4 DERIVADAS, DIFERENCIAIS E SUAS APLICAÇÕES

4.1 Retas Tangentes e Taxas de Variação

Muitos problemas de Cálculo envolvem a determinação da taxa devariação de uma função em determinado momento. Tais problemas estãodiretamente relacionados com a determinação da reta tangente a uma curvadada em um determinado ponto dela.

Para uma circunferência, a reta tangente à curva f (x) em um pontox1∈D f é a reta que toca a curva num único ponto x1 ,f x1 , ou seja, o

ponto x1 ,f x1 é o único que pertence à reta e à curva ao mesmo tempo.Para uma curva geral, essa definição nem sempre é válida. Por

exemplo, na ilustração a seguir, uma reta pode ser tangente à curva em umponto (P) e cortar a curva em outro (Q).

A reta tangente ao gráfico de uma função é determinada pela suainclinação e pelo seu ponto de tangência.

Considere uma curva C dada por uma equação y = f(x). Se quisermosencontrar a tangente a C em um ponto P(x1, f(x1)), consideramos um pontovizinho Q(x2, f(x2)), onde x2 x1, e calculamos a inclinação da reta secante PQ(coeficiente angular m):

mPQ=f x2− f x1

x2− x1

A letra grega Δ é utilizada para indicar variação. Assim, Δx é avariação dos valores de x, ou seja, Δx=x 2− x 1 . Portanto, a inclinação da retasecante à curva nos pontos P e Q é calculada por:

mPQ=f x2− f x1

Δx.

Exemplo: Determine a inclinação da reta secante à curva f (x) = 3x2 + 2 nospontos x1=1 e x2=3 . Faça o gráfico de tal função e sua tangente também.

f 1=3 . 1²2=5f 3 =3 . 3²2=29m=

29−53−1

=12⇒θ≈85 °

Se quisermos a inclinação da reta tangente à curva no ponto P,podemos tomar a reta secante à curva nos pontos Q e P, então fixamos oponto P e fazemos com que o ponto Q deslize sobre a curva na direção doponto P. À medida que aproximamos Q de P, x2 se aproxima de x1 , e adiferença x2− x1 se aproxima de zero, ou seja, Δx tende a zero. Se mr, tendera um número m, então definimos a tangente t como a reta que passa por P etem inclinação m. O que corresponde a dizer que a reta tangente é a posiçãolimite da reta secante PQ, quando Q tende a P.

Assim, a inclinação da reta tangente à curva f (x) no ponto P= x1 ,f x1 pode ser dada por

f x1+Δx − f x1Δx

desde que o limite exista.

Exemplo: Dada a parábola y=x2

(a) Determine a inclinação da reta secante nos seguintes pontos:

(2,4) e (3,9) m=9− 43−2

=5

(2 ; 4) e (2,1 ; 4,41) m=4,41−42,1− 2

= 4,1

(2 ; 4) e (2,01 ; 4,0401) m=4,0401−42,01− 2

= 4,01

(b) De acordo com o que foi calculado no item “a”, indique a inclinação da retatangente à parábola no ponto (2,4):

f x1+Δx − f x1Δx

=4

(c) De que outra maneira poderia ser calculada a inclinação da reta tangente àcurva no ponto (2,4)?

ATIVIDADE

58. Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto P x1 ,f x1 .a) y= 9−x2 , P = (2 , 5)b) y=−2x24x , P = (1 , 2)c) y=x31 , P = (-2 , -7)d) y=3x2

−12 x+ 8 , P = (1 , -1)e) y=x3

−3x4 , P = (2 , 6)

Em diversos contextos, quando y é uma função de x, busca-se conhecera taxa de variação de y em relação a x. Por exemplo, a taxa com que:- a quantidade de bactérias de uma colônia muda com o tempo;- o comprimento de um cano de metal muda com a temperatura;- os custos de produção mudam com a quantidade do produto que está sendoproduzido;- o tempo de reação (reflexo) a uma situação muda de acordo com aquantidade de álcool na corrente sanguínea.

Todas essas taxas podem ser interpretadas como inclinações detangentes. Isso torna significativa a solução do problema da tangente. Sempreque resolvemos um problema de reta tangente, implicitamente estamosresolvendo uma grande variedade de problemas envolvendo as taxas devariação.

Exemplo: Num metabolismo interessa a velocidade de uma reação química.Seja M = f(t) a massa de uma substância nutritiva como função do tempo.Suponhamos que a substância nutritiva se desintegra quimicamente e porconseqüência, que M decresce. Sejam t1 , t2 dois instantes consecutivos. Seja

Δt=t 2−t 1 o tamanho do intervalo de tempo e ΔM=f t2 − f t 1 odecrescimento da massa. Então

ΔMΔt

=f t 2 − f t1

t2−t 1

Chama-se razão o quociente incremental de reação. Com nossas suposições,ΔMΔt é negativo. Especificamente falando,

ΔMΔt é a taxa média de reação

sobre o intervalo de tempo t1 a t2. A reação química não tem necessariamenteuma razão constante.

Considerando a taxa média de variação em intervalos cada vez menoresfazendo t2 tender a t1 e, portanto, fazendo Δt tender a 0, o limite dessas taxasmédias de variação é chamado taxa instantânea de variação, que éinterpretada como a inclinação da tangente à curva no ponto dado.

Exemplo: Um tanque de óleo deve ser drenado para limpeza. Sobram V litrosde óleo no tanque t minutos após o início da drenagem, onde V=60 75−t

2 ,calcule:a) a taxa média em que é drenado o óleo para fora do tanque durante osprimeiros 30 minutos.

V 0 =60.75²=337500 litrosV 30 =60 .45²=121500litros

337500−12150030−0

=7200 litros em média

b) a taxa em que o óleo está fluindo para fora do tanque 30 minutos após oinício da drenagem.5400 +Δt= 5400 litros taxa instantânea

ATIVIDADES

59. No decorrer de uma experiência, derrama-se um líquido sobre umasuperfície plana de vidro. Se o líquido vertido recobre uma região circular e oraio desta região aumenta uniformemente, qual será a taxa de crescimentoinstantânea da área ocupada pelo líquido, em relação à variação do raio,quando o raio for igual a 5 cm?

60. Suponha que a posição de uma partícula em movimento sobre uma reta rseja dada por

p(t) = t² - 6t ,onde p(t) é medida em pés e t em segundos. a) Determine a velocidade em um instante t = a qualquer. b) Determine a velocidade da partícula em t = 0 e t = 4. c) Em que instante a velocidade é nula?

4.2 A Derivada

Para indicar a derivada também usamos f' = y' = dydx . Esta última

notação, dizemos que é a derivada de y com relação a x. Tal notação torna-seútil quando temos funções com duas ou mais variáveis, e temos que calcularderivadas parciais.

Exemplo: Seja f x =2+x3− x , determine f´(x), utilizando a definição.

5(3−x−Δx ) (3−x )

f' ( x )=5

(3−x−0 ) (3−x )=

5

(3−x )2

ATIVIDADES

61. Encontre f ‘(x) ou dydx usando a fórmula

f x+Δx − f x Δx

.

a) f x = 7x 3

b) ddx 1

x+1

62. Determine f ‘(x) = f x − f a

x−a:

a) f x =2− x 3 , a = - 2

b) f x =4

5x , a = 2

Definição: A derivada de uma função f é denotada por f ' , tal que seu valor emqualquer valor x do domínio de f seja dado por

f '(x)f x+Δx − f x

Δxse esse limite existir.

4.3 Técnicas de Diferenciação

Nas expressões abaixo, u e v são funções da variável x e os termos a, b,c e n são constantes. Respeitando-se as limitações para u e v, temos asseguintes técnicas de derivação:

I) A derivada da constante é zero. u = c u‘ = 0.

Isso acontece porque a função constante não apresenta inclinação com relaçãoao eixo x, ou seja, a sua inclinação é zero.

Exemplo: Se f (x) = 5 então f' x =dydx

= 0

II) A derivada da função polinomial apresenta sempre um grau a menos que afunção.

u=xn u'=nxn−1

Exemplo: Se f x =x 2 então f' x =dydx

= 2x2−1=2x

III) A derivada da constante vezes a função é igual a constante vezes aderivada da função.

y=c . v y'=c . v'

Exemplo: y=3x2 , aqui c = 3 e v=x 2 , logo y'= 3 .2x = 6x .

IV) A derivada da soma é a soma das derivadas.y=u+v y'=u'+v'

Exemplo: Se h x =5x +x2 , então f x =5x e g x =x 2 , logo h´ x = 5 2x .

V) A derivada do produto de duas funções é a soma do produto da primeirapela derivada da segunda com o produto da segunda pela derivada daprimeira.

y=u . v y'=u . v'+u'v

Exemplo: h x = 2x 5 . x³− 4x , aqui f x = 2x 5 f' x =2 eg x =x³− 4x g' x = 3x²− 4 .

Logo,

h' x =2x5 .3x²−4 x³−4x 2 h' x =6x³−8x15 x²−20 2x³−8x

h' x =8x³15x²−16 x−20

VI) A derivada do quociente entre duas funções é a fração onde o numerador éa diferença do produto do denominador pela derivada do numerador com oproduto do numerador pela derivada do denominador, e o denominador é odenominador da função original ao quadrado.

y=uv y'=

u'v−uv'v²

Exemplo: h x =2 +x3− x , temos f x = 2+x f' x =1 e g x = 3 − x

g' x =−1 . Logo,

h' x =3−x . 1−2+x .−1

3−x ²=

3−x+ 2+x3−x ²

=5

3−x ²

ATIVIDADES

63. Utilizando as propriedades, encontre a derivada da função:a) f x = 7x − 5

b) g x =1−2x− x 2

c) f x =x3−3x 2

5x−2

d) f x =18x8− x4

e) f x =x23x1

x2

f) g x =4x2−1

4x4

g) h x =x 4−5x +x−2

4x−4

h) g x =3

x25

x4

i) f s =3 s3− s 2

j) f x = 2x 4−1 ⋅5x3

6x

k) f x = x 2−3x2 ⋅2x 3

1

l) f x =x

x−1

m) ddt 5t

12t 2 n)

ddy y

3−8y38

4.4 Derivada das Funções Trigonométricas

Algumas identidades trigonométricas úteis:

sen 2 x cos2

x =1

tg x =sen x

cos x

cot g x =cos x

sen x

sec x =1

cos x

cosc x =1

sen x

sen 2 t =12

1−cos 2t

sen a± b =sen a cos b ± sen b cos a

cos a± b = cos a cos b ∓ sen a sen b

sen 2x = 2 sen x cos x

cos 2x =cos2 x − sen 2

x

tg2 θ+1=sec2θcot g2θ+1=cosec 2θ

Derivadas das funções trigonométricas, onde u é uma função de x.I) Função Seno.y=sen u y'=u' . cos u

II) Função Cosseno.y= cos u y'=u' . − sen u

III) Função Tangente.y= tg u y'=u' . sec² u

IV) Função Cotangente.y= cot g u y'=u' . − cos ec ² u

V) Função Secante.y= sec u y'=u' . sec u tg u

VI) Função Cossecante.y= cos ec u y'=u' . − cos ec u cot g u

Exemplo: f x =x2 sen x f' x =x ²cos x 2 xsen x

Exemplo: f x =sen x

1−2cos x

f' x =cos x [1−2cos x ]−sen x [ 2 sen x ][ 1−2cos x ] ²

f' x =cos x −2cos² x −2 sen ² x

[ 1−2cos x ] ²

f' x =cos x −2[ sen ² x cos² x ]

[ 1−2cos x ] ²

f' x =cos x −2[ 1−2cos x ] ²

ATIVIDADES

64. Determine a derivada das funções dadas:a) f x =3 sen x

b) f x = tg x cot g x

d) g x =xsen x cos x

e) h x = 4 sen x cos x

f) h y =y 3− y 2 cos y 2 ysen y 2cos y

g) f x = 3sec x tg x h) f x = x− sen x x+ cos x

4.5 Derivada da função Exponencial e da Logarítmica

4.5.1 Derivada da Função Logarítmica Natural e da Exponencial Natural

À função logarítmica cuja base é o número de Euler e chamamos de ln.Tal função é conhecida como logarítmica natural ou logaritmo neperiano ecumpre as regras de logaritmos vistas anteriormente.

Seja u uma função diferenciável de x e u(x) > 0

y= ln u y'=u'u

Exemplo: f x = ln 3x 2−6x8

f' x =6x−63x²−6x 8

A função exponencial cuja base é o número de Euler e é chamada defunção exponencial natural, sendo válida para ela todas as propriedadesanteriormente definidas para os logaritmos.

Seja u uma função de x, diferenciávely=eu y'=u' . eu

Exemplo: Dada a função y=e1x² determine a sua derivada.

y'=−2x³

e1x²

ATIVIDADES

65. Faça o gráfico e diga o domínio e a imagem das funções f x = ln x ef x =e x .

66. Encontre as derivadas das funções logarítmicas abaixo:a) y= ln [ 4x 2

3 2x−1 ]

b) y= ln xx+1

c) f x = ln 4 5x

d) h x = ln 45xe) f t = ln 3t1

2

f) g x = ln 23t1

g) f x = ln34 − x 2

h) g y = ln ln y

i) f y = ln sen 5y

j) f x = cos ln x

k) h x =x

ln x

67. Encontre as derivadas das funções exponenciais naturais abaixo:a) y=e5x b) y=e−3x 2

c) y=e x 2− 3

d) y=ecos x

e) y=e x sen e x

f) y=e x

x

g) y=e e x

h) y=e x

−e−x

ex+e−x

i) y=x5 e−3ln x

j) y=tg e3x +e tg 3x

4.5.2 Derivada da função Exponencial e da Logarítmica

Nem sempre as funções exponenciais e logarítmicas terão como base onúmero de Euler (e).

Seja a um número positivo qualquer (a 1) e u uma função diferenciávelde x:

y=au y'=u'au lna

Exemplo: Encontre a derivada da função y=3x²

y'= 2x . 3x² . ln3

Para obtermos a derivada da função logarítmica de base diferente dabase e temos que relembrar como é feita a mudança de base. No nosso caso,utilizaremos a mudança para a base e por ser mais útil.

Da mudança de base log a x=log e x

log e a=

ln xln a .

Se o logaritmando for o número de euler e, teremos:

log ae=log e e

log e a=

ln eln a

=1

ln a .

Se u for uma função diferenciável de x, então

y= logau y'=u'

u . ln a

Exemplo: Encontre a derivada da função logarítmica y= log10 x21

y'=2x x²+1 ln10

ATIVIDADES

68. Encontre a derivada das funções abaixo. Utilize as propriedades deexponencial e de logaritmo quando for necessário.

a) y= log10x+1

x21

b) f x =enlnx

c) f x =35x

d) f x =4 sen 2x

e) f x =25x 34x 2

f) f x = x 33 2−7x

g) h x =log10 x

x

h) f x = log a x

i) f t = sec3 t2

j) f t = log 10t

t+ 1

k) f x =x x 2

4.6 Regra da Cadeia

Para obter a derivada de uma função composta, podemos utilizar asregras indicadas anteriormente ou a regra da cadeia descrita a seguir.

Exemplo: Seja F x = 4x 21

3 onde g x = 4x²1

F' x =3 . 4x²1 ² . 8x F' x =24 x 4x²1 ²

Exemplo: y=sen x23

y'= cos x²+ 3 . 2xy'= 2xcos x²+ 3

ATIVIDADES

69. Usando a regra da cadeia, calcule a derivada das funções:

a) g x =sen 2x

b) f x = 2x 3−5x2 4 10

Regra da Cadeia: Se f e g forem funções diferenciáveis e F=f°g for a funçãocomposta definida por F x =f g x , então F é diferenciável e F’ é dada por

F' x =f' g x g' x

Na notação de Leibniz, se y=f u e u=g x forem diferenciáveis, entãodydx

=dydu

.dudx

c) h x = 2x+1

5

d) f x =2x1 3

e) F x = x2 4x−5 4

f) f x = x24 −2

g) f u = 3u25 3⋅3u−1

2

h) f x =2x−5 −1

⋅4x3 −2

i) f x =2x−13x2+x−2

3

j) f z = z2−5

3

z24 2

4.7 Derivadas de 2ª Ordem e Ordens Superiores

Para obter a segunda derivada de uma função é necessário apenasdeterminar a derivada da primeira derivada. A terceira derivada é obtida peladerivada da segunda derivada, e assim por diante.

Exemplo: Observe a função f(x) e sua primeira, segunda, terceira esubseqüentes derivadas.

f x =x³−5x²3x−1f' x =3x²−10 x+3f '' x =6x−10f ''' x =6f 4 x =0f 5 x =0etc

Em geral, funções polinomiais como essa vão para zero quando é feita adiferenciação separadamente. Já as funções racionais ficam cada vez maisconfusas à medida que são obtidas as derivadas superiores.Exemplo:

f x =x²−5x+ 8

f' x = x+ 8 ²−59 x+ 8 ²

f '' x =118 x+ 8 ³

As derivadas superiores do seno e do cosseno são cíclicas.

Exemplo:y=sen x y'= cos x y ''=−sen x y '''=−cos x y4 =sen x

Qual o significado das derivadas de ordem superior? Como já sabemos,a primeira derivada indica quão rápido uma função está mudando (crescendoou decrescendo), isto é, indica sua inclinação. A segunda derivada diz quãorápida a primeira derivada (inclinação) está mudando. Uma terceira derivadaindica quão rápida a segunda derivada está mudando, ou seja, quão rápido arazão da mudança da inclinação está mudando. Em geral, não é fácilcompreender o significado das derivadas superiores.

4.8 Crescimento, Decrescimento, Concavidade e Pontos de Inflexão

Os termos crescente, decrescente e constante são usados para descrevero comportamento de uma função em um intervalo, à medida que percorremosseu gráfico da esquerda para a direita.

Exemplo: Observe a função representada no gráfico abaixo.

A função pode ser descrita como crescente nos intervalos −∞ ,0 ] e[ 2,4 ] , decrescente no intervalo [ 0,2 ] e constante no intervalo [ 4,∞ .

De modo geral, podemos afirmar que uma função diferenciável f écrescente em qualquer intervalo onde cada reta tangente ao gráfico tenhainclinação positiva, decrescente em qualquer intervalo onde cada reta tangenteao gráfico tenha inclinação negativa e constante em qualquer intervalo ondecada reta tangente ao gráfico tenha inclinação zero.

Exemplo: Determine os intervalos nos quais a função f x =x²− 4x 3 écrescente e os intervalos nos quais é decrescente.

Primeiramente, vamos obter f' x .f' x =2x−4

Para todo x<2 temos f' x 0 f é decrescente em −∞ ,2 ] .

Para todo x>2 temos f' x 0 f é crescente em [ 2,∞ .

Faça o gráfico da função apresentada neste exemplo e confirme osintervalos de crescimento e decrescimento da função f.

Embora o sinal da derivada de f revele onde o gráfico de f é crescenteou decrescente, ele não revela a direção da curvatura do gráfico. Exemplo: O gráfico a seguir está crescendo em ambos os lados do pontoindicado, mas à esquerda está curvado para cima e à direita, para baixo.

Nos intervalos em que o gráfico de f tiver uma curvatura para cimadiremos que f é côncava para cima, e nos intervalos em que o gráfico tiver uma

curvatura para baixo diremos que f é côncava para baixo.

Exemplo: Observe o gráfico da função f x =x³ .

Teorema: Seja f diferenciável duas vezes em um intervalo aberto I.a) Se f '' x 0 para cada valor de x em I, então f é côncava para cima em I.b) Se f '' x 0 para cada valor de x em I, então f é côncava para baixo em I.

Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] ediferenciável no intervalo aberto (a, b) .a)Se f' x 0 para todo valor de x em (a, b), então f é crescente em [a, b].b)Se f' x 0 para todo valor de x em (a, b), então f é decrescente em [a, b].c) Se f' x =0 para todo valor de x em (a, b), então f é constante em [a, b].

Podemos verificar no gráfico que f x =x³ é côncava para baixo nointervalo −∞ ,0 e côncava para cima no intervalo 0,∞ .

A mesma constatação poderia ser obtida através do teorema citadoenunciado anteriormente. Veja:f x =x³

f' x =3x²f '' x =6x f '' x 0 se x< 0 e f '' x 0 se x> 0

Para os pontos em que uma função muda de côncavo para baixo paracôncavo para cima ou vice-versa há uma terminologia associada, a qual édefinida a seguir.

Exemplo: Considere a função f x =x³− 3x² 1 . Usando as derivadas primeirae segunda de f, vamos determinar os intervalos nos quais f é crescente,decrescente, côncava para cima, côncava para baixo e localizar os pontos deinflexão.

f x =x³− 3x² 1 ⇒ f' x = 3x²− 6x = 3x x− 2 ⇒ f '' x = 6x − 6= 6 x− 1

A análise de sinais dessas derivadas é mostrada nas tabelas a seguir:

Definição: Se f é contínua em um intervalo aberto contendo o ponto x0 emuda de concavidade no ponto x0 ,f x0 , então dizemos que o ponto x0 dodomínio, ou o ponto x0 ,f x0 do gráfico, é um ponto de inflexão de f.

INTERVALO 3x x−2 f' x CONCLUSÃO

x< 0 −− f é crescente em −∞ ,0 ]

0 <x< 2 − − f é decrescente em [ 0,2 ]

x>2 f é crescente em [ 2,∞

INTERVALO 6 x− 1 f '' x CONCLUSÃO

x<1 − − f é côncava para baixo em −∞ ,1

x>1 f é côncava para cima em 1,∞

A segunda tabela mostra que há um ponto de inflexão em x = 1, pois fmuda de concavidade nesse ponto. O ponto de inflexão é 1, f 1 = 1,−1 . Amesma conclusão poderia ser obtida através da análise do gráfico da função.

ATIVIDADES

70) Em cada situação, esboce o gráfico de uma função f com as propriedadesindicadas e discuta os sinais de f’ e f’’.a) A função f é côncava para cima e crescente no intervalo −∞ ,+ ∞ .

b) A função f é côncava para baixo e crescente no intervalo −∞ ,+ ∞ .

c) A função f é côncava para cima e decrescente no intervalo −∞ ,+ ∞ .

d) A função f é côncava para baixo e decrescente no intervalo −∞ ,+ ∞ .

71) Seja f x = 0,1 x³− 3x²−9x .a) As soluções para f' x =0 são x = _______________________________.b) A função f é crescente no(s) intervalo(s) ____________________________.c) A função f é côncava para baixo no(s) intervalo(s) _____________________.d) _______________________ é um ponto de inflexão do gráfico de f.

72) Em cada situação, use o gráfico de y = f(x) na figura abaixo para obter ainformação requisitada.

a) Indique os intervalos nos quais f é crescente.b) Indique os intervalos nos quais f é decrescente.c) Indique os intervalos nos quais f é côncava para cima.d) Indique os intervalos nos quais f é côncava para baixo.e) Indique todos os valores de x nos quais f tem um ponto de inflexão.

73) Para as funções abaixo apresentadas encontre: (i) os intervalos nos quais fé crescente; (ii) os intervalos nos quais f é decrescente; (iii) os intervalos nosquais f é côncava para cima; (iv) os intervalos nos quais f é côncava parabaixo; (v) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.a) f x =x²−3x8 b) f x = 2x 1 ³

c) f x =x

x²+ 2

d) f x =3 x²+x+ 1

e) f x =x ³ln x

4.9 Aplicações da Derivada – Máximos e Mínimos

Se imaginarmos o gráfico de uma função como uma cordilheirabidimensional com morros e vales, então o topo dos morros e o fundo dosvales são chamados máximos e mínimos locais (relativos), respectivamente.Os máximos e os mínimos locais são os pontos mais altos e mais baixos emsua vizinhança próxima.

Geometricamente, em um ponto crítico no qual f' p = 0 , a reta tangenteao gráfico de f é horizontal (caso mais comum). Em um ponto no qual f' p

não esteja definida (caso mais raro), não há tangente horizontal ao gráfico háuma tangente vertical ou não há tangente alguma.

Se uma função é contínua em um intervalo do seu domínio, tem ummáximo ou mínimo local em p, então p é um ponto crítico ou um extremo dointervalo.

Observe nos gráficos abaixo, que uma função pode ter nenhum, um,dois ou mais pontos críticos.

Definição: Seja p um ponto no domínio de f:o f tem um mínimo local em p se f(p) é menor ou igual a todos os

valores de f em todos os pontos perto de p.o f tem um máximo local em p se f(p) é maior ou igual a todos os

valores de f em todos os pontos perto de p.o p é um ponto crítico de f se f’(p) = 0 ou f’(p) não está definida.o f(p) é um valor crítico de f se p é um ponto crítico da função f.

Exemplo: Vamos encontrar todos os pontos críticos de f x =x³−3x 1 .A função f , por ser um polinômio, é diferenciável.Para determinar seus pontos críticos, precisamos primeiramente

conhecer a derivada de f.f' x =3x²−3

Agora, resolvemos a equação f' x =0

3x²−3=03 x²−1 =03 x−1 x+1=0x−1=0 x1=0x=1 x=−1

Concluímos que os pontos críticos ocorrem em x = -1 e x = 1.A mesma conclusão poderia ser obtida pela observação do gráfico da

função.

Exemplo: Vamos retomar a função do exemplo anterior: f x =x³−3x 1 .Sabemos que ela possui pontos críticos em x = -1 e x = 1. O gráfico sugereque f tem um máximo local em x = -1 e um mínimo local em x = 1. Vamosconfirmar isso pelo teste da derivada primeira.

Iniciamos fazendo uma análise dos sinais dessa derivada.

Intervalo 3 x−1 x+ 1 f' x

x < -1 − − -1 < x < 1 − −x > 1

Teste da primeira Derivada para Máximos e Mínimos Locais: Uma funçãof tem um extremo local naqueles pontos críticos em que sua derivada (f’) trocade sinal.

Suponha que p é um ponto crítico de uma função contínua f.o Se f passa de decrescente a crescente em p, então f tem mínimo

local em p.o Se f passa de crescente a decrescente em p, então f tem máximo

local em p.

O sinal de f' x muda de + para – em x = -1, de modo que ocorre ummáximo local nesse ponto. O sinal muda de – para + em x = 1, de modo queocorre um mínimo local nesse ponto.

A concavidade do gráfico fornece uma maneira alternativa de distinguirentre mínimos e máximos locais.

Exemplo: Use o teste da segunda derivada para confirmar quef x =x³− 9x²− 48 x+ 52 tem máximo local em x = -2 e mínimo local em x = 8.

Fazendo a primeira derivação, temos:

f' x = 3x²− 18 x− 48= 3 x− 8 x+ 2

É fácil verificar que f' 8 =f' − 2 = 0 .Derivando novamente, temos:

f '' x = 6x − 18

Como f '' 8 =6 . 8−18= 48−18=30

f' −2 =6 . −2 −18=−12−18=−30

o teste da segunda derivada confirma que x = 8 é um mínimo local e que x = -2é um máximo local.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 reimp. Porto Alegre: Bookman,2007.GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. 5 ed. Rio de Janeiro:Livros Técnicos Científicos, 2001.HUGHES-HALLETT, D. [et al.]. Cálculo Aplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2005.STEWART, J. Cálculo. Volume 1, 6. ed. São Paulo: Pioneira, 2006.

Teste da segunda Derivada para Máximos e Mínimos Locais: Suponha quep é um ponto crítico de uma função contínua f, e que f' p = 0 .

o Se f é convexa em p, f '' p 0 , então f tem mínimo local em p.o Se f é côncava em p, f '' p 0 , então f tem máximo local em p.o Se f '' p =0 , então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um

máximo ou mínimo local ou nenhum dos dois em p.