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Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

Tópicos da História e Filosofia da Matemática

Professor: Dr. Fumikasu Saito

Adriana Tiago Castro dos Santos

Lia Corrêa da Costa

Leibniz e sua contribuição para a Matemática

Introdução

Esta pesquisa tem o intuito de apresentar a grande contribuição de Gottfriend

Wilhelm Leibniz, filósofo alemão, racionalista que muito contribui na história da

matemática e história da filosofia em vários campos que abrange direito, matemática,

física, lógica, ética e teologia. Abordaremos sua biografia, sua contribuição para a

matemática como a criação do Cálculo Infinitesimal, Séries Infinitas e as críticas de seu

trabalho buscando interações com as apresentações e discussões ocorridas em sala de

aula, apresentação do contexto histórico, a evolução do processo da construção do

conhecimento, situações possíveis de revolução, transformação, ruptura ou

continuidade, mudança de paradigma e como várias concepções de conhecimento

mobilizou diferentes épocas perdurando até o dia de hoje.

Durante as aulas foram discutidos temas referente à questões relacionadas à

existência do ser, a construção do conhecimento e a busca da verdade, valores morais e

estéticos, precisamente questões que permearam a História e a Filosofia da Matemática

desde a época de Platão e Aristóteles. Estas discussões nos fizeram refletir sobre fatos,

descobertas de vários séculos tais como: ideias a respeito da ciência, entes matemáticos,

interpretação dos fenômenos, investigação, estatuto ontológico e muitos outros.

É um desafio argumentar sobre a filosofia da matemática, pois existem

diferentes correntes filosóficas na historia da matemática, entretanto, iniciaremos

permeando o século XVII onde a matemática tomou uma nova forma, dando origem a

um dos mais importantes ramos da matemática, a Análise Matemática; surgiram

problemas que deram origem ao Cálculo Diferencial.

A Geometria Analítica com a mistura de álgebra e geometria e o Cálculo

diferencial e integral, deram um grande impulso ao desenvolvimento da matemática,

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ciência, que deu origem a novas teorias. Pesquisadores da época tais como Newton,

Leibniz, Descartes, Pascal, Cavalieri, corajosamente se difundem em elaborá-las

deixando se levar mais pela intuição do que por uma atitude racional no

desenvolvimento da ciência, neste sentido, percebemos a evolução histórica da

matemática.

A seguir apresentaremos a contribuição de um grande gênio universal do século

XVII que descobriu o teorema fundamental do cálculo e desenvolveu grande parte da

sua notação, estabelecendo fórmulas fundamentais da diferenciação.

Contexto Histórico

Sobressai no século XVII e XVIII, a ostentação da burguesia, a qual assumiu

uma característica própria de pensamento, tendendo para um processo que tivesse

imediata utilização prática. Com isso surgiu o Iluminismo ou era da razão, corrente

filosófica que propôs "a luz da razão sobre as trevas dos dogmas religiosos". O filósofo

René Descartes mostrou ser a razão a essência dos seres humanos, surgindo a frase

"penso, logo existo". No aspecto político o movimento Iluminista expressou-se pela

necessidade do povo escolher seus governantes através de livre escolha da vontade

popular. Neste período que ocorreu a Revolução Francesa em 1789.

O Método Científico surgiu como uma tentativa de organizar o pensamento para

se chegar ao meio mais adequado de conhecer e controlar a natureza. Já no fim do

período do Renascimento, Francis Bacon pregava o método indutivo como meio de se

produzir o conhecimento. Este método entendia o conhecimento como resultado de

experimentações contínuas e do aprofundamento do conhecimento empírico. Por outro

lado, através de seu Discurso sobre o método, René Descartes defendeu o método

dedutivo como aquele que possibilitaria a aquisição do conhecimento através da

elaboração lógica de hipóteses e a busca de sua confirmação ou negação.

A Igreja e o pensamento mágico cederam lugar a um processo denominado, por

alguns historiadores, de "laicização da sociedade". Se a Igreja trazia até o fim da Idade

Média a hegemonia dos estudos e da explicação dos fenômenos relacionados à vida, a

ciência tomou a frente deste processo, fazendo da Igreja e do pensamento religioso

razão de ser dos estudos científicos.

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Biografia

Leibniz (1646-1716) nasceu em Leipzig, onde aos quinze anos entrou na

Universidade e aos dezessete obteve o grau de bacharel. Aos vinte anos recusaram-lhe o

título de doutor em direito pela pouca idade, nessa época deixou a sua cidade e obteve

seu doutorado na Universidade de Altdorf em Nuremberg, onde recusou um posto de

professor de direito. Entrou no serviço diplomático, primeiro para o eleitor de Mainz,

depois para a família de Brunswick, e finalmente para os hanoverianos, a quem serviu

durante 40 anos.

O interesse de Leibniz pela matemática resultou de uma missão diplomática a

Paris em 1672. Na ocasião, ele teve a imensa felicidade de conhecer Christiaan Huygens

que lhe deu de presente uma cópia do seu trabalho sobre a oscilação do pêndulo e deu-

lhe aulas sobre os trabalhos de Barrow, Cavalieri, Pascal, Descarte e outros. Em 1673

uma missão política levou-o a Londres, onde comprou um exemplar das Lectiones

Geometricae de Barrow, encontrou Oldenburg e Collins, e tornou-se membro da Royal

Society.

Leibniz destaca o caráter lógico-analítico da matemática com sua clássica

divisão entre verdades de fato ou contingentes e verdades de razão, as quais não

poderiam ser negadas. Assim a matemática poderia ser assumida como inteiramente

conceitual e simbólica. Os postulados próprios da geometria era uma certeza moral,

devendo ser eventualmente demonstrada. As verdades matemáticas jazem dormente na

mente humana e elas migraram pela vontade divina da própria mente de Deus que não

criou a matemática apenas na alma humana, mas também na natureza, desta forma, a

matemática rege o mundo, tornando inteligível. (SILVA, 2007)

Um ingrediente chave na invenção do cálculo por Leibniz foi o seu interesse

pela lógica e linguagem, pois o levou a pensar profundamente sobre os processos

básicos envolvidos e a elaborar uma notação que, através da captura de uma unidade

fundamental, tornou suas descobertas fácil de usar.

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Contribuições para a matemática

A invenção do Cálculo de Leibniz

De todos os avanços matemáticos do século XVII, a descoberta do cálculo é

talvez o mais impressionante (MANCOSU, 1996). As técnicas do Cálculo permite aos

matemáticos a ponte de duas das principais áreas de pesquisa em Matemática: a

determinação das tangentes e o cálculo de área e volumes. A primeira refere-se ao

objeto do cálculo diferencial e o segundo do cálculo integral. O nascimento do Cálculo

coincide com a busca da determinação das tangentes e o cálculo de área que são

inversas.

A maioria dos historiadores em matemática atribui a Newton e Leibniz a criação

do Cálculo, embora seus estudos fossem descobertos independentemente, Leibniz

publicou primeiro seus resultados em 1684 intitulado “Nova Methodus pro Maximis et

Minimis” e Newton publicou sua obra em 1987 denominado “Princípia”.

Os manuscritos de Leibniz traduzidos por de J. M. Chid, apresenta a notação de

Bonaventura Cavalieri para todas as linhas de uma figura e depois introduziu o

símbolo muito mais perspicaz e observou algumas de suas propriedades algorítmicas.

Alerto para uma relação inversa entre soma e diferenciação, encontrar áreas e

tangentes, Leibniz simbolizou a inversa da integral por d escrito como uma recíproca

em razão dimensional. Desta forma, esta praticidade convenceu-o abandonar tais

considerações e d como diferencial entrou para a matemática.

Após nove meses Leibniz foi capaz de ver como o seu cálculo poderia enfrentar

o problema da tangente inversa de Debeaune, embora tenha se atrapalhado um pouco, o

seu evidente prazer em ir além das observações arrogante de Descartes que se deu o

trabalho de transcrever é completamente compreensível.

Seu trabalho foi publicado somente mais tarde e foi marcado por erros

descuidados, contudo, Leibniz teve o cuidado de enfatizar a generalidade dos seus

métodos e a rotina do seu caráter. Foi apresentada uma maneira de resolver problemas

geométricos. O fruto de suas meditações foi uma forma de calcular com o uso de

símbolos e foi ilustrado pela série de problemas que ele abordou. Em poucas páginas, o

reinado da geometria foi questionado de uma forma que nem mesmo Descartes poderia

ter contemplado.

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A notação para o cálculo

Segundo King (1992), Leibniz tinha uma notável habilidade para construir

notações. Criou termos como abscissa, ordenada, coordenada, eixo de coordenadas e

função.

A seguir, apresentaremos a notação desenvolvida por Leibniz encontrada em“

The early manuscripts”(CHILD,1919 p.80). Um entre alguns dos manuscritos datados

diariamente, enquanto pensava e se envolvia em suas construções mentais do cálculo.

Figura 1- Curva

Fonte: (CHILD,1919, p. 78)

Seja então

Por isso, omn.y

entretanto

Assim,

não

significa o mesmo como não ainda como ; desde que

ou

, é o mesmo multiplicado por um que corresponde a um certo ; por isso,

Assim, outra forma provada que =

, isto é, =

portanto, temos um teorema que parece admirável e que vai prestar um grande serviço a

este novo cálculo,ou seja,

o que pode ser qualquer que seja; isto é, se todos os são

multiplicados por seus últimos e assim por diante quantas vezes isso pode ser feito, a

soma de todos estes produtos será igual a metade da soma dos quadrados, dos quais os

lados são a soma dos . Este é um teorema muito fino, e não é tão óbvio.

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Outro teorema da mesma espécie é: , onde é

considerado como um termo da uma progressão e é o número que expressa a posição

ou a ordem do correspondente a ele ou o é o número ordinal e é a coisa ordenada.

Neste cálculo, uma lei que rege as coisas da mesma espécie pode ser notada;

pois se é prefixado para um número ou proporção ou a algo indefinidamente

pequeno, então uma linha é produzida, também se uma linha, em seguida uma

superfície, ou se a uma superfície, em seguida um sólido; e assim por diante até o

infinito para dimensões mais elevadas.

Será útil escrever para obter , de modo que ou a soma de

.

Assim,

, e

A partir disso vai parecer que uma lei de coisas da mesma família devem sempre

ser notado, como útil para eliminar os erros de cálculos.

Se é dada analiticamente, então l também é dado; portanto se é dado,

assim também é ; mas se é dado, não é dado também. Em todos os casos

.

Todos esses teoremas são verdadeiros para a série em que as diferenças dos

termos suportam os próprios termos numa relação que é menor que qualquer quantidade

atribuível.

Se os termos forem afetados, a soma também é afetada da mesma maneira, como

sendo uma regra geral, por exemplo,

, isto é, se

é um termo constante,

ele deve ser multiplicado pelo ordinal máximo, mas se ele não é um termo constante,

então é impossível lidar com isso, a menos que possa ser reduzido a termos em l ou

sempre que pode ser reduzido a uma quantidade comum, tais como um ordinal [...]

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Dado e sua relação com x para encontra .

Isso é para ser obtido a partir do cálculo contrário, isto é, suponha que .

Seja

; então assim como aumentará, então diminuirá as dimensões. Mas

significa uma soma, e uma diferença. Dado , podemos sempre encontrar

ou , isto

é de . Daí uma equação pode ser transformada em outra, apenas a partir da equação

nós podemos obter a equação c

E similarmente,

+

=

.

Em 1986 Leibniz publicou “De geometri recôndita et analysi indivisibilium

atque infinitorum” que fundamente a abordagem leibniziana para o cálculo integral. A

a idéia central do cálculo são os processos de diferenciação e integração e o inverso do

outro, ou, mas geometricamente, a determinação de tangentes a uma curva dada e o

cálculo da área entre o eixo e a curva são problemas inversos. (MANCOSU, 1996)

Leibniz disse explicitamente que a inspiração para esta descoberta

fundamental foi ter com ele, estudando as diferenças e somas de seqüências numéricas.

Mancosu cita um exemplo para ilustrar o pensamento de Leibniz sobre esta

descoberta.

Considere uma sequência finita Apartir desta sequência

podemos construir uma nova sequência , ,

. Podemos somar o e obter . Leibniz

extrapolou a propriedade de uma sequeência finita para uma infinita. Por exemplo a

somoa da série

pode ser descrita por

para , e podendo ser

reescrita como uma diferença

. No caso de uma soma infinita temos:

.

Ao extrapolar para o infinito como crescimento

tornou infinitamente

pequeno ou nula. Assim, a soma é igual a 2. Quando consideramos um contexto

geométrico, a ideia que Leibniz explanou sobre áreas e tangentes são problemas

inversos.

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Leibniz em 1694 explicou o conceito de diferencial sem nenhuma referência

para quantidades infinitamente pequenas. Ele introduziu como um segmento fixo

finito, e como um segmento que satisfazendo a equação .

Mancosu acredita que Leibniz parece ter evitado propositalmente o recurso

a quantidades infinitamente pequenas, a fim de evitar possíveis objeções fundamentais.

E cita que, “esta forma de introduzir o diferencial foi anômalo”. Na maioria dos outros

artigos, Leibniz introduziu diferenciais diretamente como infinitamente pequenas quantidades.

Essa oscilação certamente contribuiu para uma grande confusão e, de fato, a noção

de diferencial estava no centro das discussões fundamentais sobre o novo cálculo. No

entanto quantidades infinitesimais não estavam completamente ausentes, mesmo neste

artigo. Sua definição de recursos tangente apareceu como uma distância infinitamente pequena à

noção de uma curva como um polígono de lados infinitos.

Mancosu ressalta que ao pensar em uma curva como um polígono de lados infinitos é

uma progressão da ideia de variáveis. E salienta que as indeterminações foram um instrumento

produtivo para o desenvolvimento do Cálculo, e em alguns casos os resultados do cálculo

diferencial são independentes das regras das diferenciais introduzidas por Leibniz em 1684.

Aponta a relevância da necessidade de observar que é também uma variável. Podemos

aplicar o operador para obter , a diferença da diferença.

As críticas sobre o Cálculo de Leibniz

Leibniz sofreu várias críticas sobre o seu trabalho. Cluver, um dos seus críticos

concentrou-se sobre a eliminação da diferencial que foi tratado como um zero, os seguidores de

Leibniz insistem na noção de incomparabilidade. O debate com Cluver foi insatisfatório.

Contudo, Leibniz e Bernoulli esforçaram em tentar abrir um diálogo. Mancosu afirma que

Cluver não teve habilidades técnicas e intelectuais para requerer mudanças.

Mancosu ressalta que o teólogo holandês Bernard Nieuwentijt publicou em 1694

uma obra intitulada Considerationes circa analyseis ad quantitates infinite parvas

applicatae principia, ET calculi differentialis usum in resolvendis problematibus

geometricis. Tal publicação forçou Leibniz em responder por meio de um artigo

publicado na Acta Eruditorum em 1695.

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Além de sua objeção inicial, Leibniz corretamente individualizou três principais

pontos no ataque do Nieuwentijt.

A primeira foi o método do cálculo diferencial, Newton e Barrow cometem um

erro no tratamento de quantidades infinitamente pequenas como zero.

Segundo, o cálculo de Leibniz não pode ser aplicado a funções exponenciais,

digamos funções da forma .

Embora Nieuwentiijt aceita diferenciais de primeira ordem, ele rejeita os

diferenciais de ordem superior.

Considerando que o segundo desafio é simplesmente técnico, sendo a primeira e

a terceira objeções são ditadas para Nieuwentijt pela inconsistência óbvia entre entre

estes principios e os principios baseados em seu Analysis Infinitorum.

A resposta de Leibniz para a primeira objeção mostra o profundo conflito entre

os dois sistemas matemáticos. Considerando Nieuwentijt começa com a suposição de

que duas quantidades são iguais se suas diferenças é zero.

Leibniz afirma que duas quantidades são iguais, não só quando a diferença é

absolutamente zero, mas quando a diferença é incomparavelmente pequena em

relação às quantidades de que é a diferença.

Assim, quantidades infinitesimais não têm relação no sentido de

Euclides para quantidades finitas.

Embora na prática é sempre mais direta para operar com a eliminação

de quantidades infinitesimais, pode-se usar sempre uma “Arquimedes reductio ad

absurdum” para provar a validade das provas obtidas. Vemos aqui usado

por Leibniz para a fundação do cálculo infinitesimal, uma redução para o reductio ad

absurdum dos antigos.(Mancosu, 1996)

“O cálculo infinitesimal é útil quando se trata de aplicar a matemática à

descrição dos fenômenos de física, no entanto não serve para definir a natureza das

coisas”, afirmou Leibniz. É uma nova versão das posições de Aristóteles, apoiada agora

pelas novas técnicas matemáticas.

A imprecisão existente na interpretação do significado do cálculo infinitesimal

provocou as críticas não só de Berkeley, mas também de Nieuwentijt (1654-1718). “As

críticas de Berkeley e Nieuwentijt tinham a sua justificação, mas eram inteiramente

negativas. Eram incapazes de fornecer uma fundamentação rigorosa do cálculo, mas

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inspiraram trabalhos construtivos posteriores” (STRUIK, 1989). A fundamentação

rigorosa do cálculo só viria a ser elaborada dois séculos depois.

Nos séculos XVIII e XIX os matemáticos, para além de desenvolverem os

métodos do cálculo infinitesimal, tentaram fundamentar rigorosamente esses métodos.

Considerações Finais

Percebemos que as formas de pensar sobre o mundo e o universo ganharam

novos rumos ao longo do século XVII, o conhecimento deixou de ser religioso e passou

a ser de âmbito racional e científico, surgiram diferentes concepções de ver o mundo e

forma filosófica de pensar. Observamos o surgimento de uma movimentação de

conhecimento, pressupostos filosóficos, modelos que possibilitaram discussões,

evoluções, revoluções, retificações e rigor, que de alguma maneira contribuíram para a

construção do conhecimento, desenvolvimento da ciência e principalmente para a

matemática, nesse contexto, experiência, razão e método científico são apresentados

como formas de impetrar conhecimentos em diferentes facetas.

A esses aportes apontemos alguns filósofos como Sócrates (470 a.C. – 399ª.C),

Platão (428 a 347 a.C.), Aristóteles (384a.C - 322 a.C.), Euclides (360a.C.-295a.C),

Arquimedes (287a.C-212), Galileu Galilei (1564-1642), Isaac Newton (1643-1727),

Leibniz Gottfried (1646-1716), Rousseau, Jean- Jacques (1712-1778), Auguste (1798-

1857), Russell, Bertrand (1872-1970), Gaston (1884-1962), Popper (1902-1994) e

Kuhn (1922-1996), com seus talentos e dedicação se destacaram em nossa história.

No que diz respeito a esta pesquisa concluímos que Leibniz contribuiu de forma

significativa para a evolução da Matemática principalmente no que diz respeito ao

simbolismo, a criação do Cálculo Diferencial e Integral, notações, séries infinitas,

triângulo harmônico, triângulo diferencial.

A lógica Moderna iniciou-se com Leibniz no século XVII e utilizou a metafísica

como um meio poderoso que permitisse alcançar o mesmo grau de rigor que tinha

alcançado a Matemática. Pensamos em reconstruir o percurso desses acontecimentos

permeando livros, textos científicos, atentando a evolução, a forma apresentada e ao

conteúdo; preocupamos minuciosamente com os detalhes. Percebemos que há muito a

ser explorado, seja no contexto filosófico, matemático, inseridos no social ou cultural na

época onde culminaram as grandes ideias.

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É importante lembrar que há muito para ser pesquisado quando se trata do

contexto histórico das contribuições da matemática, mas temos plena certeza que

começamos a dar o nosso próprio passo em busca desse conhecimento.

Referências

BOYER, C. B., Cálculo / Carl B. Boyer: Tradução Hygino H. Domingues. Tópicos de

História da Matemática para uso em sala de aula; volume 6. São Paulo: Atual, 1992. p.

44-50.

_____, Carl. História da Matemática. 2 edição. São Paulo. Edgard Blucher, 1996.

CHILD J. M. The early mathematical Manuscripts of Leibniz, translated from the

latin texts published by Immanuel Gerhardt. Londo: The open Court publishing

company, 1920.

FAUVER J; GRAY J.(Org). Leibniz and his followers In: The history of

Mathematics: A Reader; London: Macmillan, 1987 p. 425 - 445.

MANCOSU, P. Leibniz´s Differential Calculus and its opponents. In: Philosophy of

Mathematics and Mathematical Practice in the seventeenth century . New York:

Oxford, 1996. p. 151-177.

KING A. C. Leibniz In: Cálculo/ Carl B. Boyer Tópicos de história da Matemática

em sala de aula. Tradução Hyfino H. Domingues. volume 6 São Paulo: Atual, 1992 p.

44-50.

STRUIK, D.J., História Concisa das Matemáticas, Lisboa: Gradiva, 1989, p. 186.

SILVA, J. J da. Filosofias da Matemática. São Paulo: Ed. UNESP/FAPESP, 2007.

Mello J. L. Pedagogia em Foco disponível em

http://www.pedagogiaemfoco.pro.br/met03.htm acesso em 20/11/2011.

Leibniz disponível em http://www.leibnizbrasil.pro.br/leibniz-vida.htm acesso em

20/11/2011.

http://www.consciencia.org/malebranche-spinoza-e-leibniz-evolucao-da-filosofia-de-

descartes. Acesso em 26/11/2011.

http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/07/o-triangulo-harmonico-de-leibniz.html.

Acesso em 29/11/2011.