FICHATCNICA Ttulo Tpicos de Fsica Edio Electrnica Copyright 2008 do autor Autor Gustavo Vitorino Monteiro da Silva Engenheiro Electrotcnico Mestre em Engenharia Electrotcnica e de Computadores e-mail: gustavo.silva@fxs.pt Foto do autor: Lus Silva, FXS Capa FXS, Gesto de Marketing, Lda. Rua Prof. Mark Athias, 4, 3 Frente 1600-646 LISBOA PORTUGAL Tel: 210 185 159 Fax: 217 599 327 www.fxs.pte-mail: info@fxs.pt ISBN: 978-972-99862-5-3 Lisboa, 2 de Abril de 2008 ao meu neto Henrique PREFCIO Este pequeno livro surge na sequncia de dar a conhecer o trabalho realizado com a leccionao da disciplina de Complementos de Fsica, da antiga licenciatura bi-etpica em Automao Controlo e Instrumentao (ACI) da Escola Superior de Tecnologia de Setbal do Instituto Politcnico de Setbal. Dasobrasjdesenvolvidassoderealar,paraalmdaspublicaesdecarcter pedaggico, efectuadas no mbito das disciplinas leccionadas, os livros de Instrumen-taoIndustrial1edio(1999),ProcessamentoDigitaldeSinais(2000),Controlo No Linear (2003) e Instrumentao Industrial 2 edio (2004). EstetrabalhonoconstituidemodoalgumumtratadosobreFsica,poisnoabarca algunsassuntosfundamentaisqueumaobradessetipodeveriaconter,comopor exemplo Termodinmica, ptica e outros. Constitui sim um pequeno conjunto de tpi-cos que foram leccionados durante alguns anos numa determinada disciplina que fazia parte do elenco curricular do curso de ACI. Emcadacaptulosoapresentadosalgunsproblemasdeaplicaoquepretendem estimular o aluno, ou o leitor, a repensar na teoria exposta e a consolidar a sua com-preenso. Os problemas do ltimo captulo foram resolvidos utilizando o Matlab, que de entre os programas de clculo cientfico que conheo aquele apresenta uma gran-deversatilidadeeelevadopotencial,aomesmotempoqueextremamentefcilde utilizar. O Autor i CONTEDO Pg. 1. MECNICA CLSSICA ...................................................................................................................... 1 1.1. CINEMTICA ...................................................................................................................................... 1 1.2. MOVIMENTO NUM PLANO .................................................................................................................. 4 1.2.1. Coordenadas polares ................................................................................................................ 4 1.2.2. Coordenadas normais ............................................................................................................... 5 1.2.3. Movimento circular ................................................................................................................... 5 1.2.4. Movimento circular uniforme ................................................................................................... 6 1.3. DINMICA DE UMA PARTCULA MATERIAL ........................................................................................ 6 1.4. MOVIMENTOS RELATIVOS ................................................................................................................. 7 1.4.1. Posio da partcula ................................................................................................................. 8 1.4.2. Velocidade da partcula ............................................................................................................ 8 1.4.3. Acelerao da partcula ............................................................................................................ 9 1.4.4. A 2 lei de Newton ................................................................................................................... 10 1.4.5. Relatividade de Galileu ........................................................................................................... 10 1.4.6. Transformao de Galileu ...................................................................................................... 10 1.5. TRABALHO E ENERGIA ..................................................................................................................... 11 1.5.1. Trabalho .................................................................................................................................. 11 1.5.2. Energia cintica ...................................................................................................................... 12 1.5.3. Impulso de uma fora .............................................................................................................. 12 1.5.4. Campo gravtico ...................................................................................................................... 12 1.5.5. Potencial e energia potencial ................................................................................................. 13 1.5.6. Conservao da energia ......................................................................................................... 14 1.5.7. Atraco universal .................................................................................................................. 14 1.5.8. Movimentos com atrito............................................................................................................ 15 1.5.9. Momento angular de uma partcula material ......................................................................... 16 1.6. DINMICA DOS SISTEMAS ................................................................................................................ 19 1.6.1. Movimento do centro de inrcia ............................................................................................. 19 1.6.2. Teorema do momento linear ................................................................................................... 20 1.6.3. Colises entre partculas e exploses ..................................................................................... 21 1.6.4. Teorema do momento angular ................................................................................................ 22 1.6.5. Energia de rotao ................................................................................................................. 23 1.7. APNDICE ........................................................................................................................................ 24 1.8. PROBLEMAS RESOLVIDOS ................................................................................................................ 25 1.8.1. Probl. 1. 1 Movimento rectilneo ......................................................................................... 25 1.8.2. Probl. 1. 2 Movimento circular ............................................................................................ 27 1.8.3. Probl. 1. 3 Movimentos relativos ......................................................................................... 29 1.8.4. Probl. 1. 4 Movimentos relativos ......................................................................................... 30 1.8.5. Probl. 1. 5 Movimento de um projctil ................................................................................ 31 1.8.6. Probl. 1. 6 - Queda de um grave ............................................................................................. 32 1.8.7. Probl. 1. 7 Movimento de um projctil ................................................................................ 34 1.8.8. Probl. 1. 8 - Movimento de um projctil ................................................................................. 35 1.8.9. Probl. 1. 9 Energia cintica e potencial .............................................................................. 37 1.8.10. Probl. 1. 10 Movimento circular uniforme ........................................................................ 38 1.8.11. Probl. 1. 11 Movimento circular uniforme ........................................................................ 39 1.8.12. Probl. 1. 12 Movimento circular uniforme ........................................................................ 40 1.8.13. Probl. 1. 13 Movimentos relativos ..................................................................................... 41 ii1.8.14. Probl. 1. 14 Mov. circ. unif. Satlites GPS ..................................................................... 44 1.8.15. Probl. 1. 15 Fora e trabalho ............................................................................................ 46 1.8.16. Probl. 1. 16 Fora e energia .............................................................................................. 47 1.8.17. Probl. 1. 17 Atraco universal ......................................................................................... 48 1.8.18. Probl. 1. 18 - Conservao do momento linear .................................................................... 49 1.8.19. Probl. 1. 19 - Conservao da energia ................................................................................. 51 1.8.20. Probl. 1. 20 - Conservao da energia ................................................................................. 53 1.8.21. Probl. 1. 21 Mov. Circular e energia cintica ................................................................... 54 1.8.22. Probl. 1. 22 Energia de rotao ......................................................................................... 55 1.8.23. Probl. 1. 23 Atrito .............................................................................................................. 56 1.8.24. Probl. 1. 24 Pndulo balstico............................................................................................ 57 1.8.25. Probl. 1. 25 Movimento de rotao e translao ............................................................... 58 1.8.26. Probl. 1. 26 Conservao do momento linear ................................................................... 59 1.8.27. Probl. 1. 27 Conservao do momento angular ................................................................ 60 2. ELECTROMAGNETISMO ................................................................................................................ 61 2.1. ELECTROSTTICA ............................................................................................................................ 61 2.1.1. Carga elctrica ....................................................................................................................... 61 2.1.2. Lei de Coulomb() ..................................................................................................................... 62 2.1.3. Campo elctrico ...................................................................................................................... 62 2.1.4. Densidade de carga ................................................................................................................ 63 2.1.5. Movimento de uma partcula carregada num campo elctrico ............................................... 64 2.2. FLUXO DO CAMPO ELCTRICO ........................................................................................................ 65 2.2.1. Fluxo de um vector .................................................................................................................. 65 2.2.2. Circulao de um vector ......................................................................................................... 65 2.2.3. Teorema de Stokes .................................................................................................................. 66 2.2.4. Fluxo do Campo Elctrico e lei de Gauss ............................................................................... 66 2.2.5. Condutores em equilbrio electrosttico ................................................................................. 68 2.2.6. ngulo slido e lei de Gauss ................................................................................................... 68 2.3. POTENCIAL ELCTRICO E CAPACIDADE ........................................................................................... 69 2.3.1. Energia potencial .................................................................................................................... 69 2.3.2. Diferena de potencial ............................................................................................................ 69 2.3.3. Potencial devido a uma carga ................................................................................................ 69 2.3.4. Potencial devido a uma distribuio de cargas ...................................................................... 70 2.3.5. Capacidade e condensadores .................................................................................................. 71 2.4. CONDUTORES E CORRENTE ELCTRICA ............................................................................................ 73 2.4.1. Corrente elctrica ................................................................................................................... 73 2.4.2. Lei de ohm ............................................................................................................................... 74 2.4.3. Energia e potncia .................................................................................................................. 75 2.4.4. Leis de Kirchhoff ..................................................................................................................... 76 2.5. CAMPO MAGNTICO. ........................................................................................................................ 77 2.5.1. Introduo ............................................................................................................................... 77 2.5.2. Fora exercida sobre a carga elctrica .................................................................................. 77 2.5.3. Fora exercida sobre a corrente elctrica .............................................................................. 78 2.5.4. Movimento de uma partcula num campo magntico ............................................................. 78 2.5.5. O efeito de Hall ....................................................................................................................... 79 2.5.6. A lei de Biot-Savart ................................................................................................................. 79 2.5.7. Fora magntica entre dois condutores paralelos .................................................................. 80 2.5.8. Lei de Ampere ......................................................................................................................... 81 2.5.9. Lei de Gauss do campo magntico.......................................................................................... 81 2.5.10. Generalizao da lei de Ampere ........................................................................................... 82 2.5.11. O magnetismo na matria ..................................................................................................... 82 2.6. AS EQUAES DE MAXWELL ........................................................................................................... 83 2.6.1. A lei da induo, de Faraday .................................................................................................. 83 2.6.2. Lei de Lenz .............................................................................................................................. 83 iii 2.6.3. As equaes de Maxwell na forma integral ............................................................................ 83 2.6.4. As equaes de Maxwell na forma diferencial ........................................................................ 84 2.6.5. Ondas electromagnticas ........................................................................................................ 85 2.6.6. O espectro das ondas electromagnticas ................................................................................ 86 2.7. FENMENOS PERIDICOS ................................................................................................................. 87 2.7.1. Exemplos de fenmenos peridicos ........................................................................................ 87 2.7.2. Representao analtica e grfica .......................................................................................... 87 2.7.3. O sinal sinusoidal ................................................................................................................... 88 2.7.4. A srie de Fourier ................................................................................................................... 90 2.7.5. O movimento harmnico simples ............................................................................................ 91 2.8. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA ............................................................................................ 93 2.8.1. Tenso alternada sinusoidal ................................................................................................... 93 2.8.2. Tenso e corrente numa resistncia ........................................................................................ 94 2.8.3. Tenso e corrente numa bobina .............................................................................................. 95 2.8.4. Tenso e corrente num condensador ...................................................................................... 97 2.8.5. Circuito RLC srie .................................................................................................................. 99 2.8.6. Energia e potncia ................................................................................................................ 101 2.8.7. Energia armazenada ............................................................................................................. 102 2.9. TRANSFORMADOR ......................................................................................................................... 103 2.9.1. Descrio .............................................................................................................................. 103 2.9.2. Equaes instantneas .......................................................................................................... 103 2.9.3. Transformador ideal ............................................................................................................. 104 2.10. CIRCUITOS TRIFSICOS ................................................................................................................ 106 2.10.1. Sistemas trifsicos ............................................................................................................... 106 2.10.2. Valores instantneos ........................................................................................................... 106 2.10.3. Diagramas vectoriais .......................................................................................................... 107 2.10.4. Ligaes em estrela e tringulo .......................................................................................... 109 2.11. LINHA DE TRANSMISSO .............................................................................................................. 110 2.11.1. Descrio e caracterizao ................................................................................................ 110 2.11.2. Equaes da linha bifilar .................................................................................................... 110 2.11.3. Factor de reflexo ............................................................................................................... 112 2.11.4. Propagao de impulsos numa linha .................................................................................. 113 2.12. PROBLEMAS RESOLVIDOS ............................................................................................................ 115 2.12.1. Problema 2. 1 Clculo do nmero de cargas ................................................................... 115 2.12.2. Problema 2. 2 Fora elctrica e gravtica ....................................................................... 115 2.12.3. Problema 2. 3 Foras e medio da carga elctrica ....................................................... 116 2.12.4. Problema 2. 4 Dipolo elctrico ........................................................................................ 118 2.12.5. Problema 2. 5 Carga sujeita a fora elctrica ................................................................. 119 2.12.6. Problema 2. 6 Campo elctrico de uma carga ................................................................. 120 2.12.7. Problema 2. 7 Potencial de uma carga ............................................................................ 121 2.12.8. Problema 2. 8 Potencial de uma esfera isolante .............................................................. 122 2.12.9. Problema 2. 9 Potencial de uma esfera condutora .......................................................... 123 2.12.10. Problema 2. 10 Potencial de 2 esferas concntricas ..................................................... 125 2.12.11. Problema 2. 11 Potencial e diferena de potencial ....................................................... 125 2.12.12. Problema 2. 12 Campo elctrico e capacidade entre 2 placas ...................................... 127 2.12.13. Problema 2. 13 Capacidade de condensadores ............................................................. 128 2.12.14. Problema 2. 14 Aplicao numrica do problema anterior ........................................... 129 2.12.15. Problema 2. 15 Efeito do dielctrico num condensador ................................................ 130 2.12.16. Problema 2. 16 Condensador com 2 dielctricos .......................................................... 131 2.12.17. Problema 2. 17 Resistncia de um condutor .................................................................. 132 2.12.18. Problema 2. 18 Tenses e correntes alternadas ............................................................ 133 2.12.19. Problema 2. 19 - Circuito RLC srie ................................................................................ 134 2.13. PROBLEMAS PROPOSTOS .............................................................................................................. 136 2.13.1. Problema 2. 20 Dipolo ..................................................................................................... 136 2.13.2. Problema 2. 21 Cargas .................................................................................................... 136 2.13.3. Problema 2. 22 Descarga de condensador ...................................................................... 136 iv2.13.4. Problema 2. 23 Resistncia .............................................................................................. 136 2.13.5. Problema 2. 24 Associao de resistncias ..................................................................... 136 2.13.6. Problema 2. 25 Associao de bobinas ........................................................................... 136 2.13.7. Problema 2. 26 Associao de condensadores ................................................................ 137 2.13.8. Problema 2. 27 Fora electromagntica sobre carga, 1.................................................. 137 2.13.9. Problema 2. 28 Fora electromagntica sobre carga, 2.................................................. 137 2.13.10. Problema 2. 29 Fora sobre uma espira ........................................................................ 137 2.13.11. Problema 2. 30 Campo magntico produzido por uma corrente ................................... 137 2.13.12. Problema 2. 31 Barra em movimento num campo magntico ....................................... 138 2.13.13. Problema 2. 32 Fora de uma corrente sobre condutores ............................................. 138 2.13.14. Problema 2. 33 Aplicao da lei de Ampere .................................................................. 138 2.13.15. Problema 2. 34 Aplicao da lei de Gauss do campo magntico .................................. 138 2.13.16. Problema 2. 35 - Transformador ...................................................................................... 138 2.13.17. Problema 2. 36 F.e.m. numa bobina em movimento em B ............................................. 139 2.13.18. Problema 2. 37 Linha bifilar, 1 ...................................................................................... 139 2.13.19. Problema 2. 38 Linha bifilar, 2 ...................................................................................... 140 2.13.20. Problema 2. 39 Ondas electromagnticas, 1 ................................................................. 140 2.13.21. Problema 2. 40 Ondas electromagnticas, 2 ................................................................. 140 3. FSICARELATIVISTA ................................................................................................................... 141 3.1. INTRODUO ................................................................................................................................. 141 3.2. TRANSFORMAES DE GALILEU .................................................................................................... 142 3.3. A VELOCIDADE DA LUZ .................................................................................................................. 143 3.4. OS POSTULADOS DE TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA ............................................................. 144 3.5. O TEMPO DE UM REFERENCIAL ....................................................................................................... 144 3.5.1. Sincronizao de relgios ..................................................................................................... 145 3.5.2. Simultaneidade de acontecimentos ....................................................................................... 145 3.5.3. Dilatao do tempo ............................................................................................................... 146 3.5.4. O paradoxo dos gmeos ........................................................................................................ 148 3.5.5. A contraco do espao ........................................................................................................ 148 3.5.6. O diagrama espao-tempo .................................................................................................... 149 3.5.7. O efeito de Dppler ............................................................................................................... 150 3.6. TRANSFORMAES DE LORENTZ ................................................................................................... 150 3.6.1. Equaes de transformao de coordenadas ........................................................................ 151 3.6.2. Equaes de transformao de velocidade ........................................................................... 152 3.7. MOMENTO LINEAR E LEIS DE NEWTON .......................................................................................... 153 3.8. ENERGIA ........................................................................................................................................ 155 3.9. ELECTROMAGNETISMO E RELATIVIDADE ....................................................................................... 158 3.10. TEORIA DA RELATIVIDADE GENERALIZADA ................................................................................. 160 3.11. PROBLEMAS RESOLVIDOS ............................................................................................................ 163 3.11.1. Probl. 3.1 Comprimento prprio ..................................................................................... 163 3.11.2. Probl. 3.2 Tempo prprio ................................................................................................ 164 3.11.3. Probl. 3.3 Tempo e comprimento prprios ...................................................................... 165 3.11.4. Probl. 3.4 Diagrama espao-tempo, 2D .......................................................................... 166 3.11.5. Probl. 3.5 Diagrama espao-tempo, 3D .......................................................................... 167 3.11.6. Probl. 3.6 Composio de velocidades, 1 ........................................................................ 168 3.11.7. Probl. 3.7 Composio de velocidades, 2 ........................................................................ 168 3.11.8. Probl. 3.8 Composio de velocidades, 3 ........................................................................ 170 3.11.9. Probl. 3.9 Composio de velocidades, 4 ........................................................................ 171 3.11.10. Probl. 3.10 Simultaneidade ............................................................................................ 172 3.11.11. Probl. 3.11 Momento linear ........................................................................................... 173 3.11.12. Probl. 3.12 Ec clssica / Ec relativista .......................................................................... 174 3.11.13. Probl. 3.13 Desintegrao de partculas, 1 ................................................................... 175 3.11.14. Probl. 3.14 Desintegrao de partculas, 2 ................................................................... 176 3.11.15. Probl. 3.15 Energia de uma partcula ........................................................................... 176 v 3.11.16. Probl. 3.16 Energia e velocidade de electres ............................................................... 177 3.11.17. Probl. 3.17 Converso massa-energia, 1 ....................................................................... 177 3.11.18. Probl. 3.18 Converso massa-energia, 2 ....................................................................... 178 3.11.19. Probl. 3.19 Energia cintica e tempo prprio ............................................................... 179 3.11.20. Probl. 3.20 Velocidade e massa-energia ....................................................................... 180 3.11.21. Probl. 3.21 Converso massa-energia ........................................................................... 180 3.11.22. Probl. 3.22 Massa-energia e momento linear ................................................................ 181 3.11.23. Probl. 3.23 Energia e comprimento ............................................................................... 182 3.11.24. Probl. 3.24 Fora e acelerao ..................................................................................... 183 3.11.25. Probl. 3.25 Efeito de Dppler, 1 .................................................................................... 185 3.11.26. Probl. 3.26 Efeito de Dppler, 2 .................................................................................... 186 3.11.27. Probl. 3.27 Raio gravitacional....................................................................................... 187 3.11.28. Probl. 3.28 Equivalncia entre E e B ............................................................................. 188 4. INTRODUOFSICAQUNTICA ...................................................................................... 189 4.1. RADIAO DO CORPO NEGRO ....................................................................................................... 189 4.1.1. Corpo negro .......................................................................................................................... 189 4.1.2. Lei de Stefan .......................................................................................................................... 190 4.1.3. Lei Rayleigh-Jeans ................................................................................................................ 191 4.1.4. Lei do deslocamento de Wien ................................................................................................ 191 4.1.5. Lei de radiao de Planck .................................................................................................... 191 4.2. EFEITO FOTOELCTRICO ................................................................................................................ 193 4.3. ESPECTROS DOS GASES .................................................................................................................. 195 4.4. EFEITO DE COMPTON ..................................................................................................................... 197 4.5. O TOMO DE HIDROGNIO ............................................................................................................. 201 4.6. ONDAS DE MATRIA ...................................................................................................................... 206 4.7. PRINCPIO DA INCERTEZA .............................................................................................................. 207 4.8. FUNO DE ONDA .......................................................................................................................... 208 4.9. EQUAO DE SCHRDINGER ......................................................................................................... 211 4.10. PRINCPIOS DA MECNICA QUNTICA ......................................................................................... 215 4.11. PROBLEMAS RESOLVIDOS ............................................................................................................ 217 4.11.1. Probl. 4.1 ............................................................................................................................ 217 4.11.2. Probl. 4.2 ............................................................................................................................ 218 4.11.3. Probl. 4.3 ............................................................................................................................ 218 4.11.4. Probl. 4.4 ............................................................................................................................ 220 4.11.5. Probl. 4.5 ............................................................................................................................ 221 4.11.6. Probl. 4.6 ............................................................................................................................ 222 4.11.7. Probl. 4.7 ............................................................................................................................ 223 4.11.8. Probl. 4.8 ............................................................................................................................ 224 4.11.9. Probl. 4.9 ............................................................................................................................ 224 4.11.10. Probl. 4.10 ........................................................................................................................ 225 4.11.11. Probl. 4.11 ........................................................................................................................ 225 4.11.12. Probl. 4.12 ........................................................................................................................ 226 4.11.13. Probl. 4.13 ........................................................................................................................ 227 4.11.14. Probl. 4.14 ........................................................................................................................ 228 4.11.15. Probl. 4.15 ........................................................................................................................ 228 4.11.16. Probl. 4.16 ........................................................................................................................ 229 4.11.17. Probl. 4.17 ........................................................................................................................ 230 4.11.18. Probl. 4.18 ........................................................................................................................ 230 4.11.19. Probl. 4.19 ........................................................................................................................ 231 4.11.20. Probl. 4.20 ........................................................................................................................ 231 4.11.21. Probl. 4.21 ........................................................................................................................ 232 4.11.22. Probl. 4.22 ........................................................................................................................ 233 4.11.23. Probl. 4.23 ........................................................................................................................ 233 4.11.24. Probl. 4.24 ........................................................................................................................ 234 vi4.11.25. Probl. 4.25 ........................................................................................................................ 234 4.11.26. Probl. 4.26 ........................................................................................................................ 235 4.11.27. Probl. 4.27 ........................................................................................................................ 236 4.11.28. Probl. 4.28 ........................................................................................................................ 237 5. CONSTANTES,FORMULRIOSETABELAS ......................................................................... 239 5.1. CONSTANTES MATEMTICAS ......................................................................................................... 239 5.2. CONSTANTES FUNDAMENTAIS DA FSICA ....................................................................................... 239 5.3. FORMULRIO DE MATEMTICA ..................................................................................................... 240 5.3.1. lgebra elementar ................................................................................................................. 240 5.3.2. Logaritmos e exponenciais .................................................................................................... 240 5.3.3. Geometria ............................................................................................................................. 240 5.3.4. Limites ................................................................................................................................... 240 5.3.5. Sries ..................................................................................................................................... 241 5.3.6. Trigonometria ....................................................................................................................... 241 5.3.7. Derivadas .............................................................................................................................. 241 5.3.8. Integrais indefinidos ............................................................................................................. 242 5.4. FORMULRIO DE FSICA ................................................................................................................ 243 5.4.1. Mecnica dos slidos ............................................................................................................ 243 5.4.2. Mecnica dos fluidos ............................................................................................................ 243 5.4.3. Electrotecnia ......................................................................................................................... 243 5.5. TABELA PERIDICA DE ELEMENTOS ............................................................................................... 245 5.6. TABELA DE CONVERSO DE UNIDADES .......................................................................................... 246 5.7. CARACTERSTICAS DE ALGUNS MATERIAIS .................................................................................... 248 5.8. ESCRITA DOS NMEROS E UNIDADES ............................................................................................. 249 5.8.1. Algarismos significativos ...................................................................................................... 249 5.8.2. Notao cientfica ................................................................................................................. 250 5.8.3. Arredondamentos .................................................................................................................. 250 1. MECNICA CLSSICA D-se o nome de Mecnica ao ramo da Fsica onde se estudam os movimentos dos cor-pos, e as foras a eles associadas. A Mecnica Clssica restringe-se a corpos com velo-cidadessignificativamenteinferioresvelocidadedaluznovazioeacorposcujas dimenses so bastante superiores s dos tomos constituintes da matria. habitualconsiderar-seaMecnicaClssicadivididaemtrsreas:ACinemtica,a Dinmica e a Esttica. ACinemticatratadoestudodomovimento,nosentidogeomtrico,sematenders causas que o originaram. Na Dinmica procura relacionar-se o movimento com as for-as que o originaram ou que ele origina. Na Esttica estuda-se o equilbrio de foras de modo a que no haja movimento. 1.1. Cinemtica Paradescreveromovimentodeumcorpoutiliza-seumreferencial.Referencialum sistema de eixos coordenados associados a um corpo rgido. O sistema de coordenadas podeserqualquer:cartesiano,cilndrico,polar,etc.Oseixospodemserortogonaisou no, formar um triedro directo ou no. Ao estudar o movimento de um corpo slido, por vezes associa-se este a uma partcula material. Partcula material um corpo slido de dimenses desprezveis (em relao ao espao em que se est a estudar o movimento). Espao do referencial o conjunto de pontos rigidamente ligados ao referencial. O espao de um referencial tridimensional. Em determinadas aplicaes podero usar- -se apenas espaos a duas e at mesmo uma dimenso. Noestudodosmovimentosimportanteconhecerosintervalosdetempoduranteos quais os mesmos decorrem. Tempodoreferencialasucessodeinstantes,ilimitada,marcadosporumcronme-tro. Admite-se o tempo do referencial como sendo contnuo, com um determinado in-cio ( t+ ). Um acontecimento ocorre no espao e no tempo de um referencial. Uma partcula mate-rial localizadanumreferencial pelas suas coordenadas de espao e pela coordenada de tempo. Na Mecnica Clssica o tempo o mesmo em todos os referenciais. Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 2Gustavo da Silva SejaoreferencialSassociadoaumsistemadecoordenadascartesianas;parauma cula material tem-se a posio da partcula (Fig. 1.1) ( , , , ) P P x y z t = (1.1) Mas( ) ( ) P t O t = +reP O = r , donde ( ) ( ) ( ) ( ) t x t y t z t = + + r i j k (1.2) Fig. 1.1 Referencial e posio de uma partcula material As equaes paramtricas do ponto material em movimento so dadas pelas equaes ( )( )( )x x ty y tz z t= ==(1.3) A trajectria (Fig. 1.1) obtm-se por eliminao do tempo t nas equaes anteriores: ( , , ) 0 F x y z = (1.4) Umreferencialnotemqueestarassociadoacoordenadascartesianasortogonaiscom um triedro directo, pode estar a muitos outros. Indica-se a seguir um sistema muito usa-do, o de coordenadas polares. Fig. 1.2 Posio de uma partcula em coordenadas polares x y z OP.i jkrdrr+dr referencialStrajectria corpo slido do referencial x y z OP . rTpicos de Fsica Mecnica Clssica Gustavo da SilvaPg. 3 Aolocalizarumpontomaterialemcoordenadaspolaresutilizam-sehabitualmenteas letras r, e , como se indica na Fig. 1.2. As transformaes de coordenadas so sen cossen sencosx ry rz r = ==(1.5) e suas inversas. Paralocalizarumobjectoemrelaoaonossoplanetausualusar-sealatitude(0 Equador, 90 Plo Norte), a longitude (0 meridiano de Greenwich, 180 E/W) e a alti-tude(0pssignificaqueumavioestnosolo).umcasoparticulardosistemade coordenadas polares, com r = raio da Terra + altitude, = longitude e = 90- latitude). Parasesabercomoqueaposiodeumapartculavariacomodecorrerdotempo introduz-se o conceito de velocidade. Velocidade da partcula (1) , por definio, a variao temporal da posio da partcula: ( )dP dtdt dt= =rv (1.6) Logo, num referencial cartesiano, ( ) ( ) ( )( )dx t dy t dz ttdt dt dt= + + v i j k (1.7) ( ) ( ) ( ) ( )x y zt v t v t v t = + + v i j k (1.8) Celeridade o mdulo da velocidade. Tem-se dsvdt= , em que s representa a trajectria. Trajectria o conjunto das sucessivas posies da partcula. A equao da trajectria muda quando se muda de referencial. A velocidade , em cada instante, tangente trajectria. Partcula em repouso: P fixo no referencial (r constante). A sua velocidade nula. Apartculapoderestaremrepousonumdeterminadoreferencialenooestarnum outro referencial. Partcula em movimento Pvaria com o decorrer do tempo. Admite-se que a variao decorre de forma contnua. Para ver como varia a velocidade de uma partcula material introduz-se o conceito de acelerao. Acelerao da partcula, por definio, 2 22 2d d P ddt dt dt= = =v ra (1.9) ou 2 2 22 2 2( ) ( ) ( )( )d x t d y t d z ttdt dt dt= + + a i j k (1.10) 1 Em ingls chama-se velocity, designando-se por speed o seu mdulo Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 4Gustavo da Silva ou ainda ( )( ) ( )( )yx zdv tdv t dv ttdt dt dt= + + a i j k (1.11) ( ) ( ) ( ) ( )x x xt a t a t a t = + + a i j k (1.12) 1.2. Movimento num plano 1.2.1. Coordenadas polares ParaapartculamaterialemmovimentoP(t).Posio:coordenadasre.Vectores unitrios: 1 1, r (ambos com as dimenses de um comprimento). (r1 com a direco e o sentido de r, 1 perpendicular a r1, sentido directo) 1r = r r(r o mdulo de r). Fig. 1.3 Movimento num plano coordenadas polares Velocidade:11d dr drdt dt dt= = +r rv rdr1 normal a r1, com o sentido de 1 e grandezad : 1 1d d = r Logo: 1 1dr drdt dt= + v r (1.13) Acelerao:ddt=va2 21 11 1 1 2 2d d d r dr dr d d dr rdt dt dt dt dt dt dt dt = + + + +r r Mas 1 1d d = r .Logo, 22 21 1 2 22d r d dr d dr rdt dt dt dt dt = + + a r (1.14) 1r1d1dr1r dxy PO trajectriaTpicos de Fsica Mecnica Clssica Gustavo da SilvaPg. 5 1.2.2. Coordenadas normais Por vezes interessa exprimir a acelerao segundo as componentes tangencial e normal trajectria: = +t na a a = t na a + t n(1.15) A componente tangencial da acelerao est relacionada com a variao do mdulo da velocidade, enquanto a componente normal se relaciona com a variao da direco: d d dsvdt ds dt= = =r rv t (1.16) 222d dv d ds dv dv vdt dt ds dt dt ds= = + = +r t ta t t (1.17) Fig. 1.4 Movimento num plano coordenadas normais Considerando a circunferncia coincidente com a trajectria, no ponto P (de raio ) veri-fica-se qued d = t ne ds d = , pelo que1 dds =tn , e portanto 2dv vdt = + a t n (1.18) Considere-se o caso em que an=0. Neste caso a direco da velocidade no varia, apenas o seu mdulo muda. Diz-se que se trata de um movimento rectilneo. Se alm disto se tiver at=0 diz-se que se tem um movimento rectilneo uniforme. 1.2.3. Movimento circular Neste tipo de movimento constante; chame-se-lhe r. (ver seco 1.2.1). Definindo

ddt = (1.19) vem, de (1.16) e deds d =,1drdt= v , ou ainda, 1r = v (1.20) Para a acelerao vem, a partir de (1.17) 221 1 2d dr rdt dt = + a r , ou ainda P tnat an a r O Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 6Gustavo da Silva 21 1drdt = + a r (1.21) Muitas vezes considera-se um vector com a grandeza , dirigido segundo a normal trajectria, passando pelo seu centro de curvatura e com um sentido tal que um observa-dorestendidonoseusentidovomovimentoefectuar-sedadireitaparaaesquerda. Nestas condies = v r (1.22) 1.2.4. Movimento circular uniforme Neste tipo de movimento = constante, resultando pois para a velocidade uma equa-o igual a (1.20) 1r = v (1.23) E para a acelerao 21r = a r (1.24) Em mdulo tem-se v r =e2a r = . 1.3. Dinmica de uma partcula material Dinmica o estudo do movimento, atendendo s causas que o originaram. Fora aco mecnica que se exerce sobre uma partcula material ou sobre um siste-ma de partculas. Aforatemumcarctervectoriale,namecnicaclssica,estassociadaaumespao tridimensional; -lhe atribudo um sentido (segundo o conceito geomtrico) e um mdu-lo. Sobreumcorpomaterialpodemactuarvriostiposdeforas:forasgravticas,foras electromagnticas e foras de outro tipo como por exemplo tenses de cabos de ligao, reaces de apoio, foras de atrito, etc. Comoseverjaseguir,aaceleraodeumapartculaestintimamenterelacionada com as foras que sobre ela se encontram aplicadas. Considere-se uma partcula material em movimento num determinado referencial (part-cula que eventualmente poder estar em repouso). Os estudos experimentais efectuados com base no movimento dos corpos celestes, dos projcteis de artilharia e outros, con-duziram a fundar a mecnica com base em trs princpios, tambm conhecidos por leis de Newton da Mecnica: 1 lei de Newton (princpio da inrcia): Uma partcula material no submetida a foras tem um movimento de acelerao nula, ou seja, rectilneo e uniforme. 2leideNewtonUmapartculamaterialsujeitaaumaoumaisforastem,emcada instante, uma acelerao proporcional resultante destas foras. 3 lei de Newton (princpio da igualdade da aco e reaco): As aces mtuas que duaspartculasmateriaisP1eP2exercemumasobreaoutraso sempre representadas por duas foras iguais e directamente opostas (aco e reaco), aplicadas respectivamente em P1 e em P2. Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Gustavo da SilvaPg. 7 A2leideNewtonachamadaleifundamentaldadinmica.Ocoeficientede proporcionalidade entre a resultante das foras e a acelerao , por definio, a massa da partcula. uma constante caracterstica da partcula. A expresso analtica desta lei : 22d Pmdt= Fou( ) d mdt=vFou aindam = a F (1.25) em que:F resultante (somatrio) das foras que actuam sobre a partcula, m, v, a massa, velocidade e acelerao da partcula. Definem-se as seguintes quantidades: Momento linear da partcula material:m = p v(1.26) Quantidade de acelerao da partcula:ma(1.27) Fora de inrcia associada partcula:m a (1.28) A 2 lei de Newton pode assim escrever-se 0 m = F a (1.29) Cujo significado o seguinte: Para uma partcula material em movimento existe, em cada instante, um equil-brio entre a resultante das foras aplicadas partcula e a sua fora de inrcia. 1.4. Movimentos Relativos Nestasecovai-seprocurarexprimir,emtermosdoreferencialS0(O0,x0,y0,z0),a velocidade de uma partcula material; a velocidade da partcula conhecida no referen-cial S(O, x, y, z), do qual se conhece a lei de movimento em relao a S0. Fig. 1.5 Movimentos relativos x0 y0 z0 O0 Pijkx y z Orr0 .S0 S 0j0k0iTpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 8Gustavo da Silva 1.4.1. Posio da partcula r0 = + r ou r0 = +x y z + + i j kour0 = + xyzxi (1.30) 1.4.2. Velocidade da partcula 0v = 0r`= xyz xyzd dxxdt dt+ + i i ` (1.31) Masi . i = 1j . j = 1k . k = 1(produto interno dos versores por si prprios); logo, derivando as relaes anteriores pode escrever-se 0ddt =ii 0ddt =jj 0ddt =kke portanto ddtiexiste no plano (j, k): Faa-se z yddt = ij kddtjexiste no plano (k, i): Faa-se x zddt = jk iddtkexiste no plano (i, j): Faa-se y xddt = ki jEstas relaes simplificam-se se for introduzido o vector = x i + y j + z k,(1.32) ficando ddti= i ddtj= j ddtk= k A expresso da velocidade fica assim 0v= xyzdxdt+ + r i `Como o ltimo termo representa a velocidade relativa da partcula em S, fica finalmente 0v= r+ + r v ` (1.33) Fazendo t = + v r ` (designada por velocidade de transporte), obtm-se o teorema da composio das velocidades: 0v =vt+ vr (1.34) No caso particular em que o pontoP = O + rest fixo no referencial S, a sua velocida-de no referencial S0 dada por 0 = + v r ` (1.35) Translao de S em relao a S0 Rotao de S em relao a S0Velocidade de P no referencial S Translao de S em relao a S0 Rotao de S em relao a S0Velocidade de P no referencial S Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Gustavo da SilvaPg. 9 Considerem-se agora dois pontos P1 e P2 em movimento no referencial S. Ser P1 = O + r01 = O + + r1 P2 = O + r02 = O + + r2 Os pontos P1 e P2 definem um vector b(t) tal queb = P2 P1 = r02 - r01 = r2 r1 A velocidade destes pontos exprime-se por v01 = + r1 + vr1 v02 = + r2 + vr2 dondev02 - v01 = (r2 - r1) + vr2 - vr1 ou 01 2 2 12 1( )( )S SdP dP ddt dt dt = + r r r r ou ainda 0S Sd ddt dt = + b b bA operao de derivao de um vector em S0 equivale aplicao do operador Sddt + (1.36) 1.4.3. Acelerao da partcula Viu-se, (1.33), que 0 = + +rv r v ` . Vai calcular-se a acelerao em S0 derivando v0: 00ddt=va = ( )d ddt dt+ +rv r `Mas( )ddt+ r ` = + r +r `` ` `er rrSd ddt dt = + v v vpelo que fica a0 =+ r +r `` ` ` + rrSddt + v va0 =+r r +(r + v ) `` ` + rSddt + rv va0 =) + r +(r `` ` +2rSddt + rv v (1.37) A acelerao da partcula material no referencial S0 consta de 3 componentes principais (teorema da composio das aceleraes): a0 = at + ac + ar at = ) + + r (r `` ` acelerao de transporte ac = 2 vracelerao complementar ou acelerao de Corolis ar = rSddt v acelerao relativa ( o valor da acelerao no referencial S) . . atac ar

Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 10Gustavo da Silva 1.4.4. A 2 lei de Newton No referencial S0: f = m a0

Pela composio das aceleraes vem, substituindo a0: f= m (at + ar + ac) Definindo: ft = - m atfora de inrcia de transporte e fc = - m acfora de inrcia complementar vemf= m ar - ft fcou seja f + ft + fc = m ar Definindofr = f + ft + fcfica fr = m ar A lei de Newton fica com a mesma forma que no referencial S0. 1.4.5. Relatividade de Galileu Quais as condies para que o movimento da partcula em S seja regido por uma equa-o anloga do movimento em S0, com o mesmo valor da fora? Observando as equaes anteriores conclui-se que ft e fc devero ser nulas em qualquer instante. fc = - m ac=-2m vr = 0 = 0(o referencial S descreve um movimento de translao em relao a S0) ft = - m at = - m ( + r + r ) = 0 = 0 = 0(o referencial S descreve um movimento de translao uniforme em relao a S0) Os referenciais que se encontram em movimento rectilneo e uniforme uns em relao aos outros designam-se por referenciais de inrcia. Princpio da relatividade de Galileu: Aequaofundamentaldadinmicaconservaamesmaforma, com o mesmo valor da fora, em todos os referenciais de inrcia. 1.4.6. Transformao de Galileu Chama-setransformaodeGalileuexpressoquerepresentaatransformaode coordenadas entre dois referenciais de inrcia. ConsiderandoocasosimplistaemquenosdoisreferenciaisdeinrciaSeSoseixos dos xx so colineares, (um referencial encontra-se em movimento em relao ao outro, com velocidade constante), como se mostra na Fig. 1.6. Da figura conclui-se que = v v uLogov v u = Ou seja, se as origens dos referenciais coincidirem em t = 0 t = r r u..... Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Gustavo da SilvaPg. 11 Fig. 1.6 Transformao de Galileu e portanto x x uty yz zt t = = = =(1.38) A ltima equao, t = t, no obtida da figura anterior, mas constitui uma hiptese da Fsica Clssica: o tempo igual em todos os referenciais. 1.5. Trabalho e Energia 1.5.1. Trabalho Numreferencialqualquerconsidere-seumaforaF,varivelouno,constantemente aplicada a uma partcula material em movimento. Fig. 1.7 Definio de trabalho elementar Designando por dr o deslocamento efectuado pela partcula durante o intervalo de tem-poinfinitesimaldt,define-setrabalhoelementarefectuadopelaforaF,peloproduto interno . dW d = F r (1.39) Designando por F a resultante das foras que actuam sobre a partcula, num determina-do referencial S0, a 2 lei de Newton permite escrever dr F r O P u xy z O S x yzOSrrP u.tTpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 12Gustavo da Silva 22dmdt=rFSubstituindo na equao anterior vem 2 22 21( )2d d d d ddW m d m dt m dt m dtdt dt dt dt dt= = = = r r r vr v v v21( )2ddW mv dtdt= 1.5.2. Energia cintica D-se o nome de energia cintica da partcula, no instante t, ao escalar 212cE mv = (1.40) Integrando a ltima equao da seco anterior entre dois instantes t1 e t2 obtm-se 212 212 2 11 12 2ttdW W mv mv = = (1.41) Esta equao exprime o teorema da fora viva: NumreferencialS0,otrabalhoefectuadopelaresultantedasforas aplicadas a uma partcula material, durante o intervalo de tempo t2-t1, igual variao da sua energia cintica. 1.5.3. Impulso de uma fora Considere-se uma fora F a actuar sobre um corpo durante um intervalo de tempo ele-mentardt.Define-seimpulsodessafora,dI,peloprodutodaforapelotempodt durante o qual ela actua: d dt = I F (1.42) O conceito de impulso assume uma importncia particular quando se trata de foras de grande intensidade a actuar durante um tempo muito curto, durante o qual no se conhe-ceexactamenteaevoluodaforacomotempo.noentantopossvelmediroseu efeito, por exemplo medindo a variao de velocidade que sofre o corpo sujeito a essa fora. 1.5.4. Campo gravtico Diz-se que numa regio do espao existe um campo de foras sempre que a presena de uma partcula material permite detectar a existncia de uma fora a exercer-se sobre ela. Agrandezaouintensidadedocampoexpressapelaforaqueseexercesobreuma partcula de massa unitria. Num campo de foras serF=F(x,y,z,t). Considerem-se dois pontos P1 e P2 num campo de foras e calcule-se o trabalho realiza-do pelo campo para transportar uma partcula material desde P1 at P2: Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Gustavo da SilvaPg. 13 Fig. 1.8 Trabalho realizado de P1 a P2

1 21 2PPW d= F rDeummodogeralovalordesteintegraldependedatrajectriaseguida,peloqueesta dever ser tomada em conta. Acontecepormqueemmuitoscasosdeimportnciaprticaestetrabalho(realizado pelo campo) independente da trajectria seguida. Diz-se ento que se est em presena de um campo conservativo (ou que se trata de foras conservativas). 1.5.5. Potencial e energia potencial No caso de um campo ser conservativo (a fora por unidade de massa aqui representa-da por F) ser A Bs sd d = F r F rou ainda 0 d =F r

MasoteoremadeStokesdizqueacirculaodeumvectoraolongodeumcircuito fechado, com incio e fim no mesmo ponto, igual ao fluxo do seu rotacional atravs de qualquer superfcie que se apoie nesse contorno. Assim, a relao anterior implica que rot 0 = Fpelo que se pode considerar gradV = F (1.43) Note-sequerot(grad ) 0 X ,qualquerquesejaX.Osinalintroduzidoporconve-nincia, para se obter a equao (1.45) com a forma com que aparece adiante. grandeza V=V(x,y,z,t), escalar, d-se o nome de potencial gravtico ou potencial. grandeza pE m V = (1.44) d-seonomedeenergiapotencial.Atendendoa(1.43)costumedizer-sequenum campo conservativo a fora deriva de um potencial. AsBsP1 P2 FdrTpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 14Gustavo da Silva 1.5.6. Conservao da energia Para um campo conservativo o trabalho realizado pelo campo para transportar uma par-tcula material desde P1 at P2 ser assim independente da trajectria e dado por 2 2 2 21 1 1 11 2 1 2gradP P P PP P P PV V VW d V d dx dy dz dV V Vx y z = = = + + = = F r rConsiderando as foras a actuar sobre a massa m, e atendendo a (1.41) fica 2 21 2 2 11 12 2mV mV mv mv = 2 21 1 2 21 12 2mV mv mV mv + = +ou ainda, 1 1 2 2p c p c tE E E E E + = + = (1.45) grandeza Et, soma da energia potencial da partcula com a sua energia cintica cha-ma-se energia total da partcula material. A equao anterior exprime o princpio da conservao da energia mecnica: Num campo conservativo a energia total mantm-se constante. 1.5.7. Atraco universal Aspartculasmateriaisinteractuamentresi:nestemomentointeressa-nosachamada interacogravitacional.Estefenmeno,observadoeestudadodehlongadata, tambm conhecido como lei da atraco universal e tambm como lei da atraco de Newton.eleoresponsvelpelopesodoscorpos,pelaestabilidadedosistemasolar, pelo equilbrio no movimento dos satlites nas rbitas, e por uma imensido de fenme-nos do dia a dia. Considerandoapenasduaspartculasmateriais,demassasm1em2,estaleiafirmao seguinte: Amatriaatraimatrianarazodirectadasmassas e na razo inversa do quadrado das distncias. Esta lei representa-se assim pela expresso 1 22mmF Gr= (1.46) emqueFrepresentaomdulodaforadeatracoentreaspartculas,radistncia entreosseuscentrosdemassaseGdesignadaconstantedeatracouniversal: G = 6,67310-11 Nm2kg-2. Fig. 1.9 Lei da Atraco Universalm1m2F-FrTpicos de Fsica Mecnica Clssica Gustavo da SilvaPg. 15 Devido ao princpio da aco e reaco esta fora manifesta-se aplicada a cada uma das partculas e dirigida para a outra partcula, como se indica na Fig. 1.9. OcampogravticooriginadonumpontoP(r)porumapartculamaterialdemassam, situada na origem do referencial, ser dado por 1 2 mGmr= F r (1.47) em que r1 o vector unitrio dirigido da origem para a partcula. Note-se que esta equa-o se obtm da anterior fazendo m2 = 1, uma vez que o campo se detecta pela fora que se exerce sobre a partcula de massa unitria. Ao trabalho realizado pelo campo para transportar uma partcula de massa unitria des-de o infinito at posio corrente, distncia r da origem, d-se o nome de potencial gravtico associado partcula m. Ser ento 2.rr rmGm GmV d drr r = = = F r , pelo que fica GmVr= (1.48) 1.5.8. Movimentos com atrito QuandosobreumcorpoaplicadaumaforaF,paralelasuperfciedeapoio,eeste nosemove,conclui-sequesobreeleactuaumafora,simtricadeF,quetraduza reaco tangencial da superfcie de apoio sobre o corpo, Rt, e que se ope ao movimen-to deste. A reaco tangencial das superfcies em contacto designa-se por fora de atrito, Fa. Fig. 1.10 Fora de atrito esttico 1.5.8.1. Fora de atrito esttico Aforamnima,quenecessrioaplicaraumcorpoparaqueestefiquenaiminncia deentraremmovimentotemintensidadeigualaovalormximodareacotangencial da superfcie de apoio, Rt. Este valor mximo da reaco tangencial designa-se por fora de atrito esttico, Fae. So as seguintes as caractersticas da fora de atrito esttico: A intensidade da fora de atrito esttico independente da rea das superfcies em contacto. A intensidade da fora de atrito esttico directamente proporcional intensidade da reaco normal, Rn, e depende da natureza dos materiais em contacto FRtPRnTpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 16Gustavo da Silva ae e nF R = (1.49) onde e, se designa por coeficiente de atrito esttico; este coeficiente depende apenas da natureza dos materiais em contacto. 1.5.8.2. Fora de atrito cintico Supondo que a intensidade da fora vai aumentando progressivamente, de forma cont-nua, a partir do instante em que o corpo passa do estado de repouso ao estado de movi-mento,aintensidadedafora,F,aquedeveestarsubmetidoparaquesemovacom velocidadeconstante,menordoqueaintensidadedaforaaplicadaparaoretirardo repouso. Conclui-se, ento, que a intensidade da fora de atrito que se manifesta com o corpoemmovimento,equesedesignaporforadeatritocintico,Fac,inferior intensidade da fora de atrito esttico. So as seguintes as caractersticas da fora de atrito cintico: A intensidade da fora de atrito cintico independente da rea das superfcies em contacto. A intensidade da fora de atrito cintico , para velocidades moderadas, independen-te do valor da velocidade do corpo. A intensidade da fora de atrito cintico directamente proporcional reaco nor-mal. ac c nF R =onde c chamado coeficiente de atrito cintico; este depende apenas da natureza dos materiais em contacto. 1.5.9. Momento angular de uma partcula material 1.5.9.1. Definio Numdeterminadoreferencialconsidere-seumpontofixo,O,eumapartculamaterial de massa m, animada de uma velocidade v. Define-se momento angular dessa partcula em relao ao ponto O pela expresso = l r p (1.50) em que r o vector de posio da partcula e p o seu momento linear, p = mv. Fig. 1.11 Momento angular de uma partcula material O r,p,,/m Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Gustavo da SilvaPg. 17 Repare-se quer,,p,,,/formam um triedro directo. Da definio tira-se sen r p = / (1.51) Asuanormadadapeloprodutodasnormasderepedosenodonguloformado pelos vectores r e p. 1.5.9.2. Partcula em movimento rectilneo No caso em que a partcula material descreve uma trajectria rectilnea com velocidade constante, que no passa por O, o momento angular independente da posio da part-cula na sua trajectria [ver Fig. 1.12 e expresso (1.51)]. Fig. 1.12 Momento angular de uma partcula material em movimento rectilneo 1.5.9.3. Partcula em movimento circular Neste caso v perpendicular a r, pelo que fica apenas mrv = /Como= v ro vector velocidade angular perpendicular ao plano de rotao. O momento angular toma o aspecto 2mr =,,/O momento angular pois um vector perpendicular ao plano da trajectria. Fig. 1.13 Momento angular de uma partcula material em movimento circular Definindo a grandeza escalar, designada por momento de inrcia da partcula, 2I mr = (1.52) pode escrever-se I =,,/ (1.53) O r,r sen r, p,,/r,,v,90Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 18Gustavo da Silva Estaequaoformalmenteanlogaquerepresentaa2leideNewton,F ma =,,.O momento de inrcia de uma partcula em movimento de rotao exprime a oposio que esta apresenta em modificar o seu estado de movimento angular. 1.5.9.4. Variao do momento angular de uma partcula Considere-seocasogeral,emqueumapartculademassamdescreveumatrajectria varivel, e calcule-se a variao do seu momento de inrcia em relao a um ponto fixo do referencial. Ser ( )d dr pdt dt= ,/ , ,=dr dpp rdt dt + , ,, , Como drvdt=,, tem-se0drpdt =,,, pelo que fica d dprdt dt= ,,/ ,. Mas, da 2 lei de Newton dpFdt=,,, pelo que se obtm dr Fdt= ,,/ ,. Notando quer F ,, representa o momento da fora F em relao ao ponto O, que se representar por N, pode escrever-se dNdt=,,/(1.54) Esta equao traduz a lei da variao do momento angular de uma partcula material: Em relao a um determinado ponto, o momento da fora que actua sobre a partcula igual variao do seu momento angular em ordem ao tempo. 1.5.9.5. Momento de um binrio D-se o nome de binrio a um sistema constitudo por duas foras simtricas com linhas de aco paralelas. Como as foras tm direces paralelas e so simtricas, a soma dos momentos de cada uma das foras igual ao momento de uma das foras em relao a um ponto contido na linha de aco da outra fora: M r F = , ,,(1.55) Chamando b (brao do binrio) distncia entre as linhas de aco das duas foras, vemM b F = (1.56) Fig. 1.14 Momento de um binrio br,F,F ,Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Gustavo da SilvaPg. 19 1.6. Dinmica dos Sistemas 1.6.1. Movimento do centro de inrcia Considere-se um conjunto discreto de N partculas materiais, Pi. Num determinado refe-rencial a posio da partcula Pi definida pelo vector ri. As distncias entre as partcu-laspodemvariarcomodecorrerdotempo;nosetratanecessariamenteumsistema rgido. Designe-se por mi a massa da partcula Pi. A massa um escalar cujo valor indepen-dente do referencial escolhido. Fig. 1.15 Sistema de partculas materiais A todo o instante cada partcula est sujeita a um conjunto de foras. Para a partcula i, as foras que sobre ela actuam so: 1Nijj=f soma das foras devidas s outras partculas. So foras interiores ao sistema. A fora que uma partcula exerce sobre si prpria, fii nula; eifresultante das foras exteriores que actuam sobre a partcula i. De acordo com a 2 lei de Newton, a equao do movimento da partcula i dada por ( )e ii i j ijd dmdt dt= +rf f (1.57) Somando ambos os membros desta equao para todas as partculas do sistema vem 221 , 1( )N N Nei i i j ii i j idmdt= == + r f f (1.58) Pela 3 lei de Newton (princpio da aco e reaco), fij + fji = 0. Por este motivo, o 1 termo do 2 membro de (1.58) nulo. O 2 termo do 2 membro representa a resultante das foras exteriores ao sistema, que sobre ele actuam; Designe-se esta resultante por Fe. Define-se centro de inrcia (2) do sistema de partculas materiais pela expresso 2 Tambm designado por centro de massas, centro de gravidade ou baricentro. i jkxyzOPi .......rirj R Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 20Gustavo da Silva 11Ni iiNiimm===rR (1.59) O somatrio do denominador representa a massa do sistema de partculas:1NiiM m==. A velocidade do centro de inrcia dada por 11Ni iidmdt M== =RV v (1.60) A acelerao do centro de inrcia dada por 2 22 21 1 11 1 1N N Ni ii i i ii i id d d dm m mdt dt M dt M dt M= = == = = = = r v V RA a (1.61) Combinando a equao (1.61) com a equao (1.58) resulta 22edMdt=RF (1.62) No caso de se tratar de um corpo slido contnuo, ao elemento de volume dV, de massa volmica , corresponde a massa elementar dm,definindo-se o centro de inrcia por V V VV Vdm dV dVMdm dV = = = r r rR (1.63) A equao (1.62), perfeitamente anloga que exprime o movimento de uma partcula material, exprime o teorema do movimento do centro de inrcia: O centro de inrcia de um sistema move-se como se fosse uma partcula material de massa M submetida aco da resultante das foras exteriores aplicadas. Repare-se que este resultado vlido quer o sistema de partculas se encontre rigida-mente ligado ou no, como acontece, neste ltimo caso com as molculas de um gs. SemprequeFe=0(resultantedasforasexterioressobreosistemanula)aequao (1.62) fica tedMdt=RC (1.64) ou seja, o centro de inrcia descreve um movimento rectilneo e uniforme. 1.6.2. Teorema do momento linear Considere-sedenovoaequao(1.57)edefina-semomentolineardapartculaipela expresso Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Gustavo da SilvaPg. 21 ii i i idm mdt= =rp r` (1.65) Obtm-se assim ei i j ij= +p f f ` (1.66) Somandoaequaoacimaparatodasaspartculas,introduzindoovectormomento linear do sistema, definido pela soma dos momentos lineares de cada partcula, 1Nii==P p(para sistemas de partculas)(1.67) ou V V Vd dm dV = = = P p r r ` ` (para corpos contnuos)(1.68) e tecendo para as foras as mesmas consideraes que anteriormente, obtm-se o Teorema do momento linear, ou 1 teorema geral da dinmica: eddt=PF (1.69) A variao no tempo do momento linear de um sistema de partculas materiais igual resultante das foras exteriores aplicadas ao sistema de partculas. Sempre que Fe = 0o momento linear fica constante durante o movimento. o chamado Teorema da conservao do momento linear: O momento linear de um sistema de partculas permanece constante sempre que a resultante das foras exteriores aplicadas nula. 1.6.3. Colises entre partculas e exploses Umacolisoentreduaspartculasumainteracobreve(3)entreelas.Seduranteesta interaconoexistiremforasexterioresaactuarsobreaspartculasquecolidem,o momentolinearmantm-seconstante.Noentantoasuaenergiacinticapodervariar, consoanteotipodecoliso,quepodeserclassificadaemcolisoelsticaoucoliso inelstica. 1.6.3.1. Coliso elstica Neste tipo de coliso, alm de haver conservao do momento linear, h conservao da energia cintica do sistema de partculas. Designando por p1 e p2 o momento linear do sistema antes e depois da coliso, e por Ec1 e Ec2 as respectivas energias cinticas, ser 1 2= p p (1.70) 1 2 c cE E = (1.71) 3 Comparativamente com o intervalo de tempo durante o qual se efectua a observao. Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 22Gustavo da Silva 1.6.3.2. Coliso inelstica Nestetipodecoliso,hconservaodomomentolinear,masnohconservaoda energia cintica. 1 2= p p (1.72) 1 2 c cE E (1.73) Se aps a coliso as partculas ficarem juntas, a coliso diz-se perfeitamente inelstica. 1.6.3.3. Exploses Nocasoemqueumcorposlidoexplode,omomentolineardocorpoigualao momento linear do sistema constitudo pelos fragmentos. No h conservao da ener-gia cintica. 1.6.4. Teorema do momento angular Considere-seaequao(1.66)efaa-seoprodutovectorialpor ir deambososmem-bros da equao: 1Nei i i i j i ij= = + r p r f r f `O primeiro membro pode transformar-se, atendendo a que ( )i i i i i iddt = + r p r p r p ` ` e que o ltimo termo do 2 membro nulo. Fica ento 1( )Nei i i i j i ijddt= = + r p r f r f (1.74) O vector i i r p o momento angular da partcula i em relao ao ponto O. O vector ei i r f o momento da forafi em relao ao ponto O. Somando a equao (1.74) para todas as partculas do sistema obtm-se 1 , 1 1( )N N Nei i i i j i ii i j iddt= = = = + r p r f r f (1.75) Como aconteceu anteriormente, o 1 termo do 2 membro nulo. Faa-se 1Ni ii == L r p e1( )Ne ei ii == N r f (1.76) O vector L representa o momento angular do sistema de partculas em relao ao ponto O. O vector Ne representa o momento das foras exteriores em relao ao ponto O. (Paracorposcontnuosser Vd = L r p e eVd = eN r f ).Destemodopode escrever-se Tpicos de Fsica Mecnica Clssica Gustavo da SilvaPg. 23 eddt=LN (1.77) que exprime o teorema do momento angular, ou 2 teorema geral da dinmica: Avariaonotempodomomentoangulardeumsistemadepartculas materiais em relao a um ponto igual ao momento resultante das foras exteriores aplicadas ao sistema de partculas, em relao ao mesmo ponto. Sempre que Ne = 0 o momento angular fica constante durante o movimento. Obtm-se assim o teorema da conservao do momento angular: Omomentoangulardeumsistemadepartculasemrelaoaumponto permanececonstantesemprequeomomentoresultantedasforasexterio-res aplicadas, em relao ao mesmo ponto for nulo. 1.6.5. Energia de rotao Imagine-se um conjunto discreto de N partculas rigidamente ligadas, em movimento de rotao.Parasimplificaradmita-sequearotaoseefectuaemtornodeumeixofixo coincidente com o eixo de coordenadas z, como se indica na figura. Fig. 1.16 Rotao de partculas rigidamente ligadas A energia cintica da partcula i dada por 212iR i iE mv = (1.78) Aenergiacinticadoconjuntodetodasaspartculasserobtidasomandoaequao anterior para todas as partculas, ou seja 21 112iN NR R i ii iE E mv= == = (1.79) Como i iv r = ,eavelocidadeangularigualparatodasaspartculas(umavezque estas se encontram rigidamente ligadas), a expresso anterior pode escrever-se 212RE I = (1.80) com Idado por ri vi i xy miTpicos de Fsica Mecnica Clssica Pg. 24Gustavo da Silva 21Ni iiI mr==(1.81) AId-seonomedemomentodeinrciadoconjuntodeNpartculasemrelaoao eixo Oz,. No caso de se tratar de um corpo rgido contnuo, a energia cintica da massa elementar dm ser 212RdE v dm = . O momento de inrcia tem a expresso 2VI r dm =, ou ainda 2VI r dV =(1.82) e a energia cintica de rotao continua a ser dada pela expresso (1.80). 1.7. Apndice Correspondncia entre algumas grandezas associadas aos movimentos de translao e de rotao. Movimento de translaoMovimento de rotao x posio ngulo v velocidade linear velocidade angular a acelerao linear acelerao angular 20 012x x v t at = + +20 012t t = + +0v v at = +0t = +212cE mv =212cE I =p mv =, , L I =,, dpF madt= =,,, dLN Idt = =,,, Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas Gustavo da Silva pg. 25 1.8. Problemas resolvidos 1.8.1. Probl. 1. 1 Movimento rectilneo Considere um objecto pontual que se move segundo uma linha recta com o seguinte gr-fico de velocidade (referencial S): a)Faa uma representao grfica da acelerao do objecto. Indique sobre os grfi-cos os valores das aceleraes obtidas e quantifique para os seguintes valores de ti em segundos: t0t1t2t3t4 01040110120 b)Obtenha a posio do objecto, x(t), e represente-a graficamente (x = 0 para t = 0). c)Qual o mximo afastamento que o objecto teve da origem e quando que se deu? Resoluo: a) Trata-se do movimento de uma partcula num espao a 1 dimenso. Designando a coordenada de espao por x, ser: velocidade da partcula dxdt= v i , ou v = v i ,com dxvdt=e a acelerao 22d d xdt dt= =va i ,ou a = a i ,com 22dv d xadt dt= =A representao grfica da acelerao da partcula ser a representao grfica da derivada da velocidade: b) Como dxvdt= , ser( ) ( )tex t v t dt C = +, ou de outro modo, 0( ) ( )ttx t v d =, em que v(t0)=0 um dado do problema. t0t1t2t3t4t/sv(t) m/s 30 0 -5t0t1t2 t3t4t /s a(t) / m/s2 3.0 0.5 0.0 Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas Pg. 26Gustavo da Silva Pode organizar-se a seguinte tabela: CasotempoVelocidade(*)(m/s)Acelerao (m/s2)Posio(**) (m) 1 10 t t < ( ) 3 v t t =a(t) = 3 2( ) 1, 5 x t t =2 1 2t t t < ( ) 30 v t =a(t) = 0 ( ) 150 30 x t t = +3 2 3t t t < ( ) 50 0, 5 v t t = a(t) = 0,5 2( ) 550 50 0, 25 x t t t = + 4 3 4t t t < ( ) 60 0, 5 v t t = +a(t) = +0,5 2( ) 5500 60 0, 25 x t t t = + (*) Obtida a partir da figura dada, em quev(t) = at+b. (**) A posio obtida por intervalos, para os diferentes casos: 1 2 20 0( ) 3 1, 5 1, 5t tx t d t = = = . Para t = 10 sserx(10) = 150 m. 2 [ ]1010( ) 150 30 150 30 150 30( 10) 150 30ttx t d t t = + = + = + = + Para t = 40 sserx(40) = 1050 m. 3 2 240 40( ) 1050 (50 0, 5 ) 1050 50 0, 25 550 50 0, 25t tx t d t t = + = + = + . Para t = 110 sserx(110) = 1925 m. 4 2 2110 110( ) 1925 ( 60 0, 5 ) 1925 60 0, 25 5500 60 0, 25t tx t d t t = + + = + + = + . Para t = 120 sserx(120) = 1900 m. Graficamente O mximo afastamento d-se quando v = 0. Isto passa-se quando 2 3t t t < < , em que ( ) 50 0, 5 v t t = . Igualando v(t) a zero,50 0, 5 0 t =obtm-se tm =100 s. Substituindo este valor de t na expresso da posio vem(100) 1950m x = x(t) / m t/ s Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas Gustavo da Silva pg. 27 1.8.2. Probl. 1. 2 Movimento circular A informao de um CD (disco compacto) armazenada em sequncias de cavas e pla-nossobreasuasuperfcie.Ainformaoarmazenadadigitalmenteeasalternncias entre as cavas e os planos so detectadas por um sistema ptico constitudo por um laser e lentes, e representam os valores binrios zero ou um. O comprimento de cada sequn-cia de zeros ou uns sempre o mesmo, independentemente de se encontrarem mais ou menosparaointeriordodiscoealeiturafaz-secomumavelocidadelinearconstante, de1.3m/s.Odiscorodanosentidoinverso.Aespiramaisinteriordetodastemum dimetro de 46 mm e a mais exterior 116 mm. Nestas condies calcule: a)A velocidade de leitura em km/h. b) A velocidade angular do disco quando a cabea de leitura se encontra na espira mais interior, em rad/s e em rpm. c)Idem, para a espira mais exterior. d) O comprimento lido pela cabea de leitura num CD de 74 minutos. e)A distncia mdia entre espiras consecutivas e o seu nmero. f)O nmero de rotaes que d o disco durante os 74 minutos. Resoluo: a)No h mais do que converter a informao que dada em m/s em km/h: v = 1,3 m/s =1,310-33600 km/h = 4,68 km/h. b)v r = 31.356, 52rad/s23 10vr= = = 56.5260rpm 539, 74rpm2= = c)Para a espira mais exterior r = 58 mm31.322, 41rad/s 214,00 rpm58 10= = = d)Como a velocidade linear constante pode fazer-se simplesmente vt = / 1, 3 74 60m 5772m 5, 772km = = = / e)Na realidade a gravao realiza-se segundo uma espiral de Arquimedes,r a b = +Para = 0 1r r = , e para = 2n 2r r = , logo, 1b r =e 2 12r ran = 2 112r rr rn = +O arco percorrido no intervalo de tempo infinitesimal dado pords rd = , e 20nds=/ , pelo que 20nds=/ 20nrd =/ 22 1102nr rr dn + = / 222 1102 2nr rrn + = / , donde se obtm n = 22683 espiras. O valor de d obtm-se por: 2 1r rdn= = 1,54 m. Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas Pg. 28Gustavo da Silva Considere-se outra abordagem, em que o arco de espiral descrito em cada rotao aproximado por uma circunferncia. Faa-se a seguinte tabela: N da rotao Raio da espiraPermetro da espira 1r12 r1 2r1+d2 (r1+d) 3r1+2d2 (r1+2d) ......... n (ltima)r1+(n-1)d2 (r1+(n-1)d) A soma de todos os permetros ser igual ao comprimento total/ = 5772 m: 2 r1 + 2 (r1+d) + 2 (r1+2d) + ... + 2 (r1+(n-1)d) =/ n2 r1 + 2d(1+2+3+...+n-1) =/ n2 r1 + 2d12nn =/ . O permetro da ltima espira conhecido: 2(r1+(n-1)d) = 2 r2 = 20,058. Fica-se assim com o sistema de equaes 2(r1+(n-1)d) = 2 r2 = 2r2 n2 r1 + 2d12nn =/Substituindo valores numricos 2 (0,023 +(n-1)d) = 20,058n20,023 + 2d12nn = 5772 que resolvido conduz a n = 22683 espirasd = 1,543 m f)O nmero de rotaes efectuado igual ao nmero de espiras obtido acima: n = 22683 rot. Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas Gustavo da Silva pg. 29 1.8.3. Probl. 1. 3 Movimentos relativos Considere os referenciais S0 e S representados na pg. 7. Seja P um ponto coincidente deS,ouseja,umpontorigidamenteligadoaS.ProvequeentreavelocidadedeP expressa em S0, v0, e o vector rotao instantnea de S,, existe a relao 01rot2= vResoluo: x y z = + + i j k e0 r= + + v r v `Como vr = 0 por P ser um ponto fixo em S, fica apenas 0 = + v r ` , ou ainda 0 x y zx y z = +i j kv ` .Ser pois ( )( )( )x x y zy y z xz z x yv z yv x zv y x = + = + = + ``` Calcule-se rot v0:0rotx y zx y zv v v = i j kv =y yz x z xv vv v v vy dz z dx x dy + + i j kAs derivadas parciais podem ser calculadas pois vx, vy e vz so conhecidas, ficando assim 0rot ( ) ( ) ( )x x y y z z = + + + + + v i j k , ou finalmente 0rot 2 = v . Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas Pg. 30Gustavo da Silva 1.8.4. Probl. 1. 4 Movimentos relativos Um comboio desloca-se numa linha de caminho de ferro rectilnea, com uma velocidade uniforme de 140 km/h. Paralela linha h uma estrada, onde um automvel A se deslo-ca no mesmo sentido que o comboio, a 130 km/h, e um automvel B se desloca em sen-tido contrrio, a 85 km/h. A linha cruza, na perpendicular uma 2 estrada (por um viadu-to), onde um automvel C se desloca a 90 km/h, para a direita. Nestas condies deter-mine, no referencial do comboio, as velocidades dos automveis A, B e C. Paraaresoluodesteproblemadeverescreveraleidecomposiodevelocidades (movimentos relativos), identificar todas as suas componentes e indicar quais as que se anulam. Resoluo: S0 referencial em terra S referencial no comboio u0 velocidade do comboio em S0 vOA, vOB, vOC velocidades dos automveis A, B e C em S0. Lei da composio de velocidades: 0 rv = +r + v `Como = 0, porque no h rotao de S em relao a S0 e=0 u ` , fica apenas 0 rv = + v ` r 0 0v = v uem que vr a velocidade no referencial S. Particularizando para os valores do problema: 140 (km/h) =0 0u i 130 (km/h) =OA 0v i 85 (km/h) = OB 0v i 90 (km/h) = OC 0v jDonde 130 140 (km/h) 10 (km/h) = = rA 0 0 0v i i i(visto do comboio o automvel A anda para trs, muito devagar) 85 140 (km/h) 225 (km/h) = = rB 0 0 0v i i i (visto do comboio o automvel B anda para trs, a grande velocidade) 90 140 (km/h) 140 90 (km/h) = = rC 0 0 0 0v j i i j(visto do comboio o automvel B anda para trs, e para a direita, em diagonal) S0 v0AS v0Bv0Cu0 O0 Oyxy0 x0 A B C Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas Gustavo da Silva pg. 31 1.8.5. Probl. 1. 5 Movimento de um projctil Um foguete meteorolgico de 6 kg lanado na vertical, como indicado na figura. A fora de propulso constante e igual a 200 N, at se esgo-tar o combustvel, o que acontece ao fim de 5 segundos. Calcule: a)Aquealtitudequeseesgotaocombustvel,supondoqueamassa total do foguete se mantm constante (despreze a resistncia do ar). b) Qual a altura mxima que o foguete atinge. c)Se a massa do foguete fosse de 2 kg, ao esgotar-se o combustvel que velocidade teria o foguete? Resoluo: a)Asforasqueactuamsobreofoguetesooprprio peso e a fora de propulso F. Pela 2 lei de Newton, a acelerao que ocorpoadquireproporcionalresultantedasforas quesobreeleactuam:m = + a P F.Estasforastm apenascomponentesegundoumadireco,peloque F Pam= =-2200 6 9, 80ms6 = 23,53 ms-2. Pela lei do movimento 20 012y y v t at = + + . Considerandoacotadopontodelanamentocomozero,eumavezqueofoguete parte do repouso, fica 21/ 2 y at = . Esgotando-se o combustvel ao fim de 5 segundos obtm-se a altura mxima y1 = 294,1 m. b) A partir da cota y1 a fora que actua sobre o foguete apenas resultante do seu peso. Aalturamxima,ym,atingidaquandov=0.Aleideavelocidadedizque 1v v gt = .Ovalordev1podeserdeterminadocomosvaloresdea): 15s v a = =23, 53 5 117, 65m/ s = . t = 12,00 s. Clculo de ym: 21 112y y v t gt = + . Logo 21294,1 117, 65 12, 00 9,80 12, 002my = + m = 1000,3 m. c)Admita-se que o combustvel consumido de forma proporcional ao tempo. A massa do foguete seguir a equao 0m m t = . Para t = 0m = 6 kg, para t = 5 sm = 2 kg m0 = 6 e = 0,8 ms-2. A cada instante, durante a primeira fase, a acelerao no ser constante mas vai aumentando: -2200 6 9, 80ms6 0, 8at =. Ao esgotar-se o combustvel a velocidade do foguete ser 510( ) v a d == =50141, 26 0,8d = [ ]50141, 2ln(6 0,8 )0,8t = 160,659 m/s (> 117,65). y x P F Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas Pg. 32Gustavo da Silva 1.8.6. Probl. 1. 6 - Queda de um grave Um rapaz encontra-se junto ao mar, no topo de uma falsia, a atirar pedras para a gua e a medir o tempo que as mesmas demoram a cair (perigo: no permitido atirar pedras do alto das falsias!). a)Numprimeirolanamentoumapedrafoiatiradahorizontalmenteedemorout1 segundos a atingir a gua. Qual a altura da falsia (despreze a resistncia do ar). Par-ticularize para t1=3,80 s. b) Num segundo lanamento a pedra foi atirada com uma inclinao de 45 para cima e demorout2segundosaatingiragua.Dequantoqueapedraseelevouacimada falsia e a que distncia da vertical do rapaz que caiu? Particularize para t2 = 4,90 s. c) Determine os valores da energia cintica, potencial e total da pedra, suposta de 0,25 kg: 1) Imediatamente aps o lanamento. 2) No ponto de altura mxima. 3) Ao atingir o mar. Resoluo: Emprimeirolugarestabelece-seumreferencial,comorespectivosistemadeeixos. Escolheu-se o sistema de eixos (xOy), ortogonal (que no um sistema directo). a) A pedra, de massa m, sujeita fora F, adquire uma acelerao a tal que F = ma. No caso da queda do grave o valor de a igual a g, acelerao da gravidade. Decompe-seoproblemabidimensionalemdoisproblemasindependentesauma dimenso: Movimento segundo y: ay=geyydvadt=Velocidade: 0ty yv a d ==0tgd yv gt =Espao percorrido: 0tyy v dt ==0tg d 212y gt = Altura da falsia: 219,80 3, 80 m2H = = 70,76 m Movimento segundo x: 00tx v dt == v0 t.No se pode adiantar mais porque no se conhece v0. x y H v0 L F m xTpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas Gustavo da Silva pg. 33 b)Apedraprimeirosobe,passaporumaalturamximaedepoiscaiaomar,comose mostra na figura seguinte: Movimento na vertical: Acelerao: g Velocidade: 00( )tyv t v gd = + 0 yv gt +Posio: 0( ) ( )ty t v d ==00( )tyv g d + 201( )2yy t v t gt = +Massabe-sequeparat=t2 y(t) =H, logo 20 2 212yH v t gt = +e portanto 22020.5yg t Hvt = . Substituindo valores: 200.5 9, 8 4, 90 70, 764, 90yv = = 9,569 m/s. Aalturamximaocorrequandoacomponenteverticaldev(t)seanula 00yv gt + = tm=0,976s.Substituindoestevalordetnaexpressodey(t) obtm-se Hm = 4,66 m. Repare-se no significado do sinal menos. Como a velocidade inicial, de lanamento, a 45, as suas componentes em x e y so iguais,ouseja, 0 09, 569 m/sx yv v = = .Oespaopercorridonahorizontal 00( )txx t v d ==0xv t . Para t=t2 x(t) = L, donde0 2 xL v t == 9,5694,9 m = 46,89 m. c) Vo ser utilizadas as expresses 212cE mv = ,Ep mgh =e t c pE E E = + . Para obter v para o caso 3 preciso vy: 0( )y yv t v gt = + = 9, 569 9, 80 4, 90 + m/s = 38,45 m/s. Caso 1. Aps o lanamento2. Na altura mxima3. Ao cair no mar v2 20 0 x yv v + = 13,53 m/s 0xv = 9,569 m/s 2 2x yv v + = 39,62 m/sEc22,89 J11,45 J196,32 J h70,76 m75,42 m0 m Ep173,36 J184,78 J0 J Et196,25 J196,23 J196,22 J Observa-se o facto j conhecido da conservao da energia mecnica total. xy H v0x v0y v0 L Altura mximaxTpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas Pg. 34Gustavo da Silva 1.8.7. Probl. 1. 7 Movimento de um projctil 1.Um jogador de tnis encontra-se a 12,7 m da rede quando faz o lanamento da bola. Sabendo que esta lanada de um ponto a 56 cm do solo, segundo um ngulo de 3,5 acima da horizontal, pergunta-se a)Qual a velocidade de lanamento da bola, se, atirando o mais longe possvel, no quiser ultrapassar a marcao do campo adversrio. Ser que a bola passa sobre a rede? b) Qual a energia cintica da bola na posio de altura mxima? Considere a bola esfrica com 4 cm de raio e 70 g de massa. Resoluo: Escolha do referencial: eixos coordenados indicados na figura. a) Equaes do movimento: 0 oxx x v t = + 20 012yy y v t gt = + Com 0cosoxv v = , 0senoyv v = . Logo, 0 0cos x x v t = + 20 01sen2y y v t gt = + Eliminando t nas equaes anteriores obtm-se a equao da trajectria: 200 0 2 20( )tan ( )2 cosg x xy y x xv = Sabe-se que x0 = 0, y0 = 0,56 m e = 3,5. Vai determinar-se v0 obrigando a que y = 0 quando x = 12,7+11,9 m = 24,6 m. Resolvendo a ltima equao em ordem a v0 obtm-se v0 = 37,959 m/s. Ser que a bola passa sobre a rede? A condio exigida que para x = 12,7 m dever ser y > 0,92+0,04 m = 0.96 m. Usando a equao da trajectria obtm-se 22 29,80 12, 70, 56 tan3, 5 12, 72 37, 959 cos 3, 5y= + = 0,79 m, que inferior a 0,96 m. Logo, com as condies dadas a bola no pode passar por coma da rede. b) Na altura mxima a velocidade apenas tem componente segundo x: v = v0 cos = 37,888 m/s. A energia cintica da bola dada por 212cE mv = 210.70 37,8882cE= J = 50,24 J 12,7 m 11,9 m11,9 m 0,92 m 3,5 v0 56 cm x y Tpicos de Fsica Mecnica Clssica - Problemas Gustavo da Silva pg. 35 1.8.8. Probl. 1. 8 - Movimento de um projctil Um projctil lanado do canho de um navio de modo a alcanar um outro navio que se encontra escondido atrs de uma ilha com 90 m de altura. Ocanhoencontra-sea25macimadonveldomar,a820mdaverticaldotopoda ilha, e o alvo um navio semelhante, que est a 100 m para o lado oposto. Sabendo que a velocidade de disparo de 190 m/s, calcule, desprezando a resistncia do ar: a) O melhor ngulo de fogo, em relao horizontal, necessrio para atingir o navio. b) O tempo que o mesmo levou, at atingir o alvo. c) A altura, hM, que o projctil atingiu. d) A distncia, na vertical, a que o projctil passou do cimo da ilha. Resoluo: Primeiramente escolhe-se um referencial, com o respectivo sistema de eixos. Escolheu-se o sistema de eixos (xOy), ortogonal, com origem no local do disparo. a) O projctil, de massa m, sujeito fora F, adquire uma acelerao a tal que F = ma. No caso do projctil o valor de a igual a -g, acelerao da gravidade e s existe na direco vertical. Repare-se no sinal menos, devido posio relativ