Todo material contido nesta lista foi desenvolvida pelo professor … · 2018-07-13 · ... (GeoJeca) (GeoJeca) 02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple-mento. 03) Determine

Todo material contido nesta lista foi desenvolvida pelo professor Lucas Octavio de Souza e não passou por nenhuma alteração

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geometria plana

2

Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)

Geometria plana.Resumo teórico e exercícios.

3º Colegial / Curso Extensivo.

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geometria plana

3

Relação das aulas.

Aula 01 - Conceitos iniciais................................................................ Aula 02 - Pontos notáveis de um triângulo......................................... Aula 03 - Congruência de triângulos..................................................Aula 04 - Quadriláteros notáveis........................................................Aula 05 - Polígonos convexos............................................................Aula 06 - Ângulos na circunferência...................................................Aula 07 - Segmentos proporcionais...................................................Aula 08 - Semelhança de triângulos...................................................Aula 09 - Relações métricas no triângulo retângulo...........................Aula 10 - Relações métricas num triângulo qualquer.......................Aula 11 - Circunferência e círculo.....................................................Aula 12 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulares.............Aula 13 - Áreas das figuras planas...................................................

Jeca 01

021828384860748498

112126136146

Página

Considerações gerais.

Este estudo de Geometriade Plana tem como objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita. Os exercícios cujos números estão realçados com uma "sombrinha" representam os exercícios que considero necessários à compreensão de cada aula. Nada impede que mais, ou outros exercícios sejam feitos, a critério do professor.

Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.

Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.

Meu e-mail - [email protected]

Um abraço.

Jeca (Lucas Octavio de Souza)



geometria plana

4

I) Reta, semirreta e segmento de reta.

A B

A B

A B

A B

reta AB

semirreta BA

segmento AB

semirreta AB

Definições.a) Segmentos congruentes. Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.

b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.

c) Mediatriz de um segmento. É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio

II) Ângulo.A

O

B

a

OA - ladoOB - ladoO - vértice

ângulo AOB ou ângulo a

Definições.a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas demesma origem.

b) Ângulos congruentes. Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida.

c) Bissetriz de um ângulo. É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divideesse ângulo em dois ângulos congruentes.

IIa) Unidades de medida de ângulo.

a) Grau. A medida de uma volta completa é 360º.

1º = 60' 1' = 60"

b) Radiano.

A medida de uma volta completa é 2p radianos.

Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do raio da circunferência.

º - grau' - minuto" - segundo

IIb) Classificação dos ângulos.

= 0º - ângulo nulo. 0º < < 90º - ângulo agudo. = 90º - ângulo reto.90º < < 180º - ângulo obtuso. = 180º - ângulo raso.

aaaaa

Definições.a) Ângulos complementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º.

b) Ângulos suplementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º.

IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal.

r

s

t

r // s

a

b c

d

e

fg

h

a) Ângulos correspondentes (mesma posição). exemplo - b e f.Propriedade - são congruentes.

b) Ângulos colaterais (mesmo lado). exemplo de colaterais internos - h e c. exemplo de colaterais externos - d e g.Propriedade - são suplementares (soma = 180º)

c) Ângulos alternos (lados alternados). exemplo de alternos internos - b e h. exemplo de alternos externos - a e g.Propriedade - são congruentes.

Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca

(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)

Geometria planaAula 01

Conceitos iniciais de Geometria Plana.

Jeca 02



geometria plana

5

1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º.

2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.

3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.

4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congru-entes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente.

a

b

ga + b + g = 180º

e

e1

e2

e3

i

lado

vértice

i - ângulo internoe - ângulo externo

Num mesmo vértice, tem-se

i + e = 180º

III) Triângulos.

Propriedades dos triângulos.

Classificação dos triângulos.

a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno.

b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo.

Ângulo externo.

O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um

lado e o prolongamento do

outro lado.

a

b

e e = a + b

e + e + e = 360º1 2 3

a a

Exercícios.

01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.

b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 26' 12" f) 3 x (71º 23' 52")

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 x (68º 23' 54")

Jeca 03



geometria plana

6

1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º.

2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.

3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.

4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congru-entes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente.

a

b

ga + b + g = 180º

e

e1

e2

e3

i

lado

vértice

i - ângulo internoe - ângulo externo

Num mesmo vértice, tem-se

i + e = 180º

III) Triângulos.

Propriedades dos triângulos.

Classificação dos triângulos.

a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno.

b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo.

Ângulo externo.

O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um

lado e o prolongamento do

outro lado.

a

b

e e = a + b

e + e + e = 360º1 2 3

a a

Exercícios.

01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.

a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 x (68º 23' 54")

b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 26' 12" f) 3 x (71º 23' 52")

Jeca 03

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

48º 27' 39"127º 51' 42"

175º 78' 81"

175º 79' 21"

176º 19' 21" Resposta

175º 78' 81"

90º

89º 60'

89º 59' 60"- 61º 14' 44"


4 x (68º 23' 54") =

= 4 x 68º 4 x 23' 4 x 54" =

= 272º 92' 216" =

= 272º 95' 36" =

= 273º 35' 36" Resposta

106º 18' 25"17º 46' 39"

123º 64' 64"

123º 64' 64"

123º 65' 04"


136º 14'- 89º 26' 12"

135º 74'- 89º 26' 12"

135º 73' 60"- 89º 26' 12"46º 47' 48" Resposta

3 x (71º 23' 52") =

= 3 x 71º 3 x 23' 3 x 52" =

= 213º 69' 156" =

= 213º 71' 36" =

= 214º 11' 36" Resposta



geometria plana

7

4118º 14' 52"

3

h)

i) 125º 12' 52"5

90º13

j)

04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º.

06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter-mine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor.

07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu comple-mento.(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)125º 39' 46"g)

02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple-mento.

03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento em 54º

05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o complemento da quarta parte do maior. Determine as medidas desses ângulos.

Jeca 04



geometria plana

8

g) 125º 39' 46"4

118º 14' 52"3

h)

i) 125º 12' 52"5

90º13

j)

02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple-mento.

03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento em 54º

04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º.

05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o complemento da quarta parte do maior. Determine as medidas desses ângulos.

06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter-mine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor.

07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu comple-mento.

Jeca 04

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

x = 2.(90 - x)

x = 180 - 2x

3x = 180

x = 60º (resp)

x = (180 - x) + 54

x = 180 - x + 54

2x = 234

x = 117º (resp)

x é o menor

(180 - x) é o maior

x = 90 - [(180 - x)/4]

x - 90 = -(180 - x)/4

4x - 360 = -180 + x

3x = 180

x = 60º e (180 - x) = 120º (resp)

125º 431º-12

05-4

1º1º

= 6

0'

60'39'99' 4

24'-819

-163'

3' =

180

"180"46"

226" 456"-20

26-24

2" (resto)

125º 39' 46"4

= 31º 24' 56" Resposta

118º 339º-9

28-27

1º1º

= 6

0'

60'14'74' 3

24'-614

-122'

2' =

120

"120"52"

172" 357"-15

22-21

1" (resto)

118º 14' 52"3


125º 525º-10

25-25

0º

0'12'12' 5

2'-102'

2' =

120

"120"52"

172" 534"-15

22-20

2" (resto)

125º 12'' 52"5


90º 136º-78

12º

720' 1355'

5' =

300

"300" 13

(resto)

90º13


12º = 720' -65

70-6505'

23"-2640

-391"

(180 - x) - 3.(90 - x) = 54º

180 - x - 270 + 3x = 54

2x = 144

x = 72º Resposta

x + y = 124

x - maior

y - menor

(180 - x) = (90 - y)

180 - (124 - y) = 90 - y

180 - 124 + y = 90 - y

2y = 34

y = 17º e x = 107º Resposta

(180 - x/5) = 3.(90 - x)

180 - x/5 = 270 - 3x

14x/5 = 90

x = 450/14 = (225/7)º Resposta



geometria plana

9

08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.

a) b)

c) d) (Tente fazer de outra maneira)

e) f)

g) h)

i) j)

k) AC = BC

r

s

r // s

41º

x

116º

x

39º

53º

x r

s

r // s

39º

53º

x r

s

r // s

55º

38º

40º

x

r

s

r // s

r

s

35º

47º

62º

x

r

s

r // s

28º

54º

88º

x 21º 126º

x

A

B

C

AB = AC

73º

x

112º 143º

x

A B

C

46º

x

x

158º

67º

38º

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

l)

Jeca 05



geometria plana

10

08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.

a) b)

c) d) (Tente fazer de outra maneira)

e) f)

g) h)

i) j)

k) AC = BC l)

r

s

r // s

41º

x

116º

x

39º

53º

x r

s

r // s

39º

x r

s

r // s

55º

38º

40º

x

r

s

r // s

r

s

35º

47º

62º

x

r

s

r // s // t //u

28º

54º

88º

x 21º 126º

x

A

B

C

AB = AC

73º

x

112º 143º

x

A B

C

46º

x

x

158º

67º

38º

Jeca 05

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

41º

x = 41º (resp)

116º

x + 116 = 180x = 64º (resp)

39º

14º

14º t

r // s // tx = 14º (resp)

x

127º

39º

x + 39 + 127 = 180x = 14º (resp)53º

55º

87º

93º

x + 93 + 40 = 180x = 47º (resp)

62º

x t

r // s // t

x + 62 + 47 + 35 = 180x =36º (resp)

28º

26º

26º

62º

x = 62º (resp)

t

u

x + 126 + 21 = 180x = 33º (resp)

37º68º

x + 68 + 37 = 180x = 75º (resp)

73ºx + 73 + 73 = 180x = 34º (resp)

y y

46 + y + y = 1802y = 134y = 67x + y = 180x = 180 - 67x = 113º (resp)

y

y = 67 + 38y = 105º

x + y = 158x = 158 - 105x = 53º (resp)



geometria plana

11

11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.

30º

x

yz

t

13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de m.

x

4m

3m

m

xy

z

t

u

x y

10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.

x

y

09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos-tos. Qual é o valor de x + y, em graus ?

A B

C

DE

F

a) 120ºb) 150ºc) 180ºd) 210ºe) 240º

14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é igual a:

15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân-gulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; cal-cule as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC. A

B CP

T

Q

R

25º

16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu-lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e AD, respectivamente.

A

BC

D E

Fx

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x, y, z, t e u.

Jeca 06



geometria plana

12

11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.

30º

x

yz

t

13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de m.

x

4m

3m

m


xy

z

t

u

x y

10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.

x

y

09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos-tos. Qual é o valor de x + y, em graus ?

A B

C

DE

F

a) 120ºb) 150ºc) 180ºd) 210ºe) 240º

14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é igual a:

15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân-gulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; cal-cule as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC. A

B CP

T

Q

R

25º

16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu-lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e AD, respectivamente.

A

BC

D E

Fx

Jeca 06

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

x

y

r

s

t

r // s // t

x + y + 90 = 360

x + y = 270º (resp)

120º

60º120 + x + y = 360

x + y = 360 - 120

x + y = 240º (resp)

x + y

z + t

150ºx + y + z + t + 150 = 360

x + y + z + t = 210º (resp)

y + t

x + z

u + x + z + y + t = 180º

(resp)

y

y

3m = m + y

y = 2m

4m = x + y

4m = x + 2m

x = 2m (resp)

a b

gl

q

gl

l + ba + g

a + b + g + q + l = 180º (resp)

M

25º

Se M é ponto médio,então MB // DFx = 25º (resp)

100º

40º

40º

70º

70º

80º

30º

30º80º

60º

30º

30º

60º

A = 70ºB = 80ºC = 30º (resp)



geometria plana

13

01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.

r

s

r //s

43º

x

a) b)

r

s

r // s

57º

x

d)c)

rr

ss

r // sr // s

45º45º

62º62º

xx

(Resolver de forma diferente da letra c))

(Resolver de forma diferente da letra g))

rr

ss

r // sr // s

140º140º

65º65º

xx

150º150º

h)g)

e)

r

s

r // s

147º

82º

x

x

126º

80º

r

s

r // s

f)

r

s

r // s

i)

42º

5x - 12º

r

s

r // s

j)

48º

40º

x

43º

k)

x

55º

l)

r

sr // s

135º x

85º



Geometria planaConceitos iniciais de Geometria Plana.Exercícios complementares da aula 01.

Jeca 07

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)



geometria plana

14


r

s

r //s

43º

x

a) b)

r

s

r // s

57º

x

d)c)

rr

ss

r // sr // s

45º45º

62º62º

x

(Resolver de forma diferente da letra c))

(Resolver de forma diferente da letra g))

rr

ss

r // sr // s // t // u

140º140º

65º65º

xx

150º150º

h)g)

e)

r

s

r // s // t147º

82º

x

x

126º

80º

r

s

r // s

f)

r

s

r // s

i)

42º

5x - 12º

r

s

r // s

j)

48º

40º

x

43º

k)

x

55º

l)

r

sr // s

135º x

85º



Geometria planaConceitos iniciais de Geometria Plana.Exercícios complementares da aula 01.

Jeca 07

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

tx

62º

45ºr // s // tx = 45 + 62x = 107º(resp)

x

x = 43º (resp)

57º

x + 57 = 180

x = 123º (resp)

45º

x é ângulo externo

x = 62 + 45

x = 107º (resp)

33º

33º

49º

49º

x = 49º (resp)

80º

126º é ângulo externo

x + 80 = 126

x = 46º (resp)t

30º

40º

t

u25º

40º

30º

x = 30 + 25

x = 55º (resp)

40º

30º

y

y

y + 40 = 65y = 25

x = y + 30x = 25 + 30x = 55º (resp)

25º

42º

5x - 12 + 42 = 180

5x + 30 = 180

5x = 150

x = 30º (resp)

48º

y

y = 43 + 48

y = 91º

x + y + 40 = 180

x + 91 + 40 = 180

x = 49º (resp)

y

y + 55 + 90 = 180y = 35ºx + y + 90 = 180x = 55º (resp)

85º

45º 45º

x = 45 + 85

x = 130º (resp)



geometria plana

15

m)

43º

x

r

s

t

u

r // st // u

r // st // u

n)

58º

xr

s

tu

o)

62º

79º x

p)

52º

67ºx

q)

52º

81º

x15x18x

21x

r)

s)A

B C

38º

x

AB = AC AB = AC

(Triângulo isósceles) (Triângulo isósceles)A

B C

138º

x

t)

A

B C

AB = AC

152º

x

u) v)

62º 98º x

x)

A

B

C

D

AB = BC = CD

98º

x

z)

A B C

D

E

AB = BD = DE

xy

y

y y

Jeca 08

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)



geometria plana

16

43º

x = 43º (resp)

x

x

x + 58 = 180

x = 122º (resp)

x + 62 + 79 = 180

x = 180 - 141

x = 39º (resp)

x = 52 + 67

x = 119º (resp)

x = 81 + 52

x = 133º (resp)21x + 18x + 15x = 180

54x = 180

x = 180/54 = (10/3)º (resp)

x

2x + 38 = 180

2x = 142

x = 71º (resp) 42º 42º

x + 42 + 42 = 180x = 96º (resp)

x

x + x + 152 = 360

2x = 208

x = 104º (resp)

82º

y + 82 + 62 = 180

y = 36º

62 + 2y + x = 180

x = 46º (resp)

==

=

82º

82º

41º 41º

16º

x + 41 + 16 = 180

x = 123º (resp) =

=

=

y

z

z

y é ângulo externodo triângulo ABDy = z + z = 2zz = y/2No triângulo BDEy + y + z = 180y + y + y/2 = 180y = 72ºx + y = 180x = 108º (resp)

m)

43º

x

r

s

t

u

r // st // u

r // st // u

n)

58º

xr

s

tu

o)

62º

79º x

p)

52º

67ºx

q)

52º

81º

x15x18x

21x

r)

s)A

B C

38º

x

AB = AC AB = AC

(Triângulo isósceles) (Triângulo isósceles)A

B C

138º

x

t)

A

B C

AB = AC

152º

x

u) v)

62º 98º x

x)

A

B

C

D

AB = BC = CD

98º

x

z)

A B C

D

E

AB = BD = DE

xy

y

y y

Jeca 08

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

81º



geometria plana

17


a)

37º

31º

116º

x

b)

x

73º

148º24º

d)

f)

h)

j)

l)

c)

x

34º

38º

101ºbissetriz

x

128º

36º

42ºx

A

B

C

D

AD e BD são bissetrizes.

72º

40º

xD

e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes.

g)

r

s

r // s

68º

5y3y

x 60º

x + 30º

2x

i)

6x

9x

12x

43º

62º

60º

x

k)

x

A B

CD

ABCD é um quadrado.

30º

118ºx

Jeca 09

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria plana

18


a)

37º

31º

116º

x

b)

x

73º

148º24º

d)

f)

h)

j)

l)

c)

x

34º

38º

101ºbissetriz

x

128º

36º

42ºx

A

B

C

D

AD e BD são bissetrizes.

72º

40º

xD

e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes.

g)

r

s

r // s

68º

5y3y

x = 3y 60º

x + 30º

2x

i)

6x

9x

12x

43º

62º

60º

x

k)

x

A B

CD

ABCD é um quadrado.

30º

118ºx

Jeca 09

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

64º

79º

101º

x + 101 + 31 = 180x = 180 - 132 = 48º(resp) y

148 = y + 24

y = 124º

y = x + 73

124 = x + 73

x = 51º (resp)

79º 38º

x + 34 + 79 + 38 = 180

x = 180 - 151

x = 29º (resp)

y

52º

y

y + 128 + 36 = 180

y = 16º

y + 52 + x = 180

16 + 52 + x = 180

x = 112º (resp)

108º

32º

32º

40º

x

2 . 32 + 2 . x + 80 = 180

x = 18º (resp)

y

z z

y

x

2.z + 2.y + 42 = 1802(y + z) = 180 - 422(y + z) = 138y + z = 69º

x + y + z = 180x + 69 = 180x = 111º (resp)

68º

3y + 5y + 68 = 180

8y = 112

y = 14º

x = 3y = 42º (resp)

120º

x + 30 + 2x + 120 = 360

3x = 210

x = 70º (resp)

6x + 9x + 12x = 360

27x = 360

x = 360/27

x = (40/3)º (resp)

y

y = 43 + 62

y = 105º

y = 60 + x

x = y - 60

x = 45º

45º

45º

x + 45 + 45 = 180

x = 90º (resp)

75º 62º75º 62º

x + 75 + 62 = 180x = 43º (resp)



geometria plana

19

m) n)

o) p)

q) r)

s) t)

u) v)

x) z)

A

B C D

AC = CD

38ºx

A

C

B

D

E

AB = BC = CD = DE e AD = AE

x

A

B

C

D

E

F

x

AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF

A

B

C

D

E

F

44ºx

AB = AC , BD = BE e CE = CF.

A

B CD E

FG

x

ABC é um triângulo equiláteroe DEFG é um quadrado.

A B

C

DEx

BCD é um triângulo equiláteroe ABDE é um quadrado.

A B

CD

Ex

CDE é um triângulo equiláteroe ABCD é um quadrado.

x

A

B

C

D

EF

G

BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são quadrados.

A B C

DEF

x

ACE e BDF são triângulosequiláteros.

A

B CE F

x

65º

70º

D

AB = AC e DE = DF.

A

B

CD

x

AB = AD = BD = DC e AC = BC.

A

B CDE

x 38º

AB = ACAD é bissetriz de BÂCAE é bissetriz de BÂD.

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

Jeca 10



geometria plana

20

m) n)

o) p)

q) r)

s) t)

u) v)

x) z)

A

B C D

AC = CD

38ºx

A

C

B

D

E

AB = BC = CD = DE e AD = AE

x

A

B

C

D

E

F

x

AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF

A

B

C

D

E

F

44ºx

AB = AC , BD = BE e CE = CF.

A

B CD E

FG

x

ABC é um triângulo equiláteroe DEFG é um quadrado.

A B

C

DEx

BCD é um triângulo equiláteroe ABDE é um quadrado.

A B

CD

Ex

CDE é um triângulo equiláteroe ABCD é um quadrado.

x

A

B

C

D

EF

G

BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são quadrados.

A B C

DEF

x

ACE e BDF são triângulosequiláteros.

A

B CE F

x

65º

70º

D

AB = AC e DE = DF.

A

B

Cx

AB = AD = BD = DC e AC = BC.

A

B CDE

x 38º

AB = ACAD é bissetriz de BÂCAE é bissetriz de BÂD.

Jeca 10

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

38º

x + 38 + 38 + 90 = 180x = 180 - 166 = 14º (resp)

=

=

= =x

2x

2x

3x

x

3x

x + 3x + 3x = 180

7x = 180

x = (180/7)º

(resp)

2x

2x

3x 3x

xx

4x

x + 4x + 4x = 1809x = 180x = 20º (resp)

=

=

y

yz

z

z

z

y + y + 44 = 180y = 68º

z + z + y = 180z = 56ºz + z + x = 180x = 68º (resp)

60º

x + 60 + 90 = 180

x = 30º (resp)

=

=

60º

x

x + x + 90 + 60 = 180

x = 15º (resp)

==

=x

30º

60º

x + x + 30 = 180

x = 75º (resp)

60º

60º

x = 60º (resp)

60º

30º

60º

30º

x

x + 30 + 30 = 180

x = 120º (resp)

65º55º 55º

x

x + 55 + 65 = 180

x = 60º (resp)

=

=

=

=

60º

60º

60º

x

x + x + 60 = 360

x = 150º (resp)

y 2yy

38º

4y + 38 + 38 = 180y = 26ºx + y + 38 = 180x = 116º (resp)



geometria plana

21

03) Na figura abaixo, determine x, y e z.

37º

x

y

z

04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.

x

4x

z

2y

05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.

t z

2x

y4x

40º

06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y.

A B C

DE

x

y

4x

57ºx

07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.

A

B

C

D

E

FO

x 28º

08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC.

09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e z.

2x y

z + 26º

2z - 84º

10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão 10º.

x

y

z

Jeca 11

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)



geometria plana

22

03) Na figura abaixo, determine x, y e z.

37º

x

y

z


x

4x

z

2y

05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.

t z

2x

y4x

40º

06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y.

A B C

DE

x

y = 4x

4x

57ºx


A

B

C

D

E

FO

x 28º

08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC.

09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e z.

2x y

z + 26º

2z - 84º

10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão 10º.

x

y

z

Jeca 11

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

x + 37 = 180 Portanto x = 180 - 37 = 143ºy = 37º (OPV)z = x = 143º (OPV)(resp)

x + 4x = 180x = 36º2y = x = 36ºy = 18º4x = z = 144º

(resp)

2x = 40x = 20º4x = z = 80ºy + 2x + z = 180y = 60ºt = y = 60º(resp)

4x + 4x + x = 180x = 20º y = 80ºx + y = 100º(resp)

x

57 + x = 90

x = 33º (resp)

x2x

4x

8x + 28 = 180

x = 19º (resp)

z + 26 = 2.z - 84z = 26 + 84 = 110º

2x + 110 + 26 = 180x = 22ºy = 2x = 44º (resp)

y = x + 10z = x + 20x + y + z = 180x + x + 10 + x + 20 = 1803x = 150x = 50º y = 60ºz = 70º (resp)



geometria plana

23

140º

120º

x

ts

t // s

11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x.

A B

CD

E

F

x

y z

t

u

v

A

B C Dx

B C D E

x

2x

13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o valor de x.

12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo inscrito no quadrado ABCD.

14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz do ângulo BAD. Determine o valor de x.

15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x em função de y.

xy 2y

5y

16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de x.

A B C

Dy

x

18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos.

17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : a + b = c + d. r

s

r // s

a

b

c

d

19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360º.

e1

e2

e3

20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de z.

x

y

z

r

s

r // s

A

Jeca 12

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)



geometria plana

24

140º

120º

x

ts

t // s

11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x.

A B

CD

E

F

x

y z

t

u

v

A

B C Dx

B C D E

x

2x

13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o valor de x.

12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo inscrito no quadrado ABCD.

14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz do ângulo BAD. Determine o valor de x.

15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x em função de y.

xy 2y

5y

16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de x.

A B C

Dy

x

18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos.

17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : a + b = c + d. r

s

r // s // t // u

a

b

c

d

19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360º.

e1

e2

e3

20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de z.

x

y

z

r

s

r // s // t

A

Jeca 12

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

140º40º

20º

x + 20 + 90 = 180x = 70º (resp)

x + y = 90z + t = 90u + v = 90x + y + z + t + u + v = 3 . 90x + y + z + t + u + v = 270º(resp)

= =

= =

3x

3x

6x60º

60º

6x = 60º

x = 10º (resp)

==

=

x

2x 2x

x

No triângulo ACD, tem-se

x + 2x + 2x = 180

5x = 180

x = 36º (resp)

z

z = 2y + 5y = 7yx = y + z = y + 7yx = 8y (resp)

x

2x2x

=

= =

y é ângulo externo

y = A + C = x + 2x

y = 3x (resp)

t

u

ac - a

d

b - d

Ângulos alternos internosc - a = b - da + b = c + d (CQD)

100º

xx

xx

y

100 + 2x + 2x = 180x = 20ºx + x + y = 180y = 140ºz é o ângulo agudoz + y = 180z = 40º (resp)

z

x

y

z

e + x = 1801

e + y = 1802

e + z = 1803

e + e + e + x + y + z = 5401 2 3

Mas x + y + z = 180Portanto e + e + e = 540 - 180 = 360º (CQD)1 2 3

t x

z

y = x + z

x = y - z (resp)



geometria plana

25


x

y

z

t

u

23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo de z e t o sêxtuplo de z.

80º

x

y

z

t

A

B D C

25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, demonstre que vale a relação z - y = x - t.

x y zt

A B

C

DE

x

y

z

27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a soma das medidas dos ângulos x, y e z.

A

B C D

E

x

28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o triângulo BCE é equilátero.

Jeca 13

40º

x

y

24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor em graus de x + y ?

x

y

r

s A B

CD

21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos x e y podemos afirmar que :a) x = yb) x = -yc) x + y = 90ºd) x - y = 90ºe) x + y = 180º

A

B

C

D

E F

26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do ângulo CBF é :a) 38ºb) 27ºc) 18ºd) 19ºe) 71º

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria plana

26


x

y

z

t

u

23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo de z e t o sêxtuplo de z.

80º

x

y = 3.z

z

t = 6.z

A

B D C

25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, demonstre que vale a relação z - y = x - t.

x y zt

A B

C

DE

x

y

z

27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a soma das medidas dos ângulos x, y e z.

A

B C D

E

x

28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o triângulo BCE é equilátero.

Jeca 13

40º

x

y

24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor em graus de x + y ?

x

y

r

s A B

CD

21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos x e y podemos afirmar que :a) x = yb) x = -yc) x + y = 90ºd) x - y = 90ºe) x + y = 180º

A

B

C

D

E F

26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do ângulo CBF é :a) 38ºb) 27ºc) 18ºd) 19ºe) 71º

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

yx

tr // s // tx + y = 90º (resp)

O polígono pode ser dividido em 3 triângu-los.

S = 3 . 180 = 540x + y + z + t + u = 540º(resp)

100º

180 - z

180 - 3z

100 + 180 - z + 180 - 3z = 3604.z = 100z = 25ºt = 150ºu = 30º

u

x + u + 100 = 180x = 50º (resp)

90 - x

90 - y

90 - x + 40 + 90 - y = 90

x + y = 130º (resp)

a a

a = 180 - x - ya = 180 - z - tPortanto 180 - x - y = 180 - z - tEntão z - y = x - t (CQD)

38º

xy y

y + y + 38 = 180y = 71º

y + 90 + x = 180x = 180 - 90 - 71x = 19º (resp)

a

b

a + b = 180º (ângulos colaterais internosa + b + x + y + z = 540ºx + y + z = 540 - 180x + y + z = 360º (resp)

=

==

=

=

60º120º

30º

30º

60º

60º

90º

x

x + x + 90 = 180

2x = 90

x = 45º (resp)



geometria plana

27

29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z, t, u e v.

x

y

z

t

u

v

30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z e t.

r

s

r // s

x

y

z

t


32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.

140º

x

A B

CD

E

F

A’

D’

x

y

z

t

33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é

igual a

34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.

35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, sabendo-se que BAD = 48º.

A

B CD

E

A

B C

M

N

Px y

x - y2 A

B CD

B’

.

Jeca 14



geometria plana

28

29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z, t, u e v.

x

y

z

t

u

v


r

s

r // s // u

x

y

z

t


32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.

140º

x

A B

CD

E

F

A’

D’

x

y

z

t

33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é

igual a

34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.

35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, sabendo-se que BAD = 48º.

A

B CD

E

A

B C

M

N

Px y

x - y2 A

B CD

B’

.

Jeca 14

x + y

u + v

z + tsoma dos ângulos externosx + y + z + t + u + v = 360º(resp)

x

t u

x + y + z + t = 180º (resp)

ay - a

b t - b

x + y + z + t = x + y - a + a + t - b + b + z

x + y + z + t = (x + y - a + t - b) + (z + a + b)

x + y + z + t = 360 + 180 = 540 (resp)

40º50º

50º

40º

x

x + x + 50 = 180

x = 65º (resp)

a

a

q

z

q + a + a = 180q + x + y = 180Então 2a = x + y

a = x - z2a = 2x - 2z

==

aa

2a = x + y2x - 2z = x + y2z = x - y z = (x - y)/2 (CQD)

30º 80º

30º

x

yy

x

30º

30 + 80 + 30 + 2y = 180

y = 20º

30 + x + y = 180

30 + x + 20 = 180

x = 130º (resp)

x yy

48º

x + yx + y

x + y + x é ângulo externo

do triângulo ABD

x + y + x = y + 48

2x = 48

x = 24º (resp)



geometria plana

29

Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma

mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.

Jeca

Respostas dos exercícios da Aula 01

01) a) 176º 19' 21" b) 124º 05' 04"c) 28º 45' 16" d) 46º 47' 48"e) 273º 35' 36" f) 214º 11' 36"g) 31º 24' 56" h) 39º 24' 57"i) 25º 02' 34" j) 06º 55' 23" 02) 60º

03) 117º

04) 72º

05) 60º e 120º

06) 17º e 107º

07) 225º / 7

08)a) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47ºf) 36º g) 62º h) 33º i ) 75º j) 34ºk) 113º l) 53º

09) 270º

10) 240º

11) 210º

12) 180º

13) 2m

14) c

15) 70º, 80º e 30º

16) 25º

Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor

Jeca 16



geometria plana

30

Respostas dos exercícios complementares da Aula 01

01)a) 43º b) 123º c) 107º d) 107º e) 49ºf) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49ºk) 55º l) 130º m) 43º n) 122º o) 39ºp) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96ºu) 104º v) 46º x) 123º z) 108º

02) a) 48º b) 51º c) 29º d) 112º e) 18ºf) 111º g) 42º h) 70º i) 40º/3 j) 45ºk) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 20ºp) 68º q) 30º r) 15º s) 75º t) 60ºu) 120º v) 60º x) 150º z) 116º

03) 143º, 37º e 143º

04) 36º, 18º e 144º

05) 20º, 60º, 80º e 60º

06) 100º

07) 33º

08) 19º

09) 22º, 44º e 110º

10) 50º, 60º e 70º

11) 70º

12) 270º

13) 10º

14) 36º

15) x = 8y

16) y = 3x

17) demonstração

18) 40º

19) demonstração

20) x = y - z

21) c

22) 540º

23) 50º

24) 130º

25) demonstração

26) d

27) 360º

28) 45º

29) 360º

30) 180º

31) 540º

32) 65º

33) demonstração

34) 130º

35) 24º



Jeca


Jeca 17



geometria plana

31

mediana

mediatriz

bissetriz

altura

M

ponto médio

Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto.

Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo pelo seu ponto médio.

Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto.

Todo triângulo tem: 3 medianas 3 bissetrizes 3 mediatrizes 3 alturas

Pontos notáveis do triângulo BICO

- baricentro

- incentro

- circuncentro

- ortocentro

Segmentos notáveis do triângulo.

A

B M C

NP

G

Baricentro (G). É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo.

Propriedade. O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. O segmento que contém o vértice é o dobro do segmen-to que contém o ponto médio do lado oposto. (razão 2 : 1)

Observação - As três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos de mesma área.

SS

S

S S

S

S

2x

x

AG = 2.GMBG = 2.GNCG = 2.GP

Incentro (I). É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo.

Propriedade. O incentro é o centro da circunferência inscrita (inter-na) no triângulo. O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 lados do triângulo.

I

aa

bb

gg

r

r - raio da circunferência inscrita.

Circuncentro (C). É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo.

Propriedade. O circuncentro é o centro da circunferência circuns-crita (externa) ao triângulo. O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 vértices do triângulo.

C

R

mediatriz

ponto médio

R - raio da circunferência circunscrita.

Ortocentro (O). É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.

Propriedade. Não tem.

hA

h B

h C

BC

A

O

ortocentro

A

A

B

B

C

C

hA

h B

hCO

hA

h B

hC

O

Área de cada triângulo




Pontos notáveis de um triângulo.

Jeca 18



geometria plana

32

Observações.

1) O baricentro e o incentro sempre estão localizados no interior do triângulo.

2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do triângulo.

3) Num triângulo isósceles, os quatro pontos notáveis (BICO: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão alinhados.

4) No triângulo retângulo, o ortocen-tro é o vértice do ângulo reto e o cir-cuncentro é o ponto médio da hipo-tenusa.

I

O

G

C

medianamediatrizbissetrizaltura

mediatriz

mediana

bissetriz

altura

R C R

hipotenusa

ortocentrocircuncentro

R

r

hl l

l

Triângulo eqüilátero.(importante)

Em todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto.

- lado do triângulo eqüilátero.- raio da circunferência inscrita.- raio da circunferência circunscrita.- altura do triângulo.

rRh

l

BICO

R = 2re

h = 3rr

r

r

01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.d) o que o ponto O é do triângulo.

R

r

hl l

l

O

A

B C

O

02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a medida do ângulo AOC.

A

B C

O

03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.

Jeca 19



geometria plana

33

Observações.

1) O baricentro e o incentro sempre estão localizados no interior do triângulo.

2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do triângulo.

4) No triângulo retângulo, o ortocen-tro é o vértice do ângulo reto e o cir-cuncentro é o ponto médio da hipo-tenusa.

I

O

G

C

medianamediatrizbissetrizaltura

mediatriz

mediana

bissetriz

altura

R C R

hipotenusa

ortocentrocircuncentro

R

r

hl l

l

Triângulo eqüilátero.(importante)

Em todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto.

- lado do triângulo eqüilátero.- raio da circunferência inscrita.- raio da circunferência circunscrita.- altura do triângulo.

rRh

l

BICO

R = 2re

h = 3rr

r

r

01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.d) o que o ponto O é do triângulo.

R

r

hl

l

O

A

B C

O

02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a medida do ângulo AOC.

A

B C

O

03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.

Jeca 19

33º

28º

28º

x

yy

33º

2y + 66 + 56 = 180y = 29ºx + 33 + 29 = 180x = 180 - 62 = 118º(resp)

60º

10 c

m

a) sen 60º =cohip

h10

=

32

=h

10

h = 5 3 cm

b) r = h/3 = 5 3 / 3 cm

c) R = 2.r = 10 3 / 3 cm

d) O ponto O é o "BICO"

BaricentroIncentroCircuncentroOrtocentro

126º

a

a

b b

qq

a + q + 126 = 180

a + q = 54º

2a + 2q + 2b = 180

2(a + q) + 2b = 180

2 . 54 + 2b = 180

2b = 72º (resp)

3) Num triângulo isósceles, os quatro pontos notáveis (BICO: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão alinhados.



geometria plana

34

04) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.c) o lado do triângulo.

A

B C

D

EF

G

07) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, determine o perímetro do triângulo BDG, em função de x, y, z, w, k e n.

A

B CD

E

F

08) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC. Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º e 70º.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Jeca 20

05) O triângulo ABC tem lados que medem 6 cm, 8 cm e 10 cm. Determine a distância entre o ortocentro e o baricentro desse triângulo.

06) Sendo G e C , respectivamente, o baricentro e o circuncentro de um triângulo retângulo cujos cate-tos medem 6 cm e 8 cm, determine a medida do seg-mento GC.

R

r

hl l

l

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria plana

35

04) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.c) o lado do triângulo.

07) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, determine o perímetro do triângulo BDG, em função de x, y, z, w, k e n.

08) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC. Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º e 70º.

(GeoJeca)

Jeca 20

05) O triângulo ABC tem lados que medem 6 cm, 8 cm e 10 cm. Determine a distância entre o ortocentro e o baricentro desse triângulo.

06) Sendo G e C , respectivamente, o baricentro e o circuncentro de um triângulo retângulo cujos cate-tos medem 6 cm e 8 cm, determine a medida do seg-mento GC.

B C

D

EF

G

A

B CD

E

F

x

x

y

y

z z

w

2w

k

2k

n

2n

Per = 2p = z + w + 2k (resp)

Ortocentro - encontro das alturas

58º

70º

x

y

y + 58 + 70 = 180

y = 52º

y + 90 + x + 90 = 360

x = 128º (resp)

A (GeoJeca)

R

r

hl l

l

60º

c) sen 60º =cohip

h=

32

=3

a) r = h/3 = 3/3 = 1 cm

b) R = 2.r = 2 . 1 = 2 cm

l

ll . 3 = 6

= 6 3 /3 = 2 3 cml

Esse triângulo é retângulo 6 , 8 , 10 (3 , 4 , 5)

A B

C

D

E

Propriedades.1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa se-micircunferência.

2) O baricentro divide cada mediana na razão 2 : 1.

AC e AB são alturas.Portanto A é ortocentro

Pela propriedade 1, tem-seAD = CD = BD = raio = 5

D é ponto médio de BC.Portanto AD é uma mediana.Portanto, se E é o baricentro, então AE = 2 . ED

Distância entre o ortocentro A e o baricentro Ed = 2 . AD /3 = 2 . 5 /3 = 10/3 cm (resp)

A B

C

D

E

Propriedades.1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa se-micircunferência.2) O baricentro divide cada mediana na razão 2 : 1. 3) Em todo triângulo retân-gulo o circuncentro é o pon-tom médio da hipotenusa.

Pela propriedade 1, tem-seAD = CD = BD = raio = 5

D é o circuncentro pois é o ponto médio de BC.Portanto AD é uma mediana.Portanto, se E é o baricentro, então AE = 2 . ED

Distância entre o circuncentro D e o baricentro Ed = AD /3 = 5 /3 cm (resp)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Se esse triângulo é retângulo, então BC = 10 cm



geometria plana

36

A B

C

D

E

09) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e AE.

Peroba

Jatobá

Sibipiruna

10) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ?

A

B CD E

G

F

211) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) G é o baricentro do triângulo ABC.2

( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .2

( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .

A

B CD

EFG

12) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:a) a área do triângulo ABC;b) a área do triângulo AFG;c) a área do quadrilátero BCAG.

13) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casas não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.

14) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden-tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça.

Rua 2

Rua 1

Rua

3

Jeca 21



geometria plana

37

A B

C

D

E

09) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e AE.

Peroba

Jatobá

Sibipiruna

10) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ?

A

B CD E

G

F

211) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) G é o baricentro do triângulo ABC.

2( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .

2( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .

(AE não é mediana)

A

B CD

EFG

12) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:a) a área do triângulo ABC;b) a área do triângulo AFG;c) a área do quadrilátero BCAG.

13) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casas não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.

14) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden-tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça.

Rua 2

Rua 1

Rua

3

Jeca 21

Triângulo equilátero BICO

ED = CD/3 = k/3CE = AE = 2.ED = 2k/3(resp)

J

S

Tesouro

P

JS é um lado do triângulo (J e S são vértices)A altura h obrigatoriamente passa por S e pelo ortocentro P.S

A altura h obrigatoriamente faz 90º com o lado oposto a S.S

A altura h passa por P e faz 90º com o lado oposto a J.J

O terceiro vértice do triângulo será o ponto de intersecção das retas ST e JT.

O ortocentro de um triân-gulo é o ponto de encon-tro das 3 alturas do tri-ângulo.

T

hS

hJ

A

B CD E

G

F

402

cm

402

cm

402

cm

80/3

80/3

80/3

F

V

F

Propriedade - Em todo triângulo, as três medianas dividem o triângulo original em 6 triângulos menores de mesma área

2a) S = (1/2).a.b.sen a = (1/2) . 14 . 12 . (1/2) = 42 cmABC

2b) S = S / 6 = 42/6 = 7 cmAFG ABC

2c) S = 4 . 7 = 28 cmBCAG

(resp)

27 cm

27 cm

27 cm

27 cm

27 cm

27 cm

J

P

M

Poço

mediatriz

O poço deve ser construído no circuncentro do triângulo formado pelas três casas. O circuncentro é o ponto de en-contro das três mediatrizes do tri-ângulo.O circuncentro é o ponto do plano equidistante dos três vértices do tri-ângulo.

RR

R

r

rr

A estátua deve ser colocada no incentro do triângulo. O incentro é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângu-los internos do triângulo. O incentro é o ponto do plano equidistante dos três lados do tri-ângulo.



geometria plana

38



Geometria planaPontos notáveis de um triângulo.

Exercícios complementares da aula 02.

01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :a) a altura do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;d) o que o ponto O é do triângulo.

R

r

hO

k

kk

A

BC

D

E

FG

R

SP

Q

03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-dem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. Assinale a alternativa correta.

a) P é incentro de algum triângulo construído na figura.b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura.c) R é incentro de algum triângulo construído na figura.d) S é incentro de algum triângulo construído na figura.e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

T1

T2

O

R

04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T , inscrito, e T , circunscrito. Determine 1 2

a razão entre a altura de T e a altura de T .2 1

Jeca 22

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

02) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo.

A

BC

I

(GeoJeca)



geometria plana

39



Geometria planaPontos notáveis de um triângulo.


03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-dem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. Assinale a alternativa correta.

04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T , inscrito, e T , circunscrito. Determine 1 2

a razão entre a altura de T e a altura de T .2 1

Jeca 22

(GeoJeca)

02) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo.

A (GeoJeca)

BC

I G C

O

A

BC

D

E

FG

R

SP

Q

a) P é incentro de algum triângulo construído na figura.b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura.c) R é incentro de algum triângulo construído na figura.d) S é incentro de algum triângulo construído na figura.e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

T1

T2

O

a a a

qqq

AR é uma bissetrizCP é uma bissetriz

S é incentro do D ACQ. (resp. d)

R

R

R

h = 3R2

h = 3R/21

h / h = 3R / 3R/22 1

h / h = 2 (resp)2 1

01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :a) a altura do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;d) o que o ponto O é do triângulo.

R

r

hO

k

kk

60ºa) sen 60º = h/kPortanto h = k 3 /2

b) r = h/3 = k 3 / 6

c) R = 2r = k 3 / 3

d) - baricentro

- incentro - circuncentro - ortocentro

BI

CO



geometria plana

40

05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro do triângulo ABC e que BG = 2.GN.

A

B C

M N

P

G

06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe-rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do triângulo ADE.

A

B C

D EI

A

B C

D

E

M

07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM.

RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência.

AB

C

D

08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.

A

B C

O

09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º.Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.

A

B C

D

E F

40º

10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la-do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine a medida do ângulo BFC.

A

B C

D

11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me-dida do ângulo ADC.

12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?a) 30ºb) 45ºc) 60ºd) 90º e) 120º

Jeca 23



geometria plana

41

05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro do triângulo ABC e que BG = 2.GN.

A

B C

M N

P

G

A

B C

D EI

A

B C

D

E

M

07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM.

RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência.

AB

C

D

08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.

A

B C

O

09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º.Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.

A

B C

D

E

40º

10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la-do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine a medida do ângulo BFC.

A

B C

D

11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me-dida do ângulo ADC.

12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?a) 30ºb) 45ºc) 60ºd) 90º e) 120º

Jeca 23

Se M, N e P são pontos mé-dios, então AP, BN e CM são medianas.Portanto G é baricentro

R S

Seja R o ponto médiodo segmento BG e S oponto médio de GC. MN // BC // RS MN = RS = BC/2

MNSR é um paralelogramo.BR = RG = GNPortanto BG = 2.GN (CQD)

a q

a q

qa

x

x y

y

8 - x 11 - y

AB = AD + DB = AD + DIAD + DI = 8

AC = AE + EC = AE + EIAE + EI = 11

Per = AD + DI + AE + EI = 8 + 11 = 19 cm (resp)

06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe-rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do triângulo ADE.

R

R

R R

BM = MC = ME = MD = R = 5

ME + MD = 10 cm (resp)

R R

R65º

65ºx


x = 65 + 65

x = 130º (resp)

40º70º

x

y

y + 70 + 40 = 180

y = 70º

ADOE é um quadrilátero

y + 90 + x + 90 = 360

x = 360 - 250 = 110º (resp)D

E

x

aa

x

RRF

40º

50º

2a + 90 + 40 = 180

a = 25º

a + x + 50 = 180

25 + x + 50 = 180

x = 105º (resp)

a a

qq

x

2a + 2q + 90 = 180

2(a + q) = 180 - 90

a + q = 45º

x + a + q = 180

x = 135º (resp)

B

A

C

hA

hB

x

x = 90º (resp d)

Num triângulo retângulo, os dois catetos são duas das três alturas do triângulo.



geometria plana

42

A

B C

E

D

F

13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a afirmativa falsa.

a) F é o ortocentro do DABC.

b) A é o ortocentro do DFBC.

c) Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.d) BF = 2.FE.

e) O DABC é acutângulo.

A

B CD

E

14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.

130º

120º

110º

D

A

B C

16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do triângulo.

A

B

C

15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e 70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores circulares S , S e S , em função de S.1 2 3

S1

S2

S3

17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen-tro do triângulo.

D

A

B C

110º

120º

130º

A

B

C

O

18) Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun-ferência.

A

B C

D

19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida do segmento AD.

A

B C

P

20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a razão entre x e y.

A

B C

P

Jeca 24



geometria plana

43

A

B C

E

D

F

13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a afirmativa falsa.

a) F é o ortocentro do DABC.

b) A é o ortocentro do DFBC.

c) Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.d) BF = 2.FE.

e) O DABC é acutângulo.

A

B CD

E

14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.

130º

120º

110º

D

A

B C

16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do triângulo.

A

B

C

15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e 70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores circulares S , S e S , em função de S.1 2 3

S1

S2

S3

17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen-tro do triângulo.

D

A

B C

110º

120º

130º

A

B

C

O

18) Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun-ferência.

A

B C

D

19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida do segmento AD.

A

B C

P

20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a razão entre x e y.

A

B C

P

Jeca 24

A alternativa d) é falsa pois F não é o baricentro e BE não é uma mediana.

x

2x

y

2y

w

3

4

4

3

F

Pitágoras2 2 2

(2x) + y = 42 2

4x + y = 162 2 2

x + (2y) = 32 2

x + 4y = 9

2 25x + 5y = 25

2 24x + y = 16

2 2x + 4y = 9

Portanto2 2

x + y = 5

2 2 2 2 2 2 2w = (2x) + (2y) = 4x + 4y = 4(x + y ) = 4 . 5 = 20

w = 20 = 2 5 (resp)

I

I é o incentro do triângulo(ponto de encontro das bissetrizes)

25º

35º

25º

35º

xx

ab

q

2x + 50 + 70 = 180x = 30ºa + 35 + 30 = 180 a = 115ºb + 35 + 25 = 180 b = 120ºq = 125º

S 1 =115360

S = S2372

S 2 =125360

S = S2572

S 3 =120360

S = S13

a

b

qa

b

q

a + b = 180 - 120a + b = 60

2a + 2b + 2q = 1802(a + b) + 2q = 1802q = 60q = 30ºa = 20ºb = 40ºA = 2b = 80ºB = 2a = 40ºC = 2q = 60º(resp)

R

R R

30º

35º

25º

25º

30º

35º

A = 55º

B = 65º

C = 60º

(resp) 30º

15 - R R

R

15

sen 30º =cohip

R15 - R

=

R15 - R

=12

2r = 15 - R

3R = 15

R = 5 cm (resp)

SS

S

S S

S

E

FH

Se os triângulos têm a mesma área, então AE, BF e CH são medi-anas.

9 cm 9 cmAE = BE = CE = RAE = 9 cmAD = 6 cm (resp)

x

25º

a q

a q

25º

P é incentro(bissetrizes)

a + q = 65ºx = 115º

50º

90º

90ºy

y

P é ortocentro(alturas)

y = 130º

x/y = 115/130 = 23/26 (resp)

D é baricentro (2 : 1)



geometria plana

44

A

B C

DM

P

21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé-dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm.

22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a razão AC / BC.

A

B D C

A

B C

R

M N

P

23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm, determinar :a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o triângulo ABC.b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.

A

B C

O

q

b

g

a

24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a, b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o ângulo ACB.

B C

D

A

EF

G

25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o que é a reta FD.

26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.

a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B.b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângu-lo.c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB.d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos.e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a.

Jeca 25



geometria plana

45

A

B C

DM

P

21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé-dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm.

22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a razão AC / BC.

A

B D C

A

B C

R

M N

P

23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm, determinar :a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o triângulo ABC.b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.

A

B C

O

q

b

g

a

24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a, b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o ângulo ACB.

B C

D

A

EF

G

25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o que é a reta FD.

26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.

a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B.b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângu-lo.c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB.d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos.e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a.

Jeca 25

No triângulo ABD, BM é uma mediana.Como E é ponto médio de BD, AE tambémé uma mediana.P é o baricentro (encontro das medianas)BC = BM = 12 cm.PM = BM / 3 = 12 / 3 = 4 cm (resp)

E 60º

=

=

a

2aa

4a + 60 = 180a = 30º

Portanto 2a = 60ºO triângulo ADC é isósceles.AD = DC = BCAC / BC = 1/2 (resp)

10

7 6

5 1412

a) medianasb) baricentroc) CR = 14 cm BR = 12 cm PR = 5 cm (resp)

15º

15º

45º

45º

30º30º

O é o incentro.Ponto de encontro das bissetrizes.

a = 15ºb = 45ºg = 120ºq = 30ºCO é bissetriz (resp)

D é o circuncentro do triângulo.

FD é a mediatriz do lado AB do triângulo. (resp)

d é incorreta.As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se nomesmo ponto, que é denominado circuncentro do triângulo. (resp)



geometria plana

46

Respostas dos exercícios da Aula 02.

01)a) (5 3 ) cmb) (5 3 / 3) cmc) (10 3 / 3) cmd) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.

02) 118º

03) 72º

04) a) 1 cmb) 2 cmc) 2 3 cm

05) 10/3 cm

06) 5/3 cm

07) 2k + w + z

08) 128º

09) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3

10)

11) F , V e F

12) 2

a) 42 cm2

b) 7 cm2

c) 28 cm

13) O poço deve localizar-se no circuncentro dotriângulo cujos vértices são as três casas.

14) A estátua deve ser colocada no incentro dotriângulo formado pelas três ruas.

Peroba

Jatobá

Sibipiruna

tesouro

O



Jeca


Jeca 26



geometria plana

47

Respostas dos exercícios complementares da Aula 02.

01)a) k 3 / 2b) k 3 / 6c) k 3 / 3d) BICO

02)

03) d

04) 2

05)

06) 19 cm

07) 10 cm

08) 130º

09) 110º

10) 105º

11) 135º

A

B C

M N

P

G

S R

S é ponto médio de BGR é ponto médio de CGMNRS é um paralelogramoPortando, SG = GN = BSRazão 2 : 1

12) d

13) d

14) 2 5

15) 23 S / 72, 25 S / 72 e S / 3

16) 80º, 40º e 60º

17) 55º, 65º e 60º

18) 5 cm

19) 6 cm

20) 23 / 26

21) 4 cm

22) 1 / 2

23) a) medianasb) baricentroc) 14 cm, 12 cm e 5 cm

24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz

25) circuncentro e mediatriz

26) d



Jeca


Jeca 27

A

BC

G CI

O



geometria plana

48

A

B C EF

D Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu-los dois a dois ordenadamente congruentes.

DABC DDEF

A DB EC FAB DEAC DFBC EF

Casos de congruência.1) L.A.L.2) A.L.A.3)L.L.L.4) L.A.AO

5) Caso especial (CE)

Onde:L - lado.A - ângulo junto ao lado.A - ângulo oposto ao lado.O

Caso especial (CE). Dois triângulos retângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo

Observação. A posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no dese-nho é muito importante na caracteri-zação do caso de congruência.

L.A.L. - dois lados e o ângulo entre eles.A.L.A. - dois ângulos e o lado entre eles.

01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.

02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu- lo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.

A

B

C

D

03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen-tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.

A

B

C

D

A

B

C

D




Congruência de triângulos.

Jeca 28



geometria plana

49

A

B C EF

D Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu-los dois a dois ordenadamente congruentes.

DABC DDEF

A DB EC FAB DEAC DFBC EF

Casos de congruência.1) L.A.L.2) A.L.A.3)L.L.L.4) L.A.AO


Onde:L - lado.A - ângulo junto ao lado.A - ângulo oposto ao lado.O

Caso especial (CE). Dois triângulos retângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo

Observação. A posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no dese-nho é muito importante na caracteri-zação do caso de congruência.

L.A.L. - dois lados e o ângulo entre eles.A.L.A. - dois ângulos e o lado entre eles.

01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.

02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu- lo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.

A

B

C

D

03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen-tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.

A

B

C

D

A

B

C

D




Congruência de triângulos.

Jeca 28

A = C = 90º (A) dado do exercícioAD CD (L) dado do exercícioBD BD (L) lado comum

Pelo caso especial (HC), tem-se:DABD DCBD (CQD)

A = C = 90º (A) dado do exercícioADB CDB (A) BD é bissetrizBD BD (L) lado comum

Pelo caso L.A.A , tem-se:O

DABD DCBD AB CB (CQD)

=

AB BC (L) - dado do enunciadoAD CD (L) - dado do enunciadoBD BD (L) - lado comum

Pelo caso L.L.L., tem-se:

D ABD D CBD A C (CQD)

=



geometria plana

50

r

s

OM P

C A

B

D

04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.

A BM

P

mediatriz

M

05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz.

A

B CH

Jeca 29

06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.

07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento AB.



geometria plana

51

r

s

OM P

07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento AB.

C A

B

D

04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.

06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.

A BM

P

mediatriz

M

05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz.

A

B CH

Jeca 29

BC = AC = R (L) raioBMC AMC = 90º (A) perpendicularCM CM (L) lado comum

Pelo caso especial, tem-seDBMC DAMCPortanto BM AM.Então M é ponto médio de AB. (CQD)

AB AC (L) - triângulo isóscelesAH AH (L) - lado comumBHA CHA = 90º (A) - AH é altura

Pelo caso especial, tem-se

D ABH D ACH

a) Se D ABH D ACH, entãoBH CHPortanto H é ponto médioEntão AH é mediana

b) Se D ABH D ACH, entãoBAH CAHPortanto AH é bissetriz

c) Se H é ponto médio e AHB = 90º , então AH é mediatriz de BC.

Observação Ao provar que os triângulos ABH e ACH são congruen-tes, prova-se também que em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. (B C)

AMP BMP (A) - da definição de mediatrizAM MB )L) - da definição de mediatrizMP MP (L) - lado comum

Pelo caso L.A.L., tem-se

D AMP D BMP AP BP (CQD)

A

B

t

Seja t // r (por construção)

OM MP (L) - dado do enunciadoPBM OAM (A) - ângulos alternos internosAMO BMP (A) - ângulos opostos pelo vértice

Pelo caso L.A.A , tem-seO

D OAM D PBMPortanto AM MBEntão M é ponto médio de AB (CQD)



geometria plana

52

A

B C

D

E

08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC são congruentes.

09) (UFMG) Observe a figura:

A

B

P

O

C

R

r

s

q

Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpen-diculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB.

A B

CD

E

F

10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os segmentos DE e FB são congruentes e paralelos entre si.

A B

CD

E

F

G

H

11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.

A B

CD

E

F

12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os segmentos AE e CF são perpendiculares ao segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF são congruentes entre si.

A B

CD

E

13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio da diagonal AC.

Jeca 30



geometria plana

53

A

B C

D

E

08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC são congruentes.

09) (UFMG) Observe a figura:

A

B

P

C

R

r

s

Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpen-diculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB.

A B

CD

E

F

10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os segmentos DE e FB são congruentes e paralelos entre si.

A B

CD

E

F

G

H

11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.

A B

CD

E

F

12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os segmentos AE e CF são perpendiculares ao segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF são congruentes entre si.

A B

CD

E

13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio da diagonal AC.

Jeca 30

Oq

a

b

a

b

AP = PB (L) P é médioAPO = BPO = 90º (A) dado do exercícioPO = PO (L) lado comumPelo caso L.A.L. , tem-seDAPO = DBPO

Analogamente, tem-se DCRO = DBRO

se q = a + b então 2a + 2b = 2q (resp)

AE DE BE ECSe AC = AE + EC DB = DE + EBPode-se concluir queAC BD (L) - conclusão acima apresentadaEBC ECB (A) - o triângulo BEC é isóscelesBC BC (L) - lado comum

Pelo caso L.A.L. , tem-se

D ABC D CBD AB DC (CQD)

AE CF (L) - dado do enunciadoA C (A) - ABCD é um paralelogramoAD BC (L) - ABCD é um paralelogramo

Pelo caso L.A.L. , tem-se D ADE D BCFPortanto DE BF

Se AED CFB , então DEB BFDPortanto DEBF também é um paralelogramoEntão DE é paralelo a BF (CQD)

a

90 - a

a

a

90 - a

HE EF (L) - EFGH é um quadradoAHE BEF (A) - Propriedade dos triângulosAEH BFE (A) - Propriedade dos triângulos

Pelo caso A.L.A. , tem-se

D AHE D BFE

Analogamente, tem-se DAEH D BFE D FCG D GDH

(CQD)

AED CFB = 90º (A) - dado do enunciadoADE CBF (A) - ângulos alternos internosAD BC (L) - ABCD é um retângulo

Pelo caso L.A.A . , tem-seO

D ADE D BCF DE BF (CQD)

AD BC (L) - ABCD é um paralelogramoADB CBD (A) - ângulos alternos internosAED BEC (A) - ângulos opostos pelo vértice


D ADE D BCDPortanto, AE EC , então o ponto E é médio de ACe DE EB , então E o ponto E é médio de DB (CQD)



geometria plana

54

Teorema do ponto exterior.

Dada uma circunferência l e um ponto P, P exterior a l, se A e B são os pontos de tangência das retas tangentes a l por P, então PA = PB.

A

B

Pl

PA = PB

Consequência do Teorema do ponto exterior.

Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferên-cia a soma das medidas dos lados opostos é constante.

l

AB

C

D

AB + CD = AD + BC

14) Prove o Teorema do ponto exterior.A

B

PlA

B C

RS

T

15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-mine a medida do segmento CT.

A

B

Pl

C

D

E

16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên-cia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo que a distância PB mede 17 cm.

18) Determinar a medida da base média de um trapé-zio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada.

A B

CD

AB

CD

17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 eBC = 3x + 1.

19) Determine a medida do raio da circunferência ins-crita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm.

Jeca 31



geometria plana

55

Teorema do ponto exterior.

Dada uma circunferência l e um ponto P, P exterior a l, se A e B são os pontos de tangência das retas tangentes a l por P, então PA = PB.

A

B

Pl

PA = PB

Consequência do Teorema do ponto exterior.

Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferên-cia a soma das medidas dos lados opostos é constante.

l

AB

C

D

AB + CD = AD + BC

14) Prove o Teorema do ponto exterior.A

B

PlA

B C

RS

T

15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-mine a medida do segmento CT.

A

B

Pl

C

D

E

16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên-cia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo que a distância PB mede 17 cm.

18) Determinar a medida da base média de um trapé-zio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada.

A B

CD

AB

CD

17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 eBC = 3x + 1.

19) Determine a medida do raio da circunferência ins-crita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm.

Jeca 31

C

AC = BC = R (L) raioCAP = CBP = 90º (A) tangenteCP = CP (L) lado comum

Pelo caso especial, tem-seDACP = DBCPPortanto PA = PB (CQD)

10

x

14

14 - x

12

x

12 - x

14 - x

Teorema do ponto exterior

14 - x + 12 - x = 102x = 16x = 8 CT = x = 8 (resp)

17 cmx

x

y

yAP = BP = 17AP = AC + CP = DC + CP = 17BP = BE + EP = DE + EP = 17

Per = 2p = DC + CP + DE + EP = 17 + 17 = 34 cm (resp)

Teorema doponto exterior

AB + CD = AD + BC2x + 2 + 4x - 3 = 3x - 2 + 3x + 1

6x - 1 = 6x - 1Para qualquer x real

Analisando a condição de existência4x - 3 = 0Então x > 3/4S = {x | x > 3/4} (resp)R

15

x

15 -

x

x

15 - x

x

15 - x

Teorema do ponto exterior

Base média de trapézio

M N

MN = AB + CD2

x + x + 15 - x + 15 - x=

2

MN =230 = 15 cm (resp)

R

R

R

R15 - R

8 - R17

15 - R

8 - R

Teorema doponto exterior

15 - R + 8 - R = 172R = 6R = 3 cm (resp)



geometria plana

56

A

B

M

C

D

02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento BD.

03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os segmentos AB e CD são congruentes.

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D



Geometria planaCongruência de triângulos.


A B

C

DJeca 32

05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes.

04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.

01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM.



geometria plana

57

01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM.

A

B

M

C

D

02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento BD.

03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os segmentos AB e CD são congruentes.

04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D



Geometria planaCongruência de triângulos.


B

C

D

05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes.

Jeca 32

AM MC (L) M é ponto médioBM MD (L) M é ponto médioAMB CMD (A) OPV


D ABM D CDM (CQD)

AM MC (L) - dado do enunciadoA C (A) - dado do enunciadoAMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice


D ABM D CDM BM MDPortanto M é ponto médio de BD (CQD)

BM MD (L) - dado do enunciadoA C (A) - dado do enunciadoAMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice


D ABM D CDM AB CD (CQD)

AM MC (L) - M é ponto médio de ACBM MD (L) - M é ponto médio de BDAMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice


D ABM D CDM B DSe B e D são ângulos alternos internos, então AB // CD (CQD)

CAB DAB (A) - AB é bissetrizACB ADB (A) - dado do enunciadoAB AB (L) - lado comum


D ABC D ABD AC AD (CQD)

A



geometria plana

58

A

B CD E

F

G

06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.

A

B CD E

07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC também é um triângulo isósceles.

09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é eqüilátero.

A

B C

F

D

E

A

B

C

D

E

08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen-tes.

Jeca 33



geometria plana

59

A

B CD E

F

G

06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.

B CD E

07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC também é um triângulo isósceles.

09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é eqüilátero.

A

B C

F

D

E

A

B

C

D

E

08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen-tes.

Jeca 33

BD = CE do enunciadoPortanto BD + DC = CE + DCBC = ED (L) conclusão acimaAC = FD (L) do enunciadoB = E = 90º (A) da figura

Pelo caso especial, tem-seDABC = DFEDOs ângulos ACB e EDF são congruentesEntão o triângulo DCG é isósceles (CQD)

AD AE (L) - triângulo isóscelesBD CE (L) - dado do enunciadoBDA CEA (A) - o triângulo ADE é isósceles


D ABD D ACE AB ACPortanto o triângulo ABC é isósceles (CQD)

A

DAC BAE BAC DAE (Têm o mesmo incremento DAB)

BAC DAE (A) - Resultado da análise acimaABC ADE (A) - dado do enunciadoAB AD - dado do enunciado


D ABC D ADE (CQD)

Se AF CE BD , então AD CF BE = (AC - AF)

AF BD CE (L) - dado do enunciadoAD CF BE (L) - Resultado da análise acimaA B C = 60º (A) - o triângulo ABC é equilátero


D AFD D CEF D BDE FE ED DFPortanto o triângulo DEF é equilátero (CQD)



geometria plana

60

12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado.

A

B C

D E

13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases.

A B

CD

E F

10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango.

A

B

C

D

M

k k

k k

A B

CD

E

F

G

H

J

K

L

M

11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.

Jeca 34



geometria plana

61

12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado.

A

B C

DE

13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases.

A B

CD

E F

10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango.

A

B

C

D

M

k k

k k

A B

CD

E

F

G

H

J

K

L

M

11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.

Jeca 34

Nos triângulos ABM e ADM, tem-seAB AD (L) losangoAM AM (L) lado comumBM MD (L) o losango é um paralelogramo

Pelo caso L.L.L. , tem-se

D ABM D ADMSe os ângulos BAM e DAM são congruentes, então AM é bissetriz.Se AMB AMD e BMD = 180º, então AMB = AMD = 90º (CQD)

a

90 - a

a

LEJ MEK (A) - propriedade dos triângulosEJ EK (l) - dado do enunciadoEJL EKM = 90º (A) - dado da figura


D EJL D EKM (CQD)

F

Seja FC // ABSejam D, E e F pontos colineares

AE EC (L) - E é ponto médio de ACADE CFE (A) - ângulos alternos internosAED CEF (A) - ângulos opostos pelo vértice

Pelo caso A.L.A . , tem-seO

D ADE D CFE CF AD e DE EF

Mas, AD DB porque D é ponto médio.Então AD BD CFSe CF BD e CF // BD , então BCFD é um paralelogramo.

BC DF e DE EF , entãoDE // BC e DE = BC / 2 (CQD)

G

BF FC (L) - F é ponto médio de BCABF GCF (A) - ângulos alternos internosAFB CFG (A) - ângulos opostos pelo vértice


D ABF D GCF AB CG e AF FC (F é ponto médio de BC).

Então EF é base média do triângulo ADG.Portanto, pela propriedade da base média do triângulo (exercício anterior)tem-seEF // DC // AB e EF AB + DC

2DC + CG

=2

= (CQD)



geometria plana

62


Observação - Dependendo dos dados, um exercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente.


02) L.A.A .O

03) L.L.L.

04) Caso especial

05) É possível provar por vários casos.

06) L.A.L.

07) Demonstração ao lado.

08) L.A.L.

09) Pelo caso L.A.L. prova-se que os triângulosAPO e BPO são congruentes.Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulosBRO e CRO também são congruentes.AOP = BOP = a e COR = BOR = bPortanto AOC = 2q

10) L.A.L.

11) A.L.A.

12) L.A.A .O

13) L.A.A .O

14) Caso especial (Una o ponto P ao centro)

15) 8

16) 34 cm

17) S = { x R x > 3 / 4 }

18) 15 cm

19) 3 cm

r

s

O M P

Resolução

A

B

Seja BP // OA

OM = MP (L) - por hipótese

OMA = PMB (A) - OPV

AOM = BPM (A) - alternos internos

Pelo caso A.L.A., temos

DOAM = DPBM

Portanto AM = MB CQD

07)

A



Jeca


Jeca 36



geometria plana

63


Observação - Dependendo dos dados, um exercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente.

01) LAL

02) ALA

03) LAA O

04) LAL

05) LAA O

06) Caso especial

07) LAL

08) ALA

09) LAL

10) LLL

11) ALA

A

B C

D E

Demonstração do exercício nº 12.

A

B C

D E F

Seja CF // AB (por construção) >DAE FCE (alternos internos)AE CE (E é ponto médio)AED CEF (opostos pelo vértice)

Pelo caso ALA, temos: DADE DCFE CF AD

Mas D é ponto médio de AB CF AD DB

Se BD //CF e BD CF BCFD é um paralelogramo

DF // BC e DF BC

Mas DE EF DE e DE // BC (CQD)

>

>

> >

> = BC2

>

>

Demonstração do exercício nº 13.

A B

CD

E F

A B

D

E

C

F

G

>

A

CD

E F

DG = DC + CG = DC + AB

Pelo teorema demonstrado no exercício 12, temos:

EF // AB // CD e EF

(CQD)

=AB + CD

2

G



Jeca


Jeca 37

AFB CFG (A) (opostos pelo vértice)BF FC (L) (F é ponto médio de BC)BAF CGF (A) (alternos internos)

Pelo caso LAA , temos: DABF DCGF AF FG O

e AB CG

Considerando apenas o triângulo ADG, temos:



geometria plana

64

I) Trapézio. É o quadrilátero que tem dois lados paralelos.

Trapézioretângulo

Trapézioisósceles

Trapézioescaleno

a

b

a a

b b b

a

A altura de um trapézio éa distância entre as retas suporte de suas bases.

h

base menor

base maior

a + b = 180º

II) Paralelogramo. É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

A B

CD

AB // CDe

AD //BC

III) Retângulo. É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguais a 90º.

A B

CD

b

h

b

h

IV) Losango. É o quadrilátero que tem os lados congruentes.

V) Quadrado. É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes (90º).

ab

b

aA

B

C

D

AB // CDe

AD // BC

45º

Propriedades dos quadriláteros notáveis.

1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos respectivos pontos médios.

2) Em todo losango as diagonais são: a) perpendiculares entre si; b) bissetrizes dos ângulos internos.

A B

CD

M

M é ponto médio de ACe

M é ponto médio de BD.

A

B

C

D

x

y

x

y y

y

xx

3) Base média de trapézio. Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média aritmética dessas bases.

4) Base média de triângulo. Em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a metade desse 3º lado.

A B

N

CD

M

base média

MN // AB // CDe

MN AB + CD2

=

A

B C

M N

base média

MN // BCe

MN =BC2




Quadriláteros notáveis.

Jeca 38



geometria plana

65

7 cm

7 cm12 cm

2x

x + 5

2x + 1

k

k

04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos ângulos a, b, c e d.

58º

A

B

C

D

A B

CD

3y

12 cmx - 4

7 cm

01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD.

A B

CD


A B

CD

03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e a medida da diagonal BD.

ab

c

d

08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais.Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:a) triângulo equilátero;b) losango;c) trapézio;d) retângulo;e) quadrado.

A

B

C

D

L

M N

P

A

B

C

D

L

M N

P

05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.

06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.

07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3.

Jeca 39



geometria plana

66

7 cm

7 cm12 cm

2x

x + 5

2x + 1

k

k

04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos ângulos a, b, c e d.

58º

A

B

C

D

A B

CD

3y

12 cmx - 4

7 cm


A B

CD


A B

CD

03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e a medida da diagonal BD.

ab

c

d

08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais.Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:a) triângulo equilátero;b) losango;c) trapézio;d) retângulo;e) quadrado.

A

B

C

D

L

M N

P

A

B

C

D

L

M N

P

05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.

06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.

07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3.

Jeca 39

"Em todo paralelogramo as diagonaiscortam-se nos respectivos pontos médios."2x = 12Portanto x = 6 cm e BD = 24 cm (resp)

x + 5 = 2x + 1

x = 4 (resp)

BD = 2.(x + 5)

BD = 2.(4 + 5)

BD = 18 (resp.)

x - 4 = 7x = 11 cm

3y = 12y = 4 cm

AC = 2 . 7 AC = 14 cm

BD = 2 . 12BD = 24 cm

a + 58 + 90 = 180a = 32ºb = 2a = 64ºc = 90ºd = 2 . 58 = 116º

LP é a base média do triângulo ABDMN é a base média do triângulo BCDPortanto LP = MN = BD/2 = 10/2 = 5 cmLM é a base média do triângulo ABCPN é a base média do triângulo ACDPortanto LM = PN = AC/2 = 6/2 = 3 cm

Per = 2 . 3 + 2 . 5Per = 16 cm(resp)

LP é a base média do triângulo ABD.MN é a base média do triângulo BCD.Portanto LP // MN e LP = MN = BD/2LM é a base média do triângulo ABC.PN é a base média do triângulo ACD.Portanto LM //PN e LM = PN = AC/2Portanto LMNP é um paralelogramo (CQD)

3x

x

x + 3x = 180º - ângulos colaterais internos

4x = 180

x = 180/4

x = 45º (resp)

b) Losango O losango tem todos os lados com medidas iguais mas os seus ângulos internos não necessariamente têm medidas iguais.Portanto, o losango contraria a afirmação acima. (resp)



geometria plana

67

A

B C

D E

09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, determine a medida do pe-rímetro do trapézio BCED.

A

B C

D

E

F

10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos DE, DF e EF.

A

B C

D E

F

11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, determinar o perímetro do qua-drilátero BDEF.

A B

CD

E F

12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede 8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AD e BC, respectiva-mente. Determine a medida da base média EF.

A B

CD

E F

13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente, determinar os perímetros dos trapé-zios ABFE e CDEF.

A B

CD

E F

14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a medida da base menor AB.

A B

CD

E F

G H

15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm.Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as medidas da base menor AB e da base maior CD.

A B

CD

EF G

H

16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-mentos EH, EF, GH e FG.

Jeca 40



geometria plana

68

A

B C

D E

09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, determine a medida do pe-rímetro do trapézio BCED.

A

B C

D

E

F

10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos DE, DF e EF.

A

B C

D E

F

11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, determinar o perímetro do qua-drilátero BDEF.

A B

CD

E F

12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede 8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AD e BC, respectiva-mente. Determine a medida da base média EF.

A B

CD

E F

13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente, determinar os perímetros dos trapé-zios ABFE e CDEF.

A B

CD

E F

14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a medida da base menor AB.

A B

CD

E F

G H

15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm.Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as medidas da base menor AB e da base maior CD.

A B

CD

EF G

H

16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-mentos EH, EF, GH e FG.

Jeca 40

BD = AB / 2 = 8 / 2 = 4 cmEC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 cmDE = BC / 2 = 10 / 2 = 5 cm

2p = 4 + 5 + 6 + 10 = 25 cm (resp)

Base média de triângulo.

DE = AC/2 = 14/2 = 7 cm

DF = BC/2 = 18/2 = 9 cm

EF = AB/2 = 16/2 = 8 cm

(resp)

x/2

x/2

y/2

y/2

x/2

z/2

z/2

z/2

Per = 2p = 2 . (x/2) + 2 . (z/2)

2p = x + z (resp)

8

20 cm

EF // AB // CD

EF

EF = 14 cm (resp)

= AB + CD2

=2

8 + 20

12

18 cm

5

5

12 6

Pitágoras2 2 2

10 = 6 + (AD)AD = 8 cm

EF = (12 + 18)/2 = 15 cm

Per = 12 + 5 + 15 + 4ABFE

Per = 36 cm ABFE

Per = 15 + 5 + 18 + 4EFCD

Per = 42 cm EFCD

4

4

17 cm

22 cm

x

17 =x + 22

2

x + 22 = 34

x = 12 cm

AB = 12 cm (resp)

8 cm

11 cm

x

y

8 = x + 112

16 = x + 11

x = 5 cm

AB = 5 cm (resp)

11 =y + 8

222 = y + 8

y = 14

CD = 14 cm (resp)

12 cm

26 cm

EF e GH são bases médiasdos triângulos ABD e ABC.EF = GH = AB/2 = 12/2EF = GH = 6 cm

EH é base média do trapézioEH = (AB + CD)/2EH = (12 + 26)/2 = 19 cm

FG = EH - EF - GHFG = 19 - 6 - 6FG = 7 cm



geometria plana

69

M

N L

PC

D

E

F

17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter-mine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm.

18) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.

A

B C

D E

F

20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o perímetro do quadrilátero AEFD.

A

B C

DE

F

21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.

A

GE

D

BFC

23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.

A B

CD

22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetri-zes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto.

Jeca 41

19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.b) a medida do perímetro do triângulo BCF.



geometria plana

70

M

N L

PC

D

E

F

17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter-mine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm.

18) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.

A

B C

D E

F

19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.b) a medida do perímetro do triângulo BCF.

20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o perímetro do quadrilátero AEFD.

A

B C

DE

F

21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.

A

GE

D

BFC

23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.

A B

CD

22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetri-zes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto.

Jeca 41

Base média de triângulo.CF = DE = NP/2 = 8/2 = 4 cmCD = EF = ML/2 = 14/2 = 7 cm

2p = 4 + 7 + 4 + 7 = 22 cm (resp)

a

b

b

a

a = 3x - 18

a = 2x + 27

3x - 18 = 2x + 27

x = 45º

Portanto a = 117º

a + b = 180º - ângulos colaterais internos

117 + b = 180

b = 63º

x

y z

2y2z

a) BE e CD são medianas.Portanto F é baricentro.

b) x + y + z = 23

DE é base média.Portanto BC = 2.DE = 2x

Per = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) = 2 . 23 = 46 cm (resp)BCF

Se F é baricentro, então E e D são pontos médios e, BD e CD são medianas.

x/2y/2

z

t

w

y/2x/2

2w

t/2

EF = FC/2 = t/2

Per = x/2 + y/2 + t/2 + w = (x + y + t + 2w)/2 (resp)AEFD

x/2

y/2

z/2

k

x/2z/2

y/2

2k

Se E e G são pontos médios, então EB e CG são medianas. Além disso, EG é a base média do triângulo ABC.

EG = BC/2 = y/2

Per = y/2 + z/2 + 3kGEC

Per = (y + z + 6k)/2 (resp)GEC

D é o baricentro do triângulo ABC.

a

b

a

b

2a + 2b = 180º - ângulos colaterais internosa + b = 90º

a + b + 90 = 180Portanto a + b = 90º (CQD)

h

h

x

y

xy - x

2y - x

2d

d =y - x

2+ x =

y - x + 2x

2

d =y + x

2M N MN é base média

MN = (y + x)/2 = h

= hh

h

a

tg a = h/h = 1

a = 45º (resp)



geometria plana

71



Geometria planaQuadriláteros notáveis.


32º

x

y

A B

CD

03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.

A

B

C

D

q2q

04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre-sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango.

A B

CD

E

F

05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do re-tângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do segmento FC.

06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi-ções.I. Todo quadrado é um losango.II. Todo quadrado é um retângulo.III. Todo retângulo é um paralelogramo.IV. Todo triângulo equilátero é isósceles.

Pode-se afirmar que:a) só uma é verdadeira.b) todas são verdadeiras.c) só uma é falsa.d) duas são verdadeiras e duas são falsas.e) todas são falsas.

Jeca 42

01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º, determine as medidas dos ângulos assinalados.

A

B

C

D

x

y

zt

138º

A B

CD M

E

60º60º

02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm e M é o ponto médio do lado CD. Determine o perímetro de ABCD.



geometria plana

72

F

F é ponto médio de ACNo triangulo ACDAM é medianaDF é medianaE é baricentro

EM = AE/2EM = 5/2Portanto AM = 5 + 5/2 = 15/2 cmSe DAB = 120º, então ADM = 60º - ângulos colaterais internosADM é um triângulo equilátero de lado 15/2 cmPortanto AD = 15/2 e AB = 15

Per = 15/2 + 15 + 15/2 + 15 = 45 cm (resp)ABCD

32º


x = 32 + 32 = 64º

y + x = 180

y = 116º (resp)

3q = 180q = 60ºO triângulo ABD é equiláteroBD = 4 cm AB = BC = CD = AD = 4m

30º

4 cm

x

cos 30º =x4

x = 4 3 /2 = 2 3 cm

AC = 2.d = 4 3 cm

M

9 cm

No triângulo ABC, tem-seBM é mediana.CE é mediana.F é baricentro

CD = CE = 2x + x = 3x = 9x = 3FC = 2x = 2 . 3 = 6 cm(resp)



Geometria planaQuadriláteros notáveis.


32º

x

y

A B

CD

03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.

A

B

C

D

q2q

04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre-sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango.

A B

CD

E

F

05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do re-tângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do segmento FC.

06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi-ções.I. Todo quadrado é um losango. II. Todo quadrado é um retângulo. III. Todo retângulo é um paralelogramo. IV. Todo triângulo equilátero é isósceles.

Pode-se afirmar que:a) só uma é verdadeira.b) todas são verdadeiras.c) só uma é falsa.d) duas são verdadeiras e duas são falsas.e) todas são falsas.

(verdadeira)(verdadeira)

(verdadeira)(verdadeira)

Jeca 42

01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º, determine as medidas dos ângulos assinalados.

A

B

C

D

x

y

zt

138º

"Em todo losango, as diagonais são:a) perpendiculares entre si.b) bissetrizes dos ângulos internos."

y = 138/2 = 69ºt = 90ºx + t + y = 180ºx + 90 + 69 = 180x = 21ºz = 2x = 42º

A B

CD M

E

60º60º

02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm e M é o ponto médio do lado CD. Determine o perímetro de ABCD.

q

q

x

2x

Todas são verdadeiras (resp. b)



geometria plana

73

07) (PUC-SP) Sendo:A = {x / x é quadrilátero}B = {x / x é quadrado}C = {x / x é retângulo}D = {x / x é losango}E = {x / x é trapézio}F = {x / x é paralelogramo}

Então vale a relação:

a) A D Eb) A F D Bc) F D Ad) A F B Ce) B D A E

08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo.c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um para-lelogramo são paralelas entre si.d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um tri-ângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes.e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.

E

A

BC

DF

G

H I

09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo e-quilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, períme-tro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perí-metro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:

a) 48 mb) 49 mc) 50 md) 51 me) 52 m

10) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.

11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de-compõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados ?

12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadriláte-ro são suplementares.II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um para-lelogramo são suplementares.III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpen-diculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango.

a) Todas são verdadeiras.b) Apenas I e II são verdadeiras.c) Apenas II e III são verdadeiras.d) Apenas II é verdadeira.e) Apenas III é verdadeira.

Jeca 43



geometria plana

74

07) (PUC-SP) Sendo:A = {x / x é quadrilátero}B = {x / x é quadrado}C = {x / x é retângulo}D = {x / x é losango}E = {x / x é trapézio}F = {x / x é paralelogramo}

Então vale a relação:

a) A D Eb) A F D Bc) F D Ad) A F B Ce) B D A E

08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo.c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um para-lelogramo são paralelas entre si.d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um tri-ângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes.e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.

E

A

BC

DF

G

H I

09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo e-quilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, períme-tro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perí-metro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:

a) 48 mb) 49 mc) 50 md) 51 me) 52 m

10) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.

11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de-compõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados ?

12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadriláte-ro são suplementares. II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um para-lelogramo são suplementares. III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpen-diculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango.

a) Todas são verdadeiras.b) Apenas I e II são verdadeiras.c) Apenas II e III são verdadeiras.d) Apenas II é verdadeira.e) Apenas III é verdadeira.

(Falsa)

(Verdadeira)

(Verdadeira)

Jeca 43

A

B

C

D

E

F

Resp b)

a) V b) V c) V d) V e) Falsa

8 8

86

6

6

3

3

9

3

AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA =

6 + 6 + 3 + 8 + 8 + 1 + 3 + 9 + 6 = 50 cm (resp c)

1

180 - x

x

180 - x - x = 52

2x = 180 - 52 = 128

x = 64º

x = 64º

180 - x = 116º (resp)

A

B

C

D

130º

65º 65º

x

As medidas dos três ângulos

são:65º , 65º e 50º (resp)

x + 65 + 65 = 180

x = 50º

Resposta c



geometria plana

75

13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases dife-rentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângu-lo adjacente à base maior. Isso significa que:

a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos.b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes.c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos.d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio.e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto.

14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º.a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D, calcule a + b + g + q.b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.c) Calcule a medida do ângulo MJN.

A

D C

B

A

B C

D E

FG H

I

15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é ponto médio de CE. Determine as medidas dos segmentos FG e GH.

16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale:a) 22 cmb) 5,5 cmc) 8,5 cmd) 11 cme) 12 cm

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine AF e EJ em função de x e de y.

A

B C

D E

F

18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-termine a medida do segmento EF.

Jeca 44



geometria plana

76

13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases dife-rentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângu-lo adjacente à base maior. Isso significa que:

a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos.b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes.c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos.d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio.e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto.

14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º.a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D, calcule a + b + g + q.b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.c) Calcule a medida do ângulo MJN.

A

DC

B

A

B C

D E

FG H

I

15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é ponto médio de CE. Determine as medidas dos segmentos FG e GH.

16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale:a) 22 cmb) 5,5 cmc) 8,5 cmd) 11 cme) 12 cm

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine AF e EJ em função de x e de y.

A

B C

D E

F

18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-termine a medida do segmento EF.

Jeca 44

aa

a

resp a) 2 2

60º

J

M N

a) a + b + g + q = 360º

b) JM é base média do triângulo ACD.Portanto JM = AD/2 = 2/2 = 1 JN é base média dotriângulo BCD.Portanto JN = 2/2 = 1

c) JM // AD JN // BCEntão MJN = 60º (resp)

24 cm

x y

w

DE é base média do triângulo ABC DE = w = 24/2 = 12 cmFG é base média do triângulo BDE FG = x = 12/2 = 6 cmFH é base média do triângulo BCD FH = x + y = 12 cmx + y = 126 + y = 12y = GH = 6 cm (resp)

A

B

C

D

R

S T

U

RU é a base média do triângulo ABDST é a base média do triângulo BCDPortanto RU = ST = BD/2 = 6/2 = 3 cmRS é a base média do triângulo ABCTU é a base média do triângulo ACDPortanto RS = TU = AC/2 = 5/2 cm

Per = 2 . 3 + 2 . 5/2Per = 11 cm(resp)

x

y

k

n

w

Base média de trapézio.

w =x + y

2

y w + n=

2n 2y - w = 2y -

x + y2

=4y - x - y

2

n 3y -x=

2EJ =

=

x w + k=

2k 2x - w = 2x -

x + y2

=4x - x - y

2=

n 3x - y=

2AF =

R

R

R

AE = EC = EB = R = 12

Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semicircunferência.

BE é uma mediana.CD é uma mediana.Portanto F é o baricen-tro do triângulo ABC.

BE = 12 cmMas, BF = 2.EF 3 . EF = 12 EF = 4 cm (resp)



geometria plana

77


01) 6 cm e 24 cm

02) 4 e 18

03) 11 cm, 4 cm, 14 cm e 24 cm

04) 32º, 64º, 90º e 116º

05) 16 cm

06) Propriedade da base média do triângulo.BD // LP // MN e AC // LM // PNPortanto LMNP é um paralelogramo.

07) 45º

08) b

09) 25 cm

10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm

11) x + z

12) 14 cm

13) 36 cm e 42 cm

14) 12 cm

15) 5 cm e 14 cm

16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm

17) 22 cm

18) 117º e 63º

19) Baricentro e 46 cm

20) (x + y + 2w + t) / 2

21) (y + z + 6k) / 2 e baricentro

22) 2a + 2b = 180 (alternos internos)Portanto a + b = 90º

23) 45º



Jeca


Jeca 46



geometria plana

78


01) x = 21º, y = 69º, z = 42º, t = 90º

02) 45 cm

03) x = 64º, y = 116º

04) AC = 4 3 cm, AB = 4 cm

05) 6 cm

06) b

07) b

08) e

09) c

10) 64º e 116º

11) 50º, 65º e 65º

12) c

13) a

14) a) 360º b) 1 e 1 c) 60º

15) FG = 6 cm e GH = 6 cm

16) d

17) AF EJ

18) 4cm

=3x - y

2=

3y - x2



Jeca


Jeca 47



geometria plana

79

I) Polígonos convexos.

i

e

d

d - diagonali - ângulo internoe - ângulo externo

Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).

3 lados - triângulo 4 lados - quadrilátero 5 lados - pentágono 6 lados - hexágono 7 lados - heptágono 8 lados - octógono 9 lados - eneágono10 lados - decágono

11 lados - undecágono12 lados - dodecágono13 lados - tridecágono14 lados - quadridecágono15 lados - pentadecágono16 lados - hexadecágono17 lados - heptadecágono18 lados - octodecágono19 lados - eneadecágono20 lados - icoságonoi + e = 180º

II) Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo.

(S )i

III) Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo.

(S )e

IV) Número de diagonais de um polí-gono convexo. (d)

i1i2

i3

i4

in

S = i + i + i + ... + ii 1 2 3 n

S = 180 (n - 2)i

n - nº de lados do polígono

e1

e2

e3

e4

en

S = e + e + e + ... + ee 1 2 3 n

S = 360ºe

Para qualquer polígono convexo

Diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos.

d n (n - 3)2

=

vértice

lado

V) Polígono regular.

e

e

e

e

e

i

i

i

ii

a

Um polígono é regular se tem:a) todos os lados congruentes entre si;b) todos os ângulos internos congruentes entre si;c) todos os ângulos externos congruentes entre si.

3 lados - triângulo equilátero4 lados - quadrado5 lados - pentágono regular6 lados - hexágono regular etc

Classificação dos polígonos regulares

Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.

Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.

i =Si

n >180 (n - 2)

i = n

e =Se

n >360e = n

(importante)

Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência.

ângulocentral

C




Polígonos convexos.

Jeca 48

d = n - 31

Nº de diagonais que chegam em um vértice.



geometria plana

80

I) Polígonos convexos.

i

e

d

d - diagonali - ângulo internoe - ângulo externo

Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).

3 lados - triângulo 4 lados - quadrilátero 5 lados - pentágono 6 lados - hexágono 7 lados - heptágono 8 lados - octógono 9 lados - eneágono10 lados - decágono

11 lados - undecágono12 lados - dodecágono13 lados - tridecágono14 lados - quadridecágono15 lados - pentadecágono16 lados - hexadecágono17 lados - heptadecágono18 lados - octodecágono19 lados - eneadecágono20 lados - icoságono

i + e = 180º

II) Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo.

(S )i

III) Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo.

(S )e

IV) Número de diagonais de um polí-gono convexo.

(d)

i1i2

i3

i4

in

S = i + i + i + ... + ii 1 2 3 n

S = 180 (n - 2)i


e1

e2

e3

e4

en

S = e + e + e + ... + ee 1 2 3 n

S = 360ºe

Para qualquer polígono convexo

Diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos.

d n (n - 3)2

=


vértice

lado

V) Polígono regular.

e

e

e

e

e

i

i

i

ii

a






i =Si

n >180 (n - 2)

i = n

e =Se

n >360e = n

(importante)


ângulocentral

C




Polígonos convexos.

Jeca 48

Importante. Se um polígono convexo tem n lados , então ele tem n vértices, n ângulos internos e n ângulos externos.

Nº de diagonais que partem de 1 vértice (d )1

d = n - 31



geometria plana

81

01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos e o número de diagonais de um pentadecágono convexo.

02) Determinar a soma das medidas dos ângulos exter-nos e o número de diagonais de um octodecágono convexo.

03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo de um eneágono regular.

04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº de diagonais de um octógono regular.

05) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.

06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar cuja medida de cada ângulo externo é 30º.

07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno excede a medida do ângulo externo em 132º.

08) Determinar a medida do ângulo externo de um polígono regular que tem 14 diagonais.

Jeca 49



geometria plana

82

01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos e o número de diagonais de um pentadecágono convexo.

02) Determinar a soma das medidas dos ângulos exter-nos e o número de diagonais de um octodecágono convexo.

03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo de um eneágono regular.

04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº de diagonais de um octógono regular.

05) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.

06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar cuja medida de cada ângulo externo é 30º.

07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno excede a medida do ângulo externo em 132º.

08) Determinar a medida do ângulo externo de um polígono regular que tem 14 diagonais.

Jeca 49

Pentadecágono (n = 15 lados)

S = 180(n - 2) = 180(15 - 2) = 2 340º (resp)i

d = n(n - 3) / 2 = 15(15 - 3) / 2 = 90 diagonais (resp)

octodecágono - 18 lados

S = 360º (resp)e

d = n(n - 3)/2d = 18(18 - 3)/2 = 135 diagonais. (resp)

eneágono - 9 lados

e = 360/n = 360/9 = 40º (resp)

i + e = 180ºi + 40 = 180i = 140º (resp)

octógono - 8 lados

e = 360/n = 360/8 = 45º

i + e = 180ºi + 45 = 180i = 135º (resp)

d = n(n - 3)/2 = 8(8 - 3)/2d = 20 diagonais (resp)

e = 360/n30 = 360/nn = 12 lados (dodecágono)

d = n(n - 3)/2d = 12(12 - 3)/2d = 54 diagonais (resp)

d = n(n - 3)/265 = n(n - 3)/2

2130 = n - 3n

2n - 3n - 130 = 0Raízesn = 13n = -10 (não convém)

Para n = 13 (tridecágono)S = 180(n - 2) = 180(13 - 2)i

S = 1 980º (resp)i

i - e = 132ºi + e = 180º

2i = 312

i = 156º e = 180 - 156 = 24º

e = 360/n

24 = 360/n n = 15 lados (pentadecágono)

d = n(n - 3)/2

d = 15(15 - 3)/2 = 90 diagonais

d = n(n - 3)/214 = n(n - 3)/2

228 = n - 3n2n - 3n - 28 = 0

Raízesn = 7 (heptágono)n = -4 (não convém)

Para n = 7 ladose = 360/n = 360º/7 (resp)



geometria plana

83

09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. Determine quais são os polígonos A e B.

10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença das medidas de seus ângulos externos é 16º. Deter-mine quais são esses polígonos.

11) Determine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono regular ABC.... KL.

12) Determine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecágono regular ABC...KL.

Jeca 50



geometria plana

84

09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. Determine quais são os polígonos A e B.

10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença das medidas de seus ângulos externos é 16º. Deter-mine quais são esses polígonos.

11) Determine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono regular ABC.... KL.

12) Determine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecágono regular ABC...KL.

Jeca 50

AnA

dA

BnB

dB

n = n + 4B A

d = d + 30B A

d - d = 30B A

n (n - 3)/2 - n (n - 3)/2 = 30B B A A

(n + 4)(n + 4 - 3) - n (n - 3) = 60A A A A

8.n = 56A

n = 7 lados (heptágono)A

n = 7 + 4 = 11 lados (undecágono) (resp)B

AnA

eA

BnB

eB

n = n + 6B A

e - e = 16 A B

Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior ângulo externo. (e - e > 0)A B

e - e A B = nA n + 6A

360-360= 16

n (n + 6)A A

360(n + 6) - 360.nA A= 16

360(n + 6) - 360.n = 16n (n + 6)A A A A

2360n + 2 160 - 360n = 16n + 96nA A A A

2n + 6n - 135 = 0A A

Raízesn = 9 lados (eneágono)A

n = -15 lados (não convém)A

Polígono A - eneágonopolígono B - (9 + 6 = 15) - pentadecágono (resp)

A

B

C

D

E

F

e

i = 150º

e - ângulo externoi - ângulo interno

e = 360/n = 360/12 = 30ºPortanto i = 180 - e = 180 - 30 = 150º

ABCDEF é um hexágono irregular

S = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 180 . 4 = 720ºi

Mas, S = 4 . 150 + 2xi

720 = 600 + 2xx = 60º (resp)

x

x

150º

150º

150º

A

B

C

D

E

F


150º

150º

150º

G

e

e = 360/n = 360/12 = 30ºi = 180 - e = 180 - 30 = 150º

ABC é um triângulox + x + 150 = 180 x = 15º

DEFG é um quadriláteroy + y + 150 + 150 = 360 y = 30º

a = x + 30 = 45ºb = y + 30 = 60ºa + b + q = 180q = 75º (resp)

e = 30º

e = 30º

x

y

x y

ab

q



geometria plana

85

q

13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruen-tes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figu-ra. Nestas condições, o ângulo q mede:

a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º

14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polí-gono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O nº de lados desse polígono é:

a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a:

a) a/4 b) a/2 c) a d) 2a e) 3a

A

B

C

D

M

N

a

16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. A medida, em graus, de cada vértice da estrela é:

a)

b)

c)

d)

e)

360ºn

(n - 4) . 180ºn

(n - 2) . 180ºn

180º _ 90ºn

180ºn

Jeca 51



geometria plana

86

q

13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruen-tes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figu-ra. Nestas condições, o ângulo q mede:

a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º

14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polí-gono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O nº de lados desse polígono é:

a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a:

a) a/4 b) a/2 c) a d) 2a e) 3a

A

B

C

D

M

N

a

16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. A medida, em graus, de cada vértice da estrela é:

a)

b)

c)

d)

e)

360ºn

(n - 4) . 180ºn

(n - 2) . 180ºn

180º _ 90ºn

180ºn

Jeca 51

q

e = 360 / 5 = 72º

e = 72ºi = 108º

108º

108º108º

q = 360 - 3 . 108 =

= 360 - 324 = 36º (resp)

130º

130º 128º

128º

128º

52º

52º

52º

50º

50º

Se dois ângulos internos medem 130º, então dois ângulosexternos medem 50ºSe os demais ângulos internos medem 128º, então os demaisângulos externos medem 52º

A soma das medidas dos ângulos externos é 360º.

2 . 50 + x . 52 = 360x . 52 = 360 - 100 = 260x = 260/52 = 5

2 ângulos externos de 50º5 ângulos externos de 52ºtotal - 7 ângulos externos n = 7 lados (resp b)

x

x

yy

x + y = 180 - a

A + B + C + D = 360º

A + D = 360 - 2x - 2y

A + D = 360 - 2(x + y)

A + D = 360 - 2(180 - a)

A + D = 360 - 360 + 2a

A + D = 2a (resp d)

xe

e

e - ângulo externo do polígono.x - vértice da estrela.

e = 360/n

e + e + x = 180º2 . 360/n + x = 180x = 180 - 720/n = (180n - 720)/n = 180(n - 4)/n (resp b)

Polígono



geometria plana

87

01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:

a) a soma das medidas dos ângulos internos.

b) a soma das medidas dos ângulos externos.

c) o número de diagonais desse polí-gono.

03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º.

04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.

02) Dado um undecágono convexo, determinar:






Geometria planaPolígonos convexos.


Jeca 52



geometria plana

88

01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:




03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º.

04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.

02) Dado um undecágono convexo, determinar:






Geometria planaPolígonos convexos.


Jeca 52

S = 180(n - 2) = 180(17 - 2) = 2 700ºiS = 360ºe

d = n(n - 3)/2d = 17(17 - 3)/2d = 119 diagonais

S = 180(n - 2) = 180(11 - 2) = 1 620ºiS = 360ºe

d = n(n - 3)/2d = 1(11 - 3)/2d = 44 diagonais

S = 180(n - 2)i

2 160 = 180(n - 2)

n - 2 = 2 160/180

n - 2 = 12

n = 14 lados (resp)

d = n(n - 3)/2

d = 14(14 - 3)/2

d = 77 diagonais (resp)

d = n(n - 3)/2

44 = n(n - 3)/2

2n - 3n - 88 = 0

Raízesn = 11 lados (undecágono)n = -8 (não convém)

S = 180(n - 2)i

S = 180(11 - 2)i

S = 1 620º (resp)i



geometria plana

89

05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B

C

E D

06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B.

07) Dado um eneágono regular, determinar :

a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos.

c) a medida de cada ângulo interno.

d) a soma das medidas dos ângulos externos.

e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo-no.

08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno.

Jeca 53



geometria plana

90

05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B

C

E

D

06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B.

07) Dado um eneágono regular, determinar :

a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos.



e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo-no.

08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno.

Jeca 53

A + E = 180º (ângulos colaterais internos)

ABCDE é um pentágono, portanto S = 180(n - 2) = 180(5 - 2) = 540ºi

E + A + B + C + D = 540180 + B + C + D = 540B + C + D = 540 - 180 = 360º (resp)

AnA

dA

BnB

dB

n = n + 2A B

d = d + 23A B

d - d = 23A B

(n + 2)(n + 2 - 3)/2 - n (n - 3)/2 = 23B B B B

(n + 2)(n - 1) - n (n - 3) = 46B B B B

4.n = 48B

n = 12 lados (dodecágono)B

n = 12 + 2 = 14 lados (quadridecágono) (resp)A

n = 9 ladosS = 180(n - 2iS = 180(9 - 2)iS = 1 260ºi

i = S /nii = 1 260/9i = 140º

S = 360ºe

e = 360/ne = 360/9e = 40º

d = n(n - 3)/2d = 9(9 - 3)/2d = 27 diagonais

e = 2.i / 7i + e = 180º

e = 2.i / 7 i = 7.e / 2

e + 7.e / 2 = 180

2e + 7e = 360

9e = 360

e = 40º

e = 360/n

40 = 360/n

n = 360/40 = 9

n = 9 lados (eneágono) (resp)



geometria plana

91

09) Dado um pentadecágono regular, determinar :

a) o número de lados do pentadecá-gono.

b) a soma das medidas dos ângulos internos.



e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do penta-decágono.

10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.

11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC.

12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE.

A

BC

D

E

F

G

HI

J

K

LO

Jeca 54



geometria plana

92

09) Dado um pentadecágono regular, determinar :

a) o número de lados do pentadecá-gono.

b) a soma das medidas dos ângulos internos.



e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do penta-decágono.

10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.

11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC.

12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE.

A

BC

D

E

F

G

HI

J

K

LO

Jeca 54

n = 15 lados S = 180(n - 2iS = 180(15 - 2)iS = 2 340ºi

i = S /nii = 2 340/15i = 156º

S = 360ºe

e = 360/ne = 360/15e = 24º

d = n(n - 3)/2d = 15(15 - 3)/2d = 90 diagonais

AnA

eA

BnB

eB

n = n + 3A B

e - e = 6 B A

Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior ângulo externo. (e - e > 0)B A

e - e B A = nB n + 3B

360-360= 6

n (n + 3)B B

360(n + 3) - 360.nB B = 6

360(n + 3) - 360.n = 6n (n + 3)B B B B

2360n + 1 080 - 360n = 6n + 18nB B B B

2n + 3n - 180 = 0B B

Raízesn = 12 lados (dodecágono)B

n = -15 lados (não convém)B

Polígono A - (12 + 3 = 15 lados) - pentadecágonopolígono B - dodecágono (resp)

A

B

C

D

E

e

i

x

e - ângulo externoi - ângulo internoe = 360/n = 360/10 = 36ºi + e = 180ºi = 180 - 36 = 144º

x + x + i = 2x + 144 = 1802x = 36x = 18º (resp)

x

i e


e = 360/n = 360/12 = 30ºi + e = 180i + 30 = 180i = 150º

y y

x

ABCDEO é umhexágono irregular

S = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 720ºi

y = i/2 = 150/2 = 75º

720 = 2y + 3 . 150 + x720 = 2 . 75 + 3 . 150 + xx = 720 - 600 = 120º (resp)



geometria plana

93

13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :

A

B

C

D

EG

H

I

J

O

b) a medida de cada ângulo externo.

d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e DE.

f) a medida do ângulo agudo forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e EF.

g) a medida do ângulo agudo forma-do entre as diagonais BI e AG.

h) a medida do ângulo EOG.

a) a soma das medidas dos ângulos externos do decágono.

c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono.

F

i) a medida do ângulo EBC.

Jeca 55



geometria plana

94

13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :

A

B

C

D

EG

H

I

J

O

b) a medida de cada ângulo externo.

d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e DE.

f) a medida do ângulo agudo forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e EF.

g) a medida do ângulo agudo forma-do entre as diagonais BI e AG.

h) a medida do ângulo EOG.

a) a soma das medidas dos ângulos externos do decágono.

c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono.

F

i) a medida do ângulo EBC.

Jeca 55

S = 360ºe

x

e

e

e = 360/n = 360/10e = 36º S = 180(n - 2)i

S = 180(10 - 2)iS = 1440ºi

i = S /ni i = 1440/10i = 144º x + e + e = 180

x + 2e = 180x + 2 . 36 = 180x = 108º

y

z

z

2z = e = 36z = 18º

z + e + y + z + e = 18018 + 36 + y + 18 + 36 = 180

y = 72º

w

144º

144º

36º

108º

36º

54º

54º 90º

90º

w + 90 + 36 = 180w = 54º

k k

k = 360/n = 360/10 = 36ºEOG = 2k = 2 . 36EOG = 72º

72º36º

EBC = 36º



geometria plana

95

14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.

x

y

105º

88º

93º

15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados, n > 3, o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice A é dado por:

a) 5n - 4

2c) n - 5n + 6

2

2b) n - 11n

d) n(n-3)

22

e) 2n - 4

16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo externo então:a) x = 18º b) 30º < x < 35º c) x = 45º d) x < 27º e) 40º < x < 45º

A

C

D

E

F

GH

18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH.

B

G

H

19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE.

A

B

C

D

EF

I

X

17) Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine a polígono com maior número de diagonais.

Jeca 56



geometria plana

96

14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.

x

y

105º

88º

93º

15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados, n > 3, o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice A é dado por:

a) 5n - 4

2c) n - 5n + 6

2

2b) n - 11n

d) n(n-3)

22

e) 2n - 4

16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo externo então:a) x = 18º b) 30º < x < 35º c) x = 45º d) x < 27º e) 40º < x < 45º

A

C

D

E

F

GH

18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH.

B

G

H

19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE.

A

B

C

D

EF

I

X

17) Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine a polígono com maior número de diagonais.

Jeca 56

a

b

a + b + 93 + 88 + 105 = 540 (pentágono)

a + b = 540 - 286 = 254

c + d = 254 - 180 = 74

x + y = c + d = 74º (resp)

cd

c + d = x + y

Se um polígono tem n lados, então tem n vértices. O número de diagonais quepassam num vértice é n - 3. O número total de diagonais de um polígono é dado por

d = n(n - 3)/2

Excluindo-se as que passam pelo vértice A, tem-se

d' =n(n - 3)

2- (n - 3)

d' =2

n(n - 3) - 2(n - 3)=

2n - 3n - 2n + 6

2

d' =2

2n - 5n + 6 (resp c)

polígono A - n ladospolígono B - n + 1 ladospolígono C - n + 2 lados

d =n(n - 3)

2

nº de diagonaisde um polígono

Total de diagonais = 28

28 =n(n - 3)

2

(n + 1)(n + 1 - 3) (n + 2)(n + 2 - 3)+2

+2

28 =n(n - 3)

2+ (n + 1)(n - 2) + (n + 2)(n - 1)

2n - n - 20 = 0

Raízesn = -4 (não convém)n = 5polígono A - 5 ladospolígono B - 6 ladospolígono C - 7 lados (heptágono) - tem o maior número de diagonais. (resp)

S = 180(n - 2)i

1 620 = 180(n - 2)n - 2 = 1 620/180 = 9n = 11

e = 360/ne = 360/11 = 32,73º

x = e = 32,73º Portanto 30º < x < 35º (resp b)

x

y

e60º i

e = 360/n = 360/5 = 72ºi + e = 180i + 72 = 180i = 108º

y + 60 + e = 180y + 60 + 72 = 180y = 48º

y + i + x = 18048 + 108 + x = 180x = 24º

i = 108º

ey

ei

e = 360/n = 360/9 = 40ºi = 180 - e = 180 - 40 = 140ºy + y + 140 = 180y = 20ºx + (y + e) + (y + e) = x + 2y + 2e = 180x + 40 + 80 = 180x = 60º (resp)

140º

y



geometria plana

97

21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede:

a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º

22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono, é dado por:

a) 2n(n - 2)

b) 2n(n - 1)

c) 2n(n - 3)

d)

e) n.d.a.

n(n - 5)2

23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono con-vexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2. De-termine o número de lados do polígono.

Jeca 57

20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângu-lo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do he-xágono.

a

a a

a

a

B

C

DE

F

23

15

13

20

a

A



geometria plana

98

21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede:

a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º

22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono, é dado por:

a) 2n(n - 2)

b) 2n(n - 1)

c) 2n(n - 3)

d)

e) n.d.a.

n(n - 5)2

23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono con-vexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2. De-termine o número de lados do polígono.

Jeca 57

20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângu-lo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do he-xágono.

a

a a

a

a

B

C

DE

F

23

15

13

20

a

A

S = 180(n - 2)iS = 180(6 - 2) = 720ºi

i = 720 / 6 = 120º

B

C

DE

F

23

15

13

20

A

120º 120º

120º

120º120º

120º

60º

60º

60º

13

13

xx

y

A figura acima é um paralelogramo

20 + 13 = 23 + x x = 10

x + y = 15 + 1310 + y = 28y = 18

Per = 2p = 20 + 13 + 15 + 23 + 10 + 18 = 99 cm (resp)

x

A

B

C

Da

b

a

b

xy

A + B + C + D = 360ºA + B = 190ºPortantoC + D = 360 - 190 = 170ºMas C + D = 2a + 2b = 170ºEntão a + b = 85º

y é ângulo externoy = a + b = 85º

x = 180 - y = 180 - 85 = 95º

O maior ângulo é x

x = 95º (resp d)

d =n(n - 3)

2

nº de diagonaisde um polígono

Se o polígono tem 2n lados, a fórmula passa a ser

d =2n(2n - 3)

2

Mas a diagonal que passa pelo centro está sendo excluída

Então a fórmula passa a ser

Simplificando, tem-se

d =2n(2n - 4)

2

d = n(2n - 4)

d = 2n(n - 2) (resp a)

Se o menor ângulo interno mede 139º, então o maior ânguloexterno mede 180 - 139 = 41º

Os ângulos externos formam uma PA (41º, 39º, 37º, ... )

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360º.

Soma dos n primeiros termos de uma PA S n =a + a1 n

2n( ) .

Fórmula do termo geral de uma PA a = a + (n - 1) . rn 1

a = 41 + (n - 1).(-2) = 43 - 2nn

Sn = (41 + 43 - 2n) . n / 2

360 = (41 + 43 - 2n) . n / 22

n - 42n + 360 = 0

Raízesn = 30 (não convém pois o 30º ângulo será menor que 0º)n = 12

Se esse polígono tem 12 ângulos externos, então ele tem 12 lados. (resp)

Conferindo41 + 39 + 37 + 35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25 + 23 + 21 + 19 = 360



geometria plana

99


01) 2340º e 90 diagonais


03) 140º e 40º


05) 1980º

06) 54 diagonais

07) 90 diagonais

08) 360º / 7

09) Heptágono e undecágono

10) Eneágono e pentadecágono

11) 60º

12) 75º

13) d

14) b

15) d

16) b



Jeca


Jeca 58



geometria plana

100


01) a) 2700º b) 360º c) 119

02) a) 1620º b) 360º c) 44

03) 14 lados e 77 diagonais

04) 1620º

05) 360º

06) Quadridecágono e dodecágono

07) a) 9 b) 1260º c) 140º d) 360º e) 40º f) 27

08) Eneágono

09) a) 15 b) 2340º c) 156º d) 360º e) 24º f) 90

10) Pentadecágono e dodecágono

11) 18º

12) 120º

13) a) 360º b) 36º c) 1440º d) 144º e) 108º f) 72º g) 54º h) 72º i) 36º

14) 74º

15) c

16) b

17) heptágono

18) 24º e 48º

19) 60º

20) 99 cm

21) d

22) a

23) 12



Jeca


Jeca 59



geometria plana

101

I) Elementos da circunferência.

A

B

C

D

r

r

ra

P

C - centro da circunferênciaAC = r - raio da circunferênciaAB = 2r - diâmetro da circunferênciaACD = a - ângulo centralAPD - arco da circunferênciaAD - corda da circunferência

II) Posições relativas entre ponto e circunferência.

III) Posições relativas entre reta e circunferência.

reta tangente

reta secante

reta exterior

ponto de tangênciaA

B

D

C

A - pontoexterior

B - ponto dacircunferência

D - pontointerior

C - centro dacircunferência

IV) Propriedades da circunferência.

1) Em toda circunferência, a medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.

2) Em toda circunferência, o raio é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência.

3) Em toda circunferência, o raio, quando perpendicular à corda, divi-de essa corda ao meio.

C

A

P

B

a

APB = a

C C

A

B

M

AM = MB

V) Ângulos na circunferência.

a) Ângulo inscrito na circunferência. b) Ângulo de segmento.

É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circun-ferência e os dois lados secantes a essa circunferência.Propriedade - O ângulo inscrito vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente.

É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunfe-rência, um lado secante e um lado tangente a essa circunferência. Propriedade - O ângulo de segmento vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente.

b

a

vértice

a - ângulo central

b - ângulo inscrito

b =a2

b

avértice

seca

nte

tangente

a - ângulo central

b - ângulo de segmento

b =a2




Ângulos na circunferência.

Jeca 60



geometria plana

102

IV) Consequências do ângulo inscrito.

1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.

2) Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa.

3) Todos os ângulos de uma circun-ferência inscritos no mesmo arco são congruentes.

4) Em todo quadrilátero inscrito nu-ma circunferência os ângulos inter-nos opostos são suplementares.

5) Ângulo excêntrico de vértice interno.

6) Ângulo excêntrico de vértice externo.

hipotenusae diâmetro

ânguloinscrito

hipotenusa

medianarelativa à

hipotenusa

RR

R

b

b

bb

arco demedida

2b

a

bg

q

a + b = 180ºe

g + q = 180º

C

ab

x

x =a + b

2x =

a - b2

xa b

vértice

vértice

Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

O

O O

O OO

x118º

41º

x

x

46º

39ºx

x

O x62º

O

x

62º

104º

x O

x

87º

Jeca 61



geometria plana

103

IV) Consequências do ângulo inscrito.

1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.

2) Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa.

3) Todos os ângulos de uma circun-ferência inscritos no mesmo arco são congruentes.

4) Em todo quadrilátero inscrito nu-ma circunferência os ângulos inter-nos opostos são suplementares.

5) Ângulo excêntrico de vértice interno.

6) Ângulo excêntrico de vértice externo.

hipotenusae diâmetro

ânguloinscrito

hipotenusa

medianarelativa à

hipotenusa

RR

R

b

b

bb

arco demedida

2b

a

bg

q

a + b = 180ºe

g + q = 180º

C

ab

x

x =a + b

2x =

a - b2

xa b

vértice

vértice

Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

O

O O

O OO

x118º

41º

x

x

46º

39ºx

x

O x62º

O

x

62º

104º

x O

x

87º

Jeca 61

x = 118/2x = 59º

x/2 = 41x = 82º x/2 = 46

x = 92º

x = 39º x = 180/2x = 90º

x + 90 + 62 = 180x = 28º

124º

56º

x = 56/2x = 28º

x + 104 = 180x = 76º

y

x + y = 180y + 87 = 180x = 87º



geometria plana

104

A

B

C

O124º

x

D

x

3x

x55º

x

35º

02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.

O O

O O

a) b) c)

d) f)

g) h) Tente fazer por outro método. i)

j) k) l)

m) n) o)

52ºx

O O

OO

O

O OO

37ºx

O

37ºx

x

88º

56º

x33º

87º

x

118º

34º

142º

34º

x

146º

x

x 54ºta

ngente

165º

77º

x

Jeca 62

e)

34º52º x

O

tangente

(GeoJeca)



geometria plana

105

A

B

C

O124º

x

D

x

3x

x55º

x

35º


O O

O O

a) b) c)

d) f)

g) h) Tente fazer por outro método. i)

j) k) l)

m) n) o)

52ºx

O O

OO

O

O OO

37ºx

O

37ºx

x

88º

56º

x33º

87º

x

118º

34º

142º

34º

x

146º

x

x 54ºta

ngente

165º

77º

x

Jeca 62

124º56º x = 56/2

x = 28º

3x

6x

3x + x + 90 = 180x = 90/4x = 22,5º

35º

55º

35º

35 + x + 35 = 90x = 20º

R

R37º

y

y + 37 + 37 = 180y = 106º

x = y/2x = 106/2x = 53º

74º

106º x = 106/2x = 53º

y

z

x

z = 33/2 = 16,5ºy = 87/2 = 43,5ºx + 16,5 + 43,5 = 180

x = 120º

y

z

y = 34/2 = 17ºz = 118/2 = 59ºz = x + yx = z - y

x = 42º

146º

214º x = 214/2x = 107º

y

y

z

y = 90 - 54 = 36ºy + y + z = 180z = 108º

x = 108/2x = 54º

e)

34º52º x

O

tangente

w

y z

128º

w - ângulo de segmentow = 52º y + 34 + 52 = 180 y = 94º

z = 180 - w - y z = 34º

x + z + 128 = 180x = 18º

y

55 = y/2y = 110ºx = yx = 110º

yz

52 = y/2y = 104ºz = 180 - yz = 76º

x = z/2x = 76/2x = 38º

y

z

z = 56/2 = 28ºy = 88/2 = 44ºx é ângulo externo

x = y + zx = 72º

z

yx

y = 142/2 = 71ºz = 34/2 = 17ºx + y + z = 180º

x = 92º

y

y + 165 = 77 = 360y = 118

x = y/2x = 118/2x = 59º



geometria plana

106

A

B

CD

E

F

GH

70º

03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:

a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais.b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º.c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º.d) o arco GFE é maior que o arco EDC.e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.

04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja P um ponto da circunferência distinto de A e de B. Pode-se afirmar que :a) PA = PBb) PA + PB = constantec) PA > PB

2 2d) (PA) + (PB) = constante

2 2e) (PA) - (PB) = constante

CA

B

D

E F

05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendo-se que a medida do ângulo interno D é 40º e que a medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do ângulo x.

Gx

A

B

C

O

118º

x

y

06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos da circunferência de centro O. O valor de x + y é :a) 242ºb) 121ºc) 118ºd) 59ºe) 62º

A

B

PR S

M

N

K

07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, P, B e S estão na circunferência de centro R e os pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN, mede :a) 23ºb) 21º 30’c) 22ºd) 22º 30’e) 43º

A

B

C

DE

08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e em E, respectivamente. Determine a medida, em graus, do menor arco BE dessa circunferência.

N

SM

T

P

Q

10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então, o arco MSN mede:a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º

09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tan-gentes à circunferência de centro O. Determine a me-dida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB mede 61º.

A

B

C

P

O

(GeoJeca)

Jeca 63



geometria plana

107

A

B

CD

E

F

GH

70º


a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. d) o arco GFE é maior que o arco EDC. e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.

(F)(F)

(F)(F)

(V)

04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja P um ponto da circunferência distinto de A e de B. Pode-se afirmar que :a) PA = PBb) PA + PB = constantec) PA > PB

2 2d) (PA) + (PB) = constante

2 2e) (PA) - (PB) = constante

CA

B

D

E F

05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendo-se que a medida do ângulo interno D é 40º e que a medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do ângulo x.

Gx

A

B

C

O

118º

x

y

06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos da circunferência de centro O. O valor de x + y é :a) 242ºb) 121ºc) 118ºd) 59ºe) 62º

A

B

PR S

M

N

K

07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, P, B e S estão na circunferência de centro R e os pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN, mede :a) 23ºb) 21º 30’c) 22ºd) 22º 30’e) 43º

A

B

C

DE

08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e em E, respectivamente. Determine a medida, em graus, do menor arco BE dessa circunferência.

N

SM

T

P

Q

10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então, o arco MSN mede:a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º

Jeca 63

xy

70º

A

B

CD

E

F

GH

70º


a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. d) o arco GFE é maior que o arco EDC. e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.

(F)(F)

(F)(F)

(V)

2x

2yx + y + 70 = 180x + y = 1102x + 2y = 220º

resp e)

40º

75ºy

A medida do ângulo central ACB é igual à medida do arco AGBACBE é um

quadriláteroA + E + B + C = 360ºPortanto y = 105º

x + y + 40 = 180

x = 35º (resp)

86º

y

xy = 86/2y = 43x = y/2 = 43/2x = 21,5º (resp b)

A B

P

1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircun-ferência.2) Se o triângulo é retângulo então ele satisfaz o Teorema dePitágoras.

2 2 2(AB) = (PA) + (PB)

2 2 2Portanto (PA) + (PB) = (AB) = constante (resp d)

z

wz = 118/2 = 59ºw = x + zw = x + 59

118 = y + w118 = y + x + 59x + y = 118 - 59 = 59º (resp d)

ei

e = 360/n = 360/5 = 72ºi = 180 - e = 180 - 72 = 108º

x 108ºO

BCDEO é um quadrilátero

S = 180(n - 2) = 180(5 - 2)i

S = 540ºi

540 = x + 2 . 90 + 2 . 108x = 144ºBE = xBE = 144º (resp)

y

y = 360 - QMPy = 360 - 170 = 190z = y/2 = 95ºw = 180 - 95 = 85ºk = 130/2k = 65ºx + k + w = 180

x = 30º

x = MSN/2MSN = 60º (resp a)

130ºw

z

k

x

09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tan-gentes à circunferência de centro O. Determine a me-dida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB mede 61º.

A

B

C

P

O

(GeoJeca)

x

61º

y y = 2 . 61 = 122ºAPBO é um qua-driláteroy + 90 + x + 90 = 360x = 360 - 180 - 122x = 58º (resp)



geometria plana

108

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

M

N

P

Q

R

S

TU

O

11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais NE e BJ.

xy

z

12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e z.

A

AB

B

C

C

D

D

E

E

F

FG

G

H

H

I

I

J

J

K

K

L

L

O

O

x

yz

t

13) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

x

y

z

t

14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

15) A figura abaixo representa um eneágono regular ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

A

B

C

D

EF

G

H

I

O

16) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.

DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos



xA

B

C

D

EF

G

H

I

O

P

x

y

z

t

Jeca 64



geometria plana

109

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

M

N

P

Q

R

S

TU

O

11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais NE e BJ.

xy

z

12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e z.

A

AB

B

C

C

D

D

E

E

F

FG

G

H

H

I

I

J

J

K

K

L

L

O

O

x

yz

t


x

y

z

t

14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

15) A figura abaixo representa um eneágono regular ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

A

B

C

D

EF

G

H

I

O

16) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.




xA

B

C

D

EF

G

H

I

O

P

x

y

z

t

Jeca 64

n = 15 lados

k = 360/15 k = 24º

x

3 . 24 = 72º

4 . 24 = 96º

y

w

y = 72/2 = 36º

w = 96/2 = 48º

x = y + w x = 36 + 48x = 84º (resp)

m = 360/12m = 30º

x = LCE/2 = 5 . 30/2x = 150/2 = 75º

t = CDE = 2 . 30t = 60º

y = EFG/2 y = 2 . 30/2y = 30º

z = GHJ/2 z = 3 . 30/2z = 45º

m = 360/9m = 40º

x = ICG/2x = 7 . 40/2x = 140º

y = x = 140º

2.t = 140t = 70º

z = IGP'z = 3,5 . 40z = 140º

t

w

t

m = 360/20m = 18º

x = CEH/2x = 5 . 18/2x = 45º

w = HJK/2w = 3 . 18/2w = 27º

t = NSB/2t = 8 . 18/2t = 72º

y = t + wy = 27 + 72 = 99º

x + y + z = 180z = 36º

m = 360/12m = 30º

x = BDF/2x = 4 . 30/2x = 60º

y = EHK/2y = 6 . 30/2y = 90º

z = FJB/2z = 8 . 30/2z = 120º

t = KBE/2t = 6 . 30/2t = 90º

m = 360/9m = 40º

y

z

y = BCD/2y = 2 . 40/2y = 40º

z = EGI/2z = 4 . 40/2z = 80º

z = x + yx = z - yx = 80 - 40 = 40º (resp)



geometria plana

110



Geometria planaÂngulos na circunferência.


O86ºx V

a)

246º

xO

V

b)

76º

x

V

O

c)

O136ºx

d)

x

88ºO

e)

x

29º

O

f)

x 94º

70º

O O

g)

87º

23º

xh)

68º

102º

O

x

i)

33º

x

O

j)

O

38º

106º

x

l)

x

O

m)

O

n)

51º

x

O

56º

x

o)

x

O

196ºp)


Jeca 65



geometria plana

111



Geometria planaÂngulos na circunferência.


O86ºx V

a)

246º

xO

V

b)

76º

x

V

O

c)

O136ºx

d)

x

88ºO

e)

x

29º

O

f)

x 94º

70º

O O

g)

87º

23º

xh)

68º

102º

O

x

i)

33º

x

O

j)

O

38º

106º

x

l)

x

O

m)

O

n)

51º

x

O

56º

x

o)

x

O

196ºp)


Jeca 65

x = 86/2x = 43º

x = 246/2x = 123º

x = 136ºx = 88/2x = 44º

x

94º

x + 94 + 70 = 180x = 16º

x/2

93º

x/2 + 23 + 93 = 180x/2 = 64x = 128º

66º

114º

x = 114/2x = 57º

y

z

y = 38/2y = 19º

z = 106/2z = 53º

z = x + y x = z - y = 53 - 19 = 34º

x + 51 + 90 = 180x = 39º

x + 56 = 180x = 124º

76 = x/2x = 152º

y

y = 2 . 29y = 58º

x = y/2x = 58/2x = 29º

yw

x

y = 102/2y = 51ºw = 68/2w = 34º

x + y + w = 180ºx = 180 - 51 - 34 = 95º

x = 180/2x = 90º

180º

yy = 196/2y = 98º

x + y = 180x = 180 - 98x = 82º



geometria plana

112

O O O

O

O

O

OO

O

O

O

O

O

O

a)

x

2x

b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) l) m)

n) o) p)

98º

x78º

x

57º

x 42º x

58º

88º

x

x

56º

140º 26º

x

94º

x

40º

36º

x

68º

82º

55º120º

x115º

100º

x

O

x

56º

x

44º

48º

x


Jeca 66



geometria plana

113

O O O

O

O

O

OO

O

O

O

O

O

O

a)

x

2x

b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) l) m)

n) o) p)

98º

x78º

x

57º

x 42º x

58º

88º

x

x

56º

140º 26º

x

94º

x

40º

36º

x

68º

82º

55º120º

x

115º

100º

x

O

x

56º

x

44º

48º

x


Jeca 66

x + 2x = 1803x = 180x = 60º

y

y + 98 = 180x + y = 180x = 98º

114º

2x

2x + 114 = 1802x = 66x = 33º

84º 2x

2x + 84 = 1802x = 96x = 48º

z

y140º

y = 56/2y = 28ºz + 140 + y = 180z = 12ºx = 2z = 2 . 12x = 24º

z

y

z = 94/2 = 47ºy + 26 = 47 y = 21ºx = 2y = 2 . 21 = 42º

y

z

y = 68/2y = 34º

82 = 34 + zz = 48ºx = 2zx = 2 . 48 = 96º

2x

60º

x

x + 60 + 55 = 180x = 65º

yy = 2 . 56y = 112ºx = y = 112º

y

z

y = 2 . 44y = 88ºz = 180 - yz = 92ºx = z/2x = 92/2x = 46º

y

y + 78 = 180y = 102y = x/2x = 2yx = 204º

y 58 = 2yy = 116ºx + y + 88 = 360x = 156º

z

yy = 40/2y = 20ºz = 36 + yz = 56º

x = 2zx = 2 . 56x = 112º

y

z

y = 2 . 100y = 200º

z = 2 . 115z = 230º

x

y + z = 360 + x430 = 360 + xx = 70º

R

Ry

y

z

48 = z/2z = 96º

z + y + y = 180 y = 42º

x + y = 90 x = 48º



geometria plana

114

08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir-cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun-ferência diferente de A e de B, determine :a) a medida do ângulo ADB.b) o tipo do triângulo ADB.c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.d) a medida do segmento CD.

A

B

C

D

A

C

B

D

E

03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, ECD e AFE.

F

A

P

B

C

D

04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro C nos pontos A e B. Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar a medida do arco ADB.

28º

72ºO

x

A

BC

D

E

05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine a medida do ângulo AEB.

06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.

OR

A B

C

D

E

F

07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.

Jeca 67



geometria plana

115

08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir-cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun-ferência diferente de A e de B, determine :a) a medida do ângulo ADB.b) o tipo do triângulo ADB.c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.d) a medida do segmento CD.

A

B

C

D

A

C

B

D

E

03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, ECD e AFE.

F

A

P

B

C

D

04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro C nos pontos A e B. Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar a medida do arco ADB.

28º

72ºO

x

A

BC

D

E

05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine a medida do ângulo AEB.

06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.

OR

A B

C

D

E

F

07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.

Jeca 67

R

R

RR

DE = AC = CB = R (raio)O triângulo CDE é equiláteroPortanto ECD = 60º

ADB = 90ºO triângulo ADB é retân-gulo porque está inscritonuma semicircunferência.

x

y

z

w

y + w + z = 180w = 60ºy + z = 120º

k

p

y = 2k k = y/2z = 2p p = z/2

x = p + k = y/2 + z/2 = (y + z)/2x = 120/2x = AFE = 60º

z

y

z = 28/2 = 14º

y = 72 /2 = 36º

y = x + z

x = y - zx = 36 - 14x = 22º

35º

xy

z

w

k p

z = 2 . 35 = 70º

y + z + w = 180y + w = 110º

k = w/2p = y/2

x = k + p = w/2 + y/wx = (y + w)/2x = 110/2x = 55º

48º

y

y

z

z

w

O triângulo APB é isósceles2y + 48 = 180y = 66ºz + y = 90ºz = 24ºw + 2z = 180w = 132ºADB = 360 - w = 360 - 132 = 228º

P

Q

x

80º 20º

y

z

z = 20 + 80z = 100º

y = QOR/2y = 80/2y = 40º

z = x + y100 = x + 40x = 60º (resp)

D

a) ADB = 90ºTodo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência.b) triângulo retângulo.c) CD é uma mediana do triângulo ABDd) CD = AC = CB = R (raio) CD = 6 cm



geometria plana

116

A

B

C

D

EF

G

H

I

09) A figura abaixo representa um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais GB e HD.

Ox

A

B

C

D

F

EG

H

I

J

10) A figura abaixo representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.

O

A

B

C

DE

F

G

O

11) A figura abaixo representa um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo BDG.

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O


DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritosJeca 68

12) A figura abaixo representa um pentadecágono re-gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter-minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD e BI.



geometria plana

117

A

B

C

D

EF

G

H

I

09) A figura abaixo representa um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais GB e HD.

Ox

A

B

C

D

F

EG

H

I

J

10) A figura abaixo representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.

O

A

B

C

DE

F

G

O

11) A figura abaixo representa um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo BDG.

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

12) A figura abaixo representa um pentadecágono re-gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter-minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD e BI.


DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritosJeca 68

y

zm = 360/9m = 40º

y = BCD/2y = 2 . 40 = 80/2y = 40º

z = HG/2z = 40/2z = 20º

x = y + zx = 40 + 20x = 60º (resp)

x

m = 360/10m = 36º

x = JACx = 3 . 36x = 108º (resp)

m = 360º/7

x

x = GAB/2x = 2 . m/2x = (2 . 360/7)/2x = 360/7

x = 360º/7 (resp)

x

m = 360/15m = 24º

y

z

y = DFI/2 = 5.m/2 = 5 . 24/2 y = 60º

z = MPB/2 = 4 . m/2 = 4 . 24/2 = 48º

x = y + z = 60 + 48x = 108º (resp)



geometria plana

118

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

M

N

P

Q

R

S

TU

O

13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais ND e BJ.

x y

z

14) No icoságono regular abaixo, determinar as medi-das dos ângulos x, y e z.

A

AB

B

C

C

D

D

E

E

F

FG

G

H

H

I

I

J

J

K

K

L

L

O

O

x

yz

t


x

y

zt

16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

A

B

C

D

E

F

G

H

O

x

yz

t

17) A figura abaixo representa um octógono regular ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. A

B

C

D

EF

G

H

I

O

x

18) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.




Jeca 69



geometria plana

119

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

M

N

P

Q

R

S

TU

O

13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais ND e BJ.

x y

z

14) No icoságono regular abaixo, determinar as medi-das dos ângulos x, y e z.

A

AB

B

C

C

D

D

E

E

F

FG

G

H

H

I

I

J

J

K

K

L

L

O

O

x

yz

t


x

y

zt

16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.

A

B

C

D

E

F

G

H

O

x

yz

t

17) A figura abaixo representa um octógono regular ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. A

B

C

D

EF

G

H

I

O

x

18) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.




Jeca 69

A medida do arco MNé igual a 360/15 = 24º

24º

48º72º

BJD = BCD/2 = 48/2 = 24ºJDN = JLN/2 = 96/2 = 48

JRN é ãngulo externo do triângulo JRDJRN = 24 + 48 = 72º (resp)

R

w

k

m = 360/20m = 18º

x = CDF/2x = 3.m/2 = 3 . 18/2x = 27º

k = FJM/2 k = 7.m/2 = 7 . 18/2k = 63º

w = RUB/2w = 5.m/2 = 5 . 18/2w = 45º

y = k + w = 63 + 45y = 108º

x + y + z = 18027 + 108 + z = 180z = 45º

m = 360/12m = 30º

x = LCE/2x = 5.m/2 = 5 . 30/2x = 75º

y = EFH/2y = 3.m/2 = 3.30/2y = 45º

z = HIJ/2z = 2.m/2 = 2.30/2z = 30º

t = ACEt = 4,m = 4 . 30t = 120º

m =

360

/8m

= 4

5º

x = BEH/2x = 6.m/2x = 6 . 45/2x = 135º

y = x = 135º

z = x/2 = 135/2z = 67,5º

t = 2,5 . m7 = 2,5 . 45t = 112,5º

m =

360

/12

m =

30º

x = BFI/2x = 7.m/2 = 7 . 30/2x = 105º

y = EHK/2y = 6.m/2 = 6 . 30/2y = 90º

z = ILB/2z = 5.m/2 = 5 . 30/2z = 75º

t = KBE/2t = 6.m/2 = 6 . 30/2t = 90º

m = 360/9m = 40º

y

z

y = ABD/2y = 3.m/2y = 3 . 40/2y = 60º

z = GF/2z = m/2z = 40/2z = 20º

y = x + zx = y - zx = 60 - 20x = 40º



geometria plana

120

A

B CD

E

F

O

23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.

Desafio

19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do ângulo ACB ?a) 51ºb) 43ºc) 33ºd) 47ºe) 37º

A

BC

PM

N

O

20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do ângulo BAC ?a) 62ºb) 64ºc) 58ºd) 63ºe) 59º

A

BC

PM

N

O

35ºA BO

DC

x

21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC sabendo que o ângulo BAC mede 35º.

22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retân-gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto ?

Jeca 70



geometria plana

121

A

B CD

E

F

O

23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.

Desafio

19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do ângulo ACB ?a) 51ºb) 43ºc) 33ºd) 47ºe) 37º

A

BC

PM

N

O

20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do ângulo BAC ?a) 62ºb) 64ºc) 58ºd) 63ºe) 59º

A

BC

PM

N

O

35ºA BO

DC

x

21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC sabendo que o ângulo BAC mede 35º.

22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retân-gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto ?

Jeca 70

160º

63º

xyy = 160/2 = 80º

x + y + 63 = 180x + 80 + 63 = 180x = 180 - 143x = 37º (resp e)

70º

180º

x = ABC/2x = (180 +70)/2x = 250/2x = 125º

110º

63º y

20º10 cm 10 cm

A B

C

O

45º20º

x

a) Em todo triângulo retângu-lo a mediana relativa à hipo-tenusa vale a metade dessahipotenusa.

Portanto CO = 10 cm

b) 45 + x + 20 = 90x = 90 - 65x = 25º

(Resolução na página 72)



geometria plana

122


01)a) 59º b) 82º c) 92º d) 39º e) 90ºf) 28º g) 28º h) 76º i) 87º

02) a) 28º b) 22º 30' c) 110º d) 20º e) 18ºf) 38º g) 53º h) 53º i) 72º j) 120ºk) 42º l) 92º m) 107º n) 54º o) 59º

03) e

04) d

05) 35º

06) d

07) b

08) 144º

09) 58º

10) a

11) 84º

12) 45º, 99º e 36º

13) 75º, 30º, 45º e 60º

14) 60º, 90º, 120º e 90º

15) 140º, 140º, 70º e 140º

16) 40º



Jeca


Jeca 72



geometria plana

123

Respostas dos exercícios complemmentares da Aula 06.

01) a) 43º b) 123º c) 152º d) 136º e) 44º f) 29º g) 16º h) 128º i) 95º j) 57º l) 34º m) 90º n) 39º o) 124º p) 82º

02) a) 60º b) 98º c) 204º d) 33º e) 48º f) 156º g) 24º h) 42º i) 112º j) 96º l) 65º m) 70º n) 112º o) 46º p) 48º

03) 90º, 60º e 60º

04) 228º

05) 22º

06) 60º

07) 55º

08) a) 90º b) triângulo retângulo c) mediana d) 6 cm

09) 60º

10) 108º

11) 360º / 7

12) 108º

13) 72º

14) x = 27º, y = 108º , z = 45º

15) x = 75º , y = 45º , z = 30º , t = 120º

16) x = 105º , y = 90º , z = 75º , t = 90º

17) x = 135º , y = 135º , z = 67,5º , t = 112,5º

18) 40º

19) e

20) a

21) 125º

22) a) 10 cm b) 25º

Resolução do exercício 23) (Desafio) O quadrilátero AFOE é inscrito numa circunferência, pois os os ângulos opostos AFO e AEO são suplementares. Desenhando-se a circunferência percebe-se que os ângulos EAO e EFO são congruentes pois estâo inscritos no mesmo arco da mesma circunferência. Análogamente provam-se os demais ângulos.

A

B C

D

E

F

O

DEF = 84ºDFE = 52ºEDF = 44º

64º

26º

26º

(GeoJeca)

Jeca 73



geometria plana

124

II) Teorema da bissetriz interna.I) Teorema de Tales.

Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas retas transversais, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.

Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes.

r

t

r // s // t

sa

b

c

dab

cd=

aabissetriz

A

B C

bc

x y

xc

yb

=

Teorema de Tales

Teorema dabissetriz interna

r

s

t

r // s // t r // s // t

r // s // t

x

65

8

r

s

t

x 8

18 24

r

s

t

x

12 10

18

r

s

r // s

5

4x

8

x1210

6r

s

t

r // s // t

r

s

r // s

7

11

8

x

01) Determine o valor de x na figura abaixo. 02) Determine o valor de x na figura abaixo.



Exercícios.




Segmentos proporcionais.

Jeca 74



geometria plana

125

II) Teorema da bissetriz interna.I) Teorema de Tales.

Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas retas transversais, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.

Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes.

r

t

r // s // t

sa

b

c

dab

cd=

aabissetriz

A

B C

bc

x y

xc

yb

=

Teorema de Tales

Teorema dabissetriz interna

r

s

t

r // s // t r // s // t

r // s // t

x

65

8

r

s

t

x 8

18 24

r

s

t

x

12 10

18

r

s

r // s // t

5

4x

8

x1210

6r

s

t

r // s // t

r

s

r // s

7

11

8

x




Exercícios.




Segmentos proporcionais.

Jeca 74

Teorema de Tales

8

5=

x

6

x = 6 . 8/5

x = 48/5 (resp)

Teorema de Tales

818

=x24

x = 24 . 8/18

x = 32/3 (resp)

Teorema de Tales

x12

=18

10

x = 12 . 18/10

x = 108/5 (resp)

Teorema de Tales

x

8=

4

5

x = 8 . 4/5

x = 32/5 (resp)

Teorema de Tales

x6 + 10=

1210

x = (16 . 12)/10

x = 96/5 (resp)

Teorema de Tales

x

8=

11

7

x = 8 . 11/ 7

x = 88/ 7 (resp)

t



geometria plana

126

07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m.

40 m 30 m 20 m

Rua B

Rua A

yz

x

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.

u v

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.

u v

10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmen-to AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em centímetros.

A B C D

B'

C'

D'

Jeca 75



geometria plana

127

07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m.

40 m 30 m 20 m

Rua B

Rua A

yz

x

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.

u v

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.

u v

10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmen-to AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em centímetros.

A B C D

B'

C'

D'

Jeca 75

40 + 30 + 20 = 90 m

180 m

Teor. de Tales

x180

=4090

x = 2 . 40 = 80 m

y180

=3090

y = 2 . 30 = 60 m

z180

=2090

z = 2 . 20 = 40 m Teor. de Tales

GJJL

=ADDE

3

4

5

6

7

8

GJ = AD . JL / DE

GJ = (3 + 4 + 5) . 8 / 6

GJ = 16

HMJL

=BFDE

HM = BF . JL / DE

HM = (4 + 5 + 6 + 7) . 8 / 6

HM = 88/3

Teor. de Tales

HLJM

=BEDF

3

4

5

6

7

15

Teor. de Tales

GMJM

=AFDF

HL = JM . BE / DF

HL = 15 . (4 + 5 + 6) / (6 + 7)

HL = 225 / 13

GM = JM . AF / DF

GM = 15(3 + 4 + 5 + 6 + 7)/13

GM = 375 / 13

2 cm 3 cm 5 cm

2 + 3 + 5 = 10 cm

13 cm

x

y

zTeor. de Tales

x13

=2

10

x = 2 . 13 / 10 = 13/5 cm

y13

=3

10

y = 3 . 13 / 10 = 39/10 cm

z13

=5

10

z = 5 . 13 / 10 = 13/2 cm



geometria plana

128

11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento AC.

a a

12 c

m

6 cm 9 cm

A

B D C

12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento BD.

aa

A

CD

B

20 cm

16 cm 10 cm

13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A. Calcule a medida do segmento CD.

A

B C

30 cm

14 cm

16 c

m

D

14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.

A

B CD12 cm 9 cm

3x + 1 3x - 3

15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. Determine a medida do segmento DE.

a3a

A B

CD

A

B CD

E

3 cm 5 cm

10 cm

16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triân-gulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm, determine o valor da razão DE / AE.

E

a

b

c

d

17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo A, determine a em função de b, c e d.

aa

A

B

C

D

18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A divide o lado BC em dois segmentos, qual é a medida do menor desses segmentos ?a) b . c

b) b . c

c) a . b

d) a . c

e) a . b

a + c

b + c

b - c

b + c

a + b

Jeca 76



geometria plana

129

11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento AC.

a a

12 c

m

6 cm 9 cm

A

B D C

12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento BD.

aa

A

CD

B

20 cm

16 cm 10 cm

13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A. Calcule a medida do segmento CD.

A

B C

30 cm

14 cm

16 c

m

D

14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.

A

B CD12 cm 9 cm

3x + 1 3x - 3

15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. Determine a medida do segmento DE.

a3a

A B

CD

A

B CD

E

3 cm 5 cm

10 cm

16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triân-gulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm, determine o valor da razão DE / AE.

E

a

b

c

d

17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo A, determine a em função de b, c e d.

aa

A

B

C

D

18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A divide o lado BC em dois segmentos, qual é a medida do menor desses segmentos ?a) b . c

b) b . c

c) a . b

d) a . c

e) a . b

a + c

b + c

b - c

b + c

a + b

Jeca 76

Teorema da bissetrizinterna

x6

12=

9x

x = 12 . 9 / 6

x = 18 cm (resp)


=


=


=


=Teorema da bissetriz

interna

=


=


=

x 20 - x

x16

20 - x10

x =16(20 - x)

10

10x = 320 - 16x26x = 320 x = 160 / 13 cm (resp)

x

x16

1430

x = 16 . 14 / 30

x = 112 / 15 cm (resp)

x 4 - x

d = 4 24

x4

4 - x

4 2

x . 4 2 = 4(4 - x)

x 2 = 4 - x

x 2 + x = 4

x( 2 + 1) = 4

x =4

2 + 14( 2 - 1) cm=

(resp)

ba

cd

a . c = b . d

a = b . d / c (resp)

123x + 1

93x - 3

9(3x + 1) = 12(3x - 3)

27x + 9 = 36x - 36

45 = 9x

x = 5 cm (resp)

Incentro - ponto de encontro das bissetrizes.

a

b

a

b

x

3x

510

5x = 30 x = 6 cm

BE também é bissetriz

=AE6

DE3

=AE6DE3

=12

(resp)

A

B C

a

x a - x

c b

a

axc

a - xb

bx = a.c - c.xb.x + c.x = a.cx(b + c) = a.cx = a.c / (b + c) (resp d)



geometria plana

130

19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.

20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC. Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e que AB = 7 cm.

A

B

CD

21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do segmento DM.

A

B CD M

6 cm

8 cm5 cm22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determi-ne as medidas dos lados desse triângulo.

Jeca 77



geometria plana

131

19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.

20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC. Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e que AB = 7 cm.

A

B

CD

21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do segmento DM.

A

B CD M

6 cm

8 cm5 cm22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determi-ne as medidas dos lados desse triângulo.

Jeca 77

2 4

5

BA

C

MN

2 4

BA

C

Mx 5 - x

a aTeorema da bissetriz

interna

x2

=5 - x

4

4x = 10 - 2x x = 5/3

2

BA

C

Ny

h

5 - y

4

Pitágoras2 2 2

2 = y + h2 2

y + h = 4

2 2 24 = (5 - y) + h

2 216 = 25 - 10y + y + h

16 = 25 - 10y + 4

10y = 13

y = 13/10

MN = x - y = 5/3 - 13/10 = 5030 - 39/30 = 11/30 (resp)

aa

25 cm7 x

y

w

Pitágoras

2 2 225 = 7 + w

2w = 625 - 49 = 576

w = 24

24 - y

Teorema da bissetriz interna

y

7

24 - y

25=

25y = 168 - 7y y = 21/4 cm

Pitágoras2 2 2

x = 7 + (21/4)

2x = 49 + 441/16 = 1 225/16

x = 35/4 cm (resp)

xPitágoras2 2 2x = 6 + 8 = 100

x = 10 cmPortanto, BM = 5 cm


y 10 - y

y

610 - y

8=

8y = 60 - 6y14y = 60y = 30/7 cm

BM = 5 cmBD = 30/7 cm

DM = BM - BD = 5 - 30/7 = 35/7 - 30/7

DM = 5/7 cm (resp)

16 24

40 m

x 60 - xa a

A

B C

AB + AC + BC = 100Se BC = 16 + 24 = 40 , então AB + AC = 100 - 40 = 60 m


16x

2460 - x

=

24x = 960 - 16x40x = 960x = 24 m

AB = x = 24 mAC = 60 - x = 60 - 24 = 36 mBC = 40 m (resp)



geometria plana

132



Geometria planaTeorema de Tales e Teorema da

bissetriz interna.Exercícios complementares da aula 07.

03) Na figura abaixo, determine z em função de y.

r

s

t

x

3x

y

z

r // s // t

r

s

t

2

3

x

y

r // s // t

04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o valor de x e de y.

02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.a

b

c

d

a

b

c

d

x

y 4

4

57

5 x

8 10

y 7

01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.

08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a medida de CN.

r

s

t

u

v

r // s // t // u // v

7

3

11

z 2

9

y

x


9 cm

6 cm

7 cm

x

06) Na figura abaixo, determine o valor de x.

r

s

r // sa b

c x

07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função de a, b e c.

Jeca 78



geometria plana

133



Geometria planaTeorema de Tales e Teorema da

bissetriz interna.Exercícios complementares da aula 07.

03) Na figura abaixo, determine z em função de y.

r

s

t

x

3x

y

z

r // s // t

r

s

t

2

3

x

y

r // s // t

04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o valor de x e de y.

02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.a

b

c

d

a

b

c

d

x

y 4

4

57

5 x

8 10

y 7

01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.

08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a medida de CN.

r

s

t

u

v

r // s // t // u // v

7

3

11

z 2

9

y

x


9 cm

6 cm

7 cm

x


r

s

r // s // ta b

c x

07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função de a, b e c.

Jeca 78

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=

58

x10

x = 5 . 10 / 8x = 25 / 4

=8y

107

y = 7 . 8 / 10y = 28 / 5

7x

54

=5y

74

x = 7 . 4 / 5x = 28 / 5

y = 5 . 4 / 7y = 20 / 7

x3x

y

z

=13

y

z

z = 3y (resp)

22 + 3

xx + y

=25

x9

x = 18 / 5

=35

y9

y = 27 / 5

x7

96

x = 9 . 7 / 6x = 63 / 6 x = 21 / 2

C

A

B 36 - x

22

10M

N x

x36 - x

1022

22x = 360 - 10x32x = 360x = 360 / 32x = 45 / 4 cm

x9

711

=y9

311

=11z

92

x = 9 . 7 / 11 = 63 / 11

y = 9 . 3 / 11 = 27 / 11

z = 11 . 2 / 9 = 22 / 9

t

ax

bc

x . b = a . c

x = a . c / b



geometria plana

134

x

y 4

5

09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se aproxima de x - y, é :

r

s

t

a) 1,03b) 1,33c) 1,57d) 1,75e) 2,00

2

3

4

5

6

3

x

y

z

t

a

b

c

d

e

f

10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são paralelas entre si. Determine o valor da soma das me-didas dos segmentos x, y, z e t.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?

u v

a) 83 / 9b) 81 / 7c) 93 / 9d) 72 / 7e) 89 / 8

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?

u v

a) 198 / 7b) 223 / 9c) 220 / 9d) 241 / 10e) 241 / 11

13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida do segmento BD e o valor do pe-rímetro do triângulo ABC.

aa

8 cm

18 cm 12 cm

aa

20 cm

12 cm 16 cm

14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida dos segmentos BD e CD.

A

B CD

A

B CD

Jeca 79



geometria plana

135

x

y 4

5

09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se aproxima de x - y, é :

r

s

t

a) 1,03b) 1,33c) 1,57d) 1,75e) 2,00

2

3

4

5

6

3

x

y

z

t

a

b

c

d

e

f

10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são paralelas entre si. Determine o valor da soma das me-didas dos segmentos x, y, z e t.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?

u v

a) 83 / 9b) 81 / 7c) 93 / 9d) 72 / 7e) 89 / 8

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?

u v

a) 198 / 7b) 223 / 9c) 220 / 9d) 241 / 10e) 241 / 11

13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida do segmento BD e o valor do pe-rímetro do triângulo ABC.

aa

8 cm

18 cm 12 cm

aa

20 cm

12 cm 16 cm

14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida dos segmentos BD e CD.

A

B CD

A

B CD

Jeca 79

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

Teorema de Tales

=

Teorema de Tales

=


xx + y

55 + 4

=x

1259

x = 12 . 5 / 9 = 20 / 3

=y

x + y4

5 + 4

=y

1249

y = 12 . 4 / 9 = 16 / 3

x - y = 20/3 - 16/3 = 4/3 = 1,33 (resp b)

23 + 4 + 5 + 6

3x + y + z + t

=

218

3x + y + z + t

=

x + y + z + t = 54/2 = 27 (resp)

3

4

5

6

7 8BDEF

HJLM

=4 + 5

7HJ8

HJ = 8 . 9 / 7

HJ = 72 / 7 (resp d)

3

4

5

6

7

BDBF

HJHM

=9

2210HM

HM = 22 . 10 / 9

HM = 220 / 9 (resp c)

x

=x

188

12

x = 8 . 18 / 12

x = 12 cm

Per = 2p = 12 + 8 + 12 + 18 = 50 cm (resp)

x 20 - x


=x

1220 - x

16

16x = 240 - 12x28x = 240x = 60 / 7 cm

BD = 60 / 7 cm

DC = 20 - 60 / 7 = 80 / 7 cm



geometria plana

136

15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.

a

b

c

d

xx

16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figu-ra, qual das relações abaixo é verdadeira.a) a = b.d / cb) a = b.c / dc) a = c.d / bd) a = c / (b.d)e) a = b.c.d

A

B

C

D

17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.

A

B C

D E

18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo interno do vértice B.

20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determi-ne a razão entre BD e CD.

A

BC

a a

D

Jeca 80

ab

c

15º 15º 15º

x

y

19) (J) Na figura abaixo, determinar x e w em função de c, y em função de a e k em função de b.

w

k



geometria plana

137

15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.

a

b

c

d

xx

16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figu-ra, qual das relações abaixo é verdadeira.a) a = b.d / cb) a = b.c / dc) a = c.d / bd) a = c / (b.d)e) a = b.c.d

A

B

C

D

17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.

A

B C

D E

18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo interno do vértice B.

Jeca 80


=4x

7

15

A

B C

D

aa

7

4

15 cm

xx = 4 . 15 / 7

x = 60 / 7 cm (resp)


=ba

cd

a.c = b.d

a = b.d / c (resp a)


=AC18

CD

aa

18 cm

15

15

=AC 18CD 15

=65

(resp)


=x

128 - x10

12

8

aa

10

x

8 - x10x = 96 - 12x22x = 96x = 48 / 11

Teorema de Tales

=x8

AD12

AD = 12x / 8 = 3x / 2

AD =

3 . 4811

2=

7211

(resp)

ab

c

15º 15º 15º

x

y

19) (J) Na figura abaixo, determinar x e w em função de c, y em função de a e k em função de b.

w

k

x = cy = a

cos 30º =kb

=32

k = 2b 3 / 3


wk =

xb

20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determi-ne a razão entre BD e CD.

A

BC

a a

D

4 x

y

cos 30º =cahip

x

4=

x4

=3

2

x = 2 3


BD x =

CD4

BD =

CD 4

x

BD =

CD 42 3

=32

(resp)w =

k . xb

=b

w =2c 3

kb

2b 33

. c

3



geometria plana

138

24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado K.

d

K

a

b

c

d

e

5

6

10

x 9

11

7

y t

21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são paralelas entre si. Determine o valor da expressãoE = x . y + t.

R

S

T

D

A

B C

22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC, determine a razão entre CD e DT.

R

S

T

D

A

B CV

23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC e que V é o ponto onde a circunferência de centro em D tangencia o lado BC, determine a distância VR.

Jeca 81



geometria plana

139

x10

=911

Teorema de Tales

x = 90/11

510

=y

11y = 55/10 = 11/2

t7

=y

9t = 7y/9 = 77/18

E = x . y + t = 9011

.2

+ 7718

11=

887

18(resp)

aax

9

8

y 8 - y


(No triângulo ABC)

x9

6 - x8

=

8x = 54 - 9x17x = 54x = 54/17

(No triângulo ATC)

DTx =

CD9

DTx =CD9

DTCD

=9

1754

=176

(resp)

24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado K.

d

K

a

b

c

d

e

5

6

10

x 9

11

7

y t

21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são paralelas entre si. Determine o valor da expressãoE = x . y + t.

R

S

T

D

A

B C

22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC, determine a razão entre CD e DT.

R

S

T

D

A

B CV

23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC e que V é o ponto onde a circunferência de centro em D tangencia o lado BC, determine a distância VR.

Jeca 81

d

k

k

e =

360/

5 =

72º

108º

36º36º

36º

36º

36º

36º72º

36º36º

72º

A

B

CD

E

F

k

d - k

No triângulo ADB, AF é uma bissetriz.Pelo Teorema da bissetriz interna, tem-se

2 2Portanto k = d - kd

2 2Organizando, tem-se d - kd - k = 0Resolvendo a equação do 2º grau em d , tem-se

k

d=

d - kk

d =- (-k) +-

2 2(-k) - 4 . 1 . (-k )

2 . 1

d =k +- k 5

2=

k( 1 + 5 )

2(resp)

A

S

CV

B

TD

x 8 - x

x

6 - x

6 - x

8 - x

Teor. do ponto exterior(6 - x) + (8 - x) = 92x = 5x = 5/2Portanto BV = 5/2

Teor. da bissetriz internay / AB = 8 - y / AC

y / 6 = (8 - y) / 9

y 8 - y

VR = BR - BVVR = 16/5 - 5/2VR = 32/10 - 25/10VR = 7/10 (resp)



geometria plana

140


01) 48 / 5

02) 32 / 3

03) 108 / 5

04) 32 / 5

05) 96 / 5

06) 88 / 7

07) 80 m, 60 m, e 40 m

08) 16 e 88 / 3

09) 225 / 13 e 375 / 13

10) 13 / 5, 39 / 10 e 13 / 2

11) 18 cm

12) (160 / 13) cm

13) (112 / 15) cm

14) 5 cm

15) 4( 2 - 1) cm

16) 1 / 2

17) b.d / c

18) d

19) 11 / 30

20) (35 / 4) cm

21) (5 / 7) cm

22) 24 cm, 40 cm e 36 cm



Jeca


Jeca 82



geometria plana

141


01) 25 / 4 e 28 / 5

02) 28 / 5 e 20 / 7

03) 3y

04) 18 / 5 e 27 / 5

05) 63 / 11, 27 / 11 e 22 / 9

06) (21 / 2) cm

07) a.c / b

08) (45 / 4) cm

09) b

10) 27

11) d

12) c

13) 12 cm e 50 cm

14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm

15) (60 / 7) cm

16) a

17) 6 / 5

18) 72 / 11

19) x = c , y = a , w =

k =

20) 3 / 2

21) 887 / 18

22) 17 / 6

23) 7 / 10

24) K(1 + 5 ) / 2



Jeca


Jeca 83

2c 3 3

2b 3 3



geometria plana

142

aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício:

Correções



geometria plana

143

>

3 3

A

3

R

R

NN



geometria plana

144

I) Semelhança de triângulos.

Definição. Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.

Definição mais "popular". Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro.

A

BC

D

EF

DABC DDEF ~ >

A DB EC F eAB AC BCDE DF EF

k= =

K - razão da semelhançaou

constante de proporcionalidade.

Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc.

II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)

1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.

Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos (AA) de um deles são congruentes a dois ângulos do outro.

Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo congruente e os dois lados de um triângulo adjacen-tes ao ângulo são proporcionais aos dois lados adjacentes ao ângu-lo do outro triângulo.

Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados dois a dois or-denadamente proporcionais.

a b

a b

a b

c

d e

f

a b cd e f

k= = =

a

a

a

c

d

f

a cd f

k= =

III) Como aplicar a semelhança de triângulos.

a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".b) Desenhar os dois triângulos separados.c) Chamar de a, b e g os três ângulos de cada triângulo.d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no numerador da proporção.

A

B C

D

12

4

x

=

a

a

semelhante




Semelhança de triângulos.

Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o valor de x na figura abaixo.

Jeca 84



geometria plana

145

I) Semelhança de triângulos.

Definição. Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.

Definição mais "popular". Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro.

A

BC

D

EF

DABC DDEF ~ >

A DB EC F eAB AC BCDE DF EF

k= =

K - razão da semelhançaou

constante de proporcionalidade.

Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc.

II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)

1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.

Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos (AA) de um deles são congruentes a dois ângulos do outro.

Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo congruente e os dois lados de um triângulo adjacen-tes ao ângulo são proporcionais aos dois lados adjacentes ao ângu-lo do outro triângulo.

Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados dois a dois or-denadamente proporcionais.

a b

a b

a b

c

d e

f

a b cd e f

k= = =

a

a

a

c

d

f

a cd f

k= =

III) Como aplicar a semelhança de triângulos.

a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".b) Desenhar os dois triângulos separados.c) Chamar de a, b e g os três ângulos de cada triângulo.d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no numerador da proporção.

Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o valor de x na figura abaixo.

A

B C

D

12

4

x

=

a

a

semelhante





Jeca 84

A

B Cx

a

16

ab q bq 4

x

Semelhança de triângulos

x4

16x=

2x = 64

Portanto x = 8 (resp)



geometria plana

146

A

B C

D E

A

B

C

D

E

03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a medida dos segmentos AE e CD.

AB C

D

E

04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-lo ACD mede 45 cm.

A B

CD

E

05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD interceptam-se no ponto E. Determine a distância entre o ponto E e a base CD.

d

A B

CD

A

B C

D

E

07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.

02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-mentos AD e AE.

06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.

Jeca 85



geometria plana

147

A

B C

D E

02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-mentos AD e AE. A

B

C

D

E

03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a medida dos segmentos AE e CD.

AB C

D

E

04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-lo ACD mede 45 cm.

A B

CD

E

05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD interceptam-se no ponto E. Determine a distância entre o ponto E e a base CD.

d

A B

CD

06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.

A

B C

D

E

07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.

Jeca 85

8

12

x y9

13


x9

y

138

12==

x = 9 . 8 / 12 = 6 cmy = 13 . 8 / 12 = 26/3 cm (resp)

7

5

6

x

10

y

ab

q

b

a

Semelhança de triângulos.7

12=

xx + 6

10y=

12x = 7x + 42

5x = 42

x = 42/5 cm

7y = 120

y = 120/7 cm

Respostas

5

37

Per = 45 cm ACD





7AD

3CD

5AC

=PerABE

PerACD

7 + 5 + 345

1545

13

= = = = =

5AC

=13

AC = 15 cm

3CD

=13

CD = 9 cm

Respostas

8 cm

18

12

12 - d

D ABE ~ D CDE

818

=12 - d

d

8d = 216 - 18d

26d = 216

d = 108/13 cm Resposta

8

18

12

d

8=

18d

d + 12

18d = 8d + 96

d = 96/10 = 48/5 = 9,6 cm Resposta

8

4

x

14 - x

b

a

b

a

x14 - x

=48

8x = 56 - 4x

12x = 56

x = 56/12 = 14/3 cm Resposta



geometria plana

148

P

A

B

C

xy

z50º

40º

45º

13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi-ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor-me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine o valor de z em função de x e y.

A

B C

DE

F

08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado desse losango.

A

B C

D E

h

10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a medida da altura H do trapézio BCED em função de x, y e h.

H

x

y

A

B CD E

FG

h =

6 c

m

11) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do perímetro do menor quadrado.

9 cm 6 cm x

12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e DE = 5 cm. Determine a medida de BC.

A

B C D

E

Jeca 86

09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua-drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-mine a medida do lado desse quadrado.

(GeoJeca)



geometria plana

149

P

A

B

C

xy

z50º

40º

45º

13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi-ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor-me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine o valor de z em função de x e y.

A

B C

DE

F

08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado desse losango.

A

B C

D E

h

10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a medida da altura H do trapézio BCED em função de x, y e h.

H

x

y

A

B CD E

FG

h =

6 c

m


9 cm 6 cm x

12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e DE = 5 cm. Determine a medida de BC.

A

B C D

E

Jeca 86

8

12

x

x

x

x 12 - x

DABC ~ DCDF

12 - x12

=x8

12x = 96 - 8x20x = 96x = 96/20 = 4,8 cm (resp)


baseBase

alturaAltura

=

xy

hh + H

=

xh + xH = yhxH = yh - xh

H = (yh - xh) / x (resp)

ou H = h(y - x) / x (resp)

a

b a

b

8

x 20 - x

5


x5

820 - x

= >2

x - 20x + 40 = 0

Resolvendo, tem-se

x = 10 + 2 15 cm ou x = 10 - 2 15 cm (resp)

45º

50º

40º

D

DPDC é isóscelesDC = PD = z

DADP ~ DBDP

z

xz

zy=

z = x . y (resp)

09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua-drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-mine a medida do lado desse quadrado.

(GeoJeca)

x

x

12 cm

6 - x


x12

6 - x6

=

6x = 72 - 12x

18x = 72

x = 4 cm Resposta

3

6

x6 - x


x6

=6 - x

3

3x = 36 - 6x

9x = 36

x = 4 cm

Per = 4.x = 16 cm Resposta



geometria plana

150

IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.

Dada uma circunferência l e um ponto P, P não pertencente a l, se A e B são os pontos de intersecção entre l e a reta secante a l por P, define-se potência de P em relação a l o produto PA x PB.

Propriedade. Dados l e P, a potência de P em relação a l é constante, qualquer que seja a reta AB secante a l por P.

A

BP

l

Potência = PA x PB

1º caso: O ponto P é interior a l. 2º caso: O ponto P é exterior a l.

A

BP

l

C

D

E

F

G

H

PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte

O

Pl

O

T

A

B

C

D

T é ponto de tangência

PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2

A

B

C

D

P

O

14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, PB = 8 e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.

AB

C

P

O

15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência l. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-termine a medida do segmento PC.

l

l

A B

C

D

P

O l

16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, AB = 8 e CD = 5, determine a medida do segmento PD.

A

B

P O

l

17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à circunferência de centro O. Determine a medida do raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e PO = 4.

Jeca 87



geometria plana

151

IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.

Dada uma circunferência l e um ponto P, P não pertencente a l, se A e B são os pontos de intersecção entre l e a reta secante a l por P, define-se potência de P em relação a l o produto PA x PB.

Propriedade. Dados l e P, a potência de P em relação a l é constante, qualquer que seja a reta AB secante a l por P.

A

BP

l

Potência = PA x PB

1º caso: O ponto P é interior a l. 2º caso: O ponto P é exterior a l.

A

BP

l

C

D

E

F

G

H

PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte

O

Pl

O

T

A

B

C

D

T é ponto de tangência

PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2

A

B

C

D

P

O

14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, PB = 8 e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.

AB

C

P

O

15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência l. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-termine a medida do segmento PC.

l

l

A B

C

D

P

O l

16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, AB = 8 e CD = 5, determine a medida do segmento PD.

A

B

P O

l

17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à circunferência de centro O. Determine a medida do raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e PO = 4.

Jeca 87

Potência de ponto

PA . PC = PB . PD

6 . x = 8 . 12

x = 96/6 = 16 cm (resp)

6

8

12

x

C

D

6

10

4

R

PC = R - 4PD = R + 4

PotênciaPA x PB = PC x PD6 x 10 = (R - 4).(R + 4)

2 2R - 4 = 60

2R = 76

R = 2 19 uc (resp)

Potência de ponto

2PA . PB = PC

24.(4 + 12) = PC

2PC = 64

PC = 8 (Resp.)

6 8

5

xPotência de ponto

PA x PB = PC x PD

6 . 14 = x.(x + 5)

2x + 5x - 84 = 0

Raízes

x = -12 (não convém)

x = 7 cm Resposta



geometria plana

152

A

B C

D

E

18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. Determine a medida do segmento EC.

20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do segmento CD.

a

a

A

B

C

D

21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen-to PC.

A B

C

P

19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa-ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co-mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam ? Despreze as espessuras das barras.

h3 m

9 m

Jeca 88



geometria plana

153

A

B C

D

E

18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. Determine a medida do segmento EC.

20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do segmento CD.

a

a

A

B

C

D

21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen-to PC.

A B

C

P

19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa-ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co-mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam ? Despreze as espessuras das barras.

h3 m

9 m

Jeca 88

A

B C

E

D

C5

12

3

y

x

a

b

ba

2 2 2Pitágoras y = 5 + 12 y = 13 cm


x = 39/5 cm (resp)

x13

=35

P

A B

P

A

Cx + 7

x

y y

6

8

aa

b

b qq


x + 7y

yx

86

= =

y 8x6

= =4x3

8y = 6(x + 7)

8.(4x/3) = 6x + 42

32x = 18x + 126

x = 126/14 = 9 uc (resp)

A

B C

DE

x y

DABE ~ DCDE DBFE ~ DBCD

39= yx

F

xx + y

h3

== x + y12

x + yh

3x=x + y =

12x9

=12x9h

3x

h = 9/4 = 2,25 m (resp)

b b

q

q8

10

7 x


x

10=

107

x = 100/7 cm (resp)



geometria plana

154

A B

P

Q

O

22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên-cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa circunferência. Determine a medida do segmento BQ, sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.

A t

B

C

D E

24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à circunferência no ponto A e paralela ao segmento DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do segmento BD será:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva-mente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale

a)

b)

c)

d)

e)

63251255825

5625115

A

B C

D

E

F

Jeca 89



geometria plana

155

A B

P

Q

O

22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên-cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa circunferência. Determine a medida do segmento BQ, sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.

A t

B

C

D E

24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à circunferência no ponto A e paralela ao segmento DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do segmento BD será:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva-mente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale

a)

b)

c)

d)

e)

63251255825

5625115

A

B C

D

E

F

Jeca 89

A B

P

Q

A B

x

x + 3

2 10

2 10

a

b

ba


x + 3

2 10=

x

2 10

2x + 3x - 40 = 0

x = -8 ou x = 5

x = 5 cm (resp)

6 5

7

a

b q

q

b

b

P

Os ângulosPAB , ADE e BCA sãocongruentes e iguais a b.

PAB e ADE são colaterais internosPAB = b é ângulo de segmentoBCA = b é ângulo inscrito


60 = 6x + 366x = 24x = 4 (resp)

612

=5

x + 6

x

A

D

B

C

E

F

G

5

74

3

6

x

y

Potência de ponto EB.EA = EC.ED5.(5 + 7) = 4.(4 + y + 3)y = 8

Potência de pontoAG.GF = DG.GC6 . x = 3 . 8x = 4 Resposta d

4

3

5

3/2h

b3 - b


h4

3 - b 3/25

=3

=

h = 12/10

b = 21/10

S = b . h 1210

21= .

10=

252100

S 6325

= Resposta a



geometria plana

156

01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.

A

B C

D E

12 cm

8 cm

x y

9 cm

11 cm

A

B

C D

E

02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.

A B

CD

E

8 cm

14 cm

d

6 c

m

03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.

3 cm

5 cm

x4

cm




Geometria planaSemelhança de triângulos e

Potência de ponto.Exercícios complementares da aula 08.

Jeca 90



geometria plana

157

01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.

A

B C

D E

12 cm

8 cm

x y

9 cm

11 cm

A

B

C D

E

02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.

A B

CD

E

8 cm

14 cm

d

6 c

m

03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.

3 cm

5 cm

x4

cm




Geometria planaSemelhança de triângulos e

Potência de ponto.Exercícios complementares da aula 08.

Jeca 90


x = 9 . 8 / 12 = 6 cmy = 11 . 8 / 9 = 88 / 9 cm (resp)

x9

y

11812

= =

D AEB ~ D CDE

6 - d bB

hH

=

=814

6 - dd

d = 42/11 cm (Resp.)

a

b

b

a

8

5

10

x

y

z

Pitágoras

2 2 2x = 8 + 10

2x = 64 + 100 = 164

x = 2 41 cm

Os triângulos ABC e DEC são semelhantes pelocaso AA.

85

=10y

xz=

8.y = 50

y = 50/8 = 25/4 cm

8.z = 5.x = 5 . 2 41

z = 5 41 /4 cm


35

=x

x + 4

5x = 3x + 122x = 12x = 6 cm Resposta



geometria plana

158

05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.

A B

CD

E

3 c

m

4 cm

A

B C

D

06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e determinar a medida do segmento BC.

A B

CD

E

P

07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.

a

a

08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.

A

B CD E

FG

h =

8 c

m

A

Ex

09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que forneça t como função de x , y e z.

B C Dy z

t

Jeca 91



geometria plana

159

05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.

A B

CD

E

3 c

m

4 cm

A

B C

D

06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e determinar a medida do segmento BC.

A B

CD

E

P

07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.

a

a

08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.

A

B CD E

FG

h =

8 c

m

A

Ex

09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que forneça t como função de x , y e z.

B C Dy z

t

Jeca 91

a b

b

b a

a

4 cm

2 2 2Pitágoras (AC) = 3 + 4 = 25 AC = 5 cm

Semelhança de triângulos.DADC ~ DABE

ADBE

=ACAB

DCAE

=

= =3

BE54

4AE

BE = 3 . 4 / 5 = 12 / 5 cmAE = 4 . 4 / 5 = 16 / 5 cm (resp)

A

B C

D

B C

14

x

4

x

aa

bc

cb 4

xx

14=

2x = 4 . 14

x = 2 14 cm (Resp.)

C é um vértice comum aosdois triângulos.Os triângulos são semelhantespelo caso AA.

a q

q

ab

b

Os triângulos ABP e DEP são semelhantes pelo caso AA.

APDP

=PBPE

Portanto AP x PE = DP x PB (CQD)

a b

q

a b

x

x

8 - x

Os triângulos AGF e ABC são semelhantes pelo caso AA.

x16

=8 - x

8

16 cm

128 - 16x = 8x

24x = 128

x = 128/24 = 16/3 cm

2 2 2S = x = (16/3) = (256/9) cm Resposta

a

90 - a

90 - aa

Os triângulos CDE e ABC são semelhantes pelo caso AA.

ty =

zx

t =y . z

xResposta



geometria plana

160

A

B C

D

E

10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e CE.

A

B CD

E

11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do segmento DE.

12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, determinar a medida do lado AC desse triângulo.

13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 cm, determinar a medida do segmento CN.

A

B C D

N

M

14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.

h

A

B CD

E

O

Jeca 92



geometria plana

161

A

B C

D

E

10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e CE.

A

B CD

E

11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do segmento DE.

12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, determinar a medida do lado AC desse triângulo.

13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 cm, determinar a medida do segmento CN.

A

B CD

N

M

14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.

h

A

B CD

E

O

Jeca 92

A

B C

A

D

E

a

b

a

q

a

b

qb

qq

b

12

8

9

5

ABAE

=ACAD

BCDE

=

= =12AE

9AD

85

AE = 12 . 5 / 8 = 15 / 2 cmAD = 9 . 5 / 8 = 45 / 8 cm (resp)

P

5

5

5 5 6

11

60º120º60º

120º

Seja P ponto médio de BC.

Então MP // AC MP = AC/2 = 10/2 = 5 cmDBMP é equilátero..Então os ângulos MPD e NCD são congruentes.

Semelhança de triângulos DMPD ~ DNCD

NC = 30/11 cm (resp)

5 NC5

611

=

34

3x

a b

a

b

Os triângulos são semelhantes pelo caso AA.

Pitágoras

2 2 2y = 3 + 4 = 25

y = 5

y


x3

=35

x = 9/5 cm Resposta

A

B C

E

F

4

5

6 c

m

C

F

4

B

E

5

A

a

b

a

b

6 c

m


x

x6

45

=

x = 24/5 cm Resposta

a

a

bb 10

30

6Semelhança de triângulos. D ABD ~ D ACE

630

=h

10

h = 2 cm Resposta

Observação - Os ângulos ABC e AEC sãocongruentes pois são ângulos inscritos no mesmo arco AC.



geometria plana

162

15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm e 8 cm.

12 cm

8 cm

8 cm

5 cm

x

x

xt y

16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e de y.


A B

CD M

P

h

18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.

A M N B

PQ

C

4 c

m

19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse retângulo.

20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de ABCD.

A B

CD

Jeca 93



geometria plana

163

15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm e 8 cm.

12 cm

8 cm

8 cm

5 cm

x

x

xt y

16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e de y.


A B

CD M

P

h

18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.

A M N B

PQ

C

4 c

m

19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse retângulo.

20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de ABCD.

A B

CD

Jeca 93

5

8 - 5 = 3


x = 5 . 5 / 3 = 25 / 3 cm (resp)

5

35

5x

=

y

y

t - y

yx =

t - yy


2y = x.(t - y)

2x = y /(t - y) Resposta

4

8 - x x

x8

=

8

8 - x4


4x = 64 - 8x

12x = 64

x = 64/12 = 16/3 cm

Per = 2p = 4x = 64/3 cm Resposta

9

x x

a b

ab

9 - h

2xOs triângulos ABP e MCP são semelhantes pelo caso AA.

2xx

=9 - h

h

2h = 9 - h

3h = 9

h = 3 cm Resposta

4 cm

x

y

4 - xSemelhança de triângulos.

y

4=

4 - x4

x + y = 4

Per = 2p = x + y + x + y

Per = 4 + 4 = 8 cm Resposta

8

14

6

hSemelhança de triângulos.

hh + 6

=814

14h = 8h + 48

6h = 48

h = 8 cm

d = h + 6

d = 8 + 6

d = 14 cm Resposta



geometria plana

164

21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3

AB

C

O O O1 2 3

r


x12 c

m

14 cm

10 cm

15 cm

23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine a medida do perímetro desse retângulo.

12

cm

16 cm

A B

CD

a

a

24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.

A

B C

D E

16 cm

5 cm

9 cm 11 cm


x

6 cm

5 cm

7 cm

a

a

26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.A

B C

D

E

x

x

Jeca 94



geometria plana

165

21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3

A

BC

O O O1 2 3

r


x12 c

m

14 cm

10 cm

15 cm

23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine a medida do perímetro desse retângulo.

12

cm

16 cm

A B

CD

a

a

24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.

A

B C

D E

16 cm

5 cm

9 cm 11 cm


x

6 cm

5 cm

7 cm

a

a

26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.A

B C

D

E

x

x

Jeca 94

R R R R R

RR

x


x = 3R / 52 2 2

Pitágoras R = y + (3R/5)2 2 2 2 y = R - 9R /25 = 16R /25

BC = 2y = 2 . 4R/5 = 8R/5 Resposta

3R5R

=xR

y

1224

x14

15

a

b

q

b q

a


x12

=1524

x = 12 . 15 / 24 = 180 / 24

x = 15/2 cm Resposta

h

2h

12 - h


2h16

=12 - h

12

24h = 192 - 16h

40 h = 192

h = 192/40

Perímetro = 2p = 6h

2p = 6 . 192/40 = 144/5 cm Resposta

x y


xx + 9

y=

y + 11516

=

16x = 5x + 45

11x = 45

x = 45/11 cm

16y = 5y + 55

11y = 55

y = 55/11 = 5 cm cm

Respostas

56

6 + x 12

a

a

bb

q

q


6 + x5

=126

36 + 6x = 60

6x = 24

x = 24/6 = 4

x = 4 cm Resposta

7

15

916

xy

a b

q

q

a

b


x9

=y

16715

=

x = 9 . 7 / 15

x = 21 / 5 cm

y = 16 . 7 / 15

y = 112 / 15 cm

Respostas



geometria plana

166

27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.

A

B

C

DP

O

A

B

C

D

M

O

28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.

A

B C

D

P

O

29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.

A

C

B

P

D

30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.

AB

C

D

E

F

31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, determine t em função de x, y e z.

Jeca 95



geometria plana

167

27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.

A

B

C

DP

O

A

B

C

D

M

O

28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.

A

B C

D

P

O

29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.

A

C

B

P

D

30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.

AB

C

D

E

F

31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, determine t em função de x, y e z.

Jeca 95

Potência de ponto.

PA x PC = PB x PD

4 . 6 = PB . 8

PB = 24 / 8 = 3 cm (resp)

4

6

8

Potência de ponto.

AM x MC = BM x MD

9 . 4 = x . x2x = 36

x = 6 cm

BD = 2.x = 12 cm Resposta

x

x

9

4

Potência de ponto.

PA x PD = PB x PC

5 . (5 + 9) = x . (x + 10)2x + 10x - 70 = 0

Raízes

x = - 95 - 5 (não convém)

x = ( 95 - 5) cm Resposta

5

9

10 x

Potência de ponto.

2(PD) = PA x PB

2x = 17 . 5

x = 85 cm Resposta6

x

5

6

xy

z

t

Potência de ponto.

AD x AB = AF x AE

x.(x + y) = z.(z + t)

2x.(x + y) = z + z.t

2x.(x + y) - z = z.t

2t = [x.(x + y) - z ] / z Resposta



geometria plana

168


01) 8

02) 6 cm e (26 / 3) cm

03) (42 / 5) cm e (120 / 7) cm

04) 15 cm e 9 cm

05) (108 / 13) cm

06) (48 / 5) cm

07) (14 / 3) cm

08) 24 / 5

09) 4 cm

10 ) h(y - x) / x

11) 16 cm

12) (10 - 2 15 ) cm ou (10 + 2 15 ) cm

13) x . y

14) 16

15) 8

16) 7

17) 2 19

18) (39 / 5) cm

19) (9 / 4) m

20) (100 / 7) cm

21) 9

22) 5 cm

23) a

24) c

25) d



Jeca


Jeca 96



geometria plana

169


01) 6 cm e (22 / 3) cm

02) 2 41 cm, (25 / 4) cm e (5 41 / 4) cm

03) (42 / 11) cm

04) 6 cm

05) (16 / 5) cm e (12 / 5) cm

06) 2 14 cm

07) demonstração - Utilizando ângulos inscritos prova-se que os triângulos são semelhantes.

208) (256 / 9) cm

09) y . z / x

10) (15 / 2) cm e (3 / 2) cm

11) (9 / 5) cm

12) (24 / 5) cm

13) (30 / 11) cm

14) 2 cm

15) (25 / 3) cm

216) y / (t - y)

17) (64 / 3) cm

18) 3 cm

19) 8 cm

20) 14 cm

21) 8R / 5

22) (15 / 2) cm

23) (144 / 5) cm

24) (45 / 11) cm e 5 cm

25) 4 cm

26) (21 / 5) cm e (112 / 15) cm

27) 3 cm - potência de ponto.


29) ( 95 - 5) cm - potência de ponto.


231) [x(x + y) - z ] / z



Jeca


Jeca 97



geometria plana

170

I) Relações métricas no triângulo retângulo.

Teorema. Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores, que são semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo original.

A

B CH

bc

a

m n

h

2 2 2c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c

II) Teorema de PItágoras.

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

A

B C

bc

a

2 2 2a = b + c

A

B CH

III) Exercícios.

01) Na figura abaixo, sabendo-se que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, BH, HC e AH.

A

B CH

02) Na figura abaixo, sabendo-se que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, AC, AB e AH.

A

B CH

03) Na figura abaixo, sabendo-se que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-mine as medidas de HC, HB, AB e BC.




Relações métricas no triângulo retângulo.Teorema de Pitágoras.

Jeca 98

Observação - Os segmentos m e n são as projeções

ortogonais dos catetos b e c sobre a hipotenusa a.

(GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca)



geometria plana

171

A

B CH

III) Exercícios.

01) Na figura abaixo, sabendo-se que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, BH, HC e AH.

A

B CH

02) Na figura abaixo, sabendo-se que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, AC, AB e AH.

A

B CH

03) Na figura abaixo, sabendo-se que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-mine as medidas de HC, HB, AB e BC.




Relações métricas no triângulo retângulo.Teorema de Pitágoras.

Jeca 98

5 9

m n

h

a

2 2 2a = b + c

2 2 = 9 + 5 = 81 + 25 = 106

a = BC = 106 cm

2c = a . m

25 = 106 . BHBH = 25 / 106 = 25 106 / 106 cm

2b = a . n

29 = 106 . HCHC = 81 / 106 = 81 106 / 106 cm

a . h = b . c 106 . h = 9 . 5h = 45 / 106 = 45 106 / 106 cm

3 9 cm

BC = 3 + 9 = 12 cm

2(AC) = 12 . 9 = 108

AC = 108 = 6 3 cm

2(AB) = 12 . 3 = 36

AB = 6 cm

2(AH) = 3 . 9 = 27

AH = 3 3 cm

2b = a . n

2c = a . m

2h = m . n

3

5 cm

Pitágoras

2 2 25 = 3 + (HC)

HC = 4 cm

23 = 4 . BH

BH = 9/4 cm

2(AB) = (4 + 9/4) . 9/4 = 225/16

AB = 225/16 = 15/4 cm

BC = BH + HC = 9/4 + 4 = 25/4 cm

2h = m . n

2c = a . m

I) Relações métricas no triângulo retângulo.

Teorema. Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores, que são semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo original.

A

B CH

bc

a

m n

h

2 2 2c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c

II) Teorema de PItágoras.

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

A

B C

bc

a

2 2 2a = b + c

Observação - Os segmentos m e n são as projeções

ortogonais dos catetos b e c sobre a hipotenusa a.



geometria plana

172

06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos P e Q ?

a) 83

b) 4 5

c) 78

d) 2 19

e) 89

05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas diagonais medem 12 cm e 6 cm ?

a) 4 39

b) 12 5

c) 16 3

d) 8 13

e) 8 14

07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre os pontos P e Q ?

A B

CD

a) 274

b) 269

c) 2 14

d) 5 10

e) 246

08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta secante que dista 5 cm do centro da mesma, determina nessa circunferência uma corda de comprimento 24 cm ?a) 8 cmb) 13 cmc) 15 cmd) 17 cme) 19 cm

a

b

c

d

09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b, c, e d, é :

2 2 2a) a = b + c + d

2 2 2b) a = b + c - d

2 2 2c) a = b - c - d

2 2 2d) a = d - b - c

2 2 2 e) a = d - b + c

x13 cm

10 cm

04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai-xo.

Jeca 99

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria plana

173

06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos P e Q ?

a) 83

b) 4 5

c) 78

d) 2 19

e) 89

05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas diagonais medem 12 cm e 6 cm ?

a) 4 39

b) 12 5

c) 16 3

d) 8 13

e) 8 14

07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre os pontos P e Q ?

A B

CD

a) 274

b) 269

c) 2 14

d) 5 10

e) 246

08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta secante que dista 5 cm do centro da mesma, determina nessa circunferência uma corda de comprimento 24 cm ?a) 8 cmb) 13 cmc) 15 cmd) 17 cme) 19 cm

a

b

c

d

09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b, c, e d, é :

2 2 2a) a = b + c + d

2 2 2b) a = b + c - d

2 2 2c) a = b - c - d

2 2 2d) a = d - b - c

2 2 2 e) a = d - b + c

x13 cm

10 cm

04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai-xo.

Jeca 99

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Pitágoras2 2 2

13 = 10 + x

2x = 169 - 100 = 69

x = 69 cm (resp)

3

6 cm

x

Pitágoras

2 2 2x = 3 + 6

2x = 9 + 36 = 45

x = 45 = 3 5 cm

Perímetro = 2p = 4 . x

2P = 12 5 cm Resposta b

A B

CD

3 12P

3 4 8

8 cm8 x

Q

Pitágoras2 2 2x = 8 + 4 2x = 64 + 16 = 80

x = 80 = 4 5 cm Resposta b

2

5

1

8

15 cm

x

Pitágoras2 2 2x = 5 + 15 2

x = 25 + 225 = 250

x = 250 = 5 10 cm Resposta d

5

12 cm

R

Pitágoras

2 2 2R = 5 + 12

2R = 25 + 144 = 169

R = 13 cm Resposta b

x

Pitágoras

2 2 2x = a + b

2 2 2 2 2 2d = x + c = a + b + c

2 2 2 2a = d - b - c

2 2 2a = d - b - c Resposta d



geometria plana

174

A B

CD

E

F

G

H

P1

11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, então a mede:

a)

b)

c)

d)

e)

2

2 - 1

2

3 - 1

2

2 - 1

2

22

10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate-tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a distância AP ?

13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a PQ e RM Calcule:a) o raio da circunferência;b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da circunferência.

4 3=3

.

P

QR

M

O

A B

CD

d

d d

12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-termine a distância d entre P e A sabendo que o ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.

P

8 cm

x

24 cmpresilha

parede

tubo

parafuso

15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare-de por meio de uma presilha retangular, como mostra a figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, vale:a) 16 cmb) 17 cmc) 18 cmd) 19 cme) 20 cm

A

B

C D

E

12

cm

16 cm

14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir-cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma menor destacada. Determine o raio da circunferência menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de tangência.

Jeca 100



geometria plana

175

A B

CD

E

F

G

H

P1

11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, então a mede:

a)

b)

c)

d)

e)

2

2 - 1

2

3 - 1

2

2 - 1

2

22

10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate-tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a distância AP ?

13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a PQ e RM Calcule:a) o raio da circunferência;b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da circunferência.

4 3=3

.

P

QR

M

O

A B

CD

d

d d

12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-termine a distância d entre P e A sabendo que o ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.

P

8 cm

x

24 cmpresilha

parede

tubo

parafuso

15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare-de por meio de uma presilha retangular, como mostra a figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, vale:a) 16 cmb) 17 cmc) 18 cmd) 19 cme) 20 cm

A

B

C D

E

12

cm

16 cm

14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir-cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma menor destacada. Determine o raio da circunferência menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de tangência.

Jeca 100

A

B

C

P

E

d

d

4

3 -

d

3 b

a

2 2 2Pitágoras (BC) = 3 + 4BC = 5 cm


5d = 12 - 4d9d = 12d = 12/9 = 4/3

3 - d

b

5=

d

4

RR - 8

12

Pitágoras

2 2 2R = (R - 8) + 12

Resolvendo, tem-se

R = 13 cm

x = 2R - 8 = 26 - 8 = 18 cm Resposta c

1a

(Diagonal do quadrado de lado a) d = a 2

a 2 = 1 + a + 1

a 2 = a + 2

a 2 - a = 2

a = 2

2 - 1Resposta e

16

8

16 - d

8

Pitágoras

2 2 2d = 8 + (16 - d)

2 2d = 64 + 256 - 32d + d

32d = 320

d = 10 cm Resposta

4

4

R

R -

Pitágoras

2 2 2R = 4 + (R - )

2 2R = 16 + R - 8R 3 /3 + 16/3

R 3 = 8

R = 8 3 /3 cm Resposta

b) sen (MOQ) = 4/R = 3 /2 MOQ = 60º

Portanto POQ = 2 . MOQ = 2 . 60 = 120º Resposta

4 33

4 33

4 33

a)

44 4 4

R

R +

4 8 - R

Pitágoras

2 2 2(R + 4) = (8 - R) + 4

2 2R + 8R + 16 = 64 - 16R + R + 16

24R = 64

R = 64/24 = 8/3 cm Resposta



geometria plana

176

16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:

h

a)

b)

c)

d)

e)

1 + 7

7

2

31 +

1 + 73

1 + 74

74

1 +

2,5

C

A D E

B

O

17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e AE = 9 cm.

A

B C

O

18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência.

OP

T

A

19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.

Jeca 101



geometria plana

177

16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:

h

a)

b)

c)

d)

e)

1 + 7

7

2

31 +

1 + 73

1 + 74

74

1 +

2,5

C

A D E

B

O

17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e AE = 9 cm.

A

B C

O

18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência.

OP

T

A

19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.

Jeca 101

1 m

3/4 m

x

Pitágoras2 2 2

1 = x + (3/4)2 x = 1 - 9/16 = 7/16

x = 7 / 4

h = x + 1 = 1 + 7 / 4 m (resp)

R

2

9

9 - R

R - 2

2Pitágoras

2 2 2R = (R - 2) + (9 - R)

2 2 2R = R - 4R + 4 + 81 - 18R + R

2R - 22R + 85 = 0

Raízes

R = 17 cm (não convém porque é maior que 9)

R = 5 cm Resposta

3 1

0

3 3

Pitágoras

2 2 2(3 10 ) = h + 3

290 = h + 9

2h = 81

h = 9 cm

Pitágoras

h

R

9 - R

2 2 2R = 3 + (9 - R)

2 2R = 9 + 81 - 18R + R

18R = 90

R = 5 cm Resposta

15 cm

9

R

R

Pitágoras

2 2 2(R + 9) = R + 15

2 2R + 18R + 81 = R + 225

18R = 144

R = 8 cm Resposta



geometria plana

178

A

B CH

D

E

20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no ponto H. Determine a área da região sombreada na figura. A

B CD

21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.

A B

CD

E

22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 16 cm, um arco de circunferência com centro em A e raio AB e uma circunferência de centro em E, que tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a medida do raio da circunferência.

OA

B

C D

E

23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D estão alinhados. Determine a medida do raio da cir-cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e AE = 15 cm.

Jeca 102



geometria plana

179

A

B CH

D

E

20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no ponto H. Determine a área da região sombreada na figura. A

B CD

21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.

A B

CD

E

22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 16 cm, um arco de circunferência com centro em A e raio AB e uma circunferência de centro em E, que tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a medida do raio da circunferência.

OA

B

C D

E

23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D estão alinhados. Determine a medida do raio da cir-cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e AE = 15 cm.

Jeca 102

12 16h

a

2 2 2Pitágoras a = 12 + 16 = 144 + 256 = 400

a = 20 cm

20 . h = 16 . 12

h = 192 / 20 = 48 / 5 cm

mas h = raio do setor circular

2S = S - S = 12 . 16 / 2 - p . (48/5) / 4Triâng Setor

2S = (96 - 576p/25) cm (resp)

a . h = b . c

r x

r

16

AC = diagonalAC = 16 2

EC = diagonalEC = r 2

AC = 16 + r + r 2

16 2 = 16 + r + r 2

2r = 16( 2 - 1)

r = 16(3 - 2 2 ) cm (resp)

5 7

10

h

x 10 - x

Pitágoras

2 2 2 2 25 = h + x h + x = 25

2 2 27 = h + (10 - x)

2 249 = h + 100 - 20x + x

2 249 = (h + x ) - 20x + 100

49 = 25 - 20x + 100

20x = 125 - 49 = 76

x = 76/20 = 19/5

2 2h + (19/5) = 25

2h = 25 - 361/25 = (625 - 361)/25 = 264/25

h = 264/25 = 2 66 /5 cm Resposta

9

8 cm

7

R R

x

Pitágoras

2 2 215 = 9 + x

2x = 225 - 81 = 144

x = 12 cm


2R15

=8

12

2R = 120/12 = 10

R = 5 cm Resposta



geometria plana

180

01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.

h

m n

6 cm

8 cm

a

A

B C

02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.

x

y zt

3 cm9 cm

03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.

A

B

C

xy

zt

04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.

a)

x

7 c

m

9 cm

13 cm

12 cm

xx12 cm

9 cm

b) c)



Geometria planaRelações métricas num triângulo retângulo.

Teorema de Pitágoras.Exercícios complementares da aula 09.

Jeca 103



geometria plana

181

01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.

h

m n

6 cm

8 cm

a

A

B C

02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.

x

y zt

3 cm9 cm

03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.

A

B

C

xy

zt

04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.

a)

x

7 c

m

9 cm

13 cm

12 cm

xx12 cm

9 cm

b) c)



Geometria planaRelações métricas num triângulo retângulo.

Teorema de Pitágoras.Exercícios complementares da aula 09.

Jeca 103

2 2 2a = b + c

2 2 = 8 + 6 = 100

a = 10 cm (resp)

2b = a . n

2c = a . m

a . h = b . c

28 = 10 . nn = 64/10 = 32/5 cm (resp)

26 = 10 . mm = 36/10 = 18/5 cm (resp)

10 . h = 8 . 6h = 48/10 = 24/5 cm (resp)

x = 9 + 3 = 12 cm

2y = 9 . 3 = 27

y = 3 3 cm

2h = m . n

Pitágoras

2 2 2t = y + 9 = 27 + 81 = 108

t = 108 = 6 3 cm

2z = 12 . 3 = 36

z = 6 cm

2 2 2a = b + c

2b = a . n

9

12

Pitágoras

2 2 2x = 9 + 12 = 225

x = 15 cm

29 = 15 . y

y = 81 / 15 = 27/5 cm

2 2 2a = b + c

2b = a . n

2c = a . m

a . h = b . c

212 = 15 . z

z = 144 / 15 = 48 / 5 cm

15 . t = 9 . 12

t = 108 / 15 = 36 / 5 cm

Pitágoras

2 2 2x = 7 + 9

2x = 49 + 81 = 130

x = 130 cm Resposta

Pitágoras

2 2 213 = x + 12

2x = 169 - 144 = 25

x = 5 cm Resposta

Pitágoras

2 2 212 = x + 9

2x = 144 - 81 = 63

x = 3 7 cm Resposta



geometria plana

182

05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.

xy

z

06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.

da a

a

a

07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.

a

a ah

08) Determine x, y e z na figura abaixo.

1 cm

1 cm1 cm

1 cmx

y

z

09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.

x

y 10

14

6

10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.

Jeca 104



geometria plana

183

05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.

xy

z

06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.

da a

a

a

07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.

a

a ah

08) Determine x, y e z na figura abaixo.

1 cm

1 cm1 cm

1 cmx

y

z

09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.

x

y 10

14

6

10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.

Jeca 104

2 2 2y = x + z

2 2 2x = y - z

2 2x = y - z (resp)

A B

CD

I

J

x

x

x

x

25 - x

1515

Pitágoras

2 2 2x = 15 + (25 - x)

Resolvendo, tem-se

x = 17 cm (Resposta)

Pitágoras

2 2 2 2d = a + a = 2a

2d = 2a

d = a 2 Resposta

a/2

Pitágoras

2 2 2a = h + (a/2)

2 2 2h = a - (a/2)

2 2h = 3.a /4

h = a 3 /2 Resposta

Pitágoras

2 2 2x = 1 + 1 = 2

x = 2

2 2 2y = x + 1 = 2 + 1 = 3

y = 3

2 2 2z = y + 1 = 3 + 1 = 4

z = 4 = 2 Respostas

Pitágoras

2 2 26 = x + y

2 2x + y = 36

2 2 214 = x + (y + 10)

2 2196 = x + y + 20y + 100

196 = + 20y + 100

20y = 196 - 100 - 36 = 60 y = 3

2x = 36 - 9 = 27 x = 3 3 Resposta

36



geometria plana

184

11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio de AD, calcule a medida de CM em centímetros.

A

B CD

M

13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me-de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a medida de AD.

A

B C

D

E

60º

3

3

1

14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. Determine o raio da circunferência inscrita no quadrado ABCD.

A

B

C

D

16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k e duas circunferências interiores tangentes entre si e tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-ferência menor em função de k.

15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, determine a medida da diagonal AC sabendo-se que AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.

A B

CD

A

BC D

12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, determine a medida do raio da circunferência.

Jeca 105



geometria plana

185

11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio de AD, calcule a medida de CM em centímetros.

A

B CD

M

13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me-de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a medida de AD.

A

B C

D

E

60º

3

3

1

14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. Determine o raio da circunferência inscrita no quadrado ABCD.

A

B

C

D

16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k e duas circunferências interiores tangentes entre si e tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-ferência menor em função de k.

15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, determine a medida da diagonal AC sabendo-se que AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.

A B

CD

A

BC D

12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, determine a medida do raio da circunferência.

Jeca 105

8 8

4 4

2 2 2(AD) = 8 - 4 = 64 - 16 = 48

AD = 48 = 4 3 cm

DM = AD/2 = 2 3 cm

2 2 2(CM) = (DM) + (CD)

2 2 2(CM) = (2 3 ) + 4

2(CM) = 12 + 16 = 28

CM = 28 = 2 7 cm (resp)

a

tg a = 3 /1 = 3

a = 60º

Pitágoras

2 2 2y = ( 3 ) + 1 = 4

y = 2

O triângulo ADB é retângulo

2 2 2x = ( 3 ) + 2

Portanto x = 7 (Resposta)

= 30º

x

y

10 cm

6

R

RPitágoras

2 2 2(R + 6) = R + 10

2 2R + 12R + 36 = R + 100

12R = 64

R = 64/12 = 16/3 cm Resposta

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

2R

2R

Pitágoras

2 2 2(2R) = (1/2) + (1/2)

24R = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2

2R = 1/8

R = 1/8

R = 1 / 2 2

R = 2 /4 Resposta

6 cm

5 cm

6 4

h

Pitágoras

2 2 25 = 4 + h h = 3 cm

2 2 2(AC) = 6 + 3 = 36 + 9 = 45

AC = 45 = 3 5 cm Resposta

r

r 2

r

r

k/2O

A

E

E

A

OA = (k/2) 2 (diagonal de um quadrado de lado k/2)

k/2

k 22

=k2

+ r 2r + k( 2 - 1)2

r(1 + 2 )=

r =k(3 - 2 2 )

2Resposta



geometria plana

186

17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse trapézio.

8 cm

2 cm

h

18) Os raios das circunferências de centros A e B medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, sendo P e Q pontos de tangência.

A

A

B

B

P

P

Q

Q

19) Os raios das circunferências de centros A e B medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de tangência, calcule a distância PQ.

20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T ponto de tangência.

O

T

22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, determine o raio da circunferência menor.

A BC

D


x

6

8

12

Jeca 106



geometria plana

187

17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse trapézio.

8 cm

2 cm

h

18) Os raios das circunferências de centros A e B medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, sendo P e Q pontos de tangência.

A

A

B

B

P

P

Q

Q

19) Os raios das circunferências de centros A e B medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de tangência, calcule a distância PQ.

20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T ponto de tangência.

O

T

22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, determine o raio da circunferência menor.

A BC

D


x

6

8

12

Jeca 106

4

1

3

2 2 25 = 3 + h

2h = 25 - 9 = 16

h = 4 cm (resp)

32

9 cm

5

2

2

d

d

Pitágoras

2 2 29 = 7 + d

2d = 81 - 49 = 32

d = 4 2 cm (Resposta)

y

Pitágoras

2 2 2 2 2 6 = x + y x + y = 36

2 2 212 = y + (x + 8)

2 2144 = y + x + 16x + 64

144 = 36 + 16x + 64

16x = 144 - 100

x = 44/16 = 11/4 Resposta

>

5

3 3

13 cm

x

x

Pitágoras

2 2 213 = 5 + x

2x = 169 - 25 = 144

x = 12 cm Resposta

4 4

R 8 - R

R

Pitágoras

2 2 2R = 4 + (8 - R)

2 2R = 16 + 64 - 16R + R

16R = 80

R = 5 cm Resposta

2 2

2

R

R

4 - R

Pitágoras

2 2 2(2 + R) = 2 + (4 - R)

2 24 + 4R + R = 4 + 16 - 8R + R

12R = 16

R = 16/12 = 4/3 Resposta



geometria plana

188

10 cm

3 cm 3 cm

A

BD

C

23) Na figura abaixo, determine AB e AD.

20 cm

24) (Jeca) Na figura, estão representados dois círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine a medida do lado AD do retângulo.

A B

CD

27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados desse triângulo e o seu perímetro.

25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são tangentes externamente. Determine a medida de um segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da reta AB com as circunferências. 8 cm

y

7 cm

x

26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.

A B

86

x

A B

C

D

E

6 6

2

28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.

h

A

B C

Jeca 107



geometria plana

189

10 cm

3 cm 3 cm

A

BD

C

23) Na figura abaixo, determine AB e AD.

20 cm

24) (Jeca) Na figura, estão representados dois círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine a medida do lado AD do retângulo.

A B

CD

27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados desse triângulo e o seu perímetro.

25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são tangentes externamente. Determine a medida de um segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da reta AB com as circunferências. 8 cm

y

7 cm

x

26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.

A B

86

x

A B

C

D

E

6 6

2

28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.

h

A

B C

Jeca 107

2 2 210 = 6 + y

2y = 100 - 36 = 64y = 8 cm

2 2 2x = 3 + 8

2x = 9 + 64 = 73

x = 73 cm (resp)

xy

8

x

5

8 + 5 = 13

8 5y

8 + y + 5 = 20y = 20 - 13 = 7

Pitágoras2 2 2

13 = 7 + x2

x = 169 - 49 = 120x = 120 = 2 30

AD = 8 + x + 5

AD = (13 + 2 30 ) cm (resp)

142x

Pitágoras

2 2 214 = 2 + x

2x = 196 - 2 = 192

x = 8 3 cm

Resposta

Pitágoras

2 2 2(x + y) = 7 + 8 = 113

x + y = 113 cm

Relações métricas no triângulo retângulo.

2c = a . m

2b = a . n

27 = 113 . x

x = 49 . 113 / 113 cm

28 = 113 . y

y = 64 . 113 / 113 cm

Respostas

3

5

3

xPitágoras

2 2 25 = 3 + x

x = 4 cm

y


3y

x8

=

3y

48

=

y = 6 cm

Pitágoras

2 2 2(AB) = 6 + 8 AB = 10 cm

AB = AC = 10 cm , BC = 2 . 6 = 12 cm

Perímetro = AB + AC + BC = 32 cm Respostas

RR - 2

Pitágoras

2 2 2R = (R - 2) + 6

2 2R = R - 4R + 4 + 36

4R = 40

R = 10 cm

CD = R - 2 = 10 - 2

CD = 8 cm Resposta



geometria plana

190

30) A figura abaixo representa 4 circunferências de raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio da circunferência menor.

29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.

h

A

B C

5 cm

2 13 cm

9 cm

A B

CD E

F

31) O retângulo ABCD da figura abaixo tem lados AB = 40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medida do segmento BF.

33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem base na reta AB. Determine a medida do lado desse quadrado.

A B

34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices diagonalmente opostos coincidam. Determine o comprimento do vinco (dobra).

6

8

32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu-ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis-tância de A a D’.

figura 1 figura 2

A B

CD

A BD’x

Determine a função que expressa a área do triângulo sombreado em função de x.

(Fazer a resolução em outro espaço)

Jeca 108



geometria plana

191

30) A figura abaixo representa 4 circunferências de raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio da circunferência menor.

29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.

h

A

B C

5 cm

2 13 cm

9 cm

A B

CD E

F

31) O retângulo ABCD da figura tem lados AB = 40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medida do segmento BF.

33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem base na reta AB. Determine a medida do lado desse quadrado.

A B

34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices diagonalmente opostos coincidam. Determine o comprimento do vinco (dobra).

6

8

32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu-ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis-tância de A a D’.

figura 1 figura 2

A B

CD

A BD’x

Determine a função que expressa a área do triângulo sombreado em função de x.

(Fazer a resolução em outro espaço)

Jeca 108

x 9 - x

2 2 2x + h = 5 = 25

2 2 2 2 2(2 13 ) = h + (9 - x) = h + 81 - 18x + x

2 252 = x + h - 18x + 81 = 25 - 18x + 8118x = 54x = 3

2 23 + h = 25

2h = 25 - 9 = 16h = 4 cm (resp)

a

a

90 - a

6

y

x

8 - 2y

8 - y 6

yy

8 - yA B

CD

E

F

G

6

Os triângulos AEF e ADG são congruentes pelo caso A.L.A.

2 2 2Pitágoras (8 - y) = 6 + y

y = 7/4

O triângulo FGH é retângulo

Pitágoras

2 2 2x = 6 + (8 - 2.7/4) = 36 + 81/4 = 225/4

x = FG = 15/2 Resposta

yH

8

8

8 8

8

8

2r

Diagonal do quadrado delado 16 cmd = 16 2 cm

Mas d = 8 + 2r + 8 d = 16 + 2r

Então 16 2 = 16 + 2r

2r = 16 2 - 16 = 16( 2 - 1)

r = 8( 2 - 1) cm Resposta

x x

10 10 - x

10 - (x/2)

Pitágoras

2 2 210 = (10 - x) + [10 - (x/2)]

2x - 24x + 80 = 0

Raízes

x = -20 (não convém pois é maior que o raio)

x = 4 cm Resposta

x/2

Resolução na próxima página

Pitágoras

2 2 2(BD) = (AB) + (BC)

2 2 3(BD) = 40 + 30

2(BD) = 2 500

BD = 50 cm


D ABF ~ D DEF

x

50 - x

a

ab

b

q

q

1030

40

4030

x50 - x

=

2 000 - 40 x = 30 x

2 000 = 70 x

x = 2 000/70 = 200/7 cm Resposta



geometria plana

192

Jeca 109

figura 2

A BD’x

y2

1 -

y

21

21 - y

Pitágoras

2 2 2(21 - y) = y + x

2 2 2441 - 42y + y = y + x

2-42y = x - 441

242y = 441 - x

2y = (441 - x ) / 42

Área do triânguloS = b . h /2 = x . y /2

S =

x .2

(441 - x )42

2=

3441x - x

84



geometria plana

193


01) 106 cm, (25 106 / 106) cm, (81 106 / 106) cm e (45 106 / 106) cm

02)12 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm

03) 4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (25 / 4) cm

04) 69 cm

05) b

06) b

07) d

08) b

09) d

10) 4 / 3

11) e

12) 10 cm

13) a) 8 3 / 3b) 120º

14) (8 / 3) cm

15) c

16) e

17) 5 cm

18) 5 cm

19) 8 cm

220) (96 - (576p / 25)) cm

21) (2 66 / 5) cm

22) 16(3 - 2 2 ) cm

23) 5 cm



Jeca


Jeca 110



geometria plana

194


01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm

02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm

03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm

04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm

2 2 05) x = y - z

06) d = a 2

07) h

08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm

09) x = 3 3 y = 3

10) x = 17 cm

11) CM = 2 7 cm

12) r = 16 / 3 cm

13) AD = 7

14) r = 2 / 4

15) x = 3 5 cm

16) r

17) h = 4 cm

18) d = 12 cm

19) d = 4 2 cm

20) R = 5 cm

a 32

=

=k(3 - 2 2 )

2

31) BF = 200 / 7 cm

32) A

33) x = 4 cm

34) d = 15 / 2

=3

-x + 441x84

21) x = 11 / 4

22) r = 4 / 3

23) AB = 8 cm AD = 73 cm

24) AD = (13 + 2 30 ) cm

25) AB = 8 3

26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm

27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perím = 32 cm

28) CD = 8 cm

29) h = 4 cm

30) r = 8( 2 - 1 ) cm



Jeca


Jeca 111

2cm


01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm

02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm

03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm

04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm

2 2 05) x = y - z

06) d = a 2

07) h

08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm

09) x = 3 3 y = 3

10) x = 17 cm

11) CM = 2 7 cm

12) r = 16 / 3 cm

13) AD = 7

14) r = 2 / 4

15) x = 3 5 cm

16) r

17) h = 4 cm

18) d = 12 cm

19) d = 4 2 cm

20) R = 5 cm

a 32

=

=k(3 - 2 2 )

2

31) BF = 200 / 7 cm

32) A

33) x = 4 cm

34) d = 15 / 2

=3

-x + 441x84

21) x = 11 / 4

22) r = 4 / 3

23) AB = 8 cm AD = 73 cm

24) AD = (13 + 2 30 ) cm

25) AB = 8 3

26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm

27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perím = 32 cm

28) CD = 8 cm

29) h = 4 cm

30) r = 8( 2 - 1 ) cm



Jeca


Jeca 111

2cm



geometria plana

195

I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.

Em todo triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o dobro do raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Em todo triângulo, a medida de qualquer lado depende das medidas dos outros dois lados e do ângulo entre eles.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R=

A

B C

RO

Lei dos senos

=2 2 2 x = a + b - 2.a.b.cos a

Lei dos cossenos

xa

b

a

III) Propriedades dos triângulos.

1) Em todo triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor ângulo.

2) Condição de existência de um triângulo. Em todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença das medi-das dos outros dois lados.

3) Natureza de um triângulo. Quanto à natureza um triângulo pode ser:a) triângulo retângulo;b) triângulo obtusângulo;c) triângulo acutângulo.

Reconhecimento da natureza de um triângulo. Seja a o maior lado de um triân-gulo de lados a, b e c.

2 2 2- Se a = b + c triângulo retângulo.

2 2 2- Se a > b + c triângulo obtusângulo.

2 2 2- Se a < b + c triângulo acutângulo.

b - c < a < b + c

Condição de existência.

onde a, b e c são as medidasdos lados do triângulo.

a

b

c

a

b

g

a < b < c a < b < g


sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b

sen 2a = 2 . sen a . cos a

2 2cos 2a = cos a - sen a

IV) Pré-requisitos de trigonometria. (Poderão ser usados em exercícios mais complexos deste capítulo)

Exercícios.

01) Dados três segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um triân-gulo com esses segmentos. Se for possível, determinar a natureza desse triângulo.




Relações métricas num triângulo qualquer.

Jeca 112

a

bc



geometria plana

196

I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.

Em todo triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o dobro do raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Em todo triângulo, a medida de qualquer lado depende das medidas dos outros dois lados e do ângulo entre eles.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R=

A

B C

RO

Lei dos senos

=2 2 2 x = a + b - 2.a.b.cos a

Lei dos cossenos

xa

b

a

III) Propriedades dos triângulos.

1) Em todo triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor ângulo.

2) Condição de existência de um triângulo. Em todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença das medi-das dos outros dois lados.

3) Natureza de um triângulo. Quanto à natureza um triângulo pode ser:a) triângulo retângulo;b) triângulo obtusângulo;c) triângulo acutângulo.

Reconhecimento da natureza de um triângulo. Seja a o maior lado de um triân-gulo de lados a, b e c.

2 2 2- Se a = b + c triângulo retângulo.

2 2 2- Se a > b + c triângulo obtusângulo.

2 2 2- Se a < b + c triângulo acutângulo.

b - c < a < b + c

Condição de existência.


a

b

c

a

b

g

a < b < c a < b < g


sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b

sen 2a = 2 . sen a . cos a

2 2cos 2a = cos a - sen a

IV) Pré-requisitos de trigonometria. (Poderão ser usados em exercícios mais complexos deste capítulo)

Exercícios.

01) Dados três segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um triân-gulo com esses segmentos. Se for possível, determinar a natureza desse triângulo.




Relações métricas num triângulo qualquer.

Jeca 112

a

bc

Existência|b - c| < a 208

2 2 2a > b + cEsse triângulo é obtusângulo.



geometria plana

197

02) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir.

a) 8 cm, 15 cm e 17 cm. b) 8 cm, 15 cm e 16 cm.

c) 8 cm, 15 cm e 13 cm. d) 2 cm, 4 cm e 7 cm.

e) 5 cm, 8 cm e 13 cm. f) 10 cm, 11 cm e 12 cm.

h) 4 cm, 9 cm e 9 cm.g) 5 cm, 9 cm e 12 cm.

Existência Natureza Existência Natureza




Jeca 113



geometria plana

198










Jeca 113

|b - c| < a < b + c|8 - 15| < 17 < 8 + 157 < 17 < 23 VerdadeiroEsse triângulo existe

2 2a = 17 = 289

2 2 2 2b + c = 8 + 15

2 2b + c = 64 + 225 = 289

2 2 2a = b + c Esse triângulo é retângulo


2 2a = 16 = 256

2 2 2 2b + c = 8 + 15

2 2b + c = 64 + 225 = 289

2 2 2a < b + c Esse triângulo é acutângulo


2 2a = 15 = 225

2 2 2 2b + c = 8 + 13

2 2b + c = 64 + 169 = 233


|b - c| < a < b + c|2 - 4| < 7 < 2 + 42 < 7 < 6 FalsoEsse triângulo não existe

|b - c| < a < b + c|5 - 8| < 13 < 5 + 83 < 13 < 13 FalsoEsse triângulo não existe


2 2a = 12 = 144

2 2 2 2b + c = 10 + 11

2 2b + c = 100 + 121 = 221



2 2a = 12 = 144

2 2 2 2b + c = 5 + 9

2 2b + c = 25 + 81 = 106

2 2 2a > b + c Esse triângulo é obtusângulo


2 2a = 9 = 81

2 2 2 2b + c = 9 + 4

2 2b + c = 81 + 16 = 97




geometria plana

199

05) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-da do lado AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm.

08) Na figura abaixo, os ângulos A e B medem, res-pectivamente 75º e 45º. O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 6 cm. Determine as medidas dos lados AB e AC.

A

B C

06) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 60º e 45º. Determine a medi-da do lado AC, sabendo que a medida de AB é 4 cm.

A

B C

07) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-da do lado BC, sabendo que a medida de AC é 8 cm.

A

B C

A

B C

Jeca 114

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

04) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natu-reza de um triângulo de lados 10 cm, 12 cm e 16 cm.

03) Dados três segmentos de medidas 7 cm, 9 cm e x cm, determine o intervalo de valores que x pode as-sumir para que exista o triângulo de lados 7, 9 e x.



geometria plana

200

03) Dados os segmentos a = 7 cm, b = 9 cm e c, de-termine o intervalo de valores que c pode assumir para que exista o triângulo de lados a, b e c.

05) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-da do lado AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm.

08) Na figura abaixo, os ângulos A e B medem, res-pectivamente 75º e 45º. O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 6 cm. Determine as medidas dos lados AB e AC.

A

B C

06) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 60º e 45º. Determine a medi-da do lado AC, sabendo que a medida de AB é 4 cm.

A

B C

07) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-da do lado BC, sabendo que a medida de AC é 8 cm.

A

B C

A

B C

Jeca 114

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

04) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natu-reza de um triângulo de lados 10 cm, 12 cm e 16 cm.

Condição de existência

|b - c| < a < b + c

|7 - 9| < c < 7 + 9

2 < c < 16 Resposta

Condição de existência

|b - c| < a b + c Esse triângulo é obtusângulo Resposta

45º 30º

8 cmx

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

xsen 30º

=8

sen 45º

x=

812

22

x = 4 2 cm Resposta

60º 45º

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

xsen 60º

=4

sen 45º

x=

4

222

x = 2 6 cm Resposta

x4

3

x

8 cm

45º 30º

105º

8sen 45º

=x

sen 105º

sen 105º = sen(45º + 60º) = sen 45º.cos 60º + sen 60º.cos 45º

sen 105º =2 + 6

4

8=

x

22

2 + 64

x = 4( 3 + 1) cm Resposta

75º

45º

R =

6 c

m

60º

x y

xsen 60º

=y

sen 45º2 . 6=

x = AB = 12 . sen 60º = 6 3 cm

y = 12 . sen 45º = 6 2 cm Respostas



geometria plana

201

09) Na figura, os ângulos A e C medem, respectiva-mente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determi-ne a medida do lado AC e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.

10) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-dem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 60º.

12) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno do menor ângulo interno desse triângulo.

A

B C


13) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno do maior ângulo interno desse triângulo.

14) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do seno do maior ângulo interno desse triângulo.

Jeca 115



geometria plana

202

09) Na figura, os ângulos A e C medem, respectiva-mente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determi-ne a medida do lado AC e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.


12) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno do menor ângulo interno desse triângulo.

A

B C


13) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno do maior ângulo interno desse triângulo.

14) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do seno do maior ângulo interno desse triângulo.

Jeca 115

45º

15º120º

12 cm

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

ACsen 120º

=12

sen 45º2R=

AC

3=

12

22R=

22

AC = 6 6 cm (resp)

R = 6 2 cm (resp)

Lei dos cossenos2 2 2

x = a + b - 2.a.b.cos a


x = a + b - 2.a.b.cos a


x = a + b - 2.a.b.cos a

5

7

60º

x

2 2 2x = 5 + 7 - 2 . 5 . 7 . cos 60º

2x = 25 + 49 - 2 . 5 . 7 . 1/2

2x = 39

x = 39 cm Resposta

5

7

8

Propriedade - Em todo triângulo, ao mai-or lado opõe-se o maior ângulo e ao me-nor lado opõe-se o menor ângulo.

a

2 2 25 = 7 + 8 - 2 . 7 . 8 . cos a

25 - 49 - 64 = -112 cos a

cos a = 11/14 Resposta

A

B C

120º6

8 cm

x

2 2 2x = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos 120º

2x = 36 + 64 - 2 . 6 . 8 . (-0,5)

2x = 148

x = 2 37 cm Resposta


x = a + b - 2.a.b.cos a5

7

8

Propriedade - Em todo triângulo, ao mai-or lado opõe-se o maior ângulo e ao me-nor lado opõe-se o menor ângulo.

a

2 2 28 = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos a

64 - 49 - 25 = -70 cos a

cos a = 1/7 Resposta

5

7

8

a

Do exercício anterior, tem-se quecos a = 1/7

2 2sen a + cos a = 1

2 2sen a + (1/7) = 1

sen a = 4 3 /7 Resposta



geometria plana

203

15) Na figura, o triângulo ABC tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.

A

B C

16) Determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.

18) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de

base e 1 + 3 dm de altura. O livro é parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é 60º. Determinar o ângulo formado pelas diagonais das duas páginas.

a

60º

Jeca 116

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

17) Dados os segmentos a = 6 cm, b = 9 cm e c, de-termine o intervalo de valores que c pode assumir para que o triângulo de lados a, b e c exista e seja um triângulo acutângulo.

(GeoJeca)



geometria plana

204

M

5

5

9

5

a

d

Lei dos cossenos.2 2 2

x = a + b - 2.a.b.cos a 2 2 2

No DABC, tem-se 9 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a cos a = (81 - 125) / (-100)cos a = -44 / (-100) = 11/25

2 2 2No DABM, tem-se d = 5 + 5 - 2 . 5 . 5 . cos a

2d = 25 + 25 - 50 . 11/25 = 50 - 22 = 28d = 28 = 2 7 cm (resp)

Condição de existência|b - c| < a 45c > 3 5

Considerando c como sendo o maior lado, tem-se2 2 2

c < 9 + 6 = 81 + 36 = 117c < 117 = 3 13

Portanto 3 5 < c < 3 13 Resposta

1

1 + 3

1 +

3

1

1 1

y

Pitágoras

2 2 2y = 1 + ( )

2y = 1 + 1 + 3

2y = 2 + 3


x = a + b - 2.a.b.cos a


x = a + b - 2.a.b.cos a

No exercíciox = 1a = b = y

2 2 21 = y + y - 2 . y . y . cos a

1 = 2 + 3 + 2 + 3 - 2 . (2 + 3 ).cos a

1 - 4 - 2 3 = -2 . (2 + 3 ).cos a

-(3 + 2 3 ) = -2 . (2 + 3 ).cos a

cos a =-(3 + 2 3 )

-2 . (2 + 3 )=

32

a = 30º Resposta

4 5

6

a

2 2 25 = 4 + 6 - 2 . 4 . 6 . cos acos a = 9/16

2 2sen a + cos a = 1

2 2sen a + (9/16) = 1

sen a = 5 7 /16

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

5sen a

2R=

5 2R=5 7

4

R =8

7

8 7=

7cm Resposta

15) Na figura, o triângulo ABC tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.

16) Determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.

18) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de

base e 1 + 3 dm de altura. O livro é parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é 60º. Determinar o ângulo formado pelas diagonais das duas páginas.

a

60º

Jeca 116

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

17) Dados os segmentos a = 6 cm, b = 9 cm e c, de-termine o intervalo de valores que c pode assumir para que o triângulo de lados a, b e c exista e seja um triângulo acutângulo.

(GeoJeca)

A

B C



geometria plana

205

19) Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, determine a altura desse triângulo relativa ao maior lado.

20) Em um triângulo acutângulo de lados AB = 5 cm e AC = 7 cm, a projeção ortogonal do lado AC sobre o lado AB mede 1 cm. Determine a medida do lado BC desse triângulo.

21) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado entre a sua trajetória e a linha de visada do farol. Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a distância entre o farol e o navio no instante em que fez a 2ª leitura.

22) Para medir a distância entre dois pontos, A e B, em margens distintas de um precipício, um engenhei-ro, que estava na mesma margem que o ponto A, adotou um segmento AC = 300 m. Através de um teodolito, obteve os ângulos BAC = 58º e BCA = 67º. Com uma calculadora científica obteve os valores de sen 67º = 0,9205 e sen 55º = 0,8192. Com base nesses valores, determine a distância AB, calculada pelo engenheiro.

precipício

margem B

margem A

B

AC300 m

58º 67º

Jeca 117



geometria plana

206

19) Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, determine a altura desse triângulo relativa ao maior lado.

20) Em um triângulo acutângulo de lados AB = 5 cm e AC = 7 cm, a projeção ortogonal do lado AC sobre o lado AB mede 1 cm. Determine a medida do lado BC desse triângulo.

21) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado entre a sua trajetória e a linha de visada do farol. Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a distância entre o farol e o navio no instante em que fez a 2ª leitura.

22) Para medir a distância entre dois pontos, A e B, em margens distintas de um precipício, um engenhei-ro, que estava na mesma margem que o ponto A, adotou um segmento AC = 300 m. Através de um teodolito, obteve os ângulos BAC = 58º e BCA = 67º. Com uma calculadora científica obteve os valores de sen 67º = 0,9205 e sen 55º = 0,8192. Com base nesses valores, determine a distância AB, calculada pelo engenheiro.

precipício

margem B

margem A

B

AC300 m

58º 67º

Jeca 117

45

6 cm

h

A

B CD


5 = 4 + 6 - 2 . 4 . 6 . cos a25 - 16 - 36 = -48 cos acos a = -27 / (-48) = 9 / 16

2 2Relação fundamental sen a + cos a = 1

2 2sen a = 1 - (9/16) = (256 - 81)/256 = 175/256sen a = 5 7 /16

No DABD, tem-se sen a = h/45 7 /16 = h/4Portanto h = 5 7 /4cm (resp)

a

55ºx

Lei dos senos

xsen 67º

300

sen 55º=

x0,9205

300

0,8192=

x = 300 . 0,9205 / 0,8192

x = 337 m Resposta

A

B C

1

47 cm


x = a + b - 2.a.b.cos a

x

a

cos a =cahip

1

7=

2 2 2x = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos a

2x = 49 + 25 - 2 . 7 . 5 . 1/7 = 64

x = 8 cm Resposta

Farol

d

20 milhas

75º30º105º

Lei dos senos

dsen 30º

20

sen 45º=

d 20=

45º

1 222

d = 10 2 milhas Resposta



geometria plana

207












Geometria planaRelações métricas num triângulo qualquer.


Jeca 118



geometria plana

208












Geometria planaRelações métricas num triângulo qualquer.


Jeca 118

|b - c| < a < b + c|6 - 8| < 10 < 6 + 82 < 10 < 14 verdadeiroEsse triângulo existe.

2 2a = 10 = 100

2 2 2 2b + c = 6 + 8 = 36 + 64

2 2b + c = 100

2 2 2a = b + c Esse triângulo é retângulo.


2 2a = 9 = 81

2 2 2 2b + c = 6 + 8 = 36 + 64

2 2b + c = 100

2 2 2a b + c Esse triângulo é obtusângulo.

|b - c| < a b + c Esse triângulo é obtusângulo.


2 2a = 13 = 169

2 2 2 2b + c = 12 + 5 = 144 + 25

2 2b + c = 169

2 2 2a = b + c Esse triângulo é retângulo.

|b - c| < a < b + c|3 - 4| < 7 < 3 + 41 < 7 < 7 falsoEsse triângulo não existe.


2 2a = 14 = 196

2 2 2 2b + c = 12 + 13 = 144 + 169

2 2b + c = 313

2 2 2a < b + c Esse triângulo é acutângulo.



geometria plana

209

02) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.

30º

10 cm

8 cm x

45º

8 cm

9 cm

x

60º

14 cm

9 cm

x

6 c

m

9 cm

x

6 cm9 cm

x

120º

8 cm

10 cmx

135º

A

B C11 cm

8 cm

6 cm

a

09) No triângulo ABC abaixo, determine o valor de cos a.







150º

8 cm

x

8 cm

Jeca 119



geometria plana

210


30º

10 cm

8 cm x

45º

8 cm

9 cm

x

60º

14 cm

9 cm

x

6 c

m

9 cm

x

6 cm9 cm

x

120º

8 cm

10 cmx

135º

A

B C11 cm

8 cm

6 cm

a

09) No triângulo ABC abaixo, determine o valor de cos a.







150º

8 cm

x

8 cm

Jeca 119


x = a + b - 2 . a . b . cos a2 2 2

x = 8 + 10 - 2 . 8 . 10 . 3 / 22

x = 64 + 100 - 80 3

x = 2 (41 - 20 3 ) cm (resp)


x = a + b - 2.a.b.cos a

2 2 2x = 8 + 9 - 2 . 8 . 9 . cos 45º

2x = 64 + 81 - 2 . 8 . 9 .

2x = 145 - 72 2

x = 145 - 72 2 cm Resposta

22


x = a + b - 2.a.b.cos a

2 2 2x = 9 + 14 - 2 . 9 . 14 . cos 60º

2x = 81 + 196 - 2 . 9 . 14 .

2 x = 151

x = 151 cm Resposta

12

Pitágoras

2 2 2x = 6 + 9 = 117

x = 117 = 3 13 cm

Resposta


x = a + b - 2.a.b.cos a Lei dos cossenos2 2 2

x = a + b - 2.a.b.cos a

2 2 2x = 6 + 9 - 2 . 6 . 9 . cos 120º

2x = 36 + 81 - 2 . 6 . 9 . (-0,5) = 171

x = 171 = 3 19 cm Resposta

2 2 2x = 8 + 10 - 2 . 8 . 10 . cos 135º

2x = 64 + 100 - 2 . 8 . 10 . ( - )

2x = 164 + 80 2 = 4(41 + 20 2 )

x = 2 41 + 20 2 cm Resposta

22


x = a + b - 2.a.b.cos a


x = a + b - 2.a.b.cos a

2 2 2x = 8 + 8 - 2 . 8 . 8 . cos 150º

2x = 64 + 64 - 2 . 64 . (- 3 )

2x = 128 + 64 3 = 64 (2 + 3 )

x = 8 2 + 3 cm Resposta

2

2 2 211 = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos a

121 - 36 - 64 = - 96.cos a

21 = - 96.cos a

cos a = -21/96 = -7/32 Resposta



geometria plana

211

11) No triângulo ABC abaixo, sendo AB = 7 cm, BC = 8 cm e AC = 9 cm, determinar a medida da mediana AM, relativa ao lado BC.

10) No triângulo ABC abaixo, determinar o cos a e cos b.

10 cm

8 cm

5 cm

b

a g

A

B CM

12) No triângulo ABC abaixo, determinar o valor de cos a, sen a e tg a.

a

12 cm6 cm

8 cm

14) Na figura abaixo, determine :a) o cosseno do ângulo a.b) a medida do segmento AD.

A

B CD

a

6 cm 4 cm

5 cm

8 cm

15) (Jeca) Na figura ao lado, as três circunferências maiores têm raio 1 cm, tangenciam-se entre si e tangenciam uma circunferência menor. Determine o raio da circunferência menor.

13) No triângulo ABC abaixo, o ponto M é medio do segmento BC. Sa bendo que AB = 6 cm, BC = 10 cm e AC = 13 cm, determine :a) o cosseno do ângulo B.b) a medida da mediana AM.

M

A

BC

Jeca 120



geometria plana

212

11) No triângulo ABC abaixo, sendo AB = 7 cm, BC = 8 cm e AC = 9 cm, determinar a medida da mediana AM, relativa ao lado BC.

10) No triângulo ABC abaixo, determinar o cos a e cos b.

10 cm

8 cm

5 cm

b

a g

A

B CM

12) No triângulo ABC abaixo, determinar o valor de cos a, sen a e tg a.

a

12 cm6 cm

8 cm

14) Na figura abaixo, determine :a) o cosseno do ângulo a.b) a medida do segmento AD.

A

B CD

a

6 cm 4 cm

5 cm

8 cm

15) (Jeca) Na figura ao lado, as três circunferências maiores têm raio 1 cm, tangenciam-se entre si e tangenciam uma circunferência menor. Determine o raio da circunferência menor.

13) No triângulo ABC abaixo, o ponto M é medio do segmento BC. Sa bendo que AB = 6 cm, BC = 10 cm e AC = 13 cm, determine :a) o cosseno do ângulo B.b) a medida da mediana AM.

M

A

BC

Jeca 120

2 2 28 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos acos a = (64 - 25 - 100) / (-100) = -61 / (-100)cos a = 61/100 (resp)

2 2 210 = 5 + 8 - 2 . 5 . 8 . cos bcos b = (100 - 25 - 64) / (-80)cos b = 11 / (-80) = -11 / 80 (resp)


12 = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos acos a = (144 - 36 - 64) / (-96)cos a = 44 / (-96) = -11 / 24 (resp)

Relação fundamental da trigonometria2 2 sen a + cos a = 12 2

sen a + (-11 / 24) = 1sen a = 455 / 24 (resp)

tg a = sen a / cos a = ( 455 / 24) / (-11 / 24)

tg a = - 455 / 11 (resp)

4 4

97


x = a + b - 2.a.b.cos a

q

2 2 29 = 7 + 8 - 2 . 7 . 8 . cos q

cos q = 2/7

No D ABM , tem-se

2 2 2x = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . cos q

2 2 2x = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . 2/7

2x = 49

x = 7 cm Resposta

x


x = a + b - 2.a.b.cos a2 2 2

13 = 6 + 10 - 2 . 6 . 10 . cos q

cos q = -11/40

No D ABM , tem-se

2 2 2x = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos q

2 2 2x = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . (-11/40)

2x = 61 + 33/2 = 155/2 = 310/4

x = 310 / 2 cm Resposta

y

5 5

613

q


x = a + b - 2.a.b.cos a

y2 2 2

8 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a

cos a = 61/100

No D ABD , tem-se

2 2 2y = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos a

2y = 25 + 36 - 60 . 61/100 = 488/5

y = 122/5 = 610 / 5 cm Resposta

120º

1 + r1

11 + r


x = a + b - 2.a.b.cos a

2 2 22 = (1 + r) + (1 + r) - 2 . (1 + r) . (1 + r) . cos 120º

23r + 6r - 1 = 0

r =2 3 - 3

3cm Resposta



geometria plana

213

18) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.

45º30º

A

B C

8 cmx

60º

75º12 cmx

A

B C

120º45º

x16 cm

A

B C

R =

8 c

m

x

45º

O

x

x45º 45º

12 c

m

12 c

m

6 6 cm






6 6 cm

60º

x

10 cm

79 cm

16) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.


120º

14 cm

10 cm

x

Jeca 121



geometria plana

214


45º30º

A

B C

8 cmx

60º

75º12 cmx

A

B C

120º45º

x16 cm

A

B C

R =

8 c

m

x

45º

O

x

x45º 45º

12 c

m

12 c

m

6 6 cm






6 6 cm

60º

x

10 cm

79 cm



120º

14 cm

10 cm

x

Jeca 121


x = a + b - 2 . a . b . cos a

No exercíciox = 14a = x

2 2 214 = x + 10 - 2 . x . 10 . (-1/2)

2196 = x + 100 + 10x

2x + 10x - 96 = 0Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se

x = -16 cm ou x = 6 cm (resp)

cos 120º


x = a + b - 2 . a . b . cos a

No exercíciox = 79a = x

2 2 2( 79 ) = x + 10 - 2 . x . 10 . cos 60º

2x - 10x + 21 = 0

Resolvendo, tem-sex = 7 cmoux = 3 cm Resposta

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

xsen 45º

=8

sen 30º

x=

8

2 22 1

x = 8 2 cm Resposta

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

xsen 45º

=12

sen 60º

x=

22

x = 4 6 cm Resposta

45º

12

23

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

16sen 45º

=x

sen 120º

=

22

x = 8 6 cm Resposta

16 x

23

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

x 2 . 8 = 16=

22

x = 8 2 cm Resposta

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

12sen 45º

=6 6sen x

=

22

12 6 6sen x

sen x =23

x = 60º ou x = 120º Resposta

y

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

12sen 45º

=6 6sen y

sen y =23

Portanto y = 60º ou y = 120º

Se y = 60º, entãox + 60 + 45 = 180x = 75º

Se y = 120º, entãox + 120 + 45 = 180x = 15º

x = 15º ou x = 75º Resposta



geometria plana

215

24) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

A

B C60º 45º

x

8 c

m

AB

C

30º 120º12 cm

x

30º

105º

x

20 cm

30º118º

x20 cm

sen 118º = 0,88




7 cmx

120º

135º

y

z

3 cm5 cm

30º



12 cm

30º

x

15º

30º

18 cm

x

30) Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z.

Jeca 122



geometria plana

216


A

B C60º 45º

x

8 c

m

AB

C

30º 120º12 cm

x

30º

105º

x

20 cm

30º118º

x20 cm

sen 118º = 0,88




7 cmx

120º

135º

y

z

3 cm5 cm

30º



12 cm

30º

x

15º

30º

18 cm

x

30) Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z.

Jeca 122

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

xsen 60º

=8

sen 45º2R=

x=

8 2R=32 2

2

x =8 3

2=

8 62

= 4 6 cm (resp)

8 2R=22

> R = 4 2 cm (resp)

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

xsen 30º

=12

sen 120º

x=

12

12 2

3

30º

x =12 3

3cm Resposta= 4 3

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

12sen 30º

2R=

12 2R=12

2R = 24

R = 12 cm Resposta

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

135º

xsen 135º

=18

sen 30ºx

=18

122

2


Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

20sen 45º

=x

sen 30º

x=

122

2


Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

20sen 118º

=x

sen 30ºx

=12

x = 11,36 cm Resposta

45º

20

0,88

20

Pitágoras

2 2 37 = x + 3

x = 2 10 cm

Lei dos cossenos

2 2 2y = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos 120º

2y = 49 + 25 - 70 . (- 0,5)

2y = 49 + 25 + 35 = 109

y = 109 cm

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =

y

sen 135º=

zsen 30º

z=

122

2

109

2 . 109 z =2

=2182

cm Resposta



geometria plana

217

A

B C

D

E

F

G

H JL

33) (Ibmec- SP) Na figura abaixo, suponha que as medidas dos segmentos BC, BD, CF, BG e CG sejam todas iguais a 2 e que CF e BD sejam, respectiva-mente, as bissetrizes dos ângulos BCE e CBG.a) Determine a medida do segmento BE.b) Calcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º)c) Determine a medida do segmento BF.

32) Dado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com ângulos internos a, b e c, prove que a = 2b.

45

6

a

bc

34) (ITA-SP) No quadrilátero ABCD da figura abai-xo, temos BC = CD. Então podemos garantir que:

a

b

g

q

A

B

C

D

a)

b) g . b = a . q

c) tg a = tg g

2d) (BC) = AD . BD

e) tg a . tg b = tg g . tg q

sen b =sen a

sen qsen g

Jeca 123

A

B

C

D

E

31) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, AB = BC = CD = DE = 2 e ABC = BCD = 2p / 3 eCDE = p / 2. Calcule a distância entre os pontos A e E.



geometria plana

218

A

B C

D

E

F

G

H JL

33) (Ibmec- SP) Na figura abaixo, suponha que as medidas dos segmentos BC, BD, CF, BG e CG sejam todas iguais a 2 e que CF e BD sejam, respectiva-mente, as bissetrizes dos ângulos BCE e CBG.a) Determine a medida do segmento BE.b) Calcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º)c) Determine a medida do segmento BF.

32) Dado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com ângulos internos a, b e c, prove que a = 2b.

45

6

a

bc

34) (ITA-SP) No quadrilátero ABCD da figura abai-xo, temos BC = CD. Então podemos garantir que:

a

b

g

q

A

B

C

D

a)

b) g . b = a . q

c) tg a = tg g

2d) (BC) = AD . BD

e) tg a . tg b = tg g . tg q

sen b =sen a

sen qsen g

Jeca 123

A

B

C

D

E

31) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, AB = BC = CD = DE = 2 e ABC = BCD = 2p / 3 eCDE = p / 2. Calcule a distância entre os pontos A e E.

2

2 2

2

120º

x y

d

30º 45º45º

2 2 2Pitágoras y = 2 + 2

y = 8 = 2 2


x = 2 + 2 - 2 . 2 . 2 . (-1/2)2

x = 12x = 2 3


d = x + y - 2 . x . y . cos 45º2 2 2

d = (2 3 ) + (2 2 ) - 2 . 2 3 . 2 2 . 2 / 22

d = 20 - 8 3

d = 2 5 - 2 3 (resp)

30º

30º

15º

30º

30º

45º

D BCF é isóscelesPortanto BFC = FBC = 75º

No D BCE, tem-seB = 75º , C = 60º , E = 45º

a) Lei dos senos

Portanto BE = 6 Resposta

b) sen 75º = sen(30º + 45º) = = sen 30º.cos 45º + sen 45º.cos 30º

sen 75º Resposta

2sen 45º

= BEsen 60º

=2 + 6

4

c) Lei dos cossenos no D BCF2 2 2

(BF) = 2 + 2 - 2 . 2 . 2 . cos 30º

BF = 2 2 - 3 Resposta

c) Pela Lei dos senos

2sen 75º =

BFsen 30º

Resolvendo, tem-se BF = 6 - 2 Resposta

Observação - 2 2 - 3 = 6 - 2 (mesma resposta)


x = a + b - 2 a b cos a2 2 2

6 = 4 + 5 - 2 . 4 . 5 . cos a cos a =18>

2 2 24 = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos b cos b = 3

42 2

sen b + cos b = 1 sen b = 74

2 2cos 2b = cos b - sen b = 916

7 2 18

=

cos a = cos 2b =

>

>

16 16=

18

Portanto a = 2b

x

x

y

No D ABC , tem-se pela Lei dos senos

xsen a =

y

sen b

No D ADC , tem-se pela Lei dos senos

Portanto

sen g sen qx

=y

= sen bsen ax

y

= sen qsen gx

y

sen bsen a

= sen qsen g

Resposta a



geometria plana

219


01) existe e é obtusângulo

02)a) triângulo retângulob) triângulo acutânguloc) triângulo acutângulod) não existe o triânguloe) não existe o triângulof) triângulo acutângulog) triângulo obtusânguloh) triângulo acutângulo

03) S = {c c R I 2 < c < 16 }

04) triângulo obtusângulo

05) 4 2 cm

06) 2 6 cm

07) 4( 3 + 1) cm

08) 6 3 cm e 6 2 cm

09) 6 6 cm e 6 2 cm

10) 39 cm

11) 2 37 cm

12) 11 / 14

13) 1 / 7

14) 4 3 / 7

15) 2 7 cm

16) (8 7 / 7) cm

17) S = { c | 3 5 < c < 3 13 }

18) 30º

19) (5 7 / 4) cm

20) 8 cm

21) 10 2 milhas

22) 337 metros



Jeca


Jeca 124

R



geometria plana

220


01) a) triângulo retângulob) triângulo acutânguloc) triângulo obtusângulod) não existee) triângulo obtusângulof) triângulo retângulog) não existeh) triângulo acutângulo

2) 2 41 - 20 3 cm

3) 145 - 72 2 cm

4) 151 cm

5) 117 = 3 13 cm

6) 171 = 3 19 cm

7) 2 41 + 20 2 cm

8) 8 2 + 3 cm

9) -7 / 32

10) cos a = 61 / 100 cos b = -11 / 80

11) 7 cm

12) cos a = -11 / 24 sen a = tg a =

13) a) -11 / 40 b) 310

14) a) 61 / 100 b) 610 cm

45524

45511

2

5

15) (2 3 - 3 / 3) cm

16) 6 cm

17) 3 cm ou 7 cm

18) 8 2 cm

19) 4 6 cm

20) 8 6 cm

21) 8 2 cm

22) 60º ou 120º

23) 15º ou 75º

24) x = 4 6 cm e R = 4 2 cm

25) 4 3 cm

26) 12 cm

27) 18 2 cm

28) 10 2 cm

29) 11,36 cm

30) x = 2 10 cm y = 109 cm z cm

31) 2 5 - 2 3

32) demonstração abaixo

33) a) 6b) ( 2 + 6 ) / 4c) 6 - 2

34) a

=2182

45

6

a

bc


x = a + b - 2 a b cos a2 2 2

6 = 4 + 5 - 2 . 4 . 5 . cos a cos a =18>

2 2 24 = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos b cos b = 3

42 2sen b + cos b = 1 sen b = 7

4

2 2cos 2b = cos b - sen b = 916

7 2 18

=

cos a = cos 2b =

Resolução.

32)

>

>

16 16=

18 Portanto a = 2b

Jeca 125



geometria plana

221




Circunferência e círculo.


A

B

C

D

r

r

ra

P


Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)

c = 2pr - perímetro ou comprimento da circunferência.

2S = p r - área do círculo.

360º - abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência.

2p rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.

II) Exercícios.

01) Determinar o perímetro e a área de um círculo de raio 7 m.

02) Determinar o diâmetro e a área de um círculo cujo perímetro mede 36p cm.

03) A roda de um automóvel tem um diâmetro que mede 50 cm. Determine a distância percorrida por esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 voltas. Adotar p = 3,14 e supor que a roda não deslize durante a rolagem.

04) Determine quantas voltas por segundo deve dar cada roda de um automóvel na velocidade linear constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada roda é 25 cm e que a roda não desliza durante a rolagem. (adotar p = 3,14)

Jeca 126



geometria plana

222




Circunferência e círculo.


A

B

C

D

r

r

ra

P


Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)

c = 2pr - perímetro ou comprimento da circunferência.

2S = p r - área do círculo.

360º - abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência.

2p rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.

II) Exercícios.

01) Determinar o perímetro e a área de um círculo de raio 7 m.

02) Determinar o diâmetro e a área de um círculo cujo perímetro mede 36p cm.

03) A roda de um automóvel tem um diâmetro que mede 50 cm. Determine a distância percorrida por esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 voltas. Adotar p = 3,14 e supor que a roda não deslize durante a rolagem.

04) Determine quantas voltas por segundo deve dar cada roda de um automóvel na velocidade linear constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada roda é 25 cm e que a roda não desliza durante a rolagem. (adotar p = 3,14)

Jeca 126

c = 2pR = 2 . p . 7 = 14p cm

2 2 2S = pR = p7 = 49p cm

c = 2pR = 36p cm

R = 36p / 2p = 18 cm

d = 2R = 2 . 18 = 36 cm

2 2 2S = pR = p . 18 = 324p cm Resposta

2R = 50 cm R = 25 cm = 0,25 m

d = n . c = n . 2pR = 1 750 . 2 . p . 0,25

d = 1 750 . 2 . 3,14 . 0,25 = 2 747,5 m Resposta

R = 25 cm = 0,25 m

d = n . c = n . 2pR

31,4 = n . 2 . 3,14 . 0,25

n =31,4

2 . 3,14 . 0,25= 20 volta Resposta



geometria plana

223

06) (UNIFESP-SP) A figura mostra duas roldanas cir-culares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia não escorregue. Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, seu raio, em centímetros, deve ser:a) 8b) 7c) 6d) 5e) 4

07) (VUNESP-SP) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular com raio de 1 cm, como mostra a figura.

1 rad1 cm

"monstro"

A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é:a) p - 1b) p + 1c) 2p - 1d) 2pe) 2p + 1

05) (UFRJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m, as rodas de um automóvel dão 250 voltas. Calcule o raio das rodas.

08) (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente:

a) 93 kmb) 196 kmc) 366 kmd) 592 kme) 291 km

10) (Mack-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 4 cm. Supondo p = 3, a distância, em centíme-tros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minutos é:

a) 15b) 12c) 20d) 25e) 10

O

A

B

CD

a

Jeca 127

09) (J) A figura abaixo representa um setor circular de centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD

têm comprimentos 4p cm e 4,8p cm , respectiva-mente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 2 cm, determine a medida do segmento OB.



geometria plana

224

06) (UNIFESP-SP) A figura mostra duas roldanas cir-culares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia não escorregue. Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, seu raio, em centímetros, deve ser:a) 8b) 7c) 6d) 5e) 4

07) (VUNESP-SP) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular com raio de 1 cm, como mostra a figura.

1 rad1 cm

"monstro"

A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é:a) p - 1b) p + 1c) 2p - 1d) 2pe) 2p + 1

05) (UFRJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m, as rodas de um automóvel dão 250 voltas. Calcule o raio das rodas.

08) (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente:

a) 93 kmb) 196 kmc) 366 kmd) 592 kme) 291 km

10) (Mack-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 4 cm. Supondo p = 3, a distância, em centíme-tros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minutos é:

a) 15b) 12c) 20d) 25e) 10

O

A

B

CD

a


têm comprimentos 4p cm e 4,8p cm , respectiva-mente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 2 cm, determine a medida do segmento OB.

Jeca 127

d = n . c = n . 2pR

450 = 250 . 2pR

R = 450 / 500p = 9 / 10p m (resp)

x 2

x - 2

AC = a2p

2 . p . (x - 2)

AC = a .(x - 2)4p = a .(x - 2)a = 4p / (x - 2)

BD = a2p

2 . p . x

BD = a . x4,8 p = a . xa = 4,8 p / x

4px - 2

=4,8 p

x

x = 12 Resposta

n . 2pR = n . 2pRM M m m

100 . 2 . p . 12 = 150 . 2 . p . Rm

R = = 8 cm Resposta a m100 . 2 . p . 12

150 . 2 . p

O ângulo central do arco de circunferência tem abertura (2p - 1) radianos.

Perímetro = d + 1 + 1

2p rad ------------- c = 2pR(2p - 1) rad ----------- d

d =2.p.1.(2p - 1)

2p= 2p - 1

Perímetro = d + 1 + 1 = 2p - 1 + 1 + 1 = 2p + 1Resposta e

d = 185 600 . c = 185 600 . 2.p.R

R = 0,25 m

d = 185 600 . 2 . 3,14 . 0,25 = 291 392 m

Aproximadamente 291 km Resposta e

150ºR = 4

25 minutos corresponde a um ângulo central de 150º

d = 2.p.R . 150/360

d = 2 . 3 . 4 . 150 / 360

d = 10 cm Resposta e



geometria plana

225

12) (UFLa-MG) Os raios das rodas traseiras de um trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O raio de cada uma das rodas dianteiras é:

a) 20 cmb) 30 cmc) 25 cmd) 15 cme) 22 cm.

11) (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.

Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia ?

a) 122,8 cmb) 102,4 cmc) 92,8 cmd) 50 cme) 32,4 cm

13) (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm está inscrito numa circunferência. Nessa circunfe-rência, um arco de medida 100º, em centímetros, tem comprimento:

a) 3p / 5b) 5p / 6c) pd) 5p / 3e) 10p / 3

14) (UFPI-PI) Numa circunferência na qual está inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento, em cm, de um arco dessa circunferência, medindo 120º é:

a) 10 2 p / 3b) 5 p / 3c) 5 7 p / 3d) 10 3 p / 2e) 5 2 p / 3

15) (UEG-GO) Na figura abaixo, os segmentos AB e BC correspondem, respectivamente, aos lados de um hexágono regular e de um quadrado, ambos inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. Deter-mine o comprimento do arco ABC.

A

B

C

16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um pon-to A até um ponto B, diametralmente opostos, con-forme a figura abaixo. O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, igual a:

a) p / 2b) pc) 3p / 2d) 2pe) 3p

A

B

Jeca 128



geometria plana

226

12) (UFLa-MG) Os raios das rodas traseiras de um trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O raio de cada uma das rodas dianteiras é:

a) 20 cmb) 30 cmc) 25 cmd) 15 cme) 22 cm.

11) (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.

Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia ?

a) 122,8 cmb) 102,4 cmc) 92,8 cmd) 50 cme) 32,4 cm

13) (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm está inscrito numa circunferência. Nessa circunfe-rência, um arco de medida 100º, em centímetros, tem comprimento:

a) 3p / 5b) 5p / 6c) pd) 5p / 3e) 10p / 3

14) (UFPI-PI) Numa circunferência na qual está inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento, em cm, de um arco dessa circunferência, medindo 120º é:

a) 10 2 p / 3b) 5 p / 3c) 5 7 p / 3d) 10 3 p / 2e) 5 2 p / 3

15) (UEG-GO) Na figura abaixo, os segmentos AB e BC correspondem, respectivamente, aos lados de um hexágono regular e de um quadrado, ambos inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. Deter-mine o comprimento do arco ABC.

A

B

C

16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um pon-to A até um ponto B, diametralmente opostos, con-forme a figura abaixo. O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, igual a:

a) p / 2b) pc) 3p / 2d) 2pe) 3p

A

B

Jeca 128

30 cm

d = 2 . 30 + 2 . c/2 = 2 . 30 + 2 . p . 10

d = 60 + 2 . 3,14 . 10 = 122,8 cm (resp)

aH aQ

R = 6 cm

a = 360/60 = 60ºH

a = 360/4 = 90ºQ

A medida do arco ABC é 150º

Regra de três

360º -------------- 2pR150º --------------- x

x = 150 . 2 . p . 6 / 360

x = 5p cm Resposta

A menor distância entre os pontos A e B é uma semicircunfe-rência de raio 50 cm.

d = 2.p.R / 2 = 2 . p . 0,50 /2 = p/2 Resposta a

R = 3

3

3

3

100º

x

Se o hexágono tem lado 3 cm, então a circunferência tem raio 3 cm. Regra de três360º --------------------- 2pR100º --------------------- x

x = 2 . p . 3 . 100 / 360 = 5p/3 Resposta d

10

10120º

x

R

R

Pitágoras2 2 2

(2R) = 10 + 10 = 200

R = 5 2

x = 2.p.R . 120/360 = 2.p.5 2 . 120/360

x = 10p 2 /3 cm Resposta a

A distância percorrida por uma roda dianteira é igual à distância percorrida por uma roda traseira.

d = dD T

n . 2pR = n . 2pRD D T T

90 . 2 . p . R = 30 . 2 . p . 75D

R = D

30 . 2 . p . 7590 . 2 . p

= 25 cm Resposta c



geometria plana

227

17) (UFSCAR-SP) A sequência de figuras mostra um único giro do ponto A, marcado em uma roda circular, quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada pelos segmentos RQ e QP.

Além do que indicam as figuras, sabe-se que o raio da roda mede 3 m e que ela gira sobre a rampa sem deslizar em falso. Sendo assim, o comprimento da rampa RQ + QP, em m, é igual a:

a) 5p + 2 3

b) 4p + 3 5

c) 6p + 3

d) 7p - 3

e) 8p - 3 5

50 cm18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros equidistantes 50 cm, como representado na figura abaixo. Adotando p = 3, determine o comprimento da correia que envolve as três polias.

correia

polia

correia

20) (FUVEST-SP) A figura representa duas polias cir-culares C e C de raios R = 4 cm e R = 1 cm, 1 2 1 2

apoiadas em uma superfície plana em P e P , 1 2

respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P 1

e P é 3 3 cm, determine o comprimento da correia.2

P1 P23 3 cm

AB

C

19) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicir-cunferência maior e três semicircunferências menores congruentes. Determinar os raios das semicircunfe-rências sabendo que B, C e D são os centros das semicircunferências e os pontos A, B, C, D e E são

colineares. (Adotar p = 3,14)

DE

Jeca 129

120º

R Q

P

A

120º

R Q

PA

figura 1

figura 3

R Q

P

A

figura 2



geometria plana

228

17) (UFSCAR-SP) A sequência de figuras mostra um único giro do ponto A, marcado em uma roda circular, quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada pelos segmentos RQ e QP.

Q

A

50 cm18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros equidistantes 50 cm, como representado na figura abaixo. Adotando p = 3, determine o comprimento da correia que envolve as três polias.

correia

polia

correia

20) (FUVEST-SP) A figura representa duas polias cir-culares C e C de raios R = 4 cm e R = 1 cm, 1 2 1 2

apoiadas em uma superfície plana em P e P , 1 2

respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P 1

e P é 3 3 cm, determine o comprimento da correia.2

P1 P23 3 cm

AB

C

19) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicir-cunferência maior e três semicircunferências menores congruentes. Determinar os raios das semicircunfe-rências sabendo que B, C e D são os centros das semicircunferências e os pontos A, B, C, D e E são

colineares. (Adotar p = 3,14)

DE

Jeca 129

R

P

S

T

30º

30º

60º60º

RS tem o comprimento de um arco de 150ºST tem o comprimento de um arco de 60ºTP tem o comprimento de um arco de 150ºSQ = QT é o cateto oposto do triângulo CSQ

tg 30º = x/3 SQ = x = 3 tg 30º = 3 3 / 3 = 3 m

RQ + QP = RS + SQ + QT + TP = 2(RS + SQ)

RQ + QP = 2(150 . 2 . p . 3 / 360 + 3 )

RQ + QP = 5p + 2 3 m (resp)

C

3

x

>

a3

1

1

3 3 cm

tg a = co / ca = =

a = 60º

d - comprimento da correia

d = 2 . 3 3 + 2 . p 1 + 2 . p . 4

d = 6 3 + +

d = 6( 3 + p) cm (resp)

33 3

3

120º

240º

120360

240360

2p

316p

3

60º

120º

50 cm

O comprimento da correia é a soma de três trechos retos de comprimento 50 cm e três arcos de circunferência de raio 10 cm e ângulo central 120º. Os três arcos somados são iguais a uma circunferência com-pleta.

C = 3 . 50 + 2pR = 3 . 50 + 2 . p . 10

C = 150 + 20p = 10(15 + 2p) cm

p = 3

C = 210 cm Resposta

R RR R

R R

1 640 2.p.R2

1 2.p.3R3. + .2

=

1 640 = 3pR + 3pR = 6pR

R = 1 640 / 6p = 1 640 /18,84

R = 87,05 m

R' = 3R = 261,15 m Resposta



geometria plana

229



Geometria planaCircunferência e círculo.


01) (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistên-cia deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular

de raio 200m. Considerando p = 3,14, o número de voltas que ele deve dar é:

a) 500b) 350c) 450d) 400e) 300

02) (UCS-RS) A razão entre os comprimentos da Linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à razão entre os comprimentos de uma circunferência qualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:

a) verdadeira, e a razão referida vale p / 2.b) verdadeira, e a razão referida vale p.c) verdadeira, e a razão referida vale 3p / 2.d) verdadeira, e a razão referida vale 2p.e) falsa.

O

A

B

CD

a


têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 2 cm, determine a medida do ângulo a.

06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46p m de comprimento e pretende fazer duas circunferên-cias concêntricas com ela; uma circunferência menor de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaixo.Determine a distância d entre as circunferências.

d

03) (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.

A

B

05) (J) Na figura abaixo, A e B são os pontos médios de dois lados de um pentágono regular de perímetro 60 m. Sendo C um vértice do pentágono e o centro do setor circular, determine o perímetro da região som-breada. (Adote p = 3)

C

Jeca 130



geometria plana

230



Geometria planaCircunferência e círculo.


01) (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistên-cia deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular

de raio 200m. Considerando p = 3,14, o número de voltas que ele deve dar é:

a) 500b) 350c) 450d) 400e) 300

02) (UCS-RS) A razão entre os comprimentos da Linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à razão entre os comprimentos de uma circunferência qualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:

a) verdadeira, e a razão referida vale p / 2.b) verdadeira, e a razão referida vale p.c) verdadeira, e a razão referida vale 3p / 2.d) verdadeira, e a razão referida vale 2p.e) falsa.

O

A

B

CD

a


têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 2 cm, determine a medida do ângulo a.

06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46p m de comprimento e pretende fazer duas circunferên-cias concêntricas com ela; uma circunferência menor de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaixo.Determine a distância d entre as circunferências.

d

03) (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.

A

B

05) (J) Na figura abaixo, A e B são os pontos médios de dois lados de um pentágono regular de perímetro 60 m. Sendo C um vértice do pentágono e o centro do setor circular, determine o perímetro da região som-breada. (Adote p = 3)

C

Jeca 130

n = número de voltasc = 2pR = comprimento de uma voltad = 502 400 m = distância percorrida

d = n . c = n . 2pR = n . 2 . 3,14 . 200 = 502 400

n = 502 400 / 2 . 3,14 . 200 = 400 voltas (resp)

c = 2pR - comprimento da linha do Equador.

d = 2R - diâmetro da Terra

cd

=2pR

2Rp= Resposta b

c = 2.p.R = 2 . 3,14 . 5 = 31,4 cm

10 m = 1 000 cm

n . 31,4 = 1 000

n = 1 000/31,4 = 31,84 voltas

Portanto, n = 32 voltas Resposta

AC = a2p

2 . p . (x - 2)

AC = a .(x - 2)4p = a .(x - 2)a = 4p / (x - 2)

BD = a2p

2 . p . x

BD = a . x4,8 p = a . xa = 4,8 p / x

4px - 2

=4,8 p

x

x = 12 a = 4,8p/12 = 0,4p = 2p/5 radianos = 72º

Resposta

12

12

12

6

6

6

6

xa

a = 540 / 5 = 108º

Comprimento do arco x

x = 2pR . 108/360

x = 2 . 3 . 6 . 108/360

x = 10,8 cm

Perímetro da região sombreada

Per = 2p = 2 . 6 + 3 . 12 + x

Per = 2p = 48 + 10,8 = 58,8 cm Resposta

Comprimento da circunferência menorc = 2pR = 2.p.10 = 20p m

Comprimento da circun-ferência maiorc' = 46p - 20p = 26p m

Raio da circunferência maior26p = 2pR'R' = 26p/2p = 13 m

Distância d = R' - R = 13 - 10 = 3 m Resposta



geometria plana

231

07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas, de tal forma que cada pessoa tenha disponível um arco de circunferência de comprimento 60 cm.

Adotando p = 3, determine o raio da mesa.

60ºO

A

B

C

08) (J) Na figura abaixo, o arco ABC é 1 cm mais comprido que a corda AC. Determine a medida do raio da circunferência.

09) Uma circunferência tem raio R. Aumentando-se o raio para R + d, determine:a) o comprimento da circunferência original;b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido aumentado;c) o aumento do comprimento da segunda circunferên-cia em relação à circunferência original.

10) (J) A figura abaixo representa duas polias de raios 30 cm e 20 cm. Um motor aclopado à polia maior trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que a correia que une as polias não escorregue, determine o nº de rotações por minuto da polia menor.

11) Calcule o comprimento de um arco de 2 radianos numa circunferência de raio 40 cm.

12) Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que um arco de 3p / 2 radianos mede 50 cm.

Jeca 131



geometria plana

232

07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas, de tal forma que cada pessoa tenha disponível um arco de circunferência de comprimento 60 cm.

Adotando p = 3, determine o raio da mesa.

60ºO

A

B

C

08) (J) Na figura abaixo, o arco ABC é 1 cm mais comprido que a corda AC. Determine a medida do raio da circunferência.

09) Uma circunferência tem raio R. Aumentando-se o raio para R + d, determine:a) o comprimento da circunferência original;b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido aumentado;c) o aumento do comprimento da segunda circunferên-cia em relação à circunferência original.

10) (J) A figura abaixo representa duas polias de raios 30 cm e 20 cm. Um motor aclopado à polia maior trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que a correia que une as polias não escorregue, determine o nº de rotações por minuto da polia menor.

11) Calcule o comprimento de um arco de 2 radianos numa circunferência de raio 40 cm.

12) Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que um arco de 3p / 2 radianos mede 50 cm.

Jeca 131

45º

60 cm

R

360 / 8 = 45º

Regra de três

360º 2pR

45º 60 cm

2 . 3 . R = 360 . 60 / 45 = 480

R = 480 / 6 = 80 cm (resp)

R

R

R

AC = AC + 1 = R + 1

AC =a

3602pR.

AC =60360

2pR.

AC =pR3

AC = AC + 1 = R + 1

pR3

= R + 1 pR = 3R + 3 R(p - 3) = 3

R =3

(p - 3)cm Resposta

a) c = 2pR

b) c' = 2p(R + d) = 2pR + 2pd

c) Dc = c' - c = (2pR + 2pd) - 2pR = 2pd

A distância percorrida por um ponto A na 1ª polia é igual à dis-tância percorrida por um ponto B na 2ª polia.

A

B

d = d n . 2pR = n . 2pRA B A A B B

1 750 . 2 . p . 30 = n . 2 . p . 20B

n = 2 625 rpm RespostaB

Regra de três

2p Radianos ---------------- c = 2pR2 Radianos ----------------------- x

x =2 . 2pR

2p= 2.R = 2 . 40 = 80 cm

x = 80 cm Resposta

Regra de três

2p Radianos ---------------- c = 2pR3p/2 Radianos ----------------- 50

2pR . 3p2

= 2p . 50

R =1003p

cm Resposta



geometria plana

233

13) (UFSCar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a partir do centro, em setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo de N fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor que é indicada na figura por fatiaN + 1.

Considerando p = 3,14, o arco da fatia N + 1, em radiano, éa) 0,74b) 0,72c) 0,68d) 0,56e) 0,34

fatia 1

fatia 2

fatia 3

fatia N

fatia N + 1d

d/2

d/2

d d

A

E

C

DF

14) (FGV-SP) Na figura estão representados dois quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º e raio d. Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a soma dos comprimentos do segmento CF e do arco de circunferência AD, em função de d, é igual a

a)

b)

c)

d)

e)

(2 3 + p)6

(3 + p)

d

6(4 3 + p)

12d

d(12 + p)24

(2 3 + p)12

d

d

15) (UESB-BA) O setor de 60º destacado na figura abaixo, corresponde à superfície de um canteiro circular plano, no qual pretende-se plantar duas roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 42 m de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas ?(Use p = 22/7)

a) 22b) 88c) 231d) 462e) 924

60º

Jeca 132

16) (J) A figura abaixo representa duas polias que têm raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus centros é de 80 cm. Determine o comprimento da cor-reia que envolve as duas polias. (p = 3)

correia

(GeoJeca)



geometria plana

234

13) (UFSCar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a partir do centro, em setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo de N fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor que é indicada na figura por fatiaN + 1.

Considerando p = 3,14, o arco da fatia N + 1, em radiano, éa) 0,74b) 0,72c) 0,68d) 0,56e) 0,34

fatia 1

fatia 2

fatia 3

fatia N

fatia N + 1d

d/2

d/2

d d

A

E

C

DF

14) (FGV-SP) Na figura estão representados dois quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º e raio d. Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a soma dos comprimentos do segmento CF e do arco de circunferência AD, em função de d, é igual a

a)

b)

c)

d)

e)

(2 3 + p)6

(3 + p)

d

6(4 3 + p)

12d

d(12 + p)24

(2 3 + p)12

d

d

15) (UESB-BA) O setor de 60º destacado na figura abaixo, corresponde à superfície de um canteiro circular plano, no qual pretende-se plantar duas roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 42 m de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas ?(Use p = 22/7)

a) 22b) 88c) 231d) 462e) 924

60º

Jeca 132

2p = 2 . 3,14 = 6,28 radianos (arco de uma volta)6,28 / 0,8 = 6,85Portanto6,28 = 7 . 0,8 + x = 5,6 + xx = 6,28 - 5,6 = 0,68 radianos (resp)

16) (J) A figura abaixo representa duas polias que têm raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus centros é de 80 cm. Determine o comprimento da cor-reia que envolve as duas polias. (p = 3)

correia

(GeoJeca)

d/2d

d

(2 3 + p) d6

Se d = 42 m , então R = 21 m

2 2 2Área do círculo S = pR = p(21) = 441 . 22/7 = 1 386 m

Área do setor circular

S =a

360

2pR =

36060 . 1 386 2

231 m=

Se serão plantadas duas roseiras por metro quadrado, então o número de roseiras plantadas será

N = 2 . 231 = 462 roseiras Resposta d

18

40

80

18

a

sen a =4080

12

a = 30º=

120º240º60º

60º

a

bc

O comprimento da correia será a soma dos comprimentos dos arcos a e b e dos dois segmentos retos c.

cos 30º = c80

c = 80.cos 30º = 80 3 /2 = 40 3 cm

a =q

360.2pR =

360. 2 . 3 . 58240

= 232 cm

b =q

360.2pR =

360. 2 . 3 . 18120

= 36 cm

Comprimento total da correira

d = a + b + 2c = 232 + 36 + 2(40 3 )

d = (268 + 80 3 ) cm Resposta

a

a

d/2d

1sen a =cohip

= =2

Portanto a = 30º

AD = 30360

2.p.d pd=

6

tg a = tg 30º = CF / EF = CF / d

3 =CF

d3CF = d 3 /3

AD + CF = pd6

+ d 33

=

Resposta a



geometria plana

235

17) (UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de cada um dos dois barbantes e fizer uma circunferência com cada um deles, haverá uma folga d entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma 1

folga d entre a bola de gude e o segundo barbante.2

Assinale a alternativa correta.

a) d > d1 2

b) d < d1 2

c) d = d + 11 2

d) d = d1 22 2

e) p(d - d ) = 12 1

d1 d2futebol

gude

18) (J) Dado um círculo C de área S, determinar qual o aumento necessário no raio desse círculo para se obter um segundo círculo de área 3S.

19) (J) Estudos aerodinâmicos recomendam que a velocidade escalar da ponta de uma hélice de avião seja inferior à velocidade do som no ar (340 m/s). Determine a máxima rotação por minuto que uma hélice de diâmetro 1,70 m pode atingir para obedecer o recomendado pela aerodinâmica. (Adote p = 3,14)

Jeca 133

20) (J) Uma pista automobilística foi traçada tendo como base um pentágono regular e cinco círculos congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do pentágono e se tangenciam. Sabendo que a pista tem 3 648 m de comprimento, determine o raio de cada círculo e o comprimento da única reta dessa pista.Adote p = 3. (GeoJeca)



geometria plana

236

17) (UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de cada um dos dois barbantes e fizer uma circunferência com cada um deles, haverá uma folga d entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma 1

folga d entre a bola de gude e o segundo barbante.2

Assinale a alternativa correta.

a) d > d1 2

b) d < d1 2

c) d = d + 11 2

d) d = d1 22 2

e) p(d - d ) = 12 1

d1 d2futebol

gude

18) (J) Dado um círculo C de área S, determinar qual o aumento necessário no raio desse círculo para se obter um segundo círculo de área 3S.

19) (J) Estudos aerodinâmicos recomendam que a velocidade escalar da ponta de uma hélice de avião seja inferior à velocidade do som no ar (340 m/s). Determine a máxima rotação por minuto que uma hélice de diâmetro 1,70 m pode atingir para obedecer o recomendado pela aerodinâmica. (Adote p = 3,14)

Jeca 133

c = 2pRA A

R = c / 2pA A

c = c + 1 = 2pRB A B

R = (c + 1) / 2pB A

d = R - R1 B A

d = (c + 1 - c ) / 2p 1 A A

d = 1 / 2p1

c = 2pRC C

R = c / 2pC C

c = c + 1 = 2pRD C D

R = (c + 1) / 2pD C

d = R - R2 D C

d = (c + 1 - c ) / 2p 2 C C

d = 1 / 2p2

Portanto d = d (resp)1 2

e = 360/5 = 72º

108º 252º

162º

108º

162º

20) (J) Uma pista automobilística foi traçada tendo como base um pentágono regular e cinco círculos congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do pentágono e se tangenciam. Sabendo que a pista tem 3 648 m de comprimento, determine o raio de cada círculo e o comprimento da única reta dessa pista.Adote p = 3. (GeoJeca)

108162162108252

792º

R

R

RR

R

R

R

R

R

O comprimento total da pista é uma reta de comprimento 2R e a soma dos arcos de circunferência, cujo total é 792º.

Regra de três

360º ----------- 2pR

792º ----------- x

x = 792 . 2 . p . R / 360

x = 13,2 R

d = x + 2R

3648 = 13,2 R + 2R = 15,2 R

R = 3648/15,2 = 240 m

a)

R = 240 m Resposta a)

b) Comprimento dareta = 2R

2R = 2.240 = 480 m Resposta b)

r R

2S = p.r

2r = S/p

r

23S = p.R

2R = 3S/p

R

=Sp =

S.pp

3Sp= =

3.S.pp

Aumento necessário do raio

DR = R - r =3.S.pp

- S.pp

S3S

DR = 3 . S.p - S.p

p =

DR = S.p .( 3 - 1)

pResposta

Se d = 1,70 m , então R = 0,85 m

Comprimento de uma volta

c = 2pR = 2 . 3,14 . 0,85 = 5,338 m

n = nº de voltas da hélice em 1 segundo

n . c = n . 5,338 < 340 (restrição aerodinâmica)

n < 340 / 5,338

n < 63,694 voltas por segundo

Por minuto, tem-se

RPM = 63,694 . 60 = 3821 voltas Resposta



geometria plana

237


201) 14p m e 49p m

202) 36 cm e 324p cm

03) 2747,5 m

04) 20 voltas

05) (0,90 / p) m

06) 8 cm

07) e

08) e

09) 12 cm

10) e

11) a

12) c

13) d

14) a

15) 5p cm

16) a

17) a

18) 210 cm

19) 87,05 m e 261,15 m

20) 6( 3 + p) cm



Jeca


Jeca 134



geometria plana

238


01) d

02) b

03) 32 voltas

04) 72º

05) 58,8 m

06) 3 m

07) 80 cm

08) (3 / p - 3) cm

09)a) 2prb) 2p(r + d)c) 2pd

10) 2625 rpm

11) 80 cm

12) (100 / 3p) cm

13) c

14) a

15) d

16) (80 3 + 268) cm

17) d)

18) DR = [ S.p .( 3 - 1)] / p

19) 3821 rpm

20) 240 m e 480 m



Jeca


Jeca 135



geometria plana

239

I) Polígono regular.

e

e

e

e

e

i

i

i

ii

a






i =Si

n >180 (n - 2)

i = n

e =Se

n >360e = n

(importante)


ângulocentral

C

II) Principais polígonos regulares.

1) Triângulo equilátero. 3) Hexágono regular.2) Quadrado.

60º

Todo hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláte-ros.

l

l

ll

l

l

l

ll l

l

l

R =

l

r

l 32

=r R = ll 36

=r R = l2

=r R =l 33

l 22

r30º

RBICO

Em todo triângulo equilátero os quatro pontos notáveis (BICO) coin-cidem num mesmo ponto.

R

r45º

III) Apótema de um polígono regular. O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado.O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.

Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um quadrado de lado 12 cm.

12 cm

l - lado do polígono regular




Inscrição e circunscrição de polígonos regulares.

Jeca 136



geometria plana

240

I) Polígono regular.

e

e

e

e

e

i

i

i

ii

a






i =Si

n >180 (n - 2)

i = n

e =Se

n >360e = n

(importante)


ângulocentral

C

II) Principais polígonos regulares.

1) Triângulo equilátero. 3) Hexágono regular.2) Quadrado.

60º

Todo hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláte-ros.

l

l

ll

l

l

l

ll l

l

l

R =

l

r

l 32

=r R = ll 36

=r R = l2

=r R =l 33

l 22

r30º

RBICO

Em todo triângulo equilátero os quatro pontos notáveis (BICO) coin-cidem num mesmo ponto.

R

r45º

III) Apótema de um polígono regular. O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado.O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.

Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um quadrado de lado 12 cm.

12 cm

l - lado do polígono regular




Inscrição e circunscrição de polígonos regulares.

Jeca 136

R

r

r = 12 / 2 = 6 cm

R = d / 2 = 12 2 / 2 = 6 2 cm (resp)



geometria plana

241

02) Determine o raio da circunferência inscrita num tri-ângulo equilátero de lado 4 cm.

03) Determine o raio da circunferência circunscrita num triângulo equilátero de lado 8 cm.

04) Determine o raio da circunferência circunscrita num quadrado de lado 14 cm.

05) Determine o lado de um hexágono regular circuns-crito em uma circunferência de raio 3 cm.

06) Determine o lado de um quadrado inscrito num cír-culo de raio k.

07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexá-gono regular de lado 2k.

Jeca 137



geometria plana

242

02) Determine o raio da circunferência inscrita num tri-ângulo equilátero de lado 4 cm.

03) Determine o raio da circunferência circunscrita num triângulo equilátero de lado 8 cm.

04) Determine o raio da circunferência circunscrita num quadrado de lado 14 cm.

05) Determine o lado de um hexágono regular circuns-crito em uma circunferência de raio 3 cm.

06) Determine o lado de um quadrado inscrito num cír-culo de raio k.

07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexá-gono regular de lado 2k.

Jeca 137

30º

30º2 2

r

tg 30º = co / ca = r / 2

r = 2 tg 30º

r = 2 3 / 3 cm (resp)30º4

R

4

cos 30º

=

cahip

4R

=

4Rcos 30º

=

=8 3

3cm

Resposta

45º

7 cmR

sen 45º =cohip

7R

=

7=R

sen 45º= 7 2 cm

Resposta

60º

l3

l

l

sen 60º =cohip

3=

3=

sen 60º= 2 3 cm

Resposta

l

l

2k

x

x

Pitágoras

2 2 2 2(2k) = x + x = 2x

2 24k = 2x

2 2 2x = 4k /2 = 2k

2x = 2k = k 2 Resposta

2k 2k

2k

r

60º

sen 60º =cohip

r2k

=

r = 2k.sen 60º = 2k 3 /2

r = k 3 Resposta



geometria plana

243

R

r

h

08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 8 cm, determine:a) a altura do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

8 cm

8 cm

8 cm

09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 12 cm, determine:a) o lado do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

R

r

h

10) Determine a medida do lado de um triângulo equi-látero inscrito numa circunferência de raio 5 cm.

11) Determine o raio da circunferência inscrita num hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.

Jeca 138



geometria plana

244

R

r

h

08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 8 cm, determine:a) a altura do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

8 cm

8 cm

8 cm

09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 12 cm, determine:a) o lado do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

R

r

h

10) Determine a medida do lado de um triângulo equi-látero inscrito numa circunferência de raio 5 cm.

11) Determine o raio da circunferência inscrita num hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.

Jeca 138

60ºa) sen 60º = h / 8 h = 8 sen 60º h = 8 3 / 2 h = 4 3 cm (resp)

b) r = h / 3 = 4 3 / 3 cm (resp)

c) R = 2.r = 2 . 4 3 / 3 R = 8 3 / 3 cm (resp)

60º

12l

b) r = h/3 = 12/3 = 4 cm

a)

c) R = 2r = 2 . 4 = 8 cm

sen 60º cohip

=

sen 60º =12

l

l =12

sen 60º

l = 8 3 cm

l

R = 5

l/230º

cos 30º =cahip

=l/25

l=

25.cos 30º =

5 32

l = 5 3 cm Resposta R = 7

60º

r

sen 60º =cohip

r7

=

r = 7.sen 60º = 7. 3 /2

r = 7 3 /2 cm Resposta



geometria plana

245

12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilá-tero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência ?

13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regu-lar e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência ?

14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono re-gular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa mesma circunferência ?

15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa mesma circunferência ?

Jeca 139



geometria plana

246

12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilá-tero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência ?

13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regu-lar e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência ?

14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono re-gular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa mesma circunferência ?

15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa mesma circunferência ?

Jeca 139

L /2Q

L /2 T

30º

r

L lado do quadradoQ

L lado do triânguloT

L = 2rQ

tg 30º = r / L /2T

L .tg 30º = 2.rT

L = 2r / ( 3 / 3)T

L = 2r . 3 / 3T

L = 2r 3 cmT

LT

LQ=

2r 3

2r= 3 (resp)

L /2H

L /2Q30º

tg 30º =coca =

L /2H

L /2Q

33

=LH

LQ

LH

LQ

33

= Resposta

LH

L /2TR

R

30º30º

cos 30º =cahip

RLH

=

LH =R

cos 30º=

2R 33

cos 30º =cahip R

=L /2T

cos 30º2R

=LT

LT = 2R.cos 30º = 2R 3 /2 = R 3

PerH

PerT=

6.LH

3.LT=

6. 2R 33

3.R 3= 4

3Resposta

LH L /2Q

RR

45º30º

cos 45º =cahip R

=L /2Q

LQ=

2R.cos 45º =

R 22

LQ = R 2

cos 30º =cahip

R=

LH

LH = Rcos 30º

=2R 3

3

LH

PerQ=

4.LQ

LH =

2R 33

4.R 2=

612

Resposta



geometria plana

247

1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o apótema do triângulo.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.d) o lado do triângulo.

R

R

r

r

h

h

l l

l

2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k :a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita e o apótema.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

5k 5k

5k

3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar :a) o apótema e o raio da inscrita.b) o lado do quadrado.c) o perímetro do quadrado.

rR

l

l

l

l



Geometria planaInscrição e circunscrição de polígonos

regulares. Exercícios complementares da aula 12.

Jeca 140



geometria plana

248

1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o apótema do triângulo.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.d) o lado do triângulo.

R

R

r

r

h

h

l l

l

2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k :a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita e o apótema.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

5k 5k

5k

3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar :a) o apótema e o raio da inscrita.b) o lado do quadrado.c) o perímetro do quadrado.

rR = 8l

l

l

l



Geometria planaInscrição e circunscrição de polígonos

regulares. Exercícios complementares da aula 12.

Jeca 140

3

60ºa) r = h/3 = 3/3 = 1 cm (resp)

b) a = r = 1 cm (resp)

c) R = 2r = 2 . 1 = 2 cm (resp)

d) sen 60º = h/l = 3/l

32

=3l

l =3

6=

6 33

= 2 3 cm (resp)

60º

a)

b) r = h/3 =

c) R = 2r =

sen 60º cohip

=h

h

=5k

h = 5k.sen 60º = 5k 3 /2

5k 3 /23

=5k 3

6

a = r =5k 3

6

5k 33

45º

b) l = 2r = 8 2 cm

a)

c) Perímetro = 4l = 32 2 cm

sen 45º =cohip

r8

=

a = r = 8.sen 45º = 8 2 /2 = 4 2 cm



geometria plana

249

rR

k

k

k

k

5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar :a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono.c) o perímetro do hexágono.

6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k :a) o raio da circunferência inscrita no hexágono.b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono.c) o lado e o perímetro do hexágono.

Jeca 141

4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k :a) o perímetro do quadrado.b) o apótema do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado..c) a diagonal do quadrado e o raio da circunferência circunscrita.



geometria plana

250

4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k :a) o perímetro do quadrado.b) o apótema do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado..c) a diagonal do quadrado e o raio da circunferência circunscrita. rR

k

k

k

k

5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar :a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono.c) o perímetro do hexágono.

6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k :a) o raio da circunferência inscrita no hexágono.b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono.c) o lado e o perímetro do hexágono.

Jeca 141

a) 2p = 4k (resp)

b) a = r = k/2 (resp)

2 2 2 2c) Pitágoras d = k + k = 2k

d = k 2 (resp)

d = 2R

R = d/2 = k 2 / 2 (resp)

R = 7 cm

R R

a) O triângulo é equilátero. Portanto R = lado = 7 cm

60º

7 cm r

b) sen 60º =cohip

r7

=

r = 7.sen 60º = 7 3 /2 cm

apótema = raio da inscrita (a = r = 7 3 /2 cm)

c) Perímetro = 2p = 6 . 7 = 42 cm

Resposta

Resposta

Resposta

a) apótema = raio da inscrita Portanto a = r = 3k

3kR

60º

b) sen 60º =cohip

3k

R

=R

=3k

sen 60º= 2k 3

c) l = R = 2k 3

Perímetro = 6.l = 12k 3



geometria plana

251

7) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um hexágono regular inscritos numa mesma circunferência.

8) Na figura abaixo, o quadrado e o triângulo equilátero estão inscritos numa mesma circunferência. Determinar a razão entre o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio da circunferência inscrita no triângulo.

9) Um quadrado e um hexágono regular são circunscritos a uma mesma circunferência. Determinar a razão entre o raio da circunferência circunscrita ao hexágono e o raio da circunferência circunscrita ao quadrado.

Jeca 142



geometria plana

252

7) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um hexágono regular inscritos numa mesma circunferência.

8) Na figura abaixo, o quadrado e o triângulo equilátero estão inscritos numa mesma circunferência. Determinar a razão entre o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio da circunferência inscrita no triângulo.

9) Um quadrado e um hexágono regular são circunscritos a uma mesma circunferência. Determinar a razão entre o raio da circunferência circunscrita ao hexágono e o raio da circunferência circunscrita ao quadrado.

Jeca 142

R

R

L /2T30º

LH

L lado do hexágonoH

L = RH

L lado do triânguloT

cos 30º = R / (L / 2)T

32

=R

LT

2

3 LT

6 LH=

6R

3 LT

6 LH=

32

(resp)

R 3=LT

3R 3

30º

R

R

RQ

RT

45º

sen 45º =cohip

RQ

R

R = R.sen 45º = R 2 /2Q

=

sen 30º =cohip

RT

R

R = R.sen 30º = R/2T

=

RQ

RT=

R 2 /2R/2

2= Resposta

RH

R Q

RH

RQ

R

R

30º

45º

cos 45º =cahip

=RRQ

RQ =R

cos 45º= R 2

cos 30º =cahip

=R

=R

cos 30º=

2R 3

RH

RH 3

=

2R 33

R 2=

63

Resposta



geometria plana

253

10) Um octógono regular está inscrito numa circunferência de raio 12 cm. Determinar :a) o lado e o perímetro desse octógono.b) o raio da circunferência inscrita nesse octógono.

11) Um dodecágono regular está inscrito numa circunferência de raio 7 cm. Determinar :a) o lado e o perímetro desse dodecágono.b) o raio da circunferência inscrita nesse dodecágono.

Jeca 143



geometria plana

254

10) Um octógono regular está inscrito numa circunferência de raio 12 cm. Determinar :a) o lado e o perímetro desse octógono.b) o raio da circunferência inscrita nesse octógono.

11) Um dodecágono regular está inscrito numa circunferência de raio 7 cm. Determinar :a) o lado e o perímetro desse dodecágono.b) o raio da circunferência inscrita nesse dodecágono.

Jeca 143

12

12

22,5º

22,5º

r

LO

L lado do octógonoO


L = 12 + 12 - 2 . 12 . 12 . cos 45ºO2

L = 144 + 144 - 144 2O

L = 288 - 144 2 = 144(2 - 2 )O

L = 12 2 - 2 cm Per = 96 2 - 2 cm (resp)O

a)

b)2 2 2

Pitágoras 12 = r + (L /2)O

2 2144 = r + [12 2 - 2 )/2]

2 2r = 144 - (6 2 - 2 ) = 144 - [36(2 - 2)] = 144 - 72 + 36 2

2r = 72 + 36 2 = 36(2 + 2 )

r = 36(2 + 2 ) = 6 2 + 2 cm (resp)

7 cm

30º

r

a) Lei dos cossenos

2 2 2x = a + b - 2.a.b.cos a

2 2 2x = 7 + 7 - 2. 7. 7. cos 30º

2x = 49 + 49 - 49 3

x = 7 2 - 3 cm

Perímetro = 2p = 84 2 - 3 cm

b) Pitágoras

2 2 27 = r + (x/2)

2r = 49 - 49(2 - 3 ) /4 = 49(2 - 3 ) /4

r = 7 2 - 3 /2

x



geometria plana

255


01) 6 cm e 6 2 cm

02) (2 3 / 3) cm

03) (8 3 / 3) cm

04) 7 2 cm

05) 2 3 cm

06) k 2

07) k 3

08) a) 4 3 cmb) (4 3 / 3) cmc) (8 3 / 3) cm

09)a) 8 3 cmb) 4 cmc) 8 cm

10) 5 3 cm

11) (7 3 / 2) cm

12) 3

13) 3 / 3

14) 4 / 3

15) 6 / 12



Jeca


Jeca 144



geometria plana

256




Jeca


01)a) 1 cmb) 1 cmc) 2 cmd) 2 3 cm

02) a) 5k 3 / 2b) 5k 3 / 6c) 5k 3 / 3

03) a) 4 2 cmb) 8 2 cmc) 32 2 cm

04) a) 4kb) k / 2c) k 2d) k 2 / 2

05) a) 7 cmb) (7 3 / 2) cmc) 42 cm

06)a) 3kb) 2k 3c) 2k 3d) 12k 3

07) 3 / 2

08) 2

09) 6 / 3

10)a) 12 2 - 2 cm e 96 2 - 2 cm

b) 6 2 + 2 cm

11) a) 7 2 - 3 cm e 84 2 - 3 cm

b) (7 2 + 3 / 2) cm

Jeca 145



geometria plana

257

I) Áreas das figuras planas. Área é a medida de superfície.

II) Áreas das figuras poligonais.

1) Área do retângulo. 2) Área do quadrado. 3) Área do paralelogramo.

4) Área do trapézio. 5) Área do losango. 6) Área do triângulo.

S = b . hb

h

2S = l

l

l S = b . hb

h

b

B

h

S=b + B h

2.( )

d

D

S =d . D

2 b

h

S =b . h

2

III) Outras fórmulas para o cálculo da área de um triângulo.

IV) Áreas das figuras circulares.

2) Em função dos 3 lados (Fórmula de Hierão)1) Em função de dois lados e do ângulo entre eles.

3) Em função do raio da circunferência inscrita. 4) Em função do raio da circunferência circunscrita.

a

a

ba . b. sen a1

2S =

(Importantíssima)

a

b

c

p.(p - a)(p - b)(p - c)S =

p - semiperímetro

a + b + c2

p =

r

a

b

c

S = p . r

p - semiperímetro

a + b + c2

p =R

a

b

c

S =a . b . c

4 R

1) Área do círculo. 2) Área da coroa circular.

Área do círculo

Perímetro do círculo

S =2

p r

c = 2 p r

r

r - raio do círculo.

R

r

S =2 2

p R - p r

R - raio do círculo maiorr - raio do círculo menor




Áreas das figuras planas.

Jeca 146



geometria plana

258

3) Área do setor circular. 4) Área do segmento circular.


a

r

rC

r

rC

a

Regra de três

2360º p ra Ssetor

Ssetor =a

360

2p r. S = S - Ssegmento circular setor triângulo

Lembrar que a áreado triângulo é dada por

a . b. sen a12

Striângulo =

V) Áreas das figura semelhantes.

Duas figuras planas são ditas semelhantes se uma delas é a redução ou a ampliação da outra. l1

l2

S1

S2 l1S1

S2=

l2( )

2

Se duas figuras planassão semelhantes, então vale

a relação:

- comprimentoS - áreal

Exercício 01 - A figura abaixo é um quadriculado onde cada quadradinho tem lado 1 cm. Todos os pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O e P estão exatamente sobre os cruzamentos das linhas que compõem o quadriculado. Com base no desenho e nestas informações, calcule a área de cada polígono (S , S , 1 2

S , S , S , S , S e S ). Faça os cálculos dentro do próprio desenho.3 4 5 6 7 8

Jeca 147

A B

C D E F G H

I J K

L M

O

N

P

S6 S7

S8

S4

S5

S1

S2 S3

1 cm



geometria plana

259

3) Área do setor circular. 4) Área do segmento circular.


a

r

rC

r

rC

a

Regra de três

2360º p ra Ssetor

Ssetor =a

360

2p r. S = S - Ssegmento circular setor triângulo

Lembrar que a áreado triângulo é dada por

a . b. sen a12

Striângulo =

V) Áreas das figura semelhantes.

Duas figuras planas são ditas semelhantes se uma delas é a redução ou a ampliação da outra. l1

l2

S1

S2 l1S1

S2=

l2( )

2

Se duas figuras planassão semelhantes, então vale

a relação:

- comprimentoS - áreal

Exercício 01 - A figura abaixo é um quadriculado onde cada quadradinho tem lado 1 cm. Todos os pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O e P estão exatamente sobre os cruzamentos das linhas que compõem o quadriculado. Com base no desenho e nestas informações, calcule a área de cada polígono (S , S , 1 2

S , S , S , S , S e S ). Faça os cálculos dentro do próprio desenho.3 4 5 6 7 8

A B

C D E F G H

I J K

L M

O

N

P

S4

1 cm

Jeca 147

S1

S2

S6 S7

S8

S5

S3

S = d . D / 21

S = 8 . 14 / 212

S = 56 cm1

S = [(b + B) . h / 2] + [(b' + B') h / 2]2

S = [(13 + 17).7/2] + [7 + 3).7/2]22

S = 105 + 35 = 140 cm2

S = b . h / 23

S = 13 . 7 / 232

S = 91 / 2 cm3

S = b . h52

S = 11 . 11 = 121 cm5

S = (b + b) . h / 26

S = (6 + 22) . 13 / 262

S = 182 cm6

S = b . h = 10 . 782

S = 70 cm8

S = b . h / 27

S = 9 . 16 / 272

S = 72 cm7

S = S - S - S - S 4 RET T1 T2 T3

S = 176 - 28 - 44 - 3242

S = 72 cm4



geometria plana

260

02) Determinar a área de um triângulo equilátero de lado 16 cm.

03) Determinar a área de um hexágono regular de lado 4 cm.

04) Determinar a área de um dodecágono regular ins-crito numa circunferência de raio 8 cm.

05) Determinar a área de um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm.

06) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinar o raio da circunferência inscrita no triângulo e a altura relativa ao lado que mede 6 cm.

07) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinar o raio da circunferência circunscrita nesse triângulo.

08) Determinar a área do paralelogramo abaixo.

120º

6 cm

15 cm

09) Determinar a área do trapézio abaixo.12 cm

15 cm

5 cm

Jeca 148



geometria plana

261

02) Determinar a área de um triângulo equilátero de lado 16 cm.

03) Determinar a área de um hexágono regular de lado 4 cm.

04) Determinar a área de um dodecágono regular ins-crito numa circunferência de raio 8 cm.

05) Determinar a área de um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm.

06) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinar o raio da circunferência inscrita no triângulo e a altura relativa ao lado que mede 6 cm.

07) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinar o raio da circunferência circunscrita nesse triângulo.

08) Determinar a área do paralelogramo abaixo.

120º

6 cm

15 cm

09) Determinar a área do trapézio abaixo.12 cm

15 cm

5 cm

Jeca 148

S = a . b . sen a 12

S = 16 . 16 . sen 60º 12

S = 16 . 16 . 12 2

3

2S = 64 3 cm (resp)

4

4 4

4

4 4 460º

S = 6.S = 6. .a . b . sen aHEX TRIÂNG

S = 6 . . 4 . 4 . ( 3 / 2)HEX

2S = 24 3 cm (resp)HEX

12

12

S = 12 . S = 12 . . a . b . sen aDODEC TRIÂNG

a = 360 / 12 = 30º

2S = 12 . . 8 . 8 . = 192 cm (resp)DODEC

12

12

12

Fórmula de Hierão - S = p(p - a)(p - b)(p - c)

p - semiperímetro p = (a + b + c) / 2

p = (5 + 6 + 7)/2 = 18/2 = 9 cm

2S = 9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7) = 6 6 cm (resp)

2Do exercício nº 05, tem-se que S = 6 6 cmTRIÂNG

S = p . r - área do triângulo em função do raio da inscritap = (a + b + c)/2 = (5 + 6 + 7)/2 = 9

26 6 = 9 . r r = 6 6 / 9 = (2 6 / 3) cm (resp)

S = B . h / 2

6 6 = 6 . h / 2 h = 2 6 cm (resp)

>

>

2Do exercício nº 05, tem-se que S = 6 6 cmTRIÂNG

S = a . b . c / 4R - área do triângulo em função do raio da circunscrita

6 6 = 5 . 6 . 7 / 4R 4R 6 = 35

R = 35 / 4 6 = (35 6 / 24) cm (resp)

>

>

15 cm

6 cm

120º

S = 2 S = 2. . a . b. sen aPARALEL TRIÂNG

S = 2 . . 6 . 15 . ( 3 / 2)PARALEL

2S = 45 3 cm (resp)PARALEL

12

12

3

h

Pitágoras

h = 4 cm

S = ( )h = ( ) . 4TRAP

2S = 54 cm (resp)TRAP

b + B2

12 + 152



geometria plana

262

A B

CD

E

F

10) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 16 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E e F os centros dos dois semicírculos e B o centro do setor circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a

área da região sombreada. (deixar em função de p)2 cm

11) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 36 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E o centro do semicírculo, F o centro do círculo e B o centro do setor circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a

área da região sombreada. (deixar em função de p)

A

B C

D

E

F

2 cm

12) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 36 quadradinhos de lado 3 cm. Sendo E o centro do semicírculo e B e C os centros dos setores circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a área da região

sombreada. (deixar em função de p)

A B

CD

E

3 cm

A B

CO

60º

13) Na figura abaixo, A, B e C são pontos de tangência e o círculo está inscrito no setor circular de centro O, raio 3 cm e ângulo central 60º. Determinar a área do círculo.

14) Um trapézio tem base maior 5k, base menor 2k e altura 4k. A área do trapézio, em função de k, é :

3 2 2 2a) 7k b) 11k c) 7k d) 14k e) 12k

a

b

k

A B

CD

P

15) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado k. Sendo P um ponto que dista a de BC e b de CD, a área do quadrilátero ABPD, em função de k, de a e de b, é :a)

b)

c)

d)

e)

k(k )a2

b2

k(k )a2

b2

+

k(k )a2

b2

+ +

k(k )a2

b2

+

2k ( )a

2b2

+

Jeca 149



geometria plana

263

A B

CD

E

F

10) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 16 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E e F os centros dos dois semicírculos e B o centro do setor circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a

área da região sombreada. (deixar em função de p)2 cm

11) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 36 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E o centro do semicírculo, F o centro do círculo e B o centro do setor circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a

área da região sombreada. (deixar em função de p)

A

B C

D

E

F

2 cm

12) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 36 quadradinhos de lado 3 cm. Sendo E o centro do semicírculo e B e C os centros dos setores circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a área da região

sombreada. (deixar em função de p)

A B

CD

E

3 cm

A B

CO

13) Na figura abaixo, A, B e C são pontos de tangência e o círculo está inscrito no setor circular de centro O, raio 3 cm e ângulo central 60º. Determinar a área do círculo.

14) Um trapézio tem base maior 5k, base menor 2k e altura 4k. A área do trapézio, em função de k, é :

3 2 2 2a) 7k b) 11k c) 7k d) 14k e) 12k

a

b

k

A B

CD

P

15) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado k. Sendo P um ponto que dista a de BC e b de CD, a área do quadrilátero ABPD, em função de k, de a e de b, é :a)

b)

c)

d)

e)

k(k )a2

b2

k(k )a2

b2

+

k(k )a2

b2

+ +

k(k )a2

b2

+

2k ( )a

2b2

+

Jeca 149

S1 S2

S3

S1S2

S3

S1

S2

S3

2 2S = p . 2 = 2p cm 1

12

2 2S = p . 4 = 4p cm 2

14

2 2S = p . 4 = 8p cm 3

12

2S = 8 . 8 = 64 cmQuad

2S = 64 - 2p - 4p - 8p = 64 - 14p = 2(32 - 7p) cm (resp)Somb

2 2S = p . 8 = 16p cm 1

14

2 2S = p . 4 = 8p cm 2

12

2 2S = p . 2 = 4p cm 3

2S = 12 . 12 = 144 cmQuad

2S = 144 - 16p - 8p - 4p = 144 - 28p = 4(36 - 7p) cm (resp)Somb

2 2S = p . 9 = 81p / 2 cm 1

12

2 2S = p . 9 = 81p / 4 cm 2

14

2 2S = p . 6 = 9p cm 3

14

2S = 18 . 18 = 324 cmQuad

2S = 324 - 81p/2 - 81p/4 - 9p = 9(36 - 31p/4) cm (resp)Somb

R

3 - R

R

30º30º

sen 30º = R / 3 - R

R = sen 30º (3 - R)

R = (3 - R)

3R / 2 = 3 / 2

R = 1 cm

2S = pR

2S = p.1

2S = p cm

12

k - a a

bk

- b

2S = k - a . b - [(k - a).b / 2] - [(k - b).a / 2]SOMB

S = k[k - (a / 2) - (b / 2)] (resp)SOMB

S = ( )h = ( ) . 4kTRAP

2S = 14k (resp)TRAP

b + B2

2k + 5k2



geometria plana

264

17) Na figura abaixo, estão representados quatro círculos congruentes tangentes entre si e um quadrado de lado 5 cm, cujos vértices são os centros dos quatro

2círculos. A área da região sombreada, em cm , é :

a) 100p - 100b) 100p - 25c) 75p / 2d) 50p / 3e) 75p / 4

Oa

b

16) (UFV-MG) As circunferências da figura abaixo são concêntricas e têm raios de 1 cm e 2 cm. Determine a área da região hachurada.

6 2 cm

3 2

cm

C

18) A figura abaixo representa uma semi-circunferência de centro C , onde existe um retângulo inscrito. Deter-minar a área da região sombreada.

19) Determinar a área da coroa circular abaixo, sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo interno. A

B

21) Na figura abaixo estão representados dois octógonos regulares. A medida do lado do maior é 8 cm e o octógono menor tem os seus lados apoiados sobre as diagonais do maior. Determine a área da região sombreada.

20) Na figura abaixo, o diâmetro AB coincide com a altura do triângulo equilátero de lado 12 cm. Sendo C o centro da circunferência, determine a área da região externa ao triângulo e interna à circunferência.

C

B

A

Jeca 150



geometria plana

265

17) Na figura abaixo, estão representados quatro círculos congruentes tangentes entre si e um quadrado de lado 5 cm, cujos vértices são os centros dos quatro

2círculos. A área da região sombreada, em cm , é :

a) 100p - 100b) 100p - 25c) 75p / 2d) 50p / 3e) 75p / 4

a

16) (UFV-MG) As circunferências da figura abaixo são concêntricas e têm raios de 1 cm e 2 cm. Determine a área da região hachurada.

6 2 cm

3 2

cm

C

18) A figura abaixo representa uma semi-circunferência de centro C , onde existe um retângulo inscrito. Deter-minar a área da região sombreada.

19) Determinar a área da coroa circular abaixo, sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo interno. A

B

21) Na figura abaixo estão representados dois octógonos regulares. A medida do lado do maior é 8 cm e o octógono menor tem os seus lados apoiados sobre as diagonais do maior. Determine a área da região sombreada.

20) Na figura abaixo, o diâmetro AB coincide com a altura do triângulo equilátero de lado 12 cm. Sendo C o centro da circunferência, determine a área da região externa ao triângulo e interna à circunferência.

C

B

A

Jeca 150

a

a

ba

q q

a + b = 120º

q = b / 2

cos a = 1/2a = 60ºb = 60º q = 30º 2

2

1

SA

SV

S = 4 S + 4 S - SSomb A V Círculo

2S = 4 1 . 2 . sen 30º + 4 1 . 2 .sen 60º - prSomb

12

12

2S = 4 1 . 2 . + 4 1 . 2 . - p1Somb

12

32

12

12

2S = 2 + 2 3 - p = [2(1 + 3 ) - p)] cm (resp)Somb

120º

120º

R = h/2

R R

60º

2S = 2(S - S ) = 2( pR - .a . b . sen a)SOMB SETOR TRIÂNG

2S = 2( p(3 3 ) - 3 3 . 3 3 .( 3 / 2)SOMB

2S = 18[p - (3 3 / 4)] cm (resp) SOMB

a360

12

sen 60º = co / hip = h / 12

h = 12 . sen 60º = 12 3 / 2

h = 6 3

R = h / 2 = 3 3 cm

120360

12

1 2 3 4

5 6

7 8

9 10 11 12S = 12 . S / 4SOMB CÍRCULO

2S = 12 . p . (5 / 2) / 4SOMB

2S = (75p / 4) cm (resp)SOMB

5/2 5/2

R

3 2 cm

R = d onde d é a diagonal do quadradod = l 2 onde l = 3 2 é o lado do quadradoPortanto R = 6 cm

S = S / 2 - SSOMB CÍRCULO RETÂNGULO

2S = p . 6 / 2 - 6 2 . 3 2 = 18p - 36SOMB

2S = 18(p - 2) cm (resp)SOMB

r

R5

5Pitágoras

2 2 2R = r + 5

2 2R - r = 25

Área da coroa circular2 2

S = pR - prCOROA2 2

S = p(R - r )COROA2

S = p . 25 = 25p cm (resp)COROA

8

135º45º

x

x x

8

x

x


8 = x + x - 2 . x . x . cos 135º2 2

64 = 2x + 2x 2 / 22

64 = x (2 + 2 )2

x = 64 / (2 + 2 ) = 32(2 - 2 )

2 2 2S = 8 S = 8.x /2 = 4.x = 128(2 - 2 ) cm (resp)SOMB TRIÂNG



geometria plana

266

A

B

D

E

F

G

23) Na figura abaixo, o triângulo ADF tem área K. Sabendo-se que DF // BC e que AD = DE = EB e que AF = FG = GC, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC vale :

a) 9K2

b) 9Kc) 3K

2d) 3Ke) 6K

25) (Unifesp) Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles você usa para formar o círculo da figura 1, e o outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da figura 2.

Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por:a) S = 3s b) S = 4s c) S = 6s d) S = 8s e) S = 9s

figura 1figura 2

22) (Fuvest-SP) Na figura, BC é paralelo a DE, AB = 4 e BE = 5. Determine a razão entre as áreas do triân-gulo ABC e do trapézio BCDE.

A

B C

DE

h

x

A

B C

D E

26) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, determinar o valor de x para que a área do triângulo ADE seja o dobro da área do trapézio BCED.

h

x

A

B C

D E

27) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, determinar o valor de x para que a área do triângulo ADE seja um terço da área do trapézio BCED.

A B

C

D

E

24) (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura abai-xo, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado sombreado. DE é paralelo a BC. Determinar a medida de AD na unidade adotada para que a área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC.

C

Jeca 151



geometria plana

267

A

B

D

E

F

G

23) Na figura abaixo, o triângulo ADF tem área K. Sabendo-se que DF // BC e que AD = DE = EB e que AF = FG = GC, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC vale :

a) 9K2

b) 9Kc) 3K

2d) 3Ke) 6K

25) (Unifesp) Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles você usa para formar o círculo da figura 1, e o outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da figura 2.

Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por:a) S = 3s b) S = 4s c) S = 6s d) S = 8s e) S = 9s

figura 1figura 2

22) (Fuvest-SP) Na figura, BC é paralelo a DE, AB = 4 e BE = 5. Determine a razão entre as áreas do triân-gulo ABC e do trapézio BCDE.

A

B C

DE

h

x

A

B C

D E

26) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, determinar o valor de x para que a área do triângulo ADE seja o dobro da área do trapézio BCED.

h

x

A

B C

D E

27) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, determinar o valor de x para que a área do triângulo ADE seja um terço da área do trapézio BCED.

A B

C

D

E

24) (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura abai-xo, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado sombreado. DE é paralelo a BC. Determinar a medida de AD na unidade adotada para que a área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC.

C

Jeca 151

Áreas de figuras semelhantes.

S1

S2

l1l2

2( )=

S - área do triângulo ABC.ABC

S - área do triângulo AEDAED

S - área do trapézio BCDEBCDE

4

5

SABC

SAED

=49

2( ) =1681

S = - BCDE SAED S = - = ABC

> SABC =16

81

SAED

SAED

16

81

SAED 65

81

SAED

SABC

S BCDE

=

16

81

SAED

65

81

SAED=

16

65(resp)


S1

S2

l1l2

2( )=


S1

S2

l1l2

2( )=

SS

S = SADE

S = 2 SABC

x

82( )=

S2 S

x8

12

2x64

=2

x = 32 x = 4 2 uc (resp)> >


S1

S2

l1l2

2( )=

2( )=Ss

CC/3

Ss =

9CC

S = 9s (resp)

S

2 S S = 2 SADE

S = 3 SABC

2( )=2 S3 S

x12

2144 . 2 = 3 . x

2x = 96x = 4 6 cm (resp)


S1

S2

l1l2

2( )=

S = SADE

S = 4 SABC

2( )=S

4 Sx

12

2x = 36x = 6 cm (resp)

3 S

S


S1

S2

l1l2

2( )=

d

d

d

S = kADF

2S = 2 . S = 4kAEG ADF

2S = 3 . S = 9k (resp)ABC ADF



geometria plana

268

01) Determinar a área de cada figura abaixo.

12 cm

7 cm

8 cm8

cm

7 cm

11 cm

A B

CDAB//CDAD//BC

16 cm7

cm

6 cm11 cm

10 cm

8 cm

10 cm

15 cm

12 c

m

12 cm20 cm

14 c

m

14 cm

6 cm

8 cm

8 cm

8 cm

13 cm

8 cm

120º

30º

10 cm

12 cm

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)



Geometria planaÁreas das figuras planas.


Jeca 152



geometria plana

269

01) Determinar a área de cada figura abaixo.

12 cm

7 cm

8 cm8

cm

7 cm

11 cm

A B

CDAB//CDAD//BC

16 cm7

cm

6 cm11 cm

10 cm

8 cm

10 cm

15 cm

12 c

m

12 cm20 cm

14 c

m

14 cm

6 cm

8 cm

8 cm

8 cm

13 cm

8 cm

120º

30º

10 cm

12 cm

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)



Geometria planaÁreas das figuras planas.


Jeca 152

2S = b . h = 12 . 7 = 84 cm (resp)

2S = b . h = l . l = 8 . 8 = 64 cm (resp)

2S = b . h = 11 . 7 = 77 cm (resp)

S = (b + B).h / 2

S = (10 + 15) . 8 / 2

2S = 100 cm (resp)

2 2 2Pitágoras 10 = 6 + hh = 8 cm

S = (b + B).h / 2S = (11 + 17) . 8 / 2

2S = 112 cm (resp)

S = d . D / 2S = 7 . 16 / 2

2S = 56 cm (resp)

S = b . h / 2S = 20 . 12 / 2

2S = 120 cm (resp)

S = b . h / 2S = 12 . 14 / 2

2S = 84 cm (resp)

S = b . h / 2S = 14 . 6 / 2

2S = 42 cm (resp)

S = . a . b . sen a

S = . 10 . 12 . sen 30º

2S = . 10 . 12 . = 30 cm (resp)

12

12

12

12

S = . a . b . sen a

S = . 8 . 13 . sen 120º

2S = . 8 . 13 . = 26 3 cm (resp)

12

12

32

12

S = . a . b . sen a

S = . 8 . 8 . sen 60º

2S = . 8 . 8 . = 16 3 cm (resp)

12

12

32

12

60º



geometria plana

270

02) Determinar a área e o perímetro de um círculo de raio 13 cm.

03) Determinar a área e o raio de um círculo de períme-tro c = 14p cm.

04) Determinar o raio e o perímetro de um círculo de 2

área A = 64p cm .

05) Determinar a área da coroa circular abaixo.

r

R

R = 11 cmr = 9 cm

06) Determinar a área da coroa circular abaixo, sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo interno.

A

B

07) Determinar o perímetro do círculo maior da coroa 2

circular de área 39p cm , sabendo-se que a diferença entre os raios é igual a 3 cm.

08) Determinar a área do setor circular de raio 9 cm e ângulo central igual a 135º.

09) Determinar a área do setor circular de raio 8 cm e ângulo central 2 radianos.

CC

10) Determinar a área de um setor circular de raio 12 cm cujo arco correspondente tem comprimento c = 30 cm.

c = 30 cm

C

11) Determinar a área da região sombreada.

r = 7 cm

Jeca 153



geometria plana

271

02) Determinar a área e o perímetro de um círculo de raio 13 cm.

03) Determinar a área e o raio de um círculo de períme-tro c = 14p cm.

04) Determinar o raio e o perímetro de um círculo de 2

área A = 64p cm .

05) Determinar a área da coroa circular abaixo.

r

R

R = 11 cmr = 9 cm

06) Determinar a área da coroa circular abaixo, sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo interno.

A

B

07) Determinar o perímetro do círculo maior da coroa 2

circular de área 39p cm , sabendo-se que a diferença entre os raios é igual a 3 cm.

08) Determinar a área do setor circular de raio 9 cm e ângulo central igual a 135º.

09) Determinar a área do setor circular de raio 8 cm e ângulo central 2 radianos.

CC

10) Determinar a área de um setor circular de raio 12 cm cujo arco correspondente tem comprimento c = 30 cm.

c = 30 cm

C


r = 7 cm

Jeca 153

2 2 2S = pr = p . 13 = 169p cm

c = 2pr = 2 . p . 13 = 26p cm

c = 2pR = 14pR = 7 cm (resp)

2S = pR

2S = p.7

2S = 49p cm (resp)

2S = pR = 64pR = 8 cm (resp)

c = 2pR c = 2.p.8c = 16p cm (resp)

2 2S = pR - prCOROA CIRCULAR

2 2S = p.11 - p.9CC

S = 121p - 81pCC

2S = 40p cm (resp)CC

R

r

5

5

Pitágoras2 2 2

R = r + 52 2

R - r = 25

2 2S = pR - prCOROA CIRCULAR

2 2S = p(R - r )CC

2S = 25p cm (resp)CC

R

R +

3

2 239p = p(R + 3) - pR

2 239p = p(R + 6R + 9) - pR

2 239 = R + 6R + 9 - R39 = 6R + 96R = 30R = 5 cm c = 2p(R + 3) = 2.p.8 = 16p cm (resp)

2S = pRSETOR CIRCULAR

a360

135º

R = 9

2S = p.9SC

2S = 243p / 8 cm (resp)SC

135360


a

2p

2S = p.8SC

2S = 64 cm (resp)SC

2p2

(a em radianos)

2S = pRSETOR CIRCULAR 2pR

2S = p.12SC

2S = 180 cm (resp)SC

302.p.12

l

(área do setor em função do comprimento do arco)


a360

2S = p.7SC

2S = 49p / 4 cm (resp)SC

90360



geometria plana

272

12) Determinar a área do segmento circular de raio 9 cm e ângulo central 120º

13) Na figura abaixo, o hexágono é regular e tem lado 4 cm. Determinar a área da região hachurada.

15) Determinar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.

A B C D E

G

17) Sendo S a área do retângulo AEFJ, AB = BC = CD = DE e AJ // BI // CH // DG // EF, determinar a área do triângulo BCF em função de S.

C

14) Determinar a área de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 14 cm.

16) Determinar a área de um polígono regular com 40 lados inscrito numa circunferência de raio 7 cm.(Dado sen 9º = 0,1564)

HIJ F

Jeca 154



geometria plana

273

12) Determinar a área do segmento circular de raio 9 cm e ângulo central 120º

13) Na figura abaixo, o hexágono é regular e tem lado 4 cm. Determinar a área da região hachurada.

15) Determinar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.

A B C D E

G

17) Sendo S a área do retângulo AEFJ, AB = BC = CD = DE e AJ // BI // CH // DG // EF, determinar a área do triângulo BCF em função de S.

C

14) Determinar a área de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 14 cm.

16) Determinar a área de um polígono regular com 40 lados inscrito numa circunferência de raio 7 cm.(Dado sen 9º = 0,1564)

HIJ F

Jeca 154

2S = S - S = pr - a . b . sen aSEG SET TRIÂNG

a360

12

2S = S - S = p9 - a . b . sen 120ºSEG SET TRIÂNG

120360

12

2S = 27p - 81 3 / 4 = 27[p - (3 3 /4)] cmSEG

2S = S - S = pR - 6.SSOMB CÍRCULO HEXÁGONO TRIÂNG

2S = p.4 - 6 . . 4 . 4 . sen 60ºSOMB

2S = 16p - 24 3 cm SOMB

2S = 8(2p - 3 3 ) cm (resp)SOMB

60º

4

4

4

12

S = 8.S = 8. . a . b . sen aOCT TRIÂNG

S = 8. .14 . 14 . sen 45ºOCT

S = 8 . . 14 . 14 .OCT

2S = 392 2 cm (resp) OCT

45º

14

14

a = 360/12 = 30º

12

12

12 2

2

S = 12.S = 12. . a . b . sen aDOD TRIÂNG

S = 12. . 7 . 7 . sen 30ºDOD

S = 12 . . 7 . 7 .DOD

2S = 147 cm (resp) DOD

12

12

12

30º12

a = 360/8 = 45º

7

7

S = 40.S = 40 . . a . b . sen a40 TRIÂNG

S = 40. . 7 . 7 . sen 9º40

S = 40 . . 7 . 7 . 0,156440

2S = 153,27 cm (resp) 40

12

12

12

a = 360/40 = 9º

b b b b

h

S = S = 4b . hRETÂNGULO

b . h = S / 4

S = b . h / 2 = (S / 4) / 2 = S / 8TRIÂNG

S = S / 8 (resp)TRIÂNG



geometria plana

274

18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados k e 2k onde as regiões circulares tangenciam os lados de ABCD. Determinar a área das regiões sombreadas em função de k.

A B

CD

19) Na figura abaixo, as partes circulares tangenciam os lados do quadrado de perímetro 16 cm. Determinar a área da região sombreada.

A B C D

20) Na figura abaixo, B e C são os centros dos semi-círculos. Sendo AB = BC = CD = 8 cm, determinar a área da região sombreada.

21) Os três semi-círculos abaixo têm centros B, C e E. Sendo BC = CD = DE = EF = 2 cm e AB = 4 cm, determinar a área da região sombreada.

22) O triângulo abaixo é equilátero de lado 16 cm e está inscrito em um círculo. Determinar a área da região sombreada.

23) O triângulo abaixo é equilátero de lado k e DE é um arco de circunferência tangente ao lado BC do triângulo. Determinar a área da região sombreada.

A

B C

D E

E

F

A B C D E F

Jeca 155



geometria plana

275

18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados k e 2k onde as regiões circulares tangenciam os lados de ABCD. Determinar a área das regiões sombreadas em função de k.

A B

CD

19) Na figura abaixo, as partes circulares tangenciam os lados do quadrado de perímetro 16 cm. Determinar a área da região sombreada.

A B C D

20) Na figura abaixo, B e C são os centros dos semi-círculos. Sendo AB = BC = CD = 8 cm, determinar a área da região sombreada.

21) Os três semi-círculos abaixo têm centros B, C e E. Sendo BC = CD = DE = EF = 2 cm e AB = 4 cm, determinar a área da região sombreada.

22) O triângulo abaixo é equilátero de lado 16 cm e está inscrito em um círculo. Determinar a área da região sombreada.

23) O triângulo abaixo é equilátero de lado k e DE é um arco de circunferência tangente ao lado BC do triângulo. Determinar a área da região sombreada.

A

B C

D E

E

F

A B C D E F

Jeca 155

2 2S = 2(S - S /4) = 2(l - pr /4)Somb Quad Círc

2 2 2 2S = 2(k - pk /4) = 2k (1 - p/4) = k (4 - p)/2 (resp)Somb

4

4

4

4

S = 2(S - S )SOMB SETOR TRIÂNG2

S = 2( pR - b . h / 2)SOMB

2S = 2( p . 4 - 4 . 4 / 2)SOMB

2S = 8(p - 2) cm (resp) SOMB

a360

90360

4

4

2 x ( )

60º

8

8

8

S = S + 2.SSOMB TRIÂNG SEGMENTO CIRCULAR

2S = . a . b . sen a + 2( pR - .a . b . sen a)SOMB

2 2S = . 8 . 8 . + 2( p . 8 - . 8 . 8 . ) = [16(4p - 3 3 ) / 3] cm (resp)SOMB

a360

12

12

12 2

336060 1

2 23

A

BC

4 2 2 2 2

6

S = S - S - SSOMB A B C

2 2 2S = . p . 6 - . p . 4 - . p . 2SOMB

2S = 18p - 8p - 2p = 8p cm (resp)SOMB

12

12

12

30º8 8

R

cos 30º = 8 / RR = 16 3 / 3

2S = S - S = pR - .a . b . sen aSOMB CÍRCULO TRIÂNG

2 2S = p(16 3 / 3) - . 16 . 16 . 3 / 2 = 256[(p/3) - ( 3 /4)] cm (resp) SOMB

12

12

k k

k

h = R

60º

sen 60º = h / kh = R = k 3 / 2

2S = S - S = .a.b.sen a - pRSOMB TRIÂNG SETOR

2 2 2S = .k.k. 3 /2 - .p.(k 3 /2) = k (2 3 - p) / 8 uc (resp)SOMB

12

a360

12

a360



geometria plana

276

24) (MACKENZIE - SP 2000) Determinar a área do setor assinalado no círculo de raio 1 e centro O.

110º

O

25) (Fuvest - SP 2000) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semi-circunferência de raio 2. Deter-minar a área da região hachurada.

26) (Unicamp - SP) No canto A de uma casa de forma quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma corda flexível e inextensível, em cuja extremidade livre é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6 metros de comprimento, do ponto em que está presa até sua extremidade livre. Mantendo-se a corda sempre esticada de tal forma que inicialmente sua extremidade livre esteja encostada à parede BC, risca-se um contorno no chão, em volta da casa, até que a extremidade livre toque a parede CD.a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule a área da região exterior à casa, delimitada pelo traçado da estaca.

27) (Cesgranrio - RJ) Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas das duas regiões hachuradas são iguais. Determinar o raio do círculo intermediário sabendo-se que o raio do círculo menor é 5 m e o do maior é 13 m.

28) (Vunesp - SP) O ângulo central AÔB referente ao círculo da figura adiante, mede 60º e OX é sua bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC que mede 5 cm, calcular a área da figura hachurada.

O

A

B

M xC

29) Calcular a área da região hachurada.

2a

2a

Jeca 156



geometria plana

277

24) (MACKENZIE - SP 2000) Determinar a área do setor assinalado no círculo de raio 1 e centro O.

110º

O

25) (Fuvest - SP 2000) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semi-circunferência de raio 2. Deter-minar a área da região hachurada.

26) (Unicamp - SP) No canto A de uma casa de forma quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma corda flexível e inextensível, em cuja extremidade livre é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6 metros de comprimento, do ponto em que está presa até sua extremidade livre. Mantendo-se a corda sempre esticada de tal forma que inicialmente sua extremidade livre esteja encostada à parede BC, risca-se um contorno no chão, em volta da casa, até que a extremidade livre toque a parede CD.a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule a área da região exterior à casa, delimitada pelo traçado da estaca.

27) (Cesgranrio - RJ) Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas das duas regiões hachuradas são iguais. Determinar o raio do círculo intermediário sabendo-se que o raio do círculo menor é 5 m e o do maior é 13 m.

28) (Vunesp - SP) O ângulo central AÔB referente ao círculo da figura adiante, mede 60º e OX é sua bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC que mede 5 cm, calcular a área da figura hachurada.

O

A

B

M

x

C

29) Calcular a área da região hachurada.

2a

2a

Jeca 156

220º

140º

Setor circular

2S = prSETOR

a360

2S = p . 1SETOR

140360

S = SETOR7p18

2uc (resp)

2 2

2

14

S = S + SSOMB TRIÂNG CÍRCULO

2S = (b . h / 2) + p.RSOMB

2 2S = 2 . 2 / 2 + p . 2 = (2 + p) uc (resp)SOMB

14

14

A

2

6

4

b)2 2

S = p . 6 + p . 2

2S = 27p + 2p = 29p m (resp)

34

24

a)

13

5d

S = SMENOR MAIOR

2 2 2p.5 = p . 13 - p(5 + d)

225p = 169p - p(25 +10d + d )

2d + 10d - 119 = 0

d = 7 R = 5 + 7 = 12 m (resp)>

30º

5

52

S = S - 2.SSOMB SETOR TRIÂNG

2S = pR - 2. a.b.sen qSOMB

2S = p.( 5 ) - 2 . 5 . . SOMB

2S = [5(2p - 3) / 12] cm (resp) SOMB

a360

12

60360

12

52

12

S

S

SS

A B

C

2S = S = 2a . 2a / 2 = 2a (resp)SOMB ABC



geometria plana

278

x

x

x

x

30) A bandeira retangular representada na figura mede 4 m de comprimento por 3 m de largura. A faixa escura cobre 50% da superfície da bandeira. Determinar a medida de x.

32) (Fuvest-SP) Um losango está circunscrito a uma circunferência de 2 cm de raio. Calcule a área desse losango, sabendo que um de seus ângulos mede 60º.

31) (Fuvest-SP) Um trapézio isósceles está circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e tem um ângulo interno de 60º. Determinar a área desse trapézio.

34) (Fuvest-SP) Cortando-se os cantos de um quadra-do, como mostra a figura, obtém-se um octógono regu-lar de lados iguais a 10 cm.a) Qual a área total dos quatro triângulos cortados ?b) Calcule a área do octógono.

r = 2 cm

70º

40º


33) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, a reta r é para-lela ao segmento AC, sendo E o ponto de inter-secção de r com a reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED é 21, então a área do triângulo BCE é:

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

A

B

C

D

E

r

Jeca 157



geometria plana

279

x

x

x

x

30) A bandeira retangular representada na figura mede 4 m de comprimento por 3 m de largura. A faixa escura cobre 50% da superfície da bandeira. Determinar a medida de x.

32) (Fuvest-SP) Um losango está circunscrito a uma circunferência de 2 cm de raio. Calcule a área desse losango, sabendo que um de seus ângulos mede 60º.

31) (Fuvest-SP) Um trapézio isósceles está circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e tem um ângulo interno de 60º. Determinar a área desse trapézio.

34) (Fuvest-SP) Cortando-se os cantos de um quadra-do, como mostra a figura, obtém-se um octógono regu-lar de lados iguais a 10 cm.a) Qual a área total dos quatro triângulos cortados ?b) Calcule a área do octógono.

r = 2 cm

70º

40º


33) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, a reta r é para-lela ao segmento AC, sendo E o ponto de inter-secção de r com a reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED é 21, então a área do triângulo BCE é:

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

A

B

C

D

E

r

Jeca 157

S = 3

S = 3

S = 3

S = 3

4 - x

3 -

x

S = b . h / 2 = (4 - x) . (3 - x) / 2

23 = 12 - 7x + x

2x - 7x + 6 = 0

x = 6 (não convém)

x = 1 m (resp)

70º

a - área do segmento de 110ºb - área do setor de 110ºc - área do triângulo de 110ºd - área do segmento de 70ºe - área do setor de 70ºf - área do triângulo de 70º

S = a - d = b - c - (e - f) = b - c - e + fSOMB

2 2S = p.2 - .2.2.sen 110º - p.2 + .2.2.sen 70ºSOMB

Mas sen 110º = sen 70º e as áreas c e f se anulam.

2S = = cm (resp)SOMB

110360

12

12

70360

11p9 9

7p9

4p

40º

h

h

4

10

7

S = 10ADC

S = 4ACE

S - 21 - 10 - 4 = 7ABE

Os triângulos ABE e BEC têm a mesma base e a mesma altura.

2 Portanto têm a mesma área. S = S = 7 uc (resp)ABE BEC

10

x

x

Pitágoras2 2 2

10 = x + xx = 5 2 cm

a) 2

S = 4 . x /24TRIÂNG2

S = 4(5 2 ) / 24TRIÂNG2

S = 100 cm (resp)4TRIÂNG

b)S = S - SOCT QUADR 4TRIÂNG

2 2S = (10 + 2x) - 100 = (10 + 2 . 5 2 ) - 100OCT

2S = 200( 2 + 1) cm (resp) OCT

30º30º

2

60º

a

b

30º

60º

x

y

2

2

b = 2x - base menorB = 2y - base maiorh = 4 cm

tg 60º = 2 / x x = 2/( 3) = 2 3 / 3 cmtg 30º = 2 / y y = 2 / ( 3 / 3) = 6 3 / 3 = 2 3 cm

2S = ( ).h = ( ).4 = (32 3 / 3) cm (resp)

>>

b + B2

2x + 2y2

sen 30º = 2/a

1/2 = 2/a

a = 4 cm

tg 30º = b/a

b = a . tg 30º

b = 4 . 3 / 3

Área do losango S = d . D / 2

d = 2b = 8 3 / 3 cmD = 2a = 8 cm

2S = (8 . 8 3 / 3) / 2 = (32 3 / 3) cm



geometria plana

280

D

A

B

C

Eq

36) (FUVEST-SP) Na figura seguinte, E é o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e q é o ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será :a) 12sen q b) 8sen q c) 6sen q d) 10cos q e) 8cos q

A

B C

D

38) (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede k. Um dos arcos está contido na circunfe-rência de centro C e raio k, e o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro k. Determinar a área da região hachurada.

39) (UEL-PR) Na figura abaixo, o quadrado está inscri-to na circunferência. Sabendo que a medida do lado do quadrado é 4 m, determinar a área da parte sombre-ada.

C

37) (FUVEST-SP) Os quadrados da figura têm lados medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente. Se C é o centro do quadrado de menor lado, qual o valor da área hachurada ?

40) (FUVEST-SP) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm. Determine a área desse triângulo.

y

x

A(x , y)B

C DO

41) (FUVEST-SP) Considere o quadrado ABCD ins-crito na semi-circunferência de centro na origem. Se (x , y) são as coordenadas do ponto A, determinar a área da região exterior ao quadrado e interior à semi-circunferência em função de x e y.

Jeca 158



geometria plana

281

D

A

B

C

E

36) (FUVEST-SP) Na figura seguinte, E é o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e q é o ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será :a) 12sen q b) 8sen q c) 6sen q d) 10cos q e) 8cos q

A

B C

D

38) (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede k. Um dos arcos está contido na circunfe-rência de centro C e raio k, e o outro é uma semicir-cunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro k. Determinar a área da região hachurada.

39) (UEL-PR) Na figura abaixo, o quadrado está inscri-to na circunferência. Sabendo que a medida do lado do quadrado é 4 m, determinar a área da parte sombre-ada.

C

37) (FUVEST-SP) Os quadrados da figura têm lados medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente. Se C é o centro do quadrado de menor lado, qual o valor da área hachurada ?

40) (FUVEST-SP) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm. Determine a área desse triângulo.

y

x

A(x , y)B

C DO

41) (FUVEST-SP) Considere o quadrado ABCD ins-crito na semi-circunferência de centro na origem. Se (x , y) são as coordenadas do ponto A, determinar a área da região exterior ao quadrado e interior à semi-circunferência em função de x e y.

Jeca 158

180 - q

q1

4

32

sen q = sen(180 - q)

S = 1.2.senq + 4.3.senq + 1.4.sen(180 - q) + 2.3.sen(180 - q)

S = sen q + 6sen q + 2sen(180 - q) + 3sen(180 - q)

Mas sen q = sen (180 - q)

Então S = sen q + 6 sen q + 2 sen q + 3 sen q = 12 sen q (resp)

12

12

12

12

C

a

90 - a

a5

5

A

B

DEF

Pelo caso A.L.A. , pode-se afirmar que os triângulos ABC e EFC são congruentes. Portanto a área sombreada é igual à area do quadradoBCFD de lado 5 cm. A área sombreada é constante qualquer que seja a posição do quadrado maior.

2 S = 5 . 5 = 25 cm (resp)SOMB

k

k

k/2 k/2

S = S - SSOMB CÍRCULO MAIOR CÍRCULO MENOR12

14

2 2 2 2 2S = pk - p(k/2) = pk /4 - pk /8 = pk /8 (resp)SOMB

12

14

4

4

R

R R

d - diagonal do quadradoR - raio

Pitágoras2 2 2 2

4 = R + R = 2RR = 2 2 m

S = S + SSOMB CÍRCULO TRIÂNG

S = SOMB

2S = 2p + 4 = 2(p + 2) cm (resp)SOMB

4

114

2 p(2 2 ) + 2 2 . 2 2 / 2

114

1

12

b = 4 2 cmh = 2 / 2 cm S = b . h / 2 = 4 2 . ( 2 / 2) / 2

2S = 2 cm (resp)

h

x

yR

2 2 2 2 2Pitágoras R = x + y R = x + y>

2 2 2 2 2S = pR - (2x) = p(x + y ) - 4xSOMB

2 2ou S = p(x + y ) - 2xy (resp)SOMB

12

12



geometria plana

282

BC

N

M

AO

42) (Fuvest) A circunferência dada pela figura abaixo tem centro em C, raio igual a 2 cm e é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B. Determi-nar a área da região hachurada.

44) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a de maneira que o vértice D fique sobre o lado AB (figura 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a distân-de A a D’. Determinar a função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado, em função de x.

A B

CD

E

45) (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1, centrados em A e D, respectivamente. Determinar a área da região hachurada.

A B

CD

M

N

P

46) (FUVEST) O trapézio ABCD abaixo é tal que AB = 10, M é médio de AD, BN = 2NC e as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais. Determinar a medida de CD.

47) (Jeca) Na figura abaixo, a coroa circular tem a mesma área que o círculo menor. Determinar o raio do círculo menor, sabendo-se que o raio do círculo maior é R. (Figuras semelhantes)

1 cm

2 cm

1 cm

43) (UFSCAR-SP) Considere a região R sombreada, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de cir-cunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, pedem-se :a) a área não sombreada do quadrado;b) a área da região sombreada R.

Jeca 159

B

C

A BD’

C’

E

x

A

D



geometria plana

283

BC

N

M

AO

42) (Fuvest) A circunferência dada pela figura abaixo tem centro em C, raio igual a 2 cm e é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B. Determi-nar a área da região hachurada.

44) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a de maneira que o vértice D fique sobre o lado AB (figura 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a distân-de A a D’. Determinar a função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado, em função de x.

A B

CD

E

45) (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1, centrados em A e D, respectivamente. Determinar a área da região hachurada.

A B

CD

M

N

P

46) (FUVEST) O trapézio ABCD abaixo é tal que AB = 10, M é médio de AD, BN = 2NC e as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais. Determinar a medida de CD.

47) (Jeca) Na figura abaixo, a coroa circular tem a mesma área que o círculo menor. Determinar o raio do círculo menor, sabendo-se que o raio do círculo maior é R. (Figuras semelhantes)

1 cm

2 cm

1 cm

43) (UFSCAR-SP) Considere a região R sombreada, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de cir-cunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, pedem-se :a) a área não sombreada do quadrado;b) a área da região sombreada R.

Jeca 159

a

q2

2

S = S + SHACH TRIÂNG SETORES

Mas a + q = 90º2

S = S + S / 4 = 2 . 2 / 2 + p . 2 / 4 HACH TRIÂNG CÍRCULO

2S = (2 + p) cm (resp)HACH

S1 S2

S1

S2

x

x

x

10

y

q

180 - q

hS = SAMN DMN

mesma basemesma altura

PortantoS = SABN CDN

12

10 . 2x . sen(180 - q) = y . x . sen q

Mas sen q = sen (180 - q)

Então 10x sen q = x . y . sen q

y = 20 uc (resp)

12

12

b

b

60º30º

S1

S2

S2

S - área do triângulo1

S - área do setor circular2

S = S - S - 2.SSOMB QUADR 1 22 2

S = l - a.b.sen 60º - 2. prSOMB

2 2S = 1 - 1 . 1 . - p1 = 1 - - (resp)SOMB

12 360

30

12

32

16

34 6

p

1

1

1

A B

CD

A BD’

C’

E

x21 - x

y

21 -

y

21 - y

2 2 2Pitágoras (21 - y) = y + x

2 2 2441 - 42y + y = y + x

2 2y = (x - 441) / -42 = (441 - x ) / 42

3S = x . y / 2 = (441x - x ) / 84 (resp)

a) S = 4.S + 4.S /4NS TRIÂNG CÍRCULO

2S = 4(2 . 2 / 2) + 4.p1 /4NS

2S = (8 + p) cm (resp)NS

b) S = S - SS QUADR NS

2S = 4 - (8 + p)S

S = 16 - 8 - p S2

S = (8 - p) cm (resp)S

h

R

r S = S - SCOROA MAIOR MENOR

S = SCOROA MENOR

S = S - SMENOR MAIOR MENOR

S = 2.SMAIOR MENOR2 2

pR = 2.pr2 2

r = (R /2)r = R 2 / 2 (resp)



geometria plana

284


2 2 201) S = 56 cm S = 140 cm S = (91/2) cm1 2 3

2 2 2 S = 72 cm S = 121 cm S = 182 cm4 5 6

2 2 S = 72 cm S = 70 cm7 8

202) 64 3 cm

203) 24 3 cm

204) 192 cm

205) 6 6 cm

206) 2 6 / 3 cm, 2 6 cm

207) (35 6 / 24) cm

208) 45 3 cm

209) 54 cm

210) 2(32 - 7p) cm

211) 4(36 - 7p) cm

212) 9(36 - 31p / 4) cm

213) p cm

14) d

15) a

216) (2( 3 + 1) - p) cm

17) e

218) 18(p - 2) cm

219) 25p cm

220) 18(p - 3 3 / 4) cm

221) 128(2 - 2 ) cm

22) 16 / 65

23) a

24) 4 2 uc

25) e

26) 4 6 cm

27) 6 cm



Jeca


Jeca 160



geometria plana

285




Jeca


01)2

a) 84 cm2

b) 64 cm2

c) 77 cm2

d) 100 cm2

e) 112 cm2

f) 56 cm2

g) 120 cm2

h) 84 cm2

i) 42 cm2

j) 30 cm2

k) 26 3 cm2

l) 16 3 cm

202) 169p cm e 26p cm

203) 49p cm e 7 cm

04) 8 cm e 16p cm

205) 40p cm

206) 25p cm

07) 16p cm

208) (243p / 8) cm

209) 64 cm

210) 180 cm

211) (49p / 4) cm

212) (27(4p - 3 3 ) / 4 ) cm

213) 8(2p - 3 3 ) cm

214) 392 2 cm

215) 147 cm

216) 153,27 cm

17) S / 8

218) k (4 - p) / 2

219) 8(p - 2) cm

220) (16(4p - 3 3 ) / 3) cm

221) 8p cm

222) (64(4p - 3 3 ) / 3) cm

223) k (2 3 - p) / 8

24) 7p / 18

25) 2 + p

26) a) desenho

2b) 29p m

27) 12 m

228) (5(2p - 3) / 12) cm

229) 2a

30) 1 m

231) (32 3 / 3) cm

232) (32 3 / 3) cm

33) b

34) 2

a) 100 cm2

b) 200( 2 + 1) cm

235) (4p / 9) cm

36) a

237) 25 cm

238) pk / 8

239) 2(p + 2) m

240) 2 cm

2 241) (p(x + y ) / 2) - 2xy

242) (p + 2) cm

43) 2

a) (p + 8) cm2

b) (8 - p) cm

3 244) (441x - x ) / 84) cm

45) 1 - ( 3 / 4) - (p / 6)

46) 20

47) R 2 / 2A

Jeca 161



geometria plana

286

Fim

Jeca 162

Ilusões da vida.

Quem passou pela vida em branca nuvemE em plácido repouso adormeceu;Quem não sentiu o frio da desgraça,Quem passou pela vida e não sofreu,Foi espectro de homem - não foi homem,Só passou pela vida - não viveu.

Francisco Otaviano de Almeida Rosa (1825 - 1899)Poeta Brasileiro



geometria plana

287

Demonstração da fórmula de Herão.

A B

C

m

ab

c

h

Teorema de Pitágoras2 2 2

h = b - m


a = b + c - 2bc cos A

Mas cos A = m/b 2 2 2

Portanto a = b + c - 2bc m/b2 2 2

a = b + c - 2mc

2 2 22mc = b + c - a

2 2 2Portanto m = (b + c - a ) / 2c

Teorema de Pitágoras2 2 2 2 2 2

h = b - [(b + c - a ) / 2c]

2 2 2 2 2 2 2 2h = [4b c - (b + c - a ) ] / 4c

2 2 2 2 2 2 2 24h c = 4b c - (b + c - a )

Fatorando a diferença dos quadrados, tem-se:

2 2 2 2 2 2 2 24h c = [2bc - (b + c - a )] [2bc + (b + c - a )]

2 2 2 2 2 2 2 24h c = (2bc - b - c + a ) (2bc + b + c - a )

Agrupando como o quadrado da diferença, tem-se

2 2 2 2 2 24h c = [a - (b - c) ] [(b + c) - a ]

2 24h c = [a - (b - c)] [a + (b - c)] [ (b + c) - a] [(b + c) + a]

Fazendo p = (a + b + c) / 2 semiperímetro

[a - (b - c)] / 2 = (a - b + c) / 2 = (a + b + c - 2b) / 2 = p - b

[a + (b - c)] / 2 = (a + b - c) / 2 = (a + b + c - 2c) / 2 = p - c

[(b + c) - a] / 2 = (b + c - a) / 2 = (a + b + c - 2a) / 2 = p - a

[(b + c) + a] / 2 = (a + b + c) / 2 = p

2 2Lembrar que x - y = (x - y)(x + y)

2 2Lembrar que x - y = (x - y) (x + y)

1 3 4

1

2

2

3

4

2 24h c

2 2 h c / 4 = (p - b).(p - c).(p - a).p

2 2h = 4.[p.(p - a).(p - b).(p - c)] / c

h p.(p - a).(p - b).(p - c)

1

2

3 4

/ 2

/ 2

/ 2

/ 2

2

2 2 216=

c2

=

S triângulo =base x altura

2

c . hc=2

S triângulo =2c

c2 p.(p - a).(p - b).(p - c)

S triângulo = p.(p - a).(p - b).(p - c)

onde p = (a + b + c) / 2 (semiperímetro)

Fórmula de Herão

CQD

Aproveitando esta demonstração, temos também que as alturas de um triângulo podem ser obtidas por

= p.(p - a).(p - b).(p - c)ha2a

= p.(p - a).(p - b).(p - c)hb2b

= p.(p - a).(p - b).(p - c)hc2c

onde p é o semiperímetro

a, b e c são os lados do triângulo

Jeca 163



geometria plana

288

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Correções



geometria plana

289

>

3 3

A

3

R

R

NN


x = a + b - 2.a.b.cos a

Lei dos senos.

asen A

=b

sen Bc

sen C2R= =



geometria plana

290



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Todo material contido nesta lista foi desenvolvida pelo professor … · 2018-07-13 · ... (GeoJeca) (GeoJeca) 02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple-mento. 03) Determine