Equaes Diferenciais V3 - Matemtica II - Definio: Equao diferencial uma equao que relaciona uma funo e suas derivadas ou diferenciais. Quando a equao possui derivadas,

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  • Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Curitiba Gerncia de Ensino e Pesquisa Departamento Acadmico de Matemtica

    EQUAES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA

    Profa Paula Francis Benevides

  • Equaes Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

    1

    AULA 01

    EQUAES DIFERENCIAIS

    1 INTRODUO: Antes de mais nada, vamos recordar a diferena entre a derivada e a diferencial, pois, embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores tm significados bastante diferentes. As diferenas mais marcantes so:

    a) a derivada tem significado fsico e pode gerar novas grandezas fsicas, como por exemplo a velocidade e a acelerao; a diferencial um operador com propriedades puramente matemticas; b) a derivada transforma uma funo em outra, mantendo uma correspondncia entre os pontos das duas funes (por exemplo, transforma uma funo do segundo grau em uma funo do primeiro grau); a diferencial uma variao infinitesimal de uma grandeza; c) a derivada uma operao entre duas grandezas; a diferencial uma operao que envolve uma grandeza; d) o resultado de uma derivada no contm o infinitsimo em sua estrutura; conseqentemente, no existe a integral de uma derivada; a integral s pode ser aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitsimo); e) Se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se:

    em total semelhana com a definio de derivada. A conseqncia direta desse fato que a derivada no o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relao:

    possvel escrever: dy = f(x).dx que se denomina equao diferencial. f) uma das aplicaes mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais a obteno da equao diferencial, etapa fundamental para a introduo do Clculo Integral.

    1.1 - Definio: Equao diferencial uma equao que relaciona uma funo e suas derivadas ou diferenciais. Quando a equao possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial. As equaes diferenciais da forma ( )yfy = so chamadas de autnomas. Exemplos:

    1) 13 = xdxdy

    2) 0= ydxxdy

    3) 2

    2 3 2 0d y dy y

    dxdx+ + =

    4) 2"' 2( ") ' cosy y y x+ + =

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    2

    5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x+ + =

    6) 2 2

    22 2z z x y

    x y

    + = +

    7) z zz xx y

    = +

    1.2 - Classificao: Havendo uma s varivel independente, como em (1) a (5), as derivadas so ordinrias e a equao denominada equao diferencial ordinria. Havendo duas ou mais variveis independentes, como em (6) e (7), as derivadas so parciais e a equao denominada equao diferencial parcial. 1.2.1 - Ordem: A ordem de uma equao diferencial a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As equaes (1), (2) e (7) so de primeira ordem; (3), (5) e (6) so de segunda ordem e (4) de terceira ordem. 1.2.2 - Grau: O grau de uma equao diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como um polinmio, o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equaes dos exemplos acima so do primeiro grau, exceto (5) que do segundo grau. As equaes diferenciais parciais sero vista mais adiante. Exemplos:

    1

    3

    33

    3

    =

    dxyd

    ydx

    ydx 332

    3

    3

    dxydy

    dxydx =

    3a ordem e 2o grau

    yxdxdy

    = 2lnln yxdxdy

    =2ln ye

    dxdy

    x=.12

    yexdxdy 2= 1a ordem e 1o grau

    Observe que nem sempre primeira vista, pode-se classificar a equao de imediato quanto a ordem e grau. 1.3 Origem das Equaes Diferenciais: Uma relao entre as variveis, encerrando n constantes arbitrrias essenciais, como

    4y x Cx= + ou 2y Ax Bx= + , chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre aqui, por letras maisculas, sero denominadas essenciais se no puderem ser substitudas por um nmero menos de constantes. Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrrias essenciais, dar origem a uma equao diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrrias. Esta equao aparece eliminando-se as n constantes entre as (n + 1) equaes obtidas juntando-se primitiva as n equaes provenientes de n derivadas sucessivas, em relao a varivel independente, da primitiva.

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    3

    Exemplos: Obter a equao diferencial associada s primitivas abaixo:

    a) 62

    3 2+= xxy

    b) y = C1 sen x + C2 cos x c) y = Cx2 d) y = C1 x2 + C2

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    4

    e) y = a cos(x + b) onde a e b so constantes f) y = C1 e3x + C2 e- 2x AULA 01 EXERCCIOS 1) x2 + y2 = C2 2) y = C ex 3) x3 = C (x2 y2) 4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 5) y = (C1 + C2x) ex + C3 6) y = C1 e2x + C2 e- x

    7) ayyxLg += 1

    8) x2y3 + x3y5 = C 9) y = Ax2 + Bx + C 10) y = Ae2x + Bex + C 11) y = C1e3x + C2e2x + C3 ex 12) ln y = Ax2 + B Respostas: 1) 0=+ ydyxdx

    2) 0= ydxdy

    3) dxdyxyxy 23 22 =

    4) 0422

    =+ ydx

    yd

    5) 02 22

    3

    3

    =+dxdy

    dxyd

    dxyd

    6) 0222

    = ydxdy

    dxyd

    7) 0ln = ydxdy

    yxx

    8) 22 3 3 5 0dy dyy x xy y xdx dx

    + + + =

    9) 3

    3 0d ydx

    =

    10) 023 22

    3

    3

    =+dxdy

    dxyd

    dxyd

    11) 3 2

    3 26 11 6 0d y d y dy y

    dxdx dx + =

    12) 2" ' ( ') 0xyy yy x y =

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    AULA 02

    1.4 - Resoluo:

    Resolver uma ED determinar todas as funes que, sob a forma finita, verificam a equao, ou seja, obter uma funo de variveis que, substituda na equao, transforme-a numa identidade. A resoluo de uma equao diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, que a preparao da equao, que consiste em fazer com que cada termo da equao tenha, alm de constantes, um nico tipo de varivel. A segunda etapa a resoluo da equao diferencial e consiste na aplicao dos mtodos de integrao.

    1.5 - Curvas Integrais: Geometricamente, a primitiva a equao de uma famlia de curvas e uma soluo

    particular a equao de uma dessas curvas. Estas curvas so denominadas curvas integrais da equao diferencial. Exemplo:

    xdxdy 2=

    1.6 Tipos de Soluo:

    Soluo geral: A famlia de curvas que verifica a equao diferencial, (a primitiva de uma equao diferencial) contem tantas constantes arbitrrias quantas forem as unidades de ordem da equao.

    Soluo particular: soluo da equao deduzida da soluo geral, impondo condies iniciais ou de contorno.Geralmente as condies iniciais sero dadas para o instante inicial. J as condies de contorno aparecem quando nas equaes de ordem superior os valores da funo e de suas derivadas so dadas em pontos distintos.

    Soluo singular: Chama-se de soluo singular de uma equao diferencial envoltria da famlia de curvas, que a curva tangente a todas as curvas da famlia. A soluo singular no pode ser deduzida da equao geral. Algumas equaes diferenciais no apresentam essa soluo. Esse tipo de soluo ser visto mais adiante.

    As solues ainda podem ser:

    Soluo explcita: Uma soluo para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f (x) chamada soluo explcita.

    Soluo Implcita: Quando uma soluo pode apenas ser escrita na forma G (x, y)=0 trata-se de uma soluo implcita

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    Exemplo:

    Consideremos a resoluo da seguinte EDO:

    xdxdy

    += 1

    ( )

    cxxy

    dxxdy

    ++=

    += 2

    3

    32

    1

    A soluo geral obtida obviamente uma soluo explicita.

    Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO:

    2

    2

    xxyy

    dxdy

    = tem como soluo: x

    yCey = , ou seja, uma soluo implcita.

    1.7 - Existncia e unicidade de soluo para uma EDO

    Trs perguntas importantes sobre solues para uma EDO. 1. Dada uma equao diferencial, ser que ela tem soluo? 2. Se tiver soluo, ser que esta soluo nica? 3. Existe uma soluo que satisfaz a alguma condio especial?

    Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existncia e Unicidade de soluo que nos garante resposta para algumas das questes desde que a equao tenha algumas caractersticas.

    Teorema: Considere o problema de valor inicia

    =

    =+

    00 )(

    )()(

    yxy

    xqyxpdxdy

    Se p(x) e q(x) so continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , ento o problema

    de valor inicial tem uma nica soluo nesse intervalo.

    Alertamos que descobrir uma soluo para uma Equao Diferencial algo similar ao clculo de uma integral e ns sabemos que existem integrais que no possuem primitivas, como o caso das integrais elpticas. Dessa forma, no de se esperar que todas as equaes diferenciais possuam solues. 1.8 - Problemas de Valor Inicial (PVI)

    Uma equao diferencial satisfazendo algumas condies adicionais denominada

    Problema de Valor Inicial (PVI). Exemplo:

    exy' + 2y = arctan(x) y(0) =

    Se forem conh