 2,10 2,46 Flexão Lateral + Torção Axial
171
VII.3.2. Modelos Simplificados para Respostas Dinâmicas
Para a estimativa das amplitudes de resposta da estrutura – em termos de
acelerações e deslocamentos – às ações dinâmicas produzidas por equipamentos de
cravação de estacas por percussão, tráfego de veículos, ação do vento e explosão
subterrânea, foram elaborados modelos simplificados da estrutura do edifício assente
sobre fundações profundas em estacas. Para a maioria dos edifícios altos é, em geral
suficiente uma modelagem estrutural com apenas um grau de liberdade generalizado,
representando o modo fundamental de resposta a cargas laterais.
Foram consideradas a propagação e atenuação, até as fundações do edifício, das
ondas vibratórias no terreno para os problemas de vibrações induzidas por bate-estacas,
tráfego de veículos e explosão subterrânea.
As propriedades modais da estrutura tri-dimensional foram obtidas com o
modelo descrito no item VII.3.1 anterior e, juntamente com os autovetores, ou modos de
vibração, utilizadas para construir aproximações unifilares dos modelos simplificados;
os quais descrevem isoladamente os graus de liberdade generalizados de flexão lateral e
longitudinal, torção axial e de deformação vertical (ou de flexão das lajes) da estrutura
do bloco frontal com uma torre de 10 andares.
Os resultados obtidos com esses modelos simplificados são apresentados e
analisados nas seções VII.5,6,7 e 8, para forças dinâmicas que simulam a cravação de
uma estaca por impacto do martelo, tráfego de veículo pesado, ação do vento e explosão
subterrânea, respectivamente.
172
VII.4. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DA ESTRUTURA E ALVENARIAS A
RECALQUES DIFERENCIAIS DE FUNDAÇÕES
Apresentam-se a seguir os resultados mais relevantes obtidos da análise de
sensibilidade da estrutura e das paredes de alvenaria para recalques diferenciais de
algumas fundações. Foram selecionadas as fundações de dois pilares: P16 e P38 (vide
localizações na Fig.VII.1).
VII.4.1. Sensibilidade das Alvenarias a Recalques das Fundações
As Tabelas VII.2 e VII.3 apresentam, respectivamente, as tensões máximas de
tração e de compressão nos painéis de alvenaria de tijolos cerâmicos vazados, induzidas
por recalques diferenciais unitário e máximo nas fundações diretas dos pilares P16 e
P38. As localizações desses painéis/paredes de alvenaria são indicadas na primeira
coluna destas Tabelas e mostradas na Fig. VII.9.
As modelagens 3D das paredes dos 3 primeiros andares de apartamentos, em
elementos finitos de casca, são ilustradas como exemplos nas Figs. VII.9 e VII.10; esta
última ilustrando também a distribuição de tensões principais máximas nos painéis das
paredes situadas entre os pilares P15 e P16 (vide primeira linha das Tabelas VII.2 e
VII.3).
173
1o Pav.
2o Pav.
3o Pav.
Teto PUC
P15 P16 P17 P18 P19
1o Pav.
2o Pav.
3o Pav.
Teto PUC
P15 P16 P17 P18 P19
Fig.VII.9 Modelo com Painéis de Alvenaria de Tijolos Cerâmicos Furados (c/ furos na direção
horizontal) para Cálculo das Tensões devidas a um recalque diferencial de δ = 1,0
mm na fundação do Pilar P16.
Fmax =94 kN/m
1o Pav.
2o Pav.
3o Pav.
Teto PUC
P15 P16
Escala de cores
Fmax =94 kN/m
1o Pav.
2o Pav.
3o Pav.
Teto PUC
P15 P16
Escala de cores
Fig.VII.10 Gráfico da Distribuição de Tensões Principais Máximas nos Painéis de Alvenaria de
Tijolos Cerâmicos em 03 Andares Consecutivos. (em kN/m)
174
Tabela VII.2 Tensões Máximas de Tração nas Paredes de Alvenaria de Tijolos
Cerâmicos Vazados induzidas por Recalques nas Fundações dos Pilares
P16 e P38.
Valores de Tensões (MPa) no 1o. Pavimento Residencial
Recalques
no Pilar P16
Recalques
no Pilar P38
Paredes
representadas por
elementos de casca ∆v = 1,0 mm* ∆v = 8,0 mm** ∆v = 1,0 mm* ∆v = 12,0 mm**
Parede: P15 – P16 0,94 7,52 - -
Parede: sobre laje (junto à viga entre P4-P17)
1,50 12,0 - -
Parede: P38 – P23 - - 0,51 6,12
Notas: Tensão Admissível de Tração para os painéis de alvenaria: 0,75 MPa. * - recalque unitário. ** - recalque máximo; capacidade resistente nula das estacas.
Tabela VII.3 - Tensões Máximas de Compressão nas Paredes de Alvenaria de Tijolos
Cerâmicos Vazados induzidas por Recalques nas Fundações dos Pilares
P16 e P38.
Valores de Tensões (MPa) no 1o. Pavimento Residencial
Recalques
no Pilar P16
Recalques
no Pilar P38
Paredes
representadas por
elementos de casca ∆v = 1,0 mm* ∆v = 8,0 mm** ∆v = 1,0 mm* ∆v = 1,21 mm**
Parede: P15 – P16 0,13 1,04 - -
Parede: sobre laje (junto à viga entre P4-P17)
0,15 1,20 - -
Parede: P38 – P23 - - 0,12 1,44
Notas: Tensão Admissível de compressão para os painéis de alvenaria: 1,5 MPa. * - recalque unitário. ** - recalque máximo; capacidade resistente nula das estacas.
175
VII.4.2. Sensibilidade da Estrutura de Concreto Armado a Recalques das Fundações
A sensibilidade da estrutura de concreto armado a recalques diferenciais nas
fundações dos pilares P16 e P38 foi examinada através do cálculo e superposição dos
esforços de flexão nos nós entre vigas e pilares dos pórticos associados contendo um
desses dois pilares.
Dos resultados numéricos analisados pode-se concluir que a superposição dos
esforços promovidos pelas cargas permanentes e acidentais aos esforços causados por
um recalque máximo poderá levar a danos estruturais significativos, já que não há, neste
modelo, uma adequada distribuição de esforços para os componentes estruturais
(vizinhos ao pilar com recalque), e as paredes de alvenaria intertravadas entre vigas e
pilares ficarão sujeitas a tensões incompatíveis com sua função.
VII.5. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ESTRUTURAL A VIBRAÇÕES
INDUZIDAS POR EQUIPAMENTOS DE CONSTRUÇÃO
Apresenta-se a seguir uma avaliação das amplitudes das vibrações no Modelo 2
induzidas pela propagação de ondas no terreno causadas por equipamentos de percussão
utilizados em construções, tais como: pelo martelo para cravação de estacas em terrenos
vizinhos.
VII.5.1. Características de Cravação da Estaca
São adotadas as mesmas condições e características, no que se refere à cravação
de estacas, já apresentadas na seção VI.5.1.
VII.5.2. Características Elásticas do Solo
A Fig. VII.11 mostra as funções de transferência do solo para acelerações
vertical e horizontal na superfície do terreno, devidas à propagação de ondas de
Rayleigh induzidas por um impacto vertical dado a uma distância de 100 metros, num
176
semi-espaço constituído por uma camada espessa de argila mole, com as seguintes
propriedades:
− espessura média da camada de argila mole: 20,0 m
− massa específica do solo ρ= 1,8 ton /m3
− módulo elástico aparente Es = 25 Mpa
− coeficiente de Poisson, ν = 0,3
− módulo elástico transversal do solo, G = 10 Mpa
− amortecimento, d < 0,001
− velocidade de propagação das ondas de superfície, cR = 70,8 m/s (Anexo C)
0.00E+00
1.00E-04
2.00E-04
3.00E-04
4.00E-04
5.00E-04
6.00E-04
7.00E-04
0 10 20 30 40Frequência (Hz)
H a
cel.
(m/s2 /k
N)
dir.verticaldir. horizontal
Fig.VII.11 – Função de Transferência do solo para Aceleração devido a um bate-estaca
operando a uma distância de 100m.
A Fig. VII.12 mostra os espectros de respostas em termos de aceleração
horizontal na superfície do terreno no local do edifício, causadas pelos bate-estacas com
as características descritas na seção VI.5.1 operando a distâncias de 15, 50 e 100
metros. A Fig.VII.12 mostra os espectros de aceleração tomados no solo junto à
fundação do edifício, considerando distâncias de 15, 50 e 100 m a partir do ponto de
aplicação da carga de impacto do bate-estacas.
177
00.0050.01
0.0150.02
0.0250.03
0.0350.04
0.045
0 20 40 60 80 100 120
Freqüência (Hz)
Ampl
itude
F(f
)15 m50 m100 m
Fig.VII.12 – Espectros de Respostas de Aceleração no Solo junto à Fundação.
VII.5.3. Respostas Dinâmicas da Edificação à Cravação de Estacas
As Figs. VII.13 e VII.14 mostram, respectivamente, nos domínios da freqüência
e do tempo, as respostas dinâmicas em termos da aceleração na direção transversal no
topo do edifício, para a excitação causada por um bate-estaca operando a 15 m da linha
limítrofe do terreno vizinho, bem como operando a 50 e 100 m.
Todas as respostas correspondem à combinação dos dois primeiros modos,
ambos de torção com freqüências de 0,80 Hz e de 1,027 Hz. Nota-se que os modos de
torção têm freqüências próximas, e que apenas na resposta de aceleração transversal em
freqüência a 15 m, Fig VII.13, um dos modos não predomina sobre o outro. Nas
respostas em freqüência Fig VII.13, respectivamente tomados a 50 e 100 m, há uma
alternância no predomínio entre as duas formas modais de torção consideradas. Na
resposta a 50 m predomina a 2a forma modal de torção e a 100 m predomina a 1a forma
modal de torção.
Observando-se as equivalentes respostas transientes de aceleração transversal no
tempo (a 15, 50 e 100m – Figs.VII.14), nota-se um decaimento nas amplitudes máximas
de cerca de 2 ordens de grandeza (ao longo da distância), comparando-se as amplitudes
de respostas para 15 e 100 metros, como conseqüência do amortecimento atribuído ao
solo. A Fig.VII.17 ilustra este decaimento nas acelerações pico, resumindo o que
178
também pode ser constatado na Fig.VII.14. Nota-se também uma sensibilidade muito
grande para ocorrências de cravação de estacas próximas à linha limítrofe da edificação.
A Fig VII.14 mostra uma amplitude máxima transiente de 1.5 m/s2 (1.5 g; g –
aceleração da gravidade) para bate-estacas operando a 15m, decaindo, devido ao
amortecimento estrutural, rapidamente em apenas 15 segundos, em cerca de 1 ordem de
grandeza na amplitude. Considerando que há um impacto a cada segundo, estes valores
atingem um nível que, segundo a literatura técnica internacional (Harris & Crede,
1976), é considerado como acima do intolerável (que prevê um tempo de exposição de 5
a 20 minutos).
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0 1 2 3 4
Freqüência (Hz)
Ampl
itude
F(f
)
15 m50 m100 m
Fig.VII.13 – Espectro de Aceleração Transversal tomado no Topo do Edifício.
-2.00E+00
-1.50E+00
-1.00E+00
-5.00E-01
0.00E+00
5.00E-01
1.00E+00
1.50E+00
2.00E+00
0 5 10 15
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
15 m50 m100 m
Fig.VII.14 – Acelerações Transversais Tomados no Topo do Edifício.
179
0.00E+001.00E-042.00E-043.00E-044.00E-045.00E-046.00E-047.00E-048.00E-049.00E-04
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Freqüência (Hz)
Ampl
itide
F(f
)15 m50 m100 m
Fig.VII.15 – Espectro de Deslocamento Transversal tomado no Topo do Edifício.
-6.00E+01
-4.00E+01
-2.00E+01
0.00E+00
2.00E+01
4.00E+01
6.00E+01
0 5 10 15Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
15 m50 m100 m
Fig.VII.16 - Deslocamentos Transversais Tomados no Topo do Edifício.
Um cenário muito parecido com o de aceleração pode ser encontrado para a
análise de deslocamentos correspondentes. A Fig.VII.15 ilustra os espectros de
respostas de deslocamentos transversais para impactos às distâncias indicadas. A
Fig.VII.16 mostra os sinais correspondentes no domínio do tempo e a Fig.VII.18 o
decaimento dos valores picos das respostas, em termos de deslocamento, com acréscimo
da distância entre a fonte de excitação e a estrutura.
180
Aceleração (m/s2)
00.20.40.60.8
11.21.41.6
0 20 40 60 80 100 120
Distância (m)
Ampl
itude
de
Resp
osta
Fig.VII.17 – Decaimento das acelerações com a distância entre a fonte de excitação e a
estrutura.
Deslocamento (mm)
0.00E+00
1.00E+01
2.00E+01
3.00E+01
4.00E+01
5.00E+01
6.00E+01
0 20 40 60 80 100 120Distância da ação (m)
Ampl
itude
de
Resp
osta
Fig.VII.18 - Decaimento de deslocamentos com a distância entre a fonte de excitação e
a estrutura.
181
A Tabela VII.4 apresenta as amplitudes máximas de deslocamentos e
acelerações horizontais (direção transversal), no nível da cobertura (no centro e numa
aresta do edifício, posição indicada na Fig.VII.8), obtidas para a estrutura sob condições
de travejamento conferido pelas paredes de alvenaria (vide item VII.3), e sendo excitada
através de suas fundações por espectros de acelerações horizontal e vertical dos tipos
mostrados na Fig.VII.12, correspondentes às distâncias de 15, 50 e 100 metros. Essas
respostas foram obtidas no domínio da freqüência via técnica da superposição modal
dos primeiros modos de vibração (dados na Tabela VII.1). As respostas no tempo
tomadas na fachada frontal da torre, cujos valores picos estão apresentados na coluna C
Tabela VII. 4, são mostradas nas Figs. VII.14 e VII.16, respectivamente em termos de
aceleração e deslocamento.
Deve-se notar também que a estrutura apresenta deslocamentos significativos,
embora as freqüências naturais associadas aos primeiros modos de vibração da estrutura
tenham valores próximos a 1,0 Hz, enquanto os espectros da Fig.VII.12 apresentam
picos para freqüências de excitação em torno de 10 a 30 Hz. Esta grande amplificação
dinâmica na resposta da estrutura se deve a sua grande esbeltez e ao pouco
travejamento. As Figs.VII.19 (a) e (b) mostram as respostas, respectivamente, em
termos de aceleração e deslocamentos transversais, tomadas no topo e na base do
edifício (considerando o sinal obtido na fundação) causadas por um bate-estacas
operando a apenas 15 metros de distância das fundações.
-2.00E+00
-1.50E+00
-1.00E+00
-5.00E-01
0.00E+00
5.00E-01
1.00E+00
1.50E+00
2.00E+00
0 5 10 15
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
Acel.TopoAcel.Base
-6.00E+01
-4.00E+01
-2.00E+01
0.00E+00
2.00E+01
4.00E+01
6.00E+01
0 5 10 15
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
Desl.TopoDesl.Base
(a) Acelerações (b) Deslocamentos Fig.VII.19 –Tomadas no Topo e na Base (no nível das fundações) do Edifício.
182
Tabela VII.4 – Amplitudes máximas de deslocamento (mm) e aceleração (m/s2) para os 1os. modos na direção transversal, tomadas no topo
do edifício, produzidas pela propagação de ondas no solo induzidas por cravação de estacas a uma distância d (m).
Torção = A Flexão Transversal = B Combinação = C
Deslocamentos (mm)
Acelerações (m/s2) no topo do edifício
Deslocamentos (mm)
Acelerações (m/s2) no topo
do edifício
Deslocamentos (mm)
Acelerações (m/s2) no topo
do edifício Local
Deslocamento Horizontal
Aceleração Horizontal
Deslocamento Horizontal
Aceleração Horizontal
Deslocamento Horizontal
Aceleração Horizontal
d = 15 1,01 2,60 x 10-2 6,60 x 10+1 2,56 x 10-2 1,43 4,38 x 10-2 d = 50 5,00 x 10-2 1,26 x 10-3 8,82 3,58 x 10-3 1,38 x 10-1 4,54 x 10-3
Próximo à junta de dilatação d = 100 3,94 x 10-2 9,29 x 10-4 1,53 5,29 x 10-4 4,96 x 10-2 1,30 x 10-3
d = 15 3,42 x 10+1 8,41 x 10-1 2,60 x 10+1 1,01 x 10-0 5,05 x 10+1 1,63d = 50 2,00 3,81 x 10-2 3,53 1,43 x 10-1 4,96 1,71 x 10-1
Fachada frontal da
Torre d = 100 1,18 2,75 x 10-2 6,11 2,11 x 10-2 1,60 4,38 x 10-2 Nota: A + B = C – soma dos sinais das colunas A e B para deslocamento e aceleração.
183
As Figs. VII.20(a,b) e VII.21(a,b) mostram, respectivamente, nos domínios da
freqüência e do tempo, as respostas dinâmicas em termos de aceleração e deslocamento
verticais no topo do edifício, para a excitação produzida por um bate-estacas operando a
cerca de 15, 50 e 100 metros das fundações da torre de apartamentos.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 100 200 300 400
Freqüência (Hz)
Ampl
itude
F(f
)
15 m50 m100 m
Fig.VII.20(a) – Espectro de Aceleração Vertical no Topo do Edifício.
-2.00E+01
-1.50E+01
-1.00E+01
-5.00E+00
0.00E+00
5.00E+00
1.00E+01
1.50E+01
2.00E+01
0 0.5 1 1.5 2
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
15 m50 m100 m
Fig.VII.20(b) – Acelerações Verticais Tomadas no Topo do Edifício.
184
00.00010.00020.00030.00040.00050.00060.00070.00080.0009
0 100 200 300
Freqüência (Hz)
Ampl
itude
F(f
)
15 m50 m100 m
Fig.VII.21(a) - Espectro de Deslocamento Vertical no Topo do Edifício.
-5.00E+00-4.00E+00-3.00E+00-2.00E+00-1.00E+000.00E+001.00E+002.00E+003.00E+004.00E+005.00E+00
0 0.5 1 1.5 2
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
15 m50 m100 m
Fig.VII.21(b) - Deslocamentos Verticais Tomadas no Topo do Edifício.
185
VII.6. ANÁLISE DE SENSIBLIDADE ESTRUTURAL A VIBRAÇÕES
INDUZIDAS POR TRÁFEGO DE VEÍCULOS
Veículos pesados, tais como ônibus e caminhões, trafegando nas vias próximas
podem induzir vibrações na estrutura de um edifício através de suas bases ou fundações.
Assim como no caso de impactos produzidos por um bate-estacas (vide a seção
VII.5) as vibrações são transmitidas por meio de propagação de ondas no solo. As
mesmas funções de transferências relativas ao terreno (exemplo da Fig. VII.11 definida
para 100 m) foram usadas para determinação dos espectros de respostas às vibrações
induzidas por veículos.
VII.6.1. Características da Superfície do Pavimento e do Solo Natural
Assim como no capítulo anterior foi usada a mesma descrição matemática
(Chiostrini, 1995), dos espectros de freqüência típicos das forças de excitação e das
acelerações verticais e horizontais induzidas nas fundações do prédio pela passagem, a
uma certa distância do edifício, de veículos pesados sobre pavimento asfáltico.
A densidade espectral da rugosidade do pavimento dada por ISO/ 1972: w
ry AS−
ωω
=ω0
)( (VII.1)
onde:
Ar = (256,0 a 512,0) x 10-6 m3/ciclo, segundo recomendação da ISO/ 1972 para
pavimentos com irregularidades média e muito ruim, respectivamente.
ω = 2 π v/λ = freqüência angular
λ = 1,0 e 10,0 (Chiostrini, 1995) = comprimentos de ondas das irregularidades do
pavimento.
v = velocidade do veículo. Para a obtenção do espectro foi considerada uma faixa de
velocidade do veículo de 10 km/h a 80 km/h, conduzindo a picos de freqüência
principal em torno de 20 a 30 Hz.
186
VII.6.2. Respostas Dinâmicas da Edificação ao Tráfego de Veículos
As Figs. VII.22 e VII.23 mostram, respectivamente, no domínio do tempo,
respostas típicas da estrutura em termos de acelerações e deslocamentos horizontais no
topo do edifício.
A Tabela VII.5 apresenta, para a estrutura travejada pelas paredes de alvenaria,
um resumo das respostas obtidas para amplitudes máximas de deslocamentos
horizontais e verticais, no nível do último pavimento (no centro do edifício), induzidos
por veículos trafegando a distâncias de 15, 50 e 100 metros. Todas as respostas foram
obtidas no domínio da freqüência via técnica da superposição modal dos primeiros
modos de vibração (dados na Tabela VII.1).
Tabela VII.5 -Amplitudes máximas de deslocamentos e acelerações no último
pavimento induzidas por tráfego de veículos* a uma distância d (m).
Deslocamentos no último pav. (mm)
Acelerações no último pavimento (m/s2) Local
Desl. Horiz. Acel. Horiz. d = 10 3,04 x 10-4 3,06 x 10-4
d = 50 1,31 x 10-4 5,94 x 10-6 Centro do Edifício
d = 100 1,69 x 10-4 3,59 x 10-6 * massas dos veículos: 10 a 20 toneladas (caminhões de 3 eixos e ônibus urbanos)
Nota-se, prontamente, nesta Tabela os valores muito pequenos de
deslocamentos, os quais segundo Harris (1988) não são perceptíveis pelos ocupantes.
Acelerações da ordem de 10-4 m/s2 (10-5 g), encontradas para fontes de excitação
aleatória produzida pelo tráfego de veículos pesados na própria rua da edificação, não
alcançam, segundo a mesma referência (Harris, 1988), o limiar da percepção humana
para exposições prolongadas em torno de 5 minutos.
187
-4.00E-04-3.00E-04-2.00E-04-1.00E-040.00E+001.00E-042.00E-043.00E-044.00E-045.00E-04
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
-8.00E-06
-6.00E-06
-4.00E-06
-2.00E-060.00E+00
2.00E-06
4.00E-06
6.00E-06
8.00E-06
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
(a) (b)
-5.00E-06-4.00E-06-3.00E-06-2.00E-06-1.00E-060.00E+001.00E-062.00E-063.00E-064.00E-06
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
(c)
Respostas Tomadas no Topo do Edifício:
(a) de aceleração horizontal a 15m da ação;
(b) de aceleração horizontal a 50m da ação;
(c) de aceleração horizontal a 100m da ação;
(d) correlação entre as três respostas.
-4.00E-04-3.00E-04-2.00E-04-1.00E-040.00E+001.00E-042.00E-043.00E-044.00E-045.00E-04
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
15 m50 m100 m
(d)
Fig.VII.22 - Acelerações Transversais Tomadas no Topo do Edifício.
188
-4.00E-04
-3.00E-04
-2.00E-04
-1.00E-04
0.00E+00
1.00E-04
2.00E-04
3.00E-04
4.00E-04
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
-1.50E-04
-1.00E-04
-5.00E-05
0.00E+00
5.00E-05
1.00E-04
1.50E-04
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
(a) (b)
-2.00E-04
-1.50E-04
-1.00E-04
-5.00E-05
0.00E+00
5.00E-05
1.00E-04
1.50E-04
2.00E-04
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
(c)
Respostas Tomadas no Topo do Edifício:
(a) de desloc. horizontal a 15m da ação;
(b) de desloc. horizontal a 50m da ação;
(c) de desloc. horizontal a 100m da ação;
(d) correlação entre as três respostas.
-4.00E-04
-3.00E-04
-2.00E-04
-1.00E-04
0.00E+00
1.00E-04
2.00E-04
3.00E-04
4.00E-04
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
15 m50 m100 m
(d)
Fig.VII.23 - Deslocamentos Transversais Tomados no Topo do Edifício.
189
Alguns sinais, registrados durante as medições experimentais (Battista, 2000),
foram obtidos em horários de tráfego intenso nas vias circunvizinhas e são apresentados
na Tabela VII.6. Observando nesta tabela, os valores RMS de aceleração relativos a
movimentos transversais no topo, nota-se a boa correlação com aqueles obtidos
numericamente mostrados na Tabela VII.5.
Tabela VII.6 Valores RMS das Acelerações nos pontos de medições experimentais
(vide posicionamento dos acelerômetros na Fig. VII. 24 - Battista, 2000).
Acelerômetro RMS Aceleração (m/s2) Direção/Localização AC1 5 x 10-5 Vertical/Pilar P31a/Subsolo AC2 10 x 10-5 Transv./Pilar P32/Subsolo AC3 2 x 10-4 Transv./Topo/fachada traseira
AC4 10 x 10-5 Long./Topo/fronteira do terço central
AC5 6 x 10-4 Transv./Topo/junto à casa de máquinas
AC6 2 x 10-4 Transv./Topo/fachada frontal
As Figs.VII.25 e VII.26 apresentam as respostas respectivamente em termos de
aceleração e deslocamento na direção vertical tomados no topo do edifício, devidas ao
tráfego de um veículo pesado a 15, 50 e 100 m de distância do edifício. Nota-se que as
respostas alcançam valores significativos em termos de aceleração, particularmente para
o tráfego de veículos pesados na própria rua da edificação. Os picos de aceleração
atingem o limiar da percepção humana até para maiores distâncias da fonte de excitação
e alcançam valores que se aproximariam da fronteira do desconforto, para exposições
prolongadas em torno de 5 minutos (i.e. para tráfego intenso continuado).
190
Fig.VII.24 – Plano de Instrumentação.
191
-1.50E-01
-1.00E-01
-5.00E-02
0.00E+00
5.00E-02
1.00E-01
1.50E-01
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
15 m50 m100 m
Fig.VII.25 - Acelerações Verticais Tomados no Topo do Edifício.
-3.00E-02
-2.00E-02
-1.00E-02
0.00E+00
1.00E-02
2.00E-02
3.00E-02
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
15 m50 m100 m
Fig.VII.26 - Deslocamentos Verticais Tomados no Topo do Edifício.
Os resultados aqui apresentados corroboram alguns comentários feitos na
literatura técnica, i.e que as forças dinâmicas aleatórias produzidas por veículos
pesados, trafegando em pavimentos asfálticos com pequenas irregularidades a distâncias
superiores a 100 m, são suficientemente pequenas para não induzirem amplitudes
significativas de vibração nas camadas do terreno atravessadas pelas estacas.
192
VII.7. ANÁLISE DE SENSIBLIDADE ESTRUTURAL A VIBRAÇÕES
INDUZIDAS POR VENTO
Apresenta-se a seguir uma avaliação das amplitudes de vibrações que seriam
induzidas por ação do vento atuando na direção transversal de uma das torres do
edifício Modelo 2.
VII.7.1. Características Locais do Vento Atuante
No presente Modelo 2 o primeiro modo corresponde ao modo de torção. Isto
leva a definir o modelo matemático a ser empregado como aquele descrito na seção
II.6.3. Considerando a edificação situada numa região do Brasil cujo mapa de isopletas
indica a velocidade básica em torno de 35 m/s segundo NB 599 (1987), encontra-se para
este caso uma velocidade de projeto de V10 = 24,15 m/s.
Segundo valores encontrados na norma brasileira de vento (NB 599, 1987) com
relação às isopletas e Nakamura (1975), tem-se os seguintes dados:
- ρ = 1,2 x 10-3 kN s2/m4 – densidade do ar;
- V10 = 24,15 m/s – velocidade de projeto;
- p = 0,23 – expoente p dependente da Categoria de rugosidade do terreno.
- CM = 0,1 – coeficiente para momento em modo específico de torção.
- α = 10o – ângulo de ataque do vento sobre uma fachada lateral da estrutura,
correspondente a 0,175 rad.
VII.7.2. Respostas Típicas
As respostas obtidas para o presente modelo correspondem à combinação dos
modos de torção com as freqüências 0,80 Hz e 1,027 Hz. As Fig.VII.27 e 28 mostram,
respectivamente, as respostas típicas da estrutura, em termos de aceleração e
deslocamento horizontais transversais, tomadas no topo do edifício junto à fachada
frontal. Notam-se amplitudes de respostas em termos de aceleração com valores da
ordem de 10-4 m/s2 (10–5 g), tomadas no ponto de maiores amplitudes. Por este fato,
193
serão dificilmente perceptíveis pelos ocupantes do edifício, visto que ficam muito
aquém do limiar de percepção humana (Harris, 1988), da ordem de 10-2 g para baixas
freqüências.
-1.50E-03
-1.00E-03
-5.00E-04
0.00E+00
5.00E-04
1.00E-03
1.50E-03
0 20 40 60 80 10
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
0
Fig.VII.27 – Acelerações Transversais Tomados no Topo do Edifício.
-4.00E-02
-3.00E-02
-2.00E-02
-1.00E-02
0.00E+00
1.00E-02
2.00E-02
3.00E-02
4.00E-02
0 20 40 60 80 10
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
0
Fig.VII.28 – Deslocamentos Transversais Tomados no Topo do Edifício.
Comparando-se a resposta dinâmica vista na Fig.VII.27 (que leva em conta 2
modos transversais), em termos de aceleração, com os valores limites para diversos
níveis de percepção humana especificos (Saul, 1976) para vibrações em edifícios
devidas ao vento, constata-se que a aceleração assim produzida é também
imperceptível.
O deslocamento transversal de 4,60 x 10-4 m no topo do edifício, obtido segundo
os procedimentos de cálculos definidos na NB-599/87, é pouco superior ao valor pico
da resposta dinâmica visto na Fig.VII.28, da ordem de 1,2 x 10-4 m. Deve-se observar
que na solução proposta pela norma NB-599/87 a ação de vento é aplicada conforme
194
critérios do Item 9 – Modelo discreto. Alguns dados usados para cálculo segundo a
norma são: S1 = 1,0; S3 = 1,0; V0 = 35 m/s; Vp= 24,15 m/s; Categoria IV.
VII.8. ANÁLISE DE SENSIBLIDADE ESTRUTURAL A VIBRAÇÕES
INDUZIDAS POR EXPLOSÃO
A Fig.VII.29 mostra a resposta teórico-numérica aceleração x tempo na direção
transversal (direção y), tomada no topo do edifício, induzida por explosão (w = 9,36 kg;
R = 40,00 m). A resposta foi obtida usando a equação (II.9) juntamente com as
equações (II.11 e II.12). Os parâmetros modais obtidos a partir do modelo numérico 3D
são apresentados na Tabela VII.7.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
Fig.VII.29 – Acelerações Transversais Tomados no Topo do Edifício.
As análises desta resposta são apresentadas na seção seguinte em Comentários
adicionais.
Tabela VII.7 – Parâmetros Modais dos quatro Modos de Vibrações usados no Modelo
2D-unifilar equivalente
Freqüência (Hz)
Freqüência Circular (rd/sec)
Coeficiente de Amortecimento
ξ (%)
Massa Modal
(ton) 9,32 58,56 1,36 3200 13,79 86,64 0,92 1070 62,50 392,70 0,22 3410
195
VII.9. COMENTÁRIOS ADICIONAIS
Das análises criteriosas de todos os resultados obtidos das simulações e
modelagens computacionais realizadas, pode-se fazer ainda os seguintes comentários
particulares a estrutura do Modelo 2:
a) A cravação de estacas de fundações por meio de equipamentos de percussão
(por exemplo, bate-estacas) em construções vizinhas, pode provocar aceleração
de recalques e causar danos a componentes estruturais e arquitetônicos do
edifício, além de sérios transtornos aos seus ocupantes. Estes transtornos têm
origem nos efeitos acústicos e de vibrações induzidas por esse processo
convencional de cravação de estacas.
b) Tráfego de Veículos:
O tráfego normal de veículo nas proximidades da edificação, não traz problemas
de desconforto humano. A vibração mais expressiva esta associada à aceleração
vertical, que atinge valores pico considerados apenas perceptíveis.
c) Vento:
Para ação de vento para uma velocidade de projeto (V0 = 24,15 m/s) há pouca
chance que ocorra problemas de desconforto para os ocupantes desta edificação.
d) Explosão Subterrânea:
Cargas elevadas de explosivos podem causar sérios transtornos aos ocupantes da
edificação; e sendo as vibrações numa faixa de baixas freqüências, torna-se
provável a ocorrência de danos, principalmente nos componentes arquitetônicos.
e) A integridade e segurança das estruturas e fundações do edifício dependem,
então, do controle eficaz das causas e atenuação dos efeitos associados às
atividades de uma nova construção num terreno vizinho.
196
Capítulo VIII
Análise Comparativa entre
os Modelos
VIII.1. INTRODUÇÃO
Apresenta-se neste capítulo uma análise comparativa das respostas dinâmicas, a
um mesmo padrão de excitações, obtidas dos 03 modelos de edifícios com concepções
estruturais um tanto distintas, tal como descritas nos capítulos IV, VI e VII. A avaliação
do grau de sensibilidade, às ações dinâmicas externas, dessas três concepções estruturais
para edifícios de concreto armado, é feita através da comparação direta (qualitativa e
quantitativas para amplitudes) das suas respostas no tempo, induzidas por: cravação de
estacas e explosão subterrânea em terreno vizinho, tráfego de veículos em ruas vicinais
e ação turbulenta de vento. Na seção VIII.2 apresenta-se uma análise suscinta dos
esforços em alguns componentes das estruturas destes modelos de edifícios, causados
por recalques diferenciais nas fundações.
As respostas dinâmicas, aqui agrupadas, são algumas daquelas já apresentadas
nos capítulos IV, VI e VII, e aqui são também analisadas à luz dos critérios do estado
limite de utilização.
Nos gráficos apresentados a seguir, as respostas dinâmicas de cada modelo dos
capítulos IV, VI e VII estão associadas, respectivamente, às denominações Palácio
(Modelo do Capítulo IV), St. Marcel (Modelo do Capítulo VI), e La Villette (Modelo do
Capítulo VII). Nesses gráficos são mostradas curvas referentes a estes 3 modelos, que
representam a variação, com a distância da fonte de excitação, das amplitudes de
respostas em termos de deslocamento e aceleração. Com base nessas curvas pode-se
concluir que o modelo do edifício Palácio é o que apresenta, em geral, maior
sensibilidade estrutural às ações dinâmicas impostas. Por outro lado, o modelo do
197
edifício St. Marcel é o que apresenta a menor sensibilidade. Isto já permite se apontar
algumas diferenças de características e comportamento dos 3 modelos (condições
externas e concepções estruturais distintas). Como condições externas poder-se-ia
apontar o tipo de solo de fundação em cada caso: argila orgânica mole e argila rija. Uma
outra característica é o tipo de fundação (fundações em estacas ou sapatas) e finalmente
a concepção estrutural propriamente dita, em particular o grau de redundância
(hiperestaticidade interna) e o travejamento.
Como outros fatores relacionados às concepções estruturais dos 3 modelos
podem-se citar: cintamento reduzido, ineficaz ou inexistente dos blocos das fundações;
a grande esbeltez e dimensões de vigas e pilares; grandes vãos de lajes e vigas aliados a
pequena formação de pórticos (quadros viga-coluna) em direções ortogonais.
Uma boa análise requer identificação, em cada modelo, de algumas
características que separadamente possam ter influência decisiva nas respostas,
acentuando as amplitudes ou atenuando-as. Algumas dessas características, já
identificadas nos capítulos anteriores, são aqui destacadas:
Tabela VIII.1 – Características individuais dos modelos.
Fundação
Faixa de Freqüências com amplitudes
máximas nos espectros FRFs do
solo (Hz)
Modo de Vibraçao
Transversal (Hz)
Massa Modal (t)Modelo
Altura do
Prédio (m)
Solo Tipo Prof. 15 m 50 m 100 m 1o. 2o.
Modo de Vibração
Axial
1o. 2o.
PL 28,2 argila mole
estaca C.A. 25 m 25-30 15-20 10-15 0,60 0,67 10,34 4,33
x105 2,35 x105
LV 31,31 argila mole
perfis Aço. 20 m 25-30 15-20 10-15 0,80 1,03 8,22 5,33
x105 8,75 x105
SM 39,8 argila rija
sapatas C.A. 1,5* 35-40 20-25 10-15 1,48 4,89 10,03 2,16
x105 4,33 x103
* profundidade mínima adotada para fundação direta (sapatas). Nota: PL – Palácio; LV – La Villette; SM – St.Marcel.
Nota-se na Tabela VIII.1 que o modelo St. Marcel possui maior altura, entre 9 e
11 metros mais alto do que os outros dois e área em planta da torre menor que os demais
modelos (vide Anexo B). Uma diferença que para concepções estruturais convencionais
levaria tal modelo a apresentar as maiores amplitudes de respostas. Mas conforme
198
mostrado nas comparações feitas nas seções seguintes esta expectativa não é
confirmada. Nota-se também o solo de argila rija é presente apenas na fundação do
modelo St.Marcel (nos demais a camada sobrejacente do solo é argila mole).
Comparando-se os espectros de aceleração de base, Fig.VI.17 (p/ argila rija) e
Fig.VII.15 (p/ argila mole), notam-se maiores amplitudes induzidas nas fundações em
argila rija. As forças modais de excitação de base são obtidas do produto entre a
aceleração de base e as massas modais. A rigidez modal, de cada modelo é obtida do
produto da massa modal pelo quadrado da freqüência modal (em radianos por segundo).
Destes valores, obtidos na Tab. VIII.1, chega-se às seguintes rigidezes modais (1o
modo): St. Marcel igual a 1,867 x 107 kN/m, La Villette igual a 1,346 x 107 kN/m e
Palácio igual a 6,15 x 106 kN/m. Nota-se que a rigidez modal é decrescente,
respectivamente para os modelos St.Marcel, La Villette e Palácio. Tais condições
contribuem para que em geral St. Marcel e La Villette sejam menos susceptíveis às
solicitações dinâmicas que o modelo Palácio. Foi adotado amortecimento proporcional à
massa, considerando um amortecimento para o 1o.modo de 2,5% e para 2o. modo de
1,5% obtido pela expressão (VIII.1).
ω=ξ
2a (VIII.1)
onde ξ = taxa de amortecimento;
ω = freqüência modal (rad/s);
a = fator de amortecimento.
199
VIII.2. RECALQUES DIFERENCIAIS DAS FUNDAÇÕES
Nas Tabelas VI.4 e VII.5 um recalque máximo corresponde a uma situação de
perda total da capacidade resistente das estacas ou sapatas. Os valores desses recalques
são, respectivamente, de 6 mm para o St.Marcel, 8 mm para o La Villette e para o
Palácio 12 mm para as fundações dos pilares mais susceptíveis a recalque. Observando
as estruturas dos 3 modelos, nota-se um maior número de pórticos múltiplos no St.
Marcel, com menores vãos e vigas um pouco mais robustas em relação aos outros 2
modelos de estruturas, contribuindo para uma melhor e mais efetiva redistribuição de
esforços na eventualidade de recalques diferenciais nos pilares.
VIII.2.1.Sensibilidades das Alvenarias
Para os recalques máximos de uma fundação, em cada uma das 3 estruturas, a
análise comparativa das tensões entre os painéis de paredes vizinhas aos pilares
submetidos a recalque fica prejudicada, pois os painéis envolvidos em cada caso
possuem distintos vãos e vigas com distintas seções transversais que formam os quadros
de confinamento dos painéis. Entretanto, considerando, em cada caso, os valores de
tensões relativos a recalques unitários, pode-se notar que estrutura do St. Marcel possui
maior capacidade de redistribuição de esforços. Consequentemente, para este edifício,
os painéis de parede confinados próximos ao pilar de recalque estarão sujeitos a
menores tensões. Já nos Modelos La Villette e Palácio os painéis de parede confinados
próximos ao pilar de recalque estarão sujeitos a maiores tensões, pois apresentam pouca
capacidade para redistribuição de esforços.
VIII.2.2.Sensibilidade da Estrutura de Concreto Armado
O estudo de sensibilidade a recalques diferenciais de fundações dos três modelos
revela que os esforços, assim acrescidos à estrutura de concreto armado, poderão
provocar, no modelos La Villette e Palácio, sérios danos estruturais. Isto se conclui, pois
os mesmos possuem pouca capacidade de redistribuição de esforços, fato observado por
apresentarem expressivos valores para recalques máximos (obtidos considerando
capacidade resistente nula nas estacas do respectivo pilar). No modelo St. Marcel tais
valores são menos expressivos portanto menos susceptível a danos estruturais.
200
VIII.3. CRAVAÇÃO DE ESTACAS
VIII.3.1. Movimento Transversal
Comparam-se a seguir as respostas das três estruturas, respectivamente, em
termos de aceleração e deslocamento x tempo, no topo dos edifícios, devidas à cravação
de estacas a uma distância de 15 metros das fundações. As Figs VIII.1 e VIII.2 dão uma
idéia de como se compõem as respostas finais de cada modelo, resultantes da
combinação dos dois primeiros modos de vibração, em função de suas respectivas
freqüências modais. As taxas de amortecimentos modais são as mesmas para os três
modelos.
-3.00E+00
-2.00E+00
-1.00E+00
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
0 2 4 6 8 10
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
St.MarcelPalácioLaVillette
Fig.VIII.1 - Comparação de resposta de aceleração transversal no topo do edifício a
15m da ação.
-5.00E+01-4.00E+01-3.00E+01-2.00E+01-1.00E+010.00E+001.00E+012.00E+013.00E+014.00E+015.00E+01
0 2 4 6 8 10
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
PalácioLa VilletteSt.Marcel
Fig.VIII.2 - Comparação de resposta de deslocamento transversal no topo do edifício a
15 m da ação.
201
Com as respostas combinadas dos 2 primeiros modos transversais, nos três
modelos, nota-se na Fig.VIII. 1 que a aceleração modelo St. Marcel, embora
inicialmente maior, decai rapidamente, enquanto que a aceleração x tempo para o
Palácio tem um decaimento mais lento. Já na Fig.VIII.2 a resposta em termos de
deslocamento do Palácio é destacadamente maior que a resposta dos outros 2 modelos.
Justifica-se este fato observando-se que as freqüências do 1o. e 2o. modos do modelo
Palácio são muito próximas tendo portanto, pequena defasagem no ângulo de fase das
respostas, quase coincidindo suas amplitudes máximas.
-6.00E-02
-4.00E-02
-2.00E-02
0.00E+00
2.00E-02
4.00E-02
6.00E-02
0 2 4 6 8 10
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
St.MarcelPalácioLaVillette
Fig.VIII.3 - Comparação de resposta de aceleração transversal no topo do edifício a
100m da ação.
-2.10E+00
-1.40E+00
-7.00E-01
0.00E+00
7.00E-01
1.40E+00
2.10E+00
0 2 4 6 8 10
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
PalácioLaVilletteSt.Marcel
Fig.VIII.4 - Comparação de resposta de deslocamento transversal no topo do edifício a
100 m da ação.
202
Observa-se nas Fig.VIII.3 e VIII.4 o mesmo panorama nas respostas,
respectivamente em termos de aceleração e deslocamento, devido à cravação de estacas
a 100 m do edifício.
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
0 20 40 60 80 100 120
Distância da ação (m)
Acel
.pic
o (m
/s2 )
PalácioLaVilletteSt.Marcel
Fig.VIII.5 – Comparação do decaimento de valores pico de aceleração transversal com
o acréscimo da distância entre a fonte de excitação e o edifício.
-1.00E+01
0.00E+00
1.00E+01
2.00E+01
3.00E+01
4.00E+01
5.00E+01
0 50 100
Distância da ação (m)
Desl
oc. p
ico
(mm
)
PalácioLaVilletteSt.Marcel
Fig.VIII.6 - Comparação do decaimento de valores pico de desloc. transversal com o
acréscimo da distância entre a fonte de excitação e o edifício.
As respostas em termos de aceleração x tempo (Figs.VIII.1 e VIII.3), e em
termos de deslocamento x tempo (Figs.VIII.2 e VIII.4) estão resumidas, através de seus
correspondentes valores picos, nas Figs.VIII.5 e VIII.6 para um bate-estacas operando a
distâncias variando de 15 a 100 m da estrutura. Pode-se fazer com essas figuras as
mesmas considerações já feitas anteriormente sobre a importância da combinação modal
nas amplitudes de resposta.
203
Sob critérios de estado limite de utilização faz-se a seguir algumas
considerações. Analisando-se os valores da coluna C (combinação entre os 2 primeiros
modos transversais) nas Tabelas VI.4 e VII.4, notam-se os baixos valores dos
deslocamentos horizontais. Entretanto, com esses resultados pode-se fazer, com auxílio
de outros trabalhos das referências (ISO 2631/1-2, 1985; Harris, 1988), a seguinte
avaliação:
− impactos de curta duração produzidos a cada segundo por um bate-estacas do porte
considerado, operando em terreno próximo ao do edifício, induzem vibrações
perceptíveis com amplitudes de deslocamentos laterais, ao longo da altura do
edifício, na faixa de 10-3 mm.
− as correspondentes vibrações laterais na fachada do bloco frontal do edifício e, em
particular no último pavimento, seriam as mais facilmente perceptíveis.
Notam-se, ainda, nas Tabelas VI.4 e VII.4, os valores significativos das
acelerações horizontais (coluna C). Com esses resultados pode-se fazer, com auxílio da
referência (ISO 2631/1-2, 1985, Harris, 1988), a seguinte avaliação:
− impactos de curta duração produzidos a cada segundo por um bate-estaca, ou outro
qualquer equipamento pesado de percussão, operando em terreno próximo ao
edifício, induzem acelerações consideradas desagradáveis, da ordem de 1x100 m/s2
(ou 10-1 g, sendo g a aceleração da gravidade) ou, pelo menos, induzem acelerações
facilmente perceptíveis, da ordem de 10-1 m/s2 (ou 10-2 g).
− essas acelerações horizontais em torno de 10-1g, nas direções transversal e vertical
do edifício, e ao longo de toda a sua altura, são mais acentuadas no topo do edifício.
Finalmente, deve-se observar que, devido às características da resposta
transiente produzida por impulsões de curta duração, os amortecimentos adicionais (tal
como o promovido pelas paredes de alvenaria) teriam, se considerado no modelo de
análise, efeitos desprezíveis nos valores pico para deslocamentos e acelerações.
Tomando-se as funções de transferência do solo utilizadas na análise como
aproximações satisfatórias para cálculos, as estimativas feitas para amplitudes de
204
deslocamentos e acelerações podem ser adotadas para um parecer técnico sobre as
vibrações induzidas na estrutura pela cravação de estacas.
VIII.3.2. Movimento Vertical
-2.00E+01-1.50E+01-1.00E+01-5.00E+000.00E+005.00E+001.00E+011.50E+012.00E+012.50E+01
0 0.5 1 1.5 2
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
PalácioLaVilletteSt.Marcel
Fig.VIII.7 - Comparação de resposta de aceleração vertical no topo do edifício a 15 m
da ação (modo axial).
-5-4-3-2-1012345
0 0.5 1 1.5 2
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
PalácioLaVilletteSt.Marcel
Fig.VIII.8 - Comparação de resposta de deslocamento vertical no topo do edifício a 15
m da ação (modo axial).
Do ponto de vista do movimento vertical, os efeitos da ação de bate-estacas são
mais intensos. As respostas em termos de aceleração e deslocamento verticais revelam a
mesma tendência de susceptibilidade já analisada anteriormente entre os modelos
investigados. Em outras palavras, o modelo Palácio está sujeito às maiores
205
amplificações de respostas a movimentos verticais, talvez pela ocorrência de painéis
maiores de laje e vigas de menor seção transversal. As Figs.VIII.7 e VIII.8 mostram as
respostas transientes em termos de aceleração e deslocamento verticais tomados no topo
dos edifícios modelos, induzidos por impacto a 15 m de distância. As Figs.VIII.9 e 10
resumem, através dos valores picos, as respostas em termos de aceleração e
deslocamentos verticais para bate-estacas atuando a distâncias variando de 15 a 100 m
da estrutura.
0.00E+00
5.00E+00
1.00E+01
1.50E+01
2.00E+01
2.50E+01
0 20 40 60 80 100 120
Distância da ação (m)
Acel
.pic
o (m
/s2 )
PalácioLaVilleteSt.Marcel
Fig.VIII.9 - Comparação do decaimento de valores pico de aceleração vertical com o
acréscimo da distância entre a fonte de excitação e o edifício.
00.5
11.5
22.5
33.5
44.5
0 20 40 60 80 100 120
Distância da ação (m)
Desl
oc.p
ico
(mm
)
PalácioLa VilletteSt.Marcel
Fig.VIII.10 - Comparação do decaimento de valores pico de desloc. vertical com o
acréscimo da distância entre a fonte de excitação e o edifício.
206
VIII.4. TRÁFEGO DE VEÍCULO
VIII.4.1. Movimento Transversal:
Embora as amplitudes de deslocamentos tranversais da ordem de 10-4 de mm
(Fig.VIII.12), encontradas nas análises para tráfego de veículos a 15 m, não sejam
significativas do ponto de vista da sensibilidade humana, o caráter aleatório e contínuo
pode induzir ou acentuar possíveis danos estruturais. Tal conclusão é reforçada se
considerarmos ainda as acelerações da ordem de 10-3 m/s2 (Fig.VIII.11).
-4.00E-03
-3.00E-03
-2.00E-03
-1.00E-03
0.00E+00
1.00E-03
2.00E-03
3.00E-03
4.00E-03
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
St.MarcelPalácioLaVillette
Fig.VIII.11 - Comparação de resposta de aceleração transversal no topo do edifício a
15m do tráfego de veículo.
-2.50E-03-2.00E-03-1.50E-03-1.00E-03-5.00E-040.00E+005.00E-041.00E-031.50E-032.00E-032.50E-03
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(mm
)
St.MarcelPalácioLaVillette
FigVIII.12 - Comparação de resposta de deslocamento transversal no topo do edifício a
15 m do tráfego de veículo.
207
-1.50E-03
-1.00E-03
-5.00E-04
0.00E+00
5.00E-04
1.00E-03
1.50E-03
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
St.MarcelPalácioLaVillette
Fig.VIII.13 - Comparação de resposta de aceleração transversal no topo do edifício a
100 m do tráfego de veículo.
-4.00E-04
-3.00E-04
-2.00E-04
-1.00E-04
0.00E+00
1.00E-04
2.00E-04
3.00E-04
4.00E-04
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
St.MarcelPalácioLaVillette
Fig.VIII.14 - Comparação de resposta de deslocamento transversal no topo do edifício a
100m do tráfego de veículo.
As respostas tomadas a 100 m revelam deslocamentos (Fig.VIII.14) um pouco
menores que a 15 m, na mesma ordem de grandeza. Com respeito às acelerações
(Fig.VIII.13) nota-se que St.Marcel se mostra mais susceptível a este tipo de excitação.
Ao contrário do que já foi analisado com respeito a efeitos da ação de bate-
estacas nas estruturas, o modelo St. Marcel é o mais susceptível à tráfego de veículos
para quaisquer distância da ação em relação aos modelos La Villette e Palácio (Fig.VIII.
208
11-VIII.14). Esta característica de maior sensibilidade do modelo St. Marcel pode
residir no fato de que o mesmo apresenta suas primeiras freqüências modais maiores
que as correspondentes nos demais modelos. Por ter maiores freqüências, os modos de
vibração estrutural do modelo 1 estariam sujeitos a faixas de freqüências de excitação
com as maiores amplitudes de aceleração no solo, oriunda da energia de propagação
elástica, em todas as 3 distâncias analisadas (vide Tabela VIII.1).
As Figs.VIII.15 e 16 também fazem um resumo com os valores picos em termos
de aceleração e deslocamento, respectivamente, considerando tráfego de veículos em
vias a distâncias entre 15 a 100 m. Nota-se ainda nestas figuras que como os modelos 02
e 03 possuem fundações e solo semelhantes suas respostas são parecidas.
-1.00E-03
0.00E+00
1.00E-03
2.00E-03
3.00E-03
4.00E-03
0 20 40 60 80 100 120
Distância da Ação (m)
Acel
.pic
o (m
/s2 )
PalácioLa VilletteSt.Marcel
Fig.VIII.15 - Comparação do decaimento de valores pico de aceleração transversal com
acréscimo da distância entre a fonte de excitação e a estrutura.
0.00E+00
5.00E-01
1.00E+00
1.50E+00
2.00E+00
2.50E+00
0 20 40 60 80 100 120
Distância da ação (m)
Desl
oc.p
ico
(mm
)
PalácioLa VilletteSt.Marcel
Fig.VIII.16 - Comparação do decaimento de valores pico de desloc. transversal com
acréscimo da distância entre a fonte de excitação e a estrutura.
209
VIII.4.2. Movimento Vertical
Do ponto de vista do movimento vertical, os efeitos da ação de tráfego de
veículo são também mais intensos do que para movimentos horizontais. Novamente o
modelo Palácio volta a apresentar as maiores amplitudes (Fig.VIII.17 e VIII.18) para
vias a 15 m da estrutura. Este panorama pode ser modificado com o aumento da
distância da via (Fig.VIII.19 e VIII.20) ao edifício. Mas considerando as distâncias
investigadas, o modelo St. Marcel é o que apresenta as menores amplitudes de
respostas.
-1.50E-01
-1.00E-01
-5.00E-02
0.00E+00
5.00E-02
1.00E-01
1.50E-01
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
PalácioLaVilletteSt.Marcel
Fig.VIII.17 - Comparação de resposta de Aceleração vertical no topo do edifício a 15 m
da ação (modo axial).
-3.00E-02
-2.00E-02
-1.00E-02
0.00E+00
1.00E-02
2.00E-02
3.00E-02
0 50 100 150 200
Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
LaVillettePalácioSt.Marcel
Fig.VIII.18 - Comparação de resposta de deslocamento vertical no topo do edifício a
15m da ação (modo axial).
210
0.00E+00
2.00E-02
4.00E-02
6.00E-02
8.00E-02
1.00E-01
1.20E-01
1.40E-01
0 20 40 60 80 100 120
Distância da ação (m)
Acel
. pic
o (m
/s2 )
PalácioLaVilletteSt.Marcel
Fig.VIII.19 – Comparação do decaimento de valores pico de aceleração vertical com
acréscimo da distância entre a fonte de excitação e a estrutura.
0.00E+00
5.00E+00
1.00E+01
1.50E+01
2.00E+01
2.50E+01
3.00E+01
0 50 100 150
Distância da ação (m)
Desl
oc. p
ico
(mm
)
PalácioLaVilletteSt.Marcel
Fig.VIII.20 - Comparação do decaimento de valores pico de desloc. vertical com
acréscimo da distância entre a fonte de excitação e a estrutura.
211
VIII.5. EXPLOSÃO
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
22.5
0 1 2 3
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
PalácioLa VilletteSt Marcel
Fig.VIII.21 - Comparação de resposta de Aceleração transversal no topo do edifício a
40 m da explosão subterrânea.
Considerando uma mesma carga de explosão (w = 9,36 kg) para os 3 modelos,
nota-se claramente com as histórias no tempo mostradas na Fig.VIII.21 que o modelo
Palácio é destacadamente o mais susceptível a ter problemas relacionados ao conforto
humano, bem como a ocorrência de danos estruturais. Atribui-se tal fato a problemas de
concepção estrutural no modelo Palácio, como componentes estruturais esbeltos e
pouco travejados.
212
VIII.6. VENTO
Observa-se nas Figs.VIII.22 e VIII.23 que, embora nenhuma estrutura aponte
para que ocorram problemas relativos à percepção humana causados pela ação do vento,
a comparação das respostas dinâmica entre os três modelos revela mais um vez que o
modelo Palácio pode ser considerado o mais susceptível, sendo o menos susceptível o
modelo St. Marcel, tanto com respeito a aceleração quanto a deslocamento. Atribui-se
tal fato ao mesmo motivo dado no caso anterior a esta maior susceptibilidade do modelo
Palácio em relação ao demais modelos, ou seja, problemas de concepção estrutural
principalmente.
-6.00E-03
-4.00E-03
-2.00E-03
0.00E+00
2.00E-03
4.00E-03
6.00E-03
0 20 40 60 80 100
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
PalácioLaVilletteSt.Marcel
Fig.VIII.22 - Comparação de resposta de Aceleração transversal no topo do edifício.
-5.00E-04-4.00E-04-3.00E-04-2.00E-04-1.00E-040.00E+001.00E-042.00E-043.00E-044.00E-045.00E-04
0 20 40 60 80 100
Tempo (s)
Desl
ocam
ento
(m)
PalácioLaVilletteSt.Marcel
Fig.VIII.23 – Comparação de resposta de Deslocamento transversal no topo do edifício
213
Capítulo IX
Conclusões e Sugestões
IX.1. CONCLUSÕES
Os resultados apresentados neste trabalho revelam a importância de uma análise
detalhada e criteriosa da sensibilidade estrutural estática e dinâmica de edifícios
residenciais típicos de regiões urbanas. Tal análise pode contribuir para a tomada de
decisões quanto a reforço estrutural (aumento de rigidez) ou elaboração de projetos para
redução e controle de vibrações excessivas, com adoção de atenuadores como medida
prática para controlar os problemas de vibrações (em termos de deslocamento ou
aceleração) acima de limites inaceitáveis.
Revela-se ainda, que um estudo de sensibilidade mais detalhado pode destacar
prováveis deficiências nas concepções estruturais dos edifícios, já construídos e em
pleno uso. Por outro lado, se adotado como uma fase de projeto, a análise de
sensibilidade permite reformular a concepção projetiva original, caso identificado,
dentre as prováveis fontes de vibrações, alguma capaz de excitar o edifício causando
desconforto aos ocupantes/usuários e até mesmo danos aos componentes arquitetônicos
e estruturais.
Pode se enfatizar aqui os resultados satisfatórios obtidos com os modelos
simplificados na avaliação da sensibilidade estrutural. Observa-se também a
necessidade da inclusão da rigidez cisalhante associadas aos painéis de alvenaria,
principalmente nas concepções estruturais com componentes muito esbeltos.
214
Deve-se notar e enfatizar que estes resultados teóricos, para respostas dinâmicas
das estruturas sob ação de vários carregamentos, foram comprovados por medições
experimentais realizadas em edifícios existentes.
Considerando aquelas fontes de vibrações que ocorrem na superfície do solo ou
próxima dela, no que diz respeito à transmissão da energia elástica, comprova-se
também o predomínio das ondas Rayleigh para as distâncias investigadas, dada a boa
correlação entre as respostas numéricas (que levam em conta apenas ondas Rayleigh) e
as experimentais. As respostas experimentais ratificam também a ocorrência de
movimentos verticais e horizontais estimulados pelas componentes do movimento das
partículas do solo característicos da referida onda.
Por todas as análises e conclusões relacionadas fica clara a importância de uma
análise de sensibilidade estrutural de edificações esbeltas às ações estáticas e dinâmicas.
IX.2. SUGESTÕES
Como sugestões para continuidade desse trabalho pode-se citar:
• Estudar a propagação de ondas através da estrutura de concreto armado ou
metálica induzidas tanto por ações externas quanto por aquelas originadas
em algum ponto na própria estrutura, tais como as associadas o operação de
aparelhos de ar condicionado, de elevadores, além do tráfego de veículo em
edifícios garagem, etc.
• Analisar novos modelos de estruturas reais com dimensões e concepções
diferentes daquelas já estudadas, sobre as quais possam ser realizadas
medições experimentais.
• Investigar o aumento da rigidez aparente das vigas devido à ocorrência de
paredes confinadas, com o objetivo de melhorar os modelos aporticados
tridimensionais para edifícios residenciais em concreto armado ou estruturas
metálicas.
• Aprimorar as rotinas dos modelos computacionais simplificados para
possibilitar a associação de múltiplos graus de liberdade na obtenção das
respostas dinâmicas.
215
• Reunir as diversas rotinas (aquelas já desenvolvidas com outras que por
ventura sejam elaboradas) de cada fonte de excitação em um programa único
dando ao usuário a oportunidade de optar por qualquer das análises.
• Investigar a questão da sensibilidade a recalque diferencial de fundação
principalmente no que se refere à abertura de fissuras nos painéis de
alvenaria, podendo utilizar modelos de análise que levem em conta a não
linearidade física do material.
• Investigar a questão da sensibilidade da estrutura quanto a fenômenos
reológicos e perda de seção transversal de componentes estruturais –
particularmente pilares - por deterioração dos materiais.
• Investigar a possibilidade de introduzir funções de propagação de onda em
solos representados por elementos finitos tridimensionais em programas
comerciais para análise tridimensional de estruturas.
• Incluir na análise de sensibilidade de edifícios o efeito P-delta nas colunas.
216
ANEXO A
217
Anexo A Avaliação do Comportamento Estrutural sob Critérios dos Estados Limites A.1. AVALIAÇÃO SOB CRITÉRIO DE DANOS
É importante salientar que normas técnicas, recomendações e critérios de projeto
devem ser sempre observados pelos engenheiros, e usados como guias práticos,
auxiliando-os na tomada de decisões. Entretanto, em certos casos, como por exemplo,
de danos estruturais provocados por diversas fontes de vibrações, são inúmeros os
critérios aplicáveis. Cabe então ao engenheiro projetista usar seu próprio discernimento
para avaliar as condições existentes e aplicar os critérios mais apropriados. Baseado em
experiências anteriores, engenheiros pesquisadores têm, nas últimas décadas, buscado
metodologias e critérios racionais que permitam avaliar as condições mais prováveis de
danos estruturais. Valores de aceleração, estimados teoricamente ou medidos
experimentalmente, acima ou abaixo de limites superiores ou inferiores prescritos em
normas técnicas não implicam necessariamente na ocorrência de danos, ou tampouco na
total integridade da estrutura ao longo da vida em serviço. Grande acúmulo de
experiência em atividades construtivas e um grande banco de dados obtidos com
medições de vibrações e correlações com vários tipos de danos são necessários para que
se possa recomendar valores limites adequados e realistas para os níveis de vibrações.
Alguns trabalhos técnicos (Bachmann,1995) alertam para a importância de se realizar
primeiro uma inspeção visual cuidadosa da estrutura sob investigação, para então
estimar, sob critérios apropriados, a sensibilidade do edifício e de suas fundações às
fontes diversas de vibração.
218
Na grande maioria dos casos, as vibrações induzidas por fontes de excitação
típicas do meio urbano não são suficientemente intensas para causar sérios danos às
estruturas dos edifícios residências e comerciais. Entretanto, seus efeitos podem
promover a degeneração dos pisos sobre as lajes e, principalmente, de componentes
arquitetônicos estruturais secundários tais como paredes de alvenaria, painéis divisórias,
ou ainda ampliar danos que por ventura já tenham sido provocados por falhas
construtivas ou projetivas. As vibrações induzidas por atividades construtivas nas
vizinhanças do edifício sob análise têm considerável efeito sobre tais elementos
estruturais secundários, principalmente aqueles com freqüências naturais de vibração
numa faixa entre 10 e 30 Hz, para a qual é maior a probabilidade de sofrerem excitações
próximas da ressonância. Numa faixa de freqüências entre 10 a 20 Hz elementos
estruturais secundários, especialmente lajes, e equipamentos podem ser excitados
próximos da ressonância. Exceto em casos excepcionais, ocorrerão danos estruturais
severos que impliquem em risco e comprometam a estrutura global do edifício.
Algumas pequenas fissuras podem ocorrer nos cantos das lajes, danos estes usualmente
confundidos com outros causados pelos efeitos combinados de retração e de variação de
temperatura ambiente e insolação das fachadas do edifício.
Outra fonte importante, mas indireta, de danos é o efeito das vibrações induzidas
no terreno (por exemplo por cravação de estacas, explosões subterrâneas,...etc) sobre o
estado de tensões nas camadas de solo sob a edificação. Estas vibrações podem causar
compactação de subsolos fofos produzindo recalques que podem resultar em
subseqüentes danos estruturais nos edifícios.
Na literatura técnica Bachmann (1995) certas faixas de amplitudes (estimadas ou
medidas) das respostas, em termos de aceleração, velocidade ou deslocamento, são
correlacionadas com prováveis danos nas estruturas e seus componentes. Na maioria
dos casos, os critérios de danos estão também associados ao tipo da fonte de excitação
dinâmica e, ocasionalmente, quantidade de energia embutida na ação geradora de
vibrações. Os critérios e identificação dos tipos de danos nas estruturas têm sido, em
geral, expressos em termos da velocidade pico de resposta, ou, no caso de vibrações
induzidas por propagação de ondas no solo, pela velocidade pico da partícula de solo.
219
As tabelas A1 a A5 e Fig. A1 a seguir apresentam resultados extraídos de
Bachmann (1995), que resumem experiências e medições realizadas por diversos
autores. Alguns são valores de velocidade pico para serem usados na avaliação das
vibrações no nível das fundações, outros devem ser aplicados à superfície do terreno
próximo ao edifício envolvido.
Tab.A.1 –Valores limites superiores de velocidade vertical Vmp (mm/s) de partícula de
solo recomendados para compactador vibratório de terreno (Bachmann,1995). Velocidade vertical
máxima da partícula [mm/s] Tipos de danos nos Edifícios
2 Risco de danos para ruínas e edificações de grande valor histórico
5 Risco de rachadura em edifícios residenciais com tetos e paredes rebocadas
10 Risco de danos em edifícios residenciais (sem tetos e paredes rebocadas)
10 – 40 Risco de danos para edificações em concreto, prédios industriais, etc.
Tab.A.2 – Valores máximos esperados de velocidade vertical Vme(mm/s) de partícula imposta por estaqueamento, compactação vibratória e tráfego (Bachmann,1995).
Classe das Edificações
Faixa de fre-quência onde o valor padrão é aplicável [Hz]
Velocidade resul-tante máxima, vi
[mm/s]
Velocidade má-xima estimada da partícula, vma
[mm/s] 1. Edificações industriais em concreto armado, construções em aço 10 – 30
30 – 60 12
12 – 18 7,2 – 12 7,2 – 18
2. Edifícios sobre fundações de concreto. Paredes em concreto ou de alvenaria
10 – 30 30 – 60
8 8 – 12
4,8 – 8 4,8 – 12
3. Assoalhos de andares superiores em feixes de madeira 10 – 30
30 – 60 5
5 – 8 3 – 5 3 – 8
4.Edifícios especialmente sensíveis e prédios históricos 10 – 30
30 – 60 3
3 – 5 1,8 – 3 1,8 – 5
220
Tab.A.3 - Valores limites superiores de velocidade vertical de partícula de solo Vmp(mm/s) imposta por tráfego de veículos recomendados para evitar danos na estrutura (Bachmann,1995).
Tipos de Edificações e fundações Velocidade vertical re-comendada, vmax [mm/s]
Edificações especialmente sensitivas e de valor histórico e cultural 1
Edificações recem construídas e/ou fundações sobre 2
Edificações sobre estacas de coesão 3
Edificações sobre estacas portantes ou estacas de atrito lateral 5
Tab.A.4 – Níveis de segurança para velocidade vertical de partícula Vseg (mm/s)
induzidas por vibrações devidas à explosão subterrânea para evitar danos em estruturas residenciais típicas (Bachmann,1995).
Vibração no solo – velocidade max da partícula, vmax [mm/s] Tipo de Estrutura
A baixa frequência* < 40Hz A alta frequência > 40HzCasas modernas, divisórias de interior 19 51
Casas velhas, revestimento em madeira, ripa para paredes de interior
13 51
* Todo espectro de valores pico dentro de 6 dB de amplitude da frequência predominante deve ser analisada.
Tab.A.5 – Risco de danos avaliado através de velocidade máxima vertical de partícula
Vmp(mm/s) induzida por vibrações em casas residenciais típicas sobre condições variadas de terreno (Bachmann,1995).
Velocidade máxima da partícula [mm/s] Areia, pedregulho, argila
Pedra ardósia, pedra calcário
Granito, arenito, gneiss Efeitos
18 35 70 Fratura não permssível
30 55 110 Fissura e ruína de argamassa
40 80 160 Fratura
60 115 230 Fratura grave
221
A Fig.A.1 apresenta valores de velocidade pico da partícula medidos no nível do
terreno em um ponto perto da estrutura e avaliados em termos de valores limites,
velocidade vertical máxima de partícula de solo, V, para danos a estrutura devido à
vibração. São diagramas que estabelecem valores limiares como função da freqüência
de vibração segundo 4 códigos: U.S. Office of Surface Mining (OSM), Deutsches
Institut für Normung (DIN), British Standards Institution (BSI) e Swiss Association of
Highway Engineers (SN).
Fig.A.1 – Resumo (Kim e Lee, 2000) das prescrições de normas de projeto para a
variação de velocidade pico da partícula (mm/s) com a freqüência (Hz) de
excitação.
222
A.2.. AVALIAÇÃO SOB CRITÉRIO DE CONFORTO DOS USUÁRIOS
Para atender a requisitos de conforto dos ocupantes de uma edificação é
imperativo abordar o problema sobre uma base racional. É necessário estudar as causas
de desconforto humano do ponto de vista fisiológico e psicológico. Nota-se que são
pontos de vista que por si só apontam para características marcadamente individuais (o
corpo humano já é suficientemente complexo). Detalhes como porte físico, sensações de
natureza psíquicas, estado de envolvimento com o meio, o próprio meio, a capacidade
individual de suportar uma condição adversa, posição do corpo, direção da vibração,
duração da vibração, etc, afetam as reações humanas.
O problema é muito complexo e os fatores também numerosos. Embora algumas
reações humanas sejam mais comuns, não há um único critério para avaliar conforto
humano que contenha todas as variações possíveis. Existem alguns critérios de
tolerância que levam em conta situações particulares, podendo-se citar a ISO 2631/1 –
2, BSI 6472, ANSI 53-29-1993 e NBR 8800 anexo K.
O assunto tratado na presente seção esta relacionado aos efeitos prejudiciais a
pessoas causados essencialmente por ações dinâmicas nas edificações. Questões de
conforto humano discutidos nesta seção serão posteriormente considerados na avaliação
das respostas em termos de aceleração, velocidade e deslocamento para os modelos
investigados. Na literatura as grandes motivações que conduzem os estudos sobre
conforto humano estão fundamentados principalmente em aspectos ligados à dinâmica
dos solos (propagação e atenuação) i.e. aos terremotos, e também, por vezes, tratam da
questão específica das vibrações induzidas nas estruturas pelo vento.
A.2.1. Avaliação sob Critérios da ISO 2631/1 – 2 para Conforto dos Usuários
Toda uma ampla variedade de influências e efeitos torna bastante difícil
quantificar de modo objetivo os níveis de aceleração para as quais uma pessoa
experimenta a sensação de desconforto. A noção de conforto ou desconforto de uma ou
mais pessoas submetidas a acelerações em certas direções passa a ser uma questão
muito mais subjetiva gerando uma série de controvérsias quanto aos valores aceitáveis
das acelerações impostas. Há apenas um ponto de indiscutível concordância: a fronteira
223
da percepção em que o ser humano passa a perceber as acelerações induzidas na
estrutura sobre a qual ele se encontra.
Mas para procurar caracterizar as faixas de parâmetros práticos para avaliação
do conforto humano surgiu a ISO 2631/1, a qual define três limites ligados à sensação
humana, relacionadas ao tempo de exposição e nível de aceleração a que uma pessoa
fica exposta.
I – Limite do conforto reduzido – está relacionado com o nível de aceleração a
partir do qual as pessoas sentem-se incomodadas pela vibração, tendo mais dificuldades
para executar tarefas que exigem certa concentração, tais como comer, ler e escrever.
II – Limite de queda de eficiência – define o limite além do qual a exposição
prolongada à vibração pode trazer um significativo risco de queda de eficiência na
atividade desenvolvida pela pessoa, particularmente fadiga, quando tal exposição é
demasiadamente prolongada. O limite associado à queda de eficiência é definido pela
ISO 2631/1 como sendo três vezes maior que o limite associado ao conforto reduzido.
III – Limite de tolerância – é o limite em termos de valores máximos de
aceleração que uma pessoa pode tolerar de modo seguro, para qualquer faixa de
frequência, duração e direçãoda vibração. Este limite de tolerância é estimado em duas
vezes superior ao limite de queda de eficiência.
São apresentadas algumas curvas da ISO 2631/1 na Fig.A.3, relacionadas ao
limite de queda de eficiência para acelerações az, conforme as direções definidas na
Fig.A.2, sendo todas elas função do tempo de exposição e o do nível de aceleração. As
ordenadas do gráfico na Fig. A.3 se referem à raiz média quadrática – RMS (root mean
square), e podem ser convertidas em valores pico utilizando a expressão:
Λ
Γ=
smrm
a a (A.1)
onde a m – pico máximo de aceleração admissível;
a r m s – RMS admissível da aceleração obtida através das curvas da ISO;
Γ - constante que depende do caso analisado, sendo definida para cada
limite:
31=Γ limite I;
224
limite II; 1=Γ
limite III.; 2=Γ
Λ - constante para conversão do valor RMS para o valor de pico para um
harmônico simples, sendo:
22=Λ
Obs.: Nota-se que o Limite de Conforte Reduzido é o que apresenta menores valores e
que portanto é o que mais facilmente pode ser atingido.
Já ISO 2631/2 faz uma nova consideração, quanto ao conforto humano, muito
menos rigorosa que a estabelecida pela ISO 2631/1. Muito embora esta última seja
ainda útil para os casos em que o tempo de exposição deva ser levado em conta, nota-se
que os valores para picos de aceleração, tomados no limite de conforto reduzido (limite
I), são elevados se comparados com aqueles obtidos a partir da curva básica (associada
ao limiar da percepção humana às vibrações) na ISO 2631/2. Essa considera que grande
parte dos problemas na engenharia, relativos a conforto humano, ocorrem logo quando o
limiar da percepção humana é ultrapassado. Para confirmar esta comparação seguem as
Figs.A.3 e 4, para limite de queda de eficiência (ISO 2631/1), e as Figs.(A.5 e 6), curva
básica para percepção humana (ISO 2631/2). Correspondem as Figs.A.3 e 5 a valores de
aceleração segundo a direção longitudinal Z (Fig.A.2), assim como, correspondem as
Figs.A.4 e 6 a valores de aceleração ambas segundo as direções X e Y. Apesar da
fronteira ou limiar da percepção humana ser mais adequada sua determinação é muito
variável sendo necessário a multiplicação da aceleração obtida nas respectivas curvas
básicas por fatores segundo certas ocorrências conforme Tab.A.6.
A diferença básica entre os critérios da ISO 2631/1 e da ISO 2631/2 é que o
primeiro corresponde a limites que levam em conta o tempo de exposição e apresenta 3
diferente limites de tolerância. Por sua vez, o segundo demonstra estar preocupado
simplesmente com a tatilidade do movimento, ou seja, o limiar da percepção humana,
por considerar que a grande demanda de ações judiciais movidas por problemas de
conforto são relativas a este limite.
225
Fig.A.2 –Direções do sistema de coordenadas.
De um modo geral para estipular critérios de conforto é importante observar a
posição dos ocupantes em relação ao tempo de exposição, usando a ISO 2631/1, em que
estes estejam submetidos às oscilações em uma dada direção relevante (segundo modos
de resposta global ou local da estrutura) ou até mesmo uma combinação delas. Por
exemplo, determinadas ocupações em que exigem que a pessoa fique parada sobre a laje
(de pé ou sentada) torna-a perceptível à amplitude de oscilação vertical de movimento
de flexão da laje. Tal movimento pode originar-se no caminhar de outras pessoas na
própria laje, ou na ação de bate-estaca próximo à estrutura do prédio, ou por tráfego de
veículos nas proximidades, ou por explosão, etc. O desconforto pode ainda se destacar
por oscilações na direção horizontal, considerando a pessos na posição deitado, cujas
causas podem surgir dos efeitos da ação do vento nos andares superiores dos edifícios
altos, ou por qualquer outro tipo de ação que desperte algum movimento lateral global
do edifício.
A.2.2. Exemplo de Aplicação
Como forma de ilustrar a utilização das curvas de tolerância de ambos critérios
da ISO 2631, aproveita-se para reiterar, no exemplo a seguir, que valores pico de
aceleração, por exemplo, na direção Z (Fig. A.3), classificados apenas como conforto
reduzido (limite I) podem superar em 40%, no mínimo, o limiar de percepção humana.
226
Seja uma freqüência fundamental próxima de 6,3 Hz. Para obter o valor da
aceleração pico com o qual se poderia constatar uma condição de conforto reduzido
para um tempo de exposição de 1 min, basta, a partir da 1a. curva da Fig.A.3 (curvas
para perda de eficiência), obter sobre a ordenada o valor da aceleração correspondente a
6,3 Hz e dividi-lo por 3,15. Como se segue:
ISO 2631/1
Tempo de Esposição: 1 min
Freqüência fundamental: 6,3 Hz
Aceleração na direção Z para limite de perda de eficiência (Fig.A. 3): 2,8 m/s2.
Aceleração para limite de conforto reduzido:
AC = 2,8/3,15 = 0,89 m/s2
Se fosse considerada a mesma freqüência 6,3 Hz, levando em conta uma
situação que se pudesse esperar o menor rigor possível, sob o ponto de vista da ISO
2631/2, ou seja, os ocupantes de uma oficina, por exemplo, já estariam em condições de
perceber vibrações para acelerações bem menores que a obtida acima, conforme se
segue.
Na Fig.A.5, o valor da aceleração 5 x10-3 m/s2, que corresponde a ordenada da
curva para uma freqüência 6,3 Hz, deve ser multiplicado pelo fator de correção 128,
referente a oficina em período diurno numa faixa de vibrações transientes com diversas
ocorrências por dia (conforme Tab.A.6), conduzindo a uma aceleração final de 0,64
m/s2. Constata-se então que tal valor é quase 40% menor que aquele obtido pela ISO
2631/1,ou seja, 0,89 m/s2 para 1 min de exposição. Conclui-se que, levando em conta
que a simples percepção de vibrações é responsável por grande parte das ações judiciais
capazes de paralizar de forma definitiva ou interromper temporariamente as atividades
da fonte causadora de vibração, a ISO 2631/2 é um bom critério a ser adotado por
engenheiros e projetista a fim de se tomar medidas que tentem controlar ou minimizar o
transtorno causado por vibrações excessivas.
227
Tab.A.6 – Faixa de valores multiplicativos das acelerações obtida da curva básica.
Locais Horário de
utilização
Vibração contínua
Ou intermitente
Vibr. Transiente com
diversas ocorrências por dia
Áreas críticas de trabalho
(hospitais lab.precisão,etc)
Diurno
Noturno 1 1
Residência Diurno
Noturno
2 – 4
1,4
30 – 90
1,4 - 20
Escritório Diurno
Noturno 4 60 – 128
Oficinas Diurno
Noturno 8 90 – 128
228
Ace
lera
ção
Dire
ção
Z (v
alor
RM
S –
m/s
2 )
Freqüência (Hz)
Fig.A.3 – Limites de tempos de exposição relativo a perda de eficiência. Aceleração az.
ISO 2631/1
Ace
lera
ção
Dire
ção
X e
Y
(val
orR
MS
–m
/s2 )
Freqüência (Hz)
Fig.A.4 – Limites de tempos de exposição relativo a perda de eficiência. Aceleração na
direção x e y. ISO 2631/1.
229
Ace
lera
ção
Dire
ção
Z (v
alor
RM
S–
m/s
2 )
Freqüência (Hz)
Fig.A.5 – Curva de aceleração az da percepção do ser humano. ISO 2631/2.
Ace
lera
ção
Dire
ção
X e
Y
(val
or R
MS
– m
/s2 )
Freqüência (Hz)
Fig.A.6 - Curva de aceleração, na direção x e y da percepção do ser humano. ISO
2631/2.
230
A.2.3. Avaliação sob Critérios da BSI e ANSI
As recomendações levam em conta diferentes aspectos de sensibilidade humana.
Estas apresentam-se sob critérios baseados na freqüência, na duração da vibração e
podem ser expressas em termos de aceleração [Shock and Vibration], velocidade
[ASCE], ou deslocamento [Inst.Civil.Engrg]. A Fig.A.7 apresenta um resumo destes
diferentes valores e recomendações internacionais a cerca dos limites de intensidades de
vibrações que norteiam as avaliações de níveis de desconforto humano (incluindo BSI e
ANSI). Tem-se, para as avaliações em termos de aceleração, que o tempo de exposição
é da ordem de 5 a 20 minutos.
Fig.A.7 – Resumo de critérios de conforto tendo valores dados em PPA, PPV e PPD
com base em freqüência (Hz). Kim e Lee (2000)
A.3. CONFORTO HUMANO NAS EDIFICAÇÕES SOB AÇÃO DO VENTO
O movimento estrutural causado pela ação dinâmica do vento nos edifícios altos
tem despertado nos projetistas uma crescente preocupação quanto ao conforto de seus
ocupantes. Experiências têm sido realizadas em edifícios altos existentes para testar
alguns critérios de conforto humano. É muito difícil estabelecer um critério para
conforto dos ocupantes, já que as reações às oscilações laterais variam não somente
entre os indivíduos, mas também com a sua posição (i.e. direção da espinha dorsal)
dentro da edificação. Alguns fatores relevantes podem afetar a percepção ao movimento
e, portanto, o conforto dos ocupantes do edifício, tais como a altura, o deslocamento
lateral, velocidade, aceleração, a razão de variação na aceleração, a aceleração angular
231
ou a frequência do movimento. Podem ser considerados ainda a duração do movimento,
o seu período de recorrência e principalmente, como já mencionado, a direção de
vibração em relação a espinha dorsal. Todos estes fatores tornam o assunto bastante
complexo, o que exige grande disponibilidade de dados experimentais.
Quanto à ação do vento sobre edifícios pode-se considerar que seus efeitos
dependem de fatores específicos como altura e largura da edificação e ainda fatores ou
taxas de amortecimento. Edifícios mais altos, obviamente, têm, em geral, um maior
nível de sensibilidade às vibrações. A rigidez lateral da estrutura dos edifícios altos
pode, portanto, ser fator decisivo no conforto dos ocupantes. A partir da altura do
edifício pode-se estimar através da eq. A.2 a frequência fundamental do modo de flexão
lateral segundo o plano de menor inércia ou rigidez. A Fig.A.8 apresenta alguns
resultados para frequências fundamentais extraídos de medições experimentais ou
estimativas teóricas via programas computacionais complexos para análise de vibração
livres de edifícios altos, comparados com valores dados pela equação A.2.
Hz][h46 f e = , onde h é a altura [m]. (A.2)
Frequência de translação fundamental (Hz)
Altu
ra d
o ed
ifíci
o (m
) fe = 46/h
Fig.A.8 – Frequências fundamentais para edifícios altos. Bachmann (1995).
A percepção e aceitabilidade das pessoas são dadas em termos de valores limites
para aceleração em termos de g (aceleração da gravidade). A tabela A.7 a seguir fornece
alguns valores usados para aceleração:
232
Tab.A.7 –Percepção humana para vibrações em edifícios devido a vento. Percepção Limites de Aceleração
Imperceptível a < 0,005 g Perceptível 0,005 g < a < 0,015 g Incomodo 0,015 g < a < 0,05 g
Muito Incomodo 0,05 g < a < 0,15 g Intolerável a > 0,15 g
g – aceleração da gravidade
233
ANEXO B
234
Tab.B.1 - Características gerais dos Modelos
Mod01 (St.Marcel) Mod02 (La Villette) Mod03 (Palácio)
Dimensões (m) do térreo (em planta) 36,83 x 33,85 23,88 x 38,60 17,44 x 38,69
Dimensões (m)da torre (em planta) 31,00 x 16,00 15,22 x 44,05 17,44 x 38,69
No Pav.(garagem/uso comum) 2/1 2/1 1
Pé direito (m) 2,80/4,65 2,70/2,80 2,80
No Pav. residenciais 10 8 9
Pé direito (Pav.Tipo - m) 2,95 2,85 2,80
Total de pav.(m) 13 11 10
Altura do prédio 39,80 31,31 28,2
Tipo de Fundação Fundação Direta Perfis Metálicos, Trilhos Estaca de C.A.
No de sapatas 57 sapatas 59 blocos 36 blocos
No de colunas do térreo 57 59 36
No de colunas da torre 35 40 36
Massa (ρ − ton/m3) 2,5 2,5 2,5
Concreto Pp (γ − kN/m3) 25 25 25
Módulo de Elasticidade (kN/m2) 3,00 x 107 2,80 x 107 3,82 x 107
235
ANEXO C
236
Anexo C Critérios de Modelagem Apresenta-se a seguir alguns detalhes sobre a modelagem estrutural adotadas no
presente trabalho:
• Para seleção dos painéis de vedação em alvenaria de tijolos cerâmicos, substituídos
por diagonais equivalentes, foram considerados somente aqueles confinados em
quadros fechados formados por vigas e colunas. Este critério foi aplicado tanto para
os painéis sem aberturas quando os com apenas uma abertura (por exemplo área
equivalente a uma porta padrão 0,80m x 2,10 m).
• Para representar a rigidez da mola representando, em cada nó da discretização, a
reação lateral do solo sobre as estacas de fundação, adotou-se a expressão:
isolomola L . p . d . k K =
onde Kmola = rigidez de mola (kN/m);
ksolo = coeficiente volumétrico de reação lateral do solo (kN/m3);
d = diâmetro aparente da estaca (m);
p = profundidade (m) referente ao nó da discretização MEF onde existe um
elemento mola;
Li = comprimento do trecho (m).
• O amortecimento do solo é desconsiderado por falta de dados na literatura técnica
da geotecnia e fundações.
• A escolha dos modos fundamentais, para composição das respostas no tempo em
termos de aceleração e deslocamento da edificação, deve levar em conta o espectro
237
de energia da força de excitação e/ou a densidade de energia, além da função de
transferência do meio (solo).
a) A escolha dos 4 modos (21o modo; 28o modo; 34o modo; 37o modo), para a
composição das respostas no modelo St. Marcel (modelo 01) sob excitação de base
devido à explosão subterrânea, deveu-se a alta intensidade de energia de vibração
observada na densidade espectral de potência com a característica de banda larga.
(Fig.VI.25). Para os outros dois modelos estruturais (La Villette e Palácio), na
ausência de dados experimentais, foram tomados na análise os modos cujas
freqüências fossem próximas daquelas dos modo dominantes do modelo St. Marcel.
b) Quanto menor a distância entre a ação e o prédio maior a intensidade de energia
de vibração, e portanto uma faixa mais ampla de freqüências ou modos de vibração
desta edificação ficará sujeita ao efeitos do impacto. Deve-se considerar, entretanto,
que as maiores intensidades de energia, oriundas da cravação de estacas, ocorrem
para baixas freqüências, como mostram as Figs.VI. 9 e VI.10. Assim, pode-se
argumentar que os modos fundamentais de vibração da estrutura é que serão mais
excitados e, por isso, as respostas dinâmicas podem ser aproximadamente
representadas tomando-se apenas os primeiros modos.
• O critério de modelagem da excitação de base num prédio com fundações em
estacas, adotado nos modelos analíticos simplificados, leva em conta que os modos
de vibração extraídos do modelo tridimensional já incluem os efeitos das próprias
estacas e interação como o solo. Portanto as propriedades dinâmicas do sistema
estrutural já estão todas consideradas na modelagem, sendo o ponto de aplicação da
força de excitação imaterial num modelo que utiliza graus de liberdade
generalizados, i.e. modo de vibração.
• Características de propagação das ondas Rayleigh:
A velocidade de propagação cR da onda Rayleigh depende das propriedades do
meio (solo). Considerando os exemplos dos solos analisados, argila mole e argila
238
rija, as propriedades são as seguintes:
Argila Mole
Es = 25 Mpa 30,0=ν
)1(2EG s
s ν+= = 107 N/m2
ρ = 1800 kg/m3 ρ
= s2
Gc = 74,5 m/s
cR = 0,95 c2 = 70,81 m/s onde Es = módulo de elasticidade longitudinal do solo;
Gs = módulo de elasticidade transversal do solo;
ν = coeficiente de Poisson;
ρ = massa específica do solo;
c2 = velocidade de propagação da onda cisalhante;
cR = velocidade de propagação da onda de Rayleigh.
Argila Rija
Es = 40 Mpa 30,0=ν
)1(2EG s
s ν+= = 15,38 x 106 N/m2
ρ = 2000 kg/m3 ρ
= s2
Gc = 87, 69 m/s cR = 0,95 c2 = 84,16 m/s
239
Referências Bibliográficas Athanasopoulos, G.A., Pelekis, P.C., Ground Vibrations from Sheetpile
Driving in Urban Environment: Measurements, Analysis and Effects on
Buildings and Occupants, Soil Dynamics and Earthquake Engineering,
Vol.19, pp 371-387, febr., 2000.
Bachmann, H. et al, Vibration Problems in Structures-Practical Guidelines,
Birkhäuser Verlag Basel,1995.
Balendra, T., Wang, C.M., Cheong, H.F., Effectiveness of Tuned Liquid
Column Dampers for Vibrations Control of Towers, Engineering
Structures, Vol. 17(9), jpp 668-675, 1995.
Barkan, D.D., Dynamics of Bases and Foundations, McGraw-Hill Book
Company, 1962.
Battista, R.C., Avaliação das Vibrações Induzidas por Várias Fontes de
Excitação na Estrutura do Edifício La Villette, Relatório COPPETEC ET-
150913, RT-I, Condomínio do Edifício La Villette, Rio de Janeiro.
Dezembro de 1999.
Battista, R.C., Avaliação das Vibrações Induzidas por Várias Fontes de
Excitação na Estrutura do Edifício La Villette – Medições Experimentais e
Correlação com Estimativas Teórica do Modelo Estrutural, Relatório
COPPETEC ET-150913, RT-II, Condomínio do Edifício La Villette, Rio
de Janeiro. Março de 2000.
Battista, R.C., Avaliação do Estado Atual de Segurança e de Integridade das
Estruturas do Edifício Saint Marcel – Análise de Sensibilidade da
Estrutura a Efeitos Causados por Construções Vizinhas, Condomínio do
Edifício Saint Marcel, Rio de Janeiro, Abril de 2001.
Battista, R.C., Instrumentação e Medições das Vibrações Induzidas por
Tráfego de Veículos Pesados no Prédio Histórico do Museu da
Inconfidência e Avaliação dos Efeitos dessas Vibrações sobre a
Propagação das Trincas nas Paredes de Alvenaria Pesada. Ouro Preto,
MG. Dezembro 1996.
240
Battista,R.C., Magluta,C., Spectator-Induced Vibration of Maracanã football
stadium, In: Proceedings of the Second European Conference on Structural
Dynamics: Eurodyn 93, pp. 985-992, Rotterdam, Jun.1993.
Battista, R.C., Vibrações Estruturais Induzidas por Propagação de Ondas
causadas por Explosões para Excavações Subterrâneas do Metrô-Rio.
Condomínio do Edifício Saint-Marcel, Botafogo. Rio de Janeiro. Junho
1997.
Battista, R.C., Vibrações Induzidas por Explosões nas Fundações e Estrutura
do Ed. St. Marcel. Relatório COPPETEC ET-150761.Condomínio do
Edifício Saint-Marcel, Botafogo. Rio de Janeiro. agosto 1997.
Blessmann, J., Aerodinâmica das Construções, Sagra, Porto Alegre, R.S.,
Brasil, 2a. ed., 1990 [263pp].
Blessmann, J., Introdução ao Estudo das Ações Dinâmicas do Vento, Editora
da Universidade – UFRGS, Porto Alegre, R.S., Brasil, 1998.
Brigham, E.O., The Fast Fourier Transform, Prentice-Hall, Inc.,Englewood
Cliffs, New Jersey, 1974.
Bulletim dínformation no 209, Vibration Problems in Structures – Practical
Guidelines, CEB – Comité Euro-Internacional du Beton.
Carvalho, E.M.L., Battista, R.C., Blast-Induced Vibrations in Urban
Residential Buildings, Structures & Buildings, The Institution of Civil
Engineers, No 149, Issue 4, Pags 1-11, october 2002.
Chaker, A. A., Cherifati, A., Influence of Masonry Infill Panels on the
Vibration and Stiffness Characteristics of R/C Frame Buildings,
Earthquake Engng. Struct. Dyn., Vol.28, pp 1061-1065, 1999.
Chang, F.K., Wind and Movement in Tall Buildings, Civil Engineering,
ASCE, pp 70-72, August 1967.
Chiostrini,S., Lancieri, F., Marradi, A., et al, Numerical Evaluation and
Experimental Measurements of Traffic-Induced Vibrations, Proceedings of
the Seventh CMEM Computational Methods and Experimental
Measurements, Comp. Mec. Publ, Capri, Italy, may 1995.
241
Ciongrandi, A., Cours de Génie Parasismique, Earthquake Engineering
Training Course, Organisme de Contrôle Technique de al Constructions,
Alger, Algeria, 1983.
Clough, R.W., Penzien,J., Dynamics of Structures, Second Edition, McGraw-
Hill, New York, 1993.
Davenport, A. G., Applications of Statistical Concepts to the Wind Loading of
Structures, Proc. Inst. Civil Engrs. 19, pp 449-472, 1961.
Deeks, A.J., Randolph, M.F., Analytical Modelling of Hammer Impact for Pile
Driving, Int. J. for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,
Vol. 17, pp 279-302, 1993.
Doyle, J.F., (1989), Wave Propagation in Structures: An FFT-based Spectral
Analysis Methodology, Springer, New York.
Doyle, J.F., Wave Propagation in Structures – Spectral Analysis Using Fast
Discrete Fourier Transforms, Springer, New York, 1997.
Ewing,W.M., Jardetzky,W.S., Press,F., Elastic Waves in Layered Media,
McGraw-Hill Book Company,1957.
Gambarotta,G., Lagomarsino,S., Damage Models for the Seismic Response of
Brick Masonry Shear Walls. Part I: The Mortar Joint Model and Its
Applications, Earthquake Eng. Struct. Dyn. 26, 1997, pp.423-439.
Gambarotta,G., Lagomarsino,S., Damage Models for the Seismic Response of
Brick Masonry Shear Walls. Part II: The Continuum Model and Its
Applications, Earthquake Eng. Struct. Dyn. 26, 1997, pp.441-462.
Goldberg,J.L., Meldrum,B.H., Drew, The Response of High-Rise and
Domestic Buildings to Ground Vibration from Blasting, Civil Engineering
Transactions, 1985, pp.251-261.
Gonchorovski, G., La Rovere, H.L., Comparação entre Modelos Planos e
Tridimensionais para Análise de Paredes em Edifícios em Alvenaria
Estrutural, XXIX Jornadas Sudamericanas de Ingenieria Estructural, Punta
Del Este, Uruguai, novembro de 2000.
Gutowski, T.G., Dym, C.L., Propagation of Ground Vibration: A Review, J.
Sound and Vibration, Vol. 49(2), pp 179-193, 1976.
242
Harris, C. M., and Crede, C. E., Shock and Vibrations Handbook, 2 nd ed.,
McGraw-Hill Book Co., USA 1976.
Hendry, A.W., Sinha, B.P., Davies, S.R., Design of Masonry Structures,
London, ed. E & FN Spon, 1997.
Holmes, M., Steel Frames With Brick Work and Concrete in-Filling, Instn.
Civ. Engrs., London, Vol.19, pp 479-498, 1961.
Hunt, H.E.M., Modelling of Road Vehicles for Calculation of Traffic-Induced
Ground Vibration as a Random Process, vol. 144(1), pp 41-51, 1991.
Hunt, H.E.M., Stochastic Modelling of Traffic-Induced Ground Vibration,
Journal of Sound and Vibration, Vol. 144(1), 1991, pp. 53-70.
ISO 2631/1, Evaluation of Human Exposure to Whole-Body Vibration:
General Requirements, Part 1, International Standards Organisation,
Geneva, 1985.
ISO 2631/2, Evaluation of Human Exposure to Whole-Body Vibration:
Continuouns and Shock-Induced Vibration in Buildings (1 to 80 Hz), Part
2, International Standards Organisation, Geneva, 1989.
Kim, D.S., Lee, J.S., Propagation and Attenuation Characteristics of Various
Ground Vibrations, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol.19,
pp 115-126, 2000.
Kim, D.S., Lee, J.S., Propagation and Attenuation Characteristics of Varios
Ground Vibrations, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol.19,
pp 115-126, 2000
King, G.J.W., Pandey, P.C., The Analysis of Infilled Fram Using Finite
Elements, Proc. Instn. Civ. Engrs, Part 2, pp 749-760, Dec.1978.
Lamb,H., On the Propagation of Tremors over the Surface of an Elastic Solid,
Philosophical Transactions of the Royal Society, London A203, 1-42,
1904.
Lee, J.S., Pande, G.N., Kralj, B., A Compative Study on Approximate Analysis
of Masonry Structures, Materials and Structures, Vol.31, pp 473-479,
Aug-Sept 1998.
243
Lee, J.S., Pande, G.N., Middleton et al, Numerical Modelling of Brick
Masonry Panels Subject to Lateral Loading, Computers and Structures,
Vol.61 (4), pp 735-745, 1996.
Liaum, T.C., Kwan, K.H., Non-Linear Analysis of Multistorey Infilled
Frames, Proc. Instn. Civ. Engrs, Part 2, Vol.73, pp 441-454, june, 1982
Liaum, T.C., Lee, S.W., On the Behaviour and the Analysis of Multistorey
Infilled Frames Subject to Lateral Loading, Proc. Instn. Civ. Engrs., Part 2,
Vol.63, pp 641-656, sept. 1977.
Liyanapathirana, D.S., Deeks, A.J., Randolph, M.F., Numerical Analysis of
Soil Plug Behaviour Insid Open-Ended Piles During Driving, Int. J.
Numer. Anal. Meth.Geomech., Vol.22, pp 303-322, 1998.
Lord Rayleigh, On Waves Propagated Along the Plane Surfaces of an Elastic
Solid, Proc.London Math. Soc., 17, pp 4-11, 1885.
Madan, A., Reinhorn, A.M., Mander, J.B. et al, Modeling of Masonry Infill
Panels for Structural Analysis, J. Struct. Engr., Vol. 123 (10), pp 1295-
1302, 1997.
Mainstone, R.J., On the Siffness and Strength of Infilled Frames, Proc.
Supplement (IV), Paper 7360s, Instn of Civ. Engrs., London, England,
1971.
Moreira,T.V., Efeitos de Shear Lag em Edificações Tubulares sob Cargas
Laterais, [Rio de Janeiro], 1996, 105 (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia
Civil, 1996).
Nakamura, Y., Mizota, T., Torsional Flutter of Rectangular Prisms, J. Engr.
Mech. Div., ASCE, Vol. 101(2), pp 125-142, 1975.
NBR-6123/87/Err 90 (NB-599) – Forças Devidas ao Vento em Edificações,
CB – 2 Comitê Brasileiro de Construção Civil, ABNT – Associação
Brasileira de Normas Técnicas, 1990.
Pottinger, M.G., Yager, T.J., The Tire Pavement Interfase, American Soc.
Testing and Materials (ASTM), Special Techinical Publication 929,
Baltimore, MD, 1986.
244
Richart,F.E., Hall,T.R., Woods,R.D., Vibrations of Soils and Foundations,
EnglewooCliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.
Rigas, F., Sebos, I., Amplification Effects of Soil Stratifications on Ground
Stress Waves, Journal of Geotechinical and Geoenvironmental
Engineering, vol. 125 (7), pp 611-614, July 1999.
Saneinejad, A., Hobbs, B., Inelastic Design of Infilled Frames, J. Struct.
Engr., Vol. 121 (4), pp 634-650, 1995.
Saul,W.E., Jayachandran,P., Peyrot,A.H., Response to Stochastic Wind of N-
Degree Tall Buildings, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol.102,
May, 1976, pp.1059-1075.
Seible, Frieder, La Rovere, H.L., Kingstey, G.R., Nonlinear Analysis of
Reiforced Concrete Masonry Shear Wall Structures – Monotonic Loading,
The Masonry Society Journal, Aug., pp 60-69, 1990.
Shinozuka, M., Jan, C.M., Digital Simulation of Random Processes and Its
Applications, Journal of Sound and Vibration, Vol.25(1), pp 111-128,
1972.
Simiu, E. & Scanlam, R., Wind effects on Strutures, 3 rd ed. Wiley & Sons,
New York.
Singh, H., Paul, D.K., Sastry, V.V., Inelastic Dynamic Response of Reiforced
Concrete Infilled Frames, Computers & Structures, Vol. 69, pp 685-693,
1998.
Stafford Smith, B., Carter, C., A Method of Analysis for Infill Frames, Proc.
Instn. of Civ. Engrs., London, Vol.44, pp 31-48, 1969.
Tahar, Interaction entre Ossture en Béton Armé e Maçonnerie de Briques
Creuses sous Sollicitations de Type Sismique, Docteur-Ingénieur Thesis,
Ecolo Nationale des Ponts e Chaussées, Paris, 1984.
Timoshenko, S.P., Gere, J.M., (1961), Theory of Elastic Stability, McGraw-
Hill, Kogakusha, LTD, Tokyo, Japan.
Timoshenko, S.P. and Goodier, J.N. Theory of Elasticity, New York,
McGraw-Hill International Editions, Third Edition, pp. 485-513, (1970).
245
Thiruvengadam, V., On the Natural Frequencies of Infilled Frames,
Earthquake Engng. Struct. Dyn., Vol.13, pp 401-419, 1985
Tomazevic, M., Klemenc, I., Seismic Behaviour of Confined Masonry Walls,
Earthquake Engn. Struct. Dyn, Vol.26, pp 1059-1071, 1997.
Wang, T.L., Huang, D., Cable-Stayed Bridge Vibrations Due to Road Surface
Roughness, J. Struct. Engr., ASCE, Vol. 118 (5), pp 1354-1374, 1992.
Wolf, J.P., Dynamic Soil-Structure Interaction, New Jersey, Prentice-Hall,
1985.
246
