Jos Antnio da Silva Fernandes

INTUIES E APRENDIZAGEM DE PROBABILIDADES Uma Proposta de Ensino de Probabilidades no 9 Ano de Escolaridade

Tese de Doutoramento em Educao(rea do conhecimento de Metodologia do Ensino da Matemtica) sob a orientao da Doutora Conceio Almeida da Universidade do Minho

Universidade do MinhoBRAGA, 1999

autorizada a reproduo integral desta tese, apenas para efeitos de investigao, mediante declarao escrita do interessado, que a tal se compromete. O autor

ii

AGRADECIMENTOS Doutora Conceio Almeida pelo apoio prestado na orientao deste trabalho. As suas sugestes, crticas e a confiana que depositou no meu trabalho foram contribuies importantes para a sua realizao. Ao Doutor Manuel Cuia Sequeira, Director do Departamento de Metodologias da Educao, pelo apoio e incentivo dados realizao deste trabalho. Ao Instituto de Educao e Psicologia da Universidade do Minho pelas facilidades concedidas na utilizao dos seus servios. Ao Fundo Social Europeu por ter suportado os encargos financeiros com o docente que me substituiu durante o perodo de equiparao a bolseiro e com a aquisio de alguma bibliografia e material consumvel. Ao Centro de Estudos em Educao e Psicologia da Universidade do Minho pelo apoio financeiro concedido realizao deste trabalho. s Doutoras Conceio Duarte e Laurinda Leite pela sua disponibilidade em ouvirem e esclarecerem as minhas dvidas e por visionarem os questionrios usados na investigao. Ao Doutor Pedro Oliveira agradeo igualmente a sua participao na avaliao dos questionrios. Dra. Maria Margarida Constantino e ao Mestre Melo Alves pela sua contribuio na avaliao dos questionrios usados no estudo. Aos Conselhos Directivos das Escolas Secundria de S de Miranda, Secundria Carlos Amarante, Secundria Alberto Sampaio, Secundria de Maximinos, Bsica 2, 3 de Gualtar, Bsica 2, 3 Dr. Francisco Sanches e aos Directores Pedaggicos dos Colgios Teresiano e D. Diogo de Sousa pelas facilidades que me concederam na aplicao dos questionrios aos alunos. Aos professores de Matemtica, ao professor de Educao Fsica e professora de Portugus das turmas em que foram aplicados os questionrios por disponibilizarem o tempo das suas aulas e colaborarem na aplicao dos questionrios. Ao Conselho Directivo da Escola Bsica 2, 3 Dr. Francisco Sanches por ter permitido a realizao na sua escola de um dos estudos e pela disponibilidade que sempre manifestou para ultrapassar dificuldades surgidas. Ao grupo de Matemtica do 3 ciclo da Escola Bsica 2, 3 Dr. Francisco Sanches, e de modo particular Dra. Maria Jos Dias, Dra. Guiomar e Dra. Paula Viamonte pela sua participao no estudo. Dra. Maria Jos Dias agradeo ainda o ter facilitado o meu relacionamento na escola e o apoio nas mais variadas tarefas logsticas. Por fim, aos alunos que participaram no estudo, sem os quais no teria sido possvel realizar este trabalho. iii

RESUMO A investigao realizada compe-se de dois estudos: (1) um primeiro Estudo sobre intuies probabilsticas, em que se identificaram e caracterizaram intuies probabilsticas de alunos do 8 ano e do 11 ano, e (2) um segundo Estudo sobre o ensino de probabilidades, em que se concebeu, implementou e avaliou uma experincia de ensino contemplando as intuies probabilsticas em alunos do 9 ano, por comparao com um ensino tradicional. No primeiro estudo, formularam-se as trs seguintes questes de investigao: 1. Que intuies probabilsticas possuem alunos do 8 ano de escolaridade comparativamente com alunos do 11 ano de escolaridade? 2. H diferenas nas respostas correctas em relao s variveis ano escolar, desempenho em matemtica, sexo, ensino de probabilidades e interpretao do conceito de probabilidade, entre alunos do 8 ano e/ou do 11 ano de escolaridade? 3. H diferenas na confiana nas respostas, em relao s variveis ano escolar, desempenho em matemtica, sexo e ensino de probabilidades, entre alunos do 8 ano e/ou do 11 ano de escolaridade? Tendo por referncia estas questes de investigao, verificou-se que os alunos de ambos os anos escolares revelaram intuies mais limitadas e primitivas nas probabilidades em experincias compostas (e.g., lanar dois dados, trs moedas ou extrair duas bolas) do que nas probabilidades em experincias simples (e.g., lanar um dado, uma moeda ou extrair uma bola). Alm disso, as elevadas percentagens de respostas correctas obtidas na classificao de acontecimentos em certos, possveis e impossveis, sugerem que os alunos possuem intuies correctas sobre esta classificao de acontecimentos. Neste ltimo caso, os alunos revelaram mais dificuldades nos acontecimentos certos e/ou que envolviam os conectivos e, ou e no. Entre os alunos dos dois anos escolares, os alunos do 8 ano justificaram mais frequentemente as suas respostas a partir de comparaes baseadas em contagens e no facto de os acontecimentos serem possveis, e quase nunca referiram raciocnios gerais (raciocnios que garantem a escolha da resposta correcta). J no caso dos alunos do 11 ano, uma percentagem considervel de alunos referiram raciocnios gerais, nas experincias compostas recorreram a probabilidades das experincias simples envolvidas e menos frequentemente referiram-se ao facto de os acontecimentos serem possveis. Entre os alunos do 11 ano, o ensino de probabilidades, por que alguns destes alunos tinham passado no 9 ano, favoreceu a adeso a raciocnios gerais nas experincias simples e no se salientou qualquer impacto nas experincias compostas. O nmero de respostas correctas aumentou do 8 ano para o 11 ano e com o desempenho em matemtica, em ambos os anos escolares. No 8 ano observou-se uma tendncia para os alunos do sexo masculino seleccionarem mais frequentemente as respostas correctas, o que se acentuou no 11 ano. Entre os alunos do 8 ano, a iv

interpretao frequencista de probabilidade favoreceu a seleco das respostas correctas, essencialmente nas experincias compostas, em relao interpretao clssica de probabilidade. J entre os alunos do 11 ano, o ensino de probabilidades no produziu um efeito significativo na escolha das respostas correctas. Comparativamente com os alunos do 11 ano, os alunos do 8 ano depositaram uma maior confiana nas suas respostas e, em ambos os anos escolares, os alunos depositaram uma maior confiana nas respostas correctas do que nas respostas erradas. Tambm em ambos os anos escolares, a confiana nas respostas correctas aumentou com o desempenho em matemtica e observou-se que os alunos do sexo masculino depositaram uma maior confiana nas respostas, mais acentuada entre os alunos do 11 ano. No segundo estudo, formulou-se a seguinte questo de investigao: 4. No 9 ano de escolaridade, um tipo de ensino que considere as ideias intuitivas dos alunos tem um maior impacto na aprendizagem de probabilidades, comparativamente com um ensino tradicional, no que respeita s intuies, s respostas correctas e ao clculo de probabilidades? Ao nvel das intuies probabilsticas, salienta-se o impacto das duas estratgias de ensino na maior adeso a raciocnios gerais, praticamente no referidos pelos alunos antes de ensino, e na menor adeso a comparaes baseadas em contagens, causalidade e ao facto de os acontecimentos serem possveis. Comparativamente com a estratgia de ensino tradicional, a estratgia que contemplou as intuies teve um maior impacto na adopo de raciocnios gerais e na diminuio da adeso a comparaes baseadas em contagens e na referncia ao facto de os acontecimentos serem possveis. Entre as duas estratgias de ensino, a estratgia experimental favoreceu a seleco das respostas correctas e a realizao dos alunos em clculo de probabilidades, neste ltimo caso, essencialmente nas probabilidades em experincias compostas. Em ambas as estratgias de ensino, tanto nas respostas correctas como no clculo de probabilidades, a realizao dos alunos aumentou com o desempenho em matemtica. A estratgia de ensino experimental produziu resultados mais equilibrados em relao s variveis desempenho em matemtica, considerando as respostas correctas, e sexo, considerando as respostas correctas e o clculo de probabilidades. Na condio de ensino experimental os alunos de desempenho mdio e elevado progrediram de forma semelhante e mais do que os alunos de baixo desempenho, as diferenas nas respostas correctas, favorveis ao sexo masculino e observadas antes de ensino, desapareceram depois de ensino e no se observaram diferenas entre os sexos na realizao em clculo de probabilidades. Na condio de ensino tradicional, observou-se um progresso crescente com o melhor desempenho em matemtica, no se observaram diferenas nas respostas correctas entre os sexos depois de ensino, tal como tinha acontecido antes de ensino, e os alunos do sexo feminino obtiveram uma melhor realizao em clculo de probabilidades. v

NDICE

AGRADECIMENTOS .................................................................................................. iii RESUMO........................................................................................................................ iv NDICE ........................................................................................................................... vi LISTA DE TABELAS ................................................................................................... ix LISTA DE FIGURAS ................................................................................................... xv LISTA DE QUADROS ............................................................................................... xvii

CAPTULO I INTRODUO 1.1. Evoluo recente do ensino da estocstica ........................................................... 1 1.2. Razes para ensinar a estocstica na escola........................................................ 10 1.3. Apresentao do problema.................................................................................. 12 1.4. Questes de investigao .................................................................................... 17 1.5. Descrio sumria da investigao ..................................................................... 18 1.6. Importncia da investigao................................................................................ 20 1.7. Limitaes da investigao ................................................................................. 22 1.8. Definio de termos ............................................................................................ 23

CAPTULO II REVISO DE LITERATURA 2.1. As intuies em matemtica................................................................................ 25 2.1.1. As intuies e o desenvolvimento da matemtica .................................... 25 2.1.2. As intuies numa perspectiva psicopedaggica...................................... 35 2.1.3. Classificao das intuies ....................................................................... 47 2.2. Diferentes perspectivas do conceito de probabilidade........................................ 50 2.2.1. Conceito clssico ...................................................................................... 50 2.2.2. Conceito frequencista ou emprico ........................................................... 52 2.2.3. Conceito subjectivista ............................................................................... 52 2.2.4. Conceito estrutural.................................................................................... 54 2.3. O conceito de probabilidade e intuies probabilsticas..................................... 54 2.3.1. Perspectiva de Piaget e Inhelder ............................................................... 55 2.3.2. Perspectiva de Efraim Fischbein............................................................... 61 vi

2.3.3. Processamento de informao .................................................................. 73 2.3.4. Estudo de David Green ............................................................................. 76 2.3.5. Heursticas de julgamento probabilstico.................................................. 81 2.4. As intuies em probabilidades e o ensino-aprendizagem ................................. 88 2.4.1. O ensino de probabilidades enquanto conceito multifacetado ................. 88 2.4.2. Estratgias de ensino de probabilidades ................................................... 97 2.4.3. Experincias de ensino de probabilidades .............................................. 110 2.4.4. Explorao de situaes contra-intuitivas no ensino de probabilidades......................................................................................... 122

CAPTULO III METODOLOGIA 3.1. Introduo ......................................................................................................... 127 3.2. Descrio dos estudos ....................................................................................... 127 3.2.1. Estudo sobre intuies probabilsticas.................................................... 128 3.2.2. Estudo sobre o ensino de probabilidades................................................ 129 3.3. Amostragem ...................................................................................................... 134 3.3.1. Estudo sobre intuies probabilsticas.................................................... 134 3.3.2. Estudo sobre o ensino de probabilidades................................................ 137 3.4. Variveis ........................................................................................................... 138 3.5. Instrumentos: descrio e validao ................................................................. 143 3.5.1. Descrio dos instrumentos .................................................................... 144 3.5.2. Validao dos instrumentos .................................................................... 150 3.6. Recolha de dados............................................................................................... 154 3.7. Anlise de dados ............................................................................................... 158 3.7.1. Estudo sobre intuies probabilsticas.................................................... 158 3.7.2. Estudo sobre o ensino de probabilidades................................................ 162

CAPTULO IV RESULTADOS 4.1. Introduo ......................................................................................................... 165 4.2. Estudo sobre intuies probabilsticas .............................................................. 165 4.2.1. Respostas e raciocnios ........................................................................... 165 4.2.2. Respostas correctas ................................................................................. 210 4.2.3. Confiana nas respostas .......................................................................... 220 vii

4.3. Estudo sobre o ensino de probabilidades .......................................................... 225 4.3.1. Respostas e raciocnios ........................................................................... 225 4.3.2. Respostas correctas ................................................................................. 274 4.3.3. Clculo de probabilidades....................................................................... 281

CAPTULO V CONCLUSES, IMPLICAES E RECOMENDAES 5.1. Introduo ......................................................................................................... 284 5.2. Estudo sobre intuies probabilsticas .............................................................. 284 5.2.1. Concluses do estudo.............................................................................. 284 5.2.2. Implicaes do estudo............................................................................. 298 5.3. Concluses do Estudo sobre o ensino de probabilidades ............................... 300 5.4. Recomendaes................................................................................................. 308 5.4.1. O ensino de probabilidades..................................................................... 308 5.4.2. Realizao de estudos futuros................................................................. 311

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................ 313 ANEXO I INSTRUMENTOS ................................................................................. 327 Questionrio-conceito clssico ................................................................................ 328 Questionrio-conceito frequencista.......................................................................... 339 Questionrio-experincia de ensino ......................................................................... 349 Fichas de avaliao .................................................................................................. 356 ANEXO II VALIDAO DOS QUESTIONRIOS ........................................... 373 Ficha de avaliao dos questionrios-conceito clssico e conceito frequencista .... 374 Ficha de avaliao do questionrio-experincia de ensino ...................................... 379 ANEXO III PLANIFICAO DO TEMA ........................................................... 384 ANEXO IV RACIOCNIOS: questionrio-conceito clssico ................................ 418 ANEXO V RACIOCNIOS: questionrio-experincia de ensino........................... 441 viii

LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Distribuio dos alunos da amostra por interpretao do conceito de probabilidade, ano escolar, escola, turma e sexo no Estudo sobre intuies probabilsticas.............................................................................................................. 135 Tabela 2. Distribuio dos alunos da amostra por grupo experimental e de controlo, turma e sexo no Estudo sobre o ensino de probabilidades ......................... 137 Tabela 3. Percentagem de alunos nas respostas das alneas da questo 1 por ano escolar e ensino de probabilidades ............................................................................... 167 Tabela 4. Percentagem de alunos nas respostas das alneas da questo 2 por ano escolar e ensino de probabilidades ............................................................................... 169 Tabela 5. Percentagem de alunos nas respostas das alneas da questo 3 por ano escolar e ensino de probabilidades ............................................................................... 172 Tabela 6. Percentagem de alunos nas respostas da questo 4 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 174 Tabela 7. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 4 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 175 Tabela 8. Percentagem de alunos nas respostas da questo 5 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 177 Tabela 9. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 5 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 178 Tabela 10. Percentagem de alunos nas respostas da questo 6 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 180 Tabela 11. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 6 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 181 Tabela 12. Percentagem de alunos nas respostas da questo 7 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 183 Tabela 13. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 7 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 184 ix

Tabela 14. Percentagem de alunos nas respostas da questo 8 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 186 Tabela 15. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 8 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 187 Tabela 16. Percentagem de alunos nas respostas da questo 9 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 188 Tabela 17. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 9 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 189 Tabela 18. Percentagem de alunos nas respostas da questo 10 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 193 Tabela 19. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 10 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 194 Tabela 20. Percentagem de alunos nas respostas da questo 11 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 197 Tabela 21. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 11 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 198 Tabela 22. Percentagem de alunos nas respostas da questo 12 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 199 Tabela 23. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 12 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 200 Tabela 24. Percentagem de alunos nas respostas da questo 13 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 202 Tabela 25. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 13 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 203 Tabela 26. Percentagem de alunos nas respostas da questo 14 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 205 Tabela 27. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 14 por ano escolar e ensino de probabilidades............................................................................................... 206

x

Tabela 28. Percentagem de respostas correctas por ano escolar em cada questo, valor de 2 em cada questo e valor de Z por subtema e no questionrio .................... 211 Tabela 29. Mdia das ordens segundo o desempenho em matemtica e valor de H em cada subtema e no questionrio, em relao s respostas correctas no 8 ano ....... 214 Tabela 30. Mdia das ordens segundo o desempenho em matemtica e valor de H em cada subtema e no questionrio, em relao s respostas correctas no 11 ano ..... 214 Tabela 31. Mdia das ordens segundo o sexo e valor de Z em cada subtema e no questionrio, em relao s respostas correctas no 8 ano............................................ 215 Tabela 32. Mdia das ordens segundo o sexo e valor de Z em cada subtema e no questionrio, em relao s respostas correctas no 11 ano.......................................... 216 Tabela 33. Mdia das ordens segundo o ensino de probabilidades e valor de Z em cada subtema e no questionrio, em relao s respostas correctas no 11 ano ........... 217 Tabela 34. Percentagem de respostas correctas por interpretao do conceito de probabilidade em cada questo, valor de 2 em cada questo e valor de Z por subtema e no questionrio............................................................................................. 219 Tabela 35. Mdia das confianas dos alunos nas respostas, nas respostas correctas e nas respostas erradas por ano escolar......................................................................... 220 Tabela 36. Mdia das confianas dos alunos do 8 ano nas respostas, nas respostas correctas e nas respostas erradas segundo o desempenho em matemtica ................... 221 Tabela 37. Mdia das confianas dos alunos do 11 ano nas respostas, nas respostas correctas e nas respostas erradas segundo o desempenho em matemtica ... 222 Tabela 38. Mdia das confianas dos alunos do 8 ano nas respostas, nas respostas correctas e nas respostas erradas por sexo.................................................................... 223 Tabela 39. Mdia das confianas dos alunos do 11 ano nas respostas, nas respostas correctas e nas respostas erradas por sexo .................................................... 223 Tabela 40. Mdia das confianas dos alunos do 11 ano nas respostas, nas respostas correctas e nas respostas erradas por ensino de probabilidades.................... 224 Tabela 41. Percentagem de alunos nas respostas da questo 1.a) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 227

xi

Tabela 42. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 1.a) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 228 Tabela 43. Percentagem de alunos nas respostas da questo 1.b) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 229 Tabela 44. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 1.b) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 230 Tabela 45. Percentagem de alunos nas respostas da questo 1.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 232 Tabela 46. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 1.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 233 Tabela 47. Percentagem de alunos nas respostas da questo 2.a) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 236 Tabela 48. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 2.a) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 237 Tabela 49. Percentagem de alunos nas respostas da questo 2.b) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 239 Tabela 50. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 2.b) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 240 Tabela 51. Percentagem de alunos nas respostas da questo 2.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 241 Tabela 52. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 2.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 242 Tabela 53. Percentagem de alunos nas respostas da questo 3.a) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 246 Tabela 54. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 3.a) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 247 Tabela 55. Percentagem de alunos nas respostas da questo 3.b) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 249

xii

Tabela 56. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 3.b) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 250 Tabela 57. Percentagem de alunos nas respostas da questo 3.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 252 Tabela 58. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 3.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 253 Tabela 59. Percentagem de alunos nas respostas da questo 4.a) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 257 Tabela 60. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 4.a) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 258 Tabela 61. Percentagem de alunos nas respostas da questo 4.b) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 260 Tabela 62. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 4.b) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 261 Tabela 63. Percentagem de alunos nas respostas da questo 4.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 262 Tabela 64. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 4.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 263 Tabela 65. Percentagem de alunos nas respostas da questo 5.a) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 266 Tabela 66. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 5.a) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste ................................267 Tabela 67. Percentagem de alunos nas respostas da questo 5.b) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 268 Tabela 68. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 5.b) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 269 Tabela 69. Percentagem de alunos nas respostas da questo 5.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 270

xiii

Tabela 70. Percentagem de alunos nos raciocnios da questo 5.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste............................... 271 Tabela 71. Percentagem de respostas correctas no pr-teste e ps-teste por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) em cada questo, valor de 2 em cada questo e valor de Z por subtema e no questionrio..................................................... 275 Tabela 72. Mdia das ordens segundo o desempenho em matemtica e valor de H em cada subtema e no questionrio, em relao s respostas correctas do grupo experimental no ps-teste ............................................................................................. 277 Tabela 73. Mdia das ordens segundo o desempenho em matemtica e valor de H em cada subtema e no questionrio, em relao s respostas correctas do grupo de controlo no ps-teste..................................................................................................... 278 Tabela 74. Mdia das ordens segundo o sexo e valor de Z em cada subtema e no questionrio, em relao s respostas correctas do grupo experimental no psteste ............................................................................................................................... 279 Tabela 75. Mdia das ordens segundo o sexo e valor de Z em cada subtema e no questionrio, em relao s respostas correctas do grupo de controlo no ps-teste ..... 280 Tabela 76. Mdias das cotaes e valor de t em cada alnea, em cada questo e na ficha de avaliao segundo o grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) ........... 282

xiv

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Descrio sumria dos dois estudos realizados............................................... 19 Figura 2. Percentagem de respostas correctas nas alneas da questo 1 por ano escolar ........................................................................................................................... 168 Figura 3. Percentagem de respostas correctas dos alunos do 11 ano nas alneas da questo 1 por ensino de probabilidades ........................................................................ 168 Figura 4. Percentagem de respostas correctas nas alneas da questo 2 por ano escolar ........................................................................................................................... 170 Figura 5. Percentagem de respostas correctas dos alunos do 11 ano nas alneas da questo 2 por ensino de probabilidades ........................................................................ 170 Figura 6. Percentagem de respostas correctas nas alneas da questo 3 por ano escolar ........................................................................................................................... 172 Figura 7. Percentagem de respostas correctas dos alunos do 11 ano nas alneas da questo 3 por ensino de probabilidades ........................................................................ 172 Figura 8. Percentagem de respostas correctas nas questes 4, 5, 6, 7, 8 e 9 por ano escolar ........................................................................................................................... 190 Figura 9. Percentagem de respostas correctas dos alunos do 11 ano nas questes 4, 5, 6, 7, 8 e 9 por ensino de probabilidades ............................................................... 191 Figura 10. Percentagem de alunos do 11 ano nos raciocnios gerais nas questes 4, 5, 6, 7, 8 e 9 por ensino de probabilidades ............................................................... 192 Figura 11. Percentagem de respostas correctas nas questes 10, 11, 12, 13, e 14 por ano escolar .............................................................................................................. 208 Figura 12. Percentagem de respostas correctas dos alunos do 11 ano nas questes 10, 11, 12, 13, e 14 por ensino de probabilidades ........................................................ 208 Figura 13. Percentagem de alunos do 11 ano nos raciocnios gerais nas questes 10, 11, 12, 13 e 14 por ensino de probabilidades ......................................................... 209 Figura 14. Percentagem de respostas correctas nas questes 1.a), 1.b) e 1.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste .................... 234 xv

Figura 15. Percentagem de respostas correctas nas questes 2.a), 2.b) e 2.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste .................... 244 Figura 16. Percentagem de alunos no conjunto dos raciocnios gerais nas questes 2.a), 2.b) e 2.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no ps-teste ...... 245 Figura 17. Percentagem de respostas correctas nas questes 3.a), 3.b) e 3.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste .................... 255 Figura 18. Percentagem de alunos no conjunto dos raciocnios gerais nas questes 3.a), 3.b) e 3.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no ps-teste ...... 256 Figura 19. Percentagem de respostas correctas nas questes 4.a), 4.b) e 4.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste .................... 264 Figura 20. Percentagem de alunos no conjunto dos raciocnios gerais nas questes 4.a), 4.b) e 4.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no ps-teste ...... 265 Figura 21. Percentagem de respostas correctas nas questes 5.a), 5.b) e 5.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no pr-teste e ps-teste .................... 272 Figura 22. Percentagem de alunos no conjunto dos raciocnios gerais nas questes 5.a), 5.b) e 5.c) por grupo experimental (Exp) e de controlo (Contr) no ps-teste ...... 273

xvi

LISTA DE QUADROS

Quadro 1. Classificao das questes do questionrio-conceito clssico segundo o tema, o tipo de experincia aleatria e o contexto........................................................ 145 Quadro 2. Classificao das questes do questionrio-experincia de ensino segundo o tema, o tipo de experincia aleatria e o contexto ...................................... 148 Quadro 3. Classificao das questes das quatro fichas de avaliao segundo o tema, o tipo de experincia aleatria e o contexto........................................................ 149

xvii

CAPTULO I

INTRODUO

1.1. Evoluo recente do ensino da estocstica Com a introduo da chamada Matemtica Moderna, a estocstica comeou a fazer parte integrante dos currculos de matemtica em muitos pases europeus. Neste contexto, segundo Borovcnik (1991), as probabilidades constituam uma boa oportunidade para aplicar a teoria de conjuntos e a lgica. A combinatria assumia-se como o principal meio de calcular probabilidades e muitos problemas envolviam a enumerao de casos numa situao combinatria intrincada. A estatstica desempenhava um papel menor, ou no tinha mesmo qualquer papel. Com o declnio da Matemtica Moderna, reafirmou-se o papel das aplicaes e a estatstica descritiva e inferencial aumentaram de importncia. No entanto, as aplicaes no eram ensinadas como exemplos pragmticos para mostrar que a matemtica ajuda a organizar a realidade, nem o desenvolvimento de skills envolvidos na aplicao estava no centro do esforo de ensino. A nfase era colocada no ensino de algo como construo de modelos. Matematizar, generalizar, especificar, estabelecer assunes especiais, estabelecer um modelo adequado para o problema e interpretar os resultados fornecidos pelo modelo eram objectivos que apoiavam o movimento das aplicaes, que se seguiu Matemtica Moderna. Embora as aplicaes constitussem exemplos, o que era mais importante no era resolver o problema particular mas aprender o processo geral de matematizao (Borovcnik, 1991). Ainda nesta perspectiva das aplicaes, a simulao foi usada em dois sentidos diferentes: em primeiro lugar, como forma de reduzir a anlise complexa da situao e,

2 em segundo lugar, para dar sentido concreto aos mtodos inferenciais, reforando-se a interpretao frequencista de probabilidade. Seguidamente, as propostas que foram surgindo combinaram um novo estilo de trabalho com a estatstica, nomeadamente projectos. Nestes projectos os alunos recolhem os seus prprios dados, analisam-nos e elaboram relatrios escritos (Hogg, 1992). Em relao ustria, segundo Borovcnik (1991), at 1970 faziam parte do currculo escolar a combinatria, que em seguida era aplicada ao clculo de probabilidades. Em consequncia, esta abordagem assentava basicamente no clculo combinatrio e no conceito de probabilidade de Laplace. Em 1980, verificaram-se alteraes importantes resultantes da introduo de probabilidades e de inferncia estatstica com uma pequena parte de estatstica descritiva nos dois ltimos anos do ensino secundrio. Finalmente, em 1989 o currculo foi de novo revisto. Agora, a estatstica descritiva, incluindo a explorao e anlise de dados, passou a ser abordada mais cedo, na idade dos 10 aos 14 anos, e mais profundamente pela idade dos 15 anos. Segundo Borovcnik (1991), o desenvolvimento do ensino das probabilidades e estatstica na Alemanha foi semelhante, mas comeou 10 anos mais cedo e diferiu um pouco de estado para estado. Neste caso, salientam-se mais anlises de jogos simples, mais estudo de probabilidades elementares nas idades dos 10 aos 14 anos e uma escolha de contedos especiais na idade dos 17 anos. Alm disso, cursos avanados incluam muitos tpicos de estatstica introdutria a um nvel universitrio. Para Borovcnik (1991) h uma abordagem diferente na tradio alem comparativamente com a britnica. Segundo este autor, a preferncia por conceitos tericos altamente estruturados pode ter a sua origem na complexidade da lngua alem. As aplicaes so menos consideradas do que a teoria, e a perspectiva pragmtica das aplicaes ainda menos apreciada. Durante os ltimos 20 anos acentuou-se o estudo das probabilidades, muito embora a situao esteja a mudar. Partindo do estudo das probabilidades com base na combinatria, desenvolveu-se posteriormente a sua ligao perspectiva axiomtica e lgica, estruturando-se e organizando-se o caos atravs da

3 matematizao. Nesta matematizao, era suposto que a relao entre a estrutura matemtica final (teoremas deduzidos a partir dos axiomas) e as vrias interpretaes dos conceitos usados devia desempenhar um papel importante. Todo o percurso referido pode ser resumido como um destaque sobre o desenvolvimento da teoria de probabilidades, sobre os conceitos e sobre a sua relao com a realidade. Considerando que o pensamento estocstico uma forma peculiar, diferente do pensamento usual, desenvolvido atravs de partes de processos matemticos de probabilidade para clarificar a matria (Borovcnik, 1991, p. 87), conclui-se que o pensamento estocstico um lema que est mais presente nesta abordagem, e mais popular nos pases de lngua alem do que na Inglaterra ou nos Estados Unidos. O lema statistical literacy for all tem tido impacto apenas recentemente. Agora, tcnicas descritivas e exploratrias so introduzidas no incio do ensino secundrio quando as exigncias matemticas o permitem. Neste contexto, Pestana (1998) destaca a importncia da capacidade de ler nmeros, sob a forma tabular ou qualquer outra codificao, no sentido de extrair deles a informao que eles contm. Em Inglaterra, as deficincias do ensino da estatstica, apontadas pelos profissionais da estatstica nos primeiros anos da dcada de 70, estiveram na origem do desenvolvimento do projecto Schools Council Project on Statistical Education (Holmes & Turner, 1981). O projecto tinha como alvo o ensino da estatstica a todos os alunos dos 11 aos 16 anos, enquanto parte da sua educao geral. O ensino, centrado numa estratgia de resoluo de problemas e no desenvolvimento de conceitos e tcnicas em contextos prticos, organizou-se em quatro nveis. Nos dois primeiros nveis, preparavam-se as bases para a compreenso das probabilidades e para o uso de tcnicas estatsticas, recorrendo-se frequentemente a representaes grficas. No terceiro e quarto nveis, os alunos tratavam a maior parte das tcnicas elementares de estatstica e aplicavam-nas a contextos variados, como geografia, economia e cincias sociais. Especificamente, nestes nveis recorria-se a simulaes e estudava-se o efeito do acaso

4 em situaes vrias. Diferentemente, nos Estados Unidos a estocstica ainda no constitui um hbito do ensino da matemtica (Shaughnessy, 1992). Presentemente, muito pouca estatstica ensinada aos alunos antes de entrarem no ensino superior. Ao nvel do ensino secundrio, verifica-se que muito poucas escolas americanas oferecem actualmente um curso separado em probabilidades e estatstica. Em alternativa, os alunos podero frequentar uma unidade de seis a nove semanas includa noutra disciplina. Em qualquer caso, muitos alunos no trataro o tema e os professores sero tentados a no leccion-lo. A este propsito, Watkins, Burrill, Landwehr e Scheaffer (1992) referem que um estudo realizado em 1987 nas escolas do estado de Ohio revelou que apenas aproximadamente um quinto dessas escolas ofereciam um curso separado em probabilidades e estatstica, e, destes, 25% no contemplavam qualquer estudo de estatstica inferencial. Alm disso, verificou-se que trs quartos das escolas ensinavam alguma estatstica e probabilidades em cursos de matemtica. Tipicamente, a estatstica descritiva fazia parte de algum curso de matemtica geral e alguns temas de probabilidades eram ensinadas no segundo ano do curso de lgebra ou em pr-clculo. H, todavia, um movimento vigoroso e crescente no sentido de introduzir elementos de estocstica no currculo do ensino secundrio, e mesmo no currculo do ensino bsico, como parte da literacia bsica em matemtica (Garfield & Ahlgren, 1988). assim que instituies prestigiadas, como o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) e a American Statistical Association (ASA), tm dedicado a esta temtica publicaes importantes. Em relao aos nveis da escolaridade bsica, at muito recentemente, pode afirmar-se com segurana que no existia qualquer ensino de probabilidades e estatstica. Contudo, nos ltimos quatro ou cinco anos a situao tem vindo a alterar-se. Para tal, tm contribudo a implementao de projectos, como, por exemplo, o Quantitative Literacy Project (Gnanadesikan, Scheaffer & Swift, 1987; Landewehr & Watkins, 1986; Landewehr & Watkins & Swift, 1987; Newman, Obremski & Scheaffer, 1987) e o

5 Middle Grades Mathematics Project (Phillips, Lappan, Winter & Fitzgerald, 1986), que tm feito incurses no ensino deste tema ao nvel do 3 ciclo do ensino bsico. A Hungria constitui uma excepo no que respeita ao ensino da estocstica ao nvel da escolaridade bsica. Os programas escolares de matemtica, estabelecidos em 1974/75 e que comearam a ser introduzidos gradualmente nas escolas primrias, contemplavam j temas de estocstica. Especificamente, em todos os anos da escolaridade obrigatria (do 1 ao 8 ano de escolaridade) faziam parte dos respectivos programas de matemtica itens de estocstica (Szendrei, 1990). Em termos de abordagem, destaca-se uma introduo dos termos e conceitos estocsticos a partir de jogos, especialmente nos primeiros anos de escolaridade, e o propsito de utilizar actividades estocsticas para desenvolver outras competncias nos alunos. Assim, para alm de relaes entre as probabilidades e a estatstica, salienta-se a promoo de competncias de clculo e a introduo do conceito de funo (Szendrei, 1990). A no existncia de materiais didcticos para o ensino da estocstica ter tambm condicionado o seu ensino (Shaughnessy, 1992; Watkins, Burrill, Landwehr & Scheaffer, 1992). Tambm, neste caso, a publicao de materiais no mbito de vrios projectos constitui um incentivo da maior importncia para o ensino efectivo da estocstica. Assim, para alm de aces de formao, os professores dispem, agora, de materiais concebidos com a sua ajuda e testados nas salas de aula (Watkins, Burrill, Landwehr & Scheaffer, 1992). Para alm das publicaes dos projectos referidos antes, so de destacar as publicaes Teaching Statistics and Probability (Shulte, 1981) e Normas para o Currculo e a Avaliao em Matemtica Escolar (NCTM, 1991), do National Council of Teachers of Mathematics, e Statistics for the Twenty-First Century (Gordon & Gordon, 1992), da Mathematical Association of America. Tal como nos Estados Unidos, tambm na Europa tm surgido publicaes neste domnio, como, por exemplo, Les Probabilits lcole (Glaymann & Varga, 1975), Azar y Probabilidad. Fundamentos Didcticos y Propuestas Curriculares (Godino, Batanero & Canizares, 1987) e a revista inglesa Teaching Statistics.

6 A estocstica como disciplina cientfica usualmente ensinada pela primeira vez ao nvel do ensino superior. O curso introdutrio , em geral, constitudo por trs reas, na sequencializao: (1) estatstica descritiva, (2) teoria de probabilidades e (3) estatstica inferencial (Borovcnik, 1985). Usualmente, estes cursos, propostos uma dcada atrs, baseavam-se em regras e em receitas-tipo para o clculo em estatstica ou em introdues muito matematizadas, no caso da estatstica baseada em probabilidades. A este nvel de ensino, os estudantes pareciam ser capazes de memorizar frmulas e algoritmos para resolver problemas que lhes eram familiares e bem definidos (Garfield & Ahlgren, 1988). Contudo, raramente possuam um sentido claro do racional envolvido, exibiam dificuldades em descortinar a aplicabilidade do contedo e no existiam praticamente possibilidades de aperfeioar as suas intuies estatsticas (Shaughnessy, 1992). Tambm, ao nvel do ensino superior, as recomendaes surgidas nas vrias realizaes da International Conference on Teaching Statistics (Davidson & Swift, 1988; Grey, Holmes, Barnett & Constable, 1983; Vere-Jones, 1991) tm contribudo lentamente para alterar a maneira de ensinar estocstica. Garfield e Ahlgren (1988) referem-se necessidade de basear o ensino da estatstica na resoluo de problemas, destacando o uso de dados reais e a introduo dos conceitos estatsticos na medida em que vo sendo necessrios. Shaughnessy (1992) reconhece que os impedimentos de uma implementao efectiva da resoluo de problemas nas nossas escolas sejam os mesmos que obstruem um ensino efectivo das probabilidades e estatstica. A este respeito, o ensino da estocstica ensino de resoluo de problemas num domnio de contedo mais restrito, pois envolve a construo de modelos de fenmenos fsicos, o desenvolvimento e construo de estratgias (estratgias de simulao e de contagem) e a comparao e avaliao de vrias abordagens diferentes aos problemas em ordem a monitorar possveis concepes e representaes erradas. Alm disso, so ambas reas relativamente novas em matemtica e os backgrounds dos professores so muito limitados ou no existentes. Actualmente, as divergncias no ensino da estocstica, mais centrada no ensino das

7 probabilidades na Europa Continental e baseada na estatstica e na anlise de dados nos pases anglo-saxnicos, tm diminudo. Segundo Borovcnik e Peard (1996), actualmente, parece haver alguma convergncia em relao ao seu ensino. No caso portugus, a questo do ensino da estatstica e das probabilidades tem seguido aproximadamente a tradio europeia, talvez com algum atraso em relao a outros pases. semelhana de outros pases europeus, o ensino da matemtica em Portugal foi largamente influenciado pelas ideias do Movimento das Matemticas Modernas, a partir de meados da dcada de 60. por esta altura que se inicia o estudo da matemtica moderna nas turmas experimentais do ensino liceal, sob a orientao de Sebastio e Silva, e ligeiramente mais tarde no ensino tcnico, sob a gide de Santos Heitor (Matos, 1989). Por esta altura, a estocstica era j um dos temas do Compndio de Matemtica Projecto de modernizao do ensino da matemtica no 3 ciclo liceal da autoria de Sebastio e Silva (1964). Durante todo o perodo, que se prolongou at reforma educativa dos anos 90, os programas escolares do ensino da matemtica mantiveram-se praticamente inalterados. As propostas de ensino de Sebastio e Silva, apresentadas nos seus Compndios de Matemtica (Sebastio e Silva, 1975) e respectivos Guias para a Utilizao do Compndio de Matemtica (Sebastio e Silva, 1975, 1977), continuaram a influenciar decisivamente o ensino da matemtica em Portugal, as quais so ainda explcitas nos programas actuais do ensino secundrio (Ministrio da Educao, 1997). Especificamente, no mbito da estatstica e probabilidades, o programa da disciplina de Matemtica das reas cientfico-naturais de 1979/80 inclua no 11 ano de escolaridade tpicos de clculo combinatrio e de introduo estatstica e s probabilidades. Em termos de sequencializao, comeava-se por estudar tcnicas de contagem que posteriormente eram aplicadas ao clculo de probabilidades. No caso das probabilidades, partia-se da representao atravs de conjuntos e prosseguia-se com uma referncia frequncia relativa, axiomatizao do conceito de probabilidade e definio de probabilidade de Laplace (Ministrio da Educao e Cultura, 1979a). Todavia, porque

8 estes tpicos eram os ltimos do programa, eles muito frequentemente no eram leccionados. Esta prtica de no leccionar estes temas confirmada pela sua eliminao do programa mnimo da disciplina de Matemtica do ano lectivo de 1980/81 (Ministrio da Educao e Investigao Cientfica, 1980). Estes mesmos temas fizeram tambm parte do programa da disciplina de Matemtica do 10 ano do curso de Humansticas, embora com um menor desenvolvimento (Ministrio da Educao e Cultura, 1979b). Contudo, aqui a situao era ainda pior, pois, tratando-se de uma disciplina de opo, ela no era escolhida pela generalidade dos alunos. Tambm com o aumento da escolarizao at ao 12 ano, verificou-se que a disciplina de Matemtica dos cursos cientfico-naturais manteve um carcter estrutural, no contemplando qualquer tema de estocstica (Ministrio da Educao e Cincia, 1980). Em concluso, at implementao dos novos programas da disciplina de Matemtica no incio da dcada de 90, resultado da ltima reforma educativa, constatase que o ensino da estocstica na escola foi irrelevante ou muito reduzido. A situao alterou-se substancialmente com a introduo destes novos programas. No caso do ensino secundrio, cuja generalizao do programa ocorreu no ano lectivo de 1993/94, verifica-se que as probabilidades e a estatstica constituem um tema que se desenvolve ao longo de cada um dos trs anos de escolaridade (Ministrio da Educao, 1992). Mais concretamente, no 10 ano abordam-se tpicos de estatstica descritiva; no 11 ano tratam-se questes de probabilidades e estatstica, especificamente, aspectos conjuntistas e axiomticos do conceito de probabilidade, definio clssica e frequencista de probabilidade e distribuies de frequncias relativas e de probabilidades, com referncia curva normal; finalmente, no 12 ano estuda-se a combinatria e a sua aplicao ao clculo de probabilidades, incluindo-se, tambm, a independncia probabilstica e as provas repetidas. Destaca-se ainda que, diferentemente dos programas anteriores, esta temtica constitui o primeiro tema de cada um dos programas dos respectivos anos.

9 Uma outra alterao importante resultou da introduo de uma nova disciplina no ensino secundrio, a disciplina de Mtodos Quantitativos. Esta disciplina, com carcter obrigatrio para os alunos que no tm a disciplina de Matemtica no seu currculo, contempla um captulo de estatstica e outro de probabilidades, muito semelhantes aos correspondentes captulos integrados na disciplina de Matemtica do ensino secundrio do 10 e 11 anos (Ministrio da Educao, 1992). A mais recente alterao do programa de Matemtica do ensino secundrio, que comeou a ser implementada no ano lectivo de 1997/98, no introduziu alteraes de contedo ao programa anterior. A estatstica descritiva passou a ser o ltimo tema do programa do 10 ano e os temas de probabilidades e estatstica, tratados anteriormente ao longo do 11 e 12 anos, foram reunidos no primeiro tema do 12 ano (Ministrio da Educao, 1997). Diferentemente do ensino secundrio, a primeira vez que o ensino da estocstica faz parte dos programas escolares da disciplina de Matemtica do ensino bsico. Com incio no 5 ano de escolaridade, o estudo desta temtica prossegue no 6, 7, 8 e 9 anos de escolaridade (Ministrio da Educao, 1991a, 1991b). Durante os quatro primeiros anos, o estudo centra-se no estudo de noes bsicas de estatstica, destacando-se a recolha e organizao de dados, as noes de frequncia absoluta e relativa, a representao grfica de dados e as medidas de tendncia central. Finalmente, no 9 ano tratam-se noes elementares de probabilidades, especificamente, terminologia especfica, a definio clssica de probabilidade e o estudo da frequncia relativa como valor aproximado da probabilidade terica. Ao nvel do ensino bsico, o ensino da estocstica insere-se numa perspectiva de anlise de dados e pode ser visto como uma dimenso importante da literacia que todos os alunos devem desenvolver na escola. Em sntese, os novos programas de Matemtica introduziram alteraes radicais ao nvel do ensino da estocstica. De uma situao em que as probabilidades e a estatstica praticamente no eram ensinadas na escola, passou-se situao actual em que o seu

10 ensino se desenvolve desde o 5 ano at ao fim do ensino secundrio. Enquanto antes, muito poucos alunos abordavam este assunto na escola, agora, todos os alunos o abordam no ensino bsico e, para os que prosseguem os estudos, continua a ser tema de estudo no ensino secundrio. Apesar do destaque dado ao ensino de probabilidades e estatstica nos actuais programas da disciplina de Matemtica, deve considerar-se que as percepes dos professores sobre o seu ensino no so to optimistas. Um estudo realizado em todo o pas (Precatado et al., 1998) revelou que a maioria dos professores de Matemtica inquiridos se pronunciou pela simplificao ou excluso do tema, comparativamente com a possibilidade de desenvolvimento, especialmente no 3 ciclo e no ensino secundrio. 1.2. Razes para ensinar a estocstica na escola H trs razes para ensinar o tema de probabilidades e estatstica na escola: (1) a utilidade na vida quotidiana da generalidade das pessoas, (2) a continuao de estudos futuros e (3) o desenvolvimento do sentido esttico (Pereira-Mendoza & Swift, 1981). A sua utilidade bem patente no facto de a linguagem da estatstica e das probabilidades fazer parte da vida do dia-a-dia. As pessoas necessitam de conhecimentos de probabilidades e estatstica para se integrarem plenamente na sociedade actual. Este aspecto tanto mais importante quanto mais desenvolvida for a sociedade em que nos inserimos (Holmes, 1981). Por outro lado, conhecimentos de estatstica e probabilidades so imprescindveis numa grande variedade de estudos futuros. Esto nesta situao a generalidade dos cursos da rea cientfico-natural e mesmo dos cursos no domnio das cincias sociais e humanas. Especialmente em conexo com a estatstica, as probabilidades tm sido largamente utilizadas nos mais variados cursos. Alm de constituir uma disciplina que integra os planos de estudo de muitos cursos, a estatstica e as probabilidades so largamente utilizadas na investigao cientfica. Neste caso, a estatstica vista

11 frequentemente como um meio de tornar credveis os resultados da prpria investigao. Finalmente, os aspectos estticos constituem um aspecto importante no desenvolvimento da apreciao da beleza de um tpico, seja como uma rea da matemtica, seja atravs das suas aplicaes cincia, tecnologia e natureza. Este sentido esttico extrai-se da apreciao do poder das tcnicas e da consciencializao da responsabilidade numa aplicao elegante daquelas tcnicas. Para Borovcnik e Peard (1996) existem duas razes que legitimam a introduo das probabilidades no currculo escolar a qualquer nvel. A primeira, resulta de perspectivar o pensamento probabilstico como um tipo especfico de pensamento, tal como o pensamento geomtrico e o pensamento algbrico. Face matemtica, as probabilidades constituem uma oportunidade de questionar a dicotomia verdade versus falsidade, acrescentando-se a categoria do possvel; destacam a importncia do valor aproximado em relao ao valor exacto e salientam a impossibilidade de controlar o resultado de uma nica experincia. Este tipo de pensamento pode beneficiar do estudo das probabilidades na escola. Uma segunda razo, deriva da sua utilidade em termos de aplicaes. Todavia, o mbito destas aplicaes deve ser relativizado, consoante os modelos probabilsticos modelam directamente a realidade ou o fazem atravs da estatstica. No caso dos mtodos estatsticos se basearem no raciocnio probabilstico, verifica-se que as aplicaes das probabilidades abundam na vida social e nas cincias, o que confere s probabilidades uma grande importncia. Contudo, existem abordagens inferncia estatstica que minimizam o papel das probabilidades, e que, consequentemente, diminuem a sua importncia. exemplo desta ltima abordagem, a Exploratory Data Analysis (EDA), desenvolvida por Tukey (1977), em que as generalizaes se justificam a partir de padres. Uma abordagem que passe pela eliminao das probabilidades, naturalmente, no promove o desenvolvimento do pensamento probabilstico. Para Falk e Konold (1992), as probabilidades estabelecem uma estratgia diferente para pensar acerca da realidade, relativamente a uma abordagem lgica ou causal. Para

12 estes autores, os conceitos de incerteza so introduzidos nas cincias porque somos ignorantes acerca da multiplicidade de variveis que afectam os dados ou porque as nossas medies envolvem algum erro. Numa perspectiva mais extrema, o acaso uma parte no redutvel aos fenmenos naturais deterministas e, em consequncia, visto como inerentemente indeterminado. 1.3. Apresentao do problema As pessoas em geral, e os alunos em particular, tm ideias acerca dos mais variados assuntos. Tais ideias podem desenvolver-se em ambientes informais ou em ambientes formais, sendo exemplo destes ltimos a escola e, mais especificamente, a sala de aula. Por outro lado, estas ideias podem basear-se em argumentos normativos, que a escola procura desenvolver, ou em argumentos no normativos. No caso das ideias baseadas em argumentos no normativos, verifica-se que elas so frequentemente erradas e tm sido objecto de estudo no paradigma de investigao das concepes erradas. Assim, no caso da matemtica, no mbito do estudo das concepes erradas procura-se compreender as origens, o desenvolvimento e a eliminao de ideias fundamentalmente erradas (Fernandes, 1990; Garfield & Ahlgren, 1988; Kahneman, Slovic & Tversky, 1982; Shaughnessy, 1977). Kahneman e Tversky, nos seus muitos e variados estudos, demonstraram que as pessoas recorrem, frequentemente, a heursticas e falcias para efectuarem julgamentos em probabilidades. A heurstica refere-se a uma estratgia, deliberada ou no, para produzir uma estimativa ou uma predio, sendo sua caracterstica a omisso de certas consideraes relevantes para a tomada de deciso. A falcia um erro conceptual e no meramente verbal ou tcnico, que provavelmente seria repetido em situaes semelhantes, e em que a resposta correcta ou um procedimento para encontr-la do conhecimento do sujeito (Tversky & Kahneman, 1983). No caso das cincias, incluindo a fsica, a qumica e a biologia, usa-se com muita frequncia os termos ideias alternativas (Duarte, 1987) ou concepes alternativas

13 (Leite, 1993) para designar as ideias baseadas em argumentos no normativos. Obviamente, estes termos no transportam um possvel sentido negativo inerente aluso ao erro. Para salientar o facto dos alunos possurem ideias antes de experienciarem qualquer tipo de ensino, elas so tambm designadas por ideias prvias ou concepes prvias (Ausubel, Novak & Hanesian, 1980). O termo intuies, que usaremos neste estudo, pretende englobar todos os aspectos referidos (Fischbein, 1987), destacando-se nas intuies a argumentao no normativa e a possibilidade de conduzirem a respostas correctas ou erradas. Do ponto de vista psicolgico, as intuies so cognies que so aceites pela sua imediaticidade e autoevidncia e em que no se sente qualquer necessidade pessoal de prova formal ou emprica (Fischbein, 1987). Fischbein (1987) classifica as intuies em afirmativas e antecipadoras. As intuies afirmativas so representaes ou interpretaes de factos aceites como certos, autoevidentes e auto-consistentes (p. 39) e as intuies antecipadoras representam as vises preliminares e globais que precedem as solues completas e analticas dos problemas (p. 39). No caso das intuies afirmativas, Fischbein (1975, 1987) ainda as classifica em primrias e secundrias. As intuies primrias desenvolvem-se com base na experincia natural do indivduo, independentemente de qualquer ensino sistemtico. Diferentemente, as intuies secundrias desenvolvem-se com base em alguma interveno de ensino e frequentemente contradizem as intuies primrias. No caso especfico das probabilidades, so vrios os estudos que revelam que os alunos possuem intuies probabilsticas (Fernandes, 1990; Fischbein, Barbat & Mnzat, 1975; Fischbein, Nello & Marino, 1991; Green, 1983; Kahneman, Slovic & Tversky, 1982; Konold, 1983). A existncia destas ideias intuitivas influenciada, em maior ou menor grau, por diferentes variveis inerentes ao sujeito, como o sexo, o desempenho em matemtica e a

14 experincia de ensino em probabilidades. Green (1982, 1983) verificou no seu estudo, envolvendo alunos dos 11 aos 16 anos de idade, que as variveis idade e capacidade de raciocnio geral tiveram um efeito positivo sobre a realizao num teste sobre clculo combinatrio, probabilidades e compreenso verbal. A substituio da capacidade de raciocnio geral pela capacidade matemtica manteve essencialmente os mesmos efeitos positivos. Alm disso, os alunos do sexo masculino obtiveram, de forma consistente, scores mais altos do que os alunos do sexo feminino nos itens de probabilidades e de compreenso verbal. Munisamy e Doraisamy (1998) conduziram um estudo semelhante ao de Green junto de alunos malaios do ensino secundrio, tendo-se confirmado, em geral, os resultados obtidos por Green. Assim, os alunos do sexo masculino obtiveram scores mais altos do que os alunos do sexo feminino em todas as questes, tendo a superioridade dos rapazes aumentado com a maturao. No caso da varivel ano escolar, observou-se que, comparativamente com os alunos do 4 ano, a extenso das ideias probabilsticas foi superior para os alunos do 6 ano. Em relao capacidade matemtica, verificou-se que os alunos de capacidade matemtica superior atingiram nveis de aquisio do conceito tambm superiores, comparativamente com os alunos de capacidade matemtica mdia e inferior. Embora num contexto de situaes probabilsticas contra-intuitivas e envolvendo alunos do 11 ano, sem ensino de probabilidades, e alunos do 4 ano da Licenciatura em Ensino de Matemtica, com ensino de probabilidades, Fernandes (1990) observou resultados apenas ligeiramente dspares dos referidos antes. Os alunos com ensino de probabilidades cometeram ligeiramente menos erros e afirmaram as suas respostas com menor confiana, em relao aos alunos sem ensino de probabilidades. Tambm no se observaram diferenas na confiana com que os alunos afirmaram as respostas correctas comparativamente com as respostas erradas. Em relao varivel sexo, observou-se que os alunos do sexo masculino afirmaram as suas respostas com maior confiana. Verificou-se, ainda, que estas diferenas no foram

15 explicadas pelas respostas erradas nem pela realizao escolar. Finalmente, verificou-se, em ambos os grupos, que a realizao escolar no distinguiu os alunos quanto s respostas erradas no conjunto das situaes probabilsticas estudadas. Reconhecendo que os alunos possuem intuies probabilsticas acerca dos mais variados assuntos, da maior importncia identificar estratgias de ensino eficazes para lidar com essas intuies. O facto das intuies poderem confirmar ou contrariar as ideias probabilsticas que a escola procura desenvolver nos alunos, implica uma primeira orientao em termos de ensino. Quando as intuies so correctas, elas constituem um ponto de partida adequado para o ensino. J no caso das intuies erradas, a situao diversa. Perante intuies erradas, o ensino deve dirigir-se sua eliminao ou alterao. O profundo enraizamento destas ideias na estrutura cognitiva do aprendiz, consequncia das suas caractersticas e o facto de serem partilhadas mesmo por peritos em probabilidades e estatstica, como mostram vrios estudos de Kahneman e Tversky (Kahneman, Slovic & Tversky, 1982; Tversky & Kahneman, 1983), implica que a alterao ou eliminao das intuies constitui, em geral, uma tarefa difcil em termos de ensino e de efeitos limitados. Face a estas dificuldades e limitaes, enquanto Kahneman e Tversky se mostram cpticos perante as possibilidades do ensino alterar ou eliminar intuies, Nisbett, Krantz, Jepson e Kunda (1983) manifestam uma posio mais optimista e outros autores conceberam e conduziram experincias de ensino com relativo sucesso no mbito das intuies. Nisbett, Krantz, Jepson e Kunda (1983) realizaram vrios estudos em que identificaram factores que afectam o raciocnio indutivo em situaes do dia-a-dia, designadamente, crenas acerca da homogeneidade/heterogeneidade dos objectos ou sujeitos, a salincia de parmetros da distribuio, a salincia de factores do acaso, a experincia da situao e o treino em estatstica. Para estes autores, muito embora no se deva concluir dos seus estudos que a educao em estatstica suficiente para garantir que as pessoas no cometem erros nos raciocnios de induo, o ensino pode

16 tirar vantagem da explorao destes factores. Shaughnessy (1977) verificou que uma estratgia de ensino baseada em pequenos grupos, explorando a recolha, organizao e anlise de dados e a formulao de princpios ou modelos de probabilidades e estatstica, teve um efeito positivo ao ajudar alunos universitrios a ultrapassarem concepes probabilsticas erradas, especificamente, as heursticas da representatividade e da disponibilidade. Numa perspectiva diferente, Agnoli (1987) observou que o treino em regras lgicas, para fazer comparaes extensivas e de frequncias, teve um impacto positivo na diminuio adeso da falcia da conjuno em adultos e em alunos de 11 e 13 anos de idade. Para avaliar o impacto indirecto do ensino de probabilidades sobre os julgamentos probabilsticos intuitivos, Fischbein e Gazit (1984) implementaram uma experincia de ensino com alunos entre os 10 e os 13 anos de idade, enfatizando o carcter prtico e a relao entre probabilidades calculadas a priori e as frequncias obtidas empiricamente. No caso dos alunos mais novos, do 5 ano, os resultados no foram suficientemente conclusivos, pois as aquisies conceptuais foram muito baixas. J no caso dos alunos do 6 e 7 anos, concluiu-se que o programa de ensino teve um efeito positivo sobre inviesamentos intuitivos comuns. Finalmente, Castro (1998) conduziu uma experincia de ensino de probabilidades, inserida numa perspectiva de mudana conceptual. Os resultados obtidos neste estudo, envolvendo alunos de 14-15 anos, demonstraram que a estratgia de mudana conceptual, comparativamente com o ensino tradicional, foi mais eficiente ao nvel dos skills elementares de clculo de probabilidades e do raciocnio probabilstico intuitivo. Enquanto os estudos anteriores de Agnoli, de Castro, de Fischbein e Gazit e de Shaughnessy constituem exemplos de experincias de ensino mais ou menos longas, Cox e Mouw (1992) desenvolveram um estudo de curta durao. Neste caso, exploraram-se sinais do contexto da situao probabilstica, enquanto caractersticas essenciais da evidncia. Uma tal estratgia, resultante da adio e eliminao de sinais, mostrou ser

17 eficaz na diminuio da adeso heurstica da representatividade entre alunos universitrios, particularmente na sua forma combinatria. Tambm numa interveno de ensino de curta durao, Fast (1997) mostrou que a explorao de intuies ancoradoras, caracterizadas por Clement (1987) no domnio da fsica, teve um efeito positivo sobre a diminuio na adeso a concepes erradas em probabilidades, entre estudantes universitrios (futuros professores de matemtica). Inserido no domnio das intuies probabilsticas, o presente trabalho de investigao trata de dois aspectos fundamentais das intuies em contedos elementares de probabilidades: (1) a existncia e caracterizao de intuies em alunos do 8 e 11 anos de escolaridade, e (2) o papel que as intuies podem desempenhar no ensino de probabilidades ao nvel do 9 ano de escolaridade. 1.4. Questes de investigao Com base na literatura no mbito das intuies probabilsticas e a partir da percepo do autor sobre esta problemtica, resultante do estudo que lhe vem dedicando, estabeleceram-se, no mbito de contedos elementares de probabilidades, as seguintes questes de investigao: Questo de investigao 1. Que intuies probabilsticas possuem alunos do 8 ano de escolaridade comparativamente com alunos do 11 ano de escolaridade? Questo de investigao 2. H diferenas nas respostas correctas em relao s variveis ano escolar, desempenho em matemtica, sexo, ensino de probabilidades e interpretao do conceito de probabilidade, entre alunos do 8 ano e/ou do 11 ano de escolaridade? Questo de investigao 3. H diferenas na confiana nas respostas, em relao s variveis ano escolar, desempenho em matemtica, sexo e ensino de probabilidades, entre alunos do 8 ano e/ou do 11 ano de escolaridade?

18 Questo de investigao 4. No 9 ano de escolaridade, um tipo de ensino que considere as ideias intuitivas dos alunos tem um maior impacto na aprendizagem de probabilidades, comparativamente com um ensino tradicional, no que respeita s intuies, s respostas correctas e ao clculo de probabilidades? 1.5. Descrio sumria da investigao A investigao realizada constituda por dois estudos. No primeiro estudo, designado por Estudo sobre intuies probabilsticas, identificaram-se e

caracterizaram-se intuies de alunos do 8 e 11 anos de escolaridade em contedos elementares de probabilidades. Este estudo insere-se na categoria de estudos descritivos, assumindo aspectos de uma investigao de aproximao descritiva transversal e de uma investigao comparativa, com propsitos explicativos (Gall, Borg & Gall, 1996). Em termos de questes de investigao, incluem-se neste estudo as trs primeiras questes de investigao. Assim, em sntese, identificaram-se e caracterizaram-se intuies, segundo as variveis ano escolar e ensino de probabilidades; estudaram-se as respostas correctas, segundo as variveis ano escolar, desempenho em matemtica, sexo, ensino de probabilidades e interpretao do conceito de probabilidade; e estudouse a confiana nas respostas, segundo as variveis ano escolar, desempenho em matemtica, sexo e ensino de probabilidades. No segundo estudo, designado por Estudo sobre o ensino de probabilidades, elaborou-se e avaliou-se uma estratgia de ensino que considera as intuies dos alunos em contedos elementares de probabilidades. Participaram neste estudo alunos do 9 ano de escolaridade e na experincia de ensino tratou-se o tema Estatstica e probabilidades, includo no programa da disciplina de Matemtica do 9 ano de escolaridade. Este estudo insere-se na categoria de estudos quase-experimentais, do tipo pr-teste ps-teste e envolvendo dois grupos de alunos o grupo experimental e o grupo de

19 controlo (Gall, Borg & Gall, 1996). Estes dois grupos de alunos foram submetidos a tratamentos diferentes. No caso de grupo experimental, seguiu-se uma metodologia de ensino que valorizasse as intuies, e, no caso do grupo de controlo, seguiu-se uma metodologia de ensino tradicional. Em termos de questes de investigao, inclui-se neste estudo a ltima questo de investigao. Assim, em sntese, estabeleceu-se uma estratgia de ensino que contemplou as intuies, tendo sido avaliada, por comparao com o ensino tradicional, ao nvel das intuies, ao nvel das respostas correctas e ao nvel do clculo de probabilidades. Na Figura 1, faz-se uma descrio sumria de cada um dos dois estudos referidos anteriormente. 1. ESTUDO SOBRE INTUIES PROBABILSTICAS (Alunos do 8 e 11 anos de escolaridade) 1.1. Identificao e caracterizao de intuies (variveis: ano escolar e ensino de probabilidades). 1.2. Respostas correctas (variveis: ano escolar, desempenho em matemtica, sexo, ensino de probabilidades e interpretao do conceito de probabilidade) 1.3. Confiana nas respostas (variveis: ano escolar, desempenho em matemtica, sexo e ensino de probabilidades).

2. ESTUDO SOBRE O ENSINO DE PROBABILIDADES (Alunos do 9 ano de escolaridade) 2.1. Definio de uma estratgia de ensino. 2.2. Avaliao da estratgia de ensino, por comparao com um ensino tradicional, ao nvel das intuies, das respostas correctas e do clculo de probabilidades. Figura 1. Descrio sumria dos dois estudos realizados.

20 Entre os dois estudos, acima descritos, existe uma relao de dependncia, como se salienta na Figura 1. Fundamentalmente, no Estudo sobre intuies probabilsticas identificaram-se e caracterizaram-se intuies probabilsticas de alunos com idade muito prxima daqueles que iriam ser submetidos experincia de ensino. Posteriormente, no Estudo sobre o ensino de probabilidades, estas intuies desempenharam um papel importante na definio da estratgia de ensino dirigida ao grupo experimental. 1.6. Importncia da investigao O interesse da investigao pode ser visto em relao formao de professores e ao ensino e aprendizagem de probabilidades. No domnio da formao de professores, no tem havido uma correspondncia entre a importncia que dada ao estudo da estocstica nos actuais programas do ensino no superior e a formao que proporcionada aos professores. Deve recordar-se que o tema de probabilidades e estatstica faz parte dos programas escolares das disciplinas de Matemtica desde o 5 ano at ao 12 ano, exceptuando apenas o 11 ano. As limitaes de formao verificam-se j na formao inicial, onde os alunos (futuros professores de matemtica) tm, em geral, uma disciplina semestral ou anual sobre probabilidades e estatstica. Tambm no mbito da formao contnua, comparativamente com outros temas dos programas de matemtica, o tema de probabilidades e estatstica menos tratado. Todavia, com a recente introduo de tecnologia no ensino da matemtica tem-se assistido a um incremento da formao envolvendo directa ou indirectamente a estatstica. A reduzida oferta de formao no domnio da estocstica tambm visvel nos encontros e nas publicaes mais dirigidas aos interesses e necessidades dos professores do ensino no superior. Esta realidade confirmada, por exemplo, nas actas dos Encontros Nacionais de Professores de Matemtica (ProfMats) e na revista Educao e Matemtica, que so publicaes da Associao de Professores de Matemtica (APM). A divulgao dos resultados desta investigao na formao inicial, ao nvel da

21 disciplina de Didctica da Matemtica ou de Metodologia do Ensino da Matemtica, e na formao contnua, ao nvel de cursos e aces de formao, pode contribuir para melhorar a formao dos professores, particularmente em contedos elementares de probabilidades. Deve destacar-se, ainda, que existem muito poucos estudos publicados no nosso pas sobre o ensino de probabilidades (Ponte, Matos & Abrantes, 1998). Em relao ao ensino e aprendizagem de probabilidades, salienta-se que os alunos possuem intuies no domnio das probabilidades. Frequentemente, estas intuies so limitadas ou mesmo erradas (Fernandes, 1990; Green, 1982; Kahneman, Slovic & Tversky, 1982; Konold, 1983; Tversky & Kahneman, 1983), opondo-se ao saber normativo que, em ltima instncia, a escola deve promover nos alunos. Assim, se pretendermos implementar um ensino eficaz, da maior importncia identificar as intuies dos alunos, sejam elas correctas ou erradas. Especialmente nos nveis escolares bsicos, em que se centrou este estudo, h a convico entre muitos professores que a aprendizagem de probabilidades no levanta grandes dificuldades aos alunos. Ora, uma tal opinio choca com o que foi dito acerca da existncia de intuies limitadas e erradas nos alunos. A explicao desta divergncia passa, em muitos casos, pela forma como abordado o conceito de probabilidade. De conceito multifacetado, frequentemente, ele apresentado aos alunos apenas como fraco do nmero de casos favorveis pelo nmero de casos possveis. Deste modo, reduz-se o estudo das probabilidades ao estudo de fraces simples. Acrescenta-se, ainda, que a fraco como medida da probabilidade no implica pr-requisitos de clculo considerveis, o que pode reforar o ponto de vista dos professores. Conhecidas as ideias intuitivas dos alunos em probabilidades, aspecto tratado no primeiro estudo desta investigao, coloca-se a questo de como lidar com essas ideias no ensino das probabilidades, aspecto que foi tratado no segundo estudo desta investigao. Pode dizer-se desde j que, no caso das intuies correctas, elas podem constituir um bom ponto de partida para o ensino e, no caso das intuies erradas, elas exigem, geralmente, uma ateno e um esforo especiais para os alunos as ultrapassarem.

22 Em sntese, o conhecimento de intuies dos alunos e de formas possveis de integrlas no processo de ensino constituem dois aspectos que se revestem da maior importncia na formao de professores de matemtica e que deve ter consequncias ao nvel dos programas escolares, especificamente em relao aos contedos e s metodologias de ensino. 1.7. Limitaes da investigao No processo de definio e implementao dos dois estudos desta investigao, identificam-se duas limitaes importantes, que, consequentemente, devem ser consideradas na avaliao dos resultados dos estudos. A primeira limitao dos estudos, refere-se ao facto de no se ter realizado uma escolha aleatria dos alunos que participaram nos estudos. A adopo deste procedimento deveu-se, para alm de condicionalismos de tempo e custos, a dificuldades resultantes da organizao das escolas em geral. Para atenuar esta limitao usaram-se amostras de razovel dimenso e equilibradas em relao ao nmero de alunos nas variveis sexo, desempenho em matemtica e ensino de probabilidades (Ferguson & Takane, 1989). Todavia, apesar destas precaues, devemos ter presente que a seleco no aleatria dos alunos diminui a confiana com que podemos generalizar os resultados obtidos a universos mais vastos (Wonnacott & Wonnacott, 1990). No caso dos alunos do 11 ano de escolaridade, que participaram no primeiro estudo, deve observar-se que todos eles, excepo de uma turma, pertenciam a uma mesma escola da cidade de Braga. A escolha destes alunos justificou-se pelo facto de nessa escola no ter sido leccionado o tema de Estatstica e probabilidades nas turmas a que pertenceram parte destes alunos durante o 9 ano de escolaridade. Desta forma, conseguiu-se envolver no estudo alunos do 11 ano de escolaridade com e sem ensino de probabilidades, permitindo, assim, estudar mais profundamente a influncia do ensino de probabilidades sobre as intuies. Relativamente aos alunos da turma da outra escola, a situao era semelhante, at porque muitos deles tinham sido alunos da primeira escola

23 durante o 9 ano. A segunda limitao, relativa ao segundo estudo, refere-se experincia de ensino de probabilidades realizada com alunos do 9 ano de escolaridade. Neste caso, o constrangimento do tempo previsto no programa escolar para a leccionao do tema de Estatstica e probabilidades dificultou o desenvolvimento de uma estratgia de ensino de probabilidades, contemplando as intuies, num perodo mais alargado de tempo. Mesmo assim, o tempo de ensino do tema foi superior em relao ao que estava previsto no programa oficial (Ministrio da Educao, 1991b). 1.8. Definio de termos Anlise de dados. Este termo geralmente usado nas escolas secundrias para referir um problema, coleccionar dados e organizar, reduzir e interpretar dados com a ajuda de anlises grficas (Watkins, Burrill, Landwehr & Scheaffer, 1992). Estocstica. O termo estocstica usado para designar conjuntamente o estudo da estatstica e das probabilidades, e tem sido utilizado particularmente na Europa Continental (Borovcnik, 1991; Garfield & Ahlgren, 1988; Shaughnessy, 1992). Experincias simples e experincias compostas. Por contraste com as experincias simples em probabilidades, que envolvem uma experincia com um objecto aleatrio (por exemplo, lanar uma moeda ao ar ou extrair uma bola de uma urna), as experincias compostas implicam vrias experincias de um mesmo objecto aleatrio ou uma s experincia com vrios objectos aleatrios (por exemplo, lanar duas vezes ou mais uma moeda ao ar ou extrair duas bolas ou mais de uma urna). Intuies. As intuies so crenas cognitivas elaboradas e confirmadas repetidamente pela prtica, que se caracterizam pela sua auto-evidncia, certeza intrnseca, persistncia, coercividade, condio terica, extrapolao e completude (Fischbein, 1987).

24 Intuies primrias. Intuies primrias referem-se quelas crenas cognitivas que se desenvolvem nos indivduos independentemente de qualquer instruo sistemtica como consequncia da sua experincia individual. (Fischbein, 1987, p. 64) Intuies secundrias. A categoria das intuies secundrias implica a assuno que novas intuies, com razes no naturais, podem ser desenvolvidas. Estas intuies no resultam da experincia natural e normal do indivduo. Alm disso, muito frequentemente elas contradizem a atitude natural em relao mesma questo. (Fischbein, 1987, p. 68). Portanto, diferentemente das intuies primrias, as intuies secundrias desenvolvem-se com base em alguma interveno de ensino. Situaes contra-intuitivas. So situaes em que os estudantes tm uma intuio primria que contraria e muito resistente a uma perspectiva normativa, pelo menos inicialmente (Lesser, 1994). Assim, o termo contra-intuitivo no significa no-intuitivo. Ainda, para Lesser (1994), o que contra-intuitivo pode ser definido operacionalmente como um resultado surpreendente para uma elevada percentagem de pessoas numa populao e num tempo particulares.

CAPTULO II

REVISO DE LITERATURA

2.1. As Intuies em matemtica Nesta seco refere-se, de forma breve e genrica, o papel das intuies no desenvolvimento da matemtica e caracterizam-se e classificam-se as intuies numa perspectiva psicopedaggica, com particular incidncia na matemtica. 2.1.1. As intuies e o desenvolvimento da matemtica A matemtica tem-se apoiado nas intuies desde os tempos mais recuados da sua histria. As intuies tm desempenhado, ao longo dos tempos, um lugar de destaque na validao do conhecimento matemtico e na sua prpria criao. Para os gregos, o raciocnio acerca de conceitos matemticos comeava com os axiomas, que eram considerados verdades auto-evidentes de que ningum podia duvidar. A origem destas verdades podia, contudo, ser diferente (Kline, 1980). Para Plato, elas tinham a sua existncia num mundo objectivo, o mundo das ideias, e para conhec-las os homens deviam ser estimulados a recordar as suas experincias anteriores, vividas para alm da sua existncia terrestre. Assim, os axiomas e teoremas da matemtica existem num mundo objectivo independente do homem. Aristteles coloca a questo da verdade em matemtica de outro modo. Para ele, os axiomas so princpios inteligveis que apelam mente fora de qualquer possibilidade de dvida. Os axiomas, disse em Analticos Posteriores, sabe-se que so verdadeiros atravs da nossa intuio infalvel (Kline, 1980, p. 20). A partir destas primeiras verdades,

26

segundo Aristteles, derivam-se outras verdades atravs do raciocnio silogstico. Em pleno Renascimento, o grande matemtico e filsofo Ren Descartes (1596-1650) afirmava na Regra III da sua obra Regras para a Direco do Esprito: No que respeita aos objectos considerados, h que procurar no o que os outros pensaram ou o que ns prprios suspeitamos, mas aquilo de que podemos ter uma intuio clara e evidente ou que podemos deduzir com certeza; de nenhum outro modo se adquire a cincia. (Descartes, 1989, p. 18). A respeito do que entende por intuio, diz Descartes: Por intuio entendo, no a convico flutuante fornecida pelos sentidos ou o juzo enganador de uma imaginao de composies inadequadas, mas o conceito de mente pura e atenta to fcil e distinto que nenhuma dvida nos fica acerca do que compreendemos (Descartes, 1989, p. 20). Para Descartes (1989) podemos ver pela intuio intelectual, por exemplo, que existimos, que pensamos, que um tringulo delimitado apenas por trs linhas e que a superfcie esfrica delimitada apenas por uma superfcie. Assim, segundo Descartes, qualquer cincia no se pode adquirir seno pela intuio intelectual ou pela deduo. Distinguindo entre estes dois processos mentais, Descartes afirma no desenvolvimento da Regra V: necessrio notar, em segundo lugar, que so poucas as naturezas puras e simples, que se podem ver por intuio imediatamente e por isso mesmas, independentemente de quaisquer outras, mas nas prprias experincias ou graas a uma certa luz que nos inata; dizemos que importa consider-las diligentemente, porque so as mesmas que, em cada srie, chamamos as mais simples. Quanto a todas as outras, s podem ser percebidas deduzindo-as das primeiras, quer por uma inferncia imediata e prxima, quer apenas mediante duas, trs ou mais concluses diferentes, cujo nmero tambm deve ser notado, a fim de sabermos se mais ou menos degraus as afastam da proposio que a primeira e a mais simples. (Descartes, 1989, p. 35) Com a pujana do empirismo, assiste-se a um questionamento profundo dos fundamentos da cincia e do valor do prprio raciocnio. David Hume (1711-1776), destruindo a doutrina de um mundo seguindo leis matemticas, destruiu tambm o valor

27

de uma estrutura lgico-dedutiva que representou a realidade a partir de Aristteles. Como para os axiomas, eles [os teoremas] emanam de sensaes acerca do mundo fsico presumido. Os teoremas so de facto consequncias necessrias dos axiomas mas no so mais do que repeties elaboradas dos axiomas. Eles so dedues, mas dedues de proposies implcitas nos axiomas. Eles so tautologias. Assim, no h verdades nos axiomas ou nos teoremas. (Kline, 1980, p. 75) A negao da razo por Hume e muitos outros, enquanto a mais elevada faculdade do homem, tornou-se revoltante para a generalidade dos pensadores do sculo XVIII. neste contexto que Immanuel Kant (1724-1804), um dos maiores filsofos de todos os tempos, defende a existncia de certas cognies sintticas a priori independentes da experincia. Para Kant (1989), os juzos sintticos de carcter emprico justificam-se pelas experincias sensoriais, que constituem o elemento de sntese dos enunciados envolvidos. No caso dos juzos sintticos de carcter a priori, caractersticos da matemtica, a situao diversa. Neste caso, no podendo justificar-se a sntese pela experincia nem extrada da anlise da forma do enunciado, como acontece nos juzos analticos, tem de se recorrer intuio para tornar possvel uma tal sntese. A propsito da proposio 7+5=12, envolvendo os conceitos de sete e de cinco, afirma Kant: Temos de superar estes conceitos, procurando a ajuda da intuio que corresponde a um deles, por exemplo os cinco dedos da mo ou [...] cinco pontos, e assim acrescentar, uma a uma, ao conceito de sete, as unidades do nmero cinco dadas na intuio. (Kant, 1989, p. 47) Segundo Kant, princpios como a linha recta o caminho mais curto entre dois pontos, trs pontos no colineares determinam um plano ou o postulado das paralelas de Euclides, designados por verdades sintticas a priori, fazem parte da nossa estrutura mental. Por conseguinte, a cincia da geometria meramente explora as consequncias lgicas destes princpios, devendo a experincia submeter-se aos princpios bsicos e aos teoremas. Portanto, o modo como ordenamos e racionalizamos o mundo -nos

28

impo