Transfer Parcial para Extensões de Grupos Dualidades

Valdeni Soliani Franco•

orientador

Prof. Dr. Janey Antonio Daccach

Tese de doutorado apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Com-

putação, da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do

título de "Doutor em Ciências - Área Matemática - Geometria e Topologia".

USP - São Carlos

1998

Agradecimentos

Ao Professor Janey Antonio Daccach pela dedicação, estímulo e amizade.

À Carla pelo apoio implícito por alguns anos e explícito neste último ano.

Ao Rafael pela compreensão que teve com as longas ausências às quais fui obri-

gado a submetê-lo.

Aos meus pais pela força e fé.

Aos professores do DMA-UEM pelas condições e incentivo que me deram durante

estes anos.

Aos professores do ICMC-USP, pela formação e apoio.

Aos funcionários do DMA-UEM e ICMC-USP que nos deram o suporte necessário

para conclusão deste trabalho.

Aos companheiros de caronas e repúblicas pela boa convivência nestes anos.

Enfim a todos os amigos que acreditaram, torceram, me incentivaram, e que de

alguma forma contribuiram para a realização deste trabalho.

À CAPES e ao CNPq pelo auxílio financeiro.

A Deus que mais uma vez me mostrou sua cara.

ao Rafael

Abstract

Since the concept of Poincaré Duality Groups was areated, many efforts has

been done in order to study the geometrical properties of a closed manifold, in this

new category. This is natural because a Poincaré Duality Group has its homology

and cohomology connected by an isomorfism like the Poincaré Duality isomorphism for

compact manifolds.

Products like the cup and cap product, Steenrod square operations, universal

coeficient theorems can also be defmed for Poincaré Duality Groups. In this way Stiefel-

Whitney classes, Stiefel Whitney numbers and the notion of cobordism of Poincaré Du-

ality Groups can be naturally established. Also the notion of index of Poincaré Duality

Group can be defined, and since its properties are essentially algebraic, the results in this

direction would not be new. For completness we prove here the multiplicative property

of the index for "fibrations" (under cetain hipothesis) and we give counter-examples like

the ones given by Atiyah and Kodaira.

The core of this work is the Partia] Transfer Theorem of Gotllieb. Ris proof

uses deep geometrical properties of manifolds, still without similar for Poincaré Duality

Groups. Thanks for LHS spectral sequence we present here a proof of the Partia]

'Pransfer Theorem for a short exact sequence:

N »i. G —»

of Poincaré Duality Groups and some applications is given.

Resumo

Desde que o conceito de Grupos Dualidades de Poincaré foi criado, muitos

esforços tem sido feito com a finalidade de estudar as propriedades geométricas de uma

variedade fechada nesta nova categoria. Isto é natural, pois um Grupo Dualidade de

Poincaré tem sua homologia e cohomologia conectada por um isomorfismo semelhante

ao isomorfismo Dualidade Poincaré para variedades compactas.

Produtos semelhantes ao cup e cap, operaçrios quadrados de Steenrod, Teo-

rema dos Coeficientes Universais também podem ser definidos para Grupos Dualidade

de Poincaré. Da mesma maneira as classes de Stiefel-Whitney, números de Stiefel-

Whitney e a noção de cobordismo de Grupos Dualidade de Poincaré pode ser definido,

e desde que estas propriedades são essencialmente algébricas, os resultados nesta direção

não são novos. Apenas como complemento nós demonstraremos aqui propriedades mul-

tiplicativos do índice de "fibrações" (sob certas hipóteses) e damos contra-exemplos

semelhantes aos dados por Atiyah e Kodaira.

O centro deste trabalho é o Teorema de Transfer Parcial de Gotllieb. Sua

demonstração utiliza propriedades geométricas refinadas de variedades, que não tem

similares para Grupos Dualidades de Poincaré. Graças a sequência espectral de LHS,

nós apresentamos aqui uma demonstração do Teorema de Transfer Parcial para uma

sequência exata curta:

N)LG 7--r»Q

de Grupos Dualidades de Poincaré e damos algumas aplicações.

ÍNDICE

Página

CAPÍTULO 0: ENUNCIADO E DISCUSSÃO Da PROBLEMA APRE-

SENTADO NESTE TRABALHO 01

CAPÍTULO I: (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E GRUPOS DUALI-

DADES 05

1.1 - Homologia e cohomologia de Grupos 05

1.1.1 - Anel de Grupo 05

1.1.2 - Teoremas de álgebra homológica 06

1.1.3 - Observações sobre Módulos 07

1.1.4 - Resoluções projetivas 08

1.1.5 - As definições de homologia e cohomologia de Grupos 11

1.1.6 - Extensão e Coextensão de escalares 14

1.2 - Homologia e Cohomologia relativa para pares de Grupos 16

1.2.1 - Definições 16

1.2.2 - Resultado básico 17

1.3 - O produto Cap absoluto e relativo 18

1.3.1 - Definições e notações 19

1.3.2 - O produto cap relativo 22

1.4 - Grupos dualidades e pares dualidades 23

1.4.1 - Os grupos dualidades e grupos dualidades de Poincaré 23

1.4.2 - Condições de finitude 25

1.4.3 - Pares dualidades e pares dualidades de Poincare 27

1.5 - O produto Cup 98

1.5.1 - O produto cross 29

1.5.2 - O produto cup 29

1.6 - O grau de um homomorfismo 31

1.6.1 - Definições 31

1.6.2 - Resultados e exemplos 33

1.7 - O Índice de unia extensão de grupos .37

CAPITULO II: UMA FÓRMULA PARA EXTENSÃO DE GRUPOS 40

11.1 - As sequências espectrais de LHS e a compatibilidade com o produto Cap 42

11.2 - Um teorema básico 44

11.3 - A demonstração do teorema principal 50

CAPITULO III : O GRAU DE UMA APLICAÇÃO E O NÚMERO

DE UMA EXTENSÃO 52

II

111.1 - O grau de uma aplicação 52

111.2 - O número de uma extensão 55

BIBLIOGRAFIA 61

111

CAPÍTULO O

ENUNCIADO E DISCUSSÃO DO PROBLEMA

APRESENTADO NESTE TRABALHO

Um dos conceitos importantes em teoria de homotopia é o conceito de fi-

bração.

A definição dos grupos de homotopia de um espaço X e. relativamente simples

se comparado com a definição de grupos de homologia do espaço X.

Uma vez estabelecido o conceito de homologia o cálculo dos grupos de homo-

gia para determinadas categorias, como por exemplo CW-complexos, nada mais

é que uma rotina em geral.

No entanto, o cálculo dos grupos de homotopia, apesar de sua simples

definição, é muitíssimo complicado pois não temos em homotopia um conceito

equivalente a sequência de Mayer-Vietoris.

Por exemplo, na década de 30, ainda não se sabia calcular 7r3(.92), sem

desmerecer o grande matemático deste século Pontryagin, ele erroneamente enun-

ciou que 7r3(82) era o grupo trivial.

Foi Hopf logo em seguida que estudando a fibração:

1

'ri

82

que recebeu seu nome, conseguiu concluir com sucesso que 7r3(S2) = Z cujo

gerador é a classe de homotopia da função ir.

Desde então o conceito de fibração tem desempenhado papel fundamental

na teoria de homotopia.

De forma alguma é nosso interesse neste capítulo fazer uma exposição exaus-

tiva das propriedades das fibrações nas diferentes categorias, ou seja: base, fibra e

espaço total como sendo OW-complexos, ou base, fibra, espaço total, variedades,

etc.

Duas propriedades interessantes relativas a fibrações (na categoria de varie-

dades que suporemos diferenciáveis) que deu origem a este trabalho são as seguin-

tes:

TEOREMA A (Gottlieb): Para urna variedade fibraxia:

a seguinte fórmula é verificada:

i.([P]) = (p*A) [E] , onde [E] E 1-1„±„, (E) , [F] E 117, (F) são classes

fundamentais e [W] a classe fundamental dual em Hm(B).

2

TEOREMA B (Chern-Hirzebruch-Serre): Consideremos uma variedade fibrada:

F E

satisfazendo as seguintes condições:

(1) E,B e F são variedades compactas conexas e orientáveis,

(2) O grupo fundademental xi(B) atua trivialmente na cohomologia 11*(F).

Então E,B e F são coerentemente orientadas, e o índice de E é o produto

dos índices de F e B, isto é:

o-(E) -= (F)a (B)

Um conceito em teoria de grupos que nos parece similar ao conceito de

fibração, é o da sequência exata curta de grupos:

N >—> G Q

Uma vez que existe uma determinada classe de grupos, chamada grupos dua-

lidades, cujas homologia e cohomologia satisfazem uma propriedade semelhante

ao das variedades compactas; ou seja dualidade de Poincaré, procuramos neste

trabalho demonstrar nesta categoria os dois teoremas acima enunciados.

Na demonstração do Teorema A (diga-se de passagem resultado talvez já

conhecido por Hopf, porém sem referencias na literatura) Gottlieb usou técnicas

3

refinadas de topologia diferencial. No entanto até o momento não possuímos

para grupos, técnicas semelhantes, como por exemplo transversalidade, fibrado

normal e outras.. Isto que tornou atrativo o estudo do Teorema A na categoria

de Grupos Dualidade de Poincaré.

Com relação ao Teorema B sua demonstração baseia-se em propriedades dos

diferentes produtos e de sequências espectrais. No entanto temos na categoria

de grupos todos estes conceitos gozando das mesmas propriedades algébricas.

Assim sendo, a demonstração no caso de Grupos Dualidade nada mais é que

uma transposição do trabalho de Chern-Hirzebruch-Serre para o caso de uma

sequência curta exata de Grupos Dualidade:

N)--4G»Q

Ainda com relação ao teorema B que pelo motivo acima exposto, somente

enunciaremos no final do capítulo I, vamos da mesma maneira que Atiyah[2]

ou Kodaira[21], exibir um contra-exemplo onde o teorema falha se o grupo fun-

damental da base não atua trivialmente na cohomologia da fibra, entendendo

obviamente no caso de uma sequência exata de grupos como acima, Q atuando

trivialmente na cohomologia de N. Isto será apresentado unicamente para re-

forçar uma conjectura em aberto, que diz que todo Grupo Dualidade é o grupo

fundamental de uma variedade, fato este que já foi demonstrado para Grupos

Dualidade de dimensão 2, ou seja:

Todo Grupo Dualidade de dimensão 2 é grupo fundamental de uma superfície

de genus diferente de zero [14].

4

CAPÍTULO I

(CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E GRUPOS DUALIDADES

Aqui pretendemos estabelecer notações, introduzir conceitos, enunciar e se

necessário demonstrar resultados que utilizaremos no decorrer deste trabalho.

Também definimos e damos alguns resultados importantes de (co)homologia rela-

tiva de pares de grupos que estão servindo de base para pesquisas recentes que

estamos desenvolvendo e que não farão parte deste trabalho.

Aqui G denotará um grupo qualquer e K um anel com unidade.

1.1 - HOMOLOGIA E COHOMOLOGIA DE GRUPOS

Nesta secção após algumas definições e propriedades básicas, definiremos o

conceito fundamental para o desenvolvimento deste trabalho e também alguns

resultados que serão utilizados nas secções e capítulos posteriores.

1.1.1 - Anel de Grupo

O anel de grupo KG é o anel cujos elementos são todas as somas formais

À=y À99 , g K, tal que: gEG

5

6

suporte(A) = {g; Ag O} é finito e com as seguintes operações:

(1) E A99 + E Agg = E (Ag +P9)9 gE G gEG g E G

(2) (E Agg) ( E pog ) = E vgg, onde vs, = E Aoh-l o = E A.gy g EG gEG gEG ge G n=9

Eliminando as componentes nulas da soma fomal, A pode ser escrito como:

A =E Aigi.

Assim k —+ keG é um mergulho de K em KG. Após a identificação de K com

KeG podemos assumir que K está contido em KG.

O elemento 1.e0 atua como identidade para 1(0 e nós o denotaremos por 1,

como usual.

A aplicação E : KG —+ K, tal que e( > Ao) =E Ag é um homomorfismo gEG gEG

chamado aplicação aumentação de KG.

Seu kernel (G) = {À = E Agg E 1(0; E Ag = OH chamado o ideal gec gec

aumentação de KG.

1.1.2 - Teoremas de álgebra homológica

Teorema (Fórmula de Kiinreeth): Seja K um domínio ideal principal e seja C e C

complexos de cadeiais tal que C é livre em cada dimensão. Existem sequências

exatas naturais:

o —reHp(C)®KH„_p(C) rin(C OK C) --relbre. (HP(C),Hn-p-1(C)) —) O PEZ pEZ

e

ExtIK(Hp(c),H„-p+1 (C)) Hn(HomK(C, C))—+ ji HomK (Hp (C), Hn-p (C)) —+0 pEZ pEZ

e estas sequências splitam.

Um caso especial da fórmula acima e dado pelo

Teorema dos Coeficientes Universais(TCO: Com as hipóteses do teorema acima

e supondo que C' e tal que CtS = MeG% =0 para rt O, teremos que as

sequências exatas neste caso tomam a seguinte forma:

O Hp(C) OK M (C OR- M) eTorf (H,i _i(C),M) O e pEZ

O —) EXt 1K (HT1-1 (C), M) —* 1-1,t(HomK(C, M)) —) HOMK (Hn (C) M) —) O

1.1.3 - Observações sobre Módulos

Neste trabalho, a menos que se especifique o contrário, trabalharemos na

categoria de KG-módulos à esquerda. Mas e bom observar que todo KG-módulo

à esquerda M pode ser considerado um KG-módulo à direita bastando definir:

m (kg) = (kg-l )m VkEK,gEGemEM.

De modo análogo todo KG-módulo à direita pode ser considerado KG-

módulo à esquerda.

Se M é um KG-módulo, então:

(i) M e um 1C-módulo (basta definir km -= (ke)m) onde e é o elemento neutro de

G.

(ii) Existe uma ação de G em M, dada por :

g * m = (l4)m

Podemos estabelecer a recíproca, ou seja, se M é um K-módulo e existe

uma ação de G em M, então podemos dar a M uma estrutura de KG-módulo,

bastando definir:

7

(kg) * ?TE = k(gtrt)

e estender por linearidade.

O anel K pode ser sempre considerado como um KG-módulo com a G-ação

trivial, isto é, g * k = k,V k EK e Vg E G.

Assim ( E kgg k = E kg( g *k)=E kgk. gEG J 9W gEG

Sejam M e N KG-módulos. Podemos dar a M OK NeaHornic(M, N)

uma estrutura de KG-módulo induzida pela G-ação diagonal, como segue:

g * (m e n) = gni Øgn, Vg E G,Vrn E M e Vn E N.

(g * f)(m) -= g f (g-in-t),V g E G, Vrn EM eVf E H om (M, N).

1.1.4 - Resoluções projetivas

Uma resolução projetiva de K como KG-módulos é uma seqüência

exata de KG-módulos:

• FIn P,1 -& P0 ). K O

onde cada I- é KG-projetivo.

A existência de uma tal projeção é óbvia, basta tomar Po = KG, e a

aplicação aumentação e definir Pn+i como um módulo livre qualquer que aplica

sobre Kn = ker(an : Pn —* P,.,_1 ) e para 8n+1 a aplicação composta :

Kn Pn.

Observemos que na verdade esta construção nos dá uma resolução livre de K.

As vezes denotamos uma resolução projetiva de K, simplesmente por :

8

p K.

*Observações:

No estudo da (co)homologia de um grupo G, utilizamos resoluções projetivas

de Z de ZG-módulos, conforme veremos no próximb parágrafo.

Em [10, 1.7.4] mostra-se o seguinte teorema:

Teorema 1: Dadas duas resoluções projetivas P e P' de um módulo M, existe

uma aplicação f P P', única a menos de homotopia e f é uma eqüivalência

homotópi ca.

Devido a observação acima e a este último teorema será interessante exibir

urna resolução projetiva de Z bastante importante no estudo da (co)homologia

de grupos, denominada resolução Bar.

Com esse objetivo daremos inicialmente uma resolução padrão.

E uma resolução de Z como ZG-módulos

Consideramos Pn como o grupo abeliano livre gerado por Gn+1 = G x x G n+1

Se :r E P„ =- ni(xió,x1, onde n, i Z.

Vamos definir urna ação à esquerda de G em Pn:

G x P„, tal que (x, (xo, x„)) (xxo, xx,t ).

Definimos ainda ar, : Pn+i —) Pn, colocando:

= E

' ' Pn-1 —)

9

Mostra-se que a resolução padrão é uma resolução livre de Z de ZamOdulos.

Vamos agora definir a resolução Bar

As cadeias Bn desta resolução serão os ZO-módulos gerado por G".

Um gerador de Bn é da forma: [zi ... 1 xn], onde xi E G.

Com o objetivo de definir os homomorfismos an:Bn Bn-1, vamos encon-

trar uma correspondência biunívoca entre P„, e B.

an-s-1 D D D1 — a, Á-C

e .77 —) ' Pni-1 n n -1 -E ) ,' 1/4

011+1 -én n, Oi R. B Z uon-1 —1 —> O

Definimos então:

r( x0 , xn ) = xo[xo xl 1 j

an [X1 • •• xn] = (1? X1? X1.X2, X1X2X3, ••• X1X2. • •Xn)

Observamos que unrn(xo, xn ) = id(xo, zn) e que rnon[zi ...1 xn ] =

idexi I

Temos:

87,41 • • • 1-n —> 1-n-1

uni

an+1 n 311 • " Bn+ —1 .0n, Bn_1

Definimos então: 5,= Tn-lanCin • Desta maneira podemos dar uma expressão

para an como segue:

10

n-1 an [X1 • Xn] = X i[X 2 i X3 • • • Xn] + E (-1)i[x1 x2 ...xixi+i I ••• I xn] + i=1

+ (-1)1x11 xn-il•

*Notação: B(G) é a resolução bar de G.

1.1.5 - As definições de homologia e cohomologia de grupos

Aqui consideraremos Z como um ZG-módulo trivial.

Tomemos uma ZG-resolução projetiva de Z:

an O an-I 82 n ' • ' 1-n rn-1 1-1

Construímos as sequências abaixo, onde M é um ZG-módulo dado:

D„Old 020Id , OiOdd sOld • • • —. Pn 07,G rn -1 0z6 —. • • • WZG n't — oOzG M —• ZØza M —• O

O —• H ~ao(Z, M ) Homw(Fb. M) 2134. 45„- HOTozo(Pn-1, M) HOMZO(P„, M) • • •

Aqui õi é definido como segue:

Se f E flornzG(Pn, M) =t (ôn(f))(x) = ( -1)n+1 f (8.1-1(x)),V x E Pn-I-1•

Por definição, a homologia de G com coeficientes em M (H.(C; M)),

é a homologia do complexo:

, °nem rn-1 OZG

, an_lard a2ald P1 OZG M

d po oz M" Pi OZG

e a cohomologia de G com coeficientes em M (1-1*(C; M)), é a homologia

do complexo:

O HOMZG( P0 )•nct I \ 6o i• in 61 6o-1

°771•ZG11-1 lv ) " • 10inZG k 1"-n - ) HOMZG (P71, M)

11

Podemos calcular facilmente Ho(G; M) = MG C1=- Z OW M e H°(G; M) =

MG = {m E M;gm = rn,Vg EG}.

*Notações especiais:

1. Quando fazemos M = Z, denotamos H,(G, Z) e Ht(G, Z) simplesmente por

H.(G) e H(G), respectivamente.

2. Os funtores Ham,z(_, _), Homze(_, _),_0z _ e _OzG _ serão denotados, respecti-

vamente, por Horn(_, _), Hornc(_,_), -0 - e -00-•

* Observaçõo:

No teorema dos coeficientes universais 1.1.2, se K é um corpo, os termos Tor

e Ext se anulam e assim:

H„(G; M) H,(G; K) M e

H*(G; Hom(11„(G;K), M)

H*(G; M) 1.:4 I(G;K) 0 M

este fato encontra-se demonstrado em [16, §3.4].

Temos uma caracterização topolOgica dos grupos de homologia e cohomolo-

gia H„(G) e H*(G) dada em [10, II, g, prop. 4.1]

Se Y é um K(G,1)-complexo, então 11.(G):4 H.(Y) e 1-1*(G) H*(Y).

Como aplicações deste resultado temos:

12

1. H„(Z) = K(Z, 1) SI Z, se n = 0,1

se n> 1

2. Seja Gn o grupo fundamental de uma superfície orientável IVg de genus n,

= (ML

De Fato: Tomamos o recobrimento universal de Mn, Sán. Como a cardinalidade

de 7ri(M.?,) é infinita, cada ponto de Mn possui uma, vizinhança admissivel que se

levanta em infinitas folhas. Portanto -Mn não é compacto. Logo H2( = O e

como HAn) = O para i> 2, pois dimK1 = 2, 7r1(/-521,1) = O poiso recobrimento

é universal.

O teorema de Hurewicz garante que 7r2(Mn— ) = ) = O e 7ri(i-V-In) =

O. Portanto -Mn é contrátil e assim Mn é um K(Gn,1). Pelo resultado acima

R7(G) = 11:(/Vg, Z)

No caso dos grupos H.(G; M) e 11*(G; M) onde M é um ZG-módulo qual-

quer, a interpretação topológica é análoga e vamos enunciá-la como teorema, pois

a utilizaremos em capítulos posteriores.

Teorema l [10, pag 59]: 11,(G; M) IL,(K(G,1);911) e 11*(G; M) H* (K(G, 1); 931),

onde 93t é o sistema de coeficientes locais de K(G,1) associado ao G-módulo M.

Teorerna 2: Seja G um grupo qualquer e M um ZG-módulo. Então para qualquer

sequência exata curta O M' M M" O de ZG-módulos e qualquer

inteiro n, existem homomorfismos naturais:

a : Fin(c; Ar) 117,1((3; M') e 6 : (G; M") Hn+1 ((3; M') tais que

as sequências longas:

13

M") 2—din_i(G; M') -2 11,7(G; M) j=.> H,,i(G; M') e

14

• • • diLd-In-1(G; din-i(G; X-J1"-1(G; M") —641-ING; Mi) • •

são exatas.

Demonstração: [10, III - 6.11.

1.1.6 - Extensão e co-extensão de escalares

Sejam R e S anéis e a: R S um homomorfismo de anéis.

Suponhamos que M seja um S-módulo. Existe naturalmente em M unia

estrutura de R-módulo a saber:

r *rn, =-- a(r)m.

dizemos neste caso que M é um R-módulo por restrição de escalares.

Seja M um R-mádulo. Podemos ver S como um R-módulo da seguinte

forma:

r * s = a(r)s

Podemos então construir S Oft M. Afirmamos que S Oft M admite uma

estrutura de S-módulo.

De fato: Definimos s * (a' 0m) = (s. s') 0 m. Dizemos neste caso que o S-módulo

é obtido do R-módulo por extensão de escalares R e S.

Podemos ainda construir HomR(S, M). Afirmamos que HomR(S, M) admite

uma estrutura de S-módulos.

De fato: Definimos (s * Mal) = f(ss'). Dizemos que o S-mOdulo HcrmR(S,M)

e obtido do R-módulo M por co-extensão de escalares.

*Observação:

Nosso interesse é aplicar estes conceitos no caso em que temos um subgrupo

S de G, ou seja, temos S c--).G e assim ZSP-` ZG.

Se M é um ZG-módulo, denotaremos por:

15

o ZG-módulo obtido de M por restrição de escalares via a.

o ZG-módulo ZG Os M, obtido por extensão de escalares.

o ZG-módulo Harns(ZG, M), obtido do ZS-módulo M por co-

1. ResPg

2. In4M

3. CoindgM

extensão de escalares.

Lema de Shapiro: Seja S um subgrupo de G e M um ZS-módulo, então:

(i) H*(S; M) = 1-1„(G;In4M) (ii) (S; M) =1.1*(G;CoindgM)

Demonstração: Seja P—» Z uma resolução projetiva de Z de ZG-módulos, por-

tanto uma resolução projetiva de Z de ZH-módulos.

(i) 1.1*(G;IndgM) 1.1.(G; ZG 03M) 'a H,(P OG (ZG 03M)) = 11*((P

ZG) OS M) = H*(P OS M) 1.1. (H; M).—

(ii) H*(G;CoindgM) -°1-1*(0; Harns(ZG, M)) A 1-1* (H omG(P , H oms(ZG , M)) =

1.1.(Horns(P, -4: H* (S; M.e

Fórmula de Mackey: Sejam G um grupo, S um subbrupo de G e N um ZG-

módulo, então temos ZG isomorfismos naturais:

(i) Z(-g-)ON InclYRe4N

(ii) Harn(Z(g),N) CoinnRes,ÇN ,

onde Z(g-) Ø N e H orn(Z(), N) são vistos como ZG-módulos com a ação dia-

gonal descrita em 1.1.2.

16

Demonstração: A aplicação rt, é definida por (1)(gS 0 n) = g 0 g'n,

g E G, nENe estendida por linearidade. É fácil ver que 4) está bem definida e

é um ZG-homomorfismo. A inversa é dada por g 0 ri gS 0 gn.

Já a aplicação é definida colocando (0(f)) (g),= g f (g'S), Vg E (3 e

V f E Harn(Z(g-), N). Sua inversa 0-1, é definida por (0-1(h))(gS) =

gEGehE Horn(Z(G),ResM)..

1.2 - HOMOLOGIA E COHOMOLOGIA RELATIVA PARA PARES DE

GRUPOS

Daremos aqui as noções de homologia e cohomologia relativa para pares de

grupos, estabelecendo ainda algumas propriedades básicas que utilizaremos nos

capítulos seguintes.

1.2.1 - Definições:

Seja G um grupo e S = {Si, i E I} uma família de subgrupos de G (não

necessariamente distintos); nós chamaremos (G,S) um par grupo. Se S 0 nós

escreveremos Z(-) para o ZG-módulo à esquerda:

ZG OsiZ =e Z(2) ie/ iE que é o grupo abeliano livre gerado pelas classes laterais xSi , para todo i E 1. A

ZG-ação é a induzida pela multiplicação à esquerda.

A aumentação e : Z é o ZG-homomorfismo definido por e(xSi) =

1 para toda classe lateral xSi e todo i E I. Nos denotaremos seu núcleo por AG 79-

e quando não houver dúvidas sobre que módulo estamos tomando a aumentação,

o denotaremos simplesmente por A.

Para um ZG-módulo M, os grupos de homologia e cohomologia relativos

para o par (G,S) com coeficientes em M, são definidos como segue:

Se Si = 0, as homologias e cohomologias relativas do par (G,0), são os grupos

absolutos H. (G; M) e H' (G; M) respectivamente.

Se Si 0, colocamos para todo k E Z :

Hk(G,S; M) Hk-i (G;A M) e H' (G, S; M)

onde ZG atua diagonalmente em á 0 M e em Hom(A, M).

1.2.2 - Resultado Básico:

É conveniente escrever, para qualquer família de grupos Si = {Si, i E /}

Hk (S; M) =EDHk (si; Ad) e (S; M) .rilik (si; M)iE, ici

aqui M é um 71S-módulo, isto é, um ZSi-módulo para todo i E 1.

Para um para grupo (G$), um 71G-módulo M é um 71S-módulo por restrição.

Teorema 1: Para um par grupo (G,S) e um 71G-módulo M temos as seguintes

sequências exatas longas:

(I) • • • --).1-11̀ (G; M) 1- 8;111̀ (S; M) (G, S; M) 1--fdik+1 (G; M) '2=9;

(II) • • • --).1-1k.4.1 (G; M) -11.Hk+i (G,S; M) Hk(S; M) C.±":",Hk (G; M) ±i•

Demonstração: Para demonstrar (I) consideremos a sequência exata curta

Z(g-) 4. Z, e seja P 71 uma resolução projetiva de 71 sobre 71G-módulos. Então

17

Z(g) 0 P = P" (com a Z(G)-ação diagonal) é isomorfa a Z(G) o P (com Z(G)-

ação à esquerda) e assim uma resolução projetiva de Z(g-). Tomando à0P = ,

teremos que PI à 6 uma resolução projetiva de A. Com isso obtemos :

(i) para qualquer ZG-mOdule coeficiente M, a homplogia destes complexos são:

1-11,(1S; M) a*--1 lik+i (G, S; M)

Hk (Pis ; M) lik(S; M)

Hk(P; M) Hk+i(G; M)

analogamente para cohomologia.

(ii) o seguinte diagrama de cadeias:

p' torci p" sOld

A Z(Z) Z

cuja sequência exata longa de cohomologia nos fornece (I) e a sequência exata

longa de homologia nos fornece (M.e

1.3- O PRODUTO CAP ABSOLUTO E RELATIVO

Neste parágrafo estudaremos o conceito chave para as dualidades de grupo

e de pares de grupos. Como utilizaremos no desenvolvimento do trabalho, duas

definições distintas para o produto cap, dependendo do que estaremos abordando.

daremos aqui estas duas definições que são equivalentes.

1.3.1- Definições e notações:

18

A resolução Bar descrita em 1.1.3 de um grupo G será denotada de agora em

diante por B(G) e num nível n por B(G) ou simplesmente por B e B.„ quando

não houver dúvidas quanto ao grupo que estamos tomando a resolução Bar.

Sejam C e A ZG-mcidulos. O produto cap:

_ _ : (C OG B„) O HomG(Bk , A) (CoA) OG Bn_k de um elemento

e -,- c O (xo, xn ) E C OG 13,, com f E HarriG(Bk , A) é definido como segue:

e f = (c cg) (xo , ...,xn )) f = c ® f (xo , ...,xk )0 (xk , ...,xn )

É fácil verificar que (9(e •-• f) = (-1)k 3e f + e (5f, onde k = deg(f)

(demonstraremos este resultado utilizando a segunda definição de produto cap).

Isto induz o produto cap em homologia:

_ •-• _ : H„(G; C)0 Hk (G, A) Hn-k (G, C 0 A) •

A segunda definição é dada para uma resolução qualquer, mas antes neces-

sitamos de alguns resultados sobre produto tensorial de resoluções.

Dados dois grupos G e G', sejam P Z resolução projetiva de Z sobre ZG

e P' Z resolução projetiva de Z sobre ZG'.

Temos que 1:1 cg) Z O Z é um complexo de cadeias de ZGOZG'-mOdulos

com a ação diagonal, onde :

(P P). = e Po P,. i+j=n

Além disso:

19

1. ZG ZG' Z(G x G'),

De fato: basta tomar a aplicação g ® g' (g, g')

2. Se M é ZC-projetivo e N é ZG'-projetivo, então M 0 N é Z(G x G')-

projetivo. De fato: Como M é ZC-projetivo, existe um C-módulo A, tal que

MeA = e ZG. Como N é um ZU-projetivo, existe um Ze-módulo B, tal ¡Er

que NeB= e ZC'. Assim: je

(M N) e (A B) (M e A) 0 (N e B) = ED ZCOZC' = e Z(C x (ime.rxi maxi

C'). Segue o resultado.

Concluímos de 2., que P P' Z é um complexo de cadeias de Z(C x

G')-módulos projetivos.

Teorema .1: P oP' Z é uma resolução projetiva de Z(C x G')-módulos

projetivos.

Demonstração: Pelo Fórmula de Künneth dado em 1.1.2, temos:

e11(P)0 Hn_p(P') >—, 11„(P ® P1) e Torg-4,(P),H,p-1(P'))• pZ pEZ

Como temos duas resoluções P Z e P' Z projetivas, segue que os 1°

e 30 termos da sequência acima são nulos e portanto o 2° também.e

Corolário: Se e:PZe e' : P' Z são ZG-resoluções projetivas de Z sobre

ZC, então e O e' : Po P' Z também o é, onde G atua diagonalmente em

P 0 P/.

* Observação:

No corolário, se P = P', temos duas aplicações entre resoluções, a saber,

Os:PoP es0 /d : P P P. No sentido contrário, tal aplicação é

denominada aproximação diagonal e denotada por a, : P P 0 P.

20

No caso da resolução padrão, existe uma bem conhecida aproximação dia-

gonal chamada aplicação de Alexander-Whitney, dada por:

A(x0, ...,x.) =E

Transladando para a resolução Bar, encontramos:

A[xl ••• xn1 =0 1x1 ••• i x=1 ® xl•••xp[xi ••• xn1

A segunda maneira de definir o produto cap será dado a seguir.

Consideremos três ZG-módulos A,B e C e suponhamos que tenhamos um

pairing se : C 0 A B. O objetivo é definir:

C)0 Hr(G; A) Hn(G; B).

n-f-r Tomemos e E (P o P)n+r OG C = E Pi OG C. Então temos:

((1' P)n+r OG ® HOMG(Pr , P„ OG B. Se e = p0q0c, por

definição: (*)

e r f = q so(c0 f (p)) E P„OG B

(*) aqui entender que f se anula fora da dimensão, ou seja, nesse caso f (p) = O

se p Pr

Propriedade I: a(e n f) = (-1)If 1 8e n f -I- e n 6f.

Demonstração: (1) a(e n = (q oso(c 0 f (p))) = aq oso(e o f&-))

(2) 6 f = (-1)1 f1+1 ha dado em 1.1.5.

ae=i9(p0q0c)=49p0q0c+(-1)1Pip08q0c=8pOq0c+(-1)Ifipe8q0c.

ae f = q so(c f (ap)) + (-1)If I aq O so(c f (p))

(-1)1 f1±1q so(c (5 f )(p)) + (-1)1118q 0 so(c 0 f (p)) =

21

(-1)if 1 +1 (p0q0 e) • , s5f + (-1)1 f 1 8(e f). Concluímos que:

f) = (-1)(e .5f) + a(e f). Segue a propriedade..

Assim temos definido o produto cap desejado. Em geral B = COA e

= Id.

*Observação: Através da aproximação diagonal á definida acima podemos mostrar

facilmente que as duas definições dadas de produto cap coincidem

1.3.2 - O produto cap relativo

Se S. é uma família de subgrupos de G, definimos:

(i) _ _ : (G, S; C)0 Hr (G; A) H, (G, S; C 0A)

(ii) _ _ : 117,4_,(G, S.; C)0 Hr (G, S.; A) 1-1(G; C (9 A)

Para definir (i) tomamos e = p0 q0 doe E (POP)n+rOcAOCef E

HornG(Pr , A). Então:

er, f 4 q0d0c0f(p)EPn0G60C0A.

Para definir (ii), se e =- p0q0d0e E (P0P),-Fr0GA0C ef E H canG(Pr , Horn(6, A))•

Então:

e f q0c0f(p)(d)EPri 0G C0A.

Em [9, §2, teorema 2.1] é demonstrado o seguinte resultado:

Teorerna I: Sejam (G, S) um par grupo com S. cp, A e C G-módulos e e E

H,., (G, S; C). Então o diagrama:

22

23

• • • Hk (G; A) res Hk (S; --C Hk÷1 (G, S; --ft-o. Hk+1(G; A)

fln z(C.S;CC A) H„_k _1(S; C e A) H, _k _1(G; C A) -4 H, -k .-1(G,S;C ® A) -4 • • •

é comutativo a menos de sinal.

*Observação: As linhas são exatas pelo Teorema 1 de 1.2.2.

1.4 - GRUPOS DUALIDADES E PARES DUALIDADES

Neste parágrafo definiremos o conceito de grupo dualidade de Poincaré, que

é um grupo cuja homologia e cohomologia satisfazem relações de dualidades

análogas àquelas válidas para variedades compactas.

Veremos também o conceito de pares dualidades de Poincaré cuja homologia

e cohomologia satisfazem relações de dualidades similares às de variedades com

bordo.

1.4.1 - Os grupos dualidades e grupos dualidades de Poincaré :

Definições:

1. Um grupo G é denominado um grupo dualidade de dimensão n (D" -grupo)

se existe um "módulo dualizante" C e uma "classe fundamental" e E H„(G; C)

tal que o produto cap com e induz um isomorfismo:

e _ : (G; A) 1-1„_k(G; C ® A) para todo k e todo G-módulo A.

2. Se G é um ]Y'-grupo e se o módulo dualizante C é cíclico infinito, então G é

chamado grupo dualidade de Poincaré de diniensão n (PDT-grupo) e ele

será orientável se a (3-ação em C é trivial e não-orientável se a (3-ação em C

é não-trivial.

Proposição 1: [6, proposição 5.2.1]: Sejam G um D1 -grupo sobre K e C seu

módulo dualizante. Então as seguintes afirmações se verificam:

(i) C a"- Hn(G;KG) como KG-módulo à direita.

(ii) cdKG = hdKG= n.

(iii) H„(G; C) at- K.

(iv) para todo KG-módulo induzido A = LOKKG temos Hk(G; A) = O, se k ti

e um isomorfismo natural Hn(G; A) C COK L.

Teorema 1: [5, teorema 3.2]: Se (3é um ]Y'-grupo, assim o é qualquer subgrupo

5 de índice finito em G. A restrição res e um isomorfismo:

H„(G; C) r=" En(S; C)

aplicando a classe fundamental de G na classe fundamental de S.

Teorema 2: [5, teorema 3.5]: Seja N G —» Q uma extensão de grupos.

Suponhamos que N e Q sejam PD-grupos de dimensão ri e m respectivamente.

Então G e um PDn+m-grupo e seu módulo dualizante C0 = 1-1"'n(G; ZG) é o

produto tensorial dos módulos dualizantes CA, = En(N; ZN) e CQ = EM (Q; ZQ).

Teorema 3: Seja N G Q uma extensão de grupos. Suponhamos que N seja

um PDn-grupo e Q um PD'n-grupo. Nesse caso (3é orientável N é orientável

e a ação diagonal de Q em Cp, 6 trivial.

24

Demonstração :

Se Q não atua trivialmente em CN , então (CN)Q = {0}. Assim:

{0} = ((CN )Q)N 22/-- (CN )G G não é orientável.

(•@) Se Q atua trivialmente em CN , como N é orientável, temos que N atua

trivialmente em CN. Seja:

G x CG —> CG = CNOCQ. Vamos escrever m E CG C24 Z como zNOzQ.

Assim teremos:

(1) (2) = (g N).m = gm.

(1) Por hipótese Q atua trivialmente em CN e Q é orientável, assim Q atua

trivialmente em C.

(2) Se gl N = g N, então g- lgi E N grn (-L2 rn = gim.

(*) Segue, também do fato de Q ser orientável, pois neste caso, obviamente

N atua trivialmente em Co..

O teorema a seguir encontra-se demonstrado em [13, teorema V.1.1].

Teorema 4: Se G = ir1 (X), onde X é uma variedade fechada, conexa de dimensão

n, asférica( isto é, que tem o mesmo tipo de homotopia de um complexo K(G,1)),

então G é um PD"-grupo sobre Z.

1.4.2 - Condições de finitude

25

Definições:

1. Dizemos que um grupo G é de tipo (FP)„ sobre K, 7/ E N, se existe uma

resolução projetiva de K sobre KG, P K, com Pi finitamente gerados (FG)

com KG-módulos, para todo i < ri. Se os módulos R são FG para todo i, então

dizemos que G é do tipo (FP)co.

2. Um grupo Gé denominado grupo de tipo FP sobre K, se existe uma

resolução KG-projetiva de K de comprimento finito:

*Observação:

É fácil ver que G é de tipo FP sobre K se, e somente se, G é de tipo (FP)„a

sobre K e cdK G coo.

Proposição I [7, proposição 2.4 G é de tipo (FP)1 sobre K se, e somente se, G

é FG.

As vezes é conveniente utilizarmos a seguinte caracterização de grupos du-

alidades:

Proposição 2 [7, teorema 9.2]: G é um D"-grupo sobre K se, e somente se, as

seguintes condições ocorrem:

(O G é de tipo FP sobre K.

(ii) lik (G;KG) = O, para todo k ri.

(iii) H"(G;KG) = C, é flat como K-módulo.

Corolário: Se G é um D-grupo sobre K então G é FG.

26

Demonstração: Se G é de dualidade, então pela proposição 2, G é de tipo FP, e

portanto de tipo FPI, pela observação acima. O resultado segue da proposição

Teorema 1 [7, teorema 9.11]: Seja N >, G --o Q uma extensão de grupos com

cdkQ < oo e N do tipo (FP)c., sobre K. SeGeum grupo dualidade, então N e

Q também o são.

1.4.3 - Pares dualidades e pares dualidades de Poincaré

Definições:

1. Um par grupo (G$) é chamado um par dualidade de dimensão i? so-

bre K (Da-par sobre K), se existe um módulo dualizante- C e uma "classe

fundamental" e E H„(G,S; C) tal que o produto cap:

(e _) : Hk (G; —› Fln _k(G, S; C ® A) e

(e _) : Hk(G, S; A) —+ lin_k (G; C ® A)

são isomorfismos para todo KG-módulo A e todo k E Z.

2. Um Da-par (G,S) é chamado um par dualidade de Poincaré sobre K

(PD-par sobre K), se seu módulo dualizante C é isomorfo a Z como um grupo

abeliano.

3. No caso de PD-par sobre K, escrevemos á- para C e à para á-- ® A (com ação

diagonal) para qualquer KG-módulo A. Se a KG-ação em És. é trivial (Ã = A), o

PD'-par é orientável e caso contrário não-orientável.

27

*Observações:

1. Se S, := 0, entendemos que G é um grupo dualidade no sentido da definição 1

de 1.4.1.

2. Segue da definição 1 que se (0,8) é um D"-par, então kr(G,S; ZG)

H(0, C 0 ZG) C, como KG-módulo, assim c, é determinado pelo D"-par

(0,S). Além disso H,1(0,8; C) 1-1°(G; Z) Z é gerado por e.

3. Desde que Hk (G, S; A) -= O para todo A e todo k > n, e H" (G, S; ZG) = C O,

temos que cd(G, 8) = ri e assim n é determindado pelo D"-par (0,8).

O teorema a seguir encontra-se demonstrado em [9, teorema. 4.2].

Teorema I: Seja (0,S), 8 = {Si , i E /} um D"-par com módulo dualizante

C. Então:

(i) G é um grupo dualidade de dimensão n — 1 com módulo dualizante á 0 C

(com ZG-ação diagonal).

(ii) 8 é uma família de subgrupos finitos.

(iii) Cada Si e um grupo dualidade de dimensão n — 1 com módulo dualizante

C(considerado como um Si-módulo por restrição).

(iv) Uma classe fundamental e E Hi.,(0, 8; C) determina uma classe fundamental

e, E Hn_i (Si; C)para cada Si, a saber fie = onde a é o homomorfismo de

conexão dado no teorema 1 de 1.2.2.

1.5 - O PRODUTO CUP

Nesta secção, definiremos o produto cup e algumas de suas propriedades que

será ferramenta para o capítulo III.

28

1.5.1 - O produto cross

Dados os grupos G e G', o ZG-módulo M e o ZG-módulo NI', queremos

definir:

Hi(G, M)0 Hi(G', —+ H(G x G', M o M')

Seja P Z uma ZG-resolução projetiva de Z e P' Z uma ZGi-resolução

projetiva de Z. Vimos no teorema 1 de 1.3.1, que P Pi t Z é uma Z(G x

0-resolução projetiva de Z.

Existe um isomorfismo : HomG(P, M)0 m) HO% x (PO

M Mi), dada por:

Ku o v)(a ®Ø) = (-1)degvdegaU(a)o v(0), Va E P, V3 E P'.

Escrevemos u x v = c,o(u O v) e é fácil verificar que b(u x v) = bu x v +

(-1)n x bv se degu =p.

Isto induz a aplicação em cohomologia desejada, denominada cohomologia

produto cross.

1.5.2 - O produto cup

Dado u E HP(G, M) e v E Hq(G, N), nós definimos o produto cup deu e v

(denotado por u vou uv) por um elemento cl*(u x v) E HP+q(G, M N), onde

d: G-4G x Geo, aplicação diagonal. Aqui M O N tem a ZG-ação diagonal de

tal modo que cl* : 1-1*(G x G, M c N) H* (G, M G N) faça sentido.

29

Uma outra maneira de se definir o produto cup e utilizar uma ZG-resolução

projetiva P Z. uma aproximação diagonal z : P P 0 P e fazer u v =

(u x v)oà, E HomG(P, M N) para u E HomG(P, M) e v E HomG(P,N).

Exemplo: Com a resolução Bar definida em 1.1.4 e.a aplicação á de Alexander-

Whitney dada em 1.3.1, dado u E HomG(Bp, M) e v E Homa(Bri , N) :

(u ••• I gp+q) = (-1)Pqu(g1 I ••• I gp) ® gi-gpu(gp+i I ••• I gp+q).

Daremos a seguir algumas propriedades do produto cup.

Propriedade l(Naturalidade com respeito aos homomorfismos de grupos)[10, pag

112]: Dado a : H —> G, um homomorfismo de grupo, temos que:

a*(u v) = cx*u a*1) para qualquer ri E H*(G, M) e v E H*(G, N).

Consideremos a aplicação evaluação:

H arnG(P M) O HomG(P,N) M ®G N dado por u (x n)

u(x)®n. Denotamos por (u, z) a imagem de uOz sob esta aplicação. Obviamente

a aplicação evaluação e um aplicação de cadeia, isto é, (45u, z)+(-1)degu (u, az) =

0, assim existe um pairing induzido:

HP(G. M) O Hp(G. N) M OG N também denotada por (_, _), que

independe da escolha da resolução.

Propriedade 2[10, pag. 113]: Para qualquer u E HP(G, M1), v E Hq(G, M2) e z E

HP+q(G, M3), temos:

30

(u •-• v, z) = (u,v z).

A propriedade 3 abaixo, relaciona o produto cup com a sequência espectral

de Leray-Hochschild-Serre e encontra-se demonstrada em [3, §1, proposição 1.6].

Propriedade 3: Seja M um ZG-módulo. O produto cup de cadeias induz um

produto cup nas sequências espectrais, ou seja, quando r = 2,3,... teremos E0

Er.4 F. 4-34-14 e nos subgrupos bigraduados DP.q = FP/FP+11-11'"(G,M), ou

seja, Dm® Ds,t _,Dp+s,q+t

1.6 - O GRAU DE UM HOMOMORFISMO

Nesta secção A e B serão considerados grupos abelianos.

Temos que Hom(A,B) di pois sempre O E Hom,(A,B). Para Aut(A),

sabemos um pouco mais. Todo inteiro N induz um endomorfismo N : A —> A,

tal que N(a) = a+ +a . N termos

*Observações:

1. Podemos ter Ni N2 como inteiros e Ni = N2 como endomorfismos. Por

exemplo:

3 : Z5 —> Z5 e

2. Se Ni e 1V2 induzem o mesmo endomorfismo, então Ni. — N2 = O como

endomorfismo.

1.6.1 - Definições

O menor inteiro positivo que induz o endomorfismo nulo é chamado o ex-

poente de A que será denotado por expA (expZ„ = u). Se não existe inteiro

31

positivo que anula A, então expA = O (expZ -= O), neste caso cada inteiro induz

um homomorfismo distinto dos outros.

*Observações:

1. Se A não tem torção, então expA = O.

2. Se A tem um elemento de ordem infinita, então expA = O.

3. expA \(N1 — N2). De fato: se (N1 — N2 )(x) =-• O e (N1 — N2 ) é o menor inteiro

onde isto ocorre, então (./V1 — /V2) = (expA)q + r rx = O, com r < expA

r = O.

4. Se h: A —* 13 é um homomorfismo e N E Z, temos N c.h = h c. N.

Notação: N 0h = N h.

O menor inteiro positivo N, tal que Nh = O é chamado o expoente de h,

e denotado por exph. Se não existir tal N, exph = O.

5. Se N h = O exph \ N. De fato: a demonstração é idêntica à demonstração

da observação 3. acima.

6. exph \ (expA.expB). De fato: Basta mostrar que mh = O com m = (expA,expB).

Mas sem = (expA,expB), existem p,q E Z tal quem = p(expA) + q(expB). Segue

que:

mh(a) = (p(expA) + q(expB))h(a) -= p(expA)h(a) + q e)( =0

ph((expA)a)-= O, Va E A. Assim mh = O.

7. exph = 1 h = O(Obvio).

32

Dado h : 13 um homomorfismo, seja r : B A um homomorfismo

33

tal que h 07- = N, onde N : B 13 é o endomorfismo induzido pelo N E Z.

Chamamos 7- um transfer para heN é associado a T. Analogamente, se To h

= N, então 7- é um cotransfer de heN é associado ao cotransfer.

*Observações:

8. Se expB O, podemos ter mais de um inteiro associado ao transfer T. E se

expA O, podemos ter mais de um inteiro associado ao cotransfer T (óbvio).

9. 7- = O : B —> A é transfer e cotransfer de h: A —> 13 com O como associado.

Assim o conjunto dos transfers, cotransfers e associados são sempre não vazios.

O grau e o cograu de h, que serão denotados, respectivamente por degh

e cdgh, é o menor inteiro positivo associado com uni transfer e uni cotransfer,

respectivamente. Se tal inteiro positivo não existe para nenhum dos dois, então

degh = O e cdgh = O.

Sejam EAi e EBi somas diretas de grupos abelianos. Dizemos que uni

homomorfismo h: Efis, EB., é graduado se h = >h é tal que hi :

Bi são homomorfismos.

1.6.2 - Resultados e exemplos

Proposição 1: Se N é um inteiro associado com uni (co)transfer, então

(co)grau divide N.

Demonstração: Sejam N1 , ./V2 associados aos transfers r1, T2, respectivamente.

Então a combinação linear aNI + bN2, onde a,b E Z é uni inteiro associado ao

transfer ari + 137-2. De fato: ho(an. + 137-2) = hcan. + hobT2 = ahori + blier2 =

aNi 4- bN2.

Portanto o conjunto dos associados é um ideal de Z e assim principal com

gerador degh. Logo o resultado fica demonstrado para transfer. Para cotransfer

a demonstração e análoga..

*Observação:

1. degh \ expB e cdgh \ expA. Segue imediatamente da proposição 1.

Exemplo de cálculo de degh e cdgh

Seja h: Z3 —› Z6, tal que h0.-) = 2. Assim r: 7,6 —› Z3.

Pode ha = 1? Ou seja, pode hor (1) = 1 ? Como h não atinge 1, isto é

impossível.

Pode ha = 2? Ou seja, pode ha = 2? Tomamos r(I) = 1 h0r (T) =

h(T) = Portanto degh = 2.

Pode roh = 1? Ou seja, pode roh(t) = ? Tomamos 7 == r0h(1) =

r(2) = r(11 r(1) = 2 + 2- = T. Portanto cdgh = 1.

*Observações:

2. Grau e cograu caracterizam isomorfismos da seguinte forma:

degh = cdgh = 1 •;=> h é um isomorfismo.

De fato: degh = 1 3n tal que h °ri = IdB .•. h é sobrejetora.

cdgh = 1 372 tal que r2.11 = IdA h é injetora. E assim h é

uni isomorfismo.

óbvio.

34

3. degh 0 1 e cdgh 0 1 não caracterizam sobrejetividade e injetividade.

De fato: (a) Tomamos h : Z Zy, o homomorfismo quociente. Seja 7 E

Hom(Z„,Z). Assim 7(0) = O = 7(it) = 7(n.1) = 7(1) 7(1) = n r(1).

Logo 7(i) = O .•. Hom(Z„,Z) = O e degh = O 0 1. •

(b) Tomamos h: Z Z tal que h(1) = n. Assim 7.11(1) = 7(n) 0 1

cdgh 0 1.

Proposição 2 : degh2 \ deg(h2 .14) (deghi)(degh2)

Demonstração: Sejam h1 : B; h2 : B C; h2. h1 : C = h3

Sejam r1 : B A; 72 : C —* 13 e 73 : C A os transfers associados com os

homomorfismos h1, h2 e h3, respectivamente. Temos que:

h20(h1.73) = h3073 = degh3.

Assim 111.73 : C 13 é um tra.nsfer para h2 com degh3 como associado. Logo

degh2 \ degh3 = deg(h2oh1) pela proposição 1. Temos ainda que:

h3. (71.72) = h20(111.71)072 = h20deghi.72 = (degh1)(degh2).

Portanto 71.72 é um tranfer para h3 com (deghi)(degh2) como associado.

Logo pela proposição 1, deg(h2.110 = degh3 \ (deghi)(degh2).e

Proposição 3: cdghl \ cdg(h2 °h1) \ (cdgh1)(cdgh2)

Demonstração: Análoga à demonstração da proposição 2..

Proposição 4: Seja h: EA, ium homomorfismo graduado. Então degh

= mmc (degh} e cdgh = mmc {cdgh}.

35

36

Demonstração: Seja T : Ai um transfer que realiza o degh, ou seja,

= degh.

Definimos r: Ai como a composta:

Bi EBi 7-14 A.

Afirmamos que E Tz é um transfer que realiza degh.

De fato: r(b) = r(b) + x, onde bi E Bi e x E EA1. Mi

(degh)(bi) = h or(bi) = her(i(bi) +x)) = hiri(bi ) + h(x), onde h(x) está E Ai

em EBi, pois h é graduado. Logo (degh)(bi) = hiri(k) e h(x) =- O.

Assim (h0E Ti)(bi, b2, •••) =

= degh (bi Ar.).

mmc{deg hi} Seja Ki = deghi Seja

hion = (deghi).Ki e

Logo degh \ mmc {degh}.

{degh} \ degh. e

*Observação:

(h o (bi ), h o T2 (b2),..:) = ((degh)bi , (degh)b2,...)

o transfer que realiza MILIC {deghi}. Assim:

portanto h0> = mmc {deghi}.

Mas como hien = degh, Vi, temos que mmc

4. Para aplicações não graduadas, o resultado não é verdadeiro. Se A e B são

F.G., então A FeTeB F' e T', onde F, são grupos abelia.nos livres e T,

T" subgrupos de torção. Um homomorfismo h : A B não respeita a estrutura

de soma direta. Exemplo:

Seja A = Z e 4. Denotemos por a o gerador de Z e por a o gerador de Zg .

Seja h: A — A definido por h(a) = 2a + a e h(a) = 4a.

Afirmamos que degh = 8.

De fato: A 4 A -14 A. Se (hor)(a -I- a) = 8(a + a) = 8a+ 8a = 4(2a -I- a) + 4a

= 4h(a) + h(a) -= h(4a + a).

Assim se tomarmos r(a + a) = 4a + a, temos 8 associado a T e portanto

degh \ 8. Assim degh = 1,2,4 ou 8.

Se degh = 4 (11.-/-)(a + a) = h(ma+ na) = m(2a + a) + n(4a) =

2m = 4 m = 2 2ma + (m + 4n)a = 4(a + a) não é inteiro

m + 4n = 4 (absurdo).

Idem para 2 e 1. Logo degh = 8.

Por outro lado hT = h 3 : 74 -+ 74 é dado por hT(a) = 4a.

74 -11 74 112; 74 onde (hTor)(a) = hT(ma) = 4ma.

Tomando m = 1, temos degh T = 4.

Seja hp, a composta:

ZctZ4 ZG4 Ltr Z. hF(a) -= 2a (hFor)(a) hp(ma) = m2a.

Tomando m = 1, teremos deghF -= 2.

Assim degh = 8 4 = rnmc{deghT,degh}.

1.7 - O ÍNDICE DE UMA EXTENSÃO DE GRUPOS

Enunciaremos agora a versão para Grupos de Dualidade do Teorema B dado

no capítulo O.

Teorema g: Seja N G -I+ Q uma extensão de grupos, com N um PDn-

grupo, Q um PD-grupo, ambos orientáveis. Suponhamos que Q atue trivial-

37

mente em 11(N). Então o índice de G é o produto dos índices de N e Q, isto

é:

u(G) =

Como foi dito no capítulo O, daremos a seguir um exemplo que mostra a

necessidade de Q atuar trivialmente em H*(/V).

Os artigos [2] e [21] de M.F.Atiyah e K.Kodaira, respectivamente, exibem

exemplos que trabalhados de forma conveniente, mostram a necessidade de Q

atuar trivialmente na cohomologia de /V, para que o Teorema H seja verificado.

Na verdade, nestes artigos se constroi urna fibração cujo espaço total são

4-variedades M.,„, que possuem índice diferente de zero; como a base S e a

fibra F obviamente possuem dimensão dois, o produto dos índices da base e da

fibra é nulo e assim após adaptações para grupos dualidades obtemos o exemplo

desejado.

Como: o-(G x G) =

o-(N x = o-(N)o-(N)

u(Q x Q) = u(Q)u(Q)

temos exemplos para dimensões com base e fibra divisível por 4.

Lema 1: Se M2 é compacta distinta de 32 e de RP2, então M2 `="' K(71-1 (M), 1).

Demonstração: Se M Ø S2, RP(2), então 7/1.7/ é uma variedade bidimensional, não

compacta e 112(M) = O. Como ri (M) = O, por Hurewicz, temos que o primeiro

ir e o primeiro Hi distintos de zero são isomorfos.

38

39

Como 7r2(M) = O =- = O, para i 2, pois dimM-- = 2 e M é não

compacta; assim sendo ir(M) = O, para i > O.

Assim --AÏ é contrátil e M = K(74(M), 1), por definição."

A base S da fibração dos artigos citados é um ‘recobrimento não ramificado

de m2 -folhas (m > 2) sobre uma superfície orientável compacta, desta forma S

é uma variedade compacta diferente de S2 e de RP2. A fibra F dessas fibrações é

uma superfície de Riemann compacta que é um recobrimento cíclico ramificado

em dois pontos com m folhas e assim, também não é S2 nem RP2. Logo pelo

lema 1, temos que S e F são K(74 (S), 1) e K(74(F),1)., respectivamente.

Aplicando a sequência longa de homotopia da fibração F —)+S obte-

mos:

• • --*71- (F) --L* un(IVIn,m) 11' 71- (S) 4±Y 7r_1(F) • • • ±Y 7r0(M) 71-0(S).

Pelas observações acima 71-i(F) = 71- (S) = O, se i > 1. Logo M,,,,„„ é asférica e

assim pelo teorema 3 de 1.4.1, teremos que 74 (M,„,,,,) é um PE0-Grupo sobre Z.

Pelo teorema 1 de 1.1.5 obtemos o exemplo desejado.

* Observaçoio: Para uma demonstração detalhada do teorema B, dado no capitulo

O ver [23].

CAPÍTULO II

UMA FÓRMULA PARA EXTENSÃO DE GRUPOS

Em [18], Gottlieb demonstrou que para uma variedade fibrada F >LE 12» B

a seguinte fórmula é verificada:

i.([F]) = (p.(73]) [E], onde [E] E 11,-1-. (E) ,[F] E Hn (F) são classes

fundamentais e [n a classe fundamental dual em Hm(B).

Neste capítulo demonstraremos uma fórmula análoga para extensão de gru-

pos, dada no teorema abaixo, que denominaremos Teorema principal.

7r Teorema principal: Seja N )—> Q uma extensão de grupos. Suponhamos

que N seja um PD"-Grupo e Q um PDm-Grupo ambos orientáveis, então:

(eN ) = ea 7r*"Eiá, onde ea E H„+„, (G) , eN E H„ (N) e E Hm(Q) são

classes fundamentais.

Observações:

1. A fórmula faz sentido quando tomamos z(é74) E Hm(G), isto é, com coefi-

cientes em Z.

De fato: i : N G, induz is : H, (N) — H(0) ,ou seja, (eN ) E H„ (G). Por

outro lado, ea _ : HÁ(G) 11„±„,_k (0), assim, se k = m

40

2. Uma classe fundamental Qi E H".(Q) para um PDm-Grupo Q é definida como

segue:

Seja eQ uma classe fundamental em H, (Q) (lembrar que estamos num PD7n-

Grupo, assim o módulo dualizante CQ é E, e como é orientável, a Q-ação é trivial).

Temos que eg •-• : Hm(Q) Ho(Q) EQ-as E é um isomorfismo, assim

tomamos como sendo o elemento de Hm (Q) tal que eQ, •-• = 1, ou seja,

6-4= (64 ^ -)-1(1)-

A idéia da demonstração é considerar primeiramente a aplicação:

ce.x. : H„,(Q;11m(Q; ZQ)) H,(Q;11„(N;Hni(Q; EQ)0 1-1"(N; ZN))) construída

em [6] no teorema 2.7.1 (reproduziremos esta demonstração no teorema 1 de 11.2,

já que é nela que baseamos a demonstração do Teorema principal). Neste teo-

rema, mostra-se que cg.x.(eQ) =- e é uma classe fundamental em H,„(Q;H„ (N; C))

onde C 6 o módulo dualizante de G .

Assim podemos fazer e •-• _ :117n(Q) — 11o(Q H„(N;117n(Q; EQ)0 Iin(N; ZN))).

Na secção 11.1 mostra-se que o produto cap (a menos de sinal) é compatível

com a sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre, que fornece um isomor-

fismo e : H,„(Q;H,(N; C)) 4 Hifi+n (G; C) e assim teremos, no nosso caso, que

C (e) é uma classe fundamental em

Utilizaremos esta classe e(e) a nível de cadeia, para demonstrar o

Teorema Principal que será feito em 11.3.

41

Através deste teorema, demonstraremos resultados envolvendo grau e cograu

de aplicações e número de uma extensão, que serão definidos no capítulo III.

11.1 - AS SEQUÊNCIAS ESPECTRAIS DE LHS E A COMPATIBILI-

DADE COM O PRODUTO CAP

Este parágrafo foi extraído de [4, §1,3].

As sequências espectrais de Lyndon-Hochschild-Serre (LHS), são sequências

espectrais dos complexos bigraduados:

1. K7',(2 (A) = Hamc (Q) Bq (G), A) 1 .1- H arn,Q(Bp(Q), H ornN(Bg(G), A)) com

as diferenciações parciais:

(67)(b' o b") = (-1)1'1'7+1 f (dl"o b"), f E Km; b' E 4+1 e b" E Bq .

(6" f)(61 ® b") = (-1)q+1 f (br db"), f E IO" ; b' E Bp e b" E Bg±i.

2. K,(A) = A 0 G (Bs(G) 0 Br(Q)) raj' ( A ON B s(G)) e1/42 Br(Q), com as diferen-

ciações parciais:

6(a Ø b' o b") = a 0db' o bi

(ci ® b") = (-1)s a O b' 0db"

K* e IC. são funtores da categoria dos G-módulos na categoria dos bicom-

plexos. Para dois G-módulos A e C definimos um produto cap no bicomplexo:

: K,(C)0 KNI(A) IC,_,7,_p(C O A) como segue:

Para os elementos e = e (xo,...,x,) O (yo, ) E Ks„.(C) e f E Km(A)

seja

42

a E A, b' E B., e b" E Br .

e f = (-1)"(c f ((Yo, Yp) (I01 •••,Xq))) (Xq, X8 ) ® (Yp, yr)

Vemos facilmente que as seguintes fórmulas são válidas:

D"(e •-• f) = (-1)P".5 e •-• f + e b"f

d(e f) = (-1)P"3" e f + e f

",-," induz nos complexos totais Tot Ice e Tot K. o produto:

_ _ : (Tot K.(C)) (Tot K"(A))k (Tot K.(C A)),„k

e de (*) segue que para as diferenciais totais b + b" e D = + D" :

D(e f) = Fine f + e rSf.

Isto também induz um produto nas homologias dos complexos totais.

A homologia do complexo total é porém isomorfa a homologia de G. Estes

isomorfismos são induzidos pelas seguintes tranformações de cadeias:

e: HomG(B(G), A) K°,"(A) Tot K(A)

77: Tot K.(C) K„,o(C) C ®G B(G). Aqui n'

(eif )(ti 0 b") = f (b"), onde f E H orno (B(G), A), b' E B0(G) e b" E B(G)

771 (c (b' ® b")) = c Ob' , onde c E C, b' E 8(G) e b" E Bo(G).

Agora é fácil mostrar que:

Lema 1: O produto cap definido sobre os bicomplexos K' e K. coincide com o

produto cap usual na homologia de G, isto é, o seguinte diagrama é comutativo:

H(TotK.(C)) H om(I-Ik (TotIC (A)), k (TOtK s (C o A))

Hont(e.• ris )1

H„ (G; C) Hcfm,(Hk(G; A), H,,k(G; C o A))

43

As duas sequências espectrais produzidas pelos complexos bigraduados Kl' e

K. convergem para a homologia do complexo total.

Er+, 1-1,.+,(TotK.) e EP+q HP+g(Tot K")

As fórmulas dadas em (*) induzem um produto tap nas sequências espectrais,

isto é, quando = 2,3,..., teremos:

_ _ : E45(C) El:M(11) —> ® A)

Por outro lado é conhecido o termo to = 2:

E48 (C) -Ln H,.(Q;113(N; C)) e its : Er (A) HP(Q;Hq(N; A))

E através da homologia de Q e N também temos um produto cap abaixo

induzido de maneira óbvia:

_ _ : H,.(Q;11,9 (N; C))® HP(Q;Hq(N; A)) 1-1,— p(Q;H8 _ q(N; C 8 A))

Segue das definições acima uma demonstração trivial do:

Lema 2: O diagrama abaixo comuta a menos do sinal (-1)":

B +3(C) ® Er (A)

ft* ®

g_p,s _q(C A)

tc„1

H,.(Q; H„(N; C)) HP(Q; Hq(N; A)) =4 11,-1,(Q; 118 (N; C A))

isto é, para todo e E E+5(C) e f E Er(A) temos o seguinte:

K.(e f) = (-1)"K.(e) (f).

11.2 - UM TEOREMA BÁSICO

Neste parágrafo demonstraremos o seguinte Teorema:

44

Teorerna 1 : Seja N >-* G -t+ Q uma sequência exata curta de grupos. Se N é de

tipo (FP-n) e Q é de tipo (FP-m) sobre um anel K, então O é de tipo (FP-(n+m))

sobre K, resultando que cdKC= cdKN + CdKQ.

Antes de demonstrar este Teorema, precisamos de alguns conceitos e resul-

tados. Em primeiro lugar precisamos de um KG-isomorfismo

H(G; B) -* Horno(C, B) onde B e C são KG-módulos à direita.

Vamos então construí-lo:

Dado um KG-módulo M, seu dual M é um KG-módulo à direita, definido

como = HomG(M,KC) com a KG-estrutura à direita induzida pela multi-

plicação à direita no anel de grupo 1(0. Seja P —t'K uma KG-resolução projetiva

trivial do KG-módulo 1< e definimos:

(1) hk (G,B) = Hk (HoTnG (P,B)), V KG-módulo à direita B. É fácil

mostrar que esta definição independe da resolução P.

Para qualquer KG-módulo à esquerda M, temos um homomorflsmo natural

xP : 8 OG M - Ho7n0(M',B) definido como:

'I'(b 0 m) (f = b f(rn)E B (que é KG-módulo à direita), onde m E M,

E MC

f E M e b E B.

Como IP é um homomorfismo natural ele induz um homomorfismo de com-

plexos:

(2) IP # : B ®c P -. Homc(P, B) e assim dos seus grupos de homologia:

(3) 'I':H(C;B)—.hk(G;B), VkEK.

Observações:

45

3. Se M é um módulo projetivo FG, então (2) é um isomorfismo [21, V, proposição

4.2]. Segue que (3) é um isomorfismo se K admite uma KG-resolução que seja

FG em cada dimensão ( isto se aplica ao nosso caso, onde todos os grupos são

dualidades).

4. Para grupos de dimensão cohornológica finita n, temos que:

li n(Hom,G(P*,B)) Hom,G(1-In(Ps), B), ou seja, de (1)

h(0; B) HcrinG (1-1" (G;KG), B).

Assim. para grupos dualidades segue de (3), que:

W.: Hk (G; B) H orriG (Hn (G;KG), B) é um isomorfismo.

Notação: Quando queremos enfatizar o módulo coeficiente, como por exemplo

no caso acima, escreveremos para Ws.

5. Seja G é um subgrupo normal num grupo G, A um KG-módulo à esquerda

e P —»K uma KG-resolução projetiva. A ação de um elemento x e G numa

coc,adeia f E H orriG (P , A) e numa cadeia b0pEB ØG P é dada por:

{

(x. f )(q) = xf (x-Iq), para todo q e P

(h :)p).x = bx 0 Cip

Uma G-ação em PI' 0 A e em H orriG(1" , B) é construida do seguinte modo:

Primeiro consideramos KG como um KG-módulo à esquerda por conjugação,

usamos (*) para definir uma G-estrutura à esquerda em PI e então convertemos

isto numa G-estrutura à direita por:

46

(*)

fx = x-' f. f e P*, x e G

{ x.(10a)=fx-1 0xa, f EF" ,x EA

(F.x)(f) = F(f x-1 )x, F E Ham,G(1:", B), f E P'

(observemos que para elemento x E G em particular, esta ação à direita em P"

coincide com a ação à direita induzida pela multiplicação à direita em KG).

Segundo, usamos a ação diagonal em _OG e H atrtc(_,_) isto é, para qualquer

x E G colocamos:

47

Lema 1: Se G é um subgrupo normal num grupo GeAeB são KG-módulos,

então kl', é um KG-homomorfismo.

Demonstração: Seja p E P, xEUebE B. Então temos para todo f E P"

= k (bx 0 x-1 p)(f) = bx f (x-lp) = bx f (x-1 p)x-1 x

b(x f)(p)x = b(f x-1 )(p)x = W((b p))(f x-1)x = (6 p).xl(f)

Em [11, IV, §6] obtem-se um homomorfismo a como segue:

Sejam T um funtor de duas variáveis, A e C complexos. Consideremos os

seguintes diagramas:

Z (A) —) H(A) Z(C) —) H(C)

1

A —) Zt(A)

C —) Zt(C)

Aqui, Z(A) = ker d e r(A) = coker d, onde d:A,Aeo homomorfismo

diferenciação. Idem para Z(C) e Z'(C). Estes dois diagramas induzem um

diagrama comutativo:

48

T(Z(A), Z'(C)) T(H(A),H(C))

Ir (1)

H(T(A, C) T(Z' (A), Z(C))

Lema 2: Se T é exato à direita, existe um único homomorfismo : T(H(A),H(C))

H(T(A, C))

Dernostração do Teorema 1:

Ela se baseia essencialmente nos argumentos de [5, teorema 3.5], mas aqui

olharemos mais cuidadosamente para uma classe fundamental de G.

Utilizaremos a seguinte notação:

CN = (N ,KN); CQ =Irn (Q ;KM; C = Hm±n(G,KG).

Por argumentos de sequência espectral (dados em [5], na demonstração do

teorema 3.5), obtemos um KG-isomorfismo C 1.:=j- CQ OK (com ação diagonal

do lado direito) e assim, naturalmente cdKG < n + rn.

Pelo Lema 1 e observação 4 acima, temos os KG-isomorfismos:

: Hn(N; CN ) r=.1 HornN(CN , CN ).

: Hn(Q; CQ) Hon2Q(CQ , CQ).

Tomamos eN = (W)-1(1d0w ) e eQ = (i11,9? )-1(1cl0Q)

Consideremos a aplicação composta:

C Q0 KH(N;C111) Eln(N ;CQOK C N) (N Cl onde C Q

x e dado por x(f) = f Ø eN, f E CQ e a sendo a aplicação funtorial descrita

no lema 2, tomando-se o complexo A .= HornQ(PQ ;RQ) e o complexo C =-

PN ON HOMN(PN,KN) e como funtor T o produto tensorial sobre K.

A ação de G em eN é trivial (usamos a ação diagonal em HomN(CN , CN )),

logo x é um KG-isomorfismo. Temos também que a é um KG-homomorfismo,

deste modo obtemos uma aplicação induzida:

a.x. : H,„(Q;CQ ) 11,,(Q;Hn(N; C)).

Afirmamos que o produto cap com e = asx.(eQ ) fornece um isomorfismo:

e e-, _ : Hyn(Q;Hn(N; A)) H0(Q;H0(N;•C OK A)) para todo KG-

módulo A à esquerda.

De fato: Segue do diagrama comutativo abaixo:

* Notação:

Para facilitar a construção do diagrama utilizaremos a seguinte notação:

(i) Hn(N; M) = C trf e (ii) Hyn(Q; M) =

Hm(Q; CQ)0 NeClicH

IX a e Id

Ho(Q; Cq OK Cfn

lim(Q;Cq0KHn N;CN))0K Ccg,Z 140(Q; Cq OKHn(N; CN) OK Cf) 7-; Ho(Q;Cq0KHo(N;CNOK A))

49

I a. e Id

Fl.n (Q;Hn(N C))® K C cQ N HO(Q;Hn(N,C)0N C) - HO (C2 Ho (N, CN ØK A))

Novamente usando argumentos de sequência espectral, temos:

e: H,„(Q;11„(N; C)) H„,+„(G; C)

: En(Q;Hn(N; A)) -=} Hyn±n(G; A)

O produto cap é compatível (a menos de sinal) com a sequência espectral

de LHS (Mn, e assim também é compatível com e e n. Segue que:

(e(e) r _): Hm+n(G; A) —> Ho(G; C OR A) é um isomorfismo..

11.3 - A DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA PRINCIPAL

Vamos analisar e = cx,,x,,(eQ ) a nível de cadeias.

Em [3, lema 1.3], mostra-se que se X—» Z é uma ZG-resolução livre de Z

e Y—» Z é uma ZQ-resolução livre de Z, então P = Tot(YOX) é uma ZG-

resolução livre de Z, via o operador diagonal : G —> Q x O, talque a,(g) =

(7rg, g).

Podemos ver X como uma ZN-resolução livre de Z, via i . Então:

se eN CN) eN = X ON CN, onde x E X„ e CN E Clv •

se eQ EH,„(Q; CQ) eQ = y 0,Q CQ, onde y E Y, e CQ E CQ.

Temos que:

= x,,(y OQ cQ) = y ®QcQ ® X ON CAI (aqui está entrando o

fato de N e Q serem orientáveis, por que aqui estamos considerando fixadas as

orientações).

e = c4x.(eQ) = a.)6(Y 0Q eQ) = y 0Q (X N cel 0 eN)

Com a orientação eQ fixa, definimos:

j : CN CN O CQ, colocando j (eN ) = CN O CQ, onde CQ é o elemento

de CQ que define a orientação eQ. Assim temos uma aplicação induzida a nível

de homologia:

50

51

j.: (IV: CN) I-In(N; C), dada por j,,(xl 0 CN) = ré oCO cQ.

A aplicação i é a composta:

11„(N; CN ) 11,(N; C) 14 H„(G; C)

® cN x' ® cN cQ i(x1 ) ® cN cQ. Portanto:

i,,(eN ) = (x ON cN) = x cN (8) cQ.

Vamos agora analisar ec 71-WQ,= e(e) .71-W2

De acordo com 11.1, o bicomplexo:

Its,r(C) = (Br (Q) O Ba(G)) Oc C I 13/2 0Q (B5 (G) ON C), fornece

a sequência espectral . Aqui B„(G) e B„(Q) são resoluções Bar de G e Q respec-

tivamente. O isomorfismo indicado acima nos fornece e.

• • «e) = 0Q (X 0 CQ CN)) (y ø x) et (CQ (8) CN), usando a

ZG-resolução P descrita acima.

Assim e(e) 7rW, e—Q(y) ox (8) cQ O CN.

Pela observação 1 CQ CN C Z. Então:

Pela observação 2 2(y) = 1, e assim concluímos o resultado..

CAPÍTULO III

O GRAU DE UMA APLICAÇÃO E O NÚMERO DE UMA

EXTENSÃO

Em [19] Gottlieb definiu o grau e o cograu de uma aplicação f entre espaços

topológicos. Neste mesmo artigo, define-se o número fibrado ou o número da

fibra de uma fibração F E 2.» B. Aproveitamos a idéia aqui, para definirmos

o grau de uma aplicação entre grupos e o número de uma extensão.

Utilizando estas definições, demonstramos vários resultados; para a demons-

tração de alguns deles utilizamos o teorema principal apresentado no capítulo II.

111.1 - O GRAU DE UMA APLICAÇÃO

Em 1.6.1 definimos o grau de um homomorfismo entre grupos abelianos.

Aqui definiremos o grau de um homomorfismo entre grupos quaisquer.

Definição:

Consideremos um homomorfismo f :G' --9 G, onde G' e G são grupos quais-

quer. O grau de f denotado como degf = deg , onde f: H.(d) --9

52

O cograu de f denotado como cdgf = cdgf", onde 7 : w (G ) H.(0.

* Observações:

1. Se f : H,,(GI;A) —* H.(G;A), onde A é um módulo qualquer, escreveremos

degAf = degf..

2. degAeBf = rnn2c{degAbdegBf}.

{ lie(GI; A e B)a.-.) H.,(Gl; A) e H„(Gl; B)

3. De maneira análoga definimos cdgAf como cdgf*, onde 7 : Hi(G; A)

11*(GI;A) e mostra-se que cdgAeBf = nanc{cdgAf,cdgBf}.

4. No caso particular em que A -= Zr, escreveremos degz,,. = deg, e cdgir = cdgr.

Teorema 1: Seja f —) G uma aplicação de um grupo qualquer G' num PDm-

grupo orientável G. Então (degf)e gera a imagem de b em 11,„(G), onde e é a

classe fundamental de G.

Demonstração: Temos que Imb é um subgrupo de 11.,n(G) que é cíclico infinito

(Proposição 1. (iii) de 1.4.1) gerado por e.

Suponhamos que fie gera a imagem de f.. Mostraremos que fi \ degf e

degf \

53

De fato:

II.(G; A GB) 2_2 11.(G; A) e H„(G; B)

é um homomorfismo graduado. Assim o resultado segue da proposição 4 de 1.6.2.

(a) fi \ degf Por definição de grau, existe um transfer T, com f..T = degf

(degf)e está na imagem de b, pois f.(r(e)) = (degf)e.

54

(b) degf \ 13 Seja -y E Hm(Gi), tal que f.(7) = fie.

Definimos r: il,(G) 11.(G') colocando:

T (_ r• -y)of* oDã1 , onde /V : H(G) --dim-i(G) é a inversa da

aplicação dualidade de Poincare.

Se x E H(K) e r(x) = (_ -y). Dã1 (x) .r( Dã1 (x) -y E H(d) E Hm -í(G)

e Ifin-i(G1)

(b°7- )(x ) = b(P(Dnx)) ^ 7) = D' (x) r• [ter) = D01(x) =

= ,(3(Dã l (x) e) = ,(3(x) .• degf \

* Observação:

5. Como G é um PD'n-grupo orientável, o isomorfismo Hk(G;A) rad Hm-k (G;A) é

verdadeiro para todo k e todo ZG-módulo A, assim a mesma demonstração do

teorema acima, mostra que (degrne é gerador da imagem de f. : H,„(G1 ;Zr )

H(G;Z,.).

Teorema 2: Suponhamos que f G seja uma aplicação entre grupos tais

que G' é um PDm+n-grupo e G é um PDm-grupo. Então deg,1 = cdg,.f.

Demonstração: Definimos um homomorfismo -7- : 11*(GI;Z,.) H(G;4) colo-

cando -7-"(x) e-eG = f.(x r 7) onde 7 E H,„(G1;Zr) é tal que f.(7) = (deg,. f)ec

(o Teorema 1 garante isso). Temos:

«f* (g)) rec = f.(fig) ,•-• 7) = g ,•-• f.(7) =g •-• (deg, Peo =

= (deg,. f )(g ec ).

Assim ro 7 = deg,, f. Logo cdg,. f \ deg,. f.

Para mostrar que degrf \ cdgrf, vamos utilizar o TCU no caso em que C: é

um PlYn±n-grupo.

Ext(1-r+1(Gl; Zr); Z,.) H,„(Gi; Z,,.) Horn(1-nd; Z,.), Zr)

[ f° O H.,„(G; Z,.) Hcnn(lin (G; Z,.),Z,)

Seja -7 : Etn(C.1; 4) -> HIG'; 4) um cotransfer associado ao cdg„f. Assim

7 E Hatn(1-r(GI ;Zr );4).

Consideremos 7- Zy.) um elemento tal que a('r) ='?. Então:

MT) = f#C7) = f* = cdg„ f cdgnf E Imb que é gerada por

(degnnea pelo Teorema 1. Assim deg„ f \ cdgnf.e

111.2 - O NÚMERO DE UMA EXTENSÃO

Seja Ar >i—* G I2» Q uma extensão de grupos e suponhamos que H(N) = O,

para todo j > 71 e que Hn(N) Z. Assim a imagem de i* : 1-11.(G) —> HNN)

um subgrupo de Z e assim tem um gerador não-negativo .1).

Definição:

= .1)(p) é o número da extensão do grupo N pelo grupo Q.

* Observação:

1. Trocando-se o coeficiente Z por 4, obteremos .1),.(p) E Z o número da extensão

do grupo N pelo grupo Q para coeficientes em 4. O menor inteiro positivo tal

que (1),.)2 gera Ime C 1-1n(N;Z,.), onde g é a classe fundamental em Hn(N;Z,.)

no sentido dado na observação 2 no inicio deste capítulo.

55

56

Definição:

Dizemos que a extensão de grupo N G -5* Q é orientável se atua

trivialmente em Hn(N)

Teorema 1: (I) a extensão é orientável.

Demonstração: Suponhamos que a ação não é trivial, então para qualquer a E

Hn(N), a O, ag E Q, tal que ga = —a.

Assim (Hn(N))9 = {O}, ou seja H°(Q,H"(N)) = {0}.

Mas is é dada pela composta:

H"(G) —» Er —> 114:1(Q, Hn(N)) = {O}, ou seja, a imagem de is

localiza-se na parte invariante de Hn(N) sob Q, que é nula. Assim (1) = Ode

Na sequência denotaremos Z por Zo.

Suponhamos que N G —» Q seja uma extensão orientada. Então a

sequência espectral de Hochschild-Serre, nos fornece as aplicações:

(1) p# Hi(G. 4) Ecix7,71,72 fin(N; 4)) 5-.a. ffi-n(Q; 44.

(2) p# : Hi(Q. Zr) `=" Hi(Q,Hn(N, Zr)) eas EZ7 )1 Hi+n(G' Zr)

* Observação:

2. A compatibilidade dos produtos cup e cap com as sequências espectrais de

Hochschild-Serre, além da naturalidade dos produtos, fornecem os diagramas

comutativos (a menos de sinal) abaixo:

11*(G)0 11*(G) 42:(2)±4 11*(Q)0 H*(G)/cS, H(Q)0 H*(Q)

H(G) n# H" (Q)

diagrama 1

57

11*(G)0 H.(G) /d0p# H*(G)® H.(Q) P#0/d,H.(Q)0 H.(Q)

--- H.(G) PÁ H.(Q)

diagrama 2

ou seja, p# e p# satisfazem a menos de sinal as equações:

(a) P# (p. x y) = x 13#(Y)

(b) P.,(Y r Pg) = P#Y e.

Se N e Q são respectivamente PD"-grupo e PDm-grupo orientáveis, temos

pelo teorema 2 de 1.4.1 que G é um PD"±m-grupo e se a extensão é orientável

então G é orientável.

De agora em diante estaremos trabalhando sob estas hipóteses.

Vamos definir dois homomorfismos p: H(Q) lin±i(G) e pi : H(G)

H'(Q), de tal modo que os diagramas 3 e 4 abaixo comutem:

H (Q) H(G) H(G) P! IP-n(Q)

eQ)-1 ec ec eQ)

Hm-%(Q) Hin-%(G) Hm+n-,(G) - 73-

diagrama 3 diagrama 4

onde eG e eQ são classes fundamentais de G e Q respectivamente.

Lema 1: As seguintes igualdades se verificam:

1. Pi(Y ec2) = 13*(Y)r ec.

2. pi (y) ec? = P.(Y r ec).

Demonstração:

1! 1M(Y r ec2) = [Çr ec) c13* °(_" eQ)-11(Y ec2) = ec ) o P. (Y) =

=13.(Y) ^ ec.

2. ri! (Y) ec? = R- •-• ec2) - I -P.- (- ec )1(Y) ec2

ec2)-1°13.(Y n eG)] ec2 = (P.(Y r ec) ^ ec2)-1 ^ ec? = ^

Lema 2: Pelo Teorema 1 de 11.2 temos que p#eQ = ec e pela observação 2 (b)

pltec = eQ,.disso segue que:

1. p# pr e

Demonstração:

1. p#(y) rec? = "P#(eQ)) = 13*(Y r, eG) = /}(Y) r, ec2.

2. análoga a 1.

Teorema 2: degnp \ 3t1(p) e cdgnp \ e'n (p) •

Demonstração: Seja A E Hn(G) tal que is(A) = einër7 E Hn(N), onde ë;57r é a

classe fundamental em 11"(N), isto é, ë},-/ •-• eN = 1.

Definimos os homomorfismos:

(1) r: H(Q) H(G), colocando r(c) =- À r p#(a)

(2) Y: H(G) Hi(Q), colocando --7(x) = p#(x À)

58

59

Mas p# : Hn (G ,1,-) H°(Q, Hn(N;Zr )) é tal que:

(3) p#(À) =

Assim:

p.(T(a)) p#(a)) 1 p(y) a lem_a 2 p# (y) a a = ci)na.

2. 1.

7(19*(x)) P# (19*(x) •-• À) = x •-• p#(À) W x •-• gani = Canx.

Portanto T e 7 são transfers associados a p. e p• respectivamente. Logo

temos:

degnp cla„ (p) e cdgnp \ clin(P).ei

Lema 3: Seja N G 72» Q uma extensão de grupo orientável com N um PD"-

grupo e Q um PDm-grupo, então p* (ëI)) = (1), onde ë72 é a classe fundamental

de fr(Q).

Demonstração: Consideremos o diagrama comutativo abaixo:

11°(N) Hm(G)

eN ec )-1

H(N) Hn(G)

diagrama 5

i ! (1) = [G, eN](1) ec)-1(i.(eN))

= (-^ ec) i ( vN-2) ec) = Ps nhe

teorema principal

Lema 4.: Seja PT ,--* G Q uma extensão de grupo orientável com N um PD"-

grupo e Q um PDm-grupo. Pelo Teorema 1 de 11.4, existe -y E 11,(G, Zr) tal que

60

p. (7) = degn(p)eQ e a dualidade de Poincaré garante que existe 7 E H*(G, Zr)

tal que 7 = r eG. Então: eG) = i*(7) •-• eN.

Demonstração: Consideremos o diagrama comutativo abaixo:

1.1.(G) Hi-n(M

1(-r‘ ec)-1 j eN

Ilm+n-i(G) lim+n-i(N)

diagrama 6

^ ec) = [(-^ enr)oi* o (-^ 6N)-1](7 r` 60) = (-^ eN)(is ry)) = i*(7) ^ 6N.

Teorema 3: Seja N )L G Q uma extensão de grupo orientável com N um

PD-grupo e Q um PDm-grupo, então degn(p) = (PT. (p) = cdgn(p).

Demonstração: Pelo Teorema 2, temos que degnp \'t',. (p). Mostremos que (Pn(p) \ degnp.

Pelo Teorema 1 de 11.4, existe 7 E H.,(G, 4) talque p,,(7) = degn(p)eQ.

Seja a classe fundamental de Hm(Q), ou seja eQ =1.

A dualidade de Poincaré garante que existe 7 E 1.1*(G, Zr) tal que 7 =-

eG. Então:

degn p p„ (7)) = (p*(),-y le°1-4 3 (i! (1 ), ey =-- (1, i ! (7)) i!(7) -= (degn p).1

Agora:

,_ degn P = = ¡te-7 ^ lema 4

60) = itr) ^ eN inteiro tal que is (1) = k \r.

= «eN = k, onde k é um

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