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UFMS - CPAR
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA IV
PROFª SABRINA HELENAELAINE CRISTINA LUIZ
4º MATEMÁTICA
CAMPO INVESTIGATIVO
No projeto de uma residência o acesso da sala aos
dormitórios é feito por meio de uma escada maciça de 20
degraus. A base de cada degrau é um retângulo de 0,002 hm
x 500 mm e a diferença de altura entre degraus
consecutivos é de 10 cm.
Para a compra de material e construção dessa
escada, o pedreiro deseja que se calcule o seu volume.
Então, qual é o volume total desta escada em m3 ?
INTRODUÇÃO
“A produção de alimentos cresce em progressão aritmética enquanto a população cresce em progressão
geométrica”.Thomas Malthus
Qualquer grupo ou conjunto que para ser formado precise
obedecer a uma ordem é chamado de Seqüência. Em nosso cotidiano
encontramos vários grupos que são uma seqüência.
Na Matemática uma das maneiras de trabalhar seqüência é
através das progressões que é um tipo de seqüência que envolve
apenas números, que são disposto conforme uma determinada
regra.
A progressão é dividida em Progressão Aritmética (P.A.) e
Progressão Geométrica (P.G.).
Cada uma possui uma regra e uma razão diferente.
CONTEXTO HISTÓRICO
Os termos seqüências e progressões advêm de processos
geniais que ao longo da história tantos homens encontraram para
enfrentar os problemas do dia-a-dia, das necessidades, partindo
assim de pressuposto reais e não inventados.
EGITO (5000 a. C)
Tudo partia das enchentes do Nilo. Havia a necessidade de se
conhecer o padrão deste acontecimento (isso acontecia a cada
365 dias);
Papiro datado de 1950 a.C havia relatos de problemas teóricos
sobre progressões;
Papiro de Rhind ou Ahmes (1650 a.C): havia evidência clara que
os egípcios sabiam somar os termos de uma P.A. Também
aparece uma progressão geométrica formada pelas frações:
Os termos desta seqüência são conhecidos como frações dos
olhos de Hórus.
, , , , ,
1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64
MESOPOTÂMIA (1900 – 1600 a.C)
Extraordinária tableta PLIMPTON 322, já trazia anotações
importantíssimas sobre progressões aritméticas e geométricas;
BABILÔNIA (300 a.C)
Tábua de Louvre onde aparecia problemas envolvendo seqüências;
EUROPA
Pitágoras (585 – 500 a.C): conhecia progressão aritmética, geométrica,
harmônica e musical;
Euclides: relatou sobre progressões em seu famoso livro “OS
ELEMENTOS”;
Diofanto de Alexandria (séc III d.C): estudou progressões em seu livro
“ARITMÉTICA”;
Bhaskara (1114 – 1185): hábil matemático hindu, também estudou
progressões;
Leonardo de Pisa (1202): escreveu o livro
“LIBER ABACCI”. Nele podemos encontrar o
problema dos pares de coelhos. A seqüência
numérica originária deste problema é
conhecida como a Seqüência de Fibonacci,
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...),
onde cada termos a partir do terceiro é a
soma dos dois termos imediatamente
anteriores. A partir desta seqüência deu-se
origem a conhecida razão áurea, ou razão
de ouro -
, ...
1 5
1 6182
Michael Stifel (1486 – 1567): através dos estudos com
progressões, descobriu os logaritmos e inventou uma breve
tabela logarítmica décadas antes de Napier;
John Napier (1590): revelou possuir completo conhecimento de
P.A e P.G.;
Abrahamde Moivre (1667-1754): deduziu o dia de sua morte por
uma progressão aritmética;
Johann Friederich Carl Gauss (1777-1855): gênio aos 03 anos de
idade. Aos 10 anos deduziu a fórmula da soma da progressão
aritmética;
Darwinismo – encontra-se progressões aritméticas e geométricas
na doutrina de Darwin.
SEQÜÊNCIAS OU SUCESSÕES
DEFINIÇÃO: todo conjunto cujos elementos obedecem a uma
determinada ordem. Sugere a idéia de termos sucessivos.
Representação: escrevemos os elementos entre parênteses,
separados por vírgula de modo que, da direita para esquerda
tenhamos: (1º elemento, 2º elemento, 3º elemento, ...).
Exemplos de Seqüências:
1. Meses do ano: (janeiro, fevereiro, março, ..., dezembro);
2. Dias da semana: (domingo, segunda, ..., sábado);
3. Fases da Lua: (nova, crescente, cheia, minguante););
Para trabalharmos as progressões, vamos usar um tipo de
seqüência especifica, que são as Seqüências Numéricas.
SEQÜÊNCIAS NUMÉRICASDefinição: conjunto cujos elementos são números e que são disposto
obedecendo uma determinada regra específica.
Exemplos de Seqüências Numéricas:
1. : (0, 1, 2, 3, 4, ... );
2. Potências de 10: (1, 10, 100, 1000, ...);
3. (2n + 1), n natural: (1, 3, 5, 7, ...);
Ordem das Seqüências:
Crescente: (0, 2, 4, 6, 8, ...)
Decrescente: (10, 9, 8, 7, ...)
CLASSIFICAÇÃO DAS SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS
Seqüência Finita: possui número finito de elementos.
Exemplos:
1. Dias do mês de fevereiro: (1, 2, 3, 4, ..., 28);
2. Jogos Olímpicos da era moderna: (1896, 1900, 1904, ... , 2000,
2004, 2008);
Seqüências Infinitas: possui número infinito de elementos.
Exemplos:
1. Múltiplos de cinco: (0, 5, 10, 15, ...)
2. Números ímpares: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...)
ELEMENTOS DE UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA
Em todas as seqüências observamos uma certa ordem em seus
elementos. Esses elementos são chamados termos da seqüência.
O termo que ocupa a posição de número n (n = número de
elementos da seqüência) é indicado por an (posição que o termo
ocupa).
Assim:
a1 = 1º termo da seqüência;
a2 = 2º termos termo da seqüência;
a3 = 3º termo da seqüência;...
an = enésimo termo da seqüência.
Podemos abreviar uma seqüência (a1, a2, a3, ... , an) por (an) n N*
Exemplos:
(3, 7, 11, 15, ... )
a1 = 3
a2 = 7
a3 = 11
a4 = 15...
(2, 4, 6,)
a1 = 2
a2 = 4
a3 = an = 6
Os termos a1 e an são
chamados de extremos da
seqüência finita.
Um termo am é chamado
termo médio de uma seqüência
com número ímpares de termos se,
e somente se, a quantidade de
termos que antecedem am é igual a
quantidade de termos que o
precedem. Só ocorre em
seqüências com nº ímpares de
termos.
Exemplos:
(2, 4, 6)
am = a2 = 4
Extremos: a1 = 2 e an = a3 = 6
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7)
am = a4
TERMOS EQÜIDISTANTES DE UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA
São termos eqüidistantes
de uma seqüência, termos em
que o mesmo nº de termos
que o antecedem é igual ao nº
de termos que o sucedem.
Exemplos:
(1, 2, 3, 4)
1 e 4 são eqüidistantes;
2 e 3 são eqüidistantes;
2 e 4 não são
eqüidistantes.
(1, 2, 3, ... , 98, 99, 100)
1 e 100 são
eqüidistantes;
2 e 99 são eqüidistantes;
3 e 100 são
eqüidistantes;...
50 e 51 são
eqüidistantes.
((2, 4, 6)
2 e 6 são eqüidistantes;
4 é eqüidistante dele
mesmo.
LEI DE FORMAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA
Definição: conjunto de informações capazes de determinar todos os
termos de uma seqüência e a ordem em que se apresentam. Regras
ou leis Matemáticas. Também é chamada de termo geral da
seqüência.
Exemplo:
Lei de formação: an = 2n – 1, n *
para n = 1, temos: a1 = 2.1 – 1 a1 = 1
para n = 2, temos: a2 = 2.2 – 1 a2 = 3
para n = 3, temos: a3 = 2.3 – 1 a3 = 5...
Portanto, pela lei de formação, temos a seqüência (1, 3, 5, ...).
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
Definição: é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do
segundo é igual a soma do termo anterior com uma constante r .
O número r é chamado razão da progressão aritmética.
A P.A. é um tipo de seqüência bastante presente no nosso
cotidiano.
Observe a situação:
“Quando a capacidade de água de um reservatório atinge o
mínimo de 5 m3, é aberto um registro automaticamente,
despejando 4 m3 de água por hora, até completar sua capacidade
máxima que é de 45 m3”.
(5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45)
REPRESENTAÇÃO
P.A. (a1, a2, a3, ..., an)
a1 é o 1º termo da P.A.;
n é o nº de termos da P.A.;
an é o último termo da P.A. ou o
termo procurado ou o enésimo termo;
r é a razão da P.A.
O CÁLCULO DA RAZÃO
Podemos usar duas fórmulas para
encontrarmos a razão de uma P.A.
Vejamos:
r = a2 – a1 = a3 – a2 ... (termo
posterior menos o anterior);
CLASSIFICAÇÃO
P.A. FINITA: nº finito de termos
Exemplo:
(1, 3, 5, 7)
a1 = 1
a4 = an = 7
n = 4
r = 2
P.A. INFINITA: nº infinito de
termos
Exemplo:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
a1 = 1
r = 4 na a
rn
1
1
P.A. CRESCENTE: o termo posterior é maior que o anterior, ou seja,
r 0
Exemplo:
(2, 4, 6, ...); r = 2
P.A. DECRESCENTE: o termo posterior é menor que o anterior, ou
seja, r 0
Exemplo:
(30, 20, 10, 0, -10, -20, ...); r = -10
P.A. CONSTANTE: todos os termos da P.A. são iguais, ou seja r = 0
Exemplo:
(5, 5, 5, 5, ...); r = 0
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A.
Voltando a situação do reservatório de água, onde temos a
P.A. (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45),
podemos calcular a quantidade de água do reservatório de
hora em hora, adicionando a quantidade mínima (5 m3) ao produto
do número de horas pela razão de água (4 m3).
Assim, se quisermos calcular a quantidade de água na 6ª hora,
teremos:
a1 = 5 m3 r = 4 m3
6ª hora = a1 + 6.r = 5 + 6.4 = 5+24 = 29 m3.
Observem que 29 m3, corresponde ao 7º termo da P.A.
Assim, podemos escrever
todos os termos da P.A. da
seguinte maneira:
a1 = a1 + 0 . r
a2 = a1+ 1 . r
a3 = a1 + 2 . r
a4 = a1 + 3 . r
a5 = a1+ 4 . r
a6 = a1 + 5 . r
a7 = a1 + 6 . r
a8 = a1 + 7 . r
a9 = a1 + 8 . r
a10 = a1 + 9 . r
a11 = a1 + 10 . r
Portanto, qualquer termo
an é igual a soma de a1 com o
produto (n – 1) . r, ou seja, a
fórmula do termo geral da
P.A. é expressa por:
an = a1 + (n – 1) . r
onde,
an é o último termo da P.A.
ou o termo desejado ou o
enésimo termo;
a1 é o primeiro termo da
P.A;
n é o número de termos da
P.A.
r é a razão da P.A.
A fórmula do termo geral da P.A. nos permite calcular a lei
de formação de uma P.A., a razão (r), o número de termos (n), o
primeiro termo (a1) e o último termo ou o termo desejado (an).
Exemplos:
1. Dê a fórmula do termo geral ou lei de formação da P.A. (5,
9, ...).
an = a1 + (n – 1) . r an = 5 + (n – 1) . 4 an = 4n – 1
2. Qual o vigésimo termo da P.A. (2, 8, ...)?
a20 = 2 + (20 – 1) . 6 a20 = 2 + 19 . 6 a20 = 116
3. Quantos elementos tem a P.A. ( -2, 3, ... , 43)?
an = a1 + (n – 1) . r 43 = -2 + (n – 1) . 5 n = 10
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA P.A.
Três termos:
(x – r, x, x + r) ou (x, x + r, x + 2r);
Cinco termos:
(x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r) ou (x, x+ r, x + 2r, x + 3r, x + 4r).
Para P.A. com número par de termos, ou seja, sem termo
central, usamos uma notação diferente em que o r da razão é em
função de outro número qualquer, ou seja, r = 2y.
Dois termos:
(x – y, x + y);
Quatro termos:
(X – 3Y, X – 2Y, X – Y, X + 2Y).
PROPRIEDADES DA P.A. P1 – Média Aritmética
Uma seqüência de três termos é P.A. se, e somente se, o
termo médio (am) é igual à média aritmética entre os outros dois.
Demonstração:
(a, b, c) é P.A.
(a, b, c) é P.A. b – a = c – b
e
b – a = c – b b + b = c + a 2b = a + c
Exemplo:
Dada a P.A (1, __, 5), quem é a2?
a cb
2
a cb
2
a aa
a
1 32
2
21 5
2
1, 3, 5
n-1 n+1n
a +aa = n≥2
2
a
a
2
2
6
23
P2 – Soma dos termos eqüidistantes
Numa P.A finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos
extremos é igual a soma dos extremos.
Seja a P.A. (a1, a2, a3, ..., an – 2, an – 1, an), temos:
a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 ...
Exemplo::(3, 7, 11, 15, ..., 19, 23, 27, 31)
3 31 34
7 27 34
11 23 34
15 19 34
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Interpolar, inserir ou intercalar meios aritméticos entre
dois números dados (extremos) é obter uma P.A. na qual os
números dados sejam o primeiro e o último termo. Para isso
devemos calcular a razão dessa P.A.
Exemplo:
1. Interpolar 6 meios aritméticos entre 100 e 184.
Observemos que a1 = 100, an = 184 e n = 08 (06 meios + 02
extremos).
Então, falta calcular a razão da P.A. para que possamos inserir
os meios.
Logo,
na ar
n
r
r
r
1
1
184 100
8 1
84
712
P.A. 100, 112, 124, 136, 148, 160, 172, 184
.n 8Assim, a é igual a a
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A.
Lembram-se se Gauss?
Vejam como ele deduziu a fórmula do soma dos termos de uma
seqüência, através da soma dos números de 01 até 100.
(1, 2, 3, ... , 98, 99, 100)
1 100 101
2 99 101
3 98 101
Gauss entendeu que somando os termos eqüidistantes,
a soma sempre seria a mesma. Assim, ele podia pegar
apenas uma soma e multiplicar pela quantidade de termos.
Mas ainda, quando ele somou dois números, entendeu que
o número de termos iria reduzir pela metade. Tão logo,
chegou a brilhante fórmula da soma dos n termos de uma
seqüência.
E para surpresa de seu professor, foi o único aluno que
resolveu a questão corretamente.
x
x
1+100 100S =
2101 100
S =2
10.100S =
2S =5.050
TEOREMA
A soma Sn dos n primeiros termos da P.A. (a1, a2,
a3, ..., an, ...) é dada por:
Onde,
Sn = soma dos n termos de uma P.A.
a1 = 1º termo da P.A.
n = número de elementos da P.A.
an = último termo da P.A. ou o termo desejado ou o enésimo termo.
1 nn
a +a nS =
2
Exemplo:
1. Dada a P.A. (5, 8, ...),
determine a soma de seus 4
primeiros termos.
Primeiro vamos retirar os
dados que o exercício
nos fornece:
a1 = 5
n = 4
r = a2 – a1 r = 3
P.A. até o 4º termo (5,
8, 11, 14)
an = a4 = 14
Agora é só aplicar a
fórmula da soma.
1 nn
a +a nS =
2
4
4
4
4
5+14 4S =
219 4
S =2
76S =
2S =38
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA P.A.
..
...
0 1 2 3 4
an = a0 + nr
n
an
a0
a1
a2
a3
a4
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
Definição: é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do
segundo é igual ao produto do termo anterior com uma constante
q . O número q é chamado razão da progressão geométrica.
A P.G. também é um tipo de seqüência bastante presente
no nosso cotidiano.
Observe a situação:
“Em 2007, uma empresa produziu 200.000 peças de um produto.
A empresa fez uma previsão que a cada ano, sua produção deve
aumentar em 10% em relação ao ano anterior. Quantas peças
serão produzidas a cada ano até 2012?”.
(200.000, 220.000, 242.000, 266.200, 292.820, 322.102)
REPRESENTAÇÃO
P.G. (a1, a2, a3, ..., an)
a1 é o 1º termo da P.G.;
n é o nº de termos da P.G.;
an é o último termo da P.G. ou o
termo procurado ou o enésimo termo;
q é a razão da P.G.
O CÁLCULO DA RAZÃO
Podemos usar duas fórmulas para
encontrarmos a razão de uma P.G.
Vejamos:
...
CLASSIFICAÇÃO
P.G. FINITA: nº finito de termos
Exemplo:
(3, 6, 12, 24)
a1 = 3
a4 = an = 24
n = 4
q = 2
P.G. INFINITA: nº infinito de
termos
Exemplo:
(2, 8, 32, 128, 512, ...)
a1 = 2
q = 4
nn-1
1
aq= ,n≥3
a32
1 2
aaq= =
a a•
P.G. CRESCENTE: o termo posterior é maior que o anterior. Para que isso
aconteça, é necessário e suficiente que a1 0 e q 1, ou a1 0 e 0 q
1.
Exemplos:
(2, 4, 8, ...); q = 2
(-4, -2, -1, -1/2, ...); q = 1/2
P.G. DECRESCENTE: o termo posterior é menor que o anterior. Para que
isso aconteça, é necessário e suficiente que a1 0 e 0 q 1, ou a1 0
e q 1.
Exemplos:
(8, 4, 2, 1, ½, ...); q = ½
(-1, -2, -4, -8, ...); q = 2
P.G. CONSTANTE: todos os termos da P.G. são iguais, ou seja q = 1
Exemplo:
(5, 5, 5, 5, ...); q = 1
P.G. OSCILANTE: todos os seus termos são diferentes de zero e dois
termos consecutivos quaisquer têm sinais oposto. Para que isso
aconteça, é necessário e suficiente que a1 0 e q 0.
Exemplo:
(3, -6, 12, -24, 48, -96, ...); q = -2
P.G. QUASE NULA: o primeiro termo é diferente de zero e todos os
demais são iguais a zero, isto é, a1 0 e q = 0.
Exemplo:
(9, 0, 0, 0, 0, ...); q = 0
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G.
Voltando a situação da empresa, onde temos a
P.G. (200.000, 220.000, 242.000, 266.200, 292.820,
322.102), podemos calcular a quantidade de
peças produzidas ano a ano multiplicando a produção inicial por
potências 1,1 (110%).
Assim, se quiséssemos saber a produção no ano de 2010, teríamos:
a1 = 200.000 q = 1,1
Logo, a produção do ano de 2010 seria:
a2010 = a1 . q3 a2010 = 200.000 . (1,1)3 a2010 = 200.000 . 1,331 a2010 = 266.200
Observem que 266.200, corresponde ao 4º termo da P.G.
Assim, podemos
escrever todos os termos
da P.G. da seguinte
maneira:
a1 = a1 . q0
a2 = a1 . q1
a3 = a1 .q2
a4 = a1 . q3
a5 = a1 . q4
a6 = a1 . q5
Portanto, qualquer termo
an é igual ao produto de a1
pela potência q(n – 1), ou seja, a
fórmula do termo geral da
P.G. é expressa por:
an = a1 . q(n - 1)
onde,
an é o último termo da P.G.
ou o termo desejado ou o
enésimo termo;
a1 é o primeiro termo da
P.G;
n é o número de termos da
P.G.
q é a razão da P.G.
A fórmula do termo geral da P.G. nos permite calcular a lei
de formação de uma P.G., a razão (q), o número de termos (n),
o primeiro termo (a1) e o último termo ou o termo desejado (an).
Exemplos:
1. Dê a fórmula do termo geral ou lei de formação da P.G. (2,
4, ...).
an = a1 . q(n – 1) an = 2 . 2(n – 1) an = 2(n)
2. Qual o quarto termo da P.G. (2, 8, ...)?
a4 = 2 . 4(4 – 1) a4 = 2 . 43 a4 = 128
3. Quantos elementos tem a P.G. ( 3, 6, ..., 192)?
192 = 3 . 2(n – 1) 192 3 = 2(n – 1) 64 = 2(n – 1) n = 8
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA P.G.
Três termos:
Cinco termos:
Para P.G. com número par de termos, ou seja, sem termo
central, usamos uma notação diferente em que o q da razão é em
função de outro número qualquer, ou seja, q = y2.
Dois termos:
Quatro termos:
x,x,xq ,comrazão q,seq ou x,xq,xq ,comrazão q
q
20
x x, ,x,xq,xq ou x,xq,xq ,xq ,xqqq
2 2 3 42
x,xy
y
x xx,xq,xq ,xq comrazãoqou , ,xq,xq comrazãoq seq
2 3 3 2
30
PROPRIEDADES DA P.G. P1 – Média Geométrica
Uma seqüência de três termos em que o primeiro é diferente
de zero, é P.G. se, e somente se, o quadrado do termo médio (am)
é igual ao produto dos outros dois, isto é, sendo a 0, temos:
(a, b, c) é P.G. b2 = a .c
Demonstração:
Vamos analisar duas hipóteses: b 0 ou b = 0
1ª hipótese: b 0
Como a 0 e b 0, temos:
b ca,b,c éP.G
a be
b cb ac
a b
2
Logo: (a, b, c,) é P.G. b2 = ac
2ª hipótese: b = 0
Como a 0 e b = 0,
temos: a,b,c éP.G. c
e
c b ac
2
0
0
Logo: (a, b, c,) é P.G. b2 = ac
P2 – Produto dos termos eqüidistantes
Numa P.G finita, o produto de dois termos eqüidistantes dos
extremos é igual ao produto dos extremos.
Seja a P.G. (a1, a2, a3, ..., an – 2, an – 1, an), temos:
a1 . an = a2 . an – 1 = a3 . an – 2 ...
Exemplo::(2, 4, 8, 16, ..., 32, 64, 128, 256)
. 02 256 512
. 04 128 512
. 08 64 512
. 16 32 512
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Interpolar, inserir ou intercalar meios geométricos entre
dois números dados (extremos) é obter uma P.G. na qual os
números dados sejam o primeiro e o último termo. Para isso
devemos calcular a razão dessa P.G.
Exemplo:
1. Interpolar 4 meios geométricos entre 1 e 243.
Observemos que a1 = 01, an = 243 e n = 06 (04 meios + 02
extremos).
Então, falta calcular a razão da P.G. para que possamos inserir
os meios.
Logo,
nna
qa
q
q
q
1
1
6 1
5
243
1
243
3
P.G. 1, 3, 9, 27, 81, 243
.n 6Assim, a é igual a a
SOMA DOS SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.P.G.
A soma dos n termos de uma P.G. (an) de razão q 1 é dada pelas fórmulas:
1
1
1
n
n
qS a
q
1
1
1
n
n
qS a
q
nn
a q aS
q
1
1
Onde,
Sn = soma dos n termos da
P.G.;
a1 = 1º termo da P.G;
n = número de termos da P.G;
q = razão da P.G.
an = enésimo termo da P.G.
Exemplo:
1. Dada a P.G. (3, 6, ...),
determine a soma de seus 4
primeiros termos.
Primeiro vamos retirar os
dados que o exercício
nos fornece:
a1 = 3
n = 4
q = a2 a1 q = 2
P.G. até o 4º termo (3,
6, 12, 24)
an = a4 = 24
Agora é só aplicar a
fórmula da soma.
1
1
1nS =anq
q
42 1
2 116 1
1
4
4
4
4
S =3
S =3
S =3 15
S =45
SOMA DOS INFINITOS TERMOS DA P.G.
Nas progressões geométricas em que -1 < q < 1, a soma dos n
primeiros termos tem um limite finito quando n . Neste caso,
qn aproxima-se de zero para n suficientemente grande, ou seja,
Sabemos que
Logo,
Isto é:
n
nlimq
0
n
n
qS a ,q
q
1
11
1
nn
limS aq
1
1 0
1
nn
alimS , q
q
1 1 1
1
Exemplo:
1. Calcule o limite da soma dos termos da P.G.
Neste caso,
Então:
Logo,
Isso significa que quanto maior for n, a soma
será mais próxima de 1.
, , ,
1 1 1 1
2 4 8 16
a 11
2
q1
2
nn
alimS
q
1
1 12 2 11 11 12 2
nnlimS
1
n 1 1 1 1 1
2 4 8 16 2
PRODUTO DOS TERMOS DA P.G. O produto Pn dos n termos de uma P.G. pode ser obtido por
duas maneiras:
Primeira maneira:
Exemplo:
1. Determine o produto dos 04 primeiros termos da P.G. (3, 6, ...).
Pela primeira maneira
n nn
nP a q
1
21 nn nP a a 1
.
P
P
P
P
4 4 14 2
4
64
4
4
3 2
81 2
81 64
5184
• Segunda Maneira:
• Pela segunda maneira
44
44
24
4
3 24
72
72
5184
P
P
P
P
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA P.G.
0 1 2 3 4
n
an
a0
a1
a2
a3
a4
an = a0 . qn
COMO DIFERENCIAR P.A DE P.G Não existe outra maneira senão calculando a razão da
seqüência apresentada.
Exemplo:
1. Dada a seqüência (1, 2, 4, 8, 16, 32,...), verifique se é P.A. ou
P.G.
Resolução: de cara vemos que não se trata de P.A., pois:
2 – 1 = 1;
4 – 2 = 2;
8 – 4 = 4.
Verifiquemos se é P.G.
2 1 = 2;
4 2 = 2;
8 4 = 2.
Portanto, temos que a seqüência dada é uma P.G.
COMPARAÇÃO DOS GRÁFICOS DE P.A. E P.G.
“A produção de alimentos
cresce em progressão
aritmética
enquanto a população cresce
em progressão geométrica”.
Conclusão: Fome Mundial
Thomas Malthus
BIBLIOGRAFIA Dante, Luiz Roberto. Matemática Contextos e Aplicações Volume Único. São
Paulo. Ática. 2009.
Paiva, Manoel. Matemática Volume Único. São Paulo. Moderna. 2003.
Silva, Claudio Xavier da; Filho, Benigno Barreto. Matemática Aula por Aula. São
Paulo. FTD. 2005;
Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. São
Paulo. Atual. 2004;
Souza, Maria Helena de. Spinelli, Walter. Matemática. São Paulo: Ática, 1999.
http://www.seufuturonapratica.com.br/intellectus/_Arquivos/Jan_Jul_04/PDF/
Artigo_Valeria.pdf - Consultado em 06/10/2009 às 11:46;
http://www.somatematica.com.br/emedio2.php. Consultado em 06/10/2009;
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/progressao.htm. Consultado
em 06/10/2009;
http://images.google.com.br/;
JOGANDO COM A P.A. Objetivos: estruturar seqüências lógicas, na forma de uma Progressão
Aritmética, onde exista:
- uma razão (r)
- um 1º termo (a1)
- o número de termos (n)
- o último termo da seqüência (an).
O número de termos será fixo em todos os jogos, pois equivale ao
número de cartas, seis.
Diante disso, para a confecção do jogo será utilizado: tesoura; régua;
lápis; pincel atômico ou caneta; papel cartão ou cartolina da cor
desejada.
O número de participantes do jogo pode variar entre 3 a 5, a critério
do professor e da disponibilidade da sala.
Seguiremos os seguintes passos para a confecção do material a ser
utilizado durante o jogo:
Primeiro passo: Riscamos no papel cartão ou cartolina retângulos 6
cm x 8 cm, que serão as cartas.
Segundo passo: Enumeramos as cartas de 1 a 30, duas vezes,
totalizando 60 cartas.
Terceiro passo: Recortamos os retângulos.
Quarto passo: Depois de pronto, embaralhamos e iniciamos o jogo.
O desenvolvimento do jogo “Jogando com a P. A.” acontece da
seguinte forma:
Um dos jogadores distribui seis cartas a cada participante, uma a
uma.
De acordo com as cartas em mãos, cada jogador raciocina de
maneira lógica, e define qual será a razão de sua seqüência. Essa
razão deve variar de dois a cinco, impreterivelmente. Essa razão
pode ser modificada de acordo com a estratégia do jogador e o
andamento do jogo. A razão escolhida deve ser mantida sobre sigilo.
O jogador à direita de quem distribuiu as cartas, pega uma carta e
descarta outra que não é compatível à sua seqüência.
As cartas descartadas só podem ser adquiridas pelo jogador à
direita do descartante.
Esse movimento continua até o final do jogo, em sentido anti-
horário.
O jogador que errar a seqüência ou os termos da P.A. sai do jogo
e os outros participantes continuam.
Caso as cartas acabem sem nenhum dos participantes ter
completado sua seqüência, todas as cartas que foram descartadas
serão embaralhadas e adquiridas novamente até uma seqüência
ser completada.
Será considerado vencedor do jogo, quem completar primeiro sua
seqüência, com a razão escolhida, e falar aos outros participantes
qual é a razão, e os termos, a1, an e n.
LISTA DE EXERCÍCIOS1. Dada a P.A. (-19, -15, -11, ...), calcule o seu enésimo termo.
2. Encontre o valor de x para que a seqüência (2x, x + 1, 3x) seja
um P.A.. Escreva a P.A. e dê o valor da razão.
3. A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Quantos
termos tem a P.A.?
4. Qual a soma dos termos da P.A. (-16, ___, -12, ___, ..., 84)?
5. Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em P.A..
Determine o termo am dessa seqüência.
6. Qual é o vigésimo termo da P.A. (2, 8, ...)?
7. Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual a
razão da P.A. obtida?
8. Três números estão em P.A; o produto deles é 66 e a soma é 18.
Calcule os três números, e escreva as P.A..
9. No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de
uma montadora esta em P.A. crescente. Em janeiro, a produção
foi de 18.000 carros, e em junho, de 78.000 carros. Qual foi a
produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril
e maio?
10. O jardim de uma praça pública possui 60 roseiras plantadas ao
lado de um caminho reto e separadas a uma distancia de um
metro uma da outra. Para regá-las, o jardineiro enche um
regador em uma torneira que também esta ao lado do caminho
e a 15 metros antes da primeira roseira. A cada viagem, ele
rega três roseiras. Começando e terminando na torneira, qual a
distancia total que ele terá de caminhar até regar todas as
roseiras?
11. Três números estão em P.G.; o produto deles é 729 e a soma 39.
Quais são esses números? Escreva as P.G.?
12. Numa P.G. (2, 1, ...), qual o seu enésimo termo?
13. Numa P.G. crescente, o primeiro termo é 3 e o quinto termo é
30.000. Qual a razão da P.G.?
14. Qual o oitavo termo de uma P.G. na qual ?
15. Quantos meios geométricos existe entre 1/16 e 64 com razão 4?
16. Determine x de modo que (5, 2x + 4, 6x + 2) seja uma P.G.
17. Obtenha o 11º termo da P.G. (1/27, 1/9, 1/3, ...) e a soma dos 11
primeiros termos.
18. Na P.G. (a1, a2, a3, ...) de razão q = 2, sabe-se que a soma dos 08
primeiros termos é 765. Determine o valor de a1.
19. Qual a soma dos infinitos termos da P.G. (5, 5/2, 5/4, ...)?
20. No primeiro semestre de 2007, a produção mensal de uma
indústria cresceu em P.G.. Em janeiro, a produção foi de 1.500
unidades e em junho foi de 48.000 unidades. Qual foi a produção
dessa indústria nos meses de fevereiro, março, abril e maio?
21. Dê o produto dos n termos da P.G. (1, -3, 9, -27).
a 1 2 e q= 2
22. Calcule a soma dos 30 primeiros múltiplos positivos de 3.
23. Calcule x e y, para que a sucessão (2, x, 2x +6, y) seja uma P.G.
crescente.
24. Sabe-se que (x, 3x – 1, 8x – 4) é uma P.G.. Calcule x e a razão.
25. A sucessão (1, a, b) é uma P.A., e a sucessão (1, a, b + 1) é uma
P.G.. Calcule a e b.
26. São dados três números inteiros em P.G. cuja soma é 26.
Determine esses números sabendo que o primeiro, o dobro do
segundo e o triplo do terceiro formam uma P.A..
27. Na P.G. (2, 4, 8, ...), qual é a posição do termo 1024?
28. Complete a P.G. (9/4, ___, ___, ___, ___, 8/27).
29. Determine a soma de todos os naturais múltiplos de 4 que
possuem 02 algarismos.
30. Verifique se a sucessão é uma progressão, classifique-a e dê a
razão.
2, 2 2, 4, 4 2, 8, 8 2, 16
