111Equation Chapter 1 Section 1Pontifcia UniversidadeCatlica do
Rio de JaneiroDepartamento de Engenharia CivilPrograma de
Psgradua!"o Trabalho FinalD#$%C' D'S ES(RU(UR'S (CIV
2108)Professor: Paulo Batista Gonalveso!ri"o #as$i%ento Barros
& 1'12828io !e (aneiro) 11 !e *u"ust !e 201+,1
))EquationSection*$e+t,Consi!ere-ueno./rti$oabai0oos an!ares t1%
altura !e 3m) $a!a $oluna !o .ri%eiro an!ar te%%o%ento !e in2r$ia
!e 48581cm) !o se"un!o an!ar47158cme !oter$eiro an!ar 42611cm, *s
%assas !os an!ares s3o 60.000kg .arao .ri%eiro e se"un!o an!ar e
30.000kg .ara o ter$eiro, *!otar $o%o%o!ulo !e elasti$i!a!e !o
%aterial!as $olunas 205 E GPa , Paraesta estrutura)
.e!e&se:C1%1f1(t) !1C2%2f2(t) !2C4%4f4(t)
!4f1(t)%1!1$1!151!152(!2&!1)$2(!2&!1)1-1 Consi!eran!o
a%orte$i%ento nulo) $al$ular as fre-u1n$ias naturais e %o!os
!evibra3o e nor%ali6ar os %o!os e% rela3o a %atri6 !e %assa,1-)
7ostrar -ue os %o!os s3o orto"onais $o% rela3o 8 %atri6 !e %assa e
ri"i!e6,1-. Consi!eran!o -ue o ./rti$o est9 su:eito 8s $on!i;es
ini$iais( ) { } 0 0, 01 0, 02 0, 03Td e( ){ }00 0 0Tddt _ ,)
!eter%inar os!eslo$a%entos e% vibra3o livre e %ostrar o hist/ri$o
no te%.o !e $a!a an!ar,1-/ Consi!eran!o -ue o ter$eiro an!ar se:a
sub%eti!o a u%a fora !e( ) ( )4310 sin 15 f t t e%#e*)?52 22 2u uEA
Ax t '2'@A 7>G>F=7*T (&) RES89U:;8)-1 Separa!"o de
G>F=7*T (&)Beste %o!o) fa6&se a substitui3o !a fun3o ( )
, u x t) a.resenta!a na e0.ress3o 2+ na for%ula3o 2',E A( ) ( ) (
)22F x G tAx( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )}( )(
)222,,, 2xxxxcxxF x G ttE F x G t F x G tF x G t F x G tEF x G tEF
x G t 1 1 ] ] &&&&&&C2C@A7>G>F=7*T
(&)Beste %o!o) te%&se !uas e-ua;es !iferen$iais or!in9rias(
) ( )2,0xxF x F xc _ ,D2D@A 7>G>F=7*T (&)( ) ( )20 G t G
t &&828@A 7>G>F=7*T (&))-) Condi!=es de
Contorno)-)-1 Para rigide50 K - ( )( )0, 0,0u tu L tx ' E2E@A
7>G>F=7*T (&))-)-) Para a rigide5Valor qualquer,
diferente de zero eK ( )( )( )0, 0,,u tu L tKu L tx ' 10210@A
7>G>F=7*T(&))-)-. Para rigide5 K ( )( )0, 0, 0u tu L t
'11211@A 7>G>F=7*T (&))-. Solu!"o de ( ) F x)-/Para 20c
_< ,,( )22 2,2 21,2para 0 Funo eponensial0xxxp F p F F x Aecp pi
_ + ,+ t>nt3o) te%&se -ue a solu3o .ara a fun3o( ) F x( ) (
) ( ) !os sin F x A px B px +12212@A7>G>F=7*T (&))-/-1
Rigide50 K 4 situa!"o de viga engastada e livre-*.li$an!o as
$on!i;es !e $ontorno e%2E) te%os -ue( ) ( ) ( )10 0 0 !os 0 sin 0 F
A B +678( )( )00 sinAdF LAp pLdx ( ) ( ) !os 0 !os 0 Bp pL B pL +
14214@A 7>G>F=7*T (&)Parasaber seasolu3oa.resenta!ae%
212serve, Beve&sefa6er o!eter%inante !os $oefi$ientes) a./s
a.li$a!as as $on!i;es !e $ontorno) e o%es%o .re$isa ser !iferente
!e 6ero,( )( )( )1 0 00 !os 01 0det 0 !os 0 "oluo no tri#ial $0
!osApL BpLpL 1 ' ;'; 1 ] 1'21'@A7>G>F=7*T (&)= autovalor
!a fun3o ser92pL pL 1+21+@A 7>G>F=7*T (&)Generali6an!o a
e-ua3o 21+( ) 2 1 1, 2, 3, ,2np nL K1C21C@A7>G>F=7*T (&)*
autofun3o ser9( )( ) 2 1sin2n nnF x B xL _ ,1D21D@A7>G>F=7*T
(&))-/-) Rigide5Valor qualquer, diferente de zero eK -*.li$an!o
as $on!i;es !e $ontorno e%210) te%os -ue( ) ( ) ( ) 0 0 0 !os 0 sin
0 F A B +( ) ( )( ),0sinxAF L K F LAp pL ( ) ( ) !os !os Bp pL K A
pL + ( ) sin B pLB 1+ ]( ) !os p pL K B ( )( )sintanpLp K pL
18218@A7>G>F=7*T (&)* autofun3o ser9)-/-. Rigide5K
-*.li$an!o as $on!i;es !e $ontorno211 e%2E) te%os -ue( ) ( ) ( )10
0 0 !os 0 sin 0 F A B +678( ) ( )00 !osAF L A pL ( ) ( ) sin 0 sin
0 B pL B pL + 1E21E@A7>G>F=7*T (&)Parasaber
seasolu3oa.resenta!ae% 212serve, Beve&sefa6er o!eter%inante !os
$oefi$ientes) a./s a.li$a!as as $on!i;es !e $ontorno) e o%es%o
.re$isa ser !iferente !e 6ero,( )( )( )1 0 00 sin 01 0det 0 sin 0
"oluo no tri#ial $0 sinApL BpLpL 1 ' ;'; 1 ] 20220@A7>G>F=7*T
(&)= autovalor !a fun3o ser9pL pL 21221@A 7>G>F=7*T
(&)Generali6an!o a e-ua3o 21+ 1, 2, 3, ,np nL K22222@A
7>G>F=7*T(&)* autofun3o ser9( ) sinn nn xF x BL _
,24224@A 7>G>F=7*T(&))-0 C6lculo da >un!"o ( ) G t
Faben!o-ue22a pc _ ,) ent3o2 2 2p c esubstituin!oe% 28)te%&se
-ue( ) ( ) ( )20 G t pc G t + &&2'22'@A
7>G>F=7*T(&)=n!e ( )itG t e2+22+@A 7>G>F=7*T
(&)>nt3o) a solu3o "eral .ara ( ) G t ser9( ) ( ) ( )1 2!os
sinn n nG t C t C t +2C22C@A7>G>F=7*T (&))-0-1 Rigide50 K
4 situa!"o de viga engastada e livre-( ) ( )202nnG t c G tL _+ ,647
48&&2D22D@A 7>G>F=7*T(&)Fubstituin!o a fun3o !e n
!e 22D e% 22C( )1 2!os sin2 2nn nG t C c t C c tL L _ _ + ,
,28228@A7>G>F=7*T (&))-0-) Rigide5Valor qualquer,
diferente de zero eK -( ) ( )20nnG t c G tL _+ ,647
48&&2E22E@A 7>G>F=7*T(&)Fubstituin!o a fun3o !e n
!e 22E e% 22C( )1 2!os sinnn nG t C c t C c tL L _ _ + ,
,40240@A7>G>F=7*T (&))-0-. Rigide5K -( ) ( )20nnG t c G
tL _+ ,647 48&&41241@A 7>G>F=7*T(&)Fubstituin!o a
fun3o !e n !e 241 e% 22C( )1 2!os sinnn nG t C c t C c tL L _ _ + ,
,42242@A7>G>F=7*T (&))-1 Equa!"o geral de ( ) , u x t
)-1-1 Rigide5 0 K ( )1 2, sin !os sin2 2 2n nn x n nu x t B C c t C
c tL L L 1 _ _ _ + 1 , , , ] 44244@A7>G>F=7*T (&))-1-)
Rigide5 Valor qualquer, diferente de zero eK ( )1 2, sin !os sinn
nn x n nu x t B K K C c t C c tL L L 1 _ _ _ + 1 , , , ] 4'24'@A
7>G>F=7*T (&))-1-. Rigide5 K ( )1 2, sin !os sinn nn x n
nu x t B C c t C c tL L L 1 _ _ _ + 1 , , , ]4+24+@A7>G>F=7*T
(&))-2 >requ7ncia $atural da estrutura)-2-1 Rigide5 0 K 2nn
EL4C24C@A 7>G>F=7*T (&))-2-) Rigide5 Valor qualquer,
diferente de zero eK nn EKL4D24D@A 7>G>F=7*T (&))-2-.
Rigide5 K nn EL48248@A 7>G>F=7*T (&).- .?)Equation
Section *$e+t,/@.Equation Section*$e+t,/11.Equation Chapter *$e+t,
Section 1'equa!"o demovimento de uma viga so3 compress"o A dada
porB2 2 42 2 40w w wA P EIt x x + '24'2@A7>G>F=7*T (&)
Considerando que os modos de vi3ra!"o s"o dados por( ) , sinitn nn
xw x t A eL _ ,'44'4@A7>G>F=7*T
(&)Determinarasfrequ7nciasdevi3ra!"oemostrarcomoafrequ7ncia
fundamental *menor frequ7ncia, varia com a cargaa+ial P->I)
P?RES89U:;8.-1 Separa!"o de G>F=7*T (&)>nt3o a e0.ress3o
4'2 fi$ar9 !a se"uinte %aneira( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ){ }( )}( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )22 2 42 2 4, ,, ,42,
,400xx xxxxdxxxx xxxxxx xxA F x G t P F x G t EI F x G tt x xA F x
G t P F x G t EI F x G tPF x F xA G tEIkF x EIG tA G t F x d F xkF
x EIEIG t + 1 + 11 ] ] ]11 1 ] ] ] 111 ] ] ]
&&&&&& '+4'+@A 7>G>F=7*T (&)Besta
%aneira) te%&se !uas e-ua;es !iferen$ias or!in9rias( ) ( ) ( )2
4, ,0xxxx xxF x d F x k F x 11 ] ]'C4'C@A7>G>F=7*T (&)( )
( )( ) ( )24 2 420 0EI EIG t k G t kA AG t G t 1 + ]+
678&&&&'D4'D@A7>G>F=7*T (&).-) Condi!=es
de Contorno( )( )( )( )22220,0, 0,, 0w tw txw L tw L tx ' '84'8@A
7>G>F=7*T(&).-. Solu!"o de ( ) F x Consi!eran!o -ue (
),nnF x s e substituin!o e% 4'C) te%&se -ue4 2 2 20 s d s k
'E4'E@A 7>G>F=7*T (&)Fen!o assi%)1,2s i t+04+0@A
7>G>F=7*T (&)3,4s t+14+1@A 7>G>F=7*T (&)=n!e2 4
42 2 42d d k+ ++24+2@A 7>G>F=7*T(&)2 4 42 2 42d d k
++44+4@A 7>G>F=7*T(&)Besta for%a) a.li$an!o a e-ua3o !e
>uler na solu3o ( )x ixF x e e + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !os% sin%
!os sin F x A x B x C x DC x + + ++'4+'@A7>G>F=7*T
(&)*.li$an!o as $on!i;es !e Contorno( ) ( ) ( ) 0 !os% 0 0 0
sin% 0 A B F + ( ) ( ) !os 0 sin 0 C D + +( ) ( ) ( ),2 20 000 !os%
0 sin% 0xxA CA A B F + + ( ) ( )2 2!os 0 sin 0 C D ( ) ( )0& 00
!os% 0AA F L LC' ( ) ( ) sin% !os B L C L + + ( )( ) ( )( ) (
),2sinsin% sin 00 !os% 0xxD LB L D LA A L F L + + ( ) ( )2 2sin%
!os B L C L + ( )( ) ( )22 2sinsin% sin 0D LB L D L '
++4++@A7>G>F=7*T (&)>%se"ui!a)
fa6&seo!eter%inante!os$oefi$ientes.arasaber seasolu3o 2 v9li!a,
Para isto) o !eter%inante !eve ser !iferente !e 6ero,( ) ( )( ) (
)( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 22 2sin% sindet 0sin% sinsin% sin sin%
sin 0sin% sin 0L LL LL L L LL L 1 ] 1 + ]+C4+C@A7>G>F=7*T
(&)
