derivada variação de uma função - iffmauricio ...iffmauricio.pbworks.com/w/file/fetch/51927705/Derivadas.pdf · Determine a velocidade da partícula no instante t = 2 s. 5) Uma

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Professor Mauricio Lutz

1

DERIVADAS

1) Explorando a idéia de derivada

Vamos iniciar a exploração intuitiva da idéia de derivada por meio da

ideia de variação de uma função:

Observemos que, quando a variável independente x “passa por 0x e vai

até 1x “, o conjunto de valores da função “passa por )( 0xf e chega até )( 1xf “.

Chamamos de variação média da função nesse trecho o quociente:

01

01 )()(xx

xfxf--

Exemplo:

Se a variável independente é o tempo t e S é o espaço percorrido por

um ponto móvel nesse tempo, temos que S é uma função de t e escrevemos

)(tSS = , que é equação horária do ponto material em movimento.

Entre os instantes 0t e 1t , o ponto material se descola de )( 0tS até )( 1tS .

A variação média da função S nesse trecho ou velocidade média com que o

ponto material se desloca entre 0t e 1t é dado por:

01

01 )()(tt

tStSVm -

-=





2

Observamos que, fixando 0x , a variação média da função, relativamente

à variação da variável, não é constante e depende de 1x . Assim, tomando vários 1x

cada vez mais próximos de 0x , é possível (mas nem sempre) que essa variação

média tenda a um determinado valor. Ocorrendo isso, no limite, quando 1x tende a

ox , a variação média tende a um valor que será chamado de taxa de variação

instantânea no ponto 0x . À taxa de variação instantânea da função no ponto 0x

chamamos derivada da função f em relação à variável x no ponto 0x e

representamos por:

)(' 0xf

Vamos escrevê-la numa linguagem mais conveniente.

Fazendo , 01 xxx -=D e )()( 01 xfxfy -=D temos:

xxx D+= 01

A variação média de uma função é dada pela razão:

xxfxxf

xxxfxf

xy

D-D+

=--

=DD )()()()( 0

01

01

Como consideremos 1x variando para se aproximar de 0x , vamos

chamá-lo apenas de x , e a variação média da função passa, então, a ser dada por:

x]),[ intevalo no função da média variaçãode (taxa

)()()()(

0

0

00

0

0

x

xxxfxxf

xxxfxf

xy

--D+

=--

=DD

Assim, a variação instantânea da função f no ponto 0x ou a derivada

da função f em relação à variável x no ponto 0x é dada por:

xy

xfx D

D=

®D 00 lim)(' ou

0

00

)()(lim)('

0 xxxfxf

xfxx -

-=

®

ou ainda:

xxfxxf

xfx D

-D+=

®D

)()(lim)(' 00

00

Exemplos:

a) No caso do ponto material em movimento, quando 1t tende a 0t , a velocidade

média pode tender a um valor-limite que dará a velocidade instantânea no instante

0t .





3

Analogamente ao exemplo anterior, fazendo 01 ttt -=D e

)()( 01 tStSS -=D , temos:

ttt D+= 01

A velocidade média é dada pela razão:

)()()()(

01

00

01

01

tttSttS

tttStS

ts

--D+

=--

=DD

Como fixemos 1t tender a 0t , podemos chamá-lo apenas de t , e a

velocidade média no intervalor de 0t a 1t é dada, então, por:

)()()()(

V 0

00

0

0m tt

tSttStt

tStSts

--D+

=--

=DD

=

Logo, a velocidade instantânea no instante 0t é obtida quando fazemos

t tender a 0t ou, equivalentemente, quando fazemos tD tender a 0. Portanto,

representando por )( 0tV a velocidade instantânea no instante 0t , temos:

ts

VVtmtt D

D==

®D®D 00)( limlim0

ou

0

0)(

)()(lim

00 tt

tStSV

ttt --

=®

ou ainda:

ttSttS

Vtt D

-D+=

®D

)()(lim 00

0)( 0

Concluímos, então, que a primeira idéia de derivada de uma função f

num ponto 0x do seu domínio é a variação instantânea de uma função f sofre em

relação à variável x num ponto 0x . Quando essa variável é o tempo, a derivada é a

velocidade instantânea de um ponto material em movimento num determinado

instante 0t .

b) Qual é a derivada da função 3)( xxf = no ponto 20 =x ?

Estamos procurando )2('f .

0

00

)()(lim)('

0 xxxfxf

xfxx -

-=

®

Assim:

124444)2(2)2()42(lim)42(lim2

)42)(2(lim

28

lim2

)2()(lim)2('

22

2

2

2

2

2

3

22

=++=++=++=++

=-

++-=

--

=--

=

®®

®®®

xxxxx

xxxxx

xfxf

f

xx

xxx

Logo, 12)2(' =f .





4

c) Determine )3('f , sabendo que xxxf 2)( 2 += .

Estamos procurando )3('f .

0

00

)()(lim)('

0 xxxfxf

xfxx -

-=

®

Assim:

( )

853)5(lim3

)5)(3(lim

3152

lim3

)3()(lim)3('

33

2

33

=+=+=-

+--

-+=

--

=

®®

®®

xx

xxx

xxx

fxff

xx

xx

Logo, 8)3(' =f .

d) Um ponto material se move sobre uma trajetória qualquer segundo a equação

horária 52)( 2 +-= tttS , em que S é dado em metros (m) e t é dado em segundos

(s). Determine a velocidade do ponto material no instante st 20 = .

Estamos procurando )2('S ou )2()( 0VV t = .

0

00

)()(lim)('

0 ttxSxS

xSxx -

-=

®

Assim:

2lim2

)2(lim

22

lim2

5)52(lim)2('

22

2

2

2

2==

--

=--

=-

-+-=

®®®®t

ttt

ttt

ttt

Stttt

Logo, smV t /2)( 0= . Assim, a velocidade no instante 20 =t é de sm /2 .

Exercícios

1) Determine a derivada da função Â®Â:f definida por:

a) 12)( += xxf no ponto 1=x ;

b) 1)( 2 -= xxf no ponto 2=x .

2) Determine )2('f , sabendo que Â®Â:f é definida por 1)( 3 -= xxf .

3) Um ponto material se move sobre uma trajetória segundo a equação horária

12)( 2 += ttS (em que S é dado em metros e t é dado em segundos). Determine a

velocidade no instante st 3= .





5

4) Uma partícula se move em linha reta segundo a equação horária 23)( += ttS

( S é dado em metros e t é dado em segundos). Determine a velocidade da

partícula no instante st 2= .

5) Uma partícula se move sobre um trajetória segundo a equação horária dada

abaixo (em que S é dado em metros e t é dado em segundos). Determine, em

cada caso, a velocidade da partícula no instante indicado.

a) 1102 2 -+= ttS no instante st 3= .

b) ttS 32 += no instante st 2= .

c) 1223 +++= tttS no instante st 1= .

6) A aceleração a é a variação instantânea da velocidade V em relação ao

tempo t num instante 0t , ou seja, é a derivada da velocidade V no instante 0t :

)()( 00' tt Va = . Sabendo que um ponto material tem velocidade variável dada pela

expressão 13 2 += tV , determine sua aceleração, em 2/ sm , nos instantes:

a) st 1= .

b) st 4= .

Gabarito

1) a) 2 b) 4

2) 12 3) 12m/s 4) 3m/s

5) a) 22m/s b) 7m/s c) 7m/s 6) a) 6m/s2 b) 24m/s2

2) Interpretação geometrica da derivada

Através da geometria analítica sabemos determinar a inclinação da reta,

ou seja, dada uma reta r , seu coeficiente angular é expresso por:

12

12ym

xxy

--

=

em que ),(P 111 yx e ),(P 222 yx são dois pontos quaisquer da reta r . Chamando de

a o ângulo que r forma como o eixo x , o coeficiente m é a tangente de a , ou

seja:

atgm =





6

Vejamos, agora, o que vem a ser a inclinação de funções (ou de

curvas que as representam) em um determinado ponto. Intuitivamente, a inclinação

de )(xfy = em ( ))(, 00 xfx é a inclinação da reta tangente em ( ))(, 00 xfx ou

simplismente em 0x .

Consideremos, por exemplo, a inclinação da função 2)( xxf = , ou da

curva que a representa, no ponto 0x .

A inclinação da secante AB é dada por:

( ) ( )( )

( )hx

hhhx

hxhx

xhxxfhxf

+=+

=-+

=-+-+

0

20

20

20

00

00 22





7

À medida que B vai se aproximando de A ,ou seja, quando h vai

tendnedo a 0, a reta AB vai se aproximando cada vez mais da reta tangente t em

0x . Isso significa que a inclinação de 2)( xxf = em 0x vai tendendo a 02x .

Numa linguagem mais precisa, escrevemos:

000

00

02)2(lim

)()(lim xhx

hxfhxf

hh=+=

-+®®

que é exatamente )(' 0xf , a derivada da função f no ponto 0x ( com a diferença

de que aqui chamamos o acréscimo de h em lugar de xD ). Portento, existindo

)(' 0xf , existirá a reta tangente e:

atgxf =)(' 0

que é o coeficiente da reta r , tangente ao gráfico de )(xfy = no ponto ( ))(, 00 xfx .

Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de )(xfy = no ponto ( ))(, 00 xfx é

dado por:

0

00

)()('

xxxfy

xf-

-= ou ))((')( 000 xxxfxfy -=-

Observação: Para admitir reta tangente em um determinado ponto, o gráfico da

função não pode dar “salto” (não pode ser descontínuo nele) nem mudar

bruscamente de direção (formar “bico”) nesse ponto. Não admitem tangente em 0x

os seguintes gráficos de funções:

Retas paralelas ao eixo y não têm coeficiente, pois °= 90tgm não está

definido. Assim, se a tangente ao gráfico de uma função num ponto é paralela ao

eixo y , a função também não admite derivada nesse ponto e dizemos que não

existe a tangente ao gráfico por esse ponto. São exemplos disso as funções, nos

pontos 0x indicados:





8

Exemplos:

a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 2)( xxf = no ponto

10 =x .

A equação da reta tangente ao gráfico de 2)( xxf = no ponto 10 =x é

dado por:

)1)(1(')1( -=- xffy

Como 11)1( 2 ==f , basta calcular )1('f , na qual podemos calcular de

duas formas distintas:

2)2(lim)2(

lim121

lim

1)1(lim

)1()1(lim)1('

)()(lim)('

00

2

0

2

00

00

0

=+=+

=-++

-+=

-+=Þ

-+=

®®®

®®®

hh

hhhhh

hh

hfhf

fh

xfhxfxf

hhh

hhh

ou

2)1(lim)1(

)1)(1(lim

11

lim1

)1()(lim)1('

)()(lim)('

11

2

110

0

0

=+=-

+---

=--

=Þ--

=

®®

®®®

xx

xx

xx

xfxf

fxx

xfxfxf

xx

xxxx

Portanto: 12)1(21)1)(1(')1( -=Û-=-Û-=- xyxyxffy

Logo, 12 -= xy é a equação da reta tangente ao gráfico de 2)( xxf = no

ponto 10 =x .





9

b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 3)( xxf = no ponto

20 =x .

Neste caso:

82)2( 3 ==f

12)612(

lim612

lim

8)2(lim

)2()2(lim)2('

2

0

32

0

3

00

=++

=++

-+=

-+=

®®

®®

hhhh

hhhh

hh

hfhf

f

hh

hh

ou

12)42(lim2

)42)(2(lim

28

lim2

)2()(lim)2('

2

2

2

2

3

22

=++-

++-=

--

=--

=

®

®®®

xxx

xxxxx

xfxf

f

x

xxx

Portanto: 1612)2(128)2)(2(')2( -=Û-=-Û-=- xyxyxffy

Logo, 1612 -= xy é a equação da reta tangente ao gráfico de 3)( xxf =

no ponto 20 =x .

Exercícios

1) Dada a função Â®Â:f definida por 1)( 2 += xxf determine:

a) )2('f ;

b) a equação da reta tangente ao gráfico de )(xf no ponto 20 =x .





10

2) Dada a função Â®Â:f definida por

4)(

2xxf = , determine:

a) )2(' -f ;

b) a equação da reta tangente ao gráfico de )(xf no ponto 20 -=x .

3) Dada a função Â®Â:f definida por 12)( 2 +-= xxxf , determine a equação da

reta tangente ao gráfico de )(xf no ponto 10 =x .

Gabarito

1) a) 4 b) 34 -= xy 2) a) –1 b) 1--= xy 3) 0=y

3) Derivada

A derivada de uma função )(xfy = num 0xx = , é igual ao valor da

tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva

representativa de )(xfy = , no ponto 0xx = , ou seja, a derivada é o coeficiente

angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto 0x .

A derivada de uma função )(xfy = , pode ser representada também

pelos símbolos: 'y , dxdy

ou )(' xf .

A derivada de uma função )(xf no ponto 0x é dado por:

hxfhxf

xxxfxf

xfxdxdf

xxx

)()(lim

)()(lim)(')( 00

00

000

0

-+=

--

==®®

Exemplo:

Uma partícula se move sobre uma trajetória obedecendo à equação horária

12)( 3 ++= tttS ( S dado em metros e t dado em segundos). Determine:

a) A função velocidade em função do tempo.

Lembramos que a velocidade é dada pela derivada de )(tS , ou seja:

htShtS

tStVh

)()(lim)(')(

0

-+==

®

Como:

( ) ( )[ ] ( )( ) hhthhttthththhtt

tththttShtS

+++=---++++++

=++-++++=-+32233223

33

266121332

1212)()(

Temos:





11

16)1266(lim

)1266(lim

266lim)(

222

0

22

0

322

0

+=+++

=+++

=+++

=

®

®®

ththth

hththh

hhthhttV

h

hh

Logo, 16)( 2 += ttV .

b) A velocidade da partícula no instante st 2= .

Procuramos a velocidade no instante st 2= , isto é, )2('S ou )2(V .

Portanto:

251)2(6)2( 2 =+=V

Logo, a velocidade da partícula no instante st 2= é de sm /25 .

c) A função aceleração em função do tempo.

A aceleração é dada pela derivada da velocidade, ou seja, )(')( tVta = .

Assim:

htVhtV

tVtah

)()(lim)(')(

0

-+==

®

Como:

( )( ) ( )( ) 2222222

22

61216612616126

1616)()(

hthththtththt

thttVhtV

+=--++=+-+++

=+-++=-+

Temos:

thth

hthh

hthta

hhh12)612(lim

)612(lim

612lim)(

00

2

0=+=

+=

+=

®®®

Logo, tta 12)( = .

d) A aceleração da partícula no instante st 3= .

A aceleração no instante 3=t é dada por )3('V ou )3(a :

363.12)3( ==a

Logo, a aceleração da partícula no instante st 3= é de 2/36 sm .

4) Derivadas fundamentais

Nas formulas abaixo, u e v são funções da variável x e c uma

constante. a)Derivada da função constante

0)( =cdxd





12

Exemplo: 05 =dxd

b) Derivada da função potência

1.)( -= nn xnxdxd

, portanto 1)( =xdxd

Exemplo: 67 7xxdxd

=

c) Derivada de um produto de uma constante por uma função

dxdu

cucdxd

.).( =

Exemplo: 334 20.4.55 xxxdxd

==

d) Derivada da função senxxf =)(

xsenxdxd

cos)( =

e) Derivada da função xxf cos)( =

senxxdxd

-=)(cos

Exercícios

1) Calcule a derivada )(' xf das seguintes funções:

a) 8)( =xf b) 6 5)( xxf = c) 5)( -= xxf d) 4

1)(

xxf =

e) xxf 4)( -= f) 10

53

)( xxf = g) 4

21

)( --= xxf h) 105)( xxf =

i) senxxf 4)( = j) xxf cos5)( -= k) xxf cos31

)( -= l) xxf cos3)( =

m) 35

6)( xxf = n) 23

8)( xxf = o) senxxf34

)( -= p) 2

31

)( --= xxf

q) 23

)(-

= xxf r) 5 3)( xxf = s) 45)( xxf -= t) 45)( xxf -=

u) 23

6)(-

= xxf v) xxf 10)( = w) xxf cos23

)( = x) 32)( --= xxf

y) 23)( xxf = z) 3

1)(

xxf =





13

2) Calcule as derivadas.

a) ( )3 2xdxd

b) ( )8 73 xdxd

c) ( )7 43xdxd

d) ( )10 382 xdxd

e) ÷÷ø

öççè

æ5 23

1

xdxd

f) ÷÷ø

öççè

æ3 22

2

xdxd

g) ÷÷ø

öççè

æ-

3

1

xdxd

h) ( )5 3xdxd

-

i) ( )3 8xdxd

- j) ÷ø

öçè

æ-xdx

d 1 k) ( )senx

dxd

3 l) ÷øö

çèæ- x

dxd

cos54

m) ÷øö

çèæ- senx

dxd

23

n) ÷øö

çèæ- x

dxd

cos21

o) ÷øö

çèæ x

dxd

cos52

p) ÷øö

çèæ- senx

dxd

21

q) ÷øö

çèæ- senx

dxd

27

r) ÷øö

çèæ-

3senx

dxd

s) ÷øö

çèæ-

6cos x

dxd

t) ÷øö

çèæ-

15cos x

dxd

u) ( )32 -- xdxd

v) ( )45 -- xdxd

w) ( )33 -xdxd

x) ( )54xdxd

y) ( )52 -- xdxd

z) ( )38 -xdxd

Gabarito

1) a) 0 b) 66

5

x c) 6

5x-

d) 5

4x-

e) –4 f) 96x

g) 5

2x

h) 10 92

1

x i) xcos4 j) senx5 k) senx

31

l) senx3-

m) 3 210 x n) x12 o) 320x- p) 0 q) 2 52

3

x

-

r)

2 55

3

x

s) xcos34

-

t) 332x

u) 2 5

9

x

-

v) 10 w) senx

23

-

x) 4

6x

y) x6

z) 4

3x

-

2) a) 31

3

2

x

b) 81

8

21

x

c) 7

3

7

7

34

x

d) 10

7

10

5

83

x

e) 57

5 35

2

x

- f) 35

3 23

4

x

-

g) 25

2

3

x

h) 52

5

3

x

- i) 35

38x- j)

23

2

1

x

k) xcos3 l) 5

4senx





14

m) 2

cos3 x- n)

2senx

o) 5

2senx- p)

2cos x

- q) 2

cos7 x-

r)

3cos x

-

s) 6

senx

t)

15senx

u) 4

6x

v) 5

20x

w) 4

9x

-

x) 420x

y) 6

10x

z) 4

24x

-

5) Propriedades operatórias

Considere u e v funções da variável x .

a)Derivada de uma soma de funções

''' vuyvuy +=Þ+=

''' vuyvuy -=Þ-=

Exemplo: Dada a função 1524)( 23 ++-= xxxxf , calcular )(' xf .

( ) 5412054120.5.2.2.3.41524 20211121323 +-=++-=++-=++- --- xxxxxxxxxxxdxd

b) Derivada de um produto de funções

uvvuyvuy '.'.'. +=Þ=

Exemplo: Calcular a derivada de )37)(52()( xxxf -+= .

)37)(52( xxy -+= uvvuyvuy '.'.'. +=Þ=

5'52 =Þ+= uxu xxxxuvvuy 1561535)52)(3()37.(5'.'.' ---=+-+-=+=

3'37 -=Þ-= vxv 2930' +-= xy

c) Derivada de um quociente de funções

2

'.'.'

vuvvu

yvu

y-

=Þ=

Exemplo: Sendo 31

)(2

-+

=xx

xf , calcular )(' xf .

31

)(2

-+

=xx

xf 2

'.'.'

vuvvu

yvu

y-

=Þ=

xuxu 2'12 =Þ+= 96

162)3(

)1(1)3(2'.'.' 2

22

2

2

2 +----

=-

+--=

-=

xxxxx

xxxx

vuvvu

y

1'1 =Þ-= vxv 9616

' 2

2

+---

=xxxx

y





15

Exercícios

1) Determine a derivada )(' xf das seguintes funções:

a) 473)( 2 +-= xxxf b) 234 2510)( xxxxf --= c) 42 4310)( xxxf +-=

d) 12)( 23 +-+= xxxxf e) xxxf += 2)( f) xxxf cos32)( -=

g) senxxxf .3)( = h) xsenxxf cos.)( = i) xxxf cos.)( 2=

j) )32.()( 23 xxxxf -= k) )23.()( 22 +-= xxxxf l) )2).(4()( -+= xxxf

m) )32).(1()( --= xxxf n) )1).(1()( 22 +-= xxxf o) )1(

)( 2

2

-=

xx

xf

p) 2354

)(+-

=xx

xf q) x

xxf

452

)(+

= r) 4

1)( 2 -=

xxf

s) 2

2

41

)(xx

xxxf

-++-

= t) 2

23 3472)(

xxxx

xf++-

= u) )2)(1()( 32 xxxf -=

v) )1)(13()( 2 --= xxxf

w) )3)(18()( 2 +-= xxxf

x) 118

)(2

+-

=xx

xf

y) )5)(3()( 22 +-= xxxf

z) 113

)(2

+-

=xx

xf


a) ( )))(12( 32 xxdxd

- b) ÷÷ø

öççè

æ÷øö

çèæ -1

23

)2( 25 xxdxd

c) ÷÷

ø

öççè

æ+÷

øö

çèæ )1(

31 3 xx

dxd

d) ÷÷ø

öççè

æ-÷

øö

çèæ- )2(

21 4 xx

dxd

e) ÷

÷ø

öççè

æ-÷÷

ø

öççè

æ)23(5 5

1

xxdxd

f) ( )( )( )32 2 -xx

dxd

g) ( )( )xxxdxd

8)2( 3 - h) ( )÷÷ø

öççè

æ-÷

øö

çèæ- 4

21

xxdxd

i) ( )( )13)82( 3 -- xx

dxd

j) ( )( )22)13( 2 ++- xxdxd

k) ( )( )1)1( 23 +- xx

dxd

l) ( )÷÷

ø

öççè

æ-÷÷

ø

öççè

æ12

32 2

3

xxdxd

m) ( )÷÷ø

öççè

æ-÷

øö

çèæ- 5

21

2 xxdx

d n) ÷

øö

çèæ

+-113

xx

dxd

o) ÷÷

ø

öççè

æ-+

15

2

2

xx

dxd

p) ÷÷ø

öççè

æ--

123

xx

dxd

q) ÷÷

ø

öççè

æ-1xx

dxd

r) ÷÷ø

öççè

æ- xx

dxd

12

s) ÷÷ø

öççè

æ--x

xdxd

112





16

t) ÷÷ø

öççè

æ+-

231 2

xx

dxd

u) ÷÷

ø

öççè

æ -x

xdxd 12

v) ÷

ø

öçè

æ -x

xdxd

2

5 w) ÷

ø

öçè

æ -3

1

x

xdxd

x) ÷÷ø

öççè

æ-

+-2

132

xxx

dxd

y) ÷÷

ø

öççè

æ-

-+1

353 2

xxx

dxd

z) ÷÷

ø

öççè

æ-

-+-8

32

xxx

dxd

Gabarito

1) a) 76 -x b) xxx 41540 23 -- c) xx 616 3 - d) 143 2 -+ xx e) x

x2

12 +

f) senx32 + g) )cos(3 xxsenx + h) xsenx 22cos - i) )cos2( xsenxxx -

j) 34 1210 xx - k) xxx 494 23 +- l) 22 +x m) 54 -x n) 34x o) 22 )1(2-

-x

x

p) 2)23(23+x

q) 245x-

r) 22 )4(2--

xx

s) 22 )4(510xx

x-+-

t) 32

642

xx--

u) 24 610 xx - v) 169 2 -- xx w) 8224 2 -- xx x) 2

2

)1(1168

+++

xxx

y) xx 3012 3 +- z) 2

2

)1(163

+++

xxx

2) a) 24 310 xx - b) 46 1021 xx - c) 23

34

xx + d) 34 425

xx +-

e) 5

451 2

18

x

x - f) 2

123

2

35

x

x -

g) 21

25

2428 xx - h) 2

121 1

43

x

x +-

i) 24624 23 -- xx j) 21218 2 +-- xx k) 235 24 -+ xx l) 21

23

310

xx -

m) 32

521

xx- n) 2)1(

4+x

o) 22 )1(12+

-x

x p)

2

23

)1(232

-+-

xxx

q) 2)1(2

1

---xx

x

r) 2)1(

1

xx

x

-+

s) 1-

t) 2

2

)2(1123

+---

xxx

u)

23

2

2

13

x

x +

v)

23

4

5

x

x + w)

34

3

12

x

x +

x)

2

2

)2(54

-+-

xxx

y) 2

2

)1(263

---

xxx

z)

2

2

)8(516

--+-

xxx





17

6) Derivada da potência de uma função

Consideremos g uma função da variável x e n uma constante.

( ) '..' 1 ggnygy nn -=Þ=

Exemplo: Dada a função 4)12()( += xxf , calcular )(' xf .

2)('12)( =Þ+= xgxxg

( ) 33144 )12.(82.)12(4'..4' +=+==Þ= - xxggygy

7) Derivada de uma função exponencial

Consideremos g uma função da variável x .

aayay xx ln.'=Þ=

agayay gg ln'..'=Þ=

Exemplos: a) Calcular a derivada de xxf 2)( =

2ln.2'2)( xx yxf =Þ=

b) Calcular a derivada de 523)( -= xxf

3ln.2.3'3)( 5252 -- =Þ= xx yxf

8) Derivada da função logarítmica

Consideremos g uma função da variável x .

xyxy

1'ln =Þ=

ex

yxy aa log.1

'log =Þ=

Exemplos: a) Dada a função 4).(ln)( xxxf = , determinar )(' xf .

A função dada é da forma:

ghhgfhgf '.'.'. +=Þ=

xgxg

1'ln =Þ= 34 4' xhxh =Þ=

)ln.41(ln4ln.4.1

'.'.' 33334 xxxxxxxxx

ghhgf +=+=+=+=





18

b) Dada a função 3)(log)( xxf = , determinar )(' xf .

A função dada é da forma:

( ) '..' 1 ggny n-=

ex

gxg log.1

'log =Þ=

( )x

exe

xxggny n log.)(log3

log.1

.)(log3'..'2

21 === -

Exercícios 1) Determine as derivadas das seguintes funções:

a) ( )23 2)( xxxf -= b) ( )224 13)( +-= xxxf c) 21)( xxf -=

d) 3 14)( += xxf e) 22 )1()( ++= xxxf f) xxxf 23)( +-=

g) x

xf ÷øö

çèæ=

21

)( h) 133)( += xxf i) xxf 2.5)( =

j) xexf .10)( = k) 2)(ln)( xxf = l) xxf ln21

)( =

m) xxf 2log.3)( = n) 2)(log)( xxf = o) x

xxf

ln)(

2

=

p) ( )34 32)( -= xxf q) ( )32 432)( -+= xxxf r) 2

21

18)( ÷øö

çèæ -= xxf

s)

32 3

21

)( ÷øö

çèæ -= xxf t) 483)( -= xxf u) xxf 385)( -=

v) 2222)( xxf -= w)

423

2)(-

=x

xf x) 3)(ln)( xxf =

y) xxf 2log)( = z) xxf 5log)( =


a) ( )( )52 53 xxdxd

-

b) ( )( )325 1343 +-+ xxxdxd

c) ÷

÷ø

öççè

æ÷øö

çèæ +

32

23

21

xxdxd

d) ( )( )43 85 xxdxd

+

e) ( )13 2 -xdxd

f) ( )3 3 24 xx

dxd

-

g) ( )4 12 -xdxd

h) ( )( )23 1213 -++ xx

dxd

i) ( )( )325 2 3218 xxx

dxd

-+-

j) ( )3235 2 -+- xxdxd

k) ( ) ( )( )33 121 ++- xx

dxd

l) ( ) ( )( )54 122 -++ xx

dxd





19

m) ( )( )332 5332 xxdxd

-+- n) ( )3 583 xdxd

-

o) ( )5 432 xdxd

-

p) ( )12

3 --xx

dxd

q) ( )352

2 +- xx

dxd

r) ( )325 -x

dxd

s) ( )2538 x

dxd -

t) ( )2484 xx

dxd -

u) ( )253 x

dxd -

v) ( )( )4log x

dxd

w) ( )( )5log x

dxd

x) ( )( )8log xdxd

y) ( )x

dxd

log8

z) ÷÷ø

öççè

æxdx

dlog

1

Gabarito

1) a) xxx 8166 35 +- b) xxxx 1244368 357 -+- c) 21 x

x

-

- d)

3 2)14(3

4

+x

e) 24 +x f) xx 2

1

32

1+

--

g) 21

ln.21

x

÷øö

çèæ

h) 3ln.3 23 +x i) 2ln.2.5 x

j) xe.10

k) xxln2

l) x2

1 m) e

x 2log3

n) x

ex log.log2 o) 2)(ln

)1ln2(xxx -

p) 243 )32(24 -xx

q) 22 )432)(34(3 -++ xxx

r) 18648 -x

s) 2

2 321

3 ÷øö

çèæ -xx

t) 3ln.3.8 48 -x

u) 5ln.5.3 38 x--

v) 2ln.2.4222 xx --

w) 2ln.2.

23 4

2

3-x

x) 2)(ln

3x

x

y) ex 2log1

z) e

x 5log1

2) a) 42 )53)(56(5 xxx -- b) 2254 )1343)(3815(3 +-+-+ xxxxx

c) 2

2

23

21

23

3 ÷øö

çèæ +÷øö

çèæ + xxx d) 332 )85)(815(4 xxx ++ e)

13

32 -x

x

f) 23

2

)24(3212xx

x--

g) ( )4 3122

1

-x h)

( )3 213

148

++-

xx

i) ( )5 42

22

185

16)32)(34(3

-+--

x

xxxx j)

32

2

352

52 -

+- x

x

x

k) 91827 2 ++ xx l) 43 )12(10)2(4 -++ xx m) 32

2)53(45

2

232

-+--

x

xxx

n) ( )3 25

4

833

40

x

x

-

- o)

( )5 44

3

325

12

x

x

-

- p) 3ln)21(3 12

xxx ---





20

q) 2ln)52(2 352

-+- xxx r) 5ln5.2 32 -x

s) 8ln8.10253 xx --

t) 4ln)88(4248 xxx --

u) 3ln3.225 xx -- v)

( )x

ex log.log4 3

w) ( )

xex log.log5 4

x) ( )

xex log.log8 7

y) x

elog.8 z) 2)(ln

logxxe-

9) Derivada da função composta (regra da cadeia)

Sejam f e g são funções da variável x .

))(( xgfy = e )(xgu = então )(ufy = e )(').(')(' xvvuxf = .

Exemplos: a) Seja xsenxf 3)( = , determine )(' xf .

)(').(')('))(()( xvvuxfxvuxf =Þ=

3)('3)( =Þ= xvxxv

vvusenvvu cos)(')( =Þ= mas xv 3= , logo xv 3coscos =

Então:

xxxfxsenxf 3cos33).3(cos)('3)( ==Þ=

b) Seja )65ln()( 2 +-= xxxf ,determine )(' xf .

A função é da forma )(').(')('))(()( xvvuxfxvuxf =Þ=

52)('65)( 2 -=Þ+-= xxvxxxv

vvuvvu

1)('ln)( =Þ= mas 652 +-= xxv , logo

6511

2 +-=

xxv

Então:

6552

)52.(65

1)(')65ln()( 22

2

+--

=-+-

=Þ+-=xx

xx

xxxfxxxf

Exercícios

1) Calcule as derivadas das funções:

a) xxf 6cos)( =

b) )13()( += xsenxf

c) )ln()( senxxf =

d) )3log()( 2 xxxf -=

e) 52 )23log()( += xxf

f) 23 )4()( -= xxf

g) 23

1)(

-=

xxf

h) 32 )83()( +-= xxxf

i) 5)78()( --= xxf

j) 6

22 1

)( ÷øö

çèæ -=

xxxf

k) 3 2 5)( xxxf +=

l) )4(2)4.(3)( 2 xxxf +=

m) 33)( senxxxf =

n) 32 )125()( -+-= xxxf

o) 424 )158()( +-= xxxf





21

p) 2

3cos)(

xxf = q)

3 1

1)(

+=

xxf r) 22 cos)( xxxf =

s) xsenxf 8)( = t) ( )423 123)( -+-= xxxxf u) ( )32log)( 2 -= xxf

v) )12()( -= xsenxf w) 5 2 123

1)(

+-=

xxxf x) ( ) 845 138)(

---= xxxf

y) )ln(cos)( xxf = z) )5(3)5(2)( 3 xxxf -=


a) ( )53xsendxd

b) 5

33 1

÷øö

çèæ -

xx

dxd

c) ( )8 23 283 +- xxdxd

d) ÷÷ø

öççè

æ

--

xxdxd

34

12

e) ( )435 648 +- xxdxd

f) 8

55

1÷øö

çèæ - xxdx

d

g) ( )38cos3 xdxd

h) ( )52 123 -+ xxdxd

i) 10

88 1

÷øö

çèæ -

xx

dxd

j) ÷÷ø

öççè

æ

- 38

12xdx

d k) ( )32senx

dxd

l) ( )323 1+++ xxxdxd

m) ( )5 2 134 +- xxdxd

n) ( ) 323 1-

+++ xxxdxd

o) 4

1÷øö

çèæ -

xx

dxd

p) ÷÷ø

öççè

æ

- 2

33xdx

d q) ( )22senxx

dxd

r) ( )3 23 32 +- xxdxd

s) ÷÷ø

öççè

æ

+4 3 1

4

xdxd

t) ( )xdxd

5cos u) ( ) 52 35-

-xdxd

v) ÷÷ø

öççè

æ-3 1

1

xdxd

w) ( ) 324 238-

+- xxdxd x)

( )55 3cos3 xxdxd

y) ( ) 93 83-

+ xxdxd

z) ÷÷ø

öççè

æ -3

35xdxd

Gabarito

1)a) xsen66-

b) )13cos(3 +x

c) gxcot d) )3(

log)32(2 xx

ex-

-

e)

)23(log30

2 +xex

f) 25 246 xx -

g) 23

)23(2

3

-

-

x h) )32.()83(3 22 -+- xxx

i) 6)78(

40--x

j) ÷øö

çèæ +÷

øö

çèæ - 3

5

22 1

.1

12x

xx

x

k) 3 22 )5(3

52

xx

x

+

+ l) 896 +x m) 3532 cos33 xxsenxx +

n) 42 )125(630+-+-xx

x o) )164.()158(4 3324 xxxx -+- p)

23

23 xsen-





22

q) 3

4

)1(3

1

+

-

x r) 232 2cos2 senxxxx -

s) x8cos8

t) 3232 )123)(263(4 -+-+- xxxxx

u) 32

log42 -x

ex

v)

)12cos(2 -x

w)

5

62 )123(5

)26(

+-

--

xx

x

x)

945

4

)138()1240(8

----

xxxx

y) x

senxcos-

z) 15)5(30 2 -x

2) a) 54 3cos.15 xx b) ÷øö

çèæ +÷

øö

çèæ -

42

4

33 3

31

5x

xx

x c) ( )8

723

2

2838

169

+-

-

xx

xx

d) ( )2

32 342

38

xx

x

-

- e) ( ) ( )24335 12406484 xxxx -+- f) ÷

øö

çèæ --÷øö

çèæ - 4

65

55

518 x

xx

x

g) 32 872 xsenx- h) ( ) ( )26123542 +-+ xxx i) ÷

øö

çèæ +÷

øö

çèæ -

97

9

88 8

81

10x

xx

x

j) ( )2

32 38

8

-

-

x

x k) 32 cos6 xx l) ( ) ( )12313 2223 +++++ xxxxx

m) ( )5

42 1345

38

+-

-

xx

x n)

( )423

2

1

)133(3

+++

++-

xxx

xx o) ÷

øö

çèæ +÷

øö

çèæ -

2

31

11

4xx

x

p) ( )2

33

2

22

9

-

-

x

x q) ( )222 cos2 senxxxx + r)

( )3

223

2

323

43

+-

-

xx

xx

s) ( )4

53

2

1

3

+

-

x

x t) xsen55- u)

( )62 35

50

-

-

x

x v)

( )3

4

13

1

-

-

x w)

( )424

3

238

)632(3

+-

--

xx

xx

x) )3cos33(15 5554 xxsenxx +- y) ( )103

2

83

)89(9

xx

x

+

+- z)

( )2

15

4

36

5

-x

x

10) Regra de L’Hôspital

Esta regra permite calcular certos tipos de limites, cujas indeterminações

são do tipo 00

ou ¥¥

, aplicando as regras de derivação.

Sejam f e g funções deriváveis num certo intervalo aberto I , exceto

possivelmente, num ponto Ia Î . Se )()(

xgxf

tem a forma indeterminada 00

ou ¥¥

em

ax = e se 0)(' ¹xg para ax ¹ então





23

)(')('

lim)()(

limxgxf

xgxf

axax ®®= desde que

)(')('

limxgxf

ax® exista, ou ¥=

® )(')('

limxgxf

ax

Exemplos: a) Calcule o 39

lim2

3 --

® xx

x.

Pelo cálculo do limite temos

00

339)3(

39

lim22

3=

--=

--

® xx

x, o que é uma indeterminação, pela regra de

L’Hôspital tem-se:

( ) xxdxd

292 =- e ( ) 13 =-xdxd

Logo 63.21

2lim

3==

®

xx

b) Calcule o xex

x®¥lim .


¥¥

=¥

=¥

®¥

exex

xlim , o que é uma indeterminação, pela regra de L’Hôspital

tem-se:

( ) xx eedxd

= e ( ) 1=xdxd

Logo +¥== ¥

®e

ex

x 1lim

3

Obs.: Pode ocorrer que ao aplicarmos a regra de L’Hôspital a expressão )(')('

limxgxf

x®¥

ainda seja indeterminada neste caso desde que as condições da regra estejam

verificadas aplicamos a regra novamente.

c) Calcule o 34

342lim

xxxx

x --

¥®.


¥-¥¥-¥

=--

¥® 34

342lim

xxxx

x, o que é uma indeterminação, pela regra de L’Hôspital tem-se:

¥-¥¥-¥

=--

=®¥® 23

23

1 3438

lim)(')('

limxxxx

xgxf

xx aplicando a regra novamente temos:





24

¥-¥¥-¥

=--

=®¥® xx

xxxgxf

xx 612624

lim)('')(''

lim 2

2

1 aplicando a regra novamente temos:

¥¥

=--

=®¥® 624

648lim

)(''')('''

lim1 x

xxgxf

xx

22448

lim)()(

lim1

==®¥® xiv

iv

x xgxf

Logo 22

lim 34

34

=--

¥® xxxx

x

Exercícios

Ache o limite se existir:

a) x

senxx 2lim

0® b)

2521

lim 25 ---

® xx

x c)

675252

lim 2

2

2 --+-

® xxxx

x

d) 1223

lim 2

3

1 +-+-

® xxxx

x e) 20

1lim

xex x

x

-+®

f) 30

limxsenxx

x

-®

g) x

senx

x2

2cos

1lim

+®p

h) x

xx lnlim

2

®¥ i)

xsenxsenxee xx

x

2lim

0

-- -

®

j) xex x

x 2cos

lim0

-

®

- k)

45132

lim 2

2

++++

®¥ xxxx

x l)

xxxx

x lnln

lim+®¥

m) x

x

x 5533

lim--

-¥® n) 23

3 ln2lim

xexe

x

x

x +-

¥® o)

2

lnlim

xx

x ¥®

Gabarito

a) 21

b) 401

c) 133

d) 3 e) 21

- f) 61

g) 21

- h) ¥ i) 0 j) 21

k) 52

l) ¥ m) 53

n) 2 o) 0

11) Aplicações das derivadas

Regra da primeira derivada

Consideremos uma função real f , definida num domínio D , tal que f é

derivável em D . Os sinais da função derivada 'f estão relacionados ao

crescimento ou decrescimento de f .





25

Valem as seguintes propriedades

ÞSe 0)(' >af , então )(xf é crescente em ax = .

ÞSe 0)(' <af , então )(xf é decrescente em ax = .

Os pontos em que 0)(' =xf podem ser de máximo ou de mínimo ou de

inflexão. Estes pontos são chamados pontos críticos de f .

Exemplos: a) Determine os pontos críticos e estudar a variação da função

xxxf 3)( 3 -= , ÂÎx .

33)('3)( 23 -=Þ-= xxfxxxf

111330330)(' 222 ±=±=Þ=Þ=Þ=-Þ= xxxxxf (ponto crítico)

Vamos pegar pontos antes de depois dos pontos críticos.

0934.33)2(3)2(')2(' 2 >=-=--=-Þ- ff

0330.33)0(3)0(')0(' 2 <-=-=-=Þ ff

0934.33)2(3)2(')2(' 2 >=-=-=Þ ff

Gráfico de f

b) Determinar os pontos críticos e estudar a variação da função

543)( 34 +-= xxxf , ÂÎx . 2334 1212)('543)( xxxfxxxf -=Þ+-=

0)1(12012120)(' 223 =-Þ=-Þ= xxxxxf





26

0012 2 =Þ=Þ xx (ponto crítico)

101 =Þ=-Þ xx (ponto crítico)


0241212)1(12)1(12)1(')1(' 23 <-=--=---=-Þ- ff

02/3)2/1(12)2/1(12)2/1(')2/1(' 23 <-=-=Þ ff

024)2(12)2(12)2(')2(' 23 <-=-=Þ ff

Exercícios

Para cada função ÂÎxxf ),( , determinar os pontos críticos e estude a variação.

a) 23)( 23 +-= xxxf b) 44)( 34 +-= xxxf c) 2159)( 23 ++-= xxxxf

d) 333)( 23 ++-= xxxxf e) 22)( 24 +-= xxxf f) 2475)( xxxf --=

g) 1202)( 23 +-+= xxxxf h) 18)( 24 +-= xxxf i) 23 )1(10)( -= xxxf

j) 596)( 2 +-= xxxf

Gabarito

a) Pontos críticos 0 e 2; 0 é ponto de máximo e 2 é ponto de mínimo.

b) Pontos críticos 0 e 3; 0 é ponto de inflexão e 3 é ponto de mínimo. c) Pontos críticos 1 e 5; 1 e 5 é ponto de inflexão.

d) Ponto crítico 1; 1 é ponto de inflexão.

e) Pontos críticos –1, 0 e 1; –1 é ponto de mínimo, 0 é ponto de máximo e 1 é

ponto de mínimo. f) Ponto crítico -7/8; -7/8 é ponto de máximo.

g) Pontos críticos –2 e 5/3; –2 é ponto de máximo e 5/3 é ponto de mínimo.

h) Pontos críticos –2, 0 e 2; –2 é ponto de mínimo, 0 é ponto de máximo e 2 é ponto de mínimo.

i) Pontos críticos 0, 3/5 e 1; 0 é ponto de inflexão,3/5 é ponto de máximo e 1 é

ponto de mínimo.

j) Ponto crítico 3/4 ; ¾ é ponto de mínimo.

Regra da segunda derivada





27

Consideremos uma função real f , definida num domínio D , tal que f é

derivável até segunda ordem em D , isto é, existem )(' xf e )('' xf em D . Os

sinais da função derivada ''f estão relacionadas à concavidade do gráfico f .


ÞSe 0)('' >af , então )(xf tem concavidade para cima em ax = .

ÞSe 0)('' <af , então )(xf tem concavidade para baixo em ax = .

Um ponto 0x em que 0)('' 0 =xf e ''f muda de sinal (antes e depois de

0x ) é um ponto de inflexão de f . Se também 0)(' 0 =xf , dizemos que é um ponto

de inflexão horizontal pois a reta tangente é paralela ao eixo x .

Se 0)('' 0 =xf mas ''f não muda de sinal (antes e depois de 0x ), então

f não muda de concavidade em 0x , portanto, neste caso, 0x não é ponto de

inflexão.

Exemplos: a) Determine os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função

3)(

3xxf = , ÂÎx .

xxfxx

xfx

xf 2)(''3

3)('

3)( 2

23

=Þ==Þ=

0020)('' =Þ=Þ= xxxf

Vamos pegar pontos antes de depois de 0=x .

02)1(2)1('')1('' <-=-=-Þ- ff

02)1(2)1('')1('' >==Þ ff





28

b) Determine os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função

8)(

4xxf = , ÂÎx .

2334

23

)(''21

84

)('8

)( xxfxx

xfx

xf =Þ==Þ=

0023

0)('' 2 =Þ=Þ= xxxf

Vamos pegar pontos antes de depois de 0=x .

023

)1(23

)1('')1('' 2 >=-=-Þ- ff

023

)1(23

)1('')1('' 2 >==Þ ff

Não há ponto de inflexão.

Exercícios

Determine os pontos de inflexão e estude a concavidade da função f , ÂÎx ,

dada.

a) 5)( xxf = b) 12

)(6x

xf = c) 24)( xxf = d) 23 3)( xxxf -=

e) xxxf 6)( 3 +-= f) 34 8)( xxxf -= g) 24 6)( xxxf -= h) xxxf 4)( 4 -=

Gabarito

a) Concavidade p/baixo em ]-∞, 0]e concavidade p/cima em [0, +∞[; Ponto de inflexão.

b) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão.

c) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão.

d) Concavidade p/baixo em ]-∞, 1]e concavidade p/cima em [1, +∞[; Ponto de inflexão.

e) Concavidade p/cima em ]-∞, 0]e concavidade p/baixo em [0, +∞[; Ponto de inflexão.

f) Concavidade p/cima em ]-∞, 0]; concavidade p/baixo em [0, 4] e concavidade p/

cima [4, +∞[; Ponto de inflexão.

g) Concavidade p/cima em ]-∞, -1]; concavidade p/baixo em [-1, 1] e concavidade

p/ cima [1, +∞[; Ponto de inflexão. h) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão.





29

Máximos e mínimos

Lembremos que os pontos de máximos ou de mínimos de uma função

f podem ser determinados analisando os sinais da derivada primeira de 'f .

Outro recurso que pode ser empregado na identificação de pontos de

máximos ou de mínimos é analisar o sinal da derivada segunda nos pontos que

anulam a derivada primeira.


Þ 0)(' 0 =xf e 0)('' 0 >xf , se, e somente se 0x é ponto de mínimo de f .

Þ 0)(' 0 =xf e 0)('' 0 <xf , se, e somente se 0x é ponto de máximo de f .

Exemplos: a) Identificar os pontos críticos da função 46)( 26 +-= xxxf , ÂÎx .

1230)(''126)('46)( 4526 -=Þ-=Þ+-= xxfxxxfxxxf

44

45

5

202

006

0)2(6126

01260)('

±=Þ=-Þ

=Þ=Þ=-=-

=-Þ=

xx

xx

xxxx

xxxf

Vamos aplicar o critério dos sinais da derivada segunda nos pontos

críticos:

Para 0=x

01212)0(30)0(''1230)('' 44 <-=-=Þ-= fxxf

Então, 0=x é ponto de máximo local de f .

Para 4 2+=x

04812)2(30)2(''1230)('' 4444 >=-+=+Þ-= fxxf

Então, 4 2+=x é ponto de mínimo local de f .

Para 4 2-=x

04812)2(30)2(''1230)('' 4444 >=--=-Þ-= fxxf

Então, 4 2-=x é ponto de mínimo local de f .

b) Identificar os pontos críticos da função 6)( xxf = , ÂÎx .

456 30)(''6)(')( xxfxxfxxf =Þ=Þ=

0060)(' 5 =Þ=Þ= xxxf

Para 0=x

0)0(30)0(''30)('' 44 ==Þ= fxxf (nada podemos concluir)





30

Sinais de 56)(' xxf =


06)1(6)1(')1(' >-=-=-Þ- ff

06)1(6)1(')1(' >==Þ ff

Portanto 0=x é ponto de mínimo local de f .

Exercícios

Identificar os pontos críticos e se é ponto de máximo ou mínimo das seguintes

funções

a) 4)( xxf -= b) 44)( xxxf -= c) 55)( 5 +-= xxxf

d) 55)( 25 +-= xxxf e) 12)( 23 ++-= xxxxf f) 643)( 34 +-= xxxf

g) 46 62)( xxxf -= h) 22 )1()( -= xxf

Gabarito

a)Ponto critico 0; Ponto de máximo.

b) Ponto critico 1; Ponto de máximo.

c) Pontos críticos –1 e 1; Ponto de mínimo em –1 e ponto de máximo em 1.

d) Pontos críticos 0 e 23 ; Ponto de mínimo em 23 e ponto de máximo em 0.

e) Pontos críticos 1 e 1/3; Ponto de mínimo em 1 e ponto de máximo em 1/3.

f) Ponto critico 0; Ponto de mínimo.

g) Pontos críticos 0, 2 e 2- ; Ponto de mínimo em 2 e 2- e ponto de

máximo em 0.

h) Pontos críticos 0,1 e 1- ; Ponto de mínimo em 1 e 1- e ponto de máximo em 0.

Documents

derivada variação de uma função - iffmauricio ...iffmauricio.pbworks.com/w/file/fetch/51927705/Derivadas.pdf · Determine a velocidade da partícula no instante t = 2 s. 5) Uma