1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS CURSO DE ENGENHARIA ELTRICA DEPARTAMENTO DE ELETRNICA DISCIPLINA DE TCNICAS DE MODELAGEM DE SISTEMAS DINAMICOS

SISTEMA DE LEVITACAO MAGNETICA 3 PARTE IMPLEMENTACAO DA IDENTIFICACAO DE SISTEMAS UTILIZANDO MODELAGEM EM MALHA FECHADA

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1. INTRODUCAO

O sistema fsico escolhido para este trabalho um sistema de levitao magntica (SLM). Um SLM possui pelo menos um solenoide e uma pea metlica. Pelo solenoide passa uma corrente que gera uma fora magntica que deve se opor fora da gravidade de forma que, em estado estacionrio, a resultante das foras seja nula. Em malha aberta, a entrada deste sistema o valor da corrente aplicada ao solenoide e a sada a posio do disco.O SLM no qual este trabalho foi baseado o kit didtico de levitao magntica fabricado pela ECP Educational Control Product (www.ecpsystems.com). Este kit possui diversas configuraes de operao, cada qual viabiliza um sistema com caractersticas diferentes, o que possibilita o estudo de fenmenos de diferentes complexidades em uma mesma planta. Por exemplo, o SLM da ecp pode ser SISO (Single Input Single Output) ou MIMO (Multi Input Multi Output) e, alm disso, pode ser estvel ou instvel em malha aberta. Para este trabalho foi utilizado a configurao SISO e estvel em malha aberta. A relao da corrente eltrica aplicada bobina e o deslocamento do disco magntico dada por uma equao diferencial no linear de segunda ordem obtida previamente atravs de uma modelagem em caixa branca. Os parmetros do sistema foram obtidos empiricamente em (silva, 2009).

2. DESCRIO DA PLANTAO kit didtico, apresentado nas figuras 1 e 2, composto por uma base que suporta o que ser definido aqui como torre de levitao, um condicionador de sinais, dois discos magnticos e um basto de vidro que atua como guia do disco magntico. Ele possui ainda dois atuadores do tipo solenoide com sensores de posicionamento embutidos, um na parte inferior e outro na parte superior e uma rgua de referncia para mostrar a altura do disco magntico na parte fsica.Para que o sistema fsico possa se comunicar com o computador digital o kit dispe de um DSP Digital Signal Processing e uma blackbox responsvel pelos drivers de corrente e suprimento de energia ao kit.

Figura 1 Kit didtico de sistema de levitao magntica

Figura 2 Planta do sistema de levitao magnticaO sistema deve ser SISO e estvel em malha aberta. Para tal, o kit configurado para utilizar somente um disco magntico e a bobina inferior, dessa forma o sistema estvel em malha aberta. O disco inicialmente se encontra em repouso sobre a bobina inferior. Quando aplicado um degrau na entrada, ou seja, um degrau de corrente. gerada uma fora magntica orientada para cima. O movimento do disco exclusivamente na vertical, pois o sistema possui uma guia para o disco que o impede de se mover horizontalmente. O disco oscila em torno do estado estacionrio e o alcana quando toda a energia envolvida na oscilao for dissipada em forma de atrito com o ar e com a guia do disco. Em estado estacionrio a resultante das foras nula.A estabilidade deste sistema pode ser afirmada pois o ponto de repouso do disco quando nenhuma corrente aplicada faz parte do range da sada do sistema e o disco com qualquer corrente de entrada dentro dos limites de segurana capaz de responder a entrada e estabilizar em um valor correspondente. Ao ser desligado, o sistema retorna a condio inicial na qual o disco esta em repouso na posio inferior da escala de medio.3. MODELAGEM MATEMATICA

O modelo matemtico foi obtido a partir do manual da planta disponibilizado pelo fabricante. O tipo de modelagem foi caixa branca, ou seja, o modelo foi obtido diretamente pelas equaes dos fenmenos fsicos presentes no sistema e os parmetros foram determinados empiricamente em (silva, 2009). O detalhamento desses procedimentos no fazem parte do escopo deste trabalho dessa forma apresentado somente o resultado final.A equao obtida, por meio do balano de foras, dada por:

Em que, - posio do disco magntico a bobina; - velocidade do disco magntico; - acelerao do disco magntico; g - a acelerao da gravidade; c - coeficiente de atrito do disco com o ar; m - massa do disco magntico; - fora magntica aplicada ao disco magntico. A fora magntica () pode ser escrita na forma:

Em que, - corrente na bobina e parmetros do sistema O valor dos parmetros e constantes definidos acima se encontram na tabela 1.Smbolounidadevalor

g9.81 m/s

k2kg0.12

c0.15

a-0.95

b-6.28

Tabela 1 Valores dos parmetros e constantes do modeloA partir da equao do modelo, o sistema pode ser classificado em: No autnomo: Pois possui entradas e sadas; Invariante no tempo: Pois os parmetros no variam com o tempo; Parmetros concentrados: Pois as variveis no sofrem alterao de acordo com o ponto no espao; E continuo no tempo.

4. SIMULACAO DO MODELO OBTIDO

O modelo foi obtido de forma a fornecer o valor da posio (sada) em centmetros e o range da sada de -6 cm a + 6 cm. A entrada, de acordo com o manual de operao, pode variar de 0A ate 10A. As condies iniciais do sistema so velocidade do disco igual a zero (derivada da sada) e posio do disco igual a -6 cm que corresponde a posio de repouso do disco. A figura 3 esquematiza algumas das observaes feitas neste pargrafo.

Figura 3 demonstrao do range de sada da plantaA simulao, mostrada na figura 4, foi realizada atravs da funo ode45 do software Matlab. Esta funo integra equaes diferenciais convertidas para equaes de estados, inclusive as no lineares. O ode45 permite que as condies iniciais sejam colocadas e, atravs do uso de variveis globais, tambm possvel incluir a varivel de entrada nas equaes. Como o passo de integrao padro utilizado pelo ode45 no produziu resultados satisfatrios, ele foi reduzido para 0.0005s.

Figura 4 Resposta a um trem de pulsos de amplitude 5A

Figura 5 Resposta a um degrau positivo e negativo em destaqueNa figura 4 foi aplicado um trem de pulsos na entrada de amplitude igual a 5A e na figura 5, se encontra a resposta do sistema a um degrau positivo e negativo mais detalhadamente. A partir dessas figuras, possvel perceber que o sistema rpido, muito oscilatrio e a amplitude da sada varia pouco para uma grande variao na entrada, motivo pelo qual, optou-se por definir os pontos de operao a partir dos valores da entrada correspondentes a cada um e no pelos valores da sada.

Figura 6 Resposta do sistema ao mesmo degrau em pontos de operao distintosNa figura 6, o sistema simulado em dois pontos de operao diferentes de forma a provar a sua no linearidade. Em t = 0s aplicado um degrau de 1A. Aps o sistema estabilizar aplicado um segundo degrau de amplitude 5A, dessa forma o sistema passou para o ponto de operao correspondente a 6A e, em t = 30s, aplicado um degrau de 3A. Aps a estabilizao do sistema, aplicado um degrau negativo de 7A que levou o sistema para o ponto de operao de 2A, nesse ponto, aplicado outro degrau de 3A. As respostas do sistema para um degrau de 3A em pontos de operaes distintos (3 e 5 oscilao na sada do sistema) diferem muito uma da outra. A resposta para o ponto 2 mais oscilatria, demorou mais para estabilizar e possui um ganho maior. Portanto, a no linearidade do sistema comprovada por esta diferena entre as respostas do sistema a um mesmo degrau de entrada em diferentes pontos de operao.

5. MODELAGEM UTILIZANDO O METODO DE SUNDARESAN

O mtodo de Sundaresan permite aproximar um sistema no linear por uma funo de transferncia de segunda ordem com um atraso puro de tempo. O procedimento para tal no o enfoque deste relatrio e, portanto, no detalhado, mas os resultados de todas as etapas do procedimento so apresentados nas tabelas correspondentes.O sistema eh modelado, primeiramente, para o ponto de operao igual a 6 A. O grfico utilizado para tal se encontra na figura 7. Para obt-lo, os valores das condies iniciais do sistema foram retirados e o grfico da resposta foi ajustado para estabilizar em 1. As medies so apresentadas na tabela 2, juntamente com os parmetros obtidos atravs de calculo.

Figura 7 Resposta normalizada do sistema a um degrau unitrio

SmboloDescrioValores

KGanho0.05325

tm-0.3160

m1Soma das reas0.0591

MiTangente do ponto de interseo3.9500

-1.0147

Coeficiente de amortecimento0.1500

Frequncia natural5.5918

Frequncia amortecida5.5285

Constante relacionada com o atraso de tempo0.0054

Tabela 2 valores resultantes da modelagem do sistema para o ponto de operao de 6AA funo de transferncia obtida a partir desses valores :

A resposta do sistema ao degrau apresentada na figura 8, juntamente com a resposta do sistema original de forma a permitir uma comparao da eficincia da aproximao.

Figura 8 Comparao entre o sistema modelado por Sudaresan e o originalA partir da analise do grfico da figura 8, pode-se afirmar que a resposta ao degrau do modelo obtido a partir do mtodo de Sundaresan difere substancialmente do original, pois o amortecimento dele e a frequncia so superiores ao do modelo original. Esta discrepncia , provavelmente, devido ao fato de o valor da soma das reas serem bem pequenos e, alm disso, devido impreciso na determinao do ponto de inflexo neste sistema.A resposta do sistema normalizada no ponto de operao de 2 A mostrada na figura 9. As medies realizadas neste grfico so apresentadas na tabela 3 juntamente com os parmetros obtidos atravs de calculo.

Figura 9 Resposta normalizada ao degrau do unitrio no ponto de operao de 2

SmboloDescrioValores

KGanho0.0992

tm-0.2523

m1Soma das reas-0.1398

MiTangente do ponto de interseo3.9500

-1.5489

Coeficiente de amortecimento0.5000

Frequncia natural3.8832

Frequncia amortecida3.8783

Constante relacionada com o atraso de tempo-0.4641

Tabela 3 valores resultantes da modelagem do sistema para o ponto de operao de 2AAo analisar os parmetros da tabela 3, verifica-se que a soma das reas m1 negativa. Analisando, este resultado parece absurdo a primeira vista, porm a partir da analise da figura 10, verificamos que este resultado faz sentido uma vez que a rea acima da curva (vermelha) maior do que a rea abaixo dela (verde).

Figura 10 Resposta do sistema com as reas utilizadas no mtodo de sundaren em destaqueUma vez que a soma das reas negativa, ao substituir este valor na frmula, a constante de tempo relacionada ao tempo morto tambm o . Como uma constante de tempo negativa gera um sistema instvel, possvel afirmar que o mtodo em questo no se aplica ao sistema de levitao magntica. Alm disso, podemos inferir que a discrepncia resultante na modelagem do sistema para o ponto de operao igual a 6A ocorre pelo mesmo motivo.

6. MODELAGEM SEM O ATRASO PURO DE TEMPO

Como o mtodo de Sundaresan no se mostrou adequado para a modelagem. Nesta seo o sistema modelado por um sistema de segunda ordem que no possui tempo morto. O mtodo utilizado neste item o descrito na seo 3.2.1 em (Aguirre,2007). Os valores obtidos para os parmetros se encontram na tabela 4 e grfico que permite a comparao entre o sistema original e o modelado, na figura 11.

SmboloDescrioValores

KGanho0.05325

zetaCoeficiente de amortecimento0.0857

wnFrequncia natural4.8340

WFrequencia amortecida4.8133

Tabela 4 valores resultantes da modelagem do sistema para o ponto de operao de 2AA funo de transferncia obtida eh:

Figura 11 Comparao entre a resposta do sistema modelado e a resposta do sistema original para o ponto de operao de 6 A.A partir da analise do grfico da figura 11, verifica-se facilmente que a modelagem do sistema por um sistema de segunda ordem sem o atraso puro de tempo melhor que a modelagem de Sundaresan de mesma ordem. A seguir feita a modelagem da resposta ao degrau do sistema no ponto de operao igual a 6A. Os valores obtidos para os parmetros se encontram na tabela 5 e grfico que permite a comparao entre o sistema original e o modelado, na figura 12.

SmboloDescrioValores

KGanho0.0992

zetaCoeficiente de amortecimento0.0857

wnFrequncia natural4.95

WFrequencia amortecida4.9683

Tabela 5 valores resultantes da modelagem do sistema para o ponto de operao de 2AA funo de transferncia obtida foi:

.Figura 12 Comparao entre a resposta do sistema modelado e a resposta do sistema original para o ponto de operao igual a 2 A.A partir da analise do grfico da figura 12, pode-se afirmar, mais uma vez, que a modelagem do sistema sem o atraso puro de tempo aproxima razoavelmente bem a resposta do sistema.

7. BIBLIOGRAFIA

[1] Aguirre, Lus Antnio. Introduo Identificao de Sistemas, Belo Horizonte, 2007.[2] Ogata, Katsuhiko. 2006. Engenharia de Controle Moderno. [trad.] Paulo A Maya. 4 Edio. So Paulo: Prentice Hall, 2006.[3] Silva, E. B. Modelagem e Controle de um Sistema de Levitao Magntica. Monografia, Universidade Federal da Bahia, Departamento de Engenharia Eltrica, Salvador Bahia, 2009.[3] A. V. Vasconcelos Jnior, Carlos E Schnitman, Leizer .Implementao De Tcnicas Para o controle de um sistema De Levitao magntica, Universidade Federal da Bahia, Departamento de Mecatrnica, Salvador Bahia, 2010.