Professor: RUI SOUTO DE ALENCAR FILHO Apresentaodotrabalhocomopr-requisitoparcialda1Avaliaoda disciplinadeClculoNumrico,do4 perododeEngenhariaCivil,Turma CVN04S2 AlcioneBarbosadaSilva;CesarBrazdeOliveira;ClaudiomarMaciel;EdsonPereiraVinhoteJunior; EdvaldoLimadaSilva;ElissonDavidLopesdeAlmeida;IvanadaSilvaAndrade;KlingerMonteiroda Costa;Thiago Cidade Glria;Vanda Feleol Mota. Integrantes do grupo: Estetrabalhoexplicaalgumasdasvriasferramentasdoclculonumricoparasolucionarproblemas matemticos. Emanlisenumrica,osmtodosdeRungeKuttaformamumafamliaimportantedemtodos iterativosimplcitoseexplcitosparaaresoluonumrica(aproximao)desoluesdeequaes diferenciais ordinrias Em termos mais simples, os mtodos numricos correspondem a um conjunto de ferramentas ou mtodos usados para se obter a soluo de problemas matemticos de forma aproximada, sendo aplicados a problemas que no apresentam uma soluo exata. OssucessoresdomtododeEuler(SerieTaylor)foramsobretudo,CarlRungeeporMartinWilhelm Kutta, estes mtodos tornaram-se bastante populares devido s suas propriedades e fcil utilizao. Vanda Brook Taylor (Londres, 18 deagostode1685 Londres, 30 denovembrode1731) foi um matemtico britnico. Publicou em 1719 o livro New Principles of Linear Perspective, uma verso melhorada doseutrabalhopioneirointituladoLinearPerspectivede1715.Obraquefoirevisada por John Colson em 1749 e reeditada em 1811. Taylorrealizouaprimeirainvestigaosatisfatriasobrerefraoastronmico,no entanto,maisconhecidopeloseutrabalhosobreassriesquehojerecebemseu nome, publicado em 1715 em Methodus incrementorum directa et inversa. Thiago Brook Taylor Ditodeoutramaneira,umasriedetayloruma expansodeumasriedefunesaoredordeum ponto.Umasriedetaylordeumadimensouma expansodeumafunorealf(x)aoredordoponto emquexassumeumvalorqualquer(digamos,"a"). Neste caso,escrevemos a srie da seguinte maneira: Leonhard Paul Euler (Basileia, 15 de abril de 1707 So Petersburgo, 18 de setembro de 1783) foi um grande matemtico e fsico suo de lngua alem que passou a maior parte de sua vida na Rssia e na Alemanha. Euler fez importantes descobertas em campos variados nos clculos e grafos. Ele tambm fez muitas contribuies para a matemtica moderna no campo da terminologia e notao, em especial para as anlises matemticas, como a noo de uma funo matemtica. Alm disso ficou famoso por seus trabalhos em mecnica, ptica, e astronomia. Euler considerado um dos mais proeminentes matemticos do sculo XVIII. Uma declarao atribuda a Pierre-Simon Laplace manifestada sobre Euler na sua influncia sobre a matemtica: Thiago Leonhard Euler Em matemtica e cincia computacional, o mtodo de Euler, cujonomerelaciona-secomLeonhardEuler,um procedimentonumricodeprimeiraordemparasolucionar equaes diferenciais ordinrias com um valor inicial dado. otipomaisbsicodemtodoexplcitoparaintegrao numrica para equaes diferenciais ordinrias. y(x0 + h) ~ y(x0) + y (x0).h CarlDavidTolmRunge(Bremen,30deAgostode1856Gttingen,3deJaneirode 1927)foiummatemticoalemo.Em1880elerecebeuseuPh.D.emmatemtica,em Berlim , onde estudou com Karl Weierstrass . Em 1886, tornou-se professor em Hannover , Alemanha, onde contribuiu para a fsica da espectroscopia . Seus interesses incluam a matemtica, espectroscopia , geodsia e astrofsica . Alm de matemticapura,elefezummontedetrabalhosexperimentaisestudandolinhas espectrais de vrios elementos (junto com Heinrich Kayser ),e era muito interessado em usar este trabalho paraespectroscopia astronmica . Vanda Em1904,poriniciativadeFelixKlein,elerecebeuum convitenoGeorg-AugustUniversidadedeGttingen,que eleaceitou.Alipermaneceuatsuaaposentadoriaem 1925 . Em Gttingen desenvolveu, juntamente com Martin Wilhelm Kutta, o mtodo de Runge-Kutta para a resoluo numrica de problemas de valores iniciais. Carl David Tolm Runge MartinWilhelmKutta(Byczyna,3denovembrode1867Frstenfeldbruck,25dedezembrode 1944) foi um matemtico alemo. De1885a1890estudounaUniversidadedeWrocaw,edepois,at1894,naUniversidadede Munique. De 1894 a 1897 foi assistente de Walther von Dyck na Universidade Tcnica de Munique. De1898-1899(meioano)estagiouUniversidadedeCambridge,naInglaterraevoltoupara Alemanha.EntrouparaaUniverdadeMunchenem1900ondeconseguiusuahabilitaoem Matemtica-1902 e foi contratado como professor pela mesma Universida- de. .t Ivana Ficouconhecidopelacriaodomtododeintegraochamadode Runge-Kutta(1901)parasoluodeequaesdifeciaisordinrias, desenvolvidojuntamentecomoutromatmaticoalemoCarlDavid Tolm Runge. MartinW.Kuttatambmlembradoporsuacontribuioteoriade Kutta-Joukowskidesustentaodeaerofliosemaerodinmica, baseada em equaes diferenciais. Aposentou-se em 1935 e morreu em 1944 na Alemanha aos 77 anos. Martin Wilhelm KuttaNo desenvolvimento em Taylor, tem-se: y(x0 + h) = y(x0) + y (x0).h + y(x0).h2/2!+ y(x0).h3/3! + .... No Mtodo de Euler, toma-se: O Mtodo de Euler segue o Mtodo de Taylor, mas se limita primeira derivada, ignorando da segunda derivada em diante. y(x0 + h) ~ y(x0) + y (x0).h Klinger Homenagemaomatemticoefsicoalemo,CarlDavid Runge(1856-1927), que publicou o mtodo em seu artigo sobre resoluo de equaes diferenciais de 1895. OmtodofoiestendidoporM.WilhelmKutta(1867-1944),matemticoalemoquetrabalhavacom aeorodinmica. klinger Trajetrias balsticas, trajetria dos satlites artificiais,Estudo de redes eltricas,Pequenas flexes de vigas,Estabilidade de avies,Teoria das vibraes,Reaes qumicas. Klinger Aidiadosmtodosqueestudaremosaproveitarasqualidadesdos mtodos das sries de Taylor eliminando o seu maior defeito que o clculo de derivadas de f(x,y). Os mtodos de Runge-Kutta de ordem p caracterizam-se pelas propriedades: i.) so de passo um (para calcular yi usamos apenas y i-1 ); ii.) no exigem o clculo de qualquer derivada de f (x, y); no entanto, pagam, por isso, o preo de calcular f (x, y) em vrios pontos; Edvaldo iii.) aps expandir f (x, y) por Taylor para funo de duas variveis em torno de (xn, Yn)eagruparostermossemelhantes,suaexpressocoincidecomadomtodo de srie de Taylor de mesma ordem. O mtodo de Euler um mtodo de srie de Taylor de 1 ordem: Entoe assim o mtodo de Euler satisfaz as propriedades acima que o caracteriza como um mtodo de Runge-Kutta de ordem p=11 Edvaldo OmtododeEulerutilizadopararesolverEDOcomcondiesiniciais,omtodo numricomaissimples.Eleconsisteemaproximarasoluoy(x),nosentidode uma linearizao, por meio de suas tangentes. Cesar O mtodo de Euler um mtodo de srie de Taylor de 1 ordem: ). , (1 k k k ky x hf y y + =+,... 2 , 1 , 0 = kGRAFICAMENTE: y0=1 y1 P1 x1 = x0 + hx0 = 0 y x y = ex r0 (x) y(x1) Erro x y y0 x0 z = x2 y ( x ) y1 y2 x1 h h Podemos,porm, melhorar estaaproximao se subdividirmos o intervalo[x 0 ; z ]em subintervalosdeamplitudeconstante,genericamentechamadah,ecomosabemos calcular a direo da funo incgnita y ( x )em cada ponto, substituiremos tal funo por um segmentode reta, em cada um destes subintervalos. Estes segmentos tero a direo que ela (funo) tem no incio de cada dos subintervalos. Cesar Mtodo de Euler considerando dois subintervalos Figura2 .O mtodo de Runge-Kutta de 1 ordem o mtodo de Euler ou de Taylor de 1 ordem: Onde | |1 h ,y x f y yn n n n+ = +| | . ] [ dx ,1n nxx,y x f h y x fnn~}+Edson Trajetrias balsticas, . Procedimento numrico para calcular o movimento da partcula consiste em interar as equaesa partir das condies iniciais. Dados x0 e v0 em t0, obtemos x1 e v1 em t1, e da x2 e v2 em t2, e assim por diante. Se o movimento em duas ou trs dimenses, o mtodo continua o mesmo devemos apenas escrever as equaes na forma vetorial. ->Mtodo de Euler na forma vetorial Edson Edson Naengenhariadeestruturas,sub-readaengenhariacivil,emgeral,oselementos estruturais soprojetadosdemaneiraa seevitar ofenmeno deinstabilidade, que surge paravaloresdeforasdecompressoacimadovalorcrtico.Aforacrticadecolunas dependefortementedageometriadaseotransversaldoelementoestrutural(momento de inrcia), do mdulo de elasticidade do material e da forma como o mesmo vinculado (forma de fixao). como o caso do problema proposto e resolvido por Euler, a 1a carga crticaobtidaporintermdiodemtodosaproximadosdeclculo,caractersticado mtodo. Pequenas flexes de vigas Considere o crescimento populacional na forma exponencial N : a densidade populacional (eixo y) r : a taxa de crescimento t : o tempo (eixo x) Adotaremos h = 1.0 | | (1) 1 h ,y x f y yn n n n+ = +Elisson FORMULA : N1 = No + h f (to,No) = 10 + 1.0 x (0.15 x 10) = 11.5 t = 1.0 N(0) = 10 e r = 0,15 f(ti,Ni) = r.Ni N2 = N1 + h f (t1,N1) = 11.5 + 1.0 x (0.15 x 11.5) = 13.225t = 2.0 N3 = N2 + h f (t2,N2) = 13.225 + 1.0 x (0.15 x 13.225) = 15.209 t = 3.0 N4 = N3 + h f (t3,N3) = 15.209 + 1.0 x (0.15 x 15.209) = 17.490t = 4.0 N5 = N4 + h f (t4,N4) = 17.490 + 1.0 x (0.15 x 17.490) = 20.1135t = 5.0 N : a densidade populacional (eixo y) r : a taxa de crescimento t : o tempo (eixo x) Adotaremos h = 1.0 | | (1) 1 h ,y x f y yn n n n+ = +Elisson Elisson Reduzindo h ... Elisson A frmula de Runge-Kutta de 2 ordem escreve-se como: ( ) ) , (2,2) , ( 11|.|

\|+ + + + =+ n n n n n n n ny x fwhywhx f w h y x f w h y yClaudiomar Alcione Acapacidadedeavaliarquantitativamenteaevoluodeumecossistema,principalmente notocanteaalteraespotencialmenteadversasparaanaturezaeparaoserhumano, permitequeasociedadepossaintervirdeformaprecocenosentidodeevitartranstornos futuros. Como exemplo, apresenta-se aqui o seguinte modelo de poluio de um lago. Claudiomar Alcione Modelamento Matemtico para Planejamento Regional Oproblemaconsisteemfazerprevisesparafuturosinvestimentosindustriaisnumaregio composta por uma lagoa ou represa de gua salgada, onde a principal fonte financeira o cultivo de frutos do mar. Este problema foi formulado e resolvido por Boynton , Hawkins e Gray e consiste em planejar que tipos de investimentos devem ser alocados para um crescimento adequado das cidades ao redor da lagoa sem prejudicar o meio biolgico existente. Omodelobastantecomplexoeenvolve16variveisquemedemdesdeaspectosbiolgicosat aspectossobreocomprometimentodoturismoregional.Paraefeitodesimplificao, apresentaremos uma situao hipottica com 13 variveis, excluindo as variveis que representam o turismo regional. Osvalorestambmsohipotticos,ondeafinalidadeaquiapenasmostrarocomportamentoe inter-relaes destas variveis e no seu resultado numrico Modelamento Matemtico para Planejamento Regional Claudiomar Alcione Omodelobastanteinteressanteenelesoconsideradasasvariveiseconmicas,biolgicase populacional. A idia apresentar, sobre determinados parmetros conhecidos, o comportamento de cada varivel frente s variaes globais durante um determinado perodo de tempo. O modelo da forma: O Modelo Claudiomar Alcione Simulao Foram adotadas como condies iniciais para este exemplo valores hipotticos e admensionais, servindo apenas para uma demonstrao didtica do modelo. Assim: onde x1:rea urbanizada;x2:rea possvel de ser urbanizada;x3:capital local; x4:estrutura da cidade;x5:imagem da cidade;x6:residentes;x7:capital industrial;x8:estrutura industrial;x9:frutos do mar; x10:matria orgnica despejada;x11:toxinas;x12:nutrientes;x13:coliforme fecal. Os parmetros I e k so parmetros de proporcionalidade entre as variveis e dependem das sries histricas e estatsticas sobre o comportamento das variveis durante um longo perodo de tempo Claudiomar Alcione Olhando para as variveis biolgicas na Figura 1 percebe-se que a estratgia utilizada no recomendvel,umavezque,apesardamatriaorgnicadespejadanolagoeos nutrientes diminurem radicalmente a zero em 4 anos, a quantidade de toxinas e coliforme fecalaumentaramabruptamenteemconseqnciadograndeaumentoderesidentes (Figura3)atradospelosinvestimentosindustriais(Figura3),noestandoaregio adequadamentepreparadadopontodevistadosaneamentobsico(Figura2)ondeo valor final da parte estrutural da cidade foi menor do que no incio. Outro responsvel pela poluio deste lago apontado no indicador de estrutura industrial, que de zero teve um excelente aumento indo a mais de 3000 (Figura 3). Porm, como este desenvolvimento no foi auto-sustentvel, ou seja, no houve uma adequao com o meio ambiente,percebe-sequeasindustriasinstaladastiveramprejuzoaocabode4anos (Figura 3), por estas estarem inteiramente ligadas aos produtos do lago, que foram a zero (Figura 2). Isto contrasta com o capital local que teve aumento ao fim de 4 anos, mas um aumentoque sair caroparaa regio,uma vez quesua fonteoriginalde renda voltada biosferadolagofoiexterminadapelomauplanejamentourbanoaoreceberindustriase novos residentes. Claudiomar Alcione Claudiomar Alcione Claudiomar Alcione 2-AImportncianaEscolhadoMtodoNumricoAescolhadeummtodo numricoparaasimulaodesistemasdinmicosdefundamental importnciaparaumaconclusoseguraecoesasobreoevento.Mostraremos primeiramentecomofuncionaomtododeEuler.Suponhamosquetenhamos que resolver a equao diferencial. Neste caso, teremos como fazer uma verificao sobre a preciso ou no do mtodo escolhido uma vez que a soluo analtica facilmente obtida e ser: Como j foi vista, a frmula para o mtodo de Euler : Claudiomar Alcione e escolhendo a variao no tempo Poderemos passo a passo obter, escolhendo como h = 0.1 de t = 0 at t = 1, Claudiomar Alcione