Tópicos em Física Clássica

TÓPICOS EM FÍSICA CLÁSSICA

Aulas 6-8 - Magnetostática

Tópicos em Física Clássica - Aula VI 2

CAMPOS MAGNÉTICOS Fato experimental: fios com correntes elétricas podem se atrair ou repelir:

+ -

+ -

FF

+ -

FF

Convenção oposta ao caso eletrostático.


CAMPOS MAGNÉTICOS Outro fato experimental: uma partícula em um sistema de referência no qual

se move com velocidade v experimenta uma força sobre ela se na região houver um campo magnético. Esta força é dada pela Lei de Lorentz:q F v BForça atuando na partícula

Velocidade da partículaCarga da

partícula

Campo Magnético

existente na região onde a partícula está

B

B

vF


CAMPOS MAGNÉTICOS Consequência da Lei de Lorentz: campos magnéticos não realizam

trabalho e, portanto, não podem modificar a energia cinética da partícula:

0dt F v F dl F v


CAMPOS MAGNÉTICOS E ELÉTRICOS Quando temos campos magnéticos e campos elétricos em certa região

do espaço, então a força que age em uma partícula é dada por:

q F E v B


ALGORITMO GERAL PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO A FORÇA DE LORENTZ Defina um sistema de referência. Se um dos campos é constante em

direção e sentido , coloque um dos eixos ao longo desta direção. Explore a simetria do problema;

Escreva os campos elétrico e magnético e suas componentes na direção dos eixos escolhidos para o sistema de referência;

Escreva a força de Lorentz; Escreva a Segunda Lei de Newton, com a força de Lorentz como a

resultante (caso não haja outras forças):

2

2dm qdt r E v B

• Escreva as equações para cada uma das componentes da posição;• Solucione cada uma das equações diferenciais de segunda ordem

resultantes.

Estudar os exemplos 5.1 e 5.2 do Griffiths.


CORRENTES E CAMPOS MAGNÉTICOS Considere um fio com uma densidade de cargas , as quais movem-se

com velocidade v. Então, certa quantidade de cargas atravessará a seção reta do fio em um intervalo de tempo t.

l


CORRENTES E CAMPOS MAGNÉTICOS – CONT. Portanto, a corrente elétrica que passará pelo fio será dada por:

I = v

A força que atua nestas cargas, será a soma das forças que atua em cada uma delas. Na hipótese de que temos um número muito grande de cargas, então podemos escrever:

| |

F dq dl dlF dlF dl I

v B v B v BI BI B dl B I dl


EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE Hipótese: a carga elétrica é conservada. Sob esta hipótese, o fluxo de carga elétrica atravessando uma superfície

S, fechada, deve ser igual à variação da carga elétrica dentro do elemento de volume limitado pela superfície S:

3 3. .. 0

V S Vd r d rt tt

J da J JJ

Equação da continuidade.


CORRENTES ESTACIONÁRIAS Do mesmo modo que cargas estacionárias levam a campos

eletrostáticos, correntes estacionárias levam a campos magnéticos que não dependem do tempo.

A lei de Biot-Savart é um resultado experimental que nos permite calcular o campo magnético criado por uma corrente estacionária:

0 03 3( )́ ´ ( )́( ) ´4 4| |́ | |́Idl

I r r dl r rB r r r r r

dl´

r´r

r -r´

I

P

7 20 4 10 N/A.NB T Am


DIVERGENTE DO CAMPO MAGNÉTICO

Da mesma forma que fizemos para o campo eletrostático, vamos calcular o rotacional de B. Por que precisamos fazer isto?

A álgebra vetorial nos ensina que somente conhecemos um campo univocamente se

conhecermos o seu divergente e o seu rotacional!

Vamos partir da expressão para o campo criado por uma distribuição de correntes em certo elemento de volume:

30 3( )́ ( )́( ) ´4 | |́ d r

J r r rB r r r


DIVERGENTE DO CAMPO MAGNÉTICO (CONT.)Vamos tomar o divergente do campo criado na posição P localizado pelo

vetor r:

30 3( )́ ( )́( ) ´4 | |́ d r

J r r rB r r r

O operador divergente atua somente sobre o vetor r:

3 3 3( )́ ( )́ ( )́( )́ . ( )́ ( )́.| |́ | |́ | |́

r r r r r rJ r J r J rr r r r r r

O primeiro termo é nulo (o operador divergente atua sobre as variáveis sem linha), assim como o segundo. Portanto:0 B


O ROTACIONAL DO CAMPO MAGNÉTICO – LEI DE AMPÈRE Vamos agora calcular o rotacional do campo. Partimos, novamente, da

Lei de Biot-Savart:

3 30 03 3( )́ ( )́ ( )́ ( )́( ) ´ ´4 4| |́ | |́d r d r

J r r r J r r rB r r r r r

Novamente, o operador rotacional atua somente sobre o vetor r:

3 3 3( )́ ( )́ ( )́( )́ ( )́ ( )́.| |́ | |́ | |́

r r r r r rJ r J r J rr r r r r r

Termos que envolvem derivadas de J(r´) foram desconsiderados.


LEI DE AMPÈRE - (CONT.) Não vamos mostrar aqui, mas podemos escrever:

33( )́ 4 ´| |́

r r r rr r

Delta de Dirac

O segundo termo, quando integrado dá zero. Portanto, o rotacional do campo magnético será dado por:

3 30 03

0

( )́ ( )́( ) ´ ( )́4 ´4 4| |́( ) ( )

d r

J r r rB r J r r rr r

B r J r Forma incompleta da Lei de Ampére


FORMA INTEGRAL DA LEI DE AMPÈRE Vamos usar o Teorema de Stokes para obter a forma integral da Lei de

Ampère. O Teorema de Stokes nos diz que, para um campo vetorial V qualquer é válido que::

S C V da V dl S é uma superfície

aberta.Contorno de

S

da

dl

C

S

Importante: S é uma superfície aberta!

V

Importante: O contorno C limita

infinitas superfícies!


FORMA INTEGRAL DA LEI DE AMPÈRE - CONT.

Vamos usar O Teorema de Stokes para reescrever a Lei de Ampère:

0

0S C

C I

B da B dl J daB dl

Forma integral da Lei de Ampère (C é chamada de superfície amperiana).


O POTENCIAL VETOR Uma propriedade de campos vetoriais é a seguinte:

. 0 V VLogo, como o campo magnético tem divergente nulo, ele pode ser escrito como o rotacional de um outro vetor, A, chamado potencial vetor:

B A


LEI DE AMPÈRE E O POTENCIAL VETOR Vejamos como fica a Lei de Ampère em função do potencial vetor:

2 0( ) . ( ) B r A A A J rComo dito anteriormente, um vetor somente fica completamente definido se soubermos o seu rotacional e o seu divergente;No momento, nada sabemos sobre o divergente do potencial vetor. Podemos então escolher o valor que queremos para o potencial vetor. Esta escolha do valor para o divergente do potencial vetor é chamada de calibre (gauge).

Uma escolha conveniente para o divergente do potencial vetor é zero.Logo, com esta escolha de calibre, podemos escrever:

. 02 20 0. ( ) ( ) AA A J r A J r


FIM DA AULA 6

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