PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática

Matemática para Economia I – Profa. MSc. Daniela Rodrigues Ribas

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Tópico 05 - Funções: aplicações

ALGUNS MODELOS ECONÔMICOS REPRESENTADOS POR FUNÇÕES

FUNÇÕES DE OFERTA E DEMANDA LINEAR A demanda ou procura de um bem depende de vários fatores: preço, qualidade, concorrência, renda do consumidor, gostos, clima,... Vamos supor todos esses fatores constantes, exceto o preço, então podemos expressar a quantidade demandada (x) em função do preço (y) através da equação y = ax+b. Observamos que, em geral, a demanda ou procura de um produto diminui à medida que o preço desse produto aumenta, isto é, a demanda é expressa através de uma reta com declividade negativa (a < 0). Salientamos que somente os segmentos que estão no primeiro quadrante têm sentido para a análise econômica. A oferta linear tem declividade positiva porque a oferta (vontade de vender) de um produto cresce com o aumento do preço.

Diz-se que existe equilíbrio de mercado em relação a determinado produto, quando a quantidade ofertada é igual à quantidade demandada dessem produto. Algebricamente o ponto de equilíbrio é a solução do sistema formado pelas equações de demanda e oferta.

p r e ç o

p r e ç o

yy

x a > 0 quantidade ofertada a < 0 quantidade demandada

x

Oferta

p r e ç o

y

quantidade

Equilíbrio

xDemanda

Exemplo

Dadas as funções q = 2p - 2 e q = -p + 13, respectivamente oferta e demanda para um certo produto, determina:

a) o ponto de equilíbrio de mercado;

b) os seus gráficos no mesmo sistema de eixos.

Exercícios 1) Com um preço de R$ 5,00 por unidade, uma fábrica oferecerá mensalmente 5.000 lanternas de pilha; a

R$ 3,50 por unidade, ela oferecerá 2.000 unidades. Determina a equação da função de oferta para este produto. Traça o gráfico desta equação.

2) Dado o sistema ⎩⎨⎧

+=−=

2435

xyxy

a) determina qual das equações expressa curva de oferta;

b) determina qual expressa curva de demanda;

c) determina o ponto de equilíbrio;

d) esboça os gráficos.

FUNÇÕES CUSTO TOTAL, RECEITA TOTAL E LUCRO TOTAL

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de x e à relação entre eles chamamos função custo total (e indicamos por Ct). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos que não dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da quantidade produzida, chamamos custo fixo (e indicamos por Cf). À parcela de custos que depende de x chamamos custo variável (e indicamos por Cv). Desta forma, podemos escrever:

Ct(x) = Cf + Cv(x)

Exemplo: se a função Custo Total para produzir “x ” unidades de um certo produto é dado pela função C(x) = x3 – 30x2 + 400x + 500, determina: a) o custo fixo; b) custo variável; c)o custo de fabricação de 10 unidades; d) o custo de fabricação de 11 unidades. e)o custo de fabricação da 11a unidade.

Chama-se custo médio de produção ou custo unitário (e indica-se por Cm) o custo total dividido pela quantidade, isto é:

xxCxC t

m)()( =

Exemplo: se a função Custo Total é dada por C(x) = x3 – 30x2 + 400x + 500, determina a função custo médio.

Suponhamos agora que x unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de x e a função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p=f(x). Assim, a receita total pode ser expressa através da função demanda como:

R(x) = p.x = x.f(x)

Exemplo: se a demanda de um certo produto é dada pela função q = -2x + 100 , determina: a) a função Receita; b) a receita decorrente da venda de 5 unidades; c) a receita decorrente da venda de 6 unidades; d) a receita decorrente da venda da 6a unidade;

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Lucro total: chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo total, isto é:

L(x) = R(x) − Ct(x)

Os valores de x para os quais o lucro é nulo são chamados de pontos críticos ou pontos de nivelamento.

Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções. O interesse básico é achar o lucro.Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as raízes da função lucro total. Outro problema é achar o lucro máximo. Para polinômios de 2º grau, será suficiente determinar o vértice da parábola, no caso em que esta tenha os ramos para baixo. A abscissa do vértice será o ponto de máximo (quantidade produzida que torna o lucro máximo) e a ordenada do vértice do vértice será o valor máximo do lucro

x

y Receita Total

a - pontos de nivelamento - b

Custo Total

y

a b

o .

EXERCÍCIOS

1) O custo fixo de uma empresa é 500u.

é dada pela expressão 4021

+−= xp

a) as funções receita, custo total e lucb) o intervalo onde o lucro total é posc) o preço que deve ser cobrado para

2) Um grupo de estudantes, dedicado 600u.m. e, em material, gasta 25u.m.Determina:

a) quantas unidades os estudantes teb) quantas unidades os estudantes te

3) Dadas as funções C(x) = x2 + 2x +produto, determina:

a) os pontos de nivelamento; b) os seus gráficos no mesmo sistemc) o intervalo onde não ocorre prejuíz

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m. sendo o custo variável .2021)( 2 xxxCv −= A funç

. Determina:

ro total; itivo; maximizar o lucro.

à confecção de produtos de artesanato, tem um g por unidade produzida. Cada unidade será vendida

rão de vender para obter o nivelamento; rão de vender para obter um lucro de 450u.m.

5 e R(x) = 8x, respectivamente Custo e Receita p

a de eixos; o.

x

Lucro Máxim

ão demanda

asto fixo de por 175u.m..

ara um certo

4) Dadas as funções Receita e Custo R(x) = -x2 + 5x e C(x) = ( x – 1)3 + 4 . a) Determina a função Lucro Total. b) Faz os gráficos das funções Custo Total , Custo Fixo e Custo Variável sobrepostos.

5) Uma indústria de robôs de brinquedo desenvolveu um novo modelo e vende cada unidade por R$ 20,00. O custo total para fabricar esses robôs consiste de um valor fixo de R$ 30.000,00 somado ao custo de produção de R$ 10,00 por unidade.

a) Calcula quantos robôs devem ser vendidos para que a indústria obtenha o custo total igual à receita total.

b) Faz o gráfico das funções R(x) e C(x). c) Sabendo que a receita total foi R$ 70.000,00, quantos robôs foram vendidos?

6) Um grupo de estudantes confecciona produtos de artesanato natalinos. Eles têm um gasto fixo de R$ 60,00 e gastam em material R$ 2,50 por unidade. Cada objeto será vendido por R$ 17,50.

a) Quantos objetos os estudantes devem vender para que haja nivelamento? b) Quantas unidades os estudantes terão de vender para que se obtenha lucro de R$ 75,00?

7) Uma fábrica produz óleo de soja sob encomenda, de modo que toda a produção é comercializada. O custo total de produção é composto de duas parcelas: uma fixa, independente do volume produzido, correspondente a gastos com aluguel, manutenção de equipamentos, salários,etc.; a outra variável, dependente da quantidade de óleo fabricado.

Temos representado os gráficos de R(x) e C(x) onde x sâo litros produzidos e comercializados. a) Determina o custo correspondente à parcela fixa, em reais. b) Determina o volume mínimo de óleo, em litros, que se deve produzir para que haja nivelamento

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60 000

90 000 40 000 10 000

RESPOSTAS 1) a) R=-1/2 x2 +4x , C= 1/2x2 -20x+500 e L= -x2 +60x -500 b) (10;50) c) 30 2) a) 4 b) 7 3) a)(1,8), (5,40) c) (1;5) 4)l(x) =- x2 +5x – (x-1)3-4 5) a) 3.000 robôs c) 3500 robôs 6) a) 4 objetos b) 9 unidades 7) a) R$ 10.000,00 b) 10.000 litros