TEMA 8

DERIVADAS.

8.1 Motivacion y algo de introduccion historica

Hasta el momento, hemos estudiado en este curso de calculo los conceptos de integral, lımitey continuidad, ademas de las relaciones entre ellos. Todo esto constituye en gran parte loque se conoce como Calculo Integral, basado en estudios independientes de Isaac Newton yGottfried Leibniz.

Empezaremos en estas notas nuestro estudio de otra parte del calculo conocida como CalculoDiferencial, la cual esta basada en el concepto de derivada. Sus orıgenes podrıan remontarsea estudios hechos por Pierre de Fermat, matematico frances, sobre el estudio maximos ymınimos de funciones. Fermat se dio cuenta que en los puntos de la grafica de una funciondonde esta alcanzaba sus valores maximos o mınimos, se podıa trazar una recta tangente ala grafica con pendiente cero (es decir, una recta horizontal).

La grafica posee maximo en el punto x0 y mınimo en x1. Notamos que allı las tangentes que se pueden trazar son paralelas aleje horizontal (eje X).

1

Las ideas de Fermat motivan un problema geometrico mas general: dada una funcion f y unpunto cualquiera P de su grafica, se desea hallar la recta tangente a la grafica de f que pasapor P . La solucion de este problema trajo implicaciones importantes en campos como lafısica, en el calculo de la velocidad de un movil en cualquier punto de su trayectoria (descritaa su vez como cierta funcion que depende del tiempo). No solo eso, el problema de hallarrectas tangentes a curvas resulto ademas tener conexion con el calculo integral. Tal hallazgo,representado en gran parte en el Teorema Fundamental del Calculo, se debio a Newton yLeibniz, junto a otros matematicos como James Gregory e? Isaac Barrow, y sera tema deestudio en proximas notas. Sin embargo, apreciaremos ciertas pinceladas en poco tiempo.

Antes de describir de manera mas precisa el problema de hallar rectas tangentes, debemosprimero ponernos de acuerdo sobre que vamos a entender por “tangencia”.

8.2 ¿Que entendemos por recta tangente?

Supongamos que tenemos una curva α en un planto y un punto P en dicha curva. Cuandonos dicen que t es una recta tangente a α que pasa por P , solemos pensar en t como unarecta que corta a α en un unico punto (a saber, P ). Este concepto de tangencia se debe alos griegos, quienes lo enunciaron unicamente para rectas tangentes a circunferencias. Sinembargo, cuando se consideran curvas mas generales, se pueden presentar algunos problemas:

1. t puede cortar a α en mas de punto, y los puntos nuevos pueden ser tambien puntos detangencia

2. Normalmente, pensamos en P y t de tal manera que la curva α queda de un solo ladode P , y esto no tiene por que ser ası:

2

El problema del punto 1. podemos evitarlo si pensamos la tangencia como un concepto local,es decir, para un entorno de P , y no global. Es decir, no nos va a interesar si la recta t cortaa la curva α en otros puntos que estan lejos de P . Por otro lado, resolver el problema 2.no es posible con la idea original de recta tangente concebida por los griegos. Necesitamosun concepto nuevo para expresar la recta tangente a la curva de una funcion que pase pordeterminado punto de su grafica. Afortunadamente, contamos para ello con el concepto delımite.

8.3 El concepto de derivada

Supongamos que tenemos una funcion f : I → R definida sobre un intervalo I ⊆ R. Dadoun punto interior x0 de I, queremos hallar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f ,G(f), que pase por (x0, f(x0)).

Consideramos otro un punto Q = (x, f(x)) en G(f), junto con la recta que pasa por P yQ (recordemos que por uno de los postulados de la Geometrıa Euclidiana, por dos puntoscualesquiera del plano pasa una unica recta). Recordamos por lo que sabemos ademas deGeometrıa Analıtica, que tal recta tiene por ecuacion la siguiente expresion:

y − f(x0) =f(x)− f(x0)

x− x0

· (x− x0)

donde el cociente f(x)−f(x0)x−x0

es la pendiente de la recta. Notamos que al aproximar Q al puntoP (Q → P ), la recta anterior se va aproximando a una recta tangente a G(f) que pasa porel punto P .

Notese ademas que el lımite Q→ P equivale a x→ x0. Entonces, de existir el lımite

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

,

tendremos que la recta tangente a G(f) que pasa por P tiene como pendiente dicho lımite,al cual se le conoce como derivada de f en x0.

3

Definicion 8.3.1. Sea I ⊆ R un intervalo y f : I → R una funcion. Para x0 ∈ I, se definela derivada de f en x0 como el lımite (en caso de existir):

f ′(x0) := limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

. (8.1)

En caso de existir el lımite (8.1), se dice que f es derivable (o diferenciable) en x0. Porel contrario, si no existe el lımite en (8.1), entonces se dice que f no es derivable en x0.Una funcion f : I → R es derivable (en I) si es derivable en x0 para todo x0 ∈ I.

Normalmente, se suele dar una definicion equivalente de derivada haciendo el cambio devariable h = x− x0. Ası, se dice que f es derivable en x0 si existe el lımite

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

A las fracciones f(x)−f(x0)x−x0

o f(x0+h)−f(x0)h

se les llama cociente incremental en x0, y a la difer-encia h = x− x0 se le conoce como incremento de la variable x.

Cuando trabajamos con una funcion f : I → R que es derivable en su dominio, solemosreferirnos a la derivada de f como una nueva funcion f ′ : I → R dada por x 7→ f ′(x), donde(x, f(x)) representa cualquier punto de la grafica de f (no solamente a (x0, f(x0))).

Observacion 8.3.2. Sea f : I → R una funcion definida en un intervalo I ⊆ R la cual esderivable en x0 ∈ I. Entonces, la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f y que pasapor el punto (x0, f(x0)) viene dada por:

y − f(x0) = f ′(x0) · (x− x0).

La relacion entre los conceptos de derivada y continuidad se puede apreciar en el siguienteresultado.

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Proposicion 8.3.3. Sea f : I → R definida en un intervalo I ⊆ R y derivable en x0 ∈ I.Entonces, f es continua en x0. Mas aun, si f es derivable en I, entonces es continua en I.

Demostracion: Supongamos que f es derivable en x0 ∈ I. Queremos ver que f es continuaen x0, es decir, que se cumple el siguiente lımite:

limx→x0

f(x) = f(x0).

Para esta prueba, es util reescribir f(x) en funcion del cociente incremental f(x)−f(x0)x−x0

. Nota-mos entonces que:

f(x) = f(x0) + (f(x)− f(x0)) = f(x0) + (x− x0) · f(x)− f(x0)

x− x0

.

Tenemos por un lado que tanto limx→x0(x − x0) y limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0

son lımites que existeny que valen 0 y f ′(x0), respectivamente. Tenemos entonces, por propiedades algebraicas delos lımites, que:

limx→x0

f(x) = f(x0) + ( limx→x0

(x− x0)) ·(

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

)= f(x0) + 0 · f ′(x0) = f(x0).

Por lo tanto, f es continua en x0, para cualquier x0 ∈ I.

Como consecuencia de lo anterior, tenemos que si una funcion es discontinua en cierto puntode su domino, entonces no va a ser derivable en dicho punto.

Una pregunta natural a estas alturas es si el recıproco del resultado anterior es valido. Esdecir, si f : I → R es continua en x0 ∈ I,

¿sera derivable en x0?.

Presentamos a continuacion un contra-ejemplo que muestra que esto no es cierto en general.

Ejemplo 8.3.4. Sea f : R → [0,+∞) la funcion dada por f(x) = |x|. Sabemos que f escontinua en x = 0. Sin embargo, f no es derivable en ese punto. En efecto, tenemos lossiguientes lımites laterales:

limh→0+

f(0 + h)− f(0)

h= lim

h→0+

|0 + h|+ |0|h

= limh→0+

|h|h

= 1,

limh→0−

f(0 + h)− f(0)

h= lim

h→0−

|0 + h|+ |0|h

= limh→0−

|h|h

= −1.

Por lo que limh→0f(0+h)−f(0)

hno existe, y por lo tanto f no es derivable en x = 0.

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8.4 Algunos ejemplos de derivadas

En esta seccion haremos algunos calculos de derivadas para las funciones mas basicas. Masadelante, para poder hacer calculos de derivadas respecto a funciones mas complicadas, nosvaldremos de una serie de propiedades algebraicas y de saber como se comporta la com-posicion de funciones respecto a la derivada.

La derivada de una constante:

Consideremos una constante real c ∈ R. Sabemos que se puede definir a partir de c unafuncion fc : R→ R dada por fc(x) := c, la cual se llama funcion constante. En este primerejemplo es muy facil ver que fc es derivable en todo x ∈ R, y que f ′(x) = 0. En efecto,tenemos:

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

c− ch

= limh→0

0

h= lim

h→00 = 0.

Tenemos entonces que el lımite limh→0f(x+h)−f(x)

hexiste y vale 0, por lo que f ′(x) = 0 para

todo x ∈ R.

Proposicion 8.4.1 (derivada de una constante). Para toda constante real c ∈ R, se tiene

c′ = 0.

Derivada de funciones afines:

Recordemos que una funcion f : R→ R se dice afın si existen constantes a, b ∈ R tales que

f(x) = ax+ b

para todo x ∈ R. En otras palabras, las funciones afines representan las rectas de plano real.Una funcion afın para la cual b = 0 en la expresion anterior se dice lineal.

Si consideramos la interpretacion geometrica del concepto de derivada (ver Observacion 8.3.2),y al notar que la grafica de una fincion afın es una recta en el plano R2 de pendiente a quepasa por el punto (0, b), entonces deberıa existir la derivada de f en todo punto de su do-minio x ∈ R y ademas ser igual a a. Para asegurarnos de esto que notamos intuitivamente,podemos hacer el calculo del lımite en la Definicion 8.3.1:

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

(a(x+ h) + b)− (ax+ b)

h= lim

h→0

ax+ ah+ b− ax− bh

= limh→0

ah

h= lim

h→0a = a.

Ası tenemos el siguiente resultado:

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Proposicion 8.4.2. Toda funcion afın f : R → R, dada por f(x) = ax + b, es derivable enR, y su derivada vale a en cualquier punto de su dominio:

f ′(x) = (ax+ b)′ = a.

Regla de los exponentes:

Un ejemplo muy comun es calcular la derivada de la funcion f : R→ R dada por f(x) = xn,donde n ∈ N. No incluiremos los casos donde n = 0, 1, pues para n = 0 tenemos que f esuna constante, y para n = 1 podemos notar que f es un caso particular de funcion lineal.

Queremos entonces calcular el lımite

limy→x

yn − xn

y − x(8.2)

para todo x ∈ R y n ≥ 2. El caso n = 2 es facil de analizar, pues:

limy→x

y2 − x2

y − x= lim

y→x

(y − x)(y + x)

y − x= lim

y→xy + x = 2x.

Luego, tenemos que f(x) = x2 es derivable en R y ademas

(x2)′ = 2x.

En el calculo de la derivada anterior usamos la identidad

a2 − b2 = (a− b)(a+ b), para todo a, b ∈ R.

Esta igualdad se puede generalizar a cualquier exponente n ∈ N. Es decir, se puede probar,usando el Principio de Induccion, que

an − bn = (a− b) ·n−1∑i=0

an−1−ibi (8.3)

para todo n ∈ N con n ≥ 1. Usemos esta identidad para calcular el lımite (8.2):

limy→x

yn − xn

y − x= lim

y→x

(y − x) ·∑n−1

i=0 yn−1−ixi

y − x= lim

y→x

n−1∑i=0

yn−1−ixi =n−1∑i=0

xn−1−ixi =n−1∑i=0

xn−1

= nxn−1.

Tenemos entonces que f(x) = xn es derivable para todo x ∈ R y n ∈ N.

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Proposicion 8.4.3 (regla de los exponentes). Sea f : R→ R la funcion dada por f(x) = xn

para todo x ∈ R, con n ∈ N. Entonces, f es derivable en R y ademas:

f ′(x) = (xn)′ = nxn−1.

En la siguiente seccion veremos como extender el resultado anterior para valores negativosde n.

Derivadas de funciones trigonometricas:

Ahora nos enfocaremos en estudiar la derivabilidad o diferenciabilidad de las funcionestrigonometricas sen, cos : R → [−1, 1]. Dado x ∈ R, verifiquemos la existencia de los sigu-ientes lımites:

limh→0

sen(x+ h)− sen(x)

hy lim

h→0

cos(x+ h)− cos(x)

h.

Para el primero de los lımites, recordemos la identidad trigonometrica

sen(a± a) = sen(a)cos(b)± cos(a)sen(b), para todo a, b ∈ R. (8.4)

Tenemos entonces:

sen(x+ h)− sen(x)

h=

sen(x)cos(h) + cos(x)sen(h)− sen(x)

hpor (8.4)

=sen(x)(cos(h)− 1) + cos(x)sen(h)

h

Sabiendo que

limh→0

cos(h)− 1

h= 0 y lim

h→0

sen(h)

h= 1,

tenemos entonces

limh→0

sen(x+ h)− sen(x)

h= lim

h→0

sen(x)(cos(h)− 1) + cos(x)sen(h)

h

= sen(x) · limh→0

cos(h)− 1

h+ cos(x) · lim

h→0

sen(h)

h= sen(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).

Podemos concluir entonces que la funcion sen es derivable en R y que ademas

(sen(x))′ = cos(x).

Como ejercicio, el lector puede llegar a la misma conclusion usando la definicion equivalentede derivada:

limy→x

sen(y)− sen(x)

y − x.

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Para tal fin, sera util la siguiente identidad trigonometrica:

sen(a)− sen(b) = 2 · sen

(a− b

2

)· cos

(a+ b

2

), para todo a, b ∈ R.

Por otro lado, para la derivada del coseno, tenemos:

cos(x+ h)− cos(x)

h=

cos(x)cos(h)− sen(x)sen(h)− cos(x)

hpor (8.4)

=cos(x)(cos(h)− 1)− sen(x)sen(h)

h,

limh→0

cos(x+ h)− cos(x)

h= lim

h→0

cos(x)(cos(h)− 1)− sen(x)sen(h)

h

= cos(x) · limh→0

cos(x)− 1

h− sen(x) · lim

h→0

sen(h)

h= cos(x) · 0− sen(x) · 1 = −sen(x).

Podemos finalmente concluir el siguiente resultado.

Proposicion 8.4.4. Las funciones seno y coseno sen, cos : R→ [−1, 1] son derivables en R,y ademas:

(sen(x))′ = cos(x) y (cos(x))′ = −sen(x),

para todo x ∈ R.

Para calcular la derivada de las funciones trigonometricas restantes, necesitaremos la regladel cociente para derivadas, la cual demostraremos mas adelante.

Derivada de la funcion logaritmo:

Recordemos que la funcion logaritmo log : (0,+∞)→ R viene dada por

log(x) :=

∫ x

1

1

tdt.

Para probar que log es derivable en cualquier punto x ∈ (0,+∞), es importante recordar lasiguiente identidad:

log(a/b) = log(a)− log(b), para todo a, b > 0. (8.5)

Dados x > 0 y h ∈ R, tenemos entonces lo siguiente:

log(x+ h)− log(x)

h=

log(x+hx

)h

=1

h· log

(1 +

h

x

)(por (8.5)).

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Entonces:

limh→0

log(x+ h)− log(x)

h= lim

h→0

1

h· log

(1 +

h

x

)En este lımite se presenta una indeterminacion del tipo 0/0 al sustituir h = 0 en la expresion1h· log

(1 + h

x

). Recordamos la desigualdad

1− 1

y≤ log(y) ≤ y − 1 para todo y > 0. (8.6)

Haciendo y = 1 + hx

en (8.6), nos queda:

1− 1

1 + hx

≤ log

(1 +

h

x

)≤ 1 +

h

x− 1

1− x

x+ h≤ log

(1 +

h

x

)≤ h

x

h

x+ h≤ log

(1 +

h

x

)≤ h

x

1

x+ h≤ 1

h· log

(1 +

h

x

)≤ 1

x.

Notamos que

limh→0

1

x+ h=

1

xy lim

h→0

1

x=

1

x.

Luego, por el Teorema de Sandwich, concluimos que

limh→0

log(x+ h)− log(x)

h=

1

x,

es decir, log : (0,+∞)→ R es derivable en cada x > 0, y con derivada igual a 1x.

Proposicion 8.4.5. La funcion logaritmo log : (0,+∞) → R es derivable en (0,+∞), yademas

(log(x))′ =1

x,

para todo x > 0.

Como ultima observacion al calculo anterior, hagamos log(x) =∫ x

11tdt en la expresion

(log(x))′ = 1x: (∫ x

1

1

tdt

)′=

1

x.

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Entonces, pensando de manera mas general: dada una funcion continua f : I → R, consider-amos F : I → R dada por F (x) =

∫ x

1f(t)dt con 1 ∈ I.

¿Sera cierto entonces que F ′(x) = f(x) para todo x ∈ I?.

Esta pregunta sera respondida mas adelante cuando estudiemos la relacion entre la integraly la derivada mediante el Teorema Fundamental del Calculo.

Derivada de la funcion exponencial:

Un ejemplo bastante sencillo dentro del calculo de derivadas es hallar la derivada de la funcionexponencial exp: R → (0,+∞) dada por exp(x) = ex (si queremos usar la notacion con elnumero de Euler). En efecto, para cualquier x ∈ R tenemos:

limh→0

ex+h − ex

h= lim

h→0

exeh − ex

h= lim

h→0ex · e

h − 1

h.

Usando el hecho que limh→0eh−1h

= 1, el lımite anterior nos queda:

limh→0

ex+h − ex

h= lim

h→0ex · e

h − 1

h= ex · lim

h→0

eh − 1

h= ex · 1 = ex.

Tenemos entonces que la funcion x 7→ ex es derivable en todo punto x ∈ R, ¡y su derivadacoincide consigo misma!

Proposicion 8.4.6. La funcion exponencial exp: R→ (0,+∞) es derivable en R. Mas aun:

(ex)′ = ex,

para todo x ∈ R.

Derivada de la funcion raız n-esima:

Como ultimo ejemplo de derivadas basicas, estudiemos la diferenciabilidad de la inversa dela funcion x → xn, es decir de la funcion raız n-esima n

√− : [0,+∞) → [0,+∞). Para cada

x ≥ 0 fijo, analizamos el cociente incremental de n√−:

n√y − n√x

y − x.

Para eliminar la indeterminacion del tipo 0/0 que se presentarıa al hacer y = x en la expresionanterior, es necesario recordar la identidad (8.3). En efecto, haciendo a = n

√y y b = n

√x en

dicha identidad, obtenemos:

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y − x = ( n√y)n − ( n

√x)n = ( n

√y − n√x) ·

n−1∑i=0

( n√y)n−1−i( n

√x)i.

Y ası:

n√y − n√x

y − x=

n√y − n√x

( n√y − n√x) ·

∑n−1i=0 ( n√y)n−1−i( n

√x)i

=1∑n−1

i=0 ( n√y)n−1−i( n

√x)i

Nos queda entonces el siguiente lımite:

limy→x

n√y − n√x

y − x= lim

y→x

1∑n−1i=0 ( n√y)n−1−i( n

√x)i

=1∑n−1

i=0 ( n√x)n−1−i( n

√x)i

=1∑n−1

i=0 ( n√x)n−1

=1

n( n√x)n−1

=1

nx1− 1n

=n√x

nx.

Tenemos ası el siguiente resultado:

Proposicion 8.4.7. La funcion raın n-esima n√− : [0,+∞) → [0,+∞) es derivable en

[0,+∞). Mas aun:

( n√x)′ =

n√x

nx,

para todo x ≥ 0.

Corolario 8.4.8. La funcion raın cuadrada√− : [0,+∞)→ [0,+∞) es derivable en [0,+∞).

Mas aun:

( n√x)′ =

1

2√x,

para todo x ≥ 0.

8.5 Propiedades algebraicas de la derivada

En esta seccion nos interesa saber como se comporta la operacion de derivar con respectoa la suma, producto y cociente de funciones. Ya se hizo un estudio previo cuando se vioel concepto de lımites, y como la derivada es un tipo de lımite, no es ninguna sorpresa queexistan unas reglas de derivacion para la suma y producto de funciones. La importancia deconocer estas reglas esta en el poder ser capaces de calcular la derivada de casi cualquierfuncion, con solo sabernos las derivadas basicas vistas en la seccion anterior. Mas adelante,podremos eliminar el “casi” de la afirmacion anterior, cuando aprendamos como se comportala derivacion respecto a la composicion de funciones por medio de la regla de la cadena.

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Aditividad de la derivada:

Veamos en el siguiente resultado que la derivada es una operacion que preserva la suma defunciones.

Proposicion 8.5.1 (Aditividad). Sea I ⊆ R un intervalo y f, g : I → R dos funcionesderivables en I. Entonces, la funcion suma f + g : I → R tambien es derivable en I. Masaun:

(f + g)′(x) = (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x).

Demostracion: Para cada x ∈ I, queremos ver que existe el siguiente lımite:

limh→0

(f + g)(x+ h)− (f + g)(x)

h. (8.7)

Sabemos que tanto f como g son derivables en x, por lo que los siguientes lımites existen:

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= f ′(x) (8.8)

limh→0

g(x+ h)− g(x)

h= g′(x) (8.9)

Esto ultimo nos permite calcular (8.7):

limh→0

(f + g)(x+ h)− (f + g)(x)

h= lim

h→0

(f(x+ h) + g(x+ h))− (f(x) + g(x))

h

= limh→0

(f(x+ h)− f(x)) + (g(x+ h)− g(x))

h

= limh→0

f(x+ h)− f(x)

h+ lim

h→0

g(x+ h)− g(x)

h= f ′(x) + g′(x).

Por lo tanto, f + g es derivable en x ∈ I.

Homogeneidad de la derivada:

Para complementar la propiedad de la suma, tenemos el siguiente resultado:

Proposicion 8.5.2 (Homogeneidad). Sea α ∈ R un numero real y f : I → R una funcionderivable en un intervalo I ⊆ R. Entonces, la funcion α · f : I → R tambien es derivable enI. Mas aun,

(α · f)′(x) = (α · f(x))′ = α · f ′(x)

para todo x ∈ I.

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Demostracion: Basta con saber que el lımite limh→0f(x+h)−f(x)

hexiste para cualquier x ∈ I.

Tenemos entonces lo siguiente gracias a la homogeneidad de los lımites:

limh→0

(α · f)(x+ h)− (α · f)(x)

h= lim

h→0

α · f(x+ h)− α · f(x)

h= lim

h→0α · f(x+ h)− f(x)

h

= α · limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= α · f ′(x).

Por lo tanto, la funcion α · f es derivable en I para todo α ∈ R.

Combinando el resultado anterior junto con la Proposicion 8.5.1, obtenemos lo siguiente.

Corolario 8.5.3 (linealidad de la derivada). Sean f, g : I → R dos funciones derivables enun intervalo I ⊆ R, y α, β ∈ R escalares reales. Entonces, para todo x ∈ I se tiene:

(α · f + β · g)′(x) = (α · f(x) + β · g(x))′ = α · f ′(x) + β · g′(x).

El resultado anterior nos permite mencionar algunas relaciones entre el calculo y el algebralineal. En efecto, consideremos un intervalo I ⊆ R junto con los siguientes conjuntos defunciones:

C0(I) := {f : I → R / f es continua en I},C1(I) := {f : I → R / f es derivable en I y f ′ es continua en I}.

Si equipamos a ambos conjuntos con las operaciones usuales de suma de funciones y productode una funcion por un escalar real, podemos ver que poseen estructura de espacio vectorial.

Proposicion 8.5.4. Los conjuntos C0(I) y C1(I) son R-espacios vectoriales.

Demostracion: Haremos la prueba unicamente para C1(I). Dadas cualesquiera dos fun-ciones f, g : I → R derivables en I y con derivada continua, para cualquier escalar α ∈ R, setiene por el Corolario 8.5.3 que α · f + g es derivable en I. Ademas, (α · f + g)′ = α · f ′ + g′

es una funcion continua por ser una combinacion lineal de funciones continuas. Esto implicaque C1(I) es un subespacio vectorial (real) del espacio de todas las funciones I → R, por loque C1(I) es un R-espacio vectorial en sı mismo.

Podemos definir ademas una funcion D : C1(I) → C0(I) de la siguiente manera: dada unafuncion f : I → R derivable en I y con derivada continua, consideramos la funcion Df : I → Rdada por

Df(x) = f ′(x), para todo x ∈ I.

Tenemos que Df es continua en I, por lo que la funcion D esta bien definida. Mas aun,

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gracias al Corolario 8.5.3, podemos decir mas acerca de D.Proposicion 8.5.5. La funcion D : C1(I)→ C0(I) es una transformacion lineal.

Demostracion: Debemos probar que, para todo par de funciones f, g ∈ C1(I) y todo escalarα ∈ R, se cumple lo siguiente:

D(α · f + g) = α ·Df +Dg.

Sabemos que tanto D(α ·f+g) como α ·Df+Dg son funciones continuas de I en R. Para verque son iguales, solo debemos verificar que coinciden en cada punto x ∈ I. Esto lo podemoshacer gracias al Corolario 8.5.3:

D(α · f + g)(x) = (α · f(x) + g(x))′ = α · f ′(x) + g′(x) = α ·Df(x) +Dg(x)

= (αDf +Dg)(x).

Observacion 8.5.6. Es importante pedir que f ′ : I → R sea una funcion continua en ladefinicion del espacio vectorial C1(I), de lo contrario no podrıa definirse la transformacionD. Esto se debe a que hay funciones que son derivables pero cuya derivada no es continua.

Por ejemplo, la funcion f : R→ R dada por

f(x) =

{x2 · sen

(1x

)si x 6= 0,

0 si x = 0.

Por un lado, tenemos que

f ′(x) = 2x · sen

(1

x

)+ x2 · cos

(1

x

)·(− 1

x2

)= 2x · sen

(1

x

)− cos

(1

x

),

para todo x 6= 0. Y para x = 0 tenemos:

f ′(0) = limh→0

f(0 + h)− f(0)

h= lim

h→0

h2 · sen(1/h)

h

= limh→0

h · sen

(1

h

)= 0.

Ası:

f ′(x) =

{2x · sen

(1x

)− cos

(1x

)si x 6= 0,

0 si x = 0.

El lector debe ser capaz de notar que limx→0 f′(x) no existe, por lo que f ′ no es continua en

x = 0. Para ilustrar este problema, dejamos las graficas de f y f ′:

15

Grafica de la funcion f .

Grafica de la funcion f ′.

Otra aplicacion de la linealidad de la derivada es poder calcular la derivada de cualquierpolinomio, a partir de la regla de los exponentes.

Corolario 8.5.7 (Derivadas de funciones polinomiales). Sea p : R→ R una funcion polino-mial, es decir

p(x) =n∑

i=0

aixi = anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0

para todo x ∈ R, donde n ∈ N y an 6= 0. Entonces, p es derivable en R y

p′(x) = nanxn−1 + (n− 1)an−1x

n−2 + · · ·+ 2a2x+ a1 =n∑

i=1

iaixi−1.

La regla del producto:

Con respecto a la derivada de un producto de funciones pasa algo muy distinto a lo sucedidocon los lımites. Hay que tener muy presente que:

16

la derivada de un producto de funciones no tiene por que ser el pro-ducto de sus derivadas.

Si la afirmacion anterior fuese cierta, tendrıamos

(α · f)′(x) = (α)′ · f ′(x) = 0 · f ′(x) = 0,

para cualquier funcion derivable en x y cualquier constante α ∈ R. Pero sabemos quela igualdad anterior no es cierta por la propiedad de homogeneidad de la derivada (verProposicion 8.5.2). Entonces, la expresion para la derivada de un producto de funcionesseguramente es muy distinta al producto de las derivadas de dichas funciones. Esto lo es-pecificaremos en el siguiente resultado:

Proposicion 8.5.8 (Regla del producto). Sean f, g : I → R dos funciones derivables en unintervalo I ⊆ R. Entonces, la funcion producto f · g : I → R tambien es derivable en I. Masaun,

(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x),

para todo x ∈ I.

Demostracion: La expresion f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) mas o menos sugiere como debemosproceder en esta demostracion. En efecto, sabemos que para cada x ∈ I se tiene:

f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) =

(limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

)· g(x) + f(x) ·

(limh→0

g(x+ h)− g(x)

h

).

Por otro lado, como g es continua en x por la Proposicion 8.3.3, podemos escribir g(x) =limh→0 g(x+ h), y ası tenemos:

f ′(x)·g(x)+f(x)·g′(x) =

(limh→0

f(x+ h)− f(x)

f

)·(limh→0

g(x+h))+f(x)·(

limh→0

g(x+ h)− g(x)

h

).

Como los lımites involucrados en la expresion anterior existen, podemos usar las propiedadesde los lımites y obtener lo siguiente:

f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) =

(limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

)· (lim

h→0g(x+ h)) + f(x) ·

(limh→0

g(x+ h)− g(x)

h

)= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h· g(x+ h) + lim

h→0f(x) · g(x+ h)− g(x)

h

= limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x+ h) + f(x)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

= limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)

h= lim

h→0

(f · g)(x+ h)− (f · g)(x)

h.

17

Tenemos entonces que el lımite limh→0(f ·g)(x+h)−(f ·g)(x)

hexiste, y por lo tanto f · g : I → R es

derivable en x, para todo x ∈ I.

La regla del cociente:

Ahora estudiaremos como se comporta la derivada respecto al cociente de funciones. Talpropiedad, conocida como la Regla del cociente, es una consecuencia de la Regla del pro-ducto. Para poder darnos cuenta de esto, sera de gran ayuda saber como se calcula laderivada del recıproco de una funcion derivable y no nula.

Lema 8.5.9 (La derivada del recıproco de una funcion). Sea g : I → R una funcion derivableen I y que ademas es no nula en I, es decir, g(x) 6= 0 para todo x ∈ I. Entonces, el recıprocode la funcion g, 1/g : I → R tambien es derivable en I, y ademas(

1

g(x)

)′= − g′(x)

(g(x))2,

para todo x ∈ I.

Podemos usar el resultado anterior para extender la regla de los exponentes.

Ejemplo 8.5.10. Para todo m ∈ N con m ≥ 1, se tiene que

(x−m)′ = −mx−(m+1), para todo x ∈ R\{0}.

En efecto, por el lema anterior y la Regla de los Exponentes, tenemos:

(x−m)′ =

(1

xm

)=−(xm)′

x2m=−mxm−1

x2m= −mx−m−1 = −mx−(m+1).

Proposicion 8.5.11 (Regla del cociente). Sean f, g : I → R dos funciones derivables en I,donde g es no nula en I. Entonces, la funcion cociente f/g : I → R tambien es derivable enI, y ademas (

f

g

)′(x) =

(f(x)

g(x)

)′=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

(g(x))2,

para todo x ∈ I.

La Regla del Cociente nos permite derivar cualquier funcion racional.

18

Ejemplo 8.5.12. Sea f(x) = 5x3−7x2+12x+3x2−13

. Tenemos entonces:

f ′(x) =(5x3 − 7x2 + 12x+ 3)′ · (x2 − 13)− (5x3 − 7x2 + 12x+ 3) · (x2 − 13)′

(x2 − 13)2

=(15x2 − 14x+ 12) · (x2 − 13)− (5x3 − 7x2 + 12x+ 3) · 2x

x4 − 26x+ 169

=5x4 − 207x2 + 176x− 156

x4 − 26x+ 169.

Para expresar la derivada de cualquier funcion racional, podemos usar el razonamiento delejemplo anterior y valernos del Corolario 8.5.7 junto con la Regla del Cociente.

Corolario 8.5.13 (Derivadas de funciones racionales). Sea f una funcion racional dada porf(x) = p(x)/q(x), donde p(x) y q(x) son funciones polinomiales de la forma:

p(x) =n∑

i=0

aixi y q(x) =

m∑j=0

bjxj

donde an 6= 0 y bm 6= 0. Entonces:

f ′(x) =(∑n

i=1 iaixi−1) ·

(∑mj=0 bjx

j)− (∑n

i=0 aixi) ·(∑m

j=1 jbjxj−1)

(∑mj=0 bjx

j)2 ,

para todo x ∈ R que no sea una raız de q(x).

Tambien es posible usar los resultados que hemos probado hasta el momento para extenderla Regla de los Exponentes a exponentes racionales.

Ejemplo 8.5.14. Sea f(x) = x2/3, con x ∈ R. Podemos escribir f(x) = 3√x · 3√x. Ası,

usando la Regla del Producto junto con la Proposicion 8.4.7, tenemos que:

f ′(x) = 2 · ( 3√x)′ · ( 3

√x) = 2 ·

3√x

3x· ( 3√x) =

2

3·

3√x2

x=

2

3x

23−1.

Usando el Principio de Induccion, podemos extender un poco la Regla del Producto y de-ducir que [(f(x))n]′ = nf ′(x)(f(x))n−1, para cualquier funcion f . Usando esto, tenemos losiguiente:

Corolario 8.5.15. Sea f(x) : [0,+∞) → [0,+∞) la funcion dada por f(x) = xr, donder ∈ Q. Entonces,

f ′(x) = (xr) = rxr−1,

para todo x ≥ 0.

19

Demostracion: Escribimos r = mn

, donde m ∈ Z y n ∈ N con n ≥ 0. Luego, xr = ( n√x)m.

Usando la Regla de los Exponentes extendida a exponentes enteros (ver Ejemplo 8.5.10),junto con los comentarios anteriores, tenemos que:

f ′(x) = m · ( n√x)m−1 ·

n√x

nx=m

n· x

mn− 1

n+ 1

n−1 = rxr−1.

Otro ejemplo de como usar la Regla del Cociente tiene que ver con el calculo de la derivadade otras funciones trigonometricas.

Ejemplo 8.5.16. Consideremos la funcion tangente tan: (−π/2, π/2)→ R dada por tan(x) =sen(x)cos(x)

. Tenemos entonces

(tan(x))′ =1

cos2(x)[(sen(x))′ · cos(x)− sen(x) · (cos(x))′]

=1

cos2(x)[cos(x) · cos(x) + sen(x) · sen(x)]

=1

cos2(x)[cos2(x) + sen2(x)]

=1

cos2(x)(pues cos2(x) + sen2(x) = 1).

Recordando que la secante sec : (−π/2, π/2) → R es la funcion recıproca del coseno (¡noconfundir con funcion inversa!), es decir, sec(x) = 1

cos(x), tenemos entonces que:

(tan(x))′ = sec2(x).

Recordemos ademas las funciones cotangente y cosecante:

ctg : (0, π)→ R csc : (0, π)→ R

ctg(x) :=cos(x)

sen(x)csc(x) :=

1

sen(x).

El lector puede darse cuenta de la validez de las siguientes derivadas

(ctg(x))′ = −csc2(x),

(sec(x))′ = tan(x) · sec(x),

(csc(x))′ = −ctg(x) · csc(x).

20

8.6 La regla de la cadena

Nos toca ahora ver como se comporta la operacion de derivacion respecto a la composicionde funciones. Hace poco mencionamos que [(f(x))n]′ = n(f(x))n−1f ′(x), usando el Principiode Induccion y la Regla del Producto. Si hacemos g(y) = yn en la igualdad anterior, tenemos(g(f(x)))′ = g′(f(x)) · f ′(x).

¿Sera cierta esta igualdad para cualquier otra funcion g?

Esta pregunta la responderemos en el siguiente resultado, conocido como la Regla de laCadena.Teorema 8.6.1 (Regla de la Cadena). Sean f : I → R y g : J → R dos funciones derivablessobre intervalos I, J ⊆ R, y tales que f(I) ⊆ J . Entonces, la composicion g ◦ f : I → R esuna funcion derivable en I, y ademas

(g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f ′(x),

para todo x ∈ I.

Demostracion: Queremos ver que el siguiente lımite existe para todo x ∈ I:

limh→0

(g ◦ f)(x+ h)− (g ◦ f)(x)

h= lim

h→0

g(f(x+ h))− g(f(x))

h.

Sea y = f(x), y consideremos el incremento k = f(x+h)−f(x). Tenemos entonces f(x+h) =k + f(x), por lo que

limh→0

(g ◦ f)(x+ h)− (g ◦ f)(x)

h= lim

h→0

g(y + k)− g(y)

k· f(x+ h)− f(x)

h. (8.10)

No podemos separar el lımite anterior en un producto de lımites porque no sabemos si ellımite limh→0

g(y+k)−g(y)k

existe (notese que k depende de h). Para empezar, podrıa ocurrirque k = 0 para h 6= 0. Por lo tanto, debemos refinar el argumento anterior para poderdemostrar la Regla de la Cadena.

Ante esta situacion, conviene volver a usar la variable intermedia y = f(x), junto con unanueva variable z = g(y) = g(f(x)). Consideremos ademas los incrementos k = f(x+h)−f(x)y t = g(y + k) − g(y), los cuales dependen del incremento h. Respecto a esto, notamos quetanto k como t tienden a cero cuando h tiene a cero. Debido a que g es derivable en y = f(x),tenemos que el siguiente lımite existe:

limk→0

t

k= lim

k→0

g(y + k)− g(y)

k= g′(y).

21

De esto se deduce que podemos escribir t/k como:

t

k= g′(y) + α(k),

donde α(k)→ 0 si k → 0. Luego,

t = t(k) = g′(y) · k + k · α(k). (8.11)

En la expresion anterior, no tenemos problema cuando k = 0, como sı ocurrıa en (8.10), puesnos queda 0 = 0. Ahora, dividimos por h la expresion (8.11):

t

h= g′(y) · k

h+k

h· α(k).

Notamos que limh→0kh

= f ′(x), por lo que obtenemos los siguiente al hacer h → 0 en laexpresion anterior:

limh→0

k

h= lim

h→0

(g′(y) · k

h+k

h· α(k)

)= g′(y) · lim

h→0

k

h+

(limh→0

k

h

)· limh→0

α(k)

= g′(y) · f ′(x) + f ′(x) · 0 = g′(f(x)) · f ′(x).

Por lo tanto, tenemos:

limh→0

(g ◦ f)(x+ h)− (g ◦ f)(x)

h= g′(f(x)) · f ′(x),

es decir, g ◦ f es derivable en x ∈ I, con derivada igual a g′(f(x)) · f ′(x).

Ejemplo 8.6.2. Sea f ′(x) =√x+

√x+√x, para x ≥ 0. Calcular f ′(x).

Debemos usar la Regla de la Cadena un par de veces:

f ′(x) =1

2√x+

√x+√x·(x+

√x+√x

)′

=1

2√x+

√x+√x·(

1 +

(√x+√x

)′)

=1

2√x+

√x+√x·

(1 +

1

2√x+√x· (x+

√x)′

)

22

=1

2√x+

√x+√x·

(1 +

1

2√x+√x·(

1 +1

2√x

))

=1

2√x+

√x+√x·

(1 +

1 + 2√x

4√x√x+√x

)

=1 + 2

√x+ 4

√x√x+√x

8√x√x+√x

√x+

√x+√x.

8.7 Notacion de Leibniz

Dedicaremos en esta seccion algunas palabras sobre otra notacion bastante usada para laderivada, conocida como la notacion de Leibniz, un poco mas elegante pero menos simpleque la anterior. Aunque seguiremos usando la notacion f ′, es bueno estudiar un poco lanotacion de Leibniz para acostumbrarse a la notacion de las derivadas parciales que se veraen el siguiente curso de Calculo Diferencial e Integral en Varias Variables.

Si usa funcion f : I → R es derivable en x0 ∈ I, entonces su derivada f ′(x0) tambien puededenotarse por:

df

dx(x0) := lim

h→0

f(h+ x0)− f(x0)

h.

Los sımbolos df y dx se denominan diferenciales. Basicamente, representan cambios infinites-imales (es decir, muy pequenos y tendiendo a cero) de la imagen de f y de x, respectivamente.Esta nocion de diferencial se puede estudiar de manera mas formal en cursos mas avanzadosde matematica, como por ejemplo en Geometrıa Diferencial de Curvas y Superficies, o Ge-ometrıa Diferencial de Variedades. Puede que el estudiante tenga cierto contacto con estetopico en el curso de Calculo Vectorial.

Cuando no hace falta especificar el punto x0 en la definicion de derivada, sino simplementedecir que f es derivable en I, podemos simplemente escribir df

dx. En este sentido, df

dx: I → R es

la funcion derivada de f . Podemos notar entonces que la transformacion lineal D : C1(I)→C0(I) de la Proposicion 8.5.5 se puede escribir como

d

dx: C1(I)→ C0(I)

f 7→ df

dx.

Un uso que le podemos dar a la notacion de Leibniz es poder reescribir las propiedades alge-braicas de la derivada:

23

1. Aditividad:d(f + g)

dx=df

dx+dg

dx

2. Homogeneidad:d(α · f)

dx= α · df

dx

3. Regla del producto:d(f · g)

dx=df

dx· g + f · dg

dx

4. Regla del cociente:d(f/g)

dx=

1

g2

(df

dx· g − f · dg

dx

)Para expresar la Regla de la Cadena usando la notacion de Leibniz, conviene considerar lavariable intermedias y = f(x) y z = g(y) en la composicion g(f(x)). Tenemos entonces que(g(f(x)))′ = g′(f(x)) · f ′(x) puede verse como:

dz

dx=dz

dy· dydx

8.8 Derivacion implıcita

En algunos problemas de calculo se nos pide encontrar la derivada de una funcion sin teneruna formula explıcita que la describa, pero sı conociendo una relacion entre dicha funciony la variable sobre la cual esta definida. El procedimiento de calcular la derivada de unafuncion y(x), respecto a x, sin conocer que expresion define a y(x), se conoce como derivacionimplıcita.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una funcion y : I → R que depende de x, y = y(x),y nos dicen que la grafica de y esta contenida en la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1.Tenemos entonces que los puntos de la forma (x, y(x)) satisfacen la relacion:

x2 + (y(x))2 = 1. (8.12)

Despejando, tenemos dos posibles descripciones de y(x), a saber:

y1(x) =√

1− x2 o y2(x) = −√

1− x2.

Derivando ambas expresiones, tenemos:

y′1(x) =−2x

2√

1− x2= − x

y1(x)y y′2(x) =

2x

2√

1− x2= − x

y2(x).

24

En cualquier caso, tenemos y′(x) = − xy(x)

. Para llegar a esta expresion no hace falta despejar

y(x) de la ecuacion (8.12). Podemos evitarnos dos despejes y obtener y′(x) derivando (8.12)con respecto a x:

d

dx(x2 + (y(x))2) =

d

dx(1)

d

dx(x2) +

d

dx[(y(x))2] = 0

2x+ 2y(x)dy

dx(x) = 0

dy

dx(x) = − x

y(x).

Es decir, y′(x) = −x/y(x).

En este ejemplo hemos llegado a la misma conclusion sobre la derivada de y(x) despejandoy(x) o derivando implıcitamente. Sin embargo, hay casos en los cuales no se puede despe-jar y(x) y tenemos que derivar implıcitamente como unico recurso. Como otro ejemplo,supongamos que la relacion entre x e y viene dada por

e2x+3y = x2 − ln(xy3).

Calculemos y′(x) sin despejar y(x) (que parece difıcil de hacer, por cierto). Derivando larelacion anterior respecto a x, tenemos:

(2 + 3y′)e2x+3y = 2x− 1

xy3· (y3 + 3xy2y′)

2e2x+3y + 3e2x+3yy′ =2x2y3 − y3 − 3xy2y′

xy3

2xy3e2x+3y + 3xy3e2x+3yy′ = 2x2y3 − y3 − 3xy2y′

3xy3e2x+3yy′ + 3xy2y′ = 2x2y3 − y3 − 2xy3e2x+3y

(3xy3e2x+3y + 3xy2)y′ = (2x2 − 1− 2xe2x+3y)y3

y′ =(2x2 − 1− 2xe2x+3y)y3

3xy3e2x+3y + 3xy2

y′ =2x2y − y − 2xye2x+3y

3xye2x+3y + 3x.

8.9 Extremos relativos

Dada una funcion f : I → R, derivable en todo punto x ∈ I de su dominio, sabemos quef ′(x0) representa la pendiente de la recta tangente a la grafica de f (denotada por G(f)) quepasa por el punto (x0, f(x0)) ∈ G(f). Notese que la ecuacion de dicha recta viene dada por:

25

y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0). (8.13)

Podemos notar los siguientes comportamientos de la funcion f alrededor del punto (x0, f(x0))segun el signo que tenga la pendiente f ′(x0) de la recta (8.13):

1. Si f es creciente en un entorno de x0, entonces f ′(x0) > 0.

2. Si f es decreciente en un entorno de x0, entonces f ′(x0) < 0.

3. Si f posee maximo o mınimo absoluto en x0, entonces f ′(x0) = 0.

Posibles rectas tangentes varios puntos de la grafica de f .

Vamos a enfocarnos primero en asegurarnos que los escenarios 1. y 2. se cumplen. Para 3.,abarcaremos mas situaciones.

Proposicion 8.9.1. Sea f : I → R una funcion definida en un intervalo I y derivable enx0 ∈ I. Si existe r > 0 tal que f es estrictamente creciente en E(x0, r) ∩ I, entoncesf ′(x0) > 0. De manera similar, si existe un radio γ > 0 tal que f es estrictamente decrecienteen E(x0, γ) ∩ I, entonces f ′(x0) < 0.

Demostracion: Probaremos solamente en case en el cual tenemos un radio r > 0 tal que fes creciente en E(x0, r)∩ I. Sabemos que el siguiente lımite existe por ser f derivable en x0:

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

.

En particular, van a existir los lımites laterales del lımite anterior. Sea x > x0 un punto en elentorno E(x0, r) ∩ I. Como E(x0, r) ∩ I es un intervalo, tememos que [x0, x] ⊆ E(x0, r) ∩ I.

26

En particular, tenemos que f es estrictamente creciente en [x0, x]. Luego:

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0

(tomando x ∈ E(x0, r) ∩ I y x > x0).

Como f es creciente en [x0, x] ⊆ E(x0, r) ∩ I y ademas x > x0, el cociente incrementalf(x)−f(x0)

x−x0es positivo en el lımite anterior. Por lo tanto, f ′(x0) > 0.

Mas adelante, cuando sea el turno de estudiar los criterios de la primera derivada, veremosque condiciones deben cumplirse para poder enunciar y probar los recıprocos de 1. y 2.

Ahora con respecto a 3., se puede probar que si f posee maximo o mınimo absoluto en x0,entonces f ′(x0) = 0. Sin embargo, los extremos absolutos no son los unicos puntos (x0, f(x0))de la grafica de f para los cuales se cumple la condicion f ′(x0) = 0. Existen otro tipo depuntos extremos, llamados extremos relativos, para los cuales lo anterior tambien es valido.Probaremos a continuacion que f ′(x0) = 0 si (x0, f(x0)) es un extremo relativo. Esto incluiratambien el caso en el cual (x0, f(x0)) ∈ G(f) es un extremo absoluto.

Definicion 8.9.2. Sea f : I → R una funcion definida en un intervalo I ⊆ R.

1. Se dice que f tiene un maximo relativo en un punto x0 ∈ I si existe un radio r > 0tal que f(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ E(x0, r) ∩ I.

2. Similarmente, f tiene un mınimo relativo en un punto x1 ∈ I si existe un radioγ > 0 tal que f(x1) ≤ f(x) para todo x ∈ E(x1, γ) ∩ I.

Ejemplo 8.9.3.1. Consideremos la funcion sen: [0, π] → R. Tenemos que sen tiene un maximo relativo

en x = π/2, y mınimos relativos en x = 0 y x = π. En este caso, estos mınomos sonademas absolutos.

27

Sin embargo, si cambiamos el dominio de definicion, un mınimo absoluto puede dejar deserlo y pasar a ser mınimo relativo (o ni siquiera esto ultimo). Si ahora consideramossen: [0, 2π] → R, tenemos que sen tiene mınimo relativo (pero no absoluto) en x = 0,y mınimo absoluto en x = 3π/2. El punto x = π ya no es un punto donde se alcanzaun mınimo relativo.

2. Consideremos la funcion g : [−1/2, 2]→ R dada por g(x) = x(1− x)2. Podemos notarque g posee mınimo absoluto en x = −1/2, mınimo relativo en x = 1, maximo absolutoen x = 2, y maximo relativo en x = 1/3.

Extremos relativos de la funcion g(x) = x(1− x)2 [−1/2, 2].

Observacion 8.9.4. Todo maximo o mınimo absoluto es tambien un maximo o mınimo rela-tivo, respectivamente. Sin embargo, por los ejemplos anteriores sabemos que no todo maximoo mınimo relativo va a ser absoluto.

28

Ahora estamos listos para probar que la derivada de una funcion f se anula en aquellos pun-tos en donde f posee extremos relativos.

Teorema 8.9.5 (anulacion de la derivada en extremos relativos). Sea f : I → R una funciondefinida en un intervalo abierto I = (a, b) ⊆ R (se incluye el caso I = R), y supongamosque f posee un maximo relativo en un punto interior a < c < b de I. Si f es derivableen c, entonces f ′(c) = 0. De manera similar, f ′(c) = 0 si f es derivable un punto interiora < c < b de I en el cual f posee un mınimo relativo.

Demostracion: Probaremos solo el caso en el cual f alcanza un maximo relativo en x = c.Para empezar, sabemos que existe un radio r > 0 tal que f(x) ≤ f(c) para todo x ∈ E(c, r)∩I.Sin perdida de generalidad, podemos tomar r lo suficientemente pequeno tal que E(c, r) ⊆ I.Ahora, calculemos el lımite

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)

x− c,

que sabemos que existe por ser f derivable en c, tomando x ∈ E(c, r). Pueden pasar dosescenarios: x < c o x > c. Cada uno de estos corresponde a un lımite lateral. Tenemos ası:

f ′(c) = limx→c+

f(x)− f(c)

x− c≤ 0 (para x ∈ E(c, r) con c < x, pues x− c > 0 y f(x)− f(c) ≤ 0),

f ′(c) = limx→c−

f(x)− f(c)

x− c≥ 0 (para x ∈ E(c, r) con c > x, pues x− c < 0 y f(x)− f(c) ≤ 0).

Entonces, 0 ≤ f ′(c) ≤ 0, es decir, f ′(c) = 0.

Es muy importante senalar que el recıproco del teorema anterior no tiene por que ser ciertoen general. Es decir, si c ∈ I es un punto para el cual f ′(c) = 0, no necesariamente va aocurrir que f tenga un maximo o mınimo relativo en c. Por ejemplo, podemos considerar lafuncion f : R→ R dada por f(x) = x3. En este caso, f ′(x) = 3x2 y f ′(0) = 0. Sin embargo,f no tiene maximo ni mınimo relativo en x = 0.

Funcion f(x) = x3.

29

8.10 Teorema del valor medio para derivadas

Como habıamos mencionado en la seccion anterior, estamos interesados en saber que condi-ciones se necesitan para que se cumplan los recıprocos de la Proposicion 8.9.1 y del Teo-rema 8.9.5. Para este fin, sera util probar primero un resultado conocido como el teoremadel valor medio para derivadas.

Anteriormente vimos que para la operacion llamada integracion habıa un resultado conocidocomo el teorema del valor medio, el cual nos permitıa expresar la integral sobre un intervalo[a, b] de una funcion continua como el area de un rectangulo de base b−a y altura f(c), paraalgun c entre a y b.

En esta seccion veremos que la operacion de derivacion tambien tiene su version del teoremadel valor medio. En este caso, la idea es tomar cualquier par de puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) enla grafica de una funcion continua sobre [a, b], que sea derivable en (a, b), y ver que se puedeencontrar un punto c entre a y b tal que la pendiente de la recta que pasa por los puntos(a, f(a)) y (b, f(b)), es decir f(b)−f(a)

b−a , se puede expresar como f ′(c).

Primero analizaremos el caso en el cual f(a) = f(b) en la situacion anterior. Este particulardel teorema del valor medio para derivadas se conoce como Teorema de Rolle.

Teorema 8.10.1 (de Rolle). Sea f : [a, b]→ R una funcion continua en un intervalo cerrado[a, b] tal que f es derivable en (a, b). Si f(a) = f(b), entonces existe a < c < b tal quef ′(c) = 0.

Demostracion: Haremos esta demostracion por reduccion al absurdo. Es decir, vamos asuponer que f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b) y llegaremos a una contradiccon.

Sabemos pro el Teorema de Weierstrass que f , al ser continua en [a, b], posee maximo ab-soluto y mınimo absoluto en [a, b]. Ahora, notese que tales extremos no se pueden alcanzaren el interior (a, b). En efecto, si f alcanza su maximo (o mınimo) absoluto en x ∈ (a, b),se tendrıa por el Teorema 8.9.5 que f ′(x) = 0, pero estamos suponiendo que f ′(x) 6= 0 paratodo x ∈ (a, b).

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Entonces, tenemos que el maximo y mınimo absouto de f se alcanzan en x = a y x = b.Ahora, como f(a) = f(b), entonces la funcion f tiene que ser constante en [a, b]. Esto ultimoimplica que f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), obteniendo ası una contradiccon.

El Teorema de Rolle nos va a ayudar a dar una prueba del teorema del valor medio paraderivadas.

Teorema 8.10.2 (Teorema del Valor Medio de Lagrange para Derivadas). Sea f : [a, b]→ Runa funcion continua en un intervalo cerrado [a, b], y derivable en todo punto del intervaloabierto (a, b). Entonces, existe al menos un punto c entre a y b tal que

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Distintos casos para el Teorema del Valor Medio.

Demostracion: Basta construir a partir de f una funcion h : [a, b] → R que satisfaga lascondiciones del Teorema de Rolle. Definimos entonces h : [a, b]→ R como

h(x) := f(x)(b− a)− x(f(b)− f(a)).

Primero notamos que h es continua en [a, b] y derivable en (a, b), porque f lo es. Ademas, sepuede ver que h(a) = bf(a)− af(b) = h(b). Entonces, por el Teorema de Rolle, tenemos queexiste c ∈ (a, b) tal que h′(c) = 0. Ahora, para todo x ∈ (a, b) tenemos que

h′(x) = f ′(x)(b− a)− (f(b)− fa)),

y ası obtenemos finalmente

0 = h′(c) = f ′(c)(b− a)− (f(b)− f(a)),

es decir,f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

31

Observacion 8.10.3. La hipotesis que f : [a, b]→ R sea derivable en (a, b) es importante en

el Teorema del Valor Medio. De no cumplirse, puede ocurrir que la pendiente f(b)−f(a)b−a no se

pueda expresar como f ′(c) para ningun c ∈ (a, b).

Por ejemplo, consideremos la funcion f : [−1, 2] → R dada por f(x) = |x|. Sabemos que talf no es derivable en x = 0, que f ′(x) = −1 para todo x ∈ (−1, 0) y que f ′(x) = 1 para todox ∈ (0, 2). Por otro lado, la pendiente

f(2)− f(−1)

2− (−1)=|2| − | − 1|

2 + 1=

1

3

no coincide con f ′(x) para ningın x ∈ (−1, 2).

Ejemplo 8.10.4. El Teorema del Valor Medio puede resultar bastante util a la hora de lev-antar indeterminaciones en ciertos lımites.

1. Calculemos limx→+∞ e√x+1 − e

√x. Para cada x ≥ 0, la funcion f(t) = e

√t es continua

en [x, x+ 1] y derivable en (x, x+ 1). Por el Teorema del Valor Medio para derivadas,existe cx ∈ (x, x+ 1) tal que

e√x+1 − e

√x = f ′(cx)[(x+ 1)− x] = f ′(cx).

Por otro lado, usando la Regla de la Cadena, tenemos f ′(t) = e√t · 1

2√t

= e√t

2√t. Luego:

e√x+1 − e

√x =

e√cx

2√cx,

donde cx → +∞ si x→ +∞. Por lo tanto:

limx→+∞

e√x+1 − e

√x = lim

cx→+∞

e√cx

2√cx

= +∞.

2. Calculemos limx→+∞ sen(√x+ 1)− sen(

√x). Se usa un argumento similar al ejemplo

anterior, es decir, podemos escribir

sen(√x+ 1)− sen(

√x) =

cos(cx)

2√cx

para algun cx ∈ (x, x+ 1), donde cx → +∞ si x→ +∞. Entonces:

limx→+∞

sen(√x+ 1)− sen(

√x) = lim

cx→+∞

cos(cx)

2√cx

= 0.

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Finalicemos esta seccion haciendo un par de aplicaciones del Teorema del Valor Medio.

Corolario 8.10.5 (Teorema del Valor Medio de Cauchy). Sean f, g : [a, b]→ R dos funcionescontinuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que

f ′(c)(g(b)− g(a)) = g′(c)(f(b)− f(a)).

Demostracion: Notese que el Teorema del Valor Medio es un caso particular de este enun-ciado si hacemos g(x) = x para todo x ∈ [a, b]. Entonces, la demostracion es similar a ladel Teorema del Valor Medio. Especıficamente, se aplica el Teorema de Rolle para la funcionh : [a, b]→ R dada por h(x) := f(x)(g(b)− g(a))− g(x)((b)− f(a)).

Corolario 8.10.6 (una relacion entre los conceptos de derivada y continuidad uniforme).Sea f : [a,+∞)→ R una funcion continua en [a,+∞) y derivable en (a,+∞). Si la funcionf ′ : (a,+∞)→ R es acotada, entonces f es uniformemente continua en [a,+∞).

Demostracion: Sabemos que para cualesquiera x, y ≥ a, digamos con x < y, existe c ∈(x, y) tal que f(x) − f(y) = f ′(c)(x − y). Por otro lado, existe K ≥ 0 tal que |f ′(c)| ≤ K.Tenemos entonces:

|f(x)− f(y)| = |f ′(c)(x− y)| ≤ K|x− y|,

es decir, f es una funcion lipschitziana, y por lo tanto uniformemente continua.

Ejemplo 8.10.7. La funcion logaritmo log restringida sobre [1,+∞) es uniformemente con-tinua, pues log′(x) = 1

xesta acotada en [1,+∞) (por la constante 1).

8.11 Criterio de la Derivada Primera para la mono-

tonıa de funciones

En esta seccion estableceremos una serie de aplicaciones de la derivada que nos ayudaran agraficar funciones.

Hasta el momento tenemos algunas nociones basicas de graficacion. Conocemos las graficasde algunas funciones elementales, tales como algunos polinomios, la funcion seno, la funcioncoseno, etc. Somos capaces ademas de, a partir de la grafica de f(x), dibujar las graficasde af(x), f(ax), f(x + a) y f(x) + a, para cualquier constante real a ∈ R. Sin embargo,necesitamos herramientas para poder graficar funciones mas complicadas, como por ejemplo,combinaciones algebraicas y composiciones entre las funciones antes mencionadas. Algunasde estas herramientas son los llamados criterios de la primera y segunda derivada.

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Los criterios de la primera derivada tienen que ver con intervalos de crecimiento y extremosrelativos de una funcion, mientras que los criterios de la segunda derivada tienen que ver conesto ultimo tambien, y ademas con la concavidad de una funcion.

Teorema 8.11.1 (Primer Criterio de la Derivada Primera). Sea f : [a, b] → R una funcioncontinua en un intervalo cerrado, que es ademas derivable en el intervalo abierto (a, b). Lassiguientes afirmaciones se cumplen:

1. Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es estrictamente creciente en [a, b].

2. Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es estrictamente decreciente en [a, b].

3. Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es constante en [a, b].

Demostracion: Solamente probaremos las partes 1. y 3.

Supongamos primero que f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b). Sean x1, x2 ∈ [a, b] tales quex1 < x2. Queremos ver que f(x1) < f(x2). Notese que la funcion f satisface las hipotesisdel Teorema del Valor Medio de Lagrange para f restringida sobre [x1, x2]. Luego, existex1 < c < x2 tal que f(x2) − f(x1) = f ′(c)(x2 − x1). Notamos que x2 − x1 > 0 y f ′(c) > 0en el termino de la derecha. Entonces, tenemos que f(x2)−f(x1) > 0, es decir, f(x1) < f(x2).

Ahora asumamos que f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b). Para cualesquiera a ≤ x1 < x2 ≤ b,tenemos usando el mismo razonamiento anterior que f(x2)− f(x2) = f ′(c)(x2 − x1) = 0. Esdecir, f(x1) = f(x2) para cualesquiera x1, x2 ∈ [a, b]. Entonces, la funcion f tiene que serconstante sobre [a, b].

A partir del primer criterio anterior podemos deducir mas informacion de una funcion, comopor ejemplo poder localizar sus extremos relativos.

Teorema 8.11.2 (Segundo Criterio de la Derivada Primera). Sea f : [a, b]→ R una funcioncontinua en un intervalo cerrado [a, b], y derivable en el intervalo abierto (a, b), salvo quizaen algun punto c ∈ (a, b) (por ejemplo, el punto c = 0 para la funcion valor absoluto definidasobre [−1, 2]). Las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, c) y f ′(x) < 0 para todo x ∈ (c, b), entonces f tiene unmaximo relativo en x = c.

2. Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, c) y f ′(x) > 0 para todo x ∈ (c, b), entonces f tiene unmınimo relativo en x = c.

Demostracion: Tanto 1. como 2. se siguen de una aplicacion directa del 1er criterio. Para1., por ejemplo, tenemos que f es estrictamente creciente en (a, c) y estrictamente decrecienteen (c, b), por lo que f debe tener un maximo relativo en x = c.

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Visualizacion del Segundo Criterio de la Derivada Primera.

8.12 Criterio de la Derivada Segunda para los extremos

y convexidad de funciones

Muchas de las funciones estudiadas en este curso resultan tener derivada segunda. Es de-cir, dada una funcion f : I → R derivable en I, podemos calcular la derivada de la funcionf ′ : I → R.

Definicion 8.12.1 (Derivada segunda). Sea f : I → R una funcion derivable en un intervaloI, tal que la funcion f ′ : I → R tambien es derivable en I. A la derivada de f ′, denotada porf ′′ : I → R, se le llama derivada segunda de f .

Definicion 8.12.2 (Punto crıtico). Sea f : I → R una funcion derivable en un intervalo I.Se dice que x es un punto crıtico de f si f ′(x) = 0.

El concepto de derivada segunda nos permite establecer otros criterios para graficar funciones.

Teorema 8.12.3 (Primer Criterio de la Derivada Segunda). Sea f : [a, b] → R una funcioncontinua en [a, b] tal que existe la derivada segunda f ′′ : (a, b) → R. Sea c ∈ (a, b) un puntocrıtico de f . Las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Si f ′′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f tiene un maximo relativo en c.

2. Si f ′′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f tiene un mınimo relativo en c.

Demostracion: Probaremos solamente 1. Usando en Primer Criterio de la Derivada Primera,tenemos que f ′ es estrictamente decreciente en (a, b). Como f ′(c) = 0, tenemos que f ′(x) > 0para todo x ∈ (a, c) y f ′(x) < 0 para todo x ∈ (c, b). Luego, por el Segundo Criterio de laDerivada Primera, concluimos que f tiene un maximo relativo en c.

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Tambien podemos usar el signo de la derivada segunda para determinar la convexidad de unafuncion.

Definicion 8.12.4 (Convexidad). Una funcion f : [a, b] → R continua sobre [a, b] se diceconvexa si

f(x2t+ (1− t)x1) ≤ tf(x2) + (1− t)f(x1)

para todo a ≤ x1 < x2 ≤ b. Es decir, la imagen por medio de f del segmento de recta queconecta a (x1, 0) con (x2, 0) esta por debajo del segmento de recta que conecta a (x1, f(x1))con (x2, f(x2)).

Teorema 8.12.5 (Segundo Criterio de la Derivada Segunda). Sea f : [a, b]→ R una funcioncontinua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f ′ es creciente en (a, b) entonces f es convexa en[a, b]. En particular, f es convexa en [a, b] si f ′′ existe y es no negativa en (a, b).

Hagamos un ejemplo de graficacion de una funcion aplicando los criterios vistos.

Ejemplo 8.12.6 (Graficacion de funciones). Hacer un boceto de la grafica de la funcion

f(x) =x2 − 4

x2 − 9.

Haremos una serie de pasos para orientar al lector sobre que pasos debemos seguir:

1. Asıntotas verticales: Lo primero que tenemos que notar es que f no esta definida enx = ±3. Las rectas verticales x = −3 y x = 3 son entonces asıntotas de la funcion f .

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Conviene entonces calcular los lımites laterales en x = −3 y x = 3.

limx→−3+

x2 − 4

x2 − 9= lim

x→−3+

(x− 2)(x+ 2)

(x− 3)(x+ 3)= −5

6lim

x→−3+

1

x+ 3= −5

6· 1

0+= −∞,

limx→−3−

x2 − 4

x2 − 9= −5

6lim

x→−3−

1

x+ 3= −5

6· 1

0−= +∞,

limx→3+

x2 − 4

x2 − 9= lim

x→3+

(x− 2)(x+ 2)

(x− 3)(x+ 3)=

5

6limx→3+

1

x− 3=

5

6· 1

0+= +∞,

limx→3−

x2 − 4

x2 − 9=

5

6limx→3−

1

x− 3=

5

6· 1

0−= −∞.

2. Puntos de corte con el eje X: f(x) = 0 para x = ±2, es decir, la grafica de f corta aleje X en (−2, 0) y el (2, 0).

3. Puntos de corte con el eje Y : f(0) = 4/9, por lo que la grafica de f corta al eje Y enel punto (0, 4/9).

4. Asıntotas horizontales: Observamos que

limx→+∞

f(x) = 1 y limx→−∞

f(x) = 1,

por lo que la recta horizontal y = 1 es una asıntota horizontal de la grafica de f .

5. Intervalos de crecimiento: Calculemos f ′(x) usando la Regla del Cociente.

f ′(x) =2x(x2 − 9)− 2x(x2 − 4)

(x2 − 9)2=

2x3 − 18x− 2x3 + 8x

(x2 − 9)2=−10x

(x2 − 9)2.

Podemos notar que:• f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞,−3) ∪ (−3, 0).• f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 3) ∪ (3,+∞).

Tenemos entonces que f es estrictamente creciente en (−∞,−3) ∪ (−3, 0) y estricta-mente decreciente en (0, 3) ∪ (3,+∞).

6. Puntos crıticos: Vemos que f ′(x) = 0 si x = 0. Como f ′(x) > 0 para x ∈ (−3, 0) yf ′(x) < 0 para x ∈ (0, 3), tenemos entonces que f tiene un maximo relativo en x = 0.

7. Convexidad: Calculemos ahora la derivada segunda.

f ′′(x) =

(−10x

(x2 − 9)2

)′=−10(x2 − 9)2 − (−10x) · 2(x2 − 9)2x

(x2 − 9)4

=−10(x2 − 9)2 + 40x2 · (x2 − 9)

(x2 − 9)4=−10(x2 − 9) + 40x2

(x2 − 9)3

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f ′′(x) =30x2 + 90

(x2 − 9)3=

30(x2 + 3)

(x2 − 9)3.

Notamos que el signo de f ′′(x) esta determinado unicamente por (x2 − 9)3. Luego:• f ′′(x) > 0 si, y solo si, (x2 − 9)3 > 0, es decir, para los x ∈ R tales que x2 > 9.

Esto ultimo se cumple para x < −3 y x > 3. Entonces, f ′′(x) > 0 (o f es convexa)si x ∈ (−∞,−3) ∪ (3,+∞).• De manera similar, tenemos que f es concava para x ∈ (−3, 3).

Usando toda la informacion que hemos obtenido, tenemos el siguiete bosquejo de f(x):

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