TQS-DINAMICA12 (1)

Sumrio I

TQS Informtica Ltda Rua dos Pinheiros 706 c/2 05422-001 So Paulo SP Tel (0xx11) 3083-2722 Fax (0xx11) 3083-2798

TQS Informtica

Dinmica aplicada em estruturas de concreto

Srgio Stolovas

Sumrio

1 Introduo Anlise Vibracional de Estruturas ............................................... 1 1.1 Descrio fenomenolgica dos principais efeitos dinmicos que afetam as

estruturas: ....................................................................................................... 4 1.2 Descrio dos elementos com os quais mexe a Dinmica de Estruturas ........ 5 1.3 Diferenas entre efeitos de aes estticas e dinmicas ................................. 6 1.4 Oscilaes Livres ............................................................................................ 8 1.5 Oscilaes com amortecimento viscoso ......................................................... 9 1.6 Caractersticas da Resposta excitao harmnica de freqncia f de um

sistema com freqncia natural nf .............................................................. 10

1.7 Controle de resposta: .................................................................................... 15 1.8 Introduo Anlise de Fourier ................................................................... 16 1.9 Noo de efeito de harmnicos superiores ................................................... 19

2 Equaes da Anlise Vibracional de Estruturas .............................................. 21 2.1 Oscilaes Livres de um sistema de um grau de liberdade (com

amortecimento viscoso) ................................................................................ 21 2.2 Exemplos de Histrias de Resposta: ............................................................. 23 2.3 Amplificao dinmica: ................................................................................ 24 2.4 Sistema de 1 grau de liberdade submetido a Movimento Harmnico da Base:

...................................................................................................................... 25 2.5 Fator de Transmisso de deslocamentos devidos a Movimento Harmnico da

base: .............................................................................................................. 26 2.6 Equaes geral do movimento de uma estrutura de n- graus de liberdade: .. 28 2.7 Metodologias de clculo Aproximado .......................................................... 39

2.7.1 Mtodo de Rayleigh.............................................................................. 39 2.7.2 Mtodo de Dunkerley ........................................................................... 41 2.7.3 Mtodo de Newmark Stodola Vianello ........................................... 42 2.7.4 Frmulas aproximadas usuais que se derivam do mtodo de Rayleigh 42

3 Efeitos dinmicos gerados por equipamentos mecnicos ................................ 57 3.1 Introduo problemtica dos projetos de estruturas que sustentam

mquinas. ...................................................................................................... 57 3.2 Classificao dos tipos de mquina .............................................................. 58

II Dinmica aplicada em estruturas de concreto


3.3 Classificao dos tipos de bases executadas em concreto armado ................ 58 3.4 Anlise de Estruturas que sustentam Mquinas Rotativas ............................ 59

3.4.1 Caractersticas da excitao .................................................................. 59 3.4.2 Efeito de rotor desbalanceado ............................................................... 61 3.4.3 Valores da Fora devida Excentricidade de Rotores de acordo a ISO

1940 ...................................................................................................... 63 3.4.4 Caracterizao de projeto estrutural de bases para mquinas rotativas de

baixa e media freqncia ...................................................................... 65 3.4.5 Caractersticas do roteiro de projeto estrutural de Bases para mquinas

rotativas de alta freqncia ................................................................... 65 3.5 Exemplo de Anlise dinmica da estrutura que sustenta uma Unidade de

Compresso de Oxignio .............................................................................. 70 3.6 Modelo de interao dinmica solo-estrutura para Fundao Direta Rgida de

mquinas. ...................................................................................................... 74 3.7 Roteiro de anlise de fundaes superficiais de bases rgidas. ..................... 84 3.8 Parmetros de molas nos modelos dinmicos discretizados de bases

retangulares de maquinaria de baixa freqncia. .......................................... 87 3.9 Modelos dinmicos para fundao superficial em solos estratificados

(Baseado em valores obtidos por Richart, Hall and Woods) ........................ 93 3.10 Exemplo de avaliao analtica de uma base que sustenta um ventilador

industrial ....................................................................................................... 96

4 Efeitos dinmicos gerados por atividades humanas ...................................... 109 4.1 O ser humano como receptor de vibraes: ................................................ 109 4.2 Seres humanos como geradores de excitaes ............................................ 110

4.2.1 Excitao devida a pessoas caminhando ............................................. 110 4.2.2 Excitao devida a atividades rtmicas ............................................... 111 4.2.3 Efeitos sobre passarelas. ..................................................................... 112 4.2.4 Pessoas pulando e Excitao gerada pela multido em uma

arquibancada ....................................................................................... 113 4.2.5 Valores padronizados para a formulao da excitao gerada por

atividades humanas por meio de superposio de excitaes harmnicas

. ........................................................................................................... 118 4.3 Exemplo de avaliao vibracional analtica de uma passarela para pedestres.

.................................................................................................................... 120 4.4 Exemplo de avaliao funcional simplificada de alternativas para uma laje

.................................................................................................................... 129 4.4.1 Na avaliao se levaro em conta efeitos de pessoas caminhando e de

pessoas pulando. ................................................................................. 129

5 Efeitos dinmicos induzidos pelo vento ........................................................... 133 5.1 Introduo ................................................................................................... 133

Sumrio III


5.2 Natureza da fonte de excitao ................................................................... 133 5.3 Foras estticas equivalentes ...................................................................... 134 5.4 Efeitos dinmicos devidos turbulncia atmosfrica (efeitos de rajadas) .. 135 5.5 Metodologia da Norma NBR 6123 ............................................................. 138 5.6 Sinais e Espectros de Fourier ...................................................................... 141 5.7 Espectro de potncia da velocidade do vento ou Funo de densidade

espectral de potncia do vento .................................................................. 148 5.8 Mtodo do vento sinttico .......................................................................... 152

6 Anlise sismo-resistente de estruturas ............................................................ 155 6.1 Terremotos. Suas causas e mecanismos ..................................................... 155 6.2 Mapas de Risco Ssmico ............................................................................. 164 6.3 Resposta Estrutural ..................................................................................... 165 6.4 Espectros de resposta .................................................................................. 168 6.5 Espectro dctil de projeto ........................................................................... 171 6.6 Mtodo de Anlise Multi-modal ................................................................. 175 6.7 Mitigao do dano ssmico e a eficincia da engenharia civil na mesma. .. 177 6.8 Dano no estrutural ..................................................................................... 190

Anexo A. Excentricidades tpicas de rotores ................................................... 193

Anexo B. Tabelas de referncia para qualificar o nvel de resposta de maquinarias ...................................................................................................... 194

B.1. VDI 2054 .................................................................................................... 194 B.2. Rathbone Chart ........................................................................................... 196 B.3. Michael Blake ............................................................................................. 197 B.4. Norma IRD ................................................................................................. 198

Anexo C. Nveis de Percepo Humana de Vibraes ................................... 199 C.1. Nveis de percepo humana de vibraes. Os valores indicados so

aceleraes pico para pessoas paradas submetidas a vibraes verticais ... 199 C.2. ISO 2631-2 - Aceleraes pico mximas recomendadas para conforto

humano. ...................................................................................................... 199 C.3. ISO 2631-1 ................................................................................................. 200 C.4. ISO 2631-1 ................................................................................................. 201 C.5. DIN 4150-4 ................................................................................................. 202

Anexo D. Valores recomendados para serem empregados na avaliao funcio-nal de Efeitos de Atividades Humanas ........................................................... 203

Anexo E. Unidades logartmicas de amplitude vibracional ........................... 204

Anexo F. Reviso de diretivas de verificao de fadiga de acordo Norma ABNT NBR 6118-2003 ..................................................................................... 207

IV Dinmica aplicada em estruturas de concreto


F.1. .Reviso de parmetros bsicos .................................................................. 207 F.1.1. Concreto .............................................................................................. 207 F.1.2. Armadura ............................................................................................ 208

F.2. Reviso dos estados de carga normativos. .................................................. 208

F.2.1. Estado Limite ltimo ELU ( 4.1f ) ............................................. 208

F.2.2. Estado Limite de Servio ELS ( 0.1f ) ....................................... 210

F.2.3. Estado limite de Fadiga ....................................................................... 211

Anexo G. Sries de Fourier ............................................................................... 220

Anexo H. Transformadas de Fourier ............................................................... 224

Anexo I. Aceitabilidade de aceleraes induzidas por atividades humanas de acordo a ISO 2631-2 ......................................................................................... 229

Anexo J. Exemplos de clculo Parte 1 ................. Erro! Indicador no definido.

Anexo K. Bibliografia ........................................................................................ 232


Existem dois caminhos para estudar um problema. Eles so: o do cientista e o do engenheiro. O cientista somente est interessado na

verdade. Para ele existe somente uma resposta: a verdadeira, e no

importa quanto tempo leve chegar a ela. Para o engenheiro existem

muitas respostas possveis, todas elas so compromissos entre a verdade

e o tempo. O engenheiro deve dar uma resposta agora, e ela deve ser

suficientemente boa para certo propsito, mesmo quando ela no seja

estritamente verdadeira. por isso que o engenheiro deve fazer

suposies. Suposies que em muitos casos ele bem sabe que no so

estritamente certas, mas elas permitem obter uma resposta

suficientemente verdadeira aos efeitos do seu propsito imediato.

Engenheiro Annimo

Prembulo 1


1 Prembulo

Muitos fatores coadjuvam para que a Dinmica de Estruturas deva ser incorporada no

dia a dia no desenvolvimento de projetos de estruturas no Brasil.

Algumas delas so:

a) A grande quantidade de projetos de estruturas que sustentam equipamentos que geram aes cuja natureza e porte no admitem que

sejam consideradas como estticas.

b) Os avanos tecnolgicos na construo, a evoluo das necessidades arquitetnicas e das ferramentas de clculo que propiciam a adoo de

tipologias estruturais mais arrojadas, leves e deformveis. Aliado a isso,

a necessidade crescente de atendimento de exigncias de desempenho

funcional, implica na avaliao de desempenho devido a efeitos

dinmicos indesejveis induzidos por atividades humanas e por

equipamentos.

c) A proliferao de projetos de prdios cujas alturas obrigam a desenvolver anlises dinmicas que levem em conta os efeitos

dinmicos gerados pelas aes do vento.

d) A globalizao e a incurso no mercado internacional das companhias nacionais fazem que os engenheiros brasileiros estejam cada vez mais

envolvidos em projetos em regies com risco ssmico. Isso obriga ao

engenheiro compreender e poder aplicar as metodologias de anlise de

projetos sismo-resistentes.

A soluo de um problema de dinmica estrutural pode ser muito mais complexa que a

de um problema equivalente de esttica devido incorporao da massa e do

amortecimento s foras elsticas e tambm devido a que as foras e configuraes

estruturais viram histrias de foras e deslocamentos.

Equilbrio de foras a letra A no abecedrio do engenheiro de estruturas. Agregando

ao equilbrio global e das partes a continuidade das mesmas, faz-se possvel na esttica

atingir quase qualquer resposta que o engenheiro procura saber sobre a estrutura.

Por utilizar sempre problemas de esttica, o engenheiro de estruturas est habituado a

certos ditames, que esto incorporados solidariamente sua intuio. Essa intuio

fundamental para a visualizao do comportamento estrutural, mas pode ser fonte de

engano se no adaptarmos esta intuio dinmica.

2 Dinmica aplicada em estruturas de concreto


Se uma estrutura estiver submetida unicamente ao de certo sistema de foras, e

subitamente deixasse de estar submetida s mesmas, a deformao dever mudar e as

partes da estrutura devero se deslocar. Pode se intuir que a estrutura vai se deslocar

numa direo conforme a nova deformao que responde ausncia dessas cargas que

j sumiram. Teremos que a nossa estrutura j no estar submetida s foras, mas ainda

estar deformada. Ou seja, que em dinmica o ditame que associa necessariamente

deformao s foras deixa de ser correto. A evoluo no raciocnio do engenheiro para

adaptar a sua intuio dinmica passa por assumir que o que determinar as

solicitaes internas ser a deformao, e que o sacro equilbrio global e das partes da

estrutura no estar j vigente (no seu significado esttico).

O Curso de Dinmica Aplicada em Estruturas de Concreto destinado a Engenheiros

que possuem formao e experincia no desenvolvimento e clculo de projetos de

estruturas, e procuram incorporar as ferramentas da anlise dinmica nos projetos

futuros.

A estruturao do curso visa aproveitar ao mximo o conhecimento e a experincia

em anlise e projetos de estruturas que j possui o engenheiro, para assim incorporar de

maneira eficiente os conceitos e ferramentas de clculo da dinmica de estruturas.

Nas 16 intensas horas de trabalho conjunto com os participantes do curso se pretende

incorporar os novos conceitos de maneira pragmtica, objetiva e intuitiva. Para isso

sacrificado muito do que o rigor cientifico demandaria no desenvolvimento dos

temas, mas abrindo todo o espao possvel aos atalhos pelos quais a intuio sabe nos

conduzir at a compreenso. Todo o esforo est justamente orientado compreenso

dos conceitos, das metodologias de anlise e das estratgias de projeto.

O final de cada tema exposto com exemplos concretos de modo que as novas

ferramentas incorporadas ao sistema CAD/TQS permitem abordar os problemas de

dinmica de estrutura, modelar as aes e analisar as respostas estruturais. Com isso o

participante do curso pode visualizar que no se est ante uma disciplina

completamente diferente, e que na realidade consiste em um melhoramento da nossa

mesa de trabalho.

Da interao com os participantes surge o roteiro final de cada curso. Cada curso se

adapta para que o resultado seja mais adequado e mais proveitoso para o grupo

conformado pelos participantes do mesmo, sem descuidar atingir o objetivo. Por isso

NUNCA o curso segue estritamente a ordem nem abarcar exatamente o contedo da

presente apostila.

Prembulo 3


A presente apostila procura fornecer a guia e a documentao para o participante no

precisar tomar notas de tudo o que explicado. A apostila inclui tambm muitos pontos

que no sero desenvolvidos durante o curso, visando propiciar o estudo futuro para

uma melhor fermentao dos novos conceitos e para abrir mais portas ao

conhecimento complementando o contedo da matria tratada.



2 Introduo Anlise Vibracional de Estruturas

2.1 Descrio fenomenolgica dos principais efeitos dinmicos que afetam as estruturas:

Fonte(agente) de perturbao Transmissor (es)

da Vibrao

Receptor

da Vibrao

Fonte

local

Equipamento (mecnico) Estrutura do edifcio

elementos no estruturais

do edifcio

Estrutura-

Contedo do

edifcio

(elementos no

estruturais,

moveis,

equipamento,

etc.)

PESSOAS

Atividade de seres humanos

Fonte externa Veculos transitando na

Rua

(Estrutura externa)

SOLO

- Estrutura do edifcio

- elementos no

estruturais do edifcio

Ferrovias

Metr

Equipamento para obras

civis

Outros Ssmicos

Exploses

SOLO gua - SOLO

Vento Booms

Snicos - Blast

AR

Introduo Anlise Vibracional de Estruturas 5


2.2 Descrio dos elementos com os quais mexe a Dinmica de Estruturas



2.3 Diferenas entre efeitos de aes estticas e dinmicas



m

kf nn 2

22

1 nn

m

kf

k

m

fT

n

n 21

tauu nest cos



2.4 Oscilaes Livres

m

kn 2

2

n

nf n

nf

1

n

nn f

2

2

ttfatau

n

nn

2)2cos()cos(

O Movimento Harmnico de amplitude a e

freqncia angular pode ser visualizado como a projeo em um eixo do movimento circular

uniforme de raio a e velocidade

mais rgido mais rpido vibra maior freqncia prpria

mais massa mais devagar vibra menor freqncia prpria

)cos( tau n Por que teria que ser senoidal,

e no qualquer outra

coisa peridica!!!? J que a histria harmnica a que permite que a energia total do

sistema mola-massa seja a mesma para cada instante da trajetria!!!



Energia Potencial elstica 221 ukU 20 21 akU

Energia Cintica 221 vmK 20 021 mK

mk2

)cos( tau )(cos222 tau

)( tsenad

dv

t

u )(2222 tsenav

200 21 akKUKU

= k

.)()( consttKtU

2.5 Oscilaes com amortecimento viscoso



2.6 Caractersticas da Resposta excitao harmnica de freqncia f de um sistema com

freqncia natural nf

Para f



Para f = nf a resposta fica atrasada uma fase de ciclo

(90o= 2/ )

Para f >> nf a resposta est atrasada uma fase de quase ciclo

(180 = )

Muito Importante!:

A freqncia da resposta no estacionrio coincide sempre

com a freqncia da excitao



Ao cabo de alguns ciclos o transiente apaga e a resposta ser:

a) senoidal ,

b) com a freqncia da excitao,

c) com amplitude dependente no somente da amplitude P e da

rigidez k, mas tambm do amortecimento e da relao entre

freqncias de excitao e freqncia prpria da estrutura.

d) Com um atraso (fase ).



Em quase todos os

casos o interesse ser

exclusivamente na

parte Estacionria

da resposta.

)(

21

~)(222

tsen

rrk

ptu

n

r

fase

r

rtg

21

2

222 21

~)(

rr

utuamplitude esttico

222 211

rr



No estacionrio:

)(

21

~)(222

tsen

rrk

ptu

21

2

r

rtg

n

r



2.7 Controle de resposta:

222 )2()1(

)cos()(

rr

ttx st

+ tAtAe nntn 2221 1sin1cos

Estacionria Senoidal

No apaga!

Transiente

Apaga!

Para r>>1 2

002

2

2~)(

m

FkF

rtx nst Resposta controlada pela massa

Aumento a massa para aumentar r, st fica na mesma.

(Diminuindo k aumentaria r, mas tambm st )

Para r



RESUMINDO: a) Quando temos uma excitao harmnica atuando sobre um sistema de um

grau de liberdade, a resposta estacionria ser tambm harmnica, e sempre

com a mesma freqncia da excitao, sempre atrasada e amplificada ou

diminuda.

b) A fase e a amplitude da resposta estacionria estaro influnciadas pelos

parmetros:

amplitude da excitao,

rigidez do sistema,

fator de amortecimento,

razo entre a freqncia da excitao e a prpria do sistema.

c) Em geral estamos interessados somente na resposta estacionria. Somente para

efeitos de impacto o interesse se centrar na resposta transiente.

d) A superposio de excitaes coadjuvantes ter como resposta a soma das

respostas resultantes das excitaes individuais.

2.8 Introduo Anlise de Fourier

A razo pela qual as respostas a excitaes harmnicas so to importantes que:

Qualquer excitao relevante poder ser expressa (mediante a anlise de Fourier)

como soma de excitaes harmnicas: Toda funo F(t) peridica de perodo T que cumpra Hipteses de regularidade

Poder ser expressada da maneira

1

0 sincos2

)(n

TnTn tbtnaa

tF

T

dttFT

a0

0 )(2

T

Tn tdtntFT

a0

cos)(2

T

Tn tdtntFT

b0

sin)(2



O que resulta equivalente a dizer que qualquer F(t) que cumpra as hipteses de

regularidade poder se expressar como :

)(tF2

0a

1

sinn

nTn tnC com 22

nnn baC n

nn

b

aar tan

a mdia da

Funo no

intervalo

uma combinao linear de infinitas funes harmnicas de

freqncias mltiplas da freqncia de F(t): w. 2w 3w, 4w, ...

1

0 sin2

)(n

nTn tnCa

tF

O 1 termo no nulo se chama

Hamnico Fundamental (n=1), e os

seguintes Harmnicos Superiores.

nC o coeficiente de Fourier para a freqncia Tn

e representa a magnitude de F(t) nesse Harmnico.

1

0 sincos2

)(n

TnTn tbtnaa

tF

1

0 sin2

)(n

nTn tnCa

tF

T

dttFT

a0

0 )(2

22nnn baC

n

n

b

aar tan0

T

Tn tdtntFT

a0

cos)(2

T

Tn tdtntFT

b0

sin)(2



Casos simplificados:

Funo peridica Par Funo peridica mpar

1

0 cos2

)(n

Tn tnaa

tF

1

0 sin2

)(n

Tn tba

tF

Soma de COSENOS Soma de SENOS

Nestes casos resulta uma

Combinao linear de

Harmnicos com freqncia

Mltipla de T , e em fase !

F(t) IMPAR

1

0 sin2

)(n

nTn tnCa

tF

)sin(3sin2sinsin~ 321 tnCCCC TnTTT

Sawtooth



2.9 Noo de efeito de harmnicos superiores

O casal pesa com toda a roupa 130 kg

A excitao para o caso da dana com freqncia diretriz de 2,67 Hz ser a

superposio de 3 componentes harmnicas F1(t), F2(t), F3(t) com freqncias:

f1= 2,67 Hz, f2= 5,32 Hz , e f3= 8,01 Hz,

cujas amplitudes sero

F1 = 130x1,228 = 159,6 kgf , F2 = 130x0,311 = 40,4 kgf , F3 = 130x0,032= 4,2 kgf.

Se Hzfn 32,5

2

1

Para 02.0 , esses 40,4 kgf podem equivaler a: Feq=40,4x25=1010kgf!

)31,50cos(2,4)(3 ttF

)55,33cos(4,40)(2 ttF

)77,16cos(6,159)(1 ttF

1300 F



RESUMINDO:

a) Sistemas de um grau de liberdade submetidos a Histrias Harmnicas de

excitao resultam em respostas (que podemos calcular) cujo estacionrio

tambm Harmnico, e cuja freqncia a freqncia da excitao, atrasada e

amplificada ou diminuda.

b) Toda excitao peridica com histria conhecida pode ser formulada graas a

FOURIER como superposio de excitaes harmnicas. Para obter a resposta

ficaria somente somar os efeitos dessas excitaes harmnicas. Mais na frente

veremos que a anlise de Fourier pode ser generalizado para excitaes que

no sejam necessariamente peridicas.

c) O Espectro de Freqncias de uma excitao basta para poder estimar a

resposta, Para chegar s histrias de resposta exatas deveramos tambm

conhecer as fases dos diferentes harmnicos da excitao.

Equaes da Anlise Vibracional de Estruturas 21


3 Equaes da Anlise Vibracional de Estruturas

3.1 Oscilaes Livres de um sistema de um grau de liberdade (com amortecimento viscoso)

(Todo curso de dinmica deve comear assim, o nosso no, mas a apostila sim).

xckxxm A equao do movimento:

0 kxxcxm Df. Freqncia Angular

Natural

mkn

Df. Amortecimento crtico:

nc mmkc 2

Df: Fator de amortecimento

c

c

mk

c

2

Aos efeitos dos casos habituais na engenharia civil:

10 As razes da equao caractersticas associadas equao do movimento sero

nS 122,1 A soluo geral poder ser escrita da maneira:

02021 1cos)( 21 texecectx nttStS n

2

2

002

00

1

n

n xxxx



n

n

x

xx

2

0

001

0

1tan

Df: Freqncia Angular Natural Amortecida

nd 21

Sistema de 1 grau de liberdade submetido a excitao harmnica

)(

)(

tfkxxcxm

tfxckxxm

tFtf cos)( 0

stkF 0

st = resposta esttica

)1sin()1cos()2()1(

)cos()( 22

2

1222

tAtAerr

ttx nn

tst n

n

r

,

2

1

1

2tan

r

r

A1 e A2 dependem das condies inicias.

A resposta estacionria no depende das condies iniciais.

Para t suficientemente grande:

222 )2()1(

)cos(~)(

rr

ttx st

Onde st a resposta esttica:

stkF 0



Resulta interessante observar que:

Para r >> 1 2

0

02

2

2~)(

m

FkF

rtx nst Resposta controlada pela massa.

Para r >1), a maneira mais eficiente de diminuir a resposta ser incrementando a

massa. (ex. turbo-mquinas sobre estrutura ).

- Se um sistema estiver submetido a uma excitao com freqncia muito menor que a

prpria (r



Historia de resposta de deslocamento de um sistema com =0.05,

submetido a excitao harmnica em ressonncia (r=1, = n)

Historia de resposta de deslocamento de um sistema amortecido,

submetido a excitao harmnica de baixa freqncia.

3.3 Amplificao dinmica:

222222 211

)2()1(

1

nnst rr

XM

A Fase da resposta respeito da excitao ficar determinada por:

21

2tan

r

r



3.4 Sistema de 1 grau de liberdade submetido a Movimento Harmnico da Base:

Seja o deslocamento da base:

kyyckxxcxm

yxcyxkxm

)()(

As solues estacionrias resultam:

Nos casos particulares de Movimento senoidal e Movimento cosenoidal da Base:

Para tYty sin)(

Para tYty cos)(



)sin()2()1(

)2(1)(

222

2

t

rr

rtx p

)cos()2()1(

)2(1)(

222

2

t

ii

itxp

2

1

1

2tan

r

r , )2(tan 1 r

3.5 Fator de Transmisso de deslocamentos devidos a Movimento Harmnico da base:

222

2

)2()1(

)2(1

rr

r

Y

XTd

Sistema de 1 grau de liberdade submetido a excitao peridica

)(tFkxxcxm

F(t) de perodo T. Devido a Fourier:

)sin()cos(2

)(11

0 tnbtnaa

tFn

n

n

n



dttntFan )cos()(2

0

n=0,1,2 ...

dttntFbn )sin()(2

0

n=1,2,3 ...

)sin()cos(2 11

0 tnbtnaa

kxxcxmn

n

n

n

A resposta estacionria ser superposio das respostas estacionrias das n+1 equao:

Equaes Respostas

20000 akxxcxm

)cos( tnakxxcxm ncncncn n=1,2,3,..

)sin( tnbkxxcxm nsnsnsn n=1,2,3,..

k

atx p

2)( 0)(0

)cos()2()1(

)(2222

)(

nnp

cn tnnrrn

katx

)sin()2()1(

)(2222

)(

nnp

sn tnnrrn

kbtx

22

1

1

2tan

rn

nrn

m

kr nn ,

1

)(

1

)()(

0 )()()()()(n

p

sn

n

p

cn

p

h txtxtxtxtx

12222

0

)2()1(

) cos(

2)(

n

nnnh

nrrn

tnA

k

atx

k

baA nnn

22

n

nn

a

b1tan

* )(txh = soluo geral da equao homognea = oscilaes livres



3.6 Equaes geral do movimento de uma estrutura de n- graus de liberdade:

Desejamos achar a resposta da estrutura a uma excitao F(t). Isso significa resolver a

equao matricial (deslocamentos x(t) em funo da excitao F(t)):

)(tFxKxCxM

nx

x

x

x

2

1

nx

x

x

x

2

1

nx

x

x

x2

1

)(

)(

)(

)(2

1

tF

tF

tF

tF

n

nm

m

m

M

0

0

00

00

2

1

nnnn

n

n

ccc

ccc

ccc

C

21

22221

11211

nnnn

n

n

kkk

kkk

kkk

K

21

22221

11211

Ou seja, que equivale a um sistema de n equaes cuja equao genrica :

)(.. 22112211 tFxkxkxkxcxcxcxm ininiininiiii

Em cada equao aparecem deslocamentos de coordenadas diferentes e suas derivadas.

O que no nada animador para quem deseja saber o que acontece com o deslocamento

para cada uma das coordenas!

Se pudermos achar uma transformao lineal do tipo:

zx

)(

)(

)(

)(

)(

)(

2

1

21

22221

11211

2

1

tz

tz

tz

tx

tx

tx

nnnnn

n

n

n



que cumpra que as seguintes matrizes resultem diagonais:

n

j

M

M

M

M

00

00

001

n

j

C

C

C

C

00

00

001

n

j

K

K

K

K

00

00

001

A substituio de:

zx , zx , zx

na equao original resultar em:

FzKzCzM

Pr-multiplicando por :

FzKzCzM

Que devido suposio feita anteriormente ficar da maneira:

FzKzCzM jjj

0

0

0

0

0

0



Ou seja, n equaes diferenciais independentes; uma equao para cada modo j:

n

i

ijijjjjjj FzKzCzM1

3,2,1i

Cujas solues zj(t) podemos achar, j que so equaes de movimento de sistemas de 1 grau de liberdade:

Uma vez calculadas as funes zj, poderemos achar as x :

)()(1

tztx j

n

j

ui

nn

n

n

n

nnn

tZtZtZ

tx

tx

tx

tx

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

2

1

)()()(

)(

)(

)(

)(

Em definitiva: se tivermos uma matriz como [] teremos achado uma maneira

simples de chegar resposta.

Essa matriz existe e se chama matriz modal.

Formas modais, freqncias modais e matriz modal

Comearemos por analisar um sistema livre sem amortecimento cuja equao de

movimento :

xKxM

Procuraremos achar solues que tenham a forma:

tbtatScomtStS

tx

tx

tx

x

nn

sincos)(,)()(

)(

)(

)(

2

1

2

1



)()(

)(

)(

)(

2

1

2

1

tStS

tx

tx

tx

x

nn

Substituindo na equao do movimento:

)()(

)()(

tSKtSM

tSKtSM

Como

)()( 2 tStS

Resulta:

)(2 tSKM

O que implica que dever se cumprir:

KM2 MK 2 21 KM

Que um problema matricial de valores prprios da aplicao lineal definida pela

matriz:

KM 1

{} ser vetor prprio dessa aplicao com valor prprio ( quadrado de ).

Da necessidade de existncia de solues no triviais da equao:

KM2

Resulta a equao que proporciona as freqncias, chamada tambm equao

caracterstica:



KM2det

nnnnn

n

n

mkkk

kmkk

kkmk

2

21

22

2

2212

1121

2

11

det

Esta equao ter a forma

002

1

)1(2

1

2 aaaaN

N

N

N

Ela fornecer n solues:

22

2

2

1 n

E substituindo cada uma delas na equao matricial podero se obter as formas modais:

nn

n

n

n

nn

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

Df. Matriz Modal

nnnn

n

n

21

22221

11211

Df. Matriz Espectral

2

2

2

2

1

2

00

00

00

n

Resulta fcil de demonstrar que dadas 2 formas modais com freqncias diferentes:



nm

m

m

m

2

1

np

p

p

p

2

1

mp

mp

cumpre-se:

0 pm K 0

pm M

Que so as condies de ortogonalidade respeito a K e a M

definindo

jjj MM

jjj KK

Mj e Kj nmeros reais.

Da condio de ortogonalidade:

n

j

M

M

M

M

00

00

001

n

j

K

K

K

K

00

00

001

Isto suficiente para dizer que podemos mediante a transformao modal

diagonalizar a equao de um sistema no amortecido (com ou sem excitao)..

Para poder fazer a separao da equao geral do movimento mediante a

transformao:



)(

)(

)(

)(

)(

)(

2

1

21

22221

11211

2

1

tz

tz

tz

tx

tx

tx

nnnnn

n

n

n

Teria que se cumprir:

n

j

C

C

C

C

00

00

001

Isso se cumprir somente se C for combinao lineal de M e K.

KaMaC 21

Em geral esta condio no se cumpre!

Assume-se como hiptese, e se diz que se supe que o amortecimento no somente

viscoso, mas tambm que cumpre a Hiptese de Rayleigh.

Para estruturas habituais, esta suposio permite atingir resultados aceitveis. Para

estruturas que possuem mecanismos de dissipao de energia localizados ou no

uniformemente distribudos de acordo massa e (ou) rigidez a Hiptese pode estar

longe de ser aceitvel. Nesses casos, assumir como nulos os elementos que ficam fora

da diagonal da transformada da matriz de amortecimento leva a resultados errneos.

Um caso no qual a estrutura se afasta da condio de Rayleigh nos modelos nos

quais se incorpora o solo. Os elementos que so de material solo incorporados

estrutura levam a matrizes de amortecimento modal com muitos elementos no nulos

fora da diagonal principal Outro caso quando se realiza controle estrutural mediante

dissipadores localizados (seja na base ou na superestrutura). Esses e outros casos fogem

do escopo da anlise modal como est sendo formulada, e devem se estudar por meio

de modos de vibrao complexos (que permite estender um pouco mais o alcance da

anlise linear), ou optar por trabalhar com metodologias de integrao numrica da

equao do movimento.

Para os casos nos quais se cumprem as hipteses de regularidade do amortecimento

teremos conseguido separar as equaes do movimento:



ij

n

i

ijjjj FzKzCzM

1

3,2,1j

Vemos que todo resulta consistente j que se os j cumprem:

jjj MK 2

Resultar que:

j

j

j

M

jjj

K

jjM

KMK

jj

22

||||

Com o qual a significao do j a de freqncia angular prpria do modo j.

Da que ser consistente definir a taxa do amortecimento modal do modo j:

jj

j

jM

C

2

Os vetores modais j constituem uma base do espao dos vetores de dimenso n, por isso se pode afirmar que qualquer vetor desse espao poder se escrever de maneira

nica como combinao deles. Em particular a perturbao )(tF :

nj

j

j

n

j

j

nn

n

n

n

nnn

fttt

tF

tF

tF

tF

2

1

1

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

2

1

)()()()(

)(

)(

)(

)(

Devido ortogonalidade dos modos de vibrao:

n

i

ij

n

i

ijj

jj

j

jjjjj

FtF

tttF

1

1)(

)()()(

Se os modos estivessem normalizados de maneira que:



n

i

ijjj

1

2 1

Resultaria que as foras modais coincidiriam com as coordenadas da fora na base

conformada pelos vetores modais.

Analisemos a resposta de uma perturbao harmnica senoidal generalizada:

t

F

F

F

tF

tF

tF

tF

nn

cos

)(

)(

)(

)(2

1

2

1

Aplicando a transformada modal:

tFzKzCzMn

i

ijijjjjjj cos1

3,2,1j

Sendo que para cada j a equao anterior de um grau de liberdade zj , para cada

modo teremos que a resposta estacionria ser:

2222

1

)2()1(

)(cos

~)(

jjjjj

i

n

i

ijj

j

rrM

tF

tz

Onde:

j

r

,

2

1

1

2tan

j

jj

r

r

Substituindo, resultar que a histria estacionria em coordenadas geomtricas ser:

n

j

nj

j

j

jjjjj

i

n

i

ijj

n

rrM

tF

tx

tx

tx

tx1

2

1

2222

12

1

)2()1(

)cos(

~

)(

)(

)(

)(



Existem 2 motivos pelos quais podemos afirmar que a resposta transiente carece de

importncia:

A) Para as taxas comuns de amortecimento nas estruturas civis o termo transiente apaga rapidamente.

B) A definio matemtica da excitao assume que a mesma surge de maneira

repentina com a freqncia , quando na maioria dos fenmenos reais se trata de um processo que leva vrios ciclos at atingir essa freqncia , com o qual a

parte transiente da formula da resposta no estaria dando cobertura do que

realmente acontece nesses primeiros ciclos na estrutura real.

O nico caso no qual a resposta transiente a determinante, quando um fenmeno

impulsivo representado como uma serie de Fourier, ou seja, como combinao de

harmnicos. Nesses casos so justamente das respostas transientes que ser composta a

parte principal da resposta.

Interpretao energtica das formas modais

Dada uma historia de deslocamentos qualquer x(t), a expresso da Energia Cintica ser

da estrutura:

xMxxmxmxmE nnk

1

22

22

2

112

1)(

2

1)(

2

1)(

2

1

A energia potencial elstica ser

xKxEp

2

1

Se a partir de uma forma modal { }com freqncia prpria gerarmos uma historia

que cumpra:

tx cos

Teramos a oscilao harmnica do sistema em uma forma modal que uma forma de

oscilao livre do sistema.

A histria das Energias cintica e potenciais sero:

tMEk 22 sin

2

1 tKEp

2cos2

1



Supondo que o sistema no est amortecido, resultar que o sistema ser conservativo

com o qual a energia cintica mxima ser igual energia potencial mxima e da

resultar que para uma forma modal { } cuja freqncia modal seja se cumprir

que:

KM 2

Comentrio: A esta igualdade podemos chegar diretamente a partir da condio que

define a forma modal:

MK 2



Metodologia geral de obteno das freqncias e formas modais

Sistema livre sem amortecimento: xKxM

)()(

)(

)(

)(

2

1

2

1

tStS

tx

tx

tx

x

nn

tbtatS sincos)(

)()( 2 tStS

KM2det

nnnnn

n

n

mkkk

kmkk

kkmk

2

21

22

2

2212

1121

2

11

det

002

1

)1(2

1

2 aaaaN

N

N

N

)()( tSKtSM )()( tSKtSM

)(2 tSKM

KM2

n razes positivas 22

2

2

1 n

nn

n

n

n

nn

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

3.7 Metodologias de clculo Aproximado

3.7.1 Mtodo de Rayleigh

Para uma certa estrutura, dado um certo vetor deslocamento generalizado {x}, se define

o Quociente de Rayleigh como:



xMx

xKxxR

)(

Pode ser demonstrado que sempre:

221 )()()( nxR

Se { x } for parecido a uma forma modal R({ x }) resultar uma aproximao do

quadrado da freqncia angular prpria associada ao modo em questo. No caso que a

gente esteja aproximando ao primeiro modo saberemos que a aproximao da

freqncia ser sempre por excesso.

Ou seja,

Se conheo uma forma modal posso saber qual a sua freqncia

j

j

jjj

T

jjj

T

jM

KMMKK 2][][

Posso calcular a partir

da matriz K ou

diretamente calculando

a energia elstica do

modo.

Duas vezes a energia elstica da

estrutura quando est na

deformao modal

(na deformao mxima)

jj KF ][

i

ijijj

T

jj FKF ][

Duas vezes a energia

Entregue pela fora para

atingir a posio modal

Se tivermos alguma deformao parecida com uma forma modal, poderamos achar

uma aproximao da freqncia da forma:

j~

j

T

j

j

T

j

iM

K

~

][~

~][

~~2



3.7.2 Mtodo de Dunkerley

um mtodo para achar aproximadamente e de maneira simples a freqncia natural

(freqncia do 1 modo) de uma estrutura de vrios graus de liberdade.

Seja a matriz de flexibilidade de um sistema:

1 Ka

Os elementos da diagonal principal da matriz de flexibilidade so:

nnaaa ,,, 2211

Estes valores representam o deslocamento generalizado para cada grau de liberdade

quando se aplica uma fora generalizada unitria na direo da coordenada desse grau

de liberdade.

A frmula de Dunkerley (na sua expresso mais habitual) enuncia que:

nnn

n

mamama 222111222

2

1

111

As freqncias dos modos superiores ( ,, 32 ) das estruturas habituais resultam

bem maiores que a freqncia do primeiro modo ( 1 ) com o qual ser uma aproximao razovel:

nnnmamama 22211121

1

Por outra parte, se conhecermos exatamente a freqncia do 1 modo, a frmula de

Dunkerley serve para poder aproximar a freqncia do 2 modo. Se conhecermos p

freqncias modais primria, a formula de Dunkerley permitira atingir uma

aproximao da freqncia seguinte.



3.7.3 Mtodo de Newmark Stodola Vianello

Mtodo iterativo

(1)chuta-se uma forma modal

(2)Calcula-se as foras

inerciais divididas entre 2

DAlembert

Equilbrio dinmico

1iV

2)()( ii mxmF

iV

01)( ii VVam

(4)Obtm-se a partir de (3)

a deformao associada aos

cortantes.

i ii

i ii

F

F22

22

2

)(

)()(

(3)Calcula-se os cortantes

dividos entre 2 a partir de (2).

3.7.4 Frmulas aproximadas usuais que se derivam do mtodo de Rayleigh

3.7.4.1 Expresso habitual da frmula de clculo aproximado da freqncia natural de uma estrutura em balano

O mtodo de Rayleigh (vide 2.7.1) se baseia em assumir uma forma

aproximada para um certo modo (modo j) e a partir dela achar a freqncia

fundamental considerando que se a forma assumida for suficientemente parecida

forma modal j verdadeira a frmula que daria a freqncia modal angular do modo j

tambm resultar aproximada:

j

T

j

j

T

j

jM

K

~

][~

~][

~~2



Em geral veremos que a utilidade essencial da aplicao do mtodo de Rayleigh

se centra em achar a freqncia natural do modo fundamental (1 ) e no de qualquer

modo j.

Aos efeitos de simplificar a notao chamemos aos deslocamentos da

aproximao adotada para o modo fundamental 1 .

Em principio a aproximao da forma modal dada pelos deslocamentos 1 , 2 ,

... n adotada poderia ser qualquer deformada da estrutura que resulte compatvel com os vnculos. Como temos visto se a forma modal aproximada a deformada

resultante da aplicao de um sistema de foras 1F , 2F , ...., nF , da definio mesma

da matriz de rigidez K resulta:

nF

F

F

2

1

= K

n

2

1

Com o qual a expresso da freqncia angular aproximada adquire uma forma

bastante simplificada:

n

i

ii

n

i

ii

m

F

1

2

12

A escolha das foras pode ser qualquer sistema 1F , , nF .

Como resulta razovel se em lugar de adotar um certo sistema de foras

adotamos um sistema proporcional ( iF = h iF ) ao mesmo o resultado da freqncia

no mudar j que numerador e denominador ficariam multiplicados pelo mesmo

numero (quadrado de h).



Em particular podero se adotar as foras proporcionais s massas. Em

particular o coeficiente de proporcionalidade poder ser tal que o mdulo de iF seja

calibrado em mi g, ou seja o peso associado massa associada a coordenada i mas

aplicada na direo da coordenada i. (no necessariamente na vertical). Sendo assim,

para essa escolha das foras iF poderemos escrever gmPF iii . Com o qual:

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

P

P

g

g

P

P

1

2

1

1

2

12

Em geral a deformada que resulta da aplicao dos pesos resulta uma boa

aproximao do 1 modo, com o qual a frmula anterior fornece um caminho simples

de achar uma aproximao da freqncia angular do 1 modo. Essa aproximao como

qualquer aproximao da freqncia obtida a partir de formulas que derivam do mtodo

de Rayleigh ser sempre por excesso.

A expresso da aproximao da freqncia fundamental (em Hz) resulta:

n

i

ii

n

i

ii

P

P

gf

1

2

1

2

1

A expresso da aproximao do perodo fundamental em segundos resulta:

n

i

ii

n

i

ii

Pg

P

T

1

1

2

2

Estas expresses esto sempre presentes nas normas de vento e de ssmica para o

calculo da freqncia e o perodo fundamental de estruturas em balano. A praticidade

das mesmas est em ponderar os parmetros dinmicos da estrutura em questo

mediante clculos estticos aos quais os engenheiros esto habituados.



3.7.4.2 Frmula de clculo aproximado da freqncia natural de uma viga simplesmente apoiada

Calcula-se a deflexo mxima da viga submetida ao peso associado massa

distribuda. A aproximao da freqncia natural (fundamental) ser nf :

*

18

1000

18

2 4

wL

gElfn

mm

Hzfn

*][

][

Observe-se que resulta que a freqncia natural ser funo exclusivamente da

deflexo mxima.

Por exemplo:

3.8 Bases de equipamentos sobre estacas

3.8.1 Importncia e dificuldade da gerao de modelos realistas

Nos casos nos quais as condies do solo no permitem atingir um desempenho

adequado com fundao superficial ser necessrio executar a base sobre estacas.

Na presencia de cargas dinmicas, as estacas apresentam um desempenho bastante

diferente ao que estamos acostumados a obter quando as cargas so estticas. Quando

as cargas atuantes so estticas sabemos que as estacas sero eficientes na diminuio

de deslocamentos. Quando as cargas so cclicas nas fundaes sobre estacas podero

surgir dois efeitos muito indesejveis:

a) Diminuio do amortecimento geomtrico.

b) Incremento da freqncia natural que pode eventualmente levar

ressonncia (freqncia natural similar da excitao)



Isso leva a que seja importante desenvolver um modelo realista da interao, e lembrar

que nem sempre a suposio de flexibilidade excessiva da estaca resultar do lado da

segurana.

muito comum que as estacas resultem muito mais flexveis para solicitaes

horizontais que verticais. Por isso em muitos casos as freqncias naturais dos modos

horizontais sero bem mais baixos que a freqncia vertical. Se a excitao for

preponderantemente vertical e de baixa freqncia, a estratgia ser conseguir que a

freqncia natural vertical resulte bem maior (2 vezes) que a freqncia da excitao, e

assim levar o problema a quase- esttico. Mas poder acontecer que ao enrijecer

verticalmente tambm estejamos incrementando demais as freqncias naturais

horizontais, levando a que a componente horizontal da excitao esteja sintonizada com

os modos prprios horizontais. Poderemos tentar controlar esse efeito modulando os

parmetros de massa e de flexibilidade horizontal (usando por exemplo mais estacas de

menor dimetro). A execuo de estacas inclinadas pode ser uma estratgia adequada

em certos casos, mas geralmente resulta em dificuldades na execuo (no Brasil resulta

uma soluo pouco usual ).

Desenvolver uma anlise assertiva da resposta de estacas resulta muito difcil e conjuga

uma grande quantidade de parmetros do solo que nem sempre podem ser estimados

com a necessria confiabilidade. Em muitos casos ser necessrio testar a estrutura para

combinaes diferentes desses parmetros para ter a certeza que a resposta real da

estrutura ser satisfatria.

Os parmetros relevantes para a gerao dos modelos de resposta sero os coeficientes

de mola e taxas de amortecimento equivalente. So muitas as caractersticas que

influenciam na determinao desses parmetros: dimetros e longitudes das estacas,

mdulo elstico do concreto, mdulo de cisalhamento do solo, estratificao do solo,

distancias entre estacas, e outros. Em geral o uso de estacas estar associado

impossibilidade do solo de sustentar a carga. Ou seja, que o uso de estacas em geral

estar associado a solos cujas capas superficiais possuem mdulos de cisalhamento

baixos. Dever-se- distinguir entre casos nos quais se atinge um estrato firme a certa

profundidade (a), e o caso (b) no qual a estaca trabalhar basicamente a frico. No

primeiro deles, para o caso no qual se atinja um estrato de rocha, a estaca poder ser

assumida quase como um pilar apoiado no estrato rijo (com contribuio deprecivel da

frico do estrato intermedirio), e os parmetros relevantes sero a profundidade da

rocha e as caractersticas da estaca. No segundo caso, a caracterizao adequada dos

estratos sero os dominantes na determinao dos parmetros de resposta.



A continuao analisaremos uma metodologia de obteno de estimativas de

parmetros de resposta de estacas baseada nos estudos desenvolvidos por Milos Novak

em parceria com outros prestigiosos pesquisadores.

3.8.2 Parmetros de resposta para modos verticais

Considerando uma estaca isolada os parmetros de resposta que devemos estimar para a

anlise sero :

kz : coeficiente de mola vertical Dz : taxa de amortecimento geomtrico vertical

3.8.2 a) Determinao do coeficiente de mola vertical para uma estaca isolada

As estimativas de kz tero a expresso :



Onde os parmetros f18,1 e f18,1 podem ser calculados em funo do cumprimento L e do mdulo de cisalhamento Gs do solo de acordo tabela simplificada:

L/r

Gs 10 20 30 40 60 80 100

200

kgf/cm

f18,1 0,100 0,052 0,038 0,030 0,025 0,022 0,022

f18,1 0,008 0,010 0,013 0,017 0,020 0,022 0,022

350

kgf/cm

f18,1 0,100 0,055 0,042 0,034 0,030 0,028 0,028

f18,1 0,012 0,018 0,023 0,027 0,028 0,028 0,028

500

kgf/cm

f18,1 0,100 0,060 0,047 0,040 0,036 0,036 0,036

f18,1 0,020 0,028 0,032 0,036 0,036 0,036 0,036

Por exemplo, o coeficiente de mola vertical de uma estaca de dimetros 50 cm e

cumprimento 10 metros em argila com G=350 kgf/cm ser:

Kz = ( 9.4 x 106 ) x 0,25 x 0,027 = 63450 tf/m

Observe-se que se for o caso de uma estaca de 50 cm de dimetro que atinge uma capa

de rocha rija a 2,5 metros de profundidade, o coeficiente de mola vertical ser:

Kz = 9400000 x 0,25 x 0,100 = 235000 tf/m

Fazendo o clculo de acordo ao encurtamento de um pilar de altura 2,5 metros e

assumindo que o concreto da estaca C30:

fck = 30 MPa = 300kgf/cm

Eci = 5600 (fck) 1/2

= 30670 MPa = 3.0 * 105

kgf/cm = 3.0 * 106

tf/m

EA/L = 3000000x0,196/2,5 = 235200 tf/m

Em geral para casos de estrato rijo para L=10r, desprezando a contribuio da frico, o

coeficiente de mola vertical resulta:

Kz= E(A/L)= E [ r/ (L/r) ] = ( E r ( 0,1)

Para E= 3.0 * 106

tf/m resulta coerente que f18,1 seja igual a 0,100.



Resulta til poder modelar as estacas como pilares rijos na ponta. Na base dos

resultados da tabela poderamos deduzir qual seria o cumprimento de estaca equivalente

Leq que seria coerente com o deslocamento vertical do extremo superior.

EA/L = ( E r f18,1

Leq/r = 1/f 18,1

Resulta ilustrativo visualizar na tabela a influencia das propriedades do solo no

cumprimento do pilar equivalente.

Gs Pilar

Equiva-

lente

L/r

10 20 30 40 60 80 100

200

kgf/cm

Leq/r 10,0 19,2 26,3 33,3 40,0 45,5 45,5

Leq/r 125,0 100,0 76,9 58,8 50,0 45,5 45,5

350

kgf/cm

Leq/r 10,0 18,2 23,8 29,4 33,3 35,7 35,7

Leq/r 83,3 55,6 43,5 37,0 35,7 35,7 35,7

500

kgf/cm

Leq/r 10,0 16,7 21,3 25,0 27,7 27,7 27,7

Leq/r 50,0 35,7 31,3 27,7 27,7 27,7 27,7

3.8.2 b) Taxa de amortecimento geomtrico vertical para uma estaca isolada

A taxa de amortecimento geomtrico Dz depender da velocidade de propagao das

ondas de cisalhamento no solo (vs) , do coeficiente de mola (kz) e da massa

sustentada (mc).

As velocidades de propagao podero ser estimadas (supondo a densidade do solo

como s = 1800 kg/m3 ):

Gs vs

200 kgf/cm 105 m/s

350 kgf/cm 140 m/s

500 kgf/cm 167 m/s



As estimativas de Dz tero a expresso :

Onde os parmetros f18,2 e f18,2 podem ser calculados em funo do cumprimento L e do mdulo de cisalhamento Gs do solo de acordo tabela simplificada:

L/r

Gs 10 20 30 40 60 80 100

200

kgf/cm

f18,2 0,005 0,010 0,015 0,020 0,027 0,031 0,034

f18,2 0,020 0,030 0,038 0,043 0,043 0,040 0,038

350

kgf/cm

f18,2 0,010 0,018 0,025 0,033 0,043 0,046 0,048

f18,2 0,030 0,048 0,055 0,057 0,053 0,052 0,050

500

kgf/cm

f18,2 0,015 0,027 0,038 0,047 0,057 0,060 0,062

f18,2 0,045 0,063 0,068 0,065 0,063 0,062 0,062

3.8.2 c) Exemplo de aplicao

Uma base infinitamente rgida est apoiada sobre estacas de dimetro 30 cm e 6 metros

de cumprimento, em solo argiloso cujo Gs=350 kgf/cm. Suponha que cada estaca recebe 10 t de carga permanente em servio.

A) Qual ser a freqncia natural de oscilao vertical.



B) Seja a frico (neta) entre a estaca e o solo para a estaca de 30cm de dimetro. Desejamos adotar uma soluo com estacas de dimetro 50 cm e 10 m de cumprimento

que trabalhem com o mesmo Qual ser a freqncia para esta alternativa?

C)Calcular as freqncias naturais se as estacas de 30 cm teriam um substrato rijo a uma profundidade de 6 metros.D) Calcular as taxas de amortecimento para cada uma das alternativas

E) Analisar qual ser o deslocamento vertical mximo e a velocidade mxima que se

experimentar em cada um dos casos quando uma carga de amplitude 10 % do peso da

base esteja sintonizado com a freqncia natural da base.

A) Gs=350 kgf/cm , L/r = 6,00/0,15 =40 ,

f18,1 = 0,027 , Kz = ( 9.4 x 106 ) x 0,15 x 0,027 = 38070 tf/m

st = 10 tf / (38070 tf/m ) = 0.00026m

fn= 1/ 2(0.00026^0,5) = 31 Hz

B) = 10tf / ( 6x0,30x m ) = 1,77 tf/ m A carga sobre cada estaca resultar

Ns = 1,77 x (10 x 0,50x ) = 27,8 tf

L/r = 10 / 0,25 = 40, f18,1 = 0,027 Kz = ( 9.4 x 10

6 ) x 0,25 x 0,027 = 63450 tf/m

st = 27,8 tf / (63450 tf/m ) = 0.00044 m fn= 1/ 2(0.00044 ^0,5) = 23,8 Hz

C) Gs=350 kgf/cm , L/r = 6,00/0,15 =40 ,

f18,1 = 0,034, Kz = ( 9.4 x 106 ) x 0,15 x 0,034= 47940 tf/m

st = 10 tf / (47940 tf/m ) = 0.00021m

fn= 1/ 2(0.00021^0,5) = 34,5 Hz

D )



Para as estacas de dimetro 30 cm carregadas com 10 t resultar :

vs = 140 m/s m= 10 t

Kz = 38070 tf/m

r= 0,15 m

f18,2 = 0,057 Ou seja: Dz =0,22 Para as estacas de dimetro 50 cm carregadas com 27,8 t resultar :

vs = 140 m/s m= 27,8 t

Kz = = 63450 tf/m

r= 0,25 m

f18,2 = 0,057 Ou seja : Dz = 0,29 No caso de estacas de 30 cm com substrato rijo resultar:

vs = 140 m/s m= 10 t

Kz = 47940 tf/m

r= 0,15 m

f18,2 = 0,033 Ou seja: Dz =0,11 Observe-se que a taxa de amortecimento resultou bem menor.

E)

- Para as estacas de dimetro 30 cm carregadas com 10 t resultar :

Fi = 1 tf , O deslocamento esttico resultar 0.000026 m = 0,026 mm

Amplificao em ressonncia M=1/(2 Dz) = 2,27

O deslocamento mximo ser max = 2,27 x 0,026 mm = 0,059 mm A freqncia de ressonncia ser f= 31 Hz, com o qual a freqncia angular em

ressonncia ser 195 Rad/s . Da que a velocidade mxima ser:

Vmax = 11,5 mm/s

- Para as estacas de dimetro 50 cm carregadas com 27,8 t resultar :

Fi = 2,8 tf , O deslocamento esttico resultar 0.000044 m = 0,044 mm




O deslocamento mximo ser max = 1,72 x 0,044 mm = 0,076 mm A freqncia de ressonncia ser f= 23,8 Hz, com o qual a freqncia angular em


Vmax = 11.3 mm/s

- Para as estacas de dimetro 30 cm com o substrato rijo a 6 metros :

Fi = 1 tf , O deslocamento esttico resultar 0.000021 m = 0,021 mm


O deslocamento mximo ser max = 4,54 x 0,021 mm = 0,095 mm A freqncia de ressonncia ser f= 34,5 Hz, com o qual a freqncia angular em


Vmax = 20,5 mm/s

Ou seja, a presencia do estrato rijo resulta desfavorvel ao desempenho da base.

3.8.3 Parmetros de resposta para modos Horizontais

Considerando uma estaca isolada os parmetros de resposta que devemos estimar para a

anlise sero :

kx : coeficiente de mola horizontal Dx : taxa de amortecimento geomtrico horizontal

3.8.3 a) Determinao do coeficiente de mola horizontal para uma estaca isolada

Para estacas cujos topos esto impedidos de rotar, as estimativas de kx tero a expresso :



3.8.3 b) Determinao da taxa de amortecimento geomtrico horizontal para uma

estaca isolada

Da mesma maneira que temos visto para oscilaes verticais, a taxa de amortecimento

geomtrico dos modos horizontais Dx depender da velocidade de propagao das

ondas de cisalhamento no solo (vs) , do coeficiente de mola (kx) e da massa

sustentada (m):

Supondo a densidade do solo como s = 1800 kg/m3 ):

Gs vs f11,2



200 kgf/cm 105 m/s 0,042

350 kgf/cm 140 m/s 0,066

500 kgf/cm 167 m/s 0,090

3.8.4 Efeitos de grupos de estacas

Os valores obtidos de Kx, Kz, Dx, e Dz seriam adequados para a anlise do caso de uma nica estaca.

Em geral ser necessrio o emprego de grupos de estacas. Isso implicar que existir a

necessidade de analisar os efeitos de grupo. Para isso poder adotar-se a metodologia

de Poulos.

Os resultados implicaro uma flexibilidade muito maior do que resultaria de somar as

participaes das diferentes estacas. Ou seja, nos modelos dever ser adotado um valor

de coeficiente de mola individual reduzido tanto na horizontal como na vertical.

KGxi = x Kxi x < 1 Horizontal

KGyi = y Kyi y < 1 Horizontal

KGzi = z Kzi z < 1 Vertical

Por outra parte o efeito grupal gerar uma taxa de amortecimento grupal maior que o

que resultaria do valor da estaca isolada.

DGx = x Dxi x > 1 Horizontal

DGy = y Dyi y > 1 Horizontal

DGz = z Dzi z > 1 Vertical

Consideraremos as configuraes tpicas de estacas eqidistantes a uma distancia s nas

duas direes (distancias iguais na direo x e y) :



Para estes casos pode se fazer um clculo aproximado de acordo aos ajustes:

Para 4 estacas:

s=2

s=6

Para 9 ou mais estacas:

s=2

s=6

Efeitos dinmicos gerados por equipamentos mecnicos 57


4 Efeitos dinmicos gerados por equipamentos mecnicos

4.1 Introduo problemtica dos projetos de estruturas que sustentam mquinas.

Para toda estrutura existe um parceiro do qual jamais conhecemos o suficiente

e cuja influncia pode ser critica no desempenho da mesma. O solo, a fundao da

estrutura por cima e em interao com o solo sempre vira um fator crtico mesmo se for

o caso de estruturas submetidas a cargas estticas. A interao com o solo para

estruturas analisadas estaticamente um tema muito discutido, mas com uma soluo

mais ou menos aceita que resulta da suposio elstica da resposta do mesmo e a

substituio das restries do solo sobre a estrutura por molas. Mesmo que a resposta

esttica do solo esteja ligada ao tamanho das fundaes, mesmo que ningum duvida

que dentro do solo exista interao entre as fundaes: a representao do solo como

molas nos nossos modelos resulta uma boa opo, e melhor ainda se for o caso que

algum fornea para ns valores de coeficientes de mola que sejam confiveis. Nos

problemas estticos poderamos tambm ante a duvida, testar uma faixa larga de

coeficientes de mola e saber se a soluo do nosso modelo estvel.

A interao dinmica solo-estrutura um tema muito mais complexo j que na

interfase fundao-solo existe uma via de escape de energia. Mediante ondas de

propagao, o solo se comporta como o conduto pelo qual uma quantidade nada

deprecivel de energia vai embora amortecendo os efeitos dinmicos da estrutura que

sustenta. Mas tambm existe a possibilidade que as condies do solo sejam

susceptveis de ressonar devido excitao, ou tambm pode que o solo esteja

sintonizado com a estrutura e resulte em um fator de amplificao de efeitos

impulsivos. Se isso no for pouco, podemos ter a certeza que as propriedades de

amortecimento do solo so bem diferentes que as da estrutura, o que invalida a

suposio de amortecimento de Rayleigh ( na qual se sustenta a anlise modal clssica

linear.

Com isso vemos que para efeitos dinmicos no resulta suficiente substituir

a presena do solo por molas confiveis.

A pergunta cientfica deveria ser proposta em termos de como abordar o

problema da maneira mais realista. Possivelmente o modelo deveria ser tal que leve

em conta uma resposta do solo dependente da freqncia!!!.



A pergunta do engenheiro ser como contornear o problema e ainda obter uma

soluo confivel.

Quando as cargas transmitidas ao solo so originadas em excitaes dinmicas

os critrios devem se adequar s caractersticas da excitao e da maquinaria. Para

maquinaria de massa maior e com desbalanceamentos significativos a resposta do solo

pode ser tal que afetem seriamente o funcionamento das mesmas.

O projeto da estrutura de sustentao de mquinas deve estar sempre orientado a

fazer que a freqncia fundamental da mesma esteja o mais afastada possvel da

freqncia operacional da mquina.

4.2 Classificao dos tipos de mquina

De acordo periodicidade das excitaes:

Mquinas que geram excitaes cclicas

Mquinas que geram excitaes que no so cclicas

Para os casos de mquinas que geram excitaes cclicas:

Mquinas de Baixa Freqncia (motores diesel, bombas,...).

Mquinas de Mdia Freqncia (motores diesel intermedirios,...)

Mquinas de Alta Freqncia (turbo-geradores, turbinas de vapor,...).

Outra classificao de interesse ser de acordo ao mecanismo que gera a excitao:

Mquinas Rotativas.

Mquinas com partes que oscilam.

Mquinas com partes que geram impacto.

4.3 Classificao dos tipos de bases executadas em concreto armado

A) Blocos macios de concreto:

Caracterizam-se por admitir basicamente seis modos de vibrao:

- deslocamento na direo horizontal x.

- deslocamento na direo horizontal y.

- deslocamento na direo vertical z.

- giro com eixo na direo horizontal x.



- giro com eixo na direo horizontal y.

- giro com eixo na direo vertical z.

So adotados para casos de maquinarias de baixa e mdia freqncia.

Dependendo do tipo de solo se ter ou no sintonizao com as freqncias da

excitao. A presena da massa prpria procura incrementar a inrcia global do sistema.

Para solos moles a grande massa resulta em freqncias naturais baixas que propiciam

deslocamentos indesejveis. Em geral para solos moles e freqncias medias ser

impossvel afastar a freqncia do sistema da faixa de freqncia da excitao. A

incorporao de estacas pode controlar a freqncia da vibrao vertical e o

deslocamento, mas na horizontal resulta difcil garantir o bom desempenho sem

executar estacas inclinadas.

B) Lajes de Fundao:

Se a laje de fundao for suficientemente grande, centrada e

relativamente rgida permite controlar todos os deslocamentos menos o

vertical que vira a nica coordenada relevante.

O campo de aplicao similar ao da fundao por Bloco.

C) Prticos:

Apresentam uma excelente combinao das vantagens estruturais

e funcionais para mquinas de alta freqncia para as quais se deve tambm

propiciar o acesso de conexes por baixo das mesmas.

Na medida em que se atinjam freqncias naturais baixas se

garante um afastamento das freqncias operacionais o que significa baixas

respostas. Deve ser ressaltado que no caso de excitaes verticais a resposta

poder continuar sintonizada dependendo do tipo de solo.

Como j foi mencionado o campo de aplicao ser o das

mquinas de alta freqncia como o caso das turbo-mquinas.

4.4 Anlise de Estruturas que sustentam Mquinas Rotativas

4.4.1 Caractersticas da excitao

Exemplos de este tipo de mquinas so: Turbinas, Geradores, Motores Eltricos,

Redutores, Enroladeiras, Picadores, Bombas Centrfugas, Ventiladores, Redutores, etc.



O denominador comum delas a presena de um elemento em comum: o rotor

que gira em torno a um eixo.

As excitaes so geralmente resultados do fato que o centro de massa do rotor

excntrico ao eixo de rotao. Ou seja, que por alguma razo o centro de massa do rotor

no fica exatamente no eixo. Ele est girando arredor do eixo, ou seja que o rotor est

desbalanceado. Sempre existe um certo desbalanceamento e ele cresce com a idade

do equipamento, geralmente devido ao desgaste. Pode tambm se dar abruptamente

quando uma pea quebra e se desprende do rotor (hlice de uma turbina ou ventilador

ou uma faca de um picador).

Exemplo de mquina rotativa: Rotor de desfibrador de cana. Massa 30 t . Freqncia 15

Hz.



4.4.2 Efeito de rotor desbalanceado

Uma massa m obrigada a seguir uma trajetria circular de raio r com velocidade

angular uniforme estar submetida a uma acelerao r 2 radial.

Um rotor desbalanceado tem o centro de massa excntrico ao eixo de rotao, e

isso equivale a dizer que o centro de massa do rotor est sendo obrigado a seguir uma

trajetria circular de raio a excentricidade, e com centro na projeo normal do centro

de massa sobre o rotor.

A ao do eixo (devido excentricidade do rotor) sobre o rotor ser

rmF )( 2 (radial para dentro), e a reao sobre o eixo ser rmF )( 2 (para fora). Esta fora radial para fora a que ser transmitida estrutura, e resultar

em uma excitao normal ao eixo que se pode descompor em 2 excitaes respeito a 2

direes ortogonais no plano normal ao eixo. Essas excitaes tero freqncia angular

e a fase entre elas ser de um quarto de ciclo.

Observe-se que os efeitos de desbalanceamento se reconhecem devido a que as

amplitudes vo crescendo com o quadrado da velocidade de rotao



Os dados necessrios para definir as funes mecnicas do rotor desbalanceado

deveriam ser apresentados pelo fornecedor do equipamento. s vezes, os fornecedores

subministram os dados de maneira explicita como uma certa fora (correspondente

freqncia de operacional do rotor). Outras vezes do tambm componentes para

harmnicos superiores (coeficientes de Fourier da funo mecnica), na medida em que

existam efeitos impulsivos relevantes.

Em muitos casos o fornecedor pode nem saber esses dados e ser necessrio

estimar a excentricidade do rotor. Nesse caso ser necessrio saber pelo menos qual a

massa do rotor. A excentricidade pode ser estimada de acordo aos valores da tabela da

ISO 1940, adjuntos no pargrafo seguinte.

O fornecedor dever subministrar tambm as solicitaes relacionadas a cargas

associadas a eventos singulares. Um deles o de breakdown que resulta no

incremento excepcional das foras cclicas transmitidas aos mancais. Se esse dado no

estiver na documentao, podem se adotar os valores inclusos na norma DIN 4024. De

acordo s mesmas ser assumida uma fora quase-esttica equivalente a 15 vezes a

fora de desbalanceamento para a 1 velocidade crtica do elemento critico relevante

(por exemplo, da hlice de uma turbina). Quando os dados no estiverem explcitos ser

necessrio aprofundar nos fatores relevantes que ocasionam estas cargas excepcionais.

Efeitos de curto-circuito de motores (geradores resultam) em pares de foras. Elas

provocam foras com componente vertical e horizontal nos planos normais aos eixos

dos rotores. Trata-se de foras impulsivas, que so majorados (de acordo critrios do

fabricante) e considerados na anlise como foras quase-estticas.

A verificao em servio do equipamento geralmente nos mancais de acordo a

limitao de deslocamentos (velocidades ou aceleraes). Resulta conveniente receber

quais so esses limites do mesmo fornecedor do equipamento. Nos casos nos quais

esses dados no esto a nossa disposio teremos que estimar o desempenho da base de

acordo a parmetros determinados na bibliografia tcnica (vide Anexo B). Resulta

sempre conveniente notificar as partes interessadas sobre o fato que (em ausncia de

dados do fornecedor) se est realizando a avaliao de acordo a parmetros referenciais

que no foram especificados pelo fabricante.



Nos modelos estruturais, a massa da maquinaria ser representada como

concentrada no centro de gravidade da mesma e vinculada de maneira infinitamente

rgida estrutura. Deve ser ressaltado que se a estrutura prpria da maquinaria tiver

flexibilidade relevante, o esquema estrutural da mquina deve ser incorporado no

modelo da estrutura que sustenta o equipamento j que a interao entre elas afetar de

a resposta. Casos tpicos nos quais se

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