TOPOLOGIA GERAL - ime.uerj.brcalculo/reposit/topologia.pdf · A Topologia utiliza os mesmos objetos que a Geometria, com a seguinte diferença: não interessa a distância, os ângulos

TOPOLOGIA GERAL

Mauricio A. Vilches

Departamento de Análise - IMEUERJ

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Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservados

Proibida a reprodução parcial ou total

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PREFÁCIO

Provavelmente a Topologia é a mais novas das linhas da Matemática clássica, poisa Topologia aparece no século XV II com o nome de Analyse Situs, isto é análise daposição. Muitos autores concordam que o primeiro a tentar estudar propriedades to-pológicas foi Leibniz, em 1679. Posteriormente, Euler em 1736 publica a solução doproblema das pontes da cidade de Köenigsberg, institulado "Solutio problematis ad ge-ometriam situs pertinentis". As bases da Topologia moderna foram estabelicidas no Con-gresso Internacional de Matemática de 1909, em Roma, onde Riesz propõe um carateraxiomático da Topologia, baseado na teoria dos conjuntos, sem o conceito de distânciasubjacente. Em 1914, Hausdorff define os conjuntos abertos através de axiomas, semconsideraçãoes métricas. Existem outras vertentes onde a topologia encontrou novosimpulsos para seu desenvolvimento, por exemplo, na Análise Funcional e nas Equa-ções Diferenciais Ordinárias, através de Banach e Poincaré, respectivamente.

A Topologia utiliza os mesmos objetos que a Geometria, com a seguinte diferença: nãointeressa a distância, os ângulos nem a configuração dos pontos. Na Topologia, objetosque possam transformar-se em outros, através de funções contínuas reversíveis, sãoequivalentes e indistinguiveis. Por exemplo, círculos e elipses, esferas e paralelelpípe-dos.

A Topologia é pré-requisito básico em quase todas as áreas da Matemática moderna,da Geometria Diferencial à Álgebra e é fonte atual de efervescente pesquisa.

Mauricio A. VilchesRio de Janeiro

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Conteúdo

1 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 91.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Topologias e Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Sub-bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Topologia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8 Pontos e Conjuntos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.9 Topologia Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.10 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.11 Abertos e Fechados em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.12 Espaços Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.13 Espaços Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.14 Topologia de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.15 Topologia de Zariski em Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.16 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 452.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2 Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3 Continuidade em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4 Topologia Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5 Topologia Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6 Funções Abertas e Fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 HOMEOMORFISMOS 613.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3 Exemplos de Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4 Grupos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5 Homeomorfismos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

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6 CONTEÚDO

3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 TOPOLOGIA QUOCIENTE 834.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Topologia Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.1 Espaço Projetivo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2 Faixa de Möebius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3 Espaços Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.1 O Círculo como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.2 O Cilindro como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.3 A Faixa de Möebius como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . 894.3.4 A Esfera como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3.5 O Toro como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3.6 A Garrafa de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3.7 O Cone e Suspensão de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.5 Ações de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5.1 Espaço Projetivo Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.6 G-espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.6.1 O Círculo como Z-espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.6.2 O Toro como Z× Z -espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5 COMPACIDADE 1115.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.5 Compacidade em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6 AXIOMAS DE SEPARAÇÃO 1256.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2 Espaços de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.3 Espaços de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.4 Espaços de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.5 Topologia Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.6 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.7 Variedades Topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

CONTEÚDO 7

7 CONEXIDADE 1457.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.2 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.3 Aplicacões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.4 Conexidade por Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Bibliografia 159

8 CONTEÚDO

Capítulo 1

ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

1.1 Introdução

A seguir apresentaremos a definição de Topologia que é, essencialmente, a generaliza-ção de algumas das propriedades intrínsecas dos intervalos abertos em R.

Se espera do leitor conhecimentos básicos da Teoría de Conjuntos. As notações queutilizaremos, são as usuais da Teoría de Conjuntos.

1.2 Topologias e Conjuntos Abertos

Notações

Seja X um conjunto não vazio. Denotemos por P(X) a família de todos os subconjun-tos de X e por Ac = X − A o complementar de A em X .

Definição 1.1. Uma topologia sobre X é uma família T ⊂ P(X) tal que:

1. X, ∅ ∈ T.

2. Dada uma família arbitrária {Aα ∈ T / α ∈ Γ}, então:

⋃α∈Γ

Aα ∈ T.

3. Dados B1, B2, . . . , Bn ∈ T, então:

n⋂i=1

Bi ∈ T.

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10 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

Observação 1.1. Em outras palavras, uma topologia é uma família de subconjuntos deX tais que o conjunto vazio e o conjunto X devem pertencer à topologia; a reuniãoarbitrária de elementos da topologia deve pertencer à topologia e a interseção finita deelementos da topologia deve pertencer à topologia.

Definição 1.2.

1. Os elementos de T são ditos conjuntos abertos de X ou simplesmente abertosde X .

2. O par(X,T

)é chamado espaço topológico.

1.3 Exemplos

A seguir apresentaremos uma série de exemplos que utilizaremos em todos os capítu-los seguintes.

[1] Todo conjunto X não vazio possui as seguintes topologias:

1. Tind = {X, ∅}, chamada topologia indiscreta. Logo, os únicos subconjuntos aber-tos de X são ∅ e X .

2. Tdis = P(X), chamada topologia discreta. Logo, todos os subconjuntos de X sãoabertos.

3. Se X tem mais de 2 elementos, então:

Tind 6= Tdis.

[2] Seja X = {a, b, c}. Verifiquemos se as seguintes famílias de subconjuntos de X sãouma topologia em X .

1. T1 = {∅, X, {a}}.

2. T2 = {∅, X, {a}, {b}}.

3. T3 = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}}.

1.3. EXEMPLOS 11

Claramente, T1 e T3 são topologias para X . T2 não é uma topologia em X , pois:

{a} ∪ {b} /∈ T2.

[3] Seja X = {a, b}. A topologia:

Tsier = {∅, X, {a}}

é dita de Sierpinski.

[4] Seja X = R e definamos a seguinte topologia:

T = {∅, A ⊂ R},

onde A ∈ T se, e somente se para todo x ∈ A existe um intervalo aberto (a, b) tal que:

x ∈ (a, b) ⊂ A.

1. Claramente ∅, R ∈ T.

2. Seja {Aα ∈ T / α ∈ Γ}, então:

⋃α∈Γ

Aα ∈ T.

De fato, seja x ∈⋃α∈Γ

Aα, então existe α0 ∈ Γ tal que x ∈ Aα0 ∈ T; logo, existe (a, b)

e:

x ∈ (a, b) ⊂ Aα0 ⊂⋃α∈Γ

Aα.

3. Sejam B1, B2 ∈ T; então, dado x ∈ B1 ∩ B2 temos que x ∈ B1 ∈ T e x ∈ B2 ∈ T,logo existem (a1, b1) e (a2, b2) tais que x ∈ (a1, b1) ⊂ B1 e x ∈ (a2, b2) ⊂ B2. Sedenotamos por a = max{a1, a2} e b = min{b1, b2}, temos:

x ∈ (a, b) ⊂ B1 ∩B2.

Por indução: Se B1, B2, . . . , Bn ∈ T, entãon⋂i=1

Bi ∈ T.


Observação 1.2. Esta topologia é chamada euclidiana ou usual e será denotada porTus.

[5] Seja X = R2 e definamos a seguinte topologia:

T = {∅, A ⊂ R2},

ondeA ∈ T se, e somente se para todo (x, y) ∈ A existe um retângulo aberto (a, b)×(c, d)tal que:

(x, y) ∈ (a, b)× (c, d) ⊂ A.

Observação 1.3. De forma análoga ao exemplo anterior, T é uma topologia e é tam-bém chamada euclidiana ou usual e será denotada por Tus. Não é difícil ver que estatopologia pode ser estendida a Rn.

[6] Seja R2 e consideremos a família:

Tk = {∅, R2, Gk / k ∈ R},

onde:

Gk = {(x, y) ∈ R2 / x > y + k}.

Então,(R2,Tk

), é um espaço topológico.

1. ∅, R2 ∈ Tk, por definição.

2. Seja Gk ∈ Tk tal que k ∈M ⊂ R:

Se M é limitado inferiormente, seja m = inf M , então:

⋃k∈M

Gk = Gm ∈ Tk.

De fato, seja (x, y) ∈⋃k∈M

Gk; então, existe k ∈ M tal que (x, y) ∈ Gk, isto é

x− y > k ≥ m; logo, (x, y) ∈ Gm e

⋃k∈M

Gk ⊂ Gm.

1.3. EXEMPLOS 13

Seja (x, y) ∈ Gm; então, x − y > m; logo, existe k ∈ M tal que x − y > k, casocontrário x− y seria uma cota inferior de M maior que m; então:

Gm ⊂⋃k∈M

Gk.

Se M não é limitado inferiormente, então:

⋃k∈M

Gk = R2.

De fato, seja (x, y) ∈ R2, então, existe k ∈ M tal que x− y > k; caso contrário, Mseria limitado inferiormente por x− y, logo (x, y) ∈ Gk.

3. Sejam Gk1 , Gk2 ∈ Tk e considere k1 = max{k1, k2}; então, Gk1 ⊂ Gk2 e:

Gk1 ∩Gk2 = Gk1 ∈ Tk.

[7] Seja X um conjunto não vazio e:

T = {A ⊂ X /Ac é finito ou é X}.

T é uma topologia para X .

1. Claramente, X e ∅ pertencem a T.

2. Seja {Aα ∈ T / α ∈ Γ}; então:

⋃α∈Γ

Aα ∈ T.

De fato: ( ⋃α∈Γ

Aα

)c=⋂α∈Γ

Acα,

como Acα é finito, a interseção é finita ou é todo X .


3. Sejam B1, B2, . . . , Bn ∈ T, então:

( n⋂i=1

Bi

)c=

n⋃i=1

Bci ,

a união é finita ou todo X , pois cada conjunto é finito ou todo X .

Observação 1.4. Esta topologia é chamada de cofinita e denotada Tcof . Se X é finito,então Tcof = Tdis.

Exemplo 1.1. Seja X = R com a topologia Tcof .

O conjunto (−∞, 1) não é aberto nesta topologia, pois seu complementar é [1,+∞) enão é finito nem igual a R. Mas, o conjunto (−∞, 1)∪(1,+∞) é aberto. Nesta topologiaos abertos são da forma:

A = R−n⋃i=1

{xi / xi ∈ R}.

SejaX = R com a topologia Tus. SeA ⊂ R é finito, entãoA não é aberto. Analogamenteem Rn.

1.4 Conjuntos Fechados

Os conjuntos fechados são os duais dos conjuntos abertos, num espaço topológico. Ve-remos que a topologia num espaço topológico, também pode ser caracterizada atravesdos conjuntos fechados.

Definição 1.3. Seja F ⊂ X . F é dito fechado em X se F c ∈ T.

Observação 1.5. Isto é, um conjunto é fechado se, e somente se seu complementar éum conjunto aberto.

Exemplo 1.2.

[1] X e ∅ são fechados em X .

[2] Seja(X,Tsier

); então os fechados de X são ∅, X e {b}.

[3] Considere X = {a, b, c} com a T3 do exemplo [??]. Determinemos os conjuntosfechados de X .

1.4. CONJUNTOS FECHADOS 15

Primeiramente X e ∅ são fechados em X . Os conjuntos {a} e {b} não são fechados; defato:

{a}c = {b, c} /∈ T3

{b}c = {a, c} /∈ T3.

Por outro lado {c}, {a, c} e {b, c} são fechados em X :

{c}c = {a, b} ∈ T3

{a, c}c = {b} ∈ T3

{b, c}c = {a} ∈ T3.

Teorema 1.1. Seja(X,T

)espaço topológico e F a família de conjuntos fechados; então:

1. X, ∅ ∈ F.

2. Sejam F1, F2, . . . , Fn conjuntos fechados em X ; então:

n⋃i=1

Fi

é fechado em X .

3. Sejam Fα ∈ F, arbitrários tal que α ∈ Γ, então:

⋂α∈Γ

Fα ∈ F.

Prova: A prova é imediata. De fato:

( n⋃i=1

Fi

)c=

n⋂i=1

F ci ∈ T

( ⋂α∈Γ

Fα

)c=⋃α∈Γ

F cα ∈ T.


Exemplo 1.3. Seja(R,Tus

); então todo conjunto finito é fechado.

De fato, dado x ∈ R, então {x} é fechado em R pois:

{x}c = (−∞, x) ∪ (x,+∞);

logo se A = {x1, x2, . . . xn} temos que:

A =n⋃i=1

{xi}.

O exemplo anterior vale em Rn.

Observações 1.1.

1. A propriedade de ser aberto ou fechado é independente uma da outra.

2. Um conjunto pode ser simultaneamante fechado e aberto, aberto e não fechado,fechado e não aberto ou nehum dos dois.

3. A união infinita de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado. Porexemplo, para todo subconjunto B ⊂ X , temos:

B =⋃b∈B

{b}.

4. Uma topologia num espaço topológico também pode ser caracterizada, pelosseus conjuntos fechados.

Exemplo 1.4.

[1] Se X tem a topologia discreta, todo subconjunto de X é aberto e fechado.

[2] Seja X = R− {0} com a topologia euclidiana; então os conjuntos (−∞, 0) e (0,+∞)são abertos. Como cada um deles é complementar do outro, também são fechados.

[3] O conjunto Q ⊂ R não é aberto nem fechado com a topologia usual e nem com atopologia cofinita de R.

Definição 1.4. Sejam T1 e T2 topologias sobre X . Se T1 ⊂ T2, então dizemos que atopologia T2 é mais fina que T1.

1.5. BASES 17

Exemplo 1.5.

[1] Em R2, Tcof é menos fina que a Tus. De fato, seja A ∈ Tcof ; então Ac é finito; logo Ac

é fechado em Tus e A é aberto em Tus.

[2] As topologias sobre um conjunto nem sempre podem ser comparadas. Por exem-plo:

Seja X = {a, b} com as topologias: T1 = {∅, {a}, X} e T2 = {∅, {b}, X}. então T1 e T2

não podem ser comparadas.

Para toda topologia T sobre X temos:

Tind ⊂ T ⊂ Tdis.

No exemplo [1], temos:

Tind ⊂ T1 ⊂ T3 ⊂ Tdis.

1.5 Bases

Muitas vezes para introduzir uma topologia num conjunto não é necessário descrevertodos os conjuntos abertos da topologia, mas apenas alguns conjuntos especiais, oschamados abertos básicos da topologia.

Sejam(X,T

)um espaço topológico e B uma família de subconjuntos de X tal que

B ⊂ T.

Definição 1.5. B é uma base para T se para todo A ∈ T, temos que:

A =⋃B∈B

B.

Observações 1.2.

1. Como B ⊂ T, então toda união de elementos de B também pertence a T. Oselementos de B são ditos abertos básicos da topologia.

2. Se B é uma base de T, dizemos que B gera a topologia T, ou que T é a topologiagerada por B.


3. Para todo A ∈ T existe B ∈ B tal que B ⊂ A. De fato, seja x ∈ A; como A ∈ T eB é uma base de T, então:

A =⋃α∈Γ

Bα,

onde Bα ∈ B. Logo, existe α ∈ Γ tal que:

x ∈ Bα ⊂ A.

O seguinte teorema é um ótimo critério para verificar se uma família de subconjuntosé uma base.

Teorema 1.2. Seja B ⊂ T. A família B é uma base de T se, e somente se

1. X =⋃B∈B

B.

2. Para todo B1B2 ∈ B, se x ∈ B1 ∩B2, então, existe B ∈ B tal que:

x ∈ B ⊂ B1 ∩B2.

Prova : Se B é uma base de alguma topologia T, entãoX é aberto; logo se escreve comounião de abertos básicos. Se B1, B2 ∈ B, então B1, B2 são abertos e B1 ∩ B2 é aberto;logo se x ∈ B1 ∩B2, existe um aberto B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ B1 ∩B2.

Reciprocamente, se B satisfaz 1. e 2. e se exitir uma topologia que tem B como base,todo aberto nesta topologia pode ser escrito como união arbitrária de elementos de B.Definamos:

T = {U ⊂ X /U é união arbitrária de elementos de B}.

Devemos provar que T é uma topologia sobre X . Claramente ∅ ∈ T; por outro ladoX ∈ T, pelo ítem 1.Sejam Aα ∈ T, arbitrários; cada Aα =

⋃µ

Bα,µ, onde Bα,µ ∈ B; então:

A =⋃α

(⋃µ

Bα,µ

)=⋃α,µ

Bα,µ ∈ T.

Agora consideremos A1 e A2 ∈ T, então A1 =⋃α

Bα e A2 =⋃µ

Bµ, então:

1.5. BASES 19

A1 ∩ A2 =

(⋃α

Bα

)∩(⋃

µ

Bµ

)=⋃α,µ

(Bα ∩Bµ

).

Se x ∈ A1 ∩ A2, existe pelo menos um par de índices (α, µ) tal que x ∈ Bα ∩ Bµ; por 2.existe B ∈ B tal que:

x ∈ B ⊂ Bα ∩Bµ ⊂ A1 ∩ A2;

logo, A1 ∩ A2 é aberto. O caso geral segue por indução.

Definição 1.6. Os conjuntos B ∈ B tal que x ∈ B são chamados vizinhanças do pontox.

Exemplo 1.6.

[1] Uma topologia é base de si própria.

[2] Para Tind, a base é B = {X}.

[3] Para Tdis, a base é B = {{x} / x ∈ X}.

[4] Logo, bases diferentes podem gerar a mesma topologia.

[5] (Fundamental) Seja X = R e a, b ∈ R tal que a < b, então:

B = {(a, b)}

gera a topologia usual ou euclidiana de R.

De fato:

1. R =⋃a<b

(a, b).

2. Para todo x ∈ R, (x− 1, x+ 1) ∈ B.

3. Para todo x ∈ R tal que x ∈ (a1, b1) ∩ (a2, b2), temos:

x ∈ (a, b) ⊂ (a1, b1) ∩ (a2, b2),

onde a = max{a1, a2} e b = min{b1, b2}.


[6] Sejam R, B a base da topologia euclidiana e B′ = {[a, b) / a < b}. Suponha que B′ éuma base. (Veja os exercícios). Então estas bases geram topologias diferentes.

Seja (a, b) ∈ B; para todo x ∈ (a, b), existe [x, b) ∈ B′ tal que:

x ∈ [x, b) ⊂ (a, b).

Por outro lado, dado [x, d) ∈ B′, não existe (a, b) ∈ B tal que:

x ∈ (a, b) ⊂ [x, d).

Logo, as bases geram topologias diferentes.

1.6 Sub-bases

Seja(X,T

)um espaço topológico e S uma família de subconjuntos deX tal que S ⊂ T.

Definição 1.7. S é uma sub-base de T se a coleção de interseções finitas de elementosde S é uma base de T.

Proposição 1.1. Sejam X um cojunto não vazio e S uma família de elementos de Xtais que para todo x ∈ X existe A ∈ S tal que x ∈ A. Seja B a coleção de interseçõesfinitas de elementos de S. Então, a família T formada por ∅, X e as uniões arbitráriasde elementos de B é uma topologia para X e é a menor topologia que contém S.

Prova : Claramente ∅, X ∈ T e toda união de elementos de T pertence a T. Mostrare-mos que qualquer interseção finita de elementos de T está em T, ou melhor, provare-mos que se A, B ∈ T, então A ∩B ∈ T:

Se A ou B é vazio, está provada a proposição.

1. Suponha que A e B são não vazios. Então:

A =⋃α

Aα, B =⋃β

Bβ,

onde Aα, Bβ ∈ B. Logo:

A ∩B =

(⋃α

Aα

)∩(⋃

β

Bβ

)=⋃α, β

(Aα ∩Bβ

).

Por outro lado Aα e Bβ são interseções finitas de elementos de S, logo Aα ∩ Bβ éuma interseção finita de elementos de S e, A ∩B ∈ T.

1.7. TOPOLOGIA RELATIVA 21

2. Claramente S ⊂ T.

3. Se T′ é outra topologia em X que também contém S, então B ⊂ T′; logo, T′ deveconter as uniões arbitrárias de elementos B, isto é T ⊂ T′. Então T é a menortopologia sobre X que contém S, isto é, S é uma sub-base de X .

Observação 1.6. Em geral S não é uma base de T, pois os elementos de T não podemser escritos, necessariamente, como uniões de elementos de S.

Exemplo 1.7.

[1] Toda topologia é sub-base de si mesma.

[2] S = {(−∞, a), (b,+∞) / a, b ∈ R} é uma sub-base para a topologia usual de R.

[3] S = {(−∞, a], [b,+∞) / a, b ∈ R} é uma sub-base para a topologia discreta de R.

[4] Sejam(X,T1

)e(Y,T2

)espaços topológicos; então:

S = {U × Y, X × V /U ∈ T1, V ∈ T2}

é uma sub-base para a topologia produto em X × Y .

1.7 Topologia Relativa

Uma questão natural que surge das últimas definições é: fixada uma topologia numconjunto, um subconjunto não vazio herda de alguma forma esta estrutura?

Definição 1.8. Seja(X,T

)um espaço topológico e ∅ 6= Y ⊂ X , então:

1. O conjunto:

TY = {A ∩ Y /A ∈ T},

é uma topologia sobre Y chamada topologia relativa a Y .

2. O par(Y,TY

)é dito subespaço topológico de

(X,T

).


3. Os elementos de TY são ditos abertos relativos.

Observação 1.7. Em geral, os abertos relativos não são abertos no espaço total. Veja osexemplos.

Exemplo 1.8.

[1] Seja R com a topologia usual e consideremos Q ⊂ R com a topologia relativa, entãoA = {x ∈ Q / 0 < x < 1} é aberto em Q.

De fato, pois A = (0, 1) ∩Q e A não é aberto em R.

[2] Seja R com a topologia usual. N e Z ⊂ R são subespacos topológicos tais que atopologia relativa é a topologia discreta.

De fato, se n ∈ Z então:

{n} = Z ∩(n− 1

2, n+

1

2

).

[3] Seja R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞} com a topologia gerada por:

{+∞} ∪ (a,+∞) e {−∞} ∪ (−∞, a).

A topologia T gerada por estes conjuntos é dita topologia estendida.

[4] Seja Y = R ⊂ R com a topologia relativa; então TY é a topologia euclidiana.

Proposição 1.2. Seja(Y,TY

)subespaço topológico de

(X,T

).

1. Seja B = {Bγ / γ ∈ Γ} uma base de T; então BY = {Bγ ∩ Y / γ ∈ Γ} é uma basepara BY .

2. A ⊂ Y é fechado se, e somente se A = Y ∩ F , onde F ⊂ X é fechado.

3. Se A é fechado (aberto) em Y e Y é fechado (aberto) em X , então A é fechado(aberto) em X .

Prova:

1. Imediata.

1.7. TOPOLOGIA RELATIVA 23

2. Se A ⊂ Y é fechado, então A = Y −W , onde W é aberto em Y ; logo W = Y ∩ U ,onde U é aberto em X ; por outro lado:

A = Y −(Y ∩ U

)= Y ∩ U c.

Reciprocamente, se A = Y ∩ F , onde F ⊂ X é fechado, então:

Y − A = Y ∩ F c;

logo, A é fechado em Y .

3. Como A = Y ∩ F e ambos são fechados em X , então A é fechado em X .

Exemplo 1.9.

[1] Seja R2 com a topologia usual. O conjunto

S1 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 = 1} ⊂ R2

com a topologia relativa é dito círculo unitário. Os abertos relativos em S1 são os arcosabertos de círculos.

Figura 1.1: Abertos relativos de S1

[2] Em geral, seja Rn+1 com a topologia usual. O conjunto:

Sn = {(x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1 /

n∑i=1

x2i = 1}

com a topologia induzida, é chamado esfera unitária.


1.8 Pontos e Conjuntos Notáveis

Nesta seção estudaremos alternativas para determinar se um conjunto é aberto, e/oufechado.

Definições 1.1. Seja(X,T

)um espaço topológico e A ⊂ X

1. x ∈ X é um ponto interior a A se existe U vizinhança de x tal que:

x ∈ U ⊂ A.

2. O conjunto de todos os pontos interiores a A é denotado por:

◦A ou Int(A).

3. x ∈ X é um ponto exterior a A se é interior a Ac.

O conjunto de todos os pontos exteriores a A é denotado por:

ExtA.

4. x ∈ X é um ponto aderente a A se para toda vizinhança U de x temos:

A ∩ U 6= ∅.

5. O conjunto de todos os pontos aderentes a A é denotado por:

A.

6. O conjunto A é dito fecho de A.

1.8. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 25

7. x ∈ X é um ponto de acumulação de A se para toda vizinhança U de x temos:

(A− {x}

)∩ U 6= ∅.

O conjunto de todos os pontos de acumulação a A é denotado por:

A′.

8. x ∈ X é um ponto da fronteira de A se é aderente a A e a Ac.

9. O conjunto de todos os pontos da fronteira de A é denotado por:

∂A.

10. x ∈ X é um ponto isolado de A se {x} é vizinhança de x

11. Um conjunto onde todos os pontos são isolados é dito discreto.

12. A ⊂ X é dito denso em X se:

A = X.

Observações 1.3.

1. Se A ⊂ X , então X =◦A ∪ ∂ A ∪ ExtA, onde as uniões são disjuntas. ∅ = ∅ e

X = X .◦A ⊂ A e, por definição, é um conjunto aberto.

2. x /∈ A se, e somente se existe uma vizinhança U de x tal que U ∩ A = ∅, isto é:

x /∈ A ⇔ x ∈◦(Ac).


3. Logo,(A)c

=◦(Ac)

= ExtA e como X =◦A ∪ ∂A ∪ ExtA, onde as uniões são

disjuntas, temos:

A =◦A ∪ ∂A,

sendo a união disjunta.

4. Para todo A ⊂ X , o conjunto A é fechado.

De fato,(A)c

=◦(Ac)

que é aberto.

5. Para todo A ⊂ X , temos A ⊂ A.

De fato, se x /∈ A, então existe U vizinhança de x tal que U ∩ A = ∅, isto éx ∈ U ⊂ Ac; logo x /∈ A.

6. Para todo A, B ⊂ X , temos: se A ⊂ B, então A ⊂ B.

De fato, se x /∈ B, então existe U vizinhança de x tal que U ∩ B = ∅, isto éx ∈ U ⊂ Bc; como Bc ⊂ Ac, então x /∈ A ⊂ A.

7. Para todo A ⊂ X , ∂ A é um conjunto fechado, pois:

(∂A)c

=◦A ∪

◦Ac

que é aberto:

8. Para todo A ⊂ X :

∂(∂ A)

= ∅.

Exemplo 1.10.

[1] Sejam R com a topologia usual e A = (0, 1) ∪ {2}; então:

◦A = (0, 1), ExtA = (−∞, 0] ∪ [1, 2) ∪ (2,+∞),

A = [0, 1] ∪ {2}, A′ = [0, 1] ∂ A = {0} ∪ {1}.

[2] Sejam N, Z e Q ⊂ R e R com a topologia usual; então:


1. N e Z são discretos.◦Z = ∅ e Z = ∂ Z = Z.

◦Q = ∅, pois nenhum intervalo aberto

pode ser formado apenas por racionais.

2. ∂Q = R, pois todo intervalo aberto contem racionais e irracionais.

3. Q = R, isto é, Q é denso em R. De fato, suponha que Q 6= R, então existex ∈ R−Q. Como R−Q é aberto, existe (a, b) tal que:

x ∈ (a, b) ⊂ R−Q.

Como todo intervalo contém números racionais, existe q ∈ Q tal que:

q ∈ (a, b) ⊂ R−Q;

logo q ∈ R−Q, o que é uma contradição.

4. Por outro lado Q ′ = R.

Proposição 1.3. Sejam(X,T

)e A ⊂ X :

1. A é fechado se, e somente se A = A.

2. A = A.

Prova :

1. Suponha A fechado; então Ac é aberto. Se x /∈ A, então x ∈ Ac, logo existe Uvizinhança de x tal que x ∈ U ⊂ Ac; então U ∩ A = ∅ isto é x /∈ A; logo A ⊂ A.

A = A ⇔ se x /∈ A, então existe uma vizinhança U de x tal que U ∩ A = ∅ se, esomete se x ∈ U ⊂ Ac isto é Ac é aberto se, e somete se A é fechado.

2. Como A é fechado, pelo ítem anterior A = A.


Teorema 1.3. Seja(X,T

)e A ⊂ X ; então A é o menor conjunto fechado que contem A,

isto é:

A =⋂ {

F /A ⊂ F e F é fechado}.

Prova :

(⊂) Se x /∈⋂ {

F}

, então x ∈(⋂ {

F})c

=⋃ {

F c}

que é aberto; logo, existe pelomenos um F c tal que x ∈ F c; como F c é aberto, existe U vizinhança de x tal quex ∈ U ⊂ F c ⊂ Ac; então U ∩ A = ∅; logo x /∈ A.

(⊃) A é fechado e A ⊂ A; então: ⋂ {F} ⊂ A.

.

Exemplo 1.11.

[1] Seja(X,Tsier

); então {b} = {b} e {a} = X .

[2] Seja(X,T

)onde T é a topologia discreta. Como todos os subconjuntos de X são

fechados, o único conjunto denso em X é X .

[3] Seja X = {a, b, c, d, e} com a seguinte topologia:

T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}.

Pelo teorema temos que:

{b} = {b, e}, {a, c} = X e {b, d} = {b, c, d, e}.

Logo, o menor fechado que contém {b} é {b, e}. Note que {a, c} é denso em X .

Teorema 1.4. Sejam(X,T

)e A ⊂ X ; então

◦A é o maior conjunto aberto contido em A,

isto é:

◦A =

⋃ {U /U ⊂ A e U é aberto

}.

Prova :

(⊂)◦A é aberto e

◦A ⊂ A; então

◦A ⊂

⋃ {U}

.

(⊃) Seja x ∈⋃ {

U}

, então existe pelo menos um U tal que x ∈ U ⊂ A, isto é x ∈◦A.


Proposição 1.4. Sejam(X,T

)e A ⊂ X .

1. A = A ∪ A′. Em particular, A é fechado se, e somente se A′ ⊂ A.

2.◦A =

(Ac)c. Em particular, A é aberto se, e somente se A =

◦A.

Prova :

1. Por definição A′ ⊂ A; por outro lado A ⊂ A, então A ∪ A′ ⊂ A. Reciprocamente,seja x ∈ A. Se x ∈ A está provado. Se x /∈ A, então toda vizinhança U de x é talque

(U − {x}

)∩ A 6= ∅, isto é, x ∈ A′.

2. Se U ⊂ A, então Ac ⊂ U c e os conjuntos abertos U ⊂ A são exatamente os com-plementares dos conjuntos F fechados tais que Ac ⊂ F . Pelo teorema anterior:

◦A =

⋃ {U /U ⊂ A e U é aberto

}=⋃ {

F c /Ac ⊂ F e F é fechado}

=

(⋂ {F c /Ac ⊂ F e F é fechado

})c=(Ac)c.

Exemplo 1.12.

[1] Seja(X,Tsier

); então:

◦{b} = ∅,

◦{a} = {a}. {b}′ = ∅ e {a}′ = {b}. ∂ {b} = ∂ {a} = b.

[2] Seja(X,Tind

); então:

Para todo A ⊂ X tal que A 6= X , temos que◦A = ∅. Para todo A ⊂ X não vazio, A = X .

Se A tem mais de um elemento, temos A′ = X e {x}′ = {x}c e ∂ A = X .

[3] Seja(X,Tdis

); então:

Para todo A ⊂ X temos que:◦A = A, A = A, A′ = ∅ e ∂ A = ∅

[4] Seja(X,Tcof

); então:


Para todo A /∈ Tcof temos que◦A = ∅. Se A é infinito, A = X . Para todo A ⊂ X tal que

A é infinito, A′ = X e se A é finito, A′ = ∅. Para todo A ⊂ X aberto tal que X é infinito,∂ A = X − A; caso contrário ∂ A = X .

[5] Considere(R,Tcof

)e A = [0, 1]. Então

◦A = ∅ e A = A′ = ∂ A = R.

[6] Seja(X,Tind

); para todo A ⊂ X tal que A 6= X , temos que ∂ A = X .

[7] Seja(X,Tdis

); para todo A ⊂ X temos que ∂ A = ∅.

Proposição 1.5. São equivalentes as seguintes condições:

1. A é denso em X .

2. Se F é fechado e A ⊂ F , então F = X .

3. Todo aberto básico não vazio de X contém elementos de A.

4.◦Ac = ∅.

Prova:

1) ⇒ 2) Se A ⊂ F , então X = A ⊂ F = F , logo F = X .

2) ⇒ 3) Seja U aberto básico não vazio tal que U ∩ A = ∅; entãoA ⊂ U c 6= X , o que é uma contradição pois U c é fechado.

3) ⇒ 4) Suponha que IntAc 6= ∅; como IntAc é aberto, então existe U aberto básiconão vazio tal que U ⊂ IntAc; como IntAc ⊂ Ac, U ⊂ Ac e U ∩ A = ∅; logo U nãocontém pontos de A.

4) ⇒ 1)

(A)c

=

((Ac)c)c

=◦Ac = ∅.

Logo, A = X .

Seja Y subespaço de X e denotemos por AY o conjunto A como subconjunto de Y ;então:

1.◦AY =

◦A ∩ Y .

1.9. TOPOLOGIA MÉTRICA 31

2. AY = A ∩ Y .

3. A′Y = A′ ∩ Y .

Exemplo 1.13. Seja R com a topologia usual e Y = [0, 1) ∪ (1, 3) ∪ {5} com a topologiarelativa. Então:

(1, 3) = (1, 3)∩Y ; por outro lado, (1, 3) = [1, 3]∩Y ; logo (1, 3) é aberto e fechado em Y .Logo,

◦

(̂1, 3)Y = (1, 3)Y = (1, 3).

[0, 1) = [0, 1] ∩ Y ; logo [0, 1) é fechado em Y . Logo,◦

[̂0, 1)Y = (0, 1).

1.9 Topologia Métrica

Uma importante classe de exemplos de espaços topológicos é a dos espaços métricos.

1.10 Espaços Métricos

Seja um conjunto M 6= ∅.

Definição 1.9. Uma métrica ou distância sobre M é uma função:

d : M ×M −→ R,

tal que, para todo x, y, z ∈M , tem-se:

1. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se, e somente se x = y.

2. Simetria: d(x, y) = d(y, x).

3. Desigualdade triangular:

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

4. O par (M,d) é chamado espaço métrico.


Exemplo 1.14.

[1] (M,d) é um espaço métrico com a métrica:

d(x, y) =

{0 se x 6= y

1 se x = y.

d é dita métrica discreta.

[2] (N, d) é uma espaço métrico com a métrica:

d(n,m) =

0 se n = m

1 +n+m

nmse n 6= m.

Só devemos verificar a desigualdade triangular.

Para todo n, m, k ∈ N tais que n 6= m 6= k:

d(n,m) = 1 +n+m

nm= 1 +

1

m+

1

n

≤ 2 +1

n+

1

k+

1

m+

1

k≤ d(n, k) + d(k,m).

[3] (R, d) é uma espaço métrico com d(x, y) = |x − y|, onde | | é o valor absoluto emR.

[4] Rn como espaço métrico. Em Rn podemos definir as seguintes métricas:

d1(x, y) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2,

d2(x, y) =n∑i=1

|xi − yi|,

d3(x, y) = max1≤i≤n

|xi − yi|,

onde x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn. As provas que d1 e d2 são métricassão imediatas. Por outro lado, a desigualdade triangular para d3 segue de:

|xi − zi| ≤ |xi − yi|+ |yi − zi| ≤ d3(x, y) + d3(y, z).

1.10. ESPAÇOS MÉTRICOS 33

[5] Seja B(M,R) o conjunto de todas as funções limitadas f : M −→ R. Como a somae a diferença de funções limitadas é limitada, então:

d(f, g) = supx∈M|f(x)− g(x)|,

é uma métrica emB(M,R). A única propriedade não trivial é a desiguldade triangular.Seja x ∈ M , utilizando a desigualdade triangular em (R, | |). Para todo x ∈ M temos:|f(x)− h(x)| ≤ |f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)|, então:

|f(x)− h(x)| ≤ |f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)|≤ sup

x∈M|f(x)− g(x)|+ sup

x∈M|g(x)− ghx)|

≤ d(f, g) + d(g, h).

Considerando o supremo em ambos os lados na última desigualdade, temos que:

d(f, h) ≤ d(f, g) + d(g, h).

Pois, o lado direito da desiguldade não depende de x ∈M .

Definição 1.10. Sejam (M1, d1) e (M2, d2) espaços méricos. f : M1 −→M2 é uma isome-tria se é bijetiva e:

d2(f(x), f(y)) = d1(x, y),

para todo x, y ∈M1.

Exemplo 1.15.

[1] Seja R com a distância usual e f : R −→ R definida por f(x) = x/2. A função f ébijetiva, por outro lado:

|f(x)− f(y)| = 1/2 |x− y|.

Logo, não é uma isometria.

[2] Sejam (Rn, d1), a ∈ Rn e Ta : Rn −→ Rn definida por Ta(v) = v + a, então f é umaisometria.

De fato, Ta é claramente bijetiva, e:


d1(Ta(x), Ta(y)) = d1(v + a, w + a)

=

√√√√ n∑i=1

((xi − ai)− (yi − ai))2

=

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2

= d1(x, y).

Se mudamos para as outras métricas de Rn, f é isometria?

1.11 Abertos e Fechados em Espaços Métricos

Seja (M,d) um espaço métrico e r ∈ R tal que r > 0.

Definição 1.11. Uma bola aberta em M de centro x0 e raio r é denotada e definida por:

B(x0, r) = {x ∈M /d(x, x0) < r}.

Definimos B(x, 0) = ∅. Se r ≤ s, então B(x0, r) ⊂ B(x0, s).

Exemplo 1.16.

[1] Seja M = R, com d = | |; então:

B(x0, r) = (x0 − r, x0 + r);

isto é, as bolas abertas são os intervalos abertos.

[2] Seja M = R, com d1; então:

B((x0, y0), r) = {(x, y) / (x− x0)2 + (y − y0)2 < r2};

isto é, um disco aberto centrado em (x0, y0).

Proposição 1.6. As bolas abertas num espaço métrico formam uma base para umatopologia no espaço métrico.

Prova : 1. Claramente: M =⋃x∈M

B(x, 1).

2. Seja z ∈ B(x, rx) ∩B(y, ry); seja r = min{rx − d(x, z), ry − d(y, z)}; então

1.12. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS 35

B(z, r) ⊂ B(x, rx) ∩B(y, ry).

De fato, r > 0 e se w ∈ B(z, r); temos:

d(w, x) ≤ d(w, z) + d(z, x) < r + d(z, x) ≤ rx − d(z, x) + d(z, x) = rx;

logo, w ∈ B(x, rx). De forma análoga, w ∈ B(y, ry).

Observação 1.8. A topologia gerada por esta base é chamada topologia métrica geradapela distância d, e será denotada por Td.

Definição 1.12. O espaço topológico(X,T

)é dito metrizável se T é uma topologia

métrica.

Exemplo 1.17.

[1] Seja(M,d

), onde d é a métrica discreta; então B(x, 1/2) = {x}; logo Td é a topologia

discreta.

[2] Se X possui mais de 2 pontos,(X,Tind

)não é metrizável.

Proposição 1.7. Sejam (M,d) um espaço métrico, y0 ∈ M e ∅ 6= A ⊂ M . Definamos adistância entre o ponto y0 é o conjunto A por:

d(y0, A) = inf{d(y0, x) / x ∈ A}.

Então, d(y, A) = 0 se, e somente se y ∈ A. Logo,

A = {y / d(y, A) = 0}.

Prova : Se y ∈ A se, e somente se existe B(y, r) tal que B(y, r) ∩ A 6= ∅ se, e somente seexiste ar ∈ A tal que d(y, ar) < r se, e somente se existe d(y, A) = 0.

1.12 Espaços Vetoriais Normados

Seja V um R-espaço vetorial.

Definição 1.13. Uma norma sobre V é uma função:

‖ ‖ : V × V −→ R,

tal que, para todo x, y ∈ V e λ ∈ R, tem-se:


1. Se x 6= 0, então ‖x‖ 6= 0.

2. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖.

3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

O par (E, ‖ ‖) é chamado espaço vetorial normado.

Exemplo 1.18.

[1] (Rn, ‖ ‖i) é um espaço vetorial normado com as seguintes normas:

‖x‖1 =

√√√√ n∑i=1

x2i ,

‖x‖2 =n∑i=1

|xi|,

‖x‖3 = max1≤i≤n

|xi|,

onde x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.

[2] B(M,R) é um espaço vetorial, sendo:

‖f‖ = supx∈M|f(x)|,

uma norma em B(M,R).

Seja (E, ‖ ‖) um espaço vetorial normado. Definindo:

d∗(x, y) = ‖x− y‖,

temos que (E, d∗) é um espaço métrico. d∗ é chamada métrica proveniente da norma‖ ‖.

1.13 Espaços Vetoriais com Produto Interno

Seja V um R-espaço vetorial.

Definição 1.14. Um produto interno sobre V é uma função:

< >: V × V −→ R,tal que, para todo x, y, z ∈ V e λ ∈ R, tem-se:

1.14. TOPOLOGIA DE ZARISKI 37

1. Se x 6= 0, então < x, x >> 0.

2. < λx, y >= λ < x, y >.

3. < x, y >=< y, x >.

4. < x+ y, z >=< x, z > + < y, z >.

Seja (E,< >) um espaço vetorial com produto interno. Definindo:

‖x‖∗ =√< x, x >,

temos que (E, ‖ ‖∗)) é um espaço vetorial normado. ‖ ‖∗ é chamada norma prove-niente do produto interno < >.

Nem toda norma num espaço vetorial provém de um produto interno.

1.14 Topologia de Zariski

A topologia de Zariski é fundamental para o estudo de diferentes áreas da Álgebra,como por exemplo, Álgebra Comutativa e Geometria Algébrica.

Seja K = R ou C.

Consideremos a família dos polinômios de n-variáveis em K. Isto é:

{fi / fi ∈ K[x1, x2, , . . . , xn], i ∈ I}.

e seja:

Z(fi) = {x ∈ Kn / fi(x) = 0, i ∈ I}.

Exemplo 1.19.

[1] Se f(x, y) = x2 + y2 − 1, então Z(f) = S1.

[2] Note que Z(cte) = ∅ e Z(0) = K.

Sejam Z(fi) e Z(gj). Denotemos hij = fi gj ∈ K[x1, x2, , . . . , xn] tal que i ∈ I e j ∈ J .Afirmamos que:

Z(fi) ∪ Z(gj) = Z(fi gj).


De fato, se hij(x) = 0 para todo i ∈ I e j ∈ J , então:

0 = hij(x) =(fi gj

)(x) = fi(x) gj(x)

para todo i ∈ I e j ∈ J ; logo fi(x) = 0 para todo i ∈ I ou gj(x) = 0 para todo j ∈ J .

Denotemos por:

D(fi) =(Z(fi)

)c e B = {D(fi) / i ∈ I}.

Observação 1.9. A família B forma uma base para uma topologia em Kn.

Definição 1.15. A topologia que gera B em Kn é chamada de Zariski.

Os Z(fi) são os fechados na topologia de Zariski. Em R, a topologia de Zariski é a to-pologia cofinita. De fato, todo subconjunto finito em R é conjunto solução para algumpolinômio de uma variável real.

Por exemplo, se R = {r1, r2, . . . , rn}, então:

f(x) = (x− r1) (x− r2) . . . (x− rn)

é um polinômio que tem como conjunto solução R. Por outro lado o conjunto de solu-ções de um polinômio de uma variável de grau n possui no máximo n elementos.

Se n > 1 a topologia de Zariski não é a cofinita.

Por exemplo, a reta y = 1 é solução do polinômio f(x, y) = x−1 que não é um conjuntofinito em R2.

1.15 Topologia de Zariski em Anéis

Seja A um anel e denotemos por Spec(A) o conjunto de todos os ideais primos de A.Consideremos a seguinte família de subconjuntos:

V (I) = {p / p ∈ Spec(A), I ⊂ p},

onde I é um ideal de A.

1. V (0) = Spec(A) e V (A) = ∅. Por outro lado:

V (I) ∪ V (J) = V (IJ)

⋂α∈Γ

V (Iα) = V(∑α∈Γ

Iα)

1.15. TOPOLOGIA DE ZARISKI EM ANÉIS 39

2. Definimos sobre Spec(A) a topologia de Zariski, como a topologia que tem comoconjuntos fechados os V (I).

3. Se denotamos por D(I) = Spec(A) − V (I) os abertos da topologia de Zariski, épossível provar que se I é um ideal principal, a base para a topologia de Zariskié:

B = {D(I) / I é um ideal principal}.


1.16 Exercícios

1. Quantas topologias podem ser definidas no conjunto

X = {a, b, c, d} ?

2. Verifique a família:

Tn = {∅, N, An / n ∈ N},

onde:

An = {1, 2, 3, . . . , n}

é uma topologia em N.

3. Seja(X,T

). Se para todo x ∈ X , {x} ∈ T, verifique que T = Tdis.

4. Seja(X,T

)e Y = X ∪ {a}, a /∈ X . Defina:

T(Y ) = {U ∪ {a} /U ∈ T}.(Y,T(Y )

)é um espaço topológico?

5. Seja X com a topologia cofinita. Verifique que os fechados de X são X , ∅ e ossubconjuntos finitos de X .

6. Ache exemplo de um espaço topológico em que os conjuntos abertos são tambémconjuntos fechados. Não considere a topologia discreta ou a indiscreta.

7. Sejam T1 e T2 duas topologias sobre o conjunto não vazio X . Considere:

(a) T1 ∩ T2 a família formada por abertos comuns a ambas as topologias.

(b) T1 ∪ T2 a família formada pela reunião dos abertos a ambas as topologias.

As famílias definidas são topologias sobre X? No caso negativo, ache um contra-exemplo.

1.16. EXERCÍCIOS 41

8. Seja X = R e a, b ∈ R tal que a < b. Verifique que:

B = {[a, b)}

gera a topologia chamada do limite inferior em R e é denotada por Tlinf .

9. Seja X = R e a, b ∈ Q tal que a < b. Então:

B = {(a, b)}

gera a topologia usual de R? Determine (0,√

2) e (1,√

2), nesta topologia.

10. Sejam(X,T1

)e(Y,T2

)espaços topológicos. Verifique que:

B = {U × V /U ∈ T1, V ∈ T2}

é uma base para uma topologia de X × Y . Esta topologia é chamada produto.

11. Se a, b, c, d ∈ R e B = {(a, b)× (c, d) / a < b, c < d}. Verifique que B é uma basepara a topologia usual em R2.

12. Seja X = {1, 2, 3, 4, 5}. Verifique que não existe nenhuma topologia em X quetenha como base:

B = {{1, 2}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}}.

13. Seja X = {a, b, c, d, e, f} com a seguinte topologia:

T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}}.

Verifique que:

B = {{a}, {c, d}, {b, c, d, e, f}}

é uma base para T.

14. Verifique que B = {[a, b] / a, b ∈ R} é uma base para a topologia discreta em R.

15. Seja(X,T

)e A ⊂ X . Verifique que:

(a) ∂ A ⊂ A, se e somente se A é fechado.


(b) ∂ A = ∅, se e somente se A é aberto e fechado.

(c) ∂ A ∩ A = ∅, se e somente se A é aberto.

16. Seja p ∈ X e defina a seguinte topologia em X :

T = {∅, A ∈ P(X) / p ∈ A}.

Verifique que T é uma topologia e que {p} é denso em X .

17. Verifique que◦A = X − Ac

18. Seja A = {p+ q√

2 /, p, q ∈ Z}. O conjunto A é denso em R?

19. Seja X um espaço topologico, A ⊂ X é dito totalmente não denso em X seIntA = ∅. Considere R com a topologia usual:

(a) Verifique que Z é totalmente não denso em R.

(b) Verifique que { 1

n/n ∈ N} é totalmente não denso em R.

(c) Seja A ⊂ X aberto, ∂A é totalmente não denso em X?

20. Verifique se são métricas:

(a) d1(x, y) = (x− y)2; x, y ∈ R.

(b) d2(x, y) = ex−y; x, y ∈ R.

(c) d3(x, y) = |x3 − y3|; x, y ∈ R.

(d) d4(x, y) =|x− y|

1 + |x− y|; x, y ∈ R.

Nos casos afirmativos, descreva os abertos.

21. Verifique que em Rn, temos: d3 ≤ d1 ≤ d2 ≤ n d3.

22. Seja C0([a, b]

)o conjunto das funções contínuas f : [a, b] −→ R. Defina:

d1(f, g) =

∫ b

a

|f(x)− g(x)| dx

d2(f, g) =

√∫ b

a

|f(x)− g(x)|2 dx

Verifique que d1 e d2 são métricas em C0([a, b]

).


23. Determine a topologia definida pela métrica discreta.

24. Determine, geometricamente, as bolas abertas em Rn com as métricas definidasanteriormente.

25. Seja (M,d) um espaço métrico:

(a) Seja r > 0 e:

B[x0, r] = {x ∈M /d(x, x0) ≤ r}.

Verifique que B[x0, r] é um conjunto fechado.

(b) Seja F ⊂M finito. Verifique que F é fechado.

26. Seja (M,d) um espaço métrico. Defina:

d1 = k d, d2 = d+ k e d3 = d/k,

onde k ∈ R− {0}.

(a) Verifique se d1, d2 e d3 são métricas.

(b) Verifique se d1, d2 e d3 geram a mesma topologia.

27. Seja (M,d) um espaço métrico. Defina:

d1(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y).

(a) Verifique d1 é uma métrica.

(b) Verifique que d1 e d geram a mesma topologia.

28. Se f é uma isometria, então f−1 é uma isometria?

29. Sejam(M,d1

)e(N, d2

)espaços métricos. Definamos em M ×N :

d((x1, y1), (x2, y2)) = d1(x1, x2) + d2(y1, y2),

onde (x1, y1), (x2, y2) ∈ M × N . Verifique que d é uma métrica em M × N . Estamétrica é dita métrica produto.

30. Se B1(x, r) é uma bola aberta em M e B2(y, s) é uma bola aberta em N , então:

B = {B1(x, r)×B2(y, s)},

é uma base para uma topologia em M ×N .


31. Sejam x =(xn)n∈N uma seqüência em R e:

(a) lp = {x /∞∑n=1

|xn|p < +∞}, 1 ≤ p < +∞.

(b) l∞ = {x / sup{xn / n ∈ N} < +∞}.

Definamos em lp e em l∞, respectivamente:

‖x‖p =

[ ∞∑n=1

|xn|p]1/p

‖x‖∞ = supn∈N{|xn|}.

Verifique que(lp, ‖ ‖p

)e(l∞, ‖ ‖∞

)são espaços vetoriais normados.

32. Sejam(E, ‖ ‖1

)e(F, ‖ ‖2

)espaços vetoriais normados. Definamos em E × F :

‖(u, v)‖ = ‖u‖1 + ‖v‖2,

onde (u, v) ∈ E×F . Verifique que ‖ ‖ é uma norma em E×F . Esta norma é ditanorma produto.

33. Sejam x =(xn)n∈N uma seqüência em R e considere lp e l∞ como no exercício

[31]:

34. Verifique se(lp, ‖ ‖p

)e(l∞, ‖ ‖∞

)são espaços vetoriais com produto interno.

35. Sejam V1 e V2 espaços vetoriais com produtos internos < , >1 e < , >2, respecti-vamente. Definamos em V1 × V2:

< (u1, v1), (u2, v2) >=< u1, u2 >1 + < v1, v2 >2,

onde (u1, v1), (u2, v2) ∈ V1 × V2. Verifique que < , > é um produto interno emV1 × V2.

Capítulo 2

FUNÇÕES EM ESPAÇOSTOPOLÓGICOS

2.1 Introdução

A continuidade de uma função é um dos conceitos centrais em quase todas as áreas daMatemática. E é o primeiro passo para tentar distinguir objetos diferentes em Topolo-gia.

2.2 Funções Contínuas

Sejam(X,T1

)e(Y,T2

)espaços topológicos.

Definição 2.1. A função f : X −→ Y é contínua se para todo V ∈ T2 temos que:

f−1(V)∈ T1.

Logo, f é contínua se a imagem inversa dos abertos de Y são abertos em X .

Observação 2.1. Uma função contínua não leva, necessariamente, abertos em abertos.Por exemplo se

(Y,T2

)é tal que T2 não é a topologia discreta, ou se Y tem mais de dois

elementos e T2 não é a topologia indiscreta.

Exemplo 2.1.

[1] Toda função constante é contínua. De fato, seja f : X −→ Y tal que f(x) = y0 paratodo x ∈ X e V ⊂ Y aberto, então:

f−1(V)

=

{X se y0 ∈ V∅ se y0 /∈ V.

45

46 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

Em ambos os casos f−1(V)

é aberto, logo f contínua.

[2] Seja X tal que T1 e T2 são topologias em X . A função identidade:

id :(X,T1

)−→

(X,T2

)é contínua se, e somente se T2 ⊂ T1.

De fato, considere X =(R,Tus

)e Y =

(R,Tlinf

), então:

id−1([a, b)

)= [a, b) /∈ Tus.

[3] Sejam(X,T

)e(Y,Tind

). Toda função

f : X −→ Y

é contínua.

[4] Sejam(X,Tdis

)e(Y,T

). Toda função

f : X −→ Y

é contínua.

Proposição 2.1. Seja Y ⊂ X . A topologia relativa TY pode ser caracterizada como amenor topologia sobre Y tal que a função inclusão:

i : Y −→ X

é contínua.

Prova: De fato, se U ∈ T, a continuidade de i implica em que i−1(U)

= U ∩ Y deve seraberto em Y ; logo qualquer topologia onde i for contínua deve conter TY .

Proposição 2.2. Sejam(X,T1

),(Y,T2

)e(Z,T3


1. Se f : X −→ Y e g : Y −→ Z são contínuas, então:

g ◦ f : X −→ Z

é contínua.

2.2. FUNÇÕES CONTÍNUAS 47

2. Se f : X −→ Y é contínua e A ⊂ X é subespaço topológico, então:

f |A : A −→ Y

é contínua.

3. Se f : X −→ Y é contínua e f(X)⊂ Y é subespaço topológico, então:

f : X −→ f(X)

é contínua.

Prova :

1. Segue do seguinte fato:(g ◦ f

)−1= f−1 ◦ g−1

2. Note que f |A = f ◦ i, onde i : A −→ X é a inclusão; pelo ítem anterior f |A écontínua.

3. f−1(V ∩ f

(X))

= f−1(V)∩ f−1

(f(X))

= f−1(V).

Teorema 2.1. Sejam(X,T1

)e(Y,T2

)espaços topológicos e f : X −→ Y . As seguintes

condições são equivalentes:

1. f é contínua.

2. Para todo F ⊂ Y fechado, f−1(F)

é fechado em X .

3. A imagem inversa por f de qualquer elemento da base (subbase) de Y é abertoem X (não necessariamente um aberto básico ou subbásico de X).

4. Para todo x ∈ X e para toda W vizinhança de f(x) em Y , existe U vizinhança dex em X tal que:

f(U)⊂ W.

5. f(A)⊂ f

(A), para todo A ⊂ X .


6. f−1(B)⊂ f−1

(B), para todo B ⊂ Y .

Prova :

1) ⇔ 2) De fato, f−1(Y − A

)= X − f−1

(A), para todo A ⊂ Y .

1) ⇔ 3) Seja B uma base da topologia de Y e B ∈ B; como f é contínua, f−1(B)

éaberto em X . A prova da recíproca segue de que todo aberto V ∈ T2 pode ser escritocomo:

V =⋃α∈Γ

Bα,

e que:

f−1( ⋃α∈Γ

Bα

)=⋃α∈Γ

f−1(Bα

).

1) ⇒ 4) Como f contínua e W é aberto (é vizinhança de f(x)), consideramos o con-junto U = f−1

(W)

que é vizinhança de x e:

f(U)⊂ W.

4) ⇒ 5) Seja A ⊂ X e x ∈ A; provaremos que f(x) ∈ f(A). Denotemos por Ux a

vizinhança de x tal que f(Ux)⊂ W , onde W é vizinhança de f(x). Se x ∈ A, então

Ux ∩ A 6= ∅; logo:

∅ 6= f(Ux ∩ A

)⊂ f

(Ux)∩ f(A)⊂ W ∩ f

(A);

então f(x) ∈ f(A).

5) ⇒ 6) Seja A = f−1(B); então:

f(A)⊂ f

(A)

= f(f−1(B))

= B ∩ f(X)⊂ B.

Logo, A ⊂ f−1(B)

6) ⇒ 2) Seja F ⊂ Y fechado, então:

f−1(F)⊂ f 1−(F) = f−1

(F).

Logo, f−1(F)

= f−1(F)

e f−1(F)

é fechado.

2.2. FUNÇÕES CONTÍNUAS 49

Observação 2.2. Pelo teorema, basta utilizar os abertos básicos da topologia para estu-dar a continuidade de uma função. A função f é dita contínua no ponto x0 ∈ X se oitem [4] do teorema anterior vale para x0.

Exemplo 2.2. Seja R com topologia usual. Verifique que f(x) = x2 é contínua.

Pela propiedade anterior, basta provar que f−1((a, b)

)é aberto.

Temos três casos:

1. Se 0 < a < b, então:

f−1((a, b)

)= (−

√b,−√a) ∪ (

√a,√b).

2. Se a < 0 < b, então:

f−1((a, b)

)= (−

√b,√b).

3. Se a < b < 0, então:

f−1((a, b)

)= ∅.

4. Nos três casos, os conjuntos f−1((a, b)

)são abertos; logo f é contínua.

O seguinte corolário é fundamental em diversas áreas e é conhecido como teorema decolagem.

Corolário 2.1. Seja(X,T

)tal que X = A ∪ B, onde A e B são conjuntos fechados

(abertos) emX . Se f : A −→ Y e g : B −→ Y são funções contínuas tais que f(x) = g(x)para todo x ∈ A ∩B, então a função h : X −→ Y definida por:

h(x) =

{f(x) se x ∈ Ag(x) se x ∈ B

é contínua.

Prova : Seja F ⊂ Y fechado; então:

h−1(F)

= h−1(F ) ∩

(A ∪B

)=(f−1(F)∩ A

)∪(g−1(F)∩B

)= f−1

(F)∪ g−1

(F).

Como f−1(F)

e g−1(F)

são fechados, então h contínua.


Exemplo 2.3.

Seja R com a topologia usual e

f(x) =

{x se 0 ≤ x ≤ 1

2− x se 1 ≤ x ≥ 2.

Logo, f é contínua.

Proposição 2.3. Seja(X,T

). Então f : X −→ R é contínua se, e somente se para todo

b ∈ R ambos os conjuntos:

{x / f(x) > b} e {x / f(x) < b}

são abertos.

Prova : Seja(R,Tus

). Consideramos (b,+∞) e (−∞, b) elementos da subbase da topo-

logia euclidiana; logo:

f−1((b,+∞)

)= {x / f(x) > b}

f−1((−∞, b)

)= {x / f(x) < b}.

Observação 2.3. A condição que ambos os conjuntos sejam abertos não pode ser ig-norada. Por exemplo, consideremos a função característica de A, χA : R −→ R não écontínua.

De fato, considere A = (0, 1); então {x /χA(x) < 1} não é aberto e todos {x /χA(x) > b}são abertos, Logo, na proposição ambos os conjuntos devem ser abertos.

2.3 Continuidade em Espaços Métricos

Sejam(M,d1

)e(M,d2

)espaços métricos; então:

f : M −→ N

é contínua em x ∈ M , se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que d1(x, y) < δ implica emque d2(f(x), f(y)) < ε. Isto é:

f(B1(x, δ)

)⊂ B2(f(x), ε).

2.3. CONTINUIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS 51

Proposição 2.4. Sejam (M,d) um espaço métrico, R com a topologia usual, y0 ∈ Me A ⊂ M . A função f : M −→ R definida por f(y) = d(y, A) é contínua. Veja aproposição 1.7.

Prova : Sejam x, y ∈M ; então, para cada a ∈ A temos d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a), logo:

d(x,A) = inf{d(x, a) / a ∈ A} ≤ d(x, y) + inf{d(y, a) / a ∈ A}≤ d(x, y) + d(y, A).

Então d(x,A) − d(y, A) ≤ d(x, y). Analogamente, mudando x por y e vice-versa, obte-mos:

|d(x,A)− d(y, A)| ≤ d(x, y).

Observações 2.1.

1. Sejam(V, ‖ ‖1

)e(W, ‖ ‖2

)espaços vetoriais normados de dimensão finita. Então,

toda aplicação linear f : V −→ W é contínua.

2. Sejam(M,d1

)e(M,d2

)espaços métricos; então:

f : M −→ N

é uniformemente contínua, se para todo x, y ∈ M e ε > 0, existe δ(ε) > 0 tal qued1(x, y) < δ(ε); implica em d2(f(x), f(y)) < ε.

3. Uniformemente contínua implica contínua. A reciproca é falsa, basta considerar:

f : (0,+∞) −→ (0,+∞)

definida por f(x) = 1/x é contínua e não uniformemente contínua.

4. A função f(y) = d(y, A) é uniformemente contínua.

5. Sejam(V, ‖ ‖1

)e(W, ‖ ‖2

)espaços vetoriais normados de dimensão finita. Toda

aplicação linear f : V −→ W é uniformemente contínua.


2.4 Topologia Inicial

Sejam(Y,T2

), X um conjunto não vazio e f : X −→ Y uma função. É possível achar

uma topologia para X tal que f seja contínua? Por exemplo se(X,Tdis

), então f é

contínua.

Seja X um conjunto não vazio e:

Sf = {f−1(V)/ V ∈ T2}.

Sf é uma subbase para uma topologia T(f) sobre X que torna f contínua.

Definição 2.2. T(f) é dita topologia inicial para f .

2.5 Topologia Produto

Sejam(X,T1

),(Y,T2

)e X × Y . Denotemos por:

pr1 : X × Y −→ X

pr2 : X × Y −→ Y

as respectivas projeções canônicas, onde pr1(x, y) = x e pr2(x, y) = y.

pr−11

(U)

= U × Y,pr−1

2

(V)

= X × V,pr−1

1

(U)∩ pr−1

2

(V)

= U × V.

Note que:

Spr = {pr−11

(U), pr−1

2

(V)/U ∈ T1, V ∈ T2} e

Bpr = {U × V /U ∈ T1, V ∈ T2}

são a subbase e a base que geram uma topologia sobre X × Y , que torna as projeçõescontínuas. Esta topologia é dita topologia produto.

Esta é a menor topologia com esta propriedade. Isto é, W ⊂ X × Y é aberto se paratodo x ∈ W existe U × V , U aberto em X e V aberto em Y tal que x ∈ U × V ⊂ W .

2.5. TOPOLOGIA PRODUTO 53

U

X x V

U x Y

U x VV

Figura 2.1: Elementos de S e B

Observação 2.4. Todos os argumentos desta seção são válidos para uma quantidadefinita de espaços topológicos.

Exemplo 2.4.

[1] Rn = R × R × . . . × R tem a topologia produto induzida pela topologia de R. Seconsideramos em R a topologia usual, então a topologia em Rn também é a topologiaeuclidiana ou usual.

[2] Sn ⊂ Rn+1 é um conjunto fechado. De fato, seja Rn com topologia usual e conside-remos a função f : Rn+1 −→ R definida por:

f(x1, x2, . . . , xn, xn+1) = x21 + x2

2 + . . .+ x2n + x2

n+1 − 1.

f é contínua e Sn = f−1({0}); logo, Sn é fechado.

[3] O cilindro S1 × R tem a topologia produto induzida pela topologia de R3.

[4] Seja S1 com a topologia induzida deR2; então T 2 = S1×S1 com a topologia produto,é dito toro.

Figura 2.2: O toro T 2 = S1 × S1



),(Y,T2

),(Z,T3

)espaços topológicos, o espaço topoló-

gico produto(Y × Z,Tp

), f1 : X −→ Y e f2 : X −→ Z e definamos:

f : X −→ Y × Z

por f(x) = (f1(x), f2(x)). Então, f é contínua se, e somente se f1 e f2 são contínuas.

Prova : Sejam pr1 : Y × Z −→ Y e pr2 : Y × Z −→ Z as respectivas projeções. Comofi = pri ◦ f , se f é contínua, então fi = pri ◦ f são contínuas (i = 1, 2).

Reciprocamente, se as fi são contínuas, seja U × V um aberto básico de Y × Z; então:

f−1(U × V

)= f−1

1

(U)∩ f−1

2

(V);

logo, f é contínua.


),(Y,T2

),(Z,T3

),(H,T4

)espaços topológicos,

(X ×

Y,Tp),(Z × H,Tp

)espaços topológicos produto, f1 : X −→ Z e f2 : Y −→ H . De-

finamos:

f1 × f2 : X × Y −→ Z ×H

por (f1 × f2)(x, y) = (f1(x), f2(y)). Se f1 e f2 são contínuas, então f1 × f2 é contínua.

Prova : Sejam pr1 : X × Y −→ X e pr2 : X × Y −→ Y as respectivas projeções. Como:

f1 ◦ pr1 : X × Y −→ Z

f2 ◦ pr2 : X × Y −→ H

são contínuas, então f1 × f2 é contínua.


)um espaço topológico e

(E, ‖ ‖

)um R-espaço vetorial

normado. Como E possui uma estrutura algébrica, dadas f, g : X −→ E podemosdefinir a nova função:

f + g :X −→ E

x −→(f + g

)(x) = f(x) + g(x).

Se f e g são contínuas, então f + g é contínua.

Prova : Sejam h : X −→ E × E tal que h(x) = (f(x), g(x)) e S : E × E −→ E tal queS(v1, v2) = v1 + v2; a função S é contínua. Então f + g = S ◦ h, é contínua.

2.6. FUNÇÕES ABERTAS E FECHADAS 55

Proposição 2.8. Sejam f : X −→ E e α : X −→ R e definamos a nova função:

α f :X −→ E

x −→(α f)(x) = α(x) f(x)).

Se f e α são contínuas, então α f é contínua.

Prova : Sejam h : X −→ R × E tal que h(x) = (α(x), f(x)) e m : R × E −→ E tal quem(λ, v) = λ v; a função m é contínua. Então α f = m ◦ h, é contínua.

Observação 2.5. A prova de que S e m são contínuas segue do fato de serem ambascontrações. Veja [EL2].

2.6 Funções Abertas e Fechadas

Sejam(X,T1

)e(Y,T2


Definição 2.3. A função:

f : X −→ Y,

é aberta (fechada) se para todo U aberto (fechado) em X , temos que f(U)

é aberto(fechado) em Y .

Observamos que se f for aberta, não necessariamente f é contínua. Veja os seguintesexemplos.

Exemplo 2.5.

[1] A função identidade:

id :(X,T1

)−→

(X,T2

)é aberta (fechada) se, e somente se T1 ⊂ T2, mas não é contínua quando T1 6= T2.

[2] As projeções de um espaço produto são abertas.

[3] As projeções não são fechadas. Por exemplo, seja R com a topologia usual e consi-dere as projeções pri : R2 −→ R, (i = 1, 2) e o conjunto:

H = {(x, y) ∈ R2 / x y = 1}.


Figura 2.3: H e a projeção R− {0}

H é fechado em R2 e pri(H) = R− {0}, que é aberto.

[4] Se X = {a, b} com a topologia discreta, então f : X −→ R definida por f(a) = 0 ef(b) = 1 é contínua, fechada e não aberta.

Seja f : X −→ Y bijetiva. Então f é aberta se, e somente se f é fechada. De fato. SejaU ⊂ X aberto; logo U c = F é fechado e

f(F ) = f(X − U) = Y − f(U);

logo, f é fechada.

Proposição 2.9. Seja f : X −→ Y . São equivalentes as condições:

1. f é aberta.

2. f(◦A) ⊂

◦(̂f(A)

), para todo A ⊂ X .

3. f leva abertos básicos de X em abertos básicos de Y

4. Para todo x ∈ X e toda U ⊂ X vizinhança de x, existe W ⊂ Y tal que:

f(x) ∈ W ⊂ f(U).

Prova :

1) ⇒ 2)◦A ⊂ A; então f(

◦A) ⊂ f(A); por outro lado f(

◦A) é aberto e

◦(̂f(A)

)é o maior

aberto contido em f(A); logo f(◦A) ⊂

◦(̂f(A)

).

2) ⇒ 3) Seja U aberto básico de X ;◦U = U ; então:

2.6. FUNÇÕES ABERTAS E FECHADAS 57

f(U) = f(◦U) ⊂

◦(̂f(A)

)⊂ f(U);

logo, f(U) é aberto básico.

3) ⇒ 4) Para cada x ∈ X , seja U vizinhança de x; existe V aberto básico tal quex ∈ V ⊂ U . Considere W = f(V ).

4) ⇒ 1) Seja U ⊂ X aberto; para todo y ∈ f(U) existe vizinhança Wy de y tal queWy ⊂ f(U); logo:

f(U) =⋃

y∈f(U)

Wy;

então, f é aberta.

Proposição 2.10. f : X −→ Y é fechada se, e somente se f(A) ⊂ f(A).

Prova : Se f é fechada, então f(A) é fechado e f(A) ⊂ f(A), logo:

f(A) ⊂ f(A) = f(A).

Reciprocamente, seja F ⊂ X fechado; logo:

f(F ) ⊂ f(F ) ⊂ f(F ) = f(F );

então, f(F ) = f(F ) e f(F ) é fechado.


2.7 Exercícios

1. Sejam I ,X , Y , Z,A, Aα ∈ A eB, Bα ∈ Y , α ∈ I conjuntos não vazios. Denotemospor f : X −→ Y e g : Y −→ Z funções. Verifique que:

(a) f( ⋃α∈I

Aα)

=⋃α∈I

f(Aα).

(b) f( ⋂α∈I

Aα)⊆⋂α∈I

f(Aα).

(c) f−1( ⋃α∈I

Aα)

=⋃α∈I

f−1(Aα).

(d) f−1( ⋂α∈I

Aα)

=⋂α∈I

f−1(Aα).

(e) f−1(Bc)

=[f−1(B)]c.

2. Sejam X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {a, b} com as seguintes topologias:

(a) T1 = {∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}} e T2 = {∅, Y, {a}}, respectivamente. Achetodas as funções contínuas entre X e Y .

(b) T1 = {∅, X, {2}, {3, 4}, {2, 3, 4}} e T2 = {∅, Y, {b}}, respectivamente. Achetodas as funções contínuas entre Y e X .

3. Seja X = {1/n / n ∈ N} ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R.A função:

f :X −→(R,Tus

)1/n −→ (−1)n n

é contínua?

4. Seja R com a topologia usual, as funçõs definidas por:

(a) f(x) =

{x2 se x ≤ 0

x3 se x ≤ 0

(b) f(x) =

{x2 + 4 se −4 ≤ x ≤ 0

x− 3 se 0 ≤ x ≤ 4

2.7. EXERCÍCIOS 59

são contínuas?

5. Verifique que a função f(y) = d(y, A) é uniformemente contínua.

6. Sejam X , Y espaços topológicos, A, B ⊂ X conjuntos fechados tais que X =A ∪B, f : A −→ Y e g : B −→ Y funçãoes contínuas. Se f |A∩B = g|A∩B, verifiqueque:

h(x) =

{f(x) se x ∈ Ag(x) se x ∈ B

é contínua.

7. Sejam(X,T1

),(Y,T2

),(Z,T3

)espaços topológicos e considere as funçõesf :

X −→ Y e f : Y −→ Z:

(a) Se f e g são abertas (fechadas), enão g ◦ f é aberta (fechada).

(b) Se g ◦ f é aberta (fechada) e f é contínua e sobrejetiva, então g é aberta(fechada)?

(c) Se g◦f é aberta (fechada) e g é contínua e injetiva, então f é aberta (fechada)?

8. Sejam(X,T1

),(Y,T2

)espaços topológicos. Prove que f é aberta se, e somente se

f−1(∂B)⊂ ∂f−1

(B), para todo B ⊂ Y .

9. Verifique que são equivalentes:

(a) f é fechada.

(b) Se U ∈ T1, então {y ∈ Y / f−1(y) ⊂ U} ∈ T2.

(c) Se F ⊂ X é fechado, então {y ∈ Y / f−1(y) ∩ F 6= ∅} é fechado em Y .

10. Toda função f :(R,Tcof

)−→

(R,Tus

)é fechada? Justifique sua resposta.

11. Toda função f :(R,Tcof

)−→

(R,Tcof

)é aberta e fechada? Justifique sua res-

posta.

12. Seja X = {1, 2, 3, 4} com a topologia de base

{∅, {1}, {4}, {1, 2}, {1, 3}}.

Determine todas as funções abertas e contínuas de X em X .


13. Sejam X , Y espaços topológicos e f : X −→ Y injetiva. Verifique que são equiva-lêntes:

(a) f−1 é contínua.

(b) f é aberta.

(c) f é fechada.

14. Sejam X um espaço topológico, R com a topologia usual, A ⊂ X e definamos afunção χA : A −→ R chamada característica de A por:

χA(x) =

{1 se a ∈ A0 se a /∈ A

Verifique que χA é contínua se, e somente se A é aberto e fechado em X .

15. Seja R com a topologia usual e denotemos por Ra o conjunto R com a topologia:

{∅, R} ∪ {(−a, a) / a ∈ R, a > 1}.

(a) Verifique que f : R −→ Ra tal que f(x) = x2 é contínua.

(b) f : Ra −→ R tal que f(x) = x2 é contínua?

16. Seja M(n,R) com a topologia usual, defina T : M(n,R) −→ M(n,R) por T (A) =At, onde At é a matriz transposta de A. Verifique que T é contínua.

17. Sejam Rn e M(n,R) com a topologia usual, definamos a seguinte função F :M(n,R) × Rn −→ Rn definida por F (A, x) = Ax, considerando x como umamatriz n× 1. Verifique que F é contínua.

18. Sejam M , N espaços métricos e K ⊂M um conjunto fechado e limitado, denote-mos por C(M,N) = {f : M −→ N /f contínua}, se V ⊂ N é aberto:

U(K,V ) = {h ∈ C(M,N) / h(K) ⊂ V }.

(a) Verifique que U(K,V ) é uma subbase para uma topologia em C(M,N).

(b) Estude o caso M = N = R com a métrica usual..

Capítulo 3

HOMEOMORFISMOS

3.1 Introdução

Um dos problemas centrais em Topologia é poder decidir se dois espaços são diferentesou não.Por exemplo, não é trivial dizer sob o ponto de vista da Topologia se uma esfera édiferente de um cilindro, se uma esfera é diferente de um toro ou se Rn é diferente deRm, se n 6= m.

Neste capítulo começaremos com os primeiros conceitos que nos permitirão respondera algumas destas questões fundamentais.

3.2 Homeomorfismos

Sejam X e Y espaços topológicos.

Definição 3.1. f : X −→ Y é um homeomorfismo se f é bijetiva, contínua e f−1 écontínua.

Notação: Se X e Y são homeomorfos utilizamos a seguinte notação:

X ∼= Y.

Observações 3.1.

1. A composta de homeomorfismos é um homeomorfismo. Ser homeomorfo é umarelação de equivalência na família dos espaços topológicos.

61

62 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS

2. Veremos nos próximos parágrafos que os espaços topológicos homeomorfos po-ssuem as mesmas propriedades topológicas. Isto é, se consideramos as classes deequivalência, teremos que espaços homeomorfos são essencialmente iguais emtopologia.

3. Uma função bijetiva e contínua não é necessariamente um homeomorfismo. Vejao seguinte exemplo.

Exemplo 3.1. Sejam S1 ⊂ R2 e [0, 2 π) ⊂ R com as respectivas topologias induzidaspelas topologias usuais. Definamos:

f : [0,2π) −→ S1

t −→ (cos(t), sen(t)).

f é contínua e bijetiva. Por outro lado,

f−1 : S1 −→ [0, 2π)

é descontínua em p = (1, 0).

De fato: Seja ε = π; para cada n ∈ N, seja tn = 2π − 1

n∈ [0, 2 π) e zn = f(tn), logo

‖zn − p‖ <1

n, pois o arco tn é maior que a corda.

t

zn

np

Figura 3.1:

Então f−1(zn) = tn e:

|f−1(zn)− f−1(p)| = |tn| = 2π − 1

n> π = ε,

para todo n ∈ N. Logo, f é uma bijeção contínua que não é um homeomorfismo.

3.2. HOMEOMORFISMOS 63

A seguir apresentaremos os primeiros exemplos de homeomorfismos. Alguns detalhesserão deixados para o leitor.

Exemplo 3.2.

[1] Seja R com a topologia usual. Então, todo intervalo aberto (a, b), com a topologiainduzida pela topologia usual de R, é homeomorfo a R.

De fato:

1. Seja f : (a, b) −→ (−1, 1) definida por:

f(t) =2 t− (b+ a)

b− a,

f é bijetiva, contínua e sua inversa:

f−1(y) =(b− a) y + (a+ b)

2,

também é contínua.

2. Logo, (a, b) ∼= (−1, 1).

3. Definamos f : R −→ (−1, 1) por:

f(t) =t

1 + |t|,

f é bijetiva, contínua e sua inversa:

f−1(y) =y

1− |y|,

também é contínua.

4. Logo, R ∼= (−1, 1). Pela transitividade do homeomorfismo, temos que:

R ∼= (a, b).


[2] Seja Rn com a topologia usual e H = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn / xn = 0} ⊂ Rn. Então

H ∼= Rn−1.

Definamos f : H −→ Rn−1 por f(x1, x2, . . . , xn−1, 0) = (x1, x2, . . . , xn−1). Então, f écontínua e bijetiva.

Definamos f−1 : Rn−1 −→ H por

f−1(x1, x2, . . . , xn−1) = (x1, x2, . . . , xn−1, 0).

Então, f−1 é contínua. Logo:

H ∼= Rn−1.

[3] Seja(E, ‖ ‖

)um espaço vetorial normado; então:

1. As translações :

Ta : E −→ E

v −→ v + a

a ∈ E, são homeomorfismos.

2. As homotetias:

hλ : E −→ E

v −→ λ v

λ ∈ R− {0}, são homeomorfismos.

3. Para todo r > 0 e todo v ∈ E:

E ∼= B(v, r).

De fato:

1. Ta são bijetivas, contínuas e as inversas T−1a = T−a, que são contínuas.


2. hλ são bijetivas, contínuas e as inversas h−1λ = hλ−1 , que são contínuas.

3. Definimos o homeomorfismo Φ : E −→ E por:

Φ(x) =(Tw ◦ hs/r ◦ T−v

)(x) = s/r (x− v) + w.

Note que Φ(v) = w e Φ∣∣B(v,r)

é um homeomorfismo tal que Φ(B(v, r)

)= B(w, s).

Então:

B(v, r) ∼= B(w, s)

para todo v, w ∈ E e r, s > 0.

4. Agora definamos f : E −→ B(v, 1) por:

f(u) =u

1 + ‖u‖

que é contínua e bijetiva com inversa contínua:

f−1(w) =w

1− ‖w‖;

logo, f é um homeomorfismo.

5. Pela transitividade do homeomorfismo, temos que:

E ∼= B(v, r).

[3] Sejam R2n e Cn ambos com a topologia usual. Então:

R2n ∼= Cn,

para todo n ≥ 1.

Se z ∈ C, z = x + i y, onde x, y ∈ R. Por outro lado, Cn = C × C × . . . × C (n-vezes) eR2n = R× R× . . .× R (2n-vezes). Definamos:

f :C× C× . . .× C −→ R× R× . . .× R× R(z1, z2, . . . , zn) −→ (x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn).


f é, claramente, um homeomorfismo. Logo:

Cn ∼= R2n.

Teorema 3.1. Seja f : X −→ Y bijetiva. São equivalentes as condições:

1. f homeomorfismo.

2. f é contínua e aberta.

3. f é contínua e fechada.

4. f(A) = f(A), para todo A ⊂ X .

Prova :1) ⇔ 2) f−1 é contínua se, e somente se para todo aberto U ⊂ X :(

f−1(U))−1

= f(U)

é aberto em Y .

2) ⇔ 3) Segue do parágrafo anterior.

3) ⇔ 4) Como f é contínua, f(A) ⊂ f(A); como f é fechada, f(A) ⊂ f(A).

Corolário 3.1. Seja f : X −→ Y . O gráfico de f é definido por:

G(f) = {(x, f(x)) / x ∈ X} ⊂ X × Y.

Considere G(f) com a topologia induzida pela topologia produto. Então f é contínuase, e somente se X ∼= G(f).

Prova : De fato, definamos h : X −→ X × Y por h(x) = (x, f(x)) que é contínua; entãoh : X −→ G(f) é bijetiva e contínua. Por outro lado, se U ⊂ X é aberto:

h(U) = {(x, f(x)) / x ∈ U} =(U × Y

)∩G(f),

que um aberto relativo. Reciprocamente, f = pr2 ◦ h.

Corolário 3.2. Sejam f : X −→ Y homeomorfismo e A ⊂ X ; então:

1. A ∼= f(A).

2. X − A ∼= Y − f(A).

Prova: Imediata.

3.3. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 67

3.3 Exemplos de Homeomorfismos

[1] Seja R2 com a topologia induzida e A ⊂ R2 definido por:

A = {(x, y) ∈ R2 / 0 < a ≤√x2 + y2 ≤ b}.

A é um anel; então:

A ∼= S1 × [a, b].

Figura 3.2: O anel A

Definamos f : A −→ S1 × [a, b] e f−1 : S1 × [a, b] −→ A por:

f(x, y) =((

x√x2 + y2

,y√

x2 + y2),√x2 + y2

)e f−1((x, y), t) = (t x, t y),

claramente f e f−1 são bijetivas e contínuas; logo f é um homeomorfismo.

[2] Sejam S1 e o quadrado Q = {(x, y) / max{|x|, |y|} = 1} em R2 com a topologiainduzida pela topologia usual de R2; então:

S1 ∼= Q.


d c

z w

u vba

Figura 3.3: Homeomorfismo entre S1 e Q

Definamos f : S1 −→ Q levando o arco ab de S1 no segmento uv de Q, o arco bc e S1 nosegmento vw de Q, o arco cd e S1 no segmento wz de Q e o arco da e S1 no segmentozu de Q, isto é:

f(x, y) =( xm,y

m

)e f−1(x, y) =

(xr,y

r

),

onde m = max{|x|, |y|} e r =√x2 + y2; claramente f e f−1 são bijetivas e contínuas;

logo f é um homeomorfismo.

De forma análoga, temos que:

S2 ∼= C,

onde S2 ⊂ R3 e C = {(x, y, z) / max{|x|, |y|, |z|} = 1} é o cubo unitário.

Figura 3.4: Homeomorfismo entre S2 e C

[3] Consideremos Sn ⊂ Rn+1 e o conjunto

E = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 / a21 x

21 + . . . a2

n+1 x2n+1 = 1} ⊂ Rn+1,


onde ai ∈ R−{0}, ambos com topologia induzida pela topologia usual de Rn+1. Então:

Sn ∼= E.

E

nS

Figura 3.5: Homeomorfismo radial entre S2 e E

Seja f : Sn −→ E definida por:

f(x1, . . . , xn+1) =(x1

a1

, . . . ,xn+1

an+1

).

f é bem definida, bijetiva e contínua. Definamos f−1 : E −→ Sn por:

f−1(x1, . . . , xn+1) =(a1 x1, . . . , an+1 xn+1

).

f−1 é bem definida e contínua. Logo, Sn é homeomorfo a E. Então, Sn e E são topolo-gicamente "iguais".

Figura 3.6: Espaços homeomorfos a S2


[4] Consideremos R2 − {(0, 0)} ⊂ R2 com topologia induzida pela topologia usual deR2 e os conjuntos:

H = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y2 − z2 = 1}, e S1 × R,

com topologia induzida pela topologia usual de R3. Então:

R2 − {(0, 0)} ∼= H ∼= S1 × R.

1. Seja f : R2 − {(0, 0) −→ S1 × R definida por:

f(x, y) =( x√

x2 + y2,

y√x2 + y2

, ln(√x2 + y2)

).

f é bem definida, bijetiva e contínua.

2. Definamos f−1 : S1 × R −→ R2 − {(0, 0) por:

f−1(x, y, t) =(x et, y et

).

f−1 é bem definida, contínua e inversa de f .

3. Logo:

R2 − {(0, 0)} ∼= S1 × R.

4. Por outro lado, definamos h : S1 × R −→ H por:

h(x, y, t) =(x√

1 + t2, y√

1 + t2, t).

h é bem definida, bijetiva e contínua.

5. Definamos h−1 : H −→ S1 × R por:

h−1(x, y, z) =( x√

1 + z2,

y√1 + z2

, z).

h−1 é bem definida e contínua.


6. Logo:

H ∼= S1 × R.

Figura 3.7: H e S1 × R

[5] Seja Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de Rn+1. Conside-remos Rn+1 ∼= Rn × R; então (x, t) ∈ Sn se, e somente se ‖x‖ = 1 − t2 . Denotemospor:

Sn− = {(x, t) ∈ Sn / t ≤ 0} e Sn+ = {(x, t) ∈ Sn / 0 ≤ t}.

Os conjuntos Sn− e Sn+ são ditos hemisférios de Sn. Note que

Sn = Sn− ∪ Sn+ e Sn− ∩ Sn+ = E.

O conjunto E é chamado equador de Sn; é claro que:

E ∼= Sn−1.

Isto é, podemos considerar Sn−1 como o equador de Sn.


Figura 3.8: Sn−1 como equador de Sn

Consideremos a projeção:

p : Rn × R −→ Rn

(x, t) −→ x.

Se (x, t) ∈ Sn, ‖(x, t)‖ = 1, logo ‖p(x, t)‖ ≤ 1; então p(Sn) ⊂ B[x, 1] ⊂ Rn. Via projeção,temos que

Sn−∼= B[x, 1] ∼= Sn+.

De fato, a função:

q : B[x, 1] −→ Sn+

x −→ (x,√

1− ‖x‖2)

é bem definida, contínua bijetiva e com inversa contínua p∣∣Sn+

.


Figura 3.9: Sn−, B[x, 1] e Sn+

[6] Projeção Estereográfica: Seja Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologiausual de Rn+1 e p = (0, 0, . . . , 0, 1), então:

Sn − {p} ∼= Rn.

De fato. Seja Φ : Sn − {p} −→ Rn definida da seguinte forma, dado x ∈ Sn − {p};considere a semi-reta px ∈ Rn+1; então Φ(x) = y, onde y é a interseção de px com osemi-plano definido por xn+1 = 0, homeomorfo a Rn:

{px = p+ t (x− p), t ∈ [0, 1]

xn+1 = 0,

logo, 1 + t (xn+1 − 1) = 0 e t =1

1− xn+1

; então:

Φ(x) =1

1− xn+1

(x1, x2, . . . , xn).


p

x

z

Φ ( )x

Φ ( )z

Figura 3.10: Definição de Φ

Φ é bijetiva e contínua e:

Φ−1(y) =( 2 y1

1 + ‖y‖2, . . . ,

2 yn1 + ‖y‖2

,‖y‖2 − 1

1 + ‖y‖2

);

‖Φ−1(y)‖2 = 1 e Φ−1 é contínua.

3.4 Grupos de Matrizes

Da Álgebra Linear sabemos que o conjunto formado pelas matrizes de ordem n ×m,tendo como entradas elementos de K = R ou C, é um K-espaço vetorial. FixemosK = R; o caso complexo é análogo. Denotemos este espaço vetorial por:

Mn×m(R).

Seja A = (aij) ∈Mn×m(R). Definamos:

Ψ : Mn×m(R)−→ Rn×m

A −→ (a11, a12, . . . , a1n, . . . , am1, . . . , amn).

Ψ é claramente um isomorfismo de espaços vetoriais. Via o isomorfismo Ψ, o espaçoMn×m

(R)

herda toda a estrutura linear e topológica de Rn×m. Utilizaremos a métricausual de Rn×m para introduzir uma topologia em Mn×m

(R).

De fato, dada A = (aij) ∈Mn×m(R), definamos:

‖A‖1 = ‖Ψ(A)‖ =

[ n∑i,j=1

a2ij

]1/2

.

3.4. GRUPOS DE MATRIZES 75

‖ ‖1 é uma norma em Mn×m(R)

que o torna um espaço vetorial normado. Logo, umespaço topológico. Note que ‖A‖1 =

√AAt, onde At é a matriz transposta de A. É

imediato que Ψ é bijetiva, contínua com inversa contínua. Logo:

Mn×m(R) ∼= Rn×m.

Denotemos por Mn

(R)

= Mn×n(R); então:

Mn

(R) ∼= Rn2

.

Seja R com a topologia usual. A função:

det : Mn

(R)−→ R,

definida indutivamente:

1. Se n = 1, det((a11)) = a11.

2. Se n > 1, seja A = (aij) e:

det(A) =n∑i=1

(−1)i+1 ai1 det(A[i,1]),

onde 1 ≤ i, j ≤ n e A[i,j] é a matriz (n − 1) × (n − 1), que se obtem omitindo ai-ésima linha e a j-ésima coluna de A.

A função det é multilinear, logo contínua.

Seja Gl(n,R) o conjunto das matrizes invertíveis de ordem n. Gl(n,R) é aberto emMn

(R). De fato:

Gl(n,R) = det−1({0}c).

Gl(n,R) é também um grupo, chamado grupo linear geral real.

Denotemos por O(n) ⊂ Gl(n,R), definido por:

A ∈ O(n) ⇔ AAt = I,

onde I é matriz identidade. Logo, A ∈ O(n) ⇔ det(A) = ±1. O(n) é um grupo,chamado ortogonal.

Denotemos por SO(n) ⊂ O(n) definido por:

A ∈ SO(n) ⇔ det(A) = 1.


SO(n) é um grupo, chamado ortogonal especial. O(n) e SO(n) são fechados emMn

(R).

De fato:

SO(n) = det−1({1})O(n) = det−1({−1, 1}).

O(n) é isomorfo a SO(n)× {−1, 1}. De fato:

f :O(n) −→ SO(n)× {−1, 1}A −→ (A/det(A), det(A)).

f é um isomorfismo de grupos.

Seja K = C, denotemos por C∗ = C− {0}. De forma análoga ao caso real, definimos:

Gl(n,C) = det−1(C∗)

U(n) = {A ∈ Gl(n,C) /A∗A = I}SU(n) = det−1({1}).

De forma análoga, os grupos Gl(n,C), U(n) e SU(n) são ditos, linear complexo, unitá-rio e especial unitário, respectivamente.

U(n) é isomorfo a SU(n)× S1. De fato:

f :U(n) −→ SU(n)× S1

A −→ (A/det(A), det(A)).

f é um isomorfismo de grupos.

3.5 Homeomorfismos Locais

Definição 3.2. Seja f : X −→ Y . f é dito homeomorfismo local se para todo x ∈ Xexiste U ⊂ X vizinhança de x tal que f(U) = V é aberto em Y e f : U −→ V é umhomeomorfismo.

Sejam U ⊂ X , V ⊂ Y abertos e f : U −→ V um homeomorfismo; então para todoaberto U ′ ⊂ U , temos que f(U ′) é aberto em V , logo é aberto em Y .

Proposição 3.1. Se f : X −→ Y é um homeomorfismo local, então f é aberta.

Prova : Seja A ⊂ X aberto; para cada x ∈ A existe Ux ⊂ A vizinhança de x tal que:

3.5. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 77

f : Ux −→ Vx,

onde f(Ux) = Vx. Seja U ′x = Ux ∩ A. Pela observação anterior f(U ′x) é aberto em Y .Como:

A =⋃x∈A

U ′x

f(A) = f( ⋃x∈A

U ′x)

=⋃x∈A

f(U ′x)

que é aberto em Y . Logo, f é aberta.

Observação 3.1. Homeomorfismo implica homeomorfismo local. A recíproca é falsa.

Exemplo 3.3. Seja R com a topologia usual e S1 ⊂ C com a topologia induzida pelatopologia usual de C. Então:

f :R −→ S1

x −→ e2πix

é um homeomorfismo local.

1. Consideremos os seguintes subconjuntos do círculo: S1 = {(x, y) ∈ S1 / y > 0},S2 = {(x, y) ∈ S1 / y < 0}, S3 = {(x, y) ∈ S1 / x > 0} e S4 = {(x, y) ∈ S1 / x < 0}.

S1

S2

S3

S4

Figura 3.11:

2. Consideremos os seguintes sub-intervalos: I1 = (n, n+ 1/2), I2 = (n− 1/2, n),I3 = (n− 1/4, n+ 1/4) e I4 = (n+ 1/4, n+ 3/4), n ∈ Z.


3. Definamos: p1 : S1 −→ (−1, 1) por p1(x, y) = x.

4. A função p1 é um homeomorfismo. De fato, p1 possui a seguinte inversa contínuaq1(t) = (t,

√1− t2).

5. Denotemos por fi = f |Ii . Consideremos:

p1 ◦ f1 : I1 −→ (−1, 1).

Como e2πix = (cos(2πx), sen(2πx)), então(p1◦f1

)(x) = cos(2πx). Logo, pelas propieda-

des básicas de Trigonometria p1 ◦ f1 é um homeomorfismo:

1 1.5

-1

1

Figura 3.12: Homeomorfismo p1 ◦ f

6. Logo, p−11 ◦

(p1 ◦ f1

): I1 −→ S1 é um homeomorfismo e f1 = p−1

1 ◦(p1 ◦ f1

)é um

homeomorfismo.

7. Definamos: p2 : S2 −→ (−1, 1) por p2(x, y) = y.

8. A função p2 é um homeomorfismo. De fato, p2 possui a seguinte inversa contínuaq2(t) = (t,−

√1− t2).

9. De forma análoga, p−12 ◦

(p2◦f2

): I2 −→ S2 é um homeomorfismo e f2 = p−1

2 ◦(p2◦f2

)é um homeomorfismo.

10. De forma análoga as anteriores, verifica-se que I3∼= S3 e I4

∼= S4.

11. Como intervalos destes tipos cobrem R. Por exemplo:

R =⋃n∈Z

(n, n+ 1/2).

Então, f é um homeomorfismo local.

Observação 3.2. Este exemplo mostra (por que?) que, em geral, um homeomorfismolocal não é homeomorfismo. Em particular, f é uma função aberta (não fechada).

3.5. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 79

Exemplo 3.4. De forma totalmente análoga:

f :R2 −→ S1 × R(x, y) −→ (e2πix, y)

e:

f :R2 −→ S1 × S1

(x, y) −→ (e2πix, e2πiy)

são homeomorfismos locais.


3.6 Exercícios

1. Considere o conjunto X = {a, b, c, d} com a topologia:

T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}}

e Y = {α, β, γ, δ}, defina uma topologia em Y tal que X e Y sejam homeomorfos.

2. Sejam X × {y} e {x} × Y ⊂ X × Y . Verifique que para todo y ∈ Y e para todox ∈ X , temos:

X × {y} ∼= X e {x} × Y ∼= Y.

Em particular, Rn ∼= Rn × {0} ⊂ Rn+1.

3. Verifique que(R,Tus

)não é homeomorfo a

(R,Tcof

).

4. Sejam(M,d1

)e(M,d2

)espaços métricos. Dizemos que as métricas d1 e d2 são

equivalentes se id :(M,Td1

)−→

(M,Td2

)é um homeomorfismo.

(a) Verifique que se M = Rn, então d1, d2 e d3 definidas anteriormente são equi-valentes.

(b) Seja M = R2, d1, d2 e d3. Utilizando as bolas, de uma explicação geométricada equivalência destas métricas.

5. Verifique que [0, 1] e [0, 1) não são homomorfos provando que não existe funçãof : [0, 1] −→ [0, 1) contínua e sobrejetiva.

6. Sejam(M,d1

)e(M,d2

)espaços métricos. Verifique se a seguinte afirmação é

verdadeira ou false: f : M1 −→ M2 é uma isometria se, e somente se f é umhomemorfismo.

7. Verifique que as isometrias são homeomorfismos.

8. N e Q com a topologia induzida pela topologia usual de R, são homeomorfos?

9. ConsiderandoR2 com a topologia usual, verifique se os seguintes subespaços sãohomeomorfos:

(a) [0, 2] e [0, 1] ∪ [2, 3]

3.6. EXERCÍCIOS 81

(b) {(x, y) ∈ R2 / x, y ≥ 0} e {(x, y) ∈ R2 / y ≥ 0}.

(c) {(x, y) ∈ R2 / x2 = y} e {(x, y) ∈ R2 / y = x2}.

(d) {(x, y) ∈ R2 / x3 = y} e {(x, y) ∈ R2 / y = x2}.

10. Verifique que com as topologias usuais os conjuntos R2 − {(0, 0)} e {(x, y) ∈R2 / x2 + y2 > 1} são homeomorfos.

11. Verifique que com as topologias usuaisR3−S1 eR3−{(1, 1, 1)} são homeomorfos.

12. Sejam R com a toplogia usual, f, g : R −→ R funções contínuas tais que f(x) <g(x), para todo x ∈ R. Verifique que os conjuntos {(x, y) ∈ R2 / f(x) ≤ y ≤ g(x)}e {(x, y) ∈ R2 / y ∈ [0, 1]} são homeomorfos.

13. Seja(X,T1

)um espaço topológico e denotemos por:

G(X) = {f : X −→ X /f é homeomorfismo}.

Verifique que:

(a) G(X) é um grupo com a composta de funções,

(b) Se X = [0, 1] e Y = (0, 1) com a topologia induzida pela usual de R, defina:

ψ :G(X) −→ G(Y )

f −→ f∣∣Y

ψ é um isomorfismo de grupos? (Note que X e Y não são homeomorfos)

14. G(X) é abeliano? Caso a resposta seja negativa, quando é abeliano?


Capítulo 4

TOPOLOGIA QUOCIENTE

4.1 Introdução

A Topologia quociente é a fonte dos mais importantes para construir exemplos de es-paços topológicos, que constituirão a parte central desta notas. Neste capítulo intro-duziremos os exemplos clássicos na Matemática, como a faixa de Möebius, os espaçosprojetivos reais e complexos e a garrafa de Klein.

4.2 Topologia Quociente

Sejam(X,T

), Y um conjunto não vazio e f : X −→ Y sobrejetiva. Definamos em Y a

seguinte topologia:

Tf = {V ⊂ Y / f−1(V ) ∈ T}.

Claramente, Tf é uma topologia sobre Y .

Definição 4.1. Tf é dita topologia quociente em Y induzida por f .

Exemplo 4.1.

[1] Seja f : X −→ Y constante. Determine Tf .

Considere y0 ∈ Y e suponha que f(x) = y0 para todo x ∈ X . Seja U ∈ Tf . Se y0 ∈ U ,então f−1(U) = X e se y0 /∈ U , então f−1(U) = ∅. Isto é, qualquer subconjunto de Y éaberto, logo Tf é a topologia discreta sobre Y .

[2] Seja X = {a, b, c} e R com a topologia usual; definamos f : R −→ X por:

f(x) =

a se x > 0

b se x < 0

c se x = 0.

83

84 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

Então, Tf = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}} é a topologia quociente em X induzida por f .

Proposição 4.1. A topologia quociente Tf é a mais fina sobre Y que torna f contínua.

Prova : De fato, sendo TY outra topologia em Y e se para todo V ∈ TY temos quef−1(V ) é aberto em X , então V ∈ Tf .

Definição 4.2. Sejam(X,T

),(Y,TY

)e f : X −→ Y sobrejetiva. A função sobrejetiva f

que induz a topologia quociente é chamada uma identificação se TY = Tf .

Observações 4.1.

1. Se f é uma identificação, V é aberto em Y se, e somente se f−1(V ) é aberto em X .

2. Se f é uma identificação, para todo P ⊂ Y temos que f(f−1(P )

)= P , mas se

S ⊂ X , em geral S ⊂ f−1(f(S)

).

3. Nem toda função bijetiva e contínua é uma identificação. Por exemplo:

id :(X,T1

)−→

(X,T2

)é uma identificação se, e somente se T1 = T2.

4. A composta de identificações é uma identificação.

4.2.1 Espaço Projetivo Real

Seja Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de Rn+1. Definamos oconjunto dos pares não ordenados:

PRn = {{x, −x} / x ∈ Sn},

onde −x é o antipodal de x. De forma natural temos a função sobrejetiva:

Π : Sn −→ RPn

tal que Π(x) = {x, −x}. O par(RPn,TΠ

)é dito espaço projetivo real de dimensão n.

4.2. TOPOLOGIA QUOCIENTE 85

4.2.2 Faixa de Möebius

Considere o cilindro C = {(x, y, z) / x2 + y2 = 1, |z| ≤ 1} com a topologia induzida porR3. Definamos o conjunto dos pares não ordenados:

M = {{c, −c} / c ∈ C}.

De forma natural, temos a seguinte função sobrejetiva:

Π : C −→M

tal que Π(p) = {p, −p}. O par(M,TΠ

)é dito faixa de Möebius. Seja p = (x, y, z) ∈ C e

f : M −→ R3 definida por:

f({p, −p}) = ((x2 − y2) (2 + x z), 2x y (2 + x z), x y)

f é injetiva, contínua; logo M ∼= f(M) ⊂ R3 com a topologia induzida.

De fato, pelo teorema 4.1 anterior, definimos F : R3 −→ R3 por:

F (x, y, z) = f(x, y, z)

que é contínua.

Figura 4.1: Faixa de Möebius

Proposição 4.2.

1. Sejam X e Y espaços topológicos, f : X −→ Y uma função sobrejetiva, contínuae aberta (fechada); então f é uma identificação.

2. Sejam X e Y espaços topológicos, f : X −→ Y uma função contínua. Se existeuma função g : Y −→ X tal que f ◦ g = idY , então f é uma identificação.


Prova :

1. Seja TY uma topologia em Y ; como f é contínua, então TY ⊂ Tf . Como f éaberta, para todo U ∈ Tf , U = f

(f−1(U)

)é aberto em TY ; logo TY = Tf .

2. Como f ◦ g = idY então f é sobrejetiva. Seja A ⊂ Y tal que f−1(A) seja aberto;então A = (f ◦ g)−1(A) = g−1

(f−1(A)

)é aberto em Y ; logo f é uma identificação.

Exemplo 4.2.

[1] A função:

pr1 :R2 −→ R(x, y) −→ x

é uma identificação. Analogamente para pr2(x, y) = y.

[2] A função:

f :R −→ S1

x −→ e2πix

é sobrejetiva, contínua e aberta; pela proposição [4.2] é uma identificação.

[3] Analogamente:

f :R2 −→ S1 × S2


é uma identificação.

Teorema 4.1. (Propriedade Universal da Topologia Quociente) Sejam X , Z espaçostopológicos e f : X −→ Y uma identificação. Então, g : Y −→ Z é contínua se, esomente se g ◦ f é contínua.

X

g◦f��

f // Y

g~~

Z

Prova : Se g é contínua e f contínua, então g ◦ f é contínua. Reciprocamente, sejaW ⊂ Z aberto; então

(g ◦ f

)−1(W ) é aberto em X . Como

(g ◦ f

)−1(W ) = f−1

(g−1(W )

),

pela definição da topologia quociente, g−1(W ) é aberto em Y ; logo g é contínua.

4.3. ESPAÇOS QUOCIENTES 87

4.3 Espaços Quocientes

Funções sobrejetivas podem ser obtidas de forma natural utilizando classes de equiva-lência de alguma relação de equivalência.

Sejam ∼ uma relação de equivalência sobre X e X/∼ o conjunto das classes de equi-

valência em X . Definamos:

Π :X −→ X/∼

x −→ [x]

onde [x] é a classe de equivalência que contém x; Π é dita projeção canônica e é natu-ralmente sobrejetiva.

Definição 4.3. Seja(X,T

)um espaço topológico. O par

(X/∼,TΠ

)é dito espaço quo-

ciente de X .

A projeção canônica:

Π :X −→ X/∼

x −→ [x]

é naturalmente uma identifição. Note que V ⊂(X/∼)

é aberto⇔

Π−1(V)

= {x ∈ X / [x] ∈ V }

é aberto em X .

A seguir apresentaremos vários exemplos de homeomorfismos, a maioria bastante in-tuitivos. Nos próximos parágrafos, teremos ferramentas suficientes para provar esteshomeomorfismos. Por enquanto, ficaremos apenas com a parte geométrica.

4.3.1 O Círculo como Espaço Quociente

Seja I = [0, 1] ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R. Consideremosem I a relação de equivalência:

x ∼ y ⇔ {x, y} = {0, 1}, ou x = y.

Se x ∈ (0, 1); então [x] = {x}. Se x = 0; então [0] = {0, 1}. Se x = 1, então [1] = {0, 1};logo [0] = [1].


0

1 1

0

[0]=[1]

Figura 4.2: Construção de S1

Logo, Π : I −→(I/∼)

é uma identificação. Note que Π é bijetiva salvo para x = 0 ex = 1 e:

(I/∼) ∼= S1.

Nos seguintes exemplos, as setas indicam o sentido dos pontos que estão na mesmaclasse de equivalência.

4.3.2 O Cilindro como Espaço Quociente

Seja I2 ⊂ R2 com a topologia induzida pela topologia usual de R2. Consideremos emI2 a relação de equivalência:

(x, y) ∼ (x1, y1) ⇔ (x, y) = (x1, y1) ou {x, x1} = {0, 1} e y = y1,

para todo (x, y), (x1, y1) ∈ I2

Observe que se x 6= 0, 1, então [(x, y)] = {(x, y)} e [(0, y)] = [(1, y)]. Em particular,[(0, 0)] = [(0, 1)] e [(0, 1)] = [(1, 1)]. Então Π : I2 −→

(I2/∼)

é uma identificação. Noteque Π é bijetiva salvo para (0, y) e (1, y) e

(I2/∼) ∼= S1 × I.


Figura 4.3: Construção de S1 × I

4.3.3 A Faixa de Möebius como Espaço Quociente


(x, y) ∼ (x1, y1) ⇔ (x, y) = (x1, y1) ou (0, y) ∼ (1, 1− y),


Observe que se x 6= 0, 1, então [(x, y)] = {(x, y)} e [(0, y)] = [(1, 1 − y)]. Em particular,[(0, 0)] = [(1, 1)] e [(0, 1)] = [(1, 0)]. Então, Π : I2 −→

(I2/∼)

é uma identificação. Noteque Π é bijetiva salvo para (0, y) e (1, 1− y) e(

I2/∼) ∼= M,

onde M é a faixa de Möebius.

(0,a)

(0,1-a)

(0,b)

(0,1-b)

Figura 4.4: Construção da Faixa de Möebius

Nos próximos capítulos, verificaremos que a faixa de Möebius é homeomorfo a umasuperfície parametrizada em R3:


Figura 4.5: Faixa de Möebius

4.3.4 A Esfera como Espaço Quociente

I2 ⊂ R2 com a topologia induzida pela topologia usual de R2. Consideremos em I2 arelação de equivalência:

(x, y) ∼ (x1, y1) ⇔ (x, y) = (x1, y1) ou (0, y) ∼ (x, 0) e (x, 1) ∼ (1, y),


Se x, y 6= 0, 1, então [(x, y)] = {(x, y)}, [(x, 0)] = [(0, y)] e [(x, 1)] = [(1, y)]. Em particular,[(0, 0)] = [(1, 0)] = [(0, 1)] = [(1, 1)].

Então, Π : I2 −→(I2/∼)

é uma identificação. Note que Π é bijetiva salvo para (0, y),(1, y), (x, 0) e (x, 1) e

(I2/∼) ∼= S2.

Figura 4.6: Construção de S2


4.3.5 O Toro como Espaço Quociente


(x, y) ∼ (x1, y1) ⇔ (x, y) = (x1, y1) ou (0, y) ∼ (1, y) e (x, 0) ∼ (x, 1),


Observe que se x, y 6= 0, 1, então [(x, y)] = {(x, y)} e [(0, y)] = [(1, y)] e se y = 0, então[(x, 0)] = [(x, 1)].

Em particular, [(0, 0)] = [(1, 0)] = [(0, 1)] = [(1, 1)].

Então, Π : I2 −→(I2/∼)

é uma identificação. Note que Π é bijetiva salvo para (0, y),(1, y), (x, 0) e (x, 1) e (

I2/∼) ∼= S1 × S1.

Figura 4.7: Construção do toro

As possíveis vizinhanças de pontos no toro:

Figura 4.8: Projeção das vizinhanças no toro

Nos próximos capítulos, verificaremos que o toro é homeomorfa a uma superfície pa-rametrizada em R3:


Figura 4.9: O toro

4.3.6 A Garrafa de Klein

Seja I2 ⊂ R2 com a topologia induzida pela topologia usual de R2. Consideremos emI2 a seguinte relação de equivalência:

(x, y) ∼ (x1, y1) ⇔ (x, y) = (x1, y1), ou (0, y) ∼ (1, y) e (x, 0) ∼ (1− x, 1),


Se x, y 6= 0, 1, então [(x, y)] = {(x, y)} e [(0, y)] = [(1, y)] e [(x, 0)] = [(1 − x, 1)]. Emparticular, [(0, 0)] = [(1, 0)] = [(0, 1)] = [(1, 1)].

Então, Π : I2 −→(I2/∼)

é uma identificação. Note que Π é bijetiva salvo para (0, y),(1, y), (x, 0) e (1− x, 1).(I2/∼)

é chamada garrafa de Klein. Note que a garrafa de Klein contém uma faixa deMöebius.

Figura 4.10: Construção da Garrafa de Klein


Figura 4.11: Garrafa de Klein

4.3.7 O Cone e Suspensão de um Conjunto

Sejam(X,T

)e I = [0, 1] ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R. O

cone sobre X é denotado por CX = X × I/∼, onde:

(x, t) ∼ (x′, t′)⇔ t = t′ = 1.

A classe de equivalência [(x, 1)] é dita vértice de CX .

Observação 4.1. Intuitivamente CX é obtido de X × I onde identificamos X × {1} aum ponto. O subsepaço {[x, 0] / x ∈ X} ⊂ CX é naturalmente homeomorfo a X .

IXx I CX

0

1

X

Figura 4.12: O cone sobre X

Seja f : X −→ Y contínua. Então Cf : CX −→ CY tal que:

Cf([x, t]) = [f(x), t]

é contínua. De fato, basta considerar o diagrama comutativo:


X × I h−−−→ Y × I

Π1

y yΠ2

CXCf−−−→ CY

onde h(x, t) = (f(x), t).

Seja J = [−1, 1] ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R. A suspensãode X é denotada por SX = X × J

/∼, onde:

(x, t) ∼ (x′, t′)⇔ t = t′ = 0 ou t = t′ = 1.

Observação 4.2. Intuitivamente SX é obtido deX×I onde identificamosX×{−1} comX × {1} a um ponto. O subsepaço {[x, t] / t ≥ 0} ⊂ CX é naturalmente homeomorfo aCX .

SX

1

X x J

−1

0

Figura 4.13: Suspensão de X

Seja f : X −→ Y contínua. Então:

Sf : SX −→ SY

tal que Sf([x, t]) = [f(x), t] é contínua.

Seja Sn ⊂ Rn+1; então:

CSn ∼= B[0, 1] e SSn ∼= Sn+1, ∀n ∈ N.

De fato, considere o seguinte diagrama comutativo:

4.4. TEOREMAS 95

Sn × Jp��

Π // SSn

hzzSn+1

Onde Π é a projeção canônica e:

p(x0, . . . , xn, t) =

((1− t)x0, . . . , (1− t)xn,

√1− (1− t)2 se t ≥ 0

((1 + t)x0, . . . , (1 + t)xn,−√

1− (1− t)2 se t < 0.

e h é definida por h(pN) = pN , h(pS) = pS e h([x]) = p(x). Os detalhes são deixados deexercício.

4.4 Teoremas

Definição 4.4. Sejam f : X −→ Y ,∼ ew relações de equivalência em X e Y respectiva-mente. Dizemos que f preserva as relações de equivalência se para todos x1, x2 ∈ Xtais que x1 ∼ x2, então f(x1) w f(x2).

Lema 4.1. Sejam f : X −→ Y , ∼ e w relações de equivalências em X e Y respectiva-mente. Se f é contínua e preserva as relações, então existe uma única F , contínua quetorna o seguinte diagrama comutativo:

Xf−−−→ Y

Π1

y yΠ2(X/∼) F−−−→

(Y/w)

Alem disso, se f é uma identifição, então F é uma identificação.

Prova : Definamos F ([x]) = [f(x)].

1. A função F é bem definida. De fato, seja [x] = [x1]; então x ∼ x1 e f(x) w f(x1); logo

[f(x)] = [f(x1)],

isto é F ([x]) = F ([x1]).

2. Pela definição, F ◦ Π1 = Π2 ◦ f .

3. Suponha que existe G tal que o diagrama comuta. Existe pelo menos um [x] ∈ X/∼

tal que F ([x]) 6= G([x]), como Π1 é sobrejetiva, existe pelo menos um x ∈ X tal que(G ◦ Π1

)(x) 6=

(Π2 ◦ f

)(x). Isto é uma contradição, pois o diagrama comuta.


4. Como Π1, Π2 e f são contínuas., pelo teorema [4.1], F é contínua.

Teorema 4.2. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X −→ Y contínua e sobrejetiva.Se ∼ é uma relação de equivalência definida em X tal que:

x ∼ x1 ⇔ f(x) = f(x1),

então, existe F :(X/∼)−→ Y contínua e bijetiva.

Prova : Consideremos:

X

Π��

f

##(X/∼)F

// Y

1. Pelo lema [4.1], definimos F ([x]) = f(x). Logo, F é contínua e sobrejetiva.

2. Se F ([x]) = F ([x1]), então (F ◦ Π)(x) = (F ◦ Π)(x1), isto é:

f(x) = f(x1)⇔ x ∼ x1;

logo [x] = [x1]. Então F é bijetiva.

O seguinte corolário é muito útil para reconhecer espaços quocentes homeomorfos aespaços já conhecidos.

Corolário 4.1. Com as hipotéses do teorema 4.2, são equivalentes as seguintes afirma-ções:

1. f é uma identifição.

2. F é um homeomorfismo.

Prova : 1) ⇒ 2) Pelo teorema [4.2], basta provar que F é aberta. De fato, observe quepara todo A ⊂ X

/∼ temos que Π−1(A) = f−1(F (A)).

2) ⇒ 1) U ⊂ X/∼ é aberto⇔ Π−1(U) é aberto em X ⇔ f−1

(F (U)

)é aberto em X ⇔

F (U) é aberto em Y , pois Y tem a topologia quociente induzida por f .

4.4. TEOREMAS 97

Corolário 4.2. Nas hipótese do teorema [4.2], se f é um homeomorfismo, então:

(X/∼) ∼= (Y /w).

Prova : Seja

Xf−−−→ Y

Π1

y yΠ2(X/∼) F−−−→

(Y/w)

1. Pelo teorema [4.2], definamos F por F ([x]) = [f(x)].

2. F é bijetiva e contínua.

3. F−1 é contínua, pois F−1 ◦ Π1 = Π2 ◦ f−1 e f−1 é contínua.

Exemplo 4.3.

Sejam X = (0,+∞) e Y = R. Consideremos Y com a topologia usual e X com atopologia induzida. Definamos:

x1 ∼ x2 ⇔ existe n ∈ N tal que x1 = en x2

y1 w y2 ⇔ existe n ∈ N tal que y1 = n+ y2.

Seja f : X −→ Y tal que f(x) = ln(x); f é homeomorfismo. Por outro lado:

x1 ∼ x2 ⇔ existe n ∈ N tal que x1 = en x2

Então,

ln(x1) = ln(en x2) = ln(en) + ln(x2) = n+ ln(x2),

logo f(x1) w f(x2). Pelo teorema:

(X/∼) ∼= (Y /w) ∼= S1.


4.5 Ações de Grupos

Sejam X 6= ∅ um conjunto e(G, ∗

)um grupo.

Definição 4.5. O grupo(G, ∗

)atua pela esquerda sobre X se existe uma

função:

~ :G×X −→ X

(g, x) −→ g ~ x,

tal que:

1. e~ x = x, para todo x ∈ X e e ∈ G a identidade de G.

2. g1 ~(g2 ~ x

)=(g1 ∗ g2

)~ x, para todo x ∈ X e g1, g2 ∈ G.

3. Em tal caso, X é ditoG-conjuntoG-conjuntoG-conjunto.

Exemplo 4.4.

[1] Sejam X um espaço topológico e

G = {f : X −→ X /f é um homeomorfismo}.

G é um grupo não comutativo com a composta de funções. Definamos:

~ :G×X −→ X

(f, x) −→ f ~ x = f(x).

Então, X é um G-conjunto.

[2] Seja G o grupo gerado pelos homeomorfismos h, g : R2 −→ R2 definidos por:

h(x, y) = (x+ 1, y) e g(x, y) = (−x, y + 1),

respectivamente. Logo, como no exemplo anterior:

~ :G× R2 −→ R2

(f, (x, y)) −→ f ~ (x, y) = f(x, y).

Então, R2 é um G-conjunto.

4.5. AÇÕES DE GRUPOS 99

[3] Sejam X = Sn e(Z2, ·

). Definamos:

~ :Z2 × Sn −→ Sn

(±1, x) −→ ±1~ x = ±x,

onde −x é o antipodal de x. Então, Sn é um Z2-conjunto.

[4] Sejam X = R e(Z,+

). Definamos:

~ :Z× R −→ R(n, x) −→ n~ x = n+ x.

Então, R é um Z-conjunto.

[5] Sejam X = R2 e(Z2,+

). Definamos:

~ :Z2 × R2 −→ R2

((n,m), (x, y)) −→ (n,m)~ (x, y) = (n+ x,m+ y).

Então, R2 é um Z2-conjunto.

[6] Sejam X = {(x, y) ∈ R2 / y ∈[− 1/2, 1/2

]} e(Z,+

). Definamos:

~ :Z×X −→ X

(n, (x, y)) −→ n~ (x, y) = (n+ x, (−1)n y).

Então, X é um Z-conjunto.

[7] Seja S1 ⊂ C; então S1 tem uma estrutura de grupo multiplicativo induzida por C.

De fato, se e2πit, e2πis ∈ S1, então e2πit · e2πis = e2πi(t+s). Consideremos S2n+1 comosubconjunto de Cn+1:

S2n+1 = {(z1, z2, . . . , zn+1) ∈ Cn+1 / ‖z1‖2 + ‖z2‖2 + . . .+ ‖zn+1‖2 = 1}.

Definimos:

~ : S1 × S2n+1 −→ S2n+1,

onde:

e2πit ~ (z1, z2, . . . , zn+1) = (e2πit z1, e2πit z2, . . . , e

2πit zn+1).

Logo, S2n+1 é um S1-conjunto.


[8] Seja Sn−1 ⊂ Rn e G = O(n) o grupo ortogonal. Definamos:

~ :O(n)× Sn−1 −→ Sn−1

(A, x) −→ n~ x = ~Ax.

‖ ~Ax‖ = 1; logo está bem definida e Sn−1 é um O(n)-conjunto.

Proposição 4.3. Seja X um G-conjunto. Para todo g ∈ G definamos:

θg : X −→ X,

por θg(x) = g ~ x; então θg é bijetiva.

Prova : Note que θe = idX e que para todo g, h ∈ G, temos θg ◦ θh = θg∗h. Logo,

θg ◦ θg−1 = θg∗g−1 = θe = idX e θg−1 ◦ θg = θg−1∗g = θe = idX .

Então θ−1g = θg−1 .

Definição 4.6. Seja X um G-conjunto. Definimos:

1. O estabilizador de x ∈ X por:

Gx = {g ∈ G/ g ~ x = x}.

Gx é um subgrupo de G.

2. A órbita de x ∈ X por:

Gx = {g ~ x / g ∈ G}.

Exemplo 4.5. Consideremos S3 como um S1-conjunto, com a ação:

~ :S1 × S3 −→ S3

(e2πit, (z1, z2)) −→ n~ (z1, z2) = (e2πit z1, e2πit z2).

Seja (z1, z2) ∈ S3; então o estabilizador do ponto (z1, z2) é:

S1(z1,z2) = {e2πit / t ∈ Z}.

4.6. G-ESPAÇOS 101

Se X é um G-conjunto, podemos definir sobre X a seguinte relação de equivalência:

x ∼ y ⇔ existe g ∈ G tal que g ~ x = y,

isto é:

x ∼ y ⇔ y ∈ Gx.

Denotemos X/ ∼ por X/G o conjunto das classes de equivalência desta relação. Se Xé um G-conjunto, temos a projeção canônica, que é sobrejetiva:

Π : X −→ X/G.

Logo, se X é um G-conjunto que é espaço topológico, podemos dar a X/G a topologiaquociente.

4.5.1 Espaço Projetivo Complexo

Seja S2n+1 ⊂ Cn+1 e S1 ⊂ C; então S1 tem a estrutura de grupo multiplicativo induzidapor C. Definimos e denotamos o n-espaço projetivo complexo, por:

CPn = S2n+1/S1,

onde x ∼ y se, e somente se x = λ y, para algum λ ∈ S1.

Exemplo 4.6.

[1] Note que ∼ identifica cada círculo de S2n+1 a um ponto.

[2] CP1 ∼= S2. Isto é:

S3/S1 ∼= S2.

4.6 G-espaços

Seja X um espaço topológico que é um G-conjunto.

Definição 4.7. X é dito GGG-espaço se para todo g ∈ G:

θg : X −→ X

x −→ g ~ x

é contínua.


Exemplo 4.7.

[1] Sn/Z2 é um Z2-espaço.

[2] R/Z é um Z-espaço.

[3] R2/Z2 é um Z2-espaço.

[4]. CPn é um S1-espaço.

[5] Seja G o grupo gerado pelos homeomorfismos h, g : R2 −→ R2 definidos por:

h(x, y) = (x+ 1, y) e g(x, y) = (−x, y + 1),

respectivamente; então R2/G é um G-espaço. Note que G não é isomorfo a Z× Z.

Observação 4.3. Se X é um G-espaço, a função θg é um homeomorfismo, para todog ∈ G. Se X é um G-espaço, então existe um homomorfismo de grupos:

Ψ : G −→ Homeo(X)

g −→ θg.

Proposição 4.4. Se X é um G-espaço a projeção canônica:

Π : X −→ X/G

é aberta.

Prova : Seja U ⊂ X aberto. Devemos provar que Π(U) é aberto em X/G, o que éequivalente a provar que Π−1

(Π(U)

)é aberto em X . De fato:

Π−1(Π(U)

)= {x ∈ X /Π(x) ∈ Π(U)}= {x ∈ X /Gx = Gy, para algum y ∈ U}= {x ∈ X /x = g ~ y, para algum y ∈ U e g ∈ G}= {x ∈ X /x ∈ g ~ U, para algum g ∈ G}

=⋃g∈G

g ~ U

=⋃g∈G

θg(U),

que é aberto, pois θg é um homeomorfismo.

4.6. G-ESPAÇOS 103

Lema 4.2. Sejam X um G-espaço e Y um H-espaço, onde(G, ∗

)e(H, ◦

)são tais que:

~ :G×X −→ X

} :H × Y −→ Y

θg : X −→ X, homeomorfismoθh : Y −→ Y, homeomorfismoΠX : X −→ X/G, sobrejetiva e contínuaΠY : Y −→ Y/H, sobrejetiva e contínua.

Sejam X um G-espaço e Y um H-espaço. Então X × Y é um G×H-espaço.

Prova : Com as notações anteriores, definamos:

� :(G×H

)×(X × Y

)−→

(X × Y

)((g, h), (x, y) −→ (g, h)� (x, y) = (g ~ x, h} y)

e

Θ(g,h) :(X × Y

)−→

(X × Y

)(x, y) −→ (θg(x), θh(y)).

Não é difícil provar que X × Y é um(G×H

)-espaço e Θ(g,h) é um homeomorfismo.

Proposição 4.5. Com as notações anteriores:((X × Y

)/(G×H

)) ∼= (X/G)× (Y/H).Prova : Definamos F ([x, y]) = ([x], [y]), isto é, F ◦ (Π1,Π2) = Π:

X × Y

Π��

(Π1,Π2)// X × Y/G×H

FvvX/G× Y/H

1. F é naturalmente bem definida e bijetiva.


2. F é contínua. Sejam [U ] × [V ] ∈(X/G

)×(Y/H

)aberto; devemos provar que

f−1([U ]× [V ]

)é aberto em

((X×Y

)/(G×H

)), isto é, pela definição de topologia

quociente, devemos provar que Π−1(f−1([U ]× [V ]

))é aberto em X × Y .

F ◦ Π = (ΠX ,ΠY ), então Π−1 ◦ F−1 = (F ◦ Π)−1 = (Π−1X ,Π−1

Y ); logo:

Π−1(f−1([U ]× [V ]

))= Π−1

X ([U ])× Π−1Y ([V ]),

que é aberto, pela definição da topologia quociente.

Exemplo 4.8.

Sejam X = R2 e G = Z2. Definamos:

~ :Z2 × R2 −→ R2

((n,m), (x, y)) −→ (n,m)~ (x, y) = (n+ x,m+ y).

Então, R2 é um Z2-espaço, e:

R2/Z2 ∼= R

/Z× R

/Z ∼= S1 × S1 ∼= T 2.

Observação 4.4. Agora estamos em condições de verificar alguns dos homeomorfis-mos vistos anteriormente.

4.6.1 O Círculo como Z-espaço

SejaR com a topologia usual e S1 ⊂ C com a topologia induzida pela usual deC; então:

R/Z ∼= S1.

Seja f : R −→ S1 definida por f(x) = e2πix. Sabemos que f é um homeomorfismo local.Veja o exemplo [3.3] .

Observemos que se consideramos R como grupo aditivo e S1 como grupo multiplica-tivo (multiplicação induzida por C). Então:

f(x+ y) = e2πi(x+y) = e2πix e2πiy = f(x) f(y),

isto é, f é um homomorfismo de grupos com núcleo Z. Para todo x, y ∈ R, f(x) = f(y)⇔ x− y ∈ Z.

4.6. G-ESPAÇOS 105

R é um Z-espaço com a operação n ~ x = n + x. Logo, x ∼ y ⇔ existe n ∈ Z tal quey = n+ x⇔ f(x) = f(y). Então, f é uma identificação; pelo corolário [4.1] temos:

R

Π��

f // S1

R/Z

F

==

Logo F é um homeomorfismo, onde F ([x]) = f(x), logo:

R/Z ∼=F S1.

Seja I = [0, 1] ⊂ R com a topologia usual e S1 ⊂ C com a topologia induzida pela usualde C, então:

S1 ∼=(I/ ∼

),

onde x ∼ y⇔ x = y ou {x, y} = {0, 1}.

Seja f : I −→ S1 tal que é definida por f(x) = e2πix. Analogamante ao exemploanterior, f é uma identificação; pelo corolário [4.1], temos:

I

Π��

f // S1

I/∼

F

==

Logo F ′ é um homeomorfismo:

S1 ∼=F ′(I/ ∼

).

Então:

R/Z ∼=F S1 ∼=F ′

(I/ ∼

).

4.6.2 O Toro como Z× Z -espaço

De forma análoga, consideramos:

f :R× R −→ S1 × S1


Temos que:


R2/Z2 ∼= S1 × S1.

Seja T 2 é o toro de revolução em R3, parametrizado por:

x(t, s) = (R + r cos(2πs)) cos(2πt)

y(t, s) = (R + r cos(2πs)) sen(2πt)

z(t, s) = r sen(2πt),

onde R > r > 0 e (t, s) ∈ R2.

Consideramos f : R2 −→ T 2 definido por f(t, s) = (x(t, s), y(t, s), z(t, s)). Não é difícilver que

f(t1, s1) = f(t2, s2)⇔ (t1 − t2, s1 − s2) ∈ Z2.

Por um argumento totalmente análogo ao anterior, obtemos um homeomorfismo:

R2/Z2 ∼= T 2.

Seja I2 ⊂ R2 com a topologia induzida pela topologia usual de R2 e para todo (x, y),(x1, y1) ∈ I2, consideremos a relação de equivalência:

(x, y) ∼ (x1, y1) ⇔ (x, y) = (x1, y1) ou (0, y) ∼ (1, y) e (x, 0) ∼ (x, 1).

O homeomorfismo: (I2/ ∼

) ∼= T 2

fica para os próximos capítulos.


4.7 Exercícios

1. Seja R com a topologia gerada pelos intervalos semi-abertos [a, b) e f : R −→[0,+∞) definida por f(x) = x2, qual é a topologia quociente indizida por f?

2. SejaX =([−1, 1]×{1}

)∪([−1, 1]×{−1}

)com a topologia induzida pela usual de

R2 e ∼ relação de equivalência definida por (−1, 1) ∼ (−1,−1) e (1, 1) ∼ (1,−1).Considere

(X/ ∼

)com a topologia quociente, verifique que:

(X/ ∼

) ∼= S1,

S1 com a topologia induzida pela usual de R2.

3. Seja R com a topologia usual, defina x ∼ y se e, somente se x − y ∈ Q. Quetopologia induz a relação de equivâlencia ∼ em R

/Q.

4. Seja X = S1, considere a relação de equivalência z ∼ −z, para todo z ∈ S1. Oquociente X

/∼ é homeorfo a S1?

5. Seja X = S1, considere a relação de equivalência z ∼ e2π i/3 z, para todo z ∈ S1. Oquociente X

/∼ é homeorfo a S1?

6. Seja X = S2 − {p, q}, tal que p, q ∈ S2. Verifique que X é homeomorfo a S1 × I .

7. Seja X = S1 × I , considere a relação de equivalência (z, 0) ∼ (z, 1), para todoz ∈ S1. Verifique que X

/∼ é homeomorfo ao toro T2.

8. Seja S1 ⊂ C e X = S1 × S1; em X considere a relação de equivalência (z, w) ∼(−z, w), ondew é o conjudado complexo dew; para todo (z, e) ∈ S1×S1. Verifiqueque X

/∼ é homeomorfo a garrafa de Klein.

9. Seja(R,T

), onde T é a topologia definida por: U ∈ T se, e somente se 0 ∈ U . Seja

∼ a relação de equivalência definida por x ∼ −x. Verifique que(R/ ∼

)com a

topologia quociente é homeomorfo a [0,+∞) com a topologia induzida por T.

10. Seja Rn com a topologia de Zariski e ∼ relação de equivalência definida por

(x1, x2, x3, . . . , xn) ∼ (y1, y2, y3, . . . , yn) ⇐⇒ xi = yi,

para todo i = 1, 2, . . . , n. Verifique que(Rn/ ∼

)com a topologia quociente é

homeomorfo a Rn−1 com a topologia de Zariski.


11. Verifique que RP0 ∼= {p}.

12. Verifique que RP1 ∼= S1.

13. Verifique que CP1 ∼= S2.

14. Sejam p1 : X −→ X/∼1 e p2 : X −→ X

/∼2 aplicações quocientes. Com um

contraexemplo, verifique que o produto cartesiano

p1 × p2 : X× : X −→ X/∼1 × X

/∼2

não é uma aplicação quociente.

15. Sejam pλ : Xλ −→ Yλ são funções contínuas, abertas e sobrejetivas; para todoλ ∈ Λ. Defina Πλ p : ΠλXλ −→ ΠλYλ, onde Πλ é o produto cartesiano de espaçostopologicos. Prove que Πλ p é uma aplicação quociente.

16. Seja f : X −→ Y uma aplicação sobrejetiva e B uma base da topologia de X .f(B)

é base da topologia quociente?

17. Prove que se G é um grupo finito, então a aplicação Π é fechada.

18. Ache exemplos de G-espaços, onde G seja um grupo finito.

19. Para todo x, y ∈ X . Prove que Gx = Gy ou são disjuntas.

20. Prove que X =⋃x∈X

Gx, (união disjunta).

21. Seja G o grupo gerado pelos homeomorfismos h, g : R2 −→ R2 definidos por:

h(x, y) = (x+ 1, y) e g(x, y) = (−x, y + 1),

respectivamente, Verifique que R2/G é homeomorfo à garrafa de Klein.

22. Seja X 6= ∅ e h : X ×X −→ [0,+∞) tal que satisfaz h(x, x) = 0, h(x, y) = h(y, x) eh(x, y) ≤ h(x, z) + h(z, y), para todo x, y, z ∈ X . Defina:

x ∼ y ⇐⇒ h(x, y) = 0.

(a) Verifique que ∼ é uma relação de equivalência.


(b) Verifique que X/∼ é um espaço métrico, com a métrica:

d(Π(x),Π(y) = h(x, y),

onde Π : X −→ X/∼ é a projeção canônica.

(c) Qual é a topologia em X/∼ induzida por d?


Capítulo 5

COMPACIDADE

5.1 Introdução

Do Cálculo sabemos que funções contínuas definidas sobre conjuntos limitados e fe-chados possuem um ponto de máximo e um de mínimo absoluto (Teorema de Weiers-trass) e da Análise conhecemos o teorema de Heine-Borel sobre intervalos encaixados.

As formulações de compacidade em espaços topológicos envolve muito mais do que oconceito de fechado e limitado, os quais não são equivalentes.

A importância principal da compacidade é que ela nos permite obter propriedadesglobais a partir de propriedades locais. Existem várias formas de introduzir o conceitode compacidade em espaços topológicos. Nós escolhemos a seguinte.

5.2 Compacidade

Seja X um espaço topológico e S ⊂ X .

Definição 5.1.

1. Uma cobertura de S é uma família de subconjuntos U = {Ui ⊂ X / i ∈ J} tal que:

S ⊂⋃i∈J

Ui.

2. Se J é finito, a cobertura é dita finita.

3. A cobertura é dita aberta se os Ui ∈ U são conjuntos abertos.

111

112 CAPÍTULO 5. COMPACIDADE

4. Se S = X , então U é uma cobertura se:

X =⋃i∈J

Ui.

Exemplo 5.1.

Seja R com a topologia usual.

1. Se (0, 1) ⊂ R; então, U = {[1/n, 1 − 1/n] / n ∈ N} é uma cobertura não aberta de(0, 1).

2. Se [0, 5] ⊂ R; então, U = {(n− 1, n+ 1) / n ∈ Z} é uma cobertura aberta de [0, 1].

3. Por ouro lado, U = {(n, n+ 1) / n ∈ Z} é uma cobertura aberta de R.

Definição 5.2. Sejam U = {Ui ⊂ X / i ∈ J} e V = {Vk ⊂ X /k ∈ K} coberturas deS ⊂ X . Se para todo k ∈ K existe i ∈ J tal que Ui = Vk, então, dizemos que V é umasubcobertura de U.

Exemplo 5.2.

Seja R com a topologia usual.

1. Se [0, 5] ⊂ R com a cobertura U = {(n− 1, n+ 1) / n ∈ Z}, temos que:

{(−1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 5), (3, 6)}

é uma subcobertura finita de [0, 5]

2. Se U = {(r, r + 3) / r ∈ R}, então V = {(n, n + 3) / n ∈ Z} é um subcoberturaaberta de R.

Observação 5.1. A seguir e nos próximos capítulos, somente consideraremos cober-turas abertas.

Definição 5.3. Um subconjunto S ⊂ X é dito compacto, se toda cobertura de S admiteuma cobertura finita.

5.3. EXEMPLOS 113

Observações 5.1.

1. Em particular, o espaço X é compacto, se todo cobertura de X admite uma sub-cobertura finita.

2. Os conjuntos finitos, em qualquer espaço topológico, são compactos.

3. A união finita de compactos é compacto. Em geral, a união arbitrária de compac-tos não é compacto.

5.3 Exemplos

[1] Seja(X,Tind

). Todo A ⊂ X é compacto.

[2] Seja(X,Tdis

). X é compacto se, e somente se X é finito.

De fato, os conjuntos {x} são abertos em X , logo o cobrimento:

X =⋃x∈X

{x}

possui uma subcobertura finita se, e somente se X é finito. Em particular, em R com atopologia discreta, a, b ∈ R e a < b, os intervalos [a, b] não são compactos.

[3] Se S ⊂ X é discreto infinito, então S não é compacto. Em particular, N e Z não sãocompactos.

[4] R com a topologia euclidiana não é compacto.

Seja U = {(n, n+ 2) / n ∈ Z} cobrimento de R:

R ⊆⋃x∈Z

(n, n+ 2),

não possui uma subcobertura finita. De fato, se existe H ⊂ Z finito tal que:

R ⊆⋃x∈H

(n, n+ 2).

Denotemos por n1 = min{n /n ∈ H} e n2 = max{n /n ∈ H}, então:

R ⊆⋃x∈H

(n, n+ 2) ⊂ (a1, a2 + 2) 6= R.


[5] R com a topologia cofinita é compacto.

De fato, seja U = {Uα / α ∈ I} uma cobertura de R. Note que, para todo Uj ∈ U, temosque R = Uj ∪ U c

j , como U cj é finito, U c

j = {x1, x2, . . . , xk}, xi ∈ R. Então:

{x1, x2, . . . , xk} ⊂ U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Uk

Logo:

R = Uj ∪ U cjUj∪ ⊂ U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Uk.

[6] Seja R com a topologia euclidiana, (0, 1) não é compacto.

Consideremos a cobertura U = {Un / n ≥ 2} de (0, 1), onde:

Un =( 1

n, 1).

Suponha que existe uma subcobertura finita {Un1 , . . . Unk} de U tal que:

(0, 1) ⊂ Un1 ∪ . . . ∪ Unk .

Seja nl = max{n1, . . . , nk}, então:

Un1 ∪ . . . ∪ Unk =( 1

nl, 1)6⊃ (0, 1).

Logo, (0, 1) não é compacto.

[7] Seja R com a topologia euclidiana, [0, 1] é compacto.

Seja U = {Ui ⊂ X / i ∈ J} uma cobertura arbitrária de [0, 1]; denotemos por:

K = {x ∈ [0, 1] / [0, x] possui uma sub-cobertura finita de U}.

Note que 0 ∈ K, pois 0 ∈ Ui para algum i. Como todo elemento de K é menor ou iguala 1, o conjunto K possui s = sup K, logo s ∈ Uj , para algum j. Por outro lado, Uj éaberto, então existe ε > 0 tal que (s − ε, s + ε) ⊂ Uj . Como s é o supremo de K, existeε1 tal que 0 < ε1 < ε e s − ε1 ∈ K e [0, s − ε1] possui uma subcobertura finita de U. Ses < 1, existe δ > 0 tal que:

s+ δ ∈ (s− ε1, s+ ε1) ∩ [0, 1],

e s + δ ∈ K, o que é uma contradição, pois s é o supremo de K; logo s = 1 e [0, 1] écompacto.

[8] A interseção finita de conjuntos compactos nem sempre é compacto. (Veja o pró-ximo capítulo).

5.4. PROPRIEDADES 115

De fato, consideremos R, com a topologia gerada pela base {(a,+∞) / a ∈ R}; os con-juntos A = {0} ∪ (2,+∞) e B = {1} ∪ (2,+∞) são compactos, pois se:

A ⊂⋃i∈I

(ai,+∞), ai ∈ R

é uma cobertura de A, então existe i0 ∈ I tal que 0 ∈ (ai0 ,+∞); logo, A ⊆ (ai0 ,+∞);analogamente, B é compacto. Por outro lado, A ∩B = (2,+∞) não é compacto, pois:

(2,+∞) =⋃n∈N

(2 +

1

n,+∞).

Fica para exercício, verificar que não pode ser extraido uma subcobertura finita.

[9] A união finita de compactos é compacto. Em geral, é falso que a união arbitrária decompactos seja compacto.

De fato, sejaR com a topologia euclidiana, sabemos que os conjuntos [−n, n], para todon ∈ N, são compactos e: ⋃

x∈N

[−n, n] = R

que não é compacto.

5.4 Propriedades

Proposição 5.1. São equivalentes as condições:

1. X é compacto.

2. (Propriedade da interseção finita) Se {Fα ⊂ X /α ∈ J} é tal que os conjuntos Fαsão fechados e:

⋂α∈J

Fα = ∅,

então existe uma subfamília finita {Fα1 , Fα2 , . . . , Fαn} tal que:

n⋂i=1

Fαi = ∅.


Prova : A prova segue diretamente das leis de de Morgan. Por exemplo:⋂α∈J

Fα = ∅ é equivalente a⋃α∈J

F cα = X.

Proposição 5.2. Seja f : X −→ Y contínua. Se S ⊂ X é compacto, então f(S) écompacto em Y .

Prova : Seja V = {Vi / i ∈ J} uma cobertura de f(S). Como f é contínua, temos que{f−1(Vi) / i ∈ J} é uma cobertura de S e sendo S compacto, existe subcobertura finita{f−1(Vk) / k ∈ K}, onde K é finito. Como f(f−1(Vk)) ⊂ Vk, então {Vk / k ∈ K} é umasubcobertura finita de f(S).

Corolário 5.1.

1. Se X é compacto e f : X −→ Y é contínua e sobrejetiva, então Y é compacto. Emparticular, se Y tem a topologia quociente induzida por f , então Y é compacto.

2. Se X ∼= Y , então X é compacto se, e somente se Y é compacto.

Prova: Exercício.

Exemplo 5.3.

[1] Seja R com a topologia euclidiana, para todo a, b ∈ R, (a, b) ⊂ R não é compacto.

Provamos que (0, 1) não é compacto. Como (0, 1) é homeomorfo a (a, b), temos que(a, b) não é compacto.

[2]Seja R com a topologia euclidiana, para todo a, b ∈ R tal que a < b, temos que [a, b]é compacto.

Provamos que [0, 1] é compacto. Como [0, 1] é homeomorfo a [a, b], temos que [a, b] écompacto.

[3] O traço de uma curva contínua γ : [a, b] −→ X é compacto.

Em particular, seja f : [a, b] −→ R2 definida por f(t) = (cos(t), sen(t)) tal que b−a ≥ 2π.Então:

5.4. PROPRIEDADES 117

S1 = f([a, b])

é um conjunto compacto em R2.

[4] Nem todo subconjunto de um espaço compacto é compacto.

De fato, (0, 1) ⊂ [0, 1] não é compacto.

Proposição 5.3. Se X é compacto e F ⊂ X é fechado, então F é compacto.

Prova : Seja U = {Ui / i ∈ J} uma cobertura de F , onde cada Ui é aberto em X ; entãoU∪ {X −F} é uma cobertura de X ; como X compacto, possui um subcobertura finita,que pode ser:

{Ui / i ∈ K} ou {Ui / i ∈ K} ∪ {X − F},

onde K é finito. Logo {Ui / i ∈ K} é um subcobertura finita de F .

Proposição 5.4. X e Y são compactos se, e somente se X × Y é compacto.

Prova : Se X × Y é compacto, como as projeções são contínuas, então X e Y são com-pactos. Reciprocamente, seja W = {Wj / j ∈ J} uma cobertura aberta de X × Y ; pordefinição:

Wj =⋃k∈K

(Uj,k × Vj,k

),

onde Uj,k é aberto em X e Vj,k é aberto em Y , então:

U = {Uj,k × Vj,k / j ∈ J, k ∈ K}

é uma cobertura aberta de X × Y .

Por outro lado, para cada x ∈ X , temos que Y ∼= {x} × Y ; logo {x} × Y é compacto;como U também é uma cobertura de {x} × Y , então admite um subcobrimento finito{Ui × Vi / i = 1, 2, . . . , n}, onde n = n(x). Seja:

Ux =

n(x)⋂i=1

Ui.

{Ux / x ∈ X} é uma cobertura aberta deX ; como é compacto, admite uma subcoberturafinita {Uxi / i = 1, 2, . . . ,m}; então:

{Uxi × Vki / i = 1, 2, . . . ,m, ki = 1, 2, . . . , n(x)}


é uma cobertura finita de X × Y , isto é, para cada i e ki, existe j ∈ J e k ∈ K tal que:

Uxi × Vki ⊂ Uj,k × Vj,k ⊂ Wj.

Logo, existe subcobertura finita de W, provando que X × Y é compacto.

Corolário 5.2. X1, X2, . . . , Xn são compactos se, e somente se X1 ×X2 . . .×Xn é com-pacto.

Prova; Imediata.

Exemplo 5.4.

[1] Rn não é compacto.

[2] Se I = [0, 1], então In = I × I × . . .× I é compacto.

[3] O toro T 2 = S1 × S1 é compacto.

[4] Em geral, T n = S1 × S1 × . . .× S1 é compacto.

[5] O toro não é homeomorfo ao cilindro S1 × R.

5.5 Compacidade em Espaços Métricos

Proposição 5.5. Sejam(M,d1

)e(N, d2

)espaços métricos. SeM é compacto e f : M −→

N é contínua, então f é uniformemente contínua.

Prova : Como f é contínua, para todo ε > 0 existe δx > 0 tal que se d1(x, y) < 2 δx,então:

d2(f(x), f(y)) < ε/2.

Seja B = {Bδx(x) / x ∈ X}; B é uma cobertura aberta de X ; por compacidade, admiteum cobertura finita {Bδxi

(xi) / i = 1, 2, . . . , n}. Denotemos por δ = min{δxi(x) / i =1, 2, . . . , n}, então dados x, y ∈ X tais que d1(x, y) < δ, temos d2(f(x), f(y)) < ε. Isto é,se x ∈ Bδxi

(xi) para algum i, d1(x, xi) < δxi e:

d(y, xi) ≤ d(y, x) + d(x, xi) < 2 δx, logo d2(f(y), f(xi)) < ε/2,

d2(f(x), f(y)) ≤ d2(f(x), f(xi)) + d2(f(xi), f(y)) < ε/2 + ε/2 = ε.

5.5. COMPACIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS 119

Proposição 5.6. Seja(M,d

)um espaço métrico. Se A ⊂ M é compacto, então A é

fechado e limitado.

Prova : Provemos que A é fechado. Se x ∈ A e x /∈ A, então para todo y ∈ A, existeε > 0 tal que d(x, y) = 2 ε; logo A possui uma cobertura {Bε(y) / y ∈ A}; como A écompacto, existe uma cobertura finita {Bεi(y) / i = 1, . . . n}; então Bεi(x)∩Bεi(y) 6= ∅ oque é uma contradição, pois x ∈ A; logo A = A. Por outro lado, para todo x0 ∈M :

A ⊂ B1(x0) ∪B2(x0) ∪B3(x0) ∪ . . .

A ⊂j⋃i=1

Bni(x0);

logo, é limitado.

Observação 5.2. Em geral, a recíproca desta proposição é falsa. De fato, consideremosM com a métrica discreta etal que A ⊂M é infinito; então A é fechado e limitado, poisA ⊂ B2(x) = M para todo x ∈M e não é compacto.

No caso M = Rn temos:

Proposição 5.7. (Heine-Borel) Um subconjunto é fechado e limitado em Rn se, e so-mente se é compacto.

Prova : Seja A ⊂ Rn fechado e limitado. Se A é limitado, existe k > 0 tal que ‖x‖ ≤ k,para todo x ∈ A; logo A ⊂ [−k, k]n = [−k, k]× [−k, k]× . . .× [−k, k].

Por outro lado, [−k, k] é compacto, pois [−k, k] ∼= [0, 1]. Logo, A é fechado contido numcompacto; então, A é compacto.

Exemplo 5.5.

[1] Q ⊂ R não é compacto, pois não é fechado nem limitado.

[2] A esfera unitária Sn ⊂ Rn+1 é compacta.

[3] PRn é compacto.

[4] O toro e a esfera não são homeomorfos a R2.

[5] O toro e a esfera não são homeomorfos ao cilindro S1 × R.

[6] A faixa de Moebius é compacta.


[7] Os grupos O(n) e SO(n) são compactos.

De fato, sabemos que são fechados e para toda A ∈ O(n), temos que ‖A‖1 =√n. Logo,

O(n) é limitado.

Corolário 5.3. (Weirstrass) Seja X um espaço topológico compacto e f : X −→ Rcontínua; então existem x0, x1 ∈ X tais que:

f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1),

para todo x ∈ X .

Prova : Como f é contínua, f(X) é compacto em R, logo é fechado e limitado; comof(X) é limitado, existe M = sup{f(x) / x ∈ X} e L = inf{f(x) / x ∈ X}; além disso éfechado; então M, L ∈ f(X). De fato, suponha que M /∈ f(X), como f(X) = f(X),então existe ε > 0 tal que (M−ε,M+ε)∩f(X) = ∅. Isto é, para todo x ∈ X , f(x) ≤M−εo que é uma contradição.

Analogamente para L. Logo, existe x0, x1 ∈ X tais que M = f(x1) e L = f(x0), e:

f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1),

para todo x ∈ X .

Definições 5.1.

1. Seja A ⊂ X um conjunto limitado, definimos e denotamos o diâmetro de A por:

d(A) = sup{d(x, y) / x, y ∈ A}.

2. O número δ > 0 é dito de Lebesgue da cobertura {Ui / i ∈ J} de X , se para todoA ⊂ X com d(A) < δ, então existe i0 ∈ I tal que:

A ⊂ Ui0 .

Observação 5.3. O número de Lebesgue de uma cobertura pode não existir.

De fato, considere a cobertura {(−∞, 0), (0,+∞)} de R − {0}. Não é difícil ver quepara todo δ > 0, se pode escolher 0 < r < δ/2; tal que d({−r, r}) < δ e {−r, r} nãopertence a nenhum elemento da cobertura.

5.5. COMPACIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS 121

Lema 5.1. (Lebesgue) Todo conjunto compacto num espaço métrico possui um númerode Lebesgue.

Prova : Sejam K compacto, {Ui / i ∈ J} uma cobertura de K e x ∈ K. Escolhemos onúmero r(x) > 0 tal queB(x, r(x)) ⊂ Ui para algum i ∈ J ; então {B(x, r(x)/2) / x ∈ X}é uma cobertura de X , como X compacto, admite subcobertura finita B(x1, r(x1)),B(x2, r(x2)) , . . ., B(xn, r(xn)). Seja

δ = min{r(x1), r(x2), . . . , r(xn)}.

O número δ > 0 é o número de Lebesgue. De fato, seja B(x, δ) para algum x ∈ X ;então, existe i ∈ {1, 2 . . . , n} tal que x ∈ B(xi, r(xi)/2). Por outro lado, se y ∈ B(x, δ),temos que:

d(y, xi) ≤ d(y, x) + d(x, xi) ≤ δ + r(xi)/2 ≤ r(xi).

Logo, B(x, δ) ⊂ B(xi, r(xi)/2) ⊂ Uj , para algum Uj ∈ {Ui / i ∈ J}.


5.6 Exercícios

1. Rn, (n = 2, 3) com a topologia usual. Verifique se os seguintes conjuntos são ounão compactos.

(a) {(x, y) / x > 1}.

(b) {(x, y) / x = y}.

(c) {(x, y) / x y ≤ 0}.

(d) {(x, y, z) / x2 + y2 + z2 ≥ 4}.

2. Seja R com a topologia usual. Verifique que conjunto A = {1/n / n ∈ N} não écompacto.

3. Seja R com a topologia usual. O conjunto B = {(−1)n/n / n ∈ N} ∪ {0} é com-pacto?

4. Sejam Rn com a topologia usual, A ⊂ Rn e x0 ∈ Rn. Sabemos que a distância dex0 a A ér:

d(x0, A) = inf{‖x0 − x‖ / x ∈ A}.

(a) Se A é fechado, existe q ∈ Rn tal que d(p,A) = d(p, q)?

(b) Verifique que f(p) = d(p,A) é uniformemente contínua.

5. Seja Rn com a topologia usual e A, B ⊂ Rn. Defina a distância de A a B por:

d(A,B) = inf{‖x− y‖ / x ∈ A, y ∈ B}.

(a) d(A,B) = inf{d(p,B) / p ∈ A}?

(b) Que ocorre no item anterior se A e B são compactos?

6. Sejam X compacto, An ⊂ X tais que An 6= ∅ e An+1 ⊂ An, para todo n ∈ N.Verifique que:

⋂n

An 6= ∅.


7. Seja X um espaço métrico compacto e f : X −→ X contínua. Verifique que existeA ⊂ tal que A 6= ∅ e f(A) = A.

(Utilize o exercício anterior e defina A1 = f(X) e An+1 = f(An), , para todon ∈ N).

8. Seja Y ⊂ X um subespaço. Y é compacto se, e somente se Y é compacto com atopologia induzida.

9. Seja f : X −→ Y contínua e L ⊂ Y um conjunto compacto. Verifique se f−1(L)

écompacto.

10. Seja f : X −→ Y contínua e K ⊂ Y um conjunto compacto. Ache um exemplotal que f−1

(K)

não é compacto. De condições para que f−1(K)

seja compacto.

11. Seja X não enumerável. Definamos a seguinte topologia em X : U é aberto se, esomente se U = ∅ ou U c é enumerável. Verifique que X com esta topologia, nãoé compacto.

12. Ache um exemplo de um espaço topológico, onde os subconjuntos compactosnão são fechados.

13. Ache um exemplo de um espaço topológico, onde a clausura dos subconjuntoscompactos não são compactos.

14. Seja S1, A ⊂ R, onde A{(x, y) / y = x2} ambos com a topologia induzida, S1 éhomeomorfo a A?

15. Seja R com a topologia usual. De um exemplo de uma função f : R −→ Rcontínua, injetiva tal que f

(R)

não é fechado.

16. Ache exemplos de(X,T1

)compacto,

(Y,T2

)e f : X −→ Y bijeção contínua tal

que não seja homeomorfismo.

17. Seja f : X −→ Y um homeomorfismo local tal que X é compacacto. Verifiqueque f−1(y) ⊂ X , para todo y ∈ Y é finito.

18. Suponha que todo subconjunto compacto de um espaço topológico X é fechado.Se A ⊂ X é finito, então é fechado?


19. Seja R com a topologia usual, defina:

T = {∅} ∪ {U ⊂ R /U c é compacto em R}.

(a) Verifique que T é uma topologia para R.

(b) Verifique que R é compacto em (R, T ).

20. Considere o espaço métrico l2, definido nos exercícios do primeiro capítulo. Ve-rifique que as bolas fechadas de l2 não são compactas.

Capítulo 6

AXIOMAS DE SEPARAÇÃO

6.1 Introdução

Consideremos(M,d

)um espaço métrico com mais de dois elementos. Sempre pode-

mos escolher ε > 0 tal que d(x, y) = 2 ε com x, y ∈M e x 6= y, então Bε(x) ∩Bε(y) = ∅.

Esta propriedade natural dos espaços métricos, que nos permite diferenciar os pontosdos espaços, não é válida, em geral, em espaços topológicos arbitrários.

Neste parágrafo estudaremos que tipo de espaços possuem esta propriedade, que porexemplo, é fundamental para provar a unicidade do limite de uma sequência em espa-ços métricos. Veja [EL2].

6.2 Espaços de Kolmogorov

Seja(X,T

)um espaço topológico

Definição 6.1. X é um espaço de Kolmogorov ou T0 se para todo x, y ∈ X tal quex 6= y, existe U ∈ T tal que x ∈ U e y /∈ U .

Exemplo 6.1.

[1] (X,Tdis) é T0.

De fato, o conjunto {x} ∈ Tdis e x ∈ {x}.

[2] (R× R,Tus × Tind) não é T0

De fato, os abertos são da forma (a, b)× R, os quais sempre contém retas verticais.

125

126 CAPÍTULO 6. AXIOMAS DE SEPARAÇÃO

6.3 Espaços de Fréchet

Seja(X,T


Definição 6.2. X é um espaço de Fréchet ou T1 se para todo x, y ∈ X tal que x 6= y,existe U ∈ T tal que x ∈ U e y /∈ U .

Exemplo 6.2.

[1](X,Tdis

)e os espaços topológicos metrizavéis são T1.

[2](X,Tind

)não é T1.

[3] X = {0, 1} com a topologia de Sierpinski é de Kolmogorov e não de Fréchet.

De fato, os abertos de X são {∅, 1, X}, logo 1 ∈ {1} e 0 ∈ {0, 1}.

Proposição 6.1. X é T1 se, e somente se {x} é fechado em X , para todo x ∈ X .

Prova : Suponha que X é T1. Seja x ∈ X e y ∈ X − {x}; então existe Uy vizinhança dey tal que x /∈ Uy; logo: ⋃

y∈{x}cUy = X − {x},

isto é,X−{x} é aberto. Reciprocamente, se {x} e {y} são fechados emX ; entãoX−{x}e X − {y} são abertos, y /∈ X − {x} e x /∈ X − {y}; logo X é T1.

6.4 Espaços de Hausdorff

Seja(X,T


Definição 6.3. X é um espaço de Hausdorff ou T2 se para todo x, y ∈ X tal que x 6= y,existem U, V ∈ T, x ∈ U e y ∈ V tais que U ∩ V = ∅.

x

y

Figura 6.1: Espaço T2

6.4. ESPAÇOS DE HAUSDORFF 127

Observação 6.1. T2 implica T0 e T1. A reciproca é falsa. Veja os seguintes exemplos:

Exemplo 6.3.

[1](R,Tus

)é de Hausdorff.

[2](X,Tind

)não é de Hausdorff.

[3](X,Tcof

)tal que X é infinito, então X não é de Hausdorff.

De fato, sejam x, y ∈ X , x 6= y e U, V ∈ Tcof tais que x ∈ U e y ∈ V e U ∩ V = ∅, logo:[U ∩ V

]c= X ⇐⇒ U c ∪ V c = X;

contradição, logo X não pode ser de Hausdorff. Note que(X,Tcof

)é T1.

[4] Utilizando propriedades dos anéis de polinômios é possível verificar que topologiade Zariski não é de Hausdorff.

[5](X,Tdis

)e os espaços topológicos metrizavéis são de Hausdorff.

Seja X um espaço com a topologia induzida pela métrica d de X . Para todo x, y ∈ Xtal que x 6= y, temos que ε = d(x, y) > 0, basta considerar os abertos U = Bδ(x) eV = Bδ(y), logo:

U ∩ V = ∅,

onde δ =ε

2.

[6] Em particular, para todo n ≥ 1, Rn com a topologia usual é de Hausdorff.

Teorema 6.1. São equivalentes as seguintes condições:

1. X é de Hausdorff.

2. Se x ∈ X , para todo y 6= x existe uma vizinhança U de x tal que y /∈ U .

3. Para todo x ∈ X temos que:

⋂{U /U vizinhança de x} = {x}.

4. A diagonal ∆ = {(x, x) / x ∈ X} é um conjunto fechado em X ×X .


Prova : 1) ⇒ 2) Dados x 6= y, existem U e V vizinhanças de x e y respectivamente, taisque U ∩ V = ∅; logo y 6∈ U .

2) ⇒ 3) Se y 6= x existe uma vizinhança U de x tal que y /∈ U ; então:

y /∈⋂{U /U vizinhança de x}.

3) ⇒ 4) Provaremos que ∆c é aberto.

Seja (x, y) /∈ ∆; então x 6= y; como {x} =⋂{U /U vizinhança de x}, existe U tal que

x ∈ U e y /∈ U . Por outro lado, U ∩(U)c

= ∅, então:

(x, y) ∈ U ×(U)c ⊂ ∆c.

4) ⇒ 1) Dados x 6= y, então (x, y) /∈ ∆, isto é (x, y) ∈ ∆c que é aberto; logo existevizinhança U × V de (x, y) tal que

(U × V

)∩∆ = ∅.

(U × V

)∩∆ 6= ∅ ⇔ existex ∈ X tal que (x, x) ∈ ∆

⇔ x ∈ U e x ∈ V⇔ U ∩ V 6= ∅.

Logo; x ∈ U e y ∈ V , U ∩ V = ∅.

Corolário 6.1.

1. Se X é de Hausdorff e Y ⊂ X é um subespaco, então Y é de Hausdorff.

2. Se Y é de Hausdorff e f : X −→ Y é contínua e injetiva, então X é de Hausdorff.

3. Se X e Y são de Hausdorff, então X × Y é de Hausdorff.

Prova :

1. Denotemos por ∆Y a diagonal de Y , então

∆Y = ∆ ∩(Y × Y

).

Logo ∆Y é fechado em Y × Y e Y é de Hausdorff.


2. Como f é contínua e injetiva:

∆X = (f × f)−1(∆Y

).

Logo ∆X é fechada em X ×X e X é de Hausdorff.

3. Se X e Y são de Hausdorff, definamos:

f : X ×X × Y × Y −→ X × Y ×X × Y(x, x1, y, y1) −→ (x, y, x1, y1).

f é um homeomorfismo e:

f(∆X ×∆Y

)= ∆X×Y .

Logo, ∆X×Y é fechado em X × Y ×X × Y e X × Y é de Hausdorff.

Teorema 6.2. Se X é de Hausdorff e A ⊂ X é compacto, então A é fechado.

Prova : Se A = ∅ ou A = X nada temos a provar. Sejam A 6= ∅, X e x ∈ Ac; para todoa ∈ A existem Ua e Va vizinhanças de x e a respectivamente, tais que Ua ∩ Va = ∅.

Por outro lado, {Va / a ∈ A} é um recobrimento aberto deA; comoA é compacto, existeum subrecobrimento finito {Vai / i = 1, 2, . . . , n}. Consideremos:

U =n⋂i=1

Uai .

U é vizinhança de x tal que U ∩ Vai = ∅ para todo i; logo U ⊂ Ac, isto é, para cadax ∈ Ac existe um aberto tal que x ∈ U ⊂ Ac, logo Ac é aberto e A fechado.

Observação 6.2. A condição de ser de Hausdorff e de compacidade são essenciais noteorema anterior. Vejamos os seguintes exemplos:

Exemplo 6.4.


[1] Considere X = {a, b, c} com a seguinte topologia T = {∅, {a}, {b, c}}. EntãoA = {c} é compacto e Ac = {a, b} /∈ T, logo A não é fechado. Note que X não éde Hausdorff.

[2] Seja X = N com a topologia dada no exercício [2], ítem 2. Seja A = {1}, A écompacto e A = N pois para todo aberto An temos A ∩ An = {1}. Isto é, para todon ∈ N, n ∈ A e N não é compacto. De fato:

N =⋃n∈N

Gn,

onde Gn = {1, n}. Logo, o fecho de um compacto pode não ser compacto.

Corolário 6.2. Sejam T1 e T2 topologias em X tal que T1 ⊂ T2. Se(X,T1

)é de Haus-

dorff e(X,T2

)é compact, então T1 = T2.

Prova : Seja U ∈ T2; logo F = U c é fechado em T2; então F é compacto em T2.

Por outro lado, como T1 ⊂ T2, todo recobrimento aberto de X em T1 é um recobri-mento aberto de X em T2; então F é compacto em T1. Como

(X,T1

)é de Hausdorff,

segue que F é fechado em T1; logo U ∈ T1 e T2 ⊂ T1.

Proposição 6.2. Sejam X espaço topológico, Y espaço de Hausdorff e:

f, g : X −→ Y

contínuas. Então:

1. {x ∈ X /f(x) = g(x)} é fechado em Y .

2. Se D ⊂ X é denso e f∣∣D

= g∣∣D

então f = g em X .

3. O gráfico de f é fechado em X × Y .

4. Se f é injetiva, então X é de Hausdorff.


Prova :

1. Seja h : X −→ X × Y onde h(x) = (f(x), g(x)); h é contínua e:

{x ∈ X /f(x) = g(x)} = h−1(∆)

e ∆ é fechado em X × Y .

2. Segue, de imediato, pois {x ∈ D/f(x) = g(x)} ⊂ {x ∈ X /f(x) = g(x)}. Como{x ∈ X /f(x) = g(x)} é fechado e D é denso, então:

{x ∈ D/f(x) = g(x)} = {x ∈ X /f(x) = g(x)}.

3. Seja k : X × Y −→ Y × Y onde k(x, y) = (f(x), y); k é contínua e:

G(f) = k−1(∆)

e ∆ é fechado em X × Y .

4. A função f−1 : f(X) −→ X é uma bijeção fechada do espaço f(X) que é deHausdorff.

Corolário 6.3. Sejam X espaço de Hausdorff e f : X −→ x contínua. Então, o conjuntodos pontos fixos de f :

Fix(f) = {x ∈ X /f(x) = x}

é fechado em X .

Prova: Imediata.

Observação 6.3. O ítem 1 da proposição [6.2], não é válido sem a hipótese de ser deHausdorff. Por exemplo, considere f = id e g = −id tal que:

f, g :(R,Tind

)−→

(R,Tind

),

ambas são contínuas e {x ∈ X /f(x) = g(x)} = {0}, que não é fechado em(R,Tind

).

Note que as curvas contínuas e os planos são fechados em R3 com a topologia usual.


Proposição 6.3. Se X é compacto, Y é de Hausdorff e f : X −→ Y é contínua, então fé fechada.

Prova : Seja F ⊂ X fechado; logo é compacto; então f(F ) é compacto, o que implicaf(F ) é fechado em Y e f fechada.

Corolário 6.4. Sejam X compacto, Y espaço de Hausdorff e f : X −→ Y contínua. Sãoequivalentes:

1. f é um homeomorfismo.

2. f bijetiva.

Prova : Se f é um homeomorfismo, então é bijetiva. Reciprocamente. Se f é bijetiva,então f é aberta e fechada; logo é um homeomorfismo.

Observação 6.4. A condição de compaciade é essencial no corolário [6.4]. De fato,considere os espaços

(R,Tus

),(R,Tdis

)e a função identidade:

id :(R,Tdis

)−→

(R,Tus

)que é contínua, bijetiva e não é um homeomorfismo.

Corolário 6.5. Sejam X compacto, Y espaço de Hausdorff e f : X −→ Y contínua einjetiva então:

X ∼= f(X).

Prova: Exercício.

6.5 Topologia Quociente

Em geral, é falso, que espaços quocientes de um espaço de Hausdorff sejam de Haus-dorff.

6.5. TOPOLOGIA QUOCIENTE 133

Exemplo 6.5. Seja R com a topologia usual e definamos a seguinte relação de equiva-lência:

x ∼ y ⇔ x = y ou {x, y} ⊂ (0, 1).

Consideremos(X/∼)

com a topologia quociente e Π a correspondente projeção canô-nica. Se x0 ∈ (0, 1), então Π−1([x0]) = (0, 1), que não é fechado em R; logo {[x0]} não éfechado em

(X/∼), o qual implica em que

(X/∼)

não pode ser de Hausdorff.

Teorema 6.3. Seja X compacto, de Hausdorff e f : X −→ Y uma identificação. Se f éfechada, então Y é de Hausdorff (compacto).

Prova : Sejam y1, y2 ∈ Y tal que y1 6= y2, então f−1(y1) e f−1(y2) são compactos disjun-tos. Seja x ∈ f−1(y1) e b ∈ f−1(y2), então existem Ux,b e Vx,b abertos disjuntos tais quex ∈ Ux,b e b ∈ Vx,b. Por outro lado, {Vx,b / b ∈ f−1(y2)} é uma cobertura de f−1(y2); logoexiste uma subcobertura finita {Vx,b / b ∈ B}, onde B ⊂ f−1(y2) e B finito. Sejam:

Ux =⋂b∈B

Ux,b e Vx =⋃b∈B

Vx,b,

Ux e Vx são abertos tais que Ux ∩ Vx = ∅ e x ∈ Ux, f−1(y2) ⊂ Vx. Por outro lado,{Ux / x ∈ f−1(y1)} é uma cobertura de f−1(y1), logo existe uma subcobertura finita{Ux / x ∈ A}, onde A ⊂ f−1(y1) e A finito. Sejam:

U =⋃x∈A

Ux e V =⋂x∈B

Vx,

U e V são abertos disjuntos tais que f−1(y1) ⊂ U e f−1(y2) ⊂ V ; como f é fechada,então f(U c) e f(V c) são fechados em Y . Denotemos por:

W1 =(f(U c)

)c e W2 =(f(V c)

)c.

W1 e W2 são abertos tais que y1 ∈ W1, pois f−1(y1) ⊂ U e y2 ∈ W1, pois f−1(y2) ⊂ V . Sey ∈ W1 ∩W2, então y /∈ f−1(U c) e y /∈ f−1(V c); logo f−1(y) ∩ U c = ∅ e f−1(y) ∩ V c = ∅donde f−1(y) ⊂ U ∩ V = ∅ e W1 ∩W2 = ∅.

Corolário 6.6. Seja X compacto, de Hausdorff e A ⊂ X fechado. Definamos em X arelação de equivalência:

x ∼ y ⇔ x = y ou {x, y} ⊂ A.

Então(X/∼)

é compacto e de Hausdorff.


Prova : Seja F ⊂ X fechado e Π a projeção canônica. Se F ∩A = ∅, então Π(F ) = F . SeF ∩ A 6= ∅, então Π(F ) = Π(F − A) ∪ Π(F ∩ A) que é fechado. De fato:

Π−1(Π(F − A) ∪ Π(F ∩ A)

)= (F − A) ∪ A = F ∪ A.

Logo, Π é fechada.

É comum na literatura denotar-se X/∼ por X

/A.

Corolário 6.7. Se X é um G-espaço compacto, de Hausdorff e G é finito, então X/G écompacto e de Hausdorff.

Prova : Seja F ⊂ X fechado, então:

Π−1(Π(F )

)=⋃g∈G

θg(F ),

onde Π é a projeção canônica. θg é um homeomorfismo, para todo g ∈ G; entãoΠ−1

(Π(F )

)é fechado e Π(F ) é fechado; logo Π é fechada.

Proposição 6.4. SeX é compacto, Y é de Hausdorff e f : X −→ Y contínua sobrejetiva,então f é uma identificação.

Prova : Seja K ⊂ X fechado, então K é compacto em X , logo f(K) é compacto emY , como Y é de Hausdorff, f(K) é fechado em Y e f é uma função fechada e pelaproposição [4.2], f é uma identificação.

Exemplo 6.6.

[1] Para todo n ≥ 1, Sn é compacto e de Hausdorff.

[2] O toro T 2 é compacto e de Hausdorff. Em geral, T n é compacto e de Hausdorff

[3] O espaço projetivo real RPn e CPn são compactos e de Hausdorff.

[4] A faixa de Moebius é compacta e de Hausdorff.

[5] A garrafa de Klein é compacta e de Hausdorff.


6.6 Homeomorfismos

Nas seguintes aplicações utilizaremos o corolário [6.4]:

Corolário 6.8. Sejam X compacto, Y de Hausdorff ∼ uma relação de equivalência emX e f : X −→ Y contínua e sobrejetiva tal que x ∼ x1⇔ f(x) = f(x1). Então:

X ∼= Y.

Prova: Imediata.

A) Seja Sn−1 × {0} ⊂ Sn−1 × I , então:

B[0, 1] ∼=(Sn−1 × I

)/(Sn−1 × {0}

).

De fato, definamos f : Sn−1 × I −→ B[0, 1] por f(x, t) = t x.

Por outro lado f(x1, t1) = f(x2, t2) ⇔ x 6= 0 ou x1 = x2 e t1 = t2 = 0, f é contínuae sobrejetiva. Logo, por passagem ao quocientes, f induz uma bijeção contínua F talque F ◦ Π = f .

Denotemos por X =(Sn−1 × I

)/(Sn−1 × {0}

), temos o seguinte diagrama comutativo:

Sn−1 × If��

Π // B[0, 1]

XF

88

Como X é compacto e B[0, 1] é de Hausdorff, então F é um homeomorfismo o qual édefinido por F ([(x, t)]) = f(x, t).

B) Seja T 2 o toro de revolução. Então:

T 2 ∼= S1 × S1 ∼=(I2/∼) ∼= R2

/Z2.

Pelo exemplo C em [4.4], provaremos que:

T 2 ∼=(I2/∼),

onde T 2 é o toro de revolução em R3.

T 2 ⊂ R3 é parametrizado por:

x(t, s) = (R + r cos(2πs)) cos(2πt)

y(t, s) = (R + r cos(2πs)) sen(2πt)

z(t, s) = r sen(2πt),


onde R > r > 0 e (t, s) ∈ R2. Seja I = [0, 1] e consideramos I2 ⊂ R2 com a topologiausual e a relação de equivalência definida em I2 por:

(s, 0) ∼ (s, 1) e (0, t) ∼ (1, t)

para todo (s, t) ∈ I2. Consideremos(I2/∼)

com a topologia quociente e definamos:

f : I × I −→ T 2

por f(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)). Note que: para todo t , s ∈ I ,

f(0, s) = (R + r cos(2πt), 0, 0) = f(1, s)

f(t, 0) = ((R + r) cos(2πt), (R + r) sen(2πt), r sen(2πt)) = f(t, 1)

f(0, 0) = f(1, 0) = f(0, 1) = f(1, 1) = (r +R, 0, 0).

f é bem definida, contínua e sobrejetiva. Como f é periódica, então (s, 0) ∼ (s, 1) e(0, t) ∼ (1, t) ⇔ f(s, t) = f(s1, t1). Logo, por passagem ao quocientes, f induz umabijeção contínua F tal que F ◦ Π = f . Em outras palavras, temos o seguinte diagramacomutativo:

I2

Π��

f // T 2

I2/∼

F

<<

Como(I2/∼)

é compacto e T 2 é de Hausdorff, então F é um homeomorfismo. Noteque F ([t1, t2]) = f(t1, t2). Logo, provamos que:

T 2 ∼= S1 × S1 ∼=(I2/∼) ∼= R2

/Z2.

Em geral, com argumentos análogos aos anteriores, se consideramos o toro n-dimen-sional Tn = S1 × S1 × . . .× S1, (n vezes), temos que:

Tn ∼= Rn/Zn ∼= In/ ∼ .

C) Seja X = Rn+1∗ , isto é Rn+1 menos a origem, definamos em X a seguinte relação de

equivalência:

x ∼ y ⇔ existe λ ∈ R∗ tal que x = λ y.

Seja X =(X/∼), então:

X ∼= RPn.


Considere Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de Rn+1. Sejaf : Sn −→ X definida por f = Π ◦ i, onde i : Sn −→ Rn+1

∗ é a inclusão e Π : Rn+1∗ −→ X

é a projeção canônica. f é contínua e sobrejetiva. Logo, temos o seguinte diagramacomutativo:

Sn

Π��

f // RPn

XF

<<

Como Sn é compacta e RPn é de Hausdorff, então F é um homeomorfismo F . É claroque RP0 é um ponto e RP1 ∼= S1. De fato, basta considerar a função f : S1 −→ S1

tal que f(z) = z2, por argumentos análogos aos anteriores, temos o seguinte diagramacomutativo:

S1

Π��

f // S1

RP1F

==

Logo, temos que RP1 ∼= S1.

D) Seja X = Cn+1∗ , isto é Cn+1 menos a origem, definamos em X a seguinte relação de

equivalência:

z1 ∼ z2 ⇔ existe λ ∈ C∗ tal que z1 = λ z2.

Seja X =(X/∼), então:

X ∼= CPn.

Considere S2n+1 ⊂ Cn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de Cn+1. Sejaf : S2n+1 −→ X definida por f = Π◦i, onde i : S2n+1 −→ X é a inclusão e Π : Cn+1

∗ −→ Xé a projeção canônica. f é contínua e sobrejetiva. Logo, temos o seguinte diagramacomutativo:

S2n+1

Π��

f // CPn

XF

::

Como S2n+1 é compacta e CPn é de Hausdorff, então F é um homeomorfismo e:

X ∼= CPn.


F) Seja O(n) o grupo ortogonal real e denotemos por H o subgrupo de O(n) definidopor: A ∈ H se, e somente se:

A =

(1 00 B

),

onde B ∈ O(n − 1). Não é difícil ver que H e O(n − 1) são homeomorfos. Definamosem O(n) a seguinte relação de equivalência:

A1 ∼ A2 ⇔ existe A ∈ H tal que A1 = A2A.

Afirmamos que:

O(n)/O(n− 1) ∼= Sn−1.

Definamos f : O(n) −→ Sn−1 por:

f(A) = A

1...0

f é bem definida e sobrejetiva, pois para todo v ∈ Sn−1, existe uma rotação A tal queAe1 = v. Verifique! f é claramente contínua.Sejam A1 ∼ A2, então A1 = A2A, para algum A ∈ O(n− 1); logo:

f(A1) = A1

1...0

= A2A

1...0

= A2

1...0

= f(A2).

Logo, temos o seguinte diagrama comutativo:

O(n)

Π��

f // Sn−1

O(n)/O(n− 1)

F

77

F ([A]) = f(A). Como O(n) é compacto, então O(n)/O(n− 1) é compacto, F é contínuae bijetiva e Sn−1 é de Hausdorff, enão F é um homeomorfismo e:

O(n)/O(n− 1) ∼= Sn−1.

G) Seja M a faixa de Moebius, então:

M ∼= F,

6.7. VARIEDADES TOPOLÓGICAS 139

onde F é a superfície parametrizada em R3, por:

x(t, s) = (x2 − y2) (2 + x z)

y(t, s) = 2 x y (2 + x z)

z(t, s) = y z,

onde (t, s) ∈ R2.

Lembremos que M =(C/∼), onde C = {(x, y, z) / x2 + y2 = 1, |z| ≤ 1}. Seja

p = (x, y, z) ∈ C e f : C −→ R3 definida por:

f(p) = ((x2 − y2) (2 + x z), 2x y (2 + x z), x y).

Note que f(p) = f(x, y, z) = f(−x,−y,−z) = f(−p). A função f é injetiva, contínua,M compacto e f(M) ⊂ R3 de Hausdorff; logo

M ∼= f(M) = F.

6.7 Variedades Topológicas

As variedades topológicas são uma das classes mais importantes dos espaços topoló-gicos. A ideia central deste capítulo é estudar as variedades topológicas, que são ageneralização natural das superfícies para dimensão n > 2.

Definição 6.4. X é dito localmente euclidiano se é localmente homeomorfo a Rn, paraalgum n ≥ 1.

Isto é, X é um espaço localmente euclidiano se, e somente se para todo p ∈ X , existemuma vizinhança U ⊂ X de p, um aberto W ⊂ Rn e um homeomorfismo:

φ : U ⊂−→ W ⊂ Rn.

Definição 6.5. Se X é localmente homeomorfo a Rn, dizemos que X tem dimensão n.

Se X é uma variedade topológica de dimensão n. Todo ponto de X possui uma vizi-nhança homeomorfa a uma aberto de Rn; isto é todo x ∈ X possui uma vizinhança Ue um homeomorfismo:

h : U −→ Dn,

onde Dn ⊂ Rn é o disco unitário.


Ux

h

D

X

Figura 6.2: Variedade de dimensão 2

Definição 6.6. X é dita variedade topológica de dimensão n ou uma n-variedade to-pológica se é um espaço topológico de Hausdorff, de base enumerável e que é local-mente euclidiano, isto é, localmente homeomorfo a Rn.

Observações 6.1.

1. Os abertos de X homeomorfos aos abertos de Rn formam uma base para X .

2. Se n = 2, então X é dita superfície topológica.

3. Se X e Y são variedades de dimensão n e m, respectivamente, então X×Y é umavariedade de dimensão n+m. (Verifique!).

Exemplo 6.7.

[1] A esfera Sn é uma variedade topológica de dimensão n. Segue de imediato, bastaconsiderar a projeção stereográfica.

[2] Tn = S1 × . . .× S1 (n-vezes) é uma variedad topológica de dimensão n.

[3] Os espaçõs projetivos reais e complexos são variedades topológicas de dimensão ne 2n, respectivamente.

[4] A garrafa de Klein é uma superfície topológica.

[5] A Faixa de Möebius não é uma superfície topológica. Por que?


6.8 Exercícios

1. Seja X = {a, b, c, d, e} com a topologia

T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}.

(X, T ) é de Hausdorff?

2. Seja X 6= ∅, para a ∈ X fixo, defina a topologia:

T = {∅} ∪ {U ⊂ X /a ∈ U}.

(X, T ) é de Hausdorff?

3. Se X é de Hausdorff e f : X −→ Y é uma bijeção fechada. Verifique que Y é deHausdorff.

4. Seja X , onde a topologia em X é definida por: U é aberto se, e somente se U = ∅ou U c é finito. X é de Hausdorff?

5. Se X é de Hausdorff e A ⊂ X finito tal que A′ = ∅. Verifique que A é fechado.

6. Seja X = {(x, 1) ∈ R2 / x ∈ R} ∪ {(x,−1) ∈ R2 / x ∈ R}. Verifique que X não é deHausdorff com a topologia induzida pela topologia usual de R2.

7. Ache exemplos de(X,T1

)espaço topologico,

(Y,T2

)de Hausdorff e f : X −→ Y

bijeção contínua tal que não seja homeomorfismo.

8. Verifique que CP0 é um ponto e CP1 ∼= S2.

9. SeX é de Hausdorff. X é dito 0-dimensional seX possui uma base cujos elemen-tos são abertos e fechados.

(a)(R,Tus

),(Q,Tus

)e(Z,Tus

)são 0-dimensionais?

(b) Se X e Y são 0-dimensionais, então X × Y é 0-dimensional?

10. Seja X um espaço topológico e {xn} uma sequência de elementos de X . O pontoL ∈ X é dito limite se para toda vizinhança U de L existe N ∈ N tal que xn ∈ U ,para todo n > N . Verifique que se X é de Hausdorff, então toda sequência queconverge tem um único ponto de limite.


11. Seja X um espaço topológico Hausdorff. X é dito regular se para todo x ∈ Xe todo subconjunto fechado A tal que x /∈ A, existe uma vizinhança U de x e Vaberto tal que A ⊂ V , então U ∩ V = ∅. Verifique que são equivalentes:

(a) X é regular.

(b) Para todo x ∈ X e U vizinhança de X , existe V uma vizinhança de x tal quex ∈ V ⊂ V ⊂ U .

(c) Para todo x ∈ X e A fechado em X , existe V uma vizinhança de x tal queV ∩ A = ∅.

12. Um subespaço de um espaço regular é regular?

13. Verifique que todo espaço topológico de Hausdorff compacto é regular.

14. Verifique que todo espaço métrico é regular.

15. Todos os conjuntos abertos de Rn são variedades topológicas de dimensão n.

16. G é um grupo topológico se:

(a) Se G é um espaço topológico Hausdorff.

(b) (G, ·) é um grupo.

(c) G possui uma topologia tal que:

· : G×G −→ G e inv :G −→ G

(g1, g2) −→ g1 · g2 g −→ g−1

são contínuas. Onde G × G tem a estrutura de espaço topológico com atopologia produto.

(a) Verifique que o grupo (Z,+) com a topologia T = {∅, Z, Un}, onde Un =[n,+∞). Então Z não é um grupo topológico com esta topologia.

(b) Todo subgrupo de G com a topologia relativa é um grupo topológico?

(c) Verifique que os grupos (R,+) e (R, ·) com a topologia usual são grupostopológicos.

(d) Seja S1 ⊂ C. Verifique que S1 herda uma estrutura de grupo multiplicativode C que o torna S1 um grupo topologico compacto.


(e) Os grupos de matrizes GL(n,R) e GL(n,C) com a multiplicação de matrizese a topologia euclidiana são grupos topológicos.

17. Verifique que se G é um grupo topológico:

(a) Todo subgrupo de G com a topologia relativa é um grupo topológico.

(b) O produto cartesiano finito de grupos topológicos é um grupo topológico.Logo, o toro S1 × S1 é um grupo topológico compacto.

18. Seja G um grupo topológico; para todo a ∈ G:

(a) Denotamos e definimos a translação à equerda:

La : G −→ G

g −→ a · g.

(b) Denotamos e definimos a translação à direita:

Ra : G −→ G

g −→ g · a.

Verifique que as funções La e Ra são homeomorfismos tais que para todo a ∈ G:

L−1a = La−1 e R−1

a = Ra−1 .

19. Seja G um grupo topológico; para todo a ∈ G. Verifique que:

(a) La ◦ Lg = La·g e L−1a = La−1 .

(b) Ra ◦Rg = Rg·a e R−1a = Ra−1 .

(c) La ◦Rg = Rg ◦ La

20. Sejam G um grupo topológico e H ⊂ G. H é subgrupo topológico de G se:

(a) H é um subgrupo de G.

(b) H tem a topologia induzida por G como subespaço topológico.


Sejam G um grupo topológico e H um subgrupo topológico, normal e fechado.Verifique que G/H é um grupo topológico tal que:

Π : G −→ G/H.

é um homorfismo contínuo e aberto.

21. Verifique que toda 1-variedade topológica compacta é homeomorfa a S1.

Capítulo 7

CONEXIDADE

7.1 Introdução

Neste capítulo apresentamos outro conceito fundamental da Topologia, o qual nos pre-mitirá responder algumas questões planteadas ao inicio do livro, que ainda estão semrespostas.

7.2 Conexidade

Seja X um espaço topológico não vazio.

Definição 7.1. X é dito conexo se não existem A e B abertos disjuntos não vazios taisque X = A ∪B. Caso contrário X é dito desconexo.

Observação 7.1. A ⊂ X é conexo, se é conexo como subespaço de X .

Exemplo 7.1.

[1] {x} e ∅ são sempre conexos.

[2] Em(X,Tind

), todo subconjunto é conexo.

[3] Em(X,Tdis

), os únicos conexos não vazios são os conjuntos de um elemento.

[4] Seja(R,Tus

),

1. Q ⊂ R é desconexo. De fato, basta considerar:

A = (−∞,√

2) ∩Q e B = (√

2,+∞) ∩Q.

145

146 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE

2. Para todo x ∈ R, então R− {x} é desconexo. De fato, basta considerar:

A = (−∞, x) e B = (x,+∞).

[5](R,Tcof

)é conexo. De fato, nesta topologia não existem abertos não vazios disjun-

tos.

[6] Seja Rn+1 com a topologia usual, então Rn+1 − Sn não é conexo.

De fato, seja f : Rn+1 −→ R definida por f(x1, x2, . . . , xn+1) = x21 + x2

2 + . . . + x2n+1,

então:

1. f é contínua.

2. SejamA = f−1((−∞, 1)

)eB = f−1

((1,+∞)

). Os conjuntosA eB são não vazios,

pois (−1, 0, . . . , 0) ∈ A e (2, 0, . . . , 0) ∈ B.

3. Os conjunto A e B são abertos.

4. A ∩B = ∅ e A ∪B = Rn+1 − Sn.

5. Logo, Rn+1 − Sn não é conexo

Proposição 7.1. Seja R com a topologia usual. Os únicos conjuntos conexos em R commais de um ponto são os intervalos (abertos, fechados, etc).

Prova : Se Y é conexo, então Y é um intervalo. Suponha que Y não é um intervalo,então existem a, b ∈ Y e c /∈ Y tal que a < c < b. Sejam A = (−∞, c) ∩ Y e B =(c,+∞) ∩ Y ; logo Y = A ∪B e Y não é conexo.

Se Y é um intervalo, então é conexo. Se Y for desconexo, então existem A e B abertosdisjuntos não vazios tais que Y = A ∪ B. Sejam a ∈ A e b ∈ B tais que a < b (casocontrário, mudamos os papéis de a e b). Denotemos por:

α = sup{x / [a, x) ⊂ A}.

Logo α ≤ b; como Y é um intervalo, α ∈ Y . Por outro lado, α ∈ AY = A ∩ Y . Como

A = Y − B, então A é aberto e fechado em Y ; logo α ∈ A =◦A e existe ε > 0 tal que

(α− ε, α + ε) ⊂ A, contradição, pois α é um supremo.Segue de imediato da proposição anterior:

7.2. CONEXIDADE 147

Corolário 7.1. Seja R com a topologia usual. A ⊂ R é conexo se, e somente se A = ∅,A = {x} ou A é um intervalo.

Prova: Imediata.

Teorema 7.1. São equivalentes:

1. X conexo.

2. Os únicos subconjuntos abertos e fechados em X são X e ∅.

3. Não existe função f :(X,T

)−→

({0, 1},Tdis

)contínua e sobrejetiva.

Prova :1) ⇒ 2) Se A ⊂ X é aberto, fechado e não vazio ou X , então X = A ∪ Ac, então Xdesconexo.

2) ⇒ 3) Suponha que f :(X,T

)−→

({0, 1},Tdis

)é contínua e sobrejetivaa, logo

f−1(0) 6= ∅, como {0} é aberto e fechado em({0, 1},Tdis

), então f−1(0) é aberto e fe-

chado em X .

3) ⇒ 1) Se X = A ∪ B onde A e B são abertos disjuntos não vazios, então A e B sãofechados e a função χ :

(X,T

)−→

({0, 1},Tdis

)definida por:

χ(x) =

{1 se x ∈ A0 se x ∈ B

é contínua e sobrejetiva.

Exemplo 7.2. Segue do teorema que R, com a topologia usual é conexo.

Corolário 7.2.

1. Se X é conexo e f : X −→ Y é contínua, então f(X) é conexo.

2. Seja X ∼= Y . Então, X é conexo se, e somente se T é conexo.


3. A união arbitrária de subconjuntos conexos de X que tem pelo menos um pontoem comum, é conexa. Isto é. Seja {Aλ /, λ ∈ Γ} tal que

⋂λ

Aλ 6= ∅, então:

⋃λ∈Γ

Aλ

é conexo.

4. Seja A ⊂ X subconjunto conexo. Se B ⊂ X é tal que A ⊂ B ⊂ A, então B éconexo. Em particular, o fecho de um conexo é conexo.

Prova :

1. Note que f : X −→ f(X) é contínua e sobrejetiva. Se f(X) for desconexo, existeg : f(X) −→ {0, 1} contínua e sobrejetiva; logo g ◦ f : X −→ {0, 1} contínua esobrejetiva, o que é uma contradição, pois X é conexo.

2. É imediata.

3. Sejam {Aα / α ∈ I} família de conexos, e:

A =⋃α∈I

Aα, tal que x0 ∈⋂α∈I

Aα.

Suponha que existe f : A −→ {0, 1} contínua. Como cada Aα é conexo f∣∣Aα

não é sobrejetiva. Por outro lado, como x0 ∈ Aα, para todo α ∈ I ; então f(x) =f(x0), para todo x ∈ Aα e α ∈ I ; caso contrário f

∣∣Aα

é sobrejetiva. Logo f não ésobrejetiva.

4. Seja f : X −→ {0, 2} contínua; como A é conexo, então f∣∣A

não é sobrejetiva. Poroutro lado, B = A ∩B = AB e pela continuidade de f :

f(B) = f(AB) ⊂ f(A) = f(A);

logo f não é sobrejetiva.

7.2. CONEXIDADE 149

Exemplo 7.3. Não existe f : R −→ R contínua tal que:

f(Q)⊂ Qc e f

(Qc)⊂ Q.

Suponha que existe tal função, como Q é enumerável, temos que f(Q)

é enumerável,como f

(Qc)⊂ Q é enumerável, então f

(R)

é enumerável.

Por outro lado, R é conexo, então f(R)

é conexo, logo f(R)

é um intervalo e é enume-rável, logo f

(R)

= {a}, para algum a ∈ R e f(x) = a, para todo x ∈ R, como:

f(Q)⊂ Qc =⇒ a ∈ Qc

f(Qc)⊂ Q =⇒ a ∈ Q,

o que é uma contradição.

Proposição 7.2. X e Y são conexos se, e somente se X × Y é conexo.

Prova : Sejam X e Y conjuntos conexos tais que X×Y = A∪B, onde A e B são abertosdisjuntos. Ou A = A1 × Y , A1 ⊂ X aberto ou existe x ∈ X tal que

({x} × Y

)∩ A 6= ∅ e(

{x} × Y)∩B 6= ∅.

Exemplo 7.4.

[1] S1 ⊂ R2 com a topologia usual é conexo.

De fato; seja f : [0, 1] −→ R2 definida por f(t) = e2πi t que é contínua e S1 = f([0, 1].Em particular:

S1 � R,

pois, R− {x} é desconexo e S1 − {p} é ainda conexo.

[2] O toro T 2 = S1 × S1 é conexo. Em geral, T n é conexo.

[3] Rn e In = [0, 1]× · · · × [0, 1] são conexos.

[4] A faixa de Moebius, o plano projetivo real, o plano projetivo complexo e a garrafade Klein são conexos.

[5] Sejam

X = {(x, y) / y = sen(1/x), 0 < x ≤ 1} e Z = {0} × [−1, 1].

O conjunto X é conexo, pois é imagem de (0, 1] por uma função contínua, Z também éconexo; pelo corolário [7.2], X ∪ Z é conexo. Note que em R2, X = X ∪ Z.


1

-1

1

Figura 7.1: X = X ∪ Z

[6] Seja a família S1r = {(x, y) ∈ R2 / (x− r)2 +y2 = r2}, logo (0, 0) ∈ S1

r para todo r > 0.

Figura 7.2: A família S1r

Como cada S1r é conexo, pelo corolário [7.2]:

D =⋃r>0

S1r = {(x, y) ∈ R2 / (x− r)2 + y2 ≤ r2},

é conexo.

7.3 Aplicacões

A primeira aplicação que estudaremos é a generalização do teorema do Valor Interme-diário do Cálculo.

Proposição 7.3. Sejam X um conjunto conexo, R com a topologia usual e f : X −→ Rcontínua. Sejam x1, x2 ∈ X tais que f(x1) < f(x2). Então para todo c ∈ R tal quef(x1) < c < f(x2), existe x ∈ X tal que f(x) = c.

Prova : Se f é contínua, então f(X) ⊂ R é conexo, logo f(X) é um intervalo. Sef(x1) = a e f(x2) = b, então [a, b] ⊂ R; portanto, para todo c ∈ [a, b] existe x ∈ X tal quef(x) = c.

7.3. APLICACÕES 151

Corolário 7.3. (Teorema do ponto fixo) Toda f : [0, 1] −→ [0, 1] contínua admite, pelomenos menos um, ponto fixo. Isto é, existe x ∈ [0, 1] tal que f(x) = x.

Prova : Seja F (x) = f(x) − x; então F (1) ≤ 0 ≤ F (0). Pelo teorema do valor interme-diário, existe x ∈ [0, 1] tal que F (x) = 0.

Corolário 7.4. (Teorema de Borsuk - Ulam para n = 1) Seja f : S1 −→ R contínua.Existem pontos antipodais que possuem a mesma imagem.

Prova : Utilizando coordenadas polares, podemos denotar os elementos de S1 peloângulo θ, medido em radianos. Logo, os pontos θ e θ + π são antípodas; consideremosa função F (θ) = f(θ) − f(θ + π); então como f(0) = f(2 π) e F (0) = −F (π), peloteorema do valor intermediário, existe θ1 ∈ [0, π] tal que F (θ1) = 0.

Proposição 7.4. Seja n > 1 e A ⊂ Rn, A enumerável. Então Rn − A é conexo.

Prova : Sem perda de generalidade, podemos supor que a origem 0 /∈ A (caso contrário,por translação, movemos a origem). Seja x ∈ Rn −A. Provaremos que a origem e cadax, estão contidos num conjunto conexo de Rn − A e pelo corolário [7.2], Rn − A seráconexo. Denotemos por ~0x a semi-reta que liga a origem à x e por L uma reta qualquerque intersecte ~0x em único ponto diferente de 0 e x. Para todo z ∈ L, seja LZ = ~0z ∪ ~zx.Pelo corolário [7.2] cada Lx é conexo e LZ ∩ Lz′ = {0, x}.

x

0

L

Lz

zA

Figura 7.3:

Pelo menos um Lz ⊂ Rn −A; caso contrário se Lz ∩A 6= ∅, para todo z ∈ L, o ponto deinterseção, necessariamente, deve ser diferente para diferentes z ∈ L. Logo, teríamosuma correspondência biunívoca entre L e A, o que é impossível, pois A é enumerável.


Corolário 7.5. R e Rn, n > 1 não são homeomorfos.

Prova : Suponha que Rn ∼=h R; então(Rn − {x}

) ∼= (R − {h(x)}

). Como Rn − {x} é

conexo, R− {h(x)} seria conexo. Portanto não podem ser homeomorfos.

Observação 7.2. Provar que Rn � Rm se n 6= m é, surpreendentemente, muito maiscomplicado. Este resultado segue do teorema chamado da invariância da dimensão,cujo enunciado é: se Rn ∼= Rm, então n = m. A prova deste teorema envolve delicadosconceitos topológicos que ficam fora do contexto destas notas.

Definição 7.2. Seja x ∈ X ,. A componente conexa de x é a união de todos os conjuntosconexos que contém a x.

Denotamos por C(x) a componente conexa de x. Pelo corolário [7.2], C(x) é o maiorconexo que contém x. Se X é conexo, então C(x) = X , para todo x ∈ X .

Proposição 7.5. C(x) é fechado em X .

Prova : Sabemos que C(x) ⊂ C(x), para todo x ∈ X e que C(x) é conexo. Como C(x) éo maior conexo que contém x, então C(x) ⊂ C(x).

Exemplo 7.5. Sn ⊂ Rn∗1, com a topologia usual, é conexo.

De fato; consideremos o homeomorfismo Sn − {p} ∼= Rn dado pela projeção estereo-gráfica. Como Rn é conexo, então Sn − {p} é conexo e:

Sn = Sn − {p}.

7.4 Conexidade por Caminhos

Sejam(X,T

)e I = [a, b] ⊂ R um intervalo fechado, com a topologia induzida pela

topologia usual de R.

Definição 7.3. Um caminho em X é uma função α : I −→ X , contínua.

Os pontos α(a) e α(b) são ditos ponto inicial e final do caminho, respectivamente. Umcaminho não é um conjunto em X . Por exemplo, considerando R com a topologiausual, então:

α1 : [0, 1] −→ R e α2 : [0, 1] −→ R,

definidos por α1(t) = t e α2(t) = t2 são dois caminhos ligando 0 e 1.

7.4. CONEXIDADE POR CAMINHOS 153

Definição 7.4. Um espaço topologico X é dito conexo por caminhos ou conexo porarcos, se para todo x1, x2 ∈ X , existe caminho ligando x1 a x2.

Exemplo 7.6.

[1] Rn é conexo por caminhos. Em geral, todo espaço vetorial é conexo por caminhos.

[2] O grupo O(n) não é conexo por caminhos. De fato, se consideramos duas matri-zes em O(n), tais que uma tenha determinante positivo e a outra determinante nega-tivo, qualquer caminho contínuo ligando estas matrizes, necessariamente deverá pas-sar pela matriz nula.

Proposição 7.6. Seja X conexo por caminhos e f : X −→ Y contínua e sobrejetiva.Então Y é conexo por caminhos.

Prova : Sejam y, y1 ∈ Y ; como f é sobrejetiva, existem x, x1 ∈ X tais que f(x) = y ef(x1) = y1. Como X é conexo por caminhos, existe α : I −→ X contínua ligando x ax1; logo definimos β = f ◦ α, que é um caminho que liga y a y1.

Corolário 7.6. Se X ∼= Y , então X conexo por caminhos se, e somente se Y conexo porcaminhos.

Prova: Pelo corolário, podemos sempre considerar I = [0, 1]. Sejam α, β : I −→ Xcaminhos tais que α(1) = β(0), isto é, o ponto final de α coincide com o ponto inicialde β. Nesta condições, podemos definir:

α ∗ β :I −→ X

t −→

{α(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

O caminho α ∗ β é contínuo e (α ∗ β)(0) = α(0), (α ∗ β)(1/2) = α(1/2) = β(1/2) e(α ∗ β)(1) = β(1). Logo, α ∗ β é um caminho em X ligando α(0) a β(1).

Proposição 7.7. Seja {Xλ / λ ∈ Γ} uma família arbitrária de espaços conexos por cami-nhos tal que

⋂λ∈Γ

Xλ 6= ∅, então:

X =⋃λ∈Γ

Xλ

é conexo por caminhos.


Prova : Sejam x1, x2 ∈ X tais que x1 ∈ Xλ1 e x2 ∈ Xλ2 . Se z ∈⋂

Xλ, existem α e βcaminhos com x1 ∈ Xλ1 e x2 ∈ Xλ2 , ligando x1 a z e x2 a z, respectivamente. Bastaconsiderar o caminho α ∗ β, que liga x1 a x2.

Proposição 7.8. Se X e Y são conexos por caminhos, então X × Y é conexo por cami-nhos.

Prova : Sejam (x, y), (x1, y1) ∈ X × Y . Denotemos por α : I −→ X e β : I −→ Ycaminhos ligando x a x1 e y a y1, respectivamente. Logo:

µ :I −→ X × Yt −→ (α(t), β(t))

é um caminho em X × Y , ligando (x, y) a (x1, y1).

Teorema 7.2. Se X é conexo por caminhos, então X é conexo.

Prova : Sejam x, x1 ∈ X e α um caminho ligando x a x1. Então, α(I) é um conjuntoconexo que contém x e x1; logo x e x1 pertencem a mesma componente conexa, o queimplica que X possui uma única componente conexa; portanto é conexo.

A reciproca do teorema é falsa. Veja o seguinte exemplo:

Exemplo 7.7.

Sabemos que se:

X = {(x, y) / y = sen(1/x), 0 < x ≤ 1} e Z = {0} × [−1, 1],

o conjunto Y = X ∪ Z é conexo, mas Y não é conexo por caminhos.

Provaremos que não existe caminho α : [0, 1] −→ Y tal que α(0) ∈ X e α(1) ∈ Z.Suponha que tal caminho existe. Sem perda de generalidade, podemos supor queα(1) = (0, 1). Consideremos ε = 1/2; pela continuidade de α, existe δ > 0 tal que‖α(t)− (0, 1)‖ < 1/2 se 1− δ ≤ t ≤ 1.

7.4. CONEXIDADE POR CAMINHOS 155

1

1

Figura 7.4:

Note que α([1 − δ, 1]) é conexo. Denotemos por α(1 − δ) = (x0, y0) e pr1(x, y) = x aprimeira projeção de R2; então pr1 ◦ α : [0, 1] −→ R e contínua e o seguinte conjuntoC =

(pr1 ◦ α

)([1 − δ, 1]) é conexo com 0 ∈ C, pois α(1) = (0, 1)); também x0 ∈ C.

Por outro lado, C é um intervalo e contém [0, x0]; logo para todo x1 ∈ (0, x0], existet ∈ [1 − δ, 1] tal que α(t) = (x1, sen(1/x1)). Em particular, se m = 2nπ − π/2, para ngrande, temos que se x1 = 1/m, então 0 < x1 < x0 e sen(1/x1) = sen(−π/2) = −1; logoo ponto (1/m,−1) = α(t), para algum t ∈ [1 − δ, 1], ou seja, o ponto (1/m,−1) está auma distância menor que 1/2 do ponto (0, 1). Istoe é uma contradição, pois (1/m,−1)esta a uma distância de pelo menos 2 do ponto (0, 1).

Proposição 7.9. Seja Rn com a topologia usual, se A ⊂ Rn é aberto, então A é conexopor caminhos.

Prova : Seja p ∈ A e denotemos por:

F = {x ∈ A/x pode ser ligados a p por um caminho em A}

Afirmamos que F é aberto. De fato, seja x ∈ F ⊂ A, como A é aberto, existe ε > 0tal que D = {y / ‖x − y‖ < ε, } é uma vizinhança de x e x ∈ D ⊂ A. Por outro lado,D é conexo por caminhos, (pois é homeomorfo a Rn); logo, todo ponto de D pode serligado a p por um caminho em D. Por tanto, todo ponto de D pode ser ligado a p porum caminho em A. Isto é, D ⊂ F e F á aberto.

Afirmamos que F é fechado. De fato, seja B = E − F ; logo B é o conjunto de todos ospontos de A que não podem ser ligados a p por um caminho em A. Por um argumentoanálogo ao anterior é possível verificar que B é aberto e por tanto F é fechado. Logo,F é não vazio, aberto e fechado, como A é conexo, então A = F .

S


7.5 Exercícios

1. Saja X = {a, b, c, d} com a topologia:

T = {∅, X, {a}, {b, c}, {a, b, c}}.

Verifique se (X, T ) é conexo?

2. Rn com a topologia usual. Verifique se os seguintes conjuntos são ou não conexos.

(a) {(x, y) / x > 1}.

(b) {(x, y) / x = y}.

(c) {(x, y) / x y > 0}.

(d) {(x, y, z) / x2 + y2 + z2 > 4}.

(e) {(x, y, z) / x2 + y2 + z2 > 4}c.

3. Verifique que o grupo O(n,R) das matrizes reais ortogonais de ordem n não éconexo.

4. Determine as componentes conexas de GL(n,R) o grupo das matrizes de deter-minante não nulo.

5. Um espaço topológico(X,T

)tem a propriedade do ponto fixo, se toda função

contínua de(X,T

)em

(X,T

)possui um ponto fixo.

(a) Verifique que os intervalos fechados, com a topologia usual, são os únicosem possuir a propriedade do ponto fixo.

(b) Se(X,T

)tem a propriedade do ponto fixo e f : X −→ Y homeomorfismo,

então (Y,T1) tem a propriedade do ponto fixo?

6. Verifique que se A é conexo tal que A ⊂ B ⊂ A, então B é conexo.

7. Verifique que se A e B são conexos tal que A ∩B 6= ∅, então A ∪B é conexo.

8. Se A ∪B e A ∩B são conexos, então A e B são conexos?


9. Seja Y um conjunto ordenado, com a relação de ordem ≤. Denotemos por y < y1

se y ≤ y1 e y 6= y1. Definamos a topologia em Y que tem como subbase S ={Ly, Ry}, onde:

Ly = {x ∈ Y / x < y} e Ry = {z ∈ Y / y < z}.

Note que se Y = R, então o intervalo (a, b) = Ra∩Lb. A topologia gerada por estasubbase é chamada topologia da ordem e Y é dito espaço odenado. Verifique queo teorema do valor intermediário, pode ser estendido a espaços ordenados.

10. Verifique que: total

(a) R � S1.

(b) S1 � Sn se n > 1.

11. Sejam(X,T

)e R com a topologia usual. Dizemos que f : X −→ R é localmente

constante se, para todo x ∈ X existe U vizinhança de x tal que f : U −→ R éconstante. Verifique que:

(a) Se X é conexo e f localmente constante, então f é constante.

(b) Se toda f : X −→ R é localmente constante, então X é conexo.

12. Seja f : X −→ Y um homeomorfismo local tal que X é compacto e conexo.Verifique que existe n ∈ N tal que para todo y ∈ Im(f) a cardinalidade de f−1(y)é n.

13. Seja R com a topologia usual, então(R×Q

)∪(Q× R

)é conexo por caminhos?

14. Verifique que todo espaço com a topologia indiscreta é conexo por caminhos.

15. Seja X um espaço topologico e ∼ a seguinte ralação de equivalência:

x ∼ y ⇔ se existe um caminho ligando x a y em X.

Verifique que X é conexo por caminhos⇔ X/∼ é conexo por caminhos.

16. Verifique que os subconjuntos convexos de Rn são conexo por caminhos.


17. Seja(X,T

)um espaço topológico e α : I −→ X um caminho que liga um ponto

de A ⊂ X a um ponto de Ac. Verifique que α(I) ∩ ∂A 6= ∅.

18. Seja Pn(x) um polinômio de grau ímpar, então a equação Pn(x) = 0 tem pelomenos uma solução real.

19. Um espaço topológico(X,T

)é dito totalmente desconexo se as componentes

conexas C(x) = {x}, para todo x ∈ X :

(a) Verifique que Q ⊂ R com a topologia usual é totalmente desconexo.

(b) Se f : R −→ Q contínua, verifique que existe a ∈ Q tal que f(x) = a, paratodo x ∈ R.

(c) Se A ⊂ X e X é totalmente desconexo, então A é totalmente desconexo?

(d) Todo subconjunto enumerável do plano é totalmente desconexo?

(e) O produto de espaços totalmente desconexos é totalmente desconexo?

20. Seja R2 com a topologia T onde T é a topologia produto T1 × T1, tal que T1 temcomo base B = {[a, b), a < b, b ∈ Q}, prove que com esta topologia R2 é umaespaço de Hausdorff totalmente desconexo.

Bibliografia

[KJ] Jänich K.: Topology, Springer-Verlag

[EL1] Lima E.: Análise em Rn, Projeto Euclides, Impa - Brasil

[EL2] Lima E.: Espaços Métricos, Projeto Euclides, Impa - Brasil

[DD] Dugundji J: Topology, Boston, Allyn & Bacon

[CK] Kosniowski C: A First Course in Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press

159

Índice

G-espaços, 101círculo, 104toro, 105

Ações de Grupos, 98G-conjunto, 98

Axiomas de Separação, 125homeomorfismos, 135quociente, 132

Bases, 17

Compacidade, 113coberturas, 111espaços métricos, 118propriedades, 115subcoberturas, 112

Conexidade, 145aplicações, 150componente, 152conjuntos, 145por caminhos, 152

Conjuntoaberto relativo, 22abertos, 9denso, 25discreto, 25fechados, 14

Continuidade, 45espaços métricos, 50

Espaço Projetivocomplexo, 101real, 84

Espaçoscom produto interno, 36de Fréchet, 126

de Hausdorff, 126de Kolmogorov, 125métricos, 31vetoriais normados, 35

Espaços Quocientes, 87círculo, 87cilindro, 88cone e suspensão, 93esfera, 90faixa de Möebius, 89garrafa de Klein, 92toro, 91

Espaços Topológicos, 9

Faixa de Möebius, 85Funções

abertas, 55contínuas, 45fechadas, 55

Grupos de Matrizes, 74linear geral, 75ortogonal, 75ortogonal especial, 76unitário, 76

Grupos topológicossubgrupo, 143

Homeomorfismo, 61exemplos, 67local, 76

Identificação, 84Isometria, 33

Ponto Aderente, 24Ponto da Fronteira, 25

160

ÍNDICE 161

Ponto de Acumulação, 25Ponto Exterior, 24Ponto Interior, 24Ponto isolado, 25Projeção Estereográfica, 73

Sub-bases, 20Subespaço topológico, 21

Topologia, 9cofinita, 14de Sierpinski, 11de Zariski, 37discreta, 10euclidiana, 12indiscreta, 10inicial, 52métrica, 31produto, 52propriedade universal, 86quociente, 83, 132relativa, 21

Variedades topológicaslocalmente euclidiano, 139

Vizinhanças, 19

Documents

TOPOLOGIA GERAL - ime.uerj.brcalculo/reposit/topologia.pdf · A Topologia utiliza os mesmos objetos que a Geometria, com a seguinte diferença: não interessa a distância, os ângulos