Texto Apoio Física v18 n3

7/23/2019 Texto Apoio Fsica v18 n3

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TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FSICA

v.18 n.3 2007

A Insero de Tpicos de Astronomia no Estudo

da Mecnica em Uma Abordagem Epistemolgica

rico Kemper


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Textos de Apoio ao Professor de Fsica, v.18 n.3, 2007.Instituto de Fsica UFRGS

Programa de Ps Graduao em Ensino de FsicaMestrado Profissional em Ensino de Fsica

Editores: Marco Antonio MoreiraEliane Angela Veit

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Bibliotecria Carla Torres CRB 10/1600)

Impresso: Waldomiro da Silva OlivoIntercalao: Joo Batista C. da Silva

K32i Kemper, ricoA insero de tpicos de Astronomia no estudo da Mecnica em uma

abordagem epistemolgica / rico Kemper - Porto Alegre : UFRGS, Instituto deFsica, Programa da Ps-Graduao em Ensino de Fsica, 2007.

66p. : il. (Textos de apoio ao professor de fsica / Marco AntonioMoreira, Eliane Angela Veit, ISSN 1807-2763; v.18; n. 3)

Produto do trabalho de concluso do Mestrado Profissional em Ensino de Fsica

da Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

1. Ensino de Astronomia. 2. Ensino de Fsica. 3. Mecnica 4. Epistemologia I.Ttulo. II. Srie.

PACS 01.40.ECDU 53:37


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SUMRIO

1 UMA HISTRIA DAS GRANDES DESCOBERTAS EM ASTRONOMIA ............................................ 7

1.1 - Introduo ................................................................................................................................... 7

1.2 - Pitgoras de Samos .................................................................................................................... 7

1.3 - Aristteles de Estagira ................................................................................................................ 7

1.4 - A fsica aristotlica ...................................................................................................................... 8

1.5 - Aristarco de Samos ..................................................................................................................... 9

1.6 - Eratstenes de Cirnia ............................................................................................................... 9

1.7 - Hiparco de Nicia ...................................................................................................................... 10

1.8 - Cludio Ptolomeu ...................................................................................................................... 111.9 - Nicolau Coprnico ..................................................................................................................... 12

1.10 - O modelo de Tycho Brahe ...................................................................................................... 15

Questionrio 01 ................................................................................................................................. 16

2 A NOVA FSICA DO MOVIMENTO E AS LEIS DE KEPLER ........................................................... 17

2.1 - Introduo ................................................................................................................................. 17

2.2 - O conceito de inrcia ................................................................................................................ 17

2.3 - Conceito de movimento e repouso ........................................................................................... 18

2.4 - Movimento de queda ................................................................................................................ 20

2.5 - Conceito de acelerao. ........................................................................................................... 22

2.6 - Lanamento de projteis ........................................................................................................... 23

2.7 As contribuies de Galileu na astronomia .............................................................................. 24

2.8 - As leis de Kepler ....................................................................................................................... 27

1. Lei das rbitas elpticas ............................................................................................................ 28

2. Lei das reas ............................................................................................................................ 29

3. Lei dos perodos ....................................................................................................................... 29

Questionrio 02 ................................................................................................................................. 30

3 A DINMICA E AS LEIS DE NEWTON ............................................................................................. 35

3.1 - Conceito de fora ...................................................................................................................... 35

3.2 - Fora: uma grandeza vetorial ................................................................................................... 36

3.3 - Tipos de foras ......................................................................................................................... 36

3.4 - As leis de Newton ..................................................................................................................... 39

3.5 - Primeira Lei ou Princpio da Inrcia .......................................................................................... 40

3.6 - Segunda Lei ou Princpio Fundamental .................................................................................... 41

3.7 - Terceira Lei ou Princpio da Ao e Reao ............................................................................ 42

3.8 - O peso de um corpo ................................................................................................................. 43

3.9 - Fora centrpeta ........................................................................................................................ 443.10 - Teoria da Gravitao Universal .............................................................................................. 45

Questionrio 03 ................................................................................................................................. 48


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4 A LUA E OS SATLITES ARTIFICIAIS ............................................................................................. 53

4.1 O primeiro satlite artificial ....................................................................................................... 53

4.2 A histria dos foguetes ............................................................................................................. 54

4.3 A conquista do espao ............................................................................................................. 55

4.4 Veculo lanador Saturno V ..................................................................................................... 564.5 - Sistema Solar ............................................................................................................................ 57

4.6 - O Universo ................................................................................................................................ 60

4.7 - Planetas extra-solares .............................................................................................................. 61

Questionrio 04 ................................................................................................................................. 63

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ...................................................................................................... 65


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APRESENTAO

O presente material produto de um trabalho do Mestrado Profissional de Ensino de Fsica,

realizado pelo autor, sob orientao das professoras Fernanda Ostermann e Maria de Ftima Oliveira

Saraiva do Instituto de Fsica da UFRGS.

Seu objetivo apresentar, atravs do texto e das sugestes de atividades complementares,

uma proposta motivadora de ensino de fsica em nvel mdio contemplando a rea de estudo da

Mecnica Clssica. Para tal, selecionamos tpicos de astronomia e/ou questes epistemolgicas e

elementos da histria da cincia, os quais usamos como ponto de partida ou inserimos no contexto

da rea em estudo, de forma a facilitar a aprendizagem significativa. Defendemos que esse tipo de

abordagem desperta motivao ao estudo e contribui para mostrar uma viso mais contempornea

do processo da construo da fsica.

Levando-se em conta a disponibilidade da carga horria da componente curricular de fsica

nas escolas pblicas, conseguimos incluir alguns temas de Fsica Moderna no texto enquanto

tivemos que excluir outros da Mecnica. Mas, mesmo assim, acreditamos que esse um material de

apoio que pode ser muito til, tanto para o aluno quanto para o professor, pela linha de pensamento

que seguimos, procurando atender a realidade educacional brasileira.

Ao longo do texto, na seo de atividades complementares, apresentamos, em diversas

oportunidades, sugestes para o uso de vdeos no estudo de alguns temas relacionados. O vdeo

uma poderosa ferramenta audiovisual da comunicao da atualidade que deve ser explorada tambm

em sala de aula.

Esperamos que este trabalho, que se mostrou bem sucedido na sua aplicao tendo em vista

os objetivos propostos, contribua para a melhoria do ensino de Fsica em nosso pas.


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TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FSICA IF UFRGS rico Kemper v.18 n.3, 2007.

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MDULO I Texto 1

1 UMA HISTRIA DAS GRANDES DESCOBERTAS EM ASTRONOMIA

1.1 - Introduo

A humanidade sempre se sentiu fascinada em contemplar o cu em uma noite limpa e

escura, que exibe todo seu esplendor depois que o Sol se pe: a Lua mostrando as diferentes

fases, as estrelas surgem como uma mirade de pontos brilhantes, entre as quais os planetas se

diferem por seu brilho e movimento.

A curiosidade e o interesse dos homens em acompanhar o movimento dos astros no cu, de

encontrar regularidades para construir calendrios, prever a melhor poca para o plantio e para a

colheita e determinar as estaes do ano remontam antiguidade. Stonehenge, na Inglaterra, o

observatrio astronmico mais antigo que se conhece. Ele construdo a partir de um conjunto de

pedras em forma de crculo e, do seu centro algumas pedras esto alinhadas com o nascer e o pr

do Sol no incio do inverno e do vero. Destinado tambm observao da Lua, esse monumento

data de 3000 a 1500 a.C. Foi em meio a esse cenrio que nasceu a astronomia, a mais antiga das

cincias (MOURO, 2000).

1.2 - Pitgoras de Samos (~572 497 a.C.)

Para Pitgoras a forma do Universo esfrica por essa ser a forma mais perfeita na

geometria. Alm de acreditar na esfericidade da Terra e dos objetos celestes, como o Sol, a Lua, os

planetas e a estrelas, acreditava que esses objetos estavam incrustados em esferas de cristais

concntricas Terra, que os transportavam ao seu redor.

1.3 - Aristteles de Estagira(384 322 a.C.)

Aristteles foi o primeiro a explicar corretamente as fases da Lua e os eclipses do Sol e da

Lua. A Lua apresenta fases porque ao longo do seu curso ao redor da Terra ela mostra mais ou

menos sua face iluminada pelo Sol Terra. Na fase da Lua cheia, a Terra fica entre o Sol e a Lua e a

face da Lua iluminada pelo Sol est toda voltada para a Terra. A lua nova ocorre quando a Lua fica

entre o Sol e a Terra e o lado voltado para a Terra o lado escuro dela. Nas fases quarto crescente e

quarto minguante no h nenhum alinhamento entre esses astros e a Lua s exibe metade de face

iluminada pelo Sol. Na fase crescente possvel ver a Lua durante o dia tarde enquanto na fase

minguante possvel v-la de manh (MOURO, 2000).

Figura I.1. O esquema mostra o sistema Terra-Sol-Lua (fora de escala) com a posio relativada Lua nas fases cheia (I), nova (II), quarto crescente (III) e quarto minguante (IV).


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Um eclipse do Sol ocorre quando a Lua passa entre a Terra e o Sol e por isso s acontece na

lua nova. Quando o disco da Lua encobre totalmente o disco do Sol acontece o eclipse solar total,

que s pode ser visto por uma pequena regio da superfcie da Terra. Um eclipse da Lua s ocorre

quando a Lua entra no cone de sombra da Terra e isto s acontece na Lua cheia.

Figura I.2. Aqui esto representados os alinhamentos Sol-Terra-Lua com as posiesrelativas da Lua num eclipse do Sol (I) e num eclipse da Lua (II).

Foi tambm na observao de um eclipse lunar que Aristteles notou a forma esfrica da

Terra pela sombra arredondada projetada por ela sobre o disco lunar.

1.4 - A fsica aristotlica

O universo, segundo Aristteles, finito, esfrico e totalmente preenchido no h vazio. A

Terra est imvel e ocupa o centro do universo. Os corpos celestes giram em torno dela em esferas

concntricas e a primeira delas, que transporta a Lua, separa o mundo sublunar abaixo da esfera

da Lua e mundo supralunar acima da esfera da Lua. O mundo sublunar era considerado

imperfeito, passvel de alterao e corrupo, composto pelos elementos terra, gua, ar e fogo.

Todas as coisas tinham seu lugar natural e o repouso era considerado o estado natural dos corpos.

Um objeto que no estivesse em seu lugar natural se esforar para alcan-lo. O movimentonatural da terra e da gua (corpos pesados) para baixo, para o centro do Universo, e do ar e do

fogo (corpos leves) para cima, para os limites do mundo sublunar. A rapidez com que os objetos

caem depende de seu peso: quanto mais pesado o objeto, mais rpido ele cai. Qualquer alterao

desta tendncia (movimento diretamente para cima ou para baixo) entendida como violncia ou

corrupo da natureza. Enquanto todo movimento natural se d sem a ao de foras, os

movimentos ditos violentos ou forados requerem a ao de foras. necessrio empurrar um

carro de mo para mant-lo em movimento, assim, da mesma forma, para lanar uma flecha e

mant-la em movimento seria necessrio empurrar ou puxar. Aristteles justifica a imobilidade da

Terra, argumentando que ela estaria em seu lugar natural e devido ao seu grande tamanho e peso

no existiria nenhuma fora de magnitude suficiente para moviment-la. No mundo supralunar

reinavam a perfeio e a imutabilidade. Essa regio preenchida por ter com movimentos naturais

circulares e eternos. A apario de um cometa no cu era classificada como um fenmeno sublunar,

de origem atmosfrica, para salvar as aparncias da perfeio e imutabilidade do mundo supralunar

(DIAS et al,2004).

At ividades complementares:

Sugestes de vdeos: episdios da srie Espaonave Terra; semana 41 e semana 11.

Estudos relacionados a esses programas: as fases da lua e os eclipses do Sol e da Lua.


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1.5 - Aristarco de Samos (310 230 a.C)

Aristarco, provavelmente, foi o primeiro a propor um sistema heliocntrico para a explicao

do universo. Nesse modelo, o movimento de rotao que a Terra realiza diariamente em torno de seu

prprio eixo explica o movimento dirio das estrelas fixas e do Sol, que na realidade estariam

imveis. A Terra tambm realiza um movimento em torno do Sol em uma rbita circular com o Sollocalizado no centro dessa rbita. No entanto, a maioria dos astrnomos da sua poca e de vrios

sculos posteriores rejeitaram estas idias porque eram inconsistentes com a fsica aristotlica. Alm

disso, se a Terra realiza uma rotao completa em um dia, os objetos e tudo que se encontra sobre o

seu equador teriam uma velocidade to grande que a fora centrfuga os lanaria para o espao.

Outro argumento que rejeitava o movimento da Terra em torno do Sol era a ausncia de paralaxe das

estrelas. Isto , se a Terra estivesse em movimento, as posies relativas das estrelas nas diferentes

estaes deveria mudar; o que no era observado.

1.6 - Eratstenes de Cirnia(276 194 a.C.)Eratstenes foi o primeiro a estimar de maneira simples, mas muito engenhosa e com boa

aproximao, o comprimento da circunferncia da Terra. Ele sabia que no dia do solstcio de vero,

ao meio dia, os raios solares atingiam o fundo de um poo em Siena (hoje Aswan), no Egito.

Enquanto o Sol, naquele mesmo dia, incidia perpendicularmente Terra em Siena, em Alexandria,

mais ao norte, uma estaca vertical fazia sombra. Eratstenes imaginou que o prolongamento dos

raios solares que caam no poo em Siena, para o interior da Terra, devia passar no seu centro, da

mesma forma, o prolongamento de uma linha vertical que acompanha a estaca para o interior da

Terra, deveria tambm passar pelo seu centro. Medindo a sombra projetada pela estaca, Eratstenes

verificou que ela correspondia a 1/8 da altura da estaca e o ngulo correspondente entre os raios do

Sol e a estaca vertical em Alexandria de aproximadamente 1/50 de uma circunferncia. Logo, a

distncia entre Alexandria e Siena deveria ser 1/50 da circunferncia da Terra. Como era sabido por

Eratstenes que a distncia entre essas cidades era de 5000 estdios ele calculou a circunferncia

da Terra como 50x5000 = 250 000 estdios. Na verdade, no se sabe exatamente o valor do estdio

utilizado por Eratstenes, mas provavelmente a diferena pela medida obtida por ele em relao ao

valor atualmente conhecido (40 000 km) menor do que 5%. Dividindo-se o valor da circunferncia

por 2obtm-se o raio da Terra, que nas unidades modernas vale 6370 km (HEWITT, 2002).

Figura I.3. Quando os raios solares incidiam diretamente em um poo em Siena, uma estacavertical projetava uma sombra em Alexandria, localizada 5000 estdios ao norte. O ngulo (a)formado entre os prolongamentos dessas retas que se encontram no centro da Terra o

mesmo ngulo (a) formado entre a estaca vertical e Alexandria e os raios solares. O ngulo 1/50 da circunferncia da Terra e multiplicando-se a distancia entre Alexandria e Siena (5000estdios) por 50 obtm-se o tamanho da circunferncia da Terra (250 000 estdios).


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1.7 - Hiparco de Nicia(160 125 a.C.)

Hiparco considerado o maior astrnomo observacional da era pr-crist. Entre suas vrias

contribuies em astronomia, mapeou o cu com a posio de 850 estrelas e determinou, com boa

concordncia, o tamanho da Lua e sua distncia at a Terra. Hiparco baseou-se em observaes de

um eclipse total da Lua, seguindo o mtodo anteriormente desenvolvido por Aristarco. Na ocasio deum eclipse lunar a Lua passa pelo cone de sombra projetada pela Terra. Medindo a durao da

passagem da Lua pelo cone de sombra, ou seja, o tempo decorrido entre a entrada e a sada da Lua

no cone de sombra projetado pela Terra, Hiparco concluiu que a largura do cone de sombra nesse

lugar era de aproximadamente 2,5 vezes o dimetro lunar. A partir dessa observao, Hiparco obteve

o valor do tamanho da Lua. Uma maneira simples de entender o mtodo seguido pode ser feito

atravs da anlise da figura I.4. Admitindo-se que a distncia do Sol Terra muitas vezes maior

que a distncia da Lua Terra, os raios de luz provenientes de qualquer ponto da borda do disco

solar chegam Terra praticamente paralelos, fazendo com que a abertura angular dos cones de

sombra da Terra e da Lua sejam quase exatamente iguais. Como o Sol e a Lua tm o mesmo

dimetro aparente vistos da Terra, ento a abertura angular do cone de sombra da Lua coincide com

o dimetro angular (aparente) da Lua. Podemos, portanto, concluir que at a distncia da Lua, onde

ocorre o eclipse da Lua, o estreitamento do cone de sombra da Terra de um dimetro lunar. Como

a largura do cone de sombra da Terra nesse ponto, 2,5 vezes o tamanho da Lua, levando em conta

esse estreitamento, o dimetro verdadeiro da Terra deve ser (2,5+1=) 3,5 vezes maior que o dimetro

da Lua. Logo, o dimetro da Lua o dimetro da Terra dividido por 3,5. O valor obtido por Hiparco

difere em menos de 5% do valor atualmente conhecido (3640 km) (HEWITT, 2002).

Figura I.4. Pela durao da passagem da Lua pelo cone da sombra projetada pela Terra emum eclipse total da Lua possvel determinar a largura da sombra da Terra na Lua. O conede sombra da Terra sofre um estreitamento que, at a rbita da Lua, corresponde a umdimetro lunar. Somando-se um dimetro lunar com a largura da sombra da Terra na Luaobtemos para o dimetro da Lua um valor aproximadamente 3,5 vezes menor que o dimetro

da Terra.Uma vez determinado o tamanho da Lua fica muito simples estimar sua distncia Terra.

Usando a matemtica da semelhana de tringulos (figura I.5) Hiparco obteve para a distncia da

Terra Lua 59 vezes o raio da Terra. O valor correto de 60 raios terrestres.

Figura I.5. Com o auxlio de uma rgua milimetrada, mede-se o dimetro aparente da Lua,segurando-se a rgua em p com o brao esticado. Pela matemtica dos tringulossemelhantes, comparam-se a medida do dimetro aparente (d) com dimetro real da Lua (D)e a distncia do olho rgua (dR) com a distancia da Terra Lua (DL). A ltima sercalculada por: DL=DxdR/d.


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1.8 - Cludio Ptolomeu (85 - 165 d.C.)

Ptolomeu foi o maior e o ltimo dos grandes astrnomos gregos. Entre as vrias obras que

escreveu, a mais famosa a Syntaxis Mathmatica, organizada em 13 volumes. Nesta obra,

conhecida como Almagesto, Ptolomeu rene grande parte dos conhecimentos astronmicos da

Antiguidade em um modelo geocntrico na explicao dos movimentos dos corpos celestes.

Figura I.6. A figura mostra o movimento do planeta Marte, de 15 em 15 dias, em relao sestrelas de fundo, no perodo entre os meses de agosto de 2005 e fevereiro de 2006. Em 06de novembro o planeta estava em sua maior aproximao com a Terra e melhor de serobservado.

Os planetas, em relao ao fundo das estrelas fixas, apresentam um movimento irregular que

ainda no havia sido explicado. Observando o movimento dos planetas ao longo do ano, percebe-se

que eles se movimentam entre as estrelas de fundo, geralmente, de oeste para leste. Mas em certas

pocas o movimento muda, passando a ser de leste para oeste. Essa inverso em seu movimento,

denominado de movimento retrgrado, pode durar vrios meses (de acordo com cada planeta), at

que fica mais lento e o planeta reverte novamente seu sentido, retomando o movimento normal.

Enquanto o planeta realiza o movimento retrgrado, seu brilho aparente maior, sugerindo estar

mais prximo da Terra.

Figura I.7. No modelo de Ptolomeu o movimento do planeta resultado da combinao dosmovimentos ao longo do epiciclo (crculo menor) e ao longo do deferente (crculo maior). Oplaneta P desloca-se sobre o epiciclo em torno de C, enquanto C se move sobre o deferentede centro Q. A linha em destaque representa a rbita do planeta.

A inovao proposta por Ptolomeu uma teoria geomtrica para explicar, atravs da

matemtica, os movimentos e posies aparentes dos astros no cu representados por percursos

circulares. Para explicar o movimento irregular dos planetas, ele props um modelo onde omovimento de cada planeta, visto da Terra, resultado da combinao de dois movimentos circulares

e uniformes. Na figura I.7 representamos o movimento de um planeta que se move ao longo de um


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pequeno crculo, chamado epiciclo, cujo centro (C) se move em um crculo maior, chamado

deferente. O que diferenciava o movimento de um planeta e outro era o tamanho do epiciclo e do

deferente e as suas velocidades relativas de rotao, que eram ajustadas para concordar com as

observaes.

A Terra fica numa posio um pouco afastada do centro (Q) do deferente. Alm dessamodificao, para corrigir as irregularidades nos movimentos dos planetas, Ptolomeu introduziu o

artifcio do equante (E), que um ponto deslocado do centro (Q) do deferentee oposto posio da

Terra, em torno do qual o centro (C) do epiciclorealiza um movimento uniforme. Dessa forma, o Sol

ou os planetas observados da Terra no mostram movimentos uniformes em relao s estrelas

fixas, mesmo quando eles o realizam. Haver momentos em que o Sol ou um planeta estar mais

perto da Terra e outros, em que ele estar mais afastado da Terra. Assim, Ptolomeu conseguiu

explicar o movimento retrgrado dos planetas e seu conseqente aumento de brilho, devido sua

aproximao com a Terra (NUSSENZVEIG, 1996, p. 191).

Apesar de sua complexidade, esse modelo permitia prever a posio e o movimento dos

planetas com preciso notvel para a poca alm de se integrar, em vrios aspectos, fsica de

Aristteles.

1.9 - Nicolau Coprn ico (1473 - 1543)

Coprnico viveu no perodo renascentista, cuja poca foi marcada por uma ruptura com os

valores medievais e um resgate das idias dos pensadores gregos da Antigidade, no campo das

artes, letras, filosofia e cincia. A reforma do calendrio, que havia acumulado erros por sculos e as

grandes navegaes, para se orientar em alto mar, exigiam melhores conhecimentos em astronomia.

Motivado pela concepo neoplatnica, ressurgida na poca, Coprnico rejeita o modelo

geocntrico por contrariar o ideal platnico do movimento circular e uniforme dos objetos celestes,

quando utiliza o artifcio dos equantes em sua descrio. Contrapondo a esse modelo, que ele

considerava insatisfatrio, Coprnico escreve sua grande obra intitulada Sobre as Revolues das

Esferas Celestes(1543), onde props o modelo heliocntrico, acreditando ser mais simples. A idia

de tomar o Sol como centro do universo vem, sobretudo, de uma inspirao metafsica,

comprometida com o neoplatonismo, explicitada pela seguinte passagem do de Revolutionibus:

No centro de tudo, repousa o Sol. Pois, quem colocaria essa lmpada de um belo templo emoutro ou melhor lugar do que esse, de onde ela pode iluminar tudo ao mesmo tempo? De

fato, [uma] feliz [expresso] que alguns o chamem de lanterna; outros, de mente e outros,ainda, de piloto do mundo. Trimegisto o chama de Deus visvel; a Electra de Sfocles,aquilo que faz arder em chamas todas as coisas. E, assim, o Sol, como se [estivesse]repousando em um trono rgio, governa a famlia dos astros que o rodeiam. [...] A Terra, almdisso, fertilizada pelo Sol e concebe crias todos os anos (Coprnico apud Dias, 2004).

O modelo de Coprnico estava baseado na hiptese heliocntrica proposta por Aristarco de

Samos e fundamentada em um novo conjunto de pressupostos astronmicos:

* no existe um centro nico para o movimento dos corpos celestes, o centro da Terra

apenas o centro do movimento da Lua. Os demais objetos se movem em torno do Sol,

inclusive a Terra, e o centro do mundo estpertodo Sol.

* o Sol e a esfera das estrelas esto permanentemente imveis. Qualquer movimentoaparente observado no cu no pertence ao mesmo, mas devido Terra que realiza um

movimento dirio de rotao constante em torno de seus plos. Qualquer movimento


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aparente do Sol devido ao movimento anual da Terra em torno dele, como qualquer outro

planeta. O movimento da Terra suficiente para explicar as irregularidades de seus

movimentos. Portanto, a Terra realiza dois movimentos: o movimento dirio de rotao, em

torno de si mesma, e o movimento anual de translao (revoluo), em torno do Sol.

O Sol realiza ao longo do ano, um movimento aparente percorrendo as constelaes (grupos

de estrelas) do zodaco. O zodaco uma faixa circular imaginria no cu que no s contm a

trajetria do Sol, mas tambm as trajetrias da Lua e dos planetas e est dividida em doze

constelaes, chamadas de signos (ries, Touro, Gmeos, Cncer, Leo, Virgem, Libra, Escorpio,

Sagitrio, Capricrnio, Aqurio e Peixes). Esse movimento perfeitamente entendido pelo movimento

que a Terra realiza em volta do Sol, que parece atravessar o zodaco, sempre na extremidade oposta

da rbita da Terra (veja figura I.8).

Figura I.8. Quando o Sol est em Sagitrio, em janeiro, a Terra (I) est na extremidade opostaao Sol, na mesma direo. Algumas semanas mais tarde o Sol estar em Capricrnio, porque

a Terra avanou em sua rbita (II). Note que os signos astrolgicos no esto mais de acordocom a posio do Sol nas constelaes do zodaco como era h 2 000 anos.

O movimento retrgrado dos planetas, no modelo de Coprnico, ocorre sempre que a Terra

passa entre o Sol e o planeta (exterior rbita da Terra), realizando uma espcie de ultrapassagem.

Isto acontece porque a Terra avana mais rpido em sua rbita ao redor do Sol do que o planeta que

est mais distante e em relao s estrelas ao fundo o planeta realiza movimento retrgrado.

Impresso semelhante tambm se tem quando se est em um carro que ultrapassa outro e durante a

manobra de ultrapassagem o outro carro parece andar para trs. Mas, na verdade, tanto o movimento

do planeta quanto do carro sendo ultrapassado jamais se inverteu. nesse perodo que o planeta

est mais prximo da Terra, justificando seu maior brilho (OLIVEIRA e SARAIVA, 2000).

Figura I.9. Como Marte mais lento em seu movimento em torno do Sol, a Terra o ultrapassaa cada quase dois anos, e devido a essa ultrapassagem Marte parece retroceder no cu, oque na verdade no acontece. apenas seu movimento aparente em relao s estrelas defundo.


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O modelo heliocntrico possibilitou a Coprnico calcular, pela primeira vez, as distncias

relativas dentro do sistema solar. Ele adota como padro de medida para as distncias entre os

planetas e o Sol, a distncia da Terra ao Sol, denominada unidade astronmica(U.A.). Isto quer dizer

que a distncia da Terra ao Sol de 1 U.A., ou ainda, um planeta que est 30 vezes mais afastado

do Sol do que a Terra tem o raio de sua rbita igual a 30 U. A. Para calcular a distncia dos planetasinternos (Mercrio e Vnus) ao Sol necessrio saber apenas sua elongao mxima (emx), que

corresponde ao ngulo medido entre o planeta e o Sol quando eles esto em seu afastamento

mximo vistos da Terra. Para Mercrio esse ngulo varia de 23 a 28 e para Vnus de 46.

Figura I.10. Quando um planeta interno est em sua elongaomxima, conforme aparece na figura, temos um tringuloretngulo formado pelo Sol, planeta e a Terra, com ngulo retono vrtice do planeta. Medindo-se o ngulo (emx) a partir daTerra e aplicando a relao trigonomtrica do seno calcula-se adistncia do planeta ao Sol (RP). RT a distncia da Terra aoSol.

T

Pmx

R

Resen =)(

Por um raciocnio parecido obtm-se as distncias para os planetas externos. Coprnico

tambm calculou os perodos de revoluo de cada planeta em torno do Sol. A tabela a seguir

apresenta os valores das distncias dos planetas ao Sol e seus respectivos perodos calculados por

Coprnico (encontrados em seu livro de Revolutionibus) e aqueles conhecidos atualmente. Os

planetas Urano e Netuno no eram conhecidos na poca.

PlanetaRaio mdio da rbita em U. A. Perodo orbital em anos

Coprnico Atual Coprnico Atual

Mercrio 0,376 0,387 0,24 0,24

Vnus 0,719 0,723 0,62 0,62

Terra 1 1 1 1

Marte 1,520 1,524 1,88 1,88

Jpiter 5,219 5,203 11,87 11,86

Saturno 9,174 9,539 29,44 29,46

Urano -------- 19,18 -------- 84,04

Netuno -------- 30,06 -------- 164,8

Coprnico conseguiu mostrar a superioridade de seu modelo heliocntrico em relao ao

modelo geocntrico, por explicar todos os fenmenos observados de maneira mais simples (ter

menos elementos) e sem ferir o ideal platnico, embora no com maior preciso. No entanto, a teoria

copernicana contrariava a expectativa de senso comum, baseada na fsica aristotlica vigente na

poca, dificultando sua aceitao. Foram os trabalhos de Galileu (1564- 1642) e Newton (1642-

1727), mais tarde, que lanaram as bases de uma nova fsica (a mecnica) que deram suporte

terico consistente para sua aceitao.

At ividades complementares:Sugestes de vdeos: episdios da srie Espaonave Terra; semanas 06, 18 e 21. Estudos

relacionados: o movimento retrgrado dos planetas e o modelo de Coprnico.


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1.10 - O modelo de Tycho Brahe (1546 - 1601)

Tycho considerado o maior astrnomo observacional da era pr-telescpica. Durante 20

anos de observaes cuidadosas feitas no maior observatrio astronmico do mundo da poca,

projetado por ele e financiado pelo Rei Frederico II da Dinamarca, revolucionou os conhecimentos

astronmicos com suas descobertas. Os instrumentos de observao foram concebidos e

aperfeioados pelo prprio Tycho que, devido a suas grandes propores, conseguiu obter medidas

das posies dos planetas e das estrelas dez vezes mais precisas que as melhores at ento

disponveis (o erro ficava limitado a 1 minuto de arco). Diferente dos astrnomos anteriores, que s

faziam medies dos planetas em ocasies especiais, ele fez observaes rigorosas e sistemticas

por um longo perodo de tempo (MEDEIROS, 2001).

O interesse de Tycho por astronomia comeou cedo, na sua juventude, com a ocorrncia de

eclipse parcial do Sol. Ele ficara impressionado com a possibilidade dos astrnomos conhecerem o

movimento dos astros com exatido e prever suas posies futuras. Outro fato que chamou suaateno foi a aproximao de Jpiter e Saturno em 17 de agosto de 1563. Ele notou que as tabelas

construdas a partir do modelo geocntrico erraram em vrias semanas ao predizer o evento e as

tabelas de Coprnico erraram por vrios dias. Tycho acreditava que novas e melhores tabelas

podiam ser construdas a partir de dados mais precisos, obtidos com sistemticas observaes

cuidadosas por um longo perodo de tempo.

Em novembro de 1572, Tycho observou uma estrela nova no cu, mais brilhante que Vnus,

que podia ser vista, inclusive, durante o dia. A ateno dos astrnomos de todo mundo tinha se

voltado quela estrela para saber se era um fenmeno atmosfrico ou se estava alm da esfera da

Lua, contrariando a imutabilidade do mundo supralunar de Aristteles. As medidas precisas de Tycho

revelaram que a estrela nova no apresentava paralaxe, ou seja, no tinha nenhum movimento em

relao s demais estrelas, e sua localizao deveria ser, no mnimo, para alm da esfera de

Saturno. Depois de 18 meses a estrela nova comeou a perder brilho rapidamente at desaparecer.

Cinco anos mais tarde, em 1577, apareceu um cometa no cu e Tycho estudou sua rbita. Ele

concluiu que os cometas, que at ento eram vistos como fenmenos atmosfricos situados prximos

Terra, descrevem uma rbita regular ao redor do Sol atravessando as esferas dos planetas. Essas

descobertas, pela primeira vez na histria da cincia, colocavam em dvida a validade da crena

aristotlica da perfeio e imutabilidade dos cus acima da esfera lunar.

Tycho acreditava que tanto o modelo geocntrico de Ptolomeu quanto o modelo heliocntrico

de Coprnico estavam errados. Ele concordava com a idia de que os planetas giram em torno do

Sol, mas no que a Terra tivesse qualquer movimento. Se a Terra se movesse em torno do Sol, as

estrelas deveriam apresentar paralaxes, ou seja, deveriam mostrar deslocamentos aparentes. Tycho

mediu as posies de vrias estrelas em um intervalo de 6 meses, tempo suficiente para a Terra

passar para o outro lado de sua rbita em torno do Sol, e no verificou nenhuma paralaxe. Logo,

concluiu que a Terra no se move.

O modelo proposto por Tycho era um modelo intermedirio entre os de Ptolomeu e de

Coprnico. Para Tycho, o Sol e a Lua giram em torno da Terra, que permanece imvel, enquanto osdemais planetas giram em torno do Sol (figura I.11).


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Com a morte do Rei Frederico II, Tycho perdeu o incentivo da corte s suas pesquisas e se

viu obrigado a deixar seu pas pelas perseguies que sofria. Mudou-se para Praga, onde escreveu e

publicou um livro (Instrumentos para a Astronomia Restaurada,1599) com a dedicatria ao Imperador

Rodolfo II. Com essa dedicatria Tycho ganhou o posto, a convite do Imperador, de Matemtico

Imperial. Seu trabalho era fazer horscopos para o Imperador, ao mesmo tempo que tentava ajustarseu modelo de mundo aos dados que havia coletado. Mas ele encontrava srias dificuldades em

ajustar seu modelo. A pedido de Tycho, o Imperador contratou novos auxiliares, entre eles o grande

matemtico Johannes Kepler (1571-1630), que foi trabalhar com ele em 1600. Dezoito meses depois,

Tycho morre sem conseguir realizar seu grande desejo, o de provar a validade e a superioridade de

seu modelo de universo (MEDEIROS, 2001).

Figura I.11. Modelo do sistema solar de Brahe: a Terra o centro imvel do mundo; apenas aLua e o Sol realizam movimento em torno da Terra. Os planetas giram em torno do Sol.

Questionrio 01

01. possvel, em alguma de suas fases principais, no ver a Lua durante a noite?

02. possvel ver a Lua durante o dia? Se sim, em qual fase (ou fases)?

03. Qual a fase (ou as fases) da Lua em que pode ocorrer um eclipse do Sol? E da Lua?

04. Quais as diferenas entre os mundos sublunar e supralunar de Aristteles?

05. As medidas do tamanho da Terra e da Lua e a distncia da Terra Lua, realizadas antes de

Cristo, eram todas equivocadas? Justifique.

06. Cite ao menos trs aspectos que fez o sistema de mundo de Ptolomeu se enquadrar na fsicaaristotlica.

07. O que so os deferentes e os epiciclos no modelo de Ptolomeu? Para que servem estes

artifcios?

08. Em quais aspectos os modelos de Ptolomeu e Coprnico se assemelham? Em quais aspectos

eles divergem?

09. Por que a s idias de Coprnico no foram aceitas na sua poca?

10. Cite uma descoberta feita por Tycho Brahe. Qual a conseqncia que essa descoberta teve, na

poca?

11. O modelo para o universo proposto por Tycho foi geocntrico ou heliocntrico? Justifique.


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MDULO II Texto 2

2 A NOVA FSICA DO MOVIMENTO E AS LEIS DE KEPLER

2.1 - IntroduoA indicao de que fenmenos celestes como a estrela nova de 1572 e cometas pertenciam

ao mundo supralunar contrariou sua imutabilidade, gerando controvrsias sobre a validade da fsica

aristotlica que j perdurava por quase 2000 anos.

O matemtico Galileu Galilei (1564 1642) da Universidade de Pdua (Itlia) introduziu a

matematizao e a experimentao como nova forma de fazer cincia. At ento, a matemtica s

era aplicada para descrever os movimentos da Lua, do Sol, dos planetas e das estrelas, por serem

movimentos circulares, pertencentes ao mundo perfeito supralunar. Aos fenmenos do mundo

sublunar, como o movimento dos corpos na superfcie terrestre, no era possvel aplicar a

matemtica. O lanamento de um objeto para o alto, por exemplo, durante seu movimento de subida,

realizava movimento violento, que era bruscamente interrompido quando atingia o ponto mais

elevado, para dar incio a um movimento natural para baixo. No havia continuidade entre os dois

movimentos e a matemtica no podia ser aplicada (BELLONE, 2005).

A fsica de Galileu prope, para o estudo dos fenmenos, previses tericas com base em

argumentos vindos do mundo das idias que so confrontados com experincias sensveis. Essas

previses tericas seriam validadas quando os resultados das experincias sensveis fossem

razoavelmente prximos dos valores previstos. Ele conclui que, devido complexidade dos

fenmenos e dos numerosos fatores envolvidos, no possvel chegar a um conhecimento exato dosfenmenos.

bastante comum encontrar nos livros didticos de fsica, relatos histricos de um Galileu

empirista, ou seja, um cientista que faz suas descobertas a partir de resultados observacionais

aplicando o mtodo cientfico1. Porm, para a epistemologia contempornea, a idia empirista na

construo do conhecimento cientfico inadequada e limitada. A motivao dos trabalhos de Galileu

em propor um suporte terico consistente teoria copernicana. Galileu realizava dois tipos de

experincias: as de pensamento e as de observao; estas so apenas os procedimentos

necessrios (dispositivos e tomadas de dados) para a verificao daquelas, que so as bases

tericas com a origem no mundo das idias. (SILVEIRA e PEDUZZI, 2006).

2.2 - O conceito de inrcia

Defensor do sistema copernicano, Galileu trabalhou exaustivamente na formulao de uma

nova fsica que desse um suporte consistente ao modelo heliocntrico, uma teoria que aproximasse a

fsica dos movimentos planetrios fsica dos movimentos dos objetos na superfcie terrestre. A

ruptura com a fsica aristotlica ocorre quando Galileu enuncia pela primeira vez, em 1593, sua teoria

sobre o movimento e o repouso. Ele afirma que, em uma situao ideal, nenhuma fora necessria

para que um corpo mantenha seu movimento retilneo com velocidade constante. Para chegar a essa

1 O mtodo cientfico uma atividade realizada na cincia na elaborao de teorias numa determinadaseqncia, a saber: 1. observao (fato, dados); 2. reflexo ou raciocnio (hiptese); 3. experimentao; 4.generalizao (lei); 5. teoria (CARVALHO e SOUZA, 2004, pg. 9-10).


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concluso, ele props uma experincia de pensamento idealizada com uma esfera e uma superfcie

plana perfeitamente lisa. Essa experincia est esquematizada na figura II.1. A esfera sempre parte

do repouso emA, percorre o plano inclinadoABe chega a Bcom certa velocidade. Se ela continuar

seu movimento percorrendo o plano BC, ela ir aumentar cada vez mais sua velocidade, pois ela est

descendo o plano. Quando a esfera for obrigada a percorrer o plano BD, a velocidade que elaadquiriu no trechoABvai constantemente diminuindo at parar em D. Se a esfera percorrer um plano

com menor inclinao, como os trechos BE e BF, sua velocidade vai diminuir gradativamente at

parar, percorrendo uma distncia maior para a menor inclinao do plano (trecho BF). Mas no

havendo inclinao nenhuma, como o plano BH, no haver reduo na velocidade da esfera e ela

percorrer toda a extenso do plano, mesmo ele sendo muito extenso, sem parar.

Figura II.1. Os diferentes planos na experincia mental idealizada por Galileu.

A experincia demonstra que o movimento retilneo com velocidade constante to natural

quanto o estado de repouso, isto , assim como todo corpo em repouso tende a permanecer em

repouso todo corpo em movimento tende a permanecer em movimento retilneo uniforme. A essa

propriedade, inerente a todos os corpos, Galileu denominou de inrcia.

No dia a dia os objetos em movimento sobre superfcies horizontais cessam seus movimentosno pela ausncia de foras, mas pela presena de foras resistivas que se opem ao movimento,

como o atrito existente entre as superfcies em contato e a resistncia do ar.

Com o conceito de inrcia, Galileu tem argumentos para defender a mobilidade da Terra

como havia proposto Coprnico. A fsica aristotlica prev a imobilidade da Terra dizendo que um

objeto que lanado verticalmente para o alto deveria ser deixado para trs caso a Terra estivesse

em movimento, e no retornar ao local de lanamento, como de fato se observa. De acordo com

Galileu, o objeto ao ser lanado verticalmente para cima compartilha, desde o incio, o mesmo

movimento que a Terra realiza pelo espao e, durante seu movimento de subida e descida, o objeto

tambm se desloca, assim como a Terra, retornando ao mesmo local de onde foi lanado. Esse fatotambm pode ser observado quando uma pessoa, que se encontra em um trem em movimento

retilneo com velocidade constante, deixa cair uma moeda. Todas as pessoas que esto paradas

naquele vago vero a moeda cair aos ps da pessoa que a largou, e no cair para trs como muitos

imaginam.

2.3 - Conceito de movimento e repouso

Como podemos saber se um corpo est em movimento ou se est em repouso?

Para entender essa questo analisaremos a seguinte situao: em uma noite de vero,

procure localizar no cu a constelao de rion. Espere algumas horas e retorne a localizarnovamente rion. As estrelas esto em repouso ou em movimento?


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Figura II.2. No quadro da esquerda a constelao de rion surge sobre o horizonte leste noincio da noite em dezembro. meia noite, no mesmo dia, no quadro da direita, rion estcerca de 60 acima do horizonte.

O que voc provavelmente ter observado que a posio das estrelas em relao a voc

mudou com o passar do tempo. Tambm deve ter notado que as estrelas no se moveram umas em

relao s outras (motivo pelo qual so denominadas de estrelas fixas). Isso quer dizer que asestrelas esto em movimento em relao a uma casa, uma rvore ou um observador aqui na Terra,

mas cada uma est em repouso em relao s demais estrelas no cu. Portanto, falar em movimento

ou em repouso s faz sentido se considerarmos um referencial, em relao ao qual descrevemos as

posies de um corpo. Referencial pode ser entendido como o lugar de onde algum est

observando.

Para descrever a rapidez com que um corpo se movimenta, usamos o conceito de

velocidade. Define-se velocidade mdia (vm) de um mvel atravs da razo entre o deslocamento

(s) realizado e o correspondente intervalo de tempo(t):

t

svm

=

Para melhor entender esse conceito, suponha que um automvel, em uma viagem, percorreu

uma distncia de 320 km demorando 4 h. A velocidade mdia desenvolvida pelo carro foi de 80 km/h.

Ser que durante a viagem a velocidade do carro sempre era de 80 km/h? Certamente no! O

velocmetro do carro deve ter marcado velocidades diferentes, s vezes menor, outras vezes maior,

outras vezes igual a 80 km/h. O velocmetro mostra a velocidade do mvel no exato momento em que

observado, a cada instante, sendo o valor lido, denominado velocidade instantnea. Podemos

obter a velocidade instantnea, com boa aproximao, quando o deslocamento tomado no mnimo

intervalo de tempo possvel de ser medido, ou seja, num intervalo de tempo tendendo a zero. Mas

tambm fcil de perceber que, se a velocidade fosse sempre mantida igual a 80 km/h, durante todo

o percurso, o carro percorreria aqueles 320 km no mesmo tempo de 4 h. Nestas condies, dizemos

que o carro est em movimento uniforme. Isto , um corpo realiza movimento uniforme quando, em

intervalos de tempos iguais, percorre distncias iguais. Portanto, podemos afirmar que o mdulo da

velocidade em um movimento uniforme constante.

So exemplos de movimentos uniformes a extremidade do ponteiro de um relgio, uma gota

de chuva na parte final da queda e um satlite em rbita circular.

A unidade de velocidade no sistema internacional o metro por segundo (m/s). Na prtica, bastante comum medir a velocidade em quilmetros por hora (km/h).


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A mesma expresso para se calcular a velocidade mdia (vm) tambm pode ser utilizada para

calcular o deslocamento ou a distncia percorrida (s). Para isso, bastar isolar o deslocamento da

expresso, que se obtm: (s = vm. t).

Vamos retomar o conceito de velocidade instantnea atravs da leitura de um pequeno texto

que segue.Para ilustrar este conceito, vamos parafrasear uma anedota utilizada por Feyman em seu curso. Ela tem a forma de

um dilogo entre um estudante (E) que estava dirigindo seu carro de forma a no chegar atrasado na aula de fsica e

o guarda (G) que o fez parar, acusando-o de excesso de velocidade:

G: O seu carro estava a 120 km/h, quando o limite de velocidade aqui de 60 km/h!

E: Como que eu podia estar a 120 km por hora se s estava dirigindo h cerca de 1 minuto, e no durante uma

hora?

G: O que quero dizer que, se continuasse em frente do jeito que estava, teria percorrido 120 km em uma hora.

E: Se tivesse continuado sempre em frente, eu teria ido bater no prdio da Fsica!

G: Bem, isso seria verdade se tivesse seguido em frente por uma hora. Mas, se tivesse continuado em frente por um

minuto, teria percorrido 120km/60 = 2 km, e em 1 s teria percorrido 2 km/60 = 33,3 m, e em 0,1 s teria percorrido 3,33

m, e teria dado perfeitamente para prosseguir durante 0,1 s.

E: Mas o limite de velocidade de 60 km/h, e no de 1,66 m em 0,1 s!

G: a mesma coisa: o que conta a velocidade instantnea.

(NUSSENZVEIG, 1996, Pg. 25).

2.4 - Movimento de queda

Quando abandonamos simultaneamente, da mesma altura, duas bolas de mesmo tamanho,

uma de ao e outra de isopor, qual delas chegar primeiro ao cho?

Assim como prev a teoria aristotlica, e para a maioria de ns, a resposta parece ser bvia:

devido ao maior peso, a esfera de ao chegar primeiro.

Realizemos agora uma experincia em que usaremos duas esferas de mesmo tamanho efeitas de mesmo material e um cilindro comprido cheio de gua. Deixemos as esferas carem

simultaneamente, uma atravs do ar e outra atravs da gua (figura II.3). Observando seus

movimentos notaremos que a esfera que cai atravs da coluna de gua se atrasar em relao

outra que cai pelo ar. Podemos repetir a experincia com esferas de outros materiais ou outros

tamanhos, mas teremos sempre o mesmo resultado: a velocidade da esfera na gua menor que a

velocidade da esfera no ar. Podemos ainda realizar uma outra experincia com um segundo tubo

comprido cheio de azeite. Quando deixamos cair simultaneamente duas esferas idnticas, aquela que

cai na gua chega mais depressa ao fundo do que aquela que cai no azeite. A resistncia ao

movimento do azeite maior do que a resistncia da gua. Como a resistncia ao movimento da

gua maior que a resistncia do ar, necessariamente a resistncia do azeite maior que a do ar.

Figura II.3. Esto representadas esferas idnticas, de mesmo tamanho e peso, que soabandonadas de mesma altura. Na gua a velocidade de queda maior que no azeite, e noar a velocidade maior que na gua. Meios diferentes se opem ao movimento comresistncias diferentes.


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Para os aristotlicos o peso do objeto o fator determinante na velocidade em um meio

resistivo. O tamanho, por exemplo, deveria atrasar a esfera maior, mas no o que se observa. Pois

quando deixamos cair simultaneamente uma esfera pequena e uma maior, ambas de ao, em um

cilindro comprido cheio de gua, a esfera grande, a mais pesada, chega ao fundo antes da esfera

menor, que mais leve. Da mesma forma, quando largamos uma esfera de ao e outra de vidro,

ambas de mesmo tamanho, a esfera mais pesada chegar ao fundo primeiro, isto , a esfera de ao

ir vencer muito melhor a resistncia do meio que se ope ao movimento (SILVA, 2004, p. 13 20).

De acordo com Lei Aristotlica do Movimento, ao deixarmos cair no mesmo meio (ar ou gua)

duas esferas de mesmo tamanho, mas de diferentes pesos, de modo que uma tenha o dobro do peso

da outra a velocidade da esfera mais pesada deve ser o dobro da mais leve. Experincias cuidadosas

desse tipo, que podem ser realizadas em casa com uma bolinha de vidro e outra de ao, revelam

resultados que contrariam as previses da teoria aristotlica.

Galileu j conhecia este fato e descreve que para percursos de queda pequenos, do teto aocho de uma sala, por exemplo, as bolinhas cairo juntas e uma pequena diferena apenas seria

observada para distncias de queda muito maiores.

Estudando o movimento de queda em meios resistivos, Galileu, em 1604, anunciara a Lei da

Queda Livre: no vcuo, os movimentos de queda so os mesmos para todos os corpos,

independentemente de seu peso e sua forma, quando abandonados simultaneamente. Galileu

chegou a esta concluso notando que a diferena entre o movimento de queda de objetos de pesos e

formas diferentes cada vez menor medida que esses objetos caem em meios de resistncia cada

vez menores. Ele estava convencido de que, por mais fluido, suave e tranqilo que seja o meio, ele

se ope ao movimento com uma resistncia que est diretamente relacionada com a velocidade do

objeto. Experincias para esse fim podem ser idealizadas diminuindo-se a ao perturbadora do ar ao

mnimo, onde os movimentos devem acontecer de forma muito mais lenta do que o de um objeto em

queda livre, utilizando-se pndulos com pequenas oscilaes.

Quando a resistncia do meio desprezvel a velocidade de queda de um objeto abandonado

de certa altura aumenta gradativamente at atingir o cho. Galileu denominou esse movimento de

naturalmente acelerado ou uniformemente acelerado e o conceituou dizendo que o movimento

uniformemente variado aquele que, partindo do repouso, adquire, em tempos iguais, variaes

iguais da velocidade.

Hoje sabemos que a variao da velocidade de corpos em queda livre aproximadamente 10

m/s em cada segundo (denominada de acelerao da gravidade g), isto , quando abandonamos

uma esfera de chumbo de certa altura, depois do primeiro segundo de queda, sua velocidade de 10

m/s, ao final de 2 s, sua velocidade de 20 m/s e assim por diante.

A distncia percorrida por um corpo em movimento uniformemente acelerado igual

distncia que seria percorrida no movimento uniforme com a velocidade mdia (s = vm. t). Por

exemplo, um mvel que aumenta sua velocidade uniformemente de 10 m/s para 20 m/s em um

intervalo de 4 s, percorre uma distncia igual a 60 m (vm= 15 m/s vezes 4 s) nesse intervalo.

Galileu apresenta em sua teoria da queda dos corpos que, se um corpo se move commovimento uniformemente acelerado, as distncias por ele percorridos em qualquer tempo, so


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proporcionais aos quadrados desses tempos ( 2ts ). A constante para tornar esta equao uma

igualdade, para corpos em queda livre, a altura de queda no primeiro segundo. Galileu nunca

conseguiu determinar esse valor corretamente, mas hoje sabemos que aproximadamente 5. Logo,

a expresso para as distncias percorridas de corpos que caem do repouso 25 tS = .

Galileu apresenta a seguinte demonstrao para a obteno da lei da queda livre (Dias et al,

2004, p. 261):

Pelo teorema da velocidade mdia:

=

2

1

2

1

2

1

t

t

v

v

S

S (01)

Por definio de movimento uniformemente acelerado:2

1

2

1

t

t

v

v= (02)

Logo:

2

2

1

2

1

=

t

t

S

S (03)

Da mesma forma:

2

2

1

2

1

=

v

v

S

S (04)

Atualmente, as expresses 03 e 04 so escritas, respectivamente, assim:

2

2t

aS= e

2

2a

vS= , onde a a acelerao do movimento.

Para testar a validade da relao matemtica da queda livre ( 2ts ) Galileu realizou

experincias com plano inclinado. Ele descreve os experimentos utilizando-se de uma caneta comcerca de 12 braas (aproximadamente 7m), inclinada, onde deixou rolar uma esfera de bronze muito

lisa. Primeiramente mediu, com um relgio dgua, o tempo necessrio para a esfera percorrer toda a

canaleta. Em seguida deixou rolar apenas um quarto da canaleta (3 braas) e o tempo medido era

rigorosamente a metade do tempo medido anteriormente. Galileu ainda relata que essas experincias

foram repetidas inmeras vezes e os resultados sempre comprovavam a validade da relao do

espao percorrido com o quadrado do tempo, independente da inclinao da canaleta.

A famosa experincia da torre de Pisa, muito divulgada em livros didticos de fsica, onde

Galileu teria deixado cair duas bolas de chumbo, uma grande e outra pequena, simultaneamente,

para mostrar que chegariam juntas ao cho ao p da torre nunca foi por ele realizada. Galileu tinha a

certeza de que as bolas de chumbo no chegariam juntas devido a presena do ar, pois essa teoria

valida apenas no vcuo (SILVEIRA e PEDUZZI, 2006).

2.5 - Conceito de acelerao.

Em termos da Fsica, a acelerao indica a rapidez com que ocorre uma determinada

variao na velocidadede um mvel. Um carro cuja velocidade aumenta de zero a 60 km/h estar

acelerando. Se um outro carro puder ter essa mesma variao de velocidade, mas em intervalo de

tempo menor, dizemos que esse segundo carro tem uma acelerao maior.

Define-se acelerao mdia(am) como sendo a razo entre a variao da velocidade (v) de

um mvel e o correspondente intervalo de tempo(t):


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t

vam

=

Consideremos um automvel que partindo do repouso atinge, depois de 5 s, a velocidade de

20 m/s. Nesse caso, a acelerao mdia do carro ser de 4 m/s em cada segundo. O resultado nos

informa que a cada segundo, em mdia, a velocidade do carro aumenta de 4 m/s, ou seja, partindodo repouso no instante zero, no instante 1 s, a velocidade instantnea 4 m/s, no instante 2 s, 8 m/s,

no instante 3 s, 12m/s, no instante 4 s, 16 m/s e no instante 5 s, 20 m/s.

Na unidade do sistema internacional, a acelerao medida em metro por segundo por

segundo (m/s/s) que tambm corresponde ao metro por segundo ao quadrado (m/s2).

2.6 - Lanamento de pro jteis

Ao resolver o problema da queda dos corpos, Galileu tambm resolve a questo da trajetria

dos projteis, que at ento ainda no havia sido completamente resolvida e que tinha grande

importncia para fins militares. Ele assegura que a trajetria de um projtil lanado em ngulo queno seja na vertical tem a forma parablica ( importante salientar que a rbita parablica uma

aproximao de uma rbita elptica muito alongada). difcil conseguir perceber a forma da trajetria

olhando para um projtil que se movimenta pelo ar. Mas Galileu relata que possvel observar essa

trajetria atravs de uma experincia em que lanamos obliquamente sobre um plano inclinado,

quase perpendicularmente ao horizonte, uma bola coberta de tinta: durante seu movimento ela ir

desenhar uma linha parablica muito precisa (BHRKE, 2005a).

Figura II.4. Em A, esto representadas as trajetrias das balas de um canho como eramdescritas antes de 1600. Em B, esto representadas as trajetrias de bolas banhadas emtinta, lanadas obliquamente em ngulos diferentes, em um plano ligeiramente inclinado coma vertical.

Para determinar a forma parablica das trajetrias dos movimentos de projteis, Galileu

aplica a tcnica da composio dos movimentos, que era usada para descrever os complicados

movimentos dos planetas no modelo de Ptolomeu. possvel descrever a trajetria de qualquer

projtil em movimento pela composio do movimento de queda e do movimento retilneo uniforme.

Enquanto o projtil realiza um movimento retilneo uniforme na direo em que lanado, realiza ao

mesmo tempo, a partir do momento em que lanado, um movimento de queda. Com a composio

desses dois movimentos possvel traar a sua trajetria. Para entender a tcnica da composio de

movimentos apresentamos a seguir dois exemplos.

Exemplo01: Uma esfera de vidro lanada, verticalmente para cima, com velocidade de 30 m/s, apartir do solo. Qual a velocidade e a altura da esfera 1s, 3s e 5s aps seu lanamento?


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Soluo:

Figura II.5. O primeiro esquema mostra o valor da velocidade da esfera aps o lanamentoque diminui 10 m/s em cada segundo. O segundo, mostra a altura da esfera 1 s aps olanamento, ela sobe, pelo movimento uniforme, 30 m e cai 5 m e pela composio temos aaltura igual a 25 m. Para 3s a esfera sobe 90 m, cai 45 m e a altura que ela se encontra 45m. Para 5 s aps o lanamento a esfera ter subido 150 m, cado 125 m e ela estar a alturade 25 m.

Exemplo02: Uma bala de canho lanada a 50 m/s, em direo a um ponto situado a 160 m acimae a 120 m frente do ponto de lanamento.(a) Determine a trajetria dessa bala.(b) Qual a altura mxima que a bola atinge e qual seu alcance?

Soluo:

Figura II.6. No primeiro grfico est representada a trajetria do projtil devido ao movimentoretilneo uniforme. No segundo diagrama esto representadas as quedas que o projtil sofredepois de cada segundo e a trajetria parablica do projtil que o resultado da combinaodos dois movimentos.

2.7 As contribuies de Galileu na astronomia

A primeira pessoa a observar os cus com uma luneta e divulgar seus resultados foi o

cientista italiano Galileu Galilei no ano de 1609. Mas, na mesma poca das primeiras observaes de

Galileu outros cientistas tambm j estudavam a Lua e os planetas atravs desse instrumento. H

registros de que lentes e culos j eram conhecidos havia alguns sculos, sendo usados por cardeais

para auxiliar a leitura, e a luneta j era usada como instrumento de magnificao para observao de

objetos distantes. Galileu soube da existncia desse instrumento, e em pouco tempo, sem jamais ter


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visto um, compreendeu seu funcionamento e construiu um exemplar com um aumento de oito vezes.

Em seguida confeccionou outras lunetas melhorando muito seu desempenho nas observaes das

estrelas.

Foram necessrias somente algumas semanas de observaes para publicar um relatrio

sobre suas grandes descobertas. Em maio de 1610 publicou um pequeno livro de astronomia,intitulado "A Mensagem das Estrelas"no qual resume suas observaes celestes, atravs da luneta,

que deram uma nova viso do Universo (BELLONE, 2005).

Ao observar a Lua, verificou que ela no era "polida, regular e de uma esfericidade perfeita

como pensava a maioria dos filsofos, mas sim irregular, rugosa, provida de vales e montanhas,

como a prpria superfcie da Terra, que se tornou diferente em todo lugar pelas alturas das

montanhas e profundezas dos vales". Acrescentou tambm descrio feita, desenhos que mostram

os detalhes que eram observados com a luneta. Chegou a estimar a altura de montanhas elevadas a

partir da sombra projetada pelos raios solares.

Ao apontar a luneta para uma regio qualquer do cu, ele ficou espantado pelo imenso

nmero de estrelas que aparecem e que no podem ser vistas a olho nu. Na constelao de rion a

luneta fazia aparecer, em seu pequeno campo de observao, mais de 500 novas estrelas. Descobriu

que a Via Lctea, sugerida at ento como uma "luminosidade leitosa, percebida como uma

nebulosidade esbranquiada" era constituda apenas por uma infinidade de estrelas.

As observaes do planeta Jpiter foram as que mais lhe chamaram a ateno: na primeira

e na segunda noite, nos dias 7 e 8 de janeiro de 1610, notou trs pequenas, mas brilhantes pontos

brilhantes perto dele que mudavam de posio de uma noite para outra. Na noite do dia treze do

mesmo ms, Galileu observou que as estrelas mveis em torno de Jpiter eram quatro. Depois de

algumas semanas de observaes ele concluiu que os corpos que descrevem crculos menores ao

redor de Jpiter se movimentam mais rpido do que aqueles que fazem crculos maiores (como

Mercrio e Vnus ao redor do Sol).

Figura II.7. A posio das luas de Jpiter conforme as anotaes de Galileu (figura baseadaem BELLONE, 2005, p.49-50).

Uma srie de observaes do planeta Vnus revelou que ele mostrava fases assim como

a Lua. Vnus aparecia s vezes completamente iluminado, para em seguida estar parcialmente

iluminado, em quarto "minguante", depois estreitando-se cada vez mais at desaparecer, seguindo

um ciclo que no era observado com o planeta Marte. Essas observaes levaram Galileu a concluir

que os planetas no tm luz prpria, apenas refletem a luz do Sol, e Vnus gira em torno do Sol,

assim como Mercrio e todos os outros planetas conforme descrito por Coprnico e contradizendo

frontalmente o modelo de Ptolomeu, segundo o qual, Vnus est sempre entre o Sol e a Terra (o queo mostraria no mximo como um crescente iluminado).


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Figura II.8. No quadro a representao do aspecto de Vnus numa seqncia deobservaes, da esquerda para a direita, feitas com telescpio (figura adaptada deBELLONE, 2005, p.54).

As observaes de Saturno mostraram que o planeta no aparecia esfrico, mas achatado

em forma de azeitona e, pouco depois, com instrumento mais potente, como um sistema composto

por trs corpos esfricos alinhados. Os dois corpos exteriores, posicionados diametralmente opostos

ao do centro, eram bem menores que este, dando a um aspecto de orelhas ao planeta. Para minha

grande surpresa, observei que Saturno no uma estrela nica, mas trs em conjunto, que se tocam,

ficando imveis em relao a si mesmas (GALILEI apud BELLONE, 2005, p.55). Observaes

futuras de Saturno, com equipamentos mais sofisticados, revelaram que as orelhas desse planeta

so apenas anis que o circundam.

Galileu tambm fez extensas observaes do Sol, com sua luneta, para estudar as

manchas solares. O Sol, considerado realmente como um corpo celeste sem nenhum defeito,

mostrava manchas escuras em sua superfcie que se deslocavam, revelando uma verdadeira rotao

do Sol, que arrastaria as manchas com ele. Galileu conseguiu estimar em um ms o tempo para o Sol

realizar uma rotao completa em torno de si mesmo.

Figura II.9. No quadro o Sol quando observado com telescpio, equipado com filtrosadequados, em duas datas com intervalo de alguns dias. O grupo de manchas que aparecena figura do Sol esquerda se deslocou no sentido da seta da figura da direita. Enquantoalgumas manchas evoluem, aumentando de tamanho, outras reduzem de tamanho ousimplesmente desaparecem.

As teorias divulgadas e as descobertas astronmicas feitas por Galileu sofreram resistncia

pela elite intelectual da poca e Galileu foi acusado de subverter a filosofia natural aristotlica e as

sagradas escrituras.


Sugestes de vdeos: episdios da srie Espaonave Terra; semanas 31, 20, 26 e 28 eJulgamento de Galileu. Estudos relacionados a esses programas: aspectos relacionados sobservaes celestes com telescpios, da Via-lctea, dos satlites de Jpiter, do planeta Vnus, dasmanchas solares e encenao contextualizada do julgamento de Galileu.


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2.8 - As leis de Kepler

O cientista alemo Johannes Kepler (1571 - 1630) foi outro personagem de destaque na

histria da cincia, que contribuiu de forma notvel para a astronomia. Filho de famlia humilde,

destacava-se nos estudos da escola normal, conseqncia de seu esforo e dedicao, o que lhe

garantiu uma vaga com bolsa para o ingresso ao ensino superior. Ele tinha grande estima por seus

professores, os pastores luteranos, e via neles elevado prestgio social porque constituam a elite

intelectual reconhecida. Este fato provocava em Kepler fortes desejos de seguir essa carreira. Seu

maior interesse nos estudos era a astronomia, provavelmente despertado j na infncia em duas

ocasies inesquecveis por ele relatadas: quando a me o leva para um lugar alto para melhor

observar um cometa, aos 6 anos de idade, e quando seu pai lhe mostra um eclipse da Lua em que

ela assume um tom avermelhado, 3 anos mais tarde (LOMBARDI, 2005).

Quando faltavam apenas alguns meses para ser ordenado pastor, em 1694, Kepler recebe

um convite e vai a Graz, na ustria, como matemtico provincial e professor de matemtica. Como

professor, sentia muitas dificuldades e ele mesmo considerava suas aulas confusas e poucoatraentes. Embora nunca tenha acreditado que a posio dos astros no cu tivesse alguma influncia

sobre a vida das pessoas, adquiriu notoriedade como astrlogo aps a confirmao de duas

previses que ele havia feito: uma intensa onda de frio e a invaso dos turcos (MEDEIROS, 2002).

Kepler era defensor ferrenho do sistema copernicano. Ele persegue o ideal de encontrar uma

forma matemtica que relacionasse as diferentes rbitas dos planetas a uma descrio fsica do

Universo. Acreditava que deve existir uma causa fsica para a posio central do Sol no Universo.

Em seu primeiro livro que escreve, o Mistrio Cosmogrfico, em 1596, ele defende clara e

abertamente o sistema copernicano e apresenta os slidos platnicos para explicar as relaes

entre as diferentes rbitas dos planetas (Figura II.10). Os slidos platnicos so poliedros regulares

e existem em nmero de cinco: o cubo (6 quadrados), o tetraedro (4 tringulos), o octaedro (8

tringulos), o dodecaedro (12 pentgonos) e o icosaedro (20 tringulos). As esferas dos planetas

eram separadas por cada um desses slidos que se encaixavam, mantendo a mesma razo entre si

que os raios das rbitas de Coprnico, para formar o sistema solar. S as rbitas de Mercrio e de

Saturno no se encaixavam muito bem. Isso no deixara Kepler satisfeito. Sua ambio era encontrar

um modelo que fosse precisamente exato e no aproximadamente. As discrepncias observadas

deveriam vir de erros nas tabelas de Coprnico e no em seu elegante modelo geomtrico. Ele

precisava ter acesso a dados observacionais bem mais precisos que aqueles deixados por Coprnicoe seu interesse voltou-se na direo de Tycho Brahe que era conhecido em toda Europa pelo seu

trabalho.

Figura II.10. Os slidos de Plato que separam as esferas dos planetas (embora estejam

encaixadas aqui elas aparecem separadas): octaedro (entre Mercrio e Vnus), icosaedro(entre Vnus e Terra), dodecaedro (entre Terra e Marte), tetraedro (entre Marte e Jpiter),cubo (entre Jpiter e saturno). (figura adaptada de LOMBARDI, 2005, p.18).


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Em 1598 comeou a perseguio aos protestantes em Graz e a escola em que Kepler

trabalhava foi fechada. Seu trabalho agora se limitava a fazer horscopos at o ano seguinte, quando

preferiu deixar Graz a se converter ao catolicismo. Na mesma poca Tycho sente a necessidade de

convidar Kepler para ser seu assistente. Tycho no estava conseguindo adequar os dados

observacionais ao seu modelo e s uma pessoa talentosa como Kepler, com inspirao econhecimentos matemticos, poderia provar a superioridade de seu modelo.

O encontro entre Johannes Kepler e Tycho Brahe aconteceu em fevereiro de 1600. A

personalidade explosiva de ambos os levou a vrios desentendimentos. Tycho preferiu no

compartilhar seus dados e s passou a Kepler aqueles referentes rbita de Marte, por estarem em

maior desacordo com seu prprio modelo. Enquanto o destino favoreceu Kepler, que ali iniciou sua

brilhante carreira de astrnomo, foi triste para Tycho, que veio a morrer vinte meses depois desse

encontro.

De posse dos preciosos dados observacionais de Tycho, com determinao Kepler se ps a

calcular a rbita do planeta Marte. O que ele imaginou se concretizar em poucos dias acabou se

tornando numa tarefa exaustiva, penosa e quase interminvel. Demorou dois anos para perceber que

era preciso abandonar a idia de epiciclos e do movimento circular uniforme dos planetas. Primeiro

teve que calcular a rbita da Terra e descobriu que ela realiza um movimento que no uniforme em

torno do Sol o qual se encontra deslocado em relao ao centro dessa rbita: a distncia da Terra ao

Sol no sempre a mesma. Quando a Terra est mais prxima do Sol, no perilio, ela se desloca

mais rapidamente, e quando est mais afastada, no aflio, desloca-se mais devagar. Para elucidar a

rbita de Marte foram necessrios mais quatro longos anos de clculos, at concluir que a rbita de

Marte, assim como a da Terra, uma elipse e no um crculo como ele tanto havia insistido. Ele

publicou seus achados em 1609 emAstronomia Nova,onde generaliza os resultados enunciando as

duas primeiras leis (LOMBARDI, 2005).

1. Lei das rbitas elpticas : "A rbita de cada planeta uma elipse, com o Sol em um dos focos".

O perilio corresponde ao ponto da rbita de um planeta do sistema solar em que ele fica

mais prximo do Sol. O aflio corresponde ao ponto de maior afastamento do planeta em relao ao

Sol. O perilio da Terra ocorre no incio do ms de janeiro, quando a distncia entre o planeta e o Sol

chega a 147 milhes de quilmetros. No aflio, que acontece no incio do ms de julho, a distncia

entre o planeta e o Sol chega a 152 milhes de quilmetros.

Figura II.11. Os pontos F1e F2na figura so os focosda elipse. O Sol ocupa um dos focos das rbitaselpticas de cada planeta. Se a posio do Sol for F1, oplaneta em sua rbita est no perilio em A e no aflioem B. A elipse aqui apresentada bastante alongada,de forma a destacar as posies dos focos. As rbitasdos planetas so muito menos alongadas do que isso;se fossemos representar fielmente a sua forma emuma figura deste tamanho teramos que desenhar umacircunferncia, pois os focos estariam separados demenos de 1 mm e, portanto, ficariam praticamente no

mesmo ponto. A mesma observao vale para figura II.12.


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2. Lei das reas: Um planeta em rbita em torno do Sol no se move com velocidade constante,

mas de tal forma que uma linha traada do planeta ao Sol varre reas iguais em intervalos de tempo

iguais.

Figura II.12. Se o tempo necessrio para o planeta ir deA para B o mesmo quando vai de C para D e de Epara Fento as reasAAB,ACDe AEFso iguais. Comoa distncia percorrida pelo planeta em cada um dospercursos diferente a sua velocidade tambm o ser.A velocidade no perilio sempre maior do que noaflio. A velocidade da Terra ao redor do Sol cerca de30,3 km/s no perilio e 29,3 km/s no aflio.

3. Lei dos perodos: "O quadrado do perodo (T) de revoluo dos planetas diretamente

proporcional ao cubo de sua distncia mdia (R) ao Sol."

32

RT ou 32

22

31

21

R

T

R

T

=

Esta lei estabelece que planetas com rbitas maiores, mais afastados do Sol, movem-se mais

lentamente em torno do Sol do que os planetas mais prximos a ele.

A tabela abaixo mostra os perodos dos planetas, em anos, e sua distncia mdia ao Sol, em

unidades astronmicas (u.a.)2.

Planeta Mercrio Vnus Terra Marte Jpiter Saturno Urano Netuno

T(anos) 0,241 0,615 1,00 1,881 11,862 29,457 84,04 164,8

R(u.a.) 0,387 0,723 1,00 1,524 5,203 9,539 19,18 30,06

A terceira lei tambm conhecida por lei harmnica e foi publicada em Harmonia do Mundo

no ano de 1618. Kepler acreditava que assim como existe uma harmonia nos sons (msica) e nas

cores (pintura) deveria existir uma harmonia no Universo. A concepo da terceira lei lhe permitiu

confirmar sua prpria viso harmnica do universo, cuja busca comeou em 1596 com o modelo dos

poliedros regulares em Mysterium Cosmograficum.Embora essa harmonia no fosse confirmada nos

slidos de Plato, ela foi encontrada na precisa proporo 3/2, que a base do sistema musical

pitagrico, que liga os tempos peridicos dos planetas com suas distncias mdias ao Sol.


Sugestes de vdeos: um episdio da srie Espaonave Terra; semana 06. Estudosrelacionados a esses programas: as leis de Kepler no movimento de translao da Terra.

21 unidade astronmica a distncia mdia da Terra ao Sol (aproximadamente 150 milhes de km).


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Questionrio 02

01. Por que um livro atirado sobre uma mesa de modo a deslizar, acaba parando?

02. Lanado sobre um piso horizontal muito liso, um bloco desloca-se em linha reta com velocidade

constante. Algum que observa o movimento afirma que, sobre o bloco, atua uma fora para frente

que mantm esse movimento. Esta afirmao est correta? Como voc justifica o movimento do

bloco?

03. Uma bola est rolando sobre um plano com velocidade de 2,0 m/s e nenhuma fora age sobre

ela. Qual ser sua velocidade depois de 10 s?

04. Um nibus est se movendo em uma estrada reta, com certa velocidade. Ao frear bruscamente,

uma pessoa "lanada" para frente. H alguma fora que atua no passageiro, lanando-o para

frente? Explique.

05. Por que voc vai para frente quando o trem em movimento desacelera para uma parada e vai

para trs, quando o trem acelera partindo do repouso? O que aconteceria se o trem entrasse em uma

curva com velocidade constante em mdulo?06. Um pra-quedista e seu pra-quedas sofrem a fora de atrao gravitacional (peso) exercida pela

Terra. Quando esta fora for maior que a resistncia do ar que se ope ao movimento, o que

acontece com a velocidade dele? E quando as foras forem iguais?

07. Considere a seguinte situao: Uma pequena esfera pende de um fio preso ao teto de um trem

em movimento.

(a) Se o movimento do trem for uniforme, o fio permanecer na vertical?

(b) Se o trem acelerar, o fio se inclinar? Em que sentido?

(c) Se trem frear, o fio se inclinar? Em que sentido?

08. Um ciclista percorre uma pista com velocidade de 54 km/h. Calcule a velocidade do ciclista em

m/s.

09. Um automvel se move com velocidade de 40 km/h e um ciclista, com velocidade de 10 m/s. Qual

deles se move com maior velocidade?

10. Um nadador percorre a extenso de uma piscina de 50 m de comprimento em 5 s. Determine a

velocidade mdia, em m/s e em km/h, desse nadador.

11. Qual a velocidade mdia, em km/h e em m/s, de uma pessoa que percorre, a p, 2000 m em 20

min?

12. Um trem demora 40 min para ir de uma estao a outra distante 40 km. Qual a velocidade dotrem em km/min; km/h e m/s?

13. Um avio vai de So Paulo a Recife em 1 h e 30 min. A distncia entre essas cidades de

aproximadamente 3000 km. Qual a velocidade mdia do avio em km/h?

14. Um automvel sai de So Leopoldo s 9 horas e chega a Santa Maria s 13 horas depois de

percorrer 320 quilmetros. Qual a durao da viagem? Qual foi a velocidade desse automvel?

15. A velocidade mdia de um trem, para ir de uma estao a outra, de 60 km/h. Qual a distncia,

em km, que separa as estaes se o tempo gasto, para o trem ir de uma outra, foi de 1 h e 30 min?

16. Um veculo parte do repouso e atinge a velocidade de 20 m/s aps 5 s. Qual a acelerao mdia

do veculo nesse intervalo de tempo?


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17. Numa pista de teste automobilstico, uma Ferrari,arrancando do repouso, atinge a velocidade de

100 km/h em um tempo de 4,1 s. Qual a acelerao mdia da Ferrarineste teste?

18. A velocidade de um carro aumenta de 36 km/h para 108 km/h em 5,0 s. Calcule a acelerao

mdia produzida pelo motor do carro.

19. A velocidade de um carro de 72 km/h; aps 10 s, muda para 36 km/h. Determine a aceleraodo carro no intervalo de tempo dado.

20. Um automvel, correndo com uma velocidade de 90 km/h, freado com uma acelerao

constante e pra em 5 s. Qual a acelerao induzida pelos freios?

21. Um mvel parte com velocidade de 4 m/s de um ponto de uma trajetria retilnea com acelerao

constante de 2,5 m/s2. Ache sua velocidade 2,0 s aps.

22. Um carro, deslocando-se em linha reta, passa pelas posies de A at I, em cada um dos

instantes mostrados na tabela seguinte, que apresenta tambm as velocidades do carro em cada um

desses instantes.

Posio A B C D E F G H ITempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Velocidade (m/s) 1 2 4 6 6 6 5 8 10(a) Entre quais posies a acelerao nula?(b) Entre quais posies o movimento uniformemente variado?(c) Entre quais posies do carro sua acelerao negativa?(d) Calcule sua acelerao entre as posies A e D.

23. Uma pequena esfera de ao abandonada de certa altura demorando 2 s para atingir o solo.Determine:

(a) a altura do ponto em que a esfera foi abandonada;(b) a velocidade com que atingiu o solo.

24. Uma pessoa solta uma bolinha de vidro do alto de um edifcio de 45 m de altura. Determine:(a) O tempo de queda at atingir o solo;(b) a velocidade da bolinha ao atingir o solo.

25. Em um canteiro de obras uma ferramenta cai e atinge o solo com uma velocidade de 20 m/s.(a) Durante quanto tempo ela esteve caindo?(b) De que altura ela caiu?

26. Um parafuso se desprende do telhado de um edifcio de 20 m de altura. Determine:(a) O tempo de queda at atingir o solo;(b) A velocidade da bolinha ao atingir o solo.

27. Uma pedra largada do alto de um penhasco de 90 metros de altura. Quanto tempo ela demora

para cair, desprezando-se a resistncia do ar, base?

28. Gotas de chuva caem no solo provenientes de uma nuvem a 2400 metros acima. Se elas nosofressem a resistncia do ar, qual seria a durao da queda e com que velocidade estariam se

movimentando ao chegar ao solo?

29. Uma esfera de vidro lanada, verticalmente para cima, com velocidade de 40 m/s, a partir dosolo.(a) Qual a velocidade da esfera 2 s, 4 s e 6 s aps seu lanamento?(b) Qual a altura da esfera a 2 s, 4 s, e 6s aps seu lanamento?

30. Uma esfera rola sobre um telhado horizontal do alto de um prdio de 45 m de altura. Em cadasituao a seguir, represente a trajetria da esfera caindo e encontre a distncia que a esfera atinge osolo.(a) quando a velocidade horizontal da esfera for de 10 m/s;

(b) quando velocidade for de 20m/s.


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31. Balas de canho so disparadas com velocidade de 50 m/s sobre um extenso terrenoperfeitamente plano. A figura a seguir mostra trs disparos (A,B e C) feitos a partir de um mesmoponto com diferentes inclinaes.(a) Represente na figura a trajetria de cada bala.(b) Qual das balas (A,B e C) atingir maior altura?(c) Qual das balas (A,B e C) ter maior alcance? Quantos metros?

32. As descobertas de Galileu com o uso do telescpio estavam de acordo com qual modelo de

universo: o geocntrico ou o heliocntrico? Justifique.33. Qual foi a fonte de informaes que possibilitou a Kepler descobrir suas leis?

34. O trabalho de Kepler introduziu uma alterao fundamental nas rbitas planetrias em relao s

de Coprnico e Galileu. Que alterao foi essa?

35. Suponha que a figura dada represente a rbita elptica realizada por um

asteride V em torno do Sol. De acordo com as leis de Kepler sobre o movimento

planetrio e de cometas, o que podemos dizer acerca da velocidade do asteride V

em cada um dos trechos em destaque? Justifique sua resposta.

36. De quantos anos terrestres seria o perodo de um planeta que, girando em torno do Sol, tivesse o

raio mdio de sua rbita 9 vezes maior do que o raio mdio da rbita da Terra?


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37. Suponha que se tenha descoberto um novo planeta e que sua distncia seja o dobro da distncia

de Urano ao Sol. Qual ser o perodo de revoluo desse planeta em torno do Sol?

38. Seria possvel existir um planeta a uma distncia de 12 u.a. do Sol com perodo de 10 anos? Por

qu?

39. O perodo de revoluo da Terra em torno do Sol de 365 dias (1 ano) aproximadamente.Supondo que o raio mdio da rbita da Terra em torno do Sol fosse o dobro do valor atual, determine

o novo perodo de revoluo.

40. Quantos anos so necessrios para que um planeta d uma volta completa em torno do Sol,

admitindo-se que a distncia entre eles seja 30 vezes maior do que o raio mdio da rbita da Terra.

41. Dois satlites de um planeta tm perodos de revoluo de 32 dias e 256 dias, respectivamente.

Se o raio da rbita do primeiro satlite vale 1 unidade, calcule o raio da rbita do segundo.

42. Io, Europa, Ganimades e Calisto so as quatro luas de Jpiter observadas por Galileu em 1610. O

perodo de revoluo de Io ao redor de Jpiter de 1,8 dias e sua distancia mdia ao planeta de

421 800 km. Determine o perodo de revoluo de Europa sabendo que sua distncia mdia ao

centro do planeta 670 900 km.

43.O cometa Halley tem um perodo de 76 anos e, em 1986, teve uma distncia de mxima

proximidade ao Sol, chamadaperilio, de 0.60 u.a. Esta distncia est entre as rbitas de Mercrio e

Vnus. Determine a distncia mdia do cometa ao Sol e seu aflio.


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MDULO III Texto 3

3 A DINMICA E AS LEIS DE NEWTON

3.1 - Conceito de foraO estado de repouso ou de movimento afetado por aes que chamamos de foras.

Nossa idia intuitiva de fora est relacionada com o esforo muscular, pois atra

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Texto Apoio Física v18 n3