Texto novo 2017 - Técnico Lisboa · perante um oscilador com um grau de liberdade. Na figura 1.1 mostram-se exemplos de osciladores de um grau de liberdade. Fig. 1.1 - Modelos de

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DINÂMICA!DE!ESTRUTURAS!!!!!!!!!!

João!J.!R.!T.!Azevedo!Jorge!Miguel!S.!F.!M.!Proença!

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ÍNDICE Pág 1 - Oscilador linear de um grau de liberdade 5

1.1 - Resposta em regime livre 5 1.2 - Resposta em regime forçado 9 1.2.1 - Acções harmónicas 9 1.2.2 - Acções periódicas 13 1.2.3 - Acções não periódicas. Integral de Duhamel. 14 1.2.4 - Ações não periódicas. Método de Iwan 16 1.2.5 - Resposta a movimento do solo 19 1.3 - Espectro de resposta 24 2 - Osciladores de vários graus de liberdade 27 2.1 - Método de Rayleigh 28 2.1.1 - Sistemas contínuos 29 2.1.2. Sistemas discretos 34 2.2 - Determinação de frequências 39 2.3 - Determinação dos modos de vibração 45 2.4 - Análise modal 48 2.4.1 - Condições de ortogonalidade 48 2.4.2 - Equações em coordenadas modais 50 2.4.3 - Resposta em regime livre 54 2.4.4 - Resposta para forças aplicadas 56 2.4.5 - Resposta a acções sísmicas 59 2.5 Método de Stodola 60 2.6 Matriz de massa consistente 65 3 - Análise sísmica 67 3.1 - Resposta dinâmica a uma aceleração de base 67 3.2 - Análise sísmica por espectro de resposta 68 3.3 - O método CQC de combinação modal 77 3.4 - A adaptação para a consideração de movimentos de base independentes 79 3.4.1 - Necessidade da adaptação 79 3.4.2 - Equações de movimento para excitações diferentes nos vários suportes 79 3.4.3 - Os deslocamentos "Pseudo-Estáticos" 82 3.4.4 - Resposta da Estrutura 83

Dinâmica de Estruturas 1

A organização clássica da dinâmica de estruturas envolve o estudo de sistemas de 1 g.l. - grau de liberdade - seguido do estudo de sistemas de vários g.l. procurando evidenciar nestes estudos a formulação da resposta em regime livre, resposta a excitações determinísticas (harmónicas, periódicas e não periódicas) e resposta a excitações estocásticas. Antes de nos debruçarmos sobre estes aspectos vamos abordar os seguintes conceitos:

(1) Critérios de discretização

(2) Formulação das equações de movimento A representação numérica dum sistema sujeito a acções com carácter dinâmico envolve

sempre certas hipóteses simplificativas com particular relevo para aquelas decorrentes do método de discretização adoptado. De facto, apresentando os sistemas reais infinitos graus de liberdade, é normalmente necessário proceder a hipóteses simplificativas no sentido de os modelar como sistemas de finitos graus de liberdade. Neste âmbito é corrente distinguir os seguintes critérios de discretização:

(i) Procedimento de concentração de massas. Consiste em localizar as características de

inércia do sistema real em certos pontos criteriosamente escolhidos. O nº de graus de liberdade do sistema resulta então igual ao nº de deslocamentos independentes dos pontos onde se procedeu à concentração de massas.

Considere-se como ilustração o sistema constituído por uma viga contínua de vão l, massa uniformemente distribuída de m e peso W a meio vão. Optando por concentrar a massa estrutural a 1/4, 1/2 e 3/4 do vão obtém-se:

em que

Desprezando simultaneamente a deformabilidade axial da viga bem como as inércias de

rotação das massas, o sistema em causa reduz-se a um sistema de 3 g.l. (deslocamentos verticais dos pontos seleccionados).

(ii) Conceito de coordenadas generalizadas. Em sistemas com as características inerciais

razoavelmente distribuídas no seu domínio, o método anterior resulta muito falível. Uma

l

W m_

1 2 3

l / 4 l / 4 l / 4 l / 4

m1 =

4

m l m

2 =

2

m l +

g

W m

3 =

4

m l


alternativa consiste em assimilar a deformada do sistema à combinação linear dum conjunto pré-determinado de funções de forma ψn(x). Exige-se a estas a verificação das condições de

apoio específicas do problema bem como a continuidade nos troços em que o sistema real apresente continuidade de deslocamentos. Os graus de liberdade, designados de coordenadas generalizadas, já não representam explicitamente deslocamentos mas revestem-se aqui do significado de amplitude Zn das funções de forma seleccionadas

Para o exemplo utilizado em (i) admitindo funções de forma correspondentes ao

desenvolvimento da deformada em série de Fourier restrita aos N primeiros termos obtém-se:

(iii) Método dos elementos finitos. Neste método o sistema é subdividido num nº discreto

de elementos finitos (elementos de barra, de casca, de placa, etc..) delimitados por nós. Os graus de liberdade, neste método, são então as componentes dos deslocamentos nodais e a determinação dos deslocamentos em pontos que não os nodais obtém-se através de funções de forma adequadas.

em que qn representa a nésima coordenada generalizada e ψn(x) a respectiva função

interpoladora(corresponde à configuração deformada do sistema quando se impõe valor unitário para a nésima coordenada generalizada e valor nulo para as restantes). No caso se tratar duma estrutura reticulada a função interpoladora corresponde a um polinómio cúbico hermitiano. Este método que combina as técnicas de ambos os anteriores apresenta a vantagem de fácil automatização sendo consequentemente aquele que maior aplicação apresenta em sistemas de engenharia.

A formulação das equações de movimento ou de equilíbrio dinâmico pode ser feita de

três formas diferentes. A primeira estabelece o equilíbrio com base no princípio de d'Alembert ou,

equivalentemente, através da 2ª lei de Newton. Este princípio diz-nos que quando uma

massa m é actuada por uma força

€

Q→

(t) desenvolvem-se forças de inércia proporcionais à

aceleração da massa

€

˙ ̇ q →

(t) tal que

q(x) = ∑n

Zn ψ

n(x) (1)

q(x) = ∑n=1

N

Zn sen(

l

2nπx )

q(x) = ∑n

qn ψ

n(x)

(2)


Refira-se que a resultante das forças aplicadas combina as forças internas elásticas, forças

de atrito viscoso e forças externas.

A segunda formulação baseia-se no princípio dos trabalhos virtuais e diz-nos que se um sistema sujeito a um conjunto de forças está em equilíbrio, o trabalho realizado por todas as forças é nulo quando este é sujeito a um campo de deslocamentos virtuais compatíveis com as ligações existentes. Evidentemente ao equacionar o equilíbrio dinâmico, o trabalho produzido pelas forças de inércia tem de ser contabilizado.

Uma terceira hipótese, baseia-se no princípio de Hamilton e tem a sua aplicação prática

nas equações de equilíbrio de Lagrange. O princípio de Hamilton traduz-se por

em que C é a energia cinética do sistema, P a energia potencial, incluindo a energia de

deformação e a energia potencial de quaisquer forças externas conservativas, Wnc o trabalho

realizado pelas forças não conservativas que actuam o sistema incluindo o amortecimento e forças externas arbitrárias, e δ indica uma variação ao longo do tempo. Refira-se que relativamente às formulações anteriores o princípio de Hamilton não depende implicitamente das forças de inércia (expressas em C), das forças de atrito (através de Wnc) e forças de

deformação internas (através de P).

Se a energia e o trabalho realizado puderem ser expressos em termos de coordenadas generalizadas qi a equação (4) pode ser reescrita sob a forma (aplicável a sistemas de vários

graus de liberdade)

em que Qi é a força externa correspondente à coordenada generalizada qi .

As equações (5) são conhecidas como equações de Lagrange e têm inúmeras aplicações

em engenharia estrutural e mecânica.

Q→

(t) - m q→

(t) = 0→..

(3)

∫t1

t2

δ(C-P) dt + ∫t1

t2

δWnc

dt = 0 (4)

∂t

∂ (∂q

i

∂C ) -

∂qi

∂C + ∂q

i

∂P = Q

i . (5)



1 - Oscilador linear de um grau de liberdade

Se se considerar que um sistema pode ser reduzido a uma massa concentrada num único ponto e que essa massa pode ter apenas uma componente de deslocamento, diz-se que estamos perante um oscilador com um grau de liberdade. Na figura 1.1 mostram-se exemplos de osciladores de um grau de liberdade.

Fig. 1.1 - Modelos de osciladores com um grau de liberdade

A equação de movimento obtida por qualquer dos princípios atrás referidos e

correspondente à discretização do sistema por qualquer dos procedimentos descritos reduz-se sempre à seguinte equação diferencial linear de 2º grau não homogénea:

em que m, c e k são respectivamente a massa, o amortecimento e a rigidez do sistema,

enquanto que Q(t) traduz a acção, variável no tempo, responsável pelo movimento. 1.1 - Resposta em regime livre Analise-se seguidamente a resposta dum oscilador de 1 g.l. na ausência de acção exterior.

A equação de movimento é então:

a qual, dividindo ambos os membros por m ,se reescreve

em que as variáveis p e ζ se obtêm através de

q

q

q

m q + c q + k q = Q(t) .. .

(6)

m q + c q + k q = 0 .. .

(7)

q + 2ζp q + p2 q = 0

.. .(8)

p = m

k ζ =

cc

c =

2mp

c


em que p -frequência própria não amortecida- traduz a frequência angular da resposta na ausência de amortecimento e ζ -coeficiente de amortecimento- representa o amortecimento adimensionalizado ao amortecimento crítico cc. A frequência própria cíclica f relaciona-se com

a frequência angular p da seguinte forma

A solução da equação (8) depende do valor de ζ ser inferior, igual ou superior à unidade,

situações que se designam respectivamente de amortecimento subcrítico, crítico e sobrecrítico. No caso de amortecimento subcrítico (ζ<1) a equação (8) admite a seguinte solução

ou, indiferentemente

em que pd-frequência amortecida- se relaciona com p e ζ através da seguinte expressão

Observe-se da equação (10) que, dado nos sistemas estruturais reais que serão estudados,

o factor de amortecimento raramente exceder 10-15%, se pode assimilar pd a p.

As variáveis A e B ou q , e θ traduzem as condições iniciais que, no presente caso, são as

únicas responsáveis pelo movimento. No caso mais corrente de as condições iniciais corresponderem a deslocamento q0 e velocidade inicial !q 0 no instante t=0 obtém-se

ou

Na figura 1.2 mostra-se a forma geral da equação (9a ou 9b). Nela se pode ter uma ideia

do significado das constantes pd e ζ .

f = 2π

p =

2π

1

m

k

q(t) = e- ζpt (A sen(p

d t) + B cos(p

d t)) (9a)

q(t) = e- ζpt

(q cos(pd t - θ)) (9b)

pd = p 1-ζ

2(10)

A = p

d

q0 + ζp q

0

.

(11a)

B = q0 (11b)

q = p

d

(q0 + ζp q

0)2 + p

d

2 q

0

. 2_

(12a)

θ = arctg(p

d q

0

q0 + ζp q

0).

(12b)


Fig. 1.2 - Gráfico de vibração livre amortecida

Embora não se trate em rigor dum movimento periódico observa-se que os máximos/mínimos relativos da resposta se verificam em instantes afastados de múltiplos de Td

-período amortecido- que se relaciona com a frequência amortecida da seguinte forma

Como exemplo, suponhamos que para o terceiro modelo indicado na figura 1.1, o peso

do piso rígido é de 300 KN, para cada pilar (L=3.5 m), I=0.00213 m4 e que o módulo de elasticidade é de 2.9 *107 KN / m2. Assim a rigidez dos dois pilares é k=2 *12 EI / L3 ou seja

k=34577 KN/m e a massa m = w / g vale 30.6 KN seg2/m. O período de vibração é então:

A observação da figura 1.2 evidencia também uma forma simples de determinar o

coeficiente de amortecimento de um sistema em vibração em regime livre. Considerando que os valores máximos da resposta se registam quando o termo harmónico que afecta a exponencial negativa na equação (9b) é unitário, a razão entre as amplitudes máximas para os ciclos i e i+j é dada por

Resposta em Regime Livre Amortecido

t

q ( t )

Td

q e- ζpt

- q e- ζpt

Td =

pd

2π =

p 1-ζ2

2π(13)

Td = 2π

34577

30.6 = 0.187 s

qi+j

max

qi

max

=

e- ζ p Td (i+j)

q

e- ζ p Td i

q = e

ζ p Td j

(14)


Assimilando p a pd e afectando de logaritmo neperiano ambos os membros desta

igualdade obtém-se a seguinte expressão:

É corrente designar-se a quantidade 2πζ por decremento logarítmico. A expressão (15)

permite a partir da observação dos picos da resposta de um sistema de 1 g.l., quando libertado de uma posição deformada, determinar experimentalmente o valor do coeficiente de amortecimento.

Observemos agora o que se passa no caso de ζ=1 -amortecimento crítico-. Neste caso a

solução da equação (8) é da forma

em que A e B traduzem as condições iniciais de movimento. Por observação da equação

(16) conclui-se que a resposta do sistema já não é periódica e que não há movimento vibratório. cc representa assim o menor valor de c para o qual não existe um movimento oscilatório.

No caso de ζ>1 -amortecimento sobrecrítico- a solução da equação (8) é de forma

em que p,^ se relaciona com p através de

o que corresponde também a uma resposta não periódica e sem movimento vibratório.

2πζ = j

1 ln(

qi+j

max

qi

max

)(15)

q(t) = e- ζpt (A t + B) (16)

q(t) = e- ζpt

(A senh(pt) + B cosh(pt))^ ^ (17)

p = p ζ2-1^


1.2 - Resposta em regime forçado Pretende-se neste subcapítulo determinar a resposta de sistemas de 1 g.l. a excitações

determinísticas. A equação do movimento é, nestas circunstâncias, a equação (6) em que o termo independente não nulo Q(t) representa a excitação, supostamente conhecida, aplicada ao nível do g.l.. Procede-se em seguida ao estudo das situações em que esta excitação é harmónica, periódica ou não periódica.

1.2.1 - Acções harmónicas Suponhamos agora que a estrutura é actuada por uma acção harmónica aplicada ao nível

do grau de liberdade com a forma

Neste caso a equação de movimento toma a forma

ou, dividindo ambos os membros por m

A solução desta equação diferencial é composta pela sobreposição da solução geral da

equação homogénea correspondente (da forma da equação 9, 16 ou 17) e da solução particular da equação não homogénea (equação 20) que, no presente caso, tem a forma

ou alternativamente

É corrente designar a solução geral como de regime transitório e a solução particular

como de regime permanente. De facto, independentemente do valor de ζ , a parcela de regime transitório atenua-se ao longo do tempo enquanto que o regime permanente fica invariável, pelo que a resposta total é redutível ao regime permanente. A função da resposta em regime transitório destina-se então a, conjugada com a resposta em regime permanente, verificar as condições iniciais específicas do problema em estudo.

Substituindo a equação 21 a) na equação 20 e identificando os termos em sen(ωt) e

cos(ωt) (deixa-se ao cuidado do leitor este exercício analítico) obtêm-se os valores de C e D.

Q(t) = Q cos(ωt) (18)

m q + c q + k q = Q cos(ωt).. .

(19)

q + 2ζp q + p2 q =

m

Q cos(ωt)

.. .(20)

qp(t) = C cos(ωt) + D sen(ωt) (21 a)

qp(t) = q

p cos(ωt-φ) (21 b)


com

Duma forma similar considerando a solução particular no formato da equação 21 b)

obtém-se

com β1, também designado de factor de amplificação dinâmica, dado por

e φ , que representa o desfasamento entre a acção e a resposta, dado por

A figura 1.3 mostra o andamento geral do factor de amplificação dinâmica β1 em função

do valor do quociente w e do coeficiente de amortecimento ζ .

Fig. 1.3 - Factor de amplificação dinâmica - β1

C = k

Q

(1-ω2)2 + (2ζω)

2

1 - ω2

(22 a)

D = k

Q

(1-ω2

)2 + (2ζω )

2

2ζ ω(22 b)

ω = pω

qp = β

1 k

Q(23 a)

β1 =

(1-ω2 )

2 + (2ζω)

2

1

(24)

φ = arctg(1-ω

2

2ζω) (23 b)

ζ=0.6

ζ=.05

ζ=0.2

ζ=0.3ζ=0.4

ζ=0.5ζ=0.7ζ=0.8

ζ=0.1

3.02.52.01.51.00.50.0

0

1

2

3

4

5

6

Função de Transferência 1

ω

β1


Pela análise da fig. 1.3 pode constatar-se que o factor de amplificação dinâmica toma um

valor de pico para um valor de

€

ω aproximadamente igual a 1 (na realidade para w ≈ 1-2ζ2 ). A esse fenómeno, que faz corresponder um grande factor de amplificação dinâmica para valores da frequência de excitação ω que correspondem ao valor da frequência própria da estrutura p, dá-se o nome de ressonância. Fica assim bem clara a importância de correctamente determinar a frequência própria da estrutura bem como a importância de conhecer o melhor possível o conteúdo de frequência das acções dinâmicas que a actuam.

Outra constatação a fazer da observação da curva β1 refere-se ao comportamento desta

para os valores extremos de w . De facto, para w <<1 , as diversas curvas apresentam valores quase unitários, situação explicável pelo facto de que sendo p>>ω as forças de inércia são desprezáveis quando comparadas com as forças de restituição pelo que a resposta do sistema é praticamente estática. No outro extremo, isto é para w >>1, as forças de inércia apresentam-se bastante superiores às de restituição pelo que o deslocamento exibido pelo sistema é inferior ao apresentado em regime estático.

A curva de β1 , generalizável a sistemas de vários g.l., fundamenta diversos métodos de

identificação experimental das características dinâmicas de sistemas estruturais. Com efeito é relativamente simples obter experimentalmente a curva β1 para um dada estrutura, bastando

para tal efeito a aplicação de excitação harmónica com diversas frequências ω no g.l. pretendido, e determinação dos valores discretos da curva β1. A frequência própria do sistema é então determinada pela ordenada do "pico" da curva experimental de β1, enquanto que para a

determinação do coeficiente de amortecimento se definem dois métodos. O primeiro, designado de método da amplitude de pico, faz uso da expressão

simplificada de β1 para w =1.

ou explicitando em ordem a ζ

A grande dificuldade da aplicação deste método reside no facto de depender quase

exclusivamente da identificação da frequência de ressonância. No sentido de obstar ao inconveniente apontado pode aplicar-se o método da meia

potência que depende não tanto da frequência de ressonância quanto da forma da curva β1 na

β1(ω=1) =

2ζ

1

ζ =

2β1(ω=1)

1

(25)


vizinhança desta. Com efeito é intuitivo que o "fecho" da curva β1 na vizinhança da ressonância

é tanto mais acentuado quanto maior for o coeficiente de amortecimento. Em particular, considerando como valores de referência os valores w 1 e w 2 para os quais β1 é igual a

1/ 2 do valor de pico, obtém-se

ou seja

ou ainda para pequenos valores de ζ

pelo que desprezando mais alguns termos de segunda ordem

que admite, como esperado, duas soluções

o que conduz a que

Poder-se-á argumentar que nem uma estrutura real pode ser representada por um modelo

de um grau de liberdade, nem as forças dinâmicas aplicadas podem ser descritas por uma acção harmónica do tipo da descrita na equação (18). Na prática, conclui-se que os resultados obtidos para modelos de um grau de liberdade podem ser, em certas condições, extrapolados para modelos de vários graus de liberdade. De facto, não só qualquer acção dinâmica fisicamente realizável pode ser decomposta numa soma de funções do tipo da descrita na equação (18) como se pode reescrever as equações de movimento dum sistema de vários g.l. como várias equações de 1 gl.. A aplicação exaustiva do princípio da sobreposição dos efeitos, válido na classe de sistemas lineares à qual nos restringimos, permite então a extensão dos estudos até aqui desenvolvidos a sistemas/acções mais complexos.

2

1 2ζ

1 =

(1-ω2 )

2 + (2ζω)

2

1

ω2 = 1-2ζ

2± 2ζ 1+ζ

2

ω2 ≈ 1-2ζ

2± 2ζ

ω = 1 - ζ2 ± ζ

ω1 = 1 - ζ

2 - ζ

ω2 = 1 - ζ

2 + ζ

ζ = 2

1 (ω

2 - ω

1) (26)


1.2.2 - Acções periódicas A resposta de um oscilador a acções periódicas pode ser facilmente deduzida a partir da

solução obtida para a resposta a acções harmónicas. Com efeito qualquer acção periódica Q(t) com período T e com um mínimo de

regularidade que as funções fisicamente realizáveis apresentam, pode ser desenvolvida em série de Fourier, ou seja, pode ser substituída pela soma de componentes harmónicas de períodos múltiplos do período de referência

em que os termos ai e bi designados por coeficientes de Fourier se calculam por

É evidente da expressão (28 a) que o termo a0/2 representa a parcela estática, responsável

pelo valor médio não nulo da excitação.

Pelo princípio de sobreposição (admitindo um oscilador linear) a resposta do sistema pode ser obtida a partir da sobreposição das respostas a cada uma das componentes harmónicas da excitação.

Assim, a resposta em regime permanente é dada por

sendo β1i dado pela equação (24)

e

e φ i dado pela equação (23 b)

Q(t) = 2

a0 + ∑

i=1

∞

(ai cos(

T

2iπ t) + b

i sen(

T

2iπ t)) (27)

ai =

T

2 ∫0

T

Q(t) cos(T

2iπ t) dt (i=0, 1, 2, . . ,∞) (28 a)

bi =

T

2 ∫0

T

Q(t) sen(T

2iπ t) dt (i=1, 2, . . ,∞) (28 b)

q(t) = k

1 { a0

+ ∑i=1

∞

(ai β

1i cos(ω

it - φ

i) + b

i β

1i sen(ω

it - φ

i)}/2 (29)

β1i = β

1(ω=

Tp

2iπ) ω

i =

T

2iπ

φi = φ(ω=

Tp

2iπ)


1.2.3 - Acções não periódicas. Integral de Duhamel. Considere-se ainda o sistema de um grau de liberdade sujeito a uma força arbitrária, não

periódica Q=Q(τ). Note-se a utilização de uma variável τ diferente de t para designar a variabilidade da força ao longo do tempo. A equação do movimento pode assim ser escrita

A força por unidade de massa Q/m, provoca ao longo de um intervalo de tempo

elementar dτ um impulso, que por sua vez provoca uma variação elementar da velocidade do sistema

A resposta incremental de um sistema a uma velocidade incremental inicial d !q aplicada

no instante τ , pode ser obtida no instante t por (ver equações 9a), 11a) e 11b))

Dado que cada impulso incremental Q(τ)/m dτ para 0<τ<t provoca uma resposta

incremental no instante t, a resposta à força genérica é dada, no instante t por

A equação (32) é vulgarmente referida como o integral de Duhamel. Outra forma de

apresentação do integral de Duhamel que faz intervir o conceito de função resposta ao impulso instantâneo unitário h(t-τ) é a seguinte

com

em que o significado de h(t-τ) é obviamente o da resposta no instante t a um impulso

unitário aplicado no instante τ . Refira-se apenas que a expressão (33) é também designada por

m q + c q + k q = Q(τ) .. . (6 rep)

dq = m

Q(τ) dτ

.(30)

dq = e- ζp(t-τ)

mp

d

Q(τ) sen(p

d(t-τ)) dτ (31)

q(t) = m p

d

e- ζpt

∫0

t

eζpτ

Q(τ) sen(pd(t-τ)) dτ (32)

q(t) = ∫0

t

Q(τ) h(t-τ) dτ(33)

h(t-τ) = m p

d

e- ζp(t-τ)

sen(pd(t-τ)) (34)


integral de convolução porque apresenta a resposta do sistema como resultante da convolução, no domínio do tempo, da acção e da função resposta ao impulso instantâneo unitário.

De salientar que a integração a efectuar de acordo com a equação (32) é feita no domínio

de τ e não de t, significando que é feita no domínio da variável que representa a acção e não a resposta.

Deixa-se ao cuidado do leitor deduzir a expressão que permite obter a velocidade do

sistema !q , em função de uma força genérica Q=Q(τ).

A expressão genérica da resposta de um sistema sujeito a uma força genérica, e ainda a um deslocamento e velocidade iniciais é dada por:

expressão que é conhecida como forma geral do integral de Duhamel. Como exemplo da aplicação do integral de Duhamel iremos analisar a resposta de um

sistema de um grau de liberdade, a uma força Q definida como Q(τ)=Q0+Q τ

A resposta é dada por

q(t) = m p

d

e- ζpt

∫0

t

eζpτ

Q(τ) sen(pd(t-τ)) dτ + e

- ζpt (q0 cos(p

dt) +

pd

q0+ζpq

0 sen(p

dt))

.

(35)

q(t) = m p

d

e- ζpt

∫0

t

e- ζpτ

(Q0 + Qτ) sen(p

d(t-τ)) dτ =

= k

Q0 (1-e

- ζpt(cos(p

dt) + ζ sen(p

dt)) +

k

Q(p

-2ζ + e

- ζpt(

p

2ζcos(p

dt) -

pd

(1-ζ2) sen(p

dt))

d d(36)


1.2.4 - Ações não periódicas. Método de Iwan

Em muitas situações, não é possível representar uma acção através de uma expressão

analítica, e vulgarmente são conhecidos apenas alguns dos seus valores ao longo do tempo. Considere-se a situação em que se dispõe apenas dos valores da acção em instantes

igualmente espaçados no domínio do tempo. Nestas circunstâncias pode proceder-se a uma interpolação entre os pontos conhecidos, a qual pode ser efectuada quer admitindo valores constantes num intervalo de tempo Δt (equidistância entre abcissas) centrado nos pontos conhecidos, quer utilizando interpolação linear ou de grau superior.

Examinaremos o caso em que se admite interpolação linear entre os pontos conhecidos

(fig. 1.4).

Fig. 1.4 - Função arbitrária (Interpolação linear)

Neste caso, a resposta no instante ti depende da resposta no instante ti-1 e da força

actuante entre ti-1 e ti (intervalo de tempo Δti).

Tendo em conta a equação (35) que representa a forma geral do integral de Duhamel, a

equação (36) que representa a resposta de um sistema a uma força do tipo da apresentada na figura 1.4 e a equação similar à equação (36) para a resposta em termos da velocidade, poder-se-ia concluir que a resposta do sistema no instante ti é , no caso de um sistema não

amortecido, dada por

Q(t)

ti-1 ti ti+1

Qi-1

QiQi+1

t


No caso de estarmos perante um sistema com amortecimento, um método numérico

conhecido por método de Iwan, permite de uma forma similar à apresentada nas equações (37 a) e (37 b) determinar a resposta no instante ti (deslocamento e velocidade) em função dos valores da resposta no instante ti-1 , do valor da acção nos dois instantes e do intervalo de

tempo Δt, que toma neste caso um valor constante. O algoritmo de cálculo que pode ser apresentado de forma matricial consiste na aplicação

da equação

em que

qi = q

i-1 cos(p Δt

i) +

p

qi-1

sen(p Δti) +

k

Qi-1

(1-cos(p Δti)) +

pkΔti

ΔQi

(p Δti - sen(p Δt

i))

.

(37 a)

qi = -q

i-1 p sen(p Δt

i) + q

i-1 cos(p Δt

i) +

k

Qi-1

p sen(p Δti) +

k Δti

ΔQi (1-cos(p Δt

i))

. .(37 b)

qi

qi

.

qi-1

qi-1

.

b11

b12

b21

b22

a11

a12

a21

a22

Qi-1

ΔQi

+= (38)

a11

= e- ζp Δt (

1-ζ2

ζ sen(pd Δt) + cos(p

d Δt))

(39)

a12

= p

d

e- ζp Δt

sen(pd Δt) (40)

a21

= e- ζp Δt (

1-ζ2

-p sen(p

d Δt))

(41)

a22

= e- ζp Δt

(cos(pd Δt) -

1-ζ2

ζ sen(pd Δt))

(42)

b11

= k

1 (1-e

- ζp Δt cos(p

d Δt) +

1-ζ2

ζ sen(pd Δt))

(43)

b12

= k Δt

1 (Δt - 2

pζ + e

- ζp Δt (2

pζ cos(p

d Δt) -

pd

(1-2ζ2) sen(p

d Δt))) (44)

b21

= k

1 e

- ζp Δt (

1-ζ2

p sen(p

d Δt)) (45)


Relativamente ao método de Iwan e métodos similares, saliente-se que para que possam

conduzir a resultados correctos, o valor de Δt não deve nunca ser superior a metade do inverso da frequência mais elevada a considerar, ou seja

b22

= k

1 e

- ζp Δt (

1-ζ2

sen (pd Δt))

Δt 1 -

ζcos(p

d Δt)+{ } (46)

Δt < 2f

max

1


1.2.5 - Resposta a movimento do solo Suponha-se que um oscilador de um grau de liberdade é sujeito a acelerações ao nível do

solo. Defina-se a variável

sendo q* o deslocamento relativo entre o sistema e solo, q o deslocamento absoluto do

sistema e qs o deslocamento do solo. Nesse caso derivando em ordem ao tempo

Nestas condições o equilíbrio dinâmico do sistema pode ser escrito em termos da força de

inércia m !!q , força de amortecimento c !q * e força de restituição kq*.

equação que pode ser reescrita como

ou

Comparando a equação (49) com a equações (6) pode constatar-se que a análise da

resposta de um sistema a uma aceleração do solo processa-se de uma forma similar à então referida, assumindo uma força fictícia aplicada ao sistema

sendo a resposta obtida em termos de q*, deslocamento relativo solo-sistema. A equação (24) representa o factor de amplificação dinâmica de um sistema sujeito a uma

força exterior. Se pensarmos no produto β1 F/k ele representa a função de transferência entre

uma força aplicada F e o deslocamento sofrido pelo oscilador. Dado que a resposta de um sistema (em termos de deslocamento relativo) a uma

aceleração de base pode ser comparada à resposta de um sistema (em termos de deslocamento

q* = q - q

s (47 a)

q* = q - q

s

.. .(47 b)

q* = q - q

s

.. .. ..(47 c)

m q + c q* + k q

* = 0

.. .(48)

m q* + c q

* + k q

* = -m q

s

.. . ..(49)

q* + 2ζp q

* + p

2 q

* = - q

s

.. . ..(49 )a

Q(t) = -m qs(t)

..(50)


absoluto) a uma força, pode dizer-se que o mesmo coeficiente β1 pode ser utilizado para

representar o factor de amplificação dinâmica entre o deslocamento relativo q* e a aceleração de base !!q s = a cos(ωt).

Nesse caso bastará lembrar que a "força equivalente" ao nível do grau de liberdade é -m a cos(ωt) pelo que

Suponha-se agora que se pretende conhecer o deslocamento absoluto em termos da

aceleração de base ( !!q s = a cos(ωt)). Neste caso a equação de movimento pode ser escrita

Assumindo que q é da forma A cos(ωt)+B sen(ωt), substituindo essa solução em (49) e

individualizando os termos em cos(ωt) e sen(ωt) obtêm-se os valores de A e B que por sua vez permitem obter a solução em termos de amplitude sob a forma

com β2 e φ2 dados por

representam o factor de amplificação dinâmica entre acelerações na base e acelerações

absolutas ao nível do grau de liberdade, e o respectivo desfasamento. Deixa-se ao cuidado do leitor demonstrar que o mesmo β2 representa também o factor de

amplificação dinâmica entre um deslocamento de base e o deslocamento absoluto ao nível do grau de liberdade ou seja quando o oscilador é sujeito a um deslocamento de base da forma qs=d cos(ωt), a resposta é dada por

Um terceiro factor de amplificação dinâmica poderia ser obtido para representar a função

de transferência entre um deslocamento de base qs e o deslocamento relativo solo-estrutura q*. Esse factor, β3, pode ser escrito como

q* = β

1

k

m a cos(ωt-φ) = -β

1 p2

a cos(ωt-φ)- (51)

m q + c q + k q = k qs + c q

s

.. . .(52)

q = β2 a cos(ωt-φ

2)

..(53)

β2 =

(1-ω2 )

2 + (2ζω)

2

1 + (2ζω)2

(54)

φ2 = arctg(

1-ω2 + (2ζω)

2

ω2 2 ζ ω ) (55)

q = d β2 cos(ωt-φ

2) (56)


tal que

e sendo

Valores de β2 e β3 para vários coeficientes de amortecimento são apresentados em função

de w = w/p respectivamente nas figuras 1.5 e 1.6 .


β3 =

(1-ω2 )

2 + (2ζω)

2

ω2

(57)

q* = q

s β

3 cos(ωt-φ

3) (58)

φ3 = arctg(

1-ω2

2ζω) (59)

ζ=.05

ζ=0.2

ζ=0.3ζ=0.4ζ=0.5

ζ=0.7

ζ=0.8

ζ=0.1

3.02.52.01.51.00.50.0

0

1

2

3

4

5

6


ω

β2



Algumas aplicações interessantes podem retirar-se das curvas β1 , β2 e β3 .

Relativamente à curva β1 ela permite, se obtida experimentalmente e utilizando os

método referidos em 1.2.1, determinar para um dado sistema o seu coeficiente de amortecimento e respectiva frequência própria.

Como exemplo de aplicações dos princípios expressos nas curvas de amplificação β2

refira-se o relativo ao isolamento de vibrações. Suponha-se que uma massa m deve ser isolada de um movimento de base através de uma

mola de rigidez k e de um amortecedor c. A relação deslocamento de base-deslocamento de massa ou aceleração da base-aceleração da massa é traduzida pelas curvas β2 .

Para melhor isolar o sistema da excitação de base, é conveniente que o valor de w seja o

mais elevado possível, ou seja que o valor de p seja o mais reduzido possível. Duas formas alternativas são reconhecidas para materializar este objectivo

(i) diminuição do valor de k. Consiste em interpor um elemento flexível entre a base e o sistema. De aplicação limitada pelo facto de que os elementos flexíveis são simultaneamente aqueles que menor resistência apresentam. (i) aumento do valor de m. Consiste na interposição de um "maciço de inércia". De extensa utilização em aplicações práticas.

3.02.52.01.51.00.50.0

0

1

2

3

4

5

6


ω

β3ζ=.05

ζ=0.2

ζ=0.3ζ=0.4

ζ=0.5ζ=0.6ζ=0.7 ζ=0.8

ζ=0.1


Simultaneamente, e como pode ser visto pela figura 1.5, o amortecimento deve ser o mais reduzido possível já que na zona w > 2 as maiores amplificações correspondem aos maiores valores de amortecimento.

Algo de semelhante se passa no que diz respeito ao isolamento de vibrações transmitidas

por máquinas a estruturas. A força máxima F transmitida ao pavimento por uma máquina rotativa desenvolvendo

uma força Q(t) = Q cos(ωt), pode ser calculada através da curva β2, ou seja

Note-se que evitar a transmissão de forças ao pavimento corresponde neste caso a

aumentar o valor de ω ,_

, o que tem o inconveniente de não evitar as vibrações ao nível da máquina, o que só poderia ser conseguido, de acordo com as curvas β1, diminuindo o valor w .

Uma referência final para o facto de os acelerómetros e sismómetros basearem o seu funcionamento nas curvas de amplificação.

Os primeiros através das curvas β1, relacionando os valores medidos de deslocamentos

relativos, com as acelerações de solo que se pretendem determinar, recorrendo a elevados valores de p (w reduzidos) e valores de ζ≈0.7. Refira-se que para este coeficiente de amortecimento a curva β1 é praticamente plana para valores de w compreendidos entre 0 e 0.6

pelo que a resposta registada no acelerómetro é proporcional à amplitude da aceleração imposta na base.

Os sismómetros funcionam através das curvas β3, relacionando os valores medidos de

deslocamentos relativos com os deslocamentos absolutos impostos pelo solo. Estes aparelhos fazem uso da propriedade que a curva β3 apresenta de ser praticamente plana para o coeficiente

de amortecimento de ζ≈0.5 e w superior à unidade havendo apenas que dotar o aparelho de frequência própria p inferior às gamas de frequência mais baixas esperadas para sismos.

F = Q β2

(60)


1.3 - Espectro de resposta

Suponha-se que um oscilador com um grau de liberdade é actuado por uma acção externa, seja ela uma força aplicada, um deslocamento imposto, ou movimento de solo. É possível com base nos princípios já enunciados, determinar a resposta do sistema, quer seja em termos de deslocamento (absoluto ou relativo), acelerações, velocidades, ou mesmo esforços induzidos no sistema, ou ainda reacções.

Suponha-se que conhecida a acção, as características dinâmicas do sistema, e definida a

resposta que interessa analisar, se determina essa resposta ao longo de um período de tempo. Essa resposta será variável ao longo do tempo, mas terá um valor máximo que pode ser facilmente determinável, e que representará uma espécie de envolvente da resposta. Suponha-se agora que a mesma acção é aplicada a um sistema, também de um grau de liberdade, com características dinâmicas diferentes (diferente frequência e possivelmente diferente coeficiente de amortecimento). Imagine-se que da mesma forma é determinado o valor máximo da resposta.

Se este procedimento for repetido para uma gama suficientemente lata de frequências e

amortecimentos, o conjunto dos valores máximos de resposta representam o que é vulgarmente conhecido por espectro de resposta. Usualmente determinam-se vários espectros de resposta, cada um para um dado coeficiente de amortecimento, efectuando o varrimento no domínio da frequência.

Poder-se-ia definir espectro de resposta como um gráfico das respostas máximas de uma

dada quantidade (deslocamento, aceleração, momento flector, etc.) em função da frequência própria ou período de um sistema de um grau de liberdade quando actuado por uma acção (força, deslocamento, aceleração de solo, etc.).

São particularmente utilizados os espectros de resposta de aceleração (ou deslocamento)

para acções sísmicas, que representam a aceleração máxima, (ou deslocamento máximo) previsível para um dado sistema de um grau de liberdade quando actuado por uma dada acção sísmica. Tais espectros podem ser determinados com base na resposta de sistemas de um grau de liberdade a registos sísmicos (acelerogramas).

Para representação dos espectros de resposta de acções sísmicas é vulgarmente utilizado o

papel trilogarítmico. O papel trilogarítmico consegue um tipo de representação gráfica que


permite quantificar os três espectros (deslocamentos relativos, velocidade relativa e aceleração absoluta) através de um único gráfico.

Supondo que a acção sísmica pode ser assimilável a uma sobreposição de movimentos

harmónicos, a velocidade espectral é dada em função do deslocamento espectral Sd e da

frequência do movimento p

e a aceleração espectral por

Se a representação for feita numa escala logarítmica tendo por eixos log v e log f e tendo

em conta que log Sv = C1 + log Sd + log f

e log Sv = C2 + log Sa - log f

é possível ver que valores constantes de log d correspondem a uma relação do tipo log v = Cte + log f ou seja linhas a 45o e que valores constantes de log a correspondem a linhas a 135o ou seja a uma relação do tipo log v = Cte - log f .

Na figura 1.7 apresenta-se um exemplar de papel trilogarítmico com indicações dos eixos que representam a, v e d em função de T=2π/f.

Sv = p S

d = 2π f S

d (61)

Sa = p S

v = 2π f S

v = 4π

2 f

2 S

d (62)

(64)

(63)


Fig. 1.7 - Papel trilogarítmico para representação de espectros de resposta


2 - Osciladores de vários graus de liberdade

Se um sistema estrutural é composto por várias massas que correspondem a outros tantos graus de liberdade, está-se perante um sistema com vários graus de liberdade. Exemplos de modelos de sistemas com vários graus de liberdade são apresentados na figura 2.1 .

Fig. 2.1 - Modelos de osciladores de vários graus de liberdade

Para os sistemas de vários graus de liberdade, o tratamento que foi feito para os sistemas com um grau de liberdade não pode ser aplicado. Deixa de haver apenas uma frequência própria e passam a haver tantas frequências próprias como o número de graus de liberdade. A sua determinação, especialmente através de métodos numéricos com aplicabilidade em computadores serão objecto de análise.

Entre os diferentes métodos contam-se os métodos aproximados dos quais se apresentará

o método de Rayleigh, os métodos iterativos dos quais se apresentará o de Stodola e os métodos directos baseados na determinação analítica directa de valores e vectores próprios.

q1

q1

2q2

q

2q

3q

3q

3q 4q

q5

q1


2.1 - Método de Rayleigh

O método de Rayleigh, previsto no Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes (art.º 31.2) é um método aproximado de determinação de frequências. A sua aplicabilidade embora não restrita, estende-se na prática apenas à determinação da frequência fundamental (frequência própria mais baixa).

Para aplicação do método torna-se necessário arbitrar qual a configuração deformada da

estrutura durante a vibração. Quanto melhor a configuração idealizada corresponder à configuração de vibração, melhor será a aproximação da frequência obtida, a qual é no entanto sempre superior ou igual à frequência real.

O método de Rayleigh fundamenta-se no princípio da conservação de energia dum

sistema a oscilar em regime livre, desprezando consequentemente a contribuição das forças de amortecimento. A determinação da frequência corresponde assim à igualdade entre as energias cinética e potencial máximas para a configuração de vibração adoptada.

Se for considerada uma configuração da deformada correspondente ao modo em análise,

tal significa que estão a ser introduzidas restrições à forma como naturalmente a estrutura se deforma nesse modo de vibração, o que corresponde a uma rigidificação artificial do sistema e o consequente aumento da frequência de vibração.

É ainda corrente diferenciar a aplicação do método de acordo com a maior ou menor

distribuição das características de inércia e flexibilidade do sistema distinguindo-se neste âmbito as formulações do método para sistemas contínuos e sistemas discretos.


2.1.1 - Sistemas contínuos Considere-se nesta secção a aplicação do método de Rayleigh a sistemas cujas

características de inércia e/ou flexibilidade se encontram distribuídas no domínio do sistema. Para exemplificar a aplicação do método considere-se uma viga simplesmente apoiada de

vão l, massa distribuída m(x) e rigidez de flexão EI(x). Arbitrando uma configuração deformada que depende harmonicamente do tempo

em que q e ψ(x) representam respectivamente a amplitude de vibração (eliminada nos

cálculos subsequentes) e uma função de forma que relaciona os deslocamentos das diversas secções. Relembrando o exposto no início destes apontamentos relativamente ao conceito de coordenadas generalizadas, esta configuração deformada tem apenas que verificar as condições de apoio do sistema e continuidade nos troços em que o sistema a apresente.

A energia potencial é num dado instante

em que o sobrescrito (') designa derivada em ordem à coordenada de posição x.

Em particular, o valor máximo da energia potencial atinge-se quando a parcela harmónica é unitária

Nas mesmas circunstâncias, a energia cinética é, num dado instante

cujo valor máximo é

Igualando os valores máximos da energia potencial e cinética extrai-se a seguinte equação

q(x, t) = q ψ(x) sen(pt) (65)

V(t) = 2

1 ∫0

l

EI(x) (∂x

2

∂2 q(x, t)) dx =

2

1 q

2sen

2(pt) ∫

0

l

EI(x) ψ2(x) dx ' '

(66)

Vmax

= 2

1 q

2 ∫0

l

EI(x) ψ2(x) dx ' '

(67)

C(t) = 2

1 ∫0

l

m(x) (∂t

∂q(x, t))2

dx = 2

1 q

2 p

2 cos

2(pt) ∫

0

l

m(x) ψ2(x) dx (68)

Cmax

= 2

1 q

2 p

2 ∫0

l

m(x) ψ2(x) dx

(69)


A equação (70) traduz a frequência própria que o sistema apresentava se vibrasse com a

configuração adoptada. Na realidade, a configuração fundamental é, dentro das infinitas configurações deformadas em conformidade com as condições impostas inicialmente, aquela cuja frequência, designada aqui de frequência fundamental, é a menor. Um critério para arbítrio da configuração fundamental consiste em verificar, para além das condições cinemáticas, as condições estáticas (em termos do andamento dos esforços) verificadas no sistema real. De facto, distribuições de esforços incompatíveis com o sistema real traduzem a existência de restrições artificiais que têm por efeito rigidificar o sistema ou, o que é o mesmo, aumentar a frequência fundamental.

Considere-se a aplicação da expressão (70) ao sistema em análise, supondo que a massa e

a rigidez de flexão são ambas uniformemente distribuídas , isto é

Admitindo como configuração de vibração uma função polinomial do 2º grau, ou seja

impondo a verificação das condições de apoio (ψ(0)=ψ(l)=0) determina-se o valor das

constantes a, b e c

substituindo na equação (70) obtém-se o seguinte valor para a frequência fundamental

correspondente a esta configuração de vibração

Repetindo este procedimento para uma configuração sinusoidal

p2 =

∫0

l

m(x) ψ2(x) dx

∫0

l

EI(x) ψ2(x) dx''

(70)

m(x) = cte.

EI(x) = cte.

ψ(x) = a x2 + b x + c

a =

l2

1 b = -

l

1 c = 0

p2 =

m l4

120 EI

ψ(x) = sen(l

π x)


a frequência correspondente é

Observe-se que a frequência determinada inicialmente é cerca de 23% superior à

correspondente à configuração sinusoidal. De facto, a configuração parabólica pressupõe um diagrama de momentos constante (relembre-se que o diagrama de momentos é proporcional à curvatura da deformada) violando, entre outras, a condição de anulamento dos momentos nos apoios. Em contrapartida, a configuração sinusoidal, aliás a verdadeira configuração fundamental, verifica a condição de anulamento dos momentos sobre os apoios apresentando adicionalmente o momento máximo a meio vão. Serve este exemplo para acentuar que a melhor aproximação à frequência/configuração fundamental é aquela que, dentro das configurações que verificam as condições cinemáticas, melhor aproxima as condições estáticas.

Na existência de rigidezes concentradas, a expressão (67) generaliza-se a

em que Ki e xi referenciam a i–ésima rigidez concentrada e a respectiva posição. Da

mesma forma tem-se que na ocorrência de massas concentradas, a expressão (69) para a energia cinética máxima altera-se para

em que Mj e xj referem respectivamente a massa e a coordenada de posição da j-ésima

massa concentrada. No sentido de tornear a dificuldade no arbítrio da configuração fundamental

desenvolveu-se um outro procedimento também designado de método de Rayleigh simplificado que consiste em admitir que a configuração de vibração corresponde à deformada do sistema quando se aplica o carregamento gravítico. De facto, na inexistência de forças viscosas a configuração fundamental corresponde à deformada do sistema quando se aplica o carregamento inercial, ou seja

p2 =

m l4

π4 EI

Vmax

= 2

1 q

2 ∫0

l

EI(x) ψ2(x) dx ' ' +

2

1 q

2

∑i

Ki ψ

2(x

i) (71)

Cmax

= 2

1 q

2 p

2 ∫0

l

m(x) ψ2(x) dx +

2

1 q

2 p

2 ∑

j

Mj ψ

2(x

j) (72)

Qf(x) = m(x) q

f

max(x)

..(73)


em que o subscrito (f) refere a configuração fundamental. Como à partida desconhecemos a configuração fundamental é impossível determinar correctamente Qf(x). Se no entanto

admitirmos que a aceleração máxima em cada secção é igual à aceleração da gravidade, isto é

a correspondente deformada é, ao longo do tempo

em que qg(x) e q g representam respectivamente a deformada devida à aplicação do

carregamento gravítico e a amplitude da respectiva função de forma. Nestas circunstâncias a energia potencial máxima pode ser entendida como o trabalho das forças gravíticas na deformada gravítica cujo valor máximo é

pelo que a respectiva frequência fundamental é

Atente-se que a configuração deformada adoptada, a deformada do sistema quando é

aplicado o carregamento gravítico, verifica não só as condições cinemáticas, pois é uma deformada real, como também as condições estáticas do sistema, pois equilibra um determinado carregamento. Deixa-se ao cuidado do leitor confirmar que a aplicação deste método ao exemplo atrás considerado conduz à seguinte frequência própria

valor apenas 0.14% superior ao real. Refira-se, por fim, que embora o carregamento em causa seja um carregamento gravítico

este pode ser aplicado em qualquer sentido (inclusive no sentido vertical ascendente) e em qualquer direcção (inclusive na direcção horizontal) consoante a configuração deformada que se pretende impor.

Qg(x) = m(x) g = W(x)

(74)

q(x, t) = qg(x) sen(pt) = q

g ψ

g(x) sen(pt) (75)

Vmax

= 2

1 ∫0

l

(x) qg(x) dx =

2

1 g q

g ∫0

l

m(x) ψg(x) dxW

(76)

p2 =

qg

g

∫0

l

m(x) ψg

2(x) dx

∫0

l

m(x) ψg(x) dx

= g

∫0

l

m(x) qg

2(x) dx

∫0

l

m(x) qg(x) dx

(77)

p2 =

m l4

97.548 EI


Deixa-se ao cuidado do leitor deduzir as expressões das energias potencial e cinética

máximas para um sistema contínuo com rigidezes e/ou massas concentradas correspondentes ao método de Rayleigh simplificado.


2.1.2. Sistemas discretos Considere-se que por aplicação do procedimento de concentração de massas o sistema

contínuo da subsecção anterior se reduzia ao sistema de três graus de liberdade ilustrado na figura 2.2.

Fig. 2.2 - Ilustração da aplicação do método de Rayleigh

Admitindo como configuração de vibração a deformada correspondente à aplicação estática dos pesos correspondentes, a energia potencial máxima resulta equivalente ao trabalho exterior, ou seja

em que W

i representa o peso atribuído ao grau de liberdade i e qgi o respectivo

deslocamento na configuração de vibração adoptada . Da mesma forma a energia cinética máxima é

o que, supondo movimento harmónico e amortecimento nulo

Igualando as energias potencial e cinética máximas determina-se a frequência de vibração

Deixa-se ao cuidado do leitor demonstrar que atribuindo 1/4 da massa estrutural aos nós

1 e 3 e a restante ao nó 2 se obtém

qg1 g3qg2q

Vmax

= 2

1 ∑

i

Wi q

gi (78)

Cmax

= 2

1 ∑

i

mi q

gi

2

.(79)

Cmax

= 2

1 g p

2 ∑

i

Wi q

gi

2

(80)

p2 = g

∑i

Wi q

gi

2

∑i

Wi q

gi

(81)


o que substituindo na equação (81) conduz a

valor apenas 0.04% superior ao que se obteria para o modo fundamental de vibração

resolvendo a equação característica correspondente ao modelo discretizado. Refira-se o facto de a frequência determinada pelo método de Rayleigh para o modelo

com massas concentradas ser inferior à correspondente à distribuição uniforme de massa. Isto resulta exclusivamente de que ao concentrarmos as massas em determinados pontos estamos indirectamente a considerar outro sistema que não o original. Embora as frequências não sejam equiparáveis realce-se que o procedimento de concentração de massas conduz geralmente a sistemas com menor frequência fundamental.

Considere-se agora a aplicação deste método à estrutura indicada na figura 2.3.

Fig. 2.3 - Exemplo de aplicação do método de Rayleigh

Suponha-se que as massas dos três pisos são respectivamente

qg1

= qg2

= 6144

76 m g

EI

l4

qg2

= 3072

54 mg

EI

l4

p2 = 64.822

m l4

EI (rad/s)


e que a rigidez dos elementos estruturais entre pisos é ,

Os deslocamentos correspondentes à aplicação de forças estáticas equivalentes aos pesos

de cada piso são dados por:

em que Δ ij representa o deslocamento relativo do piso i em relação ao piso j sendo o solo

designado por s.

Calculando os valores de Δ , obtém-se

pelo que os deslocamentos ao nível dos pisos são

substituindo na equação (81) conduz a

m1 = 200 KNs

2/m

m2 = 300 KNs

2/m

m3 = 400 KNs

2/m

k1 = 120 000 KN/m

k2 = 240 000 KN/m

k3 = 360 000 KN/m

q1 = Δs

3 + Δ

32 + Δ

21

q2 = Δs

3 + Δ

32

q3 = Δs

3

Δs3 =

360 000

900 g

Δ32

= 240 000

500 g

Δ21

= 120 000

200 g

q1 =

7 200

45 g

q2 =

7 200

33 g

q3 =

7 200

18 g


o que corresponde a um valor de p=14.77 rad/seg ou seja f=2.35 Hz ou um período

fundamental T=0.425 seg. Para efeitos de comparação, saliente-se que o valor exacto da 1ª frequência própria desta estrutura é de p=14.5 rad/seg. O erro cometido é apenas 1.9% e, como esperado, por excesso.

Para calcular aproximadamente a frequência própria de edifícios pode portanto recorrer-

se a programas de cálculo de análise estática de pórticos planos. Para uma dada direcção aplicam-se, simultaneamente ao conjunto de pórticos com desenvolvimento na direcção considerada e ao nível de cada piso, as forças estáticas horizontais equivalentes às cargas verticais permanentes do piso respectivo, e calculam-se os deslocamentos ao nível de cada piso. Uma vez calculados os deslocamentos, a aplicação das equação (81) dá o valor da frequência em rad/s.

De salientar, tal como o faz o R.S.A, que na aplicação deste método há que ter em conta

não só a rigidez e massa dos elementos estruturais considerados como resistentes, mas também as dos elementos considerados não resistentes que lhes estão ligados, tal como paredes de alvenaria e similares, os quais podem contribuir para um aumento da rigidez do edifício, dando assim origem a valores mais elevados da frequência própria fundamental. Como a valores mais elevados de frequência correspondem também valores mais elevados dos coeficientes sísmicos, a não consideração da massa e da rigidez dos elementos não estruturais, pode ser não conservativa e portanto contra a segurança.

Para finalizar saliente-se que a determinação de frequências próprias superiores à

primeira através do método de Rayleigh, envolve a utilização de uma deformada correspondente a uma configuração de vibração diferente da adoptada. Para tanto torna-se necessário conhecer as características dinâmicas do edifício, o que se torna complexo a menos que seja realizada uma análise dinâmica exacta.

O método de Rayleigh torna-se no entanto suficiente quando se pretenda apenas proceder

a uma análise estática equivalente. As condições de aplicabilidade dessa análise estática a edifícios, designados vulgarmente por "edifícios correntes", são definidas no art.º 30.4 do R.S.A. da seguinte forma:

p2 =

[200g*(45g)2 + 300g*(33g)

2 + 400g*(18g)

2] / 7200

2

g [200g*45g + 300g*33g + 400g*18g] / 7200


"Não apresentarem, em planta, distribuições desproporcionadas entre a massa e a rigidez;

Não apresentarem, no seu desenvolvimento em altura, grandes variações de massa ou de rigidez;

Terem uma estrutura em malha ortogonal e não demasiado deformável;

Terem os pisos constituídos de forma que possam considerar-se como diafragmas indeformáveis no

seu plano" Pretende-se com a primeira condição que os efeitos da torção, não contabilizados na

análise plana simplificada, sejam pouco significativos. Entende-se a condição como satisfeita quando o centro de massa dos pisos, determinado considerando a combinação quase permanente de acções, não dista do centro de rigidez de mais de 15% da dimensão do edifício na direcção perpendicular à actuação do sismo.

A cláusula relativa a variações em altura da massa ou rigidez pretende excluir da análise

estática equivalente os edifícios com acentuadas variações das características dinâmicas em altura. A elevada concentração de esforços e deformações nos pisos de transição, completamente mensurável apenas através duma análise dinâmica, justifica esta condição.

A obrigatoriedade dos edifícios correntes apresentarem estrutura em malha ortogonal explica-se por este tipo de estrutura exibir um comportamento dinâmico mais simples em geral e particularmente por apresentarem efeitos de torção controlados. Quanto à cláusula relativa à excessiva deformabilidade da estrutura esta destina-se a acautelar as seguintes ocorrências:

(i) contribuição significativa dos efeitos geometricamente não lineares. Entende-se que uma análise de primeira ordem é suficiente quando os correspondentes deslocamentos horizontais relativos entre dois pisos não excedem 1,5% da distância entre estes. (ii) contribuição significativa dos modos superiores. Esta situação verifica-se quando a frequência fundamental é tão baixa que o 2º modo (de frequência superior de 2 a 3 vezes) se situa na zona de maior conteúdo de frequências da acção sísmica. Considera-se que a estrutura não é excessivamente deformável sempre que a frequência fundamental seja superior quer a 0.5 Hz quer ao quociente de 8 pelo nº de pisos. Por fim a condição relativa à indeformabilidade dos pisos no seu plano destina-se a

garantir que as forças de inércia desenvolvidas durante a actuação do sismo sejam absorvidas pelas sub-estruturas que lhe resistam (pórticos ou paredes) proporcionalmente à rigidez dessas mesmas sub-estruturas. Assim se garante que todas as sub-estruturas são proporcionalmente esforçadas devido à acção sísmica.


2.2 - Determinação de frequências

As equações de movimento para um sistema de vários graus de liberdade têm uma forma análoga à equação de movimento para os sistemas de um grau de liberdade.

Assim para o grau de liberdade i da estrutura poder-se-ia escrever uma equação em tudo

similar à equação de movimento de um sistema de um grau de liberdade em que as forças de inércia Fii, as forças de amortecimento Fai e as forças de restituição elástica Fri são agora as

devidas aos efeitos das várias massas do sistema, dos vários amortecimentos e dos vários elementos da rigidez do sistema, sobre o movimento do grau de liberdade i.

As equações tomam assim uma forma matricial com os seguintes componentes:

Fr1

Fr2

::Fr

i::Fr

N

K11

K12

. . . . . K1i . . . . . K

1NK

21 K

22 . . . . . K

2i . . . . . K

2N::K

i 1 K

i 2 . . . . . K

i i . . . . . K

i N::K

N1 K

N2 . . . . . K

Ni . . . . . K

NN

::

::

::

::

::

::

q1

q2

::q

i::q

N

=

(82)

=

C11

C12

. . . . . C1i . . . . . C

1NC

21 C

22 . . . . . C

2i . . . . . C

2N::C

i 1 C

i 2 . . . . . C

i i . . . . . C

i N::C

N1 C

N2 . . . . . C

Ni . . . . . C

NN

::

::

::

::

::

::

q1

q2

::q

i::q

N

.

.

.

.

Fa1

Fa2

::Fa

i::Fa

N

(83)

=

M11

M12

. . . . . M1i . . . . . M

1NM

21 M

22 . . . . . M

2i . . . . . M

2N::M

i 1 M

i 2 . . . . . M

i i . . . . . M

i N::M

N1 M

N2 . . . . . M

Ni . . . . . M

NN

::

::

::

::

::

::

Fi1

Fi2

::Fi

i::Fi

N

q1

q2

::q

i::q

N

..

..

..

..

(84)


Assim os elementos Kij são os elementos da matriz de rigidez da estrutura, de tal forma

que a força de restituição correspondente ao grau de liberdade i é calculada como

e pode ser interpretada como o somatório em n, das forças ao nível do grau de liberdade i

devidas a um deslocamento unitário no grau de liberdade genérico n, (Kin) vezes o deslocamento correspondente ao grau de liberdade n (qn).

De igual forma se poderia interpretar a construção das matrizes correspondentes às forças

de amortecimento e de inércia. As equações de movimento para vibrações em regime livre, podem assim ser escritas de

uma forma matricial:

em que M é a matriz de massa, C a matriz de amortecimento, K a matriz de rigidez e q

o vector de deslocamentos. Normalmente admite-se, em sistemas discretizados e sem condensação, que a matriz de

massa é uma matriz diagonal, o que é o mesmo que dizer que uma aceleração correspondente a um grau de liberdade apenas provoca forças de inércia nesse mesmo grau de liberdade.

Para determinação das frequências próprias do sistema e semelhantemente ao que foi

feito para os sistemas com um grau de liberdade, despreza-se a contribuição do amortecimento. Assim, a equação (86) pode ser reescrita (apenas para efeito de determinação de frequências) como

Por analogia com o comportamento dos sistemas de um grau de liberdade pode-se

admitir que o movimento de resposta numa dada frequência toma a forma

em que q é um vector que representa a configuração da deformada de vibração, a qual

não se altera com o tempo (apenas a amplitude varia de acordo com o valor do coseno).

Fri = ∑

n

Kin q

n (85)

M q + C q + K q = 0 . . .

(86)

M q + K q = 0. .

(87)

q(t) = q cos(pt-φ) (88)


A segunda derivada de q(t) em ordem ao tempo toma a forma

Substituindo as equações (88) e (89) na equação (87) obtêm-se

equação que pode ser reescrita sob a forma

A única solução não trivial (q≠0) para este sistema de equações corresponde ao

anulamento do determinante do primeiro factor da equação (91)

pelo que se conclui que a determinação de frequências e modos de vibração redunda num

problema tradicional de valores e vectores próprios. O desenvolvimento do determinante da equação (91), também designada de equação

característica, redunda na determinação das raízes de um polinómio de grau n em p2, vulgarmente designado por polinómio característico. As raízes desse polinómio (valores próprios) são os quadrados das frequências próprias do sistema. A cada valor próprio (frequência) corresponde uma solução para o vector q a qual é o vector próprio associado com essa frequência. Esse vector representa a configuração da estrutura (modo de vibração) correspondente à vibração na frequência respectiva.

Como exemplo de aplicação escolha-se novamente a estrutura apresentada na figura 2.3 . As matrizes de massa e de rigidez são:

q(t) = - p2 q cos(pt-φ) = - p

2 q(t)

. .(89)

- p2 M q cos(pt-φ) + K q cos(pt-φ) = 0 (90)

[K - p2 M] q = 0 (91)

det (K - p2 M) = 0 (92)

200 0 0 0 300 0 0 0 400

M =

[KN s2 / m]

K = 120 000 -120 000 0-120 000 360 000 -240 000 0 -240 000 600 000 [KN / m]


Fig. 2.4 - Exemplificação da formação da matriz de rigidez

pelo que a equação (92) toma a seguinte forma

A respectiva equação polinomial é assim:

Esta equação tem três raízes que são aproximadamente:

e que são as frequências próprias da estrutura. Como se pode constatar, e tal como na

devida altura tinha sido referido, o método de Rayleigh conduziu a uma boa aproximação do valor da 1ª frequência.

Uma outra forma de determinar as frequências próprias de uma estrutura é utilizar uma

alternativa à equação (91). Tal alternativa tem talvez uma mais fácil aplicabilidade a microcomputadores, já que a determinação explícita dos coeficientes da matriz de rigidez, não é possível para a maior parte dos programas.

600 - p2 -600 0

-600 1800-1.5p2 -1200

0 -1200 3000-2p2

200 = 0

(600-p2) [(1800-1.5p

2)(3000-2p

2) - 1200

2] + 600 [-600(3000-2p

2)] = 0

p1

2 = 210 p

1 = 14.5 rad/s

p2

2 = 966 p

2 = 31.1 rad/s

p3

2 = 2124 p

3 = 46.1 rad/s


Pré-multiplicando ambos os membros da equação (91) pelo matriz de flexibilidade F a equação característica toma a seguinte forma

ou fazendo

e dado que F K = I

A determinação das frequências próprias resume-se da mesma forma à resolução de um

sistema de valores próprios análogo ao anterior. A vantagem que esta metodologia pode ter sobre a metodologia que emprega a matriz de rigidez, resulta do facto de que, dispondo por exemplo de um programa de cálculo de pórticos planos, os coeficientes da matriz de flexibilidade podem ser facilmente obtidos através da aplicação de forças unitárias ao nível de cada piso. Assim o coeficiente Fij da matriz de flexibilidade não é mais do que o deslocamento

ao nível e segundo a direcção do grau de liberdade i quando se aplica uma força unitária ao nível e segundo a direcção do grau de liberdade j.

O método para determinação de frequências baseado na resolução directa da equação

característica tem apenas aplicação prática quando as raízes dessa mesma equação são fáceis de determinar. Como tal não é o caso para estruturas com mais do que dois ou três graus de liberdade, torna-se necessário recorrer a outros métodos de determinação dos valores próprios.

É corrente distinguir os seguinte algoritmos de determinação de valores e vectores

próprios: (i) Métodos de iteração de vectores. Consistem em algoritmos que utilizam a equação característica duma forma recursiva. Dentre destes é ainda possível distinguir os métodos de iteração directa e métodos de iteração inversa que utilizando a equação característica em duas formas distintas (correspondentes às equações 91 e 95) facultam a determinação dos valores próprios inferiores e superiores respectivamente. O método de Stodola, objecto de estudo na secção 2.5, corresponde ao método da iteração inversa. (ii) Métodos de transformação. Consistem em transformar as matrizes do sistema de forma à matriz de massa igualar a matriz identidade e a matriz de rigidez assumir uma

F [K - p2 M] = 0q (93)

p2

1 = ¥

2(94)

[F M - ¥2 I] = 0q (95)


forma diagonal em que cada elemento diagonal corresponde ao valor próprio associado. Destaca-se nesta classe de métodos o método de Jacobi. (iii) Métodos de iteração em polinómio. Fundamentam-se na determinação de zeros de polinómios que, no presente caso, corresponde ao polinómio característico. (iv) Métodos compostos. Consistem na conjugação de dois ou mais métodos dos anteriormente citados. Destaca-se dentro de estes métodos o método da iteração em subespaços que conjugando os métodos referidos em (i) e (ii) consiste no algoritmo mais adequado a sistemas de grande dimensão. Dada a acessibilidade de subrotinas de cálculo automático para determinação de valores e

vectores próprios, não será dado especial ênfase aos métodos numéricos neste domínio.


2.3 - Determinação dos modos de vibração Na aplicação do método de Rayleigh à determinação de frequências, viu-se que a

configuração de vibração arbitrada influenciava o valor calculado da frequência. Assim conclui-se que a cada frequência está associada uma configuração de vibração. Quer isto dizer que se a estrutura vibra com uma frequência correspondente a uma frequência própria, a deformada de vibração é, a menos da amplitude máxima, uma característica dessa mesma frequência.

Reveja-se o sistema de equações (91), supondo-se que já se conhecem os valores próprios

(frequências). Para cada frequência pi pode-se reescrever o sistema de equações sob a forma.

Dado que o determinante da "matriz" que multiplica o vector q é nulo, o sistema de

equações é homogéneo, com equações linearmente dependentes e portanto indeterminado. Esse facto implica que não possam ser calculados os valores do vector q (amplitudes dos deslocamentos para cada grau de liberdade), e que apenas se possam estabelecer relações entre esses mesmos valores.

Na prática isso significa que apenas se pode determinar a forma da configuração de

vibração, mas que os valores dos deslocamentos dos vários graus de liberdade, apenas podem ser conhecidos em função de um deles. Geralmente supõe-se que o deslocamento do primeiro grau de liberdade, ou daquele a que corresponde maior deslocamento, é unitário, determinam-se os outros valores, e assim se determina para cada frequência o modo de vibração, ou vector próprio que lhe está associado. Refira-se, como vai ser descrito em 2.4, ser corrente normalizar os modos de vibração relativamente à matriz de massa com as vantagens que na altura serão detalhadas.

Uma forma possível de determinar para cada frequência o vector próprio associado, é

através da matriz adjunta da matriz característica [K-pi2M]. A matriz adjunta é a matriz

transposta da matriz dos cofactores. A matriz dos cofactores é calculada, substituindo cada elemento de uma matriz (aij) pelo valor do determinante da matriz que se obtém por

eliminação das linha e coluna a que pertence o elemento (linha i, coluna j), multiplicado por (-1)(i+j).

Na prática, dado que a matriz característica é simétrica, não se torna necessário fazer a

transposição da matriz dos cofactores. Também não se torna necessário calcular a matriz dos

[ K - pi

2 M ] q = 0 (96)


cofactores de todos os elementos da matriz característica, mas apenas os cofactores da última coluna desta matriz.

Como exemplo, determinem-se os vectores próprios (modos de vibração) da estrutura da figura 2.3, para a qual já foram determinadas as frequências próprias.

A matriz característica é

Substituindo para o valor da 1ª frequência (p12=210) obtém-se

Calculando os cofactores dos elementos da última coluna obtém-se

Em que o critério de normalização consistiu em impor valor unitário da componente

correspondente ao deslocamento do último piso. Para obtenção do 2º e 3º modos de vibração, seria necessário substituir na matriz

característica o valor de p2 respectivamente por 966 e 2124, e proceder de uma forma análoga. Na figura 2.5 são apresentados os três modos de vibração. Em qualquer deles optou-se

por normalizar através da fixação de um valor unitário para o deslocamento modal correspondente ao primeiro grau de liberdade.

[

600 - p2 - 600 0

- 600 1800 - p

2 - 1200

0 - 1200 3000 - 2p2]

[ 0

390 - 600 0

- 600 1485 - 120

0 - 1200 2580 ]

[ - 600 * - 1200 * ( -1 )

4

390 * - 1200 * ( -1 ) 5

(390 * 1485 - (-600 ) 2) * ( -1 )

6 ] = [

720000

468000

219150

]

[1.0

0.65

0.30 ]normalizando


Fig. 2.5 - Modos de vibração - Exemplo

Uma análise dos três modos de vibração, permite detectar uma característica própria dos

modos de vibração de sistemas deste tipo. O primeiro modo tem todos os deslocamentos modais com o mesmo sinal, o que significa que quando a estrutura vibra nessa frequência, todos os pontos estão em movimento e com o mesmo sentido. Em relação ao segundo modo, pode detectar-se um ponto entre o 2º e o 3º piso que não sofre qualquer deslocamento. Para o terceiro modo podem detectar-se dois desses pontos. Tal característica é importante quando se precisar idealizar a deformada da estrutura para um dado modo de vibração.

A metodologia usada para determinação dos vectores próprios (através da matriz

adjunta), tem pela sua simplicidade, aplicabilidade a microcomputadores. A determinação das frequências próprias e dos modos de vibração de uma estrutura são os passos essenciais da análise dinâmica de qualquer estrutura. A implementação de métodos numéricos de determinação de valores próprios (frequências) e de vectores próprios (modos de vibração) é portanto condição necessária de qualquer análise dinâmica.


2.4 - Análise modal 2.4.1 - Condições de ortogonalidade Os modos de vibração têm determinadas propriedades que justificam a sua utilização na

análise dinâmica de sistemas de vários graus de liberdade. Essas propriedades são conhecidas por condições de ortogonalidade.

Tal como atrás foi referido, as equações de movimento em regime livre podem ser escritas

sob a forma

em que qn representa o vector de deslocamentos quando a estrutura vibra com a

frequência pn. Na equação (97), qn pode ser substituído por vn (vector próprio correspondente

à frequência de ordem n) em ambos os lados da equação, já que bastará para tanto dividir ambos os membros pelo valor da amplitude do movimento. Assim a equação (97) pode ser reescrita como

Igual equação pode ser escrita para o modo m, dando lugar a

Premultiplicando a equação (98) por vm

T e posmultiplicando a transposta da equação (99) por vn obtém-se respectivamente

Como se pode ver o lado esquerdo das duas equações é igual, pelo que a diferença das

duas equações conduz a

para (m≠n) o que traduz a ortogonalidade dos modos de vibração com respeito à matriz

de massa.

K qn = p

n

2 M q

n (97)

K vn = p

n

2 M v

n

(98)

K vm

= pm

2 M v

m (99)

vm

T K v

n = p

n

2 v

m

T M v

n(100)

vm

T K v

n = p

m

2 v

m

T M v

n(101)

(pn

2 - p

m

2 ) vm

T M v

n = 0 (102)

vm

T

M vn = 0

(103)


Se dividirmos as equações (100) e (101) por pn

2 e pm2 respectivamente, a diferença entre

as duas equações dá lugar a

o que traduz também a ortogonalidade dos modos de vibração com respeito à matriz de

rigidez. Refira-se ainda que como consequência, se pode afirmar que os modos de vibração são

ortogonais em relação a qualquer matriz que seja uma combinação linear da matriz de massa e de rigidez.

Ainda como consequência das propriedades de ortogonalidade pode constatar-se que, se

se definir V como a matriz modal ou seja a matriz cujas colunas são os modos de vibração, os produtos

representam matrizes de massa e de rigidez normalizadas, as quais são necessariamente

matrizes diagonais.

(

pn

2

1 -

pm

2

1 ) v

m

T K v

n = 0

(104)

VT

M V = MG

(105)

VT

K V = KG

(106)


2.4.2 - Equações em coordenadas modais Se voltarmos a escrever a equação de equilíbrio em regime livre

e a premultiplicarmos por VT e inserirmos a matriz identidade

antes de q e q,

.. obtém-se

que pode ser reescrita como

sendo

A equação (109) representa um sistema de equações diferenciais de segunda ordem

independentes já que as matrizes MG e KG são diagonais.

Desta forma o problema da resolução de um sistema de N equações diferenciais em

coordenadas normais pode ser, caso se efectue a transformação de coordenadas acima descrita, reduzido ao problema de N equações independentes, em tudo similares às utilizadas no estudo de sistemas de 1 grau de liberdade. Mostra-se assim que a solução de um sistema de N graus de liberdade pode ser encarado como a sobreposição das soluções de N sistemas de um grau de liberdade.

As novas coordenadas introduzidas, as coordenadas generalizadas ou modais, já não

representam, como as coordenadas iniciais, explicitamente deslocamentos mas sim amplitudes de configurações deformadas. A vantagem deste procedimento reside no facto de que as matrizes características do sistema, quando referidas às coordenadas modais, se apresentam diagonais, permitindo o estudo separado de cada novo grau de liberdade.

M q + K q = 0. .

(106)

I = V V-1

(107)

VT M V V

-1 q + V

T K V V

-1 q = 0

. .(108)

MG q

G + K

G q

G = 0

. .(109)

qG = V

-1 q ou q = V q

G(110)

qG = V

-1 q ou q = V q

G

. . . . . . . .(111)


Como foi oportunamente referido, a matriz modal pode ser determinada a menos das amplitudes modais ou seja, cada modo de vibração pode ser determinado a menos de uma constante. Uma das formas utilizadas para representar a matriz modal é admitir amplitudes unitárias para um dos graus de liberdade. Existem contudo vantagens ao nível da formulação posterior em adoptar como critério o de normalizar os modos de vibração relativamente à matriz de massas, isto é:

em que φ i representa o vector vi normalizado de acordo com este critério.

Deixa-se ao cuidado do leitor a demonstração, a partir das eqs. 100 e 112, das matrizes de

massa e rigidez generalizadas de acordo com este critério de normalização.

em que Φ e [p2] são respectivamente a matriz modal normalizada e uma matriz

diagonal na qual cada termo diagonal é o quadrado da frequência própria correspondente. No caso do sistema apresentar uma matriz de amortecimento ortogonalizavel pelos modos de vibração, situação que se refere como de amortecimento modal, é ainda possível definir a matriz de amortecimento generalizada CG dada por:

Se as equações de equilíbrio em regime livre com amortecimento forem escritas nas

coordenadas principais ou generalizadas tem-se

Premultiplicando por ΦT obtém-se

ou seja

φi

T M φ

i = 1 (112)

φi =

vi

T

M vi

vi

(113)

MG = Φ

T M Φ = I (114 a)

KG

= ΦT K Φ = [ p

2 ] (115)

CG

= ΦT C Φ = [ 2ζp ] (116)

M Φ q + C Φ q + K Φ q = 0. . .

G G

G (117)

ΦΤ M Φ q + ΦT C Φ q + Φ

T K Φ q = 0

. . .

G G G (118)


Tirando partido do critério de normalização referido

ou, individualizando uma das equações

pelo que a equação de movimento duma determinada coordenada generalizada, ou o que

é o mesmo dum determinado modo, representa a equação de movimento dum sistema de 1 grau de liberdade com massa unitária, rigidez igual ao quadrado da frequência e amortecimento duplo do produto da frequência pelo coeficiente de amortecimento modal.

Para demonstrar os conceitos apresentados estudaremos o sistema de três graus de

liberdade apresentado na figura 2.3 em que se admite coeficiente de amortecimento modal de 5%.

A matriz modal Φ normalizada de acordo com o critério exposto é então:

A matriz Φ -1 necessária para transformar as coordenadas iniciais em coordenadas

generalizadas pode ser obtida, dado já se tratar de matriz modal normalizada em relação à matriz de massas, a partir da seguinte propriedade evidente quando comparada a eq. 114 com a equação que relaciona uma dada matriz com a sua inversa:

ou seja

MG

qG

+ CG

qG

+ KG

qG

= 0 . . .

(119)

qG

+ [ 2ζp ] qG

+ [ p2 ] q

G = 0

. . .(120)

qiG

+ 2ζip

i q

iG + p

i

2 q

iG = 0

.. .(121)

[ ]Φ =

0.05251 0.03406 0.01585

0.04496 -0.02727 -0.03052

0.01488 -0.03781 0.03629

Φ-1

= ΦΤ M (114 b)

Φ-1 = [

10.502 13.488 5.952

6.812 -8.181 -15.124

3.17 -9.156 14.516 ]


As equações de comportamento do sistema reduzem-se consequentemente a três equações diferenciais desacopladas de 2ª ordem.

Como cada uma das equações representa a resposta de um sistema de um grau de

liberdade, as técnicas utilizadas na análise de resposta de sistemas de um grau de liberdade poderão ser aplicadas.

q1G

+ 1.45 q1G

+ 210 q1G

= 0 .. .

q2 G

+ 3.11 q2 G

+ 966 q2 G

= 0 .. .

q3 G

+ 4.61 q3 G

+ 2124 q3G

= 0.. .


2.4.3 - Resposta em regime livre Da análise de sistemas com um grau de liberdade podemos dizer que a resposta de um

sistema em regime livre não amortecido é da forma (ver eq. 9 a) com ζ=0).

Assim para determinar a resposta de um sistema de N graus de liberdade deve proceder-

se à transformação de coordenadas dos vectores das condições iniciais através de

e utilizar depois a equação (122) Utilizando o exemplo atrás referido, desprezando o amortecimento e supondo que a

estrutura era libertada duma deformada com deslocamento unitário no último piso e nulo nos restantes.

tem-se

e ainda

pelo que as equações de movimento em coordenadas generalizadas são

q = q0 cos(pt) +

p

q0

sin(pt)

.

(122)

qG0

= Φ-1

q0 = Φ

T M q

0 (123)

qG0

= Φ-1

q0 = Φ

T M q

0

. . .(124)

q0 = [ ]

1.000

0.000

0.000

10.502

6.812

3.17

qG

= [ ]0

qG0

= q0 = 0

. .

q1G

(t) = 10.502 cos(14.5t)

q2G

(t) = 6.812 cos(31.1t)

q3G

(t) = 3.17 cos(46.1t)


Para obter os resultados nas coordenadas iniciais não há mais do que aplicar a transformação inversa.

Constata-se assim que, para estudar a resposta de um sistema, deve primeiro transformar-

se o problema para coordenadas principais, utilizar as soluções existentes para equações desacopladas e voltar a efectuar uma transformação de coordenadas para obter os resultados nas coordenadas iniciais.

Deixa-se ao cuidado do leitor demonstrar que quando as condições iniciais correspondem

a um campo de deslocamentos e/ou velocidades com a configuração dum determinado modo o sistema responde em coordenadas iniciais apenas nesse modo.

q1(t) = 0.5515 cos(14.5t) + 0.30 3 cos(31.1t) + 0.0472 cos(46.1t)

q2(t) = 0.3577 cos(14.5t) - 0.1858 cos(31.1t) - 0.1199 cos(46.1t)

q3(t) = 0.1665 cos(14.5t) - 0.2079 cos(31.1t) + 0.1150 cos(46.1t)

6


2.4.4 - Resposta para forças aplicadas No caso da existência de forças aplicadas, a equação de movimento

pode ser transformada em

equação que tirando partido do critério de normalização referido pode ser reescrita

em que QG(t), vector das forças generalizadas, é o resultado da transformação de

coordenadas para as forças aplicadas Q(t). Como será fácil de constatar, o sistema representado na equação (127) é ainda um sistema

de equações diferenciais desacopladas, sendo possível para cada uma delas determinar a resposta com base nos conceitos apresentados quando do estudo dos sistemas de um grau de liberdade sujeitos a forças externas, nomeadamente as soluções descritas em 1.2.

Estudam-se seguidamente as formulações aplicáveis nos casos de excitação harmónica,

periódica e não periódica. Quando o sistema é sujeito a uma excitação harmónica com frequência ω , isto é sujeito a

um vector de forças aplicadas Q(t) do tipo:

a resposta em coordenadas generalizadas é, para o iésimo grau de liberdade (ver eq.21 b e

23 a)):

com β1i e ϕ i dados pelas eqs.23 b e 24 (para p=pi e ζ=ζ i) e Q iG dado por

Ao transpor a resposta para coordenadas iniciais obtém-se:

M q + C q + K q = Q(t)...

(125)

ΦT M q + Φ

T C q + ΦΤ K q = Φ

T Q(t)

. . .(126)

qG + [ 2ζp ] q

G + [ p

2 ] q

G = Q

. . .G(t) (127)

Q(t) = Q cos(ωt) (128)

qiG

(t) = β1i

pi

2

QiG

cos(ωt+ϕi) (129)

QiG

= ∑j=1

N

Φji Q

j (130)


ou seja a resposta do sistema resume-se a uma sobreposição de harmónicas desfasadas de

frequência igual à da excitação em que cada harmónica desfasada representa a contribuição dum determinado modo para a resposta final. A existência dum factor β1 a modelar a resposta

de cada modo permite concluir que se a frequência de excitação se aproximar bastante da frequência dum determinado modo a estrutura responde quase exclusivamente no referido modo dependendo este fenómeno de ressonância dos coeficientes de amortecimento modais dos restantes modos e da afinidade da excitação com a configuração modal ressonante. Refira-se que, independentemente das considerações expostas, a existência do denominador pj2 na

expressão anterior indica que é privilegiada a contribuição dos modos inferiores. Quando o sistema é sujeito a uma excitação periódica é ainda possível proceder à

decomposição em série de Fourier de cada um dos elementos do vector das forças aplicadas e recorrer à formulação exposta atrás para determinar a resposta a cada componente harmónica da excitação em coordenadas generalizadas.

Relativamente à situação em que o sistema é sujeito a uma excitação determinística não

periódica existe ainda formulação analítica adequada ao problema. Com efeito, transformando a excitação para coordenadas generalizadas (ver eq.127) é possível, aplicando o conceito de integral de Duhamel, determinar a resposta em cada modo após o que, por aplicação da eq.110, se determina a resposta em coordenadas iniciais.

Como exemplo, suponha-se que à estrutura da figura 2.3 e desprezando os efeitos do

amortecimento, é aplicada uma força constante Q=1 ao nível do primeiro grau de liberdade. O vector das forças generalizadas é então:

Utilizando os resultados expostos na eq.36 para o caso particular de força constante e

condições de massa e rigidez características das coordenadas generalizadas quando se adopta o critério de normalização dos modos relativamente à matriz de massas (m=1, k=p2):

qi(t) = ∑

j=1

N

Φij β

1j

pj

2

QjG

cos(ωt+ϕj) (131)

QG(t) = Φ

T Q(t) =

[

0.05251

0.03406

0.01585]

q(t) =

p2

Q (1-cos(pt))


Deixa-se ao cuidado do leitor confirmar que a resposta em coordenadas iniciais é a seguinte:

q(t) = [

14..432 + 13.114cos(14.5t) + 1.199cos(31.1t) + 0.118cos(46.1t)

10.041 + 11.299cos(14.5t) - 0.860cos(31.1t) - 0.228cos(46.1t)

2.655 + 3.716cos(14.5t) - 1.331cos(31.1t) + 0.2707cos(46.1t) ] x 10e-6


2.4.5 - Resposta a acções sísmicas A resposta de um sistema de vários graus de liberdade a acções sísmicas pode ser

efectuada utilizando as técnicas referidas na análise da resposta de sistemas a forças aplicadas. Com efeito, tal como se referiu previamente, a resposta a uma aceleração de solo é

idêntica à resposta do sistema a forças aplicadas ao nível dos vários graus de liberdade e iguais ao produto do valor da aceleração de base correspondente ao grau de liberdade em questão, pela massa respectiva.

Assim se um sistema está sujeito a uma aceleração, por exemplo segundo a direcção x, a

análise da resposta pode ser efectuada, supondo aplicadas a todos os graus de liberdade segundo a direcção x forças equivalentes ao valor da aceleração de solo vezes a massa correspondente a esse mesmo grau de liberdade.

Tal é equivalente a fazer actuar sobre o sistema um vector de forças definido como

em que q,¨ sx (t) é o valor da aceleração do solo, e 1x é um vector formado por elementos

unitários nas posições correspondentes aos graus de liberdade segundo a direcção da aceleração e elementos nulos em todas as outras posições.

Na ocorrência simultânea de aceleração do solo em várias direcções o raciocínio exposto é

generalizável à seguinte expressão (caso tridimensional):

em que 1 representa uma matriz constituída por três colunas em que cada coluna é

preenchida por elementos nulos excepto nas posições correspondentes a graus de liberdade de translação segundo a direcção a que se reporta, isto é:

Q(t) = - M 1x q

sx

..(t) (132)

Q(t) = - M 1{q

sxq

syq

sz}

..

..

. . (133)

1 = {1x 1

y 1

z} (134)


2.5 Método de Stodola O método de Stodola, também conhecido por Stodola-Vianello, é um método iterativo de

determinação de frequências próprias e modos de vibração particularmente adaptado a microcomputadores.

Este método fundamenta-se na equação (95) que, reescrita para o modo genérico n,

conduz a:

em que D também designada de matriz dinâmica é o produto da matriz de flexibilidade

pela matriz de massas. O processo iterativo preconizado para determinar a configuração fundamental de

vibração e respectiva frequência é o seguinte: (1) arbitrar a estimativa inicial para o 1º modo v (0 ) . (2) utilizando a expressão 135 na forma recursiva determinar a estimativa seguinte

(3) normalizar por qualquer critério a estimativa de ordem k

(4) critério de paragem. Verificar se as estimativas normalizadas correspondentes aos ciclos (k) e (k-1) são aceitavelmente iguais. Proceder para (5) ou repetir passos (2), (3) e (4) até satisfação do critério de paragem respectivamente. (5) determinar aproximação à configuração e frequência fundamental através de:

D φn =

pn

2

1 φ

n(135)

v

(k) = D v

(k-1)

v

(k)

= norm ( v

(k))

φ1 =

v

(k) TM v

(k)

v

(k)

(136)

p1

2 =

∑i

∑j

vj

(k)M

jiv

i

(k)

∑i

∑j

vj

(k)M

jiv

i

(k-1)

(137)


Observe-se que a expressão 137 resulta do facto de se tratar dum processo iterativo. De facto, como é demonstrado seguidamente, no limite (k→ ∞) a estimativa de ordem k do 1º modo coincide com este e verifica-se a seguinte igualdade:

pelo que o quociente do mesmo elemento das estimativas consecutivas conduz,

independentemente do elemento, ao valor de p1.

Na prática, o facto de se interromper o ciclo de Stodola com um número finito de iterações conduz à existência de elementos i e j tais que:

pelo que a média ponderada destes quocientes preconizada na expressão 137 conduz à

melhor aproximação para cálculo da frequência fundamental. Falta apenas demonstrar porquê a utilização da expressão 135 na forma recursiva a partir

duma estimativa inicial arbitrária conduz a aproximações progressivamente refinadas da configuração fundamental. Com efeito observe-se que a estimativa inicial é implicitamente uma combinação linear das diversas configurações modais, isto é:

Após o 1º ciclo de Stodola obtém-se:

tirando partido da expressão 135

ou, individualizando a fracção com p, 1

2

Generalizando esta expressão para o késimo ciclo determina-se a seguinte expressão:

v

(k) = D v

(k-1)=

p1

2

1 v

(k )-1

(138)

vj

(k-1)

v j

(k)

<

p1

2

1 <

vi

(k-1)

vi

(k)

(139)

v

(0)

= c1φ

1+ c

2φ

2+ . . + c

nφ

n+ . . + c

Nφ

N (140)

v

(1) = D v

(0)

= c1D φ

1+ c

2D φ

2+ . .+ c

nD φ

n+ . .+ c

ND φ

N (141)

v

(1) =

p1

2

c1φ

1+

p2

2

c2φ

2+ . .+

pn

2

cnφ

n+ . .+

pN

2

cNφ

N (142)

v

(1) =

p1

2

1 {c1φ

1+ c

2(

p2

p1)

2

φ2+ . .+ c

n(

pn

p1)

2

φn+ . .+ c

N(

pN

p1 )

2

φN} (143)


o que tendo em conta a ordem relativa das frequências próprias serve como

demonstração ao pretendido. Outra observação possível de extrair da expressão anterior é que, se por algum processo

se eliminasse da estimativa inicial a componente do 1º modo, as estimativas posteriores convergiriam não para o 1º mas para o 2º modo. É precisamente nesta propriedade que se radica a extensão do método de Stodola para a determinação de frequências e modos superiores.

Com efeito atente-se a que:

o que, atendendo às relações de ortogonalidade:

Nestas circunstâncias resulta que o vector v,´(0) obtido da seguinte forma

não apresenta componente do 1º modo pelo que o posterior processamento pelo ciclo de

Stodola conduz a aproximações progressivamente afinadas do 2º modo. Observe-se que este procedimento é extensível à determinação dos modos superiores. Com efeito admitindo o conhecimento as estimativas dos primeiros (n-1) modos é possível através da seguinte expressão:

ou equivalentemente

eliminar da estimativa inicial as componentes dos modos inferiores a n. O posterior

processamento desta estimativa conduz ao nésimo modo. Na prática, a existência de erros de arredondamento numérico aconselha à eliminação das componentes dos modos inferiores

v

(k) =

p1

2k

1 {c

1φ

1+ c

2(

p2

p1)

2k

φ2+ . .+ c

n(

pn

p1)

2k

φn+ . .+ c

N(

pN

p1 )

2k

φN} (144)

φ1

T M v

(0) = c φ

1

T M φ

1+ c

2φ

1

T M φ

2+..+ c

nφ

1

T M φ

n+..+ c

Nφ

1

T M φ

N1(145)

φ1

T M v

(0) = c

1 (146)

v´(0)

= v(0)

- φ1 φ

1

T M v

(0) = {I - φ

1 φ

1

T M } v

(0)(147)

v´(0)

= v(0)

- φ1

T M v

(0) - φ

2

T M v

(0) -. . - φ

n-1

T M v

(0)φ

n-1φ

2 φ

1(148)

v´(0)

= {I - φ1 φ

1

T M - φ

2 φ

2

T M - . . - φ

n-1 φ

n-1

T M }v

(0)

(149)


dentro do próprio ciclo de Stodola. Nestas circunstâncias define-se a matriz de varrimento correspondente ao nésimo modo:

e redefine-se a matriz dinâmica

Como exemplo de aplicação, o método de Stodola será utilizado para calcular as duas

primeiras frequências próprias da estrutura previamente apresentada. O primeiro passo consiste em determinar a matriz de flexibilidade quer por aplicação de

forças unitárias ao nível dos pisos quer ainda por inversão da matriz de rigidez. Neste caso a matriz de flexibilidade é dada por :

A aplicação do método de Stodola conduz ao quadro 2.1. Observe-se que cada elemento da estimativa inicial do primeiro modo corresponde à soma

dos termos respectivos da mesma linha da matriz D1. Este vector não é mais que a deformada

que a estrutura apresenta quando a cada nível se aplica a massa do piso ou seja este vector corresponde à deformada utilizada pelo método de Rayleigh.

Refira-se por fim a importância de desenvolver convenientemente os ciclos de Stodola

relativos aos primeiros modos por forma a evitar que, na determinação dos modos superiores, a ortogonalização efectuada pela matriz Sn não seja eficaz.

Sn = {I - φ

1 φ

1

T M - φ

2 φ

2

T M - . . - φ

n-1 φ

n-1

T M} = S

n-1 - φ

n-1 φ

n-1

T M (150)

Dn = F M S

n = D S

n (151)

[

F = 720000

1

11 5 2

5 5 2

2 2 2

] [ m/KN ]


Quadro 2.1 - Exemplo de aplicação do método de Stodola

S1 = I

[D1 = F M =

720000

1

2200 1500 800 1000 1500 800 400 600 800 ]

1.000 1.000 1.000 1.000 1.0000.733 0.669 0.653 0.649 0.6490.400 0.320 0.306 0.303 0.302

0.00503 0.00480 0.00476 0.00475 0.004740.00336 0.00314 0.00309 0.00308 0.003080.00161 0.00147 0.00144 0.00143 0.00143

v (k)

v (k)

k=1 k=2 k=3 k=4 k=5p1 = 14.52 rad/s

φ1

T = ( 0.05251, 0.03406, 0.01585 )

S2 = S

1 - φ

1 φ

1

T M

[D

2 = F M S

2 =

-

-

44 -46.1 -46.830.7 43.3 8.7123.4 6.54 63.5 ] x 10

-5

1.000 1.000 1.000 1.000-1.000 -0.605 -0.606 -0.606-1.000 -0.682 -0.680 -0.679

0.00137 0.00104 0.00104 0.00104-0.00083 -0.00063 -0.00063 -0.00063-0.00093 -0.00071 -0.00071 -0.00071

p2 = 31.05 rad/s

φ2

T = ( 0.04495, -0.02726, -0.03053)

k=1 k=2 k=3 k=4

v (k)

v (k)


2.6 - Matriz de massa consistente Na generalidade dos casos a matriz de massa é supostamente diagonal (lumped-mass) o

que corresponde a concentrar a massa do sistema nos seus nós. Casos há em que a distribuição contínua de massa ao longo dos elementos, que se verifica,

com maior o menor relevância, nos sistemas reais, justifica a utilização de uma matriz de massa que tenha em conta a distribuição da massa ao longo da estrutura e que se denomina por matriz de massa consistente. Essa matriz de massa é obtida a partir da sobreposição das matrizes de massa de cada membro, de uma forma semelhante à utilizada na formação de matriz de rigidez global a partir das matrizes elementares. Na matriz de massa de cada elemento, a posição Mjk

representa a força de inércia que se desenvolve no grau de liberdade j quando se aplica uma aceleração unitária segundo o grau de liberdade k.

No caso particular de um elemento de barra, usando o esquema de numeração dos graus de liberdade indicados na figura 2.7, a matriz de massa do elemento pode ser escrita como

(sendo m,_

e l respectivamente a densidade linear de massa e o comprimento do elemento):

Fig. 2.7 - Esquema de numeração dos graus de liberdade em elemento barra

Considere-se como exemplo o pórtico representado na fig.2.8 com os três graus de

liberdade.

q1

q2

q3

q4

q5 q

6

i j

420

m l [ ]

210 0 0 0 0 0

0 156 54 0 22l -13l

0 54 156 0 13l -22l

0 0 0 210 0 0

0 22l 13l 0 4l -3l

0 -13l -22l 0 -3l 4l2

2

2

2 (152)


Fig. 2.8 - Pórtico de aplicação de matriz de massa consistente

As matrizes de massa diagonal e consistente serão neste caso respectivamente :

q1

q2

q3

m

2m

m l

2l

[ ] 2100 0 0

0 0 0

0 0 0420

mlM = [ ]1992 22l 22l

22l 68l -48l

22l -48l 68l 22

22

420

mlM =


3 - Análise sísmica

3.1 - Resposta dinâmica a uma aceleração de base

Quando, em vez de actuada por forças ao nível de cada grau de liberdade, a estrutura é actuada por movimentos na base, situação verificada durante a actuação de sismos, as equações que caracterizam a resposta dinâmica tomam uma forma diferente das descritas nas eqs. 6 e 86.

Nessas condições o equilíbrio dinâmico pode ser escrito da seguinte forma em sistemas de

1 grau de liberdade:

em que q* representa o deslocamento relativo solo-estrutura Vemos assim que a análise de uma estrutura sujeita a uma aceleração de base e q,¨ s é

equivalente à análise dessa mesma estrutura, sujeita a uma força de inércia Fi(t) igual ao

produto da sua massa pela aceleração do solo. Para um oscilador de vários graus de liberdade, a equação acima toma uma forma matricial em que o segundo membro é o produto da matriz de massa por um vector com todos os termos iguais à aceleração do solo (ver eq. 133).

Se a aceleração do solo puder ter uma representação similar à da equação (18), ou seja Fi(t)=Ficos(ωt), conclui-se que tudo o que foi dito para resposta em regime forçado (secção 1.2)

pode ser extrapolado para resposta dinâmica a acções sísmicas. Dado que uma acção sísmica pode ser idealizada como a sobreposição de harmónicas,

com diferentes amplitudes para as diferentes frequências, a análise torna-se possível com os conhecimentos anteriormente apresentados. A solução da equação de movimento pode ser obtida quer recorrendo a técnicas de resolução numérica da eq.125, quer através de técnicas de análise modal. O primeiro tipo de análise não será objecto de referência e o segundo foi descrito nas secções 2.4.4 e 2.4.5. Abordaremos agora, pela sua facilidade de aplicação a análise por espectros de resposta.

m q* + c q

* + k q

* = - m q

s

.. . . .(t) = F

i(t) (48 rep)


3.2 - Análise sísmica por espectro de resposta O actual Regulamento de Segurança e Acções, prevê a possibilidade de utilização das

técnicas de análise sísmica por espectro de resposta. O espectro de resposta (no caso do R.S.A., espectro de resposta de acelerações) é o valor máximo da aceleração que um oscilador de um grau de liberdade sofreria quando excitado por uma dada acção sísmica (o R.S.A. define espectros para dois tipos de sismo e três tipos de terrenos). A partir da analogia que existe entre a resposta de osciladores de vários graus de liberdade e um oscilador de um grau de liberdade é possível quantificar através de espectros de resposta os valores máximos de resposta de um oscilador de vários graus de liberdade.

Para tanto relembremos que a resposta de um sistema de vários graus de liberdade pode

ser imaginada como a sobreposição das respostas para cada um dos seus modos de vibração. Dado que a configuração de vibração para um determinado modo é conhecida, a resposta para esse modo pode ser idealizada como a resposta de um oscilador de um grau de liberdade. Na realidade, tendo em conta que para um determinado modo, as relações entre os deslocamentos dos diversos graus de liberdade são interdependentes, o sistema comporta-se como um sistema com um único grau de liberdade, que não é mais do que a amplitude pela qual tem de ser corrigida a configuração de vibração respectiva.

No estudo sísmico de estruturas por espectros de resposta a aceleração do solo pode ser

escrita na forma

em que as parcelas representam as acelerações do solo segundo as três direcções x, y, e z.

Isolando o efeito da aceleração do solo segundo a direcção x conclui-se que a equação de movimento relativa ao modo i é então

em que pi e ζ i representam respectivamente a frequência e o coeficiente de

amortecimento do modo de ordem i e qiG é a iésima coordenada generalizada ou, o que é igual, a

amplitude da iésima configuração modal. A variável Pix designada de factor de participação modal (modo i, direcção x) é definida

para uma acção de base rígida da seguinte forma (ver eqs. 132 e 133)

qs(t) = q

sx(t) + q

sy(t) + q

sz(t)

. . . . . . . .(153)

qiG

+ 2ζip

i q

iG + p

i

2 q

iG = - P

ix q

sx

. . . . .(154)

Pix

= φi

T M 1

x(155)


pelo que se constata que o factor de participação modal é uma entidade independente da acção que solicita a estrutura. Este factor, que apresenta na eq.154 um efeito amplificador da aceleração do solo, depende essencialmente do conteúdo e coerência dos movimentos segundo x da iésima configuração modal.

Recorrendo ao conceito de deslocamento espectral, o valor máximo da iésima coordenada generalizada é então

em que Sx (pi) é o deslocamento espectral na direcção x, correspondente à frequência pi.

Nestas circunstâncias, o campo de deslocamentos máximo que a estrutura apresenta considerando a acção específica que solicita a estrutura e a contribuição exclusiva do modo i obtém-se da seguinte forma

De modo idêntico as respostas máximas correspondentes às direcções y e z são

em que os termos Piy e Piz representam os factores de participação do modo i

relativamente às direcções y e z

Na hipótese, preconizada pelo R.S.A., de independência dos movimentos do solo segundo as diversas direcções, a resposta total máxima correspondente ao modo i é então

ou alternativamente

O cálculo da resposta modal máxima a partir da soma dos valores absolutos das

componentes nas três direcções ortogonais, não estando de acordo com o previsto como admissível no R.S.A, é no entanto extremamente semelhante ao ali preconizado. Com efeito, o R.S.A. permite que o cálculo da resposta máxima possa ser efectuado através duma combinação

qiG

max = P

ix S

x(p

i)

x (156)

qi

(max) = q

iG

(max) φ

i = P

ix S

x(p

i) φ

ix x (157 a)

qi

(max) = q

iG

(max) φ

i = P

iy S

y(p

i) φ

iy y (157 b)

qi

(max) = q

iG

(max) φ

i = P

iz S

z(p

i) φ

iz z (157 c)

Piy = φ

i

T M 1

y (158)

Piz = φ

i

T M 1

z (159)

qi

(max) = (q

ix

(max))2

+ (qiy

(max))2

+ (qiz

(max))2

(160)

qi

(max) = q

ix

(max) + q

iy

(max) + q

iz

(max)

(161)


quadrática das respostas nas três direcções (eq. 160). De salientar que o facto de se efectuar uma soma dos valores absolutos das componentes nas três direcções ortogonais, representa em relação às condições previstas no regulamento, uma análise ligeiramente mais conservativa. Dado que na maioria dos casos há uma preponderância nítida de uma das componentes, os dois métodos acabam no entanto por conduzir a resultados similares.

Relativamente à regra de combinação das respostas máximas para os diferentes modos, o

R.S.A. prevê que a resposta global possa ser calculada por uma combinação (também quadrática) das respostas calculadas para cada um dos modos.

Refira-se que a regra de combinação quadrática entre os modos se encontra condicionada

no R.S.A. a determinadas hipóteses relativas ao afastamento das frequências próprias do sistema. Quando tais hipóteses são violadas é ainda possível efectuar uma combinação das respostas modais, através duma combinação quadrática completa -CQC- (ver secção 3.3).

Nas condições da combinação quadrática simples, a ordem pela qual se efectuam as

combinações é irrelevante, já que, tratando-se de combinações quadráticas, pode ser calculada primeiramente a resposta para uma determinada direcção através da combinação das respostas modais para essa mesma direcção, e posteriormente ser feita a combinação das respostas para cada uma das direcções.

Tendo como objectivo a utilização da formulação apresentada a aplicações destinadas a

microcomputador, como alternativa mais elaborada ao método das forças estáticas equivalentes, apresentam-se seguidamente alguns exemplos, necessariamente sumários, das diversas fases do algoritmo proposto.

Suponha-se para começar que um oscilador de um grau de liberdade (peso W) está sujeito

na zona A, a uma acção sísmica tipo 1 em terreno tipo II e que o seu amortecimento é de 5%. Suponha-se ainda que a frequência própria desse oscilador é de 1.5 Hz . De acordo com a Fig. III-3 do R.S.A., o valor de aceleração espectral correspondente a essa frequência e amortecimento é de 200 cm/seg2 o que corresponde a dizer que a massa (m) desse oscilador vai ficar sujeita a uma força horizontal igual a 200*m o que é o mesmo que dizer que o coeficiente sísmico é de 200/980 ou seja 20.5%. Assim, uma análise "dinâmica" simplificada permite determinar a frequência própria do sistema e, conhecida a aceleração espectral correspondente, calcular as forças actuantes ao nível do grau de liberdade ((w/980)*200).

q(max)

= ∑i

(qi

(max))2

(162)


No caso de osciladores de vários graus de liberdade, o processo torna-se mais complexo, mas é ainda relativamente simples, quando aplicado a análises planas de estruturas de edifícios em que se possa supor que devido à elevada rigidez dos pavimentos no seu próprio plano, possuem apenas um grau de liberdade por piso.

Para tanto, torna-se primeiro necessário determinar as frequências e os modos de

vibração. Na realidade não é necessário calcular todas as frequências e modos de vibração, já que, como veremos, apenas alguns dos modos, geralmente os que correspondem a frequências mais baixas, têm contribuição efectiva na resposta.

A análise é efectuada modo a modo, após o que se efectua uma combinação das respostas

modais. Depois da determinação das frequências fj (Hz) e modos de vibração vij torna-se

necessário calcular para cada modo de vibração j, a massa efectiva ou generalizada desse modo Mj e o "factor de contribuição" (não confundir com factor de participação) desse modo para a resposta ao sismo Pj .

Se denominarmos por mi a massa correspondente ao grau de liberdade i e por vij o valor

correspondente ao elemento de ordem i do modo de vibração j , por hipótese normalizado por qualquer outro critério que não o da normalização relativamente à matriz de massas.

Saliente-se que o quociente Error!não é mais do que o factor de participação do modo j

definido na eq.155 Uma vez calculados estes valores, os deslocamentos qij e as forças modais Fij máximas

(deslocamentos e forças máximas para o grau de liberdade i, para a resposta no modo de vibração j podem ser calculados

Mj = ∑

i

mi v

ij

2

(163)

Pj = ∑

i

mi v

ij (164)

qij = v

ij M

j

Pj

4π2fj

2

Saj

(165)

Fij = m

i v

ij M

j

Pj S

aj (166)


em que Saj é o valor da aceleração espectral correspondente à frequência fj. De notar que fj é expresso em Hz o que explica o denominador 4p2fj2 na primeira expressão.

A partir dos valores dos deslocamentos e forças ao nível dos diversos graus de liberdade,

é possível determinar os deslocamentos e esforços em qualquer ponto da estrutura. Designaremos qualquer uma dessas quantidades por rj, seja esforço ou deslocamento, em que o

índice j significa que se trata da resposta no modo de vibração j. Adoptando a já referida regra de combinação quadrática das respostas modais a resposta máxima global é então:

Como exemplo de aplicação far-se-á a análise da estrutura de três graus de liberdade (um

por piso) para a qual já foram determinadas as frequências próprias e os modos de vibração. Na Figura 3.1 apresentam-se as diversas grandezas necessárias para os cálculo a

desenvolver.

r = ∑j

rj

2

(167)


Fig. 3.1 - Exemplo de análise simplificada por espectro de resposta

De salientar em relação ao quadro de cálculo da fig. 3.1 , que todos os valores qij e Fij são

calculados tendo em atenção os respectivos sinais. Faça-se uma análise dos resultados em termos das forças obtidas. Para a resposta no

primeiro modo de vibração (j=1) obtiveram-se os seguintes valores

a que corresponde a um esforço transverso total na base de

Se combinarmos quadraticamente os valores correspondentes ao 1º e ao 2º modos de

vibração obtém-se:

Se incluirmos nessa combinação os resultados para o terceiro modo obtém-se:

v

SM P

q

F1 = 823 KN

F2 = 803 KN

F3 = 494 KN

Fh = ∑

i

Fi = 2120 KN

F1 = 823

2 + (-403)

2 = 916 KN

F2 = 803

2 + 368

2 = 883 KN

F3 = 494

2 + 548

2 = 737 KN

Fh = 2120

2 + 513

2 = 2181 KN


De salientar que o valor de Fh não é igual à soma das forças aos vários níveis (∑Fi). Tal

deve-se ao facto de cada um dos valores das forças aos diversos níveis ser o valor máximo esperado para essas forças, enquanto que o valor máximo da força ao nível do solo, não tem necessariamente de ser a soma dos máximos, dado que esses máximos podem não ocorrer simultaneamente.

Tal facto significa que ao fazer uma análise por espectro de resposta, a resposta para

cada modo de vibração tem de ser calculada separadamente, seja ela um deslocamento, um esforço normal ou um momento flector numa dada barra, e só depois dessa quantidade ser calculada para todos os modos de vibração é que a combinação pode ser efectuada.

Chame-se também a atenção para o facto de que, por vezes, não se torna necessário

calcular a resposta para todos os modos de vibração. Com efeito, se se tivesse desprezado a contribuição do terceiro modo, estar-se-ia a cometer um erro por defeito de apenas 0.2% para o valor da força Fh. Esse erro seria de 3% se se tivesse desprezado a influência dos 2º e 3º modos.

Por aqui se pode ver que os modos que correspondem a frequências mais altas, têm geralmente uma contribuição menor para o valor global da resposta.

Para tal concluir basta atentar que a contribuição imputável a cada modo para a resposta

final resulta dos seguintes dois efeitos: factor de participação modal e deslocamento espectral. Os factores de participação associados aos modos inferiores são, regra geral, bastante maiores que os restantes. Este facto deve-se à maior coerência apresentada pelas configurações modais mais baixas (com todas as parcelas envolvidas no cálculo do factor de participação aditivas). Relativamente ao efeito do deslocamento espectral é imediato concluir que nos espectros preconizados pelo R.S.A. se observa uma atenuação do deslocamento particularmente significativa a partir de valores na vizinhança de 1 Hz. Repare-se apenas que no cálculo de grandezas estáticas (forças, etc..) pretende-se não o deslocamento mas sim a aceleração espectral, grandeza sensivelmente constante a partir dos 1-2 Hz. Nestas situações apenas se faz sentir o efeito do factor de participação modal pelo que a contribuição dos modos superiores já não é tão desprezável quanto o verificado no cálculo de grandezas cinemáticas.

F1 = 823

2 + (-403)

2 + 73

2 = 919 KN

F2 = 803

2 + 368

2 + (-278)

2 = 926 KN

F3 = 494

2 + 548

2 + 354

2 = 818 KN

Fh = 2120

2 + 513

2 + 149

2 = 2186 KN


Este tipo de considerações não deve contudo ser cegamente generalizado pois casos há em que certas especificidades próprias de determinadas estruturas se sobrepõem aos efeitos analisados originando contribuições significativas dos modos superiores. Citam-se a título de exemplo as estruturas muito flexíveis (pontes, edifícios altos, etc.) em que, devido às baixas frequências dos modos fundamentais, os maiores deslocamentos espectrais estão associados a modos que não os de frequências mais baixas.

Finalmente comparem-se os resultados obtidos, com os que se obteriam efectuando uma

análise estática equivalente de acordo com o previsto no R.S.A. (pags. 48 a 52). De acordo com o R.S.A. teríamos como alternativa calcular a frequência própria pela

fórmula simplificada

ou ainda pelo método de Rayleigh. Pela primeira via obter-se-ia 4Hz, a que corresponderia, para terreno tipo II, um

coeficiente sísmico de 0.40. Pela segunda via admita-se que se obteria a frequência correcta de 2.31 Hz, a que corresponde um coeficiente sísmico de 0.304. A razão para esta disparidade deverá residir no facto de que o exemplo seleccionado não representa convenientemente as características de rigidez/massa dos edifícios reais para os quais foi ajustada a expressão de cálculo aproximada de frequências próprias preconizada no R.S.A..

Compararemos os resultados que se obtêm pelas duas vias, admitindo o valor da

frequência fundamental determinado pelo método de Rayleigh. Nesse caso, as forças aos diversos níveis podem ser calculadas de acordo com o regulamento (pag. 98) e admitindo alturas uniformes entre pisos (h) :

f = n

12

F1 =

9.8*(100*3h+150*2h+200*h)

0.304*3h*200*9.8*(9.8*(100+150+200)) = 1005 KN

F2 =

9.8*(100*3h+150*2h+200*h)

0.304*3h*300*9.8*(9.8*(100+150+200)) = 1005 KN

F3

=

9.8*(100*3h+150*2h+200*h)

0.304*1h*400*9.8*(9.8*(100+150+200)) = 670 KN


O valor correspondente de Fh é de 2680 KN .

Tal representa um acréscimo de 22.6% em relação ao resultado previamente obtido. Se se

fizer a comparação por exemplo entre os esforços inter-pisos (F1, F1+F2 e F1+F2+F3=Fh) os

acréscimos são respectivamente de 9.4%, 8.9% e 22.6%. Se em vez de se ter utilizado o valor da frequência calculado, se tivesse optado pela

fórmula simplificada, o acréscimo, por exemplo do esforço ao nível do solo, seria de 61%. As comparações aqui efectuadas não podem obviamente ser extrapoladas para todas as

situações. Poderá inclusive dar-se o caso de uma análise por meio de espectro de resposta conduzir em certos pontos da estrutura a valores mais elevados. Esta comparação foi feita, apenas com a intenção de sensibilizar para o facto de que genericamente é vantajoso proceder a uma análise mais elaborada, dado que de um modo geral conduzirá a esforços menos elevados do que aqueles que se obtêm por uma análise simplificada, em que, obviamente, há um preço a pagar pela incerteza associada com as simplificações efectuadas.

Ainda de salientar que, os valores de F1, F2 e F3 que se apresentaram, não devem ser

utilizados para cálculo de esforços. Eles correspondem apenas aos valores máximos das forças ao nível de cada piso, os quais não é lógico supor que actuem simultaneamente. Para determinação dos esforços, devem pois calcular-se os esforços correspondentes a cada modo, e apenas depois efectuar a combinação final.


3.3 - O método CQC de combinação modal

A versão original da análise por espectro de resposta realiza a combinação das respostas modais máximas através do método da combinação quadrática ou da raiz quadrada da soma dos quadrados, que é vulgarmente designado por SRSS (Square-Root-of-Sum-of-Squares).

De acordo com tal princípio a resposta total r(max), quer em termos de deslocamentos quer

em termos de forças, pode ser obtida por

onde rj (max) é a resposta máxima no modo j.

A experiência de largos anos de aplicação permitiu detectar que para análise tridimensional e no caso de existirem frequências próprias aproximadas que correspondam a modos de vibração com componentes de torção importantes, o método pode causar erros significativos.

Na sequência de tal observação, vários métodos de combinação das respostas modais têm

sido propostos. Um deles, o método da combinação quadrática completa, (Complete Quadratic

Combination) CQC , propõe uma metodologia que segue a filosofia base do SRSS mas que entra também em linha de conta com a autocorrelação existente entre as respostas modais.

Assim, propõe para uma componente típica de deslocamento, qk

e para uma componente típica de força Fk

Os coeficientes de correlação modais, µ ij, são função da duração e do conteúdo de

frequência da acção e das frequências modais e seus amortecimentos. Quando a duração da acção sísmica é suficientemente longa comparada com os períodos de vibração da estrutura, e

r(max)

= ∑j

(rj

(max))2

(168)

qk = ∑

i

∑j

qki

µij q

kj (169)

Fk = ∑

i

∑j

Fki µ

ij F

kj (170)


se o espectro de resposta é regular para uma larga faixa de frequências é possível aproximá-los por

Para amortecimento modal constante ζ , a eq.171 reduz-se a

Para r=1 (pi=pj), µ ij=1 e para r=0 (frequências não relacionadas), µ ij=0, situação em que

os resultados obtidos pelo método de CQC coincidem com os obtidos pelo método de SRSS. De salientar que os termos cruzados das equações (169) podem tomar valores positivos ou

negativos consoante correspondam a respostas modais com o mesmo sinal ou sinais opostos. A partir dos coeficientes de correlação modais calcula-se a resposta da estrutura tendo em

conta a correlação entre as respostas modais (equações 169). Esta metodologia, dado não afectar significativamente a complexidade ou tempo de execução da análise, é perfeitamente justificada mesmo para casos em que a separação de frequências deixa antever ausência de correlação entre as respostas modais.

µij =

(1-r2)2 + 4ζ

iζ

jr(1+r

2) + 4(ζ

i

2+ζ

j

2)r

2

8(ζiζ

j)2 (ζ

i+rζ

j)r

2

31

(171)

com r = p

i

pj

µij =

(1-r2)2 + 4ζ

2r(1+r)

2

8ζ2(1+r)r

2

3

(172)


3.4 - A adaptação para a consideração de movimentos de base independentes

3.4.1 - Necessidade da adaptação A análise por espectro de resposta, ou mesmo a análise, no domínio do tempo, da

resposta de uma estrutura a uma acção sísmica definida através de um acelerograma são apenas aplicáveis, da forma como foram previamente enunciadas, quando um mesmo espectro, ou um mesmo acelerograma são aplicados a toda a base de ligação ao exterior (espectro de base rígida ou acelerograma aplicado a toda a base da estrutura).

A fim de contemplar a possibilidade de existência de movimentos independentes

aplicados a apoios individuais, torna-se necessário introduzir algumas alterações. Tais alterações baseiam-se na metodologia que seguidamente se enuncia.

3.4.2 - Equações de movimento para excitações diferentes nos vários suportes As equações gerais de movimento antes de aplicar as condições de fronteira podem ser

escritas da seguinte forma

com

em que q e qb são respectivamente os graus de liberdade acima dos apoios e os graus de

liberdade da base. Em relação aos primeiros tem-se

sendo qs os deslocamentos pseudo-estáticos (deslocamentos correspondentes à

deformada da estrutura resultante de deslocamentos estáticos impostos a nível dos apoios) e q* os deslocamentos relativos solo-estrutura.

Mc q

c + C

cq

*c + K

cq

*c = Q

. . . c(173)

qc =

q

qb (174)

q = qs + q* (175)


Por outro lado, e dado não existirem forças aplicadas à estrutura mas tão somente deslocamentos impostos na sua base, o vector de forças Qc pode também ser decomposto num sistema de forças aplicado ao nível dos graus de liberdade acima da base Q, necessariamente nulo, e num sistema de forças existente ao nível da base, Qb, o qual é igual às reacções totais provocadas nos apoios pela acção sísmica (R) diminuídas de um sistema de forças auto-equilibrado que corresponde às reacções provocadas por movimentos relativos impostos entre os vários apoios.

Tendo em conta a equação 176 e ainda que

fazendo a partição das matrizes (completas c) indicadas em 173,

resulta

podendo a equação 179 a) ser reescrita da seguinte forma

Dado o princípio da reciprocidade

Qc = =

Q

Qb[ ] ]o

q[ q bK

bb-K

b)(T

-Rs (176)

+= ]q

*q

qb[ ]q

qb[s

(177)

M Mb

Mbb(Mb)

T

K Kb

Kbb(Kb)

T

C Cb

Cbb(Cb)

T

q*.

q*

+ + =[]][[[ ]] ]] [[[ 0

Q]..q..qb b

0 0(178)

M qs + M q

* + M

bq

b + C q

* + K q

* = 0

.. . . . . .(179 a)

(Mb)

T

qs + (M

b)T

q* + M

bb q

b (K

b)T

q* =

. . . . . .

=

+

q q bK

bb-K

b)(T

-

(Cb)

T

q*.+

sR (179 b)

M q* + C q

* + K q

* = - M q

s - M

bq

b.. .. . . . (180)


ou

em que gi é a coluna i da matriz Kb.

Considere-se

Nesse caso

ou ainda

em que bi é portanto o vector deslocamento na estrutura devido a qi

b=1 ou seja, os

deslocamentos na estrutura devidos a um deslocamento unitário correspondente ao iésimo grau de liberdade da base.

Nestas circunstâncias

ou, transformando a eq. (180)

No caso de não haver massas concentradas ao nível da fundação a eq. 187 reduz-se a

que é a equação fundamental de equilíbrio de movimento para movimentos de base

independentes.

K qs = + K

b q

b0 (181)

K qs = - ∑

i

gi q

i

b

(182)

bi = K

-1 g

i (183)

K-1

K qs = - ∑

i

K-1

gi q

i

b

(184)

qs = - ∑

i

bi q

i

b

(185)

qs = - ∑

i

bi q

i

b

(186)

M q* + C q

* + K q

* = - ∑

i

M bi q

i

b - M

b q

b

. . . . ...(187)

M q* + C q

* + K q

* = - ∑

i

M bi q

i

b

. . . ..(188)


De notar que no caso de haver um movimento de base rígida (i=1), bi é um vector de

elementos unitários para os graus de liberdade correspondentes à direcção do movimento pelo que a eq. 188 resulta em

que é uma equação formalmente idêntica à equação 173. Por outro lado, e feitas as devidas simplificações, a equação 179b pode ser usada para

determinar as reacções ao nível do solo. 3.4.3 - Os deslocamentos "Pseudo-Estáticos" Tal como foi mostrado na secção 3.4.2 a consideração de movimentos de base

independentes, obriga à determinação dos coeficientes bi definidos pela eq. 183.

Tais coeficientes não são mais do que os deslocamentos correspondentes à deformada da

estrutura quando "actuada" estaticamente por um deslocamento imposto a nível de um dos apoios. Podem assim ser encarados como uma linha de influência correspondente a um deslocamento unitário em um dos apoios. Dada a sua característica de corresponderem a deslocamentos que se verificariam na estrutura se não existissem forças de inércia nem de amortecimento, tais deslocamentos, quando multiplicados pelo correspondente valor do deslocamento imposto num dos apoios são designados por deslocamentos "pseudo-estáticos".

Numa análise sísmica por espectro de resposta com movimentos independentes dos

vários apoios, tais deslocamentos podem ser fornecidos como dados. Torna-se pois necessário proceder separadamente, para cada um dos movimentos de base, a uma análise estática prévia, para determinar os deslocamentos "pseudo-estáticos" correspondentes.

No seu cálculo podem utilizar-se as capacidades de análise estática do próprio programa,

e, através do número correspondente a cada grau de liberdade, garante-se que se faz corresponder os deslocamentos calculados aos respectivos graus de liberdade em análise dinâmica.

M q* + C q

* + K q

* = - M 1 q

b.. . . .(189)


Os coeficientes bi são posteriormente utilizados para "alterar" os factores de participação

de resposta modal, tal como será posteriormente descrito. Simultaneamente os deslocamentos "pseudo-estáticos", bem como os esforços que lhes correspondem, são também utilizados, como se verá também mais tarde, para calcular uma componente da resposta que representa uma parcela "pseudo-estática" correspondente aos deslocamentos relativos dos apoios.

3.4.4 - Resposta da Estrutura Depois de definida a acção sísmica na base de cada apoio, sob a forma de espectros de

resposta diferenciados, procede-se a uma análise da resposta dinâmica de acordo com o exposto nas secções 3.4.2 e 3.4.3.

Assim, são primeiramente determinados os deslocamentos "pseudo-estáticos" para

movimentos unitários impostos separadamente a cada um dos graus de liberdade da base. Assim sendo, os factores de participação, por exemplo do modo i para a direcção x, são para cada movimento de base dados por uma equação semelhante à eq. 155, que se repete

mas em que o vector 1x é substituído pelo vector de deslocamentos "pseudo-estáticos" bj,

que é o vector de deslocamentos correspondente a um deslocamento unitário segundo o grau de liberdade da base j (que neste exemplo se supõe ser segundo a direcção x).

A equação que permite calcular os "novos" factores de participação para o modo de vibração i e movimento de base j é assim

A resposta estrutural é calculada para cada movimento de base j, por um processo similar

ao descrito nas eqs. 157 em que o vector 1 é substituído pelo vector de deslocamentos pseudo-estáticos.

Para um determinado apoio, a resposta total máxima é obtida pela soma das respostas

devidas aos movimentos correspondentes a cada um dos graus de liberdade de base do respectivo apoio, segundo uma fórmula igual à da eq. 160 ou 161 e 162

Pix = φ

i

T M 1

x (155 rep)

Pixj = φ

i

T M b

j (190)


Na combinação das respostas correspondentes a cada um dos apoios, e a fim de calcular a parcela dinâmica correspondente à resposta máxima global, assumiu-se que de acordo com o modelo idealizado, existe independência estocástica entre os movimentos em cada um dos apoios. Assim, parece correcto assumir que a parcela dinâmica da resposta máxima total pode ser obtida fazendo uma combinação quadrática das respostas dinâmicas devidas aos movimentos de cada um dos apoios.

Seguidamente, procede-se, também com base nos valores obtidos pela análise pseudo-

estática, à determinação dos deslocamentos e esforços estáticos correspondentes a um deslocamento de base de cada apoio. Considera-se para tanto o valor de pico de deslocamento do solo para a acção sísmica em questão. Assim para cada um dos movimentos de base (qb

j),

calculam-se os esforços e deslocamentos introduzidos na estrutura, para um deslocamento estático igual ao valor de pico de deslocamento, imposto no respectivo grau de liberdade de base. Tal como se fez para a componente dinâmica da resposta global, faz-se uma combinação quadrática das parcelas estáticas das respostas para cada movimento de base.

Finalmente, pode também optar-se por uma combinação quadrática das parcelas

"dinâmica" e "estática" da resposta. Assim, a resposta total é, no seguimento das equações 18, e escrita para um valor de resposta generalizado (deslocamento ou força) :

em que Tkj é a matriz de transformação do deslocamento de base j na resposta

generalizada k. A primeira parcela da equação 191 corresponde à componente dinâmica da resposta e a segunda à componente estática.

qk = ∑

j

(∑m

∑n

qkm

µmn

qkn) 2

+ ∑j

(Tkj q

b

j)

2

j (191)


BIBLIOGRAFIA 1 - DYNAMICS OF STRUCTURES Ray W. Clough e Joseph Penzien McGraw-Hill- Internacional Student Edition - 1975 2 - VIBRATION PROBLEMS IN ENGINEERING S. Timoshenko, D. H. Young e W. Weaver, Jr. John Wiley & Sons, Inc. , 4th Edition - 1974 3 - NUMERICAL METHODS IN FINITE ELEMENTS ANALYSIS Klaus-Jürgen Bathe e Edward L. Wilson Prentice-Hall, Inc. - 1976 4 - DYNAMICS OF STRUCTURES W. C. Hurty e M. F. Rubinstein Prentice-Hall, Inc. - 1970 5 - DINÂMICA DE ESTRUTURAS R. Teixeira Duarte Curso de Mestrado em Engª. de Estruturas - IST - 1983 6 - DINÂMICA DE ESTRUTURAS Artur Ravara Laboratório Nacional de Engenharia Civil - 1969

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Texto novo 2017 - Técnico Lisboa · perante um oscilador com um grau de liberdade. Na figura 1.1 mostram-se exemplos de osciladores de um grau de liberdade. Fig. 1.1 - Modelos de