1 Grau de Liberdade

8/15/2019 1 Grau de Liberdade

1/206

por Chedas SampaioFevereiro 2015

1 Grau

de

Liberdade

1 Grau de Liberdade


2/206

ESTRUTURA DA APRESENTAÇÃO

Introdução

Vibração livre

Vibração forçada

Identificação modal

1 Grau de Liberdade


3/206

INTRODUÇÃO

1 Grau de Liberdade


4/206

Sistemas reais de 1 grau de liberdadeIntrodução

1 Grau de Liberdade

PênduloBóia

Massa suspensaem mola helicoidal


5/206

Equação diferencial do movimentoIntrodução

1 Grau de Liberdade


6/206

m

X(t)

kc


1 Grau de Liberdade


7/206

k

mc


1 Grau de Liberdade


8/206

Equação diferencial do movimento

Introdução

1 Grau de Liberdade


9/206

t F t xmi

i)(

2ª Lei de NewtonEquação diferencial do movimento

Introdução

1 Grau de Liberdade


10/206

)()()()( t f t kxt xct xm

)(t f

t kx

t xm t xc

2ª Lei de NewtonEquação diferencial do movimento

Introdução

1 Grau de Liberdade


11/206

)()()()( t f t kxt xct xm

)(t f

t kx

t xm t xc


Introdução

1 Grau de Liberdade


12/206

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

0)()()( t kxt xct xm


Introdução

Se a força cessar, f(t)=0 , é normal o motor ficar a vibrarlivremente até parar por efeito do amortecimento dos apoios:

1 Grau de Liberdade


13/206

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

0)()( t kxt xm


Introdução

Mas se o amortecimento for nulo, c=0, o motor ficará a vibrarindefinidamente uma vez que não há dissipação de energia:

1 Grau de Liberdade


14/206

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1


Introdução

Se o sistema for amortecido e a força for harmónica, f(t)=Fcos( t) ,após um período inicial transitório, ficará a vibrar harmonicamente

à frequência de excitação, :

t F t kxt xct xm cos)()()(

1 Grau de Liberdade


15/206

Resolução da equação diferencial

Introdução

O estudo da vibração do sistema passa pela determinação dasolução x(t). Existem diferentes métodos analíticos para

calcular a solução exacta, como por exemplo:• O método dos Coeficientes Indeterminados• O método Geométrico• O método da Transformada de Laplace• O método da Resposta Impulsiva ou Integral de

Convolução• O método da Resposta em Frequência

1 Grau de Liberdade


16/206


Introdução

…e também métodos numéricos para calcular a soluçãoaproximada, como por exemplo:

• O método de Euler• Os métodos de Runge‐ Kutta de 2ª, 3ª ou 4ª ordem•

O método das Diferenças finitasNeste texto utilizaremos os métodos da Resposta emFrequência, da Resposta Impulsiva e das Diferenças finitas.Nos documentos MathCad sugeridos ao longo do textoencontrará exemplos resolvidos com estes métodos etambém com outros como o método de Euler e o de Runge ‐

Kutta de 4ª ordem.1 Grau de Liberdade


17/206


Introdução

Os métodos numéricos têm ‐ se tornado nos métodospreferenciais de cálculo da resposta x(t) pois requerem pouco

tempo de análise e podem ser aplicados a qualquer tipo desistema, linear ou não linear, sujeito a qualquer tipo desolicitação ou força.

No entanto, a aplicação de um método numérico não podedeixar de ser sujeita a uma avaliação judiciosa da solução e

dos respectivos erros.

1 Grau de Liberdade


18/206

VIBRAÇÃO LIVRE

1 Grau de Liberdade


19/206

Vibração livreExemplosExemplos de vibração livre:

• A vibração sentida por um ciclista ao bater numburaco

• O movimento de uma criança num baloiço•

A vibração de uma máquina logo após serdesligado o seu accionamento• A vibração de uma ponte após uma rajada de vento

1 Grau de Liberdade


20/206

Vibração livre

0)()()( t kxt xct xm

t kx

t xm t xc

Vibração livre

1 Grau de Liberdade


21/206

Vibração livre

0)()( t kxt xm

t kx

t xm

)()( t xmk

t x

Vibração livre sem amortecimento

1 Grau de Liberdade


22/206

Vibração harmónica

t x f t x 22)( )()( t xm

k t x

Vibração livre sem amortecimento =

mk 22 f

Vibração livreVibração livre sem amortecimento

x(t)m

k

1 Grau de Liberdade


23/206

mk f n 2

Frequência natural


x(t)m

k

1 Grau de Liberdade


24/206


25/206

Método da resposta em frequência


natural)a(frequênci mk

com mk

aordememresolvendo

ticacaracterísequaçãoacomoconhecidaétambémque ,0

zeroénunca como

0 : evidênciaem pondo0

se-obtem ldiferenciaequaçãonadoSubstituin

:Derivemos

0constantesa, :formadaé

0

ldiferenciaequaçãodasoluçãoaquese-sabeldiferenciacálculoDo

2

2

2

2

nn

t

t t

t t

t t

t

j jmk

-

k m

ae

aek maekaeaem

aet xaet xt x

aet x

t kxt xm

x(t)m

k

0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade


26/206

jaa Aaa At sen At At x

t jsenaat aat x

t jsenat at jsenat at x zjsen z ze

eaeat x

j

nn

nn

nnnn

jθ

t jt j

nn

nn

21221121

2121

2211

21

e com ,cosou

cos

evidênciaem pondo

coscos:cosEulerdeequaçãoaAplicando

:soluçãouma

tambémésoluçõesdassomaalinear,éldiferenciaequaçãoaComoordem.segundadeéldiferenciaequaçãoa porquevaloresdoistem

natural)a(frequênci mk

com



x(t)m

k



27/206



x(t)m

k

t xt xt x

x A x A

A A sen A x

t At sen At x

A sen A A x

x x

t sen At At x

nn

n

n

nnnnn

nnnn

nn

nn

sen0

cos0

obtida jásoluçãonadosubstituin

0

e 0seja,ou

0cos00

logo

cos

e

00cos0

setem

0,0 :iniciaiscondições2tivermosSe

cos

21

221

21

121

21


Nota: a utilização de duas

condições iniciais é uma questão de conveniência e hábito. Na verdade poderíamos utilizar duas outras condições conhecidas (em qualquer instante diferente de zero).


28/206



x(t)m

k

quee

coscossenquelembrando

sen0

cos0

sen sen

t x

t xt x nn

n

0

n

x

0 x 00 2

2

x x

X n

finalmente

0cos

0

escrever podemos

t sen X x

t X

x X t x n

nn


t Xsent x n

002

2

n

x x X

0

0atan

x x n


29/206

Conclui‐ se então que o sistema vibra harmonicamente àfrequência n :


x(t)m

k

t Xsent x n que só depende das propriedades físicas do sistema, massa erigidez, logo chamar‐ se frequência natural :

2rad/s nn f mk

Hertz emnatural frequênciaaé f n


youtube


30/206

Conclui‐ se então que o sistema vibra harmonicamente àfrequência n :


x(t)m

k

t Xsent x n

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

período f 1 sT

nn



31/206


x(t)m

k

Esta frequência é importante no estudo das vibrações pois,entre outras coisas, permite ‐ nos compreender o fenómeno

da Ressonância.

mk

f n 2 [rad/s] mk

f n 21 [ciclos/s]

[Hz]

A frequência natural é a frequência aque o motor, ou qualquer estrutura,

vibraria se não houvesse dissipação deenergia, logo é uma frequência teórica.



32/206

Método das diferenças finitas


x(t)m

k


Este método baseia ‐ se na aproximação às derivadastransformando a equação diferencial numa equação dediferenças finitas.

Dos Métodos Numéricos sabemos que existem 3 tipos defórmulas de derivação numérica: progressiva , regressiva ecentral .


33/206



x(t) m

k


Como as centrais são as melhores só iremos desenvolversoluções com este tipo de fórmulas:

t x x

x iii

211

211 2

t x x x

x iiii


34/206

12

11

211

211

11

2 vem, evidênciaem pondo

02

ldiferenciaequaçãonadosubstituin

2 2

iiii

iiii

iiii

ii

i

x xt mk

x x

kxt

x x xm

t x x x

x

t x x

x



x(t) m

k



35/206



x(t) m

k

it 1itt


12

1 2

iii x xt

m

k x

Assim, para arrancar o método necessita de dois deslocamentos iniciais:10 e x x

02

1001

1

211

2112

11

1111

22

0fazerBasta.calcular podemos já

22expressõesasambasigualandoe

2evidênciaem pondo2

como,e

2evidênciaem pondo 2 como,ora,

xt x x xt x

i x

xt x x xt x

xt x x xt

x x x x

xt x xt x x

x

iiiii

iiiiiii

i

iiiii

i


36/206



x(t) m

k

it 1itt

0)()( t kxt xm 1 Grau de Liberdade

12

1 2

iii x xt

m

k x

Assim, para arrancar o método necessita de dois deslocamentos iniciais:

1

0000

02

001

calcular podese jáassime

calcular podemos e temos jáComo2

22 logo

x

xmk

x x x

xt xt x x

Exemplo MathCad

Exemplo WModel


37/206

Vibração livreVibração livre com amortecimento

x(t) mk c

Vejamos agora o caso da vibração livre com amortecimento:

0)()( t kxt xct xm

1 Grau de Liberdade

b l


38/206


x(t) mk c


kmcmm

c λ

k c λm λ

ae

aek c λm λae

kaec λλaeaem λ

ae λt x λaet xt x

aet x

t kxt xct xm

t

λt t

λt λt λt

λt λt

t

421

2

aordemem resolvendo

tica)caracterís(equação 0

zeroénunca como

0 :evidênciaem pondo

0

se-obtem ldiferenciaequaçãonadoSubstituin

Derivemos

0constantesa, :formadaé

0

ldiferenciaequaçãodasoluçãoaquese-sabeldiferenciacálculoDo

2

2

2

2

2

0)()( t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade

Vib ã li


39/206

ecido)superamort(sistema reaisraízes 1crítico)(sistema reaisduplasraízes 1

ido)subamortec(sistema complexasraízes 10

:raízesde

tipooádeterminar devaloroqueclaroésoluçãodestaanáliseDa1-

reescrever podemos

ntoamortecimedefactor2c

c

críticontoamortecimedeecoeficient 22c :quedefinindo

4c21

2

2

c

c

2

nn

n

km

ckmm

kmmm

c


x(t) mk c



Vib ã li


40/206

jaa e Aaa A

t sen At At x

t jsenaat aa

eaea

eaeat x

j

j

t

t

t jt jt

t jt j

212211

d2d1-

d21d21-

21-

-2

-1

2nddn

2nn

2nn

2nn

2

com

cosefinalmente

cose

e

:serátxsoluçãoaAssim,

amortecidanaturalfrequência 1 com -

ou

1-11-1-

logo01então1,como

ido)subamortec(sistema complexasraízes 10 caso1º

n

n

ddn

dndn


x(t) mk c



Vib ã li


41/206


x(t) mk c


t sen x xt xt x

t x

x x A x A

A A A sen A

sen A A x

t At sen A

t sen At At x A sen A A x

A A

t ω sen At ω Aet x

d d t

t

t

d d t -ζ n

d

n-

d

n21

d21ndd2dd10-

d2d10-

n

dd2dd1-

d2d1-

n

1d2d10-

21

21

00cos0e

emdoSubstituin

00 e 0

portantoe,

0cos0e

00cose0

cose

cose00cose0

:ecalcularnos- permiteminiciaiscondiçõesAs

cos

n

n

n

n

n

n


Vib ã li


42/206


0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c


sen sen

t sen x x

t xt x d d t

coscossen lembrando

00cos0e

d

n- n

00

0atan e 0

00X com

e

se-obtems,necessáriaõessubstituiçasfazendo

2

2

d

n

-n

x x x

x x x

t Xsent x

n

d

d t

00

d

n

x x

0 x

000 22

d

n x x x

X

1 Grau de Liberdade

Vib ã li


43/206


0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

A resposta de um sistema subamortecido é então: t Xsenet x d t - n

000

atan x x

x

n

d

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

000X 22

d

n x x x

amortecidaondada período f

1T d

d

d d d T

2 f 2

1 Grau de Liberdadeyoutube

Vibração livre


44/206


0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

Vejamos o caso de o sistema ser amortecido crítico:

t -ωn

n

t -ω

n

n

et xω x xt x

xω x' e a xa

aa

et aat x

000

:serásoluçãoaassim,e,

000

e constantesasse-calculaminiciaiscondiçõesascom

:serátxsoluçãoaAssim,

-

então1,como

crítico)(sistema reaisduplasraízes 1 caso2º

21

21

21

n

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


45/206


0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

Vejamos o caso de o sistema ser amortecido crítico: t -ωn net xω x xt x 000

0 2 4 6 8 100

0.5

1

x t( )

t

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


46/206


0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

Finalmente, no caso de o sistema ser superamortecido:

12

010

12

010se-obtem,0 e 0iniciais,condiçõesascomEntrando

:serásoluçãoA

1-

ecido)superamort(sistema reaisraízes 1 caso3º

2

2

2

2

2

1

1

2

1

1

2

nn

22

n

n

n

n

t ζ ωt ζ -ωt -ζ

x x

a

x xa

x x

eaeaet x

t x

nnn

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


47/206

Vibração livreVibração

livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

Finalmente, no caso de o sistema ser superamortecido:

t t -t - nnn eaeaet x

1

2

1

1

22

0 2 4 6 8 100

0.5

1

x t( )

t

1 Grau de Liberdade

Algodoo

MathCad

Vibração livre


48/206


livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

Daqui

em

diante

só

trataremos

do

caso

subamortecido.

1 Grau de Liberdade

0)(2)( 2 t xt xt x nn

Vibração livre


49/206


livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

Sistema subamortecido: t Xsenet x d t - n

00

0xatan x x n

d

000X 22

d

n x x x

nc mc

cc

2Factor de amortecimento

21 nd Frequência natural amortecida

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


50/206


livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

Factor de amortecimento:

nc m

c

c

c

2

Aço ‐ 0.001

Betão ‐ 0.01Pele ‐ 0.02Borracha natural ‐ 0.05

Borracha ‐ 0.05..0.5Como


51/206

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1


livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

A importância desta relação deriva do facto de já termos umaforma prática de calcularmos a frequência natural do sistema

em análise. Basta efectuarmos um TESTE DE IMPACTO:

d n

n d

Como a frequência a que osistema vibra livremente, d , éaproximadamente igual àfreq.natural, n.

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


52/206


livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

Se quisermos calcular exactamente a frequência natural dosistema teremos que calcular o seu amortecimento, o que

podemos fazer a partir da resposta livre amortecida:

0 10 20

1

1 xi

xi+n

n ciclos completos (na figura n=2)

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


53/206


livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

d n

d in

in

d in

in

d in

in

nT

d i

i

nT t

t

d id nT t

id

t

d i

i

d id nT t

d i

id t

i

enT t xt x

ou

ee

nT t Xsenet Xsene

nT t xt x

logo

nT t XsenenT t x

t Xsenet x

1

0 10 20

1

1 xiXi+n

Como: t Xsent x d t n-e

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


54/206


livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

2

2

1

2

12

1

n

nd i

i

nd d

d

d nd i

i

nT d i

i

nnT t x

t xln em se substitui

quee T que sabendo

nT nT t x

t xln

logaritmosaplicando

enT t xt x

d n

0 10 20

1

1 xiXi+n

21

2ln

n x x

ni

i

decremento logarítmico

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


55/206

Vibração livre

Vibração livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

0 10 20

1

1 xiXi+n

21

2ln

n x x

ni

i

decremento logarítmico

Do decremento logarítmico, , obtem ‐ se o factor deamortecimento, :

2224 n

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


56/206

V b ação v e

Vibração livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

Do sinal no tempo também podemos obter a frequêncianatural amortecida, d :

0 10 20

1

1

Td, período da onda amortecidad

d T 2

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


57/206

ç

Vibração livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

... e assim finalmente calculamos n e o coeficiente deamortecimento, c:

21 d

n

nmc 2

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


58/206

ç

Vibração livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c

Método das diferenças finitas centrais

1 Grau de Liberdade

t

c

t

m

xt

mt

c xk

t m

x x

kxt x x

ct x x x

m

t x x x

xt

x x x

ii

ii

iiiiii

iiii

iii

2

22

vem, evidênciaem pondo

022


2

2

2

122

11

112

11

211

11

Vibração livre


59/206

ç

Vibração livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c


1 Grau de Liberdade

t c

t m

xt

mt

c xk

t m

xii

i

2

22

2

122

1it 1itt


02

1001

1

2

11

2112

11

1111

22

0fazerBasta.calcular podemos já22expressõesasambasigualandoe


como,e

2evidênciaem pondo 2

como,ora,

xt x x xt x

i x xt x x xt x

xt x x xt

x x x x

xt x xt x x x

iiiii

iiiiiii

i

iiiii

i

10 e x x

Vibração livre


60/206

ç

Vibração livre

com

amortecimento

0)()( t kxt xct xm

x(t) mk c


1 Grau de Liberdade

t c

t m

xt

mt

c xk

t m

xii

i

2

22

2

122

1it 1itt


1

00000

02

00

1


1calcular podemos e temos jáComo

2

22 logo

x

kx xcm

x x x

xt xt x x

Exemplo MathCad

Exemplo WModel

Vibração livre


61/206

ç

EstabilidadeAnteriormente considerámos m , c e k positivos na equação:

1 Grau de Liberdade

0)()( t kxt xct xm

Isto permitiu‐ nos classificar as soluções da equação emquatro grupos: não amortecido, subamortecido, crítico esuperamortecido.

Estas soluções são bem comportadas no sentido de que aresposta não cresce com o tempo e as amplitudes são finitas.

Neste caso diz‐

se que o sistema é estável .

Vibração livre


62/206

EstabilidadeSe c e/ou k forem negativos na equação:

1 Grau de Liberdade

0)()( t kxt xct xm

As soluções deixam de ser bem comportadas pois a respostacresce com o tempo e as amplitudes não são finitas. Nestecaso diz‐ se que o sistema é instável .

No caso do sistema amortecido a resposta pode ser instávelde duas formas: crescer sem oscilação ( instabilidade

divergente ) ou crescer com oscilação ( instabilidade flutter ).

Exemplo MathCad

Vibração livre


63/206

EstabilidadePodemos resumir todos os casos quanto à estabilidade:

1 Grau de Liberdade

k>0 k0 assimptoticamente estável instável (divergente)

c


64/206

EstabilidadeEXEMPLO: Consideremos o pêndulo invertido desprezando a massa do tirante.

1 Grau de Liberdade

ou

02

logo

1cos e sin

devalores pequenosPara

0sincossin2

NewtondeLei2ªaAplicando

22

2

2

mgl kl

ml

mgl kl ml

022 mg kl ml

Note ‐ se que se k , l e m forem tais que a rigidez equivalente é negativa o movimento do pêndulo será instável divergente.

ExemploWModel

Vibração livre


65/206

EstabilidadeEXEMPLO: A vibração da asa de um avião pode ser modelada,de forma simplificada, por:

1 Grau de Liberdade

xkx xc xm Onde x é um modelo aproximado das forças aerodinâmicas na asa doavião. Rearranjando:

0 kx xc xm Se for menor que c o sistema é estável mas se for maiorque c o sistema apresentará uma instabilidade do tipo flutter.

youtube youtube

Vibração livre


66/206

Vibração não

‐linearOs sistemas lineares têm normalmente solução analítica

simples. Os sistemas não‐ lineares não têm soluções analíticassimples e são mais complexos que os sistemas lineares.

A solução numérica destes sistemas é, por isso, aconselhada.

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


67/206

Vibração não

‐linearOs sistemas não‐ lineares distinguem ‐ se dos lineares por

terem mais de um ponto de equilíbrio o que dificulta muito aanálise, medição e projecto dos sistemas.

1 Grau de Liberdade

Vibração livre


68/206

Vibração não

‐linearEXEMPLO: massa a deslocar ‐ se numa superfície com atrito.

1 Grau de Liberdade

0 para

0 para

xmg kx xm

xmg kx xm

O movimento da massa é descrito pelo sistema e por isso énão ‐ linear:

‐ coeficiente de atrito dinâmico

Nota:

este

tipo

de

amortecimento

é

conhecido

por

amortecimento de

Coulomb

Vibração livreVib ã ã li


69/206

Vibração não ‐linearEXEMPLO: massa a deslocar‐ se numa superfície com atrito.

1 Grau de Liberdade

Sabendo que a função sgn(x) retorna 1 se x>0, 0 se x=0 e ‐ 1 se

x


70/206

Vibração não ‐linearEXEMPLO: massa a deslocar‐ se numa superfície com atrito.

1 Grau de Liberdade

0 para 02

0 para 02

sistemanodosubstituin

2 e

221

221

221

211

11

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

iii

x μmg kx Δt

x x xm

x μmg kx Δt

x x xm

t x x x

t t x x

t x x

t x x x

t x x x

Resolvamos agora o sistema pelo método das diferençasfinitas regressivas:

0 para

0 para

xmg kx xm

xmg kx xm


71/206

Vibração livreVibração não ‐linear


72/206

Vibração não linearEXEMPLO: massa a deslocar‐ se numa superfície com atrito.

1 Grau de Liberdade

0 2 4

4

2

2

4

6

Posição inicial 5 m e velocidade inicial 0Posição inicial 4.5 m e velocidade inicial 0

Sistema de 1 GDL sujeito a atrito (m=1000 kg, k=5000 N/m, coef atrito=0.3)

Exemplo WModel

MathCad Pêndulo

Vibração livreVibração não ‐linear


73/206

Vibração não linearEXEMPLO: massa a deslocar‐ se numa superfície com atrito.

1 Grau de Liberdade

Comparando com a resposta livre de um sistema com amortecimento

viscoso (linear):A amplitude decai linearmente ao contrário do sistema linear que decai exponencialmente

O movimento cessa numa posição de equilíbrio normalmente diferente da posição inicial enquanto que no caso do sistema linear cessa sempre na posição x=0

A frequência de oscilação é a mesma da frequência não amortecidao que não acontece no sistema linear


74/206

VIBRAÇÃO FORÇADA

1 Grau de Liberdade

Vibração forçadaExemplos


75/206

ExemplosExemplos de vibração forçada:

• A vibração de uma máquina em funcionamento• A vibração de uma ponte com veículos em

circulação• A vibração de um edifício sob a acção do vento• A vibração de um componente montado numa

máquina em funcionamento

1 Grau de Liberdade

Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)


76/206

Calculemos x(t). Do cálculo diferencial sabemos que a soluçãode uma equação linear não ‐ homogénea é igual à soma dasolução da equação homogénea e de uma solução particular:

t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade

forçaaerespostaaentrefasedediferença- e queem

outipodoésoluçãocuja

:éresolveraldiferenciaequaçãoaAssim

. procuramosquesoluçãoaéreal parteaque saberemos jácomplexaformanasoluçãoaobtermosdeDepois

.cosdereal parteaécosquevezuma

porsubstituir podemoscos)(como

: particular solução pelaComecemos

j p p

t j p p

t j p p

t j p p

p

t j

t j

p

e X X

e X t xe X t x

Fet kxt xm

t x

t jFsent F Fet F

Fet f t F t f

t x

Vibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)



77/206



quemesmooéque

evidênciaem pondo

ldiferenciaequaçãonaosSubstituem

e :Derivemos

2

2

2

2

k m F

X

Fee X k mω

e X

Fee X k e X mω

e X ωt xe X jωt xt x

e X t x

p

t jt j p

t j p

t jt j p

t j p

t j p p

t j p p p

t j p p




78/206



2

2

22n

22

1

/

finalmentese-obteme pordividamos

/ se-obtem como

/

/ pordividamos

n

p

n

n p

p p

k F X

m F X m

k

mk m F

X mk m

F X


Vibração forçada



79/206



seja...ouobtida,soluçãodareal parteaé procuramosquesolução

1

Assim

.forçaaerespostaaentretodesfasamenhánãoqueconcluímosdonde

0ReIm

atan e

1

/

vem comomas

2

2

A

e

ωω

F/k t x

X X

θ k F

X X

e X X

t j

n

p

p

p

n

p p

j p p

ç ç p ç ( )



80/206

A solução particular é então:


ωt k F t x

n

p cos

1

/2

ç ç p ç ( )



81/206

Relembrando que a solução da equação homogénea, antes deentrar com as condições iniciais, é:


t sen At At x

nn 21

cos

A solução total é a soma da homogénea com a particular:

2

21

21

212

0

1

/0

econstantesas

calcular podemos0e0iniciaiscondiçõesascomentrando

coscos

1

/

A x

k F A x

A A

x x

t sen At At k F

t x

n

n

nn

n

ç ç p ç ( )



82/206

Finalmente a solução é:


t sen xt k F xt k F t x nn

n

nn

0cos

1

/0cos

1

/22

0 2 4 6 8 100.1

0.05

0

0.05

x t( )

t

n5.0

ç ç p ç ( )

Vibração forçada



83/206




n

nn

0cos

1

/0cos

1

/22

0 5 10 15 20 25 300.4

0.2

0

0.2

0.4

x t( )

t

BatimentoBatimento

n9.0

Vibração forçada



84/206




n

nn

0cos

1

/0cos

1

/22

0 2 4 6 8 102

1

0

1

2

x t( )

t

RessonânciaRessonância

n999.0



85/206

Calculemos, pelo método das diferenças finitas centrais, asolução numérica de x(t):


2

122

11

211

211

11

cos2


cos2


2

2

t

m

t i F xt

m xk

t m

x x

t i F kxt x x x

m

t x x x

xt

x x x

ii

ii

iiii

iiii

iii



86/206



2

122

1

cos2

t m

t i F xt

m xk

t m

xii

i

it 1itt


02

1001

1

211

2112

11

1111

22




como,e


como,ora,

xt x x xt x

i x

xt x x xt x

xt x x xt

x x x x

xt x xt x x x

iiiii

iiiiiii

i

iiiii

i

10 e x x



87/206



it 1itt


1

0000

02

001


0cos1

calcular podemos e temos jáComo2

22 logo

x

t F kxm

x x x

xt xt x x

2

122

1

cos2

t m

t i F xt

m xk

t m

xii

i

Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


88/206

Neste caso, a resposta ou movimento do sistema, x(t), seráharmónica após um período inicial de perturbação:

1 Grau de Liberdade

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

t F t kxt xct xm cos)()(



89/206

Calculemos x(t):


1 Grau de Liberdade

t jt j p

t j p

t j p

t j p p

t j p p p

j p p

t j p p

t j p p p

p

t j

t j

p

ee X k e X cje X m

e X t xe X jωt xt x

e X X e X t x

Fet kxt xct xm

t x

t jFsent F Fet F

Fet f t F t f

t x

F

ldiferenciaequaçãonaosSubstituem e :Derivemos

forçaaerespostaaentrefasedediferença-

, queem tipodoésoluçãocuja

:éresolveraldiferenciaequaçãoaAssim

. procuramosquesoluçãoaéreal parteaque

saberemos jácomplexaformanasoluçãoaobtermosdeDepois

.cosdereal parteaécosquevezuma

porsubstituir podemoscos)(como

: particular solução pelaComecemos

2

2



90/206

Calculemos x(t):


1 Grau de Liberdade

2222

n

2222

222

0

2

2

1

2

atan e 21

/

se- tem2

e comoe pordividindo

atan com

ou

quemesmooéque

se-obtem evidênciaem pondo

n

n j

nn

p

j p

j

j

p

t jt j p

t j p

ek F

X

kmc

mk k

k mc

eck m

F X

eck m

Fe jck m

F X

Fee X k jcme X

Vibração forçada

C l lVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


91/206

Calculemos x(t):


1 Grau de Liberdade

2

222 p

-t j

222 p

1

2

atan

com

-tcos

21

/

realcomponenteasó procuramoscomomas

e

21

/ Assim

n

n

nn

nn

k F t x

k F t x

Vibração forçada

C l lVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


92/206

Calculemos x(t):


1 Grau de Liberdade

Como a solução da equação homogénea, antes de entrarmoscom as condições iniciais, é:

t sen At Aet x d d t -

n

21 cos

Vibração forçada

C l l ( )Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


93/206

Calculemos x(t):


1 Grau de Liberdade

cosecos21

/x

étotalsoluçãoA

d2d1-

222n t sen At At

k F t

t

nn

Vibração forçada

C l l ( )Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


94/206

Calculemos x(t):


1 Grau de Liberdade

d

nn

d

nn

x A

k F x A

A x

Ak F

x

x x

0 e cos

21

/0

coscos seObtem

0

cos

21

/0

0 e 0iniciais,condiçõesascomEntrando

2222

1

2

1222

Vibração forçada

A solução (t) é então:Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


95/206

A solução x(t) é então:


1 Grau de Liberdade

2

222222

2

2222

1

1

sin

21

/ cos

21

/00

0 e cos

21

/0

n

nnnn

n

d

nn

k F k F x x

A

x A

k F x A

t sen At Aet k F t x d d t -

nn

n

21

222coscos

21

/

Vibração forçada

A solução (t) é então:Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


96/206



1 Grau de Liberdade


nn

n

21

222coscos

21

/

Vibração forçada

A soluçãox(t) é então:

Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


97/206



1 Grau de Liberdade


nn

n

21

222coscos

21

/

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1 RESPOSTA TRANSIENTE

Vibração forçada

A soluçãox(t) é então:



98/206



1 Grau de Liberdade


nn

n

21

222coscos

21

/

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1 RESPOSTA ESTACIONÁRIA

Vibração forçada

A soluçãox(t) na fase estacionária é:



99/206

A solução x(t) na fase estacionária é:

t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade

cos

21

/222

t k F

t x

nn

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

diferença de fase entrea resposta e a excitação

amplitude de pico(depende da

relação freq. de excitação/freq.

natural) freq. de vibração (resposta)igual à freq. de excitação

Vibração forçada

A soluçãox(t) na fase estacionária é:



100/206



cos

21

/222

t k F

t x

nn

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

Vibração forçada

A soluçãox(t) na fase estacionária é:Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


101/206



t k F

t x

nn

cos

21

/222

2

1

2

atan

n

n

Analisando com atenção a solução x(t) constatamos que quanto mais próxima fôr

da freq.natural, n, maior será a amplitude de pico da resposta.

Vibração forçada

O que podemos vêr nos seguintes exemplos:



102/206

O que podemos vêr nos seguintes exemplos:


2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

n >> n

Ressonância

Vibração forçada

Tracemos então a curva FACTOR de AMPLIAÇÃO, Q( ), queVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


103/206

Tracemos então a curva FACTOR de AMPLIAÇÃO, Q( ), quenos dá a amplitude de pico da resposta em função dafrequência da excitação:


t k F t x

nn

cos

21

/222

k F

X Q/

t X t x cos

Vibração forçada



104/206

Tracemos então a curva FACTOR de AMPLIAÇÃO,Q( ), quenos dá a amplitude de pico da resposta em função dafrequência da excitação:


t k F t x

nn

cos

21

/222

0 1 2 3 4 50

5

10

/ n

K F

X Q

/

RessonânciaX=Xmáx 1

Vibração forçada



105/206

ace os e tão a cu va C O de Ç O,Q( ), quenos dá a amplitude de pico da resposta em função dafrequência da excitação:


t k F t x

nn

cos

21

/222

0 1 2 3 4 50

90

180

Ressonância( 9̴0o)

/ n

( )

Vibração forçada

A ressonância verifica‐ se quando é máxima a amplitude de



106/206

q ppico da resposta. Então, calculando o máximo da curvaobtem ‐ se a frequência de ressonância:


0 1 2 3 4 50

5

10

1 / n

221 nQmáx 0Qd d

K F

X Q

/

nQmáx

RessonânciaX=Xmáx

Vibração forçada

Analisando a expressão, também constatamos que aVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


107/206

p , qamplitude de pico da resposta depende do factor deamortecimento, , o mesmo é dizer do amortecimento, c:


0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

=0.025

=0.1

=0.21 / n

K F

X Q

/

Vibração forçada

Analisando a expressão, também constatamos que a



108/206

p , qamplitude de pico da resposta depende do factor deamortecimento, , o mesmo é dizer do amortecimento, c:


0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

=0.025

=0.1

=0.21 / n

K F

X Q

/

Maior amortecimento implica menoramplitude de pico na ressonânciaMaior amortecimento implica menoramplitude de pico na ressonância

Vibração forçada

…e também constatamos que o desfasamento de fase entre aVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


109/206

qforça e a resposta depende do factor de amortecimento, :


0 1 2 3 4 50

90

180

=0.025

=0.1

=0.2

/ n

Vibração forçada

…e também constatamos que o desfasamento de fase entre a



110/206

força e a resposta depende do factor de amortecimento, :


0 1 2 3 4 50

90

180

=0.025

=0.1

=0.2

/ n

Maior amortecimento implica menordesfasamento na ressonância

Maior amortecimento implica menordesfasamento na ressonância

Vibração forçada

Note ‐ se que quando 1/ 2 a frequência de ressonância éVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


111/206

imaginária logo a amplitude de resposta máxima ocorre em=0.


0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.5

1

221 nQmáx n

Qmáx

2

1

Vibração forçada

Note ‐ se também que a frequência de ressonância só é igual àVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)


112/206

frequência natural quando o sistema não é amortecido ( =0)e que diminui para >0.


0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.5

1

221 nQmáx n

Qmáx

2

1

Vibração forçada

Substituindo esta frequência na expressão do factor deli ã b li d d â i



113/206

ampliação obtem ‐ se a amplitude de resposta na ressonânciaem função de :


0 0.2 0.4 0.6 0.80

20

40

60

212

1máxQ )(máxQ

2

1

Vibração forçada

Temos então outra forma de identificar o amortecimento,lé d d l í i i d d



114/206

para além do decremento logarítmico, a partir da curva dofactor de ampliação:


212

1máxQ

0 1 2

( )

n

Q

Q máx

A análise deste modelo também se pode fazer recorrendo aoit d F ã d R t F ê i (FRF)



115/206

conceito de Função de Resposta em Frequência (FRF):


F X

A importância da FRF deriva do facto de ser fácil obtê‐

la experimentalmente. Mede‐

se a resposta em i e aforça em j , calcula‐ se a FFT de ambas e divide‐ se atransformada da resposta pela transformada da força.Obtem ‐ se assim a resposta na coordenada i para uma

força unitária em j .

Vibração forçada

t k F t x cos/222



116/206


nn

21

22

222

21

/1

nn

k F X

21

2

atan

n

n

Função de resposta em frequência

Vibração forçada



117/206


21

2atan

n

n

222

21

/1

nn

k F X

0 1 2

( )

n

0 1 2

( )

n

k 1

Vibração forçada

Uma pequena variação da frequência de



118/206


0 1 2

( )

n

0 1 2

( )

n

excitação origina uma reduçãosubstancial da amplitude de vibração e

uma variação de 180º na fase

A diferença de fase entre a excitação e osistema é próxima dos 90º

A ressonância é altamente direccionaluma vez que a rigidez varia com adirecção, assim, é de esperar variação

substancial da amplitude de vibração coma direcção da medição

Vibração forçada

Quando a frequência de excitação é praticamente igual àfrequência natural a amplitude de resposta é máxima



119/206


frequência natural, a amplitude de resposta é máxima ‐Ressonância

1 ( )2 ( )

3 ( )

Vibração forçada




120/206



0 1 2

( )

n

Vibração forçada




121/206



Teste do impacto Teste do run ‐up

Vibração forçada




122/206



Vibração forçada

Vejamos como se obtém numericamente a solução x(t) daequação diferencial pelo método das diferenças finitas



123/206

equação diferencial pelo método das diferenças finitascentrais:


t

c

t

m

t i F xt

mt

c xk

t m

x x

t i F kxt

x xc

t

x x xm

t x x x

x

t x x

x

ii

ii

iiiiii

iiii

iii

2

cos2

2


cos2

2


2

2

2

122

11

11

2

11

211

11



mcm2


124/206



t c

t m

t i F xt

mt

c xk

t m

xii

i

2

cos2

2

2

122

1

it 1itt


02

1001

1

211

2112

11

1111

22




como,e


como,ora,

xt x x xt x

i x

xt x x xt x

xt x x xt

x x x x

xt x xt x x x

iiiii

iiiiiii

i

iiiii

i

10 e x x



mcm2


125/206



t c

t m

t i F xt

mt

c xk

t m

xii

i

2

cos2

2

2

122

1

it 1itt


1

00000

02

001


0cos1calcular podemos e temos jáComo

222

logo

x

t F kx xcm

x x x

xt xt x x

Exemplo MathCad

Exemplo WModel

Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)

Se força f(t) fôr resultante de um desequilíbrio de massa, aresposta ou vibração do sistema, x(t) também será harmónica


126/206

p ç , ( )após um período inicial de perturbação:

t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade

2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

excentricidade

massa de desequilíbrio


Este é o caso de todas as máquinas rotativas, tais comomotores eléctricos, turbinas, geradores, compressores ou


127/206

, , g , ptornos, que devido às imperfeições nos seus componentes

rotativos (irregularidades na distribuição de massa) criamdesequilíbrios dinâmicos. O desequilíbrio é, por isso, umaavaria muito comum.



Para calcularmos x(t) basta lembrar que no caso de uma forçaharmónica de amplitude constante a solução é:


128/206

p ç


Ora a diferença para o caso do desequilíbriorotativo está na amplitude da excitação.

t sen At Aet k F

t x d d t -

nn

n

21222 coscos

21

/


Assim x(t) é dado por:kem td

2 /


129/206


d

nn

d

x A

k em x A

0

e

cos

21

/0

2

222

2

1

t sen At Aet k emt x d d t -

nn

d n

21

222coscos

21

/


E a componente estacionária de x(t) é:k/2


130/206


t k em

t x

nn

d cos

21

/222

2

21-

1

2tan

n

n


Neste caso o FACTOR de AMPLIAÇÃO será:

22 // d d

k emmm

k emX


131/206


222

2

222

2

222222

2121

2121

nn

n

d

nn

d

nnnn

em

m

mk

emm

X

222

2

21

nn

n

d em

m X

Q


Finalmente:

2

2

nQ


132/206


0

5

10

1

mme

X Q

d /

/ n

=0.05

=0.1

=0.3

222

21

nn


a frequência de ressonância, para


133/206


0

5

10

1

mme

X Q

d /

/ n

=0.05

=0.1

=0.3

221 Qmáx 0Q

d nQmáx

Exemplo MathCad

MathCad

WModel


e o factor de ampliação máximo será:1


134/206


1241

12121

1

2

22

22

máxQ


Chama‐ se velocidade crítica à velocidade que excita afrequência natural do veio em rotação. A ressonância

l d d d


135/206

resultante ocorre independentemente da sua orientação.



A velocidade crítica pode ser dividida em duas categoriasdependendo do modo de vibração excitado:


136/206


• Modo de corpo rígido (sistema massa, mola e

amortecedor, onde a mola e o amortecedor é achumaceira de apoio e a massa é o veio que seconsidera indeformável). Como quase todos os

rotores têm várias chumaceiras há mais de ummodo de corpo rígido.• Modo de corpo flexível. O veio é o sistema

forçado a vibrar em flexão ou à torção.


Os modos de corpo rígido para um veio apoiado em duaschumaceiras podem ser tipo pitch ou bounce . No primeiro

h i ib d f d 180 o d


137/206

caso as chumaceiras vibram desfasadas 180 o e no segundo

caso vibram em fase.


Exemplo MathCad

Exemplo WModel

Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)Até agora vimos como calcular a resposta a uma força sinusoidal (umasó frequência). Vejamos como calcular a resposta a qualquer tipo deforça ou combinações de forças.


138/206

força ou combinações de forças.

Como o nosso modelo de 1gdl é um modelo linear, o PRINCÍPIO DASOBREPOSIÇÃO aplica‐ se. Isto significa que a resposta a váriascombinações de forças é igual à soma das respostas a cada uma das

forças.

)()()( t f t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade

Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)

Uma fonte de vibração muito comum é a aplicação de uma força decurta duração chamada Impulso. A resposta do sistema a um impulso éidêntica à resposta livre com determinadas condições iniciais.


139/206

p ç


)(t f

2 I

t


Define‐ se Impulso da força f(t) o integral:

)(t f

I NsdttfI )(


140/206


2

t

Ns dt t f I )(

Como a função é nula fora do intervalo:

I I

dt t f dt t f I 22)()(


Quando se aplica um impulso a uma massaem repouso altera ‐ se o seu momento:

I 000

)(t f

2 I


141/206


m I

x

xm xm xm xm I

0

logo

0002

t

Ou seja, a aplicação de um impulso, I, noinstante t=0 , a uma massa em repouso, temcomo efeito colocá‐ la em movimento com

uma velocidade: m I

x 0


Podemos então concluir que a resposta aum impulso I é a mesma que a resposta livrecom condições iniciais:

)(t f

2 I


142/206

ç


2

t

Relembrando a resposta de um sistemalivre subamortecido e substituindo estascondições iniciais:

m I x 0 00 x

t senem I

t x d t -

d

n

Exemplo WModel


Também podemos escrever:

)(t f

2 I t Iht x


143/206


2

t

t senme

t h d d

t - n

com:

Resposta

a

um

impulso

unitário

(I=1)

aplicado no instante t=0

ou, se o impulso for aplicado num instante qualquert= :

t senm

et h d d

t - n

MathCad


Se a força aplicada for arbitrária, podemos considerá ‐ la constituída porinfinitas forças impulsivas, de duração t, aplicadas em instantesconsecutivos t i . Assim, a resposta após j intervalos t é:


144/206


1 j

ii ji j t t tht f t x

lembrando que o impulso aplicado no instante t i é:

t t f

i

t f

t

it f


Assim, a resposta x(t) a uma força arbitrária é:

d t h f t xt

j

ijij t t tht f t x


145/206


0

Este integral é conhecido como o INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO.

Este método de cálculo da resposta é conhecido como o Método da Resposta Impulsiva.

1ii ji j


Logo, para um sistema de 1 gdl subamortecido e em repouso nomomento da aplicação da força arbitrária:


146/206


sene

0d

d

- n

t t

p d t m f t x

Calculemos agora x(t). Do cálculo diferencialsabemos que a solução de uma equação linear não ‐homogénea é igual à soma da solução da equaçãohomogénea e de uma solução particular.


Ou, dito de outra forma, como o sistema, sujeito à excitação, podeapresentar condições iniciais diferentes do repouso, temos queconsiderar a solução da equação homogénea, ou seja:


147/206


t)()cos( 21- n pd d t xt sen At Aet x

Com as constantes A obtidas pelas condições iniciais:

d

p pn

p

x x x x A

x x A

0000

00

2

1

Exemplo MathCad

Vibração forçadaTransmissibilidade


148/206

1 Grau de Liberdade

Vibração forçadaTransmissibilidadeSistemas isoladores:


149/206

1 Grau de Liberdade

Vibração forçadaTransmissibilidadeA função do isolador é reduzir a amplitude do movimento transmitidopor uma fundação vibrante ao equipamento, ou, reduzir a amplitude daforça transmitida do equipamento à sua fundação.


150/206

1 Grau de Liberdade

Isoladores:

Vibração forçadaTransmissibilidadeIsoladores:


151/206

1 Grau de Liberdade

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseMuitas vezes as máquinas são excitadas harmonicamente através dosseus apoios elásticos. Por exemplo, a suspensão de um automóvel éexcitada harmonicamente pela superfície da estrada.


152/206

Neste caso, a equação diferencial é dada por:

t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade

)()()()()( t yct kyt kxt xct xm

)cos()( t Y t y


153/206

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseCalculemos a solução particular, x p1(t) para a excitação:

t kY t ky cos)(


154/206

t yct kyt kxt xct xm )()(1

Grau

de

Liberdade

Relembrando a solução particular para um sistema excitado por umaforça harmónica obtem ‐ se:

t

Y t x

nn

p1

cos

21

2222

1

2

atan

n

n


155/206

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseA solução particular é então:

tXtXtx coscos

t xt xt x p p p 21


156/206


Grau

de

Liberdade

t sen X t X t x

t X t X t x

p p p

p p p

21

21

cos

ou2

coscos

Relembrando que: sen sencos coscos

2 p X

1 p X

X X X p p2

22

1

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseTem‐ se:

t sen X t X XX

X X

t sen X t X t x

p p p p

p p p

cos

cos

2122

22

21

21


157/206


Grau

de

Liberdade

Ou: t X X

X X

p p

p p

cos222

1

21

t Y

Y t x

nn

n

nn

p cos

21

2

21

2

222

2

222

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseFinalmente:

t Y t x n p cos

21

222

2


158/206


Grau

de

Liberdade

e

nn

p

21

22

n

2atan

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseA solução será então:

t Y t sen At Aet x nd d t - n cos

21

cos222

2

21


159/206


Grau

de

Liberdade

Onde as constantes A1 e A2 têm de ser calculadas entrando com as

condições iniciais.

nn

21

22

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseNeste tipo de problemas é usual interessar ‐ nos a relação entre aamplitude da resposta e a da excitação em regime estacionário (soluçãoparticular da equação diferencial):


160/206


Y X TR

Esta relação é conhecida por TRANSMISSIBILIDADE.

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseA relação entre amplitudes é então:

2


161/206


222

21

21

nn

n

Y X

TR

WModel

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseSe a amplitude da massa fôr em velocidade:

Y

X Y X

2logo:


162/206


222

21

21

nn

n

Y X

que dividimos por ω n para ter uma relação adimensional:

2

22

2

21

21

nn

n

nnY

X

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseou em aceleração:

Y

X Y

X 2

logo:


163/206


22

2

2

2

2

21

21

nn

n

nnY

X

g

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseA transmissibilidade pode ser visualizada em gráfico:

2

3

Y

X


164/206


222

21

21

nn

n

Y X

TR

0 2 4 60

1

2=0.25=0.5

=0.75

2

n

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da base


165/206


Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseSe considerarmos o movimento relativo da massa e base, z(t) , e não omovimento absoluto, x(t):

)()()( t yt xt z


166/206


t mY t kz t z ct z m cos)()()( 2

)cos()( t Y t y

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseA solução z(t) desta equação é igual à soma das soluções da equaçãohomogénea e da particular:

t z t sen At At z pt d2d1- cose n


167/206


A solução particular é igual à solução para a excitação:

t mY t f cos)( 2


Relembrando a solução particular para um sistema excitado por umaforça harmónica obtem ‐ se:2

Y 2


168/206


cos

21

222

t t z

nn

n p

2

1

atan

n

n


A solução será então:

t

Y

t sen At At z nt coscose222

2

d2d1- n


169/206


Onde as constantes A1 e A2 têm de ser calculadas entrando com as

condições iniciais.

nn

21


Como estamos interessados na parte estacionária:

2


170/206


222

21

nn

n

Y Z


sendo o gráfico:

10

Z


171/206


0

5

1

Y

/ n

=0.05

=0.1

=0.3WModel

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação da base por massa desequilibrada

É o caso da excitação de um aparelho de medida montado numamáquina rotativa ou dos ocupantes de uma viatura.

Neste caso, a equação diferencial é dada por:


172/206


)()()()()( t yct kyt kxt xct xm

)cos()( 2 t emt y d

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação tipo choque da base

O estudo da transmissibilidade de choques é também importante,especialmente pela sua complexidade.

O choque costuma ser modelado por metade do ciclo de uma sinusóide:


173/206


t

t t

t t 0 t t

Ysent y

0

t y

Y


174/206


A resposta, x(t), ao choque pode ser calculada por qualquer dosmétodos já referidos, integral de convolução, diferenças finitas, Euler ouRunge Kutta. Vejamos alguns exemplos:


175/206


: serát xrespostaa s,5t fôr duraçãoa seasm ...

0 5 10 15 20

0.02

0.02

0.04

t x t y


A resposta, x(t), ao choque pode ser calculada por qualquer dosmétodos já referidos, integral de convolução, diferenças finitas, Euler ouRunge Kutta. Vejamos alguns exemplos:

N/800k

:rigidez maior com sistemaumagoraSuponhamos


176/206


: serát xrespostaa s,1t duraçãoem0.02Y amplitudede

,t ychoque,mesmoum por excitadaapoiodebaseaSendo

N/m800k

0 5 10 15 20

0.01

0.01

0.02

0.03

t x t y


Para podermos comparar com a transmissibilidade de movimentosharmónicos tracemos a razão adimensional máxima amplitude deresposta sobre máxima amplitude do choque em função da duração doimpulso, que aparece nas abcissas como uma relação também

di i l n t/


177/206

adimensional n t/ :


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.5

1

1.5

2

1

=0.02=0.1

=0.5

t n

t Y

xmáx )(


Podemos vêr que só teremos redução de amplitude na resposta(máx|x|/Y)


178/206

duração do impulso pior será o isolamento.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.5

1

1.5

2

1

=0.02

t n

t Y

xmáx )(

0.50.5


Outra forma de calcularmos a resposta a um choque poderá ser pelasoma das respostas aos movimentos harmónicos da base de suporte,considerando o sistema linear e tendo em conta o conteúdo frequencialdo choque:

st 030 st 010


179/206


Hz f

f X

Hz f

f X

st 03.0 st 01.0

Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação tipo choque

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1 Grau de Liberdade