Unidade B - Cônicaspertenceamatematica.pbworks.com/w/file/fetch/93449978/B... · Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos 8,0 e 8,0 . Além disso determine

Matemática I – Cálculo I

Unidade B - Cônicas Profª Msc. Débora Bastos

IFRS – Campus Rio Grande FURG – UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE

22 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo

em Refrigeração e Climatização


: (x – x0)²+(y – y0)²=r²

12. Cônicas

São chamadas cônicas as curvas resultantes do corte de um cone duplo com

um plano. De acordo com a posição relativa do plano com a reta geratriz do

cone, o corte resulta numa curva diferente.

Se o plano for paralelo a base do cone, a curva gerada

pela intersecção é um círculo.

Se o plano corta o cone não paralelamente à base e

à geratriz a curva formada é uma elipse. Desde que

o plano não contenha o vértice do cone. Na verdade

o círculo é um caso especial de elipse.

Se o plano corta o cone perpendicularmente à base a

curva gerada é uma hipérbole. Desde

que o plano não contenha o vértice

do cone.

Se o plano corta o cone paralelamente à geratriz e

obliquamente à base do cone a curva formada é uma

parábola. Da mesma forma que os anteriores, o plano não

pode conter o vértice do cone.

13. Estudo do círculo.

Círculo é o lugar geométrico dos

pontos do plano que equidistam de um ponto

fixo. Este ponto fixo é chamado de centro

e qualquer segmento que liga o centro a um

ponto do círculo é o raio.

Para chegarmos a equação que

relaciona como a variável y depende de x,

suponhamos um ponto P (x,y) este ponto,

representando TODOS os pontos do círculo

. A distância deste ponto ao centro

C(x0,y0) é fixa. Sabemos que:

d(C,P) = r

r)²yy()²xx(00

Elevando os dois membros da equação ao quadrado

obtemos:

x0

y0




Considere C(x0,y0) e medida do raio r. Este tipo de equação do círculo é

chamada de reduzida.

Exemplos: 1. Determine a equação do círculo de centro em C(3,4) e medida

do raio 3.

2. Determine a equação do círculo, cujo gráfico é:

(a) (b)

3. Verifique se as equações abaixo representam círculos, em caso afirmativo

determine as coordenadas do centro e a medida do raio.

(a) : (x+2)²+(y-1)²=4 (b) : (x-1)² (y-3)²=9

(c) : (x-2)³+(y-1)³=16 (d) : (x+1)²+(y+5)²=7

(e) : (x-3)²+(y-1)²+25 = 0 (f) : (x-1)²+(y-3)²= 0




13.1 Equação Canônica do Círculo

Basta dividir a equação reduzida por r², pois o formato canônico de equações de

cônicas possuem o segundo membro igual a 1.

1r

)yy(

r

)xx(:

2

2

0

2

2

0

Com essa equação, identificamos o centro da cônica como o ponto C(a,b) e raio r.

Exemplos: Determine a equação canônica do círculo considerando que os

pontos A(3,4) e B(-5,8) formam um diâmetro para este círculo.

14. Elipse

Além de ser gerada pelo corte

do cone duplo por um plano

obliquo à base e à geratriz, a

elipse tem uma propriedade

geométrica importante.

Uma elipse de focos F1 e F2 é o conjunto dos pontos P(x,y)

do plano cuja soma das

distâncias a F1 e F2 é igual a

uma constante 2a positiva,

maior que a distância entre os

focos d(F1,F2)= 2c.

Os pontos A1 e A2 são os

vértices da elipse, o segmento

A1A2 é chamado de eixo focal e

d(A1,A2)=2a. Já o segmento B1B2

é chamado de eixo não focal e

d(B1,B2)=2b, em que a²=b²+c². O

centro da elipse é o ponto médio dos eixos focal e não focal.

Sob a condição 0 < c < a, podemos escrever:

d(F1, P) + d(F2, P) = 2a

A primeira forma que veremos considerará um caso particular em que os focos

estão no eixo ox equidistantes da origem. Assim suas coordenadas são

F1(c,0) e F2(c,0). Manipulando algebricamente esta equação, a fim de

eliminar as raízes quadradas e substituindo o fato de a² = b² + c², obtemos

a forma canônica da elipse:




1²b

²y

²a

²x:

Em que a = d(A1,O), semi-eixo focal e b = d(B1,O), semi-eixo não focal.

Observação: Sabemos da astronomia que a trajetória dos planetas em torno

do sol é elíptica. Em que o sol ocupa o lugar de um dos focos.

Exemplos: 1. Os vértices de uma elipse são os pontos (4,0) e (4,0) e seus

focos são os pontos (3,0) e (3,0). Determine a equação da elipse.

2. Uma elipse tem centro na origem e um de seus vértices sobre a reta

focal é (7,0). Se a elipse passa pelo ponto P

5,

3

14, determine sua

equação, seus vértices e seus focos.

Podemos fazer translações horizontais e verticais alterando os eixos focais

e não focais, consequentemente o centro da elipse deixa de ser a origem do

sistema cartesiano. Após estas translações podemos constatar que o eixo

focal continua horizontal, medindo 2a e o eixo não focal continua sendo




vertical, medindo 2b. A

distância entre os focos

continua sendo 2c e a relação

a² = b² + c² continua válida.

Já as coordenadas dos focos,

vértices focais e vértices não-

focais alteram totalmente.

Considere que as coordenadas do

centro da elipse, ponto médio

dos focos ou vértices, são

C(x0,y0).

Já que A1, A2, F1, F2 e C estão

alinhados horizontalmente,

todos estes pontos tem a mesma

ordenada (coordenada y).

Precisamos associar quem são as

abcissas destes pontos.

Analogamente B1, B2 e C estão alinhamos verticalmente, por isso possuem a

mesma abscissa (coordenada x). Falta-nos determinar as ordenadas destes

pontos.

Chegamos à seguinte conclusão:

Vértices focais: A1 (x0 – a, y0) e A2 (x0 + a, y0).

Vértices não-focais: B1 (x0, y0 – b) e B2 (x0, y0 + b).

Focos: F1 (x0 – c, y0) e F2 (x0 + c, y0).

Note que agora a equação canônica da elipse é:

Observe a semelhança com a equação canônica do círculo.

Exemplo: Os focos de uma elipse são os pontos (3,8) e (3,2) e o comprimento

do seu eixo não focal é 8. Determine a equação da elipse e seus vértices.

Além de translações podemos fazer rotações na elipse básica (centro na

origem do plano cartesiano). Rotações sob ângulos quaisquer são

complicadas, fogem do nosso interesse. Agora, rotação de 90º são simples

e interessantes. Com esta rotação o eixo focal torna-se vertical e o eixo

1²b

)²yy(

²a

)²xx(:

00




não focal torna-se horizontal. Isso inverte as posições entre x e y, ou

melhor, o eixo focal, cuja medida é 2a é paralelo agora ao eixo oy. O eixo

não focal, cuja medida é 2b é paralelo agora ao eixo ox. Com essa inversão,

lembrando que a > b, a equação da elipse fica:

Exemplo: Considere a elipse de centro no ponto (3,4), foco no ponto (3,1)

e eixo focal medindo 6. Determine as coordenadas dos vértices, do outro

foco e a equação da elipse.

15. Hipérbole

Além de ser o

corte do plano

perpendicular à

base do cone

duplo, a

Hipérbole tem

outra propriedade

geométrica.

Uma

hipérbole de

focos F1 e F2 é o

conjunto de todos

os pontos P(x,y)

do plano para os

quais o módulo da

diferença de suas

distâncias a F1 e

F2 é igual a uma

constante 2a

positiva, menor que a distância entre os focos é d(F1,F2)= 2c. Os pontos

A1 e A2 são os vértices da Hipérbole e A1A2 é chamado eixo focal. Por

definição, d(A1,A2)=2a. Os pontos B1 e B2 são chamados de vértices

imaginários, o segmento B1B2 de eixo imaginário e d(B1,B2)=2b, considerando:

c²= a² + b². A Hipérbole ainda possui um par de retas assíntotas, que são

retas em que a curva se aproxima, mas nunca intersecciona, são as retas r1

1²a

)²yy(

²b

)²xx(:

00




e r2 no gráfico. O centro da Hipérbole o ponto médio do eixo focal que

coincide com o ponto médio do eixo imaginário.

Considerando 0 < a < c:

: |d(F1,P) – d(F2,P)| = 2a

Para determinar a equação canônica da Hipérbole, consideraremos F1(c,0), F2(c,0), ou seja, pertencentes ao eixo ox, equidistantes à origem.

Manipulando algebricamente esta equação, a fim de eliminar as raízes

quadradas, o módulo e substituindo o fato de c² = a² + b², obtemos a forma

canônica da hipérbole, centrada na origem:

1²b

²y

²a

²x:

Observação: 1. Na forma canônica a equação das retas assíntotas são:

xa

by:r

1 e x

a

by:r

2 .

2. Chamamos de hipérbole equilátera quando o eixo focal tem a mesma medida

que o eixo imaginário.

3. A origem da hipérbole exemplifica acima é a origem do plano cartesiano.

Exemplos: 1. Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos

pontos ,08 e ,08 . Além disso determine os vértices e os vértices

imaginários.

2. Os vértices de uma hipérbole são os pontos (3,0) e (3,0) e um de seus

focos é o ponto (5,0). Obtenha a equação da hipérbole, o comprimento do

seu eixo focal e suas assíntotas.




Se fizermos translações na hipérbole, horizontais ou verticais, a definição

dos elementos

desta cônica não

se alteram. Por

exemplo, medida do

eixo focal é 2a,

medida do eixo

imaginário é 2b,

d(F1,F2) = 2c, c² =

a² + b², já que c

> a. O que mudará?

Coordenadas do

centro, vértices e

focos, assim como

a equação canônica

da hipérbole.

Considerando as coordenadas do centro C(x0,y0), tem-se:

Vértices focais: A1 (x0 – a, y0) e A2 (x0 + a, y0).

Vértices não-focais: B1 (x0, y0 – b) e B2 (x0, y0 + b).

Focos: F1 (x0 – c, y0) e F2 (x0 + c, y0).

Assíntotas: )xx(a

byy:r

001 e )xx(

a

byy:r

002 .

E finalmente a equação da hipérbole, nestas condições:

Exemplo: Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da

diferença das distâncias aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a 10. Determine

seus elementos principais.

1²b

)²yy(

²a

)²xx(:H

00




Também podemos pensar na rotação da hipérbole por um ângulo de 90º. Os

efeitos na hipérbole são semelhantes aos efeitos com a elipse. O eixo focal

torna-se paralelo ao eixo oy, o eixo imaginário torna-se paralelo ao eixo

ox. Observando que não há intersecção da hipérbole com o eixo imaginário

o termo que fica subtraindo, com o sinal negativo é o referente à variável

x, ou seja:

Exemplo: Dada a equação da hipérbole 116

)²1x(

9

)²4y(:H

, determine

os elementos principais desta cônica.

16. Parábola

Além de ser originada pelo corte do

cone duplo, quando o plano é paralelo a

geratriz do cone, a parábola possui uma

propriedade geométrica muito interessante

que faz com que inúmeras aplicações do seu

formato sejam utilizadas no nosso

cotidiano. Assim como a antena parabólica,

fornos solares, faróis de carro, etc.

A propriedade que caracteriza a

parábola e possibilita determinarmos a sua

equação é o fato de qualquer ponto P(x,y)

da parábola ser equidistante a F e a d,

em que F é um ponto fixo, chamado foco, e

d é uma reta fixa, chamada de reta

diretriz.

A reta que contém o foco F e é

perpendicular à reta diretriz d é chamada

reta focal. Podemos observar que a reta

1²b

)²xx(

²a

)²yy(:H

00




focal é a reta de simetria da parábola. Podemos visualizar este fato

dobrando o gráfico da parábola na reta focal, os lados da parábola se

sobreporão.

O ponto V, intersecção da parábola com a reta foca é chamado de

vértice da parábola. Também é o ponto da parábola mais próximo da reta

diretriz.

A característica da equidistância nos possibilita obter a equação

da parábola.

: d(P,F)= d(P,d)

Considerando a diretriz uma reta vertical, ou seja, d: x + p = 0 à esquerda

do foco, F(p,0), pertencente ao eixo ox e manipulando algebricamente a

igualdade acima, obtemos:

:

: y² = 4px

Observação: A propriedade que se refere a

ampla aplicabilidade do formato parabólico

é o fato de feixes perpendiculares à

diretriz da parábola serem refletidos pela

superfície parabólica e incidirem num único

ponto: o foco da parábola. Isso permite

converter sinais fracos de tv, por exemplo,

em um sinal de boa qualidade, colocando no

foco da antena parabólica um receptor

adequado.

Exemplos: 1. Determine a equação da parábola, cuja diretriz é horizontal

e o foco encontra-se no eixo oy, acima da diretriz.

2. Determine a equação da parábola P com vértice V na origem, cujo foco é

o ponto:




P: (y – y0)²= 4p(x-x0)

(a) F (3, 0).

(b) F (0,2).

Dando mais ênfase às parábolas,

cujas diretrizes são

verticais, podemos assim como

na elipse e na hipérbole,

observar como as translações

modificam o formato da equação

desta cônica. Consideramos

então que o vértice não é mais

a origem, nem o foco está

necessariamente no eixo ox.

Considerando que o vértice é o

ponto V(x0,y0) e a reta diretriz

é d: x – x0 p = 0, obtém-se a equação da parábola:

Na equação o sinal fica

positivo se a diretriz fica à

esquerda do foco e o sinal fica negativo se a diretriz fica à direita do

foco.

Exemplo: Determine a equação da parábola, cuja reta diretriz possui equação

x – 9 =0 e o vértice tem coordenadas V(4,1).




Se analogamente ao que fizemos com a elipse e a hipérbole estudarmos

a rotação das parábolas num ângulo de 90º teremos parábolas com a

concavidade para cima ou para baixo, dessa forma estas cônicas serão os

gráficos das funções quadráticas, às quais estudaremos mais profundamente

na unidade E.

17. Exercícios.

1- Qual a equação do círculo que tem centro em (1,5) e raio de medida 11 ?

2- Determine a equação da reta s que passa pelo centro do círculo de

equação : (x - 2)2 + (y - 2)2 = 2 e é paralela à reta de equação r: 3x +

y 1 = 0.

3- Considere o quadrado circunscrito ao círculo de equação :(x-3)2+(y-

2)2 = 1. Determine a medida da diagonal do quadrado.

4- Determine a posição relativa dos pontos A(1,1), B(3,9) e C(4,0) em

relação ao círculo : x2 +(y – 2)2= 16.

5- Determine a posição relativa entre a reta s e o círculo em cada caso:

(a) s: x – 3y – 2 = 0 e : (x+2)2 + (y – 1)2 = 1

(b) s: y = 2x + 1 e : x2 + (y-1)2 – 4 = 0.

(c) s: 4x + 3y + 4 = 0 e : (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9.

6- Qual é a equação do círculo de centro em C(4,4) e é tangente à reta

x + y – 12 = 0?

7- Obtenha as equações das retas tangentes a : (x + 5)2 + y2 = 16 e que

passam pela origem do plano cartesiano.

8- Dadas as equações de hipérboles abaixo, determine vértices, vértices

imaginários, focos e assíntotas:

(a) : 19

²y

16

²x




(b) : 36x² - 49y² = 1.

9- Obtenha a equação da parábola, cuja diretriz é d: x = 0 e foco F(4,0).

10- Obtenha as coordenadas do foco, F , vértice V e equação diretriz da

parábola de equação. : x² = 32y.

11- Dadas as equações de elipses abaixo, determine vértices, pontos que

definem o eixo não focal e focos:

(a) : 19

²y

16

²x

(b) : 36x² + 49y² = 1.

12- Determine a equação da elipse centrada na origem que possui a medida

do eixo focal 10 e medida do eixo não focal 6.

13- Determine a equação da hipérbole centrada na origem com um vértice em

(3,0) e um foco em (4,0).

14- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,-1), com foco no

ponto (2,-1) e que passa pelo ponto (2,1).

15- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,2), com um vértice

focal no ponto (3,2), cuja razão entre c e a, chamada de excentricidade

das cônicas, é ½.

16- Considere a elipse de centro no ponto (1,1), foco no ponto (1,3) e

excentricidade 3

5. Determine as coordenadas dos vértices, do outro foco

e a equação desta elipse.

17- Obtenha o lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da soma das

distâncias aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a 10.

18- Determine os elementos principais da cônica dada sua equação:

125

)²3y(

4

)²1x(

.

19- Determine a equação da hipérbole de centro no ponto (3,3), um vértice

no ponto (3,0) e assíntota de equação 1x3

2y .

20- Determine a equação da parábola que possui vértice no ponto V(-1,4) e

diretriz de equação x – 8 = 0.




21- Determine a equação da parábola que possui foco no ponto F(3,1) e reta

diretriz de equação x + 4 = 0.

18. Respostas dos exercícios item 12

1-

(a) fundamental: y – 2 = 1(x – 3), geral: 2x – 2y – 1 =0, reduzida: 2

1xy

(b) fundamental: )3x(31y , geral: 0133yx3 , reduzida:

133x3y

(c) fundamental: y – 5 = 0(x – 3), geral: y – 5 = 0, reduzida: y = 5

(d) fundamental: y – 4 = -1(x – 0), geral: x + y – 4 = 0, reduzida: y = -x + 4

(e) só existe geral: x – 3 = 0

2-

(a) Não possui restrição.

(b) A reta não pode ser vertical, pois a = tan e tan90º não existe.

(c) A reta não pode ser vertical, pelo mesmo motivo anterior, pelo coeficiente

angular e o coeficiente linear que é a intersecção da reta com o eixo oy não

existe.

3-

(a) Perpendiculares. P

13

7,

13

17

(b) Paralelas.

(c) Concorrentes. P

2,

5

11

(d) Coincidentes.

4- s: 7x – 3y = 0

5- 34

30

6- 5

12

7- m: y – 5 = 2(x – 1)

8- 4x-3y-5=0, 6x+y+3=0 e x+2y+4=0. H(0,1).

9- m: y – 5 = 2(x – 1)

10- r = 13

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