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IF Farroupilha - Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
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Professor Mauricio Lutz
1
MATRIZES 1. INTRODUÇÃO
Quando um problema envolve um grande número de dados (constantes
ou variáveis), a disposição destes numa tabela retangular de dupla entrada propicia
uma visão mais global do mesmo. As tabelas assim formadas são chamadas
matrizes.
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das
matrizes encontre cada vez mais aplicações em setores tais como: economia,
engenharia, matemática, física, estatística, etc ...
Exemplo: A tabela abaixo descreve as safras de milho, trigo, soja, arroz e feijão, em
toneladas, durante os anos de 1991, 1992, 1993 e 1994.
Milho Trigo Soja Arroz Feijão 1991 80 130 180 100 40 1992 90 120 200 80 30 1993 90 130 200 120 40 1994 80 110 240 120 50
Com os dados dispostos na forma de tabela (matriz), imediatamente
conseguimos fazer comparações, estabelecer relações e até mesmo tirar conclusões
relativas as safras. Isto mostra o quanto pode ser útil a notação matricial.
Geralmente, as matrizes são tabelas de elementos dispostos em linhas e
colunas , sendo representados entre parênteses, colchetes ou barras duplas. Desta
forma, uma representação por matriz da tabela das safras é:
501202401108040120200130903080200120904010018013080
501202401108040120200130903080200120904010018013080
501202401108040120200130903080200120904010018013080
S
As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda
para a direita.
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2
2 DEFINIÇÃO
Chama-se matriz de ordem mxn (m e n *) a toda tabela constituída por
m e n elementos, dispostos em m linhas e n colunas.
Observação:
Para indicar a ordem de uma matriz, dizemos primeiro o número de linhas
e em seguida o número de colunas.
Exemplos:
1.
013142
A ordem 2x3
2. 32A ordem 1x2
3 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA
As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus
elementos por letras minúsculas, acompanhadas de 2 índices que indicam,
respectivamente a linha e a coluna ocupada pelo elemento. Assim, uma matriz A do
tipo mxn é representada por:
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3
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaaaaaaaaaa
A
........................
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
ou abreviadamente, A=(aij)mxn, onde i representa a linha e j representa a coluna que
o elemento ocupa na matriz, por exemplo a23 é o elemento da 2º linha e da 3º coluna.
Exemplo:
1.
1228132
A onde a12=-3; a13=-1 e a22=2
2. Determine a matriz A=(aij)3x3, tal que aij=i2-2j.
Resolução:
357202531
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
a11=12-2.1=-1; a12=12-2.2=-3; a13=12-2.3=-5;
a21=22-2.1=2; a22=22-2.2=0; a23=22-2.3=-2;
a31=32-2.1=7; a32=32-2.2=5; a33=32-2.3=3.
(1) Exercícios
1. Identifique a ordem das matrizes:
a)
041312
A b) 351 B c)
31
2C d)
821012413
D
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4
2. Dada a matriz
932744
021523
A identifique os elementos da:
a) 1º linha b) 3º linha c) a23 d) a31
3. Uma matriz possui quatro elementos. Quais os tipos possíveis para essa matriz?
4. Determine a matriz A=(aij)2x3, tal que aij=i2+j.
5. Construa as matrizes:
a) M=(aij)2x3, tal que aij=i+j.
b) N=(aij)2x2, tal que aij=i2-3j.
c) Q=(aij)3x3, tal que
jise
jisejiaij ,0
,.
4 MATRIZES COM DENOMINAÇÕES ESPECIAIS
4.1 Matriz linha
É toda matriz do tipo 1xn, isto é, com uma única linha. Por exemplo:
31094 xA ou 5114791 xB .
4.2 Matriz coluna
É toda matriz do tipo mx1, isto é, com uma única coluna. Por exemplo:
1321
4
x
A
ou
1275
x
B
.
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4.3 Matriz retangular
É toda matriz mxn, sendo mn, ou seja, o número de linhas e diferente do
número de colunas. Por exemplo: 32021
543
x
A
ou
23211234
x
B
.
4.4 Matriz quadrada
É toda matriz do tipo nxn, isto é, com o mesmo número de linhas e
colunas. Neste caso dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo:
33562903724
x
A
ou
224721
x
B
.
a) Diagonal principal: diagonal principal de uma matriz quadrada é o
conjunto de elementos dessa matriz, tais que i=j.
b) Diagonal secundária: diagonal secundária de uma matriz quadrada é
o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i+j=n+1. É a diagonal que se opõe a
diagonal principal.
Exemplos: 1. Seja A a seguinte matriz de ordem 2:
2. Seja B a seguinte matriz de ordem 3:
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4.5 Matriz nula
É a matriz em que todos os elementos são nulos. Representa-se por Omxn
ou apenas O. Por exemplo: seja
000000
32xO .
4.6 Matriz diagonal
É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na
diagonal principal são nulos. Por exemplo:
33500010004
x
A
ou
224001
x
B
.
4.7 Matriz escalar
É toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são todos
iguais. Por exemplo
33400040004
x
A
ou
222002
x
B
.
4.8 Matriz identidade
É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são
iguais a 1 e os demais são nulos. Representa-se por In, onde n indica a ordem da
matriz identidade. Por exemplo
100010001
3I ou
1001
2I . Assim, uma matriz
identidade
jisejisea
aI ijijn ,0
,1. Toda matriz identidade é também matriz diagonal.
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4.9 Matriz transposta
Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a
partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por
linhas. Por exemplo 32121
032
x
A
e
23102312
x
tA
. Desse modo, se a matriz
A é do tipo mxn, At é do tipo nxm.
4.9.1 Propriedades da matriz transposta
Se r é um escalar e A e B são matrizes, então:
a) (At)t=A;
b) (A+B)t=At+Bt;
c) (rA)t=rAt.
4.10 Matriz oposta
Chamamos de matriz oposta de A a matriz obtida a partir de A, trocando-
se o sinal de todos os seus elementos. Representamos a matriz oposta de A por -A.
Por exemplo: seja
5403
A a oposta é
5403
A .
4.11 Matriz simétrica
Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A=At. por exemplo
tAA sejaou ,3221
,3221
tAA .
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4.12 Matriz anti-simétrica
Uma matriz é anti-simétrica quando sua matriz transposta for igual à sua
matriz oposta ou seja At=-A. Por exemplo:
042401210
A ,
042401210
tA e
042401210
A .
4.13 Matriz triangular inferior
Os elementos acima da diagonal principal são todos nulos (m=n e aij=0
para i<j). Por exemplo:
3214001000720005
A .
4.14 Matriz triangular superior
Todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos (m=n e aij=0
para i>j). Por exemplo:
800210342
A .
5 IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes, A e B serão iguais se forem do mesmo tipo e os elementos
correspondentes forem iguais. Assim, se A=(aij) e B(bij) são matrizes do tipo mxn,
então
njmi
baBA ijij 1 1
.
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Exemplos:
1. Dadas as matrizes
11052
A e
153 yxyx
B , calcular x e y para que A=Bt.
Resolução:
1032
135
11052
yxyx
yxyx
BA t
Resolvendo o sistema, temos:
X=3 e y=-1.
2. Determinar x e y na igualdade:
594
5
log23
yx
.
Resolução:
8134log 43 xxx
3992 yyy
(2) Exercícios
1. Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 5?
2. Determine x e y para que a matriz
2120
yyx
A seja diagonal.
3. Escreva a matriz (At)t, quadrada de ordem 3, tal que A=(aij) e aij=3j-4i.
4. Determine x e y para que a matriz
413142
13y
xM seja simétrica.
5. Determine a matriz real quadrada B de ordem 2, definida por:
jiiji
bji
ij se 1 se 2
2.
6. Dada a matriz A=(aij)3x2, com aij=i2-j3, obter a matriz oposta de A. IF Farroupilha - Campus Alegrete
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7. Sejam
811log27
161
3
2aA e
caB
b
3
92 , determine a, b e c para que A=B.
8. Determine os elementos da diagonal principal, sabendo que
yxx
yyxA
352
é
uma matriz diagonal.
9. Dada a matriz identidade
800013
501
3
db
caI , calcule a+b+c+d.
10. Determine a, b e c, de modo que a matriz
231
112323
bca
A , seja triangular
inferior.
6. OPERAÇÕES COM MATRIZES
6.1 Adição e subtração de matrizes
6.1.1 Adição de matrizes
Dadas 2 matrizes de mesmo tipo A=(aij)mxn e B=(bij)mxn denomina-se matriz
soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B
(lembrar que A e B são matrizes de mesma ordem).
A+B=(aij+bij)mxn, onde 1 i m e 1 j n.
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Exemplo: Dadas as matrizes
7108125967612810
A e
9111014610786101012
B , calcule
A+B.
Resolução:
162118261119131512221822
9111014610786101012
7108125967612810
BA
6.1.2 Subtração de matrizes
Sejam A e B duas matrizes do tipo mxn. Denomina-se diferença entre A e
B, e vamos representá-la por A-B, a soma da matriz A com a matriz oposta de B, ou
seja, A-B=A+(-B).
Exemplo: Dada as matrizes
0610533
A e
243714
B , determine A-B.
Resolução:
21013221
243714
0610533
BA
6.1.3 Propriedades da adição e subtração de matrizes
Dadas uma matriz A e B de ordem mxn valem as seguintes propriedades:
a) Comutativa: A+B=B+A
b) Associativa: (A+B)+C=A+(B+C)
c) Elemento neutro: A+0=0+A=A
d) Elemento oposto: A+(-A)=(-A)+A=0
e) Cancelamento: A=B A+C=B+C
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(3) Exercícios
1. Ache m, n, p e q, de modo que:
5187
32
qqnn
ppmm
.
2. Sejam as matrizes A=(aij)2x2, com aij=2i-j2 e B=(bij)2x2, com bij=aij+1. Calcule:
a) A-B b) B-A c) (A+B)t d) At-Bt
3. Sendo A=(aij)1x3 tal que aij=2i-j e B=(bij)1x3 tal que bij=-i+j+1, calcule A+B.
4. Dadas as matrizes
314251
A ,
240132
B e
102316
C . Calcule:
a) A-B b) B-C c) A-B-C d) C-A+B e) At-Ct f) C-(B-A)
5. Ache x, y, z e w, de modo que:
58
0114
32wzyx
.
6.2 Multiplicação de matrizes
6.2.1 Multiplicação de matriz por escalar
Para multiplicar uma matriz por um escalar (número real ou complexo),
multiplicamos todos os elementos da matriz por este escalar.
Se A=(aij)mxn e k é um escalar, então kA=(kaij)mxn.
Exemplo: Dada a matriz
410312
A , calcule 3.A.
Resolução:
1230936
4.31.30.33.31.32.3
3A
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6.2.2 Multiplicação de matriz por matriz
Dada uma matriz A=(aij)mxn e uma matriz B=(bij)nxp, o produto AB é a matriz
C=(cik)mxp, tal que o elemento cik é calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna k da matriz B e somando-
se os produtos obtidos, ou seja:
Cik=ai1.bik+ai2.b2k+ai3.b3k+...+aim.bmk
Da definição decorre que: O produto das matrizes A e B existe quando o número de coluna da
matriz A é igual ao número de linhas da matriz B.
O produto de duas matrizes A e B, se existir, tem o mesmo número de
linhas de A e o mesmo número de colunas da matriz B, isto é, se A é do tipo mxn e
B do tipo nxp, então AB é do tipo mxp, assim:
a) Se A é a matriz do tipo 3x4 e B é matriz do tipo 4x2, então existe a
matriz AB, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. A matriz
AB é do tipo 3x2.
Veja o esquema abaixo.
b) Se A é do tipo 3x4 e B é do tipo 3x2, não existe a matriz AB, pois o
número de colunas de A é diferente do número de linhas de B.
Exemplo:
Dadas as matrizes 32042
321
x
A
e
43013110531142
x
B
determine AxB.
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Resolução:
622816342311
0.01.41.21.00.41.23.05.44.21.03.42.20.31.21.11.30.21.13.35.24.11.33.22.1
013110531142
042321
4332
xx
xAxB
6.2.3 Propriedades da multiplicação
Após verificadas as condições de existência para a multiplicação de
matrizes, são válidas as seguintes propriedades:
a) Associativa: (A.B).C=A.(B.C)
b) Distributiva em relação a adição: A.(B+C)=A.B+A.C ou (A+B).C=A.C+B.C
c) Elemento neutro: A.In=In.A, onde In é a matriz identidade de ordem n.
Observações:
Não valem as seguintes propriedades:
a) Comutativa, pois, em geral A.BB.A
b) Sendo Omxn não implica, necessariamente que A=Omxn ou B=Omxn.
(4) Exercícios
1. Calcule os produtos das seguintes matrizes, se existirem:
a) 32
23
031142
1014
32
xx
x
b)
2223
1110
113210
xx
x
c) 12
23
12
016231
xx
x
d) 31
13
1321
42
x
x
x
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e)
2322 04
2213
1142
xx
x
f)
1332 7
01
20542/11
xx
x
2. Dadas as matrizes A=(aij)6x4, tal que aij=i-j, B(bij)4x5, tal que bij=j-i, e C=A.B,
determine o elemento C42.
3. Dadas as matrizes A=(aij) e B(bij), quadradas de ordem 2, com aij=3i+4j e bij=-
4i-3j se C=A+B, então C2 é igual a?
4. O valor de x para que o produto da matrizes
132 x
A e
1011
B seja uma
matriz simétrica, é?
5. Dadas as matrizes
3121
A ,
0111
B , calcule:
a) (A+B)2 b) A2+2.(A.B)+B2
6. Sabendo que
1021
A e
1102
B , calcule AB-BA.
7. Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) para cada uma das afirmações relacionadas
com matrizes transpostas.
( ) Se a matriz A=(aij)2x2 é tal que aij=aji, então At=A.
( ) Qualquer que seja a matriz A, (At)t=A.
( ) Sejam A=(aij)mxn e B=(bij)nxp, então (A.B)t=At.Bt.
A sequência correta é:
a) V – V – V.
b) V – F – V.
c) F – V – F.
d) F – F – V.
e) V – V – F.
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8. Seja A=(aij) uma matriz nxn com n>2. A relação que gera, na matriz A, linhas cujos
elementos estão em P.A. é
a) aij=ij
b) aij=2i+j
c) aij=i/j
d) aij=i.j
e) aij=(-1)j+j
9. A matriz
fornece os preços (em reais) por kg de erva-mate, feijão, arroz e açúcar nos
mercados M1, M2, M3 e M4. Se um consumidor necessita comprar 2kg de erva-mate,
3 kg de feijão, e 5kg de arroz e 4 kg de açúcar, então a matriz que fornece os custos
(em reais) nos mercados M1, M2, M3 e M4, respectivamente, é
a) [12,80 12,20 12,70 13,60]
b) [26,40 12,40 10,50 13,80]
c) [25,40 13,80 10,50 9,00]
d) [12,80 12,40 12,70 13,60]
e) [12,80 13,80 12,70 9,00]
10. Considere as matrizes ji
aA jixij
11)( 23 e kjbB xjk 32)( . O elemento
C23 da matriz produto C=A.B é
a) –11/12 b) 1/12 c) 5/12 d) 11/12 e) 1
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7 MATRIZ INVERSA
Uma matriz quadrada A, de ordem n, é inversível se, e somente se, existir
uma matriz indicada por A-1, tal que A.A-1=A-1.A=In.
Existe a matriz inversa somente quando o determinante da matriz for
diferente de zero.
Observações:
I é uma matriz identidade de mesma ordem que as matrizes A e B;
Se existir a inversa, dizemos que a matriz A é inversível e, em caso
contrário, não inversível ou singular;
Se a matriz quadrada A é inversível, ela é única.
Exemplo: Determinar a inversa da matriz
5142
A
Resolução:
Fazendo
dcba
A 1 . Sabemos que A.A-1=I2.
1001
554242
1001
5142
dbcadbca
dcba
x
pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:
61 e
65
05142
caca
ca
31 e
32
15042
dbdb
db
Portanto
31
61
32
65
1A .
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(5) Exercícios
1. Determine a inversa das matrizes:
a)
1143
A b)
021131001
B
2. Dadas as matrizes
5723
A e
1111
B , obtenha a matriz A.B+A-1.
3. Se
1221
A e
2013
B , então obtenha a matriz X=(A.B-1)t
4. Mostre que a inversa da matriz
1134
é
4131
.
5. Dadas matrizes
20
03A ,
5312
P e
ba
B75
10131 , determine os valores
de a e b, tais que B=P.A.P-1.
(6) Exercícios complementares
1. O produto M.N da matriz
111
M pela matriz 111N :
a) não se define.
b) é uma matriz identidade de ordem 3.
c) é uma matriz de uma linha e uma coluna.
d) é uma matriz quadrada de ordem 3.
e) não é uma matriz quadrada.
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19
2. Considere a matriz quadrada de ordem 2, ji
aA ij
12)( . Se B é a matriz inversa
de A, então B+Bt é igual a:
a)
3222/3
b)
32
22/3 c)
6443
d)
6/14/14/16/1
e)
64
43
3. A matriz quadrada A=(aij) de ordem 2, onde
. se .cos
se 1.sen
jiji
jiji
aij
tem como
inversa a matriz A-1 igual a
a)
1001
b)
10
01 c)
1011
d)
11
01 e)
11
01
4. Considere as matrizes quadradas de ordem 2, A=(aij) onde )(21 jiaij e B=(bij)
onde jibij . A matriz X=4A2-6B é igual a
a)
1001
b)
1101
c)
1111
d)
0110
e)
10
11
5. Sabendo que os produtos das matrizes A e B é tal que AB=I2, podemos afirmar
que:
a) A2x3 e B3x2
b) A2x2 e B2x2
c) A2x1 e B1x2
d) todas as opções anteriores são corretas
e) nenhuma resposta
6. Se aij é uma matriz de ordem 3x4 definida por
jiji
aij se ,1 se ,5
, então o valor de
a32.a34.a22 é:
a) –125 b) –25 c) –5 d) 5 e) 25
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7. Dadas as matrizes
52
3xA e
135
yB , os valores de x e y,
respectivamente, para que
1001
.BA :
a) 2 e –1 b) 1 e 2 c) –1 e –2 d) –1 e 2 e) –1 e 1
8. Se
10212 xx
A ,
10
42
B ,
6
20C e A.B=C, então log4x é:
a) 4 b) 2 c) 1 d) ½ e) 0
9. A matriz A=(aij)3x3 é definida de tal modo que
jijia
ji
ij se ,0 se ,)1( , então A é:
a)
011101
110 b)
100010001
c)
011101110
d)
100010001
e)
011101110
10. Sejam
aa
X2
1 e
2842
Y onde a se X2=Y, então a é:
a) –2 b) –1 c) – ½ d) 1 e) ½
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GABARITOS (1) 1. a) 2x3 b) 1x3 c) 3x1 d) 3x3 2. a) 3 -2 5 b) –4 4 -7 c) a23=0 d) a32= -4
3. 2x2; 1x4; 4x1 4.
765432
5. a)
543432
b)
2152
c)
054503430
(2) 1. 25 elementos 2. x=2 e y=1 3.
369625921
4. x=3 e y=½ 5.
5582
B 6.
184370
7. a= -3; b= -4; c= -4 8.
80
01 9. –3 10.
a=0; b= -1; c=23
(3) 1. m=5; n=2; q= -1; p=2 2. a)
1111
b)
1111
c)
13
73 d)
1111
3. 222 4. a)
154183
b)
142228
c)
056293
d)
056293
e)
266115
f)
252479
5. x= -3; y=3; z=12; w= -6.
(4) 1. a)
03141392171
b)
2113
11 c)
2101
d)
1324128264
e) não existe o produto f)
1927
2. C42=2 3.
10
01 4. x=1
5. a)
9054
b)
8155
6.
2022
7. e 8. d 9.d 10. c.
(5) 1. a)
31
41 b)
2312
12
1021
001 2.
155
36 3.
61
65
32
31
X
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5. a=24 e b= -11. (6) 1. d 2. c 3. e 4. a 5. b 6. b 7. d 8. c 9. a 10. a
DETERMINANTES 1. DEFINIÇÃO
A toda matriz quadrada de ordem n, podemos associar, através de certas
operações, um número real chamado determinante da matriz.
Representa-se o determinante da matriz
5421
A como 5421
det A ou
5421
.
2 DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 1
O determinante da matriz A=(a11) é o próprio número real a11.
Exemplo: Seja a matriz A=(2) logo det A=|2|=2
3 MENOR COMPLEMENTAR
Chama-se menor complementar de um elemento aij de um determinante
, um novo determinante, representado como Dij, que se obtém suprimindo a linha i
e a coluna j que passam por aij de .
Exemplos: 1. O menor complementar do elemento 5 (2º linha e 3º coluna) é: Resolução:
713
21
813570421
23
D
2. O menor complementar do elemento –2 é:
Resolução:
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23
666542
11
D
4 ADJUNTO OU COFATOR OU COMPLEMENTO ALGÉBRICO
Cofator (cof) de um elemento aij de uma matriz, é o produto do menor
complementar deste elemento pelo fator (-1)i+j.Dij, ou seja, Aij=(-1)i+j.Dij.
Exemplos:
1. Calcule o cofator do elemento a21 do determinante 4032
.
Resolução:
3)3).(1(3.)1(.)1(4032 3
2112
21 DA
2. O complemento algébrico ou cofator do elemento 1 é:
Resolução:
26)620.(14165
.)1(.)1(418652341
211
1111
DA
5. DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 2
Dada a matriz
2221
1211
aaaa
A , o det A é a soma dos produto dos
elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.
Calculando:
A11=(-1)1+1.|a22|=a22
A12=(-1)1+2.|a21|=-a21
A21=(-1)2+1.|a12|=-a12
A22=(-1)2+2.|a11|=a11.
Desenvolvendo pela 1º linha:
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det A=a11.A11+a12.A12=a11.a22+a12.(-a21)=a11.a22-a12.a21 (I)
Desenvolvendo pela 2º linha:
det A=a21.A21+a22.A22=a21.(-a12)+a22.a11=-a21.a12+a22.a11 (II)
Desenvolvendo pela 1º coluna:
det A=a11.A11+a21.A21=a11.a22+a21.(-a12)=a11.a22-a21.a12 (III)
Desenvolvendo pela 2º coluna:
det A=a12.A12+a22.A22=a12.(-a21)+a22.(-a11)=-a12.a21+a11.a22 (IV)
Concluí-se que (I)=(II)=(III)=(IV).
Exemplo: Calcule o determinante de 7521
A .
Resolução:
Desenvolvendo-se pela 1º linha temos:
det A=a11.A11+a12.A12=(-1)1+1.1.|7|+(-1)1+2.2.|5|=7-10=-3
Regra prática:
Consideremos a matriz
2221
1211
aaaa
A , o determinante de uma matriz de
ordem 2 é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o
produto dos elementos da diagonal secundária, ou seja,
211222112221
1211 ..det aaaaaaaa
A
Exemplo:
1. Ache o valor do determinante 3410
.
Resolução:
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25
4404).1(3.03410
2. Ache o valor do determinante 2573
.
Resolução:
413565.72.32573
(1) Exercícios
1. Calcular o cofator do elemento a21 da matriz A=(aij)2x2, onde aij=2j+1, se ij; i+j, se
i=j.
2. Resolva as equações:
a) 32
13
x
xx b) 0
752
xx c) 0
5
xxx
3. Sabendo que 0 x 2, resolva a equação 2275
sen13sen
x
x.
4. Calcular o cofator dos elementos a12 e a22 da matriz
5231
A .
5. Calcular o valor do determinante das matrizes seguinte, usando a definição.
a)
8310
A b)
5231
B
6. Calcular o valor do determinante, usando a regra prática.
a) 2359
b) yxyx
c) aaaa
cossensencos
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7. Sendo A=(aij) uma matriz de ordem 2 e aij=j-i2, calcular o determinante da matriz
A.
8. Seja A=(aij) uma matriz quadrada de 2º ordem, tal que aij=i2+i.j . Calcule det A.
9. Sendo
2031
A e
0231
B , calcule det (AB).
10. Ache o valor dos determinantes:
a) 1325
b) 512
151 c)
231123
d) ba
ba 11 e)
3246
6 DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 3
Dada a matriz
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A , chama-se det A a soma dos produtos
dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.
Desenvolvendo-se pela 1º linha:
(I) ............)..()..()..(
.)1.(.)1.(.)1.(
...det
312213332112322311332113312312332211
312232211331233321123223332211
3231
22213113
3331
23212112
3332
23221111
131312121111
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaa
aaaaa
aaaaa
a
AaAaAaA
Desenvolvendo-se pela 3º coluna:
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)( ............)..()..()..(
.)1.(.)1.(.)1.(
...det
211233321123312213221133311223322113
211222113331123211233122322113
2221
12113333
3231
12113223
3231
22213113
333323231313
IIaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaa
aaaaa
a
AaAaAaA
Concluí-se que (I)=(II).
Exemplo: Calcule o determinante da matriz
311212
713A , pela 1º linha e 2º
coluna.
Resolução:
1º linha:
167815)12(7)26(1)23(31112
.)1.(73122
.)1.(13121
.)1.(3det 312111
A
2º coluna:
168168)146(1)79(1)26(122
73.)1.(1
3173
.)1.(13122
.)1.(1det 232221
A
Regra prática: Regra de Sarrus
Sendo A uma matriz quadrada de 3º ordem, seu determinante será
calculado através da “Regra de Sarrus”: repete-se as duas primeiras colunas a
direita da matriz (ou as duas primeiras linhas após a 3º linha) e adiciona-se o produto
dos elementos da diagonal principal ao produto de suas paralelas, subtraí-se deste
resultado o produto da diagonal secundária e o das suas paralelas a ela.
Exemplo: Calcule o determinante da matriz
311212
713A .
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Resolução:
166671429)3).(2).(1()1).(2).(3()1).(1).(7()1).(2).(7()1).(2).(1()3).(1).(3(
113111221213713
311212
713
(2) Exercícios
1. Seja a matriz quadrada de 3º ordem e que aij=2i-j, calcular o cofator do elemento
a12?
2. Calcular o valor do determinante das matrizes seguintes usando a definição:
a)
412011302
A b)
5103102
yy
B
3. Calcule usando a regra de Sarrus:
a) 432314523
b) 524132030
c)
034111022
d) 610240
350
4. Resolver as equações, sendo x.
a) 3140123
322
2xx
xx
b) 5
2112113
xx
5. Seja S=(sij) a matriz quadrada de ordem 3, onde
jijijiji
jisij
,,
,0, calcular o valor
do determinante de S.
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6. O determinante da matriz B=(bij) de ordem 3, onde
jiji
sebij se ,4
ji ,0, é igual a:
a) –180 b) –162 c) 0 d) 162 e) 180
7. Calcule o valor de 3.det (A) –2.det (B)+5.det (C)=0, sendo
35
2 xA ,
31
2 xxB ,
2/3
24x
xC .
a) 2 b) 1 c) 0 d) –2 e) –4
8. Sabendo que 2231
a e 311122131
b , calcule a2-2b.
9. Ache o valor do determinante da matriz P2, sabendo que
220112
112P .
10. Considere as matrizes
xzzxyyzyx
A ,
xzyzzxyx
B e
4264
C . Sabendo
que a matriz B é igual à matriz C, calcule o determinante da matriz A.
7 DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 4
O determinante de uma matriz é igual a soma dos produtos dos elementos
de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores (Teorema de Laplace).
Exemplo: Calcule o determinante
10011153
02012102
A .
Resolução:
45)9.(5.5.0.5.0.0det 3242322212 AAAAAA
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30
9144.1144.1101021212
.)1( 2332
A
8 MATRIZ COFATORA
Dada a matriz quadrada A(aij)mxn chama-se matriz cofatora de A a matriz
B=(bij)mxn cujos elementos são cofatores dos elementos correspondentes de A.
j e i , ijij AbAcofB .
Exemplo: Seja a matriz
115123321
A , determine a B cofatora de A.
Resolução:
1)12.(11112
.)1( 1111 A 2)53.(1
1513
.)1( 2112 A
7)103.(11523
.)1( 3113 A 1)32.(1
1132
.)1( 1221 A
14)151.(11531
.)1( 2222 A 9)101.(1
1521
.)1( 3223 A
4)62.(11232
.)1( 1331 A 8)91.(1
1331
.)1( 2332 A
4)62.(12321
.)1( 3333 A
Portanto a matriz
4849141721
333231
232221
131211
AAAAAAAAA
B
9 MATRIZ ADJUNTA
A transposta da matriz cofatora de A é chamada matriz adjunta de A.
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31
tAcofAAdj
Exemplo: Seja a matriz
115123321
A , determine a matriz Adj A.
Resolução:
Cálculo da matriz cofatora
Pelo exemplo anterior sabemos que a matriz cofatora de A é
4849141721
B .
Cálculo da matriz transposta
4849141721
B e
4978142411
tB
Portanto a tt BAcofAAdj
Logo
4978142411
A Adj .
10 INVERSÃO DE MATRIZES COM AUXÍLIO DA TEORIA DOS DETERMINANTES
Dada a matriz quadrada A=(aij)mxn se 0det A , então existe a inversa de
A e esta é dada por:
tcofA
A A .det
11 ou A .det
11 AdjA
A
Exemplo: Determine a inversa da matriz
3112
A se existir, com o auxilio dos
determinantes.
Resolução:
Cálculo do determinante IF Farroupilha - Campus Alegrete
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32
7163112
det
A
Cálculo da matriz cofatora
3112
A ,
2113
2221
1211
AAAA
BAcof
33.)1( 1111 A 1)1).(1(1.)1( 21
12 A
11).1(1.)1( 1221 A 22.)1( 22
22 A
Cálculo da matriz adjunta
tt BAcofAAdj
2113
2113
t
AAdj
Cálculo da inversa da matriz
A .det
1A .det
11 AdjA
cofA
A t
72
71
71
73
2113
.711A
Observações:
1. Uma matriz quadrada que possui seu determinante diferente de zero é
chamada matriz regular ou não-singular. Logo, é inversível.
2. Uma matriz quadrada que possui seu determinante igual a zero é
chamada matriz não regular ou singular. Logo, não é inversível.
(3) Exercícios
1. Se
011213112
A e 1)( 2 xxxf , calcule
Af
det1 .
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2. Determine a inversa da matriz
xxxx
Asencoscossen
, caso exista.
3. Verifique se matriz
31
06A admite inversa, caso positivo, calcule-a.
4. Calcule x para que exista a inversa da matriz
x
xA12
01233
.
5. Calcular a inversa das matrizes, caso exista:
a)
4132
A b)
751432321
B
11 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
1º) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o
determinante dessa matriz é nulo.
Exemplos:
1. 0)000()000(5105142042
13013
051042013
2. 0)000()000(0000035135
21821
000135821
2º) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplos:
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34
1.
055)41524()41524(1321342542
13213
213542213
2.
044)6212()2612(1331342242
11111
313242111
3º) Se duas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é
nulo.
Exemplos:
1.
0130130)808030()808030(1051010534834
21221
10105834221
.5 13
LL
2.
05050)80030()08030(05100534834
21221
1005834221
.2 13
CC
4º) Se o elemento de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos
elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Combinações lineares de duas ou mais filas paralelas de um determinante
é uma fila paralela às filas consideradas, representados pela soma dos produtos das
filas por números reais.
Exemplos:
1.
01313)02815()805(431-4-3
5275201101
143
752101
213
CCC
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35
2.
077)46360()54565(941-94527-5221321
194752
321 .2 213
LLL
5º) O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de
uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
22123)089()2401(431431221201301
143212
301
222547)0833()4801(4111-411142-1401301
1411214
301 .2 211
CCC
226341)0063()4807(431-4374-07-4-
01301
143074301
.2 322
LLL
6º) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
Seja a matriz
5423
A , calcule det A e det At.
23)8(155423
det
A
23)8(155243
det
tA
Portanto det A=det At.
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36
7º) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz,
o determinante fica multiplicado por esse número.
Exemplo:
23)89()2400(430431221201301
043212
301A
46)01618()4800(460461421402302
046214
302.2 11
CC
ou seja, det A=23, como multiplicamos a coluna 1 por 2 o det A fica multiplicado
também por 2, o novo det A=46.
8º) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma
matriz muda de sinal.
Exemplo:
23124)089()2400(430431221201301
043212
301
23241)2400()089(013011221243043
301212
043
23241)0240()809(403401221203103
340212103
9º) Quando em uma matriz os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são
todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
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Exemplos:
1. 8)000()008(7327342042
01001
273042001
2. 8)000()008(0020040240
71171
200240171
10º) O determinante do produto das matrizes A e B é igual ao produto do
determinante A pelo determinante B, ou seja ).det(det.det BABA .
Exemplo:
Sejas as matrizes
4321
A e
8315
B .
35271711
323121516165
8315
.4321
.BA
7445938535271711
).det( BA
2644321
det A 373408315
det B
).det(7437).2(det.det BABA
11º) Multiplicando-se a matriz A de ordem n pelo número real k obtém-se a matriz
k.A, de modo que AkAk n det.).det( .
Exemplo:
Seja a matriz
4231
A de ordem 2 e k=2.
8462
4231
.2.Ak
824168462
).det( Ak
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2644231
det A
8)2.(4)2.(2det. 2 Ak n ,
portanto AkAk n det.).det(
(4) Exercícios
1. O determinante de uma matriz é 36. Se multiplicarmos a segunda linha dessa
matriz por 2 e dividirmos sua primeira coluna por 9, o determinante da nova matriz
será:
a) 72 b) 4 c) 8 d) 162 e) –162
2. Dada a matriz
124212213
A , calcule o determinante de 3A.
3. Se A é uma matriz quadrada de ordem 4, tal que determinante de A0, A2+2A=0,
calcule det A.
4. Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, det A=5, calcular o determinante de 2A.
5. Sendo A e B matrizes quadradas de ordem 2, se det A=2 e det B=3, calcule det
(2A3.B3).
6. Sabendo que a matriz A é tal que det A=5, calcule det A-1.
7. Calcule os determinantes através das propriedades, justificando os valores
obtidos:
a) 152311243
b)
84321094196538432
c)
1302280449035102
d)
50003400
92305421
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8. Se det A=20, calcule det (A)t.
9. Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que det A=6
e det B=4, calcule det (A.B).
10. O valor de um determinante de 5º ordem é 42. Se dividirmos a 1º linha por 7 e
multiplicarmos a 1º coluna por 3, o valor do novo determinante será?
11. O determinante de uma matriz quadrada A vale 12. Quando valerá o novo
determinante, se multiplicarmos a 2º linha da matriz por 8 e dividirmos a 3º coluna
por 4?
12. Se A é uma matriz quadrada, At a sua transposta e det A=4, então det At é igual
a:
a) 4 b) 2 c) 1 d) ½ e) ¼
13. Multiplicando-se a 1º linha da matriz A por 2 e a segunda por 3, obtém-se a matriz
B. Se det A=5, então det B é:
a) 5 b) 6 c) 10 d) 15 e) 30
14. O determinante de uma matriz quadrada é 35. Trocando-se entre si a 1º linha
com a 2º linha e dividindo a 4º coluna por 7, o novo valor do determinante será:
a) 5 b) –5 c) 245 d) –245 e) 8
15. Se 121296321
zyx
, então 321
1296zyx
vale:
a) –4 b) –4/3 c) 4/3 d) 4 e) 12
16. Se 10312203
cba, então
cba406624
é igual a:
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40
a) 40 b) 20 c) –10 d) –20 e) –40
17. Uma matriz A de terceira ordem tem determinante 3. O determinante de 2A é:
a) 6 b) 8 c) 16 d) 24 e) 30
18. Se A é uma matriz quadrada de 4º ordem e det A=6, então det 3A é igual a:
a) 6 b) 12 c) 486 d) 243 e) 81
19. Se A é uma matriz quadrada de terceira ordem e det A=4, desta forma det 2A é
igual a:
a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64
20. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se det A=5 e
3412
.BA , então
det B é:
a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 e) 10
(5) Exercícios complementares
1. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n e O a matriz nula de ordem n. Então,
a afirmativa correta é a seguinte:
a) Se At é a matriz transposta de A, então det At det A.
b) Se det A0, existe a matriz inversa A-1 e tAcofA
A ) .(det
11 , onde cof A é a matriz
dos cofatores de A.
c) Se A.B=O, então A=O ou B=O.
d) (A-B)2=A2-2AB+B2.
e) Se k, então det (kA)=k(det A), para todo k.
2. Sejam A, B e C matrizes reais 3x3, tais que A.B=C-1, B=2A e det C=8. Então o
valor de |det A| é
a) 1/16 b) 1/8 c) 1 d) 8 e) 16
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3. Analise as afirmativas a seguir.
I. A matriz
)2(240
)1(22
ccxb
aa é inversível se x=2b.
II. Se det (AB)=m, pode-se garantir que existe det A e det B.
III. Se det A=m0 e det B=1/m, então det (AB)=1.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e III. e) I, II, III.
4. Seja A matriz 2x2 com determinante não-nulo. Se det A2=det (A+A), então det A
é
a) –4 b) 1 c) 4 d) 8 e) 16
5. Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A=det B0, então
1.
21det BA t é igual a
a) n21 b) ½ c) tAdet
21 d) An det
21 e) n2
6. Dada a matriz
xx
xA
113411
, com x, o intervalo real para o qual det At<0
x é
a) (-, 0[ b) ]0, ) c) [-1, 0[ d) ]0, 2] e) ]-1, 4/3[
7. Considere uma matriz Anxn, onde A=(aij). Pode(m)-se afirmar:
I. AA n det.2.2det 2/ .
II. Se a1j=a2j, 1 j n, então det A=1.
III. Se det A0, então det A.det A-1=1.
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Está(ão) correta(s)
a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) apenas III. e) apenas I e III.
8. Dadas a matrizes quadradas
3212
A ,
1001
I e sendo x um número real,
considere a matriz A-xI.
Assinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas.
( )
x
xxIA
3212
.
( ) det (A-xI)0 para todo x real.
( ) A-xI é inversível se x1 e x4.
A sequência correta é
a) V – F – F. b) F – V – F. c) V – V – V. d) F – F – V. e) V – F – V.
9. As afirmações a seguir referem-se a matrizes e determinantes. Assinale V nas
verdadeiras e F nas falsas.
( ) A solução da equação 8
1000302211000
x
xx
é 4.
( ) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n e A=kB, com k número real, então
det A=kn(det B).
( ) Se A é uma matriz de ordem mxp e B é uma matriz de ordem qxn, o produto
A.B é definido se p=q e, nesse caso, a ordem da matriz produto A.B será mxn.
A sequência correta é
a) V – F – V. b) V – F – F. c) F – V – F. d) F – V – V. e) F – F – V.
10. Considere a equação 1010sen10cos1
cos0sen
xx
xx
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A soma de suas soluções, no intervalo 0 x 2, é igual a
a) -/2 b) 0 c) 1 d) /2 e) 3/2
GABARITOS
(1) 1. –5 2. a)
1,
35S b) 5S c) 5,0S 3.
23,
2S
4. A21= -2 e A22=1 5. a) –3 b) 11 6. a) –3 b) 0 c) 1 7. 3 8. –2 9. –12
10. a) 11 b) –2 c) 2 d) b–a e) 26
(2) 1. –4 2. a) 5 b) 5y2-16 3. a) 15 b) 42 c) 2 d) 0
4. a)
83,0S b) 2,1S 5. 48 6. d 7. D 8. 36 9. 64 10. 4
(3) 1. 43
2.
xxxx
sencoscossen
3.
31
181
061
4.
1" e
34'/ xxxS
5. a)
52
51
53
54
b) Não existe inversa
(4) 1. a 2. 135 3. 16 4. 40 5. 864 6. 51
7. a) 0, 4º propr. b) 0, 2º propr. C) 0, 1º propr. d) -60, 9º propr.
8. 20 9. 24 10. 18 11. 24 12. a 13. e 14. b 15. e
16. e 17. d 18. c 19. d 20. c.
(5) 1. b 2. b 3. c 4. c 5. a 6. e 7. e 8. e 9. d 10. e
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SISTEMAS LINEARES 1. DEFINIÇÃO
Consideremos uma equação da forma: a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b1, onde
a1, a2,a3, ..., an e b são números conhecidos e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis .
Uma equação desse tipo é chamada equação linear de n incógnitas sobre
.
Exemplos: 1. 5x1=40
2. 2x1+x2=12
3. x1+x2+x3=15
4. 3x1-4x2+x3-5x4=10
Nomenclatura: Coeficientes: são os números reais a1, a2,a3, ..., an.
Termo independente: é o número real b1.
Incógnitas: são os números reais x1, x2, x3, ..., xn.
Observação: Não são lineares, por exemplo, as equações:
1. 342 2 yx , pois a incógnita x tem expoente 2. Nas equações lineares, o
expoente de cada incógnita é sempre 1.
2. 032 zyx , pois a incógnita y tem expoente ½ .
3. 32
yx , pois a incógnita y tem expoente –1.
4. 142 zxyx , pois existe um termo com o produto xy. Nas equações lineares,
as incógnitas aparecem isoladamente em cada terno.
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2. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
Consideremos a equação linear de n incógnitas sobre :
a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b1
Chama-se solução dessa equação a uma seqüência de n números reais
(1, 2, 3, ..., n) tal que, substituindo-se respectivamente as incógnitas:
x1 por 1, x2 por 2, x3 por 3, ..., xn por n
obtém-se a igualdade verdadeira:
a11+a22+a33+...+ann=b1
Exemplos: 1. O par (5,3) é solução da equação:
2x+4y=22, pois 2.5+4.3=22.
2. A ordenada (1,2,0,3) não é a solução da equação: 3x+2y-5z-t=32, pois 3.1+2.2-5.0-3=432.
3. EQUAÇÕES LINEARES
É toda a equação da forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b, onde:
a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;
x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas
Exemplos: 1. 3x1+5x2=4 , equação linear de 2 incógnitas;
2. 3x+2y-z=1, equação linear de 3 incógnitas;
3. x+y+z-t=-1, equação linear de 4 incógnitas.
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Observações: 1. Observe que os expoente das incógnitas são iguais a um;
2. Quando o termo independente “b” for igual a zero, a equação linear denomina-se
equação linear homogênia, por exemplo 5x-3y=0;
3. Uma equação linear não apresenta termos da forma x2, xy, x½, ..., isto é, cada
termo da equação linear tem uma incógnita, cujo expoente é sempre 1.
4. A solução de uma equação linear an incógnitas é a sequência de números reais,
(1, 2, 3, ..., n) que colocamos respectivamente no lugar de x1,x2,x3, ...xn, que
tornam verdadeira a igualdade dada.
(1) Exercícios
1. Ache duas soluções de equação –x1+x2=0.
a) x1=-3 b) x1=1
2. Determine “m” para que (-1, 1, -2) seja solução da equação mx+y-2z=6.
3. Dada a equação 132
yx ache para que (, +1) torne a sentença verdadeira.
4. SISTEMAS LINEARES
4.1 Definição
Chama-se sistema linear a um conjunto formado por duas ou mais
equações lineares.
Exemplos:
1.
2342
1 yxyx
SL SL1 é um sistema linear de duas equações e duas incógnitas.
2.
12
0322 zyx
zyxSL SL2 é um sistema linear de duas equações e três incógnitas.
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3.
628123
2
3
yxyx
yxSL SL3 é um sistema linear de três equações e duas incógnitas.
Um sistema linear de m equações (m 2) de n incógnitas (x1, x2, x3, ...,
xn) pode ser assim escrito:
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxa
bxaxaxaxa
SL
. . .. . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .. . .
332211
33333232131
22323222121
11313212111
Veja que, nesta notação, os coeficientes das incógnitas possuem dois
índices: o primeiro representa a equação e o segundo representa a incógnita à qual
o coeficiente pertence. Por exemplo:
a23 representa, na 2º equação, o coeficiente de x3.
a32 representa, na 3º equação, o coeficiente de x2.
a41 representa, na 4º equação, o coeficiente de x1.
4.2 Solução e conjunto solução de um sistema linear
Já sabemos em que condições uma sequência de números reais (1, 2,
3, ..., n) é a solução de uma equação linear de n incógnitas.
Para que uma sequência de números reais seja solução de um sistema
linear de m equações a n incógnitas, ela deve ser, simultaneamente, solução de
todas as m equações desse sistema.
Exemplos:
1. Considere este sistema linear:
4273
yxyx
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Neste sistema de duas equações a duas incógnitas, toda solução é um
par ordenado (pois são duas as incógnitas). Veja que o par ordenado (1, 2) é a
solução do sistema, pois:
421.272.31
.
2. Considere o sistema linear:
06
zyxzyx
Como agora temos três incógnitas, cada solução será uma terna
ordenada de números. Veja que as ternas (3, 1, 2) e (3, 3, 0) são soluções do
sistema, pois:
00336033
e 02136213
.
O conjunto solução de um sistema linear é o conjunto formado
por todas as soluções desse sistema.
Se o conjunto ordenado de números reais (1, 2, 3, ..., n) satisfazer
todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema linear.
Observação: Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo,
isto é, b1=b2=...=bn=0 o sistema linear será dito homogêneo.
Exemplo:
03250402
zyxzyxzyx
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x=y=z=0. Esta
solução chama-se solução trivial do sistema linear homogêneo. Outra solução, onde
as incógnitas não são todas nulas, será chamada solução não trivial.
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0. . .. . . . . . . . . . . . . . . 0. . .0. . .
0. . .
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxaxaxaxaxa
xaxaxaxa
Solução trivial: x1=x2=x3=...=xn=0
Solução não trivial: qualquer outra solução as incógnitas não são todas
nulas. (2) Exercícios
1. Seja o sistema
2
52032
zyxzyxzyx
S
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução do sistema.
b) Verifique se (0, 0, 0) é a solução do sistema.
2. Seja o sistema
3293 2
kyxkyx , calcule k para que o sistema seja homogêneo.
5. SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES
Se dois sistemas lineares S1 e S2 admitem a mesma solução, eles são
ditos sistemas equivalentes.
Exemplo: Calcular m e n, de modo que sejam equivalentes os sistemas:
521
yxyx
e
2
1mynxnymx
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50
Resolução:
Cálculo do x e y:
1121
2 x63x 521
yyyxyxyx
Substituindo-se x e y no segundo sistema, vem:
155 442
12
)2.(2212
nnnm
nm
mnnm
00211212 mmmnm
Portanto n=1 e m=0.
(3) Exercícios
1. Verifique se os sistemas
752
1 yxyx
S e
93
1152 yx
yxS são equivalentes.
2. Determine a e b de modo que sejam equivalentes os sistemas:
20
yxyx
e
11
aybxbyax
6. EXPRESSÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução
de um sistema de equações lineares. Seja o sistema linear:
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxa
bxaxaxaxa
. . .. . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .. . .
332211
33333232131
22323222121
11313212111
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51
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:
nnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
x
aaa
aaaaaa
.
.
.
.
.
.
.....................
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
(1) (2) (3)
(1) matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas;
(2) matriz coluna constituída pelas incógnitas;
(3) matriz coluna dos termos independentes.
Exemplo: Represente o seguinte sistema na forma matricial:
8271634
052
zyxzyx
zyx
Resolução:
Ele pode ser representado por meio de matrizes da seguinte forma:
81
0
217634152
zyx
x
Observe que se efetuarmos a multiplicação iremos obter o sistema dado.
Observação:
Seja o sistema
252
yxyx
1. Matriz completa: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos
termos independentes.
211512
2. Matriz incompleta: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.
1112
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52
3. Matriz das incógnitas: é a matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema.
yx
4. Matriz dos termos independentes: é a matriz coluna formada pelos termos
independentes do sistema.
25
(4) Exercícios
1. Expresse matricialmente os sistemas:
a)
0352
yxyx
b)
2530
12
cbaca
cba
2. A expressão matricial de um sistema S é
74
1352
ba
x , determine as
equações de S.
3. Dados os sistemas, obtenha as matrizes completas associadas:
a)
18323xyxy
b)
yzxzyx
yxzyx
2322362
461485
4. Dadas as matrizes completas, escrever os sistemas a elas associados:
a)
63392113
b)
312013201532
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53
7 SISTEMA LINEAR NORMAL
É um sistema linear de n equações e n incógnitas em que o determinante
da matriz dos coeficientes das incógnitas é diferente de zero.
Considere os seguintes sistemas:
a)
1
521 yx
yxS , S1 é um sistema normal, pois 0
1112
b)
532
42 zyx
zyxS , S2 não é um sistema normal, porque o número de
equações é diferente do número de incógnitas.
c)
3212
172542
3
zyx
zyxzyx
S , S3 não é um sistema normal pois 0
2121721
421 .
Resumo:
0 .
º º .
incógnitasdascoefmatrizincógnitasnequaçõesn
NormalLinearSist
(5) Exercícios
1. Verifique se os sistemas abaixo são normais:
a)
425232
1
zyxzyx
zyx b)
9430
832
yxzyx
zyx
2. Determine os valores de k (k), para que os sistemas sejam normais:
a)
194732
1
2 zyxkzykx
zyx b)
kyxkkyxk
312)1(24)1(
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54
8 REGRA DE CRAMER
A Regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema
linear normal. Consideremos o sistema de “n” equações lineares a “n” incógnitas.
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
.... . ... . .
......
2211
22222121
11212111
Consideremos os seguintes determinantes, cujas matrizes são formadas
com os coeficientes do sistema dado:
a) Determinantes dos coeficientes:
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
...............
...
...
21
22221
11211
b) Determinantes das incógnitas:
mnmn
n
n
aab
aabaab
x
...............
...
...
2
2222
1121
1
x1 é o determinante obtido de , substituindo-se a coluna dos
coeficientes x1 pela coluna dos temos independentes.
mnnm
n
n
aba
abaaba
x
...............
...
...
1
2221
1111
2
x2 é o determinante obtido de , substituindo-se a coluna dos
coeficientes x2 pela coluna dos temos independentes.
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55
E assim sucessivamente, até xn
nmm
n
baa
baabaa
x
...............
...
...
21
22221
11211
Para obtermos sua solução, calculamos:
1º) () determinante da matriz formada pelos coeficientes das variáveis
do sistema.
2º) (x1, x2, ..., xn) determinantes das matrizes obtidas a partir de ,
substituindo a coluna dos coeficientes pela coluna dos termos independentes do
sistema.
3º) A solução do sistema linear é dada por:
..., , , 22
11
nn
xx
xx
xx .
Exemplo: Encontrar a solução do sistema
0372
yxyx
.
Resolução:
76113
21
710
27
x 1
77
xx
210371
y 3721
yy
S={(1,3)}
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(6) Exercícios
1. Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de cramer.
a)
43252
yxyx
b)
93143
yxyx
c)
3233932
22
zyxzyx
zyx d)
63232
cbacbacba
e)
2223103
342
zyxzyxzyx
f)
0305
010
zyzxyx
9 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Seja o sistema linear de “n” equações a “n” incógnitas.
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
.... . ... . .
......
2211
22222121
11212111
Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou indeterminado.
Utilizando a Regra de Cramer, temos:
..., , , 22
11
nn
xx
xx
xx .
Sistema possível ou compatível (quando admite solução):
Sistema possível determinado (admite uma única solução), 0.
Sistema possível e indeterminado (admite infinitas soluções),
0...21 nxxx .
Sistema impossível ou incompatível (quando não admite soluções),
=0 e pelo menos um dos xn0.
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Exemplos:
1. Encontrar a solução do sistema
123
yxmyx
.
Resolução:
mm
311
3, m
mx
2
112
, 1231123
y
Discussão:
0:
S.P.D.: 0, -3-m0, m-3.
S. P. I.: Não existe m, pois y0
=0
S.I: =0, m=-3 e y0.
2. Determine m, de modo que o sistema
40
2
zyxzmyx
yx seja impossível ou
incompatível.
Resolução:
1111
11011
mm 62
11410012
mmx
4141
101021
y 6641101211
mmz
Fazendo =0 -m-1=0 m=-1.
x=0 2m-6=0 m=-3.
z=0 6m+6=0 m=-1.
Sendo y=-40 quando =0 ou seja m=-1; o sistema é impossível, pois
para m=-1 teremos: 04
x (impossível), 04
y (impossível) e 00
z
(indeterminado) IF Farroupilha - Campus Alegrete
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58
3. Discuta e resolva o sistema
1423122
263
zyxzyx
zyx.
Resolução:
0423
212631
Se =0, o sistema pode ser: S.P.I.? ou S.I.?
0421
211632
x , 0
413212621
y , 0
123112231
z
Sendo =x=y=z=0, logo o sistema é S.P.I.. Vamos agora descobrir a
sua solução geral. Fazendo z=k e usando as duas primeiras equações, vamos obter
um sistema 2x2 de incógnitas x e y, onde 0.
kyxkyx
kyxkyx
212623
122263
Temos: =5, x=-5, y=10k+5
155
xx e 12
5510
kkyy
Portando a solução geral é {(-1, 2k+1,k)}.
(7) Exercícios
1. Classifique e resolva os sistemas:
a)
12342
yxyx
b)
4
822yx
yx c)
1223
yxyx
2. Discuta os sistemas:
a)
myx
ymx 2 b)
21
yxykx
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3. Determine k para que o sistema indicado seja determinado:
523
5
kyxkyx
yx
4. Calcule os valores de a para que o sistema
04123
yaxyx
seja compatível e
determinado.
5. Determine a e b para que o sistema
byxayx44
126 seja indeterminado.
6. Discutir e resolver o sistema
37342523
12
zyxzyx
zyx.
10 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
Como já vimos, um sistema linear homogêneo é formado por equações
cujos termos independentes são todos nulos.
Todo o sistema linear homogêneo é sempre possível pois admite a
solução (0, 0, 0), chamada solução trivial.
Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre x1=0, x2=0,
..., xn=0 (pois sempre uma coluna será toda zero, logo, pela propriedade, o
determinante é nulo). Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo
é suficiente o estudo dos determinantes das incógnitas.
Sistema possível determinado, 0 (o sistema admite a solução trivial
e sem soluções próprias).
Sistema possível e indeterminado, =0 (o sistema admite a solução
trivial e soluções próprias).
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Exemplos:
1. Verifique se o sistema
0
023yx
yx é determinado (0) ou indeterminado (=0).
Resolução:
051123
S.P.D, como 0, o sistema é determinado.
2. Calcule o valor de m para que o sistema
000
zyxmzyx
zyx tenha somente a solução
trivial.
Resolução:
Para que o sistema tenha somente a solução trivial, isto é, seja
determinado, é necessário que 0.
221111111
11111
mmmm
1 022 mm
1/ mmS .
3. Calcule o valor de a para que o sistema
00
ayaxyax
tenha soluções diferentes da
trivial.
Resolução:
Para ter soluções diferentes da trivial o sistema tem que ser possível e
indeterminado, isto é, =0.
11 2 aaaaaa
a
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61
101
00
aaa
Portanto {0,1}.
(8) Exercícios
1. Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.
a)
086043
yxyx
b)
030422
0
zyxzyx
zyx c)
040302
yxzyxzyx
2. Determine m para que o sistema
023054032
zmyxzyxzyx
tenha soluções próprias.
3. Calcule o valor de , para que o sistema
0100
zyxzyxzyx
admita soluções
distintas de (0, 0, 0).
4. Qual deve ser o valor de k para que o sistema
03253
kzxzyxyzx
admita somente a
solução nula?
5. Classifique e resolva os sistemas:
a)
014042032
zxzyxzyx
b)
096064
yxyx
c)
0420
053
zyxzyx
zyx
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11 SISTEMAS ESCALONADOS
11.1 Definição
Um sistema linear se diz escalonado (em forma de escada) se o número
e coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumentar de equação a
equação, de cima para baixo, até que restem, eventualmente, no final, equações
com todos os coeficientes das incógnitas nulos.
Exemplos:
1.
100520
4
1
zyxzyx
zyxS 2.
5500083200
5202
2
tzyxtzyx
tzyxtzyx
S
11.2 Método da eliminação gaussiana
Consiste em substituir o sistema dados por outro que lhe seja equivalente
e mais simples, chamado sistema escalonado. Este método é também chamado de método de escalonamento parcial.
Exemplos:
1.
22z 3z2y 423
1
zyxS 2.
3 22 12
62
2
ttztzy
tzyx
S
Procedimentos para escalonar um sistema: 1. Fixamos como primeira equação uma das que possua o coeficiente da
primeira variável diferente de zero;
2. Utilizando as operações elementares, anulamos todos os coeficientes
da primeira variável das demais equações;
3. Anulamos todos os coeficientes da segunda variável a partir da terceira
equação;
4. Repetimos o processo com as demais variáveis, até que o sistema se
torne escalonado,
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Exemplos: 1. Resolver o sistema
505724745654663
zyxzyxzyx
.
Resolução:
505724745654663
zyxzyxzyx
3 6 6 54
6 5 4 47
2 7 5 50
1º) Multiplicar a primeira equação por (-2) e adicionar com a segunda
equação, substituindo nesta:
5057261870
54663
zyxzyxzyx
3 6 6 54
0 -7 -8 -61
2 7 5 50
2º) Multiplicar a primeira equação por (-2/3) e adicionar com a terceira
equação, substituindo nesta:
143061870
54663
zyxzyxzyx
3 6 6 54
0 -7 -8 -61
0 3 1 14
3º Multiplicar a segunda equação por (3/7) e adicionar com a terceira
equação, substituindo nesta:
786
71700
6187054663
zyx
zyxzyx
3 6 6 54
0 -7 -8 -61
0 0 -17/7 -85/7
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O sistema escalonado é:
)()()(
786
717
6187 54663
IIIIII
z
zyzyx
De (III), obtemos 5z . Substituindo 5z em (II), obtemos 3y e
substituindo esses valores em (I), teremos 2x .
Portando a solução do sistema é S={(2, 3, 5)}.
2. Resolver o sistema
733822542
zyxzyxzyx
.
Resolução:
1 2 4 5
2 -1 2 8 212 2 LLL
3 -3 -1 7 313 3 LLL
1 2 4 5
0 -5 -6 -2 22 )5/1( LL
0 -9 -13 -8
1 2 4 5
0 1 -6/5 -2/5
0 -9 -13 -8 323 9 LLL
1 2 4 5
-22/511/5z- -2/56/5z-1y
42 zyx 0 1 -6/5 -2/5
0 0 -11/5 -22/5
Logo 2z . Substituindo z na 2º equação, obtemos 2y , e substituindo
os valores anteriores na 1º equação obteremos 1x .
Portanto S={(1, -2, 2)}.
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(9) Exercícios
1. Escalone e resolva os seguintes sistemas:
a)
12262
92
zyxzyx
zyx b)
2220223
zyxzyxzyx
c)
3433234
12
zyxzyx
zyx
d)
4320
yxyx
e)
10351642
2
zyxzyx
zyx f)
231
zyzxyx
2. Resolva, através do escalonamento, os seguintes sistemas:
a)
35253
yxyxyx
b)
32432
0
yxyx
yx c)
82225
26
yxyx
yxyx
d)
12
13zyx
zyx e)
525123
2132
yxzx
zyxzyx
f)
73213
yxyxyx
(10) Exercícios complementares
1. Dado o sistema de equações lineares
11
zyxzyx
zyx
com , , então,
a) se -1, o sistema é possível e determinado.
b) se =-1 e 1, o sistema é possível e determinado.
c) se -1, o sistema é impossível.
d) se -1 e =1, o sistema é possível e indeterminado.
e) se =-1 e =1, o sistema é possível e determinado.
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2. Sejam a e b números reais tais que o sistema
btztzyx
atzyxzyx
342263
12
admita
solução. Então o valor de a e o valor de b devem ser, respectivamente,
a) –2 e 8 b) 8 e 5 c) 5 e 8 d) 5 e –2 e) –2 e 5
3. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
045033022
0
tzyxzyxtzx
tzyx
então, pode-se afirmar que o sistema é
a) impossível.
b) possível e determinado.
c) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, z, formam, nesta
ordem, uma progressão aritmética.
d) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, z, formam, nesta
ordem, uma progressão geométrica.
e) possível, porém não admite a solução nula.
4. Dado o sistema
210
2
tzxtyxzyx
tzyx
os valores de x, y, z e t, nesta ordem, que
satisfazem o sistema,
a) formam uma P.G. crescente. b) formam uma P.G. decrescente.
c) formam uma P.A. decrescente. d) formam uma P.A. crescente.
e) são todos iguais.
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5. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
7522)1(
442
zyxzyx
zyx
Então pode-se afirmar que
a) existem exatamente dois valores reais de para os quais o sistema não tem
solução.
b) existe um único valor real de para o qual o sistema admite infinitas soluções.
c) o sistema não tem solução para todo .
d) o sistema não tem solução para =½.
e) o sistema admite solução para todo ½.
6. Considere as afirmativas referentes ao sistema
2)1(00203
12
zkyxzyx
zyx onde x, y, z,
k, indicando se são verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) Se k1/3, o sistema é possível e determinado.
( ) Se k=1/3, o sistema é impossível.
( ) Se k=1/3, o sistema é possível e indeterminado.
A sequência correta é
a) V – F – V. b) F – V – F. c) V – V – F. d) V – F – F. e) F – F – V.
7. O valor da expressão zyxA ).2( , onde x, y e z são soluções do sistema
16662624
132
zyxzyx
zyx é
a) 3
32 b) 3
32 c) 0 d)
32 e)
32
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8. Assinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, com referência ao sistema
linear
123
11111111
zyx
a
a, com a0.
( ) a
a
a
a12
11111111
det
.
( ) Se 21
aa , então o sistema é possível e indeterminado.
( ) Se 21
aa , então o sistema é impossível.
A sequência correta é
a) V – F – V. b) F – V – F. c) F – V – V. d) V – F – F. e) V – V – F.
9. sistema linear
523223
221
zyxzyx
zyxzyx
a) é possível e determinado. b) é possível e indeterminado.
c) é impossível. d) tem a soma de suas soluções igual a 2.
e) tem o produto de suas soluções igual a 3.
10. Considere o sistema linear
bazyzy
zyx
4432
12 onde a e b são números reais.
Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas.
( ) Se a=-6, o sistema é impossível qualquer que seja b.
( ) Se b8, o sistema tem infinitas soluções qualquer que seja a.
( ) Se a-6, o sistema é possível e determinado qualquer que seja b.
A sequência correta é
a) V – V – F. b) V – V – V. c) V – F – V. d) F – F – V. e) F – V – F.
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GABARITOS
(1) 1. a) x2= -3 b) x2= 1 2. m= -1 3. 54
.
(2) 1. a) é solução b) não é solução 2. K= -3
(3) 1. São equivalente 2. b=1; a=0
(4) 1. a)
0
531
12yx
b)
201
153101112
cba
2.
73452
baba
3. a)
1823
013 b)
322162324011
14685
4. a)
633923
zyxzyx
b)
3203
2532
yxyx
xyx
(5) 1. a) É SLN b) Não é SLN 2. a) 3 e 2/ kkkS b)
31/ kkS
(6) 1. a) 2,1S b) 2,3S c) 3,2,1S d)
59,
512,
59S
e) 1,32 S f) 1,4,6S
(7) 1. a) S.P.D.; 2,1S b) S.P.I.; kkS ,4 c) S.I.
2. a) S.P.D. se m -1 e S.I. se m= -1 b) S.P.D. se m -1 e S.I. se m= -1
3. k=1 ou k=15 4. a -6 5. a=6 e b=8 6. S.P.I.; kkkS ,1,
(8) 1. a) S.P.I. b) S.P.I. c) S.P.D. 2. m=133 3. =1
4. k -1 5. a) kkkS ,9,14 b)
kkS ,
23 c) kkkS ,2,
(9) 1. a) 3,1,2 S b)
kkkS ,542,
534 c) S d)
54,
54S
e) 2,3,1 S f) 2,0,1S 2. a) 1,4S b) S c) 2,4S
d)
kkkS ,5
3,524 e)
kkkS ,355,
321 f) S
(10) 1. a 2. e 3. c 4. d 5. b 6. c 7. a 8. d 9. c 10. d
IF Farroupilha - Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600
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Professor Mauricio Lutz
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BALD, Atelmo Aloisio, COGO, Sandra E. Vielmo. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares. Caderno Didático – Santa Maria: UFSM, CCNE, Departamento de Matemática, 1997. Currículo Básico do PEIES. Universidade Federal de Santa Maria. Programa de Ingresso ao Ensino Superior. V. 5, Santa Maria, 1999 DECISAÔ PRÉ-VESTIBULAR. Matemática. Polígrafo – Santa Maria [s.n.], 1997, não paginado. ESCOLA ESTADUAL DE 2º GRAU CILON ROSA. Matrizes, Determinantes, Sistemas de equações Lineares e Análise Combinatória. Polígrafo – Santa Maria [s.n.], 1999, 108 p. FÓTON VESTIBULARES. Matemática. Polígrafo – Santa Maria [s.n.], 2000, não paginado. GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R. Matemática. V. 2, Editora FTD S.A., São Paulo, 1992. IEZZI, G., DOLCE, O., DEGENSZAJN, D., PÉRIGO, R. Matemática. Volume Único, Editora Atual, São Paulo, 2002. SILVA, J. D., FERNANDES, V. dos S., MABELINI, O. D. Matemática: Novo Ensino Médio – Volúme Único Curso Completo. Sistema de Ensino IPEP, São Paulo, 2002.