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Blog Professor Emerson
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DERIVADAS
1. CONCEITO
Chama-se derivada de um função y = f(x) ao limite da razão incremental ( y/ x) quando o incremento x da
variável independente tende a zero. Indica-se por f’(x);
ou seja:
x
yxf x 0lim)(' =
x
xfxxfx
)()(lim 0
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
inclinação da reta secante PQ:
mPQ = tan = PR
RQ =
x
y razão incremental
inclinação da reta tangente em P:
mP = tan = x
yx 0lim = f’(x)
Obs.: A derivada de uma função num ponto nos dá a inclinação da reta tangente a curva
neste ponto, ou seja:
0
00
)()(lim)('
0 xx
xfxfxf xx
3. CÁLCULO DAS DERIVADAS
(i) f(x) = k , k R
y = k y + y = k y = k – y y = k – k = 0 00
lim)(' 0x
xf x
logo:
(ii) f(x) = x n , n
y = x n y + y = (x + x)
n y + y =
n
k
kkn xxk
n
0
y + y = nnnn xxx
nxx
nx 221
21
y = nnn xxx
nxx
n221
21
0)(' xf
x x + x
f(x)
f(x+ x)
P
Q
R
y = f(x)
2
f ’(x) = 11
121
0 .1
)21
(
lim nn
nnn
x xnxn
x
xxxn
xn
x
logo:
(iii) f(x) = x –1
y = x –1
y + y = xx
1 y =
xx
1 – y y =
xx
1 –
x
1
xxxx
x
x
xxx
xxx
x
xxxxf xxx
1
)(lim
)(lim
11
lim)(' 000
= 2
20
1
)(
1lim x
xxxxx
logo:
(iv) f(x) = sen x
y = sen x y + y = sen(x + x) y = sen(x + x) – y y = sen(x+ x) – sen x
y = 2
cos.2
sen2xxxxxx
y = 2.sen2
x.cos(x +
2
x)
x
xxxxf x
)2/cos(2/sen.2lim)(' 0 =
= xxxx
xxx cos)2/cos(lim.
2/
2/senlim 00
logo:
(v) f(x) = cos x
y = cos x y + y = cos(x + x) y = cos(x + x) – y y = cos(x+ x) – cos x y = -
2sen.
2sen2
xxxxxx y = -2.sen
2
x.sen(x +
2
x)
x
xxxxf x
)2/sen(2/sen.2lim)(' 0 =
= xxxx
xxx sen)2/sen(lim.
2/
2/senlim 00
logo:
2)(' xxf
xxf cos)('
xxf sen)('
1.)(' nxnxf
(vi) f(x) = a x , a R+ – {1}
y = a x y + y = a
(x + x) y + y = a
x.a
x y = a
x.a
x – y
y = a x.a
x – a
x y = a
x (a
x – 1)
aax
aa
x
aaxf x
x
x
x
x
xx
x ln.1
lim.lim)1(
lim)(' 000
logo:
4. PROPRIEDADES
(i) f = u + v f’ = u’ + v’
com efeito, f(x) = u(x) + v(x) f ’(x) = x
xvxuxxvxxux
))()(())()((lim 0 =
= )(')(')()(
lim)()(
lim 00 xvxux
xvxxv
x
xuxxuxx
generalizando: '''' 2121 nn ffffffff
Obs.: f = u – v f ’ = u’ – v’
(ii) f = u v f ’ = u’ v + u v’
com efeito, f(x) = u(x). v(x) f’(x) = x
xvxuxxvxxux
))()(())()((lim 0 =
= x
xvxuxvxxuxvxxuxxvxxux
)()()().()()()()(lim 0
= x
xuxxuxvxvxxvxxux
))()(()())()(()(lim 0
= x
xuxxuxv
x
xvxxvxxu xx
)()()(lim
)()()(lim 00
= )(').()().(' xvxuxvxu
generalizando: '...'....'.'... 21212121 nnnn ffffffffffffff
Obs: f(x) = k.u(x) f’(x) = 0.v(x) + k.v’(x) f’(x) = k.v’(x), k R
(iii) 2
'''
v
vuuvf
v
uf
com efeito, )().(.
)().()().(lim
)(
)(
)(
)(
lim)(' 00xxvxvx
xxvxuxvxxu
x
xv
xu
xxv
xxu
xf xx
= )().(
1.
)().()().()().()().(lim 0
xxvxvx
xxvxuxvxuxvxuxvxxux
)().(
1lim)
)()()(lim
)()()((lim 000
xxvxvx
xvxxvxu
x
xuxxuxv xxx
= )(
)(').()().('2 xv
xvxuxvxu
aaxf x ln.)('
4
5. REGRA DA CADEIA Se y = f(u), u = g(x) e as derivadas f’(u) e g’(x) existem, então a função composta definida por y = fog(x)
tem derivada dada por y’ = f ’(u) . g’(x)
demonstração:
com efeito,
y = f(g(x + x)) – f(g(x))
u = g(x + x) – g(x) g(x + x) = g(x) + u = u + u
f ’(u) = u
yu 0lim
g’(x) = x
ux 0lim
se x 0 então g(x + x) g(x) e u 0
logo: )(').('lim.lim)(' 00 xgufx
u
u
yxf xu
Ex.: y = (x 2 + 1)
3
y = u3 y’ = 3u
2
u = x 2 + 1 u’ = 2x
generalizando: '.'.'.' 1121 ffffofoofff nnn
Obs.: Seja f uma função cuja derivada é f ’ e inversa é f –1
. f –1
’(x) = )('
11 xfof
Ex.: f(x) = a x f
–1(x) = log a x f ’(x) = a
x ln a f ’of
–1(x) = aa
xa ln
log
f –1
’(x) = ax ln
1
logo: y = log a x y’ = ax ln
1
6. DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO
6.1. CONCEITO Dada uma função y = f(x), derivável, chama-se diferencial desta função ao produto de sua derivada pelo
acréscimo da variável independente, indica-se por: dy = f’(x).dx
6.2.INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
A diferencial de uma função é o acréscimo da ordenada da tangente a curva num ponto P, quando é dado um
acréscimo a variável independente.
x
u
u
y
x
u
u
y
x
yxf xxxx 0000 lim.lim.limlim)('
fy’ = 3.(x
2 + 1)
2.2x = 6x.(x
2 + 1)
2
x x + x
P
Q
S
R
y = f(x)
PRS, temos:
RS = PR . tan
PR = dx e tan = f”(x)
ff’(x).dx = RS
logo: dy = RS
Obs.: Para valores pequenos de x temos y dy, isto é, o acréscimo da função é aproximadamente igual a
sua diferencial
Ex.: Calcular o acréscimo e a diferencial da função f(x) = x2, para x = 2 e x = 0,1.
y = x2 y + y = (x + x)
2 y + y = x
2 + 2.x. x + ( x)
2
y = 2.x. x + ( x)2 acréscimo
dy = 2x.dx diferencial
x = 2 e x = dx = 0,1 ; temos:
y = 2.2.0,1 + 0,12 = 0,4 + 0,01 = 0,41
dy = 2.2.0,1 = 0,4
7. TEOREMA Se uma função é derivável num ponto, então ela é contínua neste ponto.
demonstração:
com efeito,
f(x) – f(a) = )()()(
axax
afxf, x a
)()()(
lim))()((lim axax
afxfafxf axax
)(lim)()(
lim)(lim)(lim axax
afxfafxf axaxaxax
0)(')())((lim afafxfax 0)())((lim afxfax
)()(lim afxfax
logo: f(x) é contínua para x = a
Obs.: A recíproca desse teorema não é verdadeira, isto é, uma função pode ser contínua num ponto e no entanto
não ser derivável no ponto.
8. DERIVADAS SUCESSIVAS
8.1 CONCEITO A derivada primeira de uma função y = f(x), normalmente ainda é uma função derivável. Derivando a derivada
primeira obtemos a derivada segunda da função; derivando a derivada segunda obtemos a derivada terceira da
função e assim sucessivamente. Indica-se por: f’(x), f’’(x), f’’’(x), f (4)
(x), ... , f (n)
(x)
Ex.: f(x) = e2x
y’ = 2e2x
y’’ = 4e2x
y’’’ = 8e2x
__ __ __ __
y(n)
= 2 ne
2x
8.2. REGRA DE LEIBNITZ n
k
kknn vuk
nfvuf
0
)()()(
com efeito,
f = u.v f ’ = u’.v + u.v’ f ’’ = u’’.v + u’.v’ + u’.v’ + u.v’’ = u’’.v + 2u’.v’ + u.v’’ f ’’’ = u’’’.v +
u’’.v’ + 2.(u’’.v’ + u’.v’’) + u’v’’ + u.v’’’ =
= u’’’.v + 3.u’’.v’ + 3.u’.v’’ + u.v’’’ ...
)()1()2()1()()( '
1''
2'
1
nnnnnn vuvun
nvu
nvu
nvuf
6
Ex.: f(x) = e ax
.x 2
u(x) = e ax
u’(x) = a.e ax
u’’(x) =a2.e
ax u’’’(x) = a
3.e
ax ...
u (n)
(x) = a n.e
ax
v(x) = x 2 v’(x) = 2x v’’(x) = 2 v’’’(x) = 0
v (4)
(x) = v (5)
(x) = ... = v (n)
(x) = 0
f (n)
(x) = a n.e
ax. x
2 +
1
n.a
n-1.e
ax.2x +
2
n a
n-2.e
ax.2 =
= an - 2
.e ax
.( a2.x
2 + 2.n.a.x + n.(n – 1))
9. DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS Funções implícitas são aquelas que se apresentam sob a forma F(x, y) = 0, onde y = f(x)
Exs.: (i) 2
2
2
22233 '
3
3'0'3309
y
xy
y
xyyyxyx
(ii) '44)'1)((2)'1)((2)()( 334422 yyxyyxyyxyxyxyx
'44'2'222'2'222 33 yyxyyxyyxyyxyyx
3
3
3
333 '
)(4
)(4'44)44('
yx
yxy
xy
xyyxyxyy
10. TAXAS RELACIONADAS Sejam x = f(t) e y = g(t) duas funções diferenciáveis e F(x, y) = 0 uma função
y = f(x) na forma implícita. As derivadas dx/dt e dy/dt nesta função implícita chamam-se taxas relacionadas
da função.
Ex.: Uma escada de 5m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada é arrastada
horizontalmente da parede a 3m/s, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede,
quando a base encontra-se a 3m da parede ?
2522 yx
m/s25,234
3
2
2
022dt
dx
y
x
y
dt
dxx
dt
dy
dt
dyy
dt
dxx
logo: a parte superior da escada desliza com a velocidade de 2,25 m/s
5m
x
y
11. REGRA DE L’HOSPITAL
Se )(
)(lim
xg
xfax está indeterminado do tipo
0
0 ou e existe
)('
)('lim
xg
xfax , então
)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xfaxax
Ex.: 61
2lim
3
9lim 3
2
3
x
x
xxx
12. TEOREMA DE ROLLE Se f é uma função contínua no intervalo [a, b], derivável no intervalo (a, b) e
f(a) = f(b), então existe pelo menos um número real c entre a e b tal que f ’(c) = 0
demonstração:
com efeito,
se f é uma função constante no intervalo dado, então f ’(x) = 0 e o teorema é satisfeito para todo x pertencente
ao intervalo dado
senão f não é constante e apresenta pelo menos um máximo M ou um mínimo m no intervalo dado
suponhamos que f no intervalo dado, apresenta um mínimo m = f(c) , temos:
f(x) – f(c) 0, x V(c)
0)()(
limcx
cfxfcx
e 0)()(
limcx
cfxfcx
se f ’(c) então 0)()(
limcx
cfxfcx
logo: f ’(c) = 0
Ex.: f(x) = sen x no intervalo [0, 2 ]
f é contínua em [0, 2 ]
f é derivável em (0, 2 )
f(0) = f(2 ) = 0
f ’(x) = cos x , cos x = 0 x = /2 ou x = 3 /2
Obs.: (i) se a função não é contínua em todo intervalo [a, b] , o Teorema de Rolle não se
aplica, isto é, não podemos garantir a existência do ponto c tal que f ’(c) = 0
(ii) se a função não é derivável em todo intervalo (a, b) , o Teorema de Rolle não
se aplica, isto é, não podemos garantir a existência do ponto c tal que f ’(c) = 0
(iii) o Teorema de Rolle nos diz que existe pelo menos um ponto c entre a e b no
qual a reta tangente paralela ao eixo dos x
13. TEOREMA DE LAGRANGE (TEOREMA DO VALOR MÉDIO) Se f é uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a, b) , então existe pelo menos um
número real c entre a e b tal que ab
afbfcf
)()()('
demonstração:
com efeito,
consideremos a equação da reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)):
)()()()(
afaxab
afbfy
consideremos uma função auxiliar F(x) que nos dá a distância vertical entre um ponto da função e o ponto
correspondente da reta secante:
))()()()(
()()( afaxab
afbfxfxF
vamos verificar se F(x) satisfaz ao Teorema de Rolle:
(i) F(x) é contínua em [a, b] , pois é a soma de duas funções contínuas
8
(ii) F(x) é derivável em (a, b), pois ab
afbfxfxF
)()()(')('
(iii) F(a) = F(b) = 0
vemos assim que o Teorema de Rolle pode ser aplicado à função F(x) no intervalo [a, b], isto significa que
existe pelo menos um número real c entre a e b tal que F’(c) = 0;
F’(c) = 0 0)()(
)('ab
afbfcf
logo: ab
afbfcf
)()()('
Ex.: f(x) = x3 no intervalo [-2, 2]
f é contínua em [-2, 2]
f é derivável em (-2, 2)
ab
afbfcf
)()()('
)2(2
)2()2(3 2 ff
c 43 2c 3
32c
Obs.: o Teorema de Lagrange nos diz que existe pelo menos um ponto c entre a e b no
qual a reta tangente a curva é paralela a reta secante que passa pelos pontos
(a, f(a)) e (b, f(b))
14. TEOREMA DE CAUCHY Se f e g são funções contínuas no intervalo [a, b] , deriváveis no intervalo (a, b) e
g’(x) não se anula no intervalo (a, b) , então existe pelo menos um número real c entre a e b tal que
)()(
)()(
)('
)('
agbg
afbf
cg
cf
15. FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a, b) tem-se:
(i) f ’(x) 0, x (a, b) f é crescente em [a, b]
(ii) f ’(x) 0, x (a, b) f é decrescente em [a, b]
com efeito,
consideremos os valores x1 e x2 pertencentes ao intervalo (a, b) com x1 x2.
pelo Teorema de Lagrange c | 12
12 )()()('
xx
xfxfcf
f(x2) – f(x1) = f ’(c) . (x2 – x1)
se f ’(c) 0 f(x2) – f(x1) 0 f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) f é crescente
senão f ’(c) 0 f(x2) – f(x1) 0 f(x1) f(x2) f é decrescente
Ex.: f(x) = x2 f ’(x) =2x 2x = 0 x = 0
x 0 f ’(x) 0 f é decrescente
x 0 f ’(x) 0 f é crescente
16. MÁXIMOS E MÍNIMOS
16.1. CONCEITO Seja uma função f derivável no intervalo (a, b) e seja x0 um ponto desse intervalo. Dizemos que f apresenta
um máximo relativo ou local no ponto x0 , se x V(x0),
f(x) f(x0) ; analogamente, dizemos que f(x) apresenta um mínimo relativo ou local num ponto x0 se x
V(x0), f(x) f(x0)
Obs.: Para determinarmos os extremos de uma função devemos pesquisar os valores de x em que a derivada
primeira se anula e os pontos onde a derivada primeira não existe. Estes pontos críticos da função são os
possíveis extremantes da função
16.2. TESTE DA SEGUNDA DERIVADA Seja x0 um ponto crítico de uma função f(x) no qual f ’(x) = 0 e f ’(x) existe numa vizinhança de x0. Se f
’’(x) existe, então:
(i) f ’’(x0) 0 x0 é maximante
(ii) f ’’(x0) 0 x0 é minimante
com efeito,
se f ’’(x) 0 f ’(x) é decrescente
x x0 f ’(x) f ’(x0) f ’(x) 0 f(x) é crescente
x x0 f ’(x) f ’(x0) f ’(x) 0 f(x) é decrescente
logo: x0 é maximante
senão f’’(x) 0 f ’(x) é crescente
x x0 f ’(x) f ’(x0) f ’(x) 0 f(x) é decrescente
x x0 f ’(x) f ’(x0) f ’(x) 0 f(x) é crescente
logo: x0 é minimante
17. CONCAVIDADE Seja y = f(x) a equação de uma curva , onde f(x) é uma função contínua, com derivadas contínuas:
(i) f ’’(x) 0 a curva tem a concavidade voltada para cima
(ii) f ’’(x) 0 a curva tem a concavidade voltada para baixo
Obs.: O ponto onde a curva muda de concavidade é chamado de ponto de inflexão da curva, nesse ponto a
derivada segunda se anula
18. ASSÍNTOTAS
18.1. CONCEITO Seja y = f(x) a equação de uma curva. Uma reta r é uma assíntota à essa curva quando uma das coordenadas
x ou y de um ponto P da curva tende ao infinito, este ponto se aproxima indefinidamente da reta, isto é,
quando a função que dá a distância de P a r tem limite nulo
18.2. ASSÍNTOTA VERTICAL A reta x = a é assíntota vertical de uma curva de equação y = f(x) , quando pelo menos uma das situações
abaixo ocorrer:
(i) )(lim xfax
(ii) )(lim xfax
(iii) )(lim xfax
(iv) )(lim xfax
Ex.: (i)4
1
xy
4
1lim
4 xx e
4
1lim
4 xx x = 4 é assíntota vertical
(ii) xy ln
xx
lnlim0
x = 0 é assíntota vertical
18.3. ASSÍNTOTA HORIZONTAL A reta y = b é assíntota horizontal de uma curva de equação y = f(x) , quando pelo menos uma das situações
abaixo ocorrer:
(i) bxfx )(lim
(ii) bxfx )(lim
10
Ex.: (i) 4
2
2x
xy
24
2lim
2x
xx e 2
4
2lim
2x
xx y = 2 e y = -2 são
assíntotas horizontais
(ii) xey
0lim x
x e y = 0 é assíntota horizontal
18.4. ASSÍNTOTA OBLÍQUA
A reta y = ax + b (a 0) é assíntota oblíqua de uma curva de equação y = f(x) , quando pelo menos uma das
situações abaixo ocorrer:
(i) x
xfa x
)(lim e ))((lim axxfb x
(ii) x
xfa x
)(lim e ))((lim axxfb x
com efeito,
0lim PMx
PMN: PM = PN cos cos
PMPN
0cos
limlimPM
PN xx
PN = PQ – NQ 0))()((limlim baxxfPN xx
0))()((lim baxxfx 0))(
(limx
ba
x
xfxx
0))(
(limx
ba
x
xfx 0)limlim
)(lim
x
ba
x
xfxxx
0))(
(lim ax
xfx )
)((lim
x
xfa x
0))()((lim baxxfx 0lim))((lim baxxf xx
0))((lim baxxfx ))((lim axxfb x
Obs.: (i) a dedução feita vale também para o caso em que x -
(ii) só devemos pesquisar assíntota oblíqua na direção em que ocorreu assíntota
horizontal
P
MN
r
y = f(x)
Q
(iii) se a função y = f(x) pode ser escrita na forma f(x) = ax + b +g(x), onde g(x) é uma função que
tende a zero, quando x então y = ax + b é uma assíntota oblíqua à curva que representa f(x)
Ex.: x
xy1
xx
xx
x
x
1lim
1lim
não tem assíntotas horizontais
xx
xx
x
x
1lim
1lim
0
0
x = 0 é assíntota vertical
y = ax + b 11
1lim)(
lim2xx
xfa xx
011
1lim))((lim xx
axxfb xx
y = x é assíntota oblíqua
19. ANÁLISE DE FUNÇÕES Para analisarmos uma função y = f(x) devemos determinar, se possível:
(i) o domínio da função;
(ii) as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados;
(iii) a paridade e periodicidade de f;
(iv) o comportamento de f nos pontos de descontinuidade e nas fronteiras de seu domínio;
(v) o comportamento de f no infinito (- e + );
(vi) os intervalos em que f é crescente ou decrescente e os máximos e mínimos de f;
(vii) os intervalos de concavidade da curva que representa f e seus pontos de inflexão;
(viii) as assíntotas das curvas que representam f;
(ix) o esboço do gráfico de f
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Determine as derivadas das funções abaixo:
a) y = f(x)g(x)
b) y = x k , k R
2) Determine as derivadas das funções abaixo:
a) y = tan x
b) y = cot x
c) y = sec x
d) y = csc x
e) y = arcsen x
f) y = arccos x
g) y = arctan x
h) y = arccot x
i) y = arcsec x
j) y = arccsc x
3) Determine as derivadas das funções abaixo:
a) y = 2cos.
2
xe x
b) y = 5 4sen x
c) y = )1ln( 2xx
d) y = arcsen x3
e) y = ln (cos 3x)
f) y = arctan e 2x
12
g) y = (x3 +11)
15
h) y = 3 3 13
2
x
i) y = arcsec x 4
j) y = ln(ln(ln x))
k) y = sen2x + cos
2x + arccos
)cos(sen3 11ln xx
4) Calcule f’(4), se f(x) = arctan )))4(nsen(sen(se xx
5) Calcule f’(4
), se f(x) = xx ln)(tan
6) Ache um valor aproximado de 3 0857,8 .
7) Ache as derivadas enésimas das funções abaixo:
a) y = 1/x
b) y = sen x
c) y = ln(1 + x)
d) y = x21
1
e) y = xx 44 cossen
8) Ache as derivadas das funções abaixo:
a) x10
– y10
+ ln(x.y) = 0
b) x.sen y – cos y + cos 2y = 0
c) y = cos(x + y)
d) x
yyx arctanln 22
9) Ache a derivada enésima das função y = xxn ln.1
10) Uma bola de neve é formada de tal maneira que seu volume aumenta na razão de 8dm3/min. Com que
razão o raio é aumentado quando a bola tem 4dm de diâmetro?
11) Um tanque tem a forma de um cone invertido tendo uma altura de 5m e raio da base de 1m. O tanque se
enche de água a razão de 2m3/min. Com que velocidade sobe nível da água, quando a mesma está a 3m de
profundidade?
12) A altura de um certo cilindro circular está aumentando a uma razão de 3cm/min e o raio da base está
decrescendo a razão de 2cm/min. Determine a razão segundo a qual o volume do cilindro está variando quando
a altura é de 10cm e o raio da base é 4cm.
13) Calcule os limites abaixo:
a) 4/
)4/tan(lim 4/
x
xx
b) x
xx
cos1
)1(lim
2
1
c) )1ln(
1senlim 0
x
xex
x
d) x
xx
3cos1
6cos1lim 0
e) xx x1
1
1lim
f) xx
x xe /13 )5(lim
g) x
x x ln/10 )(senlim
h) 4
2
x/42
x
0x)e).x((coslim
i)
x
xx2
tanlim 0
j) x
x x0lim
14) Achar os pontos críticos das funções abaixo:
a) y = x4
b) y = x3
c) y = 1 – 3 2x
d) y = 3 x
e) y = ex
f) 2xey
g) y = x3 – 6x
2 + 9x – 1
h) 543
422
2
2
xx
xxy
i) xxy 2tantan2 , x [0, /2]
j) y = xx
k) 21lnarctan xxy
l) x
xy33
m) y = 2.sen x + cos 2x , x (0, )
15) Uma lata de forma cilíndrica deve conter um certo volume V. Quais são as dimensões de uma tal lata que
gaste a menor quantidade possível de material para ser feita.
16) A seção reta de um túnel tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. O perímetro da seção
é igual a 18m. Determine o raio do semicírculo para que a área da seção seja máxima.
17) Um grande vidro plano de comprimento L, deve passar em pé por um canto retangular de um corredor,
passando de uma parte de largura a para outra de largura b. Qual o comprimento L máximo que o vidro pode
ter para que a manobra seja possível.
18) Qual deve ser a inclinação de um telhado, que proteja um vão de amplitude A, para que a água permaneça
no mesmo o menor tempo possível ?
19) Corta-se um pedaço de arame de comprimento L em duas partes. Com uma faz-se um círculo com a outra
um quadrado. Em que ponto deve-se cortar o arame para que a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras
seja máxima ?
20) Um cartaz deve conter 50cm2 de matéria impressa com duas margens de 4cm cada em cima e em baixo e
duas margens laterais de 2cm cada. Determine as dimensões externas do cartaz de modo que sua área seja
mínima.
21) Use o princípio de Fermat: “ A luz caminha de um ponto A para outro ponto B segundo uma trajetória
que torna mínimo o tempo de percurso ” ; para demonstrar a Lei da refração de Snell-Decartes.
22) Um quadrilátero tem três lados congruentes de comprimento igual a 8. Determine o comprimento do
quarto lado que maximize a área.
23) Achar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão das funções abaixo:
a) 4126 23 xxxy
b) xxy sen
c) xxy ln2
d) xexy )1( 2
e) 3 3 124 xxy
24) Analise as funções abaixo:
a) 45 24 xxy
b) 1
1
2
2
xx
xxy c)
3 2 )6( xxy
d) )1()1( 22 xxxy e) 043 yxy
f) 233 3xyx
14
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) Determine as derivadas das funções abaixo:
a) y = x
x
1
1
b) y = xx
xx
cossen
cossen
c) y = 2x.sen x – (x2 – 2).cos x
d) y = x.cot x
e) y = ln x. log x – ln a.log a x
f) y = x
x
ln
2
g) y = (a 2/3
– x2/3
) 3/2
h) y = )1ln(1ln xx
i) y =
m
n
n
bxa
bxa
j) y = arcsen2
2 1
x
x
k) y = ln arcsen x + 2
1ln
2 x + arcsen ln x
l) y = (cos x) sen x
m) y =
x
x
11
n) y = x
x
x
sen
o) y = x x
p) y = xxx
q) y = xx
xsenarctan2
sen1
sen1ln
2) Sendo f(x) = x n, calcule: S = f(1) +
!
)1(
!3
)1('''
!2
)1(''
!1
)1(' )(
n
ffff n
3) Verifique se a função y = cos ex + sen e
x é solução da equação diferencial
y’’ – y’ + y.e2x
= 0
4) Calcule y’’, sendo y = sen(x + y)
5) Dois navios A e B navegam a partir do ponto O segundo rotas que formam ângulo AÔB =120º. Com que
velocidade estão se separando os dois navios quando
OA = 8 milhas e OB = 6 milhas. Sabendo-se que A navega a 20 milhas/hora e
B a 30 milhas/h
6) Seja um círculo C de raio R e centro O. Imagine um motociclista, a noite, correndo ao longo de C no
primeiro quadrante, em direção a origem. Considere o ponto no eixo do x, iluminado pelo farol da motocicleta.
Determine a velocidade com esse ponto se aproxima da origem em função de R, S e v, onde S é a distância
da origem à motocicleta, tomada ao longo de C, v é a velocidade da motocicleta.
7) Sabendo que 50
sen.2sen.3senlim
x
xbxaxx existe e é finito, determine o valor numérico desse
limite, sendo a e b constantes reais
8) A tangente traçada pelo ponto A a um círculo de raio r tem marcado um segmento AN de mesmo tamanho
que o arco AM. A reta MN corta o prolongamento do diâmetro AO no ponto B. Determine OB , em função
de r e AÔM e calcule OBMOA 0ˆlim
9) Achar os pontos críticos das funções abaixo:
a) 2
)8()2(
x
xxy
b) y = 3 22 )1(x
c) xxy 4sen2sen2
d) y = x – ln (1 + x)
e) x
ey
x
10) Uma lâmpada pende sobre o centro de uma mesa redonda de raio r. A que altura da mesa deve esta a
lâmpada para que a iluminação de um objeto que se encontra a beira da mesa seja a melhor possível?
(A iluminação é diretamente proporcional ao cosseno do ângulo de incidência dos raios luminosos e
inversamente proporcional ao quadrado da distância ao foco )
11) Determine o ponto da curva y = x mais próximo do ponto (c, 0)
12) De um tronco redondo de diâmetro d deve-se cortar uma viga de seção retangular. Quais deverão ser a
largura x e altura y desta seção para que a viga tenha resistência máxima possível:
a) na compressão ?
b) na flexão ?
Obs.: Na resistência da viga à compressão é proporcional à área de sua seção transversal e a resistência a flexão
é proporcional ao produto da largura desta seção pelo quadrado de sua altura.
13) Analise as funções abaixo:
a) xexy /1
b) xxy arctan
c) xxy ln
d) xxy
e) 32 )1( xxy
f) 12
2
x
x
ey
RESPOSTAS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) a) y’ = )()(
)(
)(')()(ln)(' xgxf
xf
xfxgxfxg
b) y’ = 1kxk
2) a) y’ = x2sec
b) y’ = x2csc
c) y’ = xx tansec
d) y’ = xx cotcsc
e) y’ = 21
1
x
f) y’ = 21
1
x
g) y’ = 21
1
x
h) y’ = 21
1
x
i) y’ =
1
1
2xx
j) y’ =
1
1
2xx
3) a) y’ = )sen(cos2 222
xxxex
b) y’ = 5 sen5
cos4
x
x
c) y’ = 2
x1
1
d) y’ = 6
2
1
3
x
x
e) y’ = x3tan3
f) y’ = x
x
e
e4
2
1
2
16
g) y’ = 1432 )11(45 xx
h) y’ = 3 33
2
13)13(
2
xx
x
i) y’ =
1
4
8xx
j) y’ = )ln(lnln
1
xxx
k) y’ = )cos(sen)sen(sencosln
)1(2
1 xxxxx
4) 21/20
5) 4
ln2
6) 2,0071
7) a) 1
)( !)1(
n
nn
x
ny
b) )2
sen()( nxy n
c) n
nn
x
ny
)1(
!)1()1( 1)(
d) 1
)(
)21(
!.2
n
nn
x
ny
e) ))2
4(cos(4 1)( nxy nn
8) a) )1y10(x
)1x10(y'y
10
10
b) yyxy
yy
sencos2sen2
sen'
c) )sen(1
)sen('
yx
yxy
d) yx
yxy'
9) x
ny n !)1()(
10) 0,16 dm/min
11) 1,77 m/min
12) - 351,7 cm3/min
13) a) 1
b) 2/2
c) 2
d) 4
e) 1/e
f) e3
g) e
h) e-1/3
i) 1
j) 1
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
2) n2
4) 3))cos(1(
''yx
yy
5) 42,7 milhas/h
6)
R
S
v
cos1
7) 1
8) 2r
9) a) ymax. = 9/16 quando x = 3,2
b) ymax. = 1 quando x = 0
c) 32
3miny , quando x =
6
1k e 3
2
3miny , quando x =
6
1k ; k
d) ymin = 0, quando x = 0
e) ymin = e, quando x = 1
10) 2/r
11) 2
1c2,
2
1c2
12) a) 2
dyx
b) 3
dx e
3
2dy
