IntroducaoRevisao de Calculo Estocastico
Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
A simple computational model for analyzing theproperties of stop-loss, take-profit, and price
breakout trading strategiesArt Warburtona, Zhe George Zhang
Tharsis T. P. [email protected]
Instituto de Matematica e EstatısticaUniversidade de Sao Paulo
15 de agosto de 2012
Tharsis T. P. Souza (USP) Modelo de Otimizacao Discreta em Trading Stops
IntroducaoRevisao de Calculo Estocastico
Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Agenda
1 Introducao
2 Revisao de Calculo Estocastico
3 Modelo Computacional para Stops FixosFormulacao DiscretaAnalise Teorica do ModeloSimulacoes Computacionais
4 Stops Moveis
5 Conclusao
6 Referencias
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Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Agenda
1 Introducao
2 Revisao de Calculo Estocastico
3 Modelo Computacional para Stops FixosFormulacao DiscretaAnalise Teorica do ModeloSimulacoes Computacionais
4 Stops Moveis
5 Conclusao
6 Referencias
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ConclusaoReferencias
Stops
Quando um trader assume uma posicao em um ativo de risco,e muito comum a configuracao de valores limites nos quais eledeixa a posicao
Ex.: Negociador deixa posicao quando o valor do ativo sobepara um valor de R$22 ou cai para R$18
Esses sao exemplos de estrategia de Stop Gain e de Stop Loss,respectivamente.
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ConclusaoReferencias
Stops
A utilizacao de Stops pode ser justificada por diferentes razoescomo:
Reducao da frequencia de negociacao e, consequentemente,dos custos totais de operacao
Fornece uma maneira simples de controle de perdas dada umanegociacao
Permite recalibracao do modelo de estrategia
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Stop Loss
Limite maximo de movimentacao adversa de precos
Valor de referencia: preco, taxa, flutuacaoHorizonte de tempo: intraday, diario, mensal
Caracterısticas
Amplamente usada na praticaRelativamente poucos estudos cientıficos
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Stop Loss
Hard stop
Nıvel de precos que, se atingido, faz com que uma posicao sejaencerrada automaticamenteDefine um limite real de perda
Mental stop
Nıvel de precos que, se atingido, lanca um aviso de alertaDefine um limite virtual de perda
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Trabalhos Relacionados
Payoffs similares aos garantidos por uma estrategia de StopLoss podem ser obtidos por simulacao correspondente emOpcoes com Barreiras.
Entretanto, essas Opcoes Exoticos sao comumente produtosde Balcao.
Assim, negociadores de varejo geralmente devem recorrer atecnicas de Stop Loss como protecao alternativa
Veja [Hull, 2011] para uma introducao a Opcoes comBarreiras.
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Trabalhos Relacionados
[Zhang, 2001] determina uma regra de venda otima para umativo cujo retorno segue um modelo estocasticocorrelacionado ao retorno de um portfolio de mercado.
[Wang, 2001] consideram uma ordem de Stop Loss movel queincrementa com o avanco do tempo.
Nessa apresentacao, nao sao considerados efeitos de portfolioem caso de configuracao de stop por todos os participantes domercado.
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Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Artigo [Rogers, 2010]
Em [Rogers, 2010], e realizada uma modelagem estocastica noqual o retorno da posicao segue um movimento Browniano.As seguintes situacoes sao analisadas:
Stop Fixos
Stop Superior Movel
Stop Superio Movel e Stop Inferior Fixo
Stops Convergentes: onde a diferenca estre os limites superiore inferior tendem a um valor fixo
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Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Artigo [Rogers, 2010]
As seguintes conclusoes sao apresentadas:
A incerteza sobre a taxa de retorno do ativo e determinantena escolha dos stops
Somente ha necessidade de determinacao de Stop Loss emcaso de uma taxa de retorno prevista negativa
Ao utilizar um Stop superior fixo, nao houve diferencassignificativas entre Stops inferiores fixos ou de subida.Contudo, o tempo media em negociacao e significativamentemenor em uma estrategia de stop loss de subida.
Assim, a estrategia recomendada e a de stop superior fixo comstop inferior de subida.
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Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Artigo [Zhang et al., 2006]
Os autores definem um modelo computacional em tempo discretopara analise probabilıstica de stops fixos.As seguintes estrategias sao analisadas:
Stop Loss: ordens sao utilizadas para controlar perdas
Stop Gain: um limite superior de ganho e definido e, assimque o mesmo e atingido, o negociador deixa a posicao
Definicao de pontos de entrada de negociacao: negociadordecide assumir posicao long ou short dependendo de limitesdefinidos para o valor do ativo
Uma breve apresentacao de estrategias em stops moveis tambem efornecida.
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ConclusaoReferencias
Agenda
1 Introducao
2 Revisao de Calculo Estocastico
3 Modelo Computacional para Stops FixosFormulacao DiscretaAnalise Teorica do ModeloSimulacoes Computacionais
4 Stops Moveis
5 Conclusao
6 Referencias
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Passeio Aleatorio
Definicao
Seja Xk∞k=1 uma sequencia de variaveis aleatorias discretasidenticamente distribuidas. Para cada inteiro positivo n,denotamos Sn como a soma X1 + X2 + . . .+ Xn. A sequenciaSn∞n=1 e chamada de Passeio Aleatorio.
Propriedade
Incrementos em um Passeio Aleatorio sao independentes eidenticamente distribuidos.
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ConclusaoReferencias
Processo de Wiener
Definicao
W (t) e um Processo de Wiener Padrao se
(i) W (t) = 0
(ii) W (t) tem incrementos independentes
(iii) Z (t) = W (t)−W (t0) segue uma distribuicao Gaussiana commedia zero e variancia σ2
z = t − t0, t0 ≤ t
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Formulacao DiscretaAnalise Teorica do ModeloSimulacoes Computacionais
Agenda
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4 Stops Moveis
5 Conclusao
6 Referencias
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Formulacao DiscretaAnalise Teorica do ModeloSimulacoes Computacionais
Agenda
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4 Stops Moveis
5 Conclusao
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ConclusaoReferencias
Formulacao DiscretaAnalise Teorica do ModeloSimulacoes Computacionais
Premissas do Modelo
(I) Preco do ativo segue um passeio aleatorio
(II) Horizonte de tempo e finito
(III) Stops sao fixos
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Funcao de Probabilidade
O modelo e construıdo baseado em uma arvore trinomial parao passeio aleatorio
Os precos podem subir um nıvel, continuar constantes oudescer um nıvel
O processo para assim que uma barreira e atingida ou ao finaldo horizonte de tempo
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Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
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Funcao de Probabilidade
Sejam,
T : o numero total de intervalos de tempo no horizonte detempo indexados por t = 0, 1, . . . ,T
∆: o tamanho de cada intervalo de tempo
H: o tamanho do horizonte de tempo, H = T ∆
Lt : o valor de Stop Loss (barreira inferior)
Kt : o valor de Stop Gain (barreira superior)
Ω: o espaco de probabilidade de eventos (nıvel de preco x acada instante t),
Ω = (t, x) : t ∈ (0, 1, . . . ,T ); x ∈ (−min(t,−Lt),−min(t,−Lt)+,
. . . ,−1, 0,+1,+2, ...,min(t,Kt))
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Funcao de Probabilidade
Figura : Movimentos de preco possıveis para T = 7, K = 3, L =-2
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ConclusaoReferencias
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Funcao de Probabilidade
P(t, x): probabilidade do processo estar no estado (t, x)
S(t, x): o preco do ativo se o processo esta no estado (t, x)
p(t, x), q(t, x), r(t, x): as probabilidades do preco subir umnıvel, continuar inalterado, e descer um nıvel,respectivamente, no estado (t, x)
p(t, x) + q(t, x) + r(t, x) = 1
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Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
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Funcao de Probabilidade
B(t, x): predecessores diretos de (t, x)
B(t, x) = (t − 1, y) : (t − 1, y) ∈ Ω, y ∈ x − 1, x , x + 1
Ωa: conjunto de estados sem sucessores (nos sorvedouros)
IB(t,x)(t − 1, y), funcao booleana, tal que
IB(t,x)(t − 1, y) =
1 se (t − 1, y) ∈ B(t, x)0 caso contrario
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ConclusaoReferencias
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Funcao de Probabilidade
Entao, temos a seguinte recursao para computarP(t, x), (t, x) ∈ Ω:
P(0, 0) = 1
P(t, x) = P(t − 1, x − 1)IB(t,x)(t − 1, x − 1)p(t − 1, x − 1)
+ P(t − 1, x)IB(t,x)(t − 1, x)r(t − 1, x)
+ P(t − 1, x + 1)IB(t,x)(t − 1, x + 1)q(t − 1, x + 1),
(t, x) ∈ Ω\(0, 0).
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Probabilidade Terminal
Um investimento termina assim que um no sorvedouro eatingido.
Define-se, entao, a Probabilidade Terminal comoP(t, x), (t, x) ∈ ΩA
A Distribuicao de Probabilidade Terminal fornece uma medidaconveniente de criterio de investimento em uma estrategia deStop.
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Probabilidade Terminal
Seja τ o tempo em um estado terminal, entao
E [τ ] = ∆∑
(t,x)∈ΩA
tP(t, x) (1)
Var [τ ] = ∆∑
(t,x)∈ΩA
(t − E [τ ])2P(t, x) (2)
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Probabilidade Terminal
Assumindo uma taxa livre de risco rf , o valor futuro (VF ) esperadode um investimento em T e
E [VF ] = ∆∑
(t,x)∈ΩA
S(t, x)erf ∆(T−t)P(t, x) (3)
e sua variancia e
Var [NPV ] = ∆∑
(t,x)∈ΩA
[S(t, x)erf ∆(T−t) − E (VF )]2P(t, x) (4)
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Probabilidade Terminal
Tambem e possıvel calcular probabilidades de interesse como aprobabilidade de se atingir a barreira superior (Stop Gain) ouinferior (Stop Loss):
P(StopGain) = ∆∑
(t,Kt )∈ΩA
P(t,Kt) (5)
P(StopLoss) = ∆∑
(t,Lt )∈ΩA
P(t, Lt) (6)
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4 Stops Moveis
5 Conclusao
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Resultados relacionados em Passeios Aleatorios
Passeios aleatorios em tempo contınuo para precificacao deativos tem sido estudados extensivamente. Veja[Cox et al., 1979], [Hull, 2011], [Huu Tue Huynh et al., 2008].
[Cox et al., 1979] fornecem uma modelagem comprobabilidades de transicao constantes: assumindo que K e Lsao constantes, sao derivadas expressoes analıticas paraP(t,K ) e P(t, L).
Contudo, o esforco computacional gasto para computar essasexpressoes sao no mınimo tao custosas quanto ao custorequirido na implementacao da recursao de[Zhang et al., 2006].
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Distribuicao de Probabilidade de Transicao
Uma premissa comum em modelagem de precos de ativos eque os mesmos seguem um Processo de Wiener e que suamedia e desvio padrao sao constantes
Neste caso, para ∆→ 0, um Passeio Aleatorio converge paraum Processo de Wiener
Assim, uma possibilidade seria a utilizacao de uma Gaussianacomo Distribuicao de Probabilidade de Transicao
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Distribuicao de Probabilidade de Transicao
[Cox et al., 1979] apresenta um modelo de transicao deprecificacao de opcoes em um modelo binomial
Utilizaremos essa modelagem para probabilidade de transicaona analise computacional
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Aproximacao Binomial de [Cox et al., 1979]
Premissas do modelo de precificacao de [Cox et al., 1979]:
O preco do ativo hoje e dado por SO preco do ativo aumenta a uma taxa u com probabilidade pe decresce a uma taxa d com probabilidade 1− p, onde u > 1e d < 1 em um perıodo ∆tO ativo nao paga dividendosA taxa livre de risco rf e positiva e constante com d < rf < u
Figura : Transicao no preco do ativo [Cox et al., 1979]Tharsis T. P. Souza (USP) Modelo de Otimizacao Discreta em Trading Stops
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Aproximacao Binomial de [Cox et al., 1979]
Em uma hitotese de nao-arbitragem, temos que:
u = eσ√
∆t (7)
d = e−σ√
∆t (8)
p =erf ∆t − d
u − d(9)
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Complexidade Computacional
No modelo trinomial, cada no tem no maximo tres arcospredecessores
Portanto, o calculo da distribuicao terminal e O(N), onde N eo numero de estados possıveis
Note que N depende nao somente da barreiras superior einferior, mas tambem do tamanho do horizonte de tempo
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Complexidade Computacional
Suponha que a aproximacao de [Cox et al., 1979] seja utilizada.Considere R como a razao entre os valores das barreiras superior einferior. Seja n o numero de nıveis de preco, entao
(eσ√
∆)n
= R (10)
Assim,
n = ln R/σ√
∆t (11)
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Complexidade Computacional
Como
T = H/∆ (12)
entao, a complexidade computacional do calculo da distribuicaoterminal de [Zhang et al., 2006] sobre uma aproximacao de[Cox et al., 1979] e dada por:
O(Tn) = O(H ln R
σ∆3/2) (13)
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4 Stops Moveis
5 Conclusao
6 Referencias
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Configuracao Exemplos Computacionais
Os exemplos computacionais aqui apresentados possuem aseguinte configuracao:
Ativo objeto: ITUB4
Perıodo de amostragem: 15/06/2011 a 31/05/2012
Media amostral dos log-retornos (µ): -0,1%
Desvio padrao amostral dos log-retornos (σ): 19,98%
rf : 11%
S(0,0): 29,3
∆: 2
T: 20
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Probabilidade de Stop
Antes de configurar um valor de Stop Loss e de interesse doinvestidor saber qual e a probabilidade desse Stop acontecer
Analise foi realizada variando a media e desvio padrao doativo objeto em relacao a diferentes configuracoes de preco deStop Loss
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Probabilidade de Stop
Figura : Probabilidade de Stop em funcao do preco de Stop Lossconfigurado. Valor do desvio padrao foi mantido fixo.
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Probabilidade de Stop
Figura : Probabilidade de Stop em funcao do preco de Stop Lossconfigurado. Valor da media foi mantido fixo.
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Probabilidade de entrada no Mercado
E comum um investidor ter um preco alvo, a partir do qual eledecide iniciar sua negociacao
Em vista a obtencao dessa probabilidade do investidor entrarno mercado, analise foi realizada variando o valor objetivo deentrada para diferentes valores de media e desvio padrao.
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Probabilidade de entrada no Mercado
Figura : Probabilidade de entrada no Mercado em funcao do preco inicialobjetivo. Valor do desvio padrao foi mantido fixo.
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Probabilidade de entrada no Mercado
Figura : Probabilidade de entrada no Mercado em funcao do preco inicialobjetivo. Valor da media foi mantido fixo.
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Discussao exemplos computacionais
Quanto maior a media, menor a probabilidade de Stop e maiora probabilidade de entrada no mercado, mantida a varianciafixa
Quanto menor o desvio padrao, maiores as probabilidades deStop e de entrada no mercado, mantida a media fixa
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4 Stops Moveis
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6 Referencias
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Stops Moveis
Em Stops moveis, ao passo que o preco de um ativo aumenta,o valor de Stop Loss configurado e atualizado periodicamente.
Serao analisadas duas configuracoes de estrategias:
Stops Moveis com Horizonte de tempo finitoStops Moveis com Horizonte de tempo ilimitado
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ConclusaoReferencias
Horizonte Ilimitado
Considere um ativo com precos movendo-se de acordo com omodelo trinomial visto, exceto pelo T que devera ser ilimitado.
Seja K e M = −L inteiros positivos que definem os valores deStop Gain e Stop Loss.
Se o preco cai a um valor −M antes que K seja atingido, aoperacao tem um Stop.
Caso contrario, se o preco alcanca o valor K atualizamos ovalor de Stop Loss para K −M.
Assim, se o preco atinge a barreira superior (j − 1)K , j ≥ 1,atualizamos o valor de Stop Loss para (j − 1)K −M
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Horizonte Ilimitado
A Probabilidade do ativo atingir uma barreira superior K antes queatinga seu valor de Stop M e dada pelo resultado do ClassicoParadoxo da Ruina do Apostador, no qual um apostador tem aprobabilidade P de ganhar K antes de perder M:
P =1− (q/p)M
1− (q/p)(K + M)(14)
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ConclusaoReferencias
Horizonte Ilimitado
Para que o valor de barreira (j − 1)K −M seja atingido, enecessario que o valor de Stop Gain tenha sido atingido (j − 1)vezes antes que o valor de Stop Loss seja atingido. Assim, aprobabilidade desse evento ocorrer e dado pela distribuicaogeometrica
U(j) = P j−1(1− P) (15)
Assim, a Esperanca e Variancia de saltos (j) que ocorrem antesque a estrategia sofra um Stop sao, respectivamente
E [U(j)] = 1/(1− P) (16)
Var [U(j)] = P/(1− P)2 (17)
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ConclusaoReferencias
Horizonte Ilimitado
De posse da distribuicao de probabilidade do numero de saltos,chegamos a um valor esperado para o preco em caso de stop
KP/(1− P)−M (18)
onde sua variancia e dada por
K 2P/(1− P)2 (19)
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Horizonte Ilimitado
Seja X a variavel aleatoria do valor do tempo no qual o preco denegociacao termina, a equacao de Wald ([Ross, 1980]) pode serutilizada para obtencao de
E (X ) =1
1− PE (C ) (20)
onde,
E (C ) =
KpK (pM−qM )−MqM (pK−qK )
(p−q)(pK+M−qK+M ), se p 6= q
KMp+q , caso contrario
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IntroducaoRevisao de Calculo Estocastico
Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Horizonte Finito
Em contraste ao caso de Horizonte Ilimitado, para o casoFinito, o nıvel de preco em caso de Stop nao enecessariamente (j − 1)K −M, ja que o processo pode serfinalizado sem atingir o valor de Stop Gain.
O valor limite de preco pertence ao intervalo[(j − 1)K −M, jK − 1].
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IntroducaoRevisao de Calculo Estocastico
Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Horizonte Finito
Seja E 1 e V 1 a esperanca e variancia do preco de Stop ao atingiruma primeira barreira, entao:
E1 =−M ∗ P(StopLoss) +
∑K−1i=−M+1 iP(T , i)
(1− P(StopGain))(21)
V1 = E 21 −−M ∗ P(StopLoss) +
∑K−1i=−M+1 i2P(T , i)
(1− P(StopGain))(22)
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IntroducaoRevisao de Calculo Estocastico
Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Horizonte Finito
Assim, chegamos a um valor esperado para o preco em caso de stop
KP(StopGain)/(1− P(StopGain))− E1 (23)
onde sua variancia e dada por
K 2P(StopGain)/(1− P(StopGain))2 + V1 (24)
O tempo esperado para se atingir o Stop e dado por
E (X ) =1
1− P(StopGain)E (τ) (25)
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IntroducaoRevisao de Calculo Estocastico
Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Agenda
1 Introducao
2 Revisao de Calculo Estocastico
3 Modelo Computacional para Stops FixosFormulacao DiscretaAnalise Teorica do ModeloSimulacoes Computacionais
4 Stops Moveis
5 Conclusao
6 Referencias
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IntroducaoRevisao de Calculo Estocastico
Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Conclusao
[Zhang et al., 2006] apresenta um modelo computacional desimples formulacao para calculo de stops
Foi demonstrada uma serie de relacoes de ganho e volatilidadeassociadas a uma probabilidade terminal de stop
Em analise empırica de um ativo do mercado, foi constatadarelacao direta entre volatilidade e a probabilidade de stop
A probabilidade de entrada no mercado demonstrou relacaodireta com a media do retorno do ativo
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IntroducaoRevisao de Calculo Estocastico
Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Agenda
1 Introducao
2 Revisao de Calculo Estocastico
3 Modelo Computacional para Stops FixosFormulacao DiscretaAnalise Teorica do ModeloSimulacoes Computacionais
4 Stops Moveis
5 Conclusao
6 Referencias
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IntroducaoRevisao de Calculo Estocastico
Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Referencias
Warburtona, A. and Zhang, Z. G. (2006)
A simple computational model for analyzing the properties of stop-loss,take-profit, and price breakout trading strategies. Computers andOperations Research, 33:32-42.
Cox, J. and Ross, S. and Rubenstein, M. (1979)
Option pricing: a simplified approach. Journal of Financial Economics,7:229-64.
Hull, J. C. (2011)
Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, 8th ed.
Huynh, H. T. and Lai, V. S. and Soumare, I. (2008)
Stochastic Simulation and Applications in Finance with MATLABPrograms. Wiley, 1st ed.
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IntroducaoRevisao de Calculo Estocastico
Modelo Computacional para Stops FixosStops Moveis
ConclusaoReferencias
Referencias
Ross, S. (1980)
An introduction to probability models Academic Press, 2nd ed.
Zhang, Q. (2001)
Stock trading: an optimal selling rule. SIAM Journal on Control andOptimization, 40(1):64-87.
Shen, S. and Wang, A. (2001)
On stop-loss strategies for stock investments. Applied Mathematics andComputation, 119:317-37.
Imkeller, N. and Rogers, L. C. G. (2010)
Trading to Stops. To Appear, disponıvel emhttp://www.statslab.cam.ac.uk/~chris/papers.html.
Tharsis T. P. Souza (USP) Modelo de Otimizacao Discreta em Trading Stops