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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA

INSTITUTO FEDERAL FARROUPILHA – CAMPUS ALEGRETE PIBID – Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência

PROPOSTA DIDÁTICA

1. Dados de Identificação

1.1 Nome do bolsista: Andressa Franco Vargas

1.2 Público alvo: 8° e 9° anos 1.3 Duração:4 horas

1.4 Conteúdo desenvolvido: Geometria Espacial: identificação de sólidos e volume

2. Objetivo(s) da proposta didática: Reconhecer o que é um sólido geométrico e suas características; Deduzir o volume do paralelepípedo e do cubo através de materiais manipuláveis;

Relacionar as unidade de medidas para volume (metros cúbicos e litros).

3. Desenvolvimento da proposta didática

A atividade será desenvolvida em dois encontros no tempo previsto de duas horas cada.

Primeiro Encontro (10 min.) – Acomodação dos alunos.

(20 min.) – Atividade 1: História da Geometria

Inicialmente será contada aos alunos um pouco da história da Geometria Espacial, para

que a partir deste momento possa-se introduzir o conteúdo e para que o mesmo tenha

mais significado para os alunos.

Um pouco de história...

Sendo a Matemática uma das ciências mais antigas e tendo sua origem em terras

egípcias, a Geometria Espacial tem seu surgimento na Mesopotâmia por volta de 2000

a.C., pode-se dizer que todo o conhecimento que temos nos dias hoje se baseiam em estudos em documentos chamados de Papirus (produto obtido pela planta

Cyperuspapyrus, esta deu a humanidade um dos principais instrumentos para o



progresso da humanidade, o papel, como mostra a figura 1), dentre os principais para a

geometria espacial destacam-se o Papiros de Rhind e o Papiros de Moscou.

Figura 1

Sobre o Papiru de Rhind( Figura 2), está escrito em hierático da esquerda para a direita,

possui 32 cm de largura e 513 cm de comprimento, é datado por cerda de 1650 a.C. e

é nomeado Papiro de Rhind por conta do escocês Alexander Henry Rhind, que o

comprou por volta de 1850. No documento constam anotações de 84 problemas e suas

soluções, dentre os problemas constam questões como áreas de triângulos, retângulos, trapézios e círculos, volume de cilíndricos, problemas de proporção, problemas

relacionados com pirâmides entre outros.

Fonte: http://www.mat.uc.pt/~mat0703/PEZ/antigoegito2%20.htm



Contudo, também escrito em hierático, o Papirode Moscou(Figura 3), foi escrito por volta

de 1850 a.C. tem cerca de 8 cm de largura e 5 cm de comprimento, é conhecido

originalmente por papiro de Golenishchev, pelo fato de que em 1853 o egiptólogo V. S.

Golenishchev fez a compra do papiro no Egito. Estima-se que no mesmo encontram-se

por volta de 25 problemas, devido ao estado de degradação do documento no dias de hoje encontram-se dificuldades para de identificar os problemas escritos, entretanto,

pode-se ressaltar alguns como, por exemplo, volume de uma pirâmide truncada,

medidas de panos em palmos e cúbitos, área da superfície curva do cesto, entre outros.

Fonte: http://www.matematica.br/historia/pmoscou.html

Contudo, não se sabe quem escreveu estes dois documentos, mas o que se sabe é de

suas importâncias para o estudo da geometria. A geometria surgiu às margens do Rio

Nilo, com a necessidade de medir terras, através de conhecimentos e princípios

empíricos, demonstrando dedutivamente noções de espaço, daí vem o nome

GEOMETRIA (Geo = terra e métron = medir, ou seja medir terra). Alguns filósofos como

Pitágoras e Platão associavam a Geometria Espacial com a religião e a metafísica,

devido a formas abstratas. O ápice da Geometria se tem com o surgimento dos Geômetras Alexandrinos,

Arquimedes voltou seus estudos para esferas e cilindros, e Euclides com sua obra

Elementos, onde se encontravam todos os conhecimentos do povo na época.



Durante o renascimento a geometria espacial voltou com forte influência da geometria

grega, no qual ocorreu à volta de todo o estudo da ciência que estava adormecida

naquele momento, assim matemáticos como Leonardo Fibonacci (1170 -1240) voltam-

se para a geometria espacial, chegando assim a publicar obras como

PracticaGeometriae (1220), sendo esta uma coleção sobre trigonometria e geometria. Por volta de 1615, Joannes Kepler (1571 – 1630) nomeia Steometria, que significa

medir volume, assim a palavra volume vem de volumen, que é o que faz com que um

barril role com facilidade.

(30 min) – Atividade 2: Jogo Dominó Espacial

MATERIAL: Peças retangulares formadas com dois quadrados congruentes, com o

desenho de um sólido e um objeto qualquer conhecido.

OBJETIVOS: Associação dos sólidos geométricos com figuras do cotidiano do educando. REGRAS:

1. Máximo 2 jogadores.

2. As peças devem estar viradas ao contrário e cada jogador deve escolher 6 peças dentre

as 21.

3. As 9 peças restantes serão utilizadas caso em algum momento da partida um dos jogadores não tenha em mãos a peça correspondente as duas extremidades.



4. O oponente deve comprar até que encontre a peça que possa usar.

5. Não pode-se comprar peças a mais, ou seja, continuar comprando peças após ter pego

a peça que dá a vez, para não prejudicar o outro jogador.

6. Se isso acontecer a partida deve ser reiniciada.

7. Quando houver empate vence quem tiver menos peças na mão. 8. Vence o jogador que ficar com menos cartas na mão.

(30 min) – Atividade 3: Sólidos Geométricos

Chamamos de sólidos geométricos os objetos que possuem mais de uma dimensão e

ocupam lugar no espaço. Para que os alunos compreendam tal definição iremos fazer uma atividade que envolve a

planificação de alguns sólidos.

Parte 1

Os alunos serão divididos em dois grupos, um grupo receberá planificações de prismas e

o outro de pirâmides, a partir das quais deverão montar o sólido resultante. As planificações que serão trabalhadas



Divididos em dois grupos, os alunos iram construir os sólidos e anotar coisas que possam

ser observadas. Será entregue aos alunos um questionário para orientação e melhor

observação dos elementos constituintes dos sólidos.

Questionário:

1- Quantos lados têm esta figura? 2- Que figuras planas estão representadas neste sólido?

3- Você saberia os nomes de todas estas figuras?

4- Quantas “pontinhas” têm este sólido?

5- Como você descreveria o encontro de dois lados?

6- Você sabe descrever o nome deste sólido? 7- Quanto aos lados: eles se repetem? Quantas vezes? E qual figura em cada um deles

obedece esta lógica?

Como vamos trabalhar com dois grupos, um irá ser responsável pela construção e

análise dos prismas e o outro ficará responsável pelas pirâmides. Grupo 1 (Prismas) Espera-se que com esta atividade os alunos que irão trabalhar com prismas percebam

que os sólidos possuem duas bases congruentes e que também as figuras planas em

sua lateral também são congruentes e planas, que a base determina o número de lado,

esses lados por sua vez se encontram e também formam pontinhas, estima-se que com

essas observações os alunos consigam observar as principais características de um

prisma.

Grupo 2 (Pirâmides) Espera-se que os alunos observem que a mesma tem uma base e que essa base determina o número de lado, ou seja, se a base for triangular, nossa pirâmide terá três

lado, que esses ladinhos unidos formam um encontro de lados, e que todos esses

ladinhos unidos formam uma pontinha que se for bem observada está ligada ao centro

da base, essa seria então a altura de nossa pirâmide. Podemos trabalhar base, aresta

da base, aresta lateral, face lateral e a altura como já havia sido dito.



De modo geral, com as respostas dos alunos vamos introduzir alguns conceitos. A

questão um quando se pergunta sobre os lados da figura já podemos de cara introduzir

o conceito de face, explicando aos alunos o conceito para que os mesmos possam

analisar em seus sólidos que já estarão construídos. Lembrando que face de um sólido

é cada um dos lados que compõem a superfície do poliedro. Na segunda questão os alunos observaram as figuras planas que constroem o sólido, os

que estão em seus lados e sua base, e com isso também a terceira questão acaba por

estimular os alunos a relembrar conhecimentos de geometria plana, reconhecendo

triângulos, quadrados retângulos, pentágonos, etc.

Sobre as pontinhas dos sólidos será abordado o conceito de vértice, a palavra pontinhas é somente uma maneira de entender melhor os vértices do sólido. Estima-se que os

alunos consigam identificar isto nos sólidos que foram construídos. Vértices, são um

ponto comum a três ou mais arestas.

O encontro de duas faces, ou seja, um lado comum a duas faces é exatamente o conceito

de aresta, e isso é o que os alunos vão poder observar. A questão de número seis é voltada para os alunos pensarem sobre os sólidos

construídos, qual seria o nome deste sólido, a partir do que eles podem observar na

estrutura do mesmo.

E por fim, a relação entre os lados, a congruência de figuras nas laterais dos prismas e

das pirâmides, e a base de ambos sólidos, quais as figuras encontradas nesses lados e

nesta base.

Encerrada esta primeira parte da atividade, vamos definir os elementos

observados em cada grupo de sólidos, que são comuns a todos os poliedros. Faces: cada um dos lados que compõem a superfície do poliedro.

Arestas: lado comum a duas faces. Vértice: ponto comum a três ou mais arestas.



Sabendo destes conceitos, podemos conhecer os sólidos geométricos e suas

características. Prismas: Poliedro composto por duas faces paralelas, que formam a base, podendo ser

triangular, quadrangular, pentagonal e hexagonais, além disso, possui vértices e arestas

unidos por paralelogramos. Pirâmide: É um poliedro composto por uma base seja ela triangular, quadrangular,

pentagonal, hexagonal e um vértice que une todas as faces laterais. A altura da pirâmide

é a medida do vértice que une as faces até a base.

Parte 2 Serão trabalhados com os alunos os Sólidos de Platão (tetraedro, cubo, dodecaedro,

octaedro e icosaedro).Os sólidos de Platão são poliedros cujas arestas formam polígonos

regulares congruentes. Levam consigo o nome de Platão, pois foi quem os descobriu, por

volta de 400 a.C. Um poliedro é chamado de Platão se, e somente se:

Todas as faces têm o mesmo número de arestas;

Todos os ângulos têm o mesmo número de arestas;

O sólido satisfaz a relação de Euler; (푉 − 퐴 + 퐹 = 2)

Platão em seus estudos filosóficos e matemáticos relacionou cada sólido a um elemento

da natureza. Tetraedro: Representa o fogo, pois seu átomo teria a forma de um poliedro de 4 lados.

Cubo: Platão acreditava que a terra tinha átomos que pareciam cubos, que podiam ser

colocados lado a lado perfeitamente chegando assim a estabilidade. Octaedro: Representava o ar pois o modelo de Platão era um poliedro de 8 faces.

Icosaedro: Representava a água, pois Platão acreditava que os átomos da água tinham

este formato. Dodecaedro: Representava o universo, os cosmos segundo Platão eram átomos em

forma de dodecaedros.





Logo após este estudo será proposta outra atividade, envolvendo os sólidos platônicos.

Atividade 1

Identifique cada um dos sólidos platônicos abaixo e os relacione com sua respectiva

planificação.

Atividade 2 Agora que já conhecemos os sólidos platônicos, vamos completar a tabela abaixo com as

informações solicitadas:

Sólido Nº de Arestas Nº de Faces Nº de Vértices

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro



Atividade 3

A partir dos dados da tabela, vamos verificar se é válida a relação de Euler, isto é, ver

se é válida o seguinte resultado 푉 − 퐴 + 퐹 = 2.

Tetraedro: 푉 − 퐴 + 퐹 = 2 4 − 6 + 4 = 2

2 = 2

Cubo:8 − 12 + 6 = 2

2 = 2

Octaedro: 6 − 12 + 8 = 2

2 = 2

Dodecaedro: 20 − 30 + 12 = 2

2 = 2

Icosaedro: 12 − 30 + 20 = 2

2 = 2

Com isso encerramos o primeiro dia de atividades.

Segundo Encontro

(10 min.) – Acomodação dos alunos

(60 min.) – Atividade 1: Dedução do volume por meio do material dourado:

Nesta atividade os alunos irão utilizar o material dourado de forma que possam ver na prática

como se estabelece a relação de volume, ou seja, o espaço ocupado por um corpo de forma tridimensional (comprimento, largura e altura).

A atividade será dividida em duas partes. Na primeira, iremos relembrar com os alunos o cálculo

de área de figuras planas, em particular do retângulo e do quadrado. Essa primeira etapa será

necessária, pois nosso objetivo é a dedução do volume de um paralelepípedo, sendo assim

precisamos recordar a área de retângulos e quadrados. Na segunda, faremos a dedução da fórmula para volume de paralelepípedos, a partir do material dourado.



Parte 1: Área do retângulo e do quadrado

Consideremos o retângulo representado na figura abaixo. Qual a área de sua superfície?

A área do retângulos é dada por: 퐴 = 푏푥 ℎ ⟶ 퐴 = 5 푥 3 ⟶ 퐴 = 15 푐푚 .

Agora, analisando o quadrado abaixo, determine sua área.

A área do quadrado é definida por: 퐴 = 푙 푥 푙 → 퐴 = 3푥3 퐴 = 9

Parte 2: Volume de um paralelepípedo Será apresentado aos alunos o material dourado, de modo que cada peça existente no

recurso tenha seu respectivo valor.

Fonte :http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/10247/imagens/materialdourado.jpg



Após os alunos se familiarizarem com o material será solicitado que com os cubinhos unitários,

montem um paralelepípedo de dimensões 4 × 2 × 3 (comprimento, largura e altura,

respectivamente).

A partir da montagem do paralelepípedo, os alunos deverão responder as seguintes questões:

1) Agora que você montou o paralelepípedo, quantas cubinhos há em sua base?

R.: 8 cubinhos

2) Ao todo, são quantas camadas iguais a base?

R.: 3 camadas 3) Usando o que você respondeu nas questões 1 e 2, e sem contar individualmente,

responda, quantos cubinhos há ao todo no paralelepípedo? Explique sua resposta.

R.: Espera-se que o aluno perceba que como há três camadas iguais, cada um com oito

cubinhos, há ao todo, 3 x 8 = 24 cubinhos.´

4) O resultado encontrado no item 3 será o volume do paralelepípedo. Agora é sua vez! Tente generalizar (criar uma fórmula) a partir do que observou nos itens 1, 2 e 3, para

um paralelepípedo de dimensões a, b e c.



R.: Espera-se que o aluno perceba que para determinar o volume do paralelepípedo

basta multiplicar suas dimensões, ou seja, 푉 = 푎 × 푏 × 푐.

Ao término do questionário, será socializado com o grande grupos as observações realizadas

e as respostas encontradas.

Após a determinação com o grande grupo que o volume do paralelepípedo é dado pelo produto

de suas dimensões, 푉 = 푎 × 푏 × 푐, faremos uma ampliação desse conceito solicitando que os

alunos observem que o produto 푎 × 푏 corresponde a área do retângulo da base do

paralelepípedo e que c representa a altura do sólido. Assim, podemos afirmar que o volume do

paralelepípedo pode ser dado por: 푉 = á푟푒푎 푑푎 푏푎푠푒 × 푎푙푡푢푟푎

Representamos por:

푉 = 퐴 × ℎ

Agora, faremos uma atividade similar para que os alunos deduzam a fórmula do volume do

cubo (que é um caso particular de paralelepípedo).

Inicialmente, os alunos serão convidados a montar, com os cubinhos do material dourado, um

cubo de dimensão 4.

A partir da montagem do cubo, os alunos deverão responder as seguintes questões:

1) Quantos cubinhos há na base do cubo montado?

R.: 16 cubinhos

2) Sem contar individualmente, quantos cubinhos há ao todo no cubo? Explique como chegou ao seu resultado.

R.: 16 x 4 = 64 cubinhos.



3) Note que o cubo também é um paralelepípedo, mas com a característica de ter todas as

dimensões iguais. Sabendo disso, qual será a fórmula para o cálculo do volume do cubo?

R.: Espera que os alunos deduzam que para o cubo temos a = b = c, logo, o volume será

푉 = 푎 × 푏 × 푐 = 푎 × 푎 × 푎 = 푎³

Após os alunos finalizarem as respostas do questionários, iremos discuti-las no grande grupo

a fim de formalizar os resultados encontrados. (50 min.) – Atividade 2: Unidades de medida de volume

Após os alunos compreenderem que o volume é uma medida tridimensional iremos trabalhar

com as duas unidades de medida usadas para volume, m³ e litros, juntamente com seus

múltiplos e submúltiplos.

Inicialmente, vamos abordar a ideia de m³, seus múltiplos e submúltiplos, segundo a

representação do esquema abaixo:

푘푚 = 푞푢푖푙표푚푒푡푟표 푐ú푏푖푐표

ℎ푚 = ℎ푒푐푡표푚푒푡푟표 푐ú푏푖푐표

푑푎푚 = 푑푒푐푎푚푒푡푟표 푐ú푏푖푐표

푚 = 푚푒푡푟표 푐ú푏푖푐표

푑푚 = 푑푒푐í푚푒푡푟표 푐ú푏푖푐표

푐푚 = 푐푒푛푡í푚푒푡푟표 푐ú푏푖푐표

푚푚 = 푚푖푙í푚푒푡푟표 푐ú푏푖푐표

Além do metro cúbico, seus múltiplos e submúltiplos, existe outra unidade de medida

utilizada quando trabalhamos com volume: o litro, com seus múltiplos e submúltiplos. Vejamos a relação entre essas duas unidade de medida. Faremos essa atividade com

material manipulável.



1. Consideremos um cubo de aresta 10 cm.

2. Transforme essa medida para decímetro.

3. R.: a = 10 cm => a = 1 dm (divide por 10, ver tabela de transformação)

4. Determine o volume desse cubo, em dm³? R.: V = a³ = 1³ = 1 dm³

5. Observem que no cubo considerado cabe exatamente 1 litro (nesse momento mostra

o cubo e um recipiente com 1 litro de água e fazer a verificação).

6. Como determinamos o volume do cubo é de 1 dm³, mas também vale 1 litros, logo,

temos a seguinte relação:

1 푙푖푡푟표 = 1 푑푚

Assim, percebemos que o volume pode ser dado tanto por m³ (seus múltiplos e submúltiplos)

quanto por litros (seus múltiplos e submúltiplos). De modo, geral, utiliza-se litros para valores

pequenos e m³ para valores maiores, com a seguinte relação:

1 푙푖푡푟표 = 1 푑푚 = 0,001푚³

1 푙푖푡푟표 = 0,001푚

푚 =1

0,001 푙푖푡푟표

1푚 = 1000 푙푖푡푟표푠

Atividade: medindo a quantidade de chuva

Todos os dias somos informados das condições do tempo, seja pela tv, rádio, jornais

ou internet. Uma combinação de fatores faz parte das informações e previsões. Entre elas, a

pressão atmosférica, a temperatura, a umidade e a precipitação, ou seja, a quantidade de

chuva em determinado período de tempo.

Medir a quantidade de chuva é muito importante, pois essa informação auxilia na

tomada de decisões referentes à agricultura e principalmente em medidas de emergência que podem evitar tragédias envolvendo deslizamentos e enchentes.

Vejamos no quadro abaixo, uma notícia relacionada as enchentes que ocorreram na

fronteira oeste em dezembro de 2015.



24 dezembro 2015 Enchente deixa 4,3 mil pessoas fora de casa na Fronteira Oeste do Estado Quadro de cheia dos rios deve persistir por ao menos dez dias A Defesa Civil da Fronteira Oeste do Estado contabiliza cerca de 4,3 mil pessoas fora de casa devido às inundações causadas pelo excesso de chuvas nos últimos dias. Além dos decretos de emergência já encaminhados por Uruguaiana e Quaraí, as prefeituras de Santana do Livramento, Itaqui e Barra do Quaraí também devem buscar o recurso. Nessa madrugada, choveu mais cerca de 70 milímetros na região, que se acumulam ao volume anterior de 400 mm.

Com chuva mais fraca na maioria das cidades desde o início da manhã, a tendência é de que o nível dos rios Uruguai e Quaraí comece a se estabilizar. Já em Alegrete, o rio Ibirapuitã ainda deve subir durante o dia. A situação de enchente deve persistir por, ao menos, dez dias. O coordenador da Defesa Civil da região, Major Rinaldo Castro, acredita que os moradores de áreas ribeirinhas só poderão retornar ao locais afetados na primeira semana de janeiro.

O escoamento dos rios ainda pode provocar estragos maiores em municípios da região central do Estado, onde também choveu forte. Na Capital, o Guaíba segue em nível normal, mas deve subir nos próximos dias, conforme a previsão da rede Metroclima da Prefeitura. Contatos com as unidades da Defesa Civil, para pedido de auxílio ou para encaminhar doações, podem ser feitos pelo telefone 199, que segue funcionando durante 24 horas durante o feriadão.

Fonte:Bibiana Borba/Rádio Guaíba.

Disponível em: http://www.radioguaiba.com.br/noticia/enchente-tira-43-mil-pessoas-de-casa-na-fronteira-oeste-do-estado/ .

Vemos que a notícia traz alguns dados relacionado a enchente que assolou a fronteira oeste

em dezembro passado. Entre eles, a quantidade de chuva registrada na madrugada (70 mm)

e a acumulada até o momento (400mm).

Mas o que significa 70 mm?

A quantidade de chuva é medida em relação ao metro quadrado. Assim, quando falamos em 70 mm de chuva, podemos pensar em paralelepípedo, cuja base é um quadrado de superfície

1m², com água alcançando 70 mm de sua altura.

Quanto é isso em litros?

Precisamos converter a altura para metros: 70 mm = 0,07 m

Logo, o volume será:



푉 = 퐴 × ℎ = 1 × 1 × 0,07 = 0,07푚³

Como 1 m³ = 1000 litros, teremos:

푉 = 0,07푚 = 0,07 × 1000 = 70 푙푖푡푟표푠

Isso significa que na madrugada, em cada metro quadrado da cidade, houve uma precipitação

de 70 litros de água.

Referências Bibliográficas: BRASIL. Ministério da educação e do Desporto. Secretaria do Ensino Fundamental SEF. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – Ensino de 5ª a 8ª Série. Brasília: MEC/SEF, 1999.

Espaço Educar: Moldes de sólidos geométricos,2013. Disponível em: <http://www.espaco educar.net/2012/08/50-moldes-de-solidos-geometricos-para.html>. Acesso em: 21 abr. 2016.

História da Geometria Espacial, 2008 Disponível em: <http://calculomatematico.vilabol .uol.com.br/geoespacial.htm>. Acesso em: 20 abr. 2016.

LORENZATO, S. Para Aprender Matemática. 3. ed. rev. Campinas: Autores Associados, 2010. PEREIRA, S.M. Poliedros Platônicos. UFMG. Belo Horizonte, MG. Monografia de Pós-graduação em Matemática para professores do Ensino Básico, 2011.

GASPAROTO, L.; PAIM, M.; MENTA, E. Medindo a quantidade de chuva. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1481>. Acesso em: 15 mai. 2016. BORBA, B. Enchente deixa 4,3 mil pessoas fora de casa na Fronteira Oeste do Estado. Disponível em: <http://www.radioguaiba.com.br/noticia/enchente-tira-43-mil-pessoas-de-casa-na-fronteira-oeste-do-estado/>. Acesso em: 15 mai. 2016.

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PROPOSTA DIDÁTICA 1. Dados de Identificação 2. Objetivo(s ...iffmauricio.pbworks.com/w/file/fetch/109025506/8_9_Andressa_cor... · Reconhecer o que é um sólido geométrico e