ESCOLA POLITCNICA UNIVERSIDADE DE SO PAULO

PEF2308 Fundamentos de Mecnica das Estruturas Prof. Osvaldo Nakao

Texto de apoio s aulas presenciais compilao de exerccios resolvidos

Elaborado pelos acadmicos Rodrigo Suzuki Okada Joo Paulo P. L. Smara

- Junho 2006

PEF 2308 Compilao de Exerccios Resolvidos

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ndice

1. Definies 03 2. Apoios no plano 03

2.1. Engastamento 03 2.2. Articulao Fixa 03 2.3. Articulao Mvel 03

3. Exerccios Resolvidos 04 3.1. Viga em balano 04 3.2. Viga Simplesmente Apoiada 06 3.3. Vigas inclinadas 08 3.4. Vigas poligonais 10 3.5. Estruturas Espaciais 14

4. Formulrio 17

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1. Definies

Apoios: pontos de sustentao de qualquer estrutura. Fora Normal (N): fora que atua perpendicularmente seo transversal,

ou seja, na direo do eixo da pea. Pode-se expressar em kN. Fora Cortante (V): fora que atua no plano da seo transversal, ou seja,

perpendicularmente ao eixo da pea. Pode-se expressar em kN. Momento Fletor ou de Flexo (M): momento que atua em torno dos eixos

contidos no plano da seo transversal. Pode-se expressar em kN.m. Momento Toror ou de Toro (T): momento que atua em torno do eixo

perpendicular seo transversal. Pode-se expressar em kN.m. Esforos Solicitantes: fora normal, fora cortante, momento fletor e

momento de toro. Carregamentos: fora aplicada em um nico ponto, fora aplicada em um

comprimento (fora distribuda por unidade de comprimento), fora aplicada em uma superfcie (fora distribuda por unidade de rea). Pode-se expressar em kN , em kN/m, ou em kN/m2.

2. Apoios no plano

2.1. Engastamento

O engastamento impede qualquer movimento (translaes ou rotaes) pelo aparecimento de reaes. A figura ilustra o engastamento de uma barra num plano. Nesse caso, Xa impede a translao horizontal, Ya impede a translao vertical e Ma impede o giro em torno do ponto de engastamento. Por exemplo, um poste de iluminao est engastado ao solo.

2.2. Articulao Fixa

Apoio em que no se permite nenhum tipo de translao para a estrutura. Na figura, as reaes Xa e Ya impedem a translao horizontal e vertical, respectivamente. A articulao fixa permite o giro em torno do eixo ortogonal ao plano de Xa e Ya. O apoio de uma cadeira sobre um piso rstico pode ser considerado uma articulao fixa.

2.3. Articulao Mvel

Apoio em que se impede apenas a translao perpendicular ao plano de apoio. Na figura, a reao Yb impede apenas a translao vertical.

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3. Exerccios Resolvidos

1. Viga em balano. Determinar as reaes no apoio e esboar os diagramas dos esforos solicitantes na viga em balano. A fora distribuda por comprimento (p) est aplicada em todo o comprimento (a) da viga em balano.

1.1. Determinar as reaes no engastamento

A fora p distribuda pelo comprimento a mecanicamente equivalente p.a aplicada a uma distncia a/2 do ponto A. Se para a estrutura estar em equilbrio a resultante das foras aplicadas deve ser nula e o momento em torno de qualquer ponto deve ser nulo, ento pode-se impor o equilbrio na barra:

X = 0 = Xa Xa = 0 Y = 0 = Ya p.a Ya = p.a M(A) = 0 = Ma p.a.a/2 Ma = p.a2/2

1.2. Diagrama do corpo livre, e aplicao do teorema do corte.

Para conhecer como os

esforos se distribuem ao longo da barra basta obtermos o diagrama dos esforos solicitantes. Para isso, corta-se a barra em uma seo genrica S a uma distncia x de A, e determinam-se os esforos solicitantes que atuam nessa seo: a fora normal (N), a fora cortante (V) e o momento fletor (M).

X = 0 = N N = 0

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Y = 0 = p.a p.x V V = p.(a x) M(S) = 0 = p.a2/2 p.a.x + p.x.x/2 + M M = p.( -x2/2 + a.x - a2/2)

Com isso, obtm-se os esforos solicitantes em qualquer ponto da barra. As expresses, em funo de x, tambm permitem esboar os diagramas desses esforos solicitantes. 1.3. Diagramas dos esforos solicitantes Para esboar os diagramas pedidos, deve-se obter os valores de determinados pontos. Em particular, no incio e no fim da barra. N(x) = 0 V(x) = p.(a x)

o V(0) = p.a o V(a) = 0

M(x) = p.( -x2/2 + a.x - a2/2)

o M(0) = - p.a2/2 o M(a/2) = - p.a2/8 o M(a) = 0

Com isso, desenham-se os diagramas, lembrando que no grfico de momento o eixo positivo invertido.

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2. Viga Simplesmente Apoiada: Calcular as reaes de apoio, e esboar os diagramas dos esforos solicitantes.

2.1. Calcular as reaes nos apoios A nica fora ativa P. Nas articulaes,

como no h momento fletor aplicado, j se sabe que o momento fletor zero, pois o giro permitido. E, aplicam-se as condies de equilbrio, ou seja, a resultante (somatria) das foras deve ser zero e a somatria dos momentos em torno de qualquer ponto deve ser zero.

Admitindo que L = a + b, temos que:

X = 0 = Xa Xa = 0 M(A) = 0 = P.a + Yb.(a+b) Yb = P.a/L M(B) = 0 = -Ya.L + P.b Ya = P.b/L

H sempre, no plano, trs equaes independentes formando o sistema possvel determinado com as trs incgnitas do problema. H outras equaes (como por exemplo a somatria no Y), que podem ser utilizadas para verificao:

Y = Ya P + Yb = P (b + a L )/L = 0 OK Nota: A verificao leva sempre a uma condio necessria, mas que no suficiente. 2.2. Diagrama do corpo livre, e aplicao do teorema do corte

Neste problema, h necessidade de se efetuar fazer dois cortes, um antes da fora P e um depois, obtendo-se as sees S1 e S2.

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2.2.1. Seo S1

X = 0 = N N = 0 Y = 0 = P.b/L V V = P.b/L M(S1) = 0 = - P.b.x/L + M M = P.b.x/L

2.2.2. Seo S2

X = 0 = N N = 0 Y = 0 = P.b/L P V

V = P.(b L)/L = - P.a/L M(S2) = 0 = - P.b.x/L + P.(x a) + M

M = P.a.(-x/L + 1)

2.3. Diagramas de esforos solicitantes Vale notar que, neste caso, em cada uma das duas sees, h um conjunto de equaes. A fora cortante positiva na seo esquerda da fora P, pois, nesta seo, a fora cortante tende a girar a pea restante no sentido horrio. O valor em A pode ser obtido simplesmente observando que a reao em A a prpria fora cortante. A fora cortante negativa na seo direita da fora P, pois, nesta seo, a fora cortante tende a girar a pea restante no sentido anti-horrio. O valor em B pode ser obtido simplesmente observando que a reao em B a prpria fora cortante. O diagrama do momento fletor pode ser traado com os valores

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obtidos nas equaes. Os valores em A e em B so zero, pois pelo diagrama do corpo livre no h momento em A e em B. Aplicando-se o teorema do corte junto ao ponto de aplicao da fora P e reduzindo os esforos ativos em A ou em B obtm-se os momentos fletores.

3. Vigas Inclinadas: Determinar as reaes nos apoios e esboar os diagramas dos esforos solicitantes.

3.1. Calcular as reaes nos apoios Antes de qualquer coisa, notar que,

devido inclinao da viga, a fora resultante do carregamento de 3kN/m no est sobre 4m, mas sim, sobre o valor do comprimento da viga, que pode ser obtido por Pitgoras. Resulta em

5m. Logo, a fora resultante de 3kN/m . 5m = 15kN no meio da barra. Impe-se a condio para que haja

equilbrio: o momento em torno de qualquer ponto deve ser igual a zero. Neste caso, adota-se como plo o ponto C para eliminar as incgnitas Yb e Xa.

X = 0 = Xa Xa = 0 M(A) = 0 = -15*2 + Yb*4

Yb = 7,5kN M(C) = 0 = -Ya*4 + 15*2

Ya = 7,5kN 3.2. Diagrama de corpo livre, e aplicao do teorema do corte

Como eixo dos x para traar os

diagramas dos esforos solicitantes utiliza-se o eixo da prpria viga com origem em A e a varivel x como sendo a medida desde A.

Seo S1:

sen a = 3/5 = 0,6 cos a = 4/5 = 0,8

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X = 0 = N + 7,5sen a 3x.sen a

N = - 4,5 + 1,8x Y = 0 = 7,5.cos a 3x.cos a V

V = 6 2,4x M(S1) = 0 = (-7,5.cos a)*x + (3x.cos a)*x/2 + M

M = 6x 1,2x2 Para x entre 0 e 5 (lembrar que o eixo x o mesmo da barra, que tem 5m): N(x) = - 4,5 + 1,8x

o N(0) = -4,5 kN o N(5) = 4,5 kN

V(x) = 6 2,4x

o V(0) = 6 kN o V(5) = - 6 kN

M(x) = 6x 1,2x2

o M(0) = 0 o M(5/2) = 7,5 kN.m o M(5) = 0

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3.3. Diagrama de esforos solicitantes

4. Vigas poligonais: Determinar as reaes nos apoios e esboar os diagramas dos esforos solicitantes.

4.1. Calcular as reaes nos apoios O carregamento na barra AC gera uma fora resultante de 6kN, a 1m do ponto A.

Impondo-se o equilbrio na estrutura tem-se:

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X = 0 = Xa 5 Xa = 5 kN M(A) = 0 = -6*1 10*3 + 4Yb Yb = 5,25 kN M(B) = 0 = -4Ya + 6*3 + 10*1 + 5*3 Ya = 10,75 kN

4.2. Diagrama de corpo livre, e aplicao do teorema do corte

Devido s vrias vigas (em direes e

com carregamentos diferentes), para se obter o diagrama dos esforos solicitantes so necessrios vrios cortes (com as respectivas sees) para perceber as transferncias dos esforos (caminhamento das foras) at os apoios.

4.2.1. Seo D1:

Transferindo as foras da extremidade livre da viga at o p