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Módulo Cálculo Geométrico | Leonardo Tochetto Caon
01 PROGRAMAÇÃO CNC
T r e i n a m e n t o P r o g r a m a d o r C N C – M ó d u l o C á l c u l o G e o m é t r i c o
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Cálculo geométrico
Introdução
Neste módulo do curso de programação CNC vamos fazer uma revisão em alguns conceitos de
cálculo geométrico e fazer alguns exercícios para fixação, já que as teorias de cálculo geométrico
são muito utilizadas pelos programadores de máquinas quando é necessário calcular as
coordenadas dos pontos dos projetos.
Trigonometria
Trigonometria é a área da matemática que estuda as medidas do triângulo retângulo. O
triângulo retângulo recebe este nome porque um de seus ângulos internos é um ângulo reto, ou
seja, possui um ângulo de 90 graus.
Além do ângulo reto, o
triângulo possui mais dois
ângulos internos formados a partir dos outros lados do triangulo. A soma de todos os ângulos
internos de um triângulo sempre será 180 graus. No triângulo retângulo, como há um ângulo
reto a soma dos outros dois será 90 graus, quando isso acontece na geometria estes ângulos são
chamados de ângulos complementares.
= 90
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Lados de um triângulo retângulo
Os lados do triângulo retângulo recebem nomes para facilitar o estudo da trigonometria. Estes
nomes são dados conforme a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é
a hipotenusa, os outros dois lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são chamados
de catetos.
Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras apresenta a relação entre os lados de um triângulo retângulo através de
uma fórmula simples. Segundo o teorema, a soma dos quadrados dos catetos será igual ao
quadrado da hipotenusa. A imagem abaixo comprova a afirmação de Pitágoras.
No quadrado azul temos:
4 x 4 = 16 ou 4² = 16
No quadrado verde temos:
3 x 3 = 9 ou 3² = 9
No vermelho temos:
5 x 5 = 25 ou 5² = 25
Observe que:
25 = 16 + 9 ou 5² = 4² + 3²
Assim temos:
h² = a² + b²
Sendo:
h = Hipotenusa, a = cateto e b = cateto
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Usamos o teorema de Pitágoras para descobrir a medida de um dos lados do triângulo quando
sabemos qual é a medida dos outros dois lados.
Aplicações do teorema de Pitágoras
Exemplo 01
No triângulo retângulo abaixo temos a medida dos dois catetos, para calcularmos a medida da
hipotenusa podemos usar o teorema de Pitágoras.
Exemplo 02
No triângulo retângulo abaixo temos a medida de um dos catetos e da hipotenusa, para calcular
a medida do cateto faltante podemos usar o teorema de Pitágoras.
Not
No triângulo ao lado temos:
a = 6 h² = 6² + 8²
b = 8 h² = 36 + 64
h = não temos h² = 100
h² = a² + b² h = √100
h = 10
No triângulo ao lado temos:
a = não temos 25² = a² + 20²
b = 20 a² = 625 - 400
h = 25 a² =225
h² = a² + b² a = √225
h = 15
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e que nos dois exemplos temos três parâmetros, sendo um deles desconhecido e dois
conhecidos. Quando os parâmetros que temos são as medidas de comprimento dos lados e o
parâmetro que queremos encontrar é a medida de comprimento do outro lado podemos aplicar
o teorema de Pitágoras para resolver o problema.
Exercício para fixação
Exercício 01
Calcule as medidas que se pede:
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Exercício 02
Verifique se o triângulo abaixo é realmente um triângulo retângulo, use o teorema de Pitágoras
para comprovar.
Exercício 03
Para fabricar uma peça com perfil quadrado podemos utilizar um material de forma cilíndrica,
mas para isso devemos verificar se o material terá o diâmetro necessário para isso. Calcule qual
o diâmetro mínimo da peça necessário para fabricar um quadrado com 20 mm de lado.
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Teorema de Tales
Através das comprovações de Tales de Mileto vamos poder raciocinar melhor quando
precisamos encontrar alguma medida em uma peça caso seja necessário encontrar-la para
escrever um programa para alguma máquina CNC.
Ângulos opostos pelo vértice
Uma das afirmações de Tales foi que quando duas retas concorrentes, ou seja, que se cruzam,
quatro ângulos será formado entre a abertura das semi-retas com origem no ponto de
intersecção das retas.
Sabemos que:
a + b + c + d = 360°
e que
a + b = 180° , b + c = 180° , c + d = 180° , d + a = 180°
Com isso podemos afirmar que
a = c e b = d
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Outra afirmação de Tales é que quando duas ou mais retas paralelas são cortadas por uma reta
transversal os ângulos correspondentes formados em cada intersecção serão iguais.
Segunda a comprovação de Tales
a = c = e = g
b = d = f = h
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Relações trigonométricas
No teorema de Pitágoras aprendemos a calcular as medidas de comprimento dos lados do
triângulo, para isso temos que ter pelo menos a medida de comprimento de dois lados do
triângulo, mas nem sempre isso acontece na prática. Acontece de, ao invés de termos o
comprimento de um lado, temos a medida do ângulo de um dos cantos do triângulo.
Quando um dos parâmetros fornecidos for um ângulo, não será possível usar o teorema de
Pitágoras. Para esses casos será necessário usar os conceitos da relação trigonométrica.
Nomes dos catetos
Na relação trigonométrica é necessário definir claramente o nome de cada cateto, este nome
será conforme a posição do cateto em relação ao ângulo considerado.
O lado b está oposto ao ângulo α por isso
é chamado de cateto oposto (co).
O lado a está adjacente (ao lado) do
ângulo α por isso é chamado de cateto
adjacente (ca).
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Seno, cosseno e tangente
Como vimos anteriormente, quando um dos dois parâmetros necessários para um cálculo das
medidas do triângulo é um ângulo devemos usar as fórmulas da relação trigonométrica, ou seja,
as fórmulas de seno, cosseno e tangente.
Seno
O seno de um ângulo será uma constante, ou seja, não importa o tamanho do triângulo, se o
canto tiver o mesmo ângulo o valor do seno será o mesmo. O seno é calculado dividindo o valor
do comprimento do cateto oposto ao ângulo pelo valor do comprimento da hipotenusa.
Cosseno
O cosseno de um ângulo será uma constante, ou seja, não importa o tamanho do triângulo, se o
canto tiver o mesmo ângulo o valor do cosseno será o mesmo. O cosseno é calculado dividindo
o valor do comprimento do cateto adjacente ao ângulo pelo valor do comprimento da
hipotenusa.
Tangente
A tangente de um ângulo será uma constante, ou seja, não importa o tamanho do triângulo, se
o canto tiver o mesmo ângulo o valor da tangente será o mesmo. A tangente é calculada
dividindo o valor do comprimento do cateto oposto ao ângulo pelo valor do comprimento do
cateto adjacente ao ângulo.
sen α = co / h
O lado a está adjacente (ao lado) do
ângulo α por isso é chamado de cateto
adjacente (ca).
cossen α = ca / h
O lado a está adjacente (ao lado) do
ângulo α por isso é chamado de cateto
adjacente (ca).
tang α = co / ca
O lado a está adjacente (ao lado) do
ângulo α por isso é chamado de cateto
adjacente (ca).
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Aplicação das relações trigonométrica
Exemplo
É dado um triangulo retângulo cujo ângulo medido é de 30 graus, considerando que o cateto
oposto mede 10 cm, calcule a medida da hipotenusa, e a medida do cateto adjacente ao ângulo.
No triângulo ao lado temos:
co =10 sen30 = 10 / H
α = 30 0,5 = 10 / H
h = não temos H =10 / 0,5
senα =co / H H =20
Para calcular o cateto adjacente temos
co =10 tang30 = 10 / ca
α = 30 0,577 = 10 / ca
ca = não temos ca =10 / 0,577
tangα =co / ca ca =17,33
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Analisando um desenho geométrico
Nos exercício que fizemos até o momento foi dado medidas já encontradas, porém em
desenhos geométricos mais complexos será necessário fazer uma análise utilizando os princípios
da trigonometria vistos anteriormente. Uma figura geométrica deverá ser interpretada através
de triângulos. Quando conseguimos visualizar um triângulo numa figura geométrica mais da
metade do problema está resolvido. Muitas vezes será necessários encontrar mais do que
apenas um triângulo.
Veja o desenho abaixo.
Queremos calcular a medida do diâmetro circunscrito (maior medida) do sextavado.
Para isso devemos analisar este sextavado utilizando
o princípio da trigonometria.
Vamos localizar um triangulo que poderá fornecer a
medida desejada.
Assim que o triângulo é encontrado, basta aplicar as fórmulas de relações trigonométricas
conforme as medidas que já se sabe para encontrar a medida desejada.
Em algumas situações esses triângulos podem estar mais difíceis de encontrar, e algumas vezes
serão necessárias encontrar mais do que apenas um triângulo para poder chegar à medida
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desejada. Por isso faça bastantes exercícios para aprender bem esses conceitos de
trigonometria, pois este assunto é muito aplicado quando se está fazendo uma programação
CNC escrevendo diretamente em código ISO.
Exercício 01
Vamos usinar uma peça como perfil sextavado. Para isso precisamos dimensionar qual é o
diâmetro da barra necessária. Calcule a medida D do desenho abaixo.
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Exercício 02
Vamos fazer a furação da peça abaixo, para isso precisamos das coordenadas X e Y dos centros
de cada furo. Tomando como referência o centro da peça, calcule as coordenadas para cada
centro de furo.
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Exercício 03
Iremos fazer o programa do contorno abaixo, para isso precisamos saber qual é a coordenada X
e Y dos pontos 01 e 02. Calcule estas coordenadas.
