TRABALHANDO A GEOMETRIA POR MEIO DO ORIGAMI

Adriana Vieira do nascimento1

Luiza Takako Matumoto2

Resumo

O presente artigo objetiva apresentar o resultado de um trabalho desenvolvido durante o Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná – PDE. O projeto contempla o estudo da Geometria, que cada vez mais vem ganhando espaço nos diferentes níveis de ensino dentro da disciplina de Matemática, marcando presença tanto nas avaliações internas quanto nas externas. Os recursos didáticos pedagógicos utilizados foram as dobraduras e origamis, tanto tradicionais quanto modulares, cujas construções e desconstruções levaram os alunos, através da manipulação, observação e resolução de atividades, a trabalharem alguns conceitos básicos da geometria plana e espacial de forma significativa e prazerosa. Com esse trabalho também despertou-se a responsabilidade social com o meio ambiente, pois a maioria dos papéis utilizados foi reciclável. Trabalhou-se interdisciplinarmente com a disciplina de Arte nas produções de obras feitas com origamis e figuras com o Tangram – quebra-cabeça chinês – o qual foi confeccionado através de dobraduras, tornando as aulas ainda mais instrutivas e descontraídas. Esse trabalho foi desenvolvido em contraturno, com 20 alunos do 7º ano, após ter sido verificado a falta de conhecimento de alguns conceitos geométricos considerados importantes para dar sequência aos estudos de Geometria. Pensa-se que com esse trabalho os alunos tenham conseguido minimizar as dificuldades que apresentavam nos conhecimentos geométricos, principalmente ao relacionar as formas, seus elementos, propriedades e nomenclaturas, pois demonstraram interesse e realizaram as atividades propostas de forma ativa obtendo resultados satisfatórios, associando a teoria à prática. Além disso, pela aceitação dos alunos das atividades propostas, observou-se a possibilidade desse trabalho ser aplicado com turmas regulares.

Palavras chave: Origami. Origami Modular. Tangram. Geometria. Aprendizagem.

1 Especialista, Professora PDE 2012, drika2007@seed.pr.gov.br2 Mestre, Professora Orientadora PDE/UEPG, luizapg@gmail.com

1 Introdução

A Geometria é um ramo da Matemática que vem, cada vez mais, ganhando

espaço nos diferentes níveis de ensino dentro da disciplina de Matemática,

marcando presença tanto nas avaliações internas, quanto nas externas, como por

exemplo, no SAEB – Sistema Nacional da Educação Básica. Mesmo antes de

frequentarem à escola, as crianças têm contato com a Geometria, a começar pelo

espaço onde vivem e também pelos objetos e formas que a circundam na rua e em

sua casa. No entanto, observa-se ainda muita dificuldade no aprendizado da

mesma, pois constata-se frequentemente que muitos professores não se sentindo

preparados em aplicar a Geometria ou não considerando-a importante, apresentam

dificuldades ou distorção em relacioná-la a Álgebra para introduzir ou demonstrar

assuntos matemáticos e acabam deixando-a para o último bimestre. Muitas vezes o

professor acaba reproduzindo para seus alunos conhecimentos geométricos da

maneira que ele próprio foi ensinado.

Ensinar baseando-se apenas na repetição, na memorização, no formalismo

exagerado, na realização exaustiva de cálculos e na mera aplicação de técnicas e

regras não tem contribuído para aprendizagem efetiva de nossos alunos, nos dias

de hoje. Portanto, com o desenvolvimento do projeto PDE que resultou no presente

trabalho, procurou-se minimizar as dificuldades e os fracassos apresentados pelos

alunos na construção do pensamento geométrico, utilizando como metodologia de

ensino o origami – arte de dobrar papel – que visa explorar a habilidade e a

criatividade dos alunos através da arte, proporcionando um ensino prazeroso,

significativo e de fácil entendimento e que também auxiliará no desenvolvimento

cognitivo, procurando melhorar a aprendizagem e compreensão da Matemática

dobrando um simples pedaço de papel. Como objetivo geral, esse trabalho

oportunizou ao aluno, através de dobras e origami, uma melhor aprendizagem de

conteúdos geométricos, que futuramente, os auxiliarão nos cálculos matemáticos

interagindo os conteúdos estruturantes de Geometria e Álgebra. Teve como

objetivos específicos: relembrar a ideia de ponto, reta e plano através da dobra de

uma folha de papel; construir origamis tradicionais e modulares para explorar

conteúdos geométricos; explorar no origami dobrado ou desdobrado a posição

relativa de duas retas no plano; identificar e nomear as formas geométricas que se

formam na medida em que forem confeccionando os origamis propostos; classificar

os ângulos que aparecem durante as atividades com dobras; confeccionar o

tangram através de dobraduras; despertar a socialização no trabalho em grupo;

trabalhar a interdisciplinaridade com Arte; construir um origami modular reciclando

papéis, visando despertar também a responsabilidade social com o meio ambiente;

e expor os trabalhos realizados.

2 Procedimentos metodológicos

2.1 Fundamentação teórica

Não há registros que apontem uma data específica da origem da Geometria.

Conta-nos a história que deve-se aos egípcios, aos babilônios e aos indivíduos das

civilizações antiguíssimas, que empiricamente apresentaram os primeiros trabalhos

geométricos, as realizações importantes que contribuem até hoje para o

desenvolvimento da humanidade.

A palavra geometria deriva do grego “geometrein” e significa medir a terra

(geo = terra, metria = medida). Segundo o historiador Heródoto isso se deve ao fato

de que no Egito Antigo inicialmente era empregada em medições de terrenos, que

tinham que ser realizadas após cada inundação anual no vale do Rio Nilo para

redefinir as marcas dos lotes em que a terra estava dividida.

Foram os gregos que, no século VI a.C, após adquirirem os conhecimentos

dos egípcios e de outros povos antigos, estudaram, desenvolveram, aperfeiçoaram e

sistematizaram esses conhecimentos. Por esse motivo também muito dos termos

usados em geometria vêm da língua falada pelos antigos gregos. A dedicação

desses sábios, dentre os quais podemos citar Tales de Mileto, Pitágoras e Euclides,

foi de grande importância para a geometria.

A geometria recebeu seu grande impulso quando o matemático grego

Euclides, que viveu 300 anos antes do nascimento de Cristo, sistematizou em sua

clássica obra, Os Elementos, os principais conhecimentos trabalhados pelos seus

antecessores, dando um caráter axiomático-dedutivo aos conhecimentos

geométricos da época.

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (PARANÁ,

2008, p. 55) “a obra de Euclides tem uma importância excepcional na história da

Matemática e exerce influência até os dias atuais, inclusive no âmbito escolar”, com

poucas modificações.

Estudos realizados a partir da geometria euclidiana originaram outras

geometrias, como por exemplo, a geometria analítica e a geometria não euclidiana

que, juntamente com a geometria dos fractais, hiperbólica e elíptica também fazem

parte do currículo escolar e, de acordo com o Caderno de Expectativas de

Aprendizagem (PARANÁ, 2012), devem ser abordadas no ensino médio.

O uso da geometria é uma constante na vida do homem, imersos num mundo

de formas e para onde quer que se direcione o olhar, as ideias geométricas estão

presentes, seja na natureza, nas artes, na arquitetura ou em outras áreas do

conhecimento. Apesar de importante, Rego, Rego e Gaudêncio Junior (2003) conta

que os conhecimentos geométricos sofreram um abandono, na década de 1960 e

1970, período que iniciou no Brasil o MMM – Movimento da Matemática Moderna – o

qual passou a dar ênfase aos aspectos algébricos da Matemática.

Pavanello (1993) relata que o abandono do ensino da geometria acentuou-se

com a Lei 5692/71, editada quando a Matemática Moderna no Brasil estava em

pleno desenvolvimento. Tal lei deu liberdade às escolas decidirem a que conteúdos

queriam dar ênfase em cada disciplina. Isso possibilitou a muitos professores de

Matemática programarem para trabalhar com a geometria somente no final do ano

letivo ou até mesmo de excluí-las de sua programação, devido provavelmente a

insegurança que sentiam em tratar de assuntos geométricos.

É notória a dificuldade no aprendizado da geometria e também a falta de

motivação, porém, segundo Rego, Rego e Gaudêncio Junior (2003, p. 15) “esse

campo hoje, tem sido reconhecido como de inquestionável importância para a

formação de nossos alunos, quer consideremos os aspectos didáticos, históricos ou

científicos”.

Para Pires, Curi, Campos (2000, p.15 apud REGO, REGO E GAUDÊNCIO

JUNIOR, 2003, p. 15),

(a) Geometria é considerada importante por pesquisadores e curriculistas porque, por meio dela, criança desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive, além de ser um campo fértil para se trabalhar com situações-problema.

Pesquisadores citados por Rego, Rego e Gaudêncio Junior (2003) apontam

que foi na década de 1970 que começaram a surgir projetos baseados nas

experiências dos alunos, envolvendo exploração de figuras planas e espaciais

enfatizando composições, decomposições, reduções, ampliações e estudo de

simetrias e, que a partir desse período, a geometria passou a ter relevância nas

escolas, tanto quanto a Aritmética e a Álgebra, pois diferentes propostas curriculares

têm dado destaque a importância do resgate dos conhecimentos geométricos.

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (PARANÁ,

2008, p. 57) “na Educação Básica, a Educação Matemática valoriza os

conhecimentos geométricos, que não devem ser rigidamente separados da

aritmética e da álgebra”.

Para Lorenzato (1995) citado pelas Diretrizes Curriculares da Educação

básica (PARANÁ, 2008, p. 57)

Os conhecimentos geométricos interligam-se com a aritmética e a álgebra porque os objetos e relações dela correspondem aos das outras; assim sendo, conceitos, propriedades e questões aritméticas ou algébricas podem ser clarificados pela geometria, que realiza a tradução para o aprendiz.

Observa-se através de leitura de artigos, dissertações e livros a preocupação

que os autores têm demonstrado com o ensino da geometria. A maioria desses

escritos traz atividades e experiências, com o objetivo comum de reintegrar o ensino

da geometria, dentre elas está o uso de materiais manipuláveis.

Diante deste contexto, este trabalho propôs a utilização do origami como

recurso didático nas aulas de Matemática, principalmente no estudo da geometria,

onde através desta arte, oportuniza-se ao aluno construir ou resgatar conceitos já

estudados de forma lúdica e criativa.

A origem exata do origami é desconhecida, alguns estudiosos afirmam que

surgiu como uma decorrência natural da invenção e divulgação do papel, obtida há

aproximadamente 1800 anos, outros dizem estar relacionado com costumes e

crenças religiosas de épocas passadas e, que as primeiras figuras surgiram por

volta do século VI, trazidas para o Japão juntamente com o método de fabricação do

papel da China, por um monge budista.

Na Espanha, a arte de dobrar papel foi trazida pelos mouros, do Norte da

África, e de lá se espalhou para a América do Sul. Com as rotas comerciais

marítimas, o origami entra na Europa e mais tarde nos Estados Unidos.

Foi no Japão que a arte do dobrar papel desenvolveu-se e foi aprimorada, por

isso a palavra origami, de origem japonesa, surgiu em 1880, a partir da união dos

termos “oru” (dobrar) e “kami” (papel), mas antigamente chamava-se “origata” (forma

dobrada).

No Brasil, a arte da dobradura foi introduzida pelos colonizadores portugueses

e, também pelos preceptores europeus que chegavam durante o Império, para

orientar as crianças das famílias ricas.

Com a chegada dos primeiros japoneses, em 1908, que se instalaram

principalmente em São Paulo e Paraná, as contribuições na aprendizagem do

origami foi tão grande que continua viva até os dias de hoje, inclusive são reforçadas

através das promoções e cursos realizados pela Aliança Cultural Brasil-Japão.

Dentre todas as formas de origami conhecidas no mundo, destaca-se pela

sua representação plástica, elaboração e importância o grou (tsuru), conhecido

também como garça ou cegonha. O tsuru simboliza vida longa, felicidade, sorte e

paz. De acordo com Abe (2007, p. 9) “presentear alguém enfermo com senbazuru

(mil tsuru ligados por um fio) demonstra o desejo de recuperação rápida”.

2.2 O origami como recurso didático pedagógico

No ocidente, foram muitas as figuras importantes que se envolveram com a

arte de dobrar papéis enxergando nela um valor pedagógico, entre eles pode-se

citar como um dos grandes incentivadores das dobraduras nas escolas Friedrich

Froebel, criador do jardim da infância no século XIX na Alemanha. Segundo

Aschenbach, Fazenda e Elias (1997, p. 25) Froebel “considerava as atividades com

papel um excelente recurso para familiarizar a criança com conceitos geométricos”.

Pesquisadores afirmam que antigamente poucas pessoas praticavam o

origami e, de maneira ocasional. Hoje em dia, eles observam que essa arte tem se

estendido para sala de aula, onde além de auxiliar nos estudos de geometria, pode

também ser utilizado para desenvolver outras atividades como nos estudos de

frações, aritmética, álgebra e funções. As demais disciplinas também podem receber

a contribuição do origami para o processo ensino-aprendizagem, pois apresenta

formas que podem facilmente atender aos objetivos esperados, cabendo ao

professor selecionar a dobradura a ser utilizada, como pode ser visto no trabalho de

Aschenbach, Fazenda e Elias (1997).

De acordo com Aschenbach, Fazenda e Elias (1997, p. 16) “como parte

integrante da arte-educação, a dobradura pode ser classificada como um recurso

que concorre para a interdisciplinaridade dentro do currículo escolar, uma vez que

através dela outras atividades podem ser estimuladas”. Nesse contexto, em

particular, o trabalho realizado foi desenvolvido conjuntamente com a disciplina de

Arte.

Para que a arte da dobradura possa desencadear um processo interdisciplinar, contudo, é necessário, antes de mais nada, que o educador já tenha adquirido em sua vida profissional uma proposta de conhecimento interdisciplinar – que ele consiga perceber as infinitas possibilidades que poderão ser exploradas a partir desse trabalho, aprendendo a ver neste algo além de linhas e ângulos e percebendo as múltiplas significações de suas formas e a grande variedade de ação ou movimento potencial que existe no objeto-dobradura.( ASCHENBACH, FAZENDA E ELIAS, 1997, p.16).

Segundo Rego, Rego e Gaudêncio Junior (2003) em atividades

interdisciplinares da Matemática com a Arte o uso do origami permite, além do

desenvolvimento da criatividade, o trabalho de experimentação com textura e cores,

a bidimensionalidade, a tridimensionalidade, a exploração dos diversos usos do

origami, do controle motor, do estudo das artes no Oriente e sua influência nas

brincadeiras populares de todo o mundo e no refinamento estético, através das

noções de proporção e harmonia.

O origami estimula a aprendizagem e facilita o conhecimento dos elementos

geométricos, suas definições e nomenclaturas presentes em cada passo de sua

confecção, além de possibilitar o estudo das figuras planas e espaciais, cujos

assuntos serão destaque nesse trabalho.

“Ações como observar, compor, decompor, transformar, representar e

comunicar são facilitadas com o desenvolvimento de atividades geométricas

envolvendo o Origami” (REGO, REGO E GAUDÊNCIO JUNIOR, 2003, p. 19).

Ao trabalhar com o origami em sala de aula deve-se utilizar a nomenclatura

matemática adequada quando descrever oralmente os passos da sua construção,

pois visualizam formas geométricas e os alunos devem ser estimulados a pronunciá-

las de forma correta. Diante desse fato, nos afirma Rego, Rego e Gaudêncio Junior

(2003, p. 39) que “se o professor utiliza-os de maneira natural os alunos não terão

dificuldades para apreendê-los e usá-los cotidianamente”.

As construções planas e espaciais quando realizadas por meio do origami,

oferecem oportunidades de fazer explorações e representações que permitem

investigar, descrever e descobrir as propriedades dessas construções ampliando

assim, as possibilidades de percepção e exploração do espaço em que vivemos.

São necessárias articulações de estratégias geométricas para se construir

uma dobradura, diante disso o ensino da geometria passa a ser favorecido por ela,

pois associações entre conteúdos abstratos e problemáticas cotidianas são

intermediados por tais construções.

Segundo Gênova (2008, p. 12) “podemos melhorar a qualidade da nossa

relação com alguns fundamentos da geometria euclidiana, através do origami”, ele

também nos afirma que essa arte “valoriza o movimento das mãos, estimula as

articulações e exercita o cérebro” (GÊNOVA, 2008, p. 14).

Para Aschenbach, Fazenda e Elias (1997) por meio do origami, atividades,

como por exemplo, brincar com triângulos de papel, pode-se introduzir visualmente

um conceito geométrico de maneira simples, para depois trabalhar seu significado.

Os estudantes, na medida em que realizam as dobraduras, familiarizam-se

com as formas geométricas que aparecem em cada movimento de transformação.

Ao desdobrar um origami, a folha fica marcada com muitos vincos, através dos quais

se pode introduzir de maneira eficaz noções de retas e suas posições relativas no

plano, o estudo de ângulos, congruências, relações de área e proporcionalidade,

entre outros.

Por ser a geometria tão importante em nossas vidas, que o projeto

“Trabalhando a Geometria por meio do Origami” visou um trabalho voltado para o

resgate de conceitos geométricos já estudados pelos alunos, porém de uma forma

simples e significativa, utilizando as dobraduras e o origami como recursos

metodológicos.

O projeto foi realizado com 20 alunos do 7º ano do Colégio Estadual Alcides

Munhoz – Ensino Fundamental e Médio, localizado à Rua Marechal Floriano Peixoto

nº 61, na cidade de Imbituva.

Os alunos voluntários levaram para seus pais ou responsáveis um pedido de

autorização para que pudessem participar do projeto no contraturno e um convite

para uma reunião para esclarecer a proposta de trabalho.

A produção aplicada nas aulas de implementação foi dividida em oito fases,

as quais foram organizadas para serem trabalhadas em 4 horas aula cada, porém

houve necessidade de subdividi-las para atender a necessidade de deslocamento

dos alunos em contraturno, assim cada fase passou a ser trabalhada em dois

momentos de 2 horas aula, o que resultou um total de 16 encontros para estudo.

Contudo, não foi possível obter a presença de todos os alunos em alguns encontros,

devido ausência por motivos particulares.

Observou-se que os alunos do 7º ano conhecem alguns termos da

Geometria, pois esta é percebida por eles em muitas situações do seu dia a dia. No

entanto, quando se faz necessário sistematizar esses conhecimentos, nota-se a

dificuldade que eles têm em relacionar as nomenclaturas formais aos elementos que

se pretende identificar e explorar nas figuras geométricas. Como todo conhecimento

matemático é cumulativo, esses termos da geometria serão de grande importância

para os anos seguintes, onde conteúdos algébricos aliarão elementos geométricos

em seu contexto com frequência.

Fazer com que os alunos entendam que nem todo conhecimento matemático

terá uma aplicação imediata e clara no seu cotidiano não é tarefa fácil nem aceitável

pela maioria deles, que sempre questionam o porquê aprender determinado

conteúdo e onde ele vai ser utilizado. Por isso, este trabalho propôs usar dobraduras

e origami para tornar, futuramente, mais fácil a explicação de conceitos algébricos

muitas vezes abstratos por meio da Geometria e seus elementos.

Os conteúdos abordados nas ações de intervenção foram os elementos

geométricos, posição relativa de duas retas no plano, ângulos, figuras planas

poligonais e suas diagonais. Também foram apresentados já confeccionados alguns

poliedros para identificação das figuras, de seus vértices, arestas e faces dos

mesmos. Devido à habilidade demonstrada pelos alunos na realização das dobras e

disponibilidade de tempo, foi possível confeccionar junto com eles o cubo e o

paralelepípedo, poliedros mais simples, nos quais se explorou seus elementos –

arestas, vértices e faces.

A maioria dos origamis foi confeccionada com papéis recicláveis como:

revistas, jornais, folhetos e outros, com os quais se trabalhou tanto os origamis

tradicionais como os origamis modulares.

Objetivando a integração entre conteúdos de disciplinas diferentes, visando à

interdisciplinaridade, alguns trabalhos do projeto foram realizados junto à disciplina

de Arte, com a colaboração de seu professor. As obras confeccionadas,

apresentadas na figura 1, foram expostas na II Feira de Ideias do Colégio que foi

aberta ao público em geral para visitação. Todos os visitantes gostaram dos

trabalhos expostos e da proposta do projeto, alguns demonstraram tanto interesse

pelas obras produzidas que queriam até comprá-las.

Figura 1 – Origamis modulares

Fonte: A autora

2.3 Ações, implicações e observações

2.3.1 Primeira Fase

No primeiro encontro da implementação da produção didático pedagógica do

projeto que levou ao presente trabalho foi realizado uma dinâmica apresentando

origamis em uma caixa, como mostra a figura 2, os quais foram utilizados para que

houvesse uma interação dos alunos com o objeto da proposta de trabalho e entre

eles mesmos, pois cada um escolhia dois dos origamis dando um deles para um

colega da turma se apresentando, formando assim uma corrente de apresentações.

Também foi exposta, por meio de slides, uma breve história do origami, uma

introdução referente às atividades que seriam realizadas e o cronograma das datas

de intervenção na escola.

Figura 2 – Origamis

Fonte: A autora

Quando os alunos visualizaram os origamis da caixa, ficaram bem ansiosos,

pois interessaram-se por alguns em particular e queriam aprendê-los. Como não

estava previsto no trabalho a confecção dos origamis da caixa, não foi possível

atender a esse pedido de imediato, porém para não desmotivá-los acabou-se

confeccionando em outra hora as dobraduras que eles desejavam e que foram

entregues no encontro seguinte.

Ainda no primeiro dia, para avaliar os conhecimentos prévios sobre

Geometria, os alunos responderam algumas questões, voltadas para os conceitos

geométricos, de forma oral. Por meio das respostas, foi possível direcionar e efetuar

algumas modificações no decorrer das ações seguintes para uma melhor adequação

ao público-alvo do trabalho.

No segundo encontro, depois de realizadas algumas dobras, em papel sulfite,

sugeridas e encaminhadas pela professora, foram observados e estudados os

conceitos dos elementos primitivos da geometria – ponto, reta e plano. Por meio das

atividades escritas que os alunos realizaram, observou-se uma melhor compreensão

de como representá-los e nomeá-los em um plano, bem como a facilidade de

identificar ao seu redor objetos que dão a ideia dos mesmos.

2.3.2 Segunda Fase

Para iniciar o contato com o origami, os alunos trabalharam em grupo e

confeccionaram uma dobradura que eles já conheciam. Essa atividade visou a

socialização uns com os outros. Ao término dessa atividade, foi entregue mais uma

folha para que o origami fosse repetido. Desdobrando o origami, seus vincos depois

de reforçados com auxílio de régua e lápis, foram analisados. Verificou-se a

presença das formas geométricas, que foram nomeadas pelos alunos após a sua

identificação. Cada aluno observou os trabalhos dos colegas do seu grupo e anotou

em seu caderno, além das formas que apareceram nos vincos do seu origami,

alguma outra forma geométrica diferente da sua, caso fosse encontrada.

Em um segundo momento, retomando a dobradura confeccionada no primeiro

encontro dessa fase, cujas nomeações das formas vincadas foram realizadas,

destacou-se para estudo os triângulos não sobrepostos. Depois de conceituado o

polígono triangular, cada aluno recebeu três modelos de triângulos com suas

identificações – triângulo equilátero, isósceles e escaleno. De posse dos triângulos

destacados e seguindo um roteiro de atividades, iniciaram-se os estudos das

medidas dos seus lados, por meio de dobraduras, que levaram os alunos a

comparar se essas medidas eram iguais ou diferentes. Verificou-se, pela facilidade

com que realizaram as demais atividades propostas, que os alunos entenderam a

relação existente entre os triângulos e a medida dos seus lados, mesmo sem auxílio

de uma régua.

O estudo das nomenclaturas dos triângulos, quanto às medidas dos seus

ângulos, foi desenvolvido de forma similar aos das medidas dos seus lados –

dobrando e comparando – porém foi necessário iniciar o estudo pelo triângulo

retângulo, pois o ângulo reto foi à base da comparação para que os alunos

pudessem observar se os demais ângulos eram maiores ou menores que 90º e

assim, classificá-los em triângulo acutângulo, triângulo retângulo ou triângulo

obtusângulo. Além do atendimento coletivo, foi necessário atendimento individual

para que alguns alunos entendessem como deveriam proceder para comparar os

ângulos, apesar de ter levado mais tempo para realizar essa atividade, percebeu-se

que houve aprendizado.

2.3.3 Terceira Fase

Foram apresentados aos alunos símbolos utilizados em diagrama, que passo

a passo levam a construção de origamis, levando ao conhecimento de que alguns

símbolos são universais e que também alguns apresentam diagramas com

simbologia esquemática própria. Não houve muitas dificuldades em serem

desvendados os símbolos, porque são dedutíveis normalmente ou há instruções de

seu significado no início da construção do origami na maioria dos livros e revistas

especializados no assunto. Para treinar as dobras apresentadas foi utilizado papel

reciclável. Nesse encontro também foi confeccionado o origami da canoa, onde os

alunos seguindo o esquema, exposto em tamanho apropriado em cartazes, puderam

exercitar sua capacidade de observação e interpretação de códigos presentes no

esquema.

No segundo encontro, os alunos refizeram o origami da canoa, confeccionado

no primeiro encontro dessa fase, para relembrar a construção utilizou-se o uso de

multimídia, por ser uma forma prática de explicar e demonstrar como construir o

mesmo. Depois de confeccionada a canoa, ela foi desdobrada, e através de seus

vincos observou-se o quadrilátero presente, que incentivou o estudo dos demais

quadriláteros. Observou-se que o roteiro de atividades propostos nesse encontro foi

realizado com facilidade pelos alunos, e que o conceito de quadriláteros e suas

classificações foram compreendidos.

2.3.4 Quarta Fase

Nesse encontro estudou-se o conceito do trapézio e suas classificações –

trapézio isósceles, escaleno e retângulo – bem como os elementos e propriedades

dos demais quadriláteros que foram classificados no encontro anterior. Os alunos

participaram ativamente das atividades propostas, questionando e tirando dúvidas

quando necessário e demonstraram bastante interesse na resolução das mesmas.

A confecção do jogo do Tangram por meio de dobraduras foi a proposta do

segundo encontro dessa fase.

Após assistirem os slides com a história do tangram, os alunos receberam o

esquema de como construí-lo por meio de dobraduras. Depois de confeccionados

dois jogos, um deles foi recortado e utilizado para descontrair a aula montando

figuras de animais, pessoas, figuras geométricas letras e outras. Além de brincarem,

os alunos foram relembrando, a cada dobra, figuras geométricas que já tinham

aprendido nos encontros anteriores.

2.3.5 Quinta Fase

Utilizando o tangram do encontro anterior os alunos foram desafiados a

construírem quadrados usando 2, 3, 4 e 5 peças. Com essa atividade, mais uma

vez, relembrou-se o conceito formal do quadrado usando um material não

convencional, despertando curiosidade e procurando, com isso, instigar o

aprendizado do conhecimento matemático de forma mais interessante possível.

Utilizando a dobradura do tangram que não foi recortado no primeiro encontro

dessa fase, nesse segundo momento, estudou-se a posição relativa de duas retas

no plano – retas concorrentes, paralelas e perpendiculares – possíveis de serem

visualizados após imaginarem o prolongamento dos vincos deixados pelas dobras.

Observou-se a compreensão do assunto trabalhado, pela realização das atividades

propostas e pela facilidade com que os alunos passaram a identificar ao seu redor

as posições de linhas que dão a ideia de duas retas no plano.

2.3.6 Sexta Fase

Nesse encontro construiu-se novamente a dobradura do tangram, com o

propósito de trabalhar os ângulos visíveis nos vincos de suas dobras. Foi

conceituada a figura do ângulo e estudado a sua classificação – agudo, obtuso, reto,

raso, nulo e de uma volta, por meio de comparação, utilizando para isso o ângulo de

90º confeccionado ao dobrar uma folha de papel reciclável. Demonstrando que

houve aprendizado, os alunos encontraram a quantidade de ângulos agudos,

obtusos e retos presentes na dobradura do tangram.

No segundo encontro dessa fase, verificou-se que houve aprendizado sobre o

conceito de ângulo e sua classificação pela resolução ativa das atividades propostas

sobre o assunto estudado no encontro anterior.

2.3.7 Sétima Fase

Antes de estudar os assuntos previstos para esse encontro, proporcionou-se

aos alunos um momento de lazer, pois depois de confeccionarem três aviões, cujo

esquema foi fornecido de forma impressa, utilizaram um para brincar de lançar no

pátio da escola, com premiação para quem lançasse mais longe. Com essa

atividade lúdica, além de conceitos geométricos, fica a sugestão de trabalhar

também medidas, sequências numéricas, conceitos de números inteiros e reais, etc.

Os outros dois aviões foram desdobrados e por meio dos seus vincos foram

conceituados os ângulos consecutivos, os ângulos adjacentes e a bissetriz de um

ângulo.

Um roteiro de atividades foi utilizado para que os alunos pudessem, passo a

passo, entender cada conceito apresentado.

Para iniciar o segundo encontro dessa fase, usou-se a dobradura de uma

folha quadrada por meio de dicas, em seguida, foi lançada aos alunos uma pergunta

desafio: quantas retas podem-se traçar por um ponto?

As primeiras dobras da folha quadrada foram pelas suas diagonais, cujos

vincos se encontraram em um ponto, passando pelo mesmo foram feitas várias

outras dobras, até que os alunos entendessem que por um ponto podem-se traçar

muitas retas, levando a ideia de infinitas retas passando por um ponto. Utilizou-se

esse quadrado e seus vincos para introduzir aos alunos o estudo dos ângulos

opostos pelo vértice, que proporcionou uma visualização clara dos mesmos,

facilitando a sua compreensão.

2.3.8 Oitava Fase

A interdisciplinaridade com a Arte ocorreu nesse encontro, pois as dobraduras

dos módulos triangulares aprendidos foram utilizadas para criar obras de artes

lindíssimas durante as aulas da disciplina de Arte, como mostra a figura 1. A cada

dobra, para se chegar ao módulo triangular, os alunos relembraram as figuras

geométricas já conceituadas.

A dobradura do módulo quadrangular também foi aprendida nesse encontro,

utilizaram-se esses módulos para construir o cubo e o paralelepípedo, que junto com

outros poliedros já confeccionados, possibilitou o estudo dos elementos dos sólidos

geométricos – arestas, vértices e faces, de forma significativa. Verificou-se que, por

meio da manipulação dos sólidos confeccionados, as atividades propostas foram

realizadas com facilidade.

Validou-se a eficácia da proposta nesse segundo encontro da oitava fase

através de uma gincana de conhecimentos geométricos, cujas provas foram

divididas em atividades práticas e escritas.

Os alunos assíduos nos encontros foram os que conseguiram realizar todas

as provas da gincana, garantindo pontos para suas equipes e demonstrando que as

dobraduras e origamis são grandes aliados no processo de ensino e aprendizagem

da Geometria.

3 Considerações finais

A implementação do “Trabalhando a Geometria por Meio do Origami” tornou

possível perceber que o estudo de geometria pode ser trabalhado de forma mais

clara quando se utiliza de metodologias diferenciadas.

Durante o desenvolvimento das atividades percebeu-se que é possível

efetivar um trabalho em sala de aula com uma geometria prática e perceptível nos

vincos deixados pelas dobraduras e origamis. A geometria ensinada através da arte

é fácil de ser entendida pelos alunos e proporciona também momentos de diversão.

Verificou-se que a utilização das dobraduras e origamis como material de

apoio despertou nos alunos o estímulo de criar, divertir-se e aprender.

Relacionar a teoria à prática ao estudar geometria proporciona uma

aprendizagem muito mais interessante, pois o aluno após construir o seu material de

estudo utiliza-o para entender conceitos geométricos. Atividades de confecção,

observação e manipulação de dobraduras favorecem o enriquecimento do

conhecimento sobre os elementos geométricos, além de estimular a participação

tornando as aulas mais ativas e produtivas.

A socialização dos alunos tornou agradável todo trabalho realizado, pois além

de contar com a ajuda dos colegas nas construções dos módulos triangulares,

muitos contaram com a ajuda de seus familiares cuja interação é essencial para

motivação de todo educando.

Mesmo com as dificuldades que alguns alunos tiveram em confeccionar

determinadas dobraduras, eles não desistiram de aprender, foram persistentes

conseguindo pouco a pouco chegar ao produto final de cada obra pré-estabelecida.

Os objetivos do projeto foram todos cumpridos, indo além do esperado, pois

proporcionou aos alunos conhecimentos geométricos importantes para continuidade

de seus estudos, demonstrando também poder ser utilizado durante as aulas

regulares e ainda ajudou na renda familiar de alguns alunos que estão

comercializando as obras com origamis modulares.

Os resultados obtidos com o desenvolvimento do projeto foram satisfatórios,

tornando as atividades atraentes e motivadoras, onde o educando pode desenvolver

sua experimentação geométrica e a visão espacial, além de inúmeros outros

benefícios, pois nela estão presentes elementos que são fundamentais para uma

efetiva aprendizagem da geometria. Utilizar metodologias diversificadas e recursos

inovadores nas aulas, não ficando preso somente nos métodos tradicionais que não

tem apresentado bons resultados, são mudanças necessárias para promover um

ensino de qualidade, mas para que isso ocorra, mesmo que em longo prazo,

atitudes como coragem, compromisso e disposição devem ser adotadas nessa

caminhada em busca de uma trajetória com sucesso.

4 Referências

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