Tópicos da História da Física ClássicaLeis de Conservação

Victor O. Rivelles

Instituto de Física da Universidade de São PauloEdifício Principal, Ala Central, sala 354

e-mail: rivelles@fma.if.usp.brhttp://www.fma.if.usp.br/~rivelles

Leis de Conservação

Sucesso do conhecimento científico:1 isolar o fenômeno dos efeitos não importantes2 descrever o que está acontecendo sem ambiguidades3 discernir alguma continuidade no fluxo dos eventos

Estes tres pontos são resumidos pelas leis de conservação.Conjunto de quantidades que permanecem constantes ao longoda observação, mesmo em situações complexas e complicadas.Muitas vezes são chamados de Princípios ao invés de leis.Frequentemente são o ponto de partida para a própriacompreensão científica dos fenômenos.

Leis de Conservação

Sucesso do conhecimento científico:1 isolar o fenômeno dos efeitos não importantes2 descrever o que está acontecendo sem ambiguidades3 discernir alguma continuidade no fluxo dos eventos

Estes tres pontos são resumidos pelas leis de conservação.

Conjunto de quantidades que permanecem constantes ao longoda observação, mesmo em situações complexas e complicadas.Muitas vezes são chamados de Princípios ao invés de leis.Frequentemente são o ponto de partida para a própriacompreensão científica dos fenômenos.

Leis de Conservação

Sucesso do conhecimento científico:1 isolar o fenômeno dos efeitos não importantes2 descrever o que está acontecendo sem ambiguidades3 discernir alguma continuidade no fluxo dos eventos

Estes tres pontos são resumidos pelas leis de conservação.Conjunto de quantidades que permanecem constantes ao longoda observação, mesmo em situações complexas e complicadas.

Muitas vezes são chamados de Princípios ao invés de leis.Frequentemente são o ponto de partida para a própriacompreensão científica dos fenômenos.

Leis de Conservação

Sucesso do conhecimento científico:1 isolar o fenômeno dos efeitos não importantes2 descrever o que está acontecendo sem ambiguidades3 discernir alguma continuidade no fluxo dos eventos

Estes tres pontos são resumidos pelas leis de conservação.Conjunto de quantidades que permanecem constantes ao longoda observação, mesmo em situações complexas e complicadas.Muitas vezes são chamados de Princípios ao invés de leis.

Frequentemente são o ponto de partida para a própriacompreensão científica dos fenômenos.

Leis de Conservação

Sucesso do conhecimento científico:1 isolar o fenômeno dos efeitos não importantes2 descrever o que está acontecendo sem ambiguidades3 discernir alguma continuidade no fluxo dos eventos

Estes tres pontos são resumidos pelas leis de conservação.Conjunto de quantidades que permanecem constantes ao longoda observação, mesmo em situações complexas e complicadas.Muitas vezes são chamados de Princípios ao invés de leis.Frequentemente são o ponto de partida para a própriacompreensão científica dos fenômenos.

Lei da Conservação da Massa

Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro, ...) acreditavam numprincípio geral bastante profundo: As coisas não podem sercriadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem aonada. Mas não possuíam provas disso.

Mais tarde, muitos acreditavam que a matéria era conservadanas reações químicas.Newton define quantidade de matéria e diz que é essaquantidade que muitas vezes tomo a seguir sob o nome decorpo ou massa. Para conhecer a quantidade de matéria énecessário saber sua inércia (ou seu peso).Para estabelecer a lei da conservação da massa foi necessárioprimeiro esclarecer o conceito de sistemas isolados ou fechados.Antoine Laurent Lavoisier apresentou a primeira versão da lei daconservação da massa em “Traité Êlémentaire de Chimie” em1789, quase 100 anos após o Principia.Considerado o primeiro livro de química moderno.

Lei da Conservação da Massa

Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro, ...) acreditavam numprincípio geral bastante profundo: As coisas não podem sercriadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem aonada. Mas não possuíam provas disso.Mais tarde, muitos acreditavam que a matéria era conservadanas reações químicas.

Newton define quantidade de matéria e diz que é essaquantidade que muitas vezes tomo a seguir sob o nome decorpo ou massa. Para conhecer a quantidade de matéria énecessário saber sua inércia (ou seu peso).Para estabelecer a lei da conservação da massa foi necessárioprimeiro esclarecer o conceito de sistemas isolados ou fechados.Antoine Laurent Lavoisier apresentou a primeira versão da lei daconservação da massa em “Traité Êlémentaire de Chimie” em1789, quase 100 anos após o Principia.Considerado o primeiro livro de química moderno.

Lei da Conservação da Massa

Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro, ...) acreditavam numprincípio geral bastante profundo: As coisas não podem sercriadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem aonada. Mas não possuíam provas disso.Mais tarde, muitos acreditavam que a matéria era conservadanas reações químicas.Newton define quantidade de matéria e diz que é essaquantidade que muitas vezes tomo a seguir sob o nome decorpo ou massa. Para conhecer a quantidade de matéria énecessário saber sua inércia (ou seu peso).

Para estabelecer a lei da conservação da massa foi necessárioprimeiro esclarecer o conceito de sistemas isolados ou fechados.Antoine Laurent Lavoisier apresentou a primeira versão da lei daconservação da massa em “Traité Êlémentaire de Chimie” em1789, quase 100 anos após o Principia.Considerado o primeiro livro de química moderno.

Lei da Conservação da Massa

Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro, ...) acreditavam numprincípio geral bastante profundo: As coisas não podem sercriadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem aonada. Mas não possuíam provas disso.Mais tarde, muitos acreditavam que a matéria era conservadanas reações químicas.Newton define quantidade de matéria e diz que é essaquantidade que muitas vezes tomo a seguir sob o nome decorpo ou massa. Para conhecer a quantidade de matéria énecessário saber sua inércia (ou seu peso).Para estabelecer a lei da conservação da massa foi necessárioprimeiro esclarecer o conceito de sistemas isolados ou fechados.

Antoine Laurent Lavoisier apresentou a primeira versão da lei daconservação da massa em “Traité Êlémentaire de Chimie” em1789, quase 100 anos após o Principia.Considerado o primeiro livro de química moderno.

Lei da Conservação da Massa

Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro, ...) acreditavam numprincípio geral bastante profundo: As coisas não podem sercriadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem aonada. Mas não possuíam provas disso.Mais tarde, muitos acreditavam que a matéria era conservadanas reações químicas.Newton define quantidade de matéria e diz que é essaquantidade que muitas vezes tomo a seguir sob o nome decorpo ou massa. Para conhecer a quantidade de matéria énecessário saber sua inércia (ou seu peso).Para estabelecer a lei da conservação da massa foi necessárioprimeiro esclarecer o conceito de sistemas isolados ou fechados.Antoine Laurent Lavoisier apresentou a primeira versão da lei daconservação da massa em “Traité Êlémentaire de Chimie” em1789, quase 100 anos após o Principia.

Considerado o primeiro livro de química moderno.

Lei da Conservação da Massa

Os gregos antigos (Demócrito, Epicuro, ...) acreditavam numprincípio geral bastante profundo: As coisas não podem sercriadas do nada, não podem, quando criadas, retornarem aonada. Mas não possuíam provas disso.Mais tarde, muitos acreditavam que a matéria era conservadanas reações químicas.Newton define quantidade de matéria e diz que é essaquantidade que muitas vezes tomo a seguir sob o nome decorpo ou massa. Para conhecer a quantidade de matéria énecessário saber sua inércia (ou seu peso).Para estabelecer a lei da conservação da massa foi necessárioprimeiro esclarecer o conceito de sistemas isolados ou fechados.Antoine Laurent Lavoisier apresentou a primeira versão da lei daconservação da massa em “Traité Êlémentaire de Chimie” em1789, quase 100 anos após o Principia.Considerado o primeiro livro de química moderno.

Lei da Conservação da Massa

Devemos tomar como um axioma incontestável que em todas asoperações da arte e da natureza nada é criado; a mesmaquantidade de matéria existe antes e depois do experimento... enada acontece além de mudanças e modificações desseselementos. De acordo com este princípio, a arte de fazerexperimentos químicos depende de supor um igualdade exataentre os elementos do corpo examinado e dos produtos daanálise.

A massa é realmente conservada? Resposta: a experiênciasempre mostra que sim dentro de uma certa margem de errodevido ao aparato experimental.Mais recentemente a relatividade restrita incorporou a lei daconservação da massa na lei da conservação da energia devidoà E = mc2. Verificado na radioatividade: fusão e fissãonucleares.

Lei da Conservação da Massa

Devemos tomar como um axioma incontestável que em todas asoperações da arte e da natureza nada é criado; a mesmaquantidade de matéria existe antes e depois do experimento... enada acontece além de mudanças e modificações desseselementos. De acordo com este princípio, a arte de fazerexperimentos químicos depende de supor um igualdade exataentre os elementos do corpo examinado e dos produtos daanálise.A massa é realmente conservada? Resposta: a experiênciasempre mostra que sim dentro de uma certa margem de errodevido ao aparato experimental.

Mais recentemente a relatividade restrita incorporou a lei daconservação da massa na lei da conservação da energia devidoà E = mc2. Verificado na radioatividade: fusão e fissãonucleares.

Lei da Conservação da Massa

Devemos tomar como um axioma incontestável que em todas asoperações da arte e da natureza nada é criado; a mesmaquantidade de matéria existe antes e depois do experimento... enada acontece além de mudanças e modificações desseselementos. De acordo com este princípio, a arte de fazerexperimentos químicos depende de supor um igualdade exataentre os elementos do corpo examinado e dos produtos daanálise.A massa é realmente conservada? Resposta: a experiênciasempre mostra que sim dentro de uma certa margem de errodevido ao aparato experimental.Mais recentemente a relatividade restrita incorporou a lei daconservação da massa na lei da conservação da energia devidoà E = mc2. Verificado na radioatividade: fusão e fissãonucleares.

Lei da Conservação do Momento

É difícil imaginar um corpo em movimento sem algo que omantenha em movimento.

Frade William Ockham no século 14: existe algo não materialnum corpo em movimento que garante a continuidade de seumovimento: impetus.Seu discípulo Jean Buridan afirmou em 1327 que essaquantidade era proporcional ao produto do peso do projétil ealguma função de sua velocidade.Sistema filosófico mecanicista de Descartes necessitava dessaidéia.Princípios Filosóficos (1644): É completamente racional assumirque Deus, já que quando da criação da matéria imprimiumovimentos diferentes às suas partes, e preserva toda matériana mesma maneira e condições nas quais foram criadas,similarmente preserva a mesma quantidade de movimento.

Lei da Conservação do Momento

É difícil imaginar um corpo em movimento sem algo que omantenha em movimento.Frade William Ockham no século 14: existe algo não materialnum corpo em movimento que garante a continuidade de seumovimento: impetus.

Seu discípulo Jean Buridan afirmou em 1327 que essaquantidade era proporcional ao produto do peso do projétil ealguma função de sua velocidade.Sistema filosófico mecanicista de Descartes necessitava dessaidéia.Princípios Filosóficos (1644): É completamente racional assumirque Deus, já que quando da criação da matéria imprimiumovimentos diferentes às suas partes, e preserva toda matériana mesma maneira e condições nas quais foram criadas,similarmente preserva a mesma quantidade de movimento.

Lei da Conservação do Momento

É difícil imaginar um corpo em movimento sem algo que omantenha em movimento.Frade William Ockham no século 14: existe algo não materialnum corpo em movimento que garante a continuidade de seumovimento: impetus.Seu discípulo Jean Buridan afirmou em 1327 que essaquantidade era proporcional ao produto do peso do projétil ealguma função de sua velocidade.

Sistema filosófico mecanicista de Descartes necessitava dessaidéia.Princípios Filosóficos (1644): É completamente racional assumirque Deus, já que quando da criação da matéria imprimiumovimentos diferentes às suas partes, e preserva toda matériana mesma maneira e condições nas quais foram criadas,similarmente preserva a mesma quantidade de movimento.

Lei da Conservação do Momento

É difícil imaginar um corpo em movimento sem algo que omantenha em movimento.Frade William Ockham no século 14: existe algo não materialnum corpo em movimento que garante a continuidade de seumovimento: impetus.Seu discípulo Jean Buridan afirmou em 1327 que essaquantidade era proporcional ao produto do peso do projétil ealguma função de sua velocidade.Sistema filosófico mecanicista de Descartes necessitava dessaidéia.

Princípios Filosóficos (1644): É completamente racional assumirque Deus, já que quando da criação da matéria imprimiumovimentos diferentes às suas partes, e preserva toda matériana mesma maneira e condições nas quais foram criadas,similarmente preserva a mesma quantidade de movimento.

Lei da Conservação do Momento

É difícil imaginar um corpo em movimento sem algo que omantenha em movimento.Frade William Ockham no século 14: existe algo não materialnum corpo em movimento que garante a continuidade de seumovimento: impetus.Seu discípulo Jean Buridan afirmou em 1327 que essaquantidade era proporcional ao produto do peso do projétil ealguma função de sua velocidade.Sistema filosófico mecanicista de Descartes necessitava dessaidéia.Princípios Filosóficos (1644): É completamente racional assumirque Deus, já que quando da criação da matéria imprimiumovimentos diferentes às suas partes, e preserva toda matériana mesma maneira e condições nas quais foram criadas,similarmente preserva a mesma quantidade de movimento.

Lei da Conservação do Momento

Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como oproduto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não umvetor!

Ele testa essas idéias estudando colisões. Problemas:1 precisava de regras adicionais (conservação da energia cinética)2 a conservação do momento não se aplicava à colisões

perfeitamente inelásticas.O problema das colisões era tão importante que a Royal Societyde Londres formou uma comissão para resolver a questão em1666.Em 1669 o resultado obtido por Christian Huygens, John Wallise Christopher Wren foi que a quantidade de movimento oumomento liner é um vetor!As regras adicionais de Descartes foram esclarecidas porHuygens. Nas colisões elásticas havia outra quantidadeconservada: a força viva (vis viva), o produto da massa peloquadrado da velocidade (energia cinética)!O momento é sempre conservado?

Lei da Conservação do Momento

Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como oproduto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não umvetor!Ele testa essas idéias estudando colisões. Problemas:

1 precisava de regras adicionais (conservação da energia cinética)2 a conservação do momento não se aplicava à colisões

perfeitamente inelásticas.

O problema das colisões era tão importante que a Royal Societyde Londres formou uma comissão para resolver a questão em1666.Em 1669 o resultado obtido por Christian Huygens, John Wallise Christopher Wren foi que a quantidade de movimento oumomento liner é um vetor!As regras adicionais de Descartes foram esclarecidas porHuygens. Nas colisões elásticas havia outra quantidadeconservada: a força viva (vis viva), o produto da massa peloquadrado da velocidade (energia cinética)!O momento é sempre conservado?

Lei da Conservação do Momento

Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como oproduto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não umvetor!Ele testa essas idéias estudando colisões. Problemas:

1 precisava de regras adicionais (conservação da energia cinética)2 a conservação do momento não se aplicava à colisões

perfeitamente inelásticas.O problema das colisões era tão importante que a Royal Societyde Londres formou uma comissão para resolver a questão em1666.

Em 1669 o resultado obtido por Christian Huygens, John Wallise Christopher Wren foi que a quantidade de movimento oumomento liner é um vetor!As regras adicionais de Descartes foram esclarecidas porHuygens. Nas colisões elásticas havia outra quantidadeconservada: a força viva (vis viva), o produto da massa peloquadrado da velocidade (energia cinética)!O momento é sempre conservado?

Lei da Conservação do Momento

Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como oproduto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não umvetor!Ele testa essas idéias estudando colisões. Problemas:

1 precisava de regras adicionais (conservação da energia cinética)2 a conservação do momento não se aplicava à colisões

perfeitamente inelásticas.O problema das colisões era tão importante que a Royal Societyde Londres formou uma comissão para resolver a questão em1666.Em 1669 o resultado obtido por Christian Huygens, John Wallise Christopher Wren foi que a quantidade de movimento oumomento liner é um vetor!

As regras adicionais de Descartes foram esclarecidas porHuygens. Nas colisões elásticas havia outra quantidadeconservada: a força viva (vis viva), o produto da massa peloquadrado da velocidade (energia cinética)!O momento é sempre conservado?

Lei da Conservação do Momento

Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como oproduto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não umvetor!Ele testa essas idéias estudando colisões. Problemas:

1 precisava de regras adicionais (conservação da energia cinética)2 a conservação do momento não se aplicava à colisões

perfeitamente inelásticas.O problema das colisões era tão importante que a Royal Societyde Londres formou uma comissão para resolver a questão em1666.Em 1669 o resultado obtido por Christian Huygens, John Wallise Christopher Wren foi que a quantidade de movimento oumomento liner é um vetor!As regras adicionais de Descartes foram esclarecidas porHuygens. Nas colisões elásticas havia outra quantidadeconservada: a força viva (vis viva), o produto da massa peloquadrado da velocidade (energia cinética)!

O momento é sempre conservado?

Lei da Conservação do Momento

Descartes definiu a quantidade de movimento em 1644 como oproduto da massa pela velocidade. Era um escalar, e não umvetor!Ele testa essas idéias estudando colisões. Problemas:

1 precisava de regras adicionais (conservação da energia cinética)2 a conservação do momento não se aplicava à colisões

perfeitamente inelásticas.O problema das colisões era tão importante que a Royal Societyde Londres formou uma comissão para resolver a questão em1666.Em 1669 o resultado obtido por Christian Huygens, John Wallise Christopher Wren foi que a quantidade de movimento oumomento liner é um vetor!As regras adicionais de Descartes foram esclarecidas porHuygens. Nas colisões elásticas havia outra quantidadeconservada: a força viva (vis viva), o produto da massa peloquadrado da velocidade (energia cinética)!O momento é sempre conservado?

Conservação da Energia

Em 1669 Christian Huygens e outros propõem a conservação davis viva: mv2, nas colisões elásticas. Pode ser aplicada emoutras situações?

Problema: um objeto em movimento é parado quandocolocamos a mão na sua frente.

1 Que força o coloca em repouso?2 É possível determinar sua velocidade?

Para isso é necessário o teorema trabalho-energia cinética:∫dt ~Fap · ~v =

12

m~v2f −

12

m~v2i .

Novos conceitos:1 Quando uma força aplicada sobre um corpo o desloca ela produz

trabalho:∫

dt ~Fap · ~v .2 É uma quantidade escalar obtida de dois vetores!

Conservação da Energia

Em 1669 Christian Huygens e outros propõem a conservação davis viva: mv2, nas colisões elásticas. Pode ser aplicada emoutras situações?Problema: um objeto em movimento é parado quandocolocamos a mão na sua frente.

1 Que força o coloca em repouso?2 É possível determinar sua velocidade?

Para isso é necessário o teorema trabalho-energia cinética:∫dt ~Fap · ~v =

12

m~v2f −

12

m~v2i .

Novos conceitos:1 Quando uma força aplicada sobre um corpo o desloca ela produz

trabalho:∫

dt ~Fap · ~v .2 É uma quantidade escalar obtida de dois vetores!

Conservação da Energia

Em 1669 Christian Huygens e outros propõem a conservação davis viva: mv2, nas colisões elásticas. Pode ser aplicada emoutras situações?Problema: um objeto em movimento é parado quandocolocamos a mão na sua frente.

1 Que força o coloca em repouso?2 É possível determinar sua velocidade?

Para isso é necessário o teorema trabalho-energia cinética:∫dt ~Fap · ~v =

12

m~v2f −

12

m~v2i .

Novos conceitos:1 Quando uma força aplicada sobre um corpo o desloca ela produz

trabalho:∫

dt ~Fap · ~v .2 É uma quantidade escalar obtida de dois vetores!

Conservação da Energia

Em 1669 Christian Huygens e outros propõem a conservação davis viva: mv2, nas colisões elásticas. Pode ser aplicada emoutras situações?Problema: um objeto em movimento é parado quandocolocamos a mão na sua frente.

1 Que força o coloca em repouso?2 É possível determinar sua velocidade?

Para isso é necessário o teorema trabalho-energia cinética:∫dt ~Fap · ~v =

12

m~v2f −

12

m~v2i .

Novos conceitos:1 Quando uma força aplicada sobre um corpo o desloca ela produz

trabalho:∫

dt ~Fap · ~v .2 É uma quantidade escalar obtida de dois vetores!

Conservação da Energia

O trabalho feito sobre um corpo pode produzir vários efeitos.1 Trabalho feito para vencer o atrito. É dissipado na forma de calor.2 Trabalho feito para vencer a inércia. Produz a vis viva, energia

cinética.3 Trabalho feito para vencer o campo gravitacional. Produz energia

potencial.

Portanto, podemos escrever que∫dt ~Fap · ~v = ∆Ea + ∆Ec + ∆Ep

Mas isto não é a lei de conservação da energia! Depende dosistema no qual é aplicado!

1 Sistema dissipativo: energia mecânica é dissipada de formairrecuperável.

2 Sistema conservativo: não apresenta perdas de energia∆Ec + ∆Ep = 0.

Apresentado de forma clara pela primeira vez por Joseph LouisLagrange em Mécanique Analytique em 1788.

Conservação da Energia

O trabalho feito sobre um corpo pode produzir vários efeitos.1 Trabalho feito para vencer o atrito. É dissipado na forma de calor.2 Trabalho feito para vencer a inércia. Produz a vis viva, energia

cinética.3 Trabalho feito para vencer o campo gravitacional. Produz energia

potencial.Portanto, podemos escrever que∫

dt ~Fap · ~v = ∆Ea + ∆Ec + ∆Ep

Mas isto não é a lei de conservação da energia! Depende dosistema no qual é aplicado!

1 Sistema dissipativo: energia mecânica é dissipada de formairrecuperável.

2 Sistema conservativo: não apresenta perdas de energia∆Ec + ∆Ep = 0.

Apresentado de forma clara pela primeira vez por Joseph LouisLagrange em Mécanique Analytique em 1788.

Conservação da Energia

O trabalho feito sobre um corpo pode produzir vários efeitos.1 Trabalho feito para vencer o atrito. É dissipado na forma de calor.2 Trabalho feito para vencer a inércia. Produz a vis viva, energia

cinética.3 Trabalho feito para vencer o campo gravitacional. Produz energia

potencial.Portanto, podemos escrever que∫

dt ~Fap · ~v = ∆Ea + ∆Ec + ∆Ep

Mas isto não é a lei de conservação da energia! Depende dosistema no qual é aplicado!

1 Sistema dissipativo: energia mecânica é dissipada de formairrecuperável.

2 Sistema conservativo: não apresenta perdas de energia∆Ec + ∆Ep = 0.

Apresentado de forma clara pela primeira vez por Joseph LouisLagrange em Mécanique Analytique em 1788.

Conservação da Energia

O trabalho feito sobre um corpo pode produzir vários efeitos.1 Trabalho feito para vencer o atrito. É dissipado na forma de calor.2 Trabalho feito para vencer a inércia. Produz a vis viva, energia

cinética.3 Trabalho feito para vencer o campo gravitacional. Produz energia

potencial.Portanto, podemos escrever que∫

dt ~Fap · ~v = ∆Ea + ∆Ec + ∆Ep

Mas isto não é a lei de conservação da energia! Depende dosistema no qual é aplicado!

1 Sistema dissipativo: energia mecânica é dissipada de formairrecuperável.

2 Sistema conservativo: não apresenta perdas de energia∆Ec + ∆Ep = 0.

Apresentado de forma clara pela primeira vez por Joseph LouisLagrange em Mécanique Analytique em 1788.

Extensão da Lei da Conservação da Energia

Estender o significado de energia cinética e energia potencialpara abrigar outras maneiras pelas quais a energia podeaparecer ou ser armazenada.

1 Energia potencial de corpos elásticos. Lei de Hooke, RobertHooke em 1660.

2 Energia cinética de rotação.3 Energia potencial elétrica.4 Energia química.5 Som, luz, e outras formas de radiação.

Lei da conservação deve ser escrita:trabalho externo ou qualquer outra forma de energia suprida =∑

∆Ec +∑

∆Ep+ perdas por atrito + energia química + ...Mayer, 1842: A energia não pode ser criada mas apenastransformada de uma forma para outra.

Extensão da Lei da Conservação da Energia

Estender o significado de energia cinética e energia potencialpara abrigar outras maneiras pelas quais a energia podeaparecer ou ser armazenada.

1 Energia potencial de corpos elásticos. Lei de Hooke, RobertHooke em 1660.

2 Energia cinética de rotação.

3 Energia potencial elétrica.4 Energia química.5 Som, luz, e outras formas de radiação.

Lei da conservação deve ser escrita:trabalho externo ou qualquer outra forma de energia suprida =∑

∆Ec +∑

∆Ep+ perdas por atrito + energia química + ...Mayer, 1842: A energia não pode ser criada mas apenastransformada de uma forma para outra.

Extensão da Lei da Conservação da Energia

Estender o significado de energia cinética e energia potencialpara abrigar outras maneiras pelas quais a energia podeaparecer ou ser armazenada.

1 Energia potencial de corpos elásticos. Lei de Hooke, RobertHooke em 1660.

2 Energia cinética de rotação.3 Energia potencial elétrica.4 Energia química.5 Som, luz, e outras formas de radiação.

Lei da conservação deve ser escrita:trabalho externo ou qualquer outra forma de energia suprida =∑

∆Ec +∑

∆Ep+ perdas por atrito + energia química + ...Mayer, 1842: A energia não pode ser criada mas apenastransformada de uma forma para outra.

Extensão da Lei da Conservação da Energia

Estender o significado de energia cinética e energia potencialpara abrigar outras maneiras pelas quais a energia podeaparecer ou ser armazenada.

1 Energia potencial de corpos elásticos. Lei de Hooke, RobertHooke em 1660.

2 Energia cinética de rotação.3 Energia potencial elétrica.4 Energia química.5 Som, luz, e outras formas de radiação.

Lei da conservação deve ser escrita:trabalho externo ou qualquer outra forma de energia suprida =∑

∆Ec +∑

∆Ep+ perdas por atrito + energia química + ...

Mayer, 1842: A energia não pode ser criada mas apenastransformada de uma forma para outra.

Extensão da Lei da Conservação da Energia

Estender o significado de energia cinética e energia potencialpara abrigar outras maneiras pelas quais a energia podeaparecer ou ser armazenada.

1 Energia potencial de corpos elásticos. Lei de Hooke, RobertHooke em 1660.

2 Energia cinética de rotação.3 Energia potencial elétrica.4 Energia química.5 Som, luz, e outras formas de radiação.

Lei da conservação deve ser escrita:trabalho externo ou qualquer outra forma de energia suprida =∑

∆Ec +∑

∆Ep+ perdas por atrito + energia química + ...Mayer, 1842: A energia não pode ser criada mas apenastransformada de uma forma para outra.

Leis de Conservação

Massa

EnergiaMomento linearRelatividade restrita: massa e energia, quadri-momentoMomento angularRelatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangularCarga elétricaProbabilidade na mecânica quânticaCor (quarks)Isospin fraco (partículas elementares)CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Leis de Conservação

MassaEnergia

Momento linearRelatividade restrita: massa e energia, quadri-momentoMomento angularRelatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangularCarga elétricaProbabilidade na mecânica quânticaCor (quarks)Isospin fraco (partículas elementares)CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Leis de Conservação

MassaEnergiaMomento linear

Relatividade restrita: massa e energia, quadri-momentoMomento angularRelatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangularCarga elétricaProbabilidade na mecânica quânticaCor (quarks)Isospin fraco (partículas elementares)CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Leis de Conservação

MassaEnergiaMomento linearRelatividade restrita: massa e energia, quadri-momento

Momento angularRelatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangularCarga elétricaProbabilidade na mecânica quânticaCor (quarks)Isospin fraco (partículas elementares)CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Leis de Conservação

MassaEnergiaMomento linearRelatividade restrita: massa e energia, quadri-momentoMomento angular

Relatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangularCarga elétricaProbabilidade na mecânica quânticaCor (quarks)Isospin fraco (partículas elementares)CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Leis de Conservação

MassaEnergiaMomento linearRelatividade restrita: massa e energia, quadri-momentoMomento angularRelatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangular

Carga elétricaProbabilidade na mecânica quânticaCor (quarks)Isospin fraco (partículas elementares)CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Leis de Conservação

MassaEnergiaMomento linearRelatividade restrita: massa e energia, quadri-momentoMomento angularRelatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangularCarga elétrica

Probabilidade na mecânica quânticaCor (quarks)Isospin fraco (partículas elementares)CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Leis de Conservação

MassaEnergiaMomento linearRelatividade restrita: massa e energia, quadri-momentoMomento angularRelatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangularCarga elétricaProbabilidade na mecânica quântica

Cor (quarks)Isospin fraco (partículas elementares)CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Leis de Conservação

MassaEnergiaMomento linearRelatividade restrita: massa e energia, quadri-momentoMomento angularRelatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangularCarga elétricaProbabilidade na mecânica quânticaCor (quarks)

Isospin fraco (partículas elementares)CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Leis de Conservação

MassaEnergiaMomento linearRelatividade restrita: massa e energia, quadri-momentoMomento angularRelatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangularCarga elétricaProbabilidade na mecânica quânticaCor (quarks)Isospin fraco (partículas elementares)

CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Leis de Conservação

MassaEnergiaMomento linearRelatividade restrita: massa e energia, quadri-momentoMomento angularRelatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangularCarga elétricaProbabilidade na mecânica quânticaCor (quarks)Isospin fraco (partículas elementares)CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)

Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Leis de Conservação

MassaEnergiaMomento linearRelatividade restrita: massa e energia, quadri-momentoMomento angularRelatividade restrita: transformações de Lorentz e momentoangularCarga elétricaProbabilidade na mecânica quânticaCor (quarks)Isospin fraco (partículas elementares)CPT:conjugação de carga (q → −q); paridade (~x → −~x);inversão temporal (t → −t)Há uma relação profunda entre simetria e leis de conservação!

Simetria

Senso impreciso deharmonia, beleza ouperfeição.

Ou mais precisamenteatravés de relaçõesespaciais como rotações ereflexões.É a base para acompreensão profunda devários aspectos da físicamoderna, incluindo oespaço e o tempo.

Simetria

Senso impreciso deharmonia, beleza ouperfeição.

Ou mais precisamenteatravés de relaçõesespaciais como rotações ereflexões.

É a base para acompreensão profunda devários aspectos da físicamoderna, incluindo oespaço e o tempo.

Simetria

Senso impreciso deharmonia, beleza ouperfeição.

Ou mais precisamenteatravés de relaçõesespaciais como rotações ereflexões.É a base para acompreensão profunda devários aspectos da físicamoderna, incluindo oespaço e o tempo.

Reflexão

Rotações Discretas

C6 = {g0,g1,g2,g3,g4,g5}, g0 é a identidade e g6 = g0.Um grupo é um conjunto G munido de uma operação · queassocia a dois elementos de G, a e b, outro elemento de Gdenotado a · b, com as seguintes propriedades:

Associatividade: (a · b) · c = a · (b · c)Elemento identidade e: e · a = a · e = aElemento inverso de a denotado a−1: a · a−1 = a−1 · a = e

C6: grupo cíclico de ordem 6.O grupo cíclico por ser generalizado para Cn: rotações de 2π/n.Podemos também considerar rotações contínuas.

Rotações Discretas

C6 = {g0,g1,g2,g3,g4,g5}, g0 é a identidade e g6 = g0.

Um grupo é um conjunto G munido de uma operação · queassocia a dois elementos de G, a e b, outro elemento de Gdenotado a · b, com as seguintes propriedades:

Associatividade: (a · b) · c = a · (b · c)Elemento identidade e: e · a = a · e = aElemento inverso de a denotado a−1: a · a−1 = a−1 · a = e

C6: grupo cíclico de ordem 6.O grupo cíclico por ser generalizado para Cn: rotações de 2π/n.Podemos também considerar rotações contínuas.

Rotações Discretas

C6 = {g0,g1,g2,g3,g4,g5}, g0 é a identidade e g6 = g0.Um grupo é um conjunto G munido de uma operação · queassocia a dois elementos de G, a e b, outro elemento de Gdenotado a · b, com as seguintes propriedades:

Associatividade: (a · b) · c = a · (b · c)Elemento identidade e: e · a = a · e = aElemento inverso de a denotado a−1: a · a−1 = a−1 · a = e

C6: grupo cíclico de ordem 6.O grupo cíclico por ser generalizado para Cn: rotações de 2π/n.Podemos também considerar rotações contínuas.

Rotações Discretas

C6 = {g0,g1,g2,g3,g4,g5}, g0 é a identidade e g6 = g0.Um grupo é um conjunto G munido de uma operação · queassocia a dois elementos de G, a e b, outro elemento de Gdenotado a · b, com as seguintes propriedades:

Associatividade: (a · b) · c = a · (b · c)Elemento identidade e: e · a = a · e = aElemento inverso de a denotado a−1: a · a−1 = a−1 · a = e

C6: grupo cíclico de ordem 6.

O grupo cíclico por ser generalizado para Cn: rotações de 2π/n.Podemos também considerar rotações contínuas.

Rotações Discretas

C6 = {g0,g1,g2,g3,g4,g5}, g0 é a identidade e g6 = g0.Um grupo é um conjunto G munido de uma operação · queassocia a dois elementos de G, a e b, outro elemento de Gdenotado a · b, com as seguintes propriedades:

Associatividade: (a · b) · c = a · (b · c)Elemento identidade e: e · a = a · e = aElemento inverso de a denotado a−1: a · a−1 = a−1 · a = e

C6: grupo cíclico de ordem 6.O grupo cíclico por ser generalizado para Cn: rotações de 2π/n.Podemos também considerar rotações contínuas.

Rotações Contínuas em 2D

x ′ = x cos θ − y sin θy ′ = x sin θ + y cos θ

Forma matricial

R(θ) =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

), X =

(xy

), X ′ = RX

Existe um número infinito de matrizes de rotação: uma paracada valor de θ. O grupo de rotações em 2 dimensões tem umnúmero infinito de elementos.As matrizes R(θ) são ortogonais (RRt = 1) e possuemdeterminante 1. São denotadas por SO(2) e formam um grupo.

Rotações Contínuas em 2D

x ′ = x cos θ − y sin θy ′ = x sin θ + y cos θ

Forma matricial

R(θ) =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

), X =

(xy

), X ′ = RX

Existe um número infinito de matrizes de rotação: uma paracada valor de θ. O grupo de rotações em 2 dimensões tem umnúmero infinito de elementos.As matrizes R(θ) são ortogonais (RRt = 1) e possuemdeterminante 1. São denotadas por SO(2) e formam um grupo.

Rotações Contínuas em 2D

x ′ = x cos θ − y sin θy ′ = x sin θ + y cos θ

Forma matricial

R(θ) =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

), X =

(xy

), X ′ = RX

Existe um número infinito de matrizes de rotação: uma paracada valor de θ. O grupo de rotações em 2 dimensões tem umnúmero infinito de elementos.

As matrizes R(θ) são ortogonais (RRt = 1) e possuemdeterminante 1. São denotadas por SO(2) e formam um grupo.

Rotações Contínuas em 2D

x ′ = x cos θ − y sin θy ′ = x sin θ + y cos θ

Forma matricial

R(θ) =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

), X =

(xy

), X ′ = RX

Existe um número infinito de matrizes de rotação: uma paracada valor de θ. O grupo de rotações em 2 dimensões tem umnúmero infinito de elementos.As matrizes R(θ) são ortogonais (RRt = 1) e possuemdeterminante 1. São denotadas por SO(2) e formam um grupo.

Rotações em 3 Dimensões

Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação derotações ao redor dos eixos x, y e z: Rx (θx ), Ry (θy ), Rz (θz ).

As matrizes agora são 3 × 3, ortogonais e de determinante 1: formam o grupoSO(3).Qualquer rotação infinitesimal pode ser escrita como uma combinação linear dos3 geradores mais a identidade:

J1 =

(0 0 00 0 −10 1 0

), J2 =

(0 0 10 0 0−1 0 0

), J3 =

(0 −1 01 0 00 0 0

)

A ordem é importante: as rotações não são comutativas!Como as rotações não comutam podemos trabalhar os comutadores dosgeradores: [A,B] = AB − BA

[J1, J2] = J3, [J1, J3] = −J2, [J2, J3] = J1 (1)

Os geradores podem ser escritos como Ji , (i = 1, 2, 3) e os comutadores como[Ji , Jj ] = εijk Jk com ε123 = 1, ε132 = −1, etc.

Todas as propriedades das rotações em 3 dimensões estão embutidas nocomutador acima.

Rotações em 3 Dimensões

Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação derotações ao redor dos eixos x, y e z: Rx (θx ), Ry (θy ), Rz (θz ).As matrizes agora são 3 × 3, ortogonais e de determinante 1: formam o grupoSO(3).

Qualquer rotação infinitesimal pode ser escrita como uma combinação linear dos3 geradores mais a identidade:

J1 =

(0 0 00 0 −10 1 0

), J2 =

(0 0 10 0 0−1 0 0

), J3 =

(0 −1 01 0 00 0 0

)

A ordem é importante: as rotações não são comutativas!Como as rotações não comutam podemos trabalhar os comutadores dosgeradores: [A,B] = AB − BA

[J1, J2] = J3, [J1, J3] = −J2, [J2, J3] = J1 (1)

Os geradores podem ser escritos como Ji , (i = 1, 2, 3) e os comutadores como[Ji , Jj ] = εijk Jk com ε123 = 1, ε132 = −1, etc.

Todas as propriedades das rotações em 3 dimensões estão embutidas nocomutador acima.

Rotações em 3 Dimensões

Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação derotações ao redor dos eixos x, y e z: Rx (θx ), Ry (θy ), Rz (θz ).As matrizes agora são 3 × 3, ortogonais e de determinante 1: formam o grupoSO(3).Qualquer rotação infinitesimal pode ser escrita como uma combinação linear dos3 geradores mais a identidade:

J1 =

(0 0 00 0 −10 1 0

), J2 =

(0 0 10 0 0−1 0 0

), J3 =

(0 −1 01 0 00 0 0

)

A ordem é importante: as rotações não são comutativas!Como as rotações não comutam podemos trabalhar os comutadores dosgeradores: [A,B] = AB − BA

[J1, J2] = J3, [J1, J3] = −J2, [J2, J3] = J1 (1)

Os geradores podem ser escritos como Ji , (i = 1, 2, 3) e os comutadores como[Ji , Jj ] = εijk Jk com ε123 = 1, ε132 = −1, etc.

Todas as propriedades das rotações em 3 dimensões estão embutidas nocomutador acima.

Rotações em 3 Dimensões

Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação derotações ao redor dos eixos x, y e z: Rx (θx ), Ry (θy ), Rz (θz ).As matrizes agora são 3 × 3, ortogonais e de determinante 1: formam o grupoSO(3).Qualquer rotação infinitesimal pode ser escrita como uma combinação linear dos3 geradores mais a identidade:

J1 =

(0 0 00 0 −10 1 0

), J2 =

(0 0 10 0 0−1 0 0

), J3 =

(0 −1 01 0 00 0 0

)

A ordem é importante: as rotações não são comutativas!

Como as rotações não comutam podemos trabalhar os comutadores dosgeradores: [A,B] = AB − BA

[J1, J2] = J3, [J1, J3] = −J2, [J2, J3] = J1 (1)

Os geradores podem ser escritos como Ji , (i = 1, 2, 3) e os comutadores como[Ji , Jj ] = εijk Jk com ε123 = 1, ε132 = −1, etc.

Todas as propriedades das rotações em 3 dimensões estão embutidas nocomutador acima.

Rotações em 3 Dimensões

Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação derotações ao redor dos eixos x, y e z: Rx (θx ), Ry (θy ), Rz (θz ).As matrizes agora são 3 × 3, ortogonais e de determinante 1: formam o grupoSO(3).Qualquer rotação infinitesimal pode ser escrita como uma combinação linear dos3 geradores mais a identidade:

J1 =

(0 0 00 0 −10 1 0

), J2 =

(0 0 10 0 0−1 0 0

), J3 =

(0 −1 01 0 00 0 0

)

A ordem é importante: as rotações não são comutativas!Como as rotações não comutam podemos trabalhar os comutadores dosgeradores: [A,B] = AB − BA

[J1, J2] = J3, [J1, J3] = −J2, [J2, J3] = J1 (1)

Os geradores podem ser escritos como Ji , (i = 1, 2, 3) e os comutadores como[Ji , Jj ] = εijk Jk com ε123 = 1, ε132 = −1, etc.

Todas as propriedades das rotações em 3 dimensões estão embutidas nocomutador acima.

Rotações em 3 Dimensões

Podemos compor uma rotação em 3 dimensões como uma combinação derotações ao redor dos eixos x, y e z: Rx (θx ), Ry (θy ), Rz (θz ).As matrizes agora são 3 × 3, ortogonais e de determinante 1: formam o grupoSO(3).Qualquer rotação infinitesimal pode ser escrita como uma combinação linear dos3 geradores mais a identidade:

J1 =

(0 0 00 0 −10 1 0

), J2 =

(0 0 10 0 0−1 0 0

), J3 =

(0 −1 01 0 00 0 0

)

A ordem é importante: as rotações não são comutativas!Como as rotações não comutam podemos trabalhar os comutadores dosgeradores: [A,B] = AB − BA

[J1, J2] = J3, [J1, J3] = −J2, [J2, J3] = J1 (1)

Os geradores podem ser escritos como Ji , (i = 1, 2, 3) e os comutadores como[Ji , Jj ] = εijk Jk com ε123 = 1, ε132 = −1, etc.

Todas as propriedades das rotações em 3 dimensões estão embutidas nocomutador acima.

Translação

A física não depende da origem do sistema de coordenadas (enem da origem do tempo)!

Translação ~x ′ = ~x + ~x0.O gerador de translação infinitesimal é Pi , i = 1,2,3.Como as translações comutam [Pi ,Pj ] = 0.Podemos incluir translações temporais t ′ = t + t0 com geradorP0, e [P0,Pi ] = 0.

Translação

A física não depende da origem do sistema de coordenadas (enem da origem do tempo)!Translação ~x ′ = ~x + ~x0.O gerador de translação infinitesimal é Pi , i = 1,2,3.Como as translações comutam [Pi ,Pj ] = 0.

Podemos incluir translações temporais t ′ = t + t0 com geradorP0, e [P0,Pi ] = 0.

Translação

A física não depende da origem do sistema de coordenadas (enem da origem do tempo)!Translação ~x ′ = ~x + ~x0.O gerador de translação infinitesimal é Pi , i = 1,2,3.Como as translações comutam [Pi ,Pj ] = 0.Podemos incluir translações temporais t ′ = t + t0 com geradorP0, e [P0,Pi ] = 0.

Transformações de Lorentz

Na relatividade restrita mudamos de referencial através de uma transformaçãode Lorentz.De forma análoga às rotações podemos considerar os geradores dastransformações de Lorentz infinitesimais Kx ,Ky ,Kz ou Ki , (i = 1, 2, 3): matriz4 × 4

Eles possuem comutadores que geram rotações!

[Ki ,Kj ] = εijk Jk , [Ki , Jj ] = εijk Kk . (2)

As transformações de Lorentz NÃO formam um grupo!Os geradores Ji e Ki formam o grupo de Lorentz.As rotações, transformações de Lorentz e translações espaciais e temporaisformam o grupo de Poincaré. Numa notação compacta em que os geradores derotação e Lorentz são denotados por Lµν = −Lνµ e as translações por Pµ, comµ = 0, 1, 2, 3:

[Pµ,Pν ] = 0, [Jµν ,Pλ] = ηµλPν − ηνλPµ, (3)

[Jµν , Jλρ] = ηµλJνρ + . . . (4)

Estas são as simetrias do espaço-tempo na relatividade restrita.

Transformações de Lorentz

Na relatividade restrita mudamos de referencial através de uma transformaçãode Lorentz.De forma análoga às rotações podemos considerar os geradores dastransformações de Lorentz infinitesimais Kx ,Ky ,Kz ou Ki , (i = 1, 2, 3): matriz4 × 4Eles possuem comutadores que geram rotações!

[Ki ,Kj ] = εijk Jk , [Ki , Jj ] = εijk Kk . (2)

As transformações de Lorentz NÃO formam um grupo!

Os geradores Ji e Ki formam o grupo de Lorentz.As rotações, transformações de Lorentz e translações espaciais e temporaisformam o grupo de Poincaré. Numa notação compacta em que os geradores derotação e Lorentz são denotados por Lµν = −Lνµ e as translações por Pµ, comµ = 0, 1, 2, 3:

[Pµ,Pν ] = 0, [Jµν ,Pλ] = ηµλPν − ηνλPµ, (3)

[Jµν , Jλρ] = ηµλJνρ + . . . (4)

Estas são as simetrias do espaço-tempo na relatividade restrita.

Transformações de Lorentz

Na relatividade restrita mudamos de referencial através de uma transformaçãode Lorentz.De forma análoga às rotações podemos considerar os geradores dastransformações de Lorentz infinitesimais Kx ,Ky ,Kz ou Ki , (i = 1, 2, 3): matriz4 × 4Eles possuem comutadores que geram rotações!

[Ki ,Kj ] = εijk Jk , [Ki , Jj ] = εijk Kk . (2)

As transformações de Lorentz NÃO formam um grupo!Os geradores Ji e Ki formam o grupo de Lorentz.

As rotações, transformações de Lorentz e translações espaciais e temporaisformam o grupo de Poincaré. Numa notação compacta em que os geradores derotação e Lorentz são denotados por Lµν = −Lνµ e as translações por Pµ, comµ = 0, 1, 2, 3:

[Pµ,Pν ] = 0, [Jµν ,Pλ] = ηµλPν − ηνλPµ, (3)

[Jµν , Jλρ] = ηµλJνρ + . . . (4)

Estas são as simetrias do espaço-tempo na relatividade restrita.

Transformações de Lorentz

Na relatividade restrita mudamos de referencial através de uma transformaçãode Lorentz.De forma análoga às rotações podemos considerar os geradores dastransformações de Lorentz infinitesimais Kx ,Ky ,Kz ou Ki , (i = 1, 2, 3): matriz4 × 4Eles possuem comutadores que geram rotações!

[Ki ,Kj ] = εijk Jk , [Ki , Jj ] = εijk Kk . (2)

As transformações de Lorentz NÃO formam um grupo!Os geradores Ji e Ki formam o grupo de Lorentz.As rotações, transformações de Lorentz e translações espaciais e temporaisformam o grupo de Poincaré. Numa notação compacta em que os geradores derotação e Lorentz são denotados por Lµν = −Lνµ e as translações por Pµ, comµ = 0, 1, 2, 3:

[Pµ,Pν ] = 0, [Jµν ,Pλ] = ηµλPν − ηνλPµ, (3)

[Jµν , Jλρ] = ηµλJνρ + . . . (4)

Estas são as simetrias do espaço-tempo na relatividade restrita.

Leis de Conservação

As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis deconservação pelo Teorema de Noether:

Traslação no tempo: ENERGIATranslação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEARRotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULARInversão espacial ~x → −~x : P - PARIDADE ESPACIALInversão temporal t → −t : T - PARIDADE TEMPORALConjugação de carga Q → −Q: C - PARIDADE DE CARGACPT: PRODUTO DAS PARIDADES

Leis de Conservação

As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis deconservação pelo Teorema de Noether:Traslação no tempo: ENERGIA

Translação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEARRotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULARInversão espacial ~x → −~x : P - PARIDADE ESPACIALInversão temporal t → −t : T - PARIDADE TEMPORALConjugação de carga Q → −Q: C - PARIDADE DE CARGACPT: PRODUTO DAS PARIDADES

Leis de Conservação

As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis deconservação pelo Teorema de Noether:Traslação no tempo: ENERGIATranslação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEAR

Rotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULARInversão espacial ~x → −~x : P - PARIDADE ESPACIALInversão temporal t → −t : T - PARIDADE TEMPORALConjugação de carga Q → −Q: C - PARIDADE DE CARGACPT: PRODUTO DAS PARIDADES

Leis de Conservação

As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis deconservação pelo Teorema de Noether:Traslação no tempo: ENERGIATranslação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEARRotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULAR

Inversão espacial ~x → −~x : P - PARIDADE ESPACIALInversão temporal t → −t : T - PARIDADE TEMPORALConjugação de carga Q → −Q: C - PARIDADE DE CARGACPT: PRODUTO DAS PARIDADES

Leis de Conservação

As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis deconservação pelo Teorema de Noether:Traslação no tempo: ENERGIATranslação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEARRotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULARInversão espacial ~x → −~x : P - PARIDADE ESPACIAL

Inversão temporal t → −t : T - PARIDADE TEMPORALConjugação de carga Q → −Q: C - PARIDADE DE CARGACPT: PRODUTO DAS PARIDADES

Leis de Conservação

As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis deconservação pelo Teorema de Noether:Traslação no tempo: ENERGIATranslação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEARRotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULARInversão espacial ~x → −~x : P - PARIDADE ESPACIALInversão temporal t → −t : T - PARIDADE TEMPORAL

Conjugação de carga Q → −Q: C - PARIDADE DE CARGACPT: PRODUTO DAS PARIDADES

Leis de Conservação

As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis deconservação pelo Teorema de Noether:Traslação no tempo: ENERGIATranslação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEARRotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULARInversão espacial ~x → −~x : P - PARIDADE ESPACIALInversão temporal t → −t : T - PARIDADE TEMPORALConjugação de carga Q → −Q: C - PARIDADE DE CARGA

CPT: PRODUTO DAS PARIDADES

Leis de Conservação

As simetrias são importantes pois indicam a existência de leis deconservação pelo Teorema de Noether:Traslação no tempo: ENERGIATranslação no espaço (homogeneidade): MOMENTO LINEARRotações do espaço (isotropia): MOMENTO ANGULARInversão espacial ~x → −~x : P - PARIDADE ESPACIALInversão temporal t → −t : T - PARIDADE TEMPORALConjugação de carga Q → −Q: C - PARIDADE DE CARGACPT: PRODUTO DAS PARIDADES

Simetrias Internas

Além das simetrias do espaço-tempo as partículas elementares possuemsimetrias internas que são independentes do espaço-tempo:

CARGA ELÉTRICA: U(1), grupo das matrizes 1 × 1 unitárias (UU† = 1):Ψ′ = eαΨ

ISOSPIN: SU(2), grupo das matriz 2 × 2 unitárias com determinante 1COR: SU(3)...

Simetrias Internas

Além das simetrias do espaço-tempo as partículas elementares possuemsimetrias internas que são independentes do espaço-tempo:

CARGA ELÉTRICA: U(1), grupo das matrizes 1 × 1 unitárias (UU† = 1):Ψ′ = eαΨ

ISOSPIN: SU(2), grupo das matriz 2 × 2 unitárias com determinante 1COR: SU(3)...

Simetrias Internas

Além das simetrias do espaço-tempo as partículas elementares possuemsimetrias internas que são independentes do espaço-tempo:

CARGA ELÉTRICA: U(1), grupo das matrizes 1 × 1 unitárias (UU† = 1):Ψ′ = eαΨ

ISOSPIN: SU(2), grupo das matriz 2 × 2 unitárias com determinante 1

COR: SU(3)...

Simetrias Internas

Além das simetrias do espaço-tempo as partículas elementares possuemsimetrias internas que são independentes do espaço-tempo:

CARGA ELÉTRICA: U(1), grupo das matrizes 1 × 1 unitárias (UU† = 1):Ψ′ = eαΨ

ISOSPIN: SU(2), grupo das matriz 2 × 2 unitárias com determinante 1COR: SU(3)...