TOMOGRAFIA SÍSMICA DE TEMPOS DE TRÂNSITO PARA … · universidade federal da bahia instituto de geociÊncias curso de graduaÇÃo em geofÍsica geo213 trabalho de graduaÇÃo tomografia

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

CURSO DE GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA

GEO213 � TRABALHO DE GRADUAÇÃO

TOMOGRAFIA SÍSMICA DE TEMPOS

DE TRÂNSITO PARA CAMPOS DE

VELOCIDADES PARAMETRIZADOS

POR POLINÔMIOS BIDIMENSIONAIS

USANDO O ALGORITMO METROPOLIS

YAN CARLOS VIEGAS DE JESUS

SALVADOR � BAHIA

FEVEREIRO � 2018

Tomogra�a Sísmica de Tempos de Trânsito para Campos de Velocidades

Parametrizados por Polinômios Bidimensionais usando o Algoritmo Metropolis

por

Yan Carlos Viegas De Jesus

Orientador: Prof. Dr. Wilson Mouzer Figueiró

GEO213 � TRABALHO DE GRADUAÇÃO

Departamento de Geofísica

do

Instituto de Geociências

da

Universidade Federal da Bahia

Comissão Examinadora

Dr. Wilson Mouzer Figueiró (Orientador)

Dr. Helcio Moreira Perin

Dra. Vânia Gonçalves de Brito dos Santos

Data da aprovação: 28/02/2018

Eis o que pensei: para que o mais

banal dos acontecimentos se torne

uma aventura, é preciso e basta

que nos ponhamos a narrá-lo. É

isso que ilude as pessoas: um

homem é sempre um narrador de

histórias; vive rodeado por suas

histórias e pelas histórias dos

outros, vê tudo o que lhe acontece

através delas; e procura viver sua

vida como se a narrasse.

Mas é preciso escolher: viver ou

narrar.

Jean-Paul Sartre

Resumo

Nesse trabalho, buscou-se resultados coerentes da aplicação do algoritmo Metropolis em

tomogra�a sísmica, a partir de modelos parametrizados utilizando-se funções polinomiais

bidimensionais, que permitiram representações com uma precisão razoável e com poucos

parâmetros. Para isso, o estudo foi dividido em três etapas consecutivas: parametrização

polinomial dos campos de velocidades dos modelos-alvos, modelagem direta de tempos de

trânsito e inversão sísmica. Na etapa de parametrização, buscou-se representar os modelos

sísmicos de modo único e satisfatório por um conjunto de parâmetros numéricos, sendo estes

os coe�cientes dos termos de um polinômio. Tais coe�cientes representam quantitativamente

os campos de velocidades de forma que se possa simular o processo de propagação de ondas

elásticas no interior da Terra numericamente. Na etapa de modelagem, dados sintéticos

de tempo de trânsito são calculados resolvendo-se, através do método numérico da bisse-

ção, o Two-Point Ray Tracing Problem que consiste na geração de linhas poligonais, que

representam as trajetórias de raios que sintetizam o deslocamento, em um meio isotrópico e

heterogêneo, de ondas sísmicas compressionais entre as posições de cada par fonte-receptor,

e sobre as quais são calculados os seus respectivos tempos de trânsito. Estes constituem os

dados sintéticos usados na etapa da inversão. Nesta, pretendeu-se estimar aproximações de

modelos-alvo a partir da comparação entre os dados sintéticos observados e os dados sinté-

ticos calculados em cada modelo corrente gerado pelo algoritmo de inversão de�nido pelo

método Metropolis.

Palavras-chave: Parametrização Polinomial, Tempo de Trânsito, Campo de Velocidades

Sísmicas, Tomogra�a Sísmica, Método Metropolis.

3

Abstract

In this work, we looked for coherent results of the application of the Metropolis algorithm in

seismic tomography from models parameterized using two-dimensional polynomial functions,

which allow representations with a reasonable precision and with few parameters. For this,

the study was divided into three consecutive stages: velocity �eld parameterization of the

target models, direct modeling of lapse-times, and seismic inversion. In the parameterization

step, we seeked to represent the seismic models uniquely and well by a set of numerical

parameters, these being the coe�cients of the terms of a polynomial. Such coe�cients

quantitatively represent the velocity �elds so that the process of propagation of elastic waves

into the Earth can be simulated numerically. In the modeling stage, lapse-time synthetic

data are calculated solving the �Two-Point Ray Tracing Problem� through the bissection

numerical method, which consists of the generation of polygonal lines that represent the

trajectories of rays that synthesize the displacement, into an isotropic and heterogeneous

medium, of compressional seismic waves between the positions of each source-receiver pair,

and on which are calculated the respective lapse-times. Theses constitute the synthetic

data used in the inversion step. In this, we intended to estimate approximations of each

original model from the comparison between the synthetic data observed and the synthetic

data calculated in each current model generated by the inversion algorithm de�ned by the

Metropolis method.

Keywords: Polynomial Parameterization, Travel-Time, Seismic Velocity Field, Seismic To-

mography, Metropolis Method.

4

Sumário

Resumo 3

Abstract 4

Introdução 12

1 Fundamentos teóricos 14

1.1 Parametrização dos campos de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.1 Parametrização polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 O problema direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 O traçamento de raios sísmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Algoritmo para o traçamento de raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.3 Cálculo dos tempos de trânsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.4 Solução do Two-Point Ray Tracing Problem . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.5 Método Numérico da Bisseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.6 Implementação computacional do Método da Bisseção para solução do

Two-Point Ray Tracing Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 O problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1 A tomogra�a sísmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2 O Método Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.3 Método de interpolação de Shepard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Resultados e discussões 26

2.1 Quebra da plataforma continental: Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1 As parametrizações do campo de velocidades V1 . . . . . . . . . . . . 26

2.1.2 As modelagens diretas do Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.3 As inversões de dados para o Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Sequência sedimentar: Modelo M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


5

6



2.3 Dobra sinforme: Modelo M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48




3 Conclusões 57

Agradecimentos 59

Referências 60

Lista de Tabelas

1.1 Algoritmo Metropolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 Velocidades das fácies litológicas do Modelo 1 (Santana, 2008). . . . . . . . . 27

2.2 Velocidades das camadas sedimentares do Modelo M2 consideradas do topo à

base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7

Lista de Figuras

1.1 Ilustração da trajetória de um raio entre uma fonte s e um receptor r mos-

trando o vetor vagarosidade dividido em suas componentes cartesianas (Santos

e Figueiró, 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Curvas referentes à função P com K = 1 (em lilás), com K = 10 (em verde)

e com K = 100 (em vermelho). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Modelo geológico da plataforma continental. O nível do mar é representado

pela linha horizontal no topo da imagem (Morelock e Ramirez, 2004). . . . . 26

2.2 Modelo-alvo do talude continental a ser parametrizado (Dimensões de 32.0

km por 4.0 km). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Campo de velocidades alvo, v1,3,A(x, z) da quebra da plataforma continental

parametrizado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Campo de velocidades alvo, v1,4,A(x, z), da quebra da plataforma continental


2.5 Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de veloci-

dades da quebra da plataforma continental parametrizado por polinômio de

3o grau completo, v1,3,A(x, z). A fonte está localizada na posição central da

superfície (16.0 km) com espaçamento de receptores de 80 metros e com um

o�-set de mesmo valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6 Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se

194 raios traçados sobre o campo de velocidades, v1,3,A(x, z), proveniente do

modelo da quebra da plataforma continental parametrizado por polinômio de

3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velo-

cidades, v1,4,A(x, z), da quebra da plataforma continental parametrizado por

polinômio de 4o grau completo. A fonte está localizada na posição central da

superfície (16.0 km) com os receptores espaçados entre si de 80 metros e com

um o�-set de mesmo valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8

9


220 raios traçados sobre o campo de velocidades, v1,4,A(x, z), proveniente do

modelo da quebra da plataforma continental parametrizado por polinômio de

4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.9 Campo de velocidades inicial, v1,3,O(x, z), da quebra da plataforma continental


2.10 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma con-

tinental alvo e inicial, ambos representados por polinômio de 3o grau completo. 33

2.11 Campo de velocidades invertido, v1,3,I(x, z), da quebra da plataforma conti-

nental representado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . 34

2.12 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma

continental alvo e invertido, ambos representados por polinômio de 3o grau

completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.13 Campo de velocidades inicial, v1,4,O(x, z), da quebra da plataforma continental


2.14 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma con-

tinental alvo e inicial, ambos representados por polinômio de 4o grau completo. 36

2.15 Campo de velocidades invertido, v1,4,I(x, z), da quebra da plataforma conti-

nental representado por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . . 37

2.16 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma

continental alvo e invertido, ambos representados por polinômio de 4o grau

completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.17 Modelo de sequência de estratos sedimentares a ser parametrizado (Dimensões

de 9.1 km por 3.5 km). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.18 Campo de velocidades alvo, v2,3,A(x, z), da sequência sedimentar parametri-

zado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.19 Campo de velocidades alvo, v2,4,A(x, z), da sequência sedimentar parametri-



dades da sequência sedimentar parametrizado por polinômio de 3o grau com-

pleto, v2,3,A(x, z). A fonte está localizada na posição (12, 0) com os receptores

espaçados entre si de um valor de 80 metros e com um o�-set de mesmo valor. 41


105 raios traçados sobre o campo de velocidades, v2,3,A(x, z), provenientes do

modelo da sequência de camadas sedimentares parametrizado por polinômio

de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10


dades da sequência sedimentar parametrizado por polinômio de 4o grau com-

pleto, v2,4,A(x, z). A fonte está localizada na posição central da superfície (4.55

km) com os receptores espaçados entre si por uma distância de 80 metros, com

um o�-set de mesmo valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.23 Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-

se 99 raios traçados sobre o campo de velocidades, v2,4,A(x, z), proveniente do

modelo da sequência de camadas sedimentares parametrizado por polinômio

de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.24 Campo de velocidades inicial, v2,3,O(x, z), da sequência sedimentar parametri-


2.25 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da sequência sedimentar alvo

e inicial, ambos representados por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . 44

2.26 Campo de velocidades invertido, v2,3,I(x, z), da sequência sedimentar repre-

sentado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


e invertido, ambos representados por polinômio de 3o grau completo. . . . . 45

2.28 Campo de velocidades inicial, v2,4,O(x, z), da sequência sedimentar parametri-



e inicial, ambos representados por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . 46

2.30 Campo de velocidades invertido, v2,4,I(x, z), da sequência sedimentar repre-

sentado por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


e invertido, ambos representados por polinômio de 4o grau completo. . . . . 47

2.32 Campo de velocidades alvo, v3,3,A(x, z), proveniente do modelo da dobra sin-

forme parametrizado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . 48

2.33 Campo de velocidades alvo, v3,4,A(x, z), proveniente do modelo da dobra sin-

forme parametrizado por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . 49


cidades da dobra sinforme que foi parametrizado por polinômio de 3o grau

completo, v3,3,A(x, z). A fonte está localizada na posição central da superfície

(4.55 km) com espaçamento entre receptores de 80 metros e com um o�-set

de mesmo valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

11



modelo da dobra sinforme parametrizado por polinômio de 3o grau completo. 50


cidades da dobra sinforme que foi parametrizado por polinômio de 4o grau

completo, v3,4,A(x, z). A fonte está localizada na posição (12, 0) com espaça-

mento entre receptores de 80 metros e com um o�-set de mesmo valor. . . . 51



modelo da dobra sinforme parametrizado por polinômio de 4o grau completo. 51

2.38 Campo de velocidades inicial, v3,3,O(x, z), parametrizado por polinômio de 3o

grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.39 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e inicial, proveniente do

modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 3o grau

completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.40 Campo de velocidades, v3,3,I(x, z), invertido, referente ao modelo da dobra

sinforme parametrizado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . 53

2.41 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e invertido provenientes

do modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 3o grau

completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.42 Campo de velocidades inicial, v3,4,O(x, z), parametrizado por polinômio de 4o

grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.43 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e inicial provenientes do

modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 4o grau

completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.44 Campo de velocidades invertido, v3,4,I(x, z), parametrizado por polinômio de

4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.45 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e invertido provenientes

do modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 4o grau

completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Introdução

A tomogra�a sísmica de tempos de trânsito consiste numa técnica de imageamento de subsu-

perfície que leva em consideração os tempos de viagem da onda entre cada par fonte-receptor.

Com um conjunto de vários tempos de trânsito registrados por diferentes receptores, faz-se

necessário aplicar algum método de inversão com o objetivo de construir um modelo que

melhor represente a distribuição de velocidades sísmicas compressionais das estruturas em

subsuperfície. Ela possui melhor resolução do que o método sísmico tradicional, em parte

devido a possibilidade do uso de fontes de frequências mais altas (Rodrigues, 2015).

Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento e implementação, em linguagem de

programação FORTRAN e utilizando o software MATLAB, das técnicas de traçamento de

raios e do método Metropolis de inversão para estimativa de parâmetros de campos sintéticos

de velocidades sísmicas compressionais parametrizados por funções polinomiais bidimensio-

nais. Dessa forma, todo o estudo consistiu de três etapas consecutivas: parametrização dos

campos de velocidades referentes aos modelos-alvos, modelagem direta e inversão sísmica de

tempos de trânsito.

Na primeira fase, a da parametrização, enfocou-se na representação grá�ca aceitavel-

mente acurada dos campos de velocidades sísmicas compressionais de modelos geológicos

relativamente simples utilizando-se funções polinomiais bidimensionais. O número de termos

dos polinômios foi convenientemente escolhido para atender as �nalidades práticas requeri-

das pela representação aproximativa, que consiste no uso da menor quantidade possível de

coe�cientes e que, ainda, permita uma qualidade su�cientemente aceitável na representação

dos modelos. A parametrização é importante na medida em que representa um modelo por

meio de parâmetros que podem ser tratados matematicamente em processos numéricos, tais

como a modelagem e a inversão (Perin, 2014). No primeiro, estes parâmetros são conhecidos,

enquanto que no segundo, eles são incógnitos (Perin, 2014).

Na modelagem direta, o trabalho consistiu na geração arti�cial de per�s sintéticos de

tempos de trânsito de primeira chegada de ondas sísmicas compressionais proveniente de

uma fonte e registrados em receptores estrategicamente posicionados em superfície. Para a

obtenção desses tempos, utilizou-se a técnica de traçamento de raios sísmicos, a qual simula

12

13

computacionalmente a propagação de ondas em um meio geológico isotrópico e heterogêneo

representado pelos campos de velocidades parametrizados. Neste caso, o Two-Point Ray

Tracing Problem foi abordado utilizando-se o método numérico da bisseção na determinação

dos ângulos de saída dos raios a partir da fonte que melhor possibilitassem a chegada desses

raios nos respectivos receptores (menor distância possível entre o ponto de chegada do raio

e a posição do receptor).

A última etapa consistiu na utilização do método de inversão de escopo global Metro-

polis para estimar os parâmetros dos modelos que melhor se adequassem aos dados sintéticos

de tempo de trânsito, ou seja, que minimizaram a diferença entre os dados sintéticos observa-

dos e os dados calculados de forma aproximada nos modelos correntes do processo iterativo.

Também nesta etapa, a qualidade dos resultados e da aplicação do método de inversão em

si foi analisada e discutida.

O computador utilizado para os experimentos foi um Positivo modelo Unique S1550 de

processador AMD Vision Dual Core C-70 APU with RadeonTM HD Graphics 1.00 GHz.

Capítulo 1

Fundamentos teóricos

1.1 Parametrização dos campos de velocidades

A parametrização de campos de velocidades consiste em tornar quantitativos modelos geo-

lógicos, a princípio, apenas susceptíveis a análises qualitativas, de forma a possibilitar sua

manipulação através de ferramentas matemáticas e sua representação por meio de parâmetros

numéricos (Oliveira, 2015). A escolha do tipo de parametrização é de grande importância,

pois, esta in�uenciará na execução e�ciente das etapas posteriores do presente estudo.

1.1.1 Parametrização polinomial

O tipo de parametrização usada nesse trabalho, para três modelos, foi a polinomial bidimen-

sional, dada por

v(x, z) =N∑

i+j=0

Ci,jxizj (1.1)

cujas variáveis x e z consistem, respectivamente, no afastamento horizontal e na profundidade

a partir da superfície. O valor de N deverá ser determinado de forma que ele seja o menor

possível; isso será vantajoso para a economia de memória computacional e na velocidade

dos cálculos nas etapas de modelagem e de inversão. Além disso, uma menor quantidade de

parâmetros do modelo torna menos penoso o processo de inversão.

A parametrização polinomial atribui pra si as diversas vantagens e facilidades inerentes

à manipulação de polinômios. Estes são in�nitamente diferenciáveis e integráveis em todos

os pontos de seu domínio, o que facilita a sua manipulação na etapa do traçamento de raios,

alocam pouca memória computacional e, ainda, favorece a redução da ambiguidade nos pro-

cedimentos de inversão devido ao fato de existir uma interdependência entre os coe�cientes

polinomiais (Santana, 2008). Porém, suas maiores vantagens tornam-se seus maiores defei-

tos. O fato de as funções polinomiais serem contínuas em todos os pontos de seu domínio traz

14

15

di�culdades e limitações na representação de variações abruptas ou irregulares de velocidades

sísmicas, tais como as encontradas em regiões de falhas e não-conformidades sedimentares,

por exemplo. Esses fatores, portanto, restringem sua aplicação a modelos geológicos suaves,

contínuos e de relativa simplicidade, como os utilizados nesse trabalho.

1.2 O problema direto

A solução do problema direto na sísmica de tempos de trânsito consiste na aplicação da

técnica de traçamento de raios para o cálculo de tempos de trânsito da onda sísmica que

se propaga no campo de velocidades parametrizado. Esses dados sintéticos de tempo de

trânsito foram utilizados como �dados observados� na etapa de inversão.

1.2.1 O traçamento de raios sísmicos

O traçamento de raios, realizado na etapa da modelagem direta, está fundamentado na teoria

do raio sísmico. Embora seja muito bem aceita, esta fornece apenas uma solução aproximada

da equação da onda sísmica, pois, sua aplicação é restrita a frequências su�cientemente altas,

o que geralmente não ocorre na sísmica, onde as baixas frequências comumente atuam (Perin,

2014). Entretanto, consegue-se aceitavelmente resolver problemas práticos da sísmica através

da aplicação desse princípio (Souza, 2004). A confecção de trajetos de raios sísmicos é muito

mais econômico, computacionalmente, do que a resolução da equação da onda para simular

a propagação ondulatória em meios heterogêneos (Santos, 2014). A técnica do traçamento

de raios deriva da solução particular do sistema de equações do raio (�ervený, 2001), dado

pelo sistema dX(τ)

dτ= P(τ)

dP(τ)

dτ=

1

2~∇[

1

v2(x(τ), z(τ))

],

(1.2)

onde X(τ) = (x(τ), z(τ)) é o vetor posição no percurso do raio; P(τ) = (Px(τ), Pz(τ)),

chamado de vagarosidade, é o vetor tangente à trajetória do raio no ponto (x(τ), z(τ)), que,

em meios isotrópicos, é ortogonal à frente de onda e satisfaz a equação eikonal (Alves, 2014),

que por sua vez, é dada por:

||P||2 =√Px

2 + Pz2 =

1

v(x, z), (1.3)

onde v(x, z) é a velocidade de propagação da onda compressional em um ponto (x, z) do

campo de velocidades sísmicas; || · ||2 representa a norma euclidiana; e τ é o parâmetro do

16

raio, que não tem um signi�cado físico determinado (Alves, 2014), tem dimensão L2T−1 no

sistema internacional (SI), e é de�nido segundo a equação integral:

τ =

∫ t

0

v2dt, (1.4)

sendo t, o tempo de trânsito ao longo da trajetória do raio. Nesse trabalho, o valor de τ uti-

lizado para o traçamento de raios em todos os experimentos realizados foi de 0, 0125km2s−1.

1.2.2 Algoritmo para o traçamento de raios

Segundo o princípio de Fermat, considera-se que a trajetória C percorrida pela onda é tal

que, nela, o tempo de trânsito de propagação da onda é mínimo. Esse tempo de trânsito

pode ser calculado através da equação integral dada por

ti =

∫Ci

ds

v(x, z), (1.5)

para i = 1, ...,M ; onde M é a quantidade de receptores considerados num experimento

particular, ds representa um comprimento in�nitesimal do caminho e Ci é a trajetória curva

que liga a fonte ao i-ésimo receptor.

Para se realizar o traçamento numérico dos raios, é necessário expandir as equações 1.2

em série de Taylor e truncá-las no termo de primeira ordem, obtendo-se:X(τ + δτ) = X(τ) +

dX(τ)

dτ· δτ = X(τ) + P(τ) · δτ

P(τ + δτ) = P(τ) +dP(τ)

dτ· δτ = P(τ) +

1

2~∇[

1

v2(x(τ), z(τ))

]· δτ.

(1.6)

Com a implementação e aplicação dessas aproximações sobre um campo de velocidades

parametrizado, consegue-se uma trajetória poligonal que descreve o percurso do raio sísmico.

Dentro de um procedimento iterativo, o vetor vagarosidade, satisfazendo a equação eikonal, é

sempre atualizado durante a geração de segmentos, �pedaço por pedaço�, do traçado sísmico.

Esse mesmo traçado tem como ponto de partida aquele que representa a localização da fonte

sísmica e, a cada atualização do vetor posição, que depende do gradiente do quadrado da

vagarosidade, os vértices da poligonal serão calculados consecutivamente. O raio tende a se

�encurvar� a medida que encontra variações de velocidade no meio, de forma que, ao partir

da fonte localizada na superfície, ele percorre um caminho em subsuperfície e retorna - é o

que se espera - à superfície onde é suposto estar localizados receptores.

1.2.3 Cálculo dos tempos de trânsito

Durante a confecção do raio sobre um modelo de velocidades parametrizado, é calculado

o tempo de viagem da onda sísmica ponto a ponto, considerando-se, sempre, a atualização

17

sucessiva do vetor vagarosidade. Estes tempos são acumulados durante as sucessivas iterações

do programa. O somatório de todos esses tempos - de cada segmento da poligonal até o �nal

do trajeto que representa a localização do receptor - resulta no tempo de trânsito total da

onda para percorrer a trajetória do raio.

Dessa forma, considerando a velocidade, ou o seu inverso, a vagarosidade, da onda

sísmica na região na qual ela se propaga, o tempo gasto no percurso da fonte ao receptor é

dado (Costa, 2015) por:

t(xN+1, zN+1) =N∑j=0

1

vj·√

(xj+1 − xj)2 + (zj+1 − zj)2, (1.7)

onde vj é a velocidade da onda no ponto (xj, zj).

A implementação computacional, realizada, neste trabalho, em linguagem FORTRAN,

é feita de forma simpli�cada através da �conversão� para sua versão computacional, dada

por:

t(xN+1, zN+1) = t(xN , zN) +1

vN·√

(xN+1 − xN)2 + (zN+1 − zN)2, (1.8)

a qual é acionada a cada iteração, supondo que t(x0, z0) = 0. Assim, os tempos de trânsito

de cada trecho são calculados e somados de forma acumulativa, até obter-se o tempo total

no �nal do trajeto, onde o raio atinge um certo receptor.

1.2.4 Solução do Two-Point Ray Tracing Problem

A solução do Two-Point Ray Tracing Problem busca determinar um possível trajeto para

o raio sísmico em subsuperfície que consiga interligar dois pontos distintos, estando ambos

localizados em superfície ou com um ponto em superfície e outro dentro de um poço, por

exemplo. Esses dois pontos distintos representam as localizações da fonte sísmica e de um

determinado receptor no espaço ou, de forma mais simpli�cada, no plano da seção do meio

em estudo.

Na intenção de simular uma aquisição tomográ�ca, a aplicação do traçamento de raios,

aqui, pretende estimar os tempos de trânsito dos raios que conectam a fonte sísmica a

cada receptor em superfície, cujas localizações foram previamente de�nidas. Para que essa

ligação entre fonte e receptor seja estabelecida pelo raio, certas condições iniciais devem

ser determinadas (Rodrigues, 2015). Nesse trabalho, a determinação dessas condições se

resume na busca do melhor ângulo de partida θ que faz com que o raio chegue a um ponto

na superfície o mais próximo possível de um determinado receptor, obedecendo a um certo

desvio pré-�xado.

Dentre os vários métodos numéricos existentes na literatura, foi escolhido, aqui, para

o cálculo do ângulo de partida do raio, na fonte, o método da bisseção. Este é um método

18

simples e de fácil implementação em linguagem de programação e será discutido a seguir.

1.2.5 Método Numérico da Bisseção

O método da bisseção é uma ferramenta numérica cujo �núcleo duro� é a aplicação prática

do Teorema de Bolzano do Cálculo para aproximar raízes de funções. Este a�rma que se

f : [a, b] −→ R, f(x) é uma função contínua tal que f(a) ·f(b) < 0, então existe um r ∈ (a, b)

tal que f(r) = 0 (Burden e Faires, 2013).

Partindo-se desse princípio, para aproximar-se da raíz da equação f(x) = 0, toma-se

como primeira aproximação o ponto médio do intervalo [a, b], isto é,

x0 =(a+ b)

2. (1.9)

Se, neste caso, resultar que f(x0) = 0, r = x0 e a raíz foi, então, encontrada. Caso contrário,

opta-se por uma dentre as duas hipóteses a seguir. Primeiro veri�ca-se se f(a) · f(x0) < 0.

Em caso a�rmativo, r ∈ (a, x0) e, portanto, tomamos como uma segunda aproximação da

raíz de f(x) o ponto médio desse intervalo, isto é,

x1 =(a+ x0)

2. (1.10)

Se a primeira hipótese não for satisfeita, veri�ca-se, então, se f(x0) · f(b) < 0. Em caso

a�rmativo, r ∈ (x0, b) e, portanto, tomamos como a segunda aproximação da raíz de f(x) o

ponto médio desse intervalo, isto é,

x1 =(x0 + b)

2. (1.11)

Esse procedimento é repetido quantas vezes for necessária, em sucessivas iterações, até

que uma aproximação satisfatória da raíz de f(x) seja encontrada.

1.2.6 Implementação computacional do Método da Bisseção para

solução do Two-Point Ray Tracing Problem

Na busca do melhor ângulo de partida para o raio que liga as posições de cada par fonte-

receptor, aplicamos o método da bisseção impondo um desvio máximo, δ, entre a posição, xR,

do receptor na superfície e a posição, xC , de chegada do raio, para que, assim, obtenhamos

os tempos de trânsito da onda relativos a cada posição de receptor desejada utilizando o

traçamento de raios. Desta forma, o procedimento pode ser realizado obedecendo-se o plano

a seguir:

19

Seja niter o número de iterações do procedimento. Tomando-se niter = 1, temos θ0 = a,

θ1 = b e

θ2 =θ0 + θ1

2, (1.12)

sendo a e b extremos de um intervalo angular [0, π2], por exemplo. Veri�ca-se logo, então, o

critério de parada, ou seja, se

|xR − xC(θ2)| ≤ δ. (1.13)

Em caso a�rmativo, θ2 será, portanto, o ângulo desejado. Caso contrário, a próxima iteração

é iniciada veri�cando-se uma das duas hipóteses. Primeiramente, se xC(θ0) · xC(θ2) < 0,

de�nimos, portanto, θ1 = θ2. Se a primeira hipótese não for satisfeita, veri�ca-se a segunda,

ou seja, se xC(θ2)·xC(θ1) < 0, então de�nimos theta0 = θ2. Satisfeita uma das duas hipóteses

acima, obtemos uma segunda aproximação para o ângulo de partida dada pela Equação 1.12.

Novamente, veri�ca-se o critério de parada. Caso não satisfeito, inicia-se uma nova iteração

tendo como dados de partida os resultados da iteração anterior.

Figura 1.1: Ilustração da trajetória de um raio entre uma fonte s e um receptor r mostrando o

vetor vagarosidade dividido em suas componentes cartesianas (Santos e Figueiró, 2011).

Esse procedimento será repetido consecutivas vezes até que o critério de parada seja

satisfeito e, então, a melhor aproximação para o ângulo de partida do raio será determinada.

Um segundo critério de parada pode ser acrescentado, como um número máximo de iterações,

por exemplo.

20

1.3 O problema inverso

1.3.1 A tomogra�a sísmica

O objetivo basal da geofísica é obter informações a cerca dos parâmetros físicos das rochas

que constituem o interior da Terra a partir de dados medidos em superfície, em poços ou

em levantamentos aéreos (Rodrigues, 2015). Na modelagem direta, aplicam-se as equações

que descrevem as leis da física sobre um modelo previamente de�nido para a obtenção de

dados de resposta referentes aos parâmetros físicos desse tal modelo. Em contra partida, no

problema inverso, já se possui os dados de resposta, aqueles obtidos através de levantamentos,

e, portanto, o objetivo agora é a estimativa de um modelo que, quando aplicado a uma

determinada relação físico-matemática, melhor se adeque aos dados medidos.

A tomogra�a sísmica é uma metodologia de inferência de parâmetros numéricos, usada

na geofísica, que extrai informações contidas em registros sísmicos para estimar modelos bi-

ou tridimensionais do interior da Terra (Rawlinson et al., 2010). Em geral, requer a solução

de um problema inverso para se obter um modelo de velocidades sísmicas que seja consistente

com as observações de campo. Desde que seja possível estabelecer um modelo aproximado

d = g(m), entre o vetor de dados sísmicos d e o vetor de parâmetros do modelo sísmico m

� de modo que, para um dado modelo m, seja possível prever d - procura-se, na tomogra�a

sísmica, encontrar m tal que dobs = g(m), onde dobs é o vetor de dados observados.

As relações do tipo d = g(m), em sua grande maioria, são não-lineares e insolucionáveis

analiticamente (Rodrigues, 2015), por isso, busca-se a linearização dessas relações através de

métodos numéricos. Com isso, devido a essa não-linearidade do problema inverso, a superfície

da função-objetivo dos tempos de trânsito pode não vir a ser simples, bem comportada ou

com um único mínimo bem de�nido.

Devido, também, ao caráter discreto dos dados geofísicos, faz-se necessário o uso de uma

formulação matricial para o tratamento desses dados (Rodrigues, 2015). O objetivo agora,

então, é criar uma aproximação linearizada Gm = d, onde d é um vetor p-dimensional que

carrega os dados medidos nos levantamentos, m é um vetor n-dimensional que carrega os

parâmetros do modelo o qual se quer estimar a partir das medidas, e G é uma matriz de

dimensões p por n que, se inversível, nos levaria facilmente a solução do problema através da

relaçãom = G−1d. Todavia, na quase totalidade dos problemas geofísicos, os problemas são

mal postos (Rodrigues, 2015), ou seja, não obedecem aos critérios de existência, unicidade

e estabilidade simultaneamente; e Gm = d constitui-se num sistema sobredeterminado

(m > n), onde G não é, à rigor, inversível; e, portanto, se faz necessário o uso de métodos

numéricos mais complexos e, também, a consulta de informações geológicas à priori que, de

alguma forma, limite os graus de liberdade do problema.

21

A tomogra�a sísmica possui grande importância no processamento sísmico. Através

dela, é possível extrair diversas informações dos registros sísmicos, os quais se incluem tempos

de trânsito, amplitudes, conteúdo de frequências ou, até mesmo, a forma total da onda. Ela

pode ser considerada, por exemplo, um complemento natural para a migração sísmica, pois

oferece um meio de estimar a velocidade e a profundidade de interfaces usando tempos de

trânsito e, com menos frequência, amplitudes de espalhamento geométrico e coe�cientes de

re�exão/transmissão (Rawlinson et al., 2010).

1.3.2 O Método Metropolis

Neste trabalho, o método utilizado para a inversão dos dados de tempo de trânsito foi o

Método Metropolis. Este consiste em um algoritmo de inversão probabilístico - derivado do,

já bastante conhecido na literatura, Método Monte Carlo (Whitlock e Kalos, 2008) - que se

utiliza de sucessivas iterações para a maximização de uma determinada função probabilidade.

Sua e�ciente capacidade de �escapar� de mínimos locais e, entretanto, sua pouca acurácia

na estimativa do melhor resultado aproximado o caracterizam como um método de escopo

global (Cerqueira, 2015).

Seja d = g(m) o �elo� matemático que relaciona o vetor dos dados de tempo de trânsito

observados d, obtidos diretamente do modelo-alvo, e o vetor de parâmetros do modelo, m, o

qual se busca melhor estimar. No presente caso, o vetor dos parâmetros m será o conjunto

dos coe�cientes do polinômio que representa o modelo de velocidades considerado como o

mais consistente com os dados observados. O algoritmo Metropolis parte de um modelo

inicial M para, logo em seguida, aplicar-lhe uma pequena perturbação ∆M para todos os

seus graus de liberdade, resultando, assim, em um novo modelo N. Esses modelos gerados

obedecerão certas restrições provenientes de informações a priori sobre a geologia da região

onde os dados teriam sido, a princípio, coletados. No passo seguinte, como primeiro critério

de parada, o erro quadrático referente ao modelo N, dado por

E(N) = ||dobs − g(N)||22, (1.14)

será comparado a um número ε de valor arbitrário positivo e bem pequeno. Se esse erro for

menor do que ε, o modelo atual N é considerado satisfatório e o processo é encerrado. Caso

contrário, será subtraído de E(N) um valor referente ao erro quadrático do modelo inicial

M, dado por:

E(M) = ||dobs − g(M)||22. (1.15)

Se esse resultado, E(N)−E(M), for um número menor do que zero, o modelo M assumirá

os parâmetros do modelo N e o processo voltará para o seu início com a geração de um

novo modelo N, caso contrário, uma última etapa é aplicada ao processo. Esta consiste na

22

geração de um número aleatório A pertencente ao intervalo [0, 1]. O valor de A, então, será

comparado ao resultado de uma determinada função probabilidade P, a qual também só

fornece valores entre 0 e 1 e, aqui, é expressa por:

A < P (N,M) = exp [−K · (E(N)− E(M))2], (1.16)

cuja constante K é um número real e positivo. Sendo A menor do que P, o modelo M,

também, assumirá os parâmetros do modelo N, levando o processo de volta ao início, caso

contrário, o modelo N atual será descartado e um novo será gerado, utilizando-se, também,

de uma perturbação, a partir do mesmo modelo inicial M, reiniciando o processo.

Um K pequeno (K = 1), a princípio, é necessário para que o método tenha uma maior

liberdade para �passear� sobre a superfície referente a função P (N,M) e, também, tenha

mais chances de escapar da �atração� de prováveis máximos locais. Entretanto, a medida

em que o número de iterações vai aumentando e a diferença E(N)−E(M) vai �cando bem

pequena, fazendo com que os valores de P (N,M) se aproximem cada vez mais do valor

máximo 1, essa maior liberdade pode se tornar malé�ca ao processo. Neste caso, A poderá

assumir cada vez mais valores dentro de seu intervalo e as chances do método ser �lançado�

para longe de uma possível boa aproximação do máximo global aumentam. Desta forma, é

razoável que o valor de K seja modi�cado no decorrer do processo na proporção inversa da

diferença E(N)− E(M). Neste trabalho, essa modi�cação foi feita manualmente, seguindo

critérios intuitivos do programador. A partir do momento em que a diferença E(N)−E(M)

assumia valores abaixo de 0.00001, uma modi�cação do K fazia-se necessária. A Figura 1.2

ilustra o comportamento da curva P versus [E(N)− E(M)] com o aumento de K.

Figura 1.2: Curvas referentes à função P com K = 1 (em lilás), com K = 10 (em verde) e com

K = 100 (em vermelho).

Um número máximo de iterações, independente da qualidade do resultado encontrado,

23

foi adicionado como um segundo critério de parada do algoritmo. O processo será encerrado

quando um dos critérios for satisfeito. A Tabela 1.1 sintetiza bem os passos do algoritmo

Metropolis.

1o passo Insere-se um modelo inicial M.

2o passo Gera-se um modelo N a partir da perturbação dos parâmetros

do modelo M. Por exemplo, N = M + ∆M. Esse ∆M pode ser

obtido a partir de uma percentagem de M (30%, por exemplo) ou,

também, pode ser função do erro quadrático de M.

3o passo Veri�ca-se o primeiro critério de parada. Se ||dobs − g(N)||22 < ε,

para um valor de ε arbitrário, o programa é encerrado e N é

considerado o modelo invertido. Se não, é dada uma nova chance

ao modelo N.

4o passo Se ||dobs − g(N)||22 − ||dobs − g(M)||22 < 0, o modelo M assume

os parâmetros do modelo N e o processo é reiniciado, retornando-se

ao 2o passo, para a geração de um novo modelo N. Se não, é

dada uma terceira e última chance para o modelo N.

5o passo Gera-se um número aleatório A ∈ [0, 1]. Se

A < exp [−K · (||dobs − g(N)||22 − ||dobs − g(M)||22)2],novamente, o modelo M assume os parâmetros do modelo N e o

processo é reiniciado, retornando-se ao 2o passo, para a geração

de um novo modelo N. Se não, o modelo N atual é descartado

e um novo é gerado, considerando-se o atual modelo M como

inicial, e retornando-se ao 1o passo.

Passo extra Um número máximo de iterações, Niter, ou um tempo máximo de

processamento, tmax, independentemente da qualidade dos

resultados, são previamente estabelecidos como critérios de

parada secundários.

Tabela 1.1: Algoritmo Metropolis.

Aqui, uma rotina de traçamento de raios, em linguagem FORTRAN, assumiu o papel

24

da função g. Essa rotina calcula os tempos de trânsito para todos os raios, para ângulos

de partida com passos de 0, 5 graus dentro de um intervalo de 0 a 180 graus, e depois uma

outra rotina, também implementada em linguagem FORTRAN, interpola esses valores para

estimar os tempos de trânsito, tcalc, referentes às posições dos receptores. Na interpolação

desses tempos de trânsito, foi utilizado o método de Shepard, o qual é descrito na seção

seguinte.

1.3.3 Método de interpolação de Shepard

A mais simples forma de interpolação ponderada pelos quadrados dos inversos das distâncias

é, também, conhecida como método de Shepard. Este é usado para estimar, para quaisquer

pontos desejados, valores de uma função desconhecida baseados em dados constituídos por

pontos pré-determinados da curva - ou superfície, no caso bidimensional (Cozac, 2003), e é

descrito pela equação discreta dada por:

F (x) =n∑i=1

wifi, (1.17)

onde n é o número de elementos do dado utilizado na interpolação, fi representa os valores

da função já conhecidos, e wi representa as funções-peso referentes a cada ponto conhecido.

As funções-peso são calculadas através da equação dada por

wi =h−pi∑nj=1 h

−pj

, (1.18)

onde p é um número real positivo arbitrário, que na maioria das vezes - e também nesse

trabalho - é de�nido como p = 2, e hi é a distância de cada dado ao ponto no qual se deseja

interpolar, isto é,

hi = |x− xi|, (1.19)

onde x é a coordenada do ponto a ser interpolado e xi é a coordenada de cada dado observado.

Essas funções-peso variam dentro de um intervalo entre 1 (valor assumido exatamente sobre

o ponto a ser interpolado) até valores que se aproximam de zero, quando a distância a tal

ponto aumenta. As funções-peso são normalizadas de forma que seu somatório resulta na

unidade.

Durante o processo de inversão, em cada iteração, para cada modelo de velocidades

testado, são calculados 360 tempos de trânsito para raios cujos ângulos de partida variam

com passo de 0.5 dentro de um intervalo de 0 a 180 graus. Utilizando o conjunto das posições,

já conhecidas, de cada receptor, seus respectivos tempos de trânsito são estimados através

do método de Shepard, usando a equação dada por

tcalc(xR) =360∑i=1

witi, (1.20)

25

onde ti representa os tempos de trânsito referentes a cada ângulo de partida dos 360 raios

traçados. Um dos modelos será considerado satisfatório quando um dos critérios de parada

do algoritmo Metropolis for atingido.

Capítulo 2

Resultados e discussões

As etapas de parametrização dos campos de velocidades, de modelagem direta e de inversão

foram implementadas em linguagem de programação FORTRAN e aplicadas a três modelos

geológicos distintos. As imagens referentes aos campos de velocidades foram geradas através

do software MATLAB.

2.1 Quebra da plataforma continental: Modelo M1

2.1.1 As parametrizações do campo de velocidades V1

O primeiro modelo a ser estudado foi um recorte da quebra da plataforma continental,

também chamada de talude continental (Figura 2.1).

Figura 2.1: Modelo geológico da plataforma continental. O nível do mar é representado pela

linha horizontal no topo da imagem (Morelock e Ramirez, 2004).

26

27

Na etapa de parametrização, foi atribuído a esse modelo as dimensões de 32.0 km de

distância horizontal e 4.0 km de profundidade (Figura 2.2).

Figura 2.2: Modelo-alvo do talude continental a ser parametrizado (Dimensões de 32.0 km por

4.0 km).

Materiais ou rochas Velocidades compressionais (km/s)

Água salgada 1,5

Sedimentos 2,0

Sedimentos continentais siliciclásticos 3,0

Folhelho deltaico 3,2

Sedimentos indiferenciados 4,0

Calcilutito 2,4

Folhelho 2,6

Evaporito 4,2

Calcário de água rasa 4,5

Bacia metamór�ca 5,0

Calcário 4,8

Sal 6,3

Tabela 2.1: Velocidades das fácies litológicas do Modelo 1 (Santana, 2008).

Esse modelo-alvo foi coberto por uma malha contendo 512 células retangulares, cada

28

uma com dimensões de 1.0 km por 0.25 km, cujas velocidades são assumidas constantes no

interior de cada uma dessas células. As velocidades referentes a cada fácies litológica foram

de�nidas levando em consideração a complexa heterogeneidade do modelo (Tabela 2.1). O

Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) foi utilizado na determinação dos coe�cientes dos

polinômios.

Optou-se aqui por aplicar duas parametrizações a este modelo: um polinômio de grau 3

e outro de grau 4, ambos completos. Essas foram processadas independentemente, de forma

que, no �nal do trabalho, os resultados pudessem ser comparados e discutidos. O polinômio

de grau 3, considerando o modelo-alvo, obtido foi:

v1,3,A(x, z) = 1.333819 + 0.030947x+ 1.363748z + 0.000615x2

− 0.052343xz + 0.052891z2 − 0.000059x3 − 0.000185x2z

+ 0.014128xz2 − 0.025960z3,

(2.1)

com todos os seus 10 coe�cientes determinados através do Método dos Mínimos Quadrados

implementado no software MATLAB.

Figura 2.3: Campo de velocidades alvo, v1,3,A(x, z) da quebra da plataforma continental para-

metrizado por polinômio de 3o grau completo.

Como pode ser visto através da Figura 2.3, o modelo de velocidades se aproxima pouco

do modelo geológico, mas já dá para se notar certas características, tais como: o mergulho das

camadas perto da quebra da plataforma, o crescimento das velocidades com a profundidade

e a permanência dessas dentro do intervalo estabelecido.

29

Na segunda experiência, foi usada a parametrização com um polinômio de grau 4,

também completo, com 15 coe�cientes; este é considerado o modelo-alvo e é dado por:

v1,4,A(x, z) = 1.956552− 0.117224x+ 0.157235z + 0.013984x2

+ 0.103905xz + 0.645283z2 − 0.000736x3 − 0.002755x2z

− 0.036602xz2 − 0.158435z3 + 0.000013x4 − 0.000081x3z

+ 0.001615x2z2 − 0.000162xz3 + 0.016885z4.

(2.2)

Aqui, o aumento na quantidade de parâmetros (5 a mais) é compensada pela delimitação mais

destacada das camadas e pela acentuação dos mergulhos das mesmas na região do talude,

além de outras características mostradas na parametrização anterior que foram mantidas

(Figura 2.4).

Figura 2.4: Campo de velocidades alvo, v1,4,A(x, z), da quebra da plataforma continental para-

metrizado por polinômio de 4o grau completo.

2.1.2 As modelagens diretas do Modelo M1

Na modelagem direta, o traçamento de raios foi aplicado em ambos os campos de velocidades.

O arranjo de aquisição na parametrização com polinômio de grau 3 consistiu de uma fonte

no ponto central (16, 0) da superfície e 89 receptores no lado esquerdo e 105 no lado direito

da fonte - totalizando-se 194 tempos de trânsito registrados - estando estes espaçados por

uma distância de 80 metros, sendo este mesmo valor atribuído ao o�-set. Como mostrado na

Figura 2.5, o método da bisseção funcionou muito bem na estimativa dos ângulos de partida

30

e os raios cobriram uma considerável região no centro do modelo, alcançando uma grande

profundidade.

Figura 2.5: Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velocidades da

quebra da plataforma continental parametrizado por polinômio de 3o grau completo, v1,3,A(x, z).

A fonte está localizada na posição central da superfície (16.0 km) com espaçamento de receptores

de 80 metros e com um o�-set de mesmo valor.

Figura 2.6: Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se 194

raios traçados sobre o campo de velocidades, v1,3,A(x, z), proveniente do modelo da quebra da

plataforma continental parametrizado por polinômio de 3o grau completo.

31

Figura 2.7: Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velocidades,

v1,4,A(x, z), da quebra da plataforma continental parametrizado por polinômio de 4o grau com-

pleto. A fonte está localizada na posição central da superfície (16.0 km) com os receptores

espaçados entre si de 80 metros e com um o�-set de mesmo valor.


raios traçados sobre o campo de velocidades, v1,4,A(x, z), proveniente do modelo da quebra da

plataforma continental parametrizado por polinômio de 4o grau completo.

O traçamento de raios também foi aplicado à parametrização com polinômio de grau

4, utilizando-se o mesmo arranjo de aquisição e espaçamento dos receptores, diferenciando,

32

apenas, na quantidade destes: 110 em cada lado da fonte, num total de 220. O uso de um

número maior de receptores nesse caso foi para que o traçamento dos raios tomasse uma

maior parte do campo e atingisse maiores profundidades, como mostrado na Figura 2.7. O

método da bisseção, aqui, também se mostrou e�ciente e e�caz nas estimativas dos ângulos

de partida dos raios e todos os 220 dados de tempo de trânsito foram calculados com bastante

acurácia em relação às posições previamente estabelecidas dos receptores.

Os per�s sintéticos de tempos de trânsito provenientes de ambas as parametrizações

podem ser visualizados através das Figuras 2.6 e 2.8.

2.1.3 As inversões de dados para o Modelo M1

A etapa de inversão foi realizada sobre os dados de tempo de trânsito provenientes dos dois

modelos de velocidades parametrizados. O algoritmo Metropolis, como a grande maioria

dos métodos de inversão de escopo global, não depende muito de um modelo inicial que

esteja próximo do modelo-alvo, porém, quanto maior a distância entre estes dois, maior

serão o número de iterações e o tempo gasto em processamento e, também, maior será o

risco da rotina �car �presa� em um mínimo local. Por isso, nesse trabalho, optou-se por

inserir modelos iniciais simples, porém pertencentes a um contexto geológico que poderia

nos fornecer informações a priori. Isso é feito rotineiramente nas inversões geofísicas, de

forma a utilizar informações já conhecidas no processamento dos dados.

Figura 2.9: Campo de velocidades inicial, v1,3,O(x, z), da quebra da plataforma continental

parametrizado por polinômio de 3o grau completo.

33

Figura 2.10: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma conti-

nental alvo e inicial, ambos representados por polinômio de 3o grau completo.

Na inversão de dados de tempo de trânsito para a parametrização com polinômio de

grau 3 foi inserido o modelo inicial, que pode ser visualizado através da Figura 2.9. Aqui, a

rotina de inversão em linguagem FORTRAN tomou como satisfatórios os modelos invertidos

cujo erro quadrático absoluto entre os tempos de trânsito sintéticos registrados e calculados

fosse menor do que 0,09. Devido à �essência probabilística� do algoritmo Metropolis, que

faz com que ele �salte� para longe de prováveis mínimos locais, a rotina foi rodada diversas

vezes, executando milhares de iterações, na busca de um modelo invertido que obtivesse o

melhor ajuste, isto é, o que alcançasse o menor erro.

O modelo inicial utilizado, o qual pode ser visualizado através da Figura 2.9, é dado

porv1,3,O(x, z) = 0.1 + 0.00001x+ 0.1z + 0.00001x2 − 0.00001xz + 0.1z2

− 0.00001x3 − 0.00001x2z + 0.00001xz2 + 0.1z3.(2.3)

O modelo invertido que melhor se ajustou ao alvo, com erro quadrático de 0,085, foi

dado por

v1,3,I(x, z) = 1.8161892 + (1.1898 · 10−6)x+ 0.74808931z + (1.0597 · 10−6)x2

− (3.4927 · 10−6)xz + (6.334705 · 10−2)z2 − (3.30191 · 10−5)x3

− (4.3873 · 10−6)x2z + (8.4778 · 10−6)xz2 + (9.8063312 · 10−3)z3

(2.4)

e, como pode ser visualizado através da Figura 2.11, apesar de apresentar resultados aceitá-

veis dentro do limite de convergência, o ajuste não foi ótimo, justamente devido à falta de

34

precisão do método Metropolis. Contudo, sua aplicação foi razoavelmente e�ciente e e�caz

na aproximação das velocidades de boa parte do campo, principalmente nas regiões próximas

a superfície, com desvios abaixo de 10 %.

Figura 2.11: Campo de velocidades invertido, v1,3,I(x, z), da quebra da plataforma continental

representado por polinômio de 3o grau completo.


nental alvo e invertido, ambos representados por polinômio de 3o grau completo.

35

As Figuras 2.10 e 2.12 mostram os erros, em relação ao modelo-alvo, do modelo inicial

e do modelo invertido, respectivamente. Tais erros foram calculados em porcentagem e são

dados pela equação

e(m) =|vA − v(m)|2

|vA|2× 100, (2.5)

onde vA representa o campo de velocidades alvo e v(m) representa o campo de velocidades

para o qual se deseja calcular o erro.

Para a parametrização com polinômio de grau 4, foi inserido na rotina de inversão o

modelo inicial dado por:

v1,4,O(x, z) = 0.1 + 0.00001x+ 0.1z + 0.00001x2 − 0.00001xz + 0.1z2 − 0.00001x3

− 0.00001x2z + 0.00001xz2 + 0.1z3 + 0.0000001x4 − 0.0000001x3z

+ 0.0000001x2z2 − 0.0000001xz3 + 0.0000001z4

(2.6)

e mostrado na Figura 2.13.

Figura 2.13: Campo de velocidades inicial, v1,4,O(x, z), da quebra da plataforma continental


36


nental alvo e inicial, ambos representados por polinômio de 4o grau completo.

Como melhor resultado, foi obtido o modelo invertido dado por

v1,4,I(x, z) = 1.7171021 + (6.5190 · 10−6)x+ 1.0574208z + (4.7147 · 10−6)x2

− (1.17117 · 10−5)xz + (2.16320641 · 10−2)z2 − (6.69860 · 10−5)x3

− (2.6048 · 10−6)x2z + (1.09512 · 10−5)xz2 + (6.8326084 · 10−3)z3

+ (6.045 · 10−7)x4 − (4.806 · 10−7)x3z + (1.4374 · 10−6)x2z2

− (1.632 · 10−7)xz3 + (7.246 · 10−7)z4,

(2.7)

cujo resultado da inversão também não foi ótimo, como pode ser visto na Figura 2.15, mas

aproximou, também, de forma razoável os valores de velocidades de boa parte do modelo,

mantendo o erro abaixo de 10 %, e o intervalo de velocidades convergiu para o que foi

previamente estabelecido. As Figuras 2.14 e 2.16 mostram os erros, em relação ao modelo-

alvo, do modelo inicial e do modelo invertido, respectivamente.

Os modelos invertidos obtidos, tanto o referente à parametrização com polinômio de

grau 3 quanto ao de grau 4, apresentaram um ajuste razoavelmente aceitável, com um desvio

bem baixo, entretanto não alcançaram o modelo alvo. Desta forma, esses modelos obtidos,

apesar de bem próximos, não correspondem ao mínimo global de suas respectivas superfícies

de erro quadrático, embora não tenha �cado aprisionado a um mínimo local.

37

Figura 2.15: Campo de velocidades invertido, v1,4,I(x, z), da quebra da plataforma continental

representado por polinômio de 4o grau completo.


nental alvo e invertido, ambos representados por polinômio de 4o grau completo.

38

2.2 Sequência sedimentar: Modelo M2


O modeloM2 (Figura 2.17) representa uma simples sequência de estratos sedimentares com-

posta por 7 camadas �nalizadas abaixo por um embasamento.

Figura 2.17: Modelo de sequência de estratos sedimentares a ser parametrizado (Dimensões de

9.1 km por 3.5 km).

Camadas Velocidades compressionais (km/s)

Camada 1 (azul escuro) 2,0

Camada 2 (azul claro) 2,5

Camada 3 (verde) 3,0

Camada 4 (amarelo) 3,75

Camada 5 (laranja) 4,5

Camada 6 (vermelho) 5,25

Camada 7 (marrom) 6,0

Embasamento (cinza) 6,5

Tabela 2.2: Velocidades das camadas sedimentares do Modelo M2 consideradas do topo à base.

Foi aplicada sobre esse modelo-alvo uma malha com 875 células, com dimensões de 0.26

km por 0.14 km, cujas velocidades sísmicas foram consideradas constantes no interior de

cada uma delas (Tabela 2.2).

39

Como no caso anterior, foram feitas duas parametrizações sobre esse modelo: uma com

polinômio de grau 3 completo e a outra de grau 4 também completo. A parametrização com

polinômio de grau 3, cujos 10 coe�cientes foram obtidos através do método dos mínimos

quadrados, foi dada por

v2,3,A(x, z) = 5.086999− 1.376030x+ 1.982083z + 0.128255x2

+ 0.210173xz − 0.660855z2 − 0.000349x3 − 0.050388x2z

+ 0.075375xz2 + 0.062059z3,

(2.8)

e a parametrização com polinômio de grau 4, com seus 15 coe�cientes, foi dada por

v2,4,A(x, z) = 4.951476− 1.403392x+ 1.996211z + 0.184576x2

− 0.235099xz + 0.143676z2 − 0.002369x3 − 0.052627x2z

+ 0.276631xz2 − 0.4184924z3 − 0.000614x4 + 0.007670x3z

− 0.029600x2z2 + 0.011986xz3 + 0.063622z4.

(2.9)

Figura 2.18: Campo de velocidades alvo, v2,3,A(x, z), da sequência sedimentar parametrizado

por polinômio de 3o grau completo.

40

Figura 2.19: Campo de velocidades alvo, v2,4,A(x, z), da sequência sedimentar parametrizado


Através das Figuras 2.18 e 2.19, apesar da má delimitação das camadas mais superiores,

pode-se notar os limites do embasamento bem acentuados, como também o mergulho das

camadas na região de aporte sedimentar e o crescimento das velocidades com a profundidade.


Aqui também, o traçamento de raios foi aplicado sobre as duas parametrizações. O arranjo

de aquisição utilizado na parametrização com polinômio de grau 3 consistiu-se de uma fonte

localizada no ponto (12, 0) e receptores a sua direita espaçados entre si por 80 metros, com

o�-set de mesmo valor, totalizando-se 105 dados de tempo de trânsito coletados. Como

mostrado na Figura 2.20, o método da bisseção funcionou muito bem na estimativa dos

ângulos de partida dos raios, os quais atingiram grandes profundidades e abrangeram boa

parte do modelo.

Já na parametrização com polinômio de grau 4, o arranjo utilizado consistiu-se de uma

fonte localizada no ponto (4.55, 0.0) com 43 e 56 receptores localizados, respectivamente,

a sua esquerda e a sua direita, espaçados por uma distância de 80 metros, com 0�-set de

mesmo valor. Os 99 tempos de trânsito foram estimados com bastante acurácia. O método

da bisseção, nesse caso, também se mostrou e�ciente na determinação dos ângulos de partida

dos raios, porém estes não atingiram regiões mais profundas do modelo, como pode ser visto

através da Figura 2.22, limitando-se a um alcance de aproximadamente 1.0 km.

41


sequência sedimentar parametrizado por polinômio de 3o grau completo, v2,3,A(x, z). A fonte

está localizada na posição ( 12 , 0) com os receptores espaçados entre si de um valor de 80 metros

e com um o�-set de mesmo valor.


raios traçados sobre o campo de velocidades, v2,3,A(x, z), provenientes do modelo da sequência

de camadas sedimentares parametrizado por polinômio de 3o grau completo.

Os per�s sintéticos de tempos de trânsito resultantes de ambas as parametrizações


42


sequência sedimentar parametrizado por polinômio de 4o grau completo, v2,4,A(x, z). A fonte

está localizada na posição central da superfície (4.55 km) com os receptores espaçados entre si

por uma distância de 80 metros, com um o�-set de mesmo valor.


raios traçados sobre o campo de velocidades, v2,4,A(x, z), proveniente do modelo da sequência

de camadas sedimentares parametrizado por polinômio de 4o grau completo.

43


Para a inversão de dados provenientes da parametrização com polinômio de grau 3, foi

utilizado o modelo inicial dado por:

v2,3,O(x, z) = 1.0− 1.0x+ 1.0z + 0.01x2 + 0.1xz − 0.1z2

+ 0.01x3 + 0.01x2z − 0.01xz2 − 0.01z3(2.10)

e mostrado na Figura 2.24.

Como melhor resultado, foi obtido o modelo invertido mostrado na Figura 2.26, dado

por:v2,3,I(x, z) = 4.2276907− 0.57642692x+ 0.64197284z

+ (6.1320960 · 10−3)x2 + (5.13986088 · 10−2)xz

− 0.13582385z2 − (5.1235775 · 10−3)x3

+ (1.22161070 · 10−2)x2z − (1.87565908 · 10−2)xz2

− (8.9281555 · 10−3)z3,

(2.11)

que também não correspondeu ao mínimo global da superfície de erro quadrático, apesar do

erro entre os tempos observados e calculados �car abaixo de 0,01.

Figura 2.24: Campo de velocidades inicial, v2,3,O(x, z), da sequência sedimentar parametrizado


44

Figura 2.25: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da sequência sedimentar alvo e

inicial, ambos representados por polinômio de 3o grau completo.

Figura 2.26: Campo de velocidades invertido, v2,3,I(x, z), da sequência sedimentar representado


45


invertido, ambos representados por polinômio de 3o grau completo.

As Figuras 2.25 e 2.27 evidenciam a efetividade razoável na aproximação das velocidades

no modelo invertido. Este, em comparação ao modelo inicial utilizado que possuía valores

de velocidades com desvios, de acordo com a Equação 2.5, de mais de 800 %, manteve sua

maior parte com desvios abaixo dos 15 %.

A Figura 2.28 mostra o modelo inicial, dado por

v2,4,O(x, z) = 1.0− 1.0x+ 1.0z + 0.01x2 + 0.1xz + 0.1z2 + 0.01x3

+ 0.00001x2z − 0.00001xz2 − 0.01z3 + 0.00001x4 − 0.00001x3z

+ 0.001x2z2 − 0.00001xz3 + 0.001z4,

(2.12)

utilizado para inversão dos dados referentes à parametrização com polinômio de grau 4. O

modelo invertido é mostrado pela Figura 2.30 e expresso por

v2,4,I(x, z) = 3.3582947− 0.32839814x+ (2.26736199 · 10−2)z

+ (2.6690217 · 10−3)x2 + 0.16552605xz + 0.21741621z2

+ (9.883578 · 10−4)x3 + (6.241 · 10−7)x2z − (3.5281 · 10−6)xz2

− (1.2066842 · 10−3)z3 + (3.1971 · 10−6)x4

− (4.550300 · 10−4)x3z + (7.337781 · 10−4)x2z2

− (3.689 · 10−7)xz3 + (7.631934 · 10−4)z4.

(2.13)

Este, assim como todos os resultados até aqui, não convergiu, visualmente, para o modelo

alvo, porém seu erro quadrático entre os tempos observados e calculados �cou abaixo de

46

0,09. Nesse caso, o resultado pode ter sido in�uenciado também pela pouca profundidade

alcançada pelas trajetórias dos raios sísmicos na etapa de modelagem direta.

Figura 2.28: Campo de velocidades inicial, v2,4,O(x, z), da sequência sedimentar parametrizado



inicial, ambos representados por polinômio de 4o grau completo.

47

Figura 2.30: Campo de velocidades invertido, v2,4,I(x, z), da sequência sedimentar representado



invertido, ambos representados por polinômio de 4o grau completo.

Através das Figuras 2.29 e 2.31, pode-se notar uma razoável aproximação das veloci-

dades, obtendo-se desvios abaixo dos 20 %. Entretanto, o método Metropolis não foi capaz

de atingir o mínimo global da superfície de erro quadrático referente a essa parametrização,

embora não tenha �cado aprisionado em um mínimo local.

48

2.3 Dobra sinforme: Modelo M3


Mais dois campos sintéticos foram construídos para a aplicação do algoritmo de inversão

Metropolis. Um deles, o v3,3,A(x, z), foi parametrizado através do uso de um polinômio de

grau 3, expresso por

v3,3,A(x, z) = 2.0− 0.1x+ 1.0z + 0.05x2 − 0.05xz + 0.05z2

− 0.0005x3 + 0.0005x2z + 0.0005xz2 + 0.005z3,(2.14)

e o outro, o v3,4,A(x, z), foi parametrizado por um polinômio de grau 4, expresso por

v3,4,A(x, z) = 2.0− 0.1x+ 1.0z + 0.05x2 − 0.05xz + 0.05z2

− 0.0005x3 + 0.0005x2z + 0.0005xz2 + 0.005z3

+ 0.00005x4 − 0.00005x3z − 0.0005x2z2

+ 0.0005xz3 − 0.005z4.

(2.15)

O modelo v3,4,A não se difere muito do v3,3,A, pois os coe�cientes dos termos a mais

atribuem pouca in�uência a estes no comportamento matemático do polinômio. Além disso,

suas dimensões foram �xadas em 9.0 km de comprimento horizontal e 3.5 km de profundi-

dade, e seu intervalo de velocidades vai de 1.5 km/s a 8.0 km/s. Esses dois modelos podem

ser visualizados através das Figuras 2.32 e 2.33.

Figura 2.32: Campo de velocidades alvo, v3,3,A(x, z), proveniente do modelo da dobra sinforme


49

Figura 2.33: Campo de velocidades alvo, v3,4,A(x, z), proveniente do modelo da dobra sinforme


Em relação à aplicação do método de inversão proposto nesse trabalho, pode-se dizer

que a interpretação geológica desses modelos não é particularmente relevante. De qualquer

maneira, os modelos acima podem ser vistos como uma sequência de camadas sedimenta-

res curvadas devido a um processo de dobramento, podendo ser um recorte de uma dobra

sinforme, por exemplo.


O traçamento de raios foi aplicado a esses modelos utilizando-se um arranjo de aquisição

com uma fonte localizada no ponto central (4.55, 0.0) da superfície com 50 e 56 receptores,

respectivamente, a sua esquerda e a sua direita, totalizando-se 106 dados de tempo de trânsito

a serem coletados, como pode ser visto nas Figuras 2.34 e 2.36.

O método da bisseção se mostrou, novamente, e�ciente e e�caz na determinação dos

ângulos de partida dos raios. Apesar de o conjunto de receptores abranger quase todo o com-

primento horizontal do modelo, em nenhuma das duas parametrizações os raios alcançaram

regiões profundas, limitando-se a profundidades não maiores do que 1km.

Os per�s sintéticos de tempos de trânsito resultantes de ambas as parametrizações


50


dobra sinforme que foi parametrizado por polinômio de 3o grau completo, v3,3,A(x, z). A fonte

está localizada na posição central da superfície (4.55 km) com espaçamento entre receptores de

80 metros e com um o�-set de mesmo valor.

Figura 2.35: Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se

99 raios traçados sobre o campo de velocidades, v3,3,A(x, z), proveniente do modelo da dobra

sinforme parametrizado por polinômio de 3o grau completo.

51

Figura 2.36: Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velocidades

da dobra sinforme que foi parametrizado por polinômio de 4o grau completo, v3,4,A(x, z). A

fonte está localizada na posição ( 12 , 0) com espaçamento entre receptores de 80 metros e com

um o�-set de mesmo valor.

Figura 2.37: Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se

99 raios traçados sobre o campo de velocidades, v3,4,A(x, z), proveniente do modelo da dobra

sinforme parametrizado por polinômio de 4o grau completo.

52


Com a inserção de um modelo inicial bastante simples, porém próximo do alvo, dado por

v2,4,O(x, z) = 0.1 + 0.1x+ 0.1z + 0.00001x2 − 0.00001xz + 0.1z2

− 0.00001x3 + 0.00001x2z + 0.00001xz2 + 0.1z3,(2.16)

e mostrado na Figura 2.38, o modelo invertido obtido referente ao campo v3,3,I(x, z), com

erro quadrático entre os tempos observados e calculados menor do que 0,002, foi dado por

v3,3,I(x, z) = 1.1426421 + 0.30133614x+ 1.3349454z + (8.723 · 10−7)x2

− (2.1584 · 10−6)xz + (8.1099076 · 10−3)z2 − (8.0980 · 10−6)x3

+ (2.00707 · 10−5)x2z + (7.2262 · 10−6)xz2 + (7.25508481 · 10−2)z3.

(2.17)

Assim como visto para os modelos anteriores, veri�ca-se aqui que o método Metropolis

não consegue gerar resultados muito próximos ao modelo alvo, como pode ser constatado

através das Figuras 2.39 e 2.41. Porém, nota-se uma redução de quase 60 %, de acordo com a

Equação 2.5, em relação aos erros associados aos modelos inicial e invertido, principalmente

na região próxima à superfície coberta pelos traçados dos raios na etapa da modelagem

direta.

Figura 2.38: Campo de velocidades inicial, v3,3,O(x, z), parametrizado por polinômio de 3o grau

completo.

53

Figura 2.39: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e inicial, proveniente do

modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 3o grau completo.

Figura 2.40: Campo de velocidades, v3,3,I(x, z), invertido, referente ao modelo da dobra sinforme


54

Figura 2.41: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e invertido provenientes do


A Figura 2.42 mostra o modelo inicial, dado por

v3,4,O(x, z) = 0.1 + 0.1x+ 0.1z + 0.00001x2 − 0.00001xz + 0.1z2

− 0.00001x3 + 0.00001x2z + 0.00001xz2 + 0.1z3

+ 0.00001x4 − 0.00001x3z − 0.00001x2z2

+ 0.00001xz3 + 0.00001z4,

(2.18)

utilizado na inversão dos dados referentes ao modelo M3. O modelo invertido, que foi dado

porv3,4,I(x, z) = 1.9286937− (7.16151968 · 10−2)x+ 1.5578419z

+ (4.7571752 · 10−3)x2 − (4.0348540 · 10−3)xz

+ (1.27109066 · 10−2)z2 − (1.115733 · 10−4)x3

+ (6.20892 · 10−5)x2z + (1.563611 · 10−4)xz2

+ (9.0010352 · 10−3)z3 + (5.5792 · 10−6)x4

− (7.9038 · 10−6)x3z − (1.20267 · 10−5)x2z2

+ (1.79733 · 10−5)xz3 − (1.1981908 · 10−3)z4,

(2.19)

e cujo erro quadrático �cou abaixo de 0,04, é mostrado pela Figura 2.44.

O resultado aqui também se mostrou, visualmente, bastante distante do modelo-alvo,

como já era de se esperar, porém os desvios, dados pela Equação 2.5, referentes à aproximação

das velocidades de boa parte do modelo reduzem-se para menos de 15 %, como pode ser visto

55

através das Figuras 2.43 e 2.45. Pode-se notar que os grandes desvios foram �deslocados� das

regiões próximas à superfície para regiões mais profundas, fornecendo uma boa aproximação

das velocidades naquela região.

Figura 2.42: Campo de velocidades inicial, v3,4,O(x, z), parametrizado por polinômio de 4o grau

completo.

Figura 2.43: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e inicial provenientes do


56

Figura 2.44: Campo de velocidades invertido, v3,4,I(x, z), parametrizado por polinômio de 4o

grau completo.

Figura 2.45: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e invertido provenientes do


Capítulo 3

Conclusões

Em todos os seis experimentos realizados nesse trabalho, o método Metropolis se con�rmou

pouco preciso no ajuste dos modelos, o que já era esperado de um método de inversão de

escopo global. Visualmente, os modelos invertidos se mostraram bastante distantes de seus

respectivos modelos alvos, entretanto os resultados não foram tão "condenáveis". O algo-

ritmo Metropolis se mostrou e�caz na geração de campos de velocidades que se mantiveram

dentro dos intervalos de velocidades correspondentes aos dos modelos originais e que apro-

ximaram razoavelmente bem, com desvios abaixo dos 20 % em extensas regiões de cada

modelo, os valores dessas velocidades.

Em geral, no processo de inversão, os experimentos com parametrização com polinômio

de grau 4 se mostraram relativamente mais demorados na estimativa dos parâmetros do que

os experimentos com polinômio de grau 3. Evidentemente, isso se deve a maior quantidade

de parâmetros envolvidos, o que acarretou um consumo maior de tempo de processamento

naqueles. Entretanto, os resultados das duas parametrizações se mantiveram bastante pró-

ximos, com as aproximações das velocidades bastante parecidas.

Os experimentos com o modelo M1 geraram resultados muito bons, tanto quantitati-

vamente quanto qualitativamente, considerando os modelos iniciais bastante distantes uti-

lizados. A maior qualidade desses resultados, em comparação com os outros experimentos,

também deve-se, provavelmente, ao maior número de dados de tempo de trânsito �coletados�

na etapa da modelagem direta. Os experimentos com os modelos M2 e M3 também gera-

ram resultados bastante satisfatórios, apesar de pouco coerentes visualmente. Entretanto,

considerando os modelos inicias bastante �absurdos� utilizados, com valores de velocidade

bastante distorcidos, o algoritmo Metropolis, tratando-se de um método de escopo global, se

mostrou bastante e�caz em seus resultados.

Em síntese, apesar dos baixos erros, nenhuma das soluções obtidas nos experimentos

correspondeu ao mínimo global de suas respectivas superfícies de erro quadrático. Entre-

57

58

tanto, os resultados fornecidos pelo método Metropolis se mostram bons candidatos a mo-

delos iniciais a serem utilizados por métodos de inversão mais precisos. Ou seja, faria-se

necessário a aplicação em conjunto do algoritmo Metropolis com um método de inversão

de escopo local para garantir uma convergência mais segura e precisa em direção à solução

verdadeira.

Agradecimentos

Finaliza-se com esse trabalho mais uma fase da minha vida e, com certeza, esse conjunto de

experiências rendeu muitas risadas, muita sabedoria adquirida, algumas amizades e aumen-

tou a velha bagagem de maturidade.

Primeiramente, gostaria de agradecer aos meus pais, Carlos e Hildete, pelo suporte

moral e �nanceiro que me possibilitou chegar até aqui. Gostaria de agradecer, também, aos

meus tios, Mamal e Roberto, por terem me mostrado o caminho do conhecimento, e a toda

minha família na qual nunca faltou e nunca faltará amor, carinho e união.

Agradeço a todos os professores com os quais me deparei durante todo o curso, que

nunca relutaram em compartilhar um pouco de conhecimento; ao meu orientador, Prof.

Wilson Figueiró, pelo apoio e disponibilidade durante os �trabalhos�; aos colegas de curso,

tanto aqueles que ingressaram comigo em 2014.1 quanto os de outras eras com os quais dividi

boas risadas, enfrentei desa�os e pretendo manter contato ainda por muitas eras geológicas;

aos meus amigos que estão comigo desde outras épocas e cujas opiniões, conselhos e resenhas

foram e continuam sendo de grande valor pra mim; e a todas as pessoas aleatórias com as

quais tive o prazer ou desprazer de conviver ao longo de toda minha vida, elas também

agregaram, portanto, �tá� valendo.

En�m, Binhos e Binhas, para toda essa galera �gente �na�, só mando-lhes �um abraço!�

e continuem jogando duro.

59

Referências

Alves, M. R. S. (2014) Obtenção de per�s e campos de tempos de trânsito para modelos

de velocidades sísmicas parametrizados por série ondaleta Haar, Trabalho de graduação,

Universidade Federal da Bahia, Salvador, Brasil.

Burden, R. L. e Faires, J. D. (2013) Análise numérica, Cengage Learning, 8th edition.

Cerqueira, A. G. (2015) Inversão sísmica tomográ�ca de campos de velocidades parametri-

zados por série ondaleta Haar usando o método Metropolis, Dissertação de mestrado,


Costa, A. J. (2015) Tomogra�a sísmica com campos de velocidades parametrizados por série

ondaleta gaussiana, Dissertação de mestrado, Universidade Federal da Bahia, Salvador,

Brasil.

Cozac, I. (2003) Shepard method - from approximation to interpolation, Studia Univ. "Babes

Bolyai", Mathematica, 48:49�52.

Morelock, J. e Ramirez, W. (2004) Marine geology, Página eletrônica, Departa-

mento de Ciências Marinhas da Universidade de Puerto Rico, Porto Rico [on-

line] [citado em 21 de Janeiro de 2018]. Disponível na World Wide Web:

http://www.geology.uprm.edu/Morelock/.

Oliveira, K. E. S. (2015) Série ondaleta Haar bidimensional aplicada na parametrização de

campos de velocidades sísmicas, Trabalho de graduação, Universidade Federal da Bahia,

Salvador, Brasil.

Perin, H. M. (2014) Tomogra�a sísmica usando parametrização por série ondaleta Haar de

campos de velocidades, Tese de doutorado, Universidade Federal da Bahia, Salvador,

Brasil.

Rawlinson, N.; Pozgay, S. e Fishwick, S. (2010) Seismic tomography: A window into deep

earth, Elsevier, 178:101�135.

Rodrigues, V. H. S. R. (2015) Aplicação da tomogra�a de tempos de trânsito a dados do

campo de Miranga, Bacia do Recôncavo, Dissertação de mestrado, Universidade Federal

da Bahia, Salvador, Brasil.

60

61

Santana, J. L. S. (2008) Diferentes parametrizações do campo de velocidades sísmicas do mo-

delo da quebra da plataforma continental, Trabalho de graduação, Universidade Federal

da Bahia, Salvador, Brasil.

Santos, R. S. (2014) Estudo avaliativo da modelagem numérica de tempos de trânsito através

do traçamento de raios sísmicos, Trabalho de graduação, Universidade Federal da Bahia,

Salvador, Brasil.

Santos, V. G. B. e Figueiró, W. M. (2011) Seismic ray tomography using l1 integral norm,

Revista Brasileira de Geofísica, 29:347�358.

Souza, A. E. C. M. (2004) Campos de tempos de trânsito obtidos por traçamento de raios sís-

micos em campos de velocidades com parametrização polinomial, Trabalho de graduação,


�ervený, V. (2001) Seismic ray theory, Cambridge University Press, Cambridge.

Whitlock, P. e Kalos, M. (2008) Monte Carlo Methods, Wiley - Interscience, New York.

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