Desenho Geométrico

ARQ 03060 – Desenho Geométrico para Designers Aula 1

Prof. Anelise Hoffmann

1

1 Escalas

Escala é a razão ou relação de semelhança estabelecida entre a o desenho e o

objeto que ele representa, ou seja, entre a distância gráfica e a distância real.

Pode ser utilizada tanto para a representação de objetos muito grandes

(escala de redução) quanto de objetos muito pequenos (escala de ampliação).

Quando o desenho for representado do mesmo tamanho do objeto, a escala chama-

se Natural.

As escalas podem ser numéricas ou gráficas. As numéricas são representadas

por algarismos e as gráficas são representadas por meio de linhas divididas e

subdivididas em partes iguais.

1.1 Escalas Numéricas

É o número que informa quantas vezes o desenho é menor (ou maior) que o

objeto que ele representa.

Onde: d – distância gráfica

D – distância real

1/Q - escala

Exemplo: Um arquiteto deseja representar a localização de uma residência em

um terreno, cuja forma é retangular e mede 15 X 20 m. No papel cada 1m será

representado por 1 cm, portanto o terreno será representado por um retângulo de

15x20 cm. Se cada metro é representado no papel por 1 centímetro e, se cada

centímetro é a centésima parte do metro, temos então 1 cm por 100cm, ou ainda

escala 1:100. Portanto, o desenho do terreno é representado com uma redução de

100 vezes.

Escala de Redução: quando as medidas do desenho são menores que as

medidas reais do objeto (1/n ou 1:n). Por comodidade, foram padronizadas algumas

escalas de redução, como por exemplo: 1:100, 1:125, 1:20, 1:50, 1:75.

Escala de Ampliação: quando as medidas do desenho são maiores que as

medidas reais do objeto (n/1 ou n:1).

d = 1 D Q



2

1.2 Escalas Gráficas

As escalas gráficas são a representação gráfica das escalas numéricas. A

representação da escala no modo gráfico é mais comumente utilizada em cartografia.

Fonte: http://mapas.terra.com.br/Callejero/mapa_callejero.asp

O uso da escala gráfica permite, através de métodos fotográficos ou

copiadoras, quando necessária uma redução ou ampliação do objeto representado,

saber a escala em que o objeto está representado.

A Escala Gráfica nos permite realizar as transformações de dimensões gráficas

em dimensões reais sem efetuarmos cálculos. Para sua construção, entretanto,

torna-se necessário o emprego da escala numérica.

Em alguns casos utiliza-se também um segmento à esquerda da origem (zero)

denominada de Talão ou escala de fracionamento, este é dividido em sub-múltiplos

da unidade escolhida, graduada da direita para a esquerda (geralmente é utilizada

uma subdivisão decimal).

Fonte: http://trimbase.locaweb.com.br/doc/Escala.doc



3

Exercícios:

a) Uma embalagem que numa escala 1:10 mede 0,05 m de largura, que

dimensão terá na realidade?

b) Um painel luminoso mede 10 m de largura e está representado no papel por

0,25 m, em que escala foi representado?

c) A distância gráfica entre as cidades A e B em um mapa é 8 cm, e a distância

real é de 84 Km. Qual é a escala utilizada?

d) Deseja-se representar um outdoor com as dimensões de 8,8 m X 2,9 m, na

escala 1:50. Quais as dimensões gráficas?

e) Um totem foi representado em um desenho com 168 mm de altura, na escala

1:20. Qual a dimensão real deste totem? E se fosse representado na escala de

1:50 quanto mediria?

f) Um arquiteto deseja utilizar uma folha tamanho A4 (21 x 29.7 cm) para

representar a planta baixa de uma edificação cujas dimensões são 11 x 18 m,

qual a escala mínima que ele deve utilizar?



4

2 Traçado de retas paralelas, perpendiculares e oblíquas

A utilização correta dos esquadros em desenho geométrico é de fundamental

importância para a obtenção da precisão necessária na solução dos problemas.

Estes são utilizados para o traçado de linhas horizontais, verticais, e também

serve como apoio. O traçado de retas paralelas ou perpendiculares a uma

determinada direção pode ser realizado movendo-se um esquadro apoiado sobre o

outro, que permanece fixo.

Podem ser utilizados também para o traçado de linhas em ângulos

determinados (30º, 45º, 60º e outros).

Um recurso para o traçado de linhas com ângulos diferentes é a combinação

dos esquadros apoiados como nos exemplos.

Exercícios:

a) Traçar retas paralelas utilizando o jogo de esquadros.

b) Traçar retas perpendiculares às traçadas no item a.

c) Traçar retas paralelas formando um ângulo de 15º com as retas do item a.

30º

60º

45º

90º

15º 75º



5

2.1 Aplicações do traçado de paralelas

Uma das aplicações do traçado de paralelas é na divisão de um segmento

qualquer em partes iguais ou proporcionais (Teorema de Thales). A aplicação deste

teorema pode ser exemplificada pela divisão de cercas e determinação da altura dos

degraus de uma escada.

Exemplo: Dividir um segmento de reta AB em 5 partes iguais.

- traçar por uma das extremidades do segmento

uma reta inclinada, marcar nesta reta auxiliar

uma unidade qualquer e o número de partes que

se quer dividir o segmento AB (ex. 5 partes)

- unir o último ponto da reta auxiliar ao extremo

do segmento (B) e traçar retas paralelas a esta

dividindo o segmento AB.

A B

Exemplo: Dividir o segmento de reta AB em partes proporcionais a 2, 5, 1 e 3.

- traçar por uma das extremidades do

segmento uma reta inclinada, marcar

nesta reta auxiliar uma unidade

qualquer e o número de partes que se

quer dividir o segmento AB

(2+5+1+3=11)

- unir o último ponto da reta auxiliar ao

extremo do segmento (B) e traçar retas

paralelas a esta dividindo o segmento

AB nas divisões correspondentes.

A B

Exercícios:

a) Dividir o segmento AB de 7 cm em 9 partes iguais.

b) Dividir o segmento CD de 12 cm em partes proporcionais a 4, 6, 1 e 3.

2

5 1

3

III

1

5

2 3

I II

4

VI V



6

3 Lugares Geométricos Básicos

Lugar Geométrico (LG) é um conjunto de pontos do plano que possuem uma

propriedade em comum.

3.1 Circunferência

É o conjunto de pontos que

eqüidistam de um ponto do plano,

(distância é igual ao raio).

3.2 Mediatriz


eqüidistam de dois pontos do plano.

Possui a propriedade de ser

perpendicular ao segmento AB e passar

pelo Ponto Médio do segmento AB.

3.3 Bissetriz


eqüidistam de duas retas do plano,

dividindo o ângulo formado por elas em

2 partes iguais.

A PM B

A B

bissetriz r

r

R

O



7

3.4 Retas paralelas

É o conjunto de pontos eqüidistam

de uma reta do plano.

3.5 Arco capaz

É o conjunto de pontos que vêem

um dado segmento segundo um

determinado ângulo k.

A semi-circunferência é o lugar

geométrico dos pontos que vêem o

segmento AB (diâmetro) segundo um

ângulo reto (90º).

D D

A B

90º 90º



8

Exercícios:

a) Determinar os pontos que distam

simultaneamente 50 mm de A e 30

mm de B.

b) Dividir o segmento AB em 8

partes iguais.

- utilizar o traçado de mediatrizes

c) Traçar uma reta perpendicular a

um segmento AB que passe por um

ponto C fora do segmento.

C

A B

A B

A

B



9

d) Traçar uma reta perpendicular ao

segmento AB passando por um

ponto C deste mesmo segmento.

e) Traçar uma reta perpendicular ao

segmento AB passando pela

extremidade B.

f) Por um ponto P traçar uma reta

paralela a AB.

C A B

A B

P

A B



10

g) Desenhar o lugar geométrico dos

pontos que distam 20 mm da reta r.

h) Determinar a distância entre as

retas paralelas r e s.

- traçar uma reta perpendicular às

duas retas paralelas.

i) Determinar a bissetriz do ângulo

formado entre as retas r e s.

r

r

s

r

s



11

4 Circunferência

Elementos da Circunferência:

- raio

- corda

- diâmetro

- centro (O)

- arco (DE)

- flecha (FG)

- semi-circunferência

- secante (s)

- reta tangente (t)

- reta normal (n)

Exercícios:

a) Traçar uma circunferência que passa pelos pontos A, B e C.

- achar as mediatrizes de AB e BC.

- O encontro das mediatrizes será

o ponto O (centro da

circunferência)

A

B

C

s

t

O

E

D

G

F

n



12

b) Determinar o centro da circunferência.

c) Determinar o centro do arco do arco MN e seu ponto médio.

d) Determinar a distância do ponto P ao arco MN.

N

M

N

M

P



13

4.1 Tangência

Traçar uma tangente em um ponto dado da

circunferência.

- unir o centro da circunferência (O) ao ponto T (reta normal)

- traçar uma perpendicular à reta normal por T

Traçar circunferências

tangentes à outra

circunferência.

- unir o centro da circunferência

ao ponto de tangência com uma

reta

- marcar sobre ela o raio da

circunferência tangente a

primeira e traçar.

Retas tangentes à curva passando por

ponto fora dela.

- ligar O e P, determinar o Ponto médio (M).

- traçar uma circunferência auxiliar (com

centro em M e raio OM, determinar os

pontos de tangência T e T´ sobre a

circunferência.

t

T O

T

O’ O

T O’

O

M

P

O

T

T’



14

Unir duas circunferências por tangentes exteriores.

- traçar dentro da circunferência maior uma circunferência com raio (r – r’).

- encontrar o ponto médio (P) entre os centros das 2 circunferências.

- traçar com centro em P e raio PO uma circunferência, encontrando os pontos 1 e 2 na circunferência

de raio (r – r’).

- ligar os pontos 1 e 2 ao ponto O. Encontrar T e T´ sobre a circunferência de raio r através do

prolongamento do raio, traçar paralelas a estas 2 retas, determinando 3 e 4 na circunferência menor.

Unir duas circunferências por tangentes interiores.

- traçar, com centro coincidente ao da circunferência maior uma circunferência com raio (r + r’).

- encontrar o ponto médio (P) entre os centros das 2 circunferências.

- traçar com centro em P e raio PO uma circunferência, encontrando os pontos 1 e 2 na circunferência

de raio (r + r’).

- ligar os pontos 1 e 2 ao ponto O, traçar paralelas a estas 2 retas a partir de T e T’ determinados pelo

prolongamento do raio na circunferência maior (r), transferir com o compasso a medida de O1 e O2

para T e T’ determinando os pontos 3 e 4 na circunferência menor.

P O’

O

T

T’

r-r’

r'

2

1

4

3

P O’ O

T

T’

r+r’

r'

2

1

4

3



15

Exercícios:

a) Determinar a reta tangente à circunferência em T.

b) Determinar o ponto de tangência entre a reta t e a circunferência O.

c) Determinar as retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto P.

O

T

O

t

O

P



16

d) Traçar uma circunferência de raio 30 mm, tangente a circunferência em T.

e) Encontrar as tangentes exteriores às circunferências de r = 3,5 cm e r’ = 1 cm. Sabendo que

seus centros distam 7 cm.

f) Encontrar as tangentes interiores às circunferências de r = 3 cm e r’ = 1,5 cm. Sabendo que

seus centros distam 9 cm.

O

T



17

4.2 Retificação da Circunferência

A retificação de uma circunferência consiste em determinar o segmento de

reta cujo comprimento seja o da circunferência em questão. Isto pode ser

determinado a partir da relação constante entre a circunferência e seu diâmetro, pois

sabe-se que o comprimento da circunferência é aproximadamente o triplo mais um

sétimo do seu diâmetro (cujo valor aproximado é constante e igual a 3,1416).

Onde: C – comprimento da circunferência

r – raio da circunferência

D – diâmetro da circunferência

Processo de Arquimedes:

Processo de Terquem:

Exercícios:

a) Retificar a circunferência de raio 25 mm através do processo de Arquimedes e

de Terquem, e após, comparar os resultados.

1/7 D

1 2

3 4

5 6

7

1 D 1 D 1 D

C

O

M

E F G H

A

D

B

½(2? r)



18

4.3 Divisão da Circunferência

Divisão por 2 e múltiplos de 2:

- traçar dois diâmetros 12 e 34,

perpendiculares entre si.

- determinar a mediatriz de 14 e 13

encontrando 5 e 6, e 7 e 8.

Divisão por 3 e múltiplos de 3:

- traçar o diâmetro AB.

- com centro em B , traçar arco

com o mesmo raio da

circunferência, determinando os

pontos 1 e 2.

- para dividir a circunferência em 6

partes, repetir o mesmo processo

em A, com abertura igual ao raio,

determinando os pontos 3 e 4 .

Divisão em n partes iguais:

Método de Bion-Rinaldine

- traçar o diâmetro AB. Com centro

em A e B e raio = diâmetro, traçar

arcos, determinando O e O´.

- dividir o diâmetro AB em n partes

(ex. 7 partes).

- ligar O e O´aos pontos pares (2,

4, 6,...) ou ímpares (1, 3, 5,...).

1

2

3 4

5

8

7

6

A

B

1

4 3

2

A

B

1

O O’

2

3

4

5

6

7



19

Exercícios:

a) Dividir uma circunferência de raio = 30 mm em 6 e em 12 partes iguais.

b) Dividir uma circunferência de raio = 25 mm em 8 e em 16 partes iguais.

c) Dividir uma circunferência de raio = 30 mm em 9 partes iguais.

d) Dividir uma circunferência de raio = 35 mm em 13 partes iguais.

5 Ângulos

5.1 Construção de ângulos

Os ângulos são formados por duas semi-retas que tem a mesma origem. A

grandeza de um ângulo é representada pela abertura dos lados.

A origem dos ângulos corresponde à divisão da circunferência em 360 partes

iguais, sendo cada parte (1/360) chamada de grau, portanto a circunferência tem

360 graus.

O ângulo entre duas retas pode ser representado através de um raio e uma

corda (notação: ab (raio,corda)).

5.2 Classificação

Os ângulos podem ser classificados, conforme a abertura dos lados, como:

RETO – lados perpendiculares, mede 90º;

AGUDO – menor que o ângulo reto, mede menos de 90º;

RASO – mede 180º;

OBTUSO – maior que o reto e menor que o obtuso, mede entre 90º e 180º.

lado

lado abertura

vértice

bissetriz

V



20

5.3 Transporte de Ângulos

O processo de transporte de ângulos é o mesmo que para construir um ângulo

igual a um outro ângulo dado. Para tanto, basta utilizar uma abertura qualquer do

compasso, traçando um arco sobre o ângulo dado, em seguida, sobre a reta a que se

quer transportar o ângulo, desenha-se o mesmo arco, após este processo, basta

medir a corda do ângulo dado e transportá-la para o arco desenhado. Encontrado o

ponto, basta ligar ao vértice do ângulo.

5.4 Operações com ângulos

Os ângulos são quantidades que podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas

ou divididas graficamente.

ADIÇÃO: basta construir os ângulos, da mesma forma como visto

anteriormente, porém lado a lado, fazendo com que o vértice e um de seus lados

coincida com um dos lados do ângulo anterior.

SUBTRAÇÃO: basta construir os ângulos, da mesma forma como visto

anteriormente, porém de forma a que fiquem um dentro do outro, fazendo com que

o vértice e um de seus lados coincida com um dos lados do ângulo anterior.

MULTIPLICAÇÃO: os ângulos podem ser multiplicados por um número

graficamente, sabendo que a multiplicação é a uma soma de parcelas iguais,

portanto, basta construir os ângulos, lado a lado, repetidamente.

DIVISÃO: a divisão gráfica de um ângulo não é sempre possível, embora a

divisão aritmética seja. É possível dividir graficamente o ângulo em 2 partes, 4, 8...

de forma precisa, através da determinação de sua bissetriz, porém não é possível

dividi-lo em 3 partes (com exceção do ângulo de 90º).



21

Exercícios:

a) Desenhar o ângulo ab (40mm, 50mm) com vértice em A.

b) Desenhar o ângulo cd (30mm, 50mm), com vértice em B.

c) Construir um ângulo de 75º com compasso.

d) Transportar os ângulos gh e df.

A a

g

h

d

f



22

e) Com vértice em G resolver a operação: bc + cd – de - ef. Sendo: bc (30mm, 55mm); cd

(30mm, 30mm); de (30mm, 15mm); ef (30mm 40mm).

f) Dividir um ângulo reto em 3 partes iguais.

g) Traçar a bissetriz de um ângulo qualquer (dividir o ângulo em 2 partes iguais).

a

b A



23

h) Dividir o ângulo rs em 8 partes iguais.

i) Determinar a bissetriz do ângulo formado entre as retas r e s (vértice inacessível).

j) Traçar 8 circunferências de raio 0,5 cm igualmente espaçadas entre si e entre as

circunferências existentes.

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A B

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C

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O D

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C

O D

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2ª

mediatriz

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41

7.3 Polígonos de Cordas

Polígonos de cordas são polígonos inscritos em uma circunferência, um

polígono diz-se inscrito numa circunferência quando todos os seus vértices estão

sobre a circunferência. Neste caso a circunferência diz-se circunscrita ao polígono

e o seu centro tem o nome de circuncentro.

Os polígonos inscritos podem ser irregulares ou regulares1.

- nos polígonos inscritos todos os ângulos terão de ser inscritos;

- o centro da circunferência circunscrita a um polígono inscrito terá de

eqüidistar de seus vértices, encontrando-se, por isso, na interseção das mediatrizes

de seus lados.

Construção:

- dividir a circunferência no mesmo número de partes que o número de lados

do polígono;

- ligar os pontos encontrados consecutivamente;

- no caso de divisão da circunferência em arcos iguais, como a arcos iguais

correspondem cordas iguais, determina-se, então, o polígono regular inscrito a

circunferência.

7.4 Polígonos de Tangentes

Um polígono diz-se circunscrito a uma circunferência quando todos os seus

lados são tangentes à circunferência. Neste caso a circunferência diz-se inscrita

no polígono e o seu centro chama-se incentro.

1 Fonte: http://www.pro.ufjf.br/desgeo/poligonos/teoria/poligonos_regulares.htm#Polígonos%20Regulares (pesquisa em 6/04/2006)



42

Os polígonos circunscritos podem ser irregulares ou regulares2.

- nos polígonos circunscritos todos os ângulos terão de ser circunscritos;

- o centro da circunferência inscrita a um polígono circunscrito terá de

eqüidistar de todos os seus lados e por esta razão terá de ser o ponto comum de

todas as bissetrizes de seus ângulos.

Construção:

- dividir a circunferência no mesmo número de partes que o número de lados

do polígono;

- traçar os raios que passam pelos pontos de divisão (reta normal);

- traçar retas perpendiculares ao raio nos pontos de divisão da circunferência

(reta tangente), prolongando-as até que se encontrem nos pontos que serão os

vértices do polígono circunscrito;

- no caso de divisão da circunferência em arcos iguais, determina-se, então, o

polígono regular circunscrito a circunferência.

7.5 Polígonos Estrelados

Um polígono estrelado é formado por uma linha poligonal contínua e se obtém

quando, partindo de um ponto da divisão de uma circunferência em n partes, volta-

se ao mesmo ponto de partida após as uniões p a p, isto é, pulando p arcos.

Um polígono estrelado é classificado como entrecruzado, podendo ser

equiângulo ou equilátero se seus vértices forem definidos a partir da divisão da

circunferência em partes iguais.

2 Fonte: http://www.pro.ufjf.br/desgeo/poligonos/teoria/poligonos_regulares.htm#Polígonos%20Regulares (pesquisa em 6/04/2006)



43

O cálculo do número de polígonos estrelados diferentes que podem ser

definidos a partir da divisão da circunferência em um número (n) qualquer de partes,

pode ser realizado da seguinte forma:

- Seja n o número de partes iguais em que foi dividida a circunferência;

- Divide-se n por 2.

- Considera-se p todos os números inteiros menores que n/2, sendo p o

número arcos a serem tomados na circunferência para a construção do polígono

estrelado;

Por exemplo3: para n = 9: n/2 = 4,5 então p = 2, 3 e 4

p = 1

Indica que os pontos

da divisão são ligados

consecutivamente

(obtém-se um polígono

regular inscrito)

p = 2



tomando-se 2 arcos.

p = 3



tomando-se 3 arcos.

p = 4



tomando-se 4 arcos.

- OBS: Se o quociente de n/2 for inteiro, consideram-se os números inteiros

menores que ele. Ex: n = 10 n/2 = 5 então p = 2, 3 e 4.

Se a circunferência for dividida em partes iguais, o polígono estrelado formado

será regular, caso a divisão for aleatória o polígono estrelado formado será dito

irregular.

Polígono estrelado descontínuo: quando é constituído de dois ou mais

polígonos. Neste caso, o perímetro do polígono não pode ser totalmente percorrido

com um lápis, por exemplo, sem se levantá-lo do papel. Se partirmos de um ponto

qualquer, não poderemos voltar a este mesmo ponto depois de ter percorrido

3 http://www.pro.ufjf.br/desgeo/poligonos/teoria/poligonos_regulares.htm (pesquisa em 23/03/2006)



44

totalmente o perímetro poligonal (é sempre composto de polígonos independentes

estrelados).

Polígono estrelado contínuo: se, ao contrário, saindo de um ponto qualquer

conseguimos voltar a este mesmo ponto, completando o perímetro poligonal,

podemos escrever que o polígono é contínuo.

Exercícios:

a) Construir um pentágono regular inscrito em uma circunferência de r=25mm.

b) Construir um eneágono (9 lados) regular inscrito em uma circunferência de r=35mm .

c) Construir um heptágono (7 lados) regular circunscrito a uma circunferência de r= 30mm.

d) Construir um hexágono regular circunscrito em uma circunferência de r= 25mm.

e) Construir um polígono estrelado regular inscrito em uma circunferência de r=35mm sendo

n=8 e p=3.

f) Construir um polígono estrelado regular inscrito em uma circunferência de r=35mm sendo

n=11 e p=4.


Prof. Anelise Hoffmann 45

8 Curvas cônicas

São curvas determinadas a partir de interseções de um plano e de um cone de

base circular1.

- quando o plano intercepta o cone perpendicularmente ao seu eixo a

interseção será uma circunferência;

- quando o plano intercepta o cone paralelo à geratriz a interseção será uma

parábola;

- quando o plano intercepta o cone paralelo ao eixo do mesmo a interseção

será uma hipérbole;

- quando o plano intercepta o cone formando um ângulo qualquer com a

geratriz ou com o eixo do cone a interseção será uma elipse.

8.1 Elipse

É uma curva plana, fechada e simétrica. Seu eixo é a linha em relação a qual

os vários pontos da curva são simétricos dois a dois.

A elipse apresenta dois eixos ortogonais, um que passa pelos focos e é

chamado de eixo maior e outro que é perpendicular e passa pelo centro

denominado eixo menor.

1 TEIXEIRA, F.G, SILVA, R. P. Geometria Descritiva – Estudo de Superfícies. Porto Alegre, 2001.

Parábola Elipse Hipérbole



Raios vetores são os segmentos que ligam um ponto qualquer da curva aos

focos. A soma de dois raios vetores de determinado ponto da curva é constante, e

sempre igual ao eixo maior da elipse.

PF + PF´ = AA´

P – ponto qualquer da elipse

F – pontos fixos do plano (focos)

PF e PF´ - raios vetores

AA´ - eixo maior

FF´ - distância focal

AA´> FF´

FF´ pertence a mesma reta que AA´, e

possuem pontos médios coincidentes.

Círculos diretores são traçados tendo como centro os focos da elipse e raio

igual ao eixo maior.

Círculos principais são traçados com raio igual aos semi-eixos maior e menor

da elipse e podem também ser utilizados para o traçado da mesma2.

Traçado da Elipse através dos círculos principais:

- traçar uma diagonal, passando pelo centro da elipse;

- no ponto onde a diagonal corta o círculo principal

menor, traçar uma reta paralela ao eixo maior;

- no ponto onde a diagonal corta o círculo principal

maior, traçar uma reta paralela ao eixo menor;

- onde as retas (paralelas aos eixos) se interceptarem

tem-se os pontos da elipse.

OBS.: a cada diagonal traçada podem-se determinar,

por simetria, quatro pontos da elipse.

2 Fonte:http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/curv_con.htm

Círculos

principais

Círculos

diretores

Eixo maior

(AA´)

Eixo menor

(BB´)



Tangente por um ponto da elipse:

A bissetriz do ângulo formado pelos raios vetores é a reta normal à curva. A

reta tangente à curva em determinado ponto é a reta perpendicular à reta normal no

mesmo ponto.

Tangentes por um ponto fora da elipse:

Para determinar as retas tangentes à elipse por um ponto P externo:

- com raio = PF´ e centro em P, traçar um arco;

- com raio = AA´ e centro em F, traçar outro arco;

- determinando os pontos 1 e 2;

- determinar a mediatriz de F´1 (reta tangente - t)

- determinar a mediatriz de F´2 (reta tangente – t´)

- unir 1F e 2F , determinar T e T´ (pontos de tangência)

A F A´

t

F’

t´

P

1

2

T

T´

A F A´

t

F’

n P



Exercícios:

a) Desenhar a elipse cujos semi-diâmetros são OA = 5 cm e OB = 3,5 cm.

b) Desenhar a elipse cujos semi-diâmetros são AO = 4 cm e OB = 2,5 cm, utilizando os círculos

principais.

c) Desenhar a elipse definida pelo diâmetro AA’= 9 cm e pelo ponto P, sabendo que dista 4 cm

de A e 7 cm de A’.

d) Traçar uma reta tangente à elipse em T, e em P.

e) Traçar uma reta tangente à elipse em um ponto T situado a 15 mm do diâmetro maior, e em

um ponto Q situado a 10 mm do diâmetro menor.

T

P



8.2 Parábola

É uma curva plana, aberta infinita e de um só ramo. Cada um dos pontos da

parábola eqüidista de um ponto fixo do plano (foco) e de uma reta fixa, situada no

mesmo plano, denominada diretriz (d).

Eixo da parábola é a linha que contém o vértice e o foco da parábola.

A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo e passa por O. O segmento OF é

chamado Parâmetro da Curva onde V situa-se no ponto médio deste segmento.

Os raios vetores da parábola são os segmentos que ligam cada ponto da

mesma ao foco e a diretriz (formando ângulo reto com a mesma).

PF = Pd

P – ponto qualquer da parábola

F – ponto fixo do plano (foco)

PF e Pd - raios vetores

Tangente por um ponto da parábola:

A bissetriz do ângulo formado pelos raios vetores em determinado ponto da

parábola é a reta tangente a curva naquele ponto.

d

P

O

t

F V



Tangentes por um ponto fora da parábola:

- com raio = PF e centro em P, traçar um arco;

- determinando os pontos 1 e 2 onde o arco corta a diretriz;

- determinar a mediatriz de F1 (reta tangente - t)

- determinar a mediatriz de F2 (reta tangente – t´)

- unir 1 e 2 à diretriz (através de reta paralela ao eixo), determinar T e T´ (pontos de

tangência)

Exercícios:

a) Desenhar a parábola em que a distância do foco à diretriz mede 25 mm.

b) Desenhar a parábola de eixo e vértice V que passa por P.

V e

P

V F

eixo

t

d

t´

P

1

2

T

T´



c) Determinar graficamente o vértice e o eixo da parábola.

d) Representar a parábola definida pelas tangentes t e t’ e os respectivos pontos de tangência T

e T’.

e) Determinar as retas tangentes à parábola em T e em P.

T

T´

t

t´

V F

d

P

T



8.3 Hipérbole

É uma curva plana, aberta de ramos infinitos. A lei de geração da

hipérbole é determinada pela diferença entre as distâncias de um ponto

qualquer da hipérbole a dois pontos fixos situados no mesmo plano (focos da

hipérbole), que é constante e igual a distância AA’.

Eixo da hipérbole é a linha que contém os focos. Os raios vetores da

hipérbole são os segmentos que ligam cada ponto da mesma aos focos.

PF – PF´ = AA´

P – ponto qualquer da

hipérbole

F e F’ – pontos fixos do plano

(focos)

PF e PF´ - raios vetores

FF´ - distância focal

AA´< FF´

FF´ pertence a mesma reta

que AA´, e possuem pontos

médios coincidentes.

Tangente por um ponto da hipérbole:

A bissetriz do ângulo formado pelos raios vetores de um determinado

ponto da hipérbole é a reta tangente a curva naquele ponto (como na

representação acima).

F´ A F

t

A´

P



Tangentes por um ponto fora da hipérbole:

- com raio = PF´ e centro em P, traçar

um arco;

- com raio = AA´ e centro em F, traçar

outro arco;

- determinando os pontos 1 e 2;

- determinar a mediatriz de F´1 (reta

tangente - t)

- determinar a mediatriz de F´2 (reta

tangente – t´)

- unir 1F e 2F , determinar T e T´

(pontos de tangência)

Exercícios:

a) Desenhar a hipérbole de distância focal = 4 cm e AA’= 2,5 cm.

b) Desenhar a hipérbole cuja distância focal é 3 cm e a distância AA’ é 2

cm. Determinar também a reta tangente à hipérbole em um ponto

situado a 2,5 cm do eixo.

A´

F

eixo

t

A

t´

P

1

2

T

T´

F´



54

9 Curvas Espirais

9.1 Espirais Verdadeiras

É a curva que descreve o deslocamento de um ponto em torno de outro

(pólo) afastando-se dele, e obedecendo a uma determinada lei, que regule e

estabeleça uma relação de velocidade entre o movimento circular (em torno do

pólo) e retilíneo (se afastando do pólo). As espirais podem se desenvolver no

sentido horário (destrógira) ou no sentido anti-horário (levógira).

São espirais verdadeiras: Espiral de Arquimedes1, logarítmica e

hiperbólica.

Espiral de Arquimedes

- dividir o passo em um determinado número de partes

(mínimo 8) e traçar as circunferências concêntricas

correspondentes

- dividir a circunferência no mesmo número de partes.

- determinar os pontos por onde passa a espiral e traçar a

mão livre.

1 fonte: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/espirais/



55

Espiral logarítmica

Esta espiral aparece em

abundância na natureza, é uma forma

que rege o crescimento de muitos

organismos vivos como: as conchas de

caracóis vistas frontalmente formam

espirais logarítmicas2, teias de aranha, os

insetos se aproximam da luz segundo

uma espiral logarítmica, pois se

acostumam a voar com ângulo constante

em relação à fonte luminosa, os braços

dos ciclones tropicais, também formam

espirais logarítmicas, no reino vegetal

também existem exemplos como os

girassóis3, as margaridas, as pinhas, etc.

A diferença da espiral logarítmica

e da espiral de Arquimedes é que as

distâncias entre seus braços (passo) se

incrementam em progressão geométrica,

enquanto que na espiral de Arquimedes o

passo é constante.

Espiral logarítmica construída a partir

de retângulos obtidos pela proporção áurea4.

2 http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/logaritmica/espiral%20logaritmica.htm 3 http://bonsfluidos.abril.com.br/extra/a/beleza5.shtml 4 http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica



56

Espiral hiperbólica

Esta espiral se caracteriza por ser inversa a

de Arquimedes, e tende a aproximar-se do pólo,

sem nunca alcançá-lo5.

9.2 Espirais Falsas

São aquelas se aproximam das espirais verdadeiras. Tem como

elementos:

- amplitude – ângulo descrito pelo ponto em cada centro, calculado

dividindo-se 360º pelo número de centros da espiral;

- centros - uma espiral falsa pode ter 2 ou mais centros; (bicêntricas,

tricêntricas ou policêntricas);

- passo - é calculado multiplicando o lado do polígono de núcleo pelo

número de centros.

Construção da espiral bicêtrica:

Dados os centros A e B construir uma falsa espiral bicêntrica.

- sobre uma reta localizar o núcleo da espiral (A e B)

- com abertura AB e centro em A , traçar arco e encontrar 1 sobre a reta

- com abertura B1 e centro em B, traçar arco 1-2

- com abertura A2 e centro em A, traçar arco 2-3

Sentido Horário Sentido Anti-horário

5 http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates23/opciones/investigacion/espirales/espirales.htm

A B



57

Construção da espiral tricêntrica:

Sabendo-se que a amplitude da espiral é 120º, que o passo é 1,5 cm, determina-se os

centros (A , B e C – vértices de um triângulo eqüilátero de lado = 0,5 cm).

- prolongar os lados do triângulo ABC

- com abertura AC e centro em A , traçar arco C1

- com abertura B1 e centro em B, traçar arco 1-2

- com abertura C2 e centro em C, traçar arco 2-3

- com abertura A3 e centro em A, traçar arco 3-4

Construção da espiral de quatro centros irregular:

- Traçar um retângulo 1234 de modo que seus lados

sejam o dobro dos outros;

- Prolonga-se os lados deste retângulo;

- Centrar em 1, raio 13, traçar o arco 3A;

- Centrar em 2, raio 2A, traçar o arco AB;

- Centrar em 3, raio 3B, traçar o arco BC;

- Centrar em 4, raio 4C, traçar o arco CD;

- Centrar em 1, raio 1D, traçar o arco DE;

- Centrar em 2, raio 2E, traçar o arco EF e assim por

diante.

Exercícios

a) Construir uma espiral de amplitude 120º e passo 3cm, no sentido horário.

b) Construir uma espiral de amplitude 180º e passo 1 cm, no sentido anti-horário.

c) Construir uma espiral levógira (AH) com 4 centros (quadrado de L = 0.5 cm).

d) Construir uma espiral destrógira (H) com 6 centros (hexágono de L = 0.5 cm).

e) Construir uma espiral de Arquimedes de passo = 5 cm, no sentido horário

A

C

A

B

1

2

3

4B



58

10 Curvas cíclicas

São as curvas geradas a partir da trajetória de pontos relacionados à

circunferência. Estas curvas, também chamadas de curvas mecânicas, se

caracterizam por um processo de oscilação periódica entre distâncias iguais, e

repetem-se indefinidamente1.

10.1 Ciclóide

É uma curva plana, descrita por um

ponto do raio, ou prolongamento do raio de

uma circunferência, que rola sem escorregar,

sobre uma reta (diretriz).

Traçado da ciclóide:

- retificar a circunferência dada, e marcar seu comprimento sobre uma reta suporte;

(processo de Arquimedes ou de Terquem)

- divide-se a circunferência em um número n de partes iguais (ex. 8 partes);

- divide-se o segmento de reta (obtido da retificação da circunferência) no mesmo

número n de partes (ex. 8 partes);

- traçar retas paralelas à reta suporte, passando pelos pontos de divisão da

circunferência; traçar pelos pontos da divisão da reta suporte retas perpendiculares à mesma;

- onde estas retas cortarem a paralela que passa pelo centro da circunferência ficam

definidos os pontos a, b, c, d, e, f, e g;

- com a abertura do compasso igual ao raio da circunferência, centrar em cada um dos

pontos definidos anteriormente, determinando os pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I da curva

cíclica.

1 Fonte : http://www.educacionplastica.net/CurCic2.htm

d

reta suporte

c e g b

1 = A

2

f

B

3

6

5

4

7

8

a

F E

G

I

D

H

C



59

A curva ciclóide também pode ser:

- Encurtada: quando o ponto que gera a curva está dentro da

circunferência, e unido à ela no movimento.

- Alongada: quando o ponto que gera a curva se encontra fora da

circunferência, e unido à ela no movimento.

CICLÓIDE

CICLÓIDE ENCURTADA

CICLÓIDE ALONGADA

10.2 Epiciclóide

É uma curva plana, descrita por um ponto do raio, ou

prolongamento do raio de uma circunferência, que rola sem

escorregar, sobre o lado externo de uma outra

circunferência (diretriz).

A curva epiciclóide também pode ser alongada ou

encurtada.

EPICICLÓIDE EPICICLÓIDE ENCURTADA

EPICICLÓIDE ALONGADA



60

10.3 Hipociclóide

É uma curva plana, descrita por um ponto do raio,

ou prolongamento do raio de uma circunferência, que rola

sem escorregar, sobre o lado interno de uma outra

circunferência (diretriz).

A curva hipociclóide também pode ser alongada ou

encurtada.

HIPOCICLÓIDE HIPOCICLÓIDE ENCURTADA

HIPOCICLÓIDE ALONGADA

Exercícios:

a) Desenhar a ciclóide gerada a partir de um círculo de raio = 20mm.



61

11 Transformações Geométricas

São funções que associam a cada ponto do plano um outro ponto

também do plano através de determinada regra ou lei. Existem transformações

geométricas por isometria (translação, reflexão e rotação) e por homotetia.

11.1 Isometrias

São transformações geométricas que preservam as distâncias, o

paralelismo e os ângulos, portanto, a imagem de uma figura F, por uma

isometria, é uma figura F´ congruente a F, isto é, têm exatamente a mesma

forma e o mesmo tamanho.

Translação

A translação é determinada por um vetor (definido através de um

tamanho, sentido e direção), onde transforma toda reta em uma paralela, e

assim, a imagem de uma figura F, por translação, é uma figura F´ congruente a

F, conforme a figura a seguir.

Reflexão

A reflexão em torno da reta r (também chamada de simetria) é a

transformação que faz corresponder a cada ponto do plano, um ponto também

do plano, simétrico de A em relação à reta r. A figura a seguir mostra a simetria

da figura F em relação a reta r , a imagem da figura F por reflexão é uma figura

F´ congruente a F.

A

B

D

C

A´

B´

D´

C´

v



62

Rotação

A transformação geométrica por rotação se dá a partir de um centro O e

segundo um determinado ângulo α (medido no sentido anti-horário, ou

trigonométrico). A imagem de uma figura F, determinada por rotação, é uma

figura F´ , também congruente a F.

A

B

D

C

A´

B´

D´

C´

Reta r = eixo de simetria

A

B

D

C

A´

B´

D´

C´

O

α



63

11.2 Homotetia

Esta transformação geométrica não altera a forma das figuras, e sim seu

tamanho, gera, portanto figuras geometricamente semelhantes, e pode ser

utilizada para encontrar uma ampliação ou redução da figura, através de

relações entre escalas. As figuras homotéticas são figuras geradas a partir de

um centro de homotetia, de onde partem os raios homotéticos em direção aos

vértices da figura, onde a nova figura é obtida traçando-se lados homotéticos

paralelos.

A figura a seguir ilustra a homotetia inversa e a direta de uma figura

representada em determinada escala. Para representá-la em uma escala menor

ou maior, é necessário descobrir a relação entre as escalas ou razão de

homotetia (x/y), que determinará a redução ou a ampliação da figura, quando

esta relação é positiva a homotetia é dita direta, e, quando é negativa, a

homotetia é dita inversa.

O centro de homotetia pode estar em qualquer lugar do plano. Pode-se

utilizar um dos vértices da figura ou seu ponto central.

Escala nova = x = razão da homotetia

Escala do desenho y

Homotetia Inversa

(1:500)

Homotetia Direta

(1:500)

Centro de

Homotetia

Raios

Homotéticos

Figura

(1:300)



64

Exercícios:

a) Determinar a imagem da figura representada abaixo, por translação, com relação ao

vetor u.

b) Determinar a imagem da figura abaixo por simetria (ou reflexão) em relação à reta s.

u

s



65

c) Determinar a imagem da figura através de rotação em torno do ponto O, sob uma

amplitude de 45º e de 210º .

d) Sabendo que um triângulo equilátero de lado 3 cm está representado na escala 1:750,

representá-lo na escala 1:1500 e 1:250, utilizando homotetia.

e) Um quadrado representado na escala 1:500 possui lado = 4 cm, representá-lo nas

escalas de 1:200 e 1:400, utilizando homotetia.

f) Desenhar um triângulo eqüilátero cujos vértices coincidam com os de um hexágono

regular inscrito em uma circunferência de r = 15 mm. Reproduzir o conjunto, utilizando

homotetia ampliando seu tamanho em 2,5 vezes (utilizar o centro de homotetia

coincidindo com o centro da circunferência).


Prof. Anelise Hoffmann e Tânia Koltermann Silva

66

12 Criação da Forma – Geração e Proporção Áurea

Os critérios de proporção são estabelecidos de acordo com as sensações,

percepções e noção de harmonia e coerência, e estas nascem da proporção, do

equilíbrio e da semelhança. Em composições geométricas as razões numéricas e

as razões geométricas são utilizadas para se adquirir harmonia e ritmo.

Proporção é um princípio do desenho que envolve uma relação agradável

das partes entre si e de cada parte com o todo. Mais do que um fator estético,

a proporção deve ser entendida como um fator estrutural na disposição das

partes, fator da maior importância para a ordenação interior da forma e seu

sentido expressivo1.

Por exemplo, uma folha dividida ao meio através de uma linha,

apresenta espaços de completo equilíbrio que certamente não despertam

interesse. A relação dos espaços divididos é mais agradável e interessante

quando a divisão é feita matematicamente em áreas progressivamente maiores

ou menores, ou ainda, através da percepção da harmonia ou do contraste. Da

mesma forma, espaços divididos desigualmente em áreas grandes, médias e

pequenas criam proporções dinamicamente mais aceitáveis do que áreas

exatamente iguais2.

A proporcionalidade é um estado em que as correspondências que

existem entre as diversas partes de um conjunto são significativas porque são

necessárias, portanto nada pode ser acrescentado, retirado ou alterado sem

prejudicar o conjunto, esta coerência se conclui como sendo harmoniosa1.

Nos tempos de Pitágoras, foram estudadas dez proporções notáveis,

dentre elas a HARMÔNICA, a DIVINA ou ÁUREA e a MEDIA GEOMÉTRICA,

sendo estas encontradas nas figuras geométricas, nas notas musicais, na

geometria dos seres vivos (flores, organismos marinhos, e até nos seres

humanos), nas obras arquitetônicas, etc3.

1 OSTROWER, F., Universos da arte. Rio de Janeiro, Ed. Campus, 1983. 2 TAIHSUANAN, Desenho e organização bi e tridimensional da forma. Ed. UCG, Goiânia, 1997. 3 www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/curiosidades/index.htm



67

12.1 PROPORÇÃO ÁUREA

Na Grécia Antiga acreditava-se que o mundo e o cosmos era formado

apenas por 4 elementos: ar, água, terra e fogo. Os Pitagóricos, como eram

chamados os membros de uma sociedade secreta que se dedicava ao estudo de

matemática e filosofia, conheciam a existência de 4 sólidos perfeitos (tetraedro,

hexaedro, octaedro e icosaedro) e os associavam a cada um dos elementos da

natureza4.

Quando os Pitagóricos descobriram o quinto e último sólido geométrico

perfeito (o dodecaedro) deviam associá-lo a algum outro elemento do universo,

e, seguindo suas crenças, associaram-no aos Deuses4.

Entre os 5 sólidos geométricos conhecidos o

dodecaedro (constituído de pentágonos regulares) e o

icosaedro (constituído de triângulos eqüiláteros) são

aqueles que apresentam mais relações com o número

Phi.

A escolha do dodecaedro para representar a

ligação com os Deuses parece ter se dado por razões filosóficas e por uma

razão matemática, por ser constituído de pentágonos que se relacionam

fortemente com o número Phi.

A proporção áurea foi eleita pelos gregos como critério estético de

perfeição e harmonia. Ela representa, segundo os estudiosos, a mais agradável

proporção entre dois segmentos ou medidas. Esta proporção é equivalente a

1:1,618..., e por convenção é identificada por Phi.

Ela aparece nas belas imagens da fachada do Partenon, onde nota-se

como a arte e matemática se unem, assim como pode ser encontrada também

no pentagrama, símbolo da seita fundada por Pitágoras no séc. V a.C.5

4 http://www.expoente.com.br/professores/kalinke/projeto/aurea.htm 5 http://www.tvcultura.com.br/artematematica/prog06.html



68

12.2 NÚMERO DE OURO - Phi

Também chamado de razão áurea, seção áurea e segmento áureo. Esta

proporção é obtida pela relação entre a soma de duas grandezas (x e y), e uma

delas (a maior, que no caso é x) é igual a relação entre esta (x) e a outra (y)6.

E isto acontece somente quando a = 1,618..., que é o número de ouro Phi.

(x + y) / x = x / y

Então:

x/x + y/x = x/y

fazendo x/y = a, temos:

1 + 1/a = a (multiplicando por a), temos:

a + 1 = a2

a2 - a - 1 = 0

esta equação apresenta 2 raízes reais: a1 = 0,618...

a2 = 1,618...= Phi

Representação geométrica de Phi:

- dado o segmento AB de medida a, determinar seu segmento áureo:

- traçar por B um segmento perpendicular a AB de medida a/2, definindo

o ponto C;

- ligando AC, tem-se um triângulo retângulo;

- com a ponta seca do compasso em C e abertura BC, encontra-se D

sobre o segmento AC;

- o segmento AD encontrado é áureo de AB ( AB = AD* 1,618...)

6 http://www.mat.uel.br/geometrica

B A

y x

C

B A B A

C

B A

C D

a a/2

a



69

Aplicações do número Phi:

O número Phi aparece constantemente na Natureza como, por exemplo,

na forma de crescimento das plantas e dos demais seres vivos, nos chifres de

cordeiros selvagens, nas presas de elefantes, na distribuição das sementes em

plantas, nos caracóis, nas coníferas, nas escamas de peixes, nas proporções do

corpo humano, etc.

Um corpo perfeitamente harmonioso traz relações áureas,

na cabeça a linha dos olhos marca uma divisão áurea no

comprimento total da face, também a linha da boca é uma

proporção áurea da distância entre a base do nariz e a

extremidade do queixo. No tronco, o umbigo marca um

ponto áureo no comprimento do corpo7.

Um pentágono estrelado

sobreposto a uma azaléia,

mostra que a mesma

possui as proporções

áureas.

A figura ao lado ilustra as

proporções do corpo

humano8.

7 Fonte: Revista Superinteressante, ano 11, número 10, 1997.



70

Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram

a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci a

chamava: Divina Proporção e a usou em muitos de seus

trabalhos. Na Mona Lisa observa-se a proporção Áurea

em várias situações como, por exemplo, ao construir um

retângulo em torno de seu rosto, veremos que este

possui a proporção do retângulo Áureo. Podemos

também subdividir este retângulo usando a linha dos

olhos para traçar uma reta horizontal e ter de novo a

proporção Áurea. Podemos continuar a explorar tal proporção em várias outras

partes do corpo. Artistas têm usado a razão de ouro (medida de Ouro) em

trabalhos de pintura e arte8.

12.3 RETÂNGULO ÁUREO – RETANGULO DE OURO

O retângulo áureo é considerado a forma geométrica mais agradável à

vista onde a razão entre o lado maior e o lado menor é o número Phi. Nos

tempos atuais tem sido discutida sua a validez de sua relação com a beleza,

porém a incidência do retângulo áureo nas artes é maior do que se podia

esperar como resultado de uma simples coincidência9.

O Partenon de Atenas se encaixa quase que perfeitamente no retângulo áureo. Embora

seja dotado de várias proporções geometricamente equilibradas, provavelmente seus

construtores (no séc. V a.C.) tinham somente o conhecimento intuitivo da proporção

áurea. O retângulo áureo não aparece somente na fachada, a distribuição interna das

peças também obedece a proporção9.

8 http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm 9 www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/curiosidades/index.htm



71

Esta é uma residência no subúrbio de

Paris, idealizada por Le Corbusier, que

ilustra o uso consciente do retângulo

áureo, que aparece não somente no

desenho geral, mas também

verticalmente na área à esquerda das

escadas9.

Construção Geométrica do Retângulo Áureo:

- a construção do retângulo áureo inicia pelo quadrado de lado a;

- encontra-se o ponto M (ponto médio de AD);

- o ponto M é o centro de um círculo cujo raio é a diagonal MC;

- estende-se a linha de base AD até interceptar o arco, (ponto E);

- AE é então a base do retângulo.

O retângulo áureo tem uma propriedade em

particular: se retirarmos o quadrado que o originou, resta

o retângulo CDEF (na figura acima) que também possui as

proporções áureas. E assim sucessivamente, como mostra

a figura ao lado9.

A espiral logarítmica também pode ser

representada a partir de um retângulo áureo.

a

a

B

A D

C B

A D

C B

A D

C B

A D

C

M M

F

M E



72

Pentagrama:

É considerado o símbolo da

saúde e era a insígnia que identificava

os Pitagóricos. É um pentágono

regular onde cada um dos cinco

segmentos divide os outros em média

e extrema razão. O ponto de interseção de duas

diagonais divide cada uma delas na proporção áurea. No

triângulo vermelho, a base está em relação dourada com

os lados, e no triângulo azul os lados estão em relação

dourada com a medida da base.

O triângulo áureo é encontrado no pentagrama

místico, onde á possível desenhar uma espiral

logarítmica10.

Seja nas construções, nas observações da natureza ou na procura pelo

belo, o número Phi está sempre presente, ainda hoje é utilizado no

desenvolvimento de novos produtos, que comumente seguem a Razão Áurea

para que sejam visualmente atrativos.

10 www.mat.uel.br/geometrica

Documents

Desenho Geométrico