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TÓPICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Autora: Mônica Zornita Alberton1
Orientadora: Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino2
RESUMO
O presente artigo relata experiência de ensino envolvendo Tópicos de Matemática Financeira por meio da Resolução de Problemas, desenvolvida com uma turma do 1º ano de Ensino Médio, do Colégio Estadual Dr. Cândido de Abreu – Município de Cândido de Abreu, Estado do Paraná. Nessa experiência procurou-se oportunizar aos alunos o estudo de conceitos como juro, desconto e acréscimo, mediante um trabalho com problemas que envolviam situações cotidianas, oportunizando aos alunos também perceber que esses conceitos estudados na escola podem ser aplicados na sua vida. Durante o desenvolvimento dessa experiência foi possível observar mudanças ocorridas nos grupos de trabalho, pois houve grande interação, melhorando a capacidade de trabalhar em grupo, os alunos perderam o medo de expor suas ideias, e isso proporcionou uma análise mais detalhada do problema, desencadeando, assim, a elaboração de novas estratégias, possibilitando o comprometimento dos alunos com as tarefas propostas e a participação dos mesmos na construção de conceitos matemáticos. PALAVRAS-CHAVE: Tendências em Educação Matemática; Resolução de Problemas, Matemática Financeira.
1 Professora da Rede Estadual de Educação do Paraná.
2 Professora do Departamento de Matemática e do Programa de Pós-Graduação em Ensino de
Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina (UEL). Doutora em Educação.
1 INTRODUÇÃO
Na sociedade em contínua alteração em que vivemos, o aluno é
diariamente desafiado a fazer uso da capacidade de solucionar problemas.
Assim, torna-se necessário prepará-lo para lidar com situações as quais a ele
se apresentem e exijam a resolução de problemas, oferecendo-lhe
possibilidades para solucioná-los.
Além disso, pela experiência em sala de aula, pude observar ao longo
dos anos que parte dos alunos apresenta certa dificuldade na resolução de
problemas por não conseguirem ler, interpretar e utilizar os conhecimentos
matemáticos que possuem no trabalho com os problemas propostos em sala
de aula.
Nesse sentido a Resolução de Problemas apresenta-se como uma
estratégia metodológica que pode auxiliar o professor em suas aulas.
De acordo com Onuchic e Allevato (2005, p. 222): “[...] ensinar
matemática através da resolução de problemas é uma abordagem consistente
com as recomendações do NCTM e dos PCN, pois conceitos e habilidades
matemáticos são aprendidos no contexto da resolução de problemas”.
Tendo isso em vista, desenvolvi um trabalho junto a alunos da 1ª série
do Ensino Médio com a Resolução de Problemas, enquanto estratégia
metodológica. O conteúdo básico selecionado para desenvolver o trabalho foi a
Matemática Financeira, em especial juros, acréscimos e descontos.
De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação
Básica do Paraná:
É importante que o aluno do Ensino Médio compreenda a Matemática Financeira aplicada aos diversos ramos da atividade humana e sua influência nas decisões de ordem pessoal e social. Tal importância relaciona-se ao trato com dívidas, com crediários à interpretação de descontos, à compreensão dos reajustes salariais, à escolha de aplicações financeiras, entre outras (PARANÁ, 2008, p. 61).
A nossa meta durante este trabalho foi utilizar a Resolução de
Problemas, enquanto estratégia metodológica, possibilitando aos alunos a
construção e compreensão de conceitos matemáticos a partir de problemas, e,
além disso, que os problemas abordados envolvessem situações cotidianas,
oportunizando perceberem que tais conceitos estudados na escola podem ser
aplicados na sua vida.
Por meio da metodologia da Resolução de Problemas, procuramos
também incentivar o aluno para que tivesse autonomia na escolha do
procedimento a ser utilizado na resolução de um problema e, ainda, interagisse
com os colegas cooperativamente, no trabalho em grupo, auxiliando-os e
aprendendo com eles, apresentando suas ideias e respeitando as deles,
formando, assim, um ambiente propício à aprendizagem.
2 ASPECTOS TEÓRICOS
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de
Matemática do Estado do Paraná, os “conteúdos propostos devem ser
abordados por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática
que fundamentam a prática docente” (PARANÁ, 2008, p. 63), dentre elas pode-se
destacar a Resolução de Problemas.
Segundo Allevato e Onuchic (2009, p. 2), ensinar Matemática “através
da resolução de problemas, apesar de resolução de problemas ter uma longa
história na matemática escolar, é um conceito bastante novo em Educação
Matemática”.
O ensino de Matemática através da Resolução de Problemas “reflete
uma tendência de reação a caracterizações passadas como um conjunto de
fatos, domínio de procedimentos algorítmicos ou um conhecimento a ser obtido
por rotina ou por exercício mental” (ONUCHIC,1999, p. 203).
Nesse sentido, os PCN+ destacam que a resolução de problemas
[...] é peça central para o ensino de Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Essa competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e técnicas matemáticas, pois, neste caso, o que está em ação é uma simples transposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação, o que não garante que seja capaz de utilizar seus conhecimentos em situações diferentes ou mais complexas (BRASIL, 2002, p. 112).
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino
Médio:
[...] aprender Matemática no Ensino Médio deve ser mais do que memorizar resultados dessa ciência e [...] a aquisição do conhecimento matemático deve estar vinculada ao domínio de um saber fazer Matemática e de um saber pensar matemático. Esse domínio passa por um processo lento, trabalhoso, cujo começo deve ser uma prolongada atividade sobre resolução de problemas de diversos tipos, com o objetivo de elaborar conjecturas de estimular a busca de regularidades, a generalização de padrões, a capacidade de argumentação, elementos fundamentais para o processo de
formalização do conhecimento matemático e para o desenvolvimento de habilidades essenciais à leitura e interpretação da realidade e de outras áreas do conhecimento (BRASIL, 1999, p. 252-254).
Ainda de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino
Médio:
[...] a resolução de problemas é uma importante estratégia de ensino. Os alunos, confrontados com situações-problema novas mas compatíveis com os instrumentos que já possuem ou que possam adquirir no processo, aprendem a desenvolver estratégias de enfrentamento, planejando etapas, estabelecendo relações, verificando regularidades, fazendo uso dos próprios erros cometidos para buscar novas alternativas; adquirem espírito de pesquisa, aprendendo a consultar, a experimentar, a organizar dados, a sistematizar resultados, a validar soluções; desenvolvem sua capacidade de raciocínio, adquirem autoconfiança e sentido de responsabilidade; e, finalmente, ampliam sua autonomia e capacidade de comunicação e de argumentação (BRASIL, 1999, p. 266).
Desse modo, utilizar a Resolução de Problemas como uma estratégia
metodológica para o ensino e a aprendizagem de Matemática, trata-se “de um
trabalho onde um problema é ponto de partida e orientação para a
aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á através de sua
resolução” (ALLEVATO E ONUCHIC, 2009, p. 7).
Para desenvolver um trabalho na perspectiva da Resolução de
Problemas, o professor precisa estar ciente dos papéis atribuídos a ele e aos
alunos nas tarefas desenvolvidas em sala de aula de acordo com essa
estratégia metodológica. Segundo Allevato e Onuchic (2009, p. 7), não há
“formas rígidas para colocar em prática essa metodologia”. Uma proposta
apresentada pelas autoras compreende as seguintes etapas:
1) Preparação do problema – Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não foi ainda trabalhado em sala de aula. 2) Leitura individual – Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura. 3) Leitura em conjunto – Formar grupos e solicitar nova leitura, agora nos grupos. Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo-lhes o problema.
Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos, surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário. 4) Resolução do problema – De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como coconstrutores da “matemática nova” que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula. 5) Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles. O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do trabalho. 6) Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam. 7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa para os colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem. 8) Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. 9) Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal” – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 7-8, grifo nosso).
A seguir, é apresentado o relato de uma experiência desenvolvida com
alunos do Ensino Médio, em que as tarefas foram organizadas tendo como
base essa proposta das autoras Allevato e Onuchic (2009).
3 RELATO DE EXPERIÊNCIA
A implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica ocorreu no
Colégio Estadual Dr. Cândido de Abreu, pertencente ao Núcleo Regional de
Educação de Ivaiporã, que oferece Ensino Médio e Profissional no município
de Cândido de Abreu.
Antes de colocado em prática, o projeto foi apresentado para a direção,
equipe pedagógica e colegas professores.
Foi realizada também uma reunião com os 36 alunos de uma 1ª série
do Ensino Médio e alguns pais que estavam presentes, onde expliquei para
eles como seria o desenvolvimento do Projeto.
Quando falei que no trabalho a ser realizado, seria adotada a
metodologia da Resolução de Problemas, houve comentários de alunos como
o seguinte: “Resolver problemas? Então não vai ser fácil“.
Expliquei então que seria abordado um tema que faz parte de inúmeras
situações do dia a dia, Matemática Financeira, e que o trabalho seria realizado
em grupos com 4 alunos, para leitura, interpretação, discussão e resolução;
sendo que em um segundo momento seria realizada uma plenária, em que os
grupos iriam expor suas resoluções e dificuldades encontradas; e na sequência
aconteceria a formalização do conteúdo.
Por fim, alguns alunos expressaram então que consideravam
importante esse trabalho com Matemática Financeira, por este tema fazer parte
de situações do seu cotidiano.
Após a reunião, tiveram início os trabalhos em sala de aula. No
momento da formação dos grupos foi possível perceber que esta não era uma
prática rotineira para os alunos, pois gerou certa discussão para se
organizarem. Foi necessária minha intervenção para auxiliá-los na
organização. Isso ocorreu somente no primeiro dia, nos demais os grupos
foram formados de maneira tranquila.
Na sequência é apresentado o relato do trabalho desenvolvido com os
alunos.
3.1 OS PROBLEMAS
PROBLEMA 1
Rodrigo emprestou R$ 1.500,00 ao seu amigo Marcos, para ser devolvido
após 8 meses. Durante esse tempo, Marcos pagou mensalmente, 2% da
quantia emprestada e, ao final dos 8 meses, também, devolveu para o amigo o
valor de R$ 1500,00. Com base nessas informações responda:
a) O que esse valor de 2% ao mês pago por Marcos representa?
b) Quanto Marcos pagou a Rodrigo ao final de 1 mês?
c) Se Marcos tivesse quitado a dívida antecipadamente, que valor total
pagaria a Rodrigo:
Ao final de 1 mês?
Ao final de 2 meses?
Ao final de 3 meses?
Ao final de 4 meses?
Ao final de 5 meses?
Ao final de 6 meses?
Ao final de 7 meses?
d) Quanto Marcos pagou além dos R$ 1.500,00 em 8 meses a Rodrigo,
para quitar a dívida? Apresente seus cálculos.
e) Ao todo, quanto Rodrigo recebeu de Marcos quando encerrou o prazo
de pagamento? Apresente seus cálculos.
O problema foi trabalhado em três etapas, sendo elas: 1ª Etapa
(questões a e b); 2ª Etapa (questão c); 3ª Etapa (questões d e e).
1ª Etapa
Após iniciarem a leitura do problema nos grupos, surgiram
questionamentos do tipo: “Você não vai explicar como faz?”
Foi necessário ressaltar aos alunos que para o trabalho nessa
metodologia, primeiro teriam que ler o problema, discutir no grupo e tentar
resolvê-lo, da maneira que conseguissem, utilizando os conhecimentos que
possuíam até a ocasião.
Os grupos voltaram a trabalhar, mas logo surgiu outro questionamento.
Nos diálogos que seguem, será utilizada a letra P para introduzir a fala da
professora e A para a fala de um aluno.
(A1) Mas professora, o que esses 2% representam?
Lancei a questão para a turma, e um aluno respondeu:
(A2) Eu acho que é juro.
(P) Mas o que é juro?
(A2) Eu entendo que juro é o valor que recebemos quando
emprestamos dinheiro para alguém.
(P) Será que juro é somente o valor que recebemos?
(A3) Não, pois nós às vezes também pagamos juros.
(P) Mas quando ¨pagamos juros¨?
(A4) Quando pegamos dinheiro emprestado.
(P) Será que pagamos juros somente quando pegamos dinheiro
emprestado?
(A3) Não.
(P) Em quais outras situações pagamos?
(A5) Quando financiamos um carro, pagamos contas atrasadas,
compramos parcelado em lojas.
Com todos estes questionamentos e discussões, todos os grupos
concluíram que os 2% representavam a taxa de juro.
Ao iniciarem a resolução da questão b, um aluno questiona: “Como vou
saber quanto de juro ele pagou?” E um aluno de outro grupo diz : “Se você
quer saber quanto é 2% de 1.500, é só multiplicar 1.500 por 2 e dividir por 100”.
A professora percebeu que a dúvida quanto ao cálculo da porcentagem
não era apenas desse grupo. A partir dessa resposta foi possível intervir e
retomar com os alunos o conceito de porcentagem e as várias representações
que podem ser utilizadas.
Na sequência os grupos deram continuidade à resolução. Após todos
terminarem, transcreveram na lousa resoluções como a seguinte:
Figura 1 – Resolução apresentada por um grupo ao item b do problema 1.
Na sequência iniciou-se a plenária e foi discutida a maneira que os
grupos encontraram a resposta para esse item. E a partir dessas discussões
aproveitei o momento para formalizar o conceito de juro, que corresponde a
uma compensação em dinheiro que se recebe ou que se paga pelo empréstimo
de determinada quantia monetária, a uma taxa combinada, ao final de um
período.
2ª Etapa
c) Se Marcos tivesse quitado a dívida antecipadamente, que valor
total pagaria a Rodrigo:
Ao final de 1 mês?
Ao final de 2 meses?
Ao final de 3 meses?
Ao final de 4 meses?
Ao final de 5 meses?
Ao final de 6 meses?
Ao final de 7 meses?
Ao iniciarem a leitura, alguns grupos perguntaram o que era para fazer.
A partir dos questionamentos deles, levantei algumas questões, como: “O que
está sendo pedido neste item?”
A partir dos questionamentos a maioria dos grupos se empenhou na
resolução do problema, e a professora observava o trabalho dos grupos.
Durante essa observação, um dos alunos questionou:
(A1) Como ficaria melhor para resolver este problema?
Pedi um momento de atenção e sugeri aos grupos que não estavam
conseguindo desenvolver alguma estratégia de resolução, que organizassem
os dados em um quadro, já pensando na formalização posterior, mas ressaltei
que cada grupo poderia resolver da maneira que considerasse melhor. Assim
que todos os grupos começaram as discussões quanto às maneiras de
resolver, um aluno partilhou o seguinte comentário com toda a turma:
(A1) Mas é só somar 30,00 a cada mês, pois esse valor seria o juro.
Os demais questionaram a professora: “É só somar o juro de cada
mês?”
(P) Analisem novamente o problema no grupo e vejam se conseguem
chegar a uma conclusão.
Assim que todos os grupos terminaram a resolução, passamos para a
resolução deste item na lousa, onde todos os grupos colocaram suas
resoluções, apresentando diferentes maneiras de organizar os resultados.
A partir das resoluções expostas começou a plenária, que eu
considerei um dos momentos mais importantes, pois enquanto um aluno estava
expondo sua maneira de resolver e explicando, os demais ouviam e interagiam
expondo suas ideias. Apenas um dos grupos organizou a resolução desse item
em um quadro, o qual deixou bem visível os resultados para os alunos
analisarem.
Figura 2 – Resolução apresentada por um grupo ao item c do problema 1.
Após as discussões em plenária, quanto às resoluções, os alunos
comentaram que se Marcos tivesse quitado a dívida antecipadamente, não
teria gasto tanto em juro. Concordaram que a partir da análise do quadro
(Figura 2) ficou bem mais fácil visualizar o quanto Marcos pagaria a Rodrigo se
tivesse quitado a dívida antecipadamente. Após toda a discussão a respeito da
maneira de resolver, um aluno indaga:
(A1) Acho que tem uma fórmula para calcular esses dados? Pois nós
fomos adicionando os 30 reais a cada mês.
(P) Alguém já viu essa fórmula e se lembra dela?
(A2) Eu lembro que tem alguma coisa com juro e capital, mas o resto
não sei.
(P) Analisando o quadro, o que cada item representa? Por exemplo, a
quantidade de meses?
(A1) Representa o tempo.
(A2) Então o tempo para ser quitada a dívida?
(A3) Sim.
A partir desta resposta concluíram que tempo é o período contado a
partir do momento que Marcos emprestou o dinheiro até a quitação da dívida.
(A1) Os 1.500 que Marcos emprestou é o capital?
(A2) Mas o que é capital?
(A1) Capital é a quantia em dinheiro que Marcos emprestou.
Aproveitei o momento para explicar que capital é uma quantia em
dinheiro que se empresta ou se pede emprestado. Analisando novamente o
quadro um aluno diz:
(A4) Mas o que esse 0,02 representa?
(A5) Você já esqueceu? Esse valor representa a taxa de juros que
temos que pagar quando emprestamos dinheiro.
Definimos esse valor como taxa percentual de juro.
Após essa discussão começamos a substituir os números do quadro
pelas letras para podermos obter a fórmula. Eles próprios começaram a falar
que o 1.500 é o capital, então mencionei que podemos representar o capital
pela letra C, a porcentagem por i, os meses por t que é o tempo, e o juro por J.
Assim que substituímos as letras, escrevemos a fórmula:
J = C. i .t
em que J: juros, C: Capital inicial, i: taxa de juro expressa na forma
decimal e t: período de duração da operação financeira.
Quando analisamos a última coluna do quadro, um aluno disse que foi
somado o capital mais o juro. Aproveitei esse momento para explicar aos
alunos que quando é feita essa soma do capital mais o juro nós encontramos o
montante.
Após essa formalização, voltamos a analisar o quadro para obtermos
uma fórmula também para o cálculo do montante. Perguntei a eles que letra
poderia ser utilizada para representar o montante, e eles escolheram a letra M.
Então questionei como poderíamos escrever a fórmula.
Um aluno respondeu:
(A1) Se montante é a soma do capital mais o juro, então eu acho que
dá para escrever M = C + J.
Perguntei para os demais se concordavam com ele, e responderam
que sim.
Com as resoluções destas etapas, os objetivos previstos foram
alcançados, pois conseguiram expressar os conceitos relacionados a juro,
capital, taxa, tempo e montante.
3ª Etapa
d) Quanto Marcos pagou além dos R$1.500,00 em 8 meses a Rodrigo,
para quitar a dívida? Apresentem seus cálculos.
e) Ao todo, quanto Rodrigo recebeu de Marcos quando encerrou o
prazo de pagamento? Apresentem seus cálculos.
Quanto à resolução destes itens percebi que os grupos iniciaram lendo
as questões bem mais concentrados, somente discutindo entre eles. Observei
também que estavam interagindo muito melhor do que no início, demonstrando
conhecimento necessário e utilizando pouco tempo para resolver as questões.
Logo após as resoluções, um representante de cada grupo expôs suas
respostas na lousa e iniciamos a plenária que foi bem mais organizada. No final
concluíram que utilizaram cálculos diferentes, mas obtiveram o mesmo
resultado.
Figura 3 – Resolução apresentada por um grupo ao item d do problema.
Figura 4 – Resolução apresentada por um grupo ao item e do problema 1.
Após as discussões das resoluções apresentadas na lousa, os alunos
chegaram a um consenso que resoluções como as apresentadas nas Figuras 3
e 4 estavam corretas.
PROBLEMA 2
Em uma loja de roupas, o preço de uma calça jeans que custava R$ 95,00
teve um aumento de 15%. Na semana seguinte, foi realizada uma promoção,
que ofertava a mesma calça jeans por um valor 15% menor.
a) Com o aumento no valor, quanto a calça passou a custar?
b) Com a promoção, quanto a calça passou a custar?
No início da resolução do item a os grupos não encontraram
dificuldades, iniciaram a resolução bem mais tranquilos e sem muitos
questionamentos. Apresentaram na lousa resoluções como a seguinte:
Figura 5 – Resolução apresentada por um grupo ao item a do problema 2.
Após os grupos exporem seus cálculos na lousa, iniciou-se a plenária.
Após as discussões a respeito das resoluções os alunos chegaram a um
consenso que estavam todas corretas. Um dos objetivos deste problema era
trabalhar acréscimo, então foi feita a seguinte pergunta:
(P) Do que mesmo está tratando o problema?
(A1) De uma calça que teve um aumento no preço.
A professora aproveitou esse momento para formalizar o conceito de
Acréscimo, que é obtido aplicando-se um percentual de aumento sobre o valor
de um bem de consumo, de uma fatura de loja, entre outros. No caso desse
problema, sobre o preço da calça. Dessa forma, a partir das resoluções
apresentadas foi possível constatar que o valor a ser acrescido pode ser obtido
multiplicando-se o valor em questão que sofrerá o acréscimo, pela taxa
percentual (escrita na forma decimal).
No início da resolução do item b, houve o seguinte comentário:
(A1) Professora não precisa nem calcular!
(P) Por que você acha que não precisa fazer os cálculos?
(A1) Pois vai dar o mesmo valor, R$95,00. A porcentagem é a mesma!
Foi sugerido aos grupos que fizessem então os cálculos para que
pudessem constatar se seria isso mesmo. Assim que todos resolveram, um
representante de cada grupo se dirigiu à lousa para expor as resoluções,
dentre elas, a que segue:
Figura 6 – Resolução apresentada por um grupo ao item a do problema 2.
Em seguida iniciou-se a plenária referente ao item b.
(A1) Não é só retirarmos os R$ 14,25 que encontramos no item a? Pois
se o aumento foi de R$ 14,25 é só diminuir esse valor dos R$ 109,25 do item a
que a calça volta a custar os R$ 95,00, pois no enunciado fala que a
porcentagem é a mesma!
(A2) Não, porque deve ser calculada a porcentagem do valor que a
calça passou a custar.
(P) Quanto custava a calça?
(P) Com o aumento quanto ela passou a custar?
(A3) Custava R$ 95,00 e com o aumento calça passou a custar R$
109,25.
(A2) Se a calça passou a custar R$ 109,25, então temos que calcular a
porcentagem (15%) do valor que ela está custando com o aumento.
A partir desses questionamentos e discussões os alunos chegaram à
conclusão que realmente não podíamos só retirar os R$ 14,25 dos R$ 109,25,
mas teríamos que calcular novamente os 15% do valor que a calça passou a
custar. Assim, a resolução apresentada na Figura 6 estaria correta.
A professora aproveitou esse momento para discutir com eles que
quando são realizadas as promoções, o produto passa a custar menos, então
podemos dizer que teve um desconto. Assim, quando se aplicar um percentual
sobre o valor de um bem de consumo, de fatura de loja, entre outros, e o
resultado obtido for subtraído do valor em questão, então se obtém o valor com
o desconto.
PROBLEMA 3
Marcos emprestou R$ 1.500,00 de um banco a uma taxa de juros de 2% ao
mês. Negociou com o gerente que pagará a dívida ao final de 08 meses. O
gerente lhe explicou que no primeiro mês os juros serão calculados sobre o
valor emprestado e nos meses seguintes os juros serão calculados sobre o
valor do montante obtido no mês anterior.
a) Determine os valores dos juros cobrados pelo banco e o valor do
montante nos 8 meses.
b) Observando os problemas 01 e 03, aponte semelhanças e diferenças
entre os valores do capital, taxa e tempo, os cálculos dos juros e valores dos
montantes.
Item a do problema
Após receberem a folha contendo o problema iniciaram a leitura e, na
sequência, a organização dos grupos, que já foi bem mais tranquila do que em
aulas anteriores. Os alunos mostraram-se também mais interessados em iniciar
a leitura do problema nos grupos.
Finalizada a leitura, foi pedido que tentassem desenvolver uma
resolução com os conhecimentos possuídos até o momento.
Em alguns grupos, os alunos retiraram os dados do problema e
iniciaram os cálculos. Outros grupos questionaram a professora a respeito do
que poderiam fazer primeiro, e como não apresentavam ideias para começar a
resolução, a professora sugeriu a eles que construíssem um quadro como o
apresentado a seguir, que o representante de um grupo expôs na lousa
Figura 7 – Resolução apresentada por um grupo ao item a do problema 3.
Na sequência iniciamos a plenária, em que houve várias discussões
quanto às respostas.
Para essa resolução apresentada na figura 7 houve a seguinte
discussão.
Um aluno questionou:
(A1) Os cálculos estão corretos?
(A4) Eu acho que está correta a maneira que foi resolvida, pois no
primeiro mês os juros iam ser cobrados sobre os R$ 1.500,00 e nos meses
seguintes sobre o valor do montante do mês anterior, mas o resultado dos juros
para o 2º mês não está correto.
(P) Por quê?
(A3) O resultado de R$ 1.530,00 vezes 0,02 dá 30,60 e não 30,61,
assim ao somar com os R$ 1.530,00 vai dar R$ 1.560,60.
Após isso, continuamos a analisar outros cálculos apresentados na
Figura 7 e os alunos perceberam que havia mais resultados incorretos, por
exemplo, o obtido no valor a pagar após 6 meses, o que acarretou erros
também nas respostas seguintes a essa apresentadas no quadro.
Ao discutir as outras resoluções apresentadas na lousa, conferindo os
cálculos realizados até o 8º mês, os alunos elegeram a seguinte como correta.
Figura 8 – Resolução apresentada por um grupo ao item a do problema 3.
Na sequência os alunos foram questionados a respeito de como é
chamado este tipo de juro envolvido no problema e um aluno respondeu que
seria juro sobre juro. A professora então discutiu com a turma essa ideia de
juro sobre juro, em que o juro calculado em cada período é somado ao capital,
constituindo um montante sobre o qual será calculado o juro do período
seguinte e aproveitou para informar que esse tipo de juro é denominado Juro
Composto.
Um aluno questionou a professora se haveria uma fórmula para
calcular esse tipo de juro. A professora então respondeu que sim e aproveitou
para analisar o quadro da Figura 8 com os alunos para, a partir dos dados
apresentados nele, obter a fórmula.
Considerando:
M: montante
C: capital
i: taxa percentual de juro
t: tempo ou período utilizado na operação financeira
Mês Capital no
começo do
mês
Juros cobrados no mês Montante ao término do mês
1 C Ci M = C +Ci
Colocando-se C em evidência, temos:
M =C(1 + i)
2 C(1 + i)
É o montante
do mês
anterior
C (1 + i) i
É o montante do mês anterior
vezes a taxa de juros.
M = C(1+i) + C(1 + i)i
Colocando-se C (1 + i) em evidência:
M = C. (1 + i). (1 + i)
M = C ( 1 + i)2
3 C(1 + i)2 C(1 + i)
2 i M =C(1 + i)
2+ C(1 + i)
2i
Colocando-se C (1 + i)2 em
evidência:
M= C(1 + i)2(1 + i). Note que
podemos escrever a equação da
seguinte forma:
M= C.(1 + i)3
4 C(1 + i)3 C(1 + i)
3i M= C(1 + i)
3 + C(1 + i)
3i
M= C(1 + i )3(1 + i)
M= C( 1 + i)4
... ... ... ...
t C(1 +i)t-1
Por ser o
montante
C(1 + i)t-1
i M= C(1 + i)t-1
+ C( 1 + i)t-1
i
M= C(1 + i)t-1
(1 + i)
M= C(1 + i)t
E assim obtivemos a fórmula:
M = C (1 + i )t
Depois dessa formalização, foi pedido aos alunos que calculassem o
valor do montante para alguns dos meses, como uma maneira de testar a
fórmula obtida.
Todos os grupos conseguiram calcular e comparar com os dados do
quadro da Figura 8 e concluíram que aplicando a fórmula poderia ser menos
trabalhosa a realização dos cálculos.
Item b do problema
Após todo esse trabalho realizado no item a, os alunos voltaram a
trabalhar em grupos. Iniciaram a leitura e foram anotando as semelhanças e
diferenças encontradas em cada problema. Assim que os grupos terminaram,
transcreveram as respostas na lousa e começaram a discutir as semelhanças e
diferenças e chegaram à conclusão que as respostas apresentadas por todos
os grupos eram semelhantes. Por consenso, escolheram como a mais
completa essa que segue.
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com esse trabalho, procurou-se oportunizar aos alunos a construção
de alguns conceitos a respeito de Matemática Financeira, utilizando para isso a
Metodologia Resolução de Problemas.
No início surgiram muitas dúvidas entre os alunos, mas a interação
com os colegas no trabalho em grupo, aliada aos questionamentos feitos pela
professora, oportunizaram um ambiente propício à aprendizagem,
possibilitando aos alunos sanarem suas dúvidas.
Com a implementação desta proposta pedagógica, foi possível
apresentar aos alunos uma forma diferenciada – em relação às aulas que
costumávamos ter – de construção de conhecimentos matemáticos
relacionados a Tópicos da Matemática Financeira. O aluno foi incentivado a
fazer uso de estratégias variadas para solucionar problemas, tornando assim
as aulas mais prazerosas e produtivas.
O trabalho com a metodologia da Resolução de Problemas teve como
alguns resultados, alunos com mais autonomia, mais críticos, argumentando
sobre os conceitos matemáticos, e demonstrando perceber que os
conhecimentos adquiridos na escola poderiam ter relação direta com situações
vivenciadas no seu dia a dia.
Percebi que para se trabalhar com a Resolução de Problemas,
precisamos estar muito cientes da nossa função enquanto professores para
possibilitar aos alunos desenvolver sua própria forma de resolver os problemas,
sem fornecer respostas prontas e impedir que o aluno pense criticamente.
Algumas vezes foi necessário auxiliar os alunos a encontrarem um caminho
para obter a resolução, devido a falta de familiaridade que tinham com a
metodologia proposta, mas na maioria das vezes eles foram incentivados a
trabalhar ativamente na resolução dos problemas.
A experiência teve resultados satisfatórios, pois houve um bom
desenvolvimento do trabalho nos grupos, nas discussões e nas plenárias. A
plenária foi um dos momentos mais valiosos, pois eles tiveram a oportunidade
de expressar suas ideias e discutir com os colegas os conceitos matemáticos.
Pareceu-nos que quando isso acontece o aprendizado torna-se prazeroso.
Quando terminamos o projeto, os alunos disseram que gostariam que
as aulas continuassem sendo desenvolvidas dessa maneira.
REFERÊNCIAS
ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, n. 55, 2009.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino
médio. Brasília: MEC/SEMTEC, 1999.
______. PCN+Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas
tecnologias. Brasília: MEC: SEMTEC, 2002.
ONUCHIC, L. R. Ensino Aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em educação matemática. São Paulo: Ed. UNESP, 1999. cap. 12. p. 199-220.
ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C.(Org.). Educação matemática: pesquisa em movimento. 2. ed. São Paulo: Cortez, 2005. p. 213-231.
PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática. Curitiba: SEED, 2008.
