Trabalho II Proc de Sinais

Trabalho Prtico IIProcessamento de Sinais

Alan Antnio Moreira,1 Rafael Lanza Gonalves,39Richard Lourran Rodrigues Carvalho,43

2013

Resumo

Este trabalho apresenta as solues dos exerccios propostos obtidos pelos alunos, o objetivo destetrabalho foi aplicar Transformada Z e de Fourier e Projeto de Filtros Digitais, conceitos aprendidosna disciplina de Processamento de Sinais, em ambiente MatLab, e alm dos problemas propostos, apresentado as interpretaes pertinentes a cada resultado obtido.

Palavras-chaves: Transformada Z. Fourier. Filtro. FIR.

ParametrizaoA parametrizao, onde aplicvel dever ser feita pelos nmeros de chamada dos alunos na

disciplina, inicados como 1, 2, 3, sendo 1 < 2 < 3.

O valor mximo nas funes ser calculado pela mdia simples:

max =(1 +2 +3)

3 =1 + 39 + 43

3 = 27, 66 (1)

A frequncia analgica devera estar situada entre [100, 100], cujo valor deve ser o primeiromltiplo inteiro da seguinte frequncia:

0 = max(1, 2, 3) = max(1, 39, 43) = 43 * 10 = 430 (2)

A frequncia de amostragem () e escalas dos grficos devem ser, adequadamente, escolhidaspelo grupo. Observao: 0 = 2 0

Problemas Propostos

1. Considere o sistema no tempo discreto descrito pela Equao 3:

() = 12 + 39 43

3 + 22 2 (3)

1

a) Determine se o sistema estvel (sugesto: funo zplane). Justifique.Soluo:A funo Zplane do MatLab nos ajuda a visualizar a estabilidade do sistema pois para queo haja estabilidade a Regio de Convergncia(ROC) da Equao 3 deve conter o circulounitrio, ou seja, todos os polos devem estar dentro do circulo unitrio por se tratar deuma sequncia unilateral direita.

Figura 1 Localizao dos Polos no Plano Z

Fonte: Criado pelos autores em MatLab

b) Expresse a funo de transferncia na forma de zeros/polos/ganho.Soluo: Com a funo tf2zp foi possvel encontrar os valores abaixo para os zeros e polosda Equao 3.

1 ****************************************************************2 Exercicio 1 LETRA B, Funcao de Transferencia na forma Z/p/k *3 ****************************************************************45 zero =67 40.07308 1.07309

1011 polo =1213 1.0000

2

14 2.000015 1.0000161718 ganho =1920 1

Atravs da Figura 1 podemos verificar com exatido os valores encontrados. Com isso aEquao 4 funo de transferncia na forma de zeros/polos/ganho.

() = ( + 40.07)( 1.073)( 1)( + 2)( + 1) (4)

c) Expresse a funo de transferncia atravs da decomposio em fraes parciais.Soluo:Desta vez foi utilizado a funo residuez que retorna os valores dos resduos e polos paramontar a Equao 5 retirada do help do MatLab quando o grau do numerador maior queo do denominador.

() = 11 11 + +

1 1

() = 391 + 21 +40.5

1 + 1 0.5

1 1 (5)

1 ********************************************************2 Exercicio 1 LETRA C,Decomposicao3 de fracoes Parciais *4 ********************************************************56 r =78 39.00009 40.5000

10 0.5000111213 p =1415 2.000016 1.000017 1.0000181920 k =2122 [1]2324 ********************************************************

2. Considere o sistema no tempo discreto descrito pela seguinte expresso:

1() =2

2 + 0, 2 + 0, 01 (6)

a) Determine a funo de transferncia2() de um sistema de mesmo comportamento, pormque cause um atraso de (3 1) amostras.Soluo: O atraso calculado pela Equao 7 foi aplicado a 1() como visto na Equao 9.

3

3 1 = 43 1 = 42 (7)

{ [ ]} = =42

= 142

(8)

2() =1

42 + 0.241 + 0.0140 (9)

Abaixo segue a resoluo pelos comandos no Matlab.

1 ********************************************************2 Exercicio 2 LETRA A *3 ********************************************************4 ex2a_H2z =56 1/(z^40*(z^2 + z/5 + 1/100))78 ********************************************************

b) Construa a resposta ao impulso para os sistemas 1() e 2().Soluo:Verificamos as respostas utilizando a transformada inversa na Equao 10 e pgina 4.

1 {1()} = 1[] = (0.1)(+ 1)[] (10)1 {2()} = 2[] = (1)( 41)10(42)([+ 40]) (11)

Na Figura 2 obtemos a construo da resposta ao impulso.

4

Figura 2 Resposta ao impulso do sistema 2() e 1()


3. Construa o grfico das verses amostradas dos sinais abaixo indicados. Use a funo fft (Fastfourier Tranform) para analisar os seus espectros de frequncia:

a) Multisenoidal:() = max

(sin

(120

)+ sin (0) + sin (100)

)(12)

Soluo: Na Figura 3 foram plotadas trs senoides com mesma amplitude e com frequnciasdiferentes, 215,430 e 4300 respectivas em cada grfico e o quarto grfico apresentaa soma destes sinais discretos, a frequncia de amostragem utilizada foi 60, bem acima damaior frequncia analgica do sinal final.

5

Figura 3 Sinal Multisenoidal discreto


Uma outra forma de exibir a soma dos sinais atravs da analise de espectro, com a funofftn - N-dimensional discrete Fourier Transform. que retorna a transformada de fourier.Ver Figura 4.

6

Figura 4 FFT de sinal Multisenoidal


b) Cossenoidal:() = max cos (0) +

max2 cos (20) (13)

Soluo:A Figura 5 a soma de dois sinais cossenoidais, com amplitudes max e max2 , e frequnciasde 430 e 860, os sinais foram plotados no domnio de tempo discreto com frequnciade amostragem de 20 para uma melhor visualizao.

7

Figura 5 Sinal Cossenoidal discreto


Mesmos mtodos utilizados na letra A deste exerccio.

8

Figura 6 FFT da soma dos sinais cossenoidais


c) Multisenoidal + Rudo:() = () + () (14)

Soluo:Para gerar o ruido foi utilizado a funo randn responsvel por gerar um vetor de mesmotamanho do vetor de tempo, utilizado para gerar o sinal multissenoidal, com valores alea-trios. No primeiro grfico da Figura 7 vemos o ruido e o sinal multissenoidal separados,no segundo grfico soma dos dois sinais e o ultimo grfico o segundo sinal discretizado.

9

Figura 7 Sinal Multisenoidal com Rudo


interessante notar a diferena do espectro de frequncia do sinal sem rudo da Figura 4,agora h em toda faixa espectral da Figura 8 pequenas amplitudes que representa o ruidoem toda a faixa, alm claro das amplitudes nas frequncias do sinal.

10

Figura 8 FFT Sinal Multisenoidal com Rudo


4. Projete um filtro FIR, passabaixas, de ordem 28, com frequncia de corte 0.

a) Trace os grficos da Resposta em Frequncia. Interprete os resultados.Soluo:O cdigo abaixo cria o filtro FIR utilizando a funo fircls1 pela Figura 9 podemos notarque o filtro passabaixas e que realmente tem um ganho de fase linear. Manipulando osvalores da funo fircls1 nota-se que quanto maior a ordem do filtro, que neste caso 28(N+1), mais ele se aproxima do ideal. Este filtro como pode ser visto tem ganho unitriona sua banda passante e atenuao bem definida em sua zona de corte.

1 %***************************************************2 %% Exercicio 4 Projeto um filtro FIR %%%%%%%%%%%3 %*Exercicio 4 Letra A********************************4 Wo=2*pi*Mo;5 fc=Mo*2;6 fs=60000;7 wn=fc/fs;89

10 FIR = fircls1(27,wn,0.999,0.0001);11 figure(10)12 freqz(FIR,1,512)13 title('Exercicio 4 Letra a aamrlgrlrc 2/2013','FontSize',14);14 %saveas(gcf,'artigo\exercicio4a.jpg')15

11

16 %********************************************************

Figura 9 FFT de sinal Multisenoidal sem Rudo


b) Faa a excitao do filtro com os sinais construdos nos itens 3a e 3c. Plote os sinais deentrada e sada do filtro.Soluo: Na Figura 10 o mesmo sinal utilizado no exerccio 3, letra a e letra b, em vermelhoo sinal filtrado de forma quase senoidal pois a senoide de maior frequncia atenuado bemcomo o rudo desta faixa.

12

Figura 10 FFT de sinal Multisenoidal sem Rudo


c) Construa o espectro de frequncia dos sinais de entrada e sada, interprete os resultados.Soluo: Nas figuras abaixo foram plotados dois sinais, no domnio da frequncia, atravsda Transformada de Fourier e observa-se a ao do filtro atenuando as altas frequncias.

13

Figura 11 FFT de sinal Multisenoidal sem Rudo - Exerccio 3, letra a


14

Figura 12 FFT de sinal Multisenoidal com Rudo


15

ResumoParametrizao

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