Tomeu Ferrer, La Relatividad Es Para Todos, Nivel A

8/2/2019 Tomeu Ferrer, La Relatividad Es Para Todos, Nivel A

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Sumario

La Relatividad Especial ....................................................................................... iCopyright ............................................................................................................. ii

Sumario ............................................................................................................... iiiIntroduccin a la serie ......................................................................................... 11. Introduccin histrica ..................................................................................... 22. Orgenes de la Relatividad Especial ............................................................... 73. La geometra del espacio-tiempo ................................................................... 104. Las transformaciones de Lorentz ................................................................... 125. Ejemplos numricos y grficos ...................................................................... 256. Inversin temporal y paradoja del garaje ....................................................... 417. La paradoja de los gemelos ............................................................................ 54

8. La famosa ecuacin de la energa: E=mc2

..................................................... 85Apndice 1: Complementos de geometra .......................................................... 90Apndice 2: Sobre las versiones de este documento .......................................... 99Apndice 3: Sobre las licencias "Creative Commons" ....................................... 100Apndice 4: Licencia Creative Commons .......................................................... 102


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Introduccin

Estructura de este texto

Este documento ha sido redactado en varias fases y revisado en muchas ocasiones a partir de laversin original de 2006, siempre con la intencin de obtener un texto fcil de leer para cualquier

persona interesada en la relatividad.Sabiendo que los clculos matemticos no son asequibles a todo el mundo, y tambin que

pueden ocultar los conceptos e intuiciones que hay detrs de ellos, este texto se ha redactado en tresniveles claramente separados.

El nivel A o introductorio intenta ser asequible a cualquiera. En este nivel se sintetizan las ideasintuitivas que sustentan la teora y las consecuencias ms importantes que conlleva. En este nivel nose utilizan frmulas ni deducciones matemticas, pero si se utilizan argumentaciones sencillas, confrecuencia apoyadas por grficos, que sustentan las ideas que se exponen. En general son lasmismas argumentaciones utilizadas por Einstein o por otros autores posteriores, pero desprovistosde sus clculos, con lo que nos privamos de lo bueno (la precisin) y lo malo (la pesadez) que da elclculo.

El nivel B o elemental es muy similar al que se expone en muchos otros textos de divulgacin, ycomo estos intenta profundizar en la Relatividad Especial (a partir de ahora abreviaremos R.E.)tanto como permita el clculo elemental (el que se estudia en secundaria). Al no necesitar ningunamatemtica complicada resulta asequible a cualquier persona que haya superado las matemticas de

secundaria. En particular se ha redactado con la intencin de ser til a los estudiantes debachillerato (la relatividad es un tema del programa de fsica de bachillerato). Sin embargo el lectorque se interesa por primera vez en estos temas no debera descartar la posibilidad de comenzar porleer el texto de nivel A a modo de introduccin.

El nivel C o de profundizacin utiliza el lenguaje matemtico como herramienta fundamentalpara exponer todos los resultados importantes de la teora. Es un nivel que exige soltura con lasmatemticas (a nivel de bachillerato), aunque sigue basndose en argumentaciones sencillas y enmuchos grficos. Tal como decamos en el prrafo anterior, no hay que descartar el comenzar por elnivel A o por el nivel B ya que las argumentaciones matemticas (a veces largas) nos pueden hacer

perder de vista las ideas intuitivas que hay detrs. A este nivel hace falta una buena dosis depaciencia e inters pero el resultado vale la pena.


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A.1. Introduccin histrica (nivel A).

A.1.1. Quin fue Einstein?

Einstein se convirti en el paradigma de genio no slo por su inteligencia, sino porque ademsvivi una poca agitada (las dos guerras mundiales y la posguerra) en la que la ciencia y la tcnica

empezaron a ser valoradas por el pblico y por la prensa.No es muy frecuente que un cientfico sea reconocido en su poca como genio y ello por varios

motivos. El primero y ms importante es que tienen ideas revolucionarias, en el sentido de querompen con esquemas fuertemente establecidos. Adems con frecuencia son arrogantes y

provocadores y en muchos casos no slo no evitan sino que buscan los enfrentamientos.Einstein no se libr de las envidias y resentimientos, pero tuvo ms suerte que otros, porque la

prensa ensalz sus cualidades ms positivas y nunca se ceb en algunos importantes defectoshumanos (no fue muy buen padre ni muy buen marido).

Einstein public su teora de la Relatividad Especial en 1905 (tena 26 aos) junto con otros dosartculos de aspecto ms clsico pero no menos importantes.

Su artculo sobre el movimiento Browniano fue bien aceptado porque adems de explicar unfenmeno que desconcertaba a sus contemporneos, reforzaba la teora atmica, que en aquellostiempos tena serios detractores.

En su segundo artculo propona una explicacin del efecto fotoelctrico basada en el conceptode que la energa luminosa est cuantificada. Este artculo reforz la idea de que la radiacin denaturaleza ondulatoria presenta tambin propiedades corpusculares (propiedades de

partculas). Este principio de dualidad fue uno de los pilares para el desarrollo de la mecnicacuntica.

Fig. 1.1 - Einstein en Berna en 1905 (The Miracle Year)

En su tercer artculo expona la Relatividad Especial, sobre la que hablaremos extensamente enlas pginas siguientes. Era un artculo demasiado revolucionario para su poca porque, como el delefecto fotoelctrico, daba fuerza de realidad a conceptos que en su tiempo apenas se aceptabancomo trucos de clculo. Adems en l Einstein no haca referencia a los resultados obtenidos porotros (Lorentz, Poincar, ...) y esto pareca un desprecio y una actitud arrogante que no sera bienaceptada por algunos de sus contemporneos.

De los tres artculos el ms cuestionado fue sin duda el de la Relatividad, ya que implicabarenunciar al concepto de espacio y tiempo absolutos sobre los que se haba edificado toda lafsica y la ciencia hasta entonces. A muchos cientficos les pareca un precio excesivo para resolver

el problema generado con el experimento de Michelson y Morley (del que tambin hablaremos msadelante).


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Quizs el hecho de que Einstein no estaba trabajando en la universidad (trabajaba en la oficinade patentes de Berna, Suiza) cuando public sus tres artculos contribuy a evitarle muchas crticas.

La Teora de la Relatividad de su primera publicacin fue recibida con mucho escepticismo porparte de la comunidad cientfica, pero no con excesiva inquietud, ya que sus aportaciones eran muytericas, aportando pocas consecuencias comprobables experimentalmente.

Sin embargo a finales del mismo ao 1905 complet su teora con una segunda parte en la que

introduca su famosa ecuacin de la energa relativista.

2cmE= (1)

Einstein propona que esta ecuacin estableca para la energa (por ejemplo la luz o las ondas deradio) propiedades similares a la masa. Una posible consecuencia es que la luz sera desviada por lagravedad de los astros, en contra de lo que se crea hasta entonces.

Sin embargo la ecuacin encerraba tambin la posibilidad de que la masa se pudiera transformaren energa, aunque nadie saba entonces como podra hacerse tal cosa.

En 1908 Einstein consigui una plaza de profesor en la universidad de Berna y en los aos

siguientes se mud a Praga y despus a Berln.Fueron aos de intenso trabajo y de problemas conyugales, pero podramos decir que Einsteinsegua siendo un perfecto desconocido para el pblico. Su teora de la Relatividad Especial tena

poca difusin y no era muy aceptada.

A.1.2. La fama alcanza a Einstein

En 1915 (antes de que su Relatividad Especial fuera aceptada o hubiera recibido algunaconfirmacin experimental importante) Einstein volvi a sorprender al mundo con su teora de laRelatividad General, expuesta primero en unas conferencias y completada a lo largo de variosartculos publicados entre 1915 y 1916.

Aunque muy pocos entendieron la Relatividad General cuando se public, los pocos que lohicieron realizaron una importante labor de desarrollo y difusin de esta nueva teora.

Fig. 1.2 - Los fsicos ms importantes de principios de siglo XX reunidos en Bruselas en 1927


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En lneas generales podramos decir que esta teora extiende las ideas de la Relatividad Especiala entornos acelerados, y en particular a los campos gravitatorios. Einstein descubri que la gravedadse puede interpretar como una deformacin de la geometra del espacio y desarroll esta ideautilizando una matemtica bastante complicada llamada geometra diferencial.

En esta segunda teora las ecuaciones eran complicadas y l mismo pensaba que nunca sepodran resolver. Sin embargo dentro del mismo ao de 1916 Karl Schwarzschild encontr una

solucin exacta y bastante sencilla que anim a la comunidad cientfica a tomar en serio aquellanueva teora.

Einstein aplic la Relatividad General (a partir de ahora abreviaremos R.G.) a explicar porqu larbita de Mercurio gira un poco ms de lo debido en cada revolucin, acumulando con los aos una

precesin o avance del perihelio de unos 43 por siglo (un poco ms de una centsima de grado), locual ya se consider un logro extraordinario, aunque muchos siguieron pensando que era a costa deuna complejidad excesiva.

Sin embargo fue la prediccin de que la gravedad de los astros curvara la trayectoria de laluz la que le dara fama, ya que pudo ser comprobada experimentalmente por Sir Arthur Eddingtonen 1918, con ocasin de un eclipse de Sol.

Dada la complejidad de la Relatividad General en sus primeras formas, esta comprobacinexperimental no convenci a la comunidad cientfica, aunque si llam la atencin de la prensa y digran popularidad a Einstein.

El premio Nobel que se le concedi en

1921 era un reconocimiento a las grandesaportaciones cientficas que haba hecho en lasdos primeras dcadas del siglo XX, pero debidoa la gran controversia que aun generaba suteora de la Relatividad, se lo concedieron porsu artculo de 1905 sobre el efectofotoelctrico.

Despus de la primera guerra el crecientenacionalismo alemn hizo que sus orgenes

judos le generasen muchos enemigos(cientficos y no cientficos) en Alemania, conlo que termin por emigrar a Estados Unidos en1933.

Para entonces el prestigio del genio ya erauniversal y muchos cientficos iban aceptandola Relatividad e incluso trabajando seriamenteen su desarrollo y aplicaciones.

El espaldarazo definitivo de sus teoras

llegara poco antes de la segunda guerramundial, cuando a lo largo de la dcada de1930 Fermi descubri las reacciones nuclearesusando uranio enriquecido. Fermi lleg acontrolar estas reacciones en la Universidad deChicago en 1942, confirmando que la masa se

Fig. 1.3 - Einstein, premio Nobel en 1921

puede transformar en energa, tal como sugeramos al comentar la famosa ecuacin de Einstein(ecuacin 1).

Ante el mundo la prueba definitiva lleg al final de la segunda guerra mundial con la bombaatmica.

Aunque Einstein siempre fue un abanderado del pacifismo, en 1939 firm un documento dirigidoal presidente de Estados Unidos en el que, ante la posibilidad de que los nazis desarrollasen una


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bomba atmica (tenan la tecnologa y los conocimientos necesarios), propona la conveniencia deque Estados Unidos tambin la desarrollasen.

Estados Unidos desarrollaron la bomba de fisin y la probaron en julio de 1945 en Alamogordo,utilizndola poco despus sobre Hiroshima (6 de agosto) y Nagasaki (9 de agosto).

A.1.3. La Relatividad Especial y la ciencia en la actualidad.

Einstein contribuy con sus artculos de 1905 al nacimiento de dos teoras importantes quemarcaron el siglo XX: la relatividad especial y la mecnica cuntica.

Estas dos teoras aportaron una revolucin intelectual tanto dentro de la ciencia como fuera deella, dejando profundas huellas en la evolucin de la sociedad y en la manera en que el ser humanose ve hoy a si mismo y a su lugar en el mundo (filosofa, antropologa, ...).

A finales del siglo XX estas dos teoras se consideraban ya superadas (en el mismo sentido enque lo est la mecnica de Newton), es decir, nadie esperaba obtener ninguna nueva consecuenciarevolucionaria de ellas y por tanto se consideraban cerradas.

Los rudimentos de ambas teoras se ensean hoy en el bachillerato (est en el programa oficial yse considera adecuado a este nivel) y se suelen incluir exposiciones elementales en la mayora de

carreras de ciencias e ingeniera.Estas son las buenas noticias, pero tambin las hay malas, ya que muchos de estos avances son

slo humo, ya que ninguna de estas dos especialidades se suelen entender ni siquierasuperficialmente.

En secundaria se suelen saltar estos temas y en muchas universidades se ven rpido y mal, comomucho dando importancia a los resultados, pero saltndose los conceptos necesarios paraentenderlas.

En consecuencia la mayora de estudiantes universitarios (incluyendo a los futuros profesoresque las ensearan en secundaria y en los cursos introductorios de universidad) que han estudiado laR.E. en su carrera creen que la teora es slo un modelo y que no refleja la realidad. Es decir, les

han enseado que deben aceptar sus consecuencias pero no creen que espacio y tiempo seanrelativos.Incluso entre los especialistas en estas materias est de moda hablar de las teoras como

modelos que caducarn y sern superados en breve, lo cual es en parte cierto, pero no en el fondo,pues los conceptos bsicos y claramente comprobados permanecern, como permanece la mecnicade Newton a pesar de que su teora se considere superada.

As a principios del siglo XXI nos encontramos con un importante divorcio entre la ciencia y lacalle que habra que evitar. Muchas veces el pblico ha visto la ciencia (y especialmente laRelatividad y la Mecnica Cuntica) como algo distante y difcil de entender, y ahora esto se suele

juntar con una imagen de inseguridad y precariedad que hace desconfiar al pblico tanto de laciencia como de los cientficos.

En cierta manera podramos decir que la ciencia se est politizando en el peor sentido de lapalabra. Las prioridades se establecen en funcin de personas e intereses y las grandes decisiones(investigacin gentica, cambio climtico, grandes aceleradores, estacin espacial, ...) se toman decada vez de forma ms irracional y con menor conocimiento de causa, con todos los peligros queesto implica.

Sin duda la gran asignatura pendiente para los cientficos del siglo XXI es la divulgacin, hacerllegar este conocimiento a las grandes masas, es decir, democratizar la ciencia.


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A.1.4. La Relatividad General en la actualidad.

Aunque el tema de este texto es la R.E., queremos cerrar esta introduccin histrica con unamirada a la R.G.

Einstein muri en 1955 y aunque para el pblico era la viva imagen del genio, su teora de laRelatividad General apenas haba despegado (publicada en 1915, tena ya 40 aos), lo cual es

prueba clara de su complejidad matemtica.

Pareca que todas las consecuencias importantes de la Relatividad se encontraban ya en laRelatividad Especial, entonces porqu complicarse la vida con la Relatividad General?

Lo cierto es que las dificultades de clculo propias de la R.G. hacan que fuera difcil obtenerresultados aplicables al laboratorio o a nuestro entorno inmediato, y tuvimos que esperar aldesarrollo de los ordenadores (que tambin despegaron con la segunda guerra mundial) para ver undesarrollo importante de la R.G.

Fig. 1.4 - Einstein en Estados Unidos en 1948

De hecho el fenmeno ms prximo a nosotros en el que la R.G. juega un papel importante hoyen da son los relojes en rbita. Veremos que por el hecho de ir a velocidades importantes su tiempo

va ms lento, tal como predeca la R.E., pero por el hecho de encontrarse a gran altura y por tantosometido a una gravedad menor, su tiempo va un poco ms rpido que lo previsto por la R.E.As pues, cuando se necesita gran exactitud (como por ejemplo en los satlites GPS), slo la

R.G. permite calcular con suficiente precisin las correcciones a aplicar a estos relojes.La mayora de las dems aplicaciones de la R.G. estn fuera de nuestro planeta, en el estudio de

las estrellas, las galaxias, los agujeros negros y la evolucin del Universo. Sin duda la cosmologaactual no existira sin la R.G., pero no ha contribuido demasiado a popularizar esta teora, sino queha reforzado la sensacin de que slo es asequible a los especialistas.

Es seguro que la R.G. algn da ser accesible a mucha ms gente, pero seguir siendoinaccesible mientras no se hagan esfuerzos importantes para que deje de serlo.

En las pginas siguientes intentaremos aportar nuestro grano de arena a esta labor divulgativa.


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A.2. Orgenes de la Relatividad Especial (nivel A)

A.2.1. Qu es esto de la relatividad?

Aunque la Relatividad es una nueva manera de ver la fsica (es una revisin de la mecnica deNewton), la manera ms sencilla de entenderla es la que propuso Minkowski, quien puso el acento

en la geometra que propone para el espacio-tiempo.En efecto, podramos decir que la Relatividad es, bsicamente, una nueva visin del espacio y

del tiempo. El cambio que conlleva este nuevo enfoque tiene un efecto importante sobre la fsica deNewton, especialmente en la cinemtica (estudio del movimiento) y en la gravitacin.

En la Relatividad Especial veremos que el espacio y el tiempo se mezclan de tal manera que noes posible distinguir claramente uno del otro.

Pero antes de profundizar en el concepto de espacio-tiempo conviene que revisemos losproblemas que dieron origen a esta teora.

A.2.2. El experimento de Michelson y Morley

En la poca en que Newton public su mecnica (Principia, 1687) la construccin de aparatospara la experimentacin, de instrumentos de medida y el clculo mismo estaban sometidos a seriaslimitaciones debido al escaso desarrollo tecnolgico, pero en los dos siglos siguientes la precisinde los experimentos permiti detectar desviaciones importantes de la teora, como la invarianza dela velocidad de la luz.

En 1887 Michelson y Morley realizaron un famoso experimento para dilucidar si exista el ter(un medio imaginario que se supona que llenaba el espacio vaco y que debera servir de medio detransmisin para las ondas electromagnticas) y que poda ayudar a aclarar las propiedades quetena este medio.

Fig. 2.1 - Interfermetro de Michelson y Morley (1887)

El experimento result muy frustrante para Michelson, quien lo repiti varias veces ms a lolargo de su vida. l siempre pens que deba haber algn error, pues el resultado no le parecarazonable.

Sin embargo los resultados de su primer interfermetro ya fueron concluyentes pues elinstrumento que cre era muy preciso. Segn el experimento no haba diferencia de velocidad parala luz en ninguna direccin, aunque se supona que el movimiento de la Tierra debera influiraumentando la velocidad en un sentido y disminuyndola en otro.

Parece ser que Einstein no dio importancia a este experimento ni conoca los estudios hechos porLorentz y Pointcar a raz de estos experimentos.


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Einstein, por el contrario, se bas en los trabajos de Maxwell (1873) en electricidad ymagnetismo, trabajos en los que quedaba patente que las ondas electromagnticas se desplazaban ala velocidad de la luz.

Segn las ecuaciones de Maxwell la luz debera ir a una velocidad fija de unos 300 000 km/s,pero segn la mecnica de Newton, si en un sistema un rayo de luz va a esa velocidad, en otrosistema que se mueva respecto al primero, debera observarse otra velocidad diferente.

La mayora de cientficos de finales del siglo XIX no vieron ah ningn dilema, sino una pruebade que deba existir un sistema de referencia privilegiado, un sistema en reposo absoluto en el quese cumpliran las leyes de Maxwell, y para materializarlo inventaron el ter.

La velocidad de la luz podra usarse para detectar el movimiento de cualquier otro cuerporespecto al sistema de referencia absoluto.

Sin embargo el ter debera tener propiedades contradictorias, y los intentos para detectarloresultaron infructuosos. El famoso experimento de Michelson y Morley de 1887 intent detectardiferencias en la velocidad de la luz cuando se mide en la direccin del movimiento de la Tierra ycuando se mide en la direccin transversal a ese movimiento.

El fracaso de estos experimentos y de todos los posteriores demostraron que no existe tal ter ni

tal sistema privilegiado, de manera que tras los grandes esfuerzos de finales del siglo XIX por hacerencajar esos resultados con la mecnica de Newton (que se consideraba modelo de perfeccin), alcomenzar el siglo XX encontramos varias propuestas para revisar la mecnica de Newton.

A.2.3. La propuesta de Einstein, la Relatividad Especial.

Einstein propuso en 1905 una revisin del sistema de coordenadas cartesiano usado en lamecnica (o sea una nueva geometra), incidiendo especialmente en el principio de relatividad deGalileo, que corrige con un principio de relatividad nuevo, en la misma lnea que el de Galileo perocon un carcter ms universal.

Aunque Einstein no se bas en los resultados experimentales de Michelson y Morley de 1887

sino en los resultados tericos de Maxwell (1865), ambas cosas conducan a la constatacin de quela velocidad de la luz es la misma en cualquier sistema de referencia fijo o en movimientouniforme. Para Einstein, que admiraba a Maxwell era un gran logro de la ciencia terica, mientrasque para la mayora de sus contemporneos (y la mayora de los fsicos actuales) el resultadoexperimental resultaba ms convincente.

Aunque pueda parecer que estas motivaciones no son relevantes, para Einstein s lo eran. La feen la investigacin terica marc su carcter como cientfico y fue su punto de apoyo en losmomentos ms duros, pero adems marcaron su imagen pblica y en cierta manera han configuradola imagen del genio que encontramos hoy en da en la calle.

Todas sus aportaciones a la fsica fueron tericas, y aunque ocasionalmente busc laconfirmacin experimental que convenciera a sus contemporneos, nunca bas sus argumentaciones

en experimentos reales. Sus experimentos mentales solan ser argumentaciones sencillas basadasen idealizaciones de la realidad que consideraba tanto o ms convincentes que los experimentosreales. Su fe en la razn abstracta le hace ms cercano a los filsofos y matemticos de la antiguaGrecia (Euclides del 300 aC, Platn del 400 aC) o a los matemticos del siglo XIX y principios delXX (Gaus, Peano, Hilbert, Cantor, Gdel, ...) que a los fsicos de su poca.

Su teora de la Relatividad arranca con una propuesta muy sencilla: generalizar el principio derelatividad de Galileo a todas las situaciones imaginables. De ah se deduce la hiptesis de laconstancia de la velocidad de la luz en cualquier sistema, y a partir de aqu se dedica a estudiarlas consecuencias que de este principio se deducen.

Estas ideas no eran totalmente nuevas, ya que en su poca la naturaleza de la luz y su forma depropagarse era un problema candente, hasta el punto de que su transformacin de coordenadas se


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conoce como transformacin de Lorentz. Lo verdaderamente nuevo es que Einstein acepta comoreales los resultados aparentemente paradjicos que obtiene y no se asusta ante ellos. Al analizarlosen profundidad pone en evidencia que las contradicciones slo lo son en apariencia y obtiene unanueva mecnica que funciona correctamente y que adems aporta novedades importantes. Su granconfianza en la fsica terica (adems de su indudable inteligencia y su capacidad de trabajo) lehace destacar entre las mentes de su tiempo.

Fig. 2.2 - Einstein con Lorentz en 1921

Para Einstein una de las consecuencias (de la R.E.) de mayor trascendencia cientfica fuecomprobar que los campos elctrico y magntico no eran sino diferentes aspectos de una sola fuerza

que desde entonces se llama electromagntica.Otra consecuencia sorprendente y de gran trascendencia (aunque no comprendida hasta mucho

ms tarde) fue el descubrimiento de que la materia se poda transformar en energa (E = m c 2) yviceversa.

Fig. 2.3 - La famosa ecuacin de Einstein.

Por el camino se vio obligado a renunciar a los conceptos de espacio y tiempo absolutos queusaba Newton. ste es el cambio conceptual ms importante, ya que por lo dems la Teora de laRelatividad Especial utiliza las mismas herramientas que la mecnica clsica.


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A.3. La geometra del espacio-tiempo (nivel A).

A.3.1. La hiptesis de la constancia de la velocidad de la luz.

Einstein elabor su teora de la Relatividad Especial como una correccin a la mecnicaNewtoniana, pero no pretende destruirla ni sustituirla, sino que se apoya en ella y utiliza los mismos

conceptos que aquella.Segn el principio de relatividad de Galileo (en el que se basa la mecnica de Newton), no es

posible detectar el movimiento de los sistemas de referencia inerciales pues en todos ellos las leyesde la mecnica son iguales.

Einstein propuso que las leyes del electromagnetismo tampoco deberan permitir detectar elmovimiento de los sistemas de referencia inerciales y con este principio de relatividad ampliado,conocido como principio de relatividad de Einstein, y respetando los dems principios de lamecnica de Newton logr desarrollar una nueva mecnica en la que las leyes de Maxwellencajaban perfectamente.

Principio de Relatividad (especial):

En cualquier sistema inercial (que mantiene su velocidad constante) se cumplen las

mismas leyes de la fsica, incluidas las leyes del electromagnetismo.

Consecuencia:

Ningn experimento puede servir para distinguir un sistema como mejor que otro

(no existe ningn sistema privilegiado) y no tiene sentido intentar detectar un

sistema inmvil respecto al cual los dems estaran en movimiento.

El principio de relatividad de Einstein no intenta destruir el de Galileo, sino que lo generaliza, loextiende a situaciones que Galileo no haba podido considerar pues en su tiempo no se conoca casinada de electricidad y magnetismo.

La idea de Einstein es la misma que la de Galileo: que el movimiento siempre es relativo, y queno se puede encontrar un sistema privilegiado, un sistema inmvil en el que las leyes de la fsicasean ms sencillas que en los sistemas en movimiento (sistemas inerciales).

Desde este punto de vista la transformacin de Galileo es una simplificacin aceptable para lamecnica clsica (sin radiacin electromagntica y con bajas velocidades), pero una simplificacinexcesiva y limitadora en la que no encajan las leyes del electromagnetismo.

Al suponer que en todos los sistemas inerciales se cumplen las mismas leyes delelectromagnetismo, que haban sido genialmente resumidas en las ecuaciones de Maxwel, resultaque la velocidad de la luz (o de las ondas electromagnticas) deber ser la misma en todos estossistemas.

Esta hiptesis, conocida como de constancia de la velocidad de la luz es una idea muysencilla y poderosa, ya que puede usarse como hiptesis fundamental para desarrollar toda la R.E.,y esto es lo que haremos en las pginas siguientes.

A.3.2. La relatividad del espacio y el tiempo.

El principio de relatividad ampliado (o la hiptesis de la constancia de la velocidad de la luz )tiene un precio importante pues echa por los suelos nuestros conceptos tradicionales de espacio y

tiempo.


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Durante varios milenios, primero los filsofos y despus los cientficos haban defendido que elespacio y el tiempo son objetivos, es decir, que existen independientemente del observador, quelas medidas de espacio y tiempo no dependen de quien realiza las medidas. Sobre este concepto deespacio y tiempo absolutos se basa la mecnica de Newton y toda la ciencia hasta Einstein.

Pero como veremos a continuacin la Relatividad de Einstein conduce a que la medida delespacio y el tiempo dependen de forma fundamental de la situacin, o mejor dicho del movimiento

del observador que realiza las medidas.

Hiptesis de la constancia de la velocidad de la luz:

La velocidad de la luz (aproximadamente 300 000 km/s) es una constante universal

y tiene el mismo valor en cualquier sistema inercial (para cualquier observador).

La consecuencia ms llamativa de la R.E. es que el tiempo transcurrir ms despacio paracualquiera que viaje a grandes velocidades (prximas a la de la luz). Se dice que su tiempo se

dilata, pues sus unidades de tiempo son mayores (vistas desde fuera).Anlogamente, y aunque no llame tanto la atencin ni sea fcil de observar, el espacio o las

longitudes quedan tambin alterados por los viajes a grandes velocidades. Se dice que el espacio secontrae, pues sus unidades (de longitud) son menores (vistas desde fuera).

Dado que el espacio y el tiempo constituyen el medio geomtrico sobre el que construimosnuestra mecnica, si estos no son objetivos parece que no podremos construir nuestro modelo, peroen realidad da lo mismo que el espacio y el tiempo dependan del observador. La condicin para

poder construir un modelo slido es conocer alguna frmula que nos refleje la relacin entre lasmedidas de un observador y las de otro, lo que se llama un cambio de coordenadas o unatransformacin de coordenadas.

Lastransformaciones de Lorentz

permiten que cada observador pueda calcular fcilmente apartir de sus medidas (subjetivas) las que obtendrn los dems observadores y son la clave paradesarrollar la R.E. y comprobar su coherencia.

En este curso de nivel A o introductorio, en lugar de manejar las frmulas de transformacin,que resultaran engorrosas, nos centraremos en su significado geomtrico, lo cual es ms sencillo ynos permitir centrarnos en el concepto fundamental: la nueva geometra del espacio-tiempo.


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A.4. Las transformaciones de Lorentz (nivel A).

Dado que en este nivel introductorio prescindiremos de frmulas, no llegaremos a escribir lastransformaciones de Lorentz, pero veremos que la dilatacin del tiempo y la contraccin delongitudes son muy evidentes. Estas dos propiedades son equivalentes a las transformaciones de

Lorentz y podremos usarlas posteriormente para analizar muchos problemas y situaciones tpicas dela R.E.

A.4.1. El reloj de luz

Dentro de la Relatividad Especial todos los relojes son equivalentes, pero el reloj de luz esconceptualmente ms sencillo (aunque su realizacin prctica resultara complicada) y permiteilustrar el hecho de que observadores distintos vern transcurrir el tiempo a ritmos distintos.

Haciendo los clculos detallados para este reloj ideal y para un interfermetro ideal se puedendeducir las frmulas exactas que permiten calcular las medidas que obtendr un observador a partirde las obtenidas por otro. Estas ecuaciones se conocen como transformaciones de Lorentz y son el

primer paso para desarrollar un modelo coherente para la mecnica relativista.En una primera aproximacin (nivel A) no necesitamos llegar a las frmulas, pero conviene queveamos claramente que los conceptos de espacio y sobre todo el de tiempo quedan profundamentealterados.

Nuestro reloj consiste en un tubo recto y vaco (paraque la luz no sea absorbida por el medio) con espejosideales en los extremos. Si lanzamos un breve pulso deluz de un extremo hacia el otro este pulso viajar de unespejo al otro repetidamente a velocidad constante.

Un detector situado en uno o ambos espejos nosindicar cuando es alcanzado por el pulso de luz,marcando un patrn de tiempo perfectamente regular. Sesupone que no hay perdidas de energa, o que existe unmecanismo muy preciso que aade energa al sistema alritmo adecuado para compensar las posibles perdidas.

En la figura 4.1 vemos a la izquierda el recorrido quehace el pulso de luz en el viaje de ida y a la derecha eltrayecto de vuelta.

Como ya sabemos la velocidad de la luz (que se llamac) es de unos 300 000 km/s. Esto significa que unrayo de luz tarda poco ms de un segundo en ir de la

Tierra a la Luna. Es una velocidad impresionante paraescalas humanas, pero no para la astronoma, ya que lamisma luz tarda 6 horas en llegar a Neptuno y 4 aos enllegar a la estrella ms prxima.

Fig. 4.1 - Reloj de luz (ida y vuelta).

Dado que no necesitamos calcular, con frecuencia usaremos la letra c para representar unavelocidad igual a la de la luz (300 000 km/s) o para representar una distancia de 300 000 km, y parasimplificar ms nuestros razonamientos podemos imaginar que la longitud de nuestro reloj es unmltiplo conveniente de c, de manera que el recorrido total de ida y vuelta de la luz sea un nmeroexacto de segundos, por ejemplo un segundo para ir y otro para volver.


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A.4.2. La dilatacin temporal

Consideremos ahora un hombre que viaja en un tren (sera ms adecuado pensar en un cohete, yaque conviene pensar en elevadas velocidades) llevando un reloj (de luz) y un segundo hombre quele observa desde tierra firme.

Consideraremos que la tierra firme es un sistema de referencia inmvil (aunque hemos aceptadola hiptesis de que no se puede distinguir un sistema mvil de uno inmvil) y por tanto inercial (en

l se cumplen las leyes de Newton) y lo llamaremos S.Si el tren se mueve con velocidad constante (v) tambin ser un sistema inercial (en l tambin

se cumplirn las leyes de la mecnica) que llamaremos S.Cmo se ve correr el tiempo desde estos dos sistemas?Para centrar ideas supondremos que nuestro reloj tiene una longitud de c (nos referimos a la

distancia de 300 000 km), de manera que los trayectos de ida y vuelta de un pulso de luz entre losdos espejos duren exactamente 1 s cada uno.

Para el sistema S (para el observador que viaja en el tren) cada ida y vuelta del pulso de luzmarca el paso de 1 segundo (Fig. 4.1).

Como lo ve el observador de tierra firme S?

Si estamos inmviles en tierra firme veremos que el rayo de luz hace un trayecto oblicuo debidoa que durante el tiempo (t) en que el pulso hace su recorrido, el tubo y el tren se han desplazado unadistancia importante ya que suponemos velocidades elevadas. El recorrido de la luz visto desdetierra firme es ms largo que el que ve el observador del tren (Fig. 4.2).

Fig. 4.2 - Reloj de luz en movimiento.

En la figura 4.2 vemos el tubo vertical de nuestro reloj de luz en tres posiciones. A la izquierdaen el instante inicial, cuando el pulso de luz parte de abajo. Al cabo de un corto tiempo (1 s) el

pulso de luz llega al espejo de arriba, pero el tubo se ha desplazado un cierto espacio (indicado enrojo) y se encuentra en la posicin central. Finalmente al cabo de otro tiempo idntico al anterior(1 s) el pulso de luz regresar abajo, al punto de partida. El instante de llegada abajo estrepresentado por el tercer tubo, el de la derecha.

La primera mitad del recorrido forma un tringulo rectngulo, por lo que se puede aplicar el

teorema de Pitgoras para calcular el espacio que recorre este pulso de luz (e) visto desde tierrafirme. Aunque no haremos el clculo, est claro que el observador de tierra firme ve un recorrido


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mayor (lnea oblicua marcada con una e) que el observador del tren (Fig. 4.1) que slo lo ve subiry bajar verticalmente (l0).

En todo nuestro razonamiento hemos supuesto que el tubo del reloj se mantiene en posicinvertical dentro del tren y por tanto perpendicular a la direccin del movimiento. De otra forma seramucho ms complicado comparar lo que se ve desde el tren (Fig. 4.1) con lo que se ve desde tierrafirme (el trayecto oblicuo de la Fig. 4.2).

Para un mismo pulso de luz el observador de S (tierra firme) ve un recorrido ms

largo que el observador de S (el que va en el tren junto con el reloj).

Si ahora tenemos en cuenta la hiptesis de Einstein de que la velocidad de la luz es la mismaen cualquier sistema resulta evidente que si desde tierra firme se ve un recorrido ms largotambin se necesita ms tiempo para hacerlo. Para el observador S que permanece en Tierra pasams tiempo, o sea que para el que viaja en el tren pasa menos tiempo.

El hecho de que pase menos tiempo entre dos sucesos es lo mismo que decir que sus unidades demedida se han hecho ms grandes y por esto se dice que habla de dilatacin del tiempo.

El observador (S) en movimiento ve pasar menos tiempo porque ve un recorrido

ms corto.

Para el observador de tierra firme (S) pasa ms tiempo porque ve un trayecto ms

largo (para el mismo rayo de luz).

Es interesante, para concretar ideas, saber que existe un factor sencillo que se utiliza en R.E. para

medir cuanto ms rpido pasa el tiempo para el que queda en tierra firme. Este factor se llama factorgamma o constante relativista y se representa por la letra griega gamma ( ).

)( skmv cv= factor )( skmv .).( relatvel factor

1 000 0,003 1,000 006 30 000 0,100 1,0052 000 0,007 1,000 023 40 000 0,133 1,0093 000 0,010 1,000 050 50 000 0,167 1,0144 000 0,013 1,000 089 60 000 0,200 1,0215 000 0,017 1,000 139 90 000 0,300 1,0486 000 0,020 1,000 200 120 000 0,400 1,0917 000 0,023 1,000 272 150 000 0,500 1,1558 000 0,027 1,000 356 180 000 0,600 1,2509 000 0,030 1,000 450 210 000 0,700 1,400

10 000 0,033 1,000 556 240 000 0,800 1,66712 000 0,040 1,000 801 270 000 0,900 2,29415 000 0,050 1,001 252 290 000 0,967 3,90618 000 0,060 1,001 805 295 000 0,983 5,50020 000 0,067 1,002 230 299 000 0,997 12,25821 000 0,070 1,002 459 299 900 0,999 667 38,73324 000 0,080 1,003 215 299 990 0,999 967 122,47627 000 0,090 1,004 075 299 999 0,999 997 387,29930 000 0,100 1,005 038 300 000 1,000 000 infinito

Tabla 1 - Constante relativista ( ) para distintas velocidades.


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En la tabla 1 se pueden ver estos valores para una amplia gama de velocidades. El factor gammaes siempre mayor que la unidad pues se obtiene dividiendo el tiempo mayor (el de S) entre el menor(el de S).

La tabla nos permite ver que a bajas velocidades casi no se notar el efecto, mientras que a altasvelocidades la diferencia entre ambos tiempos ser muy grande.

En la tabla aparece tambin la velocidad relativa ( ), que es la velocidad comparada con la de

la luz (c) y siempre ser un nmero entre 0 y 1, ya que la velocidad del mvil no puede superar lavelocidad de la luz. En cambio la constante relativista ( ) siempre ser mayor que la unidad y crecerpidamente al acercarnos a la velocidad de la luz (300 000 km/s).

Para concretar el significado de la dilatacin del tiempo podemos leer algunos valores de estatabla y compararlos con velocidades conocidas.

La velocidad ms rpida en la atmsfera es la de los aviones supersnicos que pueden ir dos otres veces ms rpidos que el sonido, o sea que podemos ir hasta unos 1000 m/s. Es todava unavelocidad muy lenta comparada con la primera que aparece en la tabla, 1000 km/s, y para sta aunla constante relativista es casi la unidad. La diferencia de 6 millonsimas de segundo es inapreciable

para el hombre corriente.

Hay que alcanzar una velocidad de 15 000 km/s para que la diferencia de tiempos sea de unamilsima (un segundo en el tren equivale a 1,001252 s en tierra firme).

Para que la diferencia de ritmos sea apreciable a simple vista deberamos llegar a velocidades delorden de 50 000 km/s, para la cual vemos una diferencia de 14 milsimas (un poco ms del 1 %). A

partir de aqu el retraso en las comunicaciones y en los relojes se ira haciendo muy evidente.En los ejemplos se suele usar la velocidad de 180 000 km/s porque tiene una constante relativista

especialmente sencilla para los clculos. En nuestros diagramas utilizaremos este valor.

Para una velocidad de 180 000 km/s la constante relativista vale: 25,1=

La diferencia entre los tiempos del tren y de tierra firma es ahora del 25%. Por cada segundotranscurrido en el tren en tierra firme transcurren 1,25 s. Para 100 segundos del tren en tierra firmetranscurren 125 s. La diferencia sera claramente apreciable por cualquiera.

Lo que hace interesante este ejemplo es que la diferencia sea exactamente del 25%, ya que en lamayora de valores de la tabla la constante relativista gamma es slo aproximada (tiene msdecimales).

Como curiosidad, a una velocidad de 290 000 km/s la constante relativista es casi 4, lo cualsignifica que el tiempo en el tren transcurre 4 veces ms lento, o que en tierra firme transcurre 4veces ms rpido. Aunque es una velocidad inalcanzable para el hombre, ya se ha comprobado con

partculas atmicas que estas diferencias de ritmos de tiempo son reales.

A.4.3. El interfermetro (y la contraccin de longitudes).

La hiptesis de que cualquier observador ve la misma velocidad para la luz nos ha llevado a queel tiempo transcurre a ritmos diferentes para un observador en reposo (S) y otro en movimiento (S).Algo similar ocurrir con las medidas de longitudes, pero slo en la direccin del movimiento.

Para estudiar el efecto de la velocidad sobre las longitudes utilizaremos un instrumento parecidoal reloj de luz del apartado anterior, el interfermetro.

Este instrumento es similar (Fig. 4.3) al que usaron Michelson y Morley en 1887 para comprobarlas velocidades de la luz en diferentes direcciones y funciona como dos relojes de luz (unohorizontal y otro vertical) sincronizados.


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Ambos brazos son iguales y para que vayan sincronizados hacemos entrar un pulso de luz porla entrada A incidiendo sobre un espejo semitransparente (lnea oblicua punteada) que deja pasar lamitad de la luz (que seguir hacia la derecha) y refleja la otra mitad, que saldr reflejada haciaarriba. As el rayo de luz que ha entrado por A se ha dividido en dos. Uno sigue en la mismadireccin que entr y recorrer el tubo horizontal (hacia la derecha) hasta chocar con el espejo de laderecha, reflejndose en el y regresando al punto de partida. El segundo rayo o pulso sigue un

trayecto vertical a lo largo de un segundo tubo. Cuando alcance el espejo de arriba (final del tubovertical) se reflejar y regresar tambin al punto de partida.

Fig. 4.3 - Interfermetro en reposo.

Supongamos que el hombre que viaja en el tren lleva ahora un interfermetro en la posicin de lafigura 4.3. El tren viaja de izquierda a derecha (deberemos imaginarlo), y el interfermetro semover con el tren en la misma direccin. Durante todo el viaje se mantiene un tubo vertical y elotro horizontal, este ltimo en la misma direccin en la que se mueve el tren.

El sistema funciona como dos relojes de luz (explicados con detalle en las pginas anteriores)que funcionan sincronizados. Ambos brazos miden c (desde el espejo semitransparente en que sedividen los rayos hasta el espejo del fondo de cada tubo).

Igual que suponamos al hablar de relojes de luz, podemos suponer que tras lanzar el primerpulso de luz este va y viene a lo largo de los tubos sin perdida de energa y que unos detectorespueden detectar la llegada de los pulsos de vuelta al espejo semitransparente de la entrada. Unosespejos situados en A y B se encargaran de reflejar de nuevo la luz para que el reloj no se parase ysi el reloj tuviera perdidas de energa se podra aadir un mecanismo que renovara el pulso antes deque se extinguiera.

En la literatura relativista se suele seguir la idea de Michelson y Morley, que despus deltrayecto de ida y vuelta hicieron salir la luz por otro agujero lateral B para medir el desfase detiempo entre ambas seales. El razonamiento es idntico tanto si la luz hace un slo trayecto de iday vuelta (experimento de Michelson y Morley) como si son dos relojes de luz y los pulsos van yvienen sin parar. En cualquier caso nosotros slo analizaremos un trayecto de ida y vuelta.


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A.4.4. Qu ver el observador del tren (S)?

Un experimento casi idntico a este fue realizado por Michelson y Morley en 1887 coninstrumentos muy precisos y observaron exactamente los mismos tiempos en ambos tubos, a pesarde que esperaban que el movimiento de la Tierra hiciera retrasarse al reloj horizontal.

Para l observador de S el reloj est quieto, por tanto ver dos pulsos idnticos, uno recorriendoel tubo vertical y otro perfectamente sincronizado recorriendo el tubo horizontal.

Estar sincronizados significa que cuando el pulso vertical llega al final del tubo ocurre lo mismocon el pulso horizontal. Ambos se reflejan a la vez y ambos vuelven hacia atrs a la mismavelocidad, llegando simultneamente al punto de partida (el espejo semitransparente que habamoscolocado junto a la entrada). La Fig. 4.3 representa lo que ve el observador (S) del tren.

El observador del tren (S) ve dos relojes idnticos y perfectamente sincronizados.

Ambos pulsos llegan a la vez al final de ambos tubos (y rebotan en sus espejos)

Ambos pulsos regresan simultneamente al punto de partida (junto a la entrada A).

Estudiemos como se ve el interfermetro desde tierra firme y entenderemos la sorpresa deMichelson y Morley en 1887.

A.4.5. Qu ver el observador de tierra firme (S)?

Vistos desde tierra los recorridos por ambos tubos resultan ser muy distintos debidoprecisamente a que estn en movimiento.

El recorrido en el tubo vertical es el mismo que en el problema del reloj estudiado en el apartadoanterior (Fig. 4.1 para el observador del tren y Fig. 4.2 para el de tierra firme), y por tanto elresultado tambin ser el mismo.

Sin embargo en el trayecto por el tubo horizontal observamos una importante asimetra. Duranteel viaje de ida la luz recorre un trayecto mucho ms largo, pues el espejo de la derecha se vaalejando del pulso de luz.

En la figura 4.4 vemos el tubo horizontal en dos posiciones. Arriba vemos el instante inicial,cuando el pulso de luz sale del espejo semitransparente (no dibujado aqu) hacia la derecha. Abajoel final del primer recorrido, cuando llega al espejo de la derecha. Observamos que el tubo se habrdesplazado un cierto espacio (indicado por la figura punteada de la izquierda) y por tanto el pulsode luz habr recorrido un espacio ms largo que la longitud del tubo. Habr recorrido la longitud deltubo (representado por l1) ms el espacio que se haya desplazado el tubo (representado por vti).

Fig. 4.4 - Brazo horizontal del interfermetro en movimiento.


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Por el contrario durante el viaje de vuelta el mismo pulso recorre un trayecto mucho ms cortodebido a que ahora el espejo semitransparente de la entrada corre al encuentro del pulso.

En la figura 4.5 vemos el tubo horizontal en otras dos posiciones. Arriba vemos el principio delviaje de vuelta, justo despus de rebotar en el espejo de la derecha. Abajo el final del viaje, cuandollega de nuevo al punto de partida (el espejo semitransparente).

Observamos que el tubo se habr desplazado un cierto espacio (representado por vtv) y por tanto

el trayecto recorrido es ms corto que la longitud del tubo (representada por l1) y por tanto muchoms corto que el del viaje de ida.

Fig. 4.5 - Brazo horizontal del interfermetro en movimiento.

Lo primero que nos sorprende es que el observador del tren ha visto tiempos iguales para eltrayecto de ida y el de vuelta, mientras el observador de tierra firme ve duraciones muy distintas.Estas situaciones paradjicas son muy frecuentes en relatividad, pero la contradiccin es sloaparente, como veremos ms adelante.

A.4.6. Comparacin de los dos trayectos

Para entender mejor lo que ocurre compararemos ahora el trayecto vertical, que conocemosperfectamente (Fig. 4.1 y 4.2), con el trayecto horizontal y lo haremos para ambos observadores.

En la Fig. 4.9 hemos representado los dos trayectos completos, pero comenzaremos estudiandola primera mitad del trayecto, para lo que utilizaremos la Fig. 4.7.

El primer punto a tener en cuenta es que para ambos observadores el movimiento vertical essimtrico. Recordemos que en la Fig. 4.1 esquematizbamos lo que se ve desde el propio tren (S) yen la Fig. 4.2 lo que ve el observador de tierra firme (S). Por tanto:

Cuando el pulso vertical llega al espejo de arriba ha pasado la mitad del tiempopara ambos observadores, pues para ambos el movimiento vertical es simtrico.

Sabemos que los tiempos medidos por ambos sern diferentes debido a la dilatacin temporal,pero para ambos ser la mitad de su viaje. Es medio ciclo, la mitad del problema que estamosestudiando.

Para el observador del tren las cosas son muy sencillas pues ambos tubos son iguales y los pulsosque viajan por ellos tienen idnticos comportamientos (Fig. 4.3), de manera que en el instante queestamos analizando, la mitad del tiempo, el observador del tren ve que los dos pulsos llegansimultneamente al final de ambos tubos. El reloj horizontal y el vertical van perfectamente

sincronizados. El segundo medio ciclo, o sea el viaje de regreso de ambos pulsos, tambin se veperfectamente sincronizado desde dentro del tren.


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Fig. 4.6 - El interfermetro y el tren se desplazan a gran velocidad hacia la derecha, perodentro del tren no aprecian el movimiento y por tanto ven lo mismo en ambos tubos.

Sin embargo las cosas son ms complicadas para el observador de tierra firme.Dnde se encuentra el pulso horizontal cuando el vertical llega al espejo de arriba (o sea a la

mitad del tiempo)?Ya hemos visto que para el observador de tierra firme el trayecto recorrido por la luz es ms

largo debido a que el tubo se ha desplazado. Queremos saber cuan largo es, pero como hemosdecidido no hacer clculos deberemos hacer un razonamiento geomtrico para entender lo queocurre.

Sabemos que ambos rayos de luz han partido del mismo punto en el mismo instante, por tantodurante esta primera mitad del viaje (tiempos iguales) tienen que haber recorrido la mismadistancia, aunque sea en direcciones diferentes (pues la velocidad de la luz es siempre la misma).

Esto es propio de las ondas y para entender lo que pasa podemos tomar como ejemplo cualquierotra onda. Imaginemos por un segundo que tiramos una piedra en el centro de un estanque. Lasondas generadas recorren la misma distancia en todas las direcciones, y esto se refleja en queforman circunferencias a partir del centro en que se originaron. Si en un segundo ha recorrido5 metros en direccin norte, en direccin este habr recorrido exactamente lo mismo.

En nuestro interfermetro hemos canalizado estas ondas en dos direcciones y por tanto no vemos

las circunferencias, pero podemos coger un comps y trazar una circunferencia desde el punto departida (el espejo semitransparente) con lo cual podremos comparar los rayos horizontal y vertical(vase la Fig. 4.7).

Fig. 4.7- El rayo vertical llega arriba a la mitad del tiempo. En este tiempo el interfermetrose ha desplazado una unidad. Pero el pulso horizontal no ha llegado a la mitad del tubo.

En vez de tomar un ejemplo cualquiera hemos elegido la velocidad que nos genera el grfico

ms sencillo posible (para este razonamiento geomtrico), es la velocidad a la que el tren sedesplaza un espacio exactamente igual al brazo vertical del interfermetro (l0) en el medio ciclo que


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estamos estudiando (veremos que corresponde a un 71% de la velocidad de la luz, unos210 000 km/s).

A esta velocidad, tras medio ciclo el pulso vertical est llegando al espejo de arriba. Trazamoscon el comps un trozo de circunferencia para ver donde se encuentra el rayo horizontal yobtenemos (ver la cinta mtrica de la Fig. 4.7) una distancia de un poco ms de 1,4 unidades.

Nuestra unidad es l0, la longitud del brazo (vertical) de nuestro interfermetro.

En ese mismo tiempo el recorrido horizontal del interfermetro es exactamente l0 (pues hemoselegido la velocidad del tren para que as sea) y la altura a la que ha llegado el rayo vertical tambines l0, de esta manera el rayo vertical (oblicuo en rojo en las Fig. 4.7 y 4.8) recorre exactamente ladiagonal de un cuadrado de lado l0 (una unidad en nuestra cinta mtrica), y resulta un grfico muyfcil de reproducir y de medir con mucha precisin.

Fig. 4.8 - El rayo vertical recorre la diagonal de un cuadrado de lado unidad. Es fcil

comprobar con el comps que ambos han recorrido un poco ms de 1,4 unidades.

Dado que la longitud del interfermetro era exactamente l0 tanto horizontal como verticalmente,observamos que cuando el rayo vertical (en rojo) llega arriba el rayo horizontal (tambin en rojo)todava no ha llegado a la mitad del tubo, debido a que el tubo se ha movido exactamente esalongitud l0 .

En la cinta mtrica de la figura 4.7 vemos que el interfermetro, y por tanto el punto de partida(el espejo semitransparente) se ha desplazado una longitud exactamente igual a la longitud del tubovertical ( l0 ) y por esto se encuentra exactamente sobre el 1 de la cinta.

El pulso de luz se encuentra solamente 0,41 unidades ms all, o sea que no ha llegado a la mitad

del tubo horizontal (que seran 0,5 unidades, o sea el punto marcado como 1.5).Est claro que:

Cuando el pulso vertical llega arriba (Fig. 4.7) se cumple la mitad del tiempo y el

pulso horizontal no ha llegado a la mitad del tubo horizontal (est en 0,41).

La otra mitad de tiempo no le bastar para llegar al espejo de la derecha del tubo.

Sin embargo sabemos que el rayo vertical llega de regreso al punto de partida justo en el mismomomento que el rayo vertical, pues as lo ve el observador de dentro del tren (Fig. 4.3).


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Cuando se cumpla el tiempo para el observador de tierra firme, el rayo horizontal debera haberllegado al espejo de la derecha y haber regresado al punto de partida, pero hemos visto que el rayohorizontal slo habr recorrido un 82 % del tubo horizontal (41 % en cada medio ciclo) y portanto parece que ni siquiera habr llegado al final del tubo, y mucho menos habr regresado a su

punto de partida.

A.4.7. La contraccin de longitudes (o contraccin de Lorentz).

Est claro que la nica manera de que el pulso horizontal alcance el espejo de la derecha antes decompletar el segundo medio ciclo es que su longitud se haya acortado ms del 18 % (que es lo quele falta segn nuestro clculo anterior). Repasemos las medidas que hemos encontrado para ambosobservadores.

Si ambos tubos medan c, para el observador del tren la luz tarda un segundo para llegar arriba,mientras que tarda 1,41 segundos para el observador de tierra firme (como se puede comprobar enla cinta mtrica del dibujo, pues recorre una longitud 1,41 veces mayor). Este hecho no nos extraa

pues ya sabamos que el tiempo pasa ms lento para el observador en movimiento. ste nmero

ser adems el factor gamma ( ) (vase el apartado A.4.2 y la tabla 1).Para el observador del tren el pulso del tubo horizontal tambin tarda un segundo en llegar al

fondo del tubo, pues ambas longitudes son iguales y la velocidad de la luz es la misma en todasdirecciones.

Sin embargo para el observador de tierra firme el pulso del tubo horizontal tiene un recorridomuy asimtrico (Fig. 4.4 y 4.5). Tras medio ciclo (tras 1,41 segundos) slo ha recorrido un 41 % dela longitud del tubo original y si este no se contrajera no podra terminar de recorrerlo en el otromedio ciclo (otros 1,41 s).

Para el observador de tierra firme el pulso vertical tardar otros 1,41 segundos en regresar alespejo de abajo, pues el recorrido de este pulso es perfectamente simtrico. Durante esta segunda

fase del viaje el pulso horizontal debe llegar al extremo del tubo y regresar, pero no podr llegar alotro extremo a menos que est a menos de otras 0,41 unidades y esto exige que el tubo horizontalse haya contrado.

Fig. 4.9 - Si el tubo horizontal no se encoge el pulso horizontal no puede llegar a tiempo.

La situacin real se puede ver en la figura 4.8. Hemos dibujado el brazo horizontal mucho ms

corto, pero no es ninguna exageracin, es la longitud que necesita tener el brazo horizontal para quela luz tenga tiempo de llegar al espejo de la derecha y regresar al de la izquierda a tiempo.


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La contraccin detectada resulta tener el mismo factor gamma que apareca en la dilatacin detiempos. La longitud del brazo se ha acortado en un factor de 0,71 (mide un 71% de lo que meda, osea de lo que mide el tubo vertical), que equivale a que el brazo ms largo (el vertical) sea 1,41veces mayor que el pequeo.

La velocidad que lleva el tren (y el interfermetro) es fcil de calcular dividiendo el espaciorecorrido (c = 300 000 km) y el tiempo que ha tardado (1,41 s), pero tambin podemos leer en latabla 1 que la velocidad que corresponde al factor gamma de 1,41 es de unos 210 000 km/s. Esta esla velocidad que lleva el tren y el interfermetro de nuestro ejemplo.

Resumiendo, si ambos observadores ven para la luz la misma velocidad la nica explicacinposible para esta situacin es que los brazos han cambiado de longitud. Si suponemos, igual quecuando estudibamos el reloj de luz, que el brazo vertical permanece intacto, resulta que elhorizontal (que se desplaza en la direccin del movimiento) se habr contrado en una fraccin igualal factor relativista (su longitud es igual a la original dividida por ese factor; en nuestro ejemplola longitud queda dividida por 1,41).

A.4.8. Increble... pero cierto.

La Relatividad nos ha llevado a dos consecuencias difciles de admitir:

En un sistema en movimiento (S) el tiempo pasa ms despacio.

En la direccin del movimiento (de S) las longitudes se contraen.

Haciendo un esfuerzo podramos imaginar que la velocidad enlentecera los procesos vitales delas personas, como lo hace la hibernacin (el fro), o que una imaginaria presin debida a esamisma velocidad comprimira las longitudes, ... pero no es as.

La paradoja reside en que la R.E. afirma que el observador en suelo firme ve como el reloj deltren va ms despacio y a la vez que el observador del tren ve el reloj de tierra firme ir ms despacio.La Relatividad propone una simetra completa en lo que ven ambos espectadores, pues ninguno deestos sistemas est en reposo. No existen sistemas en reposo!

Aunque en nuestro razonamiento dbamos prioridad al sistema de tierra firme como si estuvieraquieto, el Principio de Relatividad (ver el apartado A.3.) afirma que no podemos distinguir sistemasfijos y mviles, pues todas las leyes de la fsica son iguales en todos ellos, por tanto desde el trendeben ver lo mismo cuando miran a tierra firme.

Ambos hechos se alejan de nuestra experiencia y nos resulta difcil admitir que no haya medidasobjetivas para longitudes y tiempos, pero es a lo que nos ha llevado una hiptesis tan sencilla comoque todos los observadores ven la misma velocidad para la luz.

Michelson era un gran cientfico, lo comprob personalmente varias veces con experimentosmuy precisos y sin embargo nunca se lo crey... as que es bastante normal que nos cuesteadmitirlo.

En el siguiente apartado analizaremos ms a fondo el significado de estas dos afirmaciones.


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A.4.9. La transformacin de Lorentz

Lorentz propuso como explicacin posible del resultado negativo del experimento de Michelsony Morley que las longitudes deban contraerse en la direccin del movimiento exactamente en la

proporcin necesaria para compensar el desfase esperado entre los dos recorridos delinterfermetro.

Observemos que las relaciones establecidas dejan bien claro que en S (el sistema enmovimiento) ni el tiempo ni el espacio se miden igual que en S, pero no es fcil entender como esesto. Lo mejor es trabajar algunos ejemplos y ver como toman medidas en ambos sistemas. Asentenderemos porqu ven cosas distintas.

Una de las ideas fundamentales es que cuando hablamos de sistema inercial no nos referimos aun espacio reducido como un laboratorio, sino que es un sistema muy extenso, que se prologa entodas direcciones. Si tenemos que medir distancias importantes directamente (en el instante en queocurren los sucesos) deberemos tener observadores en los puntos que nos interesen para darconstancia del suceso, de la posicin e instante de tiempo en que ocurre.

Un sistema inercial tiene infinidad de observadores, uno en cada punto.

Todos viajan a la misma velocidad y por tanto estn inmviles respecto a los dems.

Cada uno tiene su propio relojdebidamente sincronizado con todos los dems.

Nosotros no podemos estar en todas partes a la vez, y no podemos fiarnos de la vista pues lossucesos lejanos no se ven enseguida debido a que la luz (la imagen que debe llegar a nuestra retina)tarda mucho tiempo en llegar. Aunque en la prctica puede resultar inviable, necesitamosobservadores en todos los puntos en los que queramos observar lo que sucede (sucesos).

El segundo concepto fundamental en R.E. es el de reloj. El tiempo siempre se ha medido con

objetos en movimiento (pndulos, depsitos que se van vaciando, etc.), as que no debesorprendernos que usemos el movimiento de la luz para medir tiempos. Sin embargo la hiptesis dela constancia de la velocidad de la luz nos ha llevado a ver que

En Relatividad el tiempo se mide (se puede medir) por el espacio que recorre la luz.

Hemos usado en varias ocasiones el argumento de que si un observador ve que la luz recorre msespacio es que ve pasar ms tiempo en su reloj que el otro observador que ve un recorrido menor.

La tercera idea fundamental para entender el significado de la transformacin de Lorentz es que

La dilatacin de tiempos es real, aunque slo se aprecia a grandes velocidades.

La contraccin de longitudes es real, pero prcticamente imposible de apreciar.

En efecto, la dilatacin de tiempos ya se ha comprobado con partculas subatmicas aceleradasa grandes velocidades, con satlites (GPS) que requieren medidas muy precisas de posicin ytiempo, y cabe esperar que algn da podremos comprobarlo realizando largos viajes interestelares.


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Sin embargo la contraccin de longitudes siempre se ha comprobado indirectamente ya que lacomprobacin directa exigira medir la longitud de un objeto que se mueve a velocidades muyelevadas respecto a nosotros, y esto siempre ser muy difcil de hacer directamente (con una cintamtrica o algo equivalente).

Hay que tener en cuenta que si en el tren llevan una cinta mtrica al lado del interfermetro (enposicin horizontal) veremos como sta se acorta igual que el brazo horizontal del interfermetro.

Esta medida no es la que ve el observador de tierra firme, pues este debe medir con metros de tierrafirme. Una cinta mtrica que viaje con el tren medir lo que ven los propios observadores del tren(S) y no servir para apreciar cambios, pues tambin se contraer.. Este hecho deja claro que en elsistema en movimiento (dentro del tren) no apreciaran la dilatacin temporal ni la contraccinde longitudes.

Los observadores del sistema en movimiento (S) no aprecian ninguna dilatacin de

su tiempo pues sus ritmos biolgicos se enlentecen igual que sus relojes mecnicos

En S tampoco aprecian ninguna contraccin de longitudes, pues sus cintas

mtricas, al igual que cualquier otro objeto, se contraen en la misma medida.

Estas dos transformaciones simtricas, la espacial y la temporal contienen la esencia de lastransformaciones de Lorentz, y no necesitaremos ecuaciones para trabajar con ellas, ya que losdiagramas de Minkowski reflejan con exactitud las mismas relaciones que las ecuaciones.

Los ejemplos del captulo siguiente nos servirn para entender mejor estas transformaciones ypara despejar las dudas que generan algunas paradojas como la de la simetra. Veremos queesencialmente todo se reduce a que cada sistema mide de manera diferente.


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A.5. Ejemplos numricos y grficos

A.5.1. Sistemas inerciales simtricos.

Para concretar nuestros dos sistemas inerciales imaginaremos dos trenes muy largos uno allado del otro, de manera que cada observador podr ver lo que ocurre en la parte del otro tren que

est pasando a su lado, aunque si fuera un tren real pasara a tanta velocidad que nos costara veralgo. Entre otras cosas supondremos que en cualquier momento ve un observador del otro trenpasando a su lado. Supondremos que puede leer la posicin de ese observador dentro del otro tren yque puede ver la hora el reloj que lleva ese otro observador.

Cuando ocurra algn suceso (como el paso de un observador o una explosin) el observadortiene la funcin de informar a sus compaeros de tren de la hora y posicin reales (las que ve en su

propio reloj y en su propia cinta mtrica) del suceso y de la hora y posicin que ve en S (datos delotro tren).

El tren deber ser muy largo porque debemos poder hacer experimentos con espacios y tiemposgrandes, como el del reloj de luz que meda 300 000 km, as que podemos imaginar que llega hastalos ltimos planetas del sistema solar (Urano y Neptuno, pues Plutn ya no se considera planeta) ysi hace falta imaginaremos que va ms all.

El origen de coordenadas es el punto en que centralizamos toda la informacin. A efectosprcticos podemos imaginar que hay un responsable del tren que centraliza la informacin en unasala de control. Podemos imaginar algo as como el comandante de esa inmensa nave espacial quees nuestro tren. Adems supondremos que en el instante inicial de nuestros experimentos amboscomandantes se encuentran uno al lado del otro y que ponen sus relojes a cero. Los relojes de la

primera nave S estn todos sincronizados con el del primer comandante y los relojes de la segundanave S estn todos sincronizados con el del segundo comandante.

Nuestro problema fundamental es entender como se realizan las medidas, y con frecuencia estasnos conducen a situaciones paradjicas como la siguiente. Hemos dicho que en el instante inicial

los relojes de ambos comandantes se ponen a cero (se sincronizan). Los relojes de la primera nave Sestn todos sincronizados con el del primer comandante y los relojes de la segunda nave S estntodos sincronizados con el del segundo comandante. A primera vista da la sensacin de que en eseinstante inicial todos los relojes de todos los observadores de S deben coincidir con los de sushomlogos de S, pero no es as, pues miden los tiempos y la simultaneidad de formas diferentes.

Tambin da la sensacin de que es una situacin muy simtrica y que las longitudes inicialmentedeben medirse igual, es decir, que el observador que est a 100 metros del comandante de la

primera nave debe tener a su lado al observador que el segundo comandante tiene a 100 metros,pero tampoco es as, pues tambin miden las distancias de maneras diferentes.

Los observadores del primer sistema (S) ven correctamente las medidas que hacen

sus compaeros de tren, pero ven que los del otro tren (S) miden mal.

Los de S ven lo mismo pues la situacin es completamente simtrica.

Si queremos aclarar estas paradojas necesitamos un instrumento que nos permita razonar con unaprecisin aceptable, y este instrumento son los diagramas de Minkowski a los que dedicamos estecaptulo.

Tener las ecuaciones de Lorentz no nos aclarara ms las cosas, e incluso con ellas deberamosrazonar sobre diagramas espacio-tiempo. Los problemas ms interesantes de la R.E. se puedenestudiar con mucho detalle sobre estos diagramas sin necesitar nunca ninguna ecuacin.


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A.5.2. Las unidades de espacio-tiempo: el segundo-luz y el metro-tiempo.

Al utilizar las transformaciones de Lorentz veremos que en R.E. el espacio y el tiempo semezclan ntimamente, hasta el punto de que lo que en un sistema es espacio en otro puede sertiempo. Esto nos lleva a revisar las unidades que utilizamos para longitudes y tiempos.

En astronoma es usual utilizar el ao-luz (que se suele abreviar al) para medir grandesdistancias ya que las unidades que nos son ms familiares (metro, kilmetro,...) se quedan muy

cortas. Es la distancia que recorre la luz en un ao y es una distancia de casi diez billones dekilmetros (9,46 billones de km).

Nos interesa entender este ejemplo porque es un caso real en el que se usa el tiempo para medirdistancias.

Si nos dicen que Prxima Centauri (la estrella ms prxima a nosotros despus del Sol) est a4,27 aos-luz de distancia, realmente nos estn dando el tiempo que tarda su luz en recorrer ladistancia hasta nosotros (4,27 aos). Aunque esto puede sorprender, en realidad es una unidad quenos permite apoyarnos en conceptos muy intuitivos para hacernos una imagen de las dimensionesestelares: la velocidad de la luz y la idea de largusimos viajes interestelares.

Como sabemos lo que es un ao-luz podramos pasar este tiempo (4,27 aos) a kilmetros sin

mucho esfuerzo. Sin embargo esto no nos aclarara nada y el nmero resultante resultara muygrande y engorroso de manejar. En la prctica es ms sencillo hablar de 4,27 aos luz.En R.E. esa distancia es, en muchos casos, demasiado grande, as que frecuentemente usaremos

el segundo-luz.

Para distancias grandes es frecuente usar elao-luz, el segundo-luz, ...

Estamos usando un tiempo para indicar una distancia.

El segundo-luz (que podemos abreviar sl) es la distancia recorrida por la luz en un segundo

(unos 300 000 km). Es una distancia que se utiliza con frecuencia en R.E. y nosotros lo hemoshecho al describir nuestro reloj de luz (apartado A.4.1) y nuestro interfermetro (apartado A.4.3).

Fig. 5.1 - Diagramas espacio-tiempo usando

unidades habituales (segundo y sl).Fig. 5.2 - Diagramas espacio-tiempo usando

unidades astronmicas (ao y al).


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Aunque c es una velocidad, en R.E. es frecuente hablar de una distancia c y nosotros ya lohemos hecho en varias ocasiones. As lo hacen casi todos los textos de R.E. y su uso para indicardistancias est tan extendido que en la prctica no tiene sentido usar el sl (que sera la unidadcorrecta).

Sin embargo conviene aclarar que a veces se usa como unidad, en cuyo caso significa lo mismoque el sl, mientras que en otras ocasiones se utiliza como un nmero (c = 300 000) y este doble uso

puede generar confusiones qu significa en la figura 5.1?En la figura 5.1 se puede ver el uso habitual de estas unidades en los diagramas espacio-

tiempo.Como curiosidad (ya que en este curso de nivel introductorio no hacemos clculos) diremos que

igual que hemos usado una unidad de tiempo para indicar distancias podramos usar distancias paraindicar tiempos, cosa muy frecuente en relatividad.

Un metro-tiempo es el tiempo necesario para que la luz recorra un metro.

Estamos usando una distancia para indicar un tiempo.

Esta unidad de tiempo es muy pequea (1/300 000 000 s) y se utiliza cuando interesa utilizarmetros en el eje de espacios, pues en los diagramas de Minkowski siempre se procura que ambasunidades sean del mismo orden, de manera que un rayo de luz siempre siga la direccin de ladiagonal principal (Fig. 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4). Cuando se indica ct en el eje de tiempos significa quese usan estas unidades (vase la Fig. 5.5 y sus comentarios en el texto).

No est de ms observar que el inters de estas parejas de unidades reside en que en la R.E. eltiempo y el espacio se mezclan y funden entre si. Veremos que en cierta manera lo que para unobservador es tiempo para el otro es espacio.

Tambin es interesante observar que detrs de estos conceptos siempre est la luz y la velocidad

de la luz. Para crear un buen diagrama resultar imprescindible que siempre quede claro como serepresenta el movimiento de un rayo de luz. En las figuras 5.1 y 5.2 la lnea oblicua representa elmovimiento de un pulso de luz a lo largo del tiempo. Obsrvese que al cabo de 1s ha recorrido unespacio c, al cabo de 3s un espacio 3c (sealado en azul), etc.

Para entender la R.E. y las transformaciones de Lorentz es imprescindible entender que lasimultaneidad (mismo instante) y la equilocalidad (mismo lugar) no se ven igual desde un sistema ydesde el otro, y para esto necesitamos saber utilizar estos diagramas espacio-tiempo.

A.5.3. Diagramas espacio-tiempo (de Minkowski):

Los diagramas espacio-tiempo se utilizan para relacionar dos sistemas, el S del observador detierra firme y el S del observador del tren en movimiento.El primer sistema de referencia ser el S del observador de tierra firme y lo representaremos en

tinta negra, como en las figuras 5.1 y 5.2.El segundo sistema ser el S del tren y lo representaremos siempre en verde, superponindolo al

anterior, por lo que nuestros diagramas siempre tendrn cuatro ejes.La costumbre en Relatividad es utilizar el eje horizontal para representar espacios (va marcado

con la letra x o con x) y el vertical para tiempos (marcndolo con t o con t).En la mayora de casos utilizaremos las unidades de las figuras 5.1 y 5.3, o sea segundo y

segundo luz (aunque escribiremos c en lugar de sl), pues los movimientos que estudiaremos durarnun segundo o dos (como en los ejemplos de los captulos anteriores).

Cuando estudiemos los viajes espaciales y el problema de los gemelos necesitaremos utilizarunidades mucho mayores y cambiaremos las unidades por el ao y el ao-luz (figuras 5.2 y 5.4).


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unidades habituales (segundo y sl).


unidades astronmicas (ao y al).

Para qu sirven estos diagramas?Estos diagramas fueron propuestos por Minkowski y resultaron my tiles para interpretar los

resultados obtenidos con las ecuaciones de Lorentz. Podramos decir que nos permiten obtener unaimagen geomtrica (visible) del nuevo concepto de espacio y tiempo que introduce la R.E.

En los apartados siguientes veremos que estos diagramas permiten obtener resultados numricosmuy precisos sin hacer un slo clculo. En lugar de frmulas y calculadora usaremos lpiz y regla.

En caso de encontrar dificultades para interpretar los diagramas, en el apndice 1 se puedenencontrar aclaraciones adicionales.

A.5.4. Calibrar el segundo sistema de referencia (S):

Para representar correctamente el segundo sistema de referencia (a esta operacin le llamaremoscalibrar) bastar aplicar las transformaciones de Lorentz a las unidades de espacio y tiempo.

Tomaremos la velocidad del sistema S (necesitamos la velocidad del tren o de la nave parapoder preparar el diagrama) y miraremos en la tabla 1 (apartado A.4.2) que contraccin espacial yque dilatacin temporal corresponde a esta velocidad, o sea, leeremos el factor gamma que lecorresponde.

Para muchos ejemplos utilizaremos una velocidad de 0,6 c (0,6 veces la velocidad de la luz) o lo

que es lo mismo, 180 000 km/s. Este valor aparece en la tabla 1 (apartado A.4.2) y lo hemos elegidoporque es el que permite hacer diagramas ms sencillos.

Usaremos una velocidad relatva 6,0= o lo que es lo mismo, una velocidad de180 000 km/s. Para este valor la constante relativista vale: 25,1=

Dibujaremos estos nuevos ejes en verde y aceptaremos que tienen una inclinacin o pendiente de0,6. Esto significa que sobre el uno negro hay que marcar un punto verde a una altura de 0,6 y sobreel 2 negro un punto verde a una altura del doble (1,2). Esto permite dibujar el eje de espacios verde

(x). El eje de tiempos se dibuja exactamente igual pero girando el papel.


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Fig. 5.5 - Representacin de los ejes de S

debidamente calibrados para 6,0= .

Para calibrar el diagrama, o sea para marcar las unidades verdes usaremos el factor gamma.Sabemos que el tiempo del tren pasar 1,25 veces ms lento y sus longitudes se contraern con

un factor 1,25. Dicho de otra forma, las unidades de longitud o espaciales (x) del sistema S (elobservador en tierra firme) sern 1,25 veces mayores que las del tren, y las temporales tambin.

Esto significa que donde en los ejes de S (en negro) marca 1,25 unidades, en el eje de S (enverde) deber marcar slo 1 unidad. En la figura 5.5 se puede ver como calibrar el eje verde deespacios. El trazo vertical sobre 1,25 nos sirve para situar la unidad verde o de S. El de tiempos secalibra exactamente igual aunque no lo hemos dibujado.

Para construir el eje X conpendiente 0,6tomamos sobre el x=1 una altura de 0,6

y sobre el x=2 una altura de 1,2. Y trazamos la recta, que pasar por el origen.

Este eje Xse calibrar usando la constante relativista 25,1= . Sobre el valor1,25 del eje X trazamos la vertical hasta cortar el eje X y all marcamos la unidad.

Observamos que el diagrama es simtrico y es que para las transformaciones de Lorentz elespacio y el tiempo funcionan exactamente igual.

Conviene trazar la bisectriz del cuadrante, ya que como hemos visto al comentar las figuras 5.1 y5.2, esta lnea representa la evolucin temporal de un rayo de luz (sera ms correcto decir un pulsode luz) y nos sirve de referencia para las dems lneas que trazaremos, que casi siempre sernsimtricas respecto a esta lnea de luz.

Una vez situados los puntos unitarios ya podemos representar los ejes de S con tantas divisionescomo queramos y comenzar a utilizar el diagrama de Minkowski para estudiar problemas.

En el diagrama de la figura 5.5 y en muchos de los que usaremos veremos que no se indicanunidades. El motivo es que funciona igual si son segundos y segundos-luz (como en la Fig. 5.1) oson aos y aos-luz (como en la Fig. 5.2).


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Realmente si el eje de tiempos est indicado como ct (que es lo habitual en Relatividad)significa que se usa la unidad natural: metro y metro-tiempo. Aun as con frecuencia se escribe cen uno o en ambos ejes, queriendo indicar lo mismo que en los diagramas 5.1 y 5.3.

Pero dado que los tres tipos de unidades funcionan bien, podemos interpretar el grficoindistintamente con cualquiera de las tres parejas de unidades: con metro y metro-tiempo, consegundo-luz (c) y segundo, o con ao-luz y ao.

A.5.5. Ejemplo 1: Lectura de puntos sobre un diagrama de Minkowski.

Los diagramas de Minkowski ponen en evidencia lo que se ve desde cada uno de los sistemas decoordenadas, y esto resulta muy ilustrativo para entender las paradojas de la relatividad.

Como primer ejemplo del uso de los diagramas podemos mirar como se ve un mismo sucesodesde ambos sistemas de coordenadas (un punto o par de coordenadas del espacio-tiempo).

En la figura 5.6 podemos ver que el punto rojo que en S tiene coordenadas (ct=1,7 x=1,5) se veen Scomo (ct=1,0 x=0,6).

Obsrvese que para leer las coordenadas negras trazamos lneas verticales y horizontales,

mientras que para leer las coordenadas verdes trazamos lneas oblicuas. En ambos casos las lneasque trazamos, que llamaremos lneas de lectura, son paralelas a los ejes de ese color. Las lneas delectura verdes son paralelas a los ejes verdes y las negras son paralelas a los ejes negros.

Aunque aqu no podemos extendernos explicando tcnicas de dibujo, indicaremos que sidibujamos a mano, para obtener un resultado aceptable hay que trazar las paralelas con escuadra ycartabn. Una alternativa mejor es el uso de programas de dibujo dentro del ordenador, pero estos

programas requieren horas de dedicacin. Si os interesa este tema podris encontrar manuales ycursos en internet con los que iniciaros en diversos programas de CAD, de dibujo vectorial(inkspace), de geometra o de dibujo en general (gimp).

Volviendo a los diagramas de Minkowsky, veamos como se pueden utilizar para aplicar la

transformacin de Lorentz a cambiar de un sistema a otro.

Fig. 5.6 - Representacin de la transformacin

de Lorentz (lectura de coordenadas en S y S).


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Si por ejemplo nos dan las coordenadas en el sistema S (ct=1,7 x=1,5) podemos trazar las lneasde lectura para encontrar el punto que representan (el punto rojo de la Fig. 5.6) y despus sitrazamos las lneas de lectura verdes (paralelas a los ejes verdes) a partir del punto rojo que hemosobtenido antes, podremos leer las coordenadas en el sistema verde Scomo (ct=1,0 x=0,6).

Si nos dan coordenadas de S el proceso ser a la inversa, pues deberemos comenzar por dibujar

las lneas de lectura verdes y obtener el punto rojo para despus leer en los ejes negros.La nica limitacin de estos diagramas radica en que si trazamos muchas lneas sobre un mismogrfico este pierde su efectividad para aclarar ideas. Como veremos en los ejemplos siguientes,resulta ms efectivo realizar dos grficos similares que uno con muchas lneas.

Una vez sabemos leer los diagramas de Minkowski ya estamos en condiciones de utilizar estosdiagramas para resolver problemas de R.E.. El primer problema que nos planteamos es el de aclararel significado de la contraccin de longitudes y la dilatacin de tiempos. Antes conviene introducirel concepto de lnea-mundo o lnea de evolucin en el tiempo.

A.5.6. Ejemplo 2: Lnea de evolucin de objetos quietos y en movimiento.

Consideremos una barra que mida un metro en reposo, y que S se lleva en su viaje como patrnde longitudes. Supongamos para simplificar que lo colocan con un extremo (A) sobre su origen decoordenadas (x=0) y el otro a un metro de distancia en la direccin de su eje x (x=1) ysupongamos que nunca lo mueven de all.

Hemos dibujado la posicin inicial de la barra en ct=0 como una lnea azul (Fig. 5.7) sobre eleje de las x (eje verde).

A pesar del paso del tiempo (ct=0, 1, 2, ...) la posicin del extremo A siempre es x=0, lo cualsignifica que la lnea que representa su evolucin temporal en el diagrama espacio-tiempo ser unarecta que est sobre el eje de tiempos (coincide con el eje de tiempos) ya que el eje de tiempos(verde) corresponde a todos los puntos con x=0.

Hemos dibujado en rojo sobre el eje verde ct la lnea-mundo o lnea evolutiva del extremoizquierdo (A). Anlogamente el extremo derecho B tiene una evolucin temporal o lnea-mundoparalela a la anterior (lnea roja derecha) y que pasa por la abcisa x=1, que es la posicin inicialelegida para este lateral.

Con el paso del tiempo (ct=0, 1, 2, ...) la posicin del extremo B siempre es x=1, lo cualsignifica que la lnea que representa su evolucin temporal en el diagrama espacio-tiempo ser unarecta paralela a la anterior que pasa por x=1. Es la lnea roja de la derecha.

La lnea de evolucin (o lnea-mundo) de un objeto puntualinmvil en S(como el

extremo derecho de la barra de la Fig. 14) es una lnea paralela al eje de tiempos

(lnea roja de la derecha).A pesar de estar inmvil para S no lo est para S pues se mueve con S (verde). Por

tanto la lnea de evolucin de un objeto en movimiento en un sistema no es

paralela al eje de tiempos de ese sistema.

Cualquier lnea paralela al eje de tiempos representa un objeto inmvil que evoluciona en eltiempo. Para varios instantes de tiempo (t cambia) vemos que la posicin (x) no cambia.

Visto desde S la lnea roja no es paralela al eje de tiempos (de S) y por tanto representa un objetoen movimiento, en este caso el extremo derecho de la barra (B) que se mueve con el sistema S.

Entre los objetos importantes conviene observar que la lnea roja izquierda, que coincide con el

propio eje de tiempos de S, representa el movimiento de un objeto (A) situado siempre en el origen

8/2/20

Documents

Tomeu Ferrer, La Relatividad Es Para Todos, Nivel A