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Capítulo 28 números complexos

7. (PUC) O número complexo a 1 bi, diferente de zero, está assinalado, no plano complexo, sobre o eixo real. É correto afirmar que seu conjugado está situado:

a)sobre o eixo real.

b)sobre o eixo imaginário.

c) no primeiro quadrante.

d)no segundo quadrante.

e)no terceiro quadrante.

8. (UEG-GO) O conjunto dos números complexos que satisfazem a condição $z 2 3i$ 5 $z 2 2$ é repre-sentado no plano cartesiano por uma reta:

a)cuja inclinação é positiva.

b)que contém a origem do sistema.

c) que não intercepta o eixo real.

d)cuja inclinação é negativa.

9. (UFC-CE) Os números complexos distintos z e w são tais que z 1 w 5 1 e z 8 w 5 1.

a)Calcule $z$.b)Calcule o valor z4 1 w4 sabendo-se que z está no

primeiro quadrante do plano complexo.

10. (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados núme-ros complexos z e w, chamados mira e alvo, respec-tivamente.

Otiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz 5 w.

imaginário

real

z

|w | = 4

30°

30°

|z | = 2

w

Considere a mira z e o alvo w indicados na figura anterior. Determine o tiro certeiro de z em w.

11. Determine o módulo dos números complexos abaixo.

a)1 1 i

b)3 2 4i

c) 24

d)2i

12. (Ufal) Na figura a seguir, os pontos Pl e P2 são as res-pectivas imagens de dois números complexos z1 e z2, ambos de módulo r, representados no plano de Argand-Gauss.

1. Escreva na forma algébrica os números complexos abaixo.

a) ii

12

11

b)ii

12

22 3

c)ii

21

11 22

e o

2. (UEL-PR) Qual é a parte real do número complexo z 5 a 1 bi, com a e b reais e a . 0 e b . 0, cujo qua-drado é 25 1 12i?

a)31 d)2

b)21

e) 3

c) 1

3. (Ibmec) Seja z um número complexo tal que:

z 5i21

2 4

e o , onde i é a unidade imaginária. É correto

afirmar que o módulo e o argumento de z são iguais, respectivamente, a:

a) eπ

22

c) eπ

22

3 e)4 e π

b)2 e π d) eπ

42

4. Determine os valores de x para que o número com-

plexo ii

12

zxx= seja imaginário puro.

5. (UFT-TO) Considere i a unidade imaginária dos nú-meros complexos. O valor da expressão (i 1 1)8 é:

a)32i b)32 c)16 d)16i

6. (UFG-GO) O número complexo z 5 x 1 yi pode ser representado no plano, como a seguir:

y

O

θα

x

P

Considere ( )r x y12 2= o módulo de z. O número complexo z pode ser escrito como:

a)z 5 r 8 (cos a 1 i 8 sen a)

b)z 5 r 8 (cos a 2 i 8 sen a)

c) z 5 r 8 (sen t 1 i 8 cos t)

d)z 5 r 8 (sen a 2 i 8 cos a)

e) z 5 r 8 (cos t 1 i 8 sen t)

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números complexoscapítulo 28

Fácil Médio DifícilGrau de dificuldade das questões:

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Capítulo 28 números complexos

O

Im (z)

P1r

r

P2

Re (z)

θ

Se t é o argumento de z1, analise as afirmações seguintes.

a)z1 8 z2 tem módulo r e argumento 2t

b)z

z

2

1 tem módulo unitário e argumento 2 π2

c) z2 é conjugado de z1

1d) z2 5 i 8 z1

e) z12 5 z2

2

13. (PUC) Dado o número complexo

z i senπ 1 8 π

cos6 6

= , então, se P1, P2 e P3 são as res-

pectivas imagens de z, z2 e z3 no plano complexo,a medida do maior ângulo interno do triângulo P1P2P3 é:

a)75º c)120º e)150º

b)100º d)135º

14. (UFSM-RS)

O

y

G

B(a, b)

θ

xA

Um triângulo fica determinado pelo conhecimen-to de 3 elementos, que são seus vértices. A figu-ra mostra um triângulo retângulo OAB no qual o ponto B tem por afixo o número complexo z 5 a 1 bi, cujos módulo ú e argumento t são, respec-

tivamente, eπ

24

. Assim, a equação da reta suporte

da altura relativa à hipotenusa do triângulo OAB é:

a)x 1 y 5 0 d) 1 2x y 2 0=

b)x 2 y 5 0 e)( )

1 2x y2

20=

c) 2 2x y 2 0=

15. (UFPel-RS) O módulo de um número complexo z 5 a 1 bi, a Ñ R, b Ñ R, é a distância do ponto (a, b) ao ponto (0, 0) do plano Argand-Gauss.

Com base no texto e em seus conhecimentos, é cor-reto afirmar que o módulo do número complexo

zii

( i)521 1 2

1 21 3

1 6é, aproximadamente:

a)7,07 c)8,06 e) 9,06

b)6,08 d)6,63 f) I.R.

16. (Unifor-CE) Seja z um número complexo dado por

z( i)

( i) ( i)

2

1 8 2 1

3 3

3 4 12

4

= . Considerando as aproxima-

ções log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48, o valor de log |z| é:

a)0,02 c)0,06 e)0,6

b)0,04 d)0,4

17. (Unifor-CE) Seja o número complexo z 5 x 1 3i, em que x é um número real negativo. Se z 6= , então a forma trigonométrica de z é:

a) i sen8 π 1 8 πcos6

32

32d n

b) i sen8 π 1 8 πcos6

65

65d n

c) i sen8 π 1 8 πcos6

34

34d n

d) i sen8 π 1 8 πcos6

35

35d n

e) i sen8 π 1 8 πcos6

611

611d n

18. (Unifesp) Considere, no plano complexo, confor-me a figura, o triângulo de vértices z1 5 2, z2 5 5 e z3 5 6 1 2i.

0

y

2

x5 62

A área do triângulo de vértices w1 5 iz1, w25 iz2 e

w3 5 2iz3 é:

a)8 c)4 e)2

b)6 d)3

19. (Vunesp) Considere os números complexos z1 5 2 1 i e z2 5 x 1 2i, onde i é a unidade imaginária e x é um número real. Determine:

a)o número complexo z1 8 z2 em função de x.

b)os valores de x tais que Re(z1 8 z2) < Im(z1 8 z2), onde Re denota a parte real e Im, a parte imagi-nária do número complexo.

20. (Vunesp) O número complexo z 5 a 1 bi é vértice de um triân gulo equilátero, como mostra a figura.

O

b

aθ

z

Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3 , deter mine z2.

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Capítulo 28 números complexos

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Capítulo 28 números complexos

21. (FCC-SP) É dado o número complexo z 5 x 1 iy, com x, y Ñ R. O lugar geométrico das imagens dos núme-ros z, tais que $z$ , l e x 1 y , 0, é representado no plano Argand-Gauss pela região pintada na figura:

a)

Re(z)

Im(z)

1–1

1

–1

b)

Re(z)

Im(z)

1–1

–1

1

c)

1

Re(z)

Im(z)

–1

1

–1

d)

1

Re(z)

Im(z)

–1

1

–1

e)

1

Re(z)

Im(z)

–1

1

–1

22. (Fuvest-SP) Sabendo que a é um número real e que

a parte imaginária do número complexo i

i11

22

a é

zero, então a é:

a)24 b)22 c) 1 d) 2 e) 4

23. (UFPel-RS) Na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada é feita com a ajuda de números complexos. Grandezas como a impe-dância (em ohms) e a potência aparente (em volt--ampère) são exemplos de quantidades complexas.

Considerando Z1 e Z2 dois números complexos, Z1 e Z2 seus respectivos conjugados e $Z1$ e $Z2$ seus respectivos módulos, analise as afirmativas.

I. Z1 8 Z1 é sempre um número real.

II. $Z1$ 8 $Z2$ é sempre um número irracional. III. 8 8Z Z Z Z51 2 1 2

IV. $Z1 Z2$ i $Z1$ 8 $Z2$

A respeito dessas afirmativas, é correto afirmar que:

a) Somente I e II são verdadeiras.

b) Somente II e IV são verdadeiras.

c) Somente I e III são verdadeiras.

d) Todas as afirmativas são verdadeiras.

e)Todas as afirmativas são falsas.

f ) I.R.

24. (Unifesp) Os números complexos z1, z2 5 2i e

z3 5 a 3 1 ai, onde a é um número real positivo, representam no plano complexo vértices de um triângulo equilátero. Dado que $z2 2 z1$5 2, o valor de a é:

a) 2 c) 3 e) 21

b) 1 d) 23

25. (UPF-MG) Sendo o número complexo z 5 i18

6 2 ,

as expressões de z3 e z6 são dadas, respectivamente, por:

a) i e 21 c) 2i e 1 e) 1 e 1

b) i e 11 d) 2i e 21

26. (Mackenzie-SP) Que números complexos repre-sentam dois vértices de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de centro na origem, onde um dos três vértices do triângulo é dado por V1 5 22i?

a) 3 1 i e 3 2 ib) 2 3 2 i e 3 2 ic) 3 1 i e 2 3 1 i

d) 2 3 1 i e 2 3 2 ie) 2i e 2

27. (Unir-RO) Fixado um ângulo t, em radianos, a multiplicação complexa (cos t 2 i 8 sen t) 8 (x 1 iy) representa a rotação de t radianos, no sentido anti--horário, em torno da origem, do número complexo x 1 iy. Rotacionando 30 graus, no sentido anti- -horário e em torno da origem, o número complexo

1 111

22

32

3 i, obtém-se:

a) 3 1 i c) 1 1 2i e) 1 1 i

b) 1 1 i 3 d) 2 1 4i

28. (Fuvest-SP) Dentre os números complexos z 5 a 1 bi,

não nulos, que têm argumento igual a π4

, aquele

cuja representação geométrica está sobre a parábo-la y 5 x2 é:

a) 1 1 i c) 21 1 i e) 2 2 1 2i

b) 1 2 i d) 2 1 2i

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Capítulo 28 números complexos

29. (Unicamp-SP) Dado o número complexo z 5 x 1 iy, o seu conjugado é o número complexo z 5 x 2 iy.

a) Resolva as equações z 8 z 5 4 e (z)2 5 z2.

b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geo-métricos que representam as soluções dessas equações.

30. (UFSCar-SP) Sejam i a unidade imaginária e an o n-ésimo termo de uma progressão geométrica com a2 5 2 8 a1. Se a1 é um número ímpar, então

ia1 1 ia2 1 ia3 1 ... 1 ia10 é igual a:

a) 9i ou 29i

b) 29 1 i ou29 2 i

c) 9 1 i ou9 2 i

d) 8 1 i ou8 2 i

e) 7 1 i ou 7 2 i

31. (UFBA) Na figura, tem-se uma circunferência de centro na origem dos eixos coordenados e raio igual a 2 u.c. O comprimento do menor arco de origem em A e extremidade em P1 é igual a π

3 u.c.

y

–2

–2 2

P1

2

x

O A

Considere os pontos P1, P2 e P3 vértices de um triân-gulo equilátero inscrito na circunferência e repre-sentado, nessa ordem, no sentido anti-horário.

Sendo P1, P2 e P3, respectivamente, afixos dos núme-

ros complexos z1, z2 e z3, calcule 5

11 1z z z32

.

32. (ITA-SP) O conjunto A, definido por ; ( i) ( i) 4Ñ YA z z z2 2= =$ ., representa no plano

complexo:

a) uma elipse cujos focos se encontram nos pontos i e 2i.

b) uma circunferência de centro no ponto (0, 1) e raio 2.

c) uma circunferência de centro no ponto (0, 0) e raio 4.

d) um par de retas que se cortam no ponto (1, 1).

e) nenhuma das anteriores.

33. Escreva os números complexos abaixo na forma tri-gonométrica.

a) z 5 2

b) z 5 23i

c) z 5 2 1 2i

d) iz 1 32 1=

34. Escreva o número complexo w z z22 1= na forma trigonométrica, dados os complexos z1 5 21 1 t

e z2 5 t 1 1.

35. (Cesgranrio-RJ) O lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que z2 é real é:

a) um par de retas paralelas.

b) um par de retas concorrentes.

c) uma reta.

d) uma circunferência.

e) uma parábola.

36. Considere os números complexos z1 5 10(cos 75° 1 i 8 sen 75°) e z2 5 2(cos 15° 1 i 8 sen 15°) e determine:

a) z1 8 z2 b) z

z

2

1 c) z14

37. Dado o número complexo iπ 8 π

cosz16 16

sen1= ,

determine o valor da expressão: w 5 z4 1 z8 1 z16

38. (Unicamp-SP) Identifique o lugar geométrico dos pontos z 5 x 1 iy do plano complexo tal que

Re 5z1

41d n . Determine a equação cartesiana e faça

o gráfico desse lugar.

39. (Fuvest-SP)

a) Se z15 cos t1 1 i 8 sen t1 e z2 5 cos t2 1 i 8 sen t2, mostre que o produto z1 8 z2 é igual a

cos (t1 1 t2) 1 i 8 sen (t1 1 t2).

b) Mostre que o número complexo z 5 cos 48º 1 i 8 sen 48º é raiz da equação

z101z5 1 1 5 0.

40. (Unicamp-SP) Se z 5 x 1 iy é um número complexo, o número real x é chamado “parte real de z” e é in-dicado por Re(z), ou seja, Re(x 1 iy) 5 x.

a) Mostre que o conjunto dos pontos (x, y) que sa-

tisfazem a equação Re i

zz

22

21

21 =e o , ao qual se

acrescenta o ponto (2, 0), é uma circunferência.

b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (22, 0) e é tangente àquela circunferência.

41. (Unicamp-SP) Um número complexo z 5 x 1 iy, z i 0,podeser escrito na forma trigonométrica: z 5 $z$ (cos t 1 i 8 sen t), onde ,z x y$ $ 5 12 2 cos

z

xt 5$ $

.z

ye sen t 5

$ $ Essa forma de representar os núme-

ros complexos não nulos é muito conveniente, es-pecialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:

[$z$(cos t 1 i 8 sen t)]k 5 |z|k (cos kt 1 i 8 sen kt), que é válida para todo k Ñ Z. Use essas informações para:

a) calcular ( 3 1 i)12.

b) sendo i ,5 1z22

22

calcular o valor de

1 1 z1z21z3 1 ... 1 z 15.

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Capítulo 28 números complexos

42. (Fuvest-SP) O numero complexo z i 0 e o seu inver-

so z1 têm o mesmo módulo. Conclui-se que:

a) ezz1 são conjugados.

b) z 1 z1

5 i

c) este módulo é 2.

d) ezz1 são reais.

e) z2 5 1

43. (Fuvest-SP) Determine os números complexos z

que sa tisfazem, simultaneamente, |z| 5 2 e

.ii

12

Imz1 2

1=e o

Lembretes: i2 5 21; w 5 a 1 bi, com a e b reais, então

1w a b2 2= e Im(w) 5 b.

44. (Fuvest-SP)

a) Determine todas as soluções, no campo comple-xo, da equação z 5 iz2 , onde i é a unidade imagi-nária, isto é, i2 5 21, e z é o conjugado de z.

b) Represente essas soluções no plano complexo, usando o sistema de coordenadas desenhado a seguir.

Re (z)

Im (z)

45. (Fuvest-SP) Nos itens a seguir, z denota um número complexo e i aunidade imaginária (i2 5 21). Supo-nha z i i.

a) Para quais valores de z tem-se ii

11

zz1

5 2?

b) Determine o conjunto de todos os valores de z

para os quais ii

11

zz1

é um número real.