Trading Stops - Modelo de Otimização Discreta

IntroducaoRevisao de Calculo Estocastico

Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis

ConclusaoReferencias

A simple computational model for analyzing theproperties of stop-loss, take-profit, and price

breakout trading strategiesArt Warburtona, Zhe George Zhang

Tharsis T. P. [email protected]

Instituto de Matematica e EstatısticaUniversidade de Sao Paulo

15 de agosto de 2012

Tharsis T. P. Souza (USP) Modelo de Otimizacao Discreta em Trading Stops




Agenda

1 Introducao

2 Revisao de Calculo Estocastico

3 Modelo Computacional para Stops FixosFormulacao DiscretaAnalise Teorica do ModeloSimulacoes Computacionais

4 Stops Moveis

5 Conclusao

6 Referencias





Agenda

1 Introducao



4 Stops Moveis

5 Conclusao

6 Referencias





Stops

Quando um trader assume uma posicao em um ativo de risco,e muito comum a configuracao de valores limites nos quais eledeixa a posicao

Ex.: Negociador deixa posicao quando o valor do ativo sobepara um valor de R$22 ou cai para R$18

Esses sao exemplos de estrategia de Stop Gain e de Stop Loss,respectivamente.





Stops

A utilizacao de Stops pode ser justificada por diferentes razoescomo:

Reducao da frequencia de negociacao e, consequentemente,dos custos totais de operacao

Fornece uma maneira simples de controle de perdas dada umanegociacao

Permite recalibracao do modelo de estrategia





Stop Loss

Limite maximo de movimentacao adversa de precos

Valor de referencia: preco, taxa, flutuacaoHorizonte de tempo: intraday, diario, mensal

Caracterısticas

Amplamente usada na praticaRelativamente poucos estudos cientıficos





Stop Loss

Hard stop

Nıvel de precos que, se atingido, faz com que uma posicao sejaencerrada automaticamenteDefine um limite real de perda

Mental stop

Nıvel de precos que, se atingido, lanca um aviso de alertaDefine um limite virtual de perda





Trabalhos Relacionados

Payoffs similares aos garantidos por uma estrategia de StopLoss podem ser obtidos por simulacao correspondente emOpcoes com Barreiras.

Entretanto, essas Opcoes Exoticos sao comumente produtosde Balcao.

Assim, negociadores de varejo geralmente devem recorrer atecnicas de Stop Loss como protecao alternativa

Veja [Hull, 2011] para uma introducao a Opcoes comBarreiras.





Trabalhos Relacionados

[Zhang, 2001] determina uma regra de venda otima para umativo cujo retorno segue um modelo estocasticocorrelacionado ao retorno de um portfolio de mercado.

[Wang, 2001] consideram uma ordem de Stop Loss movel queincrementa com o avanco do tempo.

Nessa apresentacao, nao sao considerados efeitos de portfolioem caso de configuracao de stop por todos os participantes domercado.





Artigo [Rogers, 2010]

Em [Rogers, 2010], e realizada uma modelagem estocastica noqual o retorno da posicao segue um movimento Browniano.As seguintes situacoes sao analisadas:

Stop Fixos

Stop Superior Movel

Stop Superio Movel e Stop Inferior Fixo

Stops Convergentes: onde a diferenca estre os limites superiore inferior tendem a um valor fixo





Artigo [Rogers, 2010]

As seguintes conclusoes sao apresentadas:

A incerteza sobre a taxa de retorno do ativo e determinantena escolha dos stops

Somente ha necessidade de determinacao de Stop Loss emcaso de uma taxa de retorno prevista negativa

Ao utilizar um Stop superior fixo, nao houve diferencassignificativas entre Stops inferiores fixos ou de subida.Contudo, o tempo media em negociacao e significativamentemenor em uma estrategia de stop loss de subida.

Assim, a estrategia recomendada e a de stop superior fixo comstop inferior de subida.





Artigo [Zhang et al., 2006]

Os autores definem um modelo computacional em tempo discretopara analise probabilıstica de stops fixos.As seguintes estrategias sao analisadas:

Stop Loss: ordens sao utilizadas para controlar perdas

Stop Gain: um limite superior de ganho e definido e, assimque o mesmo e atingido, o negociador deixa a posicao

Definicao de pontos de entrada de negociacao: negociadordecide assumir posicao long ou short dependendo de limitesdefinidos para o valor do ativo

Uma breve apresentacao de estrategias em stops moveis tambem efornecida.





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4 Stops Moveis

5 Conclusao

6 Referencias





Passeio Aleatorio

Definicao

Seja Xk∞k=1 uma sequencia de variaveis aleatorias discretasidenticamente distribuidas. Para cada inteiro positivo n,denotamos Sn como a soma X1 + X2 + . . .+ Xn. A sequenciaSn∞n=1 e chamada de Passeio Aleatorio.

Propriedade

Incrementos em um Passeio Aleatorio sao independentes eidenticamente distribuidos.





Processo de Wiener

Definicao

W (t) e um Processo de Wiener Padrao se

(i) W (t) = 0

(ii) W (t) tem incrementos independentes

(iii) Z (t) = W (t)−W (t0) segue uma distribuicao Gaussiana commedia zero e variancia σ2

z = t − t0, t0 ≤ t





Formulacao DiscretaAnalise Teorica do ModeloSimulacoes Computacionais

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4 Stops Moveis

5 Conclusao

6 Referencias






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4 Stops Moveis

5 Conclusao

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Premissas do Modelo

(I) Preco do ativo segue um passeio aleatorio

(II) Horizonte de tempo e finito

(III) Stops sao fixos






Funcao de Probabilidade

O modelo e construıdo baseado em uma arvore trinomial parao passeio aleatorio

Os precos podem subir um nıvel, continuar constantes oudescer um nıvel

O processo para assim que uma barreira e atingida ou ao finaldo horizonte de tempo







Sejam,

T : o numero total de intervalos de tempo no horizonte detempo indexados por t = 0, 1, . . . ,T

∆: o tamanho de cada intervalo de tempo

H: o tamanho do horizonte de tempo, H = T ∆

Lt : o valor de Stop Loss (barreira inferior)

Kt : o valor de Stop Gain (barreira superior)

Ω: o espaco de probabilidade de eventos (nıvel de preco x acada instante t),

Ω = (t, x) : t ∈ (0, 1, . . . ,T ); x ∈ (−min(t,−Lt),−min(t,−Lt)+,

. . . ,−1, 0,+1,+2, ...,min(t,Kt))







Figura : Movimentos de preco possıveis para T = 7, K = 3, L =-2







P(t, x): probabilidade do processo estar no estado (t, x)

S(t, x): o preco do ativo se o processo esta no estado (t, x)

p(t, x), q(t, x), r(t, x): as probabilidades do preco subir umnıvel, continuar inalterado, e descer um nıvel,respectivamente, no estado (t, x)

p(t, x) + q(t, x) + r(t, x) = 1







B(t, x): predecessores diretos de (t, x)

B(t, x) = (t − 1, y) : (t − 1, y) ∈ Ω, y ∈ x − 1, x , x + 1

Ωa: conjunto de estados sem sucessores (nos sorvedouros)

IB(t,x)(t − 1, y), funcao booleana, tal que

IB(t,x)(t − 1, y) =

1 se (t − 1, y) ∈ B(t, x)0 caso contrario







Entao, temos a seguinte recursao para computarP(t, x), (t, x) ∈ Ω:

P(0, 0) = 1

P(t, x) = P(t − 1, x − 1)IB(t,x)(t − 1, x − 1)p(t − 1, x − 1)

+ P(t − 1, x)IB(t,x)(t − 1, x)r(t − 1, x)

+ P(t − 1, x + 1)IB(t,x)(t − 1, x + 1)q(t − 1, x + 1),

(t, x) ∈ Ω\(0, 0).






Probabilidade Terminal

Um investimento termina assim que um no sorvedouro eatingido.

Define-se, entao, a Probabilidade Terminal comoP(t, x), (t, x) ∈ ΩA

A Distribuicao de Probabilidade Terminal fornece uma medidaconveniente de criterio de investimento em uma estrategia deStop.







Seja τ o tempo em um estado terminal, entao

E [τ ] = ∆∑

(t,x)∈ΩA

tP(t, x) (1)

Var [τ ] = ∆∑

(t,x)∈ΩA

(t − E [τ ])2P(t, x) (2)







Assumindo uma taxa livre de risco rf , o valor futuro (VF ) esperadode um investimento em T e

E [VF ] = ∆∑

(t,x)∈ΩA

S(t, x)erf ∆(T−t)P(t, x) (3)

e sua variancia e

Var [NPV ] = ∆∑

(t,x)∈ΩA

[S(t, x)erf ∆(T−t) − E (VF )]2P(t, x) (4)







Tambem e possıvel calcular probabilidades de interesse como aprobabilidade de se atingir a barreira superior (Stop Gain) ouinferior (Stop Loss):

P(StopGain) = ∆∑

(t,Kt )∈ΩA

P(t,Kt) (5)

P(StopLoss) = ∆∑

(t,Lt )∈ΩA

P(t, Lt) (6)






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4 Stops Moveis

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Resultados relacionados em Passeios Aleatorios

Passeios aleatorios em tempo contınuo para precificacao deativos tem sido estudados extensivamente. Veja[Cox et al., 1979], [Hull, 2011], [Huu Tue Huynh et al., 2008].

[Cox et al., 1979] fornecem uma modelagem comprobabilidades de transicao constantes: assumindo que K e Lsao constantes, sao derivadas expressoes analıticas paraP(t,K ) e P(t, L).

Contudo, o esforco computacional gasto para computar essasexpressoes sao no mınimo tao custosas quanto ao custorequirido na implementacao da recursao de[Zhang et al., 2006].






Distribuicao de Probabilidade de Transicao

Uma premissa comum em modelagem de precos de ativos eque os mesmos seguem um Processo de Wiener e que suamedia e desvio padrao sao constantes

Neste caso, para ∆→ 0, um Passeio Aleatorio converge paraum Processo de Wiener

Assim, uma possibilidade seria a utilizacao de uma Gaussianacomo Distribuicao de Probabilidade de Transicao






Distribuicao de Probabilidade de Transicao

[Cox et al., 1979] apresenta um modelo de transicao deprecificacao de opcoes em um modelo binomial

Utilizaremos essa modelagem para probabilidade de transicaona analise computacional






Aproximacao Binomial de [Cox et al., 1979]

Premissas do modelo de precificacao de [Cox et al., 1979]:

O preco do ativo hoje e dado por SO preco do ativo aumenta a uma taxa u com probabilidade pe decresce a uma taxa d com probabilidade 1− p, onde u > 1e d < 1 em um perıodo ∆tO ativo nao paga dividendosA taxa livre de risco rf e positiva e constante com d < rf < u

Figura : Transicao no preco do ativo [Cox et al., 1979]Tharsis T. P. Souza (USP) Modelo de Otimizacao Discreta em Trading Stops





Aproximacao Binomial de [Cox et al., 1979]

Em uma hitotese de nao-arbitragem, temos que:

u = eσ√

∆t (7)

d = e−σ√

∆t (8)

p =erf ∆t − d

u − d(9)






Complexidade Computacional

No modelo trinomial, cada no tem no maximo tres arcospredecessores

Portanto, o calculo da distribuicao terminal e O(N), onde N eo numero de estados possıveis

Note que N depende nao somente da barreiras superior einferior, mas tambem do tamanho do horizonte de tempo







Suponha que a aproximacao de [Cox et al., 1979] seja utilizada.Considere R como a razao entre os valores das barreiras superior einferior. Seja n o numero de nıveis de preco, entao

(eσ√

∆)n

= R (10)

Assim,

n = ln R/σ√

∆t (11)







Como

T = H/∆ (12)

entao, a complexidade computacional do calculo da distribuicaoterminal de [Zhang et al., 2006] sobre uma aproximacao de[Cox et al., 1979] e dada por:

O(Tn) = O(H ln R

σ∆3/2) (13)






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Configuracao Exemplos Computacionais

Os exemplos computacionais aqui apresentados possuem aseguinte configuracao:

Ativo objeto: ITUB4

Perıodo de amostragem: 15/06/2011 a 31/05/2012

Media amostral dos log-retornos (µ): -0,1%

Desvio padrao amostral dos log-retornos (σ): 19,98%

rf : 11%

S(0,0): 29,3

∆: 2

T: 20






Probabilidade de Stop

Antes de configurar um valor de Stop Loss e de interesse doinvestidor saber qual e a probabilidade desse Stop acontecer

Analise foi realizada variando a media e desvio padrao doativo objeto em relacao a diferentes configuracoes de preco deStop Loss







Figura : Probabilidade de Stop em funcao do preco de Stop Lossconfigurado. Valor do desvio padrao foi mantido fixo.







Figura : Probabilidade de Stop em funcao do preco de Stop Lossconfigurado. Valor da media foi mantido fixo.






Probabilidade de entrada no Mercado

E comum um investidor ter um preco alvo, a partir do qual eledecide iniciar sua negociacao

Em vista a obtencao dessa probabilidade do investidor entrarno mercado, analise foi realizada variando o valor objetivo deentrada para diferentes valores de media e desvio padrao.







Figura : Probabilidade de entrada no Mercado em funcao do preco inicialobjetivo. Valor do desvio padrao foi mantido fixo.







Figura : Probabilidade de entrada no Mercado em funcao do preco inicialobjetivo. Valor da media foi mantido fixo.






Discussao exemplos computacionais

Quanto maior a media, menor a probabilidade de Stop e maiora probabilidade de entrada no mercado, mantida a varianciafixa

Quanto menor o desvio padrao, maiores as probabilidades deStop e de entrada no mercado, mantida a media fixa





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Stops Moveis

Em Stops moveis, ao passo que o preco de um ativo aumenta,o valor de Stop Loss configurado e atualizado periodicamente.

Serao analisadas duas configuracoes de estrategias:

Stops Moveis com Horizonte de tempo finitoStops Moveis com Horizonte de tempo ilimitado





Horizonte Ilimitado

Considere um ativo com precos movendo-se de acordo com omodelo trinomial visto, exceto pelo T que devera ser ilimitado.

Seja K e M = −L inteiros positivos que definem os valores deStop Gain e Stop Loss.

Se o preco cai a um valor −M antes que K seja atingido, aoperacao tem um Stop.

Caso contrario, se o preco alcanca o valor K atualizamos ovalor de Stop Loss para K −M.

Assim, se o preco atinge a barreira superior (j − 1)K , j ≥ 1,atualizamos o valor de Stop Loss para (j − 1)K −M





Horizonte Ilimitado

A Probabilidade do ativo atingir uma barreira superior K antes queatinga seu valor de Stop M e dada pelo resultado do ClassicoParadoxo da Ruina do Apostador, no qual um apostador tem aprobabilidade P de ganhar K antes de perder M:

P =1− (q/p)M

1− (q/p)(K + M)(14)





Horizonte Ilimitado

Para que o valor de barreira (j − 1)K −M seja atingido, enecessario que o valor de Stop Gain tenha sido atingido (j − 1)vezes antes que o valor de Stop Loss seja atingido. Assim, aprobabilidade desse evento ocorrer e dado pela distribuicaogeometrica

U(j) = P j−1(1− P) (15)

Assim, a Esperanca e Variancia de saltos (j) que ocorrem antesque a estrategia sofra um Stop sao, respectivamente

E [U(j)] = 1/(1− P) (16)

Var [U(j)] = P/(1− P)2 (17)





Horizonte Ilimitado

De posse da distribuicao de probabilidade do numero de saltos,chegamos a um valor esperado para o preco em caso de stop

KP/(1− P)−M (18)

onde sua variancia e dada por

K 2P/(1− P)2 (19)





Horizonte Ilimitado

Seja X a variavel aleatoria do valor do tempo no qual o preco denegociacao termina, a equacao de Wald ([Ross, 1980]) pode serutilizada para obtencao de

E (X ) =1

1− PE (C ) (20)

onde,

E (C ) =

KpK (pM−qM )−MqM (pK−qK )

(p−q)(pK+M−qK+M ), se p 6= q

KMp+q , caso contrario





Horizonte Finito

Em contraste ao caso de Horizonte Ilimitado, para o casoFinito, o nıvel de preco em caso de Stop nao enecessariamente (j − 1)K −M, ja que o processo pode serfinalizado sem atingir o valor de Stop Gain.

O valor limite de preco pertence ao intervalo[(j − 1)K −M, jK − 1].





Horizonte Finito

Seja E 1 e V 1 a esperanca e variancia do preco de Stop ao atingiruma primeira barreira, entao:

E1 =−M ∗ P(StopLoss) +

∑K−1i=−M+1 iP(T , i)

(1− P(StopGain))(21)

V1 = E 21 −−M ∗ P(StopLoss) +

∑K−1i=−M+1 i2P(T , i)

(1− P(StopGain))(22)





Horizonte Finito

Assim, chegamos a um valor esperado para o preco em caso de stop

KP(StopGain)/(1− P(StopGain))− E1 (23)

onde sua variancia e dada por

K 2P(StopGain)/(1− P(StopGain))2 + V1 (24)

O tempo esperado para se atingir o Stop e dado por

E (X ) =1

1− P(StopGain)E (τ) (25)





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Conclusao

[Zhang et al., 2006] apresenta um modelo computacional desimples formulacao para calculo de stops

Foi demonstrada uma serie de relacoes de ganho e volatilidadeassociadas a uma probabilidade terminal de stop

Em analise empırica de um ativo do mercado, foi constatadarelacao direta entre volatilidade e a probabilidade de stop

A probabilidade de entrada no mercado demonstrou relacaodireta com a media do retorno do ativo





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Referencias

Warburtona, A. and Zhang, Z. G. (2006)

A simple computational model for analyzing the properties of stop-loss,take-profit, and price breakout trading strategies. Computers andOperations Research, 33:32-42.

Cox, J. and Ross, S. and Rubenstein, M. (1979)

Option pricing: a simplified approach. Journal of Financial Economics,7:229-64.

Hull, J. C. (2011)

Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, 8th ed.

Huynh, H. T. and Lai, V. S. and Soumare, I. (2008)

Stochastic Simulation and Applications in Finance with MATLABPrograms. Wiley, 1st ed.





Referencias

Ross, S. (1980)

An introduction to probability models Academic Press, 2nd ed.

Zhang, Q. (2001)

Stock trading: an optimal selling rule. SIAM Journal on Control andOptimization, 40(1):64-87.

Shen, S. and Wang, A. (2001)

On stop-loss strategies for stock investments. Applied Mathematics andComputation, 119:317-37.

Imkeller, N. and Rogers, L. C. G. (2010)

Trading to Stops. To Appear, disponıvel emhttp://www.statslab.cam.ac.uk/~chris/papers.html.


http://www.statslab.cam.ac.uk/~chris/papers.html

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